JP5031043B2 - 広域監視用に限られた数のセンサを衡平に配置する方法 - Google Patents

Description

本発明は、すべての位置に適切な防御を提供するために、選択された位置に限られた数のセンサの最適配置に関する。
（関連する出願の相互参照）
本出願は、２００７年２月１６日に出願された米国特許仮出願番号第６０／９０１，９０９号の利益を主張し、その内容は全体として参照することによりここで援用される。

広域を効果的に監視するセンサの使用がますます一般的になっている。爆発物、生物学的作用物質、または化学物質のような有害な物体が配置される可能性のある指定エリアを考えてみよう。固定された数のセンサが該エリア全域にわたって設置され、該センサの各々はエリア内の１または２以上の位置についての観察を提供する。これらのセンサの観察は、物体が１または２以上の観察位置に実際に存在するかどうかを評価するために、データ融合プロセスを通して結合される。配置できるセンサの数が限定されているので、これらのセンサの最適配置を決定することは非常に重要である。いくつかの応用例では、多くのセンサを設置することができるが、これらのセンサの中で限定された数のセンサのみを同時に起動することができる。

センサは侵入検出にも用いられる。侵入に対する防御は、国と国との間の境界のような広いエリア、石油およびガスのパイプライン、および原子炉、コンビナート、軍事基地等のような戦略施設を守るために必要である。再度言うことになるが、センサを最適に配置することは、異なる方向から防護エリアに近づく恐れのある侵入者に対する適切な防御を行うのに極めて重要である。

関連するトピックでは、緊急処置室、消防署、および警察署のような緊急施設の最適配置に焦点を当てる。エリアを、各ノードが１つのエリア（例えば１００メートル＊１００メートルの大きさの正方形）を表すネットワークによって表すことは好都合である。ノード対を相互接続するリンクは、あるノードから他のノードへの可能な動きを表し、リンクメトリックが終端ノード間の距離（または移動時間）を表す。典型的な問題は、任意のノードから最も近い施設までの距離（または移動時間）が最小となるように、限られた数の緊急施設をこれらのノードの部分集合に配置することである。これは文献でよく知られている問題であり、ネットワークミニマックス配置問題または頂点中心問題（ｖｅｒｔｅｘ ｃｅｎｔｅｒ ｐｒｏｂｌｅｍ）と呼ばれている。集合被覆問題として文献で知られている関連する問題は、各ノードが最も近い施設から所定距離（または移動時間）内であるように、ノードの部分集合に設置する施設のコストを最小限にする。非特許文献１は、緊急応答性モデルの最先端技術を提起している（非特許文献１参照）。

最悪ではない位置に最良の可能なサービスを提供する多くの解があってもよいので、ネットワークミニマックス配置問題下では緊急施設の最適配置は一意ではない。したがって、すべてのミニマックス解の中からのどの解を選択すべきかを見つけることは興味をそそるであろう。非特許文献２は、配置問題に対する辞書的ミニマックス解を見つけるアルゴリズムを提起している。ミニマックスネットワーク配置問題でのように、任意の特定の位置は、単一の施設によって具体的にはその位置に最も近い施設によってサービスが提供される。ある位置（最も近い施設からの距離または移動時間の観点から）に提供されるサービスを最悪から最良まで順序化するという意味で、辞書的ミニマックス解は最良のミニマックス解であり、結果として生じた順序化されたベクトルは、辞書的に最小となる、可能な順序化されたベクトルである。そのような解は衡平な解と呼ばれる。

非特許文献３は、各ノードが所定数のセンサから所定距離（または移動時間）内にあるように、ノードの部分集合にセンサを設置するコストを最小限にする集合被覆問題として、センサ配置問題を定式化している（非特許文献３参照）。

本発明は、すべての位置の衡平なカバレッジを達成するために、辞書的マクシミン目標を用いて限られた数のセンサを配置することに焦点を当てている。任意の特定の位置に提供されるカバレッジレベル（ｃｏｖｅｒａｇｅ ｌｅｖｅｌ）は、位置を監視する複数のセンサの位置および該センサの特性に依存する。これは、Ｗ．Ｏｇｒｙｃｚａｋによる上の論文の重要な拡張であるが、該論文で用いられている方法は、本発明によって扱われる問題の解決には拡張することができない。非特許文献４は、種々の衡平な資源配分モデルおよび解法の説明を提供している（非特許文献４参照）、しかし、これらのどれも本発明に適用することができない。

