JP3865922B2 - 有限要素法解析用モデルの作成方法 - Google Patents
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、有限要素法を利用した破壊強度パラメータ等を求める解析用モデルの作成方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
半導体パッケージ等の構造物の破壊強度評価には、有限要素法を用いた破壊強度解析がしばしば行われる。この評価方法では、評価構造物に最適なメッシュを作成し、そのメッシュを要素として、各要素の節点の座標を有する解析用モデルを作成し、更に、材料定数や拘束条件を入力し、有限要素法解析プログラムを実行して、Ｊ積分、応力拡大係数等を求め、定量的な強度評価を行う。
【０００３】
例えば、半導体パッケージ等に架空の亀裂が存在することを前提にして、その亀裂先端部分の特殊な要素を作成し、有限要素法解析プログラムを実行する。その場合、ＣＡＤ等により、亀裂先端部にメッシュを生成させ、そのメッシュを要素して、各要素の節点の座標データを有する解析用モデルを作成しなければならない。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
一般に普及している有限要素法解析プログラムには、メッシュを発生させて要素と節点のデータを有する解析用モデルを自動で生成するツールが添付されている。しかし、そのような解析用モデル作成ツールは、一般的な構造体に対して単純なメッシュを発生し、そのメッシュの頂点に節点を作成するにすぎない。従って、例えば、半導体パッケージ等の亀裂先端部等の特殊な形状に、メッシュの各頂点に加えて、それらの頂点の間の一方の頂点寄りの中間点も節点として加える二次要素データを作成することはできない。また、メッシュを構成する要素の一辺の長さをゼロにして、特定のポイントに複数の節点を配置することもできない。
【０００５】
このような特殊な形状に二次要素データまで作成するためには、従来はマニュアルに頼って、それぞれの節点の座標データを延々と入力する作業を行うしか方法がなかった。
【０００６】
そこで、本発明は、特殊な構造体に二次要素データまで含む解析用モデルを自動で作成することができる方法を提供することにある。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
上記の目的を達成する為に、本発明は、メッシュ分割の対象となる構造物の亀裂先端部分の作成位置と、分割数を指定するだけで自動的にメッシュの頂点とその中間点の節点の座標データを作成し、それぞれのメッシュ（要素）に属する複数の節点データを簡単に作成する。
【０００８】
本発明の方法は、与えられたモデル作成位置とモデル分割数に従って、亀裂先端に分割数に応じて節点番号と座標を有する複数の節点データを作成し、前記モデルの矩形頂点に前記節点データを作成し、前記モデルの矩形頂点間の辺上に分割数に応じて等分割で前記節点データを作成し、前記亀裂先端の節点と前記矩形辺上の節点との間に分割数に応じて等分割に節点データを作成し、前記亀裂先端に近い節点の座標データを該先端側に移動させ、前記亀裂先端部の基準要素に属する節点番号の集合を有する要素データを求め、前記基準要素の節点番号をもとにして他の要素の節点の節点番号を有する要素データを求めて、その要素の節点番号の集合を次々に求めることを特徴とする。
【０００９】
上記の発明によれば、例えば、節点番号を亀裂先端から回転方向に節点番号が増加または減少するように与え、亀裂先端から遠くなる方向に節点番号が増加または減少するように与えることで、最初の基準要素の節点番号をもとに、容易に他の要素の節点番号を求めることが可能になる。かかる解析モデル作成方法による解析モデル作成ツールを利用すれば、有限要素法解析プログラム用の解析モデルのデータを自動作成することができる。
【００１０】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態について図面に従って説明する。しかしながら、本発明の技術的範囲がその実施の形態に限定されるものではない。
【００１１】
図１は、解析モデルの例を説明する図である。この例は、半導体装置のプラスチックモールドパッケージの構造体１０に亀裂ａが生じた時の、亀裂先端Ｘでの破壊強度の評価パラメータ、例えばＪ積分、応力拡大係数、を求める為の解析モデルを示す。かかる例では、亀裂先端部分の破線の矩形１２を抽出し、図１の下側に示す通り、矩形１２に複数のメッシュを作成する。その場合、メッシュの形状は、単純な四角形ではなく、亀裂先端部分においては、三角形、それより遠い部分においては台形となる。
【００１２】
図１に示された例では、矩形１２の横方向の分割数ＤＩＶ（１）を４、縦方向の分割数ＤＩＶ（２）を４、そして、亀裂先端Ｘからの半径方向の分割数ＤＩＶ（３）を３とした。従って、メッシュ（要素）の数は、１６×３＝４８個となる。そして、矩形１２の各頂点Ｐ１〜Ｐ４の座標、亀裂先端Ｘ（Ｐｘ）の座標は、解析モデルを作成する為のデータとして最初に与えられる。
【００１３】
図２は、亀裂先端のメッシュ（要素）の変更方法を説明する図である。通常、メッシュは四角形をなす。そして、図２の上側に示される通り、四角形の４つの頂点に節点ｎ１〜ｎ４が作成される。これらの節点からなる要素は、一次要素と称される。また、より解析精度を上げる為に、４頂点の中間点にも節点ｎ５〜ｎ８を作成する。これらの中間節点も含めた節点を有する場合、二次要素と称される。本発明においては、この二次要素を含む解析用モデルを作成する。
