JP4904107B2 - 制御回転ゲート、その決定装置、その決定方法、そのプログラム及びその記録媒体 - Google Patents
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Description
本発明は、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットと第三物理量子ビットから成る第一論理量子ビットと、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットから成る第二論理量子ビットについて制御回転操作を行う制御回転ゲート、その交換比率の決定装置、方法、プログラム及び記録媒体に関する。
量子力学の動作原理に基づいて計算を実行する量子コンピュータの研究が世界中で盛んに行われている。量子コンピュータの超高速性は、量子力学における重ね合わせの状態を利用して、複数のデータを並列計算することにより得られる。そのため、量子コンピュータを実現するには、量子重ね合わせ状態を計算中ずっと維持しなければならない。
量子物理系は外部からのノイズに非常に弱く、重ね合わせの状態は短時間で崩壊してしまう。これがデコヒーレンスと呼ばれる現象である。デコヒーレンスが起こると、重ね合わせの状態を使ってデータを表現し超並列計算をすることができなくなるので、量子コンピュータで超高速計算ができなくなる。現在、さまざまな物理系が量子コンピュータの候補として研究されていて、デコヒーレンスにかかる時間の長さは系によってさまざまであるが、最も長い核スピンなどの系を例にとっても数十秒程度で、計算が終了する前に量子重ね合わせ状態は崩壊してしまう。
デコヒーレンスの影響を抑えるために、量子コンピュータに使用される物理系の開発には、あらゆるノイズの低減措置がとられている。たとえば、物理系を電磁シールドルームに格納したり、熱雑音を排除するためにコンピュータを絶対零度に近い極超低温下に置くことによりノイズの低減が図られている。さまざまな試行錯誤により、10年前には不可能とされるレベルまでデコヒーレンス時間は伸びている。しかし、ハードウェア側の努力だけでデコヒーレンスを完全に抑えることは困難であり、ソフトウェア的な方法を用いてデコヒーレンスを低減する方法が平行して模索されている。
このようなソフトウェア的なアプローチの一つとして、古典情報理論のエラー訂正符号にヒントを得た、CSS符号などが知られている。これは、量子ビットを複数の物理量子ビットに論理量子ビットとしてコーディングし、物理量子ビットのビットフリップエラーやフェイズフリップエラーなどを観測によって検出して、訂正する方法である。１論理量子ビットをコーディングするために、5、７、9物理量子ビットを使う方法がよく知られている（例えば、非特許文献１参照。）。
CSS符号とは別の方法で、デコヒーレンスを低減するために、ノイズの不変部分空間を計算に利用する方法も提案されている。量子状態はヒルベルト空間内部の点によって表現されるが、外部からのノイズに影響を受けるベクトル成分と影響を受けないベクトル成分に分解して、影響を受けない部分だけを利用して計算を行うのである。これは、デコヒーレンスフリー部分空間と呼ばれる（例えば、非特許文献２、非特許文献３参照。）。
デコヒーレンスフリー部分空間で計算を実行できれば理想的だが、定義が強すぎるため、量子計算に使用できる空間が限定されてしまう。後にこの定義を緩めて、厳密にノイズの不変部分空間を利用しなくても、デコヒーレンスの影響を取り除けることが指摘された（例えば、非特許文献４参照。）。
これは、デコヒーレンスフリー部分システムと呼ばれる。交換だけを用いる場合、すなわち、物理量子ビット間の交換操作だけを行って論理量子ビットで量子計算を行う場合、デコヒーレンスフリー部分空間を使用したければ1論理量子ビットを表現するために4物理量子ビットが必要だが、デコヒーレンスフリー部分システムでよければ、3物理量子ビットあれば十分である。
デコヒーレンスフリー部分システムは、物理系の性質を記述するハミルトニアンと、影響を排除したいデコヒーレンスから決められる。
たとえば、ハミルトニアンがXX+YY+ZZで、デコヒーレンスがストロング・コレクティブ・デコヒーレンスと呼ばれる種類であるとき、論理的な量子ビットの０と１を、3物理量子ビットによって
|0L〉=1／√2（|010〉-|100〉）
|1L〉=1／√6（2|001〉-|010〉-|100〉）
と表現し、物理量子ビット間の交換操作だけを使って論理量子ビットで量子計算ができることが知られている（例えば、非特許文献５参照。）。具体的には、スピン系を使った量子コンピュータにおいて、このような計算方法がデコヒーレンスを避けるために有効である。
たとえば、ハミルトニアンがXX+YY+ZZで、デコヒーレンスがストロング・コレクティブ・デコヒーレンスと呼ばれる種類であるとき、論理的な量子ビットの０と１を、3物理量子ビットによって
|0L〉=1／√2（|010〉-|100〉）
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と表現し、物理量子ビット間の交換操作だけを使って論理量子ビットで量子計算ができることが知られている（例えば、非特許文献５参照。）。具体的には、スピン系を使った量子コンピュータにおいて、このような計算方法がデコヒーレンスを避けるために有効である。
３量子ビットのデコヒーレンスフリー部分システムにおける量子計算の実行方法は非特許文献５に詳しく述べられている。非特許文献５では、図２のように一列に物理量子ビットが配列されていると仮定し、物理量子ビットの3つずつの組を論理量子ビットだと考える。
ここで、３量子ビットのデコヒーレンスフリー部分システムにおいて、隣り合った物理量子ビット間の交換のみによって、論理量子ビットの1量子ビット回転とCNOTを実現することを考えてみる。一般に、量子計算を行うためには、１量子ビットの回転と２量子ビット間のCNOTが実現できればよいことが知られているためである（例えば、非特許文献６参照。）。
ここで、３量子ビットのデコヒーレンスフリー部分システムにおいて、隣り合った物理量子ビット間の交換のみによって、論理量子ビットの1量子ビット回転とCNOTを実現することを考えてみる。一般に、量子計算を行うためには、１量子ビットの回転と２量子ビット間のCNOTが実現できればよいことが知られているためである（例えば、非特許文献６参照。）。
まず、1論理量子ビットの回転は、図３に示すように、１番目と２番目の物理量子ビットの交換と、２番目と3番目の物理量子ビットの交換を4つ組み合わせればよい。図３において、１の線分は１番目の物理量子ビットに対応し、２の線分は２番目の物理量子ビットに対応し、３の線分は３番目の物理量子ビットに対応するものとする。また、線分と線分の間の矢印は、交換比率ｔｉ（ｉ＝１〜４）による交換操作を意味する。例えば、２の線分と３の線分の間の交換比率ｔ１の矢印は、２番目の物理量子ビットの状態と３番目の物理量子ビットの状態を、交換比率ｔ１で交換することを意味する。なお、実現したい回転角θに応じて、それぞれの交換比率ｔｉ（ｉ＝１〜４）を決めることができる。逆に、それぞれの交換比率ｔｉ（ｉ＝１〜４）を変えることによって、１論理量子ビットの任意の1量子ビットの回転を実現することができる。
また、２論理量子ビット上のCNOTは、図４に示すゲート列によって実現することができる（例えば、非特許文献７参照。）。図４において、１の線分は１番目の物理量子ビットに対応し、２の線分は２番目の物理量子ビットに対応し、３の線分は３番目の物理量子ビットに対応し、４の線分は４番目の物理量子ビットに対応し、５の線分は５番目の物理量子ビットに対応し、６の線分は６番目の物理量子ビットに対応するものとする。そして、１番目の論理量子ビットは１〜３番目の物理量子ビットから構成され、２番目の論理量子ビットは４〜６番目の物理量子ビットから構成される。３の線分と４の線分の間の破線は、１番目の論理量子ビットを構成する物理量子ビットと、２番目の論理量子ビットを構成する物理量子ビットとを分ける境目を表わした線である。
先に述べたように、1量子ビットの回転とCNOTができれば、全ての量子計算は可能なので、１量子ビットの回転とCNOTのゲートを組み合わせれば、あらゆる量子計算が実現可能である。例えば、量子計算でよく使われる制御回転操作は、２つのCNOTと３つの１量子ビット回転を組み合わせて、図５に示す量子回路により実現できる（例えば、非特許文献６参照。）。
ここで、制御回転ゲートとは次の行列で表現されるゲートで、θが１／２のときにｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ−Ｚに一致する。
したがって、今考えている３量子ビットによるデコヒーレンスフリー部分システムでも、２つのCNOTと３つの1論理量子ビット回転を組み合わせて制御回転操作を実行できることができる。この非特許文献６に記載された方法を使って、３量子ビット上のデコヒーレンスフリー部分システムで制御回転ゲートを構成すると、その実行系列は図６のようになる。図６において、それぞれの変数の値（量子ビットの交換比率ｔ、τ等）は、制御回転ゲートの回転角θによって決まる値である。
M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computatin and Quantum Information, Chapter 10, Cambridge University Press. D. Bacon, J. Kempe, D. A. Lidar, K. B Whaley, Universal Fault-Tolerant Quantum Computation on Decoherence-Free Subspaces, Phys. Rev. Lett 85, 1758 (2000). J. Kempe, D. Bacon, D.A. Lidar, K. B. Whaley, Theory of Decoherence-Free Fault-Tolerant Universal Quantum Computation, Physical Review A 63, 042307 (2001). E. Knill, R. Laflamme, L. Viola, Theory of Quantum Error Correction for general noise, Phys. Rev. Lett. 84, 2525 (2000) D.P. DiVincenzo, D. Bacon, J. Kempe, G. Burkard, K.B. Whaley, Universal quantum computation with the exchange interaction, Nature 408, pp.339--342 (2000). A. Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus, P. Shor, P. Sleator, J. A. Smolin, H. Weinfurter, Elementary Gates for Quantum Computation, Physical Review A 52, 3457 (1995) M. Hsieh, J. Kempe, S. Myrgren, K. B. Whaley, An Explicit Universal Gate Set for Exchange-only quantum computation, Quant. Inf. Proc., Vol. 2, 289 (2003).
M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computatin and Quantum Information, Chapter 10, Cambridge University Press. D. Bacon, J. Kempe, D. A. Lidar, K. B Whaley, Universal Fault-Tolerant Quantum Computation on Decoherence-Free Subspaces, Phys. Rev. Lett 85, 1758 (2000). J. Kempe, D. Bacon, D.A. Lidar, K. B. Whaley, Theory of Decoherence-Free Fault-Tolerant Universal Quantum Computation, Physical Review A 63, 042307 (2001). E. Knill, R. Laflamme, L. Viola, Theory of Quantum Error Correction for general noise, Phys. Rev. Lett. 84, 2525 (2000) D.P. DiVincenzo, D. Bacon, J. Kempe, G. Burkard, K.B. Whaley, Universal quantum computation with the exchange interaction, Nature 408, pp.339--342 (2000). A. Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus, P. Shor, P. Sleator, J. A. Smolin, H. Weinfurter, Elementary Gates for Quantum Computation, Physical Review A 52, 3457 (1995) M. Hsieh, J. Kempe, S. Myrgren, K. B. Whaley, An Explicit Universal Gate Set for Exchange-only quantum computation, Quant. Inf. Proc., Vol. 2, 289 (2003).