Ｌ．Ｖ．Ｇｒｅｅｎ ａｎｄ Ｐ．Ｊ．Ｋｏｌｅｓａｒ，"Ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ Ｅｍｅｒｇｅｎｃｙ Ｒｅｓｐｏｎｓｉｖｅｎｅｓｓ ｗｉｔｈ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ"，Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ５０，１００１−１０１４，２００４ Ｗ．Ｏｇｒｙｃｚａｋ，"Ｏｎ ｔｈｅ Ｌｅｘｉｃｏｇｒａｐｈｉｃ Ｍｉｎｉｍａｘ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｌｏｃａｔｉｏｎ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ"，Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１００，５６６−５８５， １９９７ Ｋ．Ｃｈａｋｒａｂａｒｔｙ，Ｓ．Ｓ．Ｉｙｅｎｇａｒ，Ｈ．Ｑｉ， ａｎｄ Ｅ．Ｃｈｏ，"Ｇｒｉｄ Ｃｏｖｅｒａｇｅ ｆｏｒ Ｓｕｒｖｅｉｌｌａｎｃｅ ａｎｄ Ｔａｒｇｅｔ Ｌｏｃａｔｉｏｎ ｉｎ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ Ｓｅｎｓｏｒ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ，"ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ，５１，１４４８−１４５３，２００２ Ｈ．Ｌｕｓｓ，"Ｏｎ Ｅｑｕｉｔａｂｌｅ Ｒｅｓｏｕｒｃｅ Ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ：Ａ Ｌｅｘｉｃｏｇｒａｐｈｉｃ Ｍｉｎｉｍａｘ Ａｐｐｒｏａｃｈ"，Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，４７， ３６１−３７８，１９９

本発明は、監視される必要のあるすべての位置に対する衡平なカバレッジレベルを達成するために、選択された位置に限られた数のセンサを配置することに焦点を当てている。

監視エリアは、ノードが位置を表し、相互接続するリンクが監視関係を示す、ネットワークとして表される。ノードｊのセンサを考える。ノードｊを監視することに加えて、ノードｊからノードｉへのリンクは、ノードｊのセンサはノードｉも監視することができることを意味している。任意の特定の位置に提供されるカバレッジレベルは、その位置を監視するすべてのセンサおよび該センサの特性に依存する。センサの特性は、目標がその位置に存在する場合に、指定された位置に該目標を検出する確率と、目標が該位置に存在しない場合に、同一位置に誤って該目標を検出する確率と、を含んでいる。これらの確率は各（ｉ，ｊ）ノードペアに対して異なっていてもよい。

センサの位置が指定されているものと仮定する。これらの位置が与えられると、各位置に提供されるカバレッジレベルが算出される。ベクトルの成分（すなわちカバレッジレベル）が非減少順にソートされる、位置の各々に提供されるカバレッジレベルのベクトルを考える。すべての位置に対する衡平なカバレッジレベルは、辞書的に最大となるそのようなカバレッジレベルの順序化されたベクトルとして規定される。本発明は、すべての位置に対する衡平なカバレッジレベルが達成されるように、限られた数のセンサの最適配置を決定する。本発明は、解がすべての位置に対する衡平なカバレッジレベルを提供する辞書的マクシミン最適化モデルとして、衡平なセンサ配置モデルを生成する。最適化解法に関する現在の最先端技術では、前記辞書的マクシミン最適化モデルを直接解くことができない。本発明は、解がすべての位置に対して衡平な、またはほぼ衡平なカバレッジレベルも提供する非線形整数最適化モデルを生成する。該非線形整数最適化モデルの解は、ダイナミックプログラミング手法、および焼きなまし法（ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ａｎｎｅａｌｉｎｇ）およびタブー探索（ｔａｂｕ ｓｅａｒｃｈ）を含む種々のメタヒューリスティク手法のような既知の最適化法の適応を通して得ることができる。センサ配置モデルは、静的な（１回限りの）状況または動的な（多期間の）状況で用いられるシステムの一部になりえる。動的な状況では、センサの配置は敵対者が該配置を学習することを防ぐために定期的に変更される。

以下の説明が添付の図面と共に読まれたとき、本発明はより明確に理解されるであろう。

センサ配置モデルのネットワーク表現を示している。 センサ配置モデルの２つの部分からなるネットワーク表現を示している。 すべての配置に対して衡平なカバレッジレベルを提供するセンサ配置を決定する方法のフローチャートである。

ここで図を参照して、特に図１を参照して、監視エリアを表すネットワーク１００の一例が示されている。該エリアは６つのノード１０１〜１０６によって表される。黒のノード１０１、１０４、および１０６で表されるように、３つのセンサが配置されている。センサの最適配置は本発明の教示に従って決定される。有向リンク１０７〜１１５は監視関係を表している。例えば、リンク１０７は、ノード１０１からノード１０２への（実線の有向リンクで示されている）、およびノード１０２からノード１０１への（鎖線の有向リンクで示されている）監視関係を表している。実線の有向リンクは、確かに、ノード１０１がノード１０２を監視するセンサを持っていることを示している。鎖線の有向リンクは、もしセンサがノード１０２に配置されていた場合には、ノード１０２がノード１０１を監視することができたことを示している。なお、例えば、ノード１０１のセンサは、ノード１０１、１０２、１０５、および１０６を監視し、該ノード１０１はノード１０１のセンサによって（センサは該センサが配置されたノードを常に監視する）およびノード１０６によって監視されることに留意されたい。

