JP5785903B2 - 圧縮信号復元装置、方法、プログラム - Google Patents

Description

本発明は、複数のチャネルの信号が圧縮された圧縮信号の復元技術に関する。

近年、多数のセンサーを用いて環境（温度、照度など）や人間の行動などを逐一センシングし、その情報を活用しようという動きが高まっている。多数のセンサーをネットワークによって結び、お互いに通信すること或いは特定の中央受信装置へ情報を送ることを可能にしたシステムはセンサーネットワークと呼ばれる。

このようなシステムでは、それぞれのセンサーは離れた位置に配置されており、その運用を簡便にするため無線通信を用いていることが多い。また、センサーの電源は電池を用い外部からの電源入力を得ていない場合も想定される。そのため、センサーが送信すべき情報をできうる限り削減すること、およびセンサー自身における演算量を低減することが重要であり多くの提案がなされている（たとえば非特許文献１）。

一方で、センサーネットワークは多くのセンサーを有し、かつ、用途によってはそれらが非常に近接している場合がある。このような構成では、各センサーが計測した結果は、或る観点からすれば非常に似通っていることが期待される（図７参照。図７は、３ chの生体信号（筋電信号）を重ねて表示したグラフであり、各チャネルの信号が非常に類似していることがわかる）。このため、例えば、分散情報源符号化や階層的に情報の相関を利用して送信すべき情報量をなるべく減らそうという試みがなされている。

このような試みのなかで近年注目を受けているのが圧縮センシングという手法である（例えば非特許文献２）。単一センサーでの圧縮センシングは測定の対象となる標本数Ｎの信号ｓに比して少ない数Ｍの情報ｙ＝Φｓ（ΦはＭ×Ｎの行列）のみをもって、元の信号ｓが或る基底行列Ψにおいての信号ｓの表現ｘ＝Ψｓの非0要素が非常に少ない（以下、「疎である」と表現する）という仮定の下に復元を行うことで元の信号ｓの厳密に等しいｓ’を得ようとするものである。また、この拡張タイプとして測定結果にノイズが含まれているケースについては同様なアルゴリズムで近似的な解ｓ”が得られることが分かっている。

圧縮センシング技術において、センサーネットワークのような多数のセンサーが存在する場合に応用する提案はすでにいくつか存在している。そのうちの一つが、各センサーによって得られた測定信号ｓ_ｋ（ｋはセンサーの識別インデックス）を全てのセンサーに共通した信号ｓ_ｃとそれ以外の信号ｓ_ｄｋの和で表現できると仮定したものである。このモデルにもいくつかの派生型があるが、例えば共通信号の基底行列Ψでの表現ｘ_ｃ＝Ψｓ_ｃが疎ではなく、一方でｘ_ｄｋ＝Ψｓ_ｋが全てのｋに対して疎であるようなモデルがある。観測の対象となる信号がこのようなモデルで記述できる場合は、単独のセンサーでは信号が疎ではないために単一圧縮センシングの枠組みでは長さＭの情報ｙ_ｋ＝Φ_ｋｓ_ｋから長さＮの情報ｓ_ｋを正確に復元することはできない。しかしながら、多数のセンサーがあることで互いに情報を補い合い送信すべき情報を削減することができる場合がある。

各センサーはＣＰＵなどで演算を行うことが可能であり、またメモリなどにデータを保持することも可能である。また、通常の無線送受信機あるいは可視光通信の送受信機を用い双方向ないし一方向の通信を行うことができる。

以下に、通常の圧縮センシングについて説明する。通常の圧縮センシングでは、下記の条件に基づいて元の信号の推定値を得る。
［条件］ｙ＝Ａｘ＝Φｓを満たすような量||ｘ||_１を最小化する …（１）

ただし、||・||_１はベクトル・の絶対値和（Ｌ１ノルム）を表し、ｙを観測ベクトル、Ａ、Φ、Ψはそれぞれ圧縮行列、観測行列、基底行列とする。またｓ＝Ψｘであり、推定された推定信号ｘから元の信号ｓを計算することができる。

また、上記条件に代えて、下記のような条件の問題に緩和することもできる。
||ｙ―Ａｘ||_２＜εの下で量||ｘ||_１を最小化する …（２）

ただし、εはあらかじめ決められた微小なスカラー量であり、||・||_２はベクトル・の二乗和である。

これ以外にも、条件によっては上記と同様の効果を持ついくつかのアルゴリズムが発見されており（例えば非特許参考文献３）、本明細書ではこれらを総称して「通常の圧縮センシングのアルゴリズム」と呼ぶことにする。

D. Baron，M.B. Wakin，M.F. Duarte，S. Sarvotham，and R.G. Baraniuk. "Distributed compressed sensing," Rice Univ. Technical report，2005. Emmanuel J. Candes and Michael B. Wakin, "An Introduction ToCompressive Sampling" IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE, MARCH 2008. J.A. Tropp, S.J. Wright, "Computational Methods for Sparse Solution of Linear Inverse Problems," Proceedings of the IEEE, vol.98, no.6, pp.948-958, June 2010.

