CN111291892A - 一种量子并行搜索方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种量子并行搜索方法,若将Oracle算子作为一个单元,则本发明所述方法能够在以运行时间复杂度为O(2n/4)和线路复杂度为O(2n/4)的情况下以接近1的概率找到搜索问题的解。由Grover算法的性质可知,量子迭代线路由G算子一个接一个串联构成,当输入量子比特数n比较大时,庞大的量子线路规模是Grover算法实际应用的主要障碍。本发明的主要目的在于提出一种改善的Grover量子搜索方法,旨在解决降低现有Grover算法的线路复杂度问题。
Description
技术领域
本发明涉及信息安全技术领域,更具体地,涉及一种量子并行搜索方法。
背景技术
量子计算是计算机科学、数学和物理学交叉的新领域,近几十年来,量子计算已经成为信息研究领域关注的焦点。作为一种新的计算模型,量子计算比经典计算要快得多。它依赖于量子力学原理来获得可满足性问题的解。量子的叠加性是量子计算的一个很重要的特性,以输入n个量子比特为例,量子计算可以一次计算2n个数据,每个计算结果以一定的概率幅值给出。
Grover在1996年提出了一种量子搜索算法,Grover算法是目前应用最广泛的量子捜索算法,可以在时间复杂度为的情况下求解一个规模为N的无结构数据库中的搜索问题,Grove算法相对于经典算法进行了平方加速。Grover算法通过反复迭代次G算子,放大目标状态的概率幅,减小非目标状态的概率幅,最终测量其叠加状态将以接近1的概率找到目标状态。反复应用G算子,这相当于在量子线路串联G算子的量子线路,量子线路越复杂,则需要更多的基础量子门电路和量子比特,每设计一个基础量子门电路和量子比特都需要耗费大量资源。而受限于目前所掌握的技术,量子计算机只能配备少量的量子位,对于只配有少量的量子比特的量子计算机,其实际应用也将受到更大的限制。目前最新的量子计算机是谷歌公司旗下的拥有53位量子比特的量子计算机。因此,本发明设计一个改进的Grover算法,采用时间-空间折衷的方法,以牺牲运算时间次数来降低量子线路的复杂度,从而可以减少量子比特数,使得配有少量的量子比特的量子计算机可以得到更广泛的应用。量子计算机可以加速NP完全问题,如3SAT、图着色、旅行商等NP完全问题。
发明内容
本发明为克服上述现有技术所述的量子搜索效率低的缺陷,提供一种量子并行搜索方法。
Grover算法是相对于经典算法是一种二次方加速的量子算法,该算法能够在以运行时间复杂度为O(1)和线路复杂度为的情况下以接近1的概率找到问题的解,其中量子线路由G算子一个接一个串联构成,在输入状态经过次G算子时,再测量最后的叠加态将以接近1的概率找到解。由Grover算法的性质可知,当输入量子比特数n比较大时,庞大的量子线路规模是Grover算法实际应用的主要障碍。
本发明所述方法基于量子并行搜索系统来实现,所述系统包括可调用的:寄存器1、寄存器2、寄存器3、G算子、辅助比特0、辅助比特1、Hadamard门、compare线路、受控UH门;
辅助比特0的初始化状态为|0>、辅助比特1的初始化状态为|1>状;
寄存器对应问题的输入;
G算子包括Oracle量子线路,算子U量子线路;
初始化为|0>状态的辅助比特0,作用是在Oracle算子里控制寄存器中的量子比特;
初始化为|1>状态的辅助比特1辅助翻转解的位置;
Oracle量子线路,用来检查辅助比特的相位来判断x是否为搜索问题的一个解;
算子U量子线路,用来放大搜索问题的解的概率幅值;测量线路,是对算法最后输出状态作测量;还有一些基本的量子门电路;
U算子由单位矩阵、Hadamard门和条件相移Ux算子组成。
