JP5659727B2 - クレーン振れ角検出方法及び装置、並びにクレーン振れ止め制御方法及び装置 - Google Patents

Description

この発明は、アンローダや天井クレーン、グラブバケット等の運転時の振れを制御するためのクレーン振れ角検出方法及び装置、並びにクレーン振れ止め制御方法及び装置に関する。

従来より、吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンの振れを止めるための振れ止め制御技術として、例えば（１）振れ角情報を用いないオープンループ制御や、（２）振れ角情報を用いるフィードバック制御が行われている。このうち、上記（２）については、例えば（ａ）振れ角の検出器を用いるものと、（ｂ）振れ角の検出器を用いずにオブザーバ理論によって振れ角を推定するものとが知られている。

そして、上記（２）の（ｂ）に該当するものとして、例えば下記特許文献１及び２に開示されているものが知られている。特許文献１に開示のものは、負荷トルクオブザーバにより、振れ角推定演算値及びダンピング補償信号を速度パターン発生回路が創出した速度指令信号から差し引いた値を速度制御装置の入力とすることで、振れ止め制御を行っている。

また、特許文献２に開示のものは、負荷トルクの変動を含まない電動機トルク推定信号と実際の負荷トルクとを比較して、振れ角推定値を演算し、この演算された振れ角推定値と振れ角設定値との偏差に補償を行った速度により、振れ止め制御を行っている。

国際公開第２００７／０９４１９０号公報 特開平８−２９５４８６号公報

しかしながら、上記特許文献１に開示のものでは、制御系にトルク指令フィルタ等を設けることによって、振動を抑える演算をしているため、振れの応答が遅くなるという問題がある。また、制御のセットアップが容易と謳われているが、クレーン等のロープの長さや吊荷荷重などが変化する場合は、ダンピング係数の決定は決して容易ではなくなってしまうという問題もある。

更に、上記特許文献２に開示のものでは、定数の設定により、速度制御のマイナーループが発振する可能性があり、制御定数のセットアップが容易とはいえないという問題がある。そして、これら特許文献１及び２共に、実際にクレーンを動作させる場合に、推定のパラメータを調整するか或いは振れ止めの制御パラメータを調整するかの判断がつかず、振れ止めの最適な設定が不明で、クレーン等の停止時間が長くなってしまうという問題が発生するおそれがある。なお、これら特許文献１及び２に開示されたもので上述した各種パラメータを調整するためには、オペレータの経験や勘に頼らざるを得ないのが現状である。

この発明は、上記事情に鑑みてなされたもので、振れ角検出器及び複雑な演算が不要で安価にクレーンの振れ角を検出することができると共に、各種パラメータ調整が容易で高精度にクレーンの振れ止め制御を行うことができるクレーン振れ角検出方法及び装置、並びにクレーン振れ止め制御方法及び装置を提供することを目的とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するため、この発明に係るクレーン振れ角検出方法は、吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを制御装置に入力し、前記制御装置が、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求め、前記求められたロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを推定することを特徴とする。

前記状態方程式は、例えば下記数１で表され、前記オブザーバは、例えば下記数２で表される。

［数１］

ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
ｘ_１：トロリーの位置、
ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
Ｍ_２：吊荷の質量、
Ｌ：ロープの長さ、
ｘ_２：ロープの振れ位置、
ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
である。

［数２］

ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
Ｃ＝［１，０，０，０］、
Ｋ：ゲインベクトル、Ｋ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔ
である。

また、この発明に係る第１のクレーン振れ止め制御方法は、吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを制御装置に入力し、前記制御装置が、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求め、前記制御装置が、前記走行モータの速度パターン演算式に基づいて速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを出力し、レギュレータにより、前記速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒからトロリーの速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒ、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾及び前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾をそれぞれ所定のフィードバックゲインで調整した値を減算することにより前記トロリーの目標駆動力ｆｃ_ｒを求め、これを前記走行モータのトルク操作指令信号ＴｃｍｄＡに変換すると共に、トルク操作指令信号ＴｃｍｄＡから、前記外乱推定値δ＾から求められたトルク成分をキャンセルして前記走行モータのトルク指令信号Ｔｃｍｄを算出し、この算出されたトルク指令信号Ｔｃｍｄによって前記走行モータをトルク制御することを特徴とする。

前記状態方程式は、例えば下記数３で表され、前記オブザーバは、例えば下記数４で表され、前記レギュレータは、例えば下記数５で表される。

［数３］

ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
ｘ_１：トロリーの位置、
ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
Ｍ_２：吊荷の質量、
Ｌ：ロープの長さ、
ｘ_２：ロープの振れ位置、
ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
である。

［数４］

ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
Ｃ＝［１，０，０，０］、
Ｋ：ゲインベクトル、Ｋ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔ
である。