しかし、上記の交換ゲートを用いるとすると、１回の制御回転操作を実現するために、６２回もの交換操作を行う必要があり、効率よく量子計算を実行することが難しいという問題があった。
特に、因数分解を高速に実行するショーアのアルゴリズムは、制御回転操作を数多く含む。このため、このショーアのアルゴリズムを上記の交換ゲートを用いて実行しようとする際には、上記の問題が顕著となる。
特に、因数分解を高速に実行するショーアのアルゴリズムは、制御回転操作を数多く含む。このため、このショーアのアルゴリズムを上記の交換ゲートを用いて実行しようとする際には、上記の問題が顕著となる。
この発明は、上記の交換ゲートよりも短い、３量子ビットデコヒーレンスフリー部分システムで構成できる制御回転ゲート、その決定装置、その方法、そのプログラム及びその記録媒体を提供することを課題とする。
この発明に係る制御回転ゲートは、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットと第三物理量子ビットから成る第一論理量子ビットと、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットから成る第二論理量子ビットについて制御回転操作を行う制御回転ゲートであって、４次元ヒルベルト空間の元として表現された量子状態を、４次元ヒルベルト空間の元に写像し、かつ、上記制御回転ゲートの回転角を所定の回転角にするための１９個のゲート列を有し、上記１９個のゲート列を制御回転ゲートにするための、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換するゲート及び第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換するゲートをそれぞれ、上記１９個のゲート列の前後の何れか一方に有し、第四物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートを、上記制御回転ゲートの最初と最後に有する。
この発明に係る装置は、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットと第三物理量子ビットから成る第一論理量子ビットと、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットから成る第二論理量子ビットについて制御回転操作を行う制御回転ゲートを構成する各ゲートの交換比率を決定する制御回転ゲート決定装置であって、１９個のゲート列による量子操作によって、４次元ヒルベルト空間の元として表現された量子状態が、４次元ヒルベルト空間の元に写像されるための条件を表わす関数を蓄積する第一関数蓄積手段と、上記制御回転ゲートの回転角を、所定の回転角にするための条件を表わす関数を蓄積する第二関数蓄積手段と、上記１９個のゲート列を制御回転ゲートにするための条件を表わす関数を蓄積する第三関数蓄積手段と、上記第一関数蓄積手段から読み出した関数と上記第二関数蓄積手段から読み出した関数と上記第三関数蓄積手段から読み出した関数との連立方程式を、入力された回転角θに対して解いて、上記各ゲートの交換比率を決定する解演算手段、を有する。
本発明を利用することにより、例えば、２６個の交換ゲート列で構成でき、制御回転操作は従来方法の半分以下の時間で実現できるようになる。
例えば、本発明によって、制御回転操作を数多く含むフーリエ変換の操作を効率的に実行することができる。さらには、本発明により、フーリエ変換が数多く使われる、因数分解を行うショーアのアルゴリズムや、加算（足し算）の回路を高速化することができる。
例えば、本発明によって、制御回転操作を数多く含むフーリエ変換の操作を効率的に実行することができる。さらには、本発明により、フーリエ変換が数多く使われる、因数分解を行うショーアのアルゴリズムや、加算（足し算）の回路を高速化することができる。
［理論的背景］
上記では６２個の交換ゲート列の交換比率を適当に決めて、３量子ビットデコヒーレンスフリー部分システムの制御回転ゲートを構成した。本発明では、図４に示したCNOTと同じ配列の交換ゲート列により、その交換比率を変更することにより制御回転操作を実現する方法を示す。
なお、図４に示されたゲートのうちｓ５のゲートは、後述するように、ｓ５’とｓ５’’の２つのゲートに分けることができる。このため、以下では、図４に示したCNOTと同じ交換ゲート列と実質的に同じ交換ゲート列（図７）の各交換比率ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’，ｓ１，ｓ２，ｓ３，ｓ４，ｓ５’，ｓ５’’，ｓ６，ｓ７の値の決め方を示す。
上記では６２個の交換ゲート列の交換比率を適当に決めて、３量子ビットデコヒーレンスフリー部分システムの制御回転ゲートを構成した。本発明では、図４に示したCNOTと同じ配列の交換ゲート列により、その交換比率を変更することにより制御回転操作を実現する方法を示す。
なお、図４に示されたゲートのうちｓ５のゲートは、後述するように、ｓ５’とｓ５’’の２つのゲートに分けることができる。このため、以下では、図４に示したCNOTと同じ交換ゲート列と実質的に同じ交換ゲート列（図７）の各交換比率ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’，ｓ１，ｓ２，ｓ３，ｓ４，ｓ５’，ｓ５’’，ｓ６，ｓ７の値の決め方を示す。
図７に示された２６個のゲート列は大きく３種類のゲートに分けることができる。第１のゲート列は、交換比率がｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’のゲート列である。第２のゲート列は、交換比率がｓ４とｓ５’のゲート列である。第３のゲート列は、交換比率がｓ１〜ｓ３，ｓ５’’，ｓ６，ｓ７のゲート列である。以下、それぞれのゲート列の交換比率の求め方を説明する。
＜ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’について＞
まず、交換比率がｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’である１９個のゲート列について考える（図８参照）。図８は、図７に示されたゲート列のうち、交換比率が、ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’であるゲート列を抜き出したものである。（|0L〉|0L〉，|0L〉|1L〉，|1L〉|0L〉，|1L〉|1L〉）を含むデコヒーレンスフリー部分空間、正確に言うとＳｔｏｔａｌ＝ＳＺ ｔｏｔａｌ＝１の空間は９次元であるので、図８のそれぞれの交換操作は９×９の行列で表現することができる。したがって、図８に示された１９個のゲート列による物理操作は１９個の９×９の行列の積で表現することができる。
まず、交換比率がｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’である１９個のゲート列について考える（図８参照）。図８は、図７に示されたゲート列のうち、交換比率が、ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’であるゲート列を抜き出したものである。（|0L〉|0L〉，|0L〉|1L〉，|1L〉|0L〉，|1L〉|1L〉）を含むデコヒーレンスフリー部分空間、正確に言うとＳｔｏｔａｌ＝ＳＺ ｔｏｔａｌ＝１の空間は９次元であるので、図８のそれぞれの交換操作は９×９の行列で表現することができる。したがって、図８に示された１９個のゲート列による物理操作は１９個の９×９の行列の積で表現することができる。
ここで、上記１９個のゲート列による物理操作を計算するために、９次元空間に以下のような９つの正規直交基底を導入する。このように基底を取ることにより、１９個のゲート列による物理操作を表わす１９個の９×９の行列が対角行列となり、その行列の行列式の値が１となり、また、図９の左上の行列の各要素の絶対値が１となるためである。
（|0L〉|0’L〉，|0L〉|1’L〉，|1L〉|0’L〉，|1L〉|1’L〉，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４，ｖ５）
ここで、|0’L〉と|1’L〉はそれぞれ|0L〉と|1L〉の論理量子ビットの順序を反転したものである。すなわち、
|0’L〉=1／√2（|010〉-|001〉）
|1’L〉=1／√6（2|100〉-|010〉-|001〉）
である。また、ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４，ｖ５は（|0L〉|0’L〉，|0L〉|1’L〉，|1L〉|0’L〉，|1L〉|1’L〉）の直交補空間の正規直交基底である。
（|0L〉|0’L〉，|0L〉|1’L〉，|1L〉|0’L〉，|1L〉|1’L〉，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４，ｖ５）
ここで、|0’L〉と|1’L〉はそれぞれ|0L〉と|1L〉の論理量子ビットの順序を反転したものである。すなわち、
|0’L〉=1／√2（|010〉-|001〉）
|1’L〉=1／√6（2|100〉-|010〉-|001〉）
である。また、ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４，ｖ５は（|0L〉|0’L〉，|0L〉|1’L〉，|1L〉|0’L〉，|1L〉|1’L〉）の直交補空間の正規直交基底である。
上記の９つの正規直交基底を用いて１９個の９×９行列を表現し、積を計算すると、図９に示す行列が得られる。
ここで、右上のＡは４×５行列、左下のＢは５×４行列、右下のＣは５×５行列であり、その行列の各要素はｔ１〜ｔ７及びｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を含む関数である。ａ，ｂ，ｃ，ｄは、ｔ１〜ｔ７及びｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を含む関数である。
ここで、右上のＡは４×５行列、左下のＢは５×４行列、右下のＣは５×５行列であり、その行列の各要素はｔ１〜ｔ７及びｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を含む関数である。ａ，ｂ，ｃ，ｄは、ｔ１〜ｔ７及びｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を含む関数である。
図９に示した行列が、論理量子ビットにおいて量子ゲートになるためには、４次元ヒルベルト空間の元として表現された量子状態が、この操作によって４次元ヒルベルト空間の元に写像されなければならない。仮に、ＡとＢの少なくとも何れか一方が０でない場合は、４次元ヒルベルト空間の元が５次元の補空間に「漏れ」ていることを意味する。したがって、図９に示した行列が論理量子ビットにおいて量子ゲートとなる条件は、ＡとＢのすべての要素が０になることである。