条件相移Ux算子的作用是使得状态|0>以外的每一个计算基态获得-1的相位移动;
所述方法包括以下步骤:
S1:构建一个搜索问题;
S2:应用Hadamard门于寄存器2和寄存器3,使得寄存器2和寄存器3为均衡状态;
S3:应用迭代算子G,更新寄存器2和寄存器3的量子状态,增加目标状态的概率幅值同时降低非目标状态的概率幅值;
S4:对寄存器2更新后的状态进行测量;
S5:寻找搜索问题的解。
优选地,S1具体为:假设一个搜索问题,其搜索空间为N=2n,即可以用n个比特表示其搜索空间大小,将搜索问题表示为一个输入x的函数f(x),则x取值范围是[0,2n-1],函数f的定义是,若x是一个搜索问题的解,则f(x)=1,否则f(x)=0,如果f(x)有唯一解,为了方便起见,令x0表示搜索问题的唯一解,则f(x0)=1,当x≠x0使得f(x)=0;找到f(x)的解时即是找到了一个搜索问题的解。
对于一个搜索问题f(x),可以先求出g(x)的唯一解x′0,再由x′0求f(x)的x0;
优选地,S2包括以下步骤:
S2.3:应用Oracle算子于S2.2所得的状态,若存在解,则标志解的位置,否则保持不变;
S2.4:应用U算子于系统,假设g(x)存在解,则增大解的概率幅,同时减小非解的概率幅;
其中,O表示Oracle算子;
优选地,S5中搜索问题的解采用穷举法进行寻找。
优选地,S5包括以下步骤:
优选地,O的作用是标志g(x)的解的位置,使得状态|x0′>→-|x0′>,其他状态则保持不变,其对应的矩阵可以用I-2|x0′><x0′|表示。
与现有技术相比,本发明技术方案的有益效果是:现有的Grover算法的线路复杂度为O(2n/2)。而改进的Grover算法,如果将Oracle算子看成一个单元,则改进的算法量子线路复杂度为O(2n/4),运行时间复杂度为O(2n/4),因此,减少了大量的量子门的应用和所需的量子比特数量,使得配有少量的量子计算机可以得到更为广泛的应用。
附图说明
图1为量子并行搜索方法的流程图;
图2为具有通用输入的Grover算法的线路框架图;
图3为改进Grover量子搜索算法的线路框架图;
图4为改进Grover算法的Oracle算子线路框架图;
图5为Grover量子搜索算法的几何过程描述图。
具体实施方式
附图仅用于示例性说明,不能理解为对本专利的限制;
为了更好说明本实施例,附图某些部件会有省略、放大或缩小,并不代表实际产品的尺寸;
对于本领域技术人员来说,附图中某些公知结构及其说明可能省略是可以理解的。
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案做进一步的说明。
实施例1:
本实施例提供一种量子并行搜索方法,所述方法基于量子并行搜索系统来实现,所述系统包括可调用的:寄存器1、寄存器2、寄存器3、G算子、辅助比特0、辅助比特1、Hadamard门、compare线路、受控UH门;
辅助比特0的初始化状态为|0>、辅助比特1的初始化状态为|1>状;
寄存器对应问题的输入;
G算子包括Oracle量子线路,算子U量子线路;
初始化为|0>状态的辅助比特0,作用是在Oracle算子里控制寄存器中的量子比特;
初始化为|1>状态的辅助比特1辅助翻转解的位置;
Oracle量子线路,用来检查辅助比特的相位来判断x是否为搜索问题的一个解;
算子U量子线路,用来放大搜索问题的解的概率幅值;测量线路,是对算法最后输出状态作测量;还有一些基本的量子门电路;
U算子由单位矩阵、Hadamard门和条件相移Ux算子组成。
条件相移Ux算子的作用是使得状态|0>以外的每一个计算基态获得-1的相位移动;
如图1所示,所述方法包括以下步骤:
S1:构建一个搜索问题;