【００１４】
更に、亀裂先端の解析用モデルにおいて考慮すべき点は、先端部においては、メッシュの形状は四角形ではなく、図２の下側に示す通り三角形である点である。そこで、本実施の形態例では、亀裂先端Ｐｘにおける節点を、同じ座標Ｐｘを有する３つの節点ｎ２，ｎ３，ｎ６で構成する。更に、本実施の形態例では、亀裂先端での破壊強度パラメータの精度を上げる為に、中間点の節点ｎ５，ｎ７の位置を、より亀裂先端に近い節点ｎ１，ｎ２間の１／４の位置に移動させる。かかる方法は、１／４節点法として知られている。
【００１５】
図３は、本実施の形態例の有限要素法解析システムの構成図である。コンピュータ２０に対して、有限要素法解析プログラムが格納されたファイル２６と、解析プログラムを実行する前の準備と実行後の処理を行うプリ・ポストプログラムが格納されたファイル２２と、本実施の形態例の二次要素データからなる解析用モデルを作成するプログラムを格納するファイル２４、および、解析用モデルが格納されるファイル２８とを有する。解析用モデルのファイル２８には、二次元要素データ作成プログラム２４で作成された二次要素データと、解析用モデルの材料定数や拘束条件などを含む初期条件データなどが含まれる。
【００１６】
図４は、有限要素法解析プログラムの全体のフローチャート図である。このフローチャートから明らかな通り、二次要素データ作成プログラムを実行して、解析用モデルに対してメッシュ（要素）を作成し、各節点データと各要素に属する節点を含む要素データを作成する（Ｓ１０）。そして、解析用モデルのデータとして、更に各節点に対して初期条件を設定する（Ｓ１２）。その後、解析用モデルに対して、有限要素法解析プログラムを実行し、所望の実行結果を得る（Ｓ１４）。そして、最後に、プリ・ポストプログラムにより、ポスト処理を行い、亀裂先端における破壊強度パラメータであるＪ積分値、応力拡大係数を求める。
【００１７】
有限要素法によるＪ積分、応用拡大係数を求める方法については、例えば、「数値破壊力学」実教出版株式会社、白鳥正樹、三好俊郎、松下久雄共著、「破壊の力学」コロナ社、宮本博著、「Simplified and Practical Estimation of Package Cracking During Reflow Soldering Process 」CH3332-4/94/0000-0114$01.00 1994 IEEE/IRPS、および特開平6-66696 号公報などに詳細に記載されている。
【００１８】
図５は、節点データテーブルと要素データテーブルを作成するプログラムのフローチャート図である。図３における二次要素データ作成プログラムに該当する。また、図６，７は、図５の詳細フローチャート図である。そして、図８〜図１０は、節点の作成を説明する図である。図１１は、その節点データテーブルの例を示す図である。更に、図１２は、要素データの作成を説明する図であり、図１３は、その要素データテーブルの例を示す図である。これらの図を適宜参照しながら、本実施の形態例における解析用モデルの二次要素データの作成方法について説明する。
【００１９】
最初に、初期値として、亀裂先端の座標Ｐｘ、４つの頂点Ｐ１〜Ｐ４の座標、そして、各分割数として、横の分割数ＤＩＶ（１）＝４，縦の分割数ＤＩＶ（２）＝４，半径方向の分割数ＤＩＶ（３）＝３が与えられる（Ｓ２０，Ｓ２０１））。また、節点データテーブルは、節点番号NOD(1,IN) 、そのＸ座標値NOD(2,IN) 、Ｙ座標値NOD(3,IN) 、Ｚ座標値NOD(4,IN) とからなる二次元配列構造となる。その詳細は、図１１に示される。従って、図６，７中におけるパラメータINは、節点の生成の順番を示す。また、要素データテーブルは、要素番号ELE(1,IE) 、その要素に属する節点番号ELE(2,IE) 〜ELE(9,IE) からなる二次元配列構造となる。その詳細は、図１３に示される。従って、パラメータIEは、要素の生成の順番を示す。
【００２０】
次に、亀裂先端に分割数に応じて複数の節点のデータを作成する（Ｓ２２）。図２の亀裂先端での節点は、メッシュ（要素）毎に３点存在する。従って、図８に示される通り、亀裂先端Ｐｘには、節点NOD(1,2)〜節点NOD(1,33) の３３節点が作成される。より具体的には、亀裂先端に対して節点NOD(1,1)を作成し、その節点NOD(1,1)に対するＸ、Ｙ、Ｚ座標に、亀裂先端座標Ｐｘ（ｘ１，ｙ１，ｚ１）を与える（Ｓ２０２）。そして、パラメータＬを縦横の分割数の和（Ｌ＝８）、パラメータＭを半径方向の分割数を２００倍して１加えた数（Ｍ＝６０１）とする（Ｓ２０３）。そして、亀裂先端の残りの３２個の節点NOD(1,2)〜節点NOD(1,33) に対して、節点番号を２から増分＋１で与え、それぞれの節点に、節点NOD(1,1)と同じ座標値（ｘ１，ｙ１，ｚ１）を与える（Ｓ２２１）。この時点で、図１１の節点番号１〜３３の節点データが作成された。
【００２１】
次に、各頂点Ｐ１〜Ｐ４に節点を作成する（Ｓ２４）。ここで、節点番号を、亀裂先端の３２節点には１００未満を、亀裂先端から半径方向に遠ざかるに従い、２００番台、３００番台と増加させる規則性をもたせる。そして、現在の例では、半径方向に３分割しているので、中間点の節点も含めると、最も外側の頂点Ｐ１の節点の番号は、Ｍ＝DIV(3)×300+1 ＝６０１が与えられる。
【００２２】