［数５］

ただし、下記式

は、下記のように表され、
ｄ／ｄｔ・ｘ_Ａ＝Ａ_１ｘ_Ａ＋Ｂ_１ｕ＋Ｄ−Ｅ
＝Ａ_１ｘ_Ａ＋Ｂ_１ｕ
且つ、
ｘ_Ｃ：状態変数、ｘ_Ｃ＝［ｄ／ｄｔ・ｘ_１，ｘ_２＾，ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾］^Ｔ
ｕ_ｒ：目標値、ｕ_ｒ＝［ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒ，０，０］^Ｔ、
Ｆ：フィードバックゲイン、Ｆ＝［ｆ１，ｆ２，ｆ３］
である。

また、この発明に係る第２のクレーン振れ止め制御方法は、吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを制御装置に入力し、前記制御装置が、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾を求め、前記制御装置が、前記トロリーを減速する場合に、前記走行モータの速度パターン演算式により速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを算出すると共に、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを求めると共に、前記ロープの振れ角度θから振れ抑制速度指令信号を算出し、前記速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒと前記振れ抑制速度指令信号とに基づく演算を行って前記走行モータの速度指令信号ｒｐｍｃｍｄを求め、この速度指令信号ｒｐｍｃｍｄに基づき前記走行モータを速度・トルク制御することを特徴とする。

前記状態方程式は、例えば下記数６で表され、前記オブザーバは、例えば下記数７で表される。

［数６］

ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
ｘ_１：トロリーの位置、
ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
Ｍ_２：吊荷の質量、
Ｌ：ロープの長さ、
ｘ_２：ロープの振れ位置、
ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
である。

［数７］

ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
Ｃ＝［１，０，０，０］、
ＫはゲインベクトルＫ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔである。

この発明に係るクレーン振れ角検出装置は、吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを入力し、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求めるオブザーバ演算器と、このオブザーバ演算器により求められた前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを推定する振れ角検出手段とを備えたことを特徴とする。

この発明に係る第１のクレーン振れ止め制御装置は、吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを入力し、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求めるオブザーバ演算器と、前記走行モータの速度パターン演算式に基づく速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを入力し、この速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒからトロリーの速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒ、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾及び前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾をそれぞれ所定のフィードバックゲインで調整した値を減算することにより前記トロリーの目標駆動力ｆｃ_ｒを求め、これを前記走行モータのトルク操作指令信号ＴｃｍｄＡに変換すると共に、トルク操作指令信号ＴｃｍｄＡから、前記外乱推定値δ＾から求められたトルク成分をキャンセルして前記走行モータのトルク指令信号Ｔｃｍｄを算出する演算手段と、を備え、前記算出されたトルク指令信号Ｔｃｍｄによって前記走行モータをトルク制御することを特徴とする。

この発明に係る第２のクレーン振れ止め制御装置は、吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを入力し、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾を求めるオブザーバ演算器と、前記トロリーを減速する場合に、前記走行モータの速度パターン演算式により速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを算出すると共に、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを求めると共に、前記ロープの振れ角度θから振れ抑制速度指令信号を算出する演算手段と、前記速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒと前記振れ抑制速度指令信号とに基づく演算を行って前記走行モータの速度指令信号ｒｐｍｃｍｄを求め、この速度指令信号ｒｐｍｃｍｄに基づき前記走行モータを速度・トルク制御する制御手段とを備えたことを特徴とする。

本発明によれば、振れ角検出器及び複雑な演算が不要で安価にクレーンの振れ角を検出することができると共に、各種パラメータ調整が容易で高精度にクレーンの振れ止め制御を行うことができる。

本発明の一実施形態に係るクレーン振れ角検出方法におけるクレーンのトロリー・振れ角のモデルを示す図である。 本発明の一実施形態に係るクレーン振れ角検出装置によるシミュレーション結果を示す図である。 本発明の第１の実施形態に係るクレーン振れ角検出装置及びクレーン振れ止め制御装置を備えたクレーン制御装置のブロック図である。 同クレーン制御装置の振れ止め制御部を示すブロック図である。 同振れ止め制御部におけるオブザーバ演算器を示す図である。 同クレーン制御装置によるシミュレーション結果を示す図である。 本発明の第２の実施形態に係るクレーン振れ角検出装置及びクレーン振れ止め制御装置を備えたクレーン制御装置のブロック図である。 同クレーン制御装置の詳細ブロック図である。 同クレーン制御装置の振れ抑制速度演算処理を示すフローチャートである。 同クレーン制御装置によるシミュレーション結果を示す図である。

