JP4868258B2 - 反射率推定方法 - Google Patents

Description

本発明は反射率推定方法に関し、詳しくはカラー・シフト塗装色の反射特性を調べるのに適した反射率推定方法に関する。

自動車の車体に塗られる塗装色は、色と明るさが見る方向によって変化する。こうした塗装の見栄えは塗装面の反射特性、すなわち反射率によって数値化することができる。このため、塗装色の反射率を測定することによって、塗装色の製造工程や検査工程において品質を管理したり、塗る前にコンピュータ・グラフィクス（ＣＧ）で塗装色を検討したりすることが可能になる。したがって、塗装色の反射率を測定することは重要である。そして、塗装面の反射率を測定する際の条件をどのように設定するかが重要な課題となる。

車体に塗られる一般的な塗装色の反射特性は、一つの入射面内において、入射角度６０度で入射した光を略１０度（１０度±数度）、略１８度（１８度±数度）、略２８度（２８度±数度）、略４０度（４０度±数度）、略９０度（９０度±数度）の代表５変角で受光したときの反射率を求めることによって、十分に把握できることがわかっている（例えば、特許文献１参照）。

なお、この特許文献１では、被測定面上の入射点Ｐに入射角θで入射した光が入射面Ａ内において反射角θで正反射するとき、その正反射方向を変角０度として、正反射方向から入射点Ｐにおける被測定面の法線側に向かう角度（正反射方向から法線に向かう側が正となり、法線とは反対の被測定面に向かう側が負となる）を変角としている。

この５角度法では、一つの入射面内における代表５変角で受光した反射率を求めて補間する。これにより、ソリッドの他に、メタリックやパールマイカなどの複雑な塗装色についても、その反射率を簡便に測定することができる。
特開２００３−３０７４５６号公報

ところで、近年、自動車業界における市場ニーズの多様化・差別化に対応するために、マジョーラ（日本ペイント社）のようなカラー・シフト塗装色（特殊塗装色）が開発されて市場に徐々に浸透しつつある。このため、カラー・シフト塗装色の反射特性を定量化しうる反射率の測定方法が必要となっている。

しかし、カラー・シフト塗装色は、光源の位置が変わるに連れて色の見え方が著しく異なるという特性を有する。このため、カラー・シフト塗装色の反射光に関しては、入射面に含まれない方向についても考慮する必要がある。したがって、一つの入射面内における代表５変角で受光する前記従来の５角度法によっては、カラー・シフト塗装色の反射率を正確に測定することができなかった。

以下、前記従来の５角度法によっては、カラー・シフト塗装色の反射率を正確に測定できないことを具体的に示す。

前記従来の５角度法は、一つの入射面内における代表５変角で受光したときの反射率を測定するもので、測定しようとする塗装色が下記（ａ）及び（ｂ）の２条件を満たすことを前提としている。

（ａ）入射角が変化しても変角特性が変わらない（入射角依存性がない）。
（ｂ）変角の正又は負によって変角特性が変わらない（変角０度での変角特性の対称性がある）。

しかしながら、以下に示す本発明者の研究調査により、カラー・シフト塗装色は前記２条件を満たすものではなく、したがって、カラー・シフト塗装色については、前述した従来の５角度法を使うことができないことが明らかとなった。

カラー・シフト塗装色の特性について、入射角依存性があるか否かという観点及び変角０度での変角特性の対称性があるか否かという観点から、本発明者が研究調査した結果を以下に示す。

なお、以下に示す研究調査の結果においては、一つの入射面において、入射角θで光を入射させ、その入射面内の変角αにおける塗装色をＬ^＊ａ^＊ｂ^＊値で表し、ｃ（θ，α）＝（Ｌ^＊ _θ（α），ａ^＊ _θ（α），ｂ^＊ _θ（α））と表記する。

（入射角依存性）
ある一つのカラー・シフト塗装色（日本ペイント社製の７７３（エメラルドＳＳ））を含む１９４種類のサンプル塗装色について、入射角θが６０度、４５度及び５０度であるときのｃ（６０，α）、ｃ（４５，α）及びｃ（５０，α）をそれぞれ求めた。

そして、各サンプル塗装色について、入射角θが６０度である場合と入射角θが４５度である場合との変角毎の色差の平均値（６０度及び４５度間における平均色差）を、下記（１）のように定義して求めた。

同様に、各サンプル塗装色について、入射角θが６０度である場合と入射角θが５０度である場合との変角毎の色差の平均値（６０度及び５０度間における平均色差）を、下記（２）のように定義して求めた。

なお、仮に入射角依存性が全くなければ、下記（１）式で定義される６０度及び４５度間における平均色差並びに前記（２）式で定義される６０度及び５０度間における平均色差は、それぞれ０になるはずである。

また、正反射方向近傍で受光したときの測定データは測定誤差を含んでいるため、０≦α≦９の測定データを除いた。

その結果、前記（ａ）及び（ｂ）の２条件を満たす一般塗装色では、６０度及び４５度間における平均色差が３．５０となり、６０度及び５０度間における平均色差が２．５３となった。これにより、一般塗装色では、入射角が６０度から４５度に変化したり、あるいは入射角が６０度から５０度に変化したりしても、変角特性はほとんど変化せず、入射角依存性がほとんどないことがわかった。

これに対し、カラー・シフト塗装色では、６０度及び４５度間における平均色差が１５．６０となり、６０度及び５０度間における平均色差が１１．５５となった。これにより、カラー・シフト塗装色では、入射角が変化すれば変角特性が変化し、入射角依存性があることがわかった。

（変角０度での変角特性の対称性）
次に、各前記サンプル塗装色について、入射角６０度で、光源側の変角αを１０〜２０度の間で変化させるとともに、被測定面側の変角−αを−１０〜−２０度の間で変化させ、下記（３）式により、変角の正−負間における色差の平均値を求めた。

なお、仮に変角０度での変角特性の対称性があれば、下記（３）式で定義される変角の正−負間における平均色差は、０になるはずである。

また、各前記サンプル塗装色について、入射角４５度、５０度においても同様にして、変角の正−負間における平均色差を調べた。

その結果、前記（ａ）及び（ｂ）の２条件を満たす一般塗装色では、変角の正−負間における平均色差は、入射角４５度のときが７．３０、入射角５０度のときが７．００、入射角６０度のときが６．９６となった。これにより、一般塗装色では、どの入射角でも、変角の正又は負によって変角特性があまり変わらず、変角０度での変角特性の対称性がほぼあることがわかった。

これに対し、カラー・シフト塗装色では、変角の正−負間における平均色差は、入射角４５度のときが３３．６６、入射角５０度のときが５４．１８、入射角６０度のときが６５．７９となった。これにより、カラー・シフト塗装色では、どの入射角でも、変角の正又は負によって変角特性が大きく変わり、変角０度での変角特性の対称性がないことがわかった。

以上の研究調査により、カラー・シフト塗装色は前記（ａ）及び（ｂ）の２条件をいずれも満たさず、したがって前記（ａ）及び（ｂ）の２条件を前提とし、一つの入射面内のみにおいて代表５変角を変化させて反射率を測定する前述した従来の５角度法は、カラー・シフト塗装色には使えないことがわかった。

すなわち、カラー・シフト塗装色については、入射面に含まれない方向に反射する反射光を考慮する必要があり、新規な測定方法を用いない限り、原則、全ての入射角及び反射角について反射率を全点測定する必要があることが判明した。

しかし、全点測定方法は、測定点が膨大となり、多大な測定時間を要するため、非実用的である。仮に、入射角を０〜９０度の範囲、反射角を−９０〜９０度の範囲及び方位角（入射面と反射面とがなす角）を０〜９０度の範囲で、例えば入射角を４度毎、反射角を２度毎、方位角を４度毎に変化させて測ったとしても、全部で４８１３９（＝２３×９１×２３）点を測る必要がある。一点の測定には通常９〜１０秒程度を要するため、１日８時間測定するとして、４８１３９点の測定には約１６日間という多大な測定時間を要することになる。

このように、カラー・シフト塗装色については、簡便な反射率の測定方法が未だ確立されていないのが現状である。

本発明は上記実情に鑑みてなされたものであり、カラー・シフト塗装色についても簡便に反射率を測定することを解決すべき技術課題とするものである。

本発明者は、カラー・シフト塗装色の反射率を測定する際の測定時間を短縮化させるべく、塗装色の反射率の相互性（reciprocity）と反射光分布のモデル化という２つの手法を用いて測定点数を削減することを創案し、これらの手法が有効であることを研究調査により確認して、本発明を完成した。

すなわち、本発明の反射率推定方法は、被測定面上の入射点Ｐに入射光Ｌを所定の入射角θで入射させたときに該入射光Ｌが入射面Ａ内で正反射した正反射光Ｓと、該入射光Ｌが該入射点Ｐで反射して受光される反射光Ｖとがなす角を変角αとして、該入射面Ａ内及び入射面Ａ外にある任意の変角における反射率を推定する反射率推定方法であって、第１反射率測定工程、第１軌跡取得工程、第２反射率測定工程、第２軌跡取得工程、２交点座標取得工程、モデル式取得工程及び全体軌跡取得工程を備えている。

第１反射率測定工程では、前記入射面Ａ内において前記入射点Ｐに入射角θ_ｄで入射光Ｌ_ｄを入射させ、該入射面Ａ内における所定の変角α_１、α_２、…で受光したときの、該入射面Ａ内に在る第１反射光Ｖ_ａ１、Ｖ_ａ２、…の該入射光Ｌ_ｄに対する第１反射率Ｒ（α_ａ１）、Ｒ（α_ａ２）、…を測定する。

第１軌跡取得工程では、前記入射光Ｌ_ｄと各前記第１反射光Ｖ_ａ１、Ｖ_ａ２、…との二等分ベクトルをそれぞれ第１二等分ベクトルＨ_ａ１、Ｈ_ａ２、…とするとともに、前記第１反射率Ｒ（α_ａ）の大きさを｜Ｈ_ａ｜＝｜Ｒ（α_ａ）｜と定義して、前記第１反射率Ｒ（α_ａ１）、Ｒ（α_ａ２）、…の測定結果から、前記入射面Ａ内で二次元的に変位する曲線としての、該第１二等分ベクトルＨ_ａ１、Ｈ_ａ２、…の終点の第１軌跡ｌを求める。

第２反射率測定工程では、前記入射面Ａ内において前記入射点Ｐに前記入射角θ_ｄで前記入射光Ｌ_ｄを入射させ、入射面Ａ外における前記変角α_１、α_２、…で受光したときの、該入射面Ａ外に在る第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の該入射光Ｌ_ｄに対する第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する。第２反射光Ｖ _ｂ１ 、Ｖ _ｂ２ 、…は、入射点 Ｐを頂点とし、かつ該入射点Ｐにおける前記被測定面の法線たる回転軸としてのｚ軸と母 線とが前記入射角θ _ｄ と同一の角度θ _ｄ をなす円錐面上に在る。

第２軌跡取得工程では、前記入射光Ｌ_ｄと各前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…との二等分ベクトルをそれぞれ第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…とするとともに、前記第２反射率Ｒ（α_ｂ）の大きさを｜Ｈ_ｂ｜＝｜Ｒ（α_ｂ）｜と定義して、前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の測定結果から、前記入射面Ａ外で三次元的に変位する曲線としての、該第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…の終点の第２軌跡ｍを求める。