以下の表記法が用いられる。

Ｎ＝監視される必要のあるノードの集合。集合Ｎのノードはｉでインデックスを付けられる。図１では、Ｎ＝｛１０１，１０２，１０３，１０４，１０５，１０６｝である。実際的な状況では、Ｎは大きな値をとることができ、該特定の値はエリアの大きさおよびノードで表されるエリアに依存する。例えば、監視エリアが１０キロメートル＊１０キロメートルの正方形で、各ノードが１００メートル＊１００メートルの正方形を表す場合、Ｎ＝１０，０００となる。

Ｓ＝センサを配置することができるノードの集合。集合Ｓのノードはｊでインデックスを付けられる。例１００では、Ｓ＝Ｎと仮定しているが、集合Ｎと集合Ｓとは等しくなくてもよい。

Ｊ（ｉ）＝ノードｉを監視することができる集合Ｓのノードの部分集合。集合Ｊ（ｉ）は、ノードｉに向けられたリンクを持つすべてのノードと、ｉ∈Ｓの場合にはノードｉそのものとを含んでいる。例えば、図１ではＪ（１０１）＝｛１０１，１０２，１０５，１０６｝でありＪ（１０２）＝｛１０１，１０２，１０３，１０６｝である。

本発明は、利用可能なセンサの数が限定されている場合の最適配置を決定する方法を提供する。センサはすべて同じものと仮定しているが、ノードｊに配置されたセンサがノードｉに提供するカバレッジレベルは、センサの特性および指定されたノードｉおよびｊに依存する。該センサの特性は通常以下の確率によって規定される。

ｐ_ij＝ノードｉに物体があると仮定した場合に、ノードｊのセンサがノードｉの物体を検出する確率。

ｑ_ij＝ノードｉに物体がないと仮定した場合に、ノードｊのセンサがノードｉの物体を誤って検出する（誤り検出（ｆａｌｓｅ ａｌａｒｍ））確率。ｑ_ij＜ｐ_ijと仮定する。

位置ｉに提供されるカバレッジレベルは、集合Ｊ（ｉ）にあるノードに配置されたすべてのセンサに基づいて決定される。センサ配置問題に対する最適解は、集合Ｎのすべてのノードに衡平なカバレッジを提供する解であろう。衡平なカバレッジの解は後で定義される。

図２では、モデルが２つの部分からなるネットワークとして示された、センサ配置モデルの異なったネットワーク２００の表現の例を示している。ノード２０１〜２０６は、センサを配置することができるノードの集合Ｓである。これらのノードはネットワーク１００のノード１０１〜１０６に対応する。ネットワーク１００のノード１０１、１０４、および１０６のセンサ配置に対応して、ネットワーク２００のノード２０１、２０４、および２０６（黒のノード）にセンサが配置されている。ノード２０１〜２０６の各々はネットワーク２００の右側に複製されている。したがって、ノード２０７はノード２０１の複製であり、ノード２０８はノード２０２の複製である（他も同様）。ノード２０７〜２１２は、監視される必要のあるノードの集合Ｎを表している。この例では、集合Ｎおよび集合Ｓは同一ノードを含んでいている（ネットワーク１００で行った仮定と同じ仮定）が、必ずしも含んでいる必要はない。集合Ｓと集合Ｎが等しくない場合、集合Ｓのいくつかのノードは集合Ｎの複製ノードを持たなくてもよく、集合Ｎのいくつかのノードは集合Ｓの対応するノードを持たなくてもよい。ネットワーク２００のリンクは監視関係を示している。したがって、例えば、ノード２０１は、ノード２０７、２０８、２１１、および２１２へのリンク２１３ａ〜ｄをそれぞれ持ち、ノード２０２は、ノード２０７、２０８、２０９、および２１２へのリンク２１６ａ〜ｄをそれぞれ持っている。これらのリンクは、集合Ｓのノードから集合Ｎのその複製ノードへのリンクの付加により、ネットワーク１００のリンクに対して明らかな一対一対応を持っている。なお、実線のリンクはセンサを持つノードを集合Ｎの関連するノードに接続し、鎖線のリンクはセンサを持たないノードを集合Ｎの関連するノードに接続することに留意されたい。集合Ｊ（ｉ）は、ネットワーク２００から容易に導き出される、例えば、Ｊ（２０７）＝｛２０１，２０２，２０５，２０６｝となる。したがって、この例では、ノード２０７はノード２０１および２０６の２つのセンサで監視される。なお、Ｊ（２０７）は、ノード１０１がノード１０１および１０６の２つのセンサで監視されるネットワーク１００のＪ（１０１）＝｛１０１，１０２，１０５，１０６｝に一意的に対応することに留意されたい。