以下に、添付の図面を参照して、この発明に係るクレーン振れ角検出方法及び装置、並びにクレーン振れ止め制御方法及び装置の実施の形態を詳細に説明する。

［クレーン振れ角検出方法］
まず、クレーン振れ角検出方法について説明する。
図１は、クレーンのトロリー・振れ角のモデルを示す図である。

図１に示すように、一般的なクレーンのトロリー・振れ角のモデルは、例えばトロリー１の質量をＭ_１、トロリー１の位置をｘ_１、長さＬのロープ２によりトロリー１に吊り上げられた吊荷３の質量をＭ_２、ロープ２の振れ角をθ、ロープ２の振れ位置（吊荷３の位置）をｘ_２及びトロリー１の駆動力をｆｃとすると、図１（ａ）及び（ｂ）に示すように表される。

トロリー系及び吊荷系の運動方程式は、それぞれ下記数８のように表すことができる。
［数８］

ここで、δは摩擦抵抗を含む外乱である。振れ角θが小さいとして、θ＝ｘ_２／Ｌとおき、トロリー１の駆動力ｆｃを制御入力ｕとすると、このトロリー１及びロープ２の振れに関する簡易モデルの状態方程式は、下記数９のように示すことができる。

［数９］

ここで外乱δを定数と仮定し、これを状態変数とすれば、上記数９を下記数１０に置き換えることができる。

［数１０］

一方、測定出力であるトロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１は、下記数１１のように表すことができる。

［数１１］

従って、オブザーバである推定値ｘ_Ｂ＾（ｔ）は、下記数１２のような状態方程式で表すことができる。

［数１２］

ただし、ＫはゲインベクトルＫ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔである。そして、ｘ_Ｂ＾（ｔ）→ｘ_Ｂ（ｔ）の誤差ベクトルを、ｅ（ｔ）＝ｘ_Ｂ＾（ｔ）−ｘ_Ｂ（ｔ）とおくと、上記数１０、数１１及び数１２より、下記数１３が求められる。

［数１３］

その解は、下記数１４となる。

［数１４］

従って、Ａ_２−ＫＣが安定行列にできれば、推定値ｘ_Ｂ＾（ｔ）→ｘ_Ｂ（ｔ）となるので、推定値ｘ_Ｂ＾（ｔ）はｘ_Ｂ（ｔ）の漸近的再現値となる。ここで、Ａ_２−ＫＣの固有値はオブザーバの極であるので、複素左半面のより左側に設定できれば、より速くｘ_Ｂ＾（ｔ）→ｘ_Ｂ（ｔ）とすることができる。また、オブザーバの極を重根αとすれば、上記ゲインベクトルＫを下記数１５で演算することができる。

［数１５］

従って、ゲインベクトルＫの調整を、オブザーバの極のみの設定で行うことができるので、容易に各種パラメータの調整を行うことができるようになる。なお、トロリー１の質量Ｍ_１と重力加速度ｇ（９．８０６６５ｍ／ｓ^２）は既知の値であるが、吊荷３の質量Ｍ_２とロープ２の長さＬは変動する値である。ただし、これら吊荷３の質量Ｍ_２とロープ２の長さＬ共にシステム上は安価に測定可能であるため、これらの測定値を用いれば、モデルと実機との誤差による推定誤差はほとんど存在しなくなるといえる。

そして、上記数１２のオブザーバの微分方程式を解くことにより、ロープ２の振れ速度ｄ／ｄｔ・ｘ_２、ロープ２の振れ位置ｘ_２、及び外乱δのそれぞれを推定したロープ２の振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、ロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾、及び外乱推定値δ＾を得ることができる。こうして得られたロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾により、ロープ２の振れ角度θを、θ＝ｘ_２＾／Ｌにより推定することができる。

このように、クレーン振れ角検出装置は、オブザーバによって摩擦係数や振れの各種成分を含む外乱δを定数として外乱推定値δ＾を得ると共にロープ２の振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾や振れ位置推定値ｘ_２＾を得る。これにより、振れ角検出器や複雑な演算、或いはゲイン調整などを不要としながらも、ロープ２の振れ角度θを推定することで、安価に吊荷３の振れ角度を検出することができる。

なお、クレーン振れ角検出装置によるシミュレーション結果は、図２に示すようなものとなった。このシミュレーション結果によれば、ロープ２の実際の振れ速度（実振れ速度）及び振れ位置（実振れ位置）と、推定された振れ速度（推定振れ速度）及び振れ位置（推定振れ位置）とが、それぞれほぼ一致していることが判明した。従って、各種パラメータ調整が容易であると共に高精度にクレーンの振れ角を検出できるといえる。