より具体的には、図６に示される通り、頂点Ｐ１の節点NOD(1,34) には節点番号６０１が与えられ、その節点の座標値NOD(2,34) 〜NOD(4,34) には、頂点Ｐ１の座標値が与えられる（Ｓ２４１）。同様にして、残りの頂点Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４に対しては、頂点番号NOD(1,35)=６０９、NOD(1,36)=６１７，NOD(1,37)=６２５が与えられる（Ｓ２４２，Ｓ２４３，Ｓ２４４）。また、それぞれの節点の座標値として、頂点Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４の座標値が与えられる。この時点で、図１１の節点番号NOD(1,34) 〜NOD(1,37) までのデータが作成された。
【００２３】
次に、各頂点間の辺上に分割数DIV(2)あるいはDIV(1)に応じて、等分割に節点を作成する（Ｓ２６）。図６の詳細フローチャートに示される通り、最初に、頂点Ｐ１−Ｐ２間に８つに等分割された７つの節点を作成する（Ｓ２６１）。それぞれの座標値は、頂点Ｐ１と頂点Ｐ２の節点の座標値から、簡単な演算により求めることができる。そして、それらの節点番号は、頂点Ｐ１の節点番号NOD(1,34) ＝６０１から１づつ増加して与えられる。その結果、図８中の節点番号６０２〜６０８の節点のデータが作成される。この時点では、図１１において、節点番号NOD(1,38) 〜NOD(1,44) までのデータが作成された。
【００２４】
同様に、頂点Ｐ２−Ｐ３間に８つに等分割された７つの節点を作成する（Ｓ２６２）。その節点番号および座標は、上記と同様である。その結果、図８中の節点番号６１０〜６１６の節点のデータが作成される。図１１においては、節点番号NOD(1,45) 〜NOD(1,51) までのデータが作成された。
【００２５】
同様に、頂点Ｐ３−Ｐ４間、頂点Ｐ４−Ｐ１間の８つに等分された１４の節点を作成する（Ｓ２６３，Ｓ２６４）。その結果、図８中の節点番号６１８〜６２４と節点番号６２６〜６３２の節点のデータが作成される。図１１においては、節点番号NOD(1,52) 〜NOD(1,65) までのデータが作成された。
【００２６】
次に、亀裂に対する処理が行われる。亀裂が大きくなる場合に備えて、節点番号６０５での節点を２つ与える必要がある。そこで、図７のフローチャートに示される通り、節点番号M+DIV(1)＝601+4 ＝６０５と同じ座標に、節点番号M+L*4 ＝601+8*4 ＝６３３の節点を作成する（Ｓ２６５）。図１１における節点NOD(1,66) のデータが作成された。
【００２７】
更に、便宜上、頂点間の辺上の節点について、亀裂がある節点ａでの節点番号を６０１として、時計回りに＋１づつ増加されるように節点番号を変更する（Ｓ２６６，Ｓ２６７）。その時の座標値に変更はない。その結果、辺上の節点番号は、図９に示される通り、節点ａから節点番号が６０１〜６３３と変更される。これにより、亀裂の部分から、時計回りにその節点番号が１づつ増加するよう規則的に与えられる。
【００２８】
次に、図１０に示される通り、亀裂先端の節点と辺上の節点との間に、半径方向の分割数DIV(3)=3に応じて等分割し、それぞれの節点を作成する（Ｓ２８）。より具体的には、図１０の例で説明すると、亀裂先端Ｐｘと節点番号６０１との間には、DIV(3)* ２（＝６）等分した位置に節点番号１０１，２０１，３０１，４０１，５０１の節点を作成し、それぞれの座標値を亀裂先端Ｐｘの座標値と節点番号６０１の座標値から演算して求める。また、亀裂先端Ｐｘと節点番号６０２との間には、DIV(3)（＝３）等分した位置に節点番号２０２，４０２の節点を作成し、それぞれの座標値を演算して求める。
【００２９】
図７のより詳細なフローチャートによれば、IN=33 から１つづつ増加させて（Ｓ２８１）、辺上の節点の節点番号NOD(1,IN) が奇数の場合は、分割数DIV(3)* ２＝６で等分割し（Ｓ２８３）、辺上の節点の節点番号NOD(1,IN) が偶数の場合は、分割数DIV(3)＝３で等分割して節点を作成する（Ｓ２８４）。その結果、亀裂先端Ｐｘを中心とする半径上に、時計回りに次々に節点が作成される。図１０には、途中の節点番号が省略されているが、節点番号１０１〜５０１を起点にして、節点番号２０２，４０２が作成され、節点番号１０３〜５０３が作成され、同様に順番に時計回りに作成され、最後に、節点番号２３２，４３２が作成される（Ｓ２８５）。
【００３０】
次に、図２で説明した１／４節点法に従い、節点番号１０１〜１３１の座標位置が、亀裂先端Ｐｘ側に移動した座標位置に置き換えられる（Ｓ３０、Ｓ３００）。これにより、亀裂先端Ｐｘにより多くの節点が集中し、解析プログラムの実行によりより精度の高い亀裂先端部での破壊パラメータを求めることが可能になる。
【００３１】
以上で、全ての節点データが作成された。上記の節点データで特徴的なところは、節点番号にある規則性を持たせたことにある。即ち、亀裂先端には３３個の節点を作成し、半径方向に２００番台、３００番台と増加するようにした。また、亀裂が存在するところを起点として、時計回りに節点番号が＋１づつ増加するように節点番号を付した。その結果、各メッシュ（要素）に属する節点番号は、ある規則性をもって表現することができる。従って、図１１に示した通り、節点データテーブルを一旦作成すれば、次に要素データテーブルの作成は、上記の節点番号を利用することにより、極めて機械的な演算により行うことができる。
【００３２】
