ES2216133T3 - Construccion de señales prototipo para transmision multiportadora. - Google Patents
Construccion de señales prototipo para transmision multiportadora.Info
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Abstract
Señal multiportadora s(t) destinada a ser transmitida a receptores digitales, especialmente en un canal de transmisión no estacionario, correspondiente al multiplexado en frecuencia de varias portadoras elementales, correspondientes, cada una, a una serie de símbolos, siendo asignado cada símbolo a una portadora durante un tiempo símbolo 0 y siendo el espaciamiento entre dos portadoras contiguas igual a 0, caracterizado porque la citada red tiempo-frecuencia utilizada es una red dispuesta al tresbolillo, en la cual: - el citado tiempo símbolo 0 es igual a la cuarta parte de la inversa del citado espaciamiento 0 entre dos portadoras contiguas; - dos símbolos consecutivos emitidos en una misma portadora están espaciados dos tiempos símbolo 0; y - los símbolos emitidos en dos portadoras adyacentes están desplazados el tiempo símbolo 0.
Description
Construcción de señales prototipos para
transmisión multiportadora.
El ámbito de la invención es el de la transmisión
o de la difusión de datos numéricos, o de datos analógicos y
muestreados, destinados, especialmente, a ser recibidos por móviles.
De modo más preciso, la invención se refiere a señales producidas
con la ayuda de nuevas modulaciones, así como a las técnicas de
modulación y de desmodulación correspondientes.
Desde hace muchos años, se intenta construir
modulaciones adaptadas a canales firmemente no estacionarios, tales
como los canales de transmisiones a móviles. Los trabajos dirigidos
por el CCETT en el marco del proyecto europeo EUREKA 147 (DAB:
Digital Audio Broadcasting, o Difusión Audionumérica) han mostrado
el interés, para este tipo de canales, de las modulaciones
multiportadoras y, en particular, de la OFDM (Orthogonal Frequency
Division Multiplexing).
La OFDM ha sido mantenida en el marco de este
proyecto europeo como base de la norma DAB. Esta técnica ha sido
mantenida, igualmente, como modulación para la difusión de programas
de televisión (DVB). Sin embargo, cuando se aborda el problema de
modulaciones codificadas de alta eficacia espectral, tales como las
requeridas para las aplicaciones de TV digital, se constatan un
cierto número de limitaciones (precisadas en lo que sigue).
La invención encuentra aplicación en ámbitos muy
numerosos, especialmente cuando se desea una alta eficacia espectral
y el canal es firmemente no estacionario.
Una primera categoría de aplicaciones concierne a
la radiodifusión digital terrestre, se trate de imagen, de sonido
y/o de datos. En particular, la invención puede aplicarse a la
difusión síncrona, que genera intrínsecamente trayectorias
múltiples de larga duración. Ésta se aplica, también,
ventajosamente, a la difusión a móviles.
Otra categoría de aplicaciones concierne a las
radiocomunicaciones digitales. La invención puede encontrar
aplicación, especialmente, en sistemas de comunicación digital a
móviles de alto caudal, por ejemplo, en el marco de la UMTS. Ésta
puede ser considerada, igualmente, para redes locales radio de alto
caudal (tipo HIPERLAN).
Una tercera categoría de aplicaciones es la de
las transmisiones submarinas. El canal de transmisión en acústica
submarina es perturbado de modo importante debido a la pequeña
velocidad de transmisión de las ondas acústicas en el agua. Esto
conduce a un ensanchamiento importante de las trayectorias múltiples
y del espectro Doppler. Las técnicas de modulación multiportadoras
y, de modo particular, las técnicas objeto de la presente
invención, están, por tanto, bien adaptadas a este ámbito.
Antes de presentar las señales de acuerdo con la
invención, se describen a continuación las señales conocidas. Esta
descripción se basa en una tratamiento general de las señales
multiportadoras definido por los inventores, y nuevo en sí misma.
Esta generalización, en efecto, no tiene ningún equivalente en el
estado de la técnica, y no es en modo alguno evidente para el
experto en la materia. Ésta, por tanto, debe ser considerada como
una parte de la invención, y no como perteneciente al estado de la
técnica.
Se trata de señales reales (por ejemplo, una
magnitud eléctrica), de energía finita, y función del tiempo. Las
señales, por tanto, pueden ser representadas por funciones reales
de L^{2}(R). Además, estas señales son de banda limitada y
su espectro está contenido en \left[f_{c} - \frac{w}{2},
f_{c} + \frac{w}{2}\right], siendo f_{c} la "frecuencia
portadora" de la señal. Por tanto, una señal real
a(t) puede representarse de modo equivalente por su envolvente compleja s(t), con:
a(t) puede representarse de modo equivalente por su envolvente compleja s(t), con:
(1)s(t) = e^{-2i\pi
f_{c}t}
F_{A}[a](t)
donde F_{A} designa el filtro
analítico.
La señal s(t) pertenece a un subespacio
vectorial (caracterizado por la limitación de banda a \pm
\frac{w}{2}) del espacio de las funciones complejas de una
variable real y de cuadrado sumable L^{2}(R). Este espacio
vectorial puede definirse de dos modos diferentes, según que se le
construya en el cuerpo de los complejos o en el cuerpo de los
reales. A cada uno de estos espacios, puede asociarse un producto
escalar de valor en C o en R y construir un espacio de Hilbert. Se
denominará H el espacio de Hilbert construido en el cuerpo de los
complejos y H_{R} el espacio de Hilbert construido en el cuerpo
de los reales.
Los productos escalares correspondientes se
escriben:
(2)\langle x|y\rangle =
\int\limits_{R}x(t)y^{*} \ t(dt)
\hskip1,2cmen el caso de H
(3)\langle x|y\rangle = \Re
e \int\limits_{R}x(t)y^{*} \ (t)(dt)
\hskip0,5cmen el caso de H_{R}
Las normas asociadas son evidentemente idénticas
en los dos casos:
(4)||x|| =
\left[\int\limits_{R}|x(t)|^{2}
dt\right]^{1/2}
Los principios generales de la OFDM están
presentados, por ejemplo, en la patente francesa
FR-86 09622 registrada el 2 de julio de 1986. La
idea de base de esta técnica es transmitir símbolos codificados
como coeficientes de formas de onda elementales confinadas todo lo
posible en el plano tiempo-frecuencia, y para los
cuales el canal de transmisión puede considerarse como localmente
estacionario. El canal aparece, entonces, como un simple canal
multiplicativo caracterizado por la distribución del módulo de los
coeficientes, que sigue una ley de Rice o de Rayleigh.
Se asegura después la protección contra las
atenuaciones con la ayuda de un código utilizable en decisión
ponderada, en asociación con un entrelazamiento en tiempo y en
frecuencia que garantiza que los símbolos que intervienen en la
malla mínima del código estén, en la medida de lo posible, afectados
por atenuaciones independientes.
Esta técnica de codificación con entrelazamiento
en el plano tiempo-frecuencia es conocida con el
nombre de COFDM. Ésta está descrita, por ejemplo, en el documento
[22] (véase el anexo 1 (para simplificar la lectura, la mayoría de
las referencias del estado de la técnica están listadas en este
anexo 1. Ésta, así como los anexos 2 y 3 deben ser considerados,
naturalmente, como partes integrantes de la presente
descripción)).
Existen, esencialmente, dos tipos de modulaciones
OFDM conocidas. Siendo, con frecuencia, las denominaciones
utilizadas en la literatura, ambiguas, se introducirán aquí
denominaciones nuevas, más precisas, recordando al mismo tiempo la
correspondencia con la literatura existente. Se utilizará la
denominación genérica OFDM, seguida de un sufijo que precisa el tipo
de modulación en el interior de esta familia.
Una primera categoría de modulaciones está
constituida por un múltiplex de portadoras QAM (Quadrature Amplitude
Modulation) o, eventualmente, en QPSK (Quadrature Phase Shift
Keying) en el caso particular de datos binarios. En lo que sigue,
este sistema se designará con el nombre OFDM/QAM. Las portadoras
están todas sincronizadas, y las frecuencias portadoras están
espaciadas en la inversa del tiempo símbolo. Aunque los espectros
de estas portadoras se recubren, la sincronización del sistema
permite garantizar la ortogonalidad entre los símbolos emitidos por
diferentes portadoras.
Las referencias [1] a [7] dan una buena
percepción de la literatura disponible sobre este asunto.
Para mayor simplicidad en la escritura, y de
acuerdo con el método nuevo de la invención, se representarán las
señales en su forma analítica descrita anteriormente. En estas
condiciones, la ecuación general de una señal OFDM/QAM se
escribe:
(5)s(t) =
\sum\limits_{m,n} a_{m,n} \
x_{m,n}(t)
Los coeficientes a_{m,n} toman valores
complejos que representan los datos emitidos. Las funciones
x_{m,n}(t) son trasladadas en el espacio
tiempo-frecuencia de una misma función prototipo
x(t):
(7)x_{m,n}(t) =
e^{i(2\pi
nv_{0}t+\varphi)}x(t-n\tau_{0})
\hskip0,5cmcon \ v_{0} \tau_{0} = 1
siendo \varphi una fase cualquiera, que puede
fijarse arbitrariamente en 0. La función x(t) es centrada,
es decir, que sus momentos de orden 1 son nulos, o
sea:
(8)\int t|x(t)|^{2}dt
= \int f|X(f)|^{2}df =
0
designando X(f) la transformada de Fourier
de
x(t).
En estas condiciones se observa que:
\int t|x_{m,n}(t)|^{2}dt =
n\tau_{0}
(9)\int f|X_{m,n}(f)|^{2} df
=
mv_{0}
Los baricentros de las funciones de base forman,
por tanto, una red del plano tiempo frecuencia generada por los
vectores (\tau_{0}, 0) y (0, v_{0}). Esta red es de densidad
unidad, es decir, que v_{0}\tau_{0} = 1. Podrá referirse al
artículo [9] para una discusión más detallada sobre este
asunto.
La función prototipo x(t) tiene de
particular que las funciones {x_{m,n}} son ortogonales entre sí
y, de modo más preciso, constituyen una base hilbertiana de
L^{2}(R), o sea
Proyectar una señal sobre esta base equivale
simplemente a cortar la señal en secuencias de duración
\tau_{0} y en representar cada una de estas secuencias por el
desarrollo en serie de Fourier correspondiente. Este tipo de
descomposición constituye un primer paso hacia una localización a la
vez en tiempo y en frecuencia, al contrario que en el análisis de
Fourier clásico, que asegura una localización frecuencial perfecta
con una pérdida total de la información temporal.
Desgraciadamente, si la localización temporal es
excelente, la localización frecuencial es mucho peor, debido al
decrecimiento lento de X(f). El teorema de
Balian-Low-Coifman-Semmes
(véase [9], página 976) muestra, por otra parte, que si se denomina
X la transformada de Fourier de x, tx(t) y fX(f) no
pueden ser simultáneamente de cuadrado sumable.
De manera general, la tolerancia de una
modulación OFDM con respecto a las trayectorias múltiples y al
ensanchamiento Doppler puede caracterizarse por un parámetro que
mide de manera global la variación del nivel de interferencia entre
símbolos (IES) en función de un desfasaje en tiempo o en frecuencia.
La justificación de este concepto viene dada en el anexo 2. Este
parámetro de tolerancia es denominado \xi y está definido por la
relación:
(11)\xi = 1/4\pi\Delta
t\Delta
f
con:
(12)\Delta t^{2}
\int|x(t)|^{2}dt = \int
t^{2}|x(t)|^{2}dt
(13)\Delta f^{2}
\int|X(f)|^{2}dt = \int
f^{2}|X(f)|^{2}df
En virtud de la desigualdad de Heisemberg, \xi
no puede sobrepasar la unidad.
Habida cuenta del teorema
Balian-Low-Coifman-Semmes
citado anterior- mente, el parámetro \xi vale 0 para la OFDM/QAM.
Se trata aquí de un defecto importante de la modulación OFDM/QAM
tal como la descrita anteriormente. Esto se caracteriza, en la
práctica, por una gran sensibilidad a los errores temporales y, por
consiguiente, a las trayectorias múltiples.
Este defecto puede ser solventado por la
utilización de un intervalo de guarda, descrito, por ejemplo, en
[5]. Se trata aquí de un artificio consistente en prolongar la
ventana rectangular de la función prototipo. La densidad de la red
de los símbolos de base es, entonces, estrictamente inferior a la
unidad.