２交点座標取得工程では、互いに直交し前記入射点Ｐを原点として共有するｘ軸、ｙ軸及びｚ軸を有するとともに、前記被測定面がｘｙ平面となり且つ該入射点Ｐを含むｘｚ平面が前記入射面Ａとなる空間内の直交座標Ｐ−ｘｙｚを想定したとき、ｚ軸に垂直な平面ｚ＝ｚ_ｉと前記第１軌跡ｌ及び前記第２軌跡ｍとの交点Ｑ_ｌｉ（ｘ_ｌｉ，０，ｚ_ｉ）及びＱ_ｍｉ（ｘ_ｍｉ，ｙ_ｍｉ，ｚ_ｉ）を求める。

モデル式取得工程では、前記交点Ｑ_ｌｉ及びＱ_ｍｉから、前記平面ｚ＝ｚ_ｉ上における二等分ベクトルＨ_ｉの終点の軌跡ｎ（ｘ，ｙ，ｚ_ｉ）を、該交点Ｑ_ｌｉ及びＱ_ｍｉを通るなめらかな曲線を示す数式で近似してモデル化した、近似モデル式を求める。

ここに、前記なめらかな曲線とは、微分不可能な点がない曲線のことである。本発明において、前記交点Ｑ_li及びＱ_miを通り、ｚ軸を中心とするなめらかな曲線は、次数が２次の曲線の一つである楕円である。

全体軌跡取得工程では、ｚ_ｉ＝０〜∞として、前記近似モデル式から、前記第１反射光Ｖ_ａ及び前記第２反射光Ｖ_ｂ以外の反射光Ｖ’と前記入射光Ｌ_ｄとの二等分ベクトルＨ’の終点全体の全体軌跡ｎ’（ｘ，ｙ，ｚ）を近似的に求める。

前記変角α_１、α_２、…は、０〜９０度の範囲内で定められたＮ（１≦Ｎ≦８９）個の代表Ｎ変角から選ばれる少なくとも一つを含む。

そして、本発明の反射率推定方法では、前記第１反射率測定工程、前記第１軌跡取得工程、前記第２反射率測定工程、前記第２軌跡取得工程、前記２交点座標取得工程、前記モデル式取得工程及び前記全体軌跡取得工程を、０〜９０度の範囲内にある複数の入射角θ_ｄ＝θ_１、θ_２、…についての入射光Ｌ_ｄ＝Ｌ_１、Ｌ_２、…毎に繰り返す。

ここに、本発明の反射率推定方法における前記変角αとは、前述のとおり被測定面上の入射点Ｐに入射光Ｌを所定の入射角θで入射させたときに該入射光Ｌが入射面Ａ内で正反射した正反射光Ｓと、該入射光Ｌが該入射点Ｐで反射して受光される反射光Ｖとがなす角をいうが、この変角αには、前記入射面Ａ内における変角と、前記入射面Ａ外における変角とが含まれる。

また、変角αが前記入射面（直交座標Ｐ−ｘｙｚにおけるｘ軸とｚ軸とで張られるｘｚ平面）Ａ内における変角である場合、変角αは、正反射方向から入射点における被測定面（直交座標Ｐ−ｘｙｚにおけるｘ軸とｙ軸とで張られるｘｙ平面）の法線（直交座標Ｐ−ｘｙｚにおけるｚ軸）に向かう側が正となり、正反射方向から被測定面に向かう側が負となる。一方、変角αが前記入射面Ａ外における変角である場合、変角αは、二等分ベクトルのｘ座標及びｙ座標が共に０より大きくなる場合が正となり、二等分ベクトルのｙ座標が０以上でかつｘ座標が０より小さくなる場合が負となる。

また、前記二等分ベクトルとは、入射光ベクトルと反射光ベクトルとがなす角の半分の角度方向を向くベクトル（ハーフウェイベクトル）をいう。

本発明の反射率推定方法では、第１反射率測定工程及び第１軌跡取得工程により、入射面Ａ内における第１反射光Ｖ_ａの反射率Ｒ（α_ａ）の第１軌跡ｌを求めるとともに、第２反射率測定工程及び第２軌跡取得工程により、入射面Ａ外における第２反射光Ｖ_ｂの反射率Ｒ（α_ｂ）の第２軌跡ｍを求める。このとき、反射率の相互性を利用して、変角αが負になる測定点については反射率を測定しない。また、原則的には、変角αが所定の代表Ｎ変角になる測定点についてのみ反射率を測定する。代表Ｎ変角以外の変角についての反射率は、主成分分析、重回帰分析や時系列分析で得られた主成分ベクトル（固有ベクトル）の外挿処理や曲線補間法等により補間することができる。そして、２交点座標取得工程、モデル式取得工程及び全体軌跡取得工程により、第１軌跡ｌ及び第２軌跡ｍから反射光分布をモデル化して、三次元的な反射光分布を求める。

したがって、本発明の反射率推定方法では、三次元的な反射光分布を求めることができるので、入射面Ａ内にある変角αのみならず、入射面Ａ外を含む三次元における変角αについても、その反射率を推定することが可能となる。

しかも本発明の反射率推定方法では、反射率の相互性と反射光分布のモデル化とを利用することで、全ての入射角及び全ての反射角を変化させて測定する全点測定方法等と比べて、測定点の削減により測定時間を短縮することができ、カラー・シフト塗装色であっても簡便に反射率を測定することが可能となる。

本発明の反射率推定方法において、前記第２反射率測定工程では、前記入射点Ｐを頂点とし、かつ該入射点Ｐにおける前記被測定面の法線たる回転軸としてのｚ軸と母線とが前記入射角θ_ｄと同等の角度をなす円錐面上に在る前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定することが好ましい。

このように、ｚ軸と角度θ_ｄをなす円錐面上に第２反射光Ｖ_ｂを採れば、測定方法が単純となるので、入射面Ａ外における第２反射光Ｖ_ｂの反射率Ｒ（α_ｂ）を測定する際に測定漏れ等のミスを減らすことができる。

本発明の反射率推定方法において、前記第２反射率測定工程では、前記入射面Ａたるｘｚ平面と方位角φ_１＝９０度、φ_２＝（９０−ｅ）度、φ_３＝（９０−２ｅ）度、…をなし、かつ前記入射点Ｐにおける前記被測定面の法線たるｚ軸を含む平面Ｂ_１、Ｂ_２、Ｂ_３、…を想定したとき（前記ｅは任意の正の数）、前記代表Ｎ変角のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ_１内に前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する第１工程を実施し、かつ、直前の第（ｆ−１）工程では、平面Ｂ_ｆ−１内に前記第２二等分ベクトルが在るようには前記代表Ｎ変角の少なくとも一部を採れないために、前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の少なくとも一部を測定できなかったときは、該第（ｆ−１）工程で採れなかった該代表Ｎ変角の少なくとも一部のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ_ｆ−１内ではなく平面Ｂ_ｆ内に前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する第ｆ工程を、第２工程、第３工程、…として繰り返し実施することにより、前記代表Ｎ変角における前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が前記平面Ｂ_１、Ｂ_２、Ｂ_３、…内のいずれかに在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定することが好ましい。

このように第２反射率測定工程で入射面Ａ外における第２反射光Ｖ_ｂの反射率Ｒ（α_ｂ）を測定すれば、第２軌跡取得工程で得られる第２軌跡ｍを第１軌跡ｌから離すのに有利となるため、反射光分布を示す楕円等の数式をより正確に特定することができ、反射率の推定をより高精度に行うことが可能となる。

ここに、本発明の反射率推定方法において、前記変角α_１、α_２、…は、測定点数の削減による測定時間の短縮化を図る観点より、０〜９０度の範囲内で定められたＮ（１≦Ｎ≦８９）個の代表Ｎ変角から選ばれる少なくとも一つを含む。

この代表Ｎ変角の角度及び数は特に限定されないが、本発明方法により推定した反射率の精度を高めて信頼性を向上させる観点より、略１０度と略９０度とが少なくとも含まれていることが好ましく、例えば代表Ｎ変角は、略１０度（１０度±数度）、略１８度（１８度±数度）、略２８度（２８度±数度）、略４０度（４０度±数度）及び略９０度（９０度±数度）の代表５変角であることが好ましい。

また、代表Ｎ変角として負の変角αを考えないのは、反射率の相互性を利用できるからである。反射率の相互性によれば、例えば、入射角θａが３０度で、入射面Ａ内における変角αが−４０度（受光角（＝入射角−変角）θｂが７０度）であるときの反射光の反射率Ｒ（３０，７０）と、入射角θａが７０度で、入射面Ａ内における変角αが４０度（受光角θｂが３０度）であるときの反射光の反射率Ｒ（７０，３０）とは等しくなる（Ｒ（３０，７０）＝Ｒ（７０，３０））。このため、入射角θａが３０度で、入射面Ａ内における変角αが−４０度（受光角θｂが７０度）であるときの反射光の反射率Ｒ（３０，７０）は、入射角θａが７０度で、入射面Ａ内における変角αが４０度（受光角θｂが３０度）であるときの反射光の反射率Ｒ（７０，３０）として測定していることになるので、測定する必要がない。

なお、反射率を測定する際の測定機によっては、機構上の制約により、被測定面となす角度（被測定面からの仰角）が所定値よりも小さくなる角度範囲（測定不可能範囲）内に入射光又は反射光が入るときは、測定が不可能になるものがある。この場合、測定不可能範囲内に入る入射光又は反射光の反射率については、測定可能なものでなるべく近いものの反射率を代用することができる。

例えば、被測定面となす角度が１０度未満になる範囲が測定不可能範囲であるような測定機を使用する場合において、入射角が８０度を超えるとその入射光は測定不可能範囲に入るので、反射率の測定が不可能となる。このため、このような場合は、入射角が８０度を超える入射光についての反射率は、測定することなく、例えば入射角が８０度であるときの入射光についての反射率を代わりに採用することができる。

同様に、被測定面となす角度が１０度未満になる範囲が測定不可能範囲であるような測定機を使用する場合において、例えば、入射角が１０度未満になると、その入射光の入射面内における変角αが９０度となる反射光は測定不可能範囲に入るので、反射率の測定が不可能となる。このため、このような場合は、例えば入射角θが１０度未満で入射面内における変角αが９０度になる反射光についての反射率は、測定することなく、例えば入射角θが１０度未満で入射面内における変角αが（８０＋θ）度となる反射光についての反射率を代わりに採用することができる。

本発明の反射率推定方法の好適な態様において、前記被測定面にはカラー・シフト塗装色が施されている。すなわち、本発明の反射率推定方法は、カラー・シフト塗装色の反射率を測定するのに好適に利用することができる。

ここに、前記カラー・シフト塗装色とは、光の入射角によって変角特性が変化し（入射角依存性があり）、かつ、変角の正又は負によって変角特性が変わる（変角０度での変角特性の対称性がない）ものをいう。

なお、前記変角特性とは、変角（入射面内で正反射方向に反射する正反射光と、受光する反射光とがなす角度）による反射光の強度変化である。

本発明の反射率推定方法によれば、全ての入射角及び全ての反射角を変化させて測定する全点測定方法等と比べて、測定点の削減により測定時間を短縮することができ、カラー・シフト塗装色であっても簡便に反射率を測定することが可能となる。