図１２の要素の作成を説明する図と、図１３の要素データテーブルの図とを参照しながら、要素データの生成について説明する。先ず最初に、基準となる要素の節点の集合を求める（Ｓ３２，Ｓ３２０）。図１２の例で説明すると、要素番号ELE(1,1)＝１に対して、その要素に属する節点番号ELE(2,1)〜ELE(9,1)として、１，２，３，１０３，２０３，２０２，２０１，１０１を与える。この時点で、図１３の節点番号ELE(1,1)まで作成された。
【００３３】
次に、上記の基準の要素ELE(1,1)を起点にして、図１２に示される通り、時計回りに、要素ELE(1,2)〜ELE(1,16) に属する節点番号を求める。例えば、要素ELE(1,2)に属する節点番号ELE(2,2)〜ELE(9,2)は、その前の要素ELE(1,1)に属する節点番号ELE(2,1)〜ELE(9,1)に＋２するだけで求めることができる。従って、要素番号ELE(1,IE) に対しては、その前の要素番号ELE(1,IE-1) に＋１し、それに属する節点番号ELE(K,IE) に対しては、その前の要素の節点番号ELE(K,IE-1) に＋２する（Ｓ３４１）。その結果、亀裂先端に最も近い１６個のメッシュ（要素）のデータが作成された。図１３では、要素番号ELE(1,2)〜ELE(1,16) のデータまで作成された。
【００３４】
次に、図１２に示される通り、要素ELE(1,17) のデータが作成される。この要素に属する節点番号は、半径方向に１つずれているので、要素ELE(1,1)の節点番号に＋２００するだけで求められる。以下同様に、要素ELE(1,17) を起点にして、時計回りに同様にして節点番号が与えられる。最後に、図１２に示される通り、要素ELE(1,33) から時計回りに要素ELE(1,48) までそれぞれに属する節点番号が上記と同様にして求められる。以上が図７のステップＳ３４２の処理である。
【００３５】
最後に、要素番号L*2=8*2=16の節点番号L*4+1=8*4+1 ＝33が、１に変更される（Ｓ３４３）。
【００３６】
以上で、図１３に示された要素データテーブルが完成する。各要素データテーブル内の節点番号を引用番号にして、図１１に示された節点データテーブルを参照することで、各要素での節点の座標データを得ることが可能になる。
【００３７】
以上説明した解析用モデルは、二次元座標上の例で説明した。半導体装置のパッケージなど構造体は、所定の厚みを有する。従って、かかる構造体に対して要素データを有する解析用モデルを作成するためには、二次元座標上で作成した節点データと要素データを、Ｚ軸上に拡張することが必要である。その場合は、例えば、Ｚ軸方向の次元に対応して、節点番号の１０００、２０００番台を付ける。更に、各節点の座標値に対しては、Ｚ座標に＋ΔＺする。更に、要素番号に対しても、同様に、Ｚ方向の次元に対して要素番号の１０００，２０００番台を付ける。この様に、簡単な拡張法により、Ｚ軸方向にも拡張することができるので、三次元の要素データを作成することが可能になる。
【００３８】
更に、上記説明した解析用モデルは、亀裂が頂点間の辺の中心にある例で説明した。ところが、三次元に拡張する場合、構造体の亀裂がコーナー部を頂点とする形状の場合がある。かかる場合は、三次元に拡張して作成した節点データに対しては、実際の亀裂位置に解析モデルの亀裂位置を変更することが必要になる。
【００３９】
【発明の効果】
以上説明した通り、本発明によれば、有限要素法解析プログラムを実行する為の解析モデルを作成するに際し、解析構造体にメッシュ（要素）を作成し、節点の座標データと各要素に属する節点データとのデータテーブルを作成する必要がある。その場合に、本発明によれば、解析モデルの対象位置とメッシュ作成の為の分割数を指定するだけで、自動的に二次要素データを含む解析モデルを作成することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】解析モデルの例を説明する図である。
【図２】亀裂先端のメッシュ（要素）の変更方法を説明する図である。
【図３】本実施の形態例の有限要素法解析システムの構成図である。
【図４】有限要素法解析プログラムの全体のフローチャート図である。
【図５】節点データテーブルと要素データテーブルを作成するプログラムのフローチャート図である。
【図６】図５の詳細フローチャート図である。
【図７】図５の詳細フローチャート図である。
【図８】節点の作成を説明する図である。
【図９】節点の作成を説明する図である。
【図１０】節点の作成を説明する図である。
【図１１】節点データテーブルの例を示す図である。
【図１２】要素データの作成を説明する図である。
【図１３】要素データテーブルの例を示す図である。
【符号の説明】
Ｐｘ 亀裂先端
Ｐ１〜Ｐ４ 頂点
ａ 亀裂部分
ＮＯＤ 節点
ＥＬＥ 要素
【発明の属する技術分野】
本発明は、有限要素法を利用した破壊強度パラメータ等を求める解析用モデルの作成方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
半導体パッケージ等の構造物の破壊強度評価には、有限要素法を用いた破壊強度解析がしばしば行われる。この評価方法では、評価構造物に最適なメッシュを作成し、そのメッシュを要素として、各要素の節点の座標を有する解析用モデルを作成し、更に、材料定数や拘束条件を入力し、有限要素法解析プログラムを実行して、Ｊ積分、応力拡大係数等を求め、定量的な強度評価を行う。
【０００３】