Esta técnica es posible debido a que en el
interior de un símbolo prolongado por un intervalo de guarda se
encuentran una infinidad de versiones trasladadas del símbolo
inicial. Naturalmente, esto funciona solamente porque la función
prototipo es una ventana rectangular. En este sentido, la OFDM/QAM
con intervalo de guarda constituye un punto singular único.
La modulación OFDM/QAM con intervalo de guarda
es la base del sistema DAB. Este intervalo de guarda permite limitar
la interferencia entre símbolos, a costa de una pérdida de
características, puesto que una parte de la información emitida no
es realmente utilizada por el receptor, sino que sirve solamente
para absorber las trayectorias múltiples.
Así, en el caso del sistema DAB, donde el
intervalo de guarda representa el 25% del símbolo útil, la pérdida
es de 1 dB. Además, existe una pérdida suplementaria, debido al
hecho de que para obtener una eficacia espectral global dada, hay
que compensar la pérdida debida al intervalo de guarda por una mejor
eficacia del código utilizado.
Esta pérdida es marginal en el caso del sistema
DAB, porque la eficacia espectral es pequeña. Por el contrario, si
se pretende una eficacia espectral global de 4 bits/Hz, hay que
utilizar un código de 5 bits/Hz, o sea, según el teorema de
Shannon, una pérdida del orden de 3 dB. La pérdida global en este
caso es, por tanto, aproximadamente, 4 dB.
Pueden imaginarse otros sistemas de tipo
OFDM/QAM. Desgraciadamente, ninguna modulación QAM filtrada (es
decir, que utiliza una puesta en forma convencional del tipo
semi-Nyquist (o de modo más exacto, "raíz cuadrada
de Nyquist")), verifica los requisitos de ortogonalidad
requeridos. Las funciones prototipos conocidas que verifican los
criterios de ortogonalidad requeridos, son:
- la ventana rectangular;
- el seno cardinal.
Estos dos ejemplos son triviales, y aparecen
duales uno de otro por transformada de Fourier. El caso de la
ventana rectangular corresponde a la OFDM/QAM sin intervalo de
guarda. El caso del seno cardinal corresponde a un múltiplex
frecuencial clásico (es decir, cuyas portadoras tienen espectros
disjuntos) con una atenuación del 0%, lo que constituye un caso
asintótico difícilmente realizable en la práctica.
En cada uno de estos casos, se observa que la
función prototipo está perfectamente limitada, ya sea en tiempo, o
en frecuencia, pero tiene un decrecimiento mediocre (en 1/t o 1/f)
en el ámbito dual.
Por otra parte, el teorema de
Bailan-Low-Coifman-Semmes
deja poca esperanza de que puedan existir soluciones satisfactorias.
Como se indicó anteriormente, este teorema demuestra que
tx(t) y fX(f) no pueden ser simultáneamente de
cuadrado sumable. Por tanto, no puede esperarse encontrar una
función x(t), tal que x(t) y X(f) decrezcan
simultáneamente con un exponente inferior a -3/2.
Esto, por otra parte, no excluye que puedan
existir funciones satisfactorias desde el punto de vista de un
ingeniero. Sin embargo, un artículo reciente [10] que trata sobre
este asunto muestra otro ejemplo de función prototipo que tiene las
propiedades requeridas. La forma de la función prototipo propuesta
en este artículo está muy alejada de lo que puede desearse en
términos de concentración temporal. Por tanto, es probable que no
exista solución satisfactoria de tipo OFDM/QAM.
En conclusión, la OFDM/QAM, que corresponde a la
utilización de una red de densidad 1 y de coeficientes a_{m,n}
complejos, solamente puede ser puesta en práctica en el caso de una
ventana temporal rectangular y de la utilización de un intervalo de
guarda. El experto en la materia que busque otras modulaciones
tiende, por tanto, a volver a las técnicas descritas anteriormente
con el nombre de OFDM/OQAM.
Una segunda categoría de modulaciones utiliza, en
efecto, un múltiplex de portadoras OQAM (Offset Quadrature Amplitude
Modulation). En lo que sigue, este sistema se designará con el
nombre de OFDM/OQAM. Las portadoras están todas sincronizadas, y las
frecuencias portadoras están espaciadas la mitad de la inversa del
tiempo símbolo. Aunque los espectros de estas portadoras se
recubren, la sincronización del sistema y la elección de las fases
de las portadoras permiten garantizar la ortogonalidad entre los
símbolos emitidos por diferentes portadoras. Las referencias
[11-18] dan una buena percepción de la literatura
disponible sobre este asunto.
Para mayor simplicidad en la escritura, se
representarán las señales en su forma analítica. En estas
condiciones, la ecuación general de una señal OFDM/OQAM, se
escribe:
(14)s(t) =
\sum\limits_{m,n}a_{m,n} \
x_{m,n}(t)
Los coeficientes a_{m,n} toman valores reales
que representan los datos emitidos. Las funciones
x_{m,n}(t) son trasladadas en el espacio tiempo- frecuencia
de una misma función prototipo x(t):
con \upsilon_{0}\tau_{0} =
1/2,
siendo \varphi una fase cualquiera que puede
fijarse arbitrariamente igual a 0.
Los baricentros de las funciones de base forman,
por tanto, una red del plano tiempo-frecuencia
generada por los vectores (\tau_{0},0) y (0,\upsilon_{0}),
tal como la ilustrada en la figura 2.
Esta red es de densidad 2. Las funciones
x_{m,n}(t) son ortogonales en el sentido del producto
escalar en R. En los métodos conocidos, la función prototipo está
limitada en frecuencia, de tal manera que el espectro de cada
portadora solamente recubre el de las portadoras adyacentes. En la
práctica, las funciones prototipos consideradas son funciones pares
(reales o, eventualmente, complejas) que verifican la relación
siguiente:
Una elección posible para x(t) es la
respuesta en impulsos de un filtro semi-Nyquist con
100% de atenuación, o sea
Cuando se observa x(t) y su transformada
de Fourier, se observa que X(f) es de soporte limitado y que
x(t) decrece en t^{-2}, es decir, un resultado
notablemente mejor que el límite teórico que se deduce del teorema
Balian-Low -Coifman-Semmes. Las
formas de onda elementales son localizadas mejor en el plano tiempo
frecuencia que en el caso de la OFDM/QAM, lo que confiere a esta
modulación un mejor comportamiento en presencia de trayectorias
múltiples y de efecto Doppler. Como anteriormente, puede definirse
el parámetro \xi que mide la tolerancia de la modulación al
retardo y al efecto Doppler. Este parámetro \xi vale 0,865.
Otra solución, descrita en el documento
WO-A-96 35278 a nombre de los mismos
depositantes de la presente solicitud, consiste en utilizar una
función prototipo diferente. La citada función prototipo x(t)
es una función par, nula fuera del intervalo
[-\tau_{0},\tau_{0}], y que verifica la relación:
De modo ventajoso, la citada función prototipo
x(t) está definida por:
Esta función puede ser considerada como dual por
transformada de Fourier de la función prototipo utilizada en el
caso de la OFDM/OQAM. Este caso particular se denomina OFDM/MSK.
Las características en términos de resistencia al efecto Doppler y
a las trayectorias múltiples son equivalentes a las de OFDM/OQAM, y
la realización del receptor resulta simplificada.
Otra solución, descrita, igualmente, en la
solicitud de patente FR-95 05455 ya citada,
consiste en utilizar una función prototipo que no está limitada en
tiempo, ni limitada en frecuencia, pero que tiene propiedades de
decrecimiento rápido a la vez en el ámbito temporal y el ámbito
frecuencial. Esta función prototipo x(t) está caracterizada
por la ecuación:
x(t) =
\frac{y(t)}{\sqrt{\tau_{0}\sum
\limits_{k}|y(t-k\tau_{0})|^{2}}}
estando definida la función y(t) por su
transformada de Fourier
Y(f):
Y(f) =
\frac{G(f)}{\sqrt{v_{0}\sum
\limits_{k}|G(f-kv_{0})|^{2}}}
donde G(f) es una función gausiana
normalizada del tipo: G(f) = (2\alpha)^{1/4}
e^{-\pi \alpha
f^{2}}
En el caso de la modulación OFDM/IOTA, el
parámetro \alpha está fijado en 1. En este caso, la función
prototipo correspondiente, indicada por \Im, es idéntica a su
transformada de Fourier.
La realización del receptor es más simple que en
el caso de la OFDM/OQAM, aunque ligeramente más compleja que en el
caso precedente, pero las características son sensiblemente
superiores.
Estos sistemas conocidos presentan ciertos
inconvenientes y límites, especialmente, en los canales muy
perturbados, y/o cuando se requiere una alta eficacia.
El problema principal del sistema OFDM/QAM es que
éste necesita imperativamente la utilización de un intervalo de
guarda. Como se indicó anteriormente, esto genera una pérdida de
eficacia notable cuando se pretenden altas eficacias
espectrales.
Además, los símbolos emitidos están mal
concentrados en el ámbito frecuencial, lo que limita, igualmente,
las características en canales firmemente no estacionarios. En
particular, este ensanchamiento hace difícil la utilización de los
ecualizadores.
A la inversa, las características frecuenciales
de la OFDM/OQAM son más bien satisfactorias y no se plantea el
problema de la perdida asociada al intervalo de guarda. Por el
contrario, la respuesta en impulsos de la función prototipo tiene
un decrecimiento temporal relativamente lento, o sea en
1/x^{2}.
Esto implica dos tipos de dificultades. En primer
lugar, la forma de onda puede ser difícilmente truncada en un
intervalo de tiempo corto, lo que implica un tratamiento complejo a
nivel del receptor. Además, esto complica, igualmente, eventuales
sistemas de ecualización.
En otras palabras, la eficacia de las técnicas
OFDM/OQAM es superior a la de la OFDM/QAM, pero estas técnicas se
consideran más complejas de poner en práctica y, por tanto,
costosas, en particular en los receptores.
La modulación OFDM/MSK presenta las mejores
características en términos de resistencia al efecto Doppler y a las
trayectorias múltiples con respecto a la OFDM/OQAM. Estas
características son inferiores a las de la OFDM/IOTA. Por el
contrario, la limitación temporal de la función prototipo simplifica
el receptor.
La modulación OFDM/IOTA presenta características
óptimas en términos de resistencia al efecto Doppler y a las
trayectorias múltiples. Por el contrario, la realización del
receptor es más compleja que en el caso de la OFDM/MSK.
La invención tiene por objetivo, especialmente,
paliar estos diferentes inconvenientes y limitaciones del estado de
la técnica.
Así, un objetivo de la invención es proporcionar
una señal digital destinada a ser transmitida o difundida a
receptores, que permita obtener características equivalentes a la
mejor solución conocida, o sea la OFDM/IOTA, mejorando al mismo
tiempo la concentración de respuesta temporal de la función
prototipo, especialmente, de modo que se simplifique el tratamiento
a nivel del receptor.
La invención tiene por objetivo, igualmente,
proporcionar una señal de este tipo, que permita la realización de
receptores de complejidad y coste limitados, en particular en lo
que concierne a la desmodulación y a la ecualización.
Un objetivo complementario de la invención es
facilitar emisores, receptores, procedimientos de transmisión o de
difusión, procedimientos de recepción y procedimientos de
construcción, es decir, de definición, de una modulación,
correspondientes a una señal de este tipo.
Estos objetivos, así como otros que aparecerán en
lo que sigue, se consiguen, de acuerdo con la invención, con una
señal multiportadora destinada a ser transmitida a receptores
digitales, especialmente, en un canal de transmisión no
estacionario, correspondiente al multiplexado en frecuencia de
varias portadoras elementales, correspondientes, cada una, a una
serie de símbolos, construida en una red
tiempo-frecuencia no ortogonal de densidad 2.
Ventajosamente, esta red es una red dispuesta al
tresbolillo, en la cual, siendo el espaciamiento entre dos
portadoras contiguas igual a \upsilon_{0},
- el tiempo símbolo \tau_{0} es igual a la
cuarta parte de la inversa del espaciamiento \upsilon_{0} entre
dos portadoras contiguas,
- los símbolos emitidos por una misma portadora
están espaciados 2 tiempos símbolo \tau_{0},
- los símbolos emitidos por portadoras adyacentes
están desplazados el tiempo símbolo \tau_{0}.