このＡとＢのすべての要素が０になる条件を表わすと、例えば、ｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０となる。逆に、ｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０を満たす、ｔ１〜ｔ７及びｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’に対して、ＡとＢのすべての要素は０となる。
ここで、ＡとＢのすべての要素が０になる条件を簡潔に記載するために、新しい変数ｒ１，…，ｒ７を用いると、ｆ１〜ｆ５はそれぞれ、
ここで、ＡとＢのすべての要素が０になる条件を簡潔に記載するために、新しい変数ｒ１，…，ｒ７を用いると、ｆ１〜ｆ５はそれぞれ、
f1:=-(-12*r1*r3^3+4*r1^3*r3^3+8*r3^3-6*r1^3*r3^2+30*r1*r3^2-24*r1^2*r3^2-24*r1^3*r3-21*r1^2*r3-30*r1*r3-6*r3-14*r1^3+2+3*r1^2+9*r1)/(-r3+r1*r3-1-2*r1)/(r1*r3+2*r3+2-2*r1)/(2*r1*r3+7*r3-2+2*r1)+r6*r4*r7*r5*r2;
f2:=-1/3*(14-461*r1*r3+636*r1*r3^2+1023*r1^2*r3^2-788*r1^2*r3+103*r1-64*r3+169*r1^2+66*r3^2-254*r1*r3^3-584*r1^2*r3^3+258*r1^3*r3-1044*r1^3*r3^2+38*r1^4*r3^3-148*r1^4*r3^4-352*r1^5*r3^3-267*r1^5*r3^2+356*r1^5*r3+80*r1^5*r3^4-102*r1^6*r3^2+166*r1^6*r3+28*r1^6*r3^4-86*r1^6*r3^3+4*r1*r3^4+352*r1^2*r3^4+1182*r1^3*r3^3-228*r1^3*r3^4-312*r1^4*r3^2+533*r1^4*r3+56*r3^3-204*r1^3-427*r1^4+154*r1^6+191*r1^5-88*r3^4)/(4*r1+1)/(2*r1*r3+7*r3-2+2*r1)/(2*r1^2*r3+2*r1^2-3*r1*r3+6*r1+r3+1)/(r1*r3+2*r3+2-2*r1)/(-r3+r1*r3-1-2*r1)-1/9*r7*(r5*r6*r4-r5*r6+2*r5*r4-2*r5-2*r6*r4-r6+2*r4+1);
f3:=-1/3*(14-461*r1*r3+636*r1*r3^2+1023*r1^2*r3^2-788*r1^2*r3+103*r1-64*r3+169*r1^2+66*r3^2-254*r1*r3^3-584*r1^2*r3^3+258*r1^3*r3-1044*r1^3*r3^2+38*r1^4*r3^3-148*r1^4*r3^4-352*r1^5*r3^3-267*r1^5*r3^2+356*r1^5*r3+80*r1^5*r3^4-102*r1^6*r3^2+166*r1^6*r3+28*r1^6*r3^4-86*r1^6*r3^3+4*r1*r3^4+352*r1^2*r3^4+1182*r1^3*r3^3-228*r1^3*r3^4-312*r1^4*r3^2+533*r1^4*r3+56*r3^3-204*r1^3-427*r1^4+154*r1^6+191*r1^5-88*r3^4)/(4*r1+1)/(2*r1*r3+7*r3-2+2*r1)/(2*r1^2*r3+2*r1^2-3*r1*r3+6*r1+r3+1)/(r1*r3+2*r3+2-2*r1)/(-r3+r1*r3-1-2*r1)-1/9*(r5*r6*r4+2*r5*r6-r5*r4-2*r5-2*r6*r4+2*r6-r4+1)*r2;
f4:=1/3*(-4+346*r1*r3-1272*r1*r3^2-1542*r1^2*r3^2+166*r1^2*r3+10*r1+80*r3+106*r1^2-204*r3^2+1156*r1*r3^3-80*r1^2*r3^3+144*r1^3*r3-3780*r1^3*r3^2-1030*r1^4*r3^3-28*r1^4*r3^4-676*r1^5*r3^3-1455*r1^5*r3^2-472*r1^5*r3+224*r1^5*r3^4-282*r1^6*r3^2-62*r1^6*r3+52*r1^6*r3^4-98*r1^6*r3^3-152*r1*r3^4+64*r1^2*r3^4+744*r1^3*r3^3-432*r1^3*r3^4-2400*r1^4*r3^2-202*r1^4*r3-16*r3^3-3*r1^3-262*r1^4+70*r1^6+83*r1^5+272*r3^4)/(4*r1+1)/(2*r1*r3+7*r3-2+2*r1)/(2*r1^2*r3+2*r1^2-3*r1*r3+6*r1+r3+1)/(r1*r3+2*r3+2-2*r1)/(-r3+r1*r3-1-2*r1)+2/9*r5*r6*r4-2/9*r5*r6-2/9*r5*r4+2/9*r5-4/9*r6*r4-2/9*r6-2/9*r4-1/9;
f5:=-(-1+2*r1^2-r1+4*r3-4*r3^2+r1*r3+2*r1*r3^2+4*r1^2*r3+2*r1^2*r3^2)/(r1*r3+2*r3+2-2*r1)/(-r3+r1*r3-1-2*r1)-r6*r4;
である。ｒ１〜ｒ７は、それぞれ、
ｒ１＝ｅｘｐ（２πｉｔ１） …（１）
ｒ２＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ２＋ｔ’２）） …（２）
ｒ３＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ３＋ｔ’３）） …（３）
ｒ４＝ｅｘｐ（２πｉｔ４） …（４）
ｒ５＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ５＋ｔ’５）） …（５）
ｒ６＝ｅｘｐ（２πｉｔ６） …（６）
ｒ７＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ７＋ｔ’７）） …（７）
である。また、ｔ２とｔ２’，ｔ３とｔ３’，ｔ５とｔ５’，およびｔ７とｔ７’の間には、ｔａｎ（πｔｊ）ｔａｎ（πｔｊ’）＝−２（ここで、ｊ＝２，３，５，７）という関係があるものとする。
なお、上記ｆ１〜ｆ５の定義では、数式処理ソフトＭＡＰＬＥで慣用的に使われている数式表現を用いた。その数式表現によると、例えば、Ａ／Ｂ／Ｃ／Ｄ＋Ｅは、｛Ａ／（Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）｝＋Ｅを意味する。
である。ｒ１〜ｒ７は、それぞれ、
ｒ１＝ｅｘｐ（２πｉｔ１） …（１）
ｒ２＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ２＋ｔ’２）） …（２）
ｒ３＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ３＋ｔ’３）） …（３）
ｒ４＝ｅｘｐ（２πｉｔ４） …（４）
ｒ５＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ５＋ｔ’５）） …（５）
ｒ６＝ｅｘｐ（２πｉｔ６） …（６）
ｒ７＝ｅｘｐ（２πｉ（ｔ７＋ｔ’７）） …（７）
である。また、ｔ２とｔ２’，ｔ３とｔ３’，ｔ５とｔ５’，およびｔ７とｔ７’の間には、ｔａｎ（πｔｊ）ｔａｎ（πｔｊ’）＝−２（ここで、ｊ＝２，３，５，７）という関係があるものとする。
なお、上記ｆ１〜ｆ５の定義では、数式処理ソフトＭＡＰＬＥで慣用的に使われている数式表現を用いた。その数式表現によると、例えば、Ａ／Ｂ／Ｃ／Ｄ＋Ｅは、｛Ａ／（Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）｝＋Ｅを意味する。
このようにして、ＡとＢのすべての要素を０にする、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を計算する。
このようなｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’について、図９に示した行列の左上の４×４行列は、対角行列となりその対角成分の各要素ａ，ｂ，ｃ，ｄの絶対値は必ず１となる。したがって、ａ，ｂ，ｃ，ｄは、実数値θ１，θ２，θ３，θ４を用いて、ａ＝ｅ２πｉθ１、ｂ＝ｅ２πｉθ２、ｃ＝ｅ２πｉθ３、ｄ＝ｅ２πｉθ４と表現することができる。すなわち、図９に示した９×９行列は、図１０に示す９×９行列で表現することができる。
このようなｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’について、図９に示した行列の左上の４×４行列は、対角行列となりその対角成分の各要素ａ，ｂ，ｃ，ｄの絶対値は必ず１となる。したがって、ａ，ｂ，ｃ，ｄは、実数値θ１，θ２，θ３，θ４を用いて、ａ＝ｅ２πｉθ１、ｂ＝ｅ２πｉθ２、ｃ＝ｅ２πｉθ３、ｄ＝ｅ２πｉθ４と表現することができる。すなわち、図９に示した９×９行列は、図１０に示す９×９行列で表現することができる。
ａ，ｂ，ｃ，ｄは、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’の関数であったため、θ１，θ２，θ３，θ４も、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’の関数となる。
ここで、「上記１９個のゲート列からから構成される制御回転ゲートの回転角をθとすると、任意のθ∈［０，１］に対して、（θ１＋θ４−θ２−θ３）＝θかつｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０となるｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’が存在する。」という命題が真であることが参照文献１により証明されている。
ここで、「上記１９個のゲート列からから構成される制御回転ゲートの回転角をθとすると、任意のθ∈［０，１］に対して、（θ１＋θ４−θ２−θ３）＝θかつｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０となるｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’が存在する。」という命題が真であることが参照文献１により証明されている。
［参照文献１］Y.Kawano & M.Ozawa, Quantum Gates Generated by Rotationally Invariant Operators, Physical Review A 73 (2006).