例えば、半導体パッケージ等に架空の亀裂が存在することを前提にして、その亀裂先端部分の特殊な要素を作成し、有限要素法解析プログラムを実行する。その場合、ＣＡＤ等により、亀裂先端部にメッシュを生成させ、そのメッシュを要素して、各要素の節点の座標データを有する解析用モデルを作成しなければならない。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
一般に普及している有限要素法解析プログラムには、メッシュを発生させて要素と節点のデータを有する解析用モデルを自動で生成するツールが添付されている。しかし、そのような解析用モデル作成ツールは、一般的な構造体に対して単純なメッシュを発生し、そのメッシュの頂点に節点を作成するにすぎない。従って、例えば、半導体パッケージ等の亀裂先端部等の特殊な形状に、メッシュの各頂点に加えて、それらの頂点の間の一方の頂点寄りの中間点も節点として加える二次要素データを作成することはできない。また、メッシュを構成する要素の一辺の長さをゼロにして、特定のポイントに複数の節点を配置することもできない。
【０００５】
このような特殊な形状に二次要素データまで作成するためには、従来はマニュアルに頼って、それぞれの節点の座標データを延々と入力する作業を行うしか方法がなかった。
【０００６】
そこで、本発明は、特殊な構造体に二次要素データまで含む解析用モデルを自動で作成することができる方法を提供することにある。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
上記の目的を達成する為に、本発明は、メッシュ分割の対象となる構造物の亀裂先端部分の作成位置と、分割数を指定するだけで自動的にメッシュの頂点とその中間点の節点の座標データを作成し、それぞれのメッシュ（要素）に属する複数の節点データを簡単に作成する。
【０００８】
本発明の方法は、与えられたモデル作成位置とモデル分割数に従って、亀裂先端に分割数に応じて節点番号と座標を有する複数の節点データを作成し、前記モデルの矩形頂点に前記節点データを作成し、前記モデルの矩形頂点間の辺上に分割数に応じて等分割で前記節点データを作成し、前記亀裂先端の節点と前記矩形辺上の節点との間に分割数に応じて等分割に節点データを作成し、前記亀裂先端に近い節点の座標データを該先端側に移動させ、前記亀裂先端部の基準要素に属する節点番号の集合を有する要素データを求め、前記基準要素の節点番号をもとにして他の要素の節点の節点番号を有する要素データを求めて、その要素の節点番号の集合を次々に求めることを特徴とする。
【０００９】
上記の発明によれば、例えば、節点番号を亀裂先端から回転方向に節点番号が増加または減少するように与え、亀裂先端から遠くなる方向に節点番号が増加または減少するように与えることで、最初の基準要素の節点番号をもとに、容易に他の要素の節点番号を求めることが可能になる。かかる解析モデル作成方法による解析モデル作成ツールを利用すれば、有限要素法解析プログラム用の解析モデルのデータを自動作成することができる。
【００１０】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態について図面に従って説明する。しかしながら、本発明の技術的範囲がその実施の形態に限定されるものではない。
【００１１】
図１は、解析モデルの例を説明する図である。この例は、半導体装置のプラスチックモールドパッケージの構造体１０に亀裂ａが生じた時の、亀裂先端Ｘでの破壊強度の評価パラメータ、例えばＪ積分、応力拡大係数、を求める為の解析モデルを示す。かかる例では、亀裂先端部分の破線の矩形１２を抽出し、図１の下側に示す通り、矩形１２に複数のメッシュを作成する。その場合、メッシュの形状は、単純な四角形ではなく、亀裂先端部分においては、三角形、それより遠い部分においては台形となる。
【００１２】
図１に示された例では、矩形１２の横方向の分割数ＤＩＶ（１）を４、縦方向の分割数ＤＩＶ（２）を４、そして、亀裂先端Ｘからの半径方向の分割数ＤＩＶ（３）を３とした。従って、メッシュ（要素）の数は、１６×３＝４８個となる。そして、矩形１２の各頂点Ｐ１〜Ｐ４の座標、亀裂先端Ｘ（Ｐｘ）の座標は、解析モデルを作成する為のデータとして最初に与えられる。
【００１３】
図２は、亀裂先端のメッシュ（要素）の変更方法を説明する図である。通常、メッシュは四角形をなす。そして、図２の上側に示される通り、四角形の４つの頂点に節点ｎ１〜ｎ４が作成される。これらの節点からなる要素は、一次要素と称される。また、より解析精度を上げる為に、４頂点の中間点にも節点ｎ５〜ｎ８を作成する。これらの中間節点も含めた節点を有する場合、二次要素と称される。本発明においては、この二次要素を含む解析用モデルを作成する。
【００１４】
更に、亀裂先端の解析用モデルにおいて考慮すべき点は、先端部においては、メッシュの形状は四角形ではなく、図２の下側に示す通り三角形である点である。そこで、本実施の形態例では、亀裂先端Ｐｘにおける節点を、同じ座標Ｐｘを有する３つの節点ｎ２，ｎ３，ｎ６で構成する。更に、本実施の形態例では、亀裂先端での破壊強度パラメータの精度を上げる為に、中間点の節点ｎ５，ｎ７の位置を、より亀裂先端に近い節点ｎ１，ｎ２間の１／４の位置に移動させる。かかる方法は、１／４節点法として知られている。
【００１５】