本実施形態１において、カラー・シフト塗装色が施された被測定面Ｄ上の入射点Ｐに入射光Ｌを所定の入射角θで入射させるとともにその反射光Ｖを受光する様子を説明する説明図である。 本実施形態１において、第１反射率測定工程で、カラー・シフト塗装色が施された被測定面Ｄ上の入射点Ｐに入射角θ_ｄで入射光Ｌ_ｄを入射させ、入射面Ａ内における所定の変角αで受光したときの、該入射面Ａ内に在る第１反射光Ｖ_ａの第１反射率（分光立体角反射率）Ｒ（α_ａ）を測定する様子を説明する説明図である。 本実施形態１において、第２反射率測定工程で、入射点Ｐを頂点とし、かつ入射点Ｐにおける被測定面Ｄの法線たるｚ軸と入射角θ_ｄをなす円錐面上に在る第２反射光Ｖ_ｂの第２反射率Ｒ（α_ｂ）を測定する様子を説明する説明図である。 本実施形態１において、２交点座標取得工程で、第１軌跡取得工程で求めた第１軌跡ｌ及び第２軌跡取得工程で求めた第２軌跡ｍと、平面ｚ＝ｚ_ｉとの交点を求める様子を説明する説明図である。 本実施形態２において、第２反射率測定工程で、入射面Ａたるｘｚ平面と方位角φ_ｉをなし、かつ入射点Ｐにおける被測定面Ｄの法線たるｚ軸を含む平面Ｂ_ｉ内に在る、入射光Ｌと第２反射光Ｖ_ｂｉとの第２二等分ベクトルＨ_ｂｉを説明する説明図である。 本実施形態２において、第２反射率測定工程で、第２反射光Ｖ_ｂｉがｘｙ平面となす角ηの最小値を与えるψの最大値ψ_ｍａｘと平面Ｂ_ｉの方位角φ_ｉとの関係を示し、方位角φ_ｉが９０度から小さくなる平面Ｂ_ｉほど、その平面Ｂ_ｉ内で第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが動くことのできる範囲が増大することを説明する説明図である。 本実施形態２において、第２反射率測定工程で、平面Ｂ_ｉの方位角φ_ｉと、その方位角φ_ｉの平面Ｂ_ｉ内に第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが在るような第２反射光Ｖ_ｂｉの変角α_ｉの最大変角α_ｍａｘとの関係を示し、方位角φ_ｉが小さくなるほど、最大変角α_ｍａｘが大きくなることを説明する説明図である。 本実施形態２において、第２軌跡取得工程で求めた、入射面Ａ外で三次元的に変位する曲線としての第２軌跡ｍの一例を説明する説明図である。 波長が３９０ｎｍである入射光における反射分布について、微小面の分布により立体表示したもので、上段の３つが入射角２０度のもの、中段３つが入射角４０度のもの、下段３つが入射角６０度のものであり、また、左の列がｙｚ平面、中央の列がｚｘ平面、右の列がｘｙ平面を示す。 （ａ）は波長が４５０ｎｍで、入射角θが６０度である場合について、反射率の計算値と実測値との比較結果を示し、（ｂ）は各変角αにおける両者の色差を示す。

符号の説明

Ａ…入射面 Ｄ…被測定面
Ｌ…入射光 Ｖ…反射光
Ｓ…正反射光 θ…入射角
ｌ…第１軌跡 ｍ…第２軌跡
Ｖ_ａ…第１反射光 Ｖ_ｂ…第２反射光
Ｈ_ａ…第１二等分ベクトル Ｈ_ｂ…第２二等分ベクトル
α…変角

まず、カラー・シフト塗装色の反射率の測定において、測定点数を削減するためには、塗装色の反射率の相互性と反射光分布のモデル化（数式モデル化）という２つの手法が有効であることを、本発明者による研究調査の結果とともに以下に示す。

（塗装色についての反射率の相互性による測定点数の削減）
塗装色についての反射率の相互性とは、入射光と反射光とを逆にしてもその塗装色の反射率が変わらない性質をいう。すなわち、入射光の入射角をθａ、反射光の受光角（＝入射角−変角）をθｂとしたときの反射率Ｒ（θａ，θｂ）と、入射光と反射光とを逆にして入射角をθｂ、受光角をθａとしたときの反射率Ｒ（θｂ，θａ）とが等しければ（Ｒ（θａ，θｂ）＝Ｒ（θｂ，θａ））、塗装色の反射率の相互性があることになる。

塗装色についての反射率の相互性が成立するか否かを確認するために、カラー・シフト塗装色を含む１９４種類の前記サンプル塗装色において、入射面内で入射角と受光角とを入れ換えた場合の色差を計算した。具体的には、Ｒ（４５，６０）とＲ（６０，４５）及びＲ（５０，６０）とＲ（６０，５０）の２組の色差を塗装色毎に計算した。その結果、Ｒ（４５，６０）とＲ（６０，４５）との平均色差は２．１０と小さく、Ｒ（５０，６０）とＲ（６０，５０）との平均色差も１．８６と小さかった。

さらに、前記サンプル塗装色において、入射光の入射面内に反射光がない場合について１５〜１４１度の範囲内で入射角と受光角とを入れ換えて反射率を調べることで、反射光が入射面内にない場合についても、塗装色の反射率の相互性が成立することを確認した。

これらの結果より、カラー・シフト塗装色及び一般塗装色のいずれにおいても、反射率の相互性が成立することがわかった。これにより、相互性を利用すれば、測定点数を５０％削減できることがわかった。

（反射光分布のモデル化による測定点数の削減）
また、本発明者は、反射光の分布を数式でモデル化することにより測定点数を削減できないかを研究調査した。

反射光の分布を考える際、各入射角についての反射光自体の分布を図示しようとすると、入射角によって反射光の分布の方向が変化するため、各入射角で反射光の分布を比較することが困難となる。

そこで、本発明者は、二等分ベクトルを用いる微小面（方向の異なる微小な面により構成されていると仮想された面で、複数の小素面により構成された面）モデルにより、反射率を考えることとした。この微小面モデルでは、反射光の強度は、入射光と反射光との二等分ベクトルの方向（入射光と反射光とがなす角の半分の角度方向）を向く微小面の数に比例すると便宜的に考えることができる。そうすると、各入射角について微小面の分布を図示したとき、微小面の分布の方向は、入射角にかかわらず常に上方を向くので、それらを比較することが容易となる。

このため、本発明者は、カラー・シフト塗装色について、反射分布を調べるべく、光源の入射角を変化させたときの微小面の分布を図示してみた。図９は、波長が３９０ｎｍである入射光における反射分布について、微小面の分布により立体表示したもので、上段の３つが入射角２０度のもの、中段３つが入射角４０度のもの、下段３つが入射角６０度のものである。また、図９において、左の列がｙｚ平面、中央の列がｚｘ平面、右の列がｘｙ平面を示す。なお、図９は、受光変角が正であるときの反射光の反射分布を示す。受光変角が負であるときの反射光の反射分布は、相互性の性質により、受光変角が負であるときの反射光と入射光を入れ換えた場合における受光変角が正であるときの反射分布となる。

図９より、カラー・シフト塗装色においては、光源の入射角を変化させたときの微小面の分布が楕円体の一部で近似できることがわかった。この点について詳述すると、互いに直交し前記入射点Ｐを原点として共有するｘ軸、ｙ軸及びｚ軸を有するとともに、前記被測定面がｘｙ平面となり且つ該入射点Ｐを含むｘｚ平面が前記入射面Ａとなる空間内の直交座標Ｐ−ｘｙｚを想定した場合、受光変角が正であるときについて言えば、光源の入射角を変化させたときの微小面の分布を近似的に示す楕円体の一部は、平面ｚ＝ｚ_ｉにおいて、入射点Ｐを中心とし、長軸と短軸を、ｘ軸とｙ軸（又はｙ軸とｘ軸）にもつ楕円の一部となる。

なお、受光変角が負である場合は、光源の入射角を変化させたときの微小面の分布は、受光変角が正である場合と同様、平面ｚ＝ｚ_ｉにおいて、入射点Ｐを中心とし、長軸と短軸をｘ軸とｙ軸（又はｙ軸とｘ軸）にもつ楕円の一部となるような楕円体の一部により近似できるが、反射率の相互性より考えなくてもよい。

また、カラー・シフト塗装色において、微小面の分布が前述のような楕円体になるのは、ランバートの法則による円が、特殊な光輝材と特殊な層構造とによって変形したためと考えられる。一方、カラー・シフト塗装色以外の一般塗装色においては、反射光分布が正反射光に対し回転対称であるため、微小面の分布が表面の法線に対して回転対称の図形になると考えられる。

これにより、カラー・シフト塗装色が施された被測定面に入射光が入射したときの、該入射光とその反射光との二等分ベクトルにより微小面の分布を考えれば、この被測定面で反射する反射光の反射分布を数式でモデル化できることがわかった。すなわち、カラー・シフト塗装色における微小面の分布を近似的に示す入射点を中心とする前記楕円体の一部について、例えば被測定面と平行な平面で切った楕円（被測定面の入射点における法線を中心とする楕円）の一部に着目すれば、その楕円を示す数式により、カラー・シフト塗装色についての反射分布を近似的にモデル化できることがわかった。

ここに、中心がわかっている楕円は、その楕円上の２点の座標がわかれば、数式で特定することができる。例えば、ｘｙ座標において、（ａ，０）及び（０，ｂ）の２点を通り、且つ原点を中心とする楕円は、数式（ｘ／ａ）^２＋（ｙ／ｂ）^２＝１で特定することができる。

そこで、本発明者は、カラー・シフト塗装色における微小面の分布を近似的に示す入射点を中心とする前記楕円体の一部について、被測定面と平行な平面で切った楕円（被測定面の入射点における法線上に中心がくる楕円）の一部を数式で特定すべく、反射率の大きさをその反射光の二等分ベクトルの長さと定義して、入射面内における反射光の二等分ベクトルの終点の軌跡と、入射面外における反射光の二等分ベクトルの終点の軌跡とを求め、各軌跡と前記平面との交点をそれぞれ求めることを考えた。

入射面内における二等分ベクトルの軌跡は、その入射面内で変角αを変化させたときの反射光の反射率を測定することで求めることができる。このため、前述した従来の５角度法を利用して、入射面内にある代表変角の反射光について反射率を測定して補間しても、ある程度信頼性の高い軌跡を求めることができる。

ところが、入射面外における二等分ベクトルの軌跡を求めることについては、種々の問題があった。

まず、前述した従来の５角度法は、入射面内における代表変角の反射光について反射率を測定するものであるため、入射面外にある代表変角の反射光について反射率を測定して補間した場合に、それがどの程度信頼できるのかが不明であった。

そこで、本発明者は、入射面Ａ内において被測定面上の入射点Ｐに入射角θで入射光が入射する場合において、被測定面上の入射点Ｐを頂点とし、かつ入射点Ｐにおける被測定面の法線たる回転軸としてのｚ軸と母線とが入射角θと同等の角度をなす円錐面上に在る反射光Ｖ_ｂを考えた。なお、入射面Ａと反射面とがなす方位角φを用いれば、ｚ軸と角度θをなす円錐面上に在る反射光Ｖ_ｂは、Ｖ_ｂ＝（ｓｉｎθｃｏｓφ,ｓｉｎθｓｉｎφ，ｃｏｓθ）となる。そして、入射面Ａ内における正反射光Ｓと反射光Ｖ_ｂとがなす変角αを、１０度、１８度、２８度、４０度及び９０度の代表５変角として、各代表５変角における反射光Ｖ_ｂの反射率Ｒ（α_ｂ）をそれぞれ測定し、その測定結果から補間した反射率の計算値と、各変角αについて実際に測定した反射率の実測値とを比較した。

波長が４５０ｎｍで、入射角θが６０度である場合、反射率の計算値と実測値との比較結果を図１０（ａ）に示し、各変角αにおける両者の色差を図１０（ｂ）に示す。図１０より、１０度以上の変角αにおいて色差が２以下となり、反射率の計算値と実測値とがほぼ等しいことがわかった。他の入射角、波長においても同様に、計算値と実測値とがほとんど一致した。