Preferentemente, cada portadora es sometida a un
filtrado de puesta en forma de su espectro.
Este filtrado se elige de modo que cada elemento
de símbolo sea concentrado todo lo posible, a la vez en el ámbito
temporal y en el ámbito frecuencial.
Especialmente, una señal de este tipo puede
responder a la ecuación siguiente:
s(t) =
\sum\limits_{m+n \ par}a_{m,n} \
x_{m,n}(t)
donde:
a_{m,n} es un coeficiente real representativo
de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación
predeterminado;
m es un entero que representa la dimensión
frecuencial;
n es un entero que representa la dimensión
temporal;
t representa el tiempo;
x_{m,n}(t) es una función de base,
trasladada en el espacio tiempo- frecuencia, de una misma función
prototipo x(t) que toma valores reales o complejos, o
sea:
x_{m,n}(t) = e^{i \varphi
m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0} t + \varphi)} \
x(t-n\tau_{0})
\hskip0,5cmcon
\hskip0,3cmv_{0} \tau_{0} = 1/4
con
\hskip3,9cm\varphi_{m,n} = (m + n + mn + (n^{2} - m^{2})/2)\pi/2
donde \varphi es un parámetro de fase
arbitrario,
y donde las citadas funciones de base {x_{m,n}}
son ortogonales entre sí, siendo la parte real del producto escalar
de dos funciones de base diferentes,
nula.
Así, la invención se basa en un sistema de
modulación que utiliza funciones prototipos concentradas todo lo
posible en el plano tiempo-frecuencia. El interés
de este método es disponer de una modulación que tiene
características idénticas a la modulación OFDM/IOTA, beneficiándose
al mismo tiempo de una repuesta de impulsos de decrecimiento
rápido.
En otras palabras, la invención tiene por objeto
nuevos sistemas de modulación construidos como la OFDM(IOTA
en una red de densidad 2. La diferencia esencial con respecto a los
sistemas ya conocidos es que la red de base es una red dispuesta al
tresbolillo de densidad 1/2.
Entre las modulaciones propuestas, se encuentran
modulaciones que utilizan funciones prototipos que no están
limitadas ni en tiempo ni en frecuencia, pero que a cambio
presentan propiedades de decrecimiento rápido, a la vez en tiempo y
en frecuencia, y una concentración casi óptima en el plano
tiempo-frecuencia.
Tales señales no son, en modo alguno, evidentes
para el experto en la materia, a la vista del estado de la técnica.
Como se indicó anteriormente, existen fundamentalmente dos modos de
construcción de modulaciones de tipo OFDM.
El primer modo de construcción conocido utiliza
una red ortogonal de densidad 1. Esta primera solución utiliza una
base de descomposición de las señales en la que cualquier señal es
cortada en intervalos, siendo descompuesto después cada intervalo
en forma de serie de Fourier. Ésta es la solución OFDM/QAM. La
literatura da pocos ejemplos de soluciones alternativas construidas
en la misma red, y los resultados obtenidos son de poco interés
práctico [10].
Además, la técnica OFDM/QAM es la única que puede
beneficiarse del método del intervalo de guarda. La solución
OFDM/QAM es, por tanto, un punto singular que no permite
extensiones.
El segundo modo de construcción conocido utiliza
una red ortogonal de densidad 2. Éste reagrupa un conjunto de
modulaciones tales como la OFDM/OQAM, la OFDM/MSK y la OFDM/IOTA.
Estas modulaciones difieren en la elección de la función prototipo,
que está limitada en frecuencia (OFDM/OQAM), o limitada en tiempo
(OFDM/MSK), o no está limitada ni en tiempo, ni en frecuencia, pero
es de decrecimiento rápido en las dos dimensiones (OFDM/IOTA).
Por consiguiente, la construcción de nuevas
modulaciones que no están construidas en tales redes ortogonales no
es evidente.
Todas las variantes de la invención descritas
anteriormente presentan la ventaja de utilizar una función
prototipo de decrecimiento rápido, de tal modo que la función puede
ser fácilmente truncada.
El principio de base consiste en construir una
función prototipo que presente las propiedades de ortogonalidad
deseadas en una red dispuesta al tresbolillo. El método de
construcción, que está detallado en el anexo 3, consiste en partir
de una función prototipo que presente las propiedades de
ortogonalidad deseadas en una red ortogonal y en efectuar una
rotación de 45º en el plano tiempo frecuencia. El operador que
permite esta rotación no es un operador clásico. Éste puede ser
asimilado a la raíz cuadrada de una transformada de Fourier, y es
indicado por F^{1/2}. La justificación matemática de esta
notación viene dada en el anexo 3.
En principio, el método puede aplicarse a
cualquier función prototipo que permita construir una base
hilbertiana en una red ortogonal de densidad 1/2. A este respecto,
pueden utilizarse las funciones prototipos de la OFDM/OQAM, y de la
OFDM/MSK. Éstas, sin embargo, conducen a resultados que son
funciones complejas. En consecuencia, los resultados obtenidos
tienen poco interés práctico.
Se considerarán las condiciones necesarias para
que este método de construcción conduzca a una función real. Sea
una función prototipo x(t) real par que permite generar una
base hilbertiana en una red ortogonal de densidad 2, y la función
y(t) definida por:
y =
F^{1/2}x
donde F^{1/2} es el operador raíz cuadrada de
la transformada de Fourier como se definió anteriormente. A nivel
de las funciones de ambigüedad (tales como las definidas en el anexo
2), este operador realiza una rotación de ángulo -\pi/4 en el
plano tiempo frecuencia. Para que la función y(t) sea real
par, es necesario que su función de ambigüedad presente una
simetría con respecto a los ejes tiempo y frecuencia. Esto implica,
por tanto, que la función x(t) presente, además de la
simetría con respecto a los ejes tiempo y frecuencia, una simetría
con respecto a las diagonales del plano
tiempo-frecuencia. Una propiedad de este tipo
solamente puede cumplirse si la función x(t) es idéntica a su
transformada de Fourier. Ahora bien, actualmente se conoce
solamente una función que tenga esta propiedad, que es la función
prototipo de la OFDM/IOTA, o sea
\Im.
Se define, por tanto, la función IOTA \pi/4 por
la relación:
\Im^{\pi/4} =
F^{1/2}\Im
Esta función es por construcción real y par. La
función de ambigüedad de esta función se anula, por tanto, en una
red dispuesta al tresbolillo.
El conjunto de las funciones
{\Im^{\pi/4}_{m,n}} definido por:
\Im^{\pi/4}_{m,n}(t) =
e^{i\varphi m,n} \ e^{i\pi (m-n)t} \
\Im^{\pi/4}(t-(m +
n)/2),
con
\varphi_{m,n}= (m + n + mn + (n^{2} -
m^{2})/2)\pi/2
constituye una base
hilbertiana.
Redefiniendo los índices, la definición de este
conjunto puede volver a escribirse del modo siguiente:
\Im^{\pi/4}_{m,n}(t) =
e^{i\varphi m,n} \ e^{i\pi mt} \
\Im^{\pi/4}(t-n/2), m + n
par
con
\varphi_{m,n}= (n - mn / 2 + (n^{2} - m^{2}) /
4)\pi/2
La invención se refiere, igualmente, a un
procedimiento de transmisión de una señal digital, especialmente en
un canal de transmisión no estacionario, que comprende las etapas
siguientes:
- -
- codificación en el canal de una señal digital que hay que transmitir, que facilita coeficientes numéricos reales a_{m,n} elegidos en un alfabeto predeterminado;
- -
- construcción de una señal s(t) que responda a la ecuación definida anteriormente;
- -
- emisión, al menos, a un receptor digital, de una señal que tenga por envolvente compleja la citada señal s(t).
De modo ventajoso, un procedimiento de este tipo
comprende, además, una etapa de entrelazamiento en frecuencia y/o
en tiempo, aplicada a los elementos binarios que forman la citada
señal digital que hay que transmitir o a los coeficientes numéricos
a_{m,n}.
Esto permite asegurar características óptimas en
canales no estacionarios.
La invención se refiere, igualmente, a los
emisores de una señal de este tipo.
La invención se refiere, también, a un
procedimiento de recepción de una señal tal como la descrita
anteriormente, que comprende las etapas siguientes:
- -
- recepción de una señal que tiene por envolvente compleja una señal r(t) correspondiente a la señal s(t) en la emisión;
- -
- estimación de la respuesta del canal de transmisión, que comprende una estimación de la respuesta en fase \theta_{m,n} y de la respuesta en amplitud \rho_{m,n};
- -
- desmodulación de la citada señal r(t), que comprende las etapas siguientes:
- -
- multiplicación de la citada señal r(t) por la función prototipo x(t);
- -
- solapamiento de la forma de onda filtrada módulo 2\tau_{0};
- -
- aplicación de una transformada de Fourier (FFT);
- -
- selección de las muestras para las cuales m+n es par;
- -
- corrección de la fase \theta_{m,n} inducida por el canal de transmisión;
- -
- corrección de la fase correspondiente al término e^{i\varphi m,n};
- -
- selección de la parte real del coeficiente obtenido \overline{a}_{m,n} correspondiente al coeficiente a_{m,n} emitido ponderado por la respuesta en amplitud \rho_{m,n} del canal de transmisión.
De modo preferente, este procedimiento de
recepción comprende una etapa de desentrelazamiento en frecuencia
y/o en tiempo de los citados coeficientes numéricos reales
\overline{a}_{m,n} y, eventualmente, de los valores
correspondientes \rho_{m,n} de la respuesta de la amplitud del
canal, siendo el citado entrelazamiento inverso de un
entrelazamiento puesto en práctica en la emisión, y/o una etapa de
descodificación en decisión ponderada adaptada a la codificación en
el canal puesta en práctica en la emisión.
La invención se refiere, igualmente, a los
receptores correspondientes.
Finalmente, la invención se refiere, también, a
un procedimiento preferente de construcción de una función
prototipo x(t) para una señal tal como la descrita
anteriormente. Este procedimiento se presenta en los anexos
adjuntos.
- -
- la figura 1 ilustra una red de densidad 1/2, correspondiente a la puesta en práctica en el caso de la invención;
- -
- las figuras 2A a 2E ilustran la modulación IOTA-\pi/4 de la invención, de acuerdo con los aspectos siguientes:
- \bullet A: la función prototipo x(t);
- \bullet B: la transformada de Fourier en lineal de la función prototipo;
- \bullet C: el módulo de la función de ambigüedad en lineal (tal como la definida en el anexo 2);
- \bullet D: la función de intersímbolo (tal como la definida en el anexo 2);
- \bullet E: el decrecimiento de la señal, en escala logarítmica;
- -
- la figura 3 la función de ambigüedad de una función gausiana;
- -
- la figura 4 es un esquema sinóptico de un emisor (y del procedimiento de emisión correspondiente) utilizable de acuerdo con la invención;
- -
- la figura 5 es un esquema sinóptico de un receptor (y del procedimiento de recepción correspondiente) utilizable de acuerdo con la invención;
- -
- la figura 6 ilustra de modo más preciso el procedimiento de desmodulación puesto en práctica en el receptor de la figura 5.
La invención se basa en un tratamiento
completamente nuevo de las señales multiportadoras del tipo
OFDM/OQ
AM, construidas en redes tiempo-frecuencia no ortogonales de densidad 2. La invención propone, especialmente, la utilización de una red dispuesta al tresbolillo, tal como la ilustrada en la figura 1, en la cual sólo se utilizan los emplazamientos de la red (definidos por los índices m (dimensión frecuencial) y n (dimensión temporal)) tales que m+n sea par.
AM, construidas en redes tiempo-frecuencia no ortogonales de densidad 2. La invención propone, especialmente, la utilización de una red dispuesta al tresbolillo, tal como la ilustrada en la figura 1, en la cual sólo se utilizan los emplazamientos de la red (definidos por los índices m (dimensión frecuencial) y n (dimensión temporal)) tales que m+n sea par.
