JP3784834B2 - デジタル多重搬送波信号、該信号の構成方法とその送信及び受信方法 - Google Patents
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Description
1.1 一般的な分野
本発明の分野は、特に移動受信器により受信される様に設計されたデジタルのデータ、即ちアナログの標本化データの伝送又は放送の分野である、より詳細には、本発明は新しい形式の変調手段により形成された信号、及びそれに対応した変調及び復調の技術に関する。
移動受信器に向けて送信するチャネルの様に、非常に不安定なチャネルに適応した変調方式を作ることが長い間求められていた。このようなチャネルでは、送出された信号はフェージング及びマルチパス現象の影響を受ける。欧州プロジェクトのユーレカ(EUREKA)147(DAB:デジタルオーディオ放送)の組織内のCCETTにより行われた研究により、この種のチャネルに対する多重搬送波変調及び特にOFDM(直交周波数分割多重)の価値が示されている。
OFDMは、DAB規格の基準として欧州プロジェクトの組織内で選択されている。この技術は更にテレビジョン番組を放送する変調技術として考えることもできる。しかし、例えばデジタルテレビジョンへの応用に必要な変調の様にスペクトル効率を高くして符号化した変調を扱う場合(後述する)数種の制限があることが知られている。
1.2 可能な応用分野
本発明は多くの分野、特に高いスペクトル効率が要求される場合、及びチャネルが非常に不安定である場合に適用できる。
応用の第一の範疇は、画像、音声及び/又はデータのいずれであろうが地上デジタル無線放送に関している。特に、本発明は本質的に長期間のマルチパスを発生する同期放送に適用できる。本発明は更に、好都合なことに移動受信器に対する放送にも適用できる。
応用の他の範疇はデジタル無線通信に関している。本発明は例えばUMTS内の組織内(レース(RACE)プロジェクト)で高いビットレートで移動受信器とデジタル通信を行うシステムに特に適用できる。本発明は更に(ハイパーラン(HIPERLAN)タイプの)高いビットレートのローカル無線ネットワークに対しても考えることができる。
応用の第三の範疇は、水中伝送への応用である。水中音響内での伝送チャネルは、水中内での音響波の伝送速度が遅いので非常に乱される。これによりマルチパス及びドップラースペクトルの広がりが大きくなる。多重搬送波変調の技術、及び特に本発明の対象である技術は、この分野に良く適合する。
2.従来の技術
2.1 信号の表示に関する理論的な説明
本発明に基づく信号を示す前に、以下に周知の信号を記載する。この記載は発明者が定義する多重搬送波信号に対する全体の方法の基礎である。この方法はそれ自体が新規な方法である。この全体の方法は従来の技術と少しも等しいところが無く、当業者に明らかな方法でない。それ故本方法は本発明の一部であると考えるべきであり、従来の技術を構成する部分と考えられない。
検討の対象となる信号は実信号であり(例えば電気的な大きさ)、有限のエネルギーを有し、時間の関数である。
該信号はそれ故実関数L2(R)で表される。更に、これらの信号は限定された帯域wの信号であり、該信号のスペクトラムはfcが信号の“搬送波周波数”の時、
内に含まれている。それ故、分析フィルターをFAで示すと、従来と同等な方法で次式
の複素包絡信号s(t)により実在の信号a(t)を表すことができる。
該信号s(t)は総和可能な自乗関数L2(R)を有した実数値変数の複素関数におけるベクトル空間のベクトル部分空間(±W/2まで帯域制限により特徴づけられる)に属している。このベクトル空間は、複素数の領域か実数の領域で構成されているかにより2つの異なる方法で定められる。これらの空間のそれぞれに対し、C又はR内の値が取るスカラ積を関連させ、ヒルベルト空間を作ることができる。Hは複素数の領域に作られたヒルベルト空間を示し、HRは実数の領域に作られたヒルベルト空間を示している。
対応するスカラ積は次のように表される:
Hの場合:
であり、HRの場合:
である。
随伴基準は明らかに両方の場合等しい:
2.2 OFDMの一般的な原理
OFDMの一般的な原理は、例えば1986年7月2日に出願されたフランス特許番号第FR−86 09622号に示されている。この技術の基本的な考えは、要素となる波をできる限り時間周波数平面内に閉じ込め、要素となる波の係数として信号を符号化して送信することであり、該伝送チャネルは局所的に定常であると考えている。該チャネルは従ってライス又はレイリーの法則に従う係数の母数の分散により特徴づけられる簡単な乗数チャネルであると見ることができる。
従って、符号によりフェージング現象に対し保護が行なわれている。この符号は時間及び周波数のインターリーブと共同するソフト決定モードで使用されており、該時間及び周波数のインターリーブにより符号の最小メッシュ内の部分となる信号が独立したフェージング現象により最大限可能な範囲まで影響を受ける。
この時間周波数平面内でのインターリーブを用いた符号化の技術は、COFDMとして知られている。この技術は例えば文献[23]に記載されている(付録1を参照(読み易くするため、従来の技術の参考文献の全ては付録1に記載している。この付録は付録2及び3と同時に勿論この記載の必要不可欠な部分であると考える必要がある))。
周知のOFDM変調には2つのタイプがある。文献に用いられている用語はしばしば多義的な用語である。この出願ではより正確である新しい名称を取り入れるが、現存の文献と一致しない。このグループ内の変調のタイプを示す接尾語のついた総称OFDMを使用する。
2.3 OFDM/QAM
2.3.1 理論的な原理
変調の第一の範疇は、QAM(直交振幅変調)変調された搬送波又は二値データの要素が特別の場合QPSK(4位相偏移変調)変調された搬送波の多重であると考えられる。以下、本システムは、OFDM/QAMと呼ぶ。搬送波は全て同期しており、更に搬送波周波数はシンボル時間の逆数で配置される。これらの搬送波のスペクトルは重なり合っているが、システムを同期させることにより、異なる搬送波で送られたシンボル間を直交にすることができる。
参考文献[1]から[7]は、このテーマに対し利用出来る有効なアイデアの文献である。
記載をより簡単にするため、更に本発明の新規な方法に基づき、該信号は前述の複素包絡線で表される。これらの条件のもとで、OFDM/QAM信号の一般式は次の様に書くことが出来る:
係数a m,nは送信データを表す複素数である。関数xm,n(t)は同一のプロトタイプ関数x(t)の時間周波数空間に変換される:
ここに、ψは0に設定出来る任意の位相である。関数x(t)は集中している、即ちその1次モーメントはゼロで、X(f)はx(t)のフーリエ変換を示している。
これらの条件のもとで、次式が成立する:
それ故基本関数の重心は、図1に示す様にベクトル(τ0,0)と(0,ν0)により発生する時間周波数平面の格子を形成している。この格子は密度が1、即ちν0τ0=1である。このテーマに関するより詳細な論述に対する文献[9]を参照にされたい。
プロトタイプ関数x(t)は特別な特性を有しており、その関数{xm,n}は相互に直交しており、より詳細には次式で与えられるL2(R)のヒルベルトの基底を構成している。
この基底に信号を投影することは、簡単には該信号を時間をτ0 によりシーケンスに分離し、これらのシーケンスのそれぞれを対応するフーリエ級数展開により表すことに等しい。このタイプの分解は、完全な周波数ローカリゼーションに時間情報の損失の全体を与える標準フーリエ解析に対立するものとして時間と周波数の両方でローカリゼーションに対する第1段階である。