これにより、前述した従来の５角度法は、入射面外にある代表変角における反射率を測定する場合においても成立することがわかった。

また、楕円を示す数式の信頼性を向上させる観点からは、前記入射面内における反射光の二等分ベクトルの終点の軌跡と、前記入射面外における反射光の二等分ベクトルの終点の軌跡とができるだけ離れていることが望ましい。かかる観点からは、入射面外における反射光の二等分ベクトルは、例えば入射面と垂直な平面、すなわち入射面となす方位角φが９０度の平面上に在ることが望ましい。

しかし、後述するように、入射角θを一定とした場合、方位角φが９０度のときに、その方位角φが９０度の平面上に二等分ベクトルが在るように採ることのできる代表変角の範囲が最も狭くなり、方位角φが９０度から減少するに連れて、その方位角φの平面上に二等分ベクトルが在るように採ることのできる代表変角の範囲が広がる。別の言い方をすれば、方位角φが９０度の平面では、全ての代表変角における二等分ベクトルがその平面上に在ることになるような入射角θの範囲が狭くなり、方位角φが９０度から減少するに連れて、全ての代表変角における二等分ベクトルがその平面上に在ることになるような入射角θの範囲が広くなる。このため、入射面外における反射光の二等分ベクトルの終点の軌跡として、方位角φが９０度の平面上に在る二等分ベクトルの終点の軌跡を求めることは、必ずしも有効ではない。

そこで、本発明者は、前記入射面外における反射光の二等分ベクトルの終点の軌跡を求めるために、方位角φが９０度の平面上以外で三次元的に変位する曲線としての二等分ベクトルの終点の軌跡を求める２つの手法を創案し、これらが有効であることを確認した。

以上の研究調査の結果を基になされた本発明の反射率推定方法についての実施形態を、以下図面を参照しつつ説明する。

（実施形態１）
本実施形態の反射率推定方法では、図１に示されるように、カラー・シフト塗装色が施された被測定面Ｄ上の入射点Ｐに入射光Ｌを所定の入射角θで入射させるとともにその反射光Ｖを受光する場合において、該入射光Ｌが入射面Ａ内で正反射した正反射光Ｓと、該反射光Ｖとがなす角を変角αとして、該入射面Ａ内及び入射面Ａ外における任意の変角の反射率を推定する。なお、反射光Ｖには、入射面Ａ内で反射する反射光及び入射面Ａ外で反射する反射光の双方が含まれる。

なお、入射角θ_ｄがθ_１、θ_２、…＝０度、１度、２度…となるように、入射角θ_ｄを０〜９０度の範囲内で１度毎に変化させる場合について以下説明するが、この入射角θ_ｄを変化させる角度は特に限定されない。

また、測定不可能となる角度範囲が１０度未満である測定機を用いる場合について以下説明するが、この角度範囲は特に限定されない。ここに、測定不可能となる角度範囲が１０度未満であるとは、被測定面Ｄとなす角度（被測定面Ｄからの仰角）が１０度未満になる角度範囲（測定不可能範囲）内に入射光Ｌ又は反射光Ｖが入るときは、測定機の機構上の制約により、測定が不可能になることを意味する。

以下、各工程について具体的に説明する。

＜第１反射率測定工程＞
第１反射率測定工程では、図２に示されるように、カラー・シフト塗装色が施された被測定面Ｄ上の入射点Ｐに入射角θ_ｄで入射光Ｌ_ｄを入射させ、入射面Ａ内における所定の変角αで受光したときの、該入射面Ａ内に在る第１反射光Ｖ_ａの第１反射率（分光立体角反射率）Ｒ（α_ａ）を測定する。

すなわち、この第１反射率測定工程では、カラー・シフト塗装色が施された被測定面Ｄ上の入射点Ｐに、入射面Ａ内において入射角θ_ｄで入射光Ｌ_ｄを入射させる。そして、該入射面Ａ内における所定の変角α_１、α_２、…で受光したときの、該入射面Ａ内に在る第１反射光Ｖ_ａ１、Ｖ_ａ２、…の該入射光Ｌ_ｄに対する第１反射率Ｒ（α_ａ１）、Ｒ（α_ａ２）、…を測定する。

この第１反射率測定工程で第１反射率Ｒ（α_ａ１）、Ｒ（α_ａ２）、…を測定するときの測定変角α_１、α_２、…として、本実施形態では、表１に示されるように、１０度、１８度、２８度、４０度及び９０度の代表５変角の他に、（８０＋θ_ｄ）度を採用する。そして、入射角θ_ｄの大きさに応じて測定可能な測定変角がこれらの中から採択される。

すなわち、入射角θ_ｄが１０〜８０度（θ_ｄ＝１０度、１１度、…、８０度）であるときは、測定変角α_１、α_２、…として、１０度、１８度、２８度、４０度及び９０度の全ての代表５変角が採択される。

また、入射角θ_ｄが０〜９度（θ_ｄ＝０度、１度、…、９度）であるときは、測定変角α_１、α_２、…として、１０度、１８度、２８度及び４０度の代表５変角のうちの４点と、（８０＋θ_ｄ）度とが採択される。すなわち、入射角θ_ｄが０〜９度であるときは、代表５変角としての９０度であるときの反射率を測定する代わりに、変角αが（８０＋θ_ｄ）度であるときの反射率を測定する。

ここに、入射角θ_ｄが０〜９度であるときに、測定変角αとして、代表５変角たる９０度の代わりに（８０＋θ_ｄ）度を採択するのは、入射角θ_ｄが０〜９度であるときに変角α＝９０度となるように入射面Ａ内で反射する第１反射光Ｖ_ａは、上記測定不可能範囲内に入ることから、反射率を測定できないからである。

さらに、入射角θ_ｄが８１〜９０度（θ_ｄ＝８１度、８２度、…、９０度）であるときは、入射光Ｌ_ｄが上記測定不可能範囲内に入ることから、その第１反射光Ｖ_ａの反射率を測定できない。このため、本実施形態では、入射角θ_ｄが８１〜９０度の入射光Ｌ_ｄについては、その第１反射光Ｖ_ａを測定することなく、入射角θ_ｄが８０度であるときの入射光Ｌ_ｄに対する第１反射光Ｖ_ａの反射率をそのまま用いて計算する。

なお、反射率の相互性により、変角αが負になるような測定点については反射率を測定しない。

したがって、本実施形態における第１反射率測定工程で第１反射率Ｒ（α_ａ）を測定する測定点の合計は、５×８１＝４０５（点）となる。

＜第１軌跡取得工程＞
第１軌跡取得工程では、前記第１反射率測定工程で求めた前記第１反射率Ｒ（α_ａ１）、Ｒ（α_ａ２）、…の測定結果から、前記入射面Ａ内で二次元的に変位する曲線としての、第１二等分ベクトルＨ_ａ１、Ｈ_ａ２、…の終点の第１軌跡ｌを求める。

この第１二等分ベクトルＨ_ａ１、Ｈ_ａ２、…は、入射面Ａ内に在る各第１反射光Ｖ_ａ１、Ｖ_ａ２、…と前記入射光Ｌ_ｄとの二等分ベクトルである。また、この第１二等分ベクトルＨ_ａ１、Ｈ_ａ２、…は、各第１反射率Ｒ（α_ａ１）、Ｒ（α_ａ２）、…の大きさを各第１二等分ベクトルＨ_ａ１、Ｈ_ａ２、…の長さ、すなわち｜Ｈ_ａ１｜＝｜Ｒ（α_ａ１）｜、｜Ｈ_ａ２｜＝｜Ｒ（α_ａ２）｜、…と定義したものである。

このため、第１二等分ベクトルＨ_ａ１、Ｈ_ａ２、…の終点の第１軌跡ｌは、入射面Ａ内で二次元的に変位する曲線となる。また、この第１軌跡ｌは、各入射角θ_ｄ毎に、第１反射光Ｖ_ａ１、Ｖ_ａ２、…の反射分布を近似的に示すものとなる。

ここに、図２に示されるように、被測定面Ｄをｘｙ平面とし、この被測定面Ｄの入射点Ｐにおける法線をｚ軸とする空間内の直交座標Ｐ−ｘｙｚを想定すれば、入射面Ａはｘｚ平面となる。また、第１軌跡ｌの一端はｚ軸上の点（変角α＝０度のときの第１二等分ベクトルＨ_ａの終点）となる。さらに、第１軌跡ｌの他端が入射光ベクトルＬ上の点（変角α＝２θ_ｄ度のときの第１二等分ベクトルＨ_ａの終点）となったり、あるいは第１軌跡ｌの他端側が入射光ベクトルＬ上の点（変角α＝２θ_ｄ度のときの第１二等分ベクトルＨ_ａの終点）を通ったりする。

第１軌跡ｌを求める際、第１反射率測定工程で反射率を測定した測定点（測定変角）以外の変角についての反射率は、主に主成分分析により補間することができる。

被測定面の反射率は測定変角に応じて変動するが、複数の所定の変角における反射率について主成分分析すれば、反射率についての特徴を求めることができ、その特徴量から所定の変角以外の変角における反射率を推定することができる。すなわち、測定変角における反射率を主成分分析し、その分析結果として得られる主成分を固有値として求め、かつ主成分ベクトルを固有ベクトルとして求め、これら固有値及び固有ベクトル並びに固有ベクトルに乗算するための係数で表した基本式を定めることで、この基本式から測定点以外の変角における反射率を推定することができる。

以下、主成分分析による反射率の推定の原理について、簡単に説明する。

波長λｉにおいて、変角α_１，α_２，…，α_ｐにおける反射率を、下記（４）に示すｐ個の要素をもつベクトル量Ｘ^ｉで表す。
Ｘ^ｉ＝（ρ^ｉ _１，ρ^ｉ _２，…，ρ^ｉ _ｐ）^Ｔ …（４）

また、Ｘ^ｉのサンプルがＮ個あるとしてｊ番目のサンプルＸ^ｉ _ｊを下記（５）とおく。
Ｘ^ｉ _ｊ＝（ρ^ｉ _１ｊ，ρ^ｉ _２ｊ，…，ρ^ｉ _ｐｊ）^Ｔ …（５）

そして、Ｎ個のサンプルＸ^ｉ _ｊ（ｊ＝１，２，…，Ｎ）を主成分分析して得られた固有値をｌ_１，ｌ_２，…，ｌ_ｐ（ｌ_１＞ｌ_２＞…＞ｌ_ｐ）とし、これに対応する固有ベクトルをｂ^ｉ _１，ｂ^ｉ _２，…，ｂ^ｉ _ｐとする。ここで、ｂ^ｉ _ｊを下記（６）とおく。
ｂ^ｉ _ｊ＝（ｂ^ｉ _１ｊ，ｂ^ｉ _２ｊ，…，ｂ^ｉ _ｐｊ）^Ｔ …（６）

そうすると、Ｘ^ｉ _ｊは、主成分分析の原理により、下記（７）に示されるように、主成分分析で得られるベクトルｕ^ｉ、固有ベクトルｂ^ｉ及び係数ｋ^ｉによって再構成される。
Ｘ^ｉ _ｊ＝ｕ^ｉ＋ｋ^ｉ _１ｊｂ^ｉ _１＋ｋ^ｉ _２ｊｂ^ｉ _２＋…＋ｋ^ｉ _ｐｊｂ^ｉ _ｐ …（７）