En otras palabras, la envolvente compleja de una
señal de acuerdo con la invención, que utiliza esta repartición en
el espacio tiempo-frecuencia, responde a la
ecuación siguiente:
s(t) =
\sum\limits_{m+n \ par} a_{m,n} \
x_{m,n}(t)
donde:
a_{m,n} es un coeficiente real representativo
de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación
predeterminado;
t representa el tiempo;
x_{m,n}(t) es una función de base,
trasladada en el espacio tiempo -frecuencia, de una misma función
prototipo x(t) que toma valores reales o complejos, o
sea:
x_{m,n}(t) = e^{i \varphi
m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0}t + \varphi)} \
x(t-n\tau_{0})
\hskip0,5cmcon
\hskip0,3cmv_{0} \tau _{0} = 1/4
\hskip4cmcon \phi_{m,n} = (m + n + mn + (n^{2}- m^{2})/2)\pi/2
donde \phi es un parámetro de fase
arbitrario,
y donde las citadas funciones de base {x_{m,n}}
son ortogonales entre sí, siendo la parte real del producto escalar
de dos funciones de base diferentes
nula.
La invención concierne, igualmente, a
modulaciones bien adaptadas a tales redes y, especialmente, a la
modulación IOTA -\pi/4.
La modulación OFDM/IOTA resulta de un
procedimiento totalmente original en el ámbito del tratamiento de
señal, que se denominará transformada IOTA (de "Isotropic
Orthogonal Transform Algotithm"), y descrito en el anexo 3 y en
la solicitud de patente FR-95 05455 ya
mencionada.
La modulación IOTA-\pi/4 puede
obtenerse por rotación de -\pi/4 de la modulación OFDM/IOTA, tal
como se describe en el anexo 3.
La ecuación de la señal, y el modo en que ésta se
obtiene, se tratan en los anexos 3 y 4.
A fin de poner mejor en evidencia, de modo
visual, las ventajas de la invención, se presenta la modulación
IOTA-\pi/4 (véanse las figuras 2A a 2E):
- \bullet
- A: la función prototipo x(t);
- \bullet
- B: la transformada de Fourier en lineal de la función prototipo;
- \bullet
- C: el módulo de la función de ambigüedad en lineal (tal como la definida en el anexo 2);
- \bullet
- D: la función de intersímbolo (tal como la definida en el anexo 2).
La figura 2C permite juzgar el confinamiento en
el plano tiempo-frecuencia de la función prototipo.
La figura 2D de la función de intersímbolo permite apreciar la
sensibilidad de una modulación al retardo y al efecto Doppler. Los
errores de fase no son considerados, puesto que todas las
modulaciones son equivalentes en este plano.
Estas figuras podrán compararse con las
presentadas y comentadas en las solicitudes de patente ya citadas,
para las otras modulaciones tratadas en la presente solicitud de
patente.
La modulación OFDM/IOTA-\pi/4.
Ésta presenta, por tanto, un decrecimiento rápido (en el sentido
matemático del término) en tiempo y en frecuencia, lo que permite
considerar la ecualización en las mejores condiciones posibles.
Ésta, por otra parte, presenta una simetría perfecta con respecto a
estos dos ejes. Su función de intersímbolo es casi ideal. De manera
general, su comportamiento se aproxima al de la gausiana. El
parámetro \xi vale 0,9769.
La función de ambigüedad de la función \Im
(véase la figura 2C) puede compararse a la de una gausiana, tal
como la ilustrada en la figura 3. La forma general de estas dos
funciones es muy similar a nivel del vértice. Éstas, por el
contrario, difieren en la base.
La figura 2E muestra a escala logarítmica el
decrecimiento en tiempo de la señal IOTA-\pi/4.
Se observa que la amplitud de la señal decrece linealmente a escala
logarítmica (en tiempo y en frecuencia, naturalmente, puesto que los
dos aspectos son idénticos), o sea de modo exponencial a escala
lineal. Esta propiedad, por tanto, permite, en una realización
práctica, truncar la forma de onda y limitar, así, la complejidad
del receptor.
Se observará, también, que el decrecimiento de
esta modulación es muy rápido (lineal en escala logarítmica) con un
coeficiente superior a \sqrt{2} en la modulación OFDM/IOTA.
La figura 4 presenta un esquema sinóptico
simplificado de un emisor de una señal de acuerdo con la invención.
El procedimiento de emisión se deduce de ella directamente.
Se considera una fuente binaria de alto caudal
(típicamente algunos Megabits o decenas de Megabits). Por fuente
binaria, se entiende una serie de elementos de datos
correspondientes a una o varias señales 91 fuente de cualquier tipo
(sonidos, imágenes, datos) digitales o analógicas muestreadas. Estos
datos binarios son sometidos a una codificación en el canal 92
binario a binario adaptada a canales atenuantes. Podrá utilizarse,
por ejemplo, un código de entramado (Trellis Coded Modulation),
concatenado, eventualmente, con un código
Reed-Solomon. De modo más preciso, si se desea una
eficacia espectral de 4 bits/Hertzio, puede utilizarse un código de
rendimiento 2/3 asociado a una modulación 8AM, que toma 8 niveles
de amplitud.
A continuación, de acuerdo con el principio
expuesto en la patente FR-88 15216, estos datos
codificados se reparten (93) en el espacio
tiempo-frecuencia de modo que aporten la diversidad
necesaria, y descorrelacionen la atenuación (fading) de Rayleigh
que afecta a los símbolo emitidos.
De modo más general, se efectúa una primera
codificación binario a binario, un entrelazamiento en tiempo y en
frecuencia y una codificación binaria de coeficientes, denominada
comúnmente "mapping". Está claro que el entrelazamiento puede
efectuarse indiferentemente antes o después del mapping, de acuerdo
con las necesidades y los códigos utilizados.
Al final de esta operación de codificación, se
dispone de los símbolos reales que hay que emitir a_{m,n}. El
principio de realización del modulador 94
OFDM/IOTA-\pi/4 es análogo al de un emisor
OFDM/OQAM. Para una descripción detallada del sistema de
modulación, véase [15]. Para construir la señal que hay que emitir,
se reagrupan los símbolos del mismo rango n, y se calcula:
(30)s(t) =
\sum\limits_{m+n \ par} a_{m,n} \ x_{m,n} (t) =
\sum\limits_{n}\sum\limits_{m}a_{m,n} \ e^{i \varphi m,n} \
e^{i(2\pi m v_{0} t + \varphi)}
x(t-n\tau_{0})
Esta operación puede realizarse, ventajosamente,
en forma numérica por una transformada rápida de Fourier (FFT) que
lleva todos los símbolos de igual rango n (es posible reducir a la
mitad el número de puntos de la FFT, debido a la decimación
efectuada en la red de la invención), seguido de una multiplicación
de la forma de onda resultante por la función prototipo
IOTA-\pi/4 y, finalmente, una adición de los
símbolos de rango diferentes (suma según el índice n).
La señal compleja así generada es convertida,
entonces, en forma analógica 98, y después transpuesta a la
frecuencia final por un modulador 99 de dos vías en cuadratura
(modulador I&Q) y, finalmente, amplificada 910 antes de ser
emitida 911.
La figura 5 ilustra de modo esquemático un
receptor de una señal de acuerdo con la invención (así como el
procedimiento de recepción correspondiente).
El receptor OFDM/IOTA-\pi/4 es
sensiblemente análogo al adaptado a la modulación OFDM/OQAM. Las
etapas de entrada son convencionales. La señal es preamplificada
101, y convertida después en frecuencia intermedia 102 a fin de
realizar el filtrado en canal 103. La señal de frecuencia intermedia
es convertida después en banda de base en dos vías en cuadratura
105. Además, se realizan las funciones de corrección automática de
ganancia (CAG) 104, que controla la preamplificación 101.
Otra solución consiste en trasponer la señal de
frecuencia intermedia en una frecuencia portadora baja, a fin de
muestrear la señal en una sola vía, obteniéndose, entonces, la
representación compleja por filtrado numérico. Alternativamente, la
señal RF puede ser transpuesta directamente en banda de base
(conversión directa), realizándose, entonces, el filtrado en canal
en cada una de las dos vías I&Q. En todos los casos, puede
llegarse a una representación discreta de la señal analítica
correspondiente a la señal recibida.
A fin de detallar el tratamiento numérico en
banda de base, se considerará una modulación de tipo multiportadora
caracterizada por la ecuación de la envolvente compleja de la señal
emitida:
(31)s(t) =
\sum\limits_{m+n} a_{m,n} \ x_{m,n}
(t)
Sea un canal de transmisión caracterizado por su
función de transferencia variable T(f,t) (véase el anexo 2).
La envolvente compleja de la señal recibida r(t) se
escribe:
(32)r(t) = \int
S(f)T(f, t) e^{2i\pi ft}
df
El desmodulador estima (106) la función de
transferencia T(f, t) por medios clásicos, que pueden
utilizar, por ejemplo, una red de referencia de portadoras
explícitas de acuerdo con la patente FR-90 01491.
Para desmodular la señal propiamente dicha (107), se asimila el
canal localmente a un canal multiplicativo caracterizado por una
amplitud y una fase correspondiente al valor de T (f, t) para el
instante y la frecuencia considerados. Para estimar
a_{m,n}(t), la señal recibida se asimila, por tanto, a la
señal:
(33)\tilde{r}(t) = \int S
(f) T (m v_{0} n \tau _{0}) e2^{i \pi ft} df = T(m v_{0},n
\tau_{0}) s
(t)
Sea:
(34)T(mv_{0},n\tau_{0})
= \rho ^{i
\theta_{m,n}}
El desmodulador efectúa, por tanto, el
tratamiento siguiente:
(35)\tilde{a}_{m,n} = \Re e
\int r (t) e^{-i\theta _{m,n}} x^{*}_{m,n} (t)
dt
En el caso de un canal estacionario de función de
transferencia \rhoe^{i\theta}, se tiene, evidentemente:
(36)\tilde{a}_{m,n} = \rho
a_{m,n}
En la práctica, el tratamiento 107 se efectúa en
forma numérica, de acuerdo con el procedimiento ilustrado en la
figura 6. El receptor funciona de modo análogo a un receptor
OFDM/OQAM [13-16]. Éste efectúa los tratamientos
siguientes:
- -
- multiplicación 111 de la citada señal recibida r(t) por la función prototipo x(t) 112;
- -
- "solapamiento" 113 de la forma de onda filtrada módulo 2\tau_{0};
- -
- aplicación 114 de una transformada de Fourier (FFT);
- -
- selección de las muestras para las cuales m+n es par (efectuada, eventualmente, durante la aplicación de la FFT);
- -
- corrección 115 de la fase \theta_{m,n} en función de la estimación del canal 116 que comprende, por ejemplo, una estimación \rho_{m,n} de la respuesta de la amplitud y una estimación \theta_{m,n} de la respuesta de la fase del canal de transmisión;
- -
- corrección 117 de la fase e^{i \varphi m,n};
- -
- selección 118 de la parte real, ponderada por la respuesta de la amplitud \rho_{m,n}
Este algoritmo permite, por tanto, calcular
globalmente todos los coeficientes de un índice n dado. El orden de
magnitud de la complejidad correspondiente es, aproximadamente, el
doble del correspondiente al algoritmo utilizado para la
OFDM/QAM.
Los coeficientes así obtenidos son
desentrelazados después 108, simétricamente con el entrelazamiento
puesto en práctica en la emisión, y descodificados después 109,
ventajosamente, de acuerdo con una técnica de descodificación de
decisión blanda, poniendo en práctica, por ejemplo, un algoritmo
del tipo del algoritmo de Viterbi. Si la descodificación del canal
tiene en cuenta la estimación de la respuesta de la amplitud del
canal \rho_{m,n} los valores correspondientes son, igualmente,
desentrelazados 110. Por otra parte, el desentrelazamiento se
efectúa, naturalmente, antes o después del mapping, según el
momento en que el entrelazamiento ha sido puesto en práctica en la
emisión.
El anexo 4 describe de modo más detallado las
operaciones efectuadas.
Anexo
1
[1] M.L. Doeltz, E.T. Heald and
D.L. Martin, "Binary data transmission techniques for
linear systems" Proceedings of the IRE, págs.
656-661, May 1957.
[2] R.R Mosier, "A data transmission
system using pulse phase moluation" IRE Conv. Rec. Ist Nat=1
Conv Military Electronics (Washington, D.C., June
17-19, 1957) págs.
233-238.
[3] G.A. Franco and G. Lachs "An
orthogonal coding technique for communications" 1961
IRE Internat=1 Conv. Rec., vol. 9, págs.