各センサーが測定した信号ｓ_ｋ（ｋはセンサーの識別インデックス）を全てのセンサーに共通した信号ｓ_ｃとそれ以外の信号ｓ_ｄｋの和で表現できると仮定したモデルにもいくつかの派生型があるが、例えば、共通信号の基底行列Ψでの表現ｘ_ｃ＝Ψｓ_ｃが疎ではなく、一方でｘ_ｄｋ＝Ψｓ_ｋが全てのインデックスｋに対して疎であるような信号モデルがある。このような信号モデルでも、多数のセンサーがある場合には、この信号モデルに基づいた復元を行うことによって、各々のセンサーについては長さＭ＜Ｎの情報ｙ_ｋを用いて元の情報ｓ_ｋを得ることが可能である場合がある。

しかしながら、上記の信号モデルで観測信号のモデル化を行った場合、共通信号ｓ_ｃが全てのセンサーの間で厳密には共有されていないと、却って復元誤差を大きくしてしまう場合もありうる。

従来の圧縮センシングでは共通信号が厳密に一致していない場合には共通信号の基底行列Ψでの表現ｘ_ｃ＝Ψｓ_ｃも疎であるという仮定を導入して近似的に復元問題を解こうという試みが行われてきたが、得られた情報を十分活用しているとは言い難い。

本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、各チャネル間で共通信号が厳密に一致していな場合においても、複数のチャネルの信号が圧縮された圧縮信号の復元技術を提供することを目的とする。

本発明の圧縮信号復元技術は、共通信号ｓ_ｃとともに振幅係数ａ_ｋｃ及び群遅延β_ｋｃを考慮した信号モデルに基づいて、これら２つの因子をチャネルごとに推定することによって、より正確な信号復元を行う。
具体的には、複数のチャネルｋ（ｋ＝１、２、…、Ｋ；Ｋは２以上の予め定められた正整数）の信号について、各チャネルの信号が全てのチャネルに共通の信号（共通信号）と当該共通信号以外の信号（残信号）との和で表されるとし、ｋ＝１、２、…、Ｋについて、チャネルごとに元の信号が圧縮された圧縮信号ｙ_ｋは、元の信号ｓ_ｋの基底行列Ψによる表現ｘ_ｋに対して観測行列Φ_ｋを用いてｙ_ｋ＝Ａ_ｋｘ_ｋ＝Φ_ｋｓ_ｋ、ｓ_ｋ＝Ψｘ_ｋ、Ａ_ｋ＝Φ_ｋΨなる関係があるとして、チャネルごとに元の信号が圧縮された圧縮信号ｙ_ｋをチャネルごとに独立に元の信号（仮の復元信号）を復元し［仮伸長処理］、各チャネルの仮の復元信号ｓ~_ｋから、共通信号に対する相対的な振幅の大きさと遅延量を表す振幅係数ａ_ｋｃと群遅延ｂ_ｋｃを求め［差異推定処理］、圧縮信号ｙ_ｋと、振幅係数ａ_ｋｃと、群遅延ｂ_ｋｃと（ｋ＝１、２、…、Ｋ）を用いて、Λを回転行列

、ｊを虚数単位、Ｎを元の信号のベクトルの要素数として、共通信号の周波数領域表現

を求め［共通信号推定処理］、圧縮信号ｙ_ｋと、振幅係数ａ_ｋｃと、群遅延ｂ_ｋｃと、共通信号の周波数領域表現ｘ'_ｃを用いて、圧縮信号ｙ_ｋと共通信号との差分ｙ_ｄｋを得て、さらに当該差分ｙ_ｄｋを復元してｓ'_ｄｋを得て、当該ｓ'_ｄｋと共通信号の時間領域表現との和によって、元の信号の推定値ｓ'_ｋを得る［残信号推定処理］。

本発明に拠れば、本来必要な情報より少ない数の線形観測によってえられた情報を用いて、各チャネルの振幅差や遅延量を推定することで、各チャネルに含まれる共通信号が全く同一でなくチャネルごとに振幅や群遅延量が異なっている場合においても原信号を従来よりも精度良く復元することができる。

センサーネットワークを示す図。 従来の圧縮センシングの枠組を示す図。 本発明の実施形態１の機能構成を示す図。 本発明の実施形態２の機能構成を示す図。 本発明の実施形態４の機能構成を示す図。 比較実験例：（ａ）元の信号、（ｂ）ＴＥＣＣ法、（ｃ）本発明に拠る手法。 ３ｃｈの生体信号の例。