［第１の実施形態］
図３は、本発明の第１の実施形態に係るクレーン振れ角検出装置及びクレーン振れ止め制御装置を備えたクレーン制御装置のブロック図である。この実施形態は、インバータ２４をトルク制御する制御装置の例を示している。
図３に示すように、クレーン振れ止め制御装置の制御対象である負荷（トロリー１、ロープ２及び吊荷３）は、減速機４を介してトロリー１を駆動する走行モータ５の動作によって制御される。走行モータ５には、トロリー１の速度ｙ＝ｄ／ｄｔ・ｘ_１を検出し出力するエンコーダ６が備えられている。制御装置２０は、コンピュータ及び必要な記憶装置、周辺機器等により構成され、速度パターン演算部２１及び振れ止め制御部２２を備えている。速度パターン演算部２１は、内部に走行モータ５の回転数を決定する速度パターン演算式を記憶し、この速度パターン演算式により速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを算出し出力する。振れ止め制御部２２は、速度パターン演算部２１から出力される速度操作指令信号と、インバータ２４からフィードバックされる速度及びトルク指令値（制御入力ｕ）の情報に基づいて、振れ止め制御を含むトルク指令信号Ｔｃｍｄを出力する。インバータ２４は、トルク指令信号Ｔｃｍｄを入力し、モータ５に制御入力ｕ（トルク指令値）を出力する。

図４は、振れ止め制御部２２の詳細ブロック図である。図５は、この振れ止め制御部２２におけるオブザーバ演算器１１を示す図である。図６は、本実施形態のクレーン制御装置によるシミュレーション結果を示す図である。なお、以降において、既に説明した部分と重複する箇所には同一の符号を附して説明を省略することがある。

図４に示すように、振れ止め制御部２２は、オブザーバ演算器１１を備える。速度パターン演算部２１により算出された走行モータ５の目標回転数を示す速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒは、回転数／速度変換器２６によってトロリー１の目標速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒに変換される。

一方、制御対象である走行モータ５に入力される制御入力ｕは、走行モータ５のトルクＴを示し、インバータ２４に戻されると共に振れ止め制御部２２のオブザーバ演算器１１に入力される。また、エンコーダ６から出力される測定出力ｙであるトロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１もオブザーバ演算器１１に入力される。

クレーンの振れ止めにおいては、例えばレギュレータ理論により閉ループシステムの固有値を複素左半面の左側に設定できれば安定化することができる。また、図４に示すようなサーボシステムの設計を行うことで、目標値追従制御を行うことが可能となる。レギュレータ理論の場合は、上記数９の状態方程式のＤの項が邪魔になるため、制御入力ｕに外乱δをキャンセルする外乱キャンセラのＥの項を追加することによりＤ項を削除する。これにより、上記数９を下記数１６に置き換えることができる。

［数１６］

外乱キャンセラのＥの項には、オブザーバ演算器１１により推定された外乱推定値δ＾を用いることができる。この結果、上記数１６は下記数１７とすることができる。

［数１７］

従って、上記数１７を用いてトロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１、ロープ２の振れ位置ｘ_２、ロープ２の振れ速度ｄ／ｄｔ・ｘ_２をフィードバックすれば、閉ループシステムの固有値を任意な複素左半面の左側に設置することができ、安定化させることが可能となる。このシステムにおいて、ロープ２の振れ位置ｘ_２及び振れ速度ｄ／ｄｔ・ｘ_２は測定不可能な値であるため、オブザーバ演算器１１により推定したロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾及びロープ２の振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾を利用する。

上記外乱キャンセラによって状態方程式を上記数１７とすることができるので、サーボシステムを図４に示すように構成することができる。
ここで、目標値をｕ_ｒ＝［ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒ，０，０］^Ｔとし、測定出力をｙ（ｔ）＝［１，０，０］ｘ_Ｃとし、状態変数をｘ_Ｃ＝［ｄ／ｄｔ・ｘ_１，ｘ_２＾，ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾］^Ｔとする。そして、測定出力と目標制御入力との偏差ｅ（ｔ）＝ｕ_ｒ（ｔ）−ｙ（ｔ）を制御信号とし、フィードバックゲインをＦ＝［ｆ１，ｆ２，ｆ３］とすれば、上記数９は下記数１８となる。

［数１８］

また、制御入力ｕ（ｔ）は、下記数１９となる。

［数１９］

従って、上記数１８及び数１９より、レギュレータは下記数２０となり、

［数２０］

その解は、下記数２１となる。

［数２１］

従って、Ａ_１−Ｂ_１Ｆを安定行列にできれば、偏差ｅ（ｔ）＝ｕ_ｒ（ｔ）−ｙ（ｔ）となるので、偏差ｅ（ｔ）→０に制御可能となり、目標値追従制御を行うことができる。具体的には、フィードバックゲインＦを調整することにより、Ａ_１−Ｂ_１Ｆを安定化することができる。

なお、最適なフィードバック係数（ｆ１，ｆ２，ｆ３）を求めることは、クレーン振れ止め制御において重要な課題である。一般的に、フィードバック係数はオペレータの経験や現地による調整により決定されているが、本発明に係るクレーン振れ止め制御装置では、上記数２０で示すレギュレータの極を重根にして極βとすれば、下記数２２により演算でフィードバック係数を求めることが可能となる。