上記１９個のゲート列からから構成される制御回転ゲートの回転角がθになるための条件をｒ１〜ｒ７を用いて表現すると、Ｇ＝ｅｘｐ（２πｉθ）又はＧ＝ｅｘｐ（−２πｉθ）となる。この条件は、例えば、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’の関数であるθ１，θ２，θ３，θ４と、（θ１＋θ４−θ２−θ３）＝θから求めることができる。ここで、Ｇは、
上記１９個のゲート列からから構成される制御回転ゲートの回転角がθになるための条件をｒ１〜ｒ７を用いて表現すると、Ｇ＝ｅｘｐ（２πｉθ）又はＧ＝ｅｘｐ（−２πｉθ）となる。この条件は、例えば、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’の関数であるθ１，θ２，θ３，θ４と、（θ１＋θ４−θ２−θ３）＝θから求めることができる。ここで、Ｇは、
G:=r1^2*r6*r4*(-8+16*r5*r6*r4+20*r3^2*r5*r7*r1^2*r4-28*r2*r6*r1^2-46*r5*r3*r7*r6*r1*r4+10*r3^2*r5*r7*r6*r4-20*r3^2*r5*r7*r6*r1*r4+68*r5*r3*r7*r6*r1^2*r4-40*r3^2*r5*r7*r1*r4-8*r3^2*r5*r6*r1*r4+10*r3^2*r2+92*r3*r7*r6*r1*r4+40*r3^2*r7*r6*r1*r4-40*r5*r3*r6*r1*r4+10*r3^2*r5*r7*r6*r1^2*r4-20*r3^2*r2*r5*r6*r1*r4+16*r3*r4+70*r3^2*r2*r5*r7*r6*r4-28*r1^2*r3-2*r1^2*r3^2+4*r1*r3^2+20*r1*r3-68*r6*r4-16*r5*r4-16*r5*r6+100*r3^2*r2*r7*r6*r1*r4-22*r5*r3*r7*r6*r4-92*r5*r3*r7*r1*r4+10*r5*r7*r6*r1*r4-22*r3*r2*r5*r6*r4+20*r3^2*r5*r7*r6*r1+46*r5*r3*r7*r6*r1-56*r1+8*r3-16*r6-16*r4+4*r7+16*r5+4*r2-98*r1^2-2*r3^2+46*r6*r4*r7*r5*r2+16*r5*r3*r6-22*r3*r7+40*r3*r6*r1+22*r3*r7*r6-46*r3*r7*r1-10*r7*r6*r1-112*r6*r1+16*r3*r6+10*r7*r1-4*r7*r6+46*r3*r7*r6*r1-112*r1*r4-100*r3*r6*r1*r4+44*r3*r7*r6*r4-92*r3*r7*r1*r4-20*r7*r6*r1*r4+40*r5*r3*r6*r1+22*r5*r3*r7*r6+92*r5*r3*r7*r1-10*r5*r7*r6*r1+112*r5*r6*r1*r4-16*r5*r3*r6*r4+40*r5*r1*r3*r4-44*r5*r3*r7*r4+20*r5*r7*r1*r4+4*r5*r7*r6*r4-476*r6*r1*r4-40*r3*r6*r4+40*r1*r3*r4-44*r3*r7*r4+20*r7*r1*r4-8*r7*r6*r4+16*r5*r3*r4-40*r5*r1*r3+44*r5*r3*r7-112*r5*r6*r1-20*r5*r7*r1-4*r5*r7*r6-112*r5*r1*r4+8*r5*r7*r4+8*r7*r4+112*r5*r1-16*r5*r3-8*r5*r7-68*r3*r7*r6*r1^2+140*r3*r6*r1^2*r4+136*r3*r7*r1^2*r4+28*r7*r6*r1^2*r4-56*r5*r3*r6*r1^2-136*r5*r3*r7*r1^2+14*r5*r7*r6*r1^2+196*r5*r6*r1^2*r4-56*r5*r1^2*r3*r4-28*r5*r7*r1^2*r4-196*r6*r1^2-14*r7*r1^2-196*r1^2*r4+196*r5*r1^2-56*r3*r6*r1^2+68*r3*r7*r1^2+14*r7*r6*r1^2-833*r6*r1^2*r4-56*r1^2*r3*r4-28*r7*r1^2*r4+56*r5*r1^2*r3-196*r5*r6*r1^2+28*r5*r7*r1^2-196*r5*r1^2*r4-10*r3^2*r2*r4+10*r3^2*r2*r1^2-20*r3^2*r2*r1+68*r3*r2*r1^2-50*r3^2*r2*r7+20*r3^2*r2*r6-136*r3*r7*r6*r1^2*r4+56*r5*r3*r6*r1^2*r4+136*r5*r3*r7*r1^2*r4-14*r5*r7*r6*r1^2*r4-68*r5*r3*r7*r6*r1^2+10*r2*r1+8*r2*r6-4*r2*r4-2*r2*r7-8*r2*r5-14*r2*r1^2-22*r3*r2+44*r3*r2*r6*r4+22*r3*r2*r5*r4-44*r3*r2*r5*r6+20*r3^2*r2*r5*r6-40*r3^2*r2*r6*r1+50*r3^2*r2*r7*r6+100*r3^2*r2*r7*r1-92*r3*r2*r6*r1-40*r3*r2*r7*r1-20*r3*r2*r7*r6+46*r3*r2*r1*r4-20*r3^2*r2*r6*r4+20*r3^2*r2*r1*r4+50*r3^2*r2*r7*r4-10*r3^2*r2*r5*r4+40*r3^2*r2*r5*r1+100*r3^2*r2*r5*r7-20*r3*r2*r7*r4+92*r3*r2*r5*r1-40*r3*r2*r5*r7+136*r3*r2*r6*r1^2+20*r3*r2*r7*r1^2-68*r3*r2*r1^2*r4-136*r3*r2*r5*r1^2+20*r3^2*r2*r6*r1^2-50*r3^2*r2*r7*r1^2-10*r3^2*r2*r1^2*r4-20*r3^2*r2*r5*r1^2+4*r2*r5*r6*r4-4*r2*r7*r6*r1-20*r2*r6*r1*r4-140*r3^2*r2*r5*r7*r6*r1*r4+70*r3^2*r2*r5*r7*r6*r1^2*r4-100*r3^2*r2*r5*r7*r1*r4-160*r3*r2*r5*r7*r6*r1*r4-100*r3^2*r2*r5*r7*r6*r1+40*r3*r2*r7*r6*r1-100*r3^2*r2*r7*r6*r1+40*r3^2*r2*r6*r1*r4-50*r3^2*r2*r7*r6*r4-100*r3^2*r2*r7*r1*r4-40*r3*r2*r7*r6*r1*r4-40*r3^2*r2*r5*r6*r1+50*r3^2*r2*r5*r7*r6-200*r3^2*r2*r5*r7*r1+40*r3*r2*r5*r7*r6*r1-46*r3*r2*r5*r6*r1*r4+10*r3^2*r2*r5*r6*r4+20*r3^2*r2*r5*r1*r4+50*r3^2*r2*r5*r7*r4+40*r3*r2*r5*r7*r1*r4+80*r3*r2*r5*r7*r6*r4+92*r3*r2*r6*r1*r4+40*r3*r2*r7*r1*r4+20*r3*r2*r7*r6*r4-20*r3^2*r2*r5-46*r3*r2*r1-44*r3*r2*r6+22*r3*r2*r4+20*r3*r2*r7+44*r3*r2*r5-8*r2*r6*r4-4*r2*r5*r4+8*r2*r5*r6+20*r2*r6*r1+4*r2*r7*r1+2*r2*r7*r6-10*r2*r1*r4+2*r2*r7*r4-20*r2*r5*r1+4*r2*r5*r7-2*r2*r7*r1^2+14*r2*r1^2*r4+28*r2*r5*r1^2-92*r3*r2*r5*r6*r1+80*r3*r2*r5*r7*r1-20*r3*r2*r5*r7*r6+46*r3*r2*r5*r1*r4-20*r3*r2*r5*r7*r4+50*r3^2*r2*r7*r6*r1^2-20*r3^2*r2*r6*r1^2*r4+50*r3^2*r2*r7*r1^2*r4+20*r3*r2*r7*r6*r1^2*r4+20*r3^2*r2*r5*r6*r1^2+100*r3^2*r2*r5*r7*r1^2-20*r3*r2*r5*r7*r6*r1^2+68*r3*r2*r5*r6*r1^2*r4-10*r3^2*r2*r5*r1^2*r4-20*r3*r2*r5*r7*r1^2*r4-20*r3*r2*r7*r6*r1^2-136*r3*r2*r6*r1^2*r4-20*r3*r2*r7*r1^2*r4+136*r3*r2*r5*r6*r1^2-40*r3*r2*r5*r7*r1^2-68*r3*r2*r5*r1^2*r4-50*r3^2*r2*r7*r6*r1^2*r4+10*r3^2*r2*r5*r6*r1^2*r4+50*r3^2*r2*r5*r7*r1^2*r4+80*r3*r2*r5*r7*r6*r1^2*r4+50*r3^2*r2*r5*r7*r6*r1^2-4*r3^2*r4+10*r3^2*r7-4*r3^2*r6+4*r3^2*r5-92*r2*r5*r7*r6*r1*r4+4*r2*r7*r6*r1*r4-4*r2*r5*r7*r6*r1+10*r2*r5*r6*r1*r4-4*r2*r5*r7*r1*r4-4*r2*r7*r1*r4-2*r2*r7*r6*r4+20*r2*r5*r6*r1-8*r2*r5*r7*r1+2*r2*r5*r7*r6-10*r2*r5*r1*r4+2*r2*r5*r7*r4+2*r2*r7*r6*r1^2+28*r2*r6*r1^2*r4+2*r2*r7*r1^2*r4-28*r2*r5*r6*r1^2+4*r2*r5*r7*r1^2+14*r2*r5*r1^2*r4-2*r2*r7*r6*r1^2*r4+2*r2*r5*r7*r6*r1^2-14*r2*r5*r6*r1^2*r4+2*r2*r5*r7*r1^2*r4+46*r2*r5*r7*r6*r1^2*r4+20*r3^2*r7*r6*r1+88*r3^2*r6*r1*r4-20*r3^2*r7*r6*r4-40*r3^2*r7*r1*r4+8*r3^2*r5*r6*r1-10*r3^2*r5*r7*r6+40*r3^2*r5*r7*r1+4*r3^2*r5*r6*r4+8*r3^2*r5*r1*r4+20*r3^2*r5*r7*r4-10*r3^2*r7*r6*r1^2-44*r3^2*r6*r1^2*r4+20*r3^2*r7*r1^2*r4-4*r3^2*r5*r6*r1^2-20*r3^2*r5*r7*r1^2-4*r3^2*r5*r1^2*r4-4*r3^2*r5*r6+8*r3^2*r6*r1-10*r3^2*r7*r6-20*r3^2*r7*r1-44*r3^2*r6*r4+8*r3^2*r1*r4+20*r3^2*r7*r4-4*r3^2*r5*r4-8*r3^2*r5*r1-20*r3^2*r5*r7-4*r3^2*r6*r1^2+10*r3^2*r7*r1^2-4*r3^2*r1^2*r4+4*r3^2*r5*r1^2-20*r3^2*r7*r6*r1^2*r4+4*r3^2*r5*r6*r1^2*r4-10*r3^2*r5*r7*r6*r1^2)/((-1+2*r5*r6*r4-8*r2*r6*r1^2-4*r6*r4-2*r5*r4-2*r5*r6+2*r5*r7*r6*r1*r4-4*r1-2*r6-2*r4+2*r7+2*r5+2*r2-4*r1^2+2*r6*r4*r7*r5*r2-2*r7*r6*r1-8*r6*r1+2*r7*r1-2*r7*r6-8*r1*r4-4*r7*r6*r1*r4-2*r5*r7*r6*r1+8*r5*r6*r1*r4+4*r5*r7*r1*r4+2*r5*r7*r6*r4-16*r6*r1*r4+4*r7*r1*r4-4*r7*r6*r4-8*r5*r6*r1-4*r5*r7*r