図３は、すべての位置に衡平なカバレッジレベルを提供するセンサ配置を決定する方法３００のフローチャートを示している。

「方法への入力準備（ステップ３０１および３０２）」
図１および２に関して上で説明したように、指定エリアのネットワーク表現がステップ３０１で生成される。ネットワークのノード数は、エリアの大きさおよび単一のノードによって表されるエリアに依存する。必要とされる精度は特定の応用例に依存する。監視の品質に影響を与えるセンサの特性の解析がステップ３０２で規定される。これらの特性は確率ｐ_ijおよびｑ_ij含んでいてもよいが、これらに限定されるものではない。センサはすべて同一タイプと仮定されているが、これらの確率はセンサ配置および監視される位置に依存することに注意されたい。異なるセンサ配置からの異なる確率が、ノードｉに対するこれらの位置の異なる距離から、またはこれらの位置とノードｉとの間のいくつかの障害物から結果的に生じてもよい。ネットワーク表現（図１のネットワーク１００または図２のネットワーク２００のいずれか）およびセンサの特性は、センサ配置モデルへの主要な入力である。

「監視パフォーマンス関数の生成（ステップ３０３）」
本方法の目標は、限られた数の利用可能なセンサの最適配置を決定することである。ここで、次のように定義してみよう。

ｘ_j＝決定変数。センサがノードｊに配置されている場合には、ｘ_j＝１、そうでない場合には、ｘ_j＝０となる。ｘをすべての決定変数ｘ_jのベクトルとしてみよう、ただしｊ∈Ｓ。

ｆ_i（ｘ）＝ノードｉの監視パフォーマンス関数、ただしｉ∈Ｎ。ベクトルｘの特定の値については、この関数の結果として生じた値もノードｉに提供されたカバレッジレベルと呼ばれる。なお、ｆ_i（ｘ）に影響を与える決定変数ｘ_jのみがｊ∈Ｊ（ｉ）を満足することに留意されたい。

可能な監視パフォーマンス関数の２つの例を下に提供する。
本発明は、これらの特定のパフォーマンス関数に限定されるものではない。

「例１」
すべての確率ｑ_ijおよびｐ_ijが、ｑ_ij＝０、および０＜ｐ_ij＜１を満足するものと仮定する。すると、ノードｉの監視パフォーマンス関数を、ｘの関数として、ノードｉの物体が少なくとも１つのセンサによって検出される確率と設定することができる。これは次のようなことを意味している。

指定されたｘに対するｆ_i（ｘ）の値は、ノードｉに提供されるカバレッジレベルと呼ばれ、ｆ_i（ｘ）の値が大きいほど、ノードｉに提供されるカバレッジレベルは優れている。なお、数式（１）を

のように書くこともできることに留意されたい。

「例２」
すべての確率ｑ_ijが０＜ｑ_ij＜ｐ_ijを満足するものと仮定する。すると、位置ｉの物体を検出するための位置ｊのセンサの有効性を、比（１−ｐ_ij）／（１−ｑ_ij）によって推定することができ、この比が小さいほど、センサはより有効である。明らかに、ｑ_ijがｐ_ijにほぼ等しい場合、ノードｊのセンサからの収集情報は意味のある情報を提供しないので、該ノードにセンサを配置してノードｉを監視することは役に立たない。なお、

は、ノードｉに物体があると仮定した場合に、ノードｉを監視するセンサのいずれもノードｉの物体を検出しないという条件付き確率であり、

は、ノードｉに物体がないと仮定した場合に、ノードｉを監視するセンサのいずれもノードｉの物体を誤って検出しないという条件付き確率であることに留意されたい。数式（１）と同様に、（１−これらの条件付き確率の比）を選択して次の監視パフォーマンス関数を形成することができる。

なお、数式（２）も

のように書くことができることに留意されたい。

種々の他の監視関数を用いることができる。特定のｉを考え、ｘ¹およびｘ²を２つのベクトルとしてみよう。ここで、すべてのｊ∈Ｊ（ｉ）に対して

および少なくとも１つのｊ∈Ｊ（ｉ）に対して

である。監視パフォーマンス関数は以下の特性を満足させなければならない。

「特性（ｉ）」
関数ｆ_i（ｘ）は変数ｊ（ｊ∈Ｊ（ｉ））とともに増加する、すなわちｆ_i（ｘ¹）＜ｆ_i（ｘ²）。

「特性（ｉｉ）」
ｘ¹およびｘ²で０となるある変数ｊ（ｊ∈Ｊ（ｉ））が、ｘ¹およびｘ²の両方で１に設定され、結果的にベクトルｘ¹⁺およびｘ²⁺をそれぞれ発生するものとする。すると、

、すなわち、ｆ_i（ｘ）は、ｊ∈Ｊ（ｉ）に対して、ｘ_jの整数値上で凹となる。

なお、特性（ｉ）および（ｉｉ）は数式（１）および（２）に対して成立することに留意されたい。

「衡平なセンサ配置モデルの生成−ＥＳＬＭ（ステップ３０４）」
該モデルは、ｉ∈Ｎに対して、監視パフォーマンス関数ｆ_i（ｘ）で定式化される。次のように定義してみよう。