＜記号の説明＞
Ｒ：実数の全体（集合）
Ｃ：複素数の全体（集合）
Ｎ∈Ｒ：観測対象のベクトルの大きさ
Ｍ∈Ｒ：１chあたりの観測数
ｓ_ｋ∈Ｃ^Ｎ：ｋ chの観測対象の元のベクトル表現
ｘ_ｋ∈Ｃ^Ｎ：ｋ chの観測対象の基底行列Ψでの表現
ｙ_ｋ∈Ｃ^Ｍ：ｋ chの観測結果のベクトル表現
ｓ_ｃ∈Ｃ^Ｎ：全チャネルに含まれる共通信号のベクトル表現
ｘ_ｃ∈Ｃ^Ｎ：共通信号の基底行列Ψでの表現
ｓ_ｄｋ∈Ｃ^Ｎ：ｋ chの共通信号を取り除いた信号（個別信号）のベクトル表現
ｘ_ｄｋ∈Ｃ^Ｎ：個別信号の基底行列Ψでの表現
Ψ∈Ｃ^Ｎ×Ｎ：ｓ_ｋ＝Ψｘとなるような基底行列
Φ_ｋ∈Ｃ^Ｍ×Ｎ：ｙ_ｋ＝Φｓ_ｋとなるような観測行列
Ａ_ｋ∈Ｃ^Ｍ×Ｎ：Ａ_ｋ＝Φ_ｋΨで表せられる行列
ａ_ｋｍ∈Ｒ：ｍ chを基準としたｋ chの振幅の大きさ
ｂ_ｋｍ∈Ｒ：ｍ chを基準としたｋ chの位相遅延の大きさ

＜従来の信号モデルによる圧縮センシング＞
実施形態の説明に先立ち、図１と図２を用いて従来の信号モデルによる圧縮センシングについて述べる。

図１のようにＫ個（Ｋは２以上の正整数）のセンサーと１個の中央受信機９５０で構成されるシステムを考える。センサー９１０−１、センサー９１０−２、…、センサー９１０−Ｋはそれぞれ異なった信号を計測し、中央受信機９２０へ送信する。ここで各センサーが或る単位時間に取得する情報を複素ベクトルで表すこととし、このベクトルの長さはＮ（Ｎは正の整数）であるとする。すなわち、或る単位時間にＫ個のセンサーが取得した情報は一般に各々ｓ_ｋ∈Ｃ^Ｎ、ｋ＝１、２、…、Ｋと書けるとする。

図２のように、各センサー９１０は観測装置９１１と送信装置９１３で構成されている。観測装置９１１はふたつの部分、測定部９１１１と圧縮部９１１２で構成されている。測定部９１１１は、信号（例えば音声信号や生体信号などであり、特に限定はない）を観測し、単位時間の長さＮの信号ｓ_ｋを出力する。圧縮部９１１２は、信号ｓ_ｋを長さＭの圧縮された信号ｙ_ｋ∈Ｃ^Ｍに変換する。ただし、ＭはＮより小さな正の整数である。また、この変換は線形変換であるとする。すなわち、観測行列Φ_ｋ∈Ｃ^Ｍ×Ｎによって式（５）のように書けるとする。
ｙ_ｋ＝Φ_ｋｓ_ｋ …（５）

送信装置９１３は、符号化部９１３１によって圧縮信号ｙ_ｋを通信路符号化して中央受信機９５０に送信する。

中央受信機９５０は、各センサーから、それぞれ通信路符号化されたＫ個の符号列を受信する。中央受信機９５０は、受信装置９５１と復元装置９５３で構成されている。受信装置９５１の復号部９５１１は、各センサーから受信した符号列をそれぞれ復号して圧縮信号ｙ_ｋ、ｋ＝１、２、…、Ｋを出力する。

復元装置９５３は各行列Φ_ｋ、ｋ＝１、２、…、Ｋ及びΨを既知とする。
また、各圧縮行列Ａ_ｋは、式（６）のような行列の積で表すことができ、Φ_ｋをセンサーｋの観測行列、Ψを基底行列と呼ぶこととする。
Ａ_ｋ＝Φ_ｋΨ、Φ_ｋ∈Ｃ^Ｍ×Ｎ、Ψ∈Ｃ^Ｎ×Ｎ、ｋ＝１、２、…、Ｋ …（６）

復元装置９５３は、これら圧縮行列Ａ_ｋについても既知であるとする。

従来技術では、ここで下記のような特別な場合を考えていた。すなわち、或る単位時間に得られた信号ｓ_ｋ、ｋ＝１、２、…、Ｋは、式（７）のように全てのセンサーに共通した信号ｓ_ｃとそれ以外の部分ｓ_ｄｋで表すことができ、かつ、基底行列Ψにおけるｓ_ｄｋの表現ｘ_ｄｋ（式（８）参照）は非ゼロ要素が少ない疎なベクトルであるという信号モデルである。
ｓ_ｋ＝ｓ_ｃ＋ｓ_ｄｋ …（７）
ｓ_ｄｋ＝Ψｘ_ｄｋ …（８）

このとき復元装置９５３を構成する共通信号推定部９５３１によって共通信号の基底行列Φにおける表現ｘ'_ｃは式（９）のように推定される（例えば非特許参考文献１）。［・］^＊は行列［・］のエルミート共役行列を表す。

復元装置９５３を構成する残信号推定部９５３２は、圧縮行列Ａ_ｋと、式（９）に従って得られたｘ'_ｃと、観測信号ｙ_ｋとから式（１０）に従って残信号ｙ'_ｄｋを計算し、ｙ'_ｄｋとＡ_ｋに対して通常の圧縮センシングのアルゴリズムを適用することでｘ'_ｄｋを再構成する。
ｙ'_ｄｋ＝ｙ_ｋ−Ａ_ｋｘ'_ｃ …（１０）