残念なことに、時間的ローカリゼーションは優れているが、周波数ローカリゼーションはX(f)がゆっくり減少する関数であるためかなり効率が低い。更に、バリアンローコイフマンシーメス(Balian-Low-Coifman-Semmes)の定理([9]参照p.976)により、Xがxのフーリエ変換を示すならば、tx(t)とfX(f)は同時に総和可能な自乗になることができないことが示されている。
2.3.2 保護間隔を有したOFDM/QAM
一般的に、マルチパスとドップラー広がりに対するOFDM変調の許容誤差は、時間又は周波数の偏移の関数として符号間干渉のレベル(II)の変動を包括的に測定する変数により特徴付けられる。この概念の正当性は付録2に与えられている。この許容誤差の変数はξと呼ばれ、次の関係式により定義される:
ξ=1/4πΔtΔf (11)
ここに:
ハイゼンベルグの不等式により、ξは1を越えることができない。
前述のバリアンローコイフマンシーメスの定理を適用すると、変数ξはOFDM/QAMの場合0に等しい。これは前述の様にOFDM/QAM変調の大きな欠点である。これは実際には時間誤差、及びその結果のマルチパスに対する高い感度により特徴付けられる。
この欠点は、例えば[5]に記載した保護間隔を使用することにより回避することができる。これはプロトタイプ関数の長方形の窓を広げることからなる方策である。基底シンボルの格子密度は、従って1よりかなり小さくなる。
この技術が可能であるのは、初期シンボルを変換したものの無限大が保護間隔により広げられたシンボル内に見つかるからである。勿論、これが行われるのはプロタイプ関数が長方形の窓である時のみである。この意味で、保護間隔を有したOFDM/QAMは独特かつ特異な点である。
保護間隔を有したOFDM/QAM変調は、DABシステムの基礎である。この保護間隔により性能を下げることを犠牲にして符号間干渉を制限することが出来るが、これは伝送される情報の一部が実際には受信器により使用されるのではなくマルチパスを吸収するためにのみ使用されるからである。
この様に、DABシステムの場合保護間隔が有効なシンボルの25%を示すならば、その損失は1dBである。更に、所定の包括的なスペクトル効率を得ることによる損失が追加され、使用する符号の効率を大きくすることにより保護間隔による損失を補償する必要がある。
この損失は、DABシステムの場合スペクトル効率が小さいので僅かである。反対に、全体のスペクトル効率を4ビット/Hzにしたいならば、シャノンの法則に基づき3dB台の損失を与える5ビット/Hzの符号を使用する必要がある。それ故この場合、全体の損失は約4dBである。
2.3.3 他のOFDM/QAMシステム
OFDM/QAMタイプの他のシステムを考えることができる。残念なことに、フィルタ型QAM変調、即ち従来のハーフナイキスト(即ちより詳細には“ナイキスト平方根”)タイプの波形成形を使用した変調は、直交の必要な制約を果たさない。直交の必要な基準を果たす周知のプロトタイプ関数は次の通りである:
−長方形の窓;
−基本的な正弦。
これらの二つの例は取るに足らない例であるが、フーリエ変換により互いにデュアル領域を有する様に現れる。長方形の窓の場合は、保護間隔の無いOFDM/QAMに対応している。基本的な正弦の場合は実際には達成が難しい漸近的な場合であるロールオフが0%の標準周波数多重(即ち、搬送波が共通のスペクトルを持たないもの)に対応している。
これらの場合のいずれも、プロトタイプ関数は完全に時間又は周波数のいずれかで制限されているが、デュアル領域では平凡な減少(1/t又は1/f)を有している。
バリアンローコイフマンシーメスの定理は、更に満足な解決が存在するかもしれない期待が殆ど無い。前述の様に、この定理は、tx(t)とfX(f)が同時に総和可能な自乗を有することが出来ないことを示している。それ故、x(t)とX(f)が同時に−3/2より小さい指数で減少する関数x(t)を見出すことが期待できない。
これは更に技術者の観点から満足する関数が存在する可能性を捨て切れない。しかし、この問題を扱っている最近の論文[10]は、必要な特性を有する他のプロトタイプ関数の例を示している。この論文で提案されたプロトタイプ関数の形は、時間集中に関して期待すべきものから非常に離れている。それ故、満足しないOFDM/QAMタイプの解決策である可能性がある。
最後に、密度が1で複素係数がam,nを有する格子を使用することに対応したOFDM/QAMの方法は、長方形の時間の窓の場合と保護間隔を使用した場合のみ実施することが出来る。他の変調を捜している当業者は、それ故OFDM/OQAMの名称のもとで以下に記載する技術に変える必要があるであろう。
2.4 OFDM/OQAM
変調の第二の範疇は、OQAM(オフセット直交振幅変調)変調された搬送波の多重を使用している。以下では、このシステムをOFDM/OQAMと呼ぶ。搬送波は全て同期しており、搬送波周波数はシンボル時間の逆数の半分だけ離れて配置される。これらの搬送波のスペクトルは重なっているが、該システムの同期と搬送波の位相の選択は異なる搬送波により出されるシンボル間の直交性を保証するため使用される。このテーマに関し利用できる文献の明快な図面は、参考文献[11−18]に与えられている。
記載をより簡単にするため、該信号は分解の形で表現される。これらの条件のもとで、OFDM/OQAM信号の一般式は、次の様に書くことができる:
係数am,nは送信されるデータの要素を表す実数と仮定している。関数xm,n(t)は同一のプロトタイプ関数x(t)の時間周波数空間内に変換される:
ここに、ν0τ0=1/2。
ψは、0に設定出来る任意の位相である。
基本関数の重心は、それ故図2に示す様に、ベクトル(τ0,0)と(0,ν0)により形成される時間周波数平面の格子を形成している。
この格子は密度が2である。関数xm,n(t)はR内でスカラ積に対し相互に直交している。周知の方法では、該プロトタイプ関数は各搬送波のスペクトルが隣の搬送波のスペクトルのみと重なる様に周波数内に制限されている。実際には、対象とするプロトタイプ関数は次の関数式を満たす偶数次の関数(実数又は可能ならば複素数)である:
x(t)に対する可能な選択は、ロールオフが100%のハーフナイキストフィルタのパルス応答である、即ち:
x(t)とそのフーリエ変換が判ると、X(f)は限定されたサポート(support)を有し、x(t)はt-2で減少する、即ちこれはバリアンローコイフマンシーメスの定理から得られた理論的な制限よりかなり良い結果であることを示している。基本波形はOFDM/QAMの場合より時間周波数平面においてより集中しており、これによりこの変調はマルチパスとドップラー現象がある場合より良好な動作が与えられる。上述の様に、遅延及びドップラー現象に対し変調の許容誤差を測定する変数ξを定めることが出来る。この変数ξは0.865に等しい。
3.従来のシステムの欠点
これらの周知のシステムは、特にチャネルが非常に不安定な時、及び高い効率が要求される時多くの欠点と制限がある。
3.1 OFDM/QAM
OFDM/QAMの最大の問題はいやおうなしに保護間隔を使用することが必要なことである。上述の様に、これによりスペクトルの効率の値を高くする目的の時かなり効率に損失が生ずることである。
更に、送信信号は周波数領域での集中が悪く、これにより、非常に不安定なチャネルで動作特性も制限される。特に、この周波数の広がりにより等価器の使用が難しくなる。
3.2 OFDM/OQAM
逆に、OFDM/OQAMの周波数特性はむしろ満足できるものであり、保護間隔に関する損失の問題は生じない。反対に、プロトタイプ関数のパルス応答は比較的時間的な減少がゆっくりであり、即ち1/x2で減少する。
これは二つのタイプの困難を意味している。最初のものは、短い時間間隔で波形を切断することが難しい。これは、受信器内で処理が複雑であることを意味している。更に、これは又実現できる等化システムを意味している。
言い換えれば、OFDM/OQAM技術の効率はOFDM/QAM技術の効率より良いが、これらの技術は実現がより複雑であることが判っており、従って特に受信器が高価となる。