ｆ⁽ⁿ⁾（ｘ）＝非減少順にソートされた、すべてのｆ_i（ｘ）のベクトル、すなわち、

ここで、

Ｐ＝利用可能なセンサ数で、

である。これらのセンサは、１つのノード当たり高々１つのセンサがノードの集合Ｓのノードの部分集合に配置される。

の場合は、１つのセンサが集合Ｓの各ノードに配置されるという、取るに足りない問題に帰着するので考慮する必要はない。

衡平な解は、辞書的最大ベクトルｆ⁽ⁿ⁾（ｘ）を提供する解である。ＥＳＬＭと呼ばれる衡平なセンサ配置モデルは、辞書的マクシミン最適化モデルとして定式化される。

「ＥＳＬＭ」

その結果次式が得られる。

目的関数（４．ａ）は辞書的最大ベクトルＶ^fを見つけるが、ここで、ステートメント（４．ｂ）および（４．ｃ）によって、該ベクトルは、非減少順にソートされたすべての監視パフォーマンス関数ｆ_i（ｘ）を構成する。制約条件（４．ｄ）および（４．ｅ）は配置されるセンサ数をＰに制限するが、ここで、集合Ｓの各ノードに高々１つのセンサが配置される。上述のように、監視パフォーマンス関数の例は数式（１）および（２）で与えられる。監視パフォーマンス関数が増加している（ステップ３０３の特性（ｉ））限り、ＥＳＬＭは該監視パフォーマンス関数で使用される特定の形状と無関係である。

「実行可能な衡平なセンサ配置モデルの生成（ステップ３０５）」
ＥＳＬＭは衡平な解を算出するための完全で正確な定式化を提供するが、この定式化は既知の最適化法によって直接解くことができない。

上で説明したように、ｉ∈Ｎに対する各監視パフォーマンス関数ｆ_i（ｘ）は、（ステップ３０３の特性（ｉ）および（ｉｉ）によって規定されたように）、ｊ∈Ｊ（ｉ）に対して、増加関数であり、ｘ_jの整数値上で凹と仮定されているので、衡平な解（辞書的マクシミン解）は、関連する非線形整数最適化モデルを解くことによって得られる。なお、数式（１）および（２）で規定された監視パフォーマンス関数は、例示の目的のみに与えられる、すなわち必要なのは、該関数がステップ３０３で規定された特性（ｉ）および（ｉｉ）を満足させるだけでよいということであることに留意されたい。Ｋを任意の大きなパラメータとしてみよう。以下の非線形整数最適化モデルの解は、ＥＳＬＭによって定式化されたような衡平な位置センサモデルに衡平な解を提供するであろう。新しいモデルは衡平なセンサ配置モデル−実行可能（ＥＳＬＭ−ＥＸ）と呼ばれる。

「ＥＳＬＭ−ＥＸ」

その結果次式を得る。

ここで、εは目的関数（５．ａ）中の無限項を避ける計算目的のために導入された、任意の小さなパラメータである。Ｋが非常に大きい場合、ＥＳＬＰ−ＥＸは衡平な解、すなわち換言すれば辞書的マクシミン解を提供することができる。ｆ₁（ｘ）＜ｆ₂（ｘ）と仮定する。すると、ステップ３０３での特性（ｉ）は、大きなＫについては、目的関数（５．ａ）中のｉ＝１に対する項が、目的関数（５．ａ）中のｉ＝２に対する項より著しく大きいことを示唆している。この論拠は集合Ｎのすべてのノード対に適用される。ステップ３０３での特性（ｉｉ）は、目的関数（５．ａ）中のｉ番目の項の改善はｘ²がｘ²⁺に増加するときに実現される改善よりもｘ¹がｘ¹⁺に増加するときの改善の方がより大きいことを示唆している。したがって、十分に大きな値のＫについて、ＥＳＬＭ−ＥＸの最適解は、非減少順にソートされたパフォーマンス関数値の中で辞書的に最大の実現可能なベクトルであろう。なお、小さな値のＫ（例えば、

）でさえ、ＥＳＬＭ−ＥＸの解はほぼ衡平な解を提供すると予想されることに留意されたい。Ｋの適切な値は実験によって決定することができる。

「衡平な解の計算（ステップ３０６）」
本発明は、解が衡平なセンサ配置モデルに衡平な解を提供するモデルＥＳＬＭ−ＥＸを生成するものであり、該解は種々の既存の最先端技術の最適化法によって算出することができる。これらの最適化法は、ダイナミックプログラミング手法、および焼きなまし法およびタブー探索のようなメタヒューリスティク手法を含んでいるが、これら限定されるものではない。Ｔ．ＩｂａｒａｋｉおよびＮ．Ｋａｔｏｈによる”Ｒｅｓｏｕｒｃｅ Ａｌｌｏｃａｔｉｏｎ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ： Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｃ Ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ”という書籍（Ｔｈｅ ＭＩＴ Ｐｒｅｓｓ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ， Ｍａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ，１９８８）は、セクション３．２でＥＳＬＭ−ＥＸを解くダイナミックプログラミングアルゴリズムを提供している。Ｃ．Ｒ．Ｒｅｅｖｅｓ （編集者）による”Ｍｏｄｅｒｎ Ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｆｏｒ Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ”，（Ｈａｌｓｔｅｄ Ｐｒｅｓｓ ａｎ ｉｍｐｒｉｎｔ ｏｆ Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，１９９３）は、焼きなまし法およびタブー探索を含んだ種々のメタヒューリスティク手法に関す指導を彼の本の中で表している。