126-133.
[4] H.F. Harmuth, "On the transmission
of information by orthogonal time functions" AIEE Trans.
(Communications and Electronics) vol. 79, págs.
248-255, July 1960.
[5] S.B. Weinstein and Paul M.
Ebert, "Data transmission by frequency -division
multiplexing using the discrete Fourier transform" IEEE Trans.
Commun., vol. COM-19, págs
628-634, Oct. 1971.
[6] L.J. Cimini, "Analysis and
simulation of a digital mobile channel using orthogonal frequency
division multiplexing" IEEE. Trans. Commun., vol.
COM-33, págs. 665-675, July
1985.
[7] E.F. Casas and C. Leung,
"OFDM for data communication over mobile radio FM channels B Part
I: Analysis and experimental results" IEEE Trans. Commun.
vol. 39, págs. 783-793, May 1991.
[8] E.F. Casas and C. Leung "OFDM
for data communication over mobile radio FM channels B Part II:
Performance improvement." IEEE. Trans. Commun. vol. 40,
págs 680-683, April 1992.
[9] J. Daubechies, "The wavelet
transform, time-frequency localization and signal
analysis." IEEE Trans. Inform. Theory. vol.
IT-36, págs. 961-1005, Sept
1990.
[10] H.E. Jensen, T. Hoholdt and J.
Justesen. "Double series representation of bounded
signals." IEEE. Trans. Inform. Theory. vol.
IT-34, págs. 613-624, July
1988.
[11] R.W. Chang, "Synthesis of
band-limited orthogonal signals for
multi-channel data transmission." Bell Syst.
tech. J. vol. 45, págs. 1775- 1796, Dec, 1966.
[12] B.R. Saltzberg, "Performance of an
efficient parallel data transmission. System" IEEE Trans.
Commun. Technol., vol. COM-15, págs.
805-811, Dec, 1967.
[13] R.W. Chang, "A theoretical study of
performance of an orthogonal multiplexing data transmission
scheme." IEEE Trans. Commun. Techonol., vol.
COM-16, págs. 529-540, Aug,
1968.
[14] B. Hirosaki, "An analysis of
automatic equalizers for orthogonally multiplexed QAM systems."
IEEE Trans. Commun., vol. COM-28, págs.
73-83, Jan. 1980.
[15] B. Hirosaki, "An orthogonally
multiplexed QAM systems using the discrete Fourier transform."
IEEE Trans. Commun., vol. COM-29, págs.
982-989, July. 1981.
[16] B. Hirosaki, "A maximum likehood
receiver for an orthogonally multiplexed QAM system." IEEE
Journal on Selected Areas in Commun., vol.
SAC-22, págs. 757-764, Sept.
1984.
[17] B. Hirosaki, S. Hasegawa, and
A. Sabato, "Advanced goup-band modem using
orthogonally multiplexed QAM technique." IEEE Trans.
Commun., vol. COM-34, págs.
587-592, June. 1986.
[18] John A.C. Bingham, "Multicarrier
modulation for data transmission: An idea whose time has come."
IEEE Communications Magazine., págs. 5-14,
May. 1990.
[19] P:M: WOODWARD, "Probability and
information theory with application to Radar." Pergamon
Press, London 1953.
[20] F. Amoroso and J.A. Kivett,
"Simplified MSK signalling technique." IEEE Trans.
Commun., vol. COM-25, págs.
443-441, April 1977.
[21] P.A. Bello, "Characterization of
randomly time-variant linear channels." IEEE
Trans. Commun Systems, págs. 360-393, Dec.
1964.
\newpage
[22] P.M. WOODWARD, "Probability and
information theory with application to Radar." Pergamon
Press, London 1953.
[23] M. ALARD et R. LASSALLE
"Principes de modulation et de codage canal en radiodiffusion
numérique vers les mobiles." Revue de 1=U:E:R. N1 224,
août 1987, págs 168-190
Anexo
2
Un canal dispersivo puede considerarse como un
sistema lineal que tiene una respuesta en régimen de impulsos
variable en el tiempo. Existen dos modos de definir esta respuesta
en régimen de impulsos. Inspirándose ampliamente en los convenios
propuestos en [21]:
\bullet la respuesta en régimen de impulsos a
la entrada (Input Delay Spread Function) g(t, \tau)
definida por
r(t) = \int s
(t-\tau) g (t,\tau) d
\tau
donde s(t) y r(t) representan,
respectivamente, las señales emitidas y
recibidas,
\bullet la respuesta en régimen de impulsos a
la salida (Output Delay Spread Function) h(t, \tau)
definida por
r(t) = \int s
(t-\tau) h (t-\tau,\tau) d
\tau
Se tiene, evidentemente h(t,\tau) =
g(t+\tau,\tau), h(t,\tau) representa la
respuesta en régimen de impulsos del canal en el instante t.
Provistos de estos convenios, pueden definirse las funciones
características siguientes:
\bullet la función de ensanchamiento
retardo-Doppler U(\tau,v) (Delay -Doppler
Spread Function) caracterizada por:
g(t,\tau) = \int
U(\tau, v) e^{i 2\pi
vt}dv
con r(t) =
\int\intU(\tau,v)s(t-\tau)e^{i
2\pi v(t-\tau)}d
vd\tau
\bullet la función de ensanchamiento
Doppler-retardo V(v,\tau)
(Doppler-Delay Spread Function) caracterizada
por
h(t,\tau) = \int
V(\tau, v) e^{-i 2\pi
vt}dv
con r(t) = \int\intV(v,\tau)
s (t-\tau)e^{i 2\pi v(t-\tau)}d
vd\tau
Se tiene simplemente:
V(v, \tau) = e^{i
2\pi\tau}U(\tau,v)
\bullet la función de transferencia variable
(Time-Variant Transfert Function) T(f, t)
caracterizada por:
T(f,t) = \int
g(t,\tau) e^{-i 2\pi f \tau} d
\tau
con r(t) = \int S (f) T (f,t) e^{i 2\pi
ft}
df
Se llega, por tanto, a la misma ecuación que en
el caso de un canal estacionario, siendo la diferencia simplemente
que la función de transferencia se hace variable en el tiempo. Esta
función de transferencia T(f,t) es la transformada de
Fourier bidimensional de U(\tau, v), o sea:
T(f,t) = \int\int
U(\tau ,v)e^{-12\pi\tau f}e^{i 2\pi v\tau} \ d \ \tau d \
v
En todos los casos, se considerará que
U(\tau,v) es de soporte limitado, lo que permite
representar la función de transferencia T(f,t) por una red de
valores discretos en virtud del teorema de muestreo.
El modelo retardo-Doppler está
definido por la ecuación:
r(t) = \int\int
U(\tau ,v)s(t-\tau)e^{i 2\pi v\tau}d \ \tau d \
v
Esta ecuación hace aparecer el canal como una
suma de canales elementales caracterizados por una amplitud, una
fase, un desplazamiento temporal y un desplazamiento frecuencial. Es
legítimo, también, interesarse en el comportamiento de las
diferentes modulaciones en presencia de este tipo de canal, que se
denominarán retardo-Doppler estático.
La ecuación del canal se escribe, entonces, en la
forma simplificada siguiente:
r(t) = Ae^{i \theta}
s (t-\tau) e^{i 2\pi
v\tau}
Considérese una modulación multiportadora OFDM de
tipo cualquiera (OFDM/QAM), OFDM/OQAM u OFDM/
IOTA), caracterizada por la ecuación genérica:
IOTA), caracterizada por la ecuación genérica:
s(t) =
\sum\limits_{k\epsilon E}a_{k} \
x_{k}(t)
Siendo a_{k} variables reales, E una red
bidimensional de densidad 2 en el espacio
tiempo-frecuencia, y siendo las funciones
x_{k}(t) trasladadas en tiempo y en frecuencia de una
misma función prototipo x(t), y que constituyen una base
hilbertiana de L^{2}(R).
x_{k}(t) = e^{i \varphi
k}x(t-\tau_{k})e^{2i\pi v_{k}t}, k\epsilon
E
Se observará que no se ha hecho ninguna hipótesis
sobre la estructura de la red E. En el caso particular de la
OFDM/QAM, esta red se descompone en dos subredes
co-localizadas con fases en cuadratura.
La operación de desmodulación se escribe:
\hat{a}_{n} = \Re
e\left\lfloor e^{-i \phi}\int
r(t)x^{*}_{n}(t)dt
\right\rfloor
Siendo \phi una fase estimada por el
desmodulador y r(t) la señal recibida. Puede escribirse, por
tanto:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Ahora bien:
\vskip1.000000\baselineskip
De esto se deduce que:
El valor óptimo de \phi es el que hace máximo
\hat{a}_{n} , o sea:
\phi = Arg \int \int e^{2i
\pi v \tau} U (\tau, v) A_{x} (-\tau, -v) d \ \tau d \
v
Las ecuaciones anteriores, aunque generales,
apenas son manipulables. Éstas, sin embargo, muestran que la señal
útil y el intersímbolo aparecen como integraciones de la función de
ambigüedad ponderada por la función de ensanchamiento
retardo-Doppler.
Considérese un canal de tipo
retardo-Doppler estático, caracterizado por una
fase \theta, un retardo \xi y un desplazamiento v (se
normalizará a 1 la amplitud A), se efectúa la desmodulación de
manera similar introduciendo en el estimador un parámetro de fase
\phi. El resultado de esta operación se escribe:
La señal desmodulada se escribe, por tanto,
finalmente:
El segundo término representa la interferencia
entre símbolos (IES). Si se consideran los datos como variables
aleatorias independientes de varianza \sigma^{2}, la varianza I
del IES se escribe:
I = \sum\limits_{k \epsilon
\ E , k\neq
n}c_{k}^{2}\sigma^{2}
Ahora bien, los coeficientes c_{k} son los
coeficientes de la descomposición de la función
e^{i(\phi-\theta)}e^{-2i \pi
v(t+\tau)}x_{n}(t+\tau), de norma unidad, en la
base hilbertiana de las funciones x_{k}(t). Se tiene, por
tanto:
\sum\limits_{k \epsilon \ E}
c_{k}^{2} = 1
\hskip1cme
\hskip0,5cmI = (1-c^{2}_{n})\sigma^{2}
En otras palabras, la varianza de la señal
recibida es constante y se reparte entre la señal "útil"
c_{n}a_{n} y el intersímbolo, de varianza I = (1 -
c_{n}^{2})\sigma^{2}. El cálculo del coeficiente
c_{n} da:
donde A_{x_{n}}(\tau,v) representa
la función de ambigüedad de x_{n} (véase, igualmente, el anexo
3), o
sea:
Finalmente, puede escribirse:
Considérese que la fase de desmodulación \phi
se escribe en forma de \phi_{opt} + \Delta\phi, donde
\phi_{opt} es la fase de desmodulación que hace mínimo IES, es
decir, que hace máximo c_{n}, o sea
\phi_{opt} = \theta + \pi
v\tau +
2\pi(\tau_{n}v-v_{n}\tau)
Entonces, la varianza del IES se escribe
simplemente:
I = (1-(\Re e \left\lfloor
A_{x}(\tau , v)e^{i\Delta \phi}
\right\rfloor)^{2})\sigma^{2}
Cuando la función prototipo es par, (lo que
corresponde al caso del método de construcción de bases
hilbertianas descrito en el texto principal), la función de
ambigüedad es real, y se tiene, por tanto:
I =
(1-A^{2}_{x}(\tau , v)cos^{2}\Delta
\phi))\sigma^{2}
Este resultado es realmente importante, puesto
que demuestra que la sensibilidad al retardo y al efecto Doppler de
cualquier modulación multiportadora depende solamente de la función
de ambigüedad de su función prototipo. En lo sucesivo se denominará
función de intersímbolo (expresión utilizada para designar la
función de interferencia entre símbolos) normalizada la función
Is(\tau,v) = \sqrt{1-A^{2}_{x}(\tau ,v)}
en el caso general), que representa el valor cuadrático medio del
intersímbolo normalizado por el valor cuadrático medio de los datos
en el caso de una estimación de fase óptima.