4.本発明の提示
4.1 本発明の目的
本発明の目的は、特に従来の技術の種々の欠点と制限を解決することである。
この様に、本発明の目的は、受信器に対し送信又は放送される様に設計されたデジタル信号で、不安定なチャネル、特に非常に不安定なチャネル内で、より良好な動作特性を得るため使用できるデジタル信号を提示することである。
本発明の目的は、又は高いスペクトル効率を得るため使用出来るこの種の信号を与えることでもある。
本発明の他の目的は、プロトタイプ関数の時間応答をできるだけ集中して保ち、特に受信側での処理を簡単にするようにしながら、同時に保護間隔に関するOFDM/QAMの方法の欠点を避けるような信号を与えることである。
本発明の目的は、また、特に復調器と等化器に関して、複雑でなく価格も高くない受信器を作ることが出来るこの種の信号を与えることである。
本発明に付加された目的は、送信器、受信器、送信又は放送の方法、受信の方法及び製造の方法、即ちこの様な信号に対応した変調の定義与えることである。
4.2 本発明の主な特徴
以下に示す本発明に基づくこれらの目的と後で明らかにする他のことがらは、特に不安定なチャネルにおいて、2つの連続するシンボルがシンボル時間τ0 により区別され、一連のシンボルにそれぞれが対応づけられている、要素となる搬送波を周波数軸上で多重化し、デジタル受信機へ送信するように設計された多重搬送波信号で、第一に二つの隣り合った搬送波の間隔ν0 は、該シンボル時間τ0の逆数の半分に等しく、第二に各搬送波は、そのスペクトラム成形のためにフィルタ処理されることで、搬送波間隔ν 0 の2倍より大きい帯域幅を有し、前記スペクトラムは、各シンボルの要素が時間領域及び周波数領域で可能な限り集中するように選択されている。
特に、この種の信号は次式に対応している:
ここに、
am,nは変調に関して予め決められたアルファベットの中から選択された信号源を示す実数の係数;
mは周波数の位置を示す整数;
nは時間の位置を示す整数;
tは時間を示し;
xm,n(t)は実数又は複素数を取る同一の偶数次数のプロトタイプ関数x(t)の時間周波数空間に変換された基本関数、即ち:
ここにψは任意の位相変数、
関数x(t)のフーリエ変換X(f)は区間[−ν0,ν0]を越えて広がるサポートを有し、
更に、前記基本関数{xm,n}は相互に直交し、2つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロである。
記号“±”は、xm,n(t)が平等に負の符号又は正の符号を取ることを示している。xm,n(t)は両方の値を取ることは勿論意味していない。
この様に、本発明は出来るだけ時間周波数平面に集中するプロトタイプ関数を使用する変調システムに基づいている。この方法の値は、受信器での処理を簡単にするため出来る限り集中したプロトタイプ関数の時間応答を保ちながら、同時に保護間隔に関連したOFDM/QAMの欠点を避ける信号を作る変調を有効に有する値である。
言い換えれば、本発明の対象は周波数が制限されたサポートを有する関数のあらゆる方法により、プロトタイプ関数の範囲を越えて密度2の直交格子上にOFDM/OQAM変調の様に作られた新規の変調システムに関している。提案された変調のタイプの中には、時間が制限されたサポートを有するプロトタイプ関数か、時間又は周波数のいずれかが制限されておらず反対に時間と周波数の両方の減少が早く時間周波数平面でほぼ最適に集中する特性を有するプロトタイプ関数のいずれかを使用した変調がある。
この種の信号は、従来の技術を考慮しても当業者には決して明らかでない。上記に示した様に、基本的にはOFDMタイプの変調の形成には2つの方法がある。
第一の周知の形成の方法は、密度1の格子を使用している。この第一の方法は、全ての信号が間隔に分割され、次に各間隔が次にフーリエ級数の形に分解される該信号を分解するための基底を使用している。これはOFDM/QAMの方法である。同じ格子上に形成される数少ない例の方法の文献であり、得られた結果は実際的な利点は殆どない[10]。
更に、該OFDM/QAM技術は保護間隔の方法から利点を得ることが出来る唯一の技術である。該OFDM/QAMの方法は、それ故拡張出来ない珍しい方法である。
第二の周知の(OFDM/OQAM)形成の方法は、密度2の格子を使用している。同一の周波数又は隣りの周波数上に中心があるシンボルの間が直交することは、ハーフナイキストの成形により、及び信号の位相を適当に選択することにより行われる。最後に隣の周波数を越えて直交することは、周波数バンドがオーバーラップしないことにより行われる。
従って、この特性を有しない新しい変調を形成することは明らかに容易で無い。以下に記載する本発明の変形の全ては時間領域で制限されるか、又は関数が容易に短くできる様に減少を早くするかのいずれかのプロトタイプ関数を使用する利点を有している。
第一の変形によれば、前記のプロトタイプ関数x(t)は区間[−τ0,τ0]の外がゼロである偶数次関数であり、次の関係を満たす:
好ましくは、前記プロトタイプ関数x(t)は次式により定義される:
第一の場合(以下ではOFDM/MSKと呼ぶ)、ドップラー現象及びマルチパスに対する性能の特徴は、OFDM/OQAM変調に等しく、受信器の製造が簡単になる。
本発明の第二の変形によれば、前記プロトタイプ関数x(t)は次式により特徴づけられる:
関数y(t)はそのフーリエ変換Y(f)により定義される:
ここに、G(f)は次式の正規化ガウス関数である:
αは厳密に正の実数の変数であり、kは−∞から∞まで変化する。
好ましくは、変数αは1に等しい。この変調を以下ではOFDM/IOTAと呼ぶ。この場合、
で示す相当のプロトタイプ関数はフーリエ変換に等しい。
受信器の製造は前述の場合より若干複雑であるがOFDM/OQAMの場合より簡単であり、動作特性はかなり良い。
本発明は更に特に不安定な伝送チャネルにおけるデジタル信号の伝送方法にも関しており:
−所定のアルファベットから選択された実数のデジタル係数am,nを用いて、送信されるデジタル信号のチャネル符号化のステップと;
−前述で定義された式を満たす信号s(t)の構成のステップと;
−複素包絡線として信号s(t)を有する信号を、少なくとも1つの受信器に伝送するステップと;
を備えている。
好ましくは、伝送される前記デジタル信号又はデジタル係数am,nを形成する二値の要素に、周波数及び/又は時間インターリーブを適用する、更なるステップを備えている。
これにより不安定なチャネルに最適な動作特性を与えることが出来る。
本発明は更にこの種の信号の送信器にも関する。
本発明は更に、前述の信号を受信する方法であって:
−送信側の信号s(t)に対応した複素包絡信号r(t)を受信するステップと;
−位相応答θm,nと振幅応答ρm,nの推定を備えた伝送チャネルの応答を評価するステップと;
−前記信号r(t)を;
−プロトタイプ関数x(t)と前記信号r(t)の乗算を行い;
−2τ0を法としフィルタを通した波形のエイリアジング(aliasing)をし;
−フーリエ変換を適用(FFT)し;
−伝送チャネルにより生ずる位相θm,n を訂正し、;
−項im+nに対応した位相を訂正し、;
−伝送チャネルの振幅応答ρm,nにより重み付けられて送信された係数am,nに対応して得られた係数
の実数部分を選択;
することにより復調するステップとを備えた方法にも関する。
好ましくは、この受信法は前記実数のデジタル係数
の、可能であればチャネルの振幅応答ρm,nの対応する値の周波数及び/又は時間デインターリーブ、ここで、デインターリーブは伝送時に行われたインターリーブの逆、及び/又は伝送時に行われたチャネルの符号化に適合した重み判定の復号ステップとを備えている。
本発明は更に対応する受信器にも関する。
次に、本発明は更に前述の信号に対するプロトタイプ関数x(t)の良好な構成の方法にも関し;