残信号推定部９５３２は、すべてのチャネル（ｋ＝１、２、…、Ｋ）について残信号ｙ'_ｄｋを推定する。さらに、ｘ'_ｃとｘ'_ｄｋの和ｘ'_ｋから元の基底による数ベクトル空間への変換、すなわち
ｓ'_ｋ＝Ψｘ'_ｋ …（１１）
を計算し、元の信号の推定値ｓ'_ｋを各チャネルについて得る。

上述した従来の信号再構成の方法は、下記のような信号モデルを前提としている。すなわち、各チャネルの測定信号ｓ_ｋは、共通信号ｓ_ｃと基底行列Φにおいて疎な信号ｓ_ｄｋの和
ｓ_ｋ＝ｓ_ｃ＋ｓ_ｄｋ …（１２）
と表現される信号モデルである。しかしながら、音響信号や生体信号などの場合においては観測地点の違いなどから各チャネル間において共通信号ｓ_ｃに相当する部分に振幅の違いや位相の違いがありうる。この信号モデルではこれらの影響を無視してしまっているため、実際の信号をよくモデル化しているとは言い難く、結果として上述した再構成方法では単チャネルの圧縮センシングによる再構成方法に比しても必ずしも性能が向上しない場合がある。このような課題に対する解決方法はいまだ提示されたことがない。

＜本発明の原理＞
本発明は、下記に述べるように共通信号に振幅の違いや位相の違いがある場合でも、多チャネルの情報を利用することで効率的に信号を再構成することができるようにしたことを特徴としている。ここで、全実施形態に共通する信号モデルについて記述しておく。

本発明では、信号モデルを共通信号ｓ_ｃとともに振幅係数ａ_ｋｃ及び群遅延β_ｋｃも考慮した信号モデルに拡張した上でこれら２つの因子をチャネルごとに推定することによって、より正確な信号再構成を行うことを特徴としている。具体的には、各信号の離散フーリエ変換（DFT）が
ｘ_ｋ＝ｘ_ｃｋ＋ｘ_ｄｋ …（１３）
という和の形式で書けるとすると、式（１４）で近似することができるという信号モデルである。

ただし、Λは式（１５）で表される。πは円周率、ｊは虚数単位である。

上記の式を合わせると、元の信号の離散フーリエ変換は式（１６）で近似的に記述できることを前提としている。

［実施形態１］
図３を参照して、実施形態１について説明する。実施形態１において観測装置と送信装置と受信装置は既述の従来技術と同じ構成および処理であるから説明を省略する。本発明の実施形態は、従来の復元装置９５３に替えて復元装置１００を備える。

以下では、復元装置１００が、受信装置９５１から受けた信号ベクトルｙ_ｋ、圧縮行列Ａ_ｋ、観測行列Φ_ｋ、基底行列Ψを知っているものとする（例えば、復元装置１００が事前に各センサーから各行列についての情報を受信している）。ただし、ｋ＝１、２、…、Ｋであり、下記では基底行列Ψを離散フーリエ変換に対応する行列とする。

実施形態１では、復元装置１００は、仮伸長部１０１、差異推定部１０３、共通信号推定部１０５、残信号推定部１０７を有する。

仮伸長部１０１は、信号ベクトルｙ_ｋから仮の信号の再構成を行う。この処理には、通常の圧縮センシングのアルゴリズムが用いられる。これによって仮の復元信号ｓ~_１、ｓ~_２、…、ｓ~_Ｋを得る。

差異推定部１０３は、ｓ~_１、ｓ~_２、…、ｓ~_Ｋを用いて下記のように振幅及び位相の差異を推定する。具体的には、差異推定部１０３は、式（１７）で表される量を最小化することで各チャネル間の相対的な振幅の差ａ_ｋｍと群遅延量ｂ_ｋｍを推定する。

ここで[DFT]および、[IDFT]はそれぞれ離散フーリエ変換、逆離散フーリエ変換に対応する変換行列である。上記の量はａ_ｋｍとｂ_ｋｍを別々に変化させることで最適化することが可能である。

差異推定部１０３は、さらに、
ａ_ｋ＝（ａ_ｋｍ＋１／ａ_ｍｋ）／２、 β_ｋ＝（β_ｋｍ−β_ｍｋ）／２ …（１８）
とする。この処理は推定誤差を軽減するためのものであるが、この処理を行わず、
а_ｋ＝а_ｋｍ、 β_ｋ＝β_ｋｍ
としてもよい。
また、а_ｋｍは、例えば
а_１３＝ａ_１２＋а_２３
を近似的に満たすので、この観点からа_ｋｍに関するコスト関数
||ａ_ｋｍ−（ａ_ｋｊ＋ａ_ｊｍ）||_２ …（１９）
を最小化するようにａ_ｋｍの組を調整し推定誤差を軽減してもよい。また上の関係式からさらに４項以上のа_ｋｍの組によるコスト関数を立てることができるので、このようなコスト関数を最小化するようにａ_ｋｍの組を調整し推定誤差を軽減してもよい。