S2:应用Hadamard门于寄存器2和寄存器3,使得寄存器2和寄存器3为均衡状态;
S3:应用迭代算子G,更新寄存器2和寄存器3的量子状态,增加目标状态的概率幅值同时降低非目标状态的概率幅值;
S4:对寄存器2更新后的状态进行测量;
S5:寻找搜索问题的解。
具体来说,首先假设函数f(x)表示一个搜索问题,若f(x)=1则表示找到解,f(x)=0则找不到解,其搜索空间为N=2n的问题,即x的取值范围是[0,2n-1],如果f(x)有唯一解x0使得f(x0)=1,x的其他取值都使得f(x)=0。Grover算法可以在线路复杂度为的情况下找到f(x)的唯一解x0,当输入比特数n比较大时,量子线路消耗过大,为了降低线路规模,考虑将n个输入比特分成两部分:n1和n2,其中n1+n2=n并且n1为经典比特。经典比特n1的输入范围是可以将原来的问题转为个子搜索问题,每个子问题对应于n2个量子比特的输入的Grover搜索算法。对于每一个经典取值算法的子搜索空间为对于x1的全部取值,即其对应搜索空间为原来问题的搜索空间2n,因此,f(x)的解x0必定存在于其中一个搜索子问题。该方法可以在运行时间复杂度为和线路复杂度为的情况下以接近1的概率找到问题的解。假设n1取值为n/3,n2取值为2n/3,(若n不能被3整除,则取则该方法的运行时间复杂度为O(2n/3)和线路复杂度为O(2n /3)。因此,相比于原来的Grover算法,该方法将量子线路从O(2n/2)降至O(2n/3)。为实现该算法,需要准备两个寄存器和一个辅助量子比特,寄存器1存储n1个经典比特,寄存2存储n2个量子比特。整个量子线路图如图2所示。
步骤3.应用Oracle算子于步骤2所得的状态,Oracle算子可以查找系统的均衡叠加态中是否存在问题解的状态,若存在所述问题解的状态,则标记所述问题解的状态,若不存在所述问题解的状态,则保持原状态,即Oracle算子对系统不起任何作用。
对于步骤4、5、6所做的算子运算可以写成算子U,该算子亦称为关于均值的反演运算。将Oracle算子和U结合写成G算子,该算子对应于Grover算法中的G算子。使用G算子对步骤2后的系统的量子均衡叠加态进行次迭代并在每次迭代后更新系统的叠加态。在对寄存器2测量之前,再应用一次于寄存器2,如果当前子问题不包含原问题的解,测量得到的结果值一定是0。如果测量结果是非零值,则去掉最后一次变换在不改变当前x1的值,重新执行一次该系统再测量,假设测量值为x′,则
为了更进一步降低量子线路规模,对于搜索空间为N=2n的f(x),将n个输入比特分为三个部分:n1、n2和n3,其中n1+n2+n3=n。对于原问题f(x),当且仅当x的取值为x0时,使得f(x0)=1,对于x≠x0,f(x)=0。设计一个布尔函数g(x)。
其中,x的取值范围是符号是模二运算(异或)。因此,对于f(x)存在唯一解x0,使得f(x0)=1,相应地,对应g(x)也同样存在唯一的值x0′,使得g(x0′)=1,对于x≠x0′,则g(x)=0。假设可以找到x0′,则同样可以找到原问题的解x0,其中为了找到具体的解x0,可以通过简单的穷举搜索计算是否等于1来确定k值,其运行时间复杂度为