Se tratan ahora las propiedades de la función de
intersímbolo normalizada. Se constata que la sensibilidad de una
modulación multiportadora está ligada directamente al comportamiento
de la función de ambigüedad de la función prototipo correspondiente
en las proximidades de (0,0). El problema planteado es totalmente
análogo a los problemas de incertidumbre encontrados en el ámbito
radar, y podrá hacerse referencia a la literatura abundante sobre
este asunto (véase, por ejemplo, [22]). Sin pérdida de generalidad,
la función x(t) puede elegirse por una traslación temporal y
frecuencial adecuada, de tal modo que sus momentos de orden uno
sean nulos, o sea:
\int t|x(t)|^{2} dt =
\int f|X(f)|^{2} df =
0
En estas condiciones, se verifica que las
derivadas parciales del primer orden se anulan:
El comportamiento de la función de ambigüedad
alrededor de (0, 0) puede caracterizarse a partir de las derivadas
parciales de segundo orden:
Sea
Considérese el desarrollo de
Tylor-Young de la función de ambigüedad en (0,
0):
A_{x}(d\tau , dv)=
1-2\pi^{2}(\Delta t^{2} \ dv^{2} + \Delta f^{2} \
d\tau^{2})+\mu d \ vd \ \tau + \sigma(dv^{2} +
d\tau^{2})
De ésta se deduce el desarrollo de
Tylor-Young de la varianza del intersímbolo I =
(1-(\Ree[A_{x}(\tau,v])^{2}cos^{2}\Delta\phi)\sigma^{2},
o sea:
I(d\tau,dv,d\phi)=
\sigma^{2}[4\pi^{2}(\Delta t^{2}d \ v^{2} + \Delta f^{2} \
d\tau^{2})-2\mu d \ vd\tau + d\phi^{2} +
\sigma(dv^{2}+d\tau^{2}+d\phi^{2}]
De ésta se deduce que la función de intersímbolo
Is admite en el origen un cono tangente de ecuación:
z = \sqrt{4\pi^{2}(\Delta
\tau^{2}v^{2} + \Delta f^{2}\tau^{2})-2\mu
v\tau}
La intersección de este cono con el plano z = 1
(intersímbolo máximo) delimita una superficie de contorno elíptico
cuya área \xi puede considerarse como una medición de la
sensibilidad al retardo y al efecto Doppler. Cuando \mu_{x} es
nulo, esta elipse tiene como ejes de simetría los ejes temporal y
frecuencial, y se extiende de \pm1/2\pi\Deltaf según el eje
temporal y \pm1/2\pi\Deltat según el eje frecuencial. Se
tiene, por tanto:
\xi = 1/4\pi\Delta t\Delta
f
En virtud de la desigualad de Heisenberg, \xi
no puede rebasar la unidad. Este resultado se generaliza al caso en
que \mu_{x} es diferente de 0. Considérese la función
y(t) obtenida multiplicando la función x(t) por una
wobulación:
Puede escribirse, por tanto:
Por tanto, es posible anular \mu_{y}
eligiendo \beta de modo apropiado. Ahora bien, la operación de
multiplicación por una wobulación realiza un simple cambio de ejes
de la función de ambigüedad asociada, con conservación de áreas. De
esto se deduce que el parámetro \xi está, por tanto, comprendido
siempre entre 0 y 1.
Este resultado es sumamente importante, puesto
que permite comparar las características de todas los MCM en canales
dispersivos a partir de un parámetro único. Se constata, por tanto,
que estas características dependen solamente de la concentración de
la función prototipo asociada. El óptimo se consigue virtualmente
por la gausiana, pero este óptimo es inaccesible, puesto que las
gausianas no permiten construir una base hilbertiana.
Las modulaciones OFDM construidas a partir de una
red de densidad 1 constituyen un caso degenerado: en razón del
teorema de Balian-Low-Coifman
-Semmes, el parámetro \xi es, entonces, nulo. Este resultado es,
por otra parte, totalmente general, y se aplica cualquiera que sea
la estructura de la red de los baricentros de las funciones de
base. En efecto, a partir de las operaciones de wobulación
temporal, de transformada de Fourier y de homotecia, puede llegarse
siempre a una estructura ortogonal cualquiera, en la cual se aplica
el teorema de
Balian-Low-Coifman-Semmes.
Ahora bien, estos tres operadores realizan solamente cambios de
ejes de la función de ambigüedad, con conservación de las áreas. Se
deduce de esto que el parámetro \xi es nulo en todas las
modulaciones de este tipo.
La modulación OFDM/QAM no se escapa de esta
regla. En este caso, el parámetro \Deltaf es infinito, lo que
conduce a una gran sensibilidad a los desplazamientos temporales (la
función de intersímbolo presenta una tangente vertical según el eje
temporal). Sin embargo, la OFDM/QAM dispone de un "joker" que
no dispone de ningún otro tipo de OFDM, y que reside en el hecho de
que en el interior de un símbolo prolongado por un intervalo de
guarda se encuentran una infinidad de versiones trasladadas del
símbolo inicial. Este carácter único hace que la OFDM/QAM sea
realmente un punto singular en el conjunto de las MCM
complejas.
El intervalo de guarda crea una zona de no
intersímbolo que permite artificialmente transformar el cono
tangente a la función de intersímbolo (en este caso, totalmente
aplanado en el sentido temporal), en un prisma cuya intersección
con el plano z = 1 es un rectángulo no degenerado, es decir, cuya
área es no nula. Para comprender mejor el efecto del intervalo de
guarda podrá hacerse referencia a la figura 3. Naturalmente, la
utilización de un intervalo de guarda hace salirse del marco de las
demostraciones precedentes, y que la limitación a la unidad de esta
área no se aplique. Por el contrario, la OFDM con intervalo de
guarda puede compararse a una modulación MCM óptima virtual (con
\xi = 1), y preguntarse qué intervalo de guarda permite encontrar
un \xi aparente idéntico. Considérese una modulación OFDM
construida a partir de la función prototipo x(t):
Se verifica inmediatamente que \Deltat^{2}=
\tau_{0}^{2}/12. Por consiguiente, la intersección del prisma
tangente a la función de intersímbolo con el plano z = 1 está
limitada en el sentido frecuencial a \pm \sqrt{3} /
\pi\tau_{0}. Admítase que se desea limitar a - 10 dB el nivel de
intersímbolo. Para una modulación óptima, con \xi = 1, el área de
la zona de intersímbolo inferior a - 10 dB es del orden de 0,1. Para
obtener un resultado equivalente con una modulación OFDM con
intervalo de guarda, es necesario que el intervalo de guarda
\Delta\tau sea tal que \Delta\taux(\sqrt{3} /
\pi\tau_{0}) / \sqrt{10} \approx 0,1, o sea \Delta\tau
\approx 0,287 \tau_{0}. Este valor es realmente considerable e
ilustra bien el precio que hay que pagar para hacer funcionar un
sistema OFDM en condiciones desfavorables de retardo y de
Doppler.
Anexo
3
Este anexo da el conjunto de las demostraciones
que certifican la existencia de transformadas
tiempo-frecuencia simétricas con respecto a ejes
temporal y frecuencial. En este sentido, estas transformadas
presentan una gran analogía con la transformada de Gabor, que está
caracterizada por una perfecta isotropía en todas las direcciones
del plano tiempo-frecuencia. Aunque la isotropía de
éstas nuevas transformadas sea solamente aproximada, se convendrá en
denominarlas isótropas. La diferencia esencial con respecto a la
transformada de Gabor es que estas transformadas son estrictamente
ortogonales, lo que permite considerar su aplicación al ámbito de
las transmisiones digitales. En efecto, la ortogonalidad de la
transformada garantiza la conservación de las métricas euclídeas,
lo que constituye una propiedad esencial en un canal que comprende
ruido aditivo gausiano.
Los sistemas de modulación resultante de este
procedimiento que utiliza algoritmos de transformada ortogonal
isótropa (Isotropic Orthogonal Transform Algorithms), se denominan
sistemas de modulación "IOTA".
Los estudios sobre la función de ambigüedad han
estado ampliamente motivados en el pasado por los desarrollos de las
técnicas de Radar. Este capítulo recuerda las principales
propiedades de esta función, y describe diferentes operadores que
actúan sobre esta función.
Sea una función x(t) y su transformada de
Fourier X(f). A éstas pueden asociarse sus productos
temporal y frecuencial definidos, respectivamente, por:
La transformada de Wigner-Ville y
la función de ambigüedad de x vienen dadas, entonces, por:
Sea una función x(t). Se representará,
respectivamente, por x^{-} y \tilde{x} las funciones definidas
de la manera siguiente:
Se tienen, entonces, la relaciones:
o sea, haciendo u =
-t:
Se concluye, en particular, que si una función x
es par, es decir, que x = x^{-}, su función de ambigüedad es
real. Por otra parte, se observará la relación siguiente:
Combinando estas dos relaciones, se obtiene:
A_{x}(\tau,v)=
A_{x}(\tau,-v)
La definición de la función de ambigüedad puede
rescribirse del modo siguiente:
o, también, A_{x}(\tau,v) =
A_{x}(-v,\tau)
Considérese una función trasladada de una función
prototipo x(t) cualquiera, o sea:
x_{k} = e^{i \varphi_{k}} \
e^{2i \pi v_{k}t} \
x(t-\tau_{k})
La función de ambigüedad asociada se escribe:
O sea, haciendo u = t - \tau_{k}:
Considérense dos funciones trasladadas de una
misma función x(t), o sea:
El producto escalar de estas dos funciones se
escribe:
o sea, haciendo u = t - (\tau_{k} +
\tau_{k'})/2:
Considérese un conjunto de funciones {x_{m,n}}
definido por:
x_{m,n}(t) =
e^{i(m+n)\pi/2} \ e^{2i\pi mv_{0}t} \
x(t-n\tau_{0})
\hskip0,5cmcon v_{0}\tau_{0} = 1/2
Se buscan las condiciones en x(t) para que
este conjunto {x_{m,n}} constituya una base hilbertiana de
H_{R}. Se impondrá que x(t) sea una función par, cuya
función de ambigüedad A_{x} sea, por tanto, real.
El producto escalar en R de x_{m,n} y de
x_{m',n'} puede escribirse:
Se observará la relación de congruencia módulo
2:
(m - m') + (n - n') + (m -
m')(n + n') \cong 1 - (m - m' + 1)(n - n' +
1)
Por consiguiente, si (m,n) \neq (m', n') módulo
2, el producto escalar es nulo. La red {x_{m,n}} puede, por
tanto, descomponerse en cuatro subredes caracterizadas por: {m par,
n par}, {m par, n impar}, {m impar, n par}, {m impar, n impar}. La
ortogonalidad entre funciones que pertenecen a subredes diferentes
es, por tanto, automática, y no depende de las propiedades de la
función prototipo, desde el momento en que ésta sea par.
Falta después garantizar que las funciones de una
misma subred sean ortogonales entre sí. Para esto basta que la
función de ambigüedad A_{x} verifique:
A_{x}(2n\tau_{0}, 2mv_{0}) =
0
\hskip0,5cm\forall (m,n) \neq (0,0)
Se constata, por tanto, que el problema de la
construcción de bases hilbertianas de H_{R} en una red ortogonal
de densidad 2 lleva al de la construcción de una función prototipo
par cuya función de ambigüedad se anule en una red de densidad
1/2.
Sea una función x(t) de transformada de
Fourier X(f). Se denomina O_{t} el operador de
ortogonalización temporal que asocia a x(t) una función
y(t) definida por su transformada de Fourier
Y(f):
Por construcción, se tiene:
o sea, por transformada de Fourier
inversa:
\left[\sum\limits_{n}\delta(\tau-2n\tau_{0})\right]
A_{y}(\tau,0) =
\delta(r)
o sea,
también
A_{y}(2\pi\tau_{0},0) = 0
\hskip1cm\forall n \neq 0
\hskip0,3cmy
\hskip0,3cmAy(0, 0) = 1
Por tanto, se realiza bien la ortogonalidad en el
eje temporal.
Sea x una función gausiana e y = O_{t}x.
Considérese la expresión:
Puesto que X es una gausiana, puede
escribirse:
X(f + mv_{0}) X'(f -
mv_{0}) =
c_{m}||X(f)||^{2}
donde c_{m} es una constante. De esto se deduce
que:
\Gamma_{y}(f,2mv_{0}) =
c_{m}\Gamma_{y}(f,0)
Por transformada de Fourier inversa, se
obtiene:
A_{y}(\tau,2mv_{0}) =
c_{m}A_{y}(\tau,0)
Por consiguiente:
\forall m, \forall n \neq 0
\hskip0,5cmA_{y}(2n\tau_{0}, 2mv_{0})=0
El operador de ortogonalización temporal O_{t}
ortogonaliza, por tanto, el conjunto de la red, con excepción del
eje de las frecuencias.