ここに、ベクトルｕ^ｉは、下記（８）式で示される平均値ベクトルである。
ｕ^ｉ＝（ｕ^ｉ _１，ｕ^ｉ _２，…，ｕ^ｉ _ｐ）^Ｔ …（８）
ただし、

である。

また、固有ベクトルｂ^ｉは、下記（１０）式で示される固有方程式を満たすｐ次元の直交基底である。
Ｒ^ｉｂ^ｉ _ｊ＝ｌ^ｉ _ｊｂ^ｉ _ｊ， ｊ＝１，２，…，ｐ …（１０）

なお、Ｒ^ｉは下記（１１）式で示される共分散行列である。

ここに、（１１）式中のｃ^ｉは下記（１２）式で示される。

さらに、係数ｋ^ｉ _ｊは下記（１３）式で表される。
ｋ^ｉ _ｉｊ＝ｂ^ｉ _ｉｊ ^ＴＸ^ｉ _ｊ …（１３）

前記（７）式は第１主成分から第ｐ主成分までを用いているが、主成分分析ではｐより小さなｍを用いて第１主成分から第ｍ主成分までで表すことができる。これを要素で表記すると、下記（１４）となる。

前記（１４）式から理解されるように、任意の変角αの反射率ρは、平均ベクトルｕ、固有ベクトルｂ及び係数ｋにより表現することができる。したがって、被測定面について測定した代表５変角等の反射率を用いて、係数ｋを求めれば、測定点以外の変角における反射率を前記（１４）から導出することができる。この（１４）式を係数ｋについて解けば、下記（１５）式が得られる。

ここに、例えば代表５変角に対する反射率をρ^ｉ _１ｊ，ρ^ｉ _２ｊ，…，ρ^ｉ _５ｊと表記し、前記（７）式において第５主成分までを考えれば、これら５つの変角に対して、下記（１６）式が成り立つ。

この（１６）式を係数ｋ^ｉ _１，ｋ^ｉ _２，…，ｋ^ｉ _５について解けば、下記（１７）式が得られる。

これにより、ｋ^ｉ _１，ｋ^ｉ _２，…，ｋ^ｉ _５を求め、前記（１６）式に代入することによって、代表５変角等の測定点以外の変角における反射率を推定することができる。

また、変角αが０〜９度（α＝０度、１度、…、９度）の１０個の反射率については誤差が大きいため、測定値に忠実に再現しても、その再現結果は信頼性が低くなる。しかし、ＣＧ（コンピュータグラフィクス）等の画像表示をする場合には、全変角における反射率のデータが必要であり、１０度未満の変角における反射率のデータも必要となる。このとき、ＣＧ等における画像表示の滑らか性を向上させる観点より、変角αが１０度未満における反射率のデータについては、変角αが１０〜９０度における反射率特性の傾向を維持しつつこれに滑らかに連続するような反射率特性となるように推定することが望ましい。

そこで、本実施形態では、変角αが１０〜９０度における反射率のデータに基づいて、時系列分析することにより、変角αが０〜９度の反射率を推定する。この時系列分析による外挿は、反射率に対して直接行うのではなく、０〜９度の変角における５つの主成分ベクトルに対して行うことが好ましい。０〜９度の変角における５つの主成分ベクトルができれば、前記（１６）式から０〜９度の変角における反射率を推定して外挿することができる。

時系列分析においては、ｔ＝１，２，…，ｎに対する時系列データｘ_ｔが与えられたとき、これらの時系列データを分析して定式化することで、ｔ＝ｎ＋１，ｎ＋２，…に対するｘ_ｔを予測することができる。このときの分析には、例えば、定式化を着実に実施できるＢｏｘ−Ｊｅｎｋｉｎｓ法を利用することができる。

なお、変角αが１０度未満における反射率の推定には、前記時系列分析の他に、重回帰分析や曲線補間法等を利用することができる。

また、変角αが９０度を超える範囲については、反射率がほとんど変化しないため、反射率を測定せずに、変角αが９０度であるときの反射率で近似することができる。

ここに、変角αが０度であるときの第１反射光Ｖ_ａは、入射光Ｌ_ｄが入射面Ａ内で正反射方向に反射した正反射光Ｓ_ｄである。そして、この正反射光Ｓ_ｄたる第１反射光Ｖ_ａの第１二等分ベクトルＨ_ａの終点は、第１軌跡取得工程で求める第１軌跡ｌの一端となる。また、変角αが２θ_ｄ度であるときの第１反射光Ｖ_ａは、入射光Ｌ_ｄの入射方向（光の出射側、すなわち再帰反射方向）に反射する反射光となるが、この変角αが２θ_ｄ度であるときの第１反射光Ｖ_ａの第１二等分ベクトルＨ_ａの終点は入射光ベクトルＬ上の点となる。なお、第１軌跡ｌの一端（変角αが０度であるときの第１反射光Ｖ_ａの第１二等分ベクトルＨ_ａの終点）は、第２軌跡取得工程で求める第２軌跡ｍの一端（変角αが０度であるときの第２反射光Ｖ_ｂの第２二等分ベクトルＨ_ｂの終点）と一致する。また、入射光ベクトルＬ上に在る第１軌跡ｌの一点（変角αが２θ_ｄ度であるときの第１反射光Ｖ_ａの第１二等分ベクトルＨ_ａの終点）は、第２軌跡取得工程で求める第２軌跡ｍの他端（変角αが２θ_ｄ度であるときの第２反射光Ｖ_ｂの第２二等分ベクトルＨ_ｂの終点）と一致する。

＜第２反射率測定工程＞
第２反射率測定工程では、前記被測定面Ｄ上の入射点Ｐに入射角θ_ｄで入射光Ｌ_ｄを入射させ、入射面Ａ外における所定の変角αで受光したときの、該入射面Ａ外に在る第２反射光Ｖ_ｂの第２反射率Ｒ（α_ｂ）を測定する。

すなわち、この第２反射率測定工程では、前記被特定面Ｄ上の入射点Ｐに入射面Ａ内において入射角θ_ｄで入射光Ｌ_ｄを入射させる。そして、入射面Ａ外における所定の変角α_１、α_２、…で受光したときの、入射面Ａ外に在る第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の該入射光Ｌ_ｄに対する第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する。

本実施形態における第２反射率測定工程では、図３に示されるように、前記入射点Ｐを頂点とし、かつ該入射点Ｐにおける前記被測定面（ｘｙ平面）Ｄの法線たる回転軸としてのｚ軸と母線とが前記入射角θ_ｄと同一の角度θ _ｄ をなす円錐面上に在る第２反射光Ｖ_{ｂ １}、Ｖ_ｂ２、…の第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する。すなわち、第２反射率測定工程では、ｚ軸と角度θ_ｄをなす円錐面上に在る第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する。

なお、図３に示されるように、ｚ軸と角度θ_ｄをなす円錐面上に在る第２反射光Ｖ_ｂの方位角をφとすれば、第２反射光Ｖ_ｂは、Ｖ_ｂ＝（ｓｉｎθ_ｄｃｏｓφ，ｓｉｎθ_ｄｓｉｎφ，ｃｏｓθ_ｄ）と表される。

この第２反射率測定工程で第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定するときの測定変角α_１、α_２、…として、本実施形態では、表２に示されるように、１０度、１８度、２８度、４０度及び９０度の代表５変角の他に、（２θ_ｄ−１）度を採用する。そして、入射角θ_ｄの大きさに応じて測定可能な測定変角がこれらの中から採択される。

すなわち、入射角θ_ｄが４６〜８０度（θ_ｄ＝４６度、４７度、…、８０度）であるときは、測定変角α_１、α_２、…として、１０度、１８度、２８度、４０度及び９０度の全ての代表５変角が採択される。

また、入射角θ_ｄが３０〜４５度（θ_ｄ＝３０度、３１度、…、４５度）であるときは、測定変角α_１、α_２、…として、１０度、１８度、２８度及び４０度の代表５変角のうちの４点が採択される。

ここに、入射角θ_ｄが３０〜４５度であるとき、変角αが代表５変角としての９０度となるような反射光は、ｚ軸と角度θ_ｄをなす円錐面上にくることがない。このため、入射角θ_ｄが３０〜４４度であるとき、変角αが代表５変角としての９０度となるような反射光の反射率は、第２反射率測定工程では測定しない。ただし、第２軌跡取得工程で第２軌跡ｍを求める際に、変角αが代表５変角としての９０度となる反射光の反射率の代わりに、第１軌跡取得工程で求めた、変角αが２θ_ｄ度となる反射光の反射率を計算に用いる。

また、入射角θ_ｄが４５度であるとき、変角αが代表５変角としての９０度（＝２θ_ｄ度）となる反射光の反射率も、第２反射率測定工程で実際に測定することはしない。そして、第２軌跡取得工程で第２軌跡ｍを求める際には、変角αが代表５変角としての９０度となる反射光の反射率の代わりに、第１軌跡取得工程で求めた、変角αが２θ_ｄ度となる反射光の反射率を計算に用いる。

さらに、入射角θ_ｄが１〜２９度（θ_ｄ＝１度、２度、…、２９度）であるときは、測定変角α_１、α_２、…として、１度、２度、…、（２θ_ｄ−１）度が採択される。すなわち、入射角θ_ｄが１〜２９度であるときは、１〜（２θ_ｄ−１）度の各角度で全て反射率を測定する。

例えば、入射角θ_ｄが１度であるときは、測定変角α_１として１度が採択され、また、入射角θ_ｄが２度であるときは、測定変角α_１、α_２、…として１度、２度及び３度が採択され、入射角θ_ｄが３度であるときは、測定変角α_１、α_２、…として１度、２度、…及び８度が採択され、…、入射角θ_ｄが２９度であるときは、測定変角α_１、α_２、…として１度、２度…及び５７度が採択される。

なお、入射角θ_ｄが１〜２９度であるとき、変角が２θ_ｄとなる反射光の反射率は、前記第１反射率測定工程で測定しているか、あるいは前記第１軌跡取得工程で計算により求めているため、第２反射率測定工程では測定しない。

また、入射角θ_ｄが８１〜９０度（θ_ｄ＝８１度、８２度、…、９０度）であるときは、入射光Ｌ_ｄが上記測定不可能範囲内に入ることから、その第２反射光Ｖ_ａの反射率を測定できない。このため、本実施形態では、入射角θ_ｄが８１〜９０度の入射光Ｌ_ｄについては、その第２反射光Ｖ_ｂを測定することなく、入射角θ_ｄが８０度であるときの入射光Ｌ_ｄに対する第２反射光Ｖ_ｂの反射率をそのまま用いて計算する。

さらに、反射率の相互性により、変角αが負になるような測定点については反射率を測定しない。

したがって、本実施形態における第２反射率測定工程で第２反射率Ｒ（α_ｂ）を測定する測定点の合計は、下記（１８）式より１０８０（点）となる。

＜第２軌跡取得工程＞
第２軌跡取得工程では、前記第２反射率測定工程で求めた前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の測定結果から、前記入射面Ａ外で三次元的に変位する曲線としての、第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…の終点の第２軌跡ｍを求める。

この第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…は、入射面Ａ外にあり、ｚ軸と角度θ_ｄをなす円錐面上に在る第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…と前記入射光Ｌ_ｄとの二等分ベクトルである。また、この第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…は、各第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の大きさを各第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…の長さ、すなわち｜Ｈ_ｂ１｜＝｜Ｒ（α_ｂ１）｜、｜Ｈ_ｂ２｜＝｜Ｒ（α_ｂ２）｜、…と定義したものである。

このため、第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…の終点の第２軌跡ｍは、入射面Ａ外で三次元的に変位する曲線となる。また、この第２軌跡ｍは、各入射角θ_ｄ毎に、第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の反射分布を近似的に示すものとなる。