−次のタイプの正規化ガウス関数G(f)を選択するステップと;
−次の様なプロトタイプ関数x(t)を決定するステップと;
−ここで、関数y(t)を次のフーリエ変換Y(f)により定義する;
を備えている。
この方法により特に前述のプロトタイプ関数
が決定される。
5.本発明の特別な実施態様の記載
5.1 図の一覧
−図1は周知のOFDM/QAMの場合に実施される格子に対応し、密度1の格子を示す図である;
−図2は周知のOFDM/OQAM変調の場合、及び本発明の場合に実施される格子に対応した密度2の格子を示す図である;
−図3Aから3D,4Cから4D,5Aから5D,6Aから6D及び7Aから7Dは、周知のOFDM/QAM変調(3)、保護間隔を有したOFDM/QAM変調(4)、OFDM/OQAM変調(5)、本発明で使用した変調のタイプ、即ちOFDM/MSK変調(6)、及びOFDM/IOTAを示しており、それぞれ次の様相に基づいている;
・A:プロトタイプ関数x(t);
・B:プロトタイプ関数の線形フーリエ変換;
・C:線形の曖昧な関数の母数(付録2に定義している);
・D:符号間関数(付録2に定義する様に);
−図7Aは対数目盛りの信号OFDM/IOTAの減少を示す;
−図8はガウス関数の曖昧な関数を示す;
−図9は本発明に基づき使用される送信器(及び対応する送信法)のブロック図である;
−図10は本発明に基づき使用される受信器(及び対応する受信法)のブロック図である;
−図11は図10の受信器で実施される変調方法のより詳細な図である。
5.2 本発明に基づく信号の主な理論
(15)で定義されるOFDM/OQAMの基本信号の全ては、次の形に書くことができる:
基本関数の重心は、それ故ベクトル(τ0,0)と(0,ν0)により発生する時間周波数平面の格子を形成している(図2を参照)。この格子は密度2、又はν0τ0=1/2を有している。[16]に示す様に、これらの関数はHRのヒルベルト基底を構成している。記載を簡単にするため、以下では符号の反転を省略している。
一般的に、グループ{xm,n}がHRのヒルベルト基底を構成する様にx(t)に対し条件を有することが求められる。x(t)は偶数次の関数であるとする。
xm,nとxm',n'のスカラ積は、次の様に書くことが出来る:
即ち、
t’=t−(n+n’)τ0/2andτ’0=(n−n’)τ0
の仮定により、
と書くことが出来る。
直交はそれ故、積分の係数が純粋に虚数であれば得られる。この係数の分析はこの目的に対しm−m’、又はn−n’が奇数であれば十分であることを示している。
該格子は、それ故図2に示す様に、({mが偶数、nが偶数}、{mが偶数、nが奇数}、{mが奇数、nが偶数}、{mが奇数、nが奇数})の4つのサブ格子に分割され、それぞれは互いに直交である(サブ格子の1つのあらゆる関数は、他のサブ格子のあらゆる関数に対し直交である)。{xm,n}がヒルベルト基底を構成する十分な条件はそれ故次の通りである:
<xm,n|xm',n'>R=0∀m−m'even,∀n−n'even,(m,n)≠(m',n') (21)
それ故次の様なタイプの偶数パリティ関数x(t)を見つければ十分である:
このタイプの関数は、R内のスカラ積に対し互いに直交である。更に、この様な場合、これらの関数も前述の関数と同様に対称である理由からC内のスカラ積に対し直交である。この条件を表す他の方法は曖昧なxの関数を使用することができる[19]:
次に、次の様な偶数次の関数を見つければ十分である:
Ax(2nτ0,2mν0)=0,∀(m,n)≠(0,0) (24)
この様に取りあげた問題をC内のスカラ積に対しヒルベルト基底を見つける問題と比べると、直交の制約は関係する格子が半分の密度なので非常に小さくなる。実際には、基本関数は格子{2mν0,2nτ0}、即ち密度1/2の格子の点上に中心がある。バリアンローコイフマンシーメスの定理を適用出来ない理由から、ここでは直観的に明らかな方法で見ることができる。
OFDM/OQAM方法の場合、関数x2m,2n(t)の互いの直交は異なる性質の2つの制限から得られる。実際には、m≠m’ならば、〈x2m,2n|x2m',2n'〉はこれらの関数が互いに離れたスペクトルを有するのでゼロである。更に、X(f)はハーフナイキストタイプの形を有するので、〈x2m,2n|x2m',2n'〉はゼロである。
すでに示した多数の文献で判る様に、当業者はこれら2つの制限を守ることが絶対不可欠であると見なしている。特に、これらの制限はプロトタイプ関数が必ず周波数制限されたサポートを有する関数であるという考えからの制限である。
5.3 発明の包括的な原理
本発明は、OFDM/OQAMタイプの多重搬送波信号に対する全く新規な方法に基づいている。この新規な方法によれば、直交はもはや前述の2つの制限に対する関係により得られるのではなく、プロトタイプ関数の特別な定義により得られる。
言い換えれば、本発明の目的はプロトタイプ関数が周波数を制限したサポートを有するあらゆる方法の関数であることを意味することなしに、密度2の直交格子上にOFDM/OQAM変調の様に作られた変調システムに基づく新しい信号である。
使用された原理は、密度1/2の直交な格子を作る原理であり、従って該信号の位相を上手に選択することにより密度2の格子を作り出す原理である。
非常に多くの信号を本発明の技術に基づき構成することができる。この様な信号でこれに限定されない2つの例であり、それぞれOFDM/MSKとOFDM/IOTAと呼ぶ例を以下に提示する。この種の信号を作る特別な方法もこれに限定されない例として付録3に示す。この方法は勿論本発明の一部を形成しており、本記載を読み易くするのみのため付録の中に置いている。
5.4 OFDM/MSK変調
ここでは、OFDM/OQAM変調(式14及び15)と同じ一般式に基づき作られているが、異なるプロトタイプ関数を使用した新しい変調を検討する。この新しい変調はそれぞれの搬送波がMSK変調されているのでOFDM/MSKと呼ぶ[20]。そのプロトタイプ関数は次の様に書かれる:
実際には、この変調は時間及び周波数軸の取り替えに対応しているので、この変調はODFM/OQAMに対し二重であると考えられる後部(ポステリオリ:posteri-ori)基底上に該プロトタイプ関数が認められる。OFDM/OQAMに対するこの変調の必須の値は、該プロトタイプ関数が厳密に時間内に制限されていることである。入力フィルタの係数の数がかなり少なくなるので、特に受信器の実現が簡単になる。更に、マルチパスがある場合動作特性は変化しないし、変数xは同じである。
5.5 IOTA変調
OFDM/IOTA変調は、上記とは反対に付録3に記載したIOTA(等方性直交変換アルゴリズム)変換と呼んでいる信号処理の分野に対し、全体的に新規で独創的な方法から得られている。
5.5.1 信号に対する式
ここでは、OFDM/OQAM変調(式14及び15)と同じ一般式に基づくが、異なるプロトタイプ関数の基底の上に作られた新しい変調を検討する。該変調はプロトタイプ関数の選択によりOFDM/IOTAと呼ばれている。プロトタイプ関数は次の様に書かれる:
は付録3で定義する関数IOTAを示している。
付録3は解の無限大を得るため使用され、関数IOTAは注目すべき解を有していることに注意する必要がある。OFDM/IOTA変調の基底関数はそれ故次の様に書かれる:
送信された信号はそれ故次の様に書くことが出来る:
ここに、
5.5.2 図に関する注釈と急速な減少に関する利点
目に見える形で本発明の利点を強調するため、前述の各変調に対し次の様に表す:
・A:プロトタイプ関数x(t);
・B:プロトタイプ関数の線形フーリエ変換;
・C:線形曖昧な関数の母数(付録2に記載);
・D:符号間関数(付録2に定義)。