1-2*r5*r7*r6-8*r5*r1*r4+4*r5*r7*r4+4*r7*r4+8*r5*r1-4*r5*r7+8*r7*r6*r1^2*r4+4*r5*r7*r6*r1^2+8*r5*r6*r1^2*r4-8*r5*r7*r1^2*r4-8*r6*r1^2-4*r7*r1^2-8*r1^2*r4+8*r5*r1^2+4*r7*r6*r1^2-16*r6*r1^2*r4-8*r7*r1^2*r4-8*r5*r6*r1^2+8*r5*r7*r1^2-8*r5*r1^2*r4-4*r5*r7*r6*r1^2*r4+2*r2*r1+4*r2*r6-2*r2*r4-4*r2*r7-4*r2*r5-4*r2*r1^2+2*r2*r5*r6*r4-8*r2*r7*r6*r1-4*r2*r6*r1*r4-4*r2*r6*r4-2*r2*r5*r4+4*r2*r5*r6+4*r2*r6*r1+8*r2*r7*r1+4*r2*r7*r6-2*r2*r1*r4+4*r2*r7*r4-4*r2*r5*r1+8*r2*r5*r7-4*r2*r7*r1^2+4*r2*r1^2*r4+8*r2*r5*r1^2-4*r2*r5*r7*r6*r1*r4+8*r2*r7*r6*r1*r4-8*r2*r5*r7*r6*r1+2*r2*r5*r6*r1*r4-8*r2*r5*r7*r1*r4-8*r2*r7*r1*r4-4*r2*r7*r6*r4+4*r2*r5*r6*r1-16*r2*r5*r7*r1+4*r2*r5*r7*r6-2*r2*r5*r1*r4+4*r2*r5*r7*r4+4*r2*r7*r6*r1^2+8*r2*r6*r1^2*r4+4*r2*r7*r1^2*r4-8*r2*r5*r6*r1^2+8*r2*r5*r7*r1^2+4*r2*r5*r1^2*r4-4*r2*r7*r6*r1^2*r4+4*r2*r5*r7*r6*r1^2-4*r2*r5*r6*r1^2*r4+4*r2*r5*r7*r1^2*r4+2*r2*r5*r7*r6*r1^2*r4)*(1+8*r1^2*r3+4*r1^2*r3^2-8*r1*r3^2-4*r1*r3+2*r6*r4+4*r1-4*r3+4*r1^2+4*r3^2+4*r3*r6*r1*r4+8*r6*r1*r4+4*r3*r6*r4-8*r3*r6*r1^2*r4+8*r6*r1^2*r4-4*r3^2*r6*r1*r4+2*r3^2*r6*r1^2*r4+2*r3^2*r6*r4));
である。
である。
ｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０、かつ、Ｇ＝ｅｘｐ（２πｉθ）又はＧ＝ｅｘｐ（−２πｉθ）を満たすｒ１〜ｒ７を求める。そして、ｒ１〜ｒ７から、次のようにして、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を計算する。
まず、上記式（１）、式（４）、式（６）より、ｊ＝１，４，６に対しては、
ｔｊ＝ｌｎ（ｒｊ）／（２πｉ） …（８）
となる。
また、ｔ２，ｔ２’，ｔ３，ｔ３’，ｔ５，ｔ５’，ｔ７，ｔ７’に関しては、ｒｊ（ｊ＝２，３，５，７）の値を利用して、次の式の値をｔｊ，ｔｊ’とする。
又は
このようにして、図８に示した１９個のゲート列についての交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を求める。
ｔｊ＝ｌｎ（ｒｊ）／（２πｉ） …（８）
となる。
また、ｔ２，ｔ２’，ｔ３，ｔ３’，ｔ５，ｔ５’，ｔ７，ｔ７’に関しては、ｒｊ（ｊ＝２，３，５，７）の値を利用して、次の式の値をｔｊ，ｔｊ’とする。
［ｓ４とｓ５’について］
つぎに、交換比率がｓ４とｓ５’であるゲートについて考える。交換比率がｓ４であるゲートは、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換することによって、第一論理量子ビットについて、Ｂｌｏｃｈ球におけるＺ軸を中心とした回転を行うゲートである。また、交換比率がｓ５’のゲートは、第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換することによって、第二論理量子ビットについて、Ｂｌｏｃｈ球におけるＺ軸をＸ軸の正方向に６０度倒した軸であって、ＸＺ平面（Ｙ＝０の平面）上にある軸を中心とした回転を行うゲートである。
つぎに、交換比率がｓ４とｓ５’であるゲートについて考える。交換比率がｓ４であるゲートは、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換することによって、第一論理量子ビットについて、Ｂｌｏｃｈ球におけるＺ軸を中心とした回転を行うゲートである。また、交換比率がｓ５’のゲートは、第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換することによって、第二論理量子ビットについて、Ｂｌｏｃｈ球におけるＺ軸をＸ軸の正方向に６０度倒した軸であって、ＸＺ平面（Ｙ＝０の平面）上にある軸を中心とした回転を行うゲートである。
ここで、ｓ４＝θ１−θ２＋ｍ（ｍは、ｓ４を０≦ｓ４≦１とするための任意の整数）、ｓ５’＝θ１−θ３＋ｎ（ｎは、ｓ５’を０≦ｓ５’≦１とするための任意の整数）とすると、図１０に示す行列は、図１１に示すような、回転角θの制御回転操作を行う行列にすることができる。
ｓ４＝θ１−θ２＋ｍとすると、図１０に示す行列に、ｓ４の交換操作を表わす対角行列ｄｉａｇ（１，ｅｘｐ（２πｉｓ４），１，ｅｘｐ（２πｓ４））をかけることにより、図１０に示す行列の左上の部分が、
から、
となる。さらに、ｓ５’＝θ１−θ３＋ｎとし、図１０に示す行列に、ｓ５’の交換操作を表わす行列ｄｉａｇ（１，１，ｅｘｐ（２πｉｓ５’），ｅｘｐ（２πｓ５’））をかけると、同部分は、
となる。ここで、（θ１＋θ４−θ２−θ３）＝θであり、絶対値が１の数を乗算しても量子の状態が変わらないという性質を考慮すると、上記行列に、１／ｅｘｐ（２πｉθ１）を乗算することにより、同部分は、
となる。ｓ４＝θ１−θ２＋ｍ（ｍは、ｓ４を０≦ｓ４≦１とするための任意の整数）、ｓ５’＝θ１−θ３＋ｎ（ｎは、ｓ５’を０≦ｓ５’≦１とするための任意の整数）とすると、図１０に示す行列は、図１１に示すような、回転角θの制御回転操作を行う行列にすることができる理由は以上の通りである。
上記ｓ４＝θ１−θ２＋ｍ（ｍは、ｓ４を０≦ｓ４≦１とするための任意の整数）、ｓ５’＝θ１−θ３＋ｎ（ｎは、ｓ５’を０≦ｓ５’≦１とするための任意の整数）という条件をそれぞれｒ１〜ｒ７で表現すると、ｓ４＝−（ｌｎ（Ｈ１）／２πｉ）＋ｍ、ｓ５’＝−（ｌｎ（Ｈ２）／２πｉ）＋ｎとなる。ここで、Ｈ１とＨ２はそれぞれ、
H1:=1+8*r1^2*r3+4*r1^2*r3^2-8*r1*r3^2-4*r1*r3+2*r6*r4+4*r1-4*r3+4*r1^2+4*r3^2+4*r3*r6*r1*r4+8*r6*r1*r4+4*r3*r6*r4-8*r3*r6*r1^2*r4+8*r6*r1^2*r4-4*r3^2*r6*r1*r4+2*r3^2*r6*r1^2*r4+2*r3^2*r6*r4 ;
H2:=-1+2*r5*r6*r4-8*r2*r6*r1^2-4*r6*r4-2*r5*r4-2*r5*r6+2*r5*r7*r6*r1*r4-4*r1-2*r6-2*r4+2*r7+2*r5+2*r2-4*r1^2+2*r6*r4*r7*r5*r2-2*r7*r6*r1-8*r6*r1+2*r7*r1-2*r7*r6-8*r1*r4-4*r7*r6*r1*r4-2*r5*r7*r6*r1+8*r5*r6*r1*r4+4*r5*r7*r1*r4+2*r5*r7*r6*r4-16*r6*r1*r4+4*r7*r1*r4-4*r7*r6*r4-8*r5*r6*r1-4*r5*r7*r1-2*r5*r7*r6-8*r5*r1*r4+4*r5*r7*r4+4*r7*r4+8*r5*r1-4*r5*r7+8*r7*r6*r1^2*r4+4*r5*r7*r6*r1^2+8*r5*r6*r1^2*r4-8*r5*r7*r1^2*r4-8*r6*r1^2-4*r7*r1^2-8*r1^2*r4+8*r5*r1^2+4*r7*r6*r1^2-16*r6*r1^2*r4-8*r7*r1^2*r4-8*r5*r6*r1^2+8*r5*r7*r1^2-8*r5*r1^2*r4-4*r5*r7*r6*r1^2*r4+2*r2*r1+4*r2*r6-2*r2*r4-4*r2*r7-4*r2*r5-4*r2*r1^2+2*r2*r5*r6*r4-8*r2*r7*r6*r1-4*r2*r6*r1*r4-4*r2*r6*r4-2*r2*r5*r4+4*r2*r5*r6+4*r2*r6*r1+8*r2*r7*r1+4*r2*r7*r6-2*r2*r1*r4+4*r2*r7*r4-4*r2*r5*r1+8*r2*r5*r7-4*r2*r7*r1^2+4*r2*r1^2*r4+8*r2*r5*r1^2-4*r2*r5*r7*r6*r1*r4+8*r2*r7*r6*r1*r4-8*r2*r5*r7*r6*r1+2*r2*r5*r6*r1*r4-8*r2*r5*r7*r1*r4-8*r2*r7*r1*r4-4*r2*r7*r6*r4+4*r2*r5*r6*r1-16*r2*r5*r7*r1+4*r2*r5*r7*r6-2*r2*r5*r1*r4+4*r2*r5*r7*r4+4*r2*r7*r6*r1^2+8*r2*r6*r1^2*r4+4*r2*r7*r1^2*r4-8*r2*r5*r6*r1^2+8*r2*r5*r7*r1^2+4*r2*r5*r1^2*r4-4*r2*r7*r6*r1^2*r4+4*r2*r5*r7*r6*r1^2-4*r2*r5*r6*r1^2*r4+4*r2*r5*r7*r1^2*r4+2*r2*r5*r7*r6*r1^2*r4;
である。
である。
なお、図１０に示す行列とｓ４の交換操作を表わす行列とｓ５’の交換操作を表わす行列はそれぞれ対角行列である。このため、図１０に示す行列の右側からｓ４の交換操作を表わす行列とｓ５’の交換操作を表わす行列かけても、図１０に示す行列の左側からｓ４の交換操作を表わす行列とｓ５’の交換操作を表わす行列かけても計算結果は同じになる。すなわち、図１２において破線で示すようにｓ４とｓ５’のゲートの一方又は両方を、ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’のゲートの左側に持ってきても良い。
［ｓ１〜ｓ４，ｓ５’’，ｓ６，ｓ７について］
図１１に示した行列の左上の４×４の部分は、（|0L〉|0’L〉，|0L〉|1’L〉，|1L〉|0’L〉，|1L〉|1’L〉）上の制御回転ゲートであるので、適当な操作によって（|0L〉|0L〉，|0L〉|1L〉，|1L〉|0L〉，|1L〉|1L〉）上の制御回転ゲートに変換する必要がある。
ここで、|0’L〉と|1’L〉はそれぞれ|0L〉と|1L〉を反転させて定義したものであるから、基底を交換するためには、図１３（ａ）に示すように、第四物理量子ビットと、第六物理量子ビットの状態を交換すれば良い。しかし、多くの物理系では隣り合ったキュービットの交換操作は容易だが、離れたキュービット間での交換操作が困難である場合が多い。そこで、図１３（ａ）に示す交換操作と等価な図１３（ｂ）に示す交換操作又は図１３（ｃ）に示す交換操作を用いて、第四物理量子ビットと、第六物理量子ビットの状態の交換を実行する。
図１１に示した行列の左上の４×４の部分は、（|0L〉|0’L〉，|0L〉|1’L〉，|1L〉|0’L〉，|1L〉|1’L〉）上の制御回転ゲートであるので、適当な操作によって（|0L〉|0L〉，|0L〉|1L〉，|1L〉|0L〉，|1L〉|1L〉）上の制御回転ゲートに変換する必要がある。