Teorema
1
Sea x una función gausiana e y = O_{t}x,
entonces:
\forall m, \forall n \neq 0
\hskip0,5cmA_{y}(2n\tau_{0}, 2mv_{0}) = 0
Sea una función x(t). Se denomina O_{f}
el operador de ortogonalización frecuencial que asocia a
x(t) una función y(t) definida por:
Por construcción, se tiene:
sea, por transformada de
Fourier:
o sea
también
A_{y}(0, 2mv_{0}) = 0
\hskip1cm\forall m \neq 0
\hskip0,3cmy
\hskip0,3cmA_{y}(0,0) =
Por tanto, se realiza bien la ortogonalidad en el
eje frecuencial.
Sea x una función gausiana y z = O_{f}y, con y
= O_{t}x. Considérese la expresión:
Puede escribirse, por tanto:
\gamma_{z}(t,2n\tau_{0}) =
\gamma_{y}(t,2n\tau_{0})P(t)
donde P(t) es una función periódica de
período \tau_{0} que admite un desarrollo en serie de Fourier
del tipo \suma_{k}e^{4i \pi
kv_{0}t}
Por transformada de Fourier, se obtiene:
A_{x}(2n\tau_{0},v) =
\sum\limits_{k}a_{k}A_{y}(2n\tau_{0},v-2kv_{0})
Ahora bien
Además, por construcción,
\forall m\neq 0,
\hskip0,5cmA_{z}(0, 2mv_{0}) = 0
Se tiene, por tanto, finalmente:
\forall (m, n) \neq (0,0),
\hskip0,5cmA_{z}(2n\tau_{0}, 2mv_{0}) = 0
Así, la función de ambigüedad de z se anula fuera
de (0,0) para todos los múltiplos de 2\tau_{0} y de 2v_{0}, o
sea una red de densidad 1/2.
Teorema
2
Sea x una función gausiana y z = O_{f}O_{t}x,
entonces:
\forall(m,n) \neq
(0,0),
\hskip0,5cmA_{z}(2n\tau_{0}, 2mv_{0})=0
A la vista de lo que precede, se ve claramente
que existe una escala tiempo-frecuencia que
simetriza la escritura de las ecuaciones: Basta para esto elegir
\tau_{0} = v_{0} = 1/\sqrt{2}. Se renormalizarán, por tanto,
las escalas en consecuencia, sin que esto perjudique a la
generalidad de las demostraciones.
Se denomina O el operador de ortogonalización que
asocia a una función x la función y definida por:
Además, en lo sucesivo se denominará F el
operador de transformada de Fourier.
Sea z = Oy e y = Ox. Puede escribirse:
Se tiene, por tanto, OOx = Ox, lo que demuestra
la idempotencia del operador O.
Del mismo modo, el operador dual F^{-1}OF es,
igualmente, idempotente, puesto que F^{-1}OFF^{-1}OF =
F^{-1}OOF = F^{-1}OF.
Sea P una función periódica de período
1/\sqrt{2} y D una distribución de la forma:
D(u) =
\sum\limits_{k}
a_{k}\delta(u-k\sqrt{2})
Sea x una función cualquiera:
[D *(Px)](u) =
\sum\limits_{k}
a_{k}P(u-k\sqrt{2})x(u-k\sqrt{2})=
P(u)\sum\limits_{k}
a_{k}x(u-k\sqrt{2}) = [P(D *
x)](u)
Lema
1
Sea P una función periódica de período
1/\sqrt{2} y D una distribución de la forma D(u) =
\sum\limits_{k}
a_{k}\delta(u-k\sqrt{2}). Sea x una
función cualquiera. Se tiene:
D * (Px) =
P(D*x)
Sea la función y_{\alpha} definida por
y_{\alpha} = D * x_{\alpha}, con x_{\alpha} =
(2\alpha)^{1/4} e^{-\pi \alpha u^{2}}, siendo D una
distribución de la forma D(u) =
\sum\limits_{k} a_{k}\delta(u-k\sqrt{2})
\sum\limits_{k} a_{k}\delta(u-k\sqrt{2})
Puede escribirse, por tanto: y_{\alpha} (u) =
\sum\limits_{k}a_{k}x_{\alpha}(u-k\sqrt{2})
Sea z_{\alpha} = Oy_{\alpha} Se tiene:
La suma debajo de la raíz puede escribirse:
Sea, también, por aplicación del resultado dado
en anexo:
Después, reorganizando los índices y redefiniendo
k como k + k'+ k'':
Puede escribirse, por tanto:
con:
Sea C_{0} = \frac{1}{\sqrt{c}}. Se tiene:
z_{\alpha} = c_{0}P_{\alpha}y_{\alpha} =
c_{0}P_{\alpha}(D * x), o sea, por aplicación del lema
1:
z_{\alpha} = c_{0}D *
(P_{\alpha}x_{\alpha})
Finalmente, puede escribirse:
O[D \text{*}
x_{\alpha}] = c_{0}D \text{*}
Ox_{\alpha}
\newpage
Lema
2
Sea x una gausiana y D una distribución de la
forma D(u) =
\sum\limits_{k}a_{k}\delta(u-k\sqrt{2}),
entonces:
O[D * x]= c_{0}D * Ox, donde c_{0} es
una constante positiva.
Se va a demostrar ahora que los operadores O y
F^{-1}OF conmutan cuando estos son aplicados a una gausiana.
Sea x_{\alpha} =
(2\alpha)^{1/4}e^{-\pi \alpha u^{2}}
Entonces Fx_{\alpha} = x_{1/\alpha}
y Ox_{\alpha} = P_{\alpha}x_{\alpha}
Habida cuenta del carácter periódico de
P_{\alpha}, su transformada de Fourier D_{\alpha} puede
escribirse:
D(u) =
\sum\limits_{k}a_{\alpha ,
k}\delta(u-k\sqrt{2})
Considérese la función z_{\alpha}, resultado de
la ortogonalización de y_{\alpha} por O, siendo y_{\alpha} el
resultado de la ortogonalización de x_{\alpha} por F^{-1}OF. Se
tiene, por tanto:
z_{\alpha} =
OF^{-1}OFx_{\alpha}
Por otra parte, se observará que:
- \bullet
- para cualquier función par x, F^{-1}x = Fx
- \bullet
- si c es una constante positiva, O[cx] = Ox
- \bullet
- para cualquier función real par x(u), Ox, Fx y F^{-1} son funciones reales pares.
Habida cuenta de estas observaciones, puede
escribirse:
OF^{-1}OFx_{\alpha} =
OF^{-1}Ox_{1/\alpha} = OF^{-1} [P_{1/\alpha}x_{1/ \alpha}] =
O[D_{1/\alpha} \text{*}
x_{\alpha}]
Por aplicación del lema 2:
O[D_{1/\alpha}
\text{*} x_{\alpha}] = c_{1}D_{1/\alpha} \text{*} Ox_{\alpha}=
c_{1}D_{1/ \alpha} \text{*}
(P_{\alpha}x_{\alpha})
siendo c_{1} una constante positiva. Se deduce
que:
OF^{-1}OFx_{\alpha}=
c_{1}D_{1/\alpha} \text{*}
(P_{\alpha}x_{\alpha})
Del mismo modo, puede escribirse:
F^{-1}OFOx_{\alpha}=
F^{-1}OF[P_{\alpha}x_{\alpha}] = F^{-1}O[D_{\alpha}
\text{*}
x_{1/\alpha}]
Por aplicación del lema 2:
O[D_{\alpha} \text{*}
x_{1/\alpha}] = c_{2}D_{\alpha} \text{*} Ox_{1/ \alpha} =
c_{2}D_{\alpha} \text{*}
(P_{1/\alpha}x_{1/\alpha})
Siendo c_{2} una constante positiva. Se deduce
que:
F^{-1}OFOx_{\alpha} =
c_{2}F^{-1}[D_{\alpha} \text{*} (P_{1/\alpha}x_{1/\alpha})] =
c_{2}P_{\alpha}(D_{1/\alpha} \text{*}
x_{\alpha})
Ahora bien, por aplicación del lema 1:
D_{1/\alpha} \text{*}
(P_{\alpha}x_{\alpha}) = P_{\alpha}(D_{1/\alpha} \text{*}
x_{\alpha})
Se tiene, por tanto:
c_{2}OF^{-1}OFx_{\alpha} =
c_{1}F^{-1}OFOx_{\alpha}
Ahora bien, OF^{-1}OFx_{\alpha} y
F^{-1}OFOx_{\alpha} son las dos de norma unidad y, por tanto,
son iguales.
Teorema
3
Para cualquier función gausiana x, los operadores
O y F^{-1}OF conmutan, o sea:
OF^{-1}OFx =
F^{-1}OFOx
Corolario
1
Sea z_{\alpha} = OF^{-1}OFx_{\alpha}, con
x_{\alpha} = (2\alpha)^{1/4} e^{-\pi \alpha u^{2}},
entonces Fz_{\alpha} = z_{1/ \alpha}
Demostración:
Fz_{\alpha} =
FF^{-1}OFOx_{\alpha} = OF^{-1}Ox_{\alpha} = OF^{-1}OFx_{1/\alpha} =
z_{1/\alpha}
Caso particular importante
Fz_{1} =
z_{1}
Esta función particular confiere una perfecta
simetría a los ejes tiempo y frecuencia, y constituye, por tanto, la
función prototipo de la transformada IOTA (Isotropic Orthogonal
Transform Algorithm). Esta función particular se representará por
\Im.
Corolario
2
Sea x una función gausiana y z = OF^{-1}OFx,
entonces Oz = z
Demostración:
Oz = OOF^{-1}OFx =
OF^{-1}OFx =
z
Corolario
3
Sea x una función gausiana y z = OF^{-1}OFx,
entonces F^{-1}OFz = z
Demostración:
F^{-1}OFz =
F^{-1}OFF^{-1}OFOx = F^{-1}OOFOx = F^{-1}OFOx =
z
Considérese el teorema 2, con la normalización
\tau_{0} = v_{0} = 1/\sqrt{2}. Entonces:
O_{f} = O
\hskip0,5cmy
\hskip0,5cmO_{t} = F^{-1}OF
Por consiguiente, el teorema 2 puede
escribirse:
Teorema
4
Sea x una función gausiana y z = F^{-1}OFOx,
entonces:
\forall(m, n) \neq 0,
\hskip0,5cmA_{z}(n \sqrt{2}, m \sqrt{2}) = 0
Hasta ahora, se han considerado bases
hilbertianas construidas en una red ortogonal de densidad 2. En este
capítulo se tratará de las bases hilbertianas construidas en una red
cualquiera de densidad 2.
De modo análogo a lo que se ha demostrado para
las redes ortogonales, en este apartado se indicará cómo construir
una base hilbertiana en una red cualquiera de densidad 2 a partir
de una función prototipo cuya función de ambigüedad se anula en una
red de densidad 1/2.
Considérese una red cualquiera de densidad 2,
generada a partir de los vectores de base (\tau_{1},v_{1}) y
(\tau_{2}, v_{2}), con
|v_{1}\tau_{1}-v_{2}\tau_{1}| = 1/2. Por convenio, se elegirá el orden de los vectores de base de tal modo que v_{2}\tau_{1}- v_{1}\tau_{2} = 1/2. Considérese una función x(t) tal que:
|v_{1}\tau_{1}-v_{2}\tau_{1}| = 1/2. Por convenio, se elegirá el orden de los vectores de base de tal modo que v_{2}\tau_{1}- v_{1}\tau_{2} = 1/2. Considérese una función x(t) tal que:
A_{x} (2n\tau_{1} +
2m\tau_{2}, 2nv_{1} + 2mv_{2}) =
0
cuya función de ambigüedad se anula, por tanto,
en una red de densidad 1/2. Considérese el conjunto de las funciones
{x_{m,n}} definidas
por:
x_{m,n}(t) = e^{i\phi_{m,n}}
e^{2i\pi(nv_{1} + mv_{2)}t}x(t - (n\tau_{1} +
m\tau_{2}))
calcúlese el producto escalar,
\langlex_{m,n}|x_{m',n'}\rangle o
sea:
\langle
x_{m,n}|x_{m',n'}\rangle = e^{i(\varphi_{m,n}-\varphi_{m',n'})}
e^{i\theta} A_{x}((n'-n)\tau_{1} +
(m'-m)\tau_{2}),(n'-n)v_{1} +
(m'-m)v_{2})
con \theta = \pi((n - n')v_{1} + (m -
m')v_{2})((n + n')\tau_{1} + (m + m')\tau_{2}) =
\pi((n^{2}- n'^{2})v_{1}\tau_{1} + (m^{2} -
m'^{2})v_{2}\tau_{2} + 2(mn -
m'n)v_{1}\tau_{2} + (m - m')(n +
n')v_{2}\tau_{1}
Ahora bien, v_{2}\tau_{1} -
v_{1}\tau_{2} = 1/2.