差異推定部１０３は、さらに、
Σ_ｋａ_ｋ＝１、Σ_ｋｂ_ｋ＝０ …（２０）
となるように正則化を行う。この正則化によって得られた係数をａ_ｋｃ、ｂ_ｋｃとする。ただし、上述の方法の正則化に限らず、或る定められたベクトルと各チャネル間の相対的な振幅の差と群遅延量の両方の情報を含めることができれば、どのような正則化を用いてもよい。例えば、特定のチャネルを共通ベクトルとみなして、そのベクトルからの振幅の差と群遅延量をａ_ｋｃ、ｂ_ｋｃとしてもよい。

次に、共通信号推定部１０５は、上記の係数ａ_ｋｃ、ｂ_ｋｃ及び観測された信号ｙ_１、ｙ_２、…、ｙ_Ｋを用いて式（２１）を計算する。ただし、［・］^†は行列［・］の一般化逆行列を表す。

残信号推定部１０７は、上記共通信号推定部１０５で求めたｘ'_ｃを用いて、式（２２）に従って観測信号ｙ_ｋとの差分ｙ_ｄｋを得る。

このｙ_ｄｋとＡ_ｋについて通常の圧縮センシングのアルゴリズムを適用することによってｓ'_ｄ１、ｓ'_ｄ２、…、ｓ'_ｄＫを得る。さらにこれらとｘ'_ｃ、ａ_ｋｃ、ｂ_ｋｃを用いることで、元の信号の推定値ｓ'_ｋを得る（式（２３））。

以上によって復元装置１００は元の信号よりも少ない情報ｙ_１、ｙ_２、…、ｙ_Ｋから元の信号の推定値ｓ'_１、ｓ'_２、…、ｓ'_Ｋを得ることができる。

［実施形態２］
実施形態１では全ての処理を各チャネルについて一度だけ行うものであったが、一連の処理を反復的に行うことによって推定精度を向上させることができる。実施形態２を、図４を参照して説明する。なお、復元装置１００以外の構成は実施形態１と同様である。

仮伸長部１０１と差異推定部１０３の処理は実施形態１と同様である。
共通信号推定部１０５は実施形態１と異なり、式（２４）を計算することによって共通信号を求める。

ただし、ここでＱ_ｋは、初期値がサイズＭ×Ｍの単位行列であり、後述する残信号基底推定部１０９によって更新される。

残信号基底推定部１０９は、残信号推定部１０７と同様の手続きで個別信号ｘ_ｄｋを推定し、さらに下記のような処理を行う（例えば非特許文献１）。この処理の説明に先立ち、前提事項について説明を加えておく。

行列Ｂ_ｋ∈Ｃ^Ｍ×Ｍを、当該行列の列ベクトル（或いは行ベクトル）によって張られる数ベクトル空間に信号ｙ_ｋが含まれるような基底行列とする（換言すれば、信号ｙ_ｋが行列Ｂ_ｋの列ベクトル（或いは行ベクトル）の線形結合で表現される）。このとき基底行列Ｂ_ｋは下記のように２つの部分に分けることができる。
Ｂ_ｋ＝[Ａ_ｋΩ(ｋ) Ｑ_ｋ] …（２５）

ここでＡ_kΩ(k)は圧縮行列Ａ_ｋの一部を列単位で切り取った得た行列で、Ω(k)は切り取った列を特定するインデックスを表している。なお、Ｑ_ｋはＡ_ｋΩ(k)を構成するすべての列ベクトルに直交した列ベクトルからなる基底行列である。。

残信号基底推定部１０９は、予め決められた個数Ｄ_ｋ（ｋ＝１、２、…、Ｋ）に従って圧縮行列Ａ_ｋのうちｙ_ｄｋを２乗誤差の観点から良く記述しているＤ_ｋ個の列を特定するインデックスΩ(ｔ_ｋ)を決定し、これと現在のΩ(k)との積集合を新たにΩ(k)として、行列Ｑ_ｋを更新する。ただしΩ(k)の初期値は空集合である。また、Ｑ_ｋの初期値はＭ×Ｍの単位行列である。下記に残信号基底推定部１０９の処理の具体例を示す。
１．ｙ_ｄｋを用いて通常の圧縮センシングのアルゴリズムを実行してｘ_ｄｋを取得する。すなわち、
||ｙ_ｄｋ―Ａ_ｋｘ_ｄｋ||_２＜εの下で量||ｘ_ｄｋ||_１を最小化する、という問題を解く。
２．ステップ１．で得られたｘ_ｄｋの要素のうちそれら各要素の絶対値の大きさを比較する。このうち上位Ｄ_ｋ個のｘ_ｄｋの要素のインデックスをΩ(ｔ_ｋ)として保持する。
３．Ω(ｔ_ｋ)とΩ(k)との積集合を新たなΩ(k)として保持する。
４．Ａ_kΩ(k)に対する直交基底Ｑ_ｋを計算する。