为了获得布尔函数g(x)的唯一解x′0使得g(x)=1,利用前面所述的方法,n1为经典比特,其取值范围是因此,可以将求解布尔函数g(x)的问题转为个子搜索问题,每个子问题对应于n2个量子比特的输入的量子搜索算法,则x′0必定存在于其中一个子问题中。因此,可以在运行时间复杂度为和线路复杂度为的情况下以接近1的概率找到g(x)的唯一解x′0。在获得g(x)的解x′0之后,可以通过简单的穷举搜索计算来找到f(x)的解其运算时间复杂度为假设n1取值为n/4,n2取值为n/2,n3取值为n/4(若n不能被4整除,则取 如果将Oracle算子看做一个单元,则该方法寻找g(x)的解x′0的时间复杂度为O(2n/4)和线路复杂度为O(2n/4),最后再以运算时间复杂度为O(2n/4)简单穷举搜索获得f(x)的解x0。实现该算法的整个量子线路框架图如图3所示,其中寄存器1存储n1个经典比特,寄存2存储n2个量子比特,寄存3存储n3个量子比特,辅助比特0主要作用是在Oracle算子里控制寄存器3中的量子比特,辅助比特1和前面所述方法一致。该算法与前面述所方法的步骤类似,下面作简要概述。对于图3,将最里面的虚线框包含两个Hadamard变换和条件相移Ux算子写成一个U算子,U算子主要作用是对寄存器2中的量子比特作均值的反演运算,条件相移Ux算子与前面述所一样。
步骤3.应用Oracle算子于步骤2所得的状态,Oracle算子主要是标志g(x)的解x′0的位置,如果不存在解,则保持原状态,即Oracle算子对系统不起任何作用。
步骤4.应用U算子于系统,假设g(x)存在解,则增大解的概率幅,同时减小非解的概率幅。
对于步骤3和步骤4,可写成一个G算子,使用G算子对步骤2后的系统的量子均衡叠加态进行次迭代。与前面所述方法一样,在对寄存器2测量之前,再应用一次于寄存器2。如果当前子问题不包含g(x)的解x′0,则测量值为0;如果当前子问题包含g(x)的解x′0,则测量结果值是随机坍缩到中的一个值。若测量值为非零值时,则当前子问题包含x′0,此时,只需去掉最后一次在当前的x1值重新执行该系统一次,再测量即可得到x′0对应于n2的部分,假设测量值为x″0,则在获得x′0的基础下可以通过简单的穷举法寻找f(x)的解x0。
作为一个具体的实施例,下面结合具体情况进行比较分析:
对于一个搜索问题f(x),假设存在唯一解x0使得f(x0)=1,x的其他取值都使得f(x)=0,其搜索空间为N=2n,n为输入比特数量,我们的任务是在N个待搜索元素中找到x0。结合图2,将n个输入比特分成两部分:n1和n2,其中n1+n2=n,即将原来的问题转为个子搜索问题,每个子问题对应于n2个量子比特的输入的Grover搜索算法。以分别表示系统中的初始状态,初始状态经过Hadamard门线路的状态,经过Oracle算子的状态,经过相位概率幅值放大后的状态。初始化寄存器1,2和辅助量子比特,其中x1取值范围为将x1的值转为二进制值,并将其对应的位从高到低存储于寄存器1中;寄存器2初始化为状态辅助量子比特初始化为|1>。以表示系统的初始化状态,则:
其中表示单位矩阵。应用Oracle算子于系统,其可以标志f(x)的解的位置,即Oracle可以使得状态|x0>→-|x0>,对于其他状态则保持不变,其对应的矩阵可以用I-2|x0><x0|表示。用O表示Oracle算子,则:
其中ax,r是第r迭代对应状态|x>的幅值,
ax,r=-ax,r-1+2〈ar-1>
当r=1时,
如果当前子问题包含f(x)的解x0,即x0∈X1,则:
在使用G算子对系统的量子均衡叠加态进行次迭代后,对寄存器2的量子叠加态进行测量,如果当前子搜索问题包含原问题的解x0,测量结果将于接近1的概率得到解x0对应于n2的部分,假设测量值为x′,则若当前子搜索问题不包含原问题的解x0,则测量的结果值是量子均衡叠加态随机坍缩到中的一个值。因此,这不能区分当前子问题是否包含原问题的解。考虑到多数情况下,当前子问题是不包含原问题的解,因此,在对寄存器2测量之前,再应用一次Hadamard变换于寄存器2。如果当前子问题不包含原问题的解,在最后应用到系统中之前,寄存器2的量子状态是均衡叠加状态,因此,应用于寄存器2,测量得到的结果值一定是0;如果当前子问题包含原问题的解,则测量结果值是随机坍缩到中的一个值。由此可知,当测量结果为非零值时,可以判断当前子问题包含解,此时,只需去掉最后一次Hadamard变换在当前的x1值重新执行该系统一次,再测量即可得到x0对应于n2的部分,假设测量值为x′,则如果测量结果为0值,则取x1的下一个值再次执行此系统。总的来说,该方法可以在运行时间复杂度为和线路复杂度为的情况下找到问题的解。