ここで、|0’L〉と|1’L〉はそれぞれ|0L〉と|1L〉を反転させて定義したものであるから、基底を交換するためには、図１３（ａ）に示すように、第四物理量子ビットと、第六物理量子ビットの状態を交換すれば良い。しかし、多くの物理系では隣り合ったキュービットの交換操作は容易だが、離れたキュービット間での交換操作が困難である場合が多い。そこで、図１３（ａ）に示す交換操作と等価な図１３（ｂ）に示す交換操作又は図１３（ｃ）に示す交換操作を用いて、第四物理量子ビットと、第六物理量子ビットの状態の交換を実行する。
この操作を図１２に示す２１のゲート列の前後に入れることにより、所望の回転角θの制御回転ゲートを得ることができる。
ここで、ｓ５’とｓ５’’の交換操作は共に、第五物理量子ビットと第六物理量子ビットに対する操作であり、連続して行われる操作である。このため、ｓ５’とｓ５’’の交換操作をまとめてひとつのｓ５の交換操作として書くことができる。ここで、ｓ５＝ｓ５’＋ｓ５’’＋Ｎ（Ｎは、ｓ５を０≦ｓ５≦１とするための任意の整数）である。すなわち、ｓ５＝−（ｌｎ（Ｈ２）／２πｉ）＋（１／２）＋Ｎである。
ここで、ｓ５’とｓ５’’の交換操作は共に、第五物理量子ビットと第六物理量子ビットに対する操作であり、連続して行われる操作である。このため、ｓ５’とｓ５’’の交換操作をまとめてひとつのｓ５の交換操作として書くことができる。ここで、ｓ５＝ｓ５’＋ｓ５’’＋Ｎ（Ｎは、ｓ５を０≦ｓ５≦１とするための任意の整数）である。すなわち、ｓ５＝−（ｌｎ（Ｈ２）／２πｉ）＋（１／２）＋Ｎである。
例えば、原子の核スピンを量子ビットとして用いる場合には、磁場を与える操作が上記交換操作に該当し、その磁場を与える時間に定数を乗じた値が交換比率となる。したがって、ｓ５’とｓ５’’の交換操作と、ｓ５の交換操作は、磁場を与える時間は同じである点において、実質的に同じものになるのである。
また、後述するように、ｓ４とｓ５’を上記１９個のゲート列の左側に持ってきたときは（図１２参照）、ｓ３とｓ５’をまとめてひとつのゲートにすることができる。
また、後述するように、ｓ４とｓ５’を上記１９個のゲート列の左側に持ってきたときは（図１２参照）、ｓ３とｓ５’をまとめてひとつのゲートにすることができる。
［実施形態］
＜制御回転ゲート＞
上記の方法により、各ゲートの交換比率を決定すると、図１（ａ）（ｂ）に示す制御回転ゲート１を得ることができる。図１（ｂ）は、制御回転ゲートの制御回転角θがそれぞれθ＝１／２，１／４，１／８，１／１６，１／３２である場合の、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’，ｓ１〜ｓ７を示している。
＜制御回転ゲート＞
上記の方法により、各ゲートの交換比率を決定すると、図１（ａ）（ｂ）に示す制御回転ゲート１を得ることができる。図１（ｂ）は、制御回転ゲートの制御回転角θがそれぞれθ＝１／２，１／４，１／８，１／１６，１／３２である場合の、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’，ｓ１〜ｓ７を示している。
本発明による制御回転ゲート１は、例えば、交換比率ｓ１で第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換する第一ゲート、交換比率ｓ２で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換する第二ゲート、交換比率ｓ３で第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換する第三ゲート、交換比率ｔ１で第三物理量子ビットと第四物理量子ビットの状態を交換する第四ゲート、交換比率ｔ２で第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する第五ゲート、交換比率ｔ３で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換する第六ゲート、交換比率ｔ２’で第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換する第七ゲート、交換比率ｔ３’で第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換する第八ゲート、交換比率ｔ２で第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する第九ゲート、交換比率ｔ３で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換する第十ゲート、交換比率ｔ４で第三物理量子ビットと第四物理量子ビットの状態を交換する第十一ゲート、交換比率ｔ５で第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する第十二ゲート、交換比率ｔ５’で第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換する第十三ゲート、交換比率ｔ５で第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する第十四ゲート、交換比率ｔ６で第三物理量子ビットと第四物理量子ビットの状態を交換する第十五ゲート、交換比率ｔ７で第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する第十六ゲート、交換比率ｔ３で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換する第十七ゲート、交換比率ｔ７’で第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換する第十八ゲート、交換比率ｔ３’で第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換する第十九ゲート、交換比率ｔ７で第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する第二十ゲート、交換比率ｔ３で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換する第二十一ゲート、交換比率ｔ１で第三物理量子ビットと第四物理量子ビットの状態を交換する第二十二ゲート、交換比率ｓ４で第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換する第二十三ゲート、交換比率ｓ５で第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換する第二十四ゲート、交換比率ｓ６で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換する第二十五ゲート、交換比率ｓ７で第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換する第二十六ゲート、から構成される。
制御回転ゲート１は、原則として、上記ゲートに付された番号の順番に各ゲートの操作を行う。ただし、異なる物理量子ビットについて操作を行うゲートについては、それらのゲート間の経時的関係は問わない。例えば、第二ゲート（ｓ２）と第三ゲート（ｓ３）と第四ゲート（ｔ１）と第五ゲート（ｔ３）は、原則として、第二ゲート（ｓ２）の操作→第三ゲート（ｓ３）の操作→第四ゲート（ｔ１）の操作→第五ゲート（ｔ３）の順番でその操作を行う必要がある。しかし、第三ゲート（ｓ３）は第三物理量子ビットと第四物理量子ビットに対して操作を行うものであり、第四ゲート（ｔ１）は第五物理量子ビットと第六物理量子ビットに対して操作を行うものであり、操作の対象となる物理量子ビットは異なる。このため、第二ゲート（ｓ２）の操作の後であり第五ゲート（ｔ３）の操作の前であれば、第三ゲート（ｓ３）の操作と第四ゲート（ｔ１）の操作のどちらを先に行っても良い。
第三ゲートと第二十二ゲートの交換比率はｔ１であり、第五ゲートと第九ゲートの交換比率はｔ２であり、第六ゲートと第十ゲートの交換比率はｔ３であり、第十二ゲートと第一四ゲートの交換比率はｔ５であり、第一六ゲートと第二十ゲートの交換比率はｔ７であり同じ値を取る。
第五ゲートと第九ゲートの交換比率ｔ２及び第七ゲートの交換比率ｔ２’、第六ゲートと第十ゲートの交換比率ｔ３及び第八ゲートの交換比率ｔ３’、第十二ゲートと第一四ゲートの交換比率ｔ５及び第一三ゲートの交換比率ｔ５’、第一六ゲートと第二十ゲートの交換比率ｔ７及び第一八ゲートの交換比率ｔ７’は、例えば、ｔａｎ（πｊ）・ｔａｎ（πｔｊ’）＝−２（ｊ＝２，３，５，７）の関係を満たす。
また、上述したように、第二十四ゲート（ｓ５）を、交換比率がｓ５’であるゲートと、交換比率がｓ５’’であるゲートに分割することができる。
また、上述したように、第二十四ゲート（ｓ５）を、交換比率がｓ５’であるゲートと、交換比率がｓ５’’であるゲートに分割することができる。
さらに、上述したように、第二十三ゲート（ｓ４）と交換比率がｓ５’であるゲートの両方又は何れか一方を、第四ゲート（ｔ１）の前に設置しても良い。また、交換比率がｓ５’であるゲートを第四ゲート（ｔ１）の前に持ってきた場合には、第三ゲート（ｓ３）とその交換比率がｓ５’であるゲートをひとつのゲートにすることができる。
また、上述した第一ゲート（ｓ１）〜第三ゲート（ｓ３）及び第二十四ゲート（ｓ５）〜第二十六ゲート（ｓ７）の代わりにそれぞれ、図１３（ｃ）に表わすゲート列、すなわち、交換比率１／２で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換するゲートと交換比率１／２で第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換するゲートと交換比率１／２で第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換するゲートとから構成されるゲート列を設けても良い。
＜制御回転ゲート決定装置・方法＞
以下に、本発明による制御回転ゲート決定装置の一例を示す。図１４は、制御回転ゲート決定装置１０００の機能構成を例示する図である。制御回転ゲート決定装置１０００は、例えば、入力部１９、第一関数データ蓄積部１０、陽関数計算部２０、関数データ一時蓄積部３０、第二関数データ蓄積部４０、第三関数データ蓄積部４１、近似解計算部５０、関数値計算部６０、第四関数データ蓄積部７０、変数値計算部８０、解演算部９０から構成される。
以下に、本発明による制御回転ゲート決定装置の一例を示す。図１４は、制御回転ゲート決定装置１０００の機能構成を例示する図である。制御回転ゲート決定装置１０００は、例えば、入力部１９、第一関数データ蓄積部１０、陽関数計算部２０、関数データ一時蓄積部３０、第二関数データ蓄積部４０、第三関数データ蓄積部４１、近似解計算部５０、関数値計算部６０、第四関数データ蓄積部７０、変数値計算部８０、解演算部９０から構成される。
なお、本発明の細部においては、数値計算処理のみならず有理式などの数式処理も必要となるが、数値計算処理および数式処理自体は、公知技術と同様にして達成されるので、その演算処理方法などの詳細な説明は省略する（この点の技術水準を示す数式処理が可能なソフトウェアとしては、例えば、Maple、Risa/Asir、MATHEMATICA（登録商標第2312968号）、Gnuplotなどが挙げられる。Risa/Asirについては、例えばインターネット〈URL:http://hpc.cs.ehime-u.ac.jp/risa/〉［平成１８年４月２５日検索］を参照のこと。Mapleについては、例えばインターネット〈URL:http://www.cybernet.co.jp/maple/〉［平成１８年４月２５日検索］を参照のこと。Gnuplotについては、例えばインターネット〈URL: http://www.gnuplot.info/〉［平成１８年４月２５日検索］を参照のこと。）。
＜ステップＳ１＞