このようにして得られる行列Ｑ_ｋは大きさがＭ×（Ｍ−|Ω_ｋ|）の行列となる。Ｄ_ｋは反復のたびに変更してもよい。また、積集合の代わりに和集合を用いてΩ(k)を更新してもよい。この場合はΩ(k)の大きさが過大にならないように、上限Ｅ_ｋを設けることが望ましい。

残信号基底推定部１０９は、行列Ｑ_ｋを共通信号推定部１０５に渡す。以下、あらかじめ定めた反復回数に達するまで、残信号基底推定部１０９と共通信号推定部１０５との間で共通信号ｘ'_ｃと基底行列Ｑ_ｋの更新を行う。

反復終了後に残信号推定部１０７はａ_ｋｃ、ｂ_ｋｃ、ｘ'_ｃ及び観測行列Φ_ｋ、基底行列Ψ、観測結果ｙ_ｋを用いて、実施形態１と同様に残差信号を推定し、最後に再構成した復元信号ｓ'_１、ｓ'_２、…、ｓ'_Ｋを出力する。

［実施形態３］
上記実施形態２において共通信号推定部１０５の処理（式（２４））を下記のように置き換えることも可能である。すなわち、
ｙ~_ｋ＝ｙ_ｋ−ｙ~_ｄｋ …（２６ａ）
という減算によって残差信号の影響を除去した上で共通信号

を推定する。ただし、ｙ~_ｄｋは、実施形態２における残信号基底推定部１０９で得られたＡ_kΩ(k)の基底のみで残差ｙ_ｄｋを近似したベクトルである。すなわち、ｙ~_ｄｋは、
ｘ~_{ｄｋΩ（ｋ）}＝Ａ_{ｋΩ（ｋ）} ^†ｙ_ｄｋ
として
ｙ~_ｄｋ＝Φ_ｋｘ~_ｄｋ
で表される。

［実施形態４］
実施形態２または実施形態３では、仮伸長部１０１による処理は始めに一度だけ実行されるだけであるが、図５に示すように、個別信号を除去した信号を用いて仮伸長部１０１で再び通常の圧縮センシングのアルゴリズムで仮の復元信号ｓ~_１、ｓ~_２、…、ｓ~_Ｋを得ることも可能である。このようにして、残信号の基底更新ごとに新たに仮の復元信号を用いて差異推定部１０３によってａ_ｋcやｂ_ｋcを推定することができる。

具体的には実施形態２で定義した残信号の基底を取り除く行列Ｑ_ｋを用いて
Ｑ_ｋｙ_ｋ＝Ｑ_ｋＡ_ｋｘ_ｋ …（２７）
を考えれば、ｙ_ｋの代わりにＱ_ｋｙ_ｋを観測結果、Ｑ_ｋＡ_ｋを観測の際に用いた圧縮行列であるとみなすことによって通常の圧縮センシングのアルゴリズムによって仮の復元信号ｓ~_ｋの再構成を行うことができる。

また、式（２７）による上記の方法に代えて、単なる減算処理を行ってもよい。具体的には
ｙ_ｃｋ＝ｙ_ｋ−Ａ_ｋｘ'_ｄｋ …（２８）
を観測結果として用い、Ａ_ｋはそのまま用いて、仮伸長部１０１で通常の圧縮センシングのアルゴリズムを用いることで仮の復元信号ｓ~_ｋを得ることができる。
再度得られたこれら仮の復元信号ｓ~_１、ｓ~_２、…、ｓ~_Ｋは差異推定部１０３に送られる。

［実施形態５］
上記実施形態２〜４では反復処理の回数は適当な固定値であった。しかし、終了条件判定部（図示せず）を設けることで残差信号の基底更新が行われなくなったことをもって反復処理を終了することも可能である。すなわち、今回処理の残信号基底推定部１０９の出力（行列Ｑ_ｋ）が前回処理の残信号基底推定部１０９の出力（行列Ｑ_ｋ）と同じであれば反復を終了し残信号推定部１０７に結果を渡すようにすることが可能である。

［実施形態６］
上記実施形態１〜４について、送信装置や受信装置を用いるのではなく、観測装置で得た結果ｙ_ｋを外部記憶装置に記録しておき、当該外部記憶装置から得た観測結果ｙ_ｋを用いて復元装置で復元してもよい。また、各装置の間に適当な外部記憶装置を介在させ、各装置で得られた情報を外部記憶装置に保持させる処理を含めてもよい。

［実施形態７］
実施形態１〜６ではｓ_ｄｋが疎になる基底が離散フーリエ変換であるとしてきた。しかし、これを一般的な基底に拡張しても、フーリエ領域（周波数領域）との間に変換行列を規定することができるので、下記のように僅かな変更を実施形態１〜６を適用することができる。

以下ではｚ_ｄｋ＝Ψｓ_ｄｋとし、ｚ_ｄｋをｓ_ｄｋの基底Ψでの表現とし、これが疎であるとする。ｘ_ｋ＝[DFT]ｓ_ｋは引き続き、ｓ_ｋの離散フーリエ変換とする。実施形態１〜６の共通信号推定部１０５では、Ａ_ｋ＝Φ_ｋΨのかわりにＯ_ｋ＝Φ_ｋ[IDFT]を使えばｘ_ｃはフーリエ領域の表現になる。ｙ_ｋはそのままでよい。残信号推定部１０７と残信号基底推定部１０９では残差を