值得注意的是,如果当前子问题包含原问题的解,由该系统得到叠加态经测量后,测量值有可能为0值,此时,该方法无法找到正确的解,由于测量状态是随机坍缩到中的其中一个状态,而测量之前的寄存器2中的量子状态接近于均匀叠加状态,因此,由于随机坍缩到0值而找不到正确的解的概率约等于
为了更进一步降低量子线路规模,对于一个搜索问题f(x),可以先求出g(x)的唯一解x′0,再由x′0求f(x)的x0。结合图3,将n个输入比特分成两部分:n1,n2和n3,其中n1+n2+n3=n。以分别表示系统中的初始状态,初始状态经过Hadamard门线路的状态,经过r此迭代算子G的状态。以x1对应的二进制初始化寄存器1;寄存器2、3分别初始化为辅助比特0、1分别初始化为|0>,|1>,辅助比特0的主要作用是控制寄存器3(以下分析过程忽略辅助比特0,这并不影响结果),则:
其中,y为对应寄存器3中的量子状态;
以O表示Oracle算子,这里O的主要作用是标志g(x)的解的位置,使得状态|x0′>→-|x0′>,其他状态则保持不变,其对应的矩阵可以用I-2|x0′><x0′|表示。以U表示条件相移Ux算子与其两边的Hadamard变换的结果,即:
如果当前子问题包含g(x)的解x0′,即x0′∈X1,则:
yi表示状态|y>对应的i位的状态,y0表示搜索问题的解对应寄存器3中的n3比特的部分。
在系统经过r次迭代后,对寄存器2进行测量,和前面所述方法一样,在测量之前,再应用一次Hadamard变换于寄存器2。如果当前子问题不包含g(x)的解x0′,则测量结果值一定是0;如果当前子问题包含x0′,则去掉最后一次Hadamard变换在当前的x1值重新执行该系统一次,再测量即可得到x0′对应于n2的部分,假设测量值为x′,则在获得g(x)的解x0′后,以简单的穷举法计算是否等于1从而确定k值,若等于1即找到原来搜索问题的解
图4为该算法对应的Oracle的线路,比较器(线路compare)的主要作用是对比状态和寄存器3的结果。如果当前子问题不包含x0′,则此时寄存器3中的量子状态是经过比较器后,使得辅助量子比特0从状态|0>变为状态|1>从而使得受控UH门应用于寄存器3对应的量子比特,受控UH门的主要作用是在当前子问题不包含解的情况下,系统进行下一次迭代时保证寄存器3中的量子比特是均衡叠加状态;辅助量子比特1则保持不变。如果当前子问题包含x0′,则量子比特0保持不变,从而受控UH门不对系统起作用;辅助量子比特1则从状态变为状态从而标志g(x)的解。如果当前子问题包含x0′,以|y0>表示系统经过图4里面虚线框的线路对应寄存器3的量子状态,以|y0′>表示状态|y0>经过的状态,则:
其对应的状态有一半的量子比特获得-1的相位移动。该算法整个Oracle算子的作用是标志g(x)的解x0′,效果等价于在n2个量子搜索空间中标志出解,如果在n2+n3个量子搜索空间中标志,则相当于简单地标志了个解,量子线路的复杂度为由于|y0′>有一半的量子比特获得-1的相位移动,等效于标志了个解,因此,量子线路复杂度应为 因此,在该系统中需要迭代次G算子,如果忽略系数则线路复杂度为由图4可知,在Oracle算子里,里面的G算子迭代了因此整个量子线路复杂度为通常n3的占比较小,假设将Oracle算子看为一个单元,则线路复杂度为最后,在获得g(x)的解x0′时,通过简单穷举确定k值,即可确定原问题的解 由于该算法是基于前面所述方法实现的,因此,在对寄存器2测量时,则会以概率为得到的结果为0,这意味着该算法找不到解。