陽関数計算部２０は、例えば、第一関数データ蓄積部１０から、ｆ１〜ｆ５を関数データ蓄積部から取り出し、ｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０を解き、例えば、ｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７をｒ１とｒ３の式で表現する。ｒｉ（ｉ＝２，４，５，６，７）をｒ１とｒ３で表現した式を、ｇｉ（ｒ１，ｒ３）とする。得られた式ｇｉ（ｒ１，ｒ３）（ｉ＝２，４，５，６，７）は、関数データ一時蓄積部３０に格納される。
なお、この実施形態では、ｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７をｒ１とｒ３の式で表現したが、ｒ１〜ｒ７の任意の変数で、他の変数を表現しても良い。
陽関数計算部２０は、例えば、第一関数データ蓄積部１０から、ｆ１〜ｆ５を関数データ蓄積部から取り出し、ｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０を解き、例えば、ｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７をｒ１とｒ３の式で表現する。ｒｉ（ｉ＝２，４，５，６，７）をｒ１とｒ３で表現した式を、ｇｉ（ｒ１，ｒ３）とする。得られた式ｇｉ（ｒ１，ｒ３）（ｉ＝２，４，５，６，７）は、関数データ一時蓄積部３０に格納される。
なお、この実施形態では、ｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７をｒ１とｒ３の式で表現したが、ｒ１〜ｒ７の任意の変数で、他の変数を表現しても良い。
＜ステップＳ２＞
近似解計算部５０は、関数データ一時蓄積部３０から読み出したｒ１とｒ３で表現されたｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７の式を用いて、ｓ＝ｔ１，ｔ＝ｔ３＋ｔ’３とし、０．３３≦ｓ≦０．４４と０．９１５≦ｔ≦０．９６の条件の下で、｜ｒ１｜≒｜ｒ２｜≒｜ｒ３｜≒｜ｒ４｜≒｜ｒ５｜≒｜ｒ６｜≒｜ｒ７｜≒１、かつ、Ｇ≒ｅｘｐ（２πｉθ） または Ｇ≒ｅｘｐ（−２πｉθ）を満たすｓとｔを求める。θは、入力部１９から入力された所望の回転角θである。Ｇは、第二関数データ蓄積部から読み出したものである。
近似解計算部５０は、関数データ一時蓄積部３０から読み出したｒ１とｒ３で表現されたｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７の式を用いて、ｓ＝ｔ１，ｔ＝ｔ３＋ｔ’３とし、０．３３≦ｓ≦０．４４と０．９１５≦ｔ≦０．９６の条件の下で、｜ｒ１｜≒｜ｒ２｜≒｜ｒ３｜≒｜ｒ４｜≒｜ｒ５｜≒｜ｒ６｜≒｜ｒ７｜≒１、かつ、Ｇ≒ｅｘｐ（２πｉθ） または Ｇ≒ｅｘｐ（−２πｉθ）を満たすｓとｔを求める。θは、入力部１９から入力された所望の回転角θである。Ｇは、第二関数データ蓄積部から読み出したものである。
一般に、ｆ１＝ｆ２＝ｆ３＝ｆ４＝ｆ５＝０、かつ、Ｇ≒ｅｘｐ（２πｉθ） または Ｇ≒ｅｘｐ（−２πｉθ）となる解は複数存在する。
しかし、０．３３≦ｓ≦０．４４と０．９１５≦ｔ≦０．９６の範囲では、すべてのθについてのｓとｔの値が存在しており、それらのｓとｔは、図１５に示すようにほぼ直線上に乗っている（正確には直線ではない。）。また、上記範囲内においては、θの変化に対してｓとｔは連続的に変化することが経験上わかっている。このため、０．３３≦ｓ≦０．４４と０．９１５≦ｔ≦０．９６とすると、都合良く計算を行うことができる。
近似解計算部５０は、このようにして求めたｓとｔから、ｒ１とｒ３を計算する。この計算されたｒ１とｒ３は、関数値計算部６０に出力される。
しかし、０．３３≦ｓ≦０．４４と０．９１５≦ｔ≦０．９６の範囲では、すべてのθについてのｓとｔの値が存在しており、それらのｓとｔは、図１５に示すようにほぼ直線上に乗っている（正確には直線ではない。）。また、上記範囲内においては、θの変化に対してｓとｔは連続的に変化することが経験上わかっている。このため、０．３３≦ｓ≦０．４４と０．９１５≦ｔ≦０．９６とすると、都合良く計算を行うことができる。
近似解計算部５０は、このようにして求めたｓとｔから、ｒ１とｒ３を計算する。この計算されたｒ１とｒ３は、関数値計算部６０に出力される。
＜ステップＳ３＞
関数値計算部６０は、近似解計算部５０が求めたｒ１とｒ３を、関数データ一時蓄積部３０から読み出した関数ｇｉ（ｉ＝２，４，５，６，７）に入力することにより、ｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７の値を計算する。ｒ１とｒ３と、計算されたｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７の値は、変数値計算部８０に出力される。
関数値計算部６０は、近似解計算部５０が求めたｒ１とｒ３を、関数データ一時蓄積部３０から読み出した関数ｇｉ（ｉ＝２，４，５，６，７）に入力することにより、ｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７の値を計算する。ｒ１とｒ３と、計算されたｒ２，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７の値は、変数値計算部８０に出力される。
＜ステップＳ４＞
変数値計算部８０は、ｒ１，ｒ２，ｒ３，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７から、次のようにして、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を計算する。
まず、上記式（８）を計算することにより、ｔ１，ｔ４，ｔ６を求める。
次に、上記式（９）又は式（１０）にｒｊ（ｊ＝２，３，５，７）の値を入力することにより、ｔ２，ｔ２’，ｔ３，ｔ３’，ｔ５，ｔ５’，ｔ７，ｔ７’の値を求める。
なお、上記式（８）〜（１０）は、変数値計算部８０が、第四関数データ蓄積部７０に格納された上記式（１）〜（７）を、それぞれｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’について解くことにより求めたものである。
変数値計算部８０は、ｒ１，ｒ２，ｒ３，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７から、次のようにして、ｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を計算する。
まず、上記式（８）を計算することにより、ｔ１，ｔ４，ｔ６を求める。
次に、上記式（９）又は式（１０）にｒｊ（ｊ＝２，３，５，７）の値を入力することにより、ｔ２，ｔ２’，ｔ３，ｔ３’，ｔ５，ｔ５’，ｔ７，ｔ７’の値を求める。
なお、上記式（８）〜（１０）は、変数値計算部８０が、第四関数データ蓄積部７０に格納された上記式（１）〜（７）を、それぞれｔ１，ｔ２，ｔ３，ｔ４，ｔ５，ｔ６，ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’について解くことにより求めたものである。
次に、第三関数データ蓄積部４１から読み出したＨ１とＨ２と、ｒ１，ｒ２，ｒ３，ｒ４，ｒ５，ｒ６，ｒ７から、ｓ４＝−（ｌｎ（Ｈ１）／２πｉ）＋ｍ（ｍは、ｓ４を０≦ｓ４≦１とするための任意の整数）、ｓ５’＝−（ｌｎ（Ｈ２）／２πｉ）＋ｎ（ｎは、ｓ５’を０≦ｓ５’≦１とするための任意の整数）を計算することにより、ｓ４とｓ５’を求める。
ｓ１，ｓ２，ｓ３，ｓ６，ｓ７に関しては、上述した理由から、常に、ｓ１＝ｓ２＝ｓ３＝ｓ６＝ｓ７＝１／２となる。
以上により、すべてゲートの交換比率の値を決定することができる。
以上が、制御回転ゲート決定装置１０００の概要である。
ｓ１，ｓ２，ｓ３，ｓ６，ｓ７に関しては、上述した理由から、常に、ｓ１＝ｓ２＝ｓ３＝ｓ６＝ｓ７＝１／２となる。
以上により、すべてゲートの交換比率の値を決定することができる。
以上が、制御回転ゲート決定装置１０００の概要である。
[提案技術のポイント]
本特許における技術のポイントは、制御回転操作をCNOTと同じ交換ゲート列で実現するために、その交換比率を求める方法等及びその交換比率を明示した点にある。制御交換ゲートを作るためには、18個のパラメータの値を決定する必要があるが、変数の個数が多すぎて探索で求めるには大変な時間を要する。本発明では、パラメータの値の決定プロセスを明示し、３キュービット・デコヒーレンスフリー部分システムにおける制御回転操作を簡単に構成する方法等を示した。
本特許における技術のポイントは、制御回転操作をCNOTと同じ交換ゲート列で実現するために、その交換比率を求める方法等及びその交換比率を明示した点にある。制御交換ゲートを作るためには、18個のパラメータの値を決定する必要があるが、変数の個数が多すぎて探索で求めるには大変な時間を要する。本発明では、パラメータの値の決定プロセスを明示し、３キュービット・デコヒーレンスフリー部分システムにおける制御回転操作を簡単に構成する方法等を示した。
［変形例］
なお、上記説明及び実施形態では、本発明による制御回転ゲートがゲートを構成し、所定の回転角θの制御回転ゲートになるための条件を簡潔に表現し、計算負担を軽減するために、上記式（１）〜（７）で定義されるｒ１〜ｒ７を用いて上記条件を記述した。そして、ｒ１〜ｒ７について上記条件を解いて、ｒ１〜ｒ７の値を求めた後に、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を求めた。しかし、上記ｒ１〜ｒ７で表現された条件を、与えられた回転角θの下で、直接、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’について解くことにより、各交換比率を求めても良い。
なお、上記説明及び実施形態では、本発明による制御回転ゲートがゲートを構成し、所定の回転角θの制御回転ゲートになるための条件を簡潔に表現し、計算負担を軽減するために、上記式（１）〜（７）で定義されるｒ１〜ｒ７を用いて上記条件を記述した。そして、ｒ１〜ｒ７について上記条件を解いて、ｒ１〜ｒ７の値を求めた後に、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を求めた。しかし、上記ｒ１〜ｒ７で表現された条件を、与えられた回転角θの下で、直接、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’について解くことにより、各交換比率を求めても良い。
具体的には、図１４の解演算部９０が、第一関数データ蓄積部１０、第二関数データ蓄積部４０、第三関数データ蓄積部４１からそれぞれ読み出した関数による連立方程式を、入力部１９から入力されたθに対して解いて、直接、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’の値を求めても良い。
さらに、本発明による制御回転ゲートがゲートを構成し、所定の回転角θの制御回転ゲートになるための条件を、直接、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’の関数として記述し、この関数を解くことにより、交換比率ｔ１〜ｔ７，ｔ２’，ｔ３’，ｔ５’，ｔ７’を求めても良い。
上記制御回転ゲート決定装置の処理機能をコンピュータによって実現することができる。この場合、制御回転ゲート決定装置の処理機能の内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムを、図１６に示すようなコンピュータで実行することにより、上記制御回転ゲート決定装置の処理機能がコンピュータ上で実現される。