ＥＳＬＭ−ＥＸは、静的な（単一期間）または動的な（多期間）の環境で用いることができる。例えば、データが１５分ごとにすべてのセンサから収集され、該データの解析は物体がいずれの位置にも存在しないことを繰り返し示唆している、動的な環境を考える。さらに、ある時間の後、例えば１日後、センサがどこに配置されているかを敵対者が学習できないように、いくつかのセンサの配置を変更することが望ましい。これは、例えば可能なセンサ配置の集合Ｓを修正してＥＳＬＭ−ＥＸを解くことによって行うことができる。集合Ｓの修正はあるランダム化された選択方式を用いて選択することができる。いくつかの応用例では、センサは集合Ｓのすべてのノードに設置されるが、しかし各時点においては、これらのセンサの

のみが運用上の制約により起動される。そのような応用例では、起動されたセンサの位置は、集合Ｓがあるランダム化された選択方式を用いて修正されるＥＳＬＭ−ＥＸを解くことによって定期的に変えられるだろう。

最後に、データ解析が、位置の部分集合（ノードの部分集合Ｎ^presentと言う）に物体が存在する懸念があることを示唆しているものとする。すると、新しいネットワークの各ノードが元のネットワークの各ノードよりもより小さなエリアを表すように、ＥＳＬＭ−ＥＸをＮ^presentのノードの爆発的増加を含んだ新しいネットワーク表現に適用することができる。次に、ＥＳＬＭ−ＥＸは衡平な解を見つけ、疑いのあるエリアのより正確な観察を収集するために新しいネットワークによって表されたエリアに限られた数の第２の種類のセンサ（例えばモバイルセンサ）を配置するであろう。

上で説明したアルゴリズムおよびモデル化は、演算装置のような命令実行システム、装置、またはデバイス上で実行することができる。アルゴリズムはそれ自体、コンピュータのような命令実行システム、装置、またはデバイスによってまたは関連して使用されるプログラムを包含、保存、通信、伝播、または搬送可能なあらゆる手段になりえるコンピュータ可読媒体に含まれていてもよい。

すべての位置に対する衡平なカバレッジレベルを達成するために、選択された位置に限られた数のセンサを最適に配置する方法を説明し、例示してきたが、ここに添付された請求項の範囲によってのみ制限される本発明の広い教示および範囲から逸脱することなく、変更および修正が可能であることは当業者には明らかであろう。

Claims (22)