ここに、第２軌跡ｍの一端はｚ軸上の点（変角α＝０度のときの第２二等分ベクトルＨ_ｂの終点）となる。また、第２軌跡ｍの他端は入射光ベクトルＬ上の点（変角α＝２θ_ｄ度のときの第２二等分ベクトルＨ_ａの終点）となる。

第２軌跡ｍを求める際、第２反射率測定工程で反射率を測定した測定点（測定変角）以外の変角についての反射率は、前記第１軌跡取得工程と同様に補間することができる。

＜２交点座標取得工程＞
前述したように、カラー・シフト塗装色が施された被測定面に入射光が入射したときの、該入射光とその反射光との二等分ベクトルにより微小面の分布を考えれば、カラー・シフト塗装色における微小面の分布は入射点Ｐを中心とする楕円体の一部で近似できる。このため、この入射点Ｐを中心とする楕円体の一部について、被測定面と平行な平面（ｚ軸に垂直な一つの平面ｚ＝ｚ_１）で切った楕円（被測定面の入射点Ｐにおける法線たるｚ軸を中心とする楕円）の一部に着目すれば、その楕円を示す数式により、カラー・シフト塗装色についての反射分布を近似的にモデル化できる。

そこで、２交点座標取得工程では、図４に示されるように、前記直交座標Ｐ−ｘｙｚにおけるｚ軸に垂直な平面ｚ＝ｚ_ｉを想定する。そして、この平面ｚ＝ｚ_ｉと、前記第１軌跡取得工程で求めた前記第１軌跡ｌとの交点Ｑ_ｌｉ（ｘ_ｌｉ，０，ｚ_ｉ）を求める。また、平面ｚ＝ｚ_ｉと、前記第２軌跡取得工程で求めた前記第２軌跡ｍとの交点Ｑ_ｍｉ（ｘ_ｍｉ，ｙ_ｍｉ，ｚ_ｉ）を求める。

こうして求めた交点Ｑ_ｌｉ（ｘ_ｌｉ，０，ｚ_ｉ）は、平面ｚ＝ｚ_ｉ上における第１二等分ベクトルＨ_ａの終点である。また、交点Ｑ_ｍｉ（ｘ_ｍｉ，ｙ_ｍｉ，ｚ_ｉ）は、平面ｚ＝ｚ_ｉと上における第２二等分ベクトルＨ_ｂの終点である。

＜モデル式取得工程＞
そして、モデル式取得工程では、図４に示されるように、前記２交点座標取得工程で求めた前記交点Ｑ_ｌｉ及びＱ_ｍｉから、前記平面ｚ＝ｚ_ｉ上における二等分ベクトルＨ_ｉの終点の軌跡ｎ（ｘ，ｙ，ｚ_ｉ）を、楕円を示す数式で近似してモデル化した、近似モデル式（１９）を求める。
（ｘ／ａ）^２＋（ｙ／ｂ）^２＝１，ｚ＝ｚ_ｉ …（１９）

この近似モデル式（１９）は、例えば既知の２点を代入して得られる２元連立方程式の解を利用することで、Ｑ_ｌｉ（ｘ_ｌｉ，０，ｚ_ｉ）及びＱ_ｍｉ（ｘ_ｍｉ，ｙ_ｍｉ，ｚ_ｉ）から求めることができる。なお、近似モデル式（１９）において、ａは、入射面Ａ内における軌跡ｎのｘ座標であり、ａ＝ｘ_ｌｉである。また、近似モデル式（１９）において、ｂは、入射面Ａと垂直な平面内における軌跡ｎのｙ座標である。

＜全体軌跡取得工程＞
さらに、全体軌跡取得工程では、ｚ_ｉ＝０〜∞として、前記近似モデル式（１９）から、前記第１反射光Ｖ_ａ及び前記第２反射光Ｖ_ｂ以外の反射光Ｖ’と前記入射光Ｌ_ｄとの二等分ベクトルＨ’の終点全体の全体軌跡ｎ’（ｘ，ｙ，ｚ）を近似的に求める。

そして、本実施形態の反射率推定方法では、前記第１反射率測定工程、前記第１軌跡取得工程、前記第２反射率測定工程、前記第２軌跡取得工程、前記２交点座標取得工程、前記モデル式取得工程及び前記全体軌跡取得工程を、０〜９０度の範囲内にある複数の入射角θ_ｄ＝θ_１、θ_２、…＝０度、１度、…、９０度についての入射光Ｌ_ｄ＝Ｌ_１、Ｌ_２、…、Ｌ_９１毎に繰り返す。ただし、入射角θ_ｄが８１〜９０度の入射光Ｌ_ｄについては、前述の通り、入射光Ｌ_ｄが測定不可能範囲に入るため、反射率の測定はしない。

これにより、本実施形態の反射率推定方法では、三次元的な反射光分布を求めることができるので、入射面Ａ内にある変角αのみならず、入射面Ａ外を含む三次元における変角αについても、その反射率を推定することが可能となる。

また、本実施形態の反射率推定方法では、反射率の測定点の合計が４０５＋１０８０＝１４８５（点）となる。この測定点の合計（１４８５点）は、前述した全点測定方法における全測定点数４８１３９（＝２３×９１×２３）点の約３％に相当する。よって、本実施形態の反射率推定方法によれば、前述した全点測定方法に対して、約９７％分の測定点の削減が可能になった。

さらに、本実施形態では、前記第２反射率測定工程で、ｚ軸と入射角θ_ｄをなす円錐面上に第２反射光Ｖ_ｂを採っているので、測定方法が単純となり、入射面Ａ外における第２反射光Ｖ_ｂの反射率Ｒ（α_ｂ）を測定する際に測定漏れ等のミスを減らすことができる。

（実施形態２）
本実施形態の反射率推定方法は、前記実施形態１の反射率推定方法において、第２反射率測定工程を変更したものである。

前記実施形態１における前記第２反射率測定工程のように、ｚ軸と入射角θ_ｄをなす円錐面上に第２反射光Ｖ_ｂを採った場合、変角αが０度であるときに、前記第２軌跡ｍの一端が、ｚ軸上の一点で、前記第１軌跡ｌの一端と一致する。また、変角αが２θ_ｄ度であるときに、前記第２軌跡ｍの他端が、入射光ベクトルＬ上の一点で、前記第１軌跡ｌの一点と一致する。このことは、変角αが０度及び変角αが２θ_ｄ度では、楕円が作れないことを意味する。また、変角αが０度又は２θ_ｄ度の近傍にあるときは、楕円を形成するための前記２交点Ｑ_ｌｉ及びＱ_ｍｉが互いに接近することになるため、これら２交点Ｑ_ｌｉ及びＱ_ｍｉから求める楕円の精度が低下する。

ここに、図５に示されるように、前記入射面Ａたるｘｚ平面と方位角φ_ｉ（φ_１＝９０度、φ_２＝８９度、φ_３＝８８度、…）をなし、かつ前記入射点Ｐにおける前記被測定面（ｘｙ面）Ｄの法線たるｚ軸を含む平面Ｂ_ｉ（方位角φ_１が９０度の平面Ｂ_１、方位角φ_２が８９度の平面Ｂ_２、方位角φ_３が８８度の平面Ｂ_３、…）を想定する。

前記第１軌跡ｌと前記第２軌跡ｍとを極力引き離して、前記楕円を示す数式の信頼性を向上させるという観点からは、第２軌跡ｍは、方位角φ_１が９０度の平面Ｂ_１内で二次元的に変位するものであることが最良であり、該平面Ｂ_１内で二次元的に変位するものになるべく近いものであることが望ましい。

そして、図５に示されるように、入射光Ｌと第２反射光Ｖ_ｂｉとの第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが方位角φ_ｉの平面Ｂ_ｉ内に在るような第２反射光Ｖ_ｂｉを考え、この第２二等分ベクトルＨ_ｂｉがｚ軸となす角をψとし、前記正反射光Ｓと第２反射光Ｖ_ｂｉとがなす角を変角α_ｉとしたとき、第２軌跡ｍが平面Ｂ_１内に在るためには、全ての変角α_ｉにおける第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが平面Ｂ_１内になければならない。

しかし、以下に説明するように、入射角θを一定とした場合に、方位角φ_ｉが９０度から小さくなる平面Ｂ_ｉほど、その平面Ｂ_ｉ内で第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが動くことのできる範囲が増大する。すなわち、方位角φ_１が９０度の平面Ｂ_１内では、第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが動くことのできる範囲が他の平面Ｂ_２、Ｂ_３、…と比べて最小となる。

まず、平面Ｂ_１内に在る第２二等分ベクトルＨ_ｂｉを、下記（２０）式で表せば、入射光Ｌは下記（２１）式であるから、第２反射光Ｖ_ｂｉは下記（２２）式で表される。
Ｈ_ｂｉ＝（sinψcosφ_ｉ，sinψsinφ_ｉ，socψ） …（２０）
Ｌ＝（sinθ，０，cosθ） …（２１）
Ｖ_ｂｉ＝２（Ｌ・Ｈ_ｂｉ）Ｈ_ｂｉ−Ｌ
＝２（sinθsinψcosφ_ｉ＋cosθcosψ）・（sinψcosφ_ｉ，sinψsinφ_ｉ，cosψ）
−（sinθ，０，cosθ） …（２２）

すなわち、第２反射光Ｖ_ｂｉのｘ座標、ｙ座標、ｚ座標をそれぞれＶ_ｘ、Ｖ_ｙ、Ｖ_ｚとすると、Ｖ_ｘ、Ｖ_ｙ、Ｖ_ｚはそれぞれ下記（２３）式、（２４）式、（２５）式で表される。
Ｖ_ｘ＝２（sinθsinψcosφ_ｉ＋cosθcosψ）・（sinψcosφ_ｉ）−sinθ …（２３）
Ｖ_ｙ＝２（sinθsinψcosφ_ｉ＋cosθcosψ）・（sinψsinφ_ｉ） …（２４）
Ｖ_ｚ＝２（sinθsinψcosφ_ｉ＋cosθcosψ）・（cosψ）−cosθ …（２５）

よって、第２反射光Ｖ_ｂｉのｚ座標Ｖ_ｚは、下記（２６）で表される。

ただし、ξは下記（２７）式を満たす。
tanξ＝cosθ／（sinθcosφ_ｉ） …（２７）

また、第２反射光Ｖ_ｂｉがｘｙ平面となす角ηは、下記（２８）式で表される。

ここに、第２反射光Ｖ_ｂｉは、測定機の機構上の制約から、前記測定不可能範囲内に入ることができないので、第２反射光Ｖ_ｂｉがｘｙ平面となす角ηはη≧１０となる。そして、η≧１０を満たす最小のηを与えるψの最大値をψ_ｍａｘとする。そうすると、入射角θが一定の場合、ψ_ｍａｘは方位角φ_ｉの関数となるが、ψ_ｍａｘは方位角φ_ｉが減少するに連れて大きくなる。

この入射角θが一定の場合における、ψ_ｍａｘと方位角φ_ｉとの関係は、前記（２８）式を用いると、図６のようになる。この図６より、入射角θを一定とした場合に、方位角φ_ｉが９０度から小さくなる平面Ｂ_ｉほど、その平面Ｂ_ｉ内で第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが動くことのできる範囲が増大することがわかる。