としたが、これを

に置き換えればよい。これらの推定部で通常の圧縮センシングのアルゴリズムを適用する際には圧縮行列をＡ_ｋ＝Φ_ｋΨとし、
||ｙ_ｄｋ―Ａ_ｋｚ||_２＜εの下で量||ｚ||_１を最小化する
という条件の問題を解いて得られるｚをｚ_ｄｋとする。

図６は従来法と本発明による手法との性能差を表わしている。ＴＥＣＣアルゴリズムは非特許参考文献１による従来のアルゴリズムである。比較結果からわかるように実際の信号に対して本発明による手法は従来法よりもＳＮＲが良い。

＜復元装置のハードウェア構成例＞
上述の実施形態に関わる復元装置は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＤＳＰ（Digital Sygnal Processor）〔キャッシュメモリなどを備えていてもよい。〕、メモリであるＲＡＭ（Random Access Memory）やＲＯＭ（Read Only Memory）と、ハードディスクである外部記憶装置、並びにこれらのＣＰＵやＤＳＰ、ＲＡＭやＲＯＭ、外部記憶装置間のデータのやり取りが可能なように接続するバスなどを備えている。また必要に応じて、音響再生装置に、ＣＤ−ＲＯＭなどの記憶媒体を読み書きできる装置（ドライブ）などを設けるとしてもよい。

復元装置の外部記憶装置には、上述の復元処理のためのプログラム並びにこのプログラムの処理において必要となるデータ（圧縮行列、観測行列、基底行列、回転行列）などが記憶されている〔外部記憶装置に限らず、例えばプログラムを読み出し専用記憶装置であるＲＯＭに記憶させておくなどでもよい。〕。また、これらのプログラムの処理によって得られるデータなどは、ＲＡＭや外部記憶装置などに適宜に記憶される場合がある。データやその格納領域のアドレスなどを記憶する記憶装置を単に「記憶部」と呼ぶことにする。

復元装置の記憶部には、圧縮信号ｙ_ｋをチャネルごとに独立に元の信号（仮の復元信号）を復元するためのプログラム、仮の復元信号ｓ~_ｋから、振幅係数ａ_ｋｃと群遅延ｂ_ｋｃを求めるためのプログラム、圧縮信号ｙ_ｋと、振幅係数ａ_ｋｃと、群遅延ｂ_ｋｃとを用いて共通信号の周波数領域表現を求めるためのプログラム、圧縮信号ｙ_ｋと、振幅係数ａ_ｋｃと、群遅延ｂ_ｋｃと、共通信号の周波数領域表現ｘ'_ｃを用いて、圧縮信号ｙ_ｋと共通信号との差分ｙ_ｄｋを得て、さらに当該差分ｙ_ｄｋを復元してｓ'_ｄｋを得て、当該ｓ'_ｄｋと共通信号の時間領域表現との和によって、元の信号の推定値ｓ'_ｋを得るためのプログラムなどが記憶されている。

復元装置では、記憶部に記憶された各プログラムとこの各プログラムの処理に必要なデータが必要に応じてＲＡＭに読み込まれて、ＣＰＵで解釈実行・処理される。この結果、ＣＰＵが所定の機能（仮伸長部、差異推定部、共通信号推定部、残信号基底推定部、残信号推定部など）を実現することで上述の音響再生が実現される。

＜補記＞
本発明は上述の実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能である。また、上記実施形態において説明した処理は、記載の順に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されるとしてもよい。

また、上記実施形態において説明したハードウェアエンティティ（復元装置）における処理機能をコンピュータによって実現する場合、ハードウェアエンティティが有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムをコンピュータで実行することにより、上記ハードウェアエンティティにおける処理機能がコンピュータ上で実現される。

この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。具体的には、例えば、磁気記録装置として、ハードディスク装置、フレキシブルディスク、磁気テープ等を、光ディスクとして、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）、ＤＶＤ−ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）、ＣＤ−Ｒ（Recordable）／ＲＷ（ReWritable）等を、光磁気記録媒体として、ＭＯ（Magneto-Optical disc）等を、半導体メモリとしてＥＥＰ−ＲＯＭ（Electronically Erasable and Programmable-Read Only Memory）等を用いることができる。

また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。

このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記録媒体に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。

また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、ハードウェアエンティティを構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。

Claims (5)