此外,Grover算法本身就是一种概率型搜索算法,因此,对于这两种方法还存在Grover算法本身对应的测量误差,假设f(x)存在唯一解x0,以 表示非解,|β>=|x0>表示解,则系统的均衡叠加状态:
则:
在系统上应用G,则:
在系统迭代r次G,
以上所述都是针对f(x)只有一个解x0,假设f(x)存在M个解,以|X0|=M表示解空间,则:
令:
在系统迭代r次G,
附图中描述位置关系的用语仅用于示例性说明,不能理解为对本专利的限制;
显然,本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例,而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说,在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等,均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。
Claims (9)
1.一种量子并行搜索方法,其特征在于,所述方法基于量子并行搜索系统来实现,所述系统包括可调用的:寄存器1、寄存器2、寄存器3、G算子、辅助比特0、辅助比特1、Hadamard门、compare线路、受控UH门;
辅助比特0的初始化状态为|0>、辅助比特1的初始化状态为|1>状;
寄存器对应问题的输入;
G算子包括Oracle量子线路,算子U量子线路;
初始化为|0>状态的辅助比特0,作用是在Oracle算子里控制寄存器中的量子比特;
初始化为|1>状态的辅助比特1辅助翻转解的位置;
Oracle量子线路,用来检查辅助比特的相位来判断x是否为搜索问题的一个解;
算子U量子线路,用来放大搜索问题的解的概率幅值;测量线路,是对算法最后输出状态作测量;还有一些基本的量子门电路;
U算子由单位矩阵、Hadamard门和条件相移Ux算子组成;
条件相移Ux算子的作用是使得状态|0>以外的每一个计算基态获得-1的相位移动;
所述方法包括以下步骤:
S1:构建一个搜索问题;
S2:应用Hadamard门于寄存器2和寄存器3,使得寄存器2和寄存器3为均衡状态;
S3:应用迭代算子G,更新寄存器2和寄存器3的量子状态,增加目标状态的概率幅值同时降低非目标状态的概率幅值;
S4:对寄存器2更新后的状态进行测量;
S5:寻找搜索问题的解。
3.根据权利要求2所述的量子并行搜索方法,其特征在于,S2包括以下步骤:
S2.3:应用Oracle算子于S2.2所得的状态,若存在解,则标志解的位置,否则保持不变;
S2.4:应用U算子于系统,假设g(x)存在解,则增大解的概率幅,同时减小非解的概率幅;
其中,O表示Oracle算子。
5.根据权利要求4所述的量子并行搜索方法,其特征在于,S5中搜索问题的解采用穷举法进行寻找。
9.根据权利要求8所述的量子并行搜索方法,其特征在于,O用来标志g(x)的解的位置,使得状态|x0′>→-|x0′>,其他状态则保持不变,其对应的矩阵用I-2|x0′><x0′|表示。
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CN202010055786.2A CN111291892B (zh) | 2020-01-17 | 2020-01-17 | 一种量子并行搜索方法 |
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