また、図７に示されるように、入射角θが一定である場合、平面Ｂ_ｉの方位角φ_ｉと、その方位角φ_ｉの平面Ｂ_ｉ内に第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが在るような第２反射光Ｖ_ｂｉの変角α_ｉの最大変角α_ｍａｘとの間には、方位角φ_ｉが小さくなるほど、最大変角α_ｍａｘが大きくなるという関係がある。ここに、最大変角α_ｍａｘとは、入射光Ｌ及び第２反射光Ｖ_ｂｉが前記測定不可能範囲内に入らない場合において、平面Ｂ_ｉ内に第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが在るような第２反射光Ｖ_ｂｉと前記正反射光Ｓとがなす変角α_ｉのうち、最大となる変角をいう。

このため、図７からわかるように、例えば入射角θが６０度である場合、方位角φ_１が９０度の平面Ｂ_１では、最大変角α_ｍａｘが約３２〜３３度であるため、前記代表５変角のうち１０度、１８度及び２８度のみを採ることができ、これら３つの変角における第２反射光Ｖ_ｂｉの第２二等分ベクトルＨ_ｂｉが前記平面Ｂ_１内に在ることになる。そして、前記代表５変角の４０度を採るためには、最大変角α_ｍａｘが約４０度以上となるように方位角φ_ｉを約８０度以上としなければならず、また、前記代表５変角の９０度を採るためには、最大変角α_ｍａｘが約９０度以上となるように方位角φ_ｉを約４５度以上としなければならない。

したがって、方位角φ_１が９０度の平面Ｂ_１内でのみ二次元的に変位するような第２軌跡ｍを求めることはできない。

そこで、本実施形態における第２反射率測定工程では、第２軌跡ｍを、方位角φ_１が９０度の平面Ｂ_１内で二次元的に変位するものになるべく近いものとするために、以下の工程を実施する。

まず、第１工程では、前記代表５変角のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ_１内に前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する。

そして、直前の第（ｆ−１）工程では、平面Ｂ_ｆ−１内に前記第２二等分ベクトルが在るようには前記代表５変角の少なくとも一部を採れないために、前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の少なくとも一部を測定できなかったときは、該第（ｆ−１）工程で採れなかった該代表５変角の少なくとも一部のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ_ｆ−１内ではなく平面Ｂ_ｆ内に前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する第ｆ工程を、第２工程、第３工程、…として繰り返し実施する。

すなわち、第１工程では、平面Ｂ_１内に前記第２二等分ベクトルが在るようには前記代表５変角の少なくとも一部を採れないために、前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の少なくとも一部を測定できなかったときは、該第１工程で採れなかった該代表５変角の少なくとも一部のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ_１内ではなく平面Ｂ_２内に前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する第２工程を実施する。

また、第２工程では、平面Ｂ_２内に前記第２二等分ベクトルが在るようには前記代表５変角の少なくとも一部を採れないために、前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の少なくとも一部を測定できなかったときは、該第２工程で採れなかった該代表５変角の少なくとも一部のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ_２内ではなく平面Ｂ_３内に前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する第３工程を実施する。

さらに、第３工程では、平面Ｂ_３内に前記第２二等分ベクトルが在るようには前記代表５変角の少なくとも一部を採れないために、前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…の少なくとも一部を測定できなかったときは、前記第３工程と同様にして、第４工程を実施する。

こうして第１工程、第２工程、第３工程、…と順に実施することにより、前記代表５変角における前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…が前記平面Ｂ_１、Ｂ_２、Ｂ_３、…内のいずれかに在るような前記第２反射光Ｖ_ｂ１、Ｖ_ｂ２、…の前記第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、…を測定する。

ここに、前記第１工程、第２工程、第３工程、…における測定点（測定変角）は、以下のようにして決定することができる。

光源Ｌの被測定面Ｄに対する正反射光Ｓは、下記（２９）式で表されるから、正反射光Ｓと第２反射光Ｖ_ｂｉとがなす変角をα_ｉとすれば、下記（３０）式より、ψは下記（３１）式で与えられる。
Ｓ＝（sinθ，０，cosθ） …（２９）
Ｓ・Ｖ_ｂｉ＝１・１・cosα_ｉ
＝２（cos^２θcos^２ψ−sin^２θsin^２ψcos^２φ_ｉ）−cos２θ …（３０）

上記（３１）式より、正反射光Ｓと第２反射光Ｖ_ｂｉとがなす変角α_ｉと、方位角φ_ｉとが決まれば、ψが決まる。

＜第１工程＞
最初は、方位角φ_ｉをφ_１＝９０度として、変角α_ｉが０度、１度、２度、…とどこまで採れるかを調べる。与えられた入射角θに対して、図６に示されるように、ψが動くことのできる範囲に注意しながら、前記（３１）式を用いて、α_ｉ＝０度、１度、２度、…に対するψを求める。そして、方位角φ_１＝９０度での前記最大変角α_ｍａｘ（図７参照）をα_９０とおく。すなわち、方位角φ_１＝９０度では、変角α_ｉをα_ｉ＝０度、１度、２度、…、α_９０とする。

そして、求めた変角α_ｉが前記代表５変角たる１０度、１８度、２８度、４０度、９０度の小さい方からいずれかに一致するかどうかを調べる。もし、方位角φ_１＝９０度のとき、変角α_ｉが代表５変角のいずれかに一致する（又は近似できる）場合は、そのときの方位角φ_１＝９０度、ψ及びα_９０、並びにそのとき一致する（又は近似できる）代表５変角１０度、１８度、…の組（φ_１＝９０度，ψ，α_９０，１０度、１８度、…）を記憶する。この記憶した代表５変角１０度、１８度、…の組が、前記第１工程で測定する測定点（測定変角）となる。

＜第２工程＞
次に、方位角φ_ｉを１度減らし、φ_２＝８９度として、上記と同様に、変角α_ｉがα_ｉ＝α_９０＋１、α_９０＋２、α_９０＋３、…がどこまで採れるかを調べ、それぞれのα_ｉに対応するψを前記（３１）式より求める。

そして、φ_２＝８９度での前記最大変角α_ｍａｘをα_８９とおく。すなわち、φ_２＝８９度では、変角α_ｉをα_ｉ＝α_９０＋１、α_９０＋２、α_９０＋３、…α_８９とする。そして、φ_１＝９０度での測定変角とは異なる（φ_１＝９０度での測定変角よりも大きな）代表５変角があるかどうかを調べる。もし、そのような代表５変角があれば、そのときの方位角φ_２＝８９度、ψ及びα_８９、並びにそのとき一致する（又は近似できる）代表５変角…、４０度、９０度の組（φ_２＝８９度，ψ，α_８９，…、４０度、９０度）を同様に記憶する。なお、そのような代表５変角がなければ何もしない。この記憶した代表５変角…、４０度、９０度の組が、前記第２工程で測定する測定点（測定変角）となる。

＜第３工程、第４工程、…＞
さらに、方位角φ_ｉを１度減らし、φ_３＝８８度として、上記と同様に前記第３工程で測定する測定点を求め、以降、方位角φ_ｉをφ_ｉ＝８７度、８６度、…、０度と１度ずつ減らして同様の手続を進める。

こうしてすべての方位角φ_ｉ（φ_ｉ＝０〜９０度）に対して、変角α_ｉが代表５変角１０度、１８度、２８度、４０度、９０度に一致する（又は近似できる）まで続ける。

なお、いかなる方位角φ_ｉ及びψに対しても、測定変角として代表５変角の９０度が採れない場合は、方位角φ_ｉを変化させ、例えば、α_ｉ＝７０度となった時点で、α_ｉ＝７０度をα_ｉ＝９０度の代わりの測定変角とすることができる。

以上の操作は、幾何学的な条件にのみ関係するため、測定機が決まって前記測定不可能範囲が決まれば、測定を実施する前に測定すべき点を全部求めることができる。したがって、すべての入射角θ（θ＝０〜９０度について、方位角φ_ｉを変化させながら、前記代表５変角を求めることができる。

こうして方位角φ_ｉ及びψを変化させて求めたα_ｉ＝０度、１度、２度、…、９０度のそれぞれに対する方位角φ_ｉ及びψが決まる。このため、前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…の方向が決まる。したがって、この第２反射率測定工程で求めた、代表５変角１０度、１８度、２８度、４０度、９０度における第２反射率Ｒ（α_ｂ１）、Ｒ（α_ｂ２）、Ｒ（α_ｂ３）、Ｒ（α_ｂ４）、Ｒ（α_ｂ５）から、前記実施形態１と同様にして、すべての変角α_ｉ（α_ｉ＝０度、１度、２度、…、９０度）における第２反射率Ｒ（α_ｂ）を求めることができる。よって、前記実施形態１と同様、前記第２二等分ベクトルＨ_ｂ１、Ｈ_ｂ２、…上に、｜Ｈ_ｂ｜＝｜Ｒ（α_ｂ）｜となる点をとれば、例えば図８に示されるような、前記入射面Ａ外で三次元的に変位する曲線としての第２軌跡ｍを求めることができる。

こうして本実施形態で得られた第２軌跡ｍは、入射面Ａ内の前記第１軌跡ｌと極力離れることになるため、反射光分布を示す楕円の数式をより正確に特定することができ、反射率の推定をより高精度に行うことが可能となる。

また、計算の効率化と、測定時間の短縮のために、入射角θが前記測定不可能範囲に入るとき、すなわちθ＝８１度、８２度、…、９０度のときは、θ＝８０度のときの反射率を使うことにすると、本実施形態における第２反射率測定工程で第２反射率Ｒ（α_ｂ）を測定する測定点の数は、８１×５＝４０５（点）となる。

したがって、本実施形態の反射率推定方法では、前記第１反射率測定工程及び第２反射率測定工程における反射率の測定点の合計は、４０５＋４０５＝８１０（点）となる。この測定点の合計（８１０点）は、前述した全点測定方法における全測定点数４８１３９（＝２３×９１×２３）点の約２％に相当する。よって、本実施形態の反射率推定方法によれば、前述した全点測定方法に対して、約９８％分の測定点の削減が可能になった。

（実施例１）
前記実施形態１で説明した反射率推定方法に準ずる方法により、カラー・シフト塗装色を車体に塗った自動車の塗装面について、測定機として三次元分光光度計（「ＧＣＭＳ−４」、村上色彩製）を用いて、測定した。

その結果、この測定に要した時間は約４時間であった。

また、測定した反射率をＬＵＴ（Ｌｏｏｋ Ｕｐ Ｔａｂｌｅ）に記憶し、６ＣＰＵ（Ｉｎｔｅｌ Ｘｅｏｎ ３．０６ＧＨｚ）、解像度ＳＸＧＡのサイズで計算したところ、画像の計算時間は１２分２４秒であった。

さらに、画像の正確さの評価を行った。これは、前述した全点測定方法による画像を正として、本実施例の方法と、前述した従来の５角度法との差を、画像と数値で比較した。

その結果、全点測定方法と本実施例の方法とでは、差異がほとんどなく、ハイライト近傍（変角１０度以内）を除く部位における平均色差が２．７６であった。

これに対し、全点測定方法と前述した従来の５角度法とでは、大きな差があり、ハイライト近傍（変角１０度以内）を除く部位における平均色差が２０．５０であった。

また、本実施例の方法で色再現した画像は、色合いや明暗の変化が全点測定方法のものと類似しており、前述した従来の５角度法と比べても格段と改善されていた。

よって、本実施例の方法によれば、前述した従来の５角度法では表現できなかったカラー・シフト塗装色についても、良好に色再現することが可能になった。

Claims (4)