［数２２］

以上の理論を図４の振れ止め制御部２２に適用すると、次のような構成が実現される。すなわち、測定出力ｙからのトロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１は、オブザーバ演算器１１に入力される他、調節器３２に入力される。トロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１は、調節器３２にて所定のフィードバックゲインｆ１を用いて調節された上で、加算器２７において回転数／速度変換器２６からのトロリー１の目標速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒから減算される。この値は、次段の加算器２８に出力される。

また、オブザーバ演算器１１からのロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾は、調節器３３に入力され、所定のフィードバックゲインｆ２を用いて調節された上で、加算器２８において上記値から減算される。この値は、次段の加算器２９に出力される。更に、オブザーバ演算器１１からのロープ２の振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾は、調節器３４に入力され、所定のフィードバックゲインｆ３を用いて調節された上で、加算器２９において上記値から減算される。

これにより、加算器２９からはトロリー１の目標駆動力ｆｃ_ｒが出力され、この目標駆動力ｆｃ_ｒは、力／トルク変換器３０によって走行モータ５のトルク操作指令信号ＴｃｍｄＡに変換される。なお、オブザーバ演算器１１からの外乱推定値δ＾は、外乱キャンセラ３１においてキャンセルされる。すなわち、外乱推定値δ＾は、調整器３１ａにて係数１／Ｍ_１を乗算された上で、力／トルク変換器３５にてトルクに変換される。

こうして変換されたトルクを、加算器３６においてトルク操作指令信号ＴｃｍｄＡから減算することにより外乱をキャンセルして、インバータ２４へのトルク指令信号Ｔｃｍｄが得られる。そして、インバータ２４は、このトルク指令信号Ｔｃｍｄに基づき走行モータ５をトルク指令値（制御入力ｕ）によりトルク制御するようになっている。

ここで、上述したように、トロリー１の質量Ｍ_１と重力加速度ｇは既知の値であるが、負荷３の質量Ｍ_２とロープ２の長さＬは変動する値であるので、上述したオブザーバと同様に測定可能とすれば、目標を安定化する極を得ることが可能となる。

次に、図５を参照して、オブザーバ演算器１１の具体的構成について説明する。このオブザーバ演算器１１は、上述した数１２の演算を行って推定値ｘ_Ｂ＾を求める回路である。
図５に示すように、オブザーバ演算器１１に入力された制御入力ｕは、演算器４１にて係数１／Ｍ_１を乗算されて制御入力成分ｕ／Ｍ_１とされる。加算器５１は、検出されたトロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１から積分器４２から出力されたトロリー１の推定速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１＾を減算する。この減算値は、調節器６１，６２，６３，６４においてゲインベクトルＫの各係数ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４によってそれぞれゲイン調整される。

調整器６１で係数ｋ１によってゲイン調整された出力は、加算器５２で演算器４１からの制御入力成分ｕ／Ｍ_１を加算され、加算器５３で演算器４４からの外乱推定値成分δ＾／Ｍ_１を減算され、加算器５４で演算器４３からの振れ速度推定値成分Ｍ_２ｇ／Ｍ_１Ｌ・ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾を減算された後、積分器４２により積分される。これにより、積分器４２でトロリー速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_１＾が求められ、その結果は、加算器５１にフィードバックされる。

調節器６２で係数ｋ２によってゲイン調整された出力は、加算器５８で積分器４５から出力されたロープ２の振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾を加算された後、積分器４７で積分される。これにより、積分器４７でロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾が求められ、その結果が外部に出力されると共に加算器５８にフィードバックされる。

調節器６３で係数ｋ３によってゲイン調整された出力は、加算器５５で演算器４１からの制御入力成分ｕ／Ｍ_１を加算され、加算器５６で演算器４４からの外乱推定値成分δ＾／Ｍ_１を減算され、加算器５７で演算器４６からの振れ速度推定値成分（Ｍ_１＋Ｍ_２）ｇ／Ｍ_１Ｌ・ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾を減算された後、積分器４５により積分される。これにより、積分器４５でロープ２の振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾が求められ、その結果は、外部に出力されると共に、加算器５８にフィードバックされる。

また、調節器６４で係数ｋ４によってゲイン調整された出力は、積分器４８により積分される。これにより、積分器４８で外乱推定値δ＾が求められ、求められた外乱推定値δ＾は、外部に出力されると共に、演算器４４にフィードバックされる。

このように、第１の実施形態に係るクレーン制御装置における振れ止め制御装置は、オブザーバによって外乱推定値δ＾、ロープ２の振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、及び振れ位置推定値ｘ_２＾を得ると共に、レギュレータによって目標の安定化を図ることができる。このため、振れ角検出器や複雑な演算、或いはゲイン調整などを不要としながらも、ロープ２の振れ角度θを推定して検出し、これに基づきトロリー１を駆動する走行モータ５の動作をトルク制御により制御することで、クレーンの振れを止めることができる。