1. 複数のチャネルｋ（ｋ＝１、２、…、Ｋ；Ｋは２以上の予め定められた正整数）の信号について、各チャネルの信号が全てのチャネルに共通の信号（以下、「共通信号」という）と当該共通信号以外の信号（以下、「残信号」という）との和で表されるとし、
   ｋ＝１、２、…、Ｋについて、チャネルごとに元の信号が圧縮された圧縮信号ｙ_ｋは、元の信号ｓ_ｋの基底行列Ψによる表現ｘ_ｋに対して観測行列Φ_ｋを用いてｙ_ｋ＝Ａ_ｋｘ_ｋ＝Φ_ｋｓ_ｋ、ｓ_ｋ＝Ψｘ_ｋ、Ａ_ｋ＝Φ_ｋΨなる関係があるとして、
   チャネルごとに元の信号が圧縮された圧縮信号ｙ_ｋをチャネルごとに独立に元の信号（以下、「仮の復元信号」という）を復元する仮伸長部と、
   各チャネルの上記仮の復元信号ｓ~_ｋから、上記共通信号に対する相対的な振幅の
   大きさと遅延量を表す振幅係数ａ_ｋｃと群遅延ｂ_ｋｃを求める差異推定部と、
   上記圧縮信号ｙ_ｋと、上記振幅係数ａ_ｋｃと、上記群遅延ｂ_ｋｃと（ｋ＝１、２、…、Ｋ）を用いて、Λを回転行列
   

   

   
   、ｊを虚数単位、Ｎを元の信号のベクトルの要素数として、上記共通信号の周波数領域表現
   

   

   
   を求める共通信号推定部と、
   上記圧縮信号ｙ_ｋと、上記振幅係数ａ_ｋｃと、上記群遅延ｂ_ｋｃと、上記共通信号の周波数領域表現ｘ'_ｃを用いて、上記圧縮信号ｙ_ｋと上記共通信号の周波数領域表現ｘ' _ｃ に基づく値との差分ｙ_ｄｋを得て、さらに当該差分ｙ_ｄｋ について圧縮センシングのアルゴリズムを適用して、時間領域表現であるｓ'_ｄｋを得て、当該ｓ'_ｄｋと上記共通信号の時間領域表現との和によって、元の信号の推定値ｓ'_ｋを得る残信号推定部と
   を含む圧縮信号復元装置。
2. 請求項１に記載の圧縮信号復元装置において、
   さらに、上記共通信号の周波数領域表現ｘ'_ｃを用いて、行列Ａ_ｋから残信号を表現する基底行列または上記共通信号を表現する基底行列を推定する残信号基底推定部を含み、
   上記共通信号推定部は、上記残信号基底推定部によって得られた基底行列に基づいて上記共通信号の周波数領域表現ｘ'_ｃを更新する処理を行う
   ことを特徴とする圧縮信号復元装置。
3. 請求項２に記載の圧縮信号復元装置において、
   上記残信号基底推定部によって得られた基底行列に基づいて残信号が除去された圧縮信号を上記仮伸長部の入力とする
   ことを特徴とする圧縮信号復元装置。
4. 複数のチャネルｋ（ｋ＝１、２、…、Ｋ；Ｋは２以上の予め定められた正整数）の信号について、各チャネルの信号が全てのチャネルに共通の信号（以下、「共通信号」という）と当該共通信号以外の信号（以下、「残信号」という）との和で表されるとし、
   ｋ＝１、２、…、Ｋについて、チャネルごとに元の信号が圧縮された圧縮信号ｙ_ｋは、元の信号ｓ_ｋの基底行列Ψによる表現ｘ_ｋに対して観測行列Φ_ｋを用いてｙ_ｋ＝Ａ_ｋｘ_ｋ＝Φ_ｋｓ_ｋ、ｓ_ｋ＝Ψｘ_ｋ、Ａ_ｋ＝Φ_ｋΨなる関係があるとして、
   仮伸長部が、チャネルごとに元の信号が圧縮された圧縮信号ｙ_ｋをチャネルごとに独立に元の信号（以下、「仮の復元信号」という）を復元する仮伸長ステップと、
   差異推定部が、各チャネルの上記仮の復元信号ｓ~_ｋから、上記共通信号に対する相対的な振幅の大きさと遅延量を表す振幅係数ａ_ｋｃと群遅延ｂ_ｋｃを求める差異推定ステップと、
   共通信号推定部が、上記圧縮信号ｙ_ｋと、上記振幅係数ａ_ｋｃと、上記群遅延ｂ_ｋｃと（ｋ＝１、２、…、Ｋ）を用いて、Λを回転行列
   

   

   
   、ｊを虚数単位、Ｎを元の信号のベクトルの要素数として、上記共通信号の周波数領域表現
   

   

   
   を求める共通信号推定ステップと、
   残信号推定部が、上記圧縮信号ｙ_ｋと、上記振幅係数ａ_ｋｃと、上記群遅延ｂ_ｋｃと、上記共通信号の周波数領域表現ｘ'_ｃを用いて、上記圧縮信号ｙ_ｋと上記共通信号の周波数領域表現ｘ' _ｃ に基づく値との差分ｙ_ｄｋを得て、さらに当該差分ｙ_ｄｋ について圧縮センシングのアルゴリズムを適用して、時間領域表現であるｓ'_ｄｋを得て、当該ｓ'_ｄｋと上記共通信号の時間領域表現との和によって、元の信号の推定値ｓ'_ｋを得る残信号推定ステップと
   を含む圧縮信号復元方法。
5. 請求項１から請求項３のいずれかに記載の圧縮信号復元装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

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