1. 被測定面上の入射点Ｐに入射光Ｌを所定の入射角θで入射させたときに該入射光Ｌが入射面Ａ内で正反射した正反射光Ｓと、該入射光Ｌが該入射点Ｐで反射して受光される反射光Ｖとがなす角を変角αとして、該入射面Ａ内及び入射面Ａ外にある任意の変角における反射率を推定する反射率推定方法であって、
   前記入射面Ａ内において前記入射点Ｐに入射角θ_dで入射光Ｌ_dを入射させ、該入射面Ａ内における所定の変角α₁、α₂、…で受光したときの、該入射面Ａ内に在る第１反射光Ｖ_a1、Ｖ_a2、…の該入射光Ｌ_dに対する第１反射率Ｒ（α_a1）、Ｒ（α_a2）、…を測定する第１反射率測定工程と、
   前記入射光Ｌ_dと各前記第１反射光Ｖ_a1、Ｖ_a2、…との二等分ベクトルをそれぞれ第１二等分ベクトルＨ_a1、Ｈ_a2、…とするとともに、前記第１反射率Ｒ（α_a）の大きさを｜Ｈ_a｜＝｜Ｒ（α_a）｜と定義して、前記第１反射率Ｒ（α_a1）、Ｒ（α_a2）、…の測定結果から、前記入射面Ａ内で二次元的に変位する曲線としての、該第１二等分ベクトルＨ_a1、Ｈ_a2、…の終点の第１軌跡ｌを求める第１軌跡取得工程と、
   前記入射面Ａ内において前記入射点Ｐに前記入射角θ_dで前記入射光Ｌ_dを入射させ、入射面Ａ外における前記変角α₁、α₂、…で受光したときの、該入射面Ａ外に在る第２反射光Ｖ_b1、Ｖ_b2、…であって、且つ前記入射点Ｐを頂点とし、かつ該入射点Ｐにおける前記被測定面の法線たる回転軸としてのｚ軸と母線とが前記入射角θ_dと同一の角度θ_dをなす円錐面上に在る前記第２反射光Ｖ_b1、Ｖ_b2、…の該入射光Ｌ_dに対する第２反射率Ｒ（α_b1）、Ｒ（α_b2）、…を測定する第２反射率測定工程と、
   前記入射光Ｌ_dと各前記第２反射光Ｖ_b1、Ｖ_b2、…との二等分ベクトルをそれぞれ第２二等分ベクトルＨ_b1、Ｈ_b2、…とするとともに、前記第２反射率Ｒ（α_b）の大きさを｜Ｈ_b｜＝｜Ｒ（α_b）｜と定義して、前記第２反射率Ｒ（α_b1）、Ｒ（α_b2）、…の測定結果から、前記入射面Ａ外で三次元的に変位する曲線としての、該第２二等分ベクトルＨ_b1、Ｈ_b2、…の終点の第２軌跡ｍを求める第２軌跡取得工程と、
   互いに直交し前記入射点Ｐを原点として共有するｘ軸、ｙ軸及びｚ軸を有するとともに、前記被測定面がｘｙ平面となり且つ該入射点Ｐを含むｘｚ平面が前記入射面Ａとなる空間内の直交座標Ｐ−ｘｙｚを想定したとき、ｚ軸に垂直な平面ｚ＝ｚ_iと前記第１軌跡ｌ及び前記第２軌跡ｍとの交点Ｑ_li（ｘ_li，０，ｚ_i）及びＱ_mi（ｘ_mi，ｙ_mi，ｚ_i）を求める２交点座標取得工程と、
   前記交点Ｑ_li及びＱ_miから、前記平面ｚ＝ｚ_i上における二等分ベクトルＨ_iの終点の軌跡ｎ（ｘ，ｙ，ｚ_i）を、該交点Ｑ_li及びＱ_miを通り、ｚ軸を中心とする楕円を示す数式で近似してモデル化した、近似モデル式を求めるモデル式取得工程と、
   ｚ_i＝０〜∞として、前記近似モデル式から、前記第１反射光Ｖ_a及び前記第２反射光Ｖ_b以外の反射光Ｖ’と前記入射光Ｌ_dとの二等分ベクトルＨ’の終点全体の全体軌跡ｎ’（ｘ，ｙ，ｚ）を近似的に求める全体軌跡取得工程と、を備え、
   前記変角α₁、α₂、…は、０〜９０度の範囲内で定められたＮ（１≦Ｎ≦８９）個の代表Ｎ変角から選ばれる少なくとも一つを含み、
   前記第１反射率測定工程、前記第１軌跡取得工程、前記第２反射率測定工程、前記第２軌跡取得工程、前記２交点座標取得工程、前記モデル式取得工程及び前記全体軌跡取得工程を、０〜９０度の範囲内にある複数の入射角θ_d＝θ₁、θ₂、…についての入射光Ｌ_d＝Ｌ₁、Ｌ₂、…毎に繰り返すことを特徴とする反射率推定方法。
2. 被測定面上の入射点Ｐに入射光Ｌを所定の入射角θで入射させたときに該入射光Ｌが入射面Ａ内で正反射した正反射光Ｓと、該入射光Ｌが該入射点Ｐで反射して受光される反射光Ｖとがなす角を変角αとして、該入射面Ａ内及び入射面Ａ外にある任意の変角における反射率を推定する反射率推定方法であって、
   前記入射面Ａ内において前記入射点Ｐに入射角θ _d で入射光Ｌ _d を入射させ、該入射面Ａ内における所定の変角α ₁ 、α ₂ 、…で受光したときの、該入射面Ａ内に在る第１反射光Ｖ _a1 、Ｖ _a2 、…の該入射光Ｌ _d に対する第１反射率Ｒ（α _a1 ）、Ｒ（α _a2 ）、…を測定する第１反射率測定工程と、
   前記入射光Ｌ _d と各前記第１反射光Ｖ _a1 、Ｖ _a2 、…との二等分ベクトルをそれぞれ第１二等分ベクトルＨ _a1 、Ｈ _a2 、…とするとともに、前記第１反射率Ｒ（α _a ）の大きさを｜Ｈ _a ｜＝｜Ｒ（α _a ）｜と定義して、前記第１反射率Ｒ（α _a1 ）、Ｒ（α _a2 ）、…の測定結果から、前記入射面Ａ内で二次元的に変位する曲線としての、該第１二等分ベクトルＨ _a1 、Ｈ _a2 、…の終点の第１軌跡ｌを求める第１軌跡取得工程と、
   前記入射面Ａ内において前記入射点Ｐに前記入射角θ _d で前記入射光Ｌ _d を入射させ、入射面Ａ外における前記変角α ₁ 、α ₂ 、…で受光したときの、該入射面Ａ外に在る反射光を第２反射光Ｖ _b1 、Ｖ _b2 、…とし、
   前記入射光Ｌ _d と各前記第２反射光Ｖ _b1 、Ｖ _b2 、…との二等分ベクトルをそれぞれ第２二等分ベクトルＨ _b1 、Ｈ _b2 、…とするとともに、前記第２反射率Ｒ（α _b ）の大きさを｜Ｈ _b ｜＝｜Ｒ（α _b ）｜と定義し、
   前記変角α ₁ 、α ₂ 、…は、０〜９０度の範囲内で定められたＮ（１≦Ｎ≦８９）個の代表Ｎ変角から選ばれる少なくとも一つを含み、
   前記入射面Ａたるｘｚ平面と方位角φ₁＝９０度、φ₂＝（９０−ｅ）度、φ₃＝（９０−２ｅ）度、…（ｅは任意の正の数）をなし、かつ前記入射点Ｐにおける前記被測定面の法線たるｚ軸を含む平面Ｂ₁、Ｂ₂、Ｂ₃、…を想定したとき、
   前記代表Ｎ変角のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ₁内に前記第２二等分ベクトルＨ_b1、Ｈ_b2、…が在るような前記第２反射光Ｖ_b1、Ｖ_b2、…の前記入射光Ｌ _d に対する第２反射率Ｒ（α_b1）、Ｒ（α_b2）、…を測定する第１工程を実施し、かつ、
   直前の第（ｆ−１）工程では、平面Ｂ_f-1内に前記第２二等分ベクトルが在るようには前記代表Ｎ変角の少なくとも一部を採れないために、前記第２反射率Ｒ（α_b1）、Ｒ（α_b2）、…の少なくとも一部を測定できなかったときは、該第（ｆ−１）工程で採れなかった該代表Ｎ変角の少なくとも一部のうちの角度の小さい方からできるだけ多くを採れる範囲内で、前記平面Ｂ_f-1内ではなく平面Ｂ_f内に前記第２二等分ベクトルＨ_b1、Ｈ_b2、…が在るような前記第２反射光Ｖ_b1、Ｖ_b2、…の前記第２反射率Ｒ（α_b1）、Ｒ（α_b2）、…を測定する第ｆ工程を、第２工程、第３工程、…として繰り返し実施することにより、
   前記代表Ｎ変角における前記第２二等分ベクトルＨ_b1、Ｈ_b2、…が前記平面Ｂ₁、Ｂ₂、Ｂ₃、…内のいずれかに在るような前記第２反射光Ｖ_b1、Ｖ_b2、…の前記第２反射率Ｒ（α_b1）、Ｒ（α_b2）、…を測定する第２反射率測定工程と、
   前記第２反射率Ｒ（α _b1 ）、Ｒ（α _b2 ）、…の測定結果から、前記入射面Ａ外で三次元的に変位する曲線としての、前記第２二等分ベクトルＨ _b1 、Ｈ _b2 、…の終点の第２軌跡ｍを求める第２軌跡取得工程と、
   互いに直交し前記入射点Ｐを原点として共有するｘ軸、ｙ軸及びｚ軸を有するとともに、前記被測定面がｘｙ平面となり且つ該入射点Ｐを含むｘｚ平面が前記入射面Ａとなる空間内の直交座標Ｐ−ｘｙｚを想定したとき、ｚ軸に垂直な平面ｚ＝ｚ _i と前記第１軌跡ｌ及び前記第２軌跡ｍとの交点Ｑ _li （ｘ _li ，０，ｚ _i ）及びＱ _mi （ｘ _mi ，ｙ _mi ，ｚ _i ）を求める２交点座標取得工程と、
   前記交点Ｑ _li 及びＱ _mi から、前記平面ｚ＝ｚ _i 上における二等分ベクトルＨ _i の終点の軌跡ｎ（ｘ，ｙ，ｚ _i ）を、該交点Ｑ _li 及びＱ _mi を通り、ｚ軸を中心とする楕円を示す数式で近似してモデル化した、近似モデル式を求めるモデル式取得工程と、
   ｚ _i ＝０〜∞として、前記近似モデル式から、前記第１反射光Ｖ _a 及び前記第２反射光Ｖ _b 以外の反射光Ｖ’と前記入射光Ｌ _d との二等分ベクトルＨ’の終点全体の全体軌跡ｎ’（ｘ，ｙ，ｚ）を近似的に求める全体軌跡取得工程と、を備え、
   前記第１反射率測定工程、前記第１軌跡取得工程、前記第２反射率測定工程、前記第２軌跡取得工程、前記２交点座標取得工程、前記モデル式取得工程及び前記全体軌跡取得工程を、０〜９０度の範囲内にある複数の入射角θ _d ＝θ ₁ 、θ ₂ 、…についての入射光Ｌ _d ＝Ｌ ₁ 、Ｌ ₂ 、…毎に繰り返すことを特徴とする反射率推定方法。
3. 前記代表Ｎ変角は、略１０度（１０度±数度）、略１８度（１８度±数度）、略２８度（２８度±数度）、略４０度（４０度±数度）及び略９０度（９０度±数度）の代表５変角である請求項１又は２に記載の反射率推定方法。
4. 前記被測定面にはカラー・シフト塗装色が施されている請求項１乃至３のいずれか一つに記載の反射率推定方法。

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