なお、第１の実施形態に係るクレーン制御装置によるシミュレーション結果は、図６に示すようなものとなった。このシミュレーション結果によれば、ロープ２の実際の振れ速度（実振れ速度）及び振れ位置（実振れ位置）と、推定された振れ速度（推定振れ速度）及び振れ位置（推定振れ位置）とが、それぞれほぼ一致していることが判明した。また、トロリー１の動作開始時及び動作停止時にロープ２の振れが収束していることが判明した。従って、各種パラメータ調整が容易であると共に高精度にクレーンの振れを止めることができるといえる。

［第２の実施形態］
図７は、本発明の第２の実施形態に係るクレーン振れ角検出装置及びクレーン振れ止め制御装置を備えたクレーン制御装置のブロック図である。図８は、この制御装置の詳細ブロック図である。図９は、この制御装置の振れ抑制速度演算処理を示すフローチャートである。図１０は、このクレーン制御装置によるシミュレーション結果を示す図である。

上述した第１の実施形態では、トルク指令信号をインバータに与えるトルク制御方式であったが、この第２の実施形態では、インバータに速度指令信号を与え、インバータ内部で速度・トルク制御を行うクレーン制御装置におけるクレーン振れ止め制御装置の例を示している。この方式は、既設のシステムに組み込むのが容易な構成となっている。すなわち、一般的なクレーンの速度制御は、制御装置から速度指令信号をインバータ等に出力し、インバータ内部で速度・トルク制御を行う構成となっている。

従って、第２の実施形態のクレーン振れ止め制御装置による制御方式は、一般的なクレーン振れ止め制御装置に組み込んでクレーンの振れを制御するために、既存の制御装置の大幅な変更が不要であるという利点がある。

図７に示すように、インバータ２４’により速度・トルク制御で走行モータ５を駆動する場合、制御装置２０’は、速度パターン演算部２１により速度操作指令信号を算出すると共に、振れ止め制御部２２’において上述した振れ角度θを利用して振れ抑制速度指令信号を算出する。そして、走行モータ５の速度指令信号を求め、これをインバータ２４’に出力する。

ただし、ロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾等の演算結果を速度指令信号に加える場合は、トロリー１の速度制御に影響を与えるため、各種パラメータの設定が非常に困難なものとなる。そこで、第２のクレーン振れ止め制御装置では、トロリー１を減速する場合のみに振れ止め制御を行うこととした。

図７に示したクレーン振れ止め制御装置の制御回路における制御構成の詳細は、例えば図８に示すようになる。速度パターン演算部２１により算出された速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒは、加算器７１に入力されると共に振れ抑制速度演算器７２に入力される。

一方、制御対象である走行モータ５に入力される制御入力ｕは、走行モータ５のトルクＴを示し、インバータ２４’に戻されると共に振れ止め制御部２２’のオブザーバ演算器１１に入力される。また、エンコーダ６から出力される測定出力ｙとしてのトロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１は、インバータ２４’に戻されると共に、オブザーバ演算器１１及び振れ抑制速度演算器７２にそれぞれ入力される。

更に、オブザーバ演算器１１からのロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾は、振れ抑制速度演算器７２に入力される。振れ抑制速度演算器７２は、これらの入力に基づいて、振れ抑制速度指令信号を演算し、加算器７１に出力する。加算器７１においては、速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒからこの振れ抑制速度指令信号を減算することによって、速度指令信号ｒｐｍｃｍｄが算出される。インバータ２４’は、この速度指令信号ｒｐｍｃｍｄに基づき走行モータ５の速度・トルク制御を行う。

従って、第２のクレーン振れ止め制御装置では、オブザーバ演算器１１により得られたロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾（振れ角度θ）のみを用いてクレーンの振れ止め制御を行うことができる。なお、速度指令信号ｒｐｍｃｍｄの演算処理は、例えば次に示すようなものとなる。

すなわち、図９に示すように、振れ抑制速度演算器７２は、速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒとトロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１とに基づいて、トロリー１の減速を示す減速領域であるか否かを判断する（ステップＳ１００）。減速領域であると判断した場合（ステップＳ１００のＹｅｓ）は、トロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１と振れ角度θとの符号が一致するか否かを判断する（ステップＳ１０２）。

これらの符号が一致しないと判断した場合（ステップＳ１０２のＮｏ）は、ロープ２の振れ位置推定値ｘ_２＾と図示しない補償係数とを用いて、振れ抑制速度を演算により求める（ステップＳ１０４）。そして、振れの発散を防止するために、振れ抑制速度にリミット処理を施し（ステップＳ１０６）、振れ抑制速度指令信号を算出し、算出した振れ抑制速度指令信号出力して（ステップＳ１０８）、上記ステップＳ１００に移行し以降の処理を繰り返す。