図３は、本実施の形態例の有限要素法解析システムの構成図である。コンピュータ２０に対して、有限要素法解析プログラムが格納されたファイル２６と、解析プログラムを実行する前の準備と実行後の処理を行うプリ・ポストプログラムが格納されたファイル２２と、本実施の形態例の二次要素データからなる解析用モデルを作成するプログラムを格納するファイル２４、および、解析用モデルが格納されるファイル２８とを有する。解析用モデルのファイル２８には、二次元要素データ作成プログラム２４で作成された二次要素データと、解析用モデルの材料定数や拘束条件などを含む初期条件データなどが含まれる。
【００１６】
図４は、有限要素法解析プログラムの全体のフローチャート図である。このフローチャートから明らかな通り、二次要素データ作成プログラムを実行して、解析用モデルに対してメッシュ（要素）を作成し、各節点データと各要素に属する節点を含む要素データを作成する（Ｓ１０）。そして、解析用モデルのデータとして、更に各節点に対して初期条件を設定する（Ｓ１２）。その後、解析用モデルに対して、有限要素法解析プログラムを実行し、所望の実行結果を得る（Ｓ１４）。そして、最後に、プリ・ポストプログラムにより、ポスト処理を行い、亀裂先端における破壊強度パラメータであるＪ積分値、応力拡大係数を求める。
【００１７】
有限要素法によるＪ積分、応用拡大係数を求める方法については、例えば、「数値破壊力学」実教出版株式会社、白鳥正樹、三好俊郎、松下久雄共著、「破壊の力学」コロナ社、宮本博著、「Simplified and Practical Estimation of Package Cracking During Reflow Soldering Process 」CH3332-4/94/0000-0114$01.00 1994 IEEE/IRPS、および特開平6-66696 号公報などに詳細に記載されている。
【００１８】
図５は、節点データテーブルと要素データテーブルを作成するプログラムのフローチャート図である。図３における二次要素データ作成プログラムに該当する。また、図６，７は、図５の詳細フローチャート図である。そして、図８〜図１０は、節点の作成を説明する図である。図１１は、その節点データテーブルの例を示す図である。更に、図１２は、要素データの作成を説明する図であり、図１３は、その要素データテーブルの例を示す図である。これらの図を適宜参照しながら、本実施の形態例における解析用モデルの二次要素データの作成方法について説明する。
【００１９】
最初に、初期値として、亀裂先端の座標Ｐｘ、４つの頂点Ｐ１〜Ｐ４の座標、そして、各分割数として、横の分割数ＤＩＶ（１）＝４，縦の分割数ＤＩＶ（２）＝４，半径方向の分割数ＤＩＶ（３）＝３が与えられる（Ｓ２０，Ｓ２０１））。また、節点データテーブルは、節点番号NOD(1,IN) 、そのＸ座標値NOD(2,IN) 、Ｙ座標値NOD(3,IN) 、Ｚ座標値NOD(4,IN) とからなる二次元配列構造となる。その詳細は、図１１に示される。従って、図６，７中におけるパラメータINは、節点の生成の順番を示す。また、要素データテーブルは、要素番号ELE(1,IE) 、その要素に属する節点番号ELE(2,IE) 〜ELE(9,IE) からなる二次元配列構造となる。その詳細は、図１３に示される。従って、パラメータIEは、要素の生成の順番を示す。
【００２０】
次に、亀裂先端に分割数に応じて複数の節点のデータを作成する（Ｓ２２）。図２の亀裂先端での節点は、メッシュ（要素）毎に３点存在する。従って、図８に示される通り、亀裂先端Ｐｘには、節点NOD(1,2)〜節点NOD(1,33) の３３節点が作成される。より具体的には、亀裂先端に対して節点NOD(1,1)を作成し、その節点NOD(1,1)に対するＸ、Ｙ、Ｚ座標に、亀裂先端座標Ｐｘ（ｘ１，ｙ１，ｚ１）を与える（Ｓ２０２）。そして、パラメータＬを縦横の分割数の和（Ｌ＝８）、パラメータＭを半径方向の分割数を２００倍して１加えた数（Ｍ＝６０１）とする（Ｓ２０３）。そして、亀裂先端の残りの３２個の節点NOD(1,2)〜節点NOD(1,33) に対して、節点番号を２から増分＋１で与え、それぞれの節点に、節点NOD(1,1)と同じ座標値（ｘ１，ｙ１，ｚ１）を与える（Ｓ２２１）。この時点で、図１１の節点番号１〜３３の節点データが作成された。
【００２１】
次に、各頂点Ｐ１〜Ｐ４に節点を作成する（Ｓ２４）。ここで、節点番号を、亀裂先端の３２節点には１００未満を、亀裂先端から半径方向に遠ざかるに従い、２００番台、３００番台と増加させる規則性をもたせる。そして、現在の例では、半径方向に３分割しているので、中間点の節点も含めると、最も外側の頂点Ｐ１の節点の番号は、Ｍ＝DIV(3)×300+1 ＝６０１が与えられる。
【００２２】
より具体的には、図６に示される通り、頂点Ｐ１の節点NOD(1,34) には節点番号６０１が与えられ、その節点の座標値NOD(2,34) 〜NOD(4,34) には、頂点Ｐ１の座標値が与えられる（Ｓ２４１）。同様にして、残りの頂点Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４に対しては、頂点番号NOD(1,35)=６０９、NOD(1,36)=６１７，NOD(1,37)=６２５が与えられる（Ｓ２４２，Ｓ２４３，Ｓ２４４）。また、それぞれの節点の座標値として、頂点Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４の座標値が与えられる。この時点で、図１１の節点番号NOD(1,34) 〜NOD(1,37) までのデータが作成された。
【００２３】