この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。具体的には、例えば、磁気記録装置として、ハードディスク装置、フレキシブルディスク、磁気テープ等を、光ディスクとして、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）、ＤＶＤ−ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）、ＣＤ−Ｒ（Recordable）／ＲＷ（ReWritable）等を、光磁気記録媒体として、ＭＯ（Magneto-Optical disc）等を、半導体メモリとしてＥＥＰ−ＲＯＭ（Electronically Erasable and Programmable-Read Only Memory）等を用いることができる。
また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。
このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記録媒体に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、制御回転ゲート決定装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。
以上の各実施形態の他、本発明である制御回転ゲート決定方法、その装置等は上述の実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能である。
以上の各実施形態の他、本発明である制御回転ゲート決定方法、その装置等は上述の実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能である。
１ 制御回転ゲート
５ ＣＰＵ
６ ＲＡＭ
７ 出力部
８ 補助記憶部
９ 入力部
９’ バス
１０ 第一関数データ蓄積部
１９ 入力部
２０ 陽関数計算部
３０ 関数データ一時蓄積部
４０ 第二関数データ蓄積部
４１ 第三関数データ蓄積部
５０ 近似解計算部
６０ 関数値計算部
７０ 第四関数データ蓄積部
８０ 変数値計算部
９０ 解演算部
１０００ 制御回転ゲート決定装置
５ ＣＰＵ
６ ＲＡＭ
７ 出力部
８ 補助記憶部
９ 入力部
９’ バス
１０ 第一関数データ蓄積部
１９ 入力部
２０ 陽関数計算部
３０ 関数データ一時蓄積部
４０ 第二関数データ蓄積部
４１ 第三関数データ蓄積部
５０ 近似解計算部
６０ 関数値計算部
７０ 第四関数データ蓄積部
８０ 変数値計算部
９０ 解演算部
１０００ 制御回転ゲート決定装置
Claims (10)
- 第一物理量子ビットと第二物理量子ビットと第三物理量子ビットから成る第一論理量子ビットと、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットから成る第二論理量子ビットとについて制御回転操作を行う制御回転ゲートであって、
上記制御回転ゲートは、
４次元ヒルベルト空間の元として表現された量子状態を、４次元ヒルベルト空間の元に写像し、かつ、上記制御回転ゲートの回転角を所定の回転角にするための１９個のゲート列を有し、
上記１９個のゲート列を制御回転ゲートにするための、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換するゲート及び第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換するゲートをそれぞれ、上記１９個のゲート列の前後の何れか一方に有し、
第四物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲート列を、上記制御回転ゲートの最初と最後に有する、
ことを特徴とする制御回転ゲート。 - 請求項１に記載の制御回転ゲートであって、
上記１９個のゲート列のうちの、第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する１つ目と２つ目のゲートの交換比率（以下、第１交換比率とする。）は同じであり、
上記１９個のゲート列のうちの、第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する３つ目と４つ目のゲートの交換比率（以下、第３交換比率とする。）は同じであり、
上記１９個のゲート列のうちの、第二物理量子ビットと第三物理量子ビットの状態を交換する５つ目と６つ目のゲートの交換比率（以下、第５交換比率とする。）は同じであり、
上記１９個のゲート列のうちの、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換するすべてのゲートの交換比率（以下、第7交換比率とする。）は同じであり、
上記１９個のゲート列のうちの、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換する１つ目のゲートの交換比率を第２交換比率とし、上記１９個のゲート列のうちの、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換する２つ目のゲートの交換比率を第４交換比率とし、上記１９個のゲート列のうちの、第一物理量子ビットと第二物理量子ビットの状態を交換する３つ目のゲートの交換比率を第６交換比率とすると、上記１９個のゲート列のうちの、第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換するすべてのゲートの交換比率を第８交換比率とし、ｋ＝１，３，５，７とすると、
第ｋ交換比率と第ｋ＋１交換比率との間には、ｔａｎ（π×第ｋ交換比率）×ｔａｎ（π×第ｋ＋１交換比率）＝−２の関係がある、
ことを特徴とする制御回転ゲート。 - 請求項１又は２に記載の制御回転ゲートであって、
上記第四物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲート列は、第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートと第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートとから構成される、
ことを特徴とする制御回転ゲート。 - 請求項１又は２に記載の制御回転ゲートであって、
上記第四物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲート列は、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートと第四物理量子ビットと第五物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートとから構成される、
ことを特徴とする制御回転ゲート。 - 請求項３に記載の制御回転ゲートであって、
上記１９個のゲート列を制御回転ゲートにするための、第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換するゲートと、
そのゲートの直前又は直後にあり、上記第五物理量子ビットと第六物理量子ビットの状態を交換比率１／２で交換するゲートと、
をまとめてひとつのゲートとした、
ことを特徴とする制御回転ゲート。 - 第一物理量子ビットと第二物理量子ビットと第三物理量子ビットから成る第一論理量子ビットと、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットから成る第二論理量子ビットについて制御回転操作を行う制御回転ゲートを構成する各ゲートの交換比率を決定する制御回転ゲート決定装置であって、
１９個のゲート列による量子操作によって、４次元ヒルベルト空間の元として表現された量子状態が、４次元ヒルベルト空間の元に写像されるための条件を表わす関数を蓄積する第一関数蓄積手段と、
上記制御回転ゲートの回転角を、所定の回転角にするための条件を表わす関数を蓄積する第二関数蓄積手段と、
上記１９個のゲート列を制御回転ゲートにするための条件を表わす関数を蓄積する第三関数蓄積手段と、
上記第一関数蓄積手段から読み出した関数と上記第二関数蓄積手段から読み出した関数と上記第三関数蓄積手段から読み出した関数との連立方程式を、入力された回転角θに対して解いて、上記各ゲートの交換比率を決定する解演算手段と、
を具備することを特徴とする制御回転ゲート決定装置。 - 請求項６に記載の制御回転ゲート決定装置であって、
上記解演算手段は、
上記第一関数蓄積手段から読み出した関数を、その関数のうちの所定の変数について解き、その関数の変数間の関係を表わす式を求め、その式を関数データ一時記憶手段に格納する陽関数計算手段と、
上記式と、上記第二関数蓄積手段から読み出した関数と、入力された回転角θを用いて、上記その関数のうちの所定の変数についての近似解を求める近似解計算手段と、
上記近似解計算手段が求めた所定の変数についての近似解を用いて、上記その関数のうちの所定の変数以外の他の変数についての関数値を計算する関数値計算手段と、
上記近似解と上記関数値と上記第三関数蓄積手段から読み出した関数を用いて、制御回転ゲートを構成する各ゲートの交換比率を計算する変数値計算手段と、
から構成される、
ことを特徴とする制御回転ゲート決定装置。 - 第一物理量子ビットと第二物理量子ビットと第三物理量子ビットから成る第一論理量子ビットと、第四物理量子ビットと第五物理量子ビットと第六物理量子ビットから成る第二論理量子ビットについて制御回転操作を行う制御回転ゲートを構成する各ゲートの交換比率を決定する制御回転ゲート決定方法であって、
第一関数蓄積手段には、１９個のゲート列による量子操作によって、４次元ヒルベルト空間の元として表現された量子状態が、４次元ヒルベルト空間の元に写像されるための条件を表わす関数が蓄積され、
第二関数蓄積手段には、上記制御回転ゲートの回転角を、所定の回転角にするための条件を表わす関数が蓄積され、
第三関数蓄積手段には、上記１９個のゲート列を制御回転ゲートにするための条件を表わす関数が蓄積され、
解演算手段が、上記第一関数蓄積手段から読み出した関数と上記第二関数蓄積手段から読み出した関数と上記第三関数蓄積手段から読み出した関数との連立方程式を、入力された回転角θに対して解いて、上記各ゲートの交換比率を決定する解演算ステップ、
を有することを特徴とする制御回転ゲート決定方法。 - 請求項６又は７に記載の制御回転ゲート決定装置の各手段をコンピュータに機能させるための制御回転ゲート決定プログラム。
- 請求項９に記載の制御回転ゲート決定プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
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| JP2006202080A JP4904107B2 (ja) | 2006-07-25 | 2006-07-25 | 制御回転ゲート、その決定装置、その決定方法、そのプログラム及びその記録媒体 |
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| JP2004103952A (ja) * | 2002-09-11 | 2004-04-02 | National Institute Of Advanced Industrial & Technology | 励起子を用いた量子論理素子および量子論理演算方法 |
| JP2003227805A (ja) * | 2002-02-01 | 2003-08-15 | Japan Science & Technology Corp | マグノン媒介型固体ｎｍｒ量子計算機 |
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2006
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