なお、補償係数は、求められる振れ抑制速度が、トロリー１の速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１の１ノッチ程度の速度となるように調整されると良い。例えば、実際の熟練のクレーンオペレータは、ロープ２の振れ角度θによって振れ方向にトロリー１を移動させてロープ２の振れを止めるといういわゆる追いノッチ操作を行っている。

加算器７１においては、速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒから振れ抑制速度演算器７２より出力された振れ抑制速度指令信号を減算することによって、速度指令信号ｒｐｍｃｍｄが算出される。なお、上記ステップＳ１００にて減速領域でないと判断した場合（ステップＳ１００のＮｏ）、及び上記ステップＳ１０２にて符号が一致すると判断した場合（ステップＳ１０２のＹｅｓ）は、振れ抑制速度を０として（ステップＳ１１０）、上記ステップＳ１０８に移行する。

このように得られた速度指令信号ｒｐｍｃｍｄを用いたクレーンの振れ止め制御は、トロリー１が、例えば図１（ｂ）に示す状態においてその速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１と振れ角度θとの符号が一致しない場合に行われる。これにより、トロリー１の減速時に、走行モータ５の動作を速度制御により制御して、クレーンの振れを容易に止めることが可能となる。

なお、第２のクレーン振れ止め制御装置によるシミュレーション結果は、図１０に示すようなものとなった。このシミュレーション結果によれば、ロープ２の実際の振れ速度（実振れ速度）及び振れ位置（実振れ位置）と、推定された振れ速度（推定振れ速度）及び振れ位置（推定振れ位置）とが、それぞれほぼ一致していることが判明した。また、トロリー１の動作停止時にロープ２の振れが収束していることが判明した。従って、簡単且つ安価な構成で既設のシステムに適用できて高精度且つ確実にクレーンの振れを止めることができる。

１ トロリー
２ ロープ
３ 吊荷
４ 減速機
５ 走行モータ
６ エンコーダ
１１ オブザーバ演算器
１２ 検出部
２１ 速度パターン演算部
２２ 振れ止め制御部
２４ インバータ
２６ 回転数／速度変換器
２７〜２９ 加算器
３０ 力／トルク変換器
３１ 外乱キャンセラ
３２〜３４ 調節器
３５ 力／トルク変換器
３６ 加算器

Claims (7)

1. 吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを制御装置に入力し、
   前記制御装置が、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた下記数１で表される状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められた下記数２で表されるオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求め、前記求められたロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを推定する
   ことを特徴とするクレーン振れ角検出方法。
   ［数１］
   
   ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
   ｘ_１：トロリーの位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
   Ｍ_２：吊荷の質量、
   Ｌ：ロープの長さ、
   ｘ_２：ロープの振れ位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
   ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
   δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
   である。
   ［数２］
   
   ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
   ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
   Ｃ＝［１，０，０，０］、
   Ｋ：ゲインベクトル、Ｋ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔ
   である。
2. 吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを制御装置に入力し、
   前記制御装置が、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求め、
   前記制御装置が、前記走行モータの速度パターン演算式に基づいて速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを出力し、レギュレータにより、前記速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒからトロリーの速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒ、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾及び前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾をそれぞれ所定のフィードバックゲインで調整した値を減算することにより前記トロリーの目標駆動力ｆｃ_ｒを求め、これを前記走行モータのトルク操作指令信号ＴｃｍｄＡに変換すると共に、トルク操作指令信号ＴｃｍｄＡから、前記外乱推定値δ＾から求められたトルク成分をキャンセルして前記走行モータのトルク指令信号Ｔｃｍｄを算出し、
   この算出されたトルク指令信号Ｔｃｍｄによって前記走行モータをトルク制御する
   ことを特徴とするクレーン振れ止め制御方法。
3. 前記状態方程式が、下記数３で表され、前記オブザーバが、下記数４で表され、前記レギュレータが、下記数５で表されることを特徴とする請求項２記載のクレーン振れ止め制御方法。
   ［数３］
   
   ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
   ｘ_１：トロリーの位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
   Ｍ_２：吊荷の質量、
   Ｌ：ロープの長さ、
   ｘ_２：ロープの振れ位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
   ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
   δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
   である。
   ［数４］
   
   ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
   ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
   Ｃ＝［１，０，０，０］、
   Ｋ：ゲインベクトル、Ｋ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔ
   である。
   ［数５］
   