次に、各頂点間の辺上に分割数DIV(2)あるいはDIV(1)に応じて、等分割に節点を作成する（Ｓ２６）。図６の詳細フローチャートに示される通り、最初に、頂点Ｐ１−Ｐ２間に８つに等分割された７つの節点を作成する（Ｓ２６１）。それぞれの座標値は、頂点Ｐ１と頂点Ｐ２の節点の座標値から、簡単な演算により求めることができる。そして、それらの節点番号は、頂点Ｐ１の節点番号NOD(1,34) ＝６０１から１づつ増加して与えられる。その結果、図８中の節点番号６０２〜６０８の節点のデータが作成される。この時点では、図１１において、節点番号NOD(1,38) 〜NOD(1,44) までのデータが作成された。
【００２４】
同様に、頂点Ｐ２−Ｐ３間に８つに等分割された７つの節点を作成する（Ｓ２６２）。その節点番号および座標は、上記と同様である。その結果、図８中の節点番号６１０〜６１６の節点のデータが作成される。図１１においては、節点番号NOD(1,45) 〜NOD(1,51) までのデータが作成された。
【００２５】
同様に、頂点Ｐ３−Ｐ４間、頂点Ｐ４−Ｐ１間の８つに等分された１４の節点を作成する（Ｓ２６３，Ｓ２６４）。その結果、図８中の節点番号６１８〜６２４と節点番号６２６〜６３２の節点のデータが作成される。図１１においては、節点番号NOD(1,52) 〜NOD(1,65) までのデータが作成された。
【００２６】
次に、亀裂に対する処理が行われる。亀裂が大きくなる場合に備えて、節点番号６０５での節点を２つ与える必要がある。そこで、図７のフローチャートに示される通り、節点番号M+DIV(1)＝601+4 ＝６０５と同じ座標に、節点番号M+L*4 ＝601+8*4 ＝６３３の節点を作成する（Ｓ２６５）。図１１における節点NOD(1,66) のデータが作成された。
【００２７】
更に、便宜上、頂点間の辺上の節点について、亀裂がある節点ａでの節点番号を６０１として、時計回りに＋１づつ増加されるように節点番号を変更する（Ｓ２６６，Ｓ２６７）。その時の座標値に変更はない。その結果、辺上の節点番号は、図９に示される通り、節点ａから節点番号が６０１〜６３３と変更される。これにより、亀裂の部分から、時計回りにその節点番号が１づつ増加するよう規則的に与えられる。
【００２８】
次に、図１０に示される通り、亀裂先端の節点と辺上の節点との間に、半径方向の分割数DIV(3)=3に応じて等分割し、それぞれの節点を作成する（Ｓ２８）。より具体的には、図１０の例で説明すると、亀裂先端Ｐｘと節点番号６０１との間には、DIV(3)* ２（＝６）等分した位置に節点番号１０１，２０１，３０１，４０１，５０１の節点を作成し、それぞれの座標値を亀裂先端Ｐｘの座標値と節点番号６０１の座標値から演算して求める。また、亀裂先端Ｐｘと節点番号６０２との間には、DIV(3)（＝３）等分した位置に節点番号２０２，４０２の節点を作成し、それぞれの座標値を演算して求める。
【００２９】
図７のより詳細なフローチャートによれば、IN=33 から１つづつ増加させて（Ｓ２８１）、辺上の節点の節点番号NOD(1,IN) が奇数の場合は、分割数DIV(3)* ２＝６で等分割し（Ｓ２８３）、辺上の節点の節点番号NOD(1,IN) が偶数の場合は、分割数DIV(3)＝３で等分割して節点を作成する（Ｓ２８４）。その結果、亀裂先端Ｐｘを中心とする半径上に、時計回りに次々に節点が作成される。図１０には、途中の節点番号が省略されているが、節点番号１０１〜５０１を起点にして、節点番号２０２，４０２が作成され、節点番号１０３〜５０３が作成され、同様に順番に時計回りに作成され、最後に、節点番号２３２，４３２が作成される（Ｓ２８５）。
【００３０】
次に、図２で説明した１／４節点法に従い、節点番号１０１〜１３１の座標位置が、亀裂先端Ｐｘ側に移動した座標位置に置き換えられる（Ｓ３０、Ｓ３００）。これにより、亀裂先端Ｐｘにより多くの節点が集中し、解析プログラムの実行によりより精度の高い亀裂先端部での破壊パラメータを求めることが可能になる。
【００３１】
以上で、全ての節点データが作成された。上記の節点データで特徴的なところは、節点番号にある規則性を持たせたことにある。即ち、亀裂先端には３３個の節点を作成し、半径方向に２００番台、３００番台と増加するようにした。また、亀裂が存在するところを起点として、時計回りに節点番号が＋１づつ増加するように節点番号を付した。その結果、各メッシュ（要素）に属する節点番号は、ある規則性をもって表現することができる。従って、図１１に示した通り、節点データテーブルを一旦作成すれば、次に要素データテーブルの作成は、上記の節点番号を利用することにより、極めて機械的な演算により行うことができる。
【００３２】
図１２の要素の作成を説明する図と、図１３の要素データテーブルの図とを参照しながら、要素データの生成について説明する。先ず最初に、基準となる要素の節点の集合を求める（Ｓ３２，Ｓ３２０）。図１２の例で説明すると、要素番号ELE(1,1)＝１に対して、その要素に属する節点番号ELE(2,1)〜ELE(9,1)として、１，２，３，１０３，２０３，２０２，２０１，１０１を与える。この時点で、図１３の節点番号ELE(1,1)まで作成された。
【００３３】