Sea \Psi_{m,n} =
\pi(n^{2}v_{1}\tau_{1} +
m^{2}v_{2}\tau_{1} + 2mnv_{1}\tau_{2}), se obtiene,
por tanto:
\theta = \Psi_{m,n} - \Psi_{m',n'} + (m
- m')(n + n')\pi/2.
Sea \varphi_{m,n} = (m + n)\pi/2 -
\Psi_{m,n}. El producto escalar
\langlex_{m,n}|x_{m',n'}\rangle_{R} se escribe,
finalmente:
Siendo la función de ambigüedad de x real, se
prestará interés a su coeficiente. Se encuentra el mismo término de
fase que en el caso de una red ortogonal. Por consiguiente, si (m,
n) \neq (m', n') módulo 2, el producto escalar es nulo. En caso
contrario, es, igualmente nulo en razón de la hipótesis hecha sobre
la función de ambigüedad de x.
Se dispone, por tanto, de un método general para
construir bases hilbertianas en redes cualesquiera en el plano
tiempo-frecuencia. Falta, por tanto, construir
funciones prototipos cuya función de ambigüedad presente las
propiedades requeridas.
Hasta ahora, se han encontrado ya operadores cuya
acción podía interpretarse fácilmente en el plano
tiempo-frecuencia, tales como los operadores de
ortogonalización, que crean puntos de anulación de la función de
ambigüedad en una red ortogonal de densidad 1/2. A continuación se
tratará de nuevos operadores, que efectúan cambios de coordenadas
en el plano tiempo-frecuencia. Esos operadores
permiten transformar una función prototipo cuya función de
ambigüedad se anula en una red ortogonal de densidad 1/2, en una
función prototipo cuya función de ambigüedad se anula en una red
cualquiera de densidad 1/2.
Sea un operador T que asocia a una función x la
función y = Tx tal que:
A_{y}((\tau,v)'M_{T}) =
A_{x}(\tau,v)
siendo M_{T} una matriz cuyo determinante es
igual a
1.
El operador T realiza, por tanto, un cambio de
coordenadas en el plano tiempo frecuencia caracterizado por la
matriz M_{\tau}
Se ha visto anteriormente que si X es la
transformada de x, o sea X = Fx, se tenía la relación:
A_{x}(v,-\tau) =
A_{x}(\tau,v)
La matriz característica correspondiente se
escribe, por tanto:
Esta matriz corresponde a una rotación de
-\pi/2 en el plano tiempo frecuencia.
Considérese el operador de desfasaje P^{\theta}
que asocia a una función x la función y tal que:
y(t) =
e^{i\theta}x(t)
Se tiene, evidentemente:
A_{y}(\tau,v) =
A_{x}(\tau,v)
y, por consiguiente, M_{p}\theta = I, siendo
I la matriz
identidad.
El operador de homotecia H_{\gamma} es el
operador que asocia a una función x(t) la función
y(t) definida por:
y(t) =
\frac{1}{\sqrt{|\gamma|}}x(t/\gamma)
siendo \gamma el factor de homotecia
considerado.
Se tiene, por tanto:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Sea u = t / \gamma. Si \gamma es
positivo:
Si \gamma es negativo:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
En los dos casos, A_{y}(\tau,v) =
A_{x} (\tau/\gamma, \gammav), o sea:
A_{y}(\gamma\tau, v /
\gamma) = A_{x}(\tau,
v)
Por consiguiente 56
Un método simple para modificar la función de
ambigüedad de una función consiste en multiplicarla por una señal de
wobulación. Se denomina W^{\beta} el operador de wobulación
temporal que asocia a una función x(t) la función y(t)
definida por:
y(t) =
x(t)e^{i\pi\beta
t^{2}}
Puede escribirse, entonces:
\gamma_{\gamma}(t,\tau) =
y(t + \tau/2)y\text{*} (t - \tau/2) = x(t +
\tau/2)x\text{*} (t - \tau/2) e^{2i\pi\beta u} =
\gamma_{x}(t,\tau)e^{2i\pi\beta
u}
o sea, por transformada de
Fourier:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
o
también:
A_{y}(\tau ,v + \beta\tau) =
A_{x}(\tau
,v)
por consiguiente
58
Considérese el conjunto de los operadores que
pueden ser generados por una conjugación finita de operadores de
base descritos anteriormente. Se observará, en primer lugar, que si
y = Tx = T_{1}T_{2} ... T_{n}x, se tiene, entonces,
también:
M_{T} = M_{T_{1}}M_{T_{2}}
...
M_{T_{n}}
De modo evidente, este conjunto provisto del
producto definido como la conjugación de los operadores tiene una
estructura de grupo.
La multiplicación de los operadores obedece a las
reglas siguientes:
F^{4} = I
F^{2} = H_{-1}
P^{\theta}P^{\theta'} = P^{\theta +
\theta'}
H_{\gamma}H_{\gamma'} = H_{\gamma
\gamma'}
W^{\beta}W^{\beta'} = W^{\beta +
\beta'}
Por otra parte, F^{2} y P^{\theta} conmutan
con todos los otros operadores. Finalmente, se observarán las
relaciones siguientes:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Sea u'=u/\gamma. Si \gamma es positivo:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Si \gamma es negativo:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
En los dos casos, se tiene, por tanto
H_{\gamma}F = FH_{1/\gamma}.
Del mismo modo:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Se tiene, por tanto H_{\gamma}W^{\beta} =
W^{\beta/\gamma^{2}}H_{\gamma}
Las reglas descritas anteriormente permiten
conmutar todos los operadores entre sí, con excepción de la
transformada de Fourier y del operador de wobulación. Las reglas
que permiten conmutar estos últimos operadores son más complejas y
pueden ser extrapoladas a partir del algoritmo "Chirp
Transform".
Se considera aquí una relación que liga los
operadores F, W y H. Sea \delta_{1}(u) =
\delta(u - t). Siendo los operadores considerados
lineales, sus propiedades pueden ser analizadas considerando su
acción sobre las distribuciones \delta_{1}, en virtud de la
relación:
x(t) = \int
x(u)\delta_{1}(u)du
\newpage
Se tiene:
Se tiene, finalmente:
FW^{1/\beta} F = P^{\pi/4}
W^{-\beta}FW^{-1/\beta}
H_{\beta}
Sea un elemento del conjunto de los operadores
definido anteriormente. Si este elemento no comprende ningún
operador F, éste puede reducirse, utilizando las reglas dadas en
4.4.1, a la forma:
T =
P^{\theta}H_{\gamma}W^{\alpha}
Si este elemento comprende solamente un operador
F, éste puede reducirse, aplicando las mismas reglas, a la
forma:
T =
P^{\theta}H_{\gamma}W^{\alpha}FW^{\beta}
Si este elemento comprende, al menos, dos
operadores F, éste puede reducirse a la forma:
T =
P^{\theta}H_{\gamma}W^{\alpha}FW^{\beta_{1}} ...
FW^{\beta_{n}}
Aplicando la regla dada en 4.4.2, pueden
delimitarse de modo iterativo los operadores F y obtener finalmente
una representación que comprende solamente un operador. En resumen,
todos los elementos del grupo pueden escribirse en una de las dos
representaciones dadas anteriormente.
Sea T un elemento del grupo que se escribe en el
primer tipo de representación. Su matriz característica se
escribe:
Sea T un elemento del grupo que se escribe en el
segundo tipo de representación. Su matriz característica se
escribe:
Inversamente, sea una matriz M_{T} cualquiera
de determinante unidad. Ésta puede asociarse a un operador descrito
en su representación canónica:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Si c=0, se puede asociar a esta matriz un
operador de primer tipo, con:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Si c \neq 0, se puede asociar a esta matriz un
operador de segundo tipo, con
Obsérvese que, evidentemente, subsiste una
indeterminación total en lo que concierne a \theta.
Los métodos que se han descrito anteriormente dan
un método general de construcción de una base hilbertiana en una red
cualquiera. Considérese una red cualquiera de densidad 2, generada a
partir de los vectores de base (\tau_{1}, v_{1}) y
(\tau_{2}, v_{2}) con v_{2}\tau_{1} -
v_{1}\tau_{2} = 1/2. Se considera una función x(t) tal
que:
\forall(m,n) \neq (0,
0), A_{x}(n \sqrt{2}, m \sqrt{2}) =
0
La función x puede ser, en la práctica, la
función prototipo de la OQAM, OMSK o una cualquiera de las
funciones obtenidas por ortogonalización de gausianas, como se
indicó en el capítulo 3 y, en particular, la función IOTA.
Sea T un operador de matriz característica
M_{T} definida por:
e y = Tx. Entonces, \forall(m,n)
\neq (0,
0):
A_{y} (2n\tau_{1} +
2m\tau_{2}, 2nv_{1} + 2mv_{2}) = A_{y} ((n \sqrt{2}, m
\sqrt{2})'M_{T}) = A_{x} ((n \sqrt{2}, m \sqrt{2}) =
(0,0)
Considérese el conjunto de las funciones
{y_{m,n}} definidas por:
y_{m,n} (t) =
e^{i\varphi_{m,n}} e^{2i\pi(nv_{1} +mv_{2})t} y(t -
(n\tau_{1} +
m\tau_{2}))
con \varphi_{m,n} = (m + n)\pi/2 -
\pi(n^{2}v_{1}\tau_{1}+
m^{2}v_{2}\tau_{2}+
2mnv_{1}\tau_{2})
De acuerdo con lo que se ha demostrado en 4.1, el
conjunto de las funciones {y_{m,n}} constituye una base
hilbertiana. Se dispone, por tanto, de un método general para
construir bases hilbertianas en redes cualesquiera en el plano
tiempo-frecuencia.
Aunque el método general descrito anteriormente
presenta un interés académico evidente, su aplicación práctica pone
de manifiesto ciertas dificultades. Por una parte, en el caso
general, los algoritmos de desmodulación son muy complicados por la
estructura oblicua de la red de las funciones de base. Por otra, la
función prototipo obtenida es, generalmente, compleja, lo que
aumenta todavía la complejidad.
Por tanto, puede preguntarse legítimamente si
esta generalización presenta algún interés práctico. El objeto de
este apartado es aportar una respuesta completa a esta
pregunta.
Considérese el conjunto de las bases hilbertianas
generadas de acuerdo con el método expuesto anteriormente. En el
interior de este conjunto se buscan las bases hilbertianas cuya
función prototipo sea real par. La función de ambigüedad presenta,
entonces, las simetrías siguientes:
y
Se tiene, por tanto, A_{x}(\tau,v) =
A_{x}(-\tau,v) = A_{x}(- \tau,-v). Estas simetrías de la
función de ambigüedad solamente pueden obtenerse si la red de
anulación de esta función presenta las mismas simetrías. Ahora
bien, estas condiciones solamente se verifican para dos tipos de
redes: la red ortogonal en la cual se basan todas las modulaciones
consideradas hasta ahora, y la red dispuesta al tresbolillo.
La red ortogonal es generada por los vectores de
base (\tau_{1}, v_{1}) = (1/\sqrt{2}, 0) y
(\tau_{2}v_{2}) = (0, 1/\sqrt{2}). La red dispuesta al
tresbolillo, es generada por los vectores (\tau_{1},v_{1}) =
(1/2,-1/2) y (\tau_{2},v_{2}) = (1/2,1/2). Se pasa de una red
a otra por