1. 指定エリア内のすべての位置に衡平なカバレッジレベルを提供する、限られた数のセンサの最適配置を決定する方法であって、
   ノードと有向リンクとを有する指定エリアのネットワーク表現を生成し、各ノードが、監視されるべきサブエリアまたはセンサを配置できるサブエリア、またはその両方を表し、各有向リンクが、センサを配置できるノードの集合内の第１のノードと、監視されるべきノードの集合内の関連する第２のノードとからなるノードペア間の監視関係を表し、
   異なるノードペアに対して異なっていてもよい、物体検出の確率と誤り検出の確率とを含む特性の点からセンサを特徴づけ、
   前記監視されるべきノードの各々を監視するセンサの配置の関数として、該監視されるべきノードの各々に提供されるカバレッジレベルの監視パフォーマンス関数を生成し、
   辞書的マクシミン最適化モデルとして衡平なセンサ配置モデルを生成し、該最適化モデルの解が辞書的に最大の順序化されたベクトルを提供し、該ベクトルの成分が非減少順にソートされた、監視されるノードに提供されるカバレッジレベルであり、該最適化モデルの解は衡平なカバレッジレベルを提供し、
   非線形整数最適化モデルとして、辞書的マクシミン最適化モデルを生成し、該非線形整数最適化モデルの解がすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供し、該解は既存の最適化法によって算出される、方法。
2. 指定エリア内のすべての位置に衡平なカバレッジレベルを提供する、限られた数のセンサの最適配置を決定する方法であって、
   ノードと有向リンクとを有する指定エリアのネットワーク表現を生成し、各ノードが、監視されるべきサブエリアまたはセンサを配置できるサブエリア、またはその両方を表し、各有向リンクが、センサを配置できるノードの集合内の第１のノードと、監視されるべきノードの集合内の関連する第２のノードとからなるノードペア間の監視関係を表し、
   前記監視されるべきノードの各々を監視するセンサの配置の関数として、該監視されるべきノードの各々に提供されるカバレッジレベルの監視パフォーマンス関数を生成し、
   辞書的マクシミン最適化モデルとして衡平なセンサ配置モデルを生成し、該最適化モデルの解が辞書的に最大の順序化されたベクトルを提供し、該ベクトルの成分が非減少順にソートされた、監視されるノードに提供されるカバレッジレベルであり、該最適化モデルの解は衡平なカバレッジレベルを提供し、
   実行可能な衡平なセンサ配置モデルを含む非線形整数最適化モデルとして辞書的マクシミン最適化モデルを生成し、該非線形整数最適化モデルの解が、前記エリア内で監視される必要のあるすべての位置に衡平なカバレッジレベルを提供する、方法。
3. 目的関数が辞書的に最大のベクトルを規定し、該ベクトルの成分が、非減少順にソートされた、監視されるサブエリアに対するカバレッジレベルであり、制約条件が配置されるセンサの数の限度を規定し、決定変数がセンサ配置の決定を表す、請求項２に記載の方法。
4. 前記ノードは監視されるべきサブエリアを表すノード集合Ｎを有し、ノード集合Ｓはセンサを配置することができる位置を表し、該集合Ｓのノードから集合Ｎの関連するノードへのリンクは、該集合Ｓのノードがノードペア中の集合Ｎの関連するノードを監視することができることを示している、請求項２に記載の方法。
5. 前記監視パフォーマンス関数は、前記集合Ｎの指定されたノードを監視することができる、前記集合Ｓのノードに配置されたすべてのセンサの関数として、該集合Ｎの任意の指定されたノードに提供されたカバレッジレベルを算出する、請求項４に記載の方法。
6. 異なるノード集合Ｎおよびノード集合Ｓのノードペアに対して異なっていてもよい、物体検出の確率と誤り検出の確率とを含む特性の点から前記センサを特徴づけ、
   前記監視パフォーマンス関数は、前記センサの特性を入力として使用する、請求項５に記載の方法。
7. 実行可能な衡平なセンサ配置モデルを含む前記非線形整数最適化モデルは衡平なセンサ配置モデルから生成され、該実行可能な衡平なセンサ配置モデルの最適解は監視されるべきすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供する、請求項２に記載の方法。
8. 前記実行可能な衡平なセンサ配置モデルの最適解は既知の最適化法を適用することによって生成される、請求項７に記載の方法。
9. ノードの集合Ｎのノードに衡平なカバレッジレベルを提供するノードの集合Ｓに限られた数のセンサの最適配置を決定する方法であって、
   各ノードペアが関連する確率を持つ、物体検出の確率と誤り検出の確率とを含む特性の点からセンサを特徴づけ、
   前記集合Ｎの関連するノードを監視する、前記集合Ｓのノードに配置されたセンサの関数として、該集合Ｎのノードの各々に提供される前記カバレッジレベルの監視パフォーマンス関数を生成し、
   辞書的マクシミン最適化モデルとして衡平なセンサ配置モデルを生成し、該最適化モデルの解が辞書的に最大の順序化されたベクトルを提供し、該ベクトルの成分が非減少順にソートされた、前記集合Ｎのノードに提供されるカバレッジレベルであり、該最適化モデルの解は、該集合Ｎのすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供し、
   実行可能な衡平なセンサ配置モデルを生成し、該モデルの解が、前記集合Ｎのすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供する既存の最適化法によって算出される、方法。
10. 少なくとも１つのセンサの配置はある時期から次の時期までに変更される、請求項９に記載の方法。
11. 各時期において、実行可能な衡平なセンサ配置モデルは可能なセンサ配置の修正された集合で解かれる、請求項１０に記載の方法。
12. 指定エリア内のすべての位置に衡平なカバレッジレベルを提供する、限られた数のセンサの最適配置を決定するシステムであって、
    ノードと有向リンクとを有する指定エリアのネットワーク表現を生成する手段であって、各ノードが、監視されるべきサブエリアまたはセンサを配置できるサブエリア、またはその両方を表し、各有向リンクが、センサを配置できるノードの集合内の第１のノードと、監視されるべきノードの集合内の関連する第２のノードとからなるノードペア間の監視関係を表す手段と、