次に、上記の基準の要素ELE(1,1)を起点にして、図１２に示される通り、時計回りに、要素ELE(1,2)〜ELE(1,16) に属する節点番号を求める。例えば、要素ELE(1,2)に属する節点番号ELE(2,2)〜ELE(9,2)は、その前の要素ELE(1,1)に属する節点番号ELE(2,1)〜ELE(9,1)に＋２するだけで求めることができる。従って、要素番号ELE(1,IE) に対しては、その前の要素番号ELE(1,IE-1) に＋１し、それに属する節点番号ELE(K,IE) に対しては、その前の要素の節点番号ELE(K,IE-1) に＋２する（Ｓ３４１）。その結果、亀裂先端に最も近い１６個のメッシュ（要素）のデータが作成された。図１３では、要素番号ELE(1,2)〜ELE(1,16) のデータまで作成された。
【００３４】
次に、図１２に示される通り、要素ELE(1,17) のデータが作成される。この要素に属する節点番号は、半径方向に１つずれているので、要素ELE(1,1)の節点番号に＋２００するだけで求められる。以下同様に、要素ELE(1,17) を起点にして、時計回りに同様にして節点番号が与えられる。最後に、図１２に示される通り、要素ELE(1,33) から時計回りに要素ELE(1,48) までそれぞれに属する節点番号が上記と同様にして求められる。以上が図７のステップＳ３４２の処理である。
【００３５】
最後に、要素番号L*2=8*2=16の節点番号L*4+1=8*4+1 ＝33が、１に変更される（Ｓ３４３）。
【００３６】
以上で、図１３に示された要素データテーブルが完成する。各要素データテーブル内の節点番号を引用番号にして、図１１に示された節点データテーブルを参照することで、各要素での節点の座標データを得ることが可能になる。
【００３７】
以上説明した解析用モデルは、二次元座標上の例で説明した。半導体装置のパッケージなど構造体は、所定の厚みを有する。従って、かかる構造体に対して要素データを有する解析用モデルを作成するためには、二次元座標上で作成した節点データと要素データを、Ｚ軸上に拡張することが必要である。その場合は、例えば、Ｚ軸方向の次元に対応して、節点番号の１０００、２０００番台を付ける。更に、各節点の座標値に対しては、Ｚ座標に＋ΔＺする。更に、要素番号に対しても、同様に、Ｚ方向の次元に対して要素番号の１０００，２０００番台を付ける。この様に、簡単な拡張法により、Ｚ軸方向にも拡張することができるので、三次元の要素データを作成することが可能になる。
【００３８】
更に、上記説明した解析用モデルは、亀裂が頂点間の辺の中心にある例で説明した。ところが、三次元に拡張する場合、構造体の亀裂がコーナー部を頂点とする形状の場合がある。かかる場合は、三次元に拡張して作成した節点データに対しては、実際の亀裂位置に解析モデルの亀裂位置を変更することが必要になる。
【００３９】
【発明の効果】
以上説明した通り、本発明によれば、有限要素法解析プログラムを実行する為の解析モデルを作成するに際し、解析構造体にメッシュ（要素）を作成し、節点の座標データと各要素に属する節点データとのデータテーブルを作成する必要がある。その場合に、本発明によれば、解析モデルの対象位置とメッシュ作成の為の分割数を指定するだけで、自動的に二次要素データを含む解析モデルを作成することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】解析モデルの例を説明する図である。
【図２】亀裂先端のメッシュ（要素）の変更方法を説明する図である。
【図３】本実施の形態例の有限要素法解析システムの構成図である。
【図４】有限要素法解析プログラムの全体のフローチャート図である。
【図５】節点データテーブルと要素データテーブルを作成するプログラムのフローチャート図である。
【図６】図５の詳細フローチャート図である。
【図７】図５の詳細フローチャート図である。
【図８】節点の作成を説明する図である。
【図９】節点の作成を説明する図である。
【図１０】節点の作成を説明する図である。
【図１１】節点データテーブルの例を示す図である。
【図１２】要素データの作成を説明する図である。
【図１３】要素データテーブルの例を示す図である。
【符号の説明】
Ｐｘ 亀裂先端
Ｐ１〜Ｐ４ 頂点
ａ 亀裂部分
ＮＯＤ 節点
ＥＬＥ 要素
Claims (2)
- 有限要素法解析用のモデルを作成する第一の工程と、前記モデルのデータとして各節点に初期値を設定する第二の工程と、前記モデルに対して有限要素法解析プログラムを実行する第三の工程からなる、亀裂が生じた半導体パッケージの破壊強度をコンピュータによって評価する方法において、
前記第一の工程が、入力されたモデル作成位置とモデル分割数に従って、亀裂先端に分割数に応じて節点番号と座標を有する複数の節点データを作成し、前記モデルの矩形頂点に前記節点データを作成し、前記モデルの矩形頂点間の辺上に分割数に応じて等分割で前記節点データを作成し、前記亀裂先端の節点と前記矩形辺上の節点との間に分割数に応じて等分割に節点データを作成し、前記亀裂先端に近い節点の座標データを該先端側に移動させ、前記亀裂先端部の基準要素に属する節点番号の集合を有する要素データを求め、前記基準要素の節点番号をもとにして他の要素の節点の節点番号を求めて、その要素の節点番号の集合を有する要素データを次々に求めることを特徴とする亀裂が生じた半導体パッケージの破壊強度をコンピュータによって評価する方法。 - 請求項１において、
前記節点番号は、前記亀裂位置から時計回りに順次増加または減少するように規則的に与えられ、更に、前記亀裂先端から前記頂点間の辺上の節点方向に順次増加または減少するように規則的に与えられることを特徴とする亀裂が生じた半導体パッケージの破壊強度をコンピュータによって評価する方法。
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