   ただし、下記式
   
   は、下記のように表され、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_Ａ＝Ａ_１ｘ_Ａ＋Ｂ_１ｕ＋Ｄ−Ｅ
   ＝Ａ_１ｘ_Ａ＋Ｂ_１ｕ
   且つ、
   ｘ_Ｃ：状態変数、ｘ_Ｃ＝［ｄ／ｄｔ・ｘ_１，ｘ_２＾，ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾］^Ｔ
   ｕ_ｒ：目標値、ｕ_ｒ＝［ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒ，０，０］^Ｔ、
   Ｆ：フィードバックゲイン、Ｆ＝［ｆ１，ｆ２，ｆ３］
   である。
4. 吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを制御装置に入力し、
   前記制御装置が、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた下記数６で表される状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められた下記数７で表されるオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾を求め、
   前記制御装置が、前記トロリーを減速する場合に、前記走行モータの速度パターン演算式により速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを算出すると共に、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを求めると共に、前記ロープの振れ角度θから振れ抑制速度指令信号を算出し、
   前記速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒと前記振れ抑制速度指令信号とに基づく演算を行って前記走行モータの速度指令信号ｒｐｍｃｍｄを求め、この速度指令信号ｒｐｍｃｍｄに基づき前記走行モータを速度・トルク制御する
   ことを特徴とするクレーン振れ止め制御方法。
   ［数６］
   
   ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
   ｘ_１：トロリーの位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
   Ｍ_２：吊荷の質量、
   Ｌ：ロープの長さ、
   ｘ_２：ロープの振れ位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
   ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
   δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
   である。
   ［数７］
   
   ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
   ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
   Ｃ＝［１，０，０，０］、
   ＫはゲインベクトルＫ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔである。
5. 吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを入力し、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた下記数１で表される状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められた下記数２で表されるオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求めるオブザーバ演算器と、
   このオブザーバ演算器により求められた前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを推定する振れ角検出手段と
   を備える
   ことを特徴とするクレーン振れ角検出装置。
   ［数１］
   
   ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
   ｘ_１：トロリーの位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
   Ｍ_２：吊荷の質量、
   Ｌ：ロープの長さ、
   ｘ_２：ロープの振れ位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
   ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
   δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
   である。
   ［数２］
   
   ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
   ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
   Ｃ＝［１，０，０，０］、
   Ｋ：ゲインベクトル、Ｋ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔ
   である。
6. 吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを入力し、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められたオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾及び外乱推定値δ＾を求めるオブザーバ演算器と、
   前記走行モータの速度パターン演算式に基づく速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを入力し、この速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒからトロリーの速度ｄ／ｄｔ・ｘ_１ｒ、前記ロープの振れ速度推定値ｄ／ｄｔ・ｘ_２＾及び前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾をそれぞれ所定のフィードバックゲインで調整した値を減算することにより前記トロリーの目標駆動力ｆｃ_ｒを求め、これを前記走行モータのトルク操作指令信号ＴｃｍｄＡに変換すると共に、トルク操作指令信号ＴｃｍｄＡから、前記外乱推定値δ＾から求められたトルク成分をキャンセルして前記走行モータのトルク指令信号Ｔｃｍｄを算出する演算手段と、
   を備え、
   前記算出されたトルク指令信号Ｔｃｍｄによって前記走行モータをトルク制御することを特徴とするクレーン振れ止め制御装置。
7. 吊荷をロープで吊り上げて搬送するクレーンのトロリーを駆動する走行モータの駆動力ｆｃを入力し、トロリー系及び吊荷系の運動方程式から求められた下記数６で表される状態方程式であって、トロリー系に作用する摩擦係数等の外乱成分δを定数で且つ状態変数とする状態方程式から求められた下記数７で表されるオブザーバに基づいて、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾を求めるオブザーバ演算器と、
   前記トロリーを減速する場合に、前記走行モータの速度パターン演算式により速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒを算出すると共に、前記ロープの振れ位置推定値ｘ_２＾から前記ロープの振れ角度θを求めると共に、前記ロープの振れ角度θから振れ抑制速度指令信号を算出する演算手段と、
   前記速度操作指令信号ｒｐｍ_ｒと前記振れ抑制速度指令信号とに基づく演算を行って前記走行モータの速度指令信号ｒｐｍｃｍｄを求め、この速度指令信号ｒｐｍｃｍｄに基づき前記走行モータを速度・トルク制御する制御手段と
   を備える
   ことを特徴とするクレーン振れ止め制御装置。
   ［数６］
   
   ただし、Ｍ_１：トロリーの質量、
   ｘ_１：トロリーの位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_１：トロリーの速度、
   Ｍ_２：吊荷の質量、
   Ｌ：ロープの長さ、
   ｘ_２：ロープの振れ位置、
   ｄ／ｄｔ・ｘ_２：ロープの振れ速度、
   ｕ：制御入力＝ｆｃ：トロリーの駆動力、
   δ：外乱（摩擦抵抗を含む）
   である。
   ［数７］
   
   ただし、 ｘ_Ｂ＾（ｔ）：状態変数の推定値、
   ｙ（ｔ）：制御出力でｙ（ｔ）＝Ｃｘ_Ｂ（ｔ）、
   Ｃ＝［１，０，０，０］、
   ＫはゲインベクトルＫ＝［ｋ１，ｋ２，ｋ３，ｋ４］^Ｔである。