曖昧な関数の示す図(Cの参照の付いた図)により、時間周波数平面内でプロトタイプ関数の制限を判断することができる。符号間関数の示す図(Dの参照の付いた図)により、遅延とドップラー現象に対し変調の感度を評価することができる。位相誤差は変調の全てがこの点に関して等しいので検討する必要がない。
図3Aから3Dは、従来のOFDM/QAM変調の周知の場合に関している。この変調の大きな欠点は、プロトタイプ関数の周波数応答により考えられる様に、小さなローブのレベルの減少が遅くない。
実際には、周波数誤りに対するOFDMの感度は対象とする他のタイプの感度より若干大きい。反対に、IIはロールオフがゼロの変調のアイ(eye)に等しいアイを水平に閉じることにより表される異なる組の統計値を有している。それ故明らかに重要であり、符号化が行われない時システム的な誤りを生ずる可能性のあるトレースがある。この詳細は不都合なものであり、符号化がある場合には実際上重要で無い。反対に、このゆっくりした減少はIIエネルギーが多数の隣接したシンボルにわたり分散され、これにより平等化での多くの試みが難しくなることを意味している。
逆説的に、実際の問題は軸に沿って三角形である曖昧な関数に対応する時間的応答が突然制限されることから生ずる。これにより時間的誤りに非常に高い感度を有した符号間関数が与えられる:傾斜は垂直であり、変数ξはそれ故ゼロである。これは保護間隔の使用が正当であることである。
図4Cと4Dは、保護間隔を有したOFDM/QAM変調に関している(そのプロトタイプ関数とフーリエ変換は、図3Aと3Cに示すOFDM/QAMのものに等しい)。保護間隔の使用により、曖昧な関数のレベルに平らな領域が生ずる。実際には、この場合に使用されるべき用語はむしろ“組み合わさった(cross)曖昧性”の用語が好ましい。明かに、この平らな部分は符号間関数に見つけることができ、時間的誤りをなくす。図には保護間隔が0.25τ0の場合を示している。
周波数誤りの段階では、特性はOFDM規格の場合と同じである。
保護間隔の損失は、関心のある分野がスペクトル効率の低い変調に関している時容認できる。反対に、高いスペクトル効率を有することが求められている時は、容認できない:例えば、有効なシンボルの4分の1に等しい保護間隔を取るとする。これらの条件のもとで、正味の効率を4ビット/s/Hzにするためには、概略の効率が5ビット/s/Hzの変調と復号化のシステムを有する必要があり、シャノンの限界容量に対し3dBの損失が与えられる。更に、この損失に対し、保護間隔内に送信される“不必要な”パワーにより1dBの損失を追加する必要がある。それ故全体では、最適な場合に対し4dBが失われる。
図5Aから5Dは、OFDM/OQAMの場合を示している。
OFDM/OQAMの時間応答は、OFDM/QAMの時間応答より良い形状を有している。それにも拘らず、時間的な減少は1/t2内にある。曖昧な関数は密度1/2を有した格子上で相殺される。周波数誤りに対する感度は、時間誤りに対する感度より大きい。変数xは0.8765に等しい。
図6Aから6Dは、OFDM/MSK変調に対応した発明の第一の実施態様に関している。該実施態様は時間と周波数の目盛りを逆にしたQAMの特性に厳密に等しい特性を有していることが確かめられている。変数xは変わらない。
次に、図7Aから7DはOFDM/IOTA変調を示している。この変調は時間と周波数の減少(用語の数学的な意味に於て)が早く、これにより可能性の最も大きい効率を有する等化が可能である。
該変調は2つの軸に対し完全に対称である。その符号間関数はほぼ理想的である。一般に、その動作はガウス関数の動作にほぼ等しい。変数xは0.9769に等しい。
関数Aの曖昧な関数(図7A)は、図8に示す様にガウス関数の曖昧な関数と比較される。これら2つの関数の一般的な形は、頂点に於て非常に似ている。反対に、基底では異なっている。
図7Eは、IOTA信号の時間が減少する対数目盛りの図である。該信号の大きさが対数目盛り(2つの様相は同じなので、勿論時間及び周波数でも)で直線的に、すなわち線形目盛では指数的に減少することが判る。それ故、この特性により実際の実施態様では波形を切断し、受信器の複雑性を制限することが出来る。
5.6 送信器の原理
図9は、本発明に基づく信号の送信器の簡略化したブロック図を示している。送信の方法はこの図から直接導き出される。
ビットレートの高い(典型的には数10メガビット/s)の二値のデータ源を検討する。二値のデータ源の用語はあらゆる種類(音、画像、データ)の1以上の標本化されるデジタル、又はアナログの源信号91に対応した一連のデータ要素を意味すると理解される。これらの二値データ要素は、フェージングチャネルに適応した二値対二値チャネル符号化92を受ける。例えばリードソロモン符号で結合された格子符号化変調を使用することができる。より詳細には、4ビット/Hzのスペクトル効率が必要ならば、8つの振幅レベルを有する8AM変調に関連した効率2/3の符号を使用することが可能である。
次に、特許第FR−88 15216号に説明されている原理に基づき、これらの符号化されたデータ要素は時間周波数空間に分散され(93)、送信されたシンボルに影響を与えるレイリーフェージングに必要なダイバーシティとデコレレイト(decorrelate)が与えられる。
より一般的には、第一の二値対二値の符号化と、時間及び周波数インターリーブと、マッピング操作が行われる。該インターリーブは必要性及び使用される符号により該マッピングの前後で無差別に行われることは明かである。
この符号化操作の終わりには、送信される実数のシンボルam,nがある。OFDM/MSK又はOFDM/IOTA変調器94を作る原理は、OFDM/OQAM送信器の場合と同様である。プロトタイプの波形のみが異なる。該変調システムの詳細な記載は参考文献[15]に行っている。送信される信号を作るため、同じ次数nのシンボルが一緒にされ、次式の様に計算される:
この操作は同じ次数nの全てのシンボルに関して高速フーリエ変換(FFT)によりデジタル的に行われ、その後プロトタイプ関数IOTAにより形成された波形に掛け算と、最後に異なるランクのシンボルの付加(指数nに基づく加算)が行われることが好都合である。
この様にして発生した複素信号は、次にアナログの形態98に変換され、2チャネル直交変調器99(I&Q変調器)により最後の周波数に置き換えられ、最終的に増幅910されてから送信991される。
5.7 受信器の原理
図10は、本発明に基づく信号の受信器の該略図(同様に対応する受信方法も)を示している。
OFDM/MSK又はOFDM/IOTA受信器はOFDM/OQAM変調に適合した受信器と同様である。入力段階は従来通りである。信号は予め増幅101され、中間周波数102に変換され、チャネルフィルタリング103が行われる。該中間周波数信号は次の105で直交した2つのチャネルのベースバンドに変換される。更に、自動利得修正(AGC)機能104が行われる。こららのAGC機能は前置増幅101を制御している。
他の方法は、該中間周波数信号を低い搬送波周波数に置き換え、単独のチャネルに該信号を標本化することからなり、複合の表現はデジタルフィルタリングにより得られる。RF信号は直接ベースバンドに置き換えられ(直接変換)、該チャネルフィルタリングは二つのチャネルI&Qのそれぞれの上で交互に行われる。いずれの場合も、受信信号に対応した複合の包絡信号である個別の表現に戻すことができる。
ベースバンドでのデジタル処理を詳細に表現するため、次式の送信信号の複合包絡の式により特徴づけられる多重搬送波タイプの変調を検討する:
可変伝達関数T(f,t)により特徴づけられる伝送チャネルとする(付録2を参照)。受信信号r(t)の複合包絡は次の様に書くことができる:
復調器は例えば特許第FR−90 01491号に基づき明示された搬送波の基準格子を使用している従来の手段により伝達関数T(f,t)を推定している(106)。信号を正しく復調するため(107)、該チャネルは例えばT(f,t)の値に対応した振幅と位相及び対象とする周波数により特徴づけられる乗数チャネルに部分的に例えられる。am,n(t)を推定するため、受信信号はそれ故次の信号と見なされる:
次のことを仮定する:
復調器はそれ故次の処理操作を行う:
伝達関数ρeiθを有する定常チャネルの場合、次のことが明らかに判る:
実際には、処理107は図11に示す方法に基づきデジタルの形態で行われる。該受信器はOFDM/OQAM受信器と同様に動作する[13−16]。該受信器は次の処理操作を行う:
−前記受信信号r(t)にプロトタイプ関数x(t)112を掛け算すること111;
−法2t0フィルターを通した波形“エイリアジング(aliasing)”をすること;
−フーリエ変換(FFT)の適用114;
−例えば伝送チャネルの振幅応答の推定rm,nと、位相応答の推定qm,nを備えたチャネルの推定116の関数として位相qm,nの修正115;
−項im+nに対応した位相の修正117であって、データ要素は交互に同相と直交している;
−伝送チャネルの振幅応答rm,nにより重み付けられた伝送された係数am,nに対応して得られた係数
の実数部分の選択118。
それ故このアルゴリズムにより所定の指数nの全ての係数の総合的な計算が可能になる。対応する複雑性の大きさは、OFDM/QAMに対し使用されたアルゴリズムの複雑性のほぼ2倍である。
この様に得られた係数は、送信時に行われたインターリーブと対称的にデインターリーブされ108、次に例えばビタービのアルゴリズム型のアルゴリズムを実施するソフト決定復号化技術に基づき好適に復号される109。チャネルの復号にチャネルrm,nの振幅応答の推定を考慮すると、対応する値もデインターリーブされる110。更に、該デインターリーブはインターリーブが送信で行われた時の時間内の点に左右されるマッピングの前後で行われることは勿論である。
付録1:参考文献
付録2
1.チャネルのモデル化
1.1 一般的モデル
分散性チャネルは、時間的に変化するパルス応答を有する線形システムであると考えられる。このパルス応答を定義するには2つの方法がある。この方法は[21]で提案された規則に広く基づいている:
・入力でのパルス応答即ち入力遅延広がり関数g(t,τ)は次式により定義される:
ここにs(t)とr(t)はそれぞれ送信信号と受信信号を表している、
・出力でのパルス応答即ち出力遅延広がり関数h(t,τ)は次式により定義される:
明らかにh(t,τ)=g(t+τ,τ)を有し、h(t,τ)は時点tでチャネルのパルス応答を表す。これらの規則が成立し、次の特性関数を定義することが出来る:
遅延ドップラー広がり関数U(τ,ν)の特性が次式により定められる:
及び
ドップラー−遅延広がり関数V(ν,τ)の特性は次式により定められる:
及び
又は全く簡単に:
V(ν,τ)=ei2πντU(τ,ν)
時間変化伝達関数T(f,t)の特性は次の通りである:
及び
それ故定常チャネルの場合と同じ式が再び得られ、単に伝達関数が時間で変わることが異なる。この伝達関数T(f,t)はU(τ,ν)の2Dフーリエ変換である、即ち:
いかなる場合も、U(τ,ν)は制限されたサポートを有していると仮定している。これは、伝達関数T(f,t)が標本化定理により分散した値の格子により表されることを意味している。
1.2 静的な遅延ドップラーモデル
遅延ドップラーモデルは次式により定義される:
この式は振幅、位相、時間オフセット及び周波数オフセットにより特徴付けられる基本チャネルの和としてチャネルを示している。それ故、静的な遅延ドップラーモデルと呼ばれるこの種のタイプのチャネルに対し種々の現存の変調の動作に関心を持つことは正しいことである。
チャネルの式は次の簡略化した形で書かれる:
r(t)=Aeiθs(t−τ)ei2πvt
2.非定常チャネル内でのOFDMの動作特性
2.1 一般の場合
次の一般式により特徴付けられるあらゆるタイプのOFDM多重搬送波変調(OFDM/QAM,OFDM/OQAM,又はOFDM/IOTA)を検討する:
akは実変数であり、Eは時間周波数空間での密度2の2D格子であり、関数xk(t)は同一のプロトタイプ関数x(t)の時間内と周波数内の変換関数であり、L2(R)のヒルベルト基底を構成する。
格子Eの構造の上にはいかなる仮定も無いことに注意する必要がある。OFDM/QAMの特別な場合、この格子は位相が直交の2つの同じ場所に集中されたサブ格子に分けられる。
復調動作は次の様に書くことが出来る:
φは復調器により推定された位相で、r(t)は受信された位相の複合包絡である。それ故、次の様に書くことが出来る:
ところで:
これにより次式が導き出される:
φの最適な値は係数
を最大にする値であり、次式で与えられる:
これらのことは一般的であるが、前述の式は殆ど利用されない。しかし、これらのことは有効な信号と符号間が遅延ドップラー広がり関数により重みを付けられた曖昧な関数の積分として表されることを示している。
2.2 静的チャネルの場合
位相θ、遅延τ及びオフセットν(振幅Aは1で正規化されている)により特徴付けられる静的遅延ドップラータイプのチャネルの場合、復調は推定量に位相変数φを導入することにより同様に行われる。この操作の結果は次の様に書ける:
復調された信号はそれ故最終的に次の様に書ける:
第二の項は符号間干渉(II)を表している。データの要素akが分散σ2を有した独立したランダム変数であるとすれば、IIの分散Iは次の様に書ける:
ここで、係数ckは関数xk(t)のヒルベルト基底の上で1に等しいノルム(norm)で関数ei(φ-θ)e-2iπν(t+τ)xn(t+τ)を分解した係数であるとする。その結果次式を得る:
及びI=(1−cn 2)σ2
言い換えれば、受信信号の分散は一定で、“有効な”信号cnanとIIの間に分散I=(1−cn 2)σ2を有して分散されている。係数cnは次式により計算される:
ここで、xnの曖昧な関数は次の様に書ける:
従って、次の様に書くことが出来る:
復調の位相φはφopt+Δφの形で書くことを仮定しており、ここに、φoptはIIを最小にする、即ちcnを最大にする復調の位相で次式の様に与えられる:
φopt=θ+πντ+2π(τnν−νnτ)
次に、IIの分散は簡単に次の様に書くことが出来る:
プロトタイプ関数が偶数次の関数の時(これはこの文書の主な部分に記載したヒルベルトの基底を構成する方法の場合に対応している)、曖昧な関数は実数で、それ故次式を得る:
I=(1−Ax 2(τ,ν)cos2Δφ))σ2
この結果は非常に注目すべきことであり、これはあらゆる多重搬送波変調の遅延とドップラー現象に対する感度がプロトタイプ関数の曖昧な関数のみに左右されるからである。これ以下は用語“符号間関数”(厳密な意味で無く符号間干渉の関数を示すため使用する)は、一般には関数
を示すため使用され、最適な位相が推定される場合データ要素に関する平均の二次式の値により正規化された符号間の平均の二次式の値を示している。
3.異なるタイプのOFDMの分析の比較
3.1 理論的限界
以下の記載では符号間関数の特性を論ずる。多重搬送波変調の感度は、(0,0)の近くで対応するプロトタイプ関数の曖昧な関数の動作に直接関係していることが知られている。生ずる問題はレーダーの分野で生ずる不確定性の問題と全く同じで、このテーマに関する多数の文献が参考文献としてある(例えば[22]を参照)。一般性を少しも損なうことなく、適切な時間と周波数変換の1次モーメントがゼロである様に、即ち次式が成り立つ様な該変換により関数x(t)を選ぶことが出来る:
この様な条件のもとでは、1次の部分導関数は次の様に互いに相殺されることが容易に証明される:
2次部分導関数をもとに(0,0)の回りで曖昧な関数の動作を次の様に特徴ずけることができる:
を仮定すると
次に(0,0)において曖昧な関数のテーラーヤングの展開を検討する:
Ax(dτ,dν)=1−2π2(Δt2dν2+Δf2dτ2)+μdνdτ+o(dν2+dτ2)
符号間の分散に関してテーラーヤングの展開から次の様に演繹できる:
I=(1−(Re[Ax(τ,ν)])2cos2Δφ)σ2
即ち:
I(dτ,dν,dφ)=σ2[4π2(Δt2dν2+Δf2dτ2)
−2μdνdτ+dφ2+o(dν2+dτ2+dφ2)]
符号間関数Isは、最初に次式を有した接線円錐を受け入れることが演繹できる:
平面z=1とこの円錐との交差(最大符号間)は、面積ξが遅延とドップラー現象に対する感度の測定値として考えられる楕円の外形により表面の限界を定める。μxがゼロの時、この楕円は対称な軸として時間と周波数軸を有し、該時間軸に沿って±1/2πΔfから広がり、該周波数軸に沿って±1/2πΔtから広がっている。それ故、次式を得る:
ξ=1/4πΔtΔf
ハイゼンベルクの不等式を考慮すると、ξは1を越えることができない。この結果はμxが0と異なる時一般化される。関数x(t)とウォブレーション(wobbula-tion)を掛けることにより得られる関数y(t)を検討する:
それ故次の様に書くことが出来る:
従って、βを適切に選択することによりμyを削除することが常に可能である。ところで、ウォブレーションとの乗算の操作により、面積を保つことに関連する曖昧な関数の軸を簡単に変えられる。これにより、変数ξが0と1の間に常にあることが演繹される。
この結果が極めて重要であるのは、単独の変数を基に分散チャネル内で全てのMCMの動作特性を比較することが出来るからである。それ故、これらの動作特性は関連するプロトタイプ関数の集中のみに左右されることが判る。実際にはガウス関数により最適化が行なわれるが、この最適化はガウス関数によりヒルベルト基底が作られないので得ることが難しい。
付録3
1.はじめに
この付録では直交性に関し必要な基準を確かめるプロトタイプ関数の構成方法を与える。該方法は関数の無限大を得るため、即ち関数の中でフーリエ変換に等しい特別な特徴を有する特別な解(IOTA関数と呼ばれる)を得るため使用される。
2.曖昧な関数
この章では曖昧な関数の主な特性を再度示し、この関数に行なわれる種々の演算子を記載する。
2.1 曖昧な関数に関する再認識
2.1.1 定義
関数x(t)とそのフーリエ変換X(f)を考える。この関数を用いて、次式で定義されるそれぞれ時間積と周波数積を考えることができる:
ウィグナービレ(Wigner-Ville)変換及びxの曖昧な関数は従って次の様に与えられる:
2.1.2曖昧な関数の対称な特性
関数x(t)を考える。表記x-及び
は次の様に定義される関数にそれぞれ用いられている:
従って次の関係式が得られる:
即ち、u=−tであると仮定すると:
これにより、特に関数xが偶数次の値、即ちx=x-であるならば、その曖昧な関数は実数であると結論される。更に、次の関係式に注目すべきである:
これら二つの関係式を結合することにより、次式を得る:
2.1.3 曖昧な関数とフーリエ変換
次の様に曖昧な関数の定義を書き直すことが出来る:
即ち、再度AX(τ,ν)=Ax(−ν,τ)
2.1.4 曖昧な関数と時間周波数変換
あらゆるプロトタイプ関数の変換関数、即ち次式を検討する:
関連した曖昧な関数は次の様に書ける:
即ち、u=t−τkであると仮定すると、
2.2 直交と曖昧な関数
2.2.1 一般的な場合
同一の関数x(t)の2つの変換関数を検討する、即ち:
これら2つの関数のスカラ積は次の様に書ける:
即ち、u=t−(τk+τk')/2
であると仮定すると:
3.直交格子上のヒルベルト基底
3.1 構成の一般的な原理
次式により定義される関数の集合{xm,n}を検討する:
及びν0τ0=1/2
集合{xm,n}がHRのヒルベルトの基底である様にx(t)に関する条件を捜す。x(t)が偶数関数で、その曖昧な関数AXがそれ故実数であると規定する。
xm,nとxm',n'のR内のスカラ積は次の様に書ける:
法2の合同式について次の関係式に注意する必要がある:
(m-m')+(n-n')+(m-m')(n+n')≡1-(m-m'+1)(n-n'+1)
従って、法2で(m,n)≠(m’,n’)ならば、スカラ積はゼロである。格子{xm,n}はそれ故次式により特徴付けられる4つのサブの格子に分解できる:
{mが偶数、nが偶数}、{mが偶数、nが奇数}、
{mが奇数、nが偶数}、{mが奇数、nが奇数}。それ故、異なるサブ格子に属する関数の間の直交性は、この関数が偶数の値であるので、自動的に行われプロトタイプ関数の特性に左右されない。
従って、これからしなければならないことは同一のサブの格子の関数を相互に直交にすることである。この目的のため曖昧な関数AXは次式を満たすことで十分である:
Ax(2nτ0,2mν0)=0 ∀(m,n)≠(0,0)
それ故、密度2で直交格子上にHRのヒルベルト基底を構成する問題は、曖昧な関数が密度1/2の格子上で打ち消される偶数のプロトタイプ関数を構成する問題となることが判る。
3.2直交の方法
3.2.1 時間的直交
定義
フーリエ変換X(f)を有する関数x(t)を検討する。名称Otは関数y(t)をx(t)に関係付ける時間的直交に対して与えられ、この関数y(t)はそのフーリエ変換Y(f)により定義される:
解釈により次式を得る:
即ち逆フーリエ変換により:
又は再び:
Ay(2nτ0,0)=0 ∀n≠0 及び Ay(0,0)=1
直交はそれ故実際には時間軸上で行なわれる。更に、この演算子はyを正規化することに注意する必要がある。
Xをガウス関数とし、y=0txとする。次の式を検討する:
Xがガウス関数なので、次の様に書くことができる:
X(f+mν0)X*(f−mν0)=cm|X(f)|2
ここに、cmは一定である。これから次の様に演繹できる:
Γy(f,2mν0)=cmΓy(f,0)
逆フーリエ関数により次式を得る:
Ay(τ,2mν0)=cmAy(τ,0)
従って:
∀m,∀n≠0 Ay(2nτ0,2mν0)=0
時間的直交演算子0tは、それ故周波数軸の場合を除いて全ての格子を直交にする。
定理1
xをガウス関数でy=0txであるとすると、次式を得る:
∀m,∀n≠0 Ay(2nτ0,2mν0)=0
3.2.2周波数直交
定義
関数x(t)を検討する。0fは関数y(t)をx(t)に関連付ける周波数直交演算子に対し与えられた名称であり、該関数y(t)は次式により定義される:
解釈により次式を得る:
フーリエ変換により次式が与えられる:
及びν0τ0=1/2
又は、再び:
Ay(0,2mν0)=0 ∀m≠0 及び Ay(0,0)=1
直交はそれ故実際には周波数軸の上で行なわれる。更に、この演算子によりyが正規化されることに注意する必要がある。
xをガウス関数とし、y=0txの時z=0fyとする。次式を検討する:
それ故次の様に書くことができる:
γz(t,2nτ0)=γy(t,2nτ0)P(t)
ここに、P(t)は
のタイプのフーリエ級数の展開を受ける周期τ0の周期関数である。
フーリエ変換により、次式を得る:
ここに、
∀m,∀n≠0,Ay(2nτ0,2mν0)=0⇒
∀m,∀n≠0,Az(2nτ0,2mν0)=0
更に、解釈により、
∀m,≠0,Az(0,2mν0)=0
結局、次式を得る:
∀(m,n)≠(0,0),Az(2nτ0,2mν0)=0
この様に、zの曖昧関数は2τ0及び2ν0の全ての倍数に対し(0,0)以外で打ち消され、格子は密度が1/2になる。
定理2
xをガウス関数としz=0f0txとすると:
∀(m,n)≠(0,0),Az(2nτ0,2mν0)=0
3.3 直交演算子0
前述の点から、式の記載を対称にする時間周波数目盛りがあることが明らかに判る:このためにはτ0=ν0=1/√2を選ぶことで十分である。目盛りはそれ故証明の一般的な性質を損なうことなく再び正規化できる。
3.3.1 定義
名称0は次式により定められる関数x,関数yと関連する直交演算子に適用される:
更に、フーリエ変換演算子を以下Fで示す。
3.3.2 演算子0の等ベキ
z=0y及びy=0xとする。次の様に書くことが出来る:
それ故、演算子0の等ベキを示す00x=0xを有する。同様に、二重演算子F-1OFも次式から等ベキである:
F-10FF-10F=F-100F=F-10F
3.3.3 補助定理1
Pを周期が1/√2の周期関数し、Dを次の形を有する超関数とする:
xをあらゆる関数とすると:
補助定理1
Pを周期が1/√2の周期関数とし、Dを
の超関数とする。xをあらゆる関数とすると次式を得る:
D*(Px)=P(D*x)
補助定理2
を有し、Dが
の形を有する超関数としyα=D*xαにより定義される関数yαを検討する。
その結果次の様に書くことができる:
和を取ると次の様になる:
即ち再び付録(§4)で与えられる結果を適用すると次の様になる:
更に指数を組み替え、kをk+k’+k”と再定義すると、
従って次の様に書くことができる:
ここに、
係数cは、上述の関係式を次の形で書き直すことにより容易に推計できる:
フーリエ変換により次式を与えると:
特にこの式から次のことが演繹できる:
それ故、最終的に次の様になる:
補助定理2
を有し、Dが
の形を有する超関数とし、yα=D*xαにより定義される関数yαを用いると次式の様になる
3.3.5 演算子0及びF-10Fの可換特性
次に演算子0とF-10Fは、これらがガウス関数に適用出来る時変換することができることを示す。
とする。
次にFxα=x1/α
及び、0xα=Pαxα
とすればPαは次の関係式により定義される:
更にそのフーリエ変換Dαは次式の通りである:
yα=F-1OFxα、及び、zα=0yαとすると次の様に書くことができる:
yα=F-1OFxα=F-1OX1/α=F-1(P1/αx1/α)=D1/α*xα
更に
xα及びyαは1に等しいノルム(norm)を有しているので、補助定理2を適用することにより、次の様に書くことができる:
同様に、次式が定義できる:
w1/α=FOxα=F(Pαxα)=Dα*x1/α
次の様に書くことができる:
x1/α及びw1/αは1に等しいノルム(norm)を有しているので、補助定理2を適用すると、次の様に書くことができる:
逆フーリエ変換により次式を与えると:
F-1OFOxα=F-1Ow1/α=D1/α*(Pαxα)
ここで、次の様に補助定理1を適用すると:
D1/α*(Pαxα)=Pα(D1/α*xα)
これから次式が演繹できる:
0F-10Fxα=F-10F0xα
定理3
あらゆるガウス関数xに対し、演算子0とF-10Fは次式の様に、組み替えられる:
0F-10Fx=F-10F0x
推論1
を用いてzα=0F-10Fxαとすると、Fzα=z1/αとなる。
証明:
Fzα=FF-10F0xα=0F-10xα=0F-10Fx1/α=z1/α
注目すべき特別な場合
Fz1=z1
この特別な関数により時間と周波数軸に対し完全な対称が与えられ、それ故IOTA変換の原型関数を構成できる(等方性直交変換アルゴリズム)。この特別な関数
は注目する必要がある。
推論2
xをガウス関数としz=0F-10Fxとすると、0z=zとなる。
証明:
0z=00F-10Fx=0F-10Fx=z
推論3
xをガウス関数としz=0F-10Fxとすると、F-10Fz=zとなる。
証明:
F-10Fz=F-10FF-10F0x=F-100F0x=F-10F0x=z
3.3.6 関数zαの曖昧な関数
正規化τ0=ν0=1/√2を用いて定理2を検討する。つまり:
0f=0 及び 0t=F-10F
従って、定理2は次の様に書き直すことができる:
定理4
xをガウス関数としz=F-10F0xとすると、
∀(m,n)≠(0,0),Az(n√2,m√2)=0
4.付録
次式で定義されると正規化ガウス関数xαを用いる:
それ故積xα(u−a)xα(u−b)は次の様に書ける:
ここで次の恒等式が成り立つ:
結局次の様に書くことができる:
Claims (12)
- 2つの連続するシンボル要素はシンボル時間τ0により区別され、一連のシンボルに対応づけられている、要素となる搬送波それぞれを周波数軸上で多重化し、デジタル受信機へ送信するように設計された多重搬送波信号において、
二つの隣り合った搬送波の間隔ν0は、該シンボル時間τ0の逆数の半分に等しく、
各搬送波は、そのスペクトラムの成形のためにフィルタ処理されることで、搬送波間隔ν0の2倍より大きい帯域幅を有していることを特徴とする多重搬送波信号。 - 前記多重搬送波信号の複素包絡が次式に対応しており:
ここで、
am,nは変調に関して予め決められたアルファベットの中で選択された実数の係数;
mは周波数の位置を示す整数;
nは時間の位置を示す整数;
tは時間;
xm,n(t)は実数又は複素数を取る同一の偶数次のプロトタイプ関数x(t)の時間−周波数の空間に変換された基本関数、即ち:
ν0τ0=1/2であり
ここに、φは任意の位相変数、
関数x(t)のフーリエ変換X(f)は区間[−ν0,ν0]を越えて広がるサポートを有し、
前記基本関数{xm,n}は相互に直交し、2つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロである、
ことを特徴とする請求項1に記載の多重搬送波信号。 - 変数αが1に等しいことを特徴とする請求項5に記載の多重搬送波信号。
- 所定のアルファベットから選択された実数のデジタル係数am,nを用いて送信されるデジタル信号のチャネル符号化を行うステップと、
次式に従う信号s(t)
ここで、
mは周波数の位置を示す整数;
nは時間の位置を示す整数;
tは時間;
xm,n(t)は実数又は複素数を取る同一の偶数次のプロトタイプ関数x(t)の時間−周波数の空間に変換された基本関数、即ち:
ν0τ0=1/2であり
ここに:
φは任意の位相変数、ν 0 は二つの隣り合った搬送波の間隔、τ 0 はシンボル時間であり、
関数x(t)のフーリエ変換X(f)は区間[−ν0,ν0]を越えて広がるサポートを有し、
前記基本関数{xm,n}は相互に直交し、2つの異なる基本関数のスカラ積の実数部分はゼロ、
を構成するステップと、
前記信号s(t)を、複素包絡線の信号として、少なくとも1の受信機に送信するステップと、
を有することを特徴とするデジタル信号の送信方法。 - 伝送される前記デジタル信号又はチャネル符号化から来るデジタル係数am,nを形成する二値の要素に適用される周波数及び/又は時間のインターリーブのステップを有することを特徴とする請求項7に記載の送信方法。
- 信号の複素包絡として信号r(t)を受信するステップと、
位相応答θm,n及び振幅応答ρm,nの推定を備えた伝送チャネルの応答を評価するステップと、
プロトタイプ関数x(t)と前記信号r(t)を乗算し、2τ0を法としフィルタを通した波形のエイリアシングを行い、フーリエ変換(FFT)を適用し、伝送チャネルにより生ずる位相θm,nを訂正し、項im+nに対応した位相を訂正し、伝送チャネルの振幅応答ρm,nにより重み付けられて送信された係数am,nに対応して得られた係数
の実数部分を選択することにより前記信号r(t)の復調を行うステップと、
を備えていることを特徴とする請求項1から7のいずれ1項に記載の信号の受信方法。 - 2つの連続するシンボルがシンボル時間τ0により区別され、一連のシンボルにそれぞれが対応づけらている、要素となる搬送波を周波数軸上で多重化し、デジタル受信機へ送信するように設計された多重搬送波信号を変調する方法において、
二つの隣り合った搬送波の間隔ν0は、該シンボル時間τ0の逆数の半分に等しく、
各搬送波は、そのスペクトラムの成形のためにフィルタ処理されることで、搬送波間隔ν0の2倍より大きい帯域幅を有していることを特徴とする多重搬送波信号変調方法。
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