    異なるノードペアに対して異なっていてもよい、物体検出の確率と誤り検出の確率とを含む特性の点から特徴づけられる複数のセンサと、
    前記監視されるべきノードの各々を監視するセンサの配置の関数として、該監視されるべきノードの各々に提供されるカバレッジレベルの監視パフォーマンス関数を生成する手段と、
    辞書的マクシミン最適化モデルとして衡平なセンサ配置モデルを生成する手段であって、該最適化モデルの解が辞書的に最大の順序化されたベクトルを提供し、該ベクトルの成分が非減少順にソートされた、監視されるノードに提供されるカバレッジレベルであり、該最適化モデルの解は衡平なカバレッジレベルを提供する手段と、
    非線形整数最適化モデルとして辞書的マクシミン最適化モデルを生成する手段であって、該非線形整数最適化モデルの解がすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供し、該解は既存の最適化法によって算出される手段と、を有し、
    前記複数のセンサは、前記辞書的最適化モデルの解に従って配置される、システム。
13. 指定エリア内のすべての位置に衡平なカバレッジレベルを提供する、限られた数のセンサの最適配置を決定するシステムであって、
    ノードと有向リンクとを有する指定エリアのネットワーク表現を生成する手段であって、各ノードが、監視されるべきサブエリアまたはセンサを配置できるサブエリア、またはその両方を表し、各有向リンクが、センサを配置できるノードの集合内の第１のノードと、監視されるべきノードの集合内の関連する第２のノードとからなるノードペア間の監視関係を表し、
    前記監視されるべきノードの各々を監視するセンサの配置の関数として、該監視されるべきノードの各々に提供されるカバレッジレベルの監視パフォーマンス関数を生成する手段と、
    辞書的マクシミン最適化モデルとして衡平なセンサ配置モデルを生成する手段であって、該最適化モデルの解が辞書的に最大の順序化されたベクトルを提供し、該ベクトルの成分が非減少順にソートされた、監視されるノードに提供されるカバレッジレベルであり、該最適化モデルの解は衡平なカバレッジレベルを提供する手段と、
    実行可能な衡平なセンサ配置モデルである非線形整数最適化モデルとして辞書的マクシミン最適化モデルを生成する手段であって、該非線形整数最適化モデルの解がすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供し、該解は既存の最適化法によって算出される手段と、
    エリア内で監視される必要のあるすべての位置に衡平なカバレッジレベルを提供するための実行可能な衡平なセンサ配置モデルの解に従って配置された複数のセンサと、を有するシステム。
14. 目的関数が辞書的に最大のベクトルを規定し、該ベクトルの成分が、非減少順にソートされた、監視されるサブエリアに対するカバレッジレベルであり、制約条件が配置されるセンサの数の限度を規定し、決定変数がセンサ配置の決定を表す、請求項１３に記載のシステム。
15. 前記ノードは監視されるべきサブエリアを表すノード集合Ｎを有し、ノード集合Ｓはセンサを配置することができる位置を表し、該集合Ｓのノードから集合Ｎの関連するノードへのリンクは、該集合Ｓのノードがノードペア中の集合Ｎの関連するノードを監視することができることを示している、請求項１３に記載のシステム。
16. 前記監視パフォーマンス関数は、前記集合Ｎの指定されたノードを監視することができる、前記集合Ｓのノードに配置されたすべてのセンサの関数として、該集合Ｎの任意の指定されたノードに提供されたカバレッジレベルを算出する、請求項１５に記載のシステム。
17. 前記複数のセンサは、異なるノードペアに対して異なっていてもよい、物体検出の確率と誤り検出の確率とを含む特性の点から特徴づけられ、
    前記監視パフォーマンス関数は、前記複数のセンサの特性を入力として使用する、請求項１６に記載のシステム。
18. 実行可能な衡平なセンサ配置モデルである前記非線形整数最適化モデルは衡平なセンサ配置モデルから生成され、該実行可能な衡平なセンサ配置モデルの最適解は監視されるべきすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供する、請求項１３に記載のシステム。
19. 前記実行可能な衡平なセンサ配置モデルの最適解は既知の最適化法を適用することによって生成される、請求項１８に記載のシステム。
20. ノードの集合Ｎのノードに衡平なカバレッジレベルを提供するノードの集合Ｓに限られた数のセンサの最適配置を決定するシステムであって、
    物体検出の確率と誤り検出の確率とを含む特性の点から特徴づけられ、各ノードペアが関連する確率を持つ複数のセンサと、
    前記集合Ｎの関連するノードを監視する、前記集合Ｓのノードに配置されたセンサの関数として、該集合Ｎのノードの各々に提供される前記カバレッジレベルの監視パフォーマンス関数を生成する手段と、
    辞書的マクシミン最適化モデルとして衡平なセンサ配置モデルを生成する手段であって、該最適化モデルの解が辞書的に最大の順序化されたベクトルを提供し、該ベクトルの成分が非減少順にソートされた、前記集合Ｎのノードに提供されるカバレッジレベルであり、該最適化モデルの解は、該集合Ｎのすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供する手段と、
    実行可能な衡平なセンサ配置モデルを生成する手段であって、該モデルの解が、前記集合Ｎのすべてのノードに衡平なカバレッジレベルを提供する既存の最適化法によって算出される手段と、を有し、
    前記複数のセンサは、前記実行可能な衡平なセンサ配置モデルの解に従って配置される、システム。
21. 少なくとも１つのセンサの配置はある時期から次の時期までに変更される、請求項２０に記載のシステム。
22. 各時期において実行可能な衡平なセンサ配置モデルは可能なセンサ配置の修正された集合で解かれる、請求項２１に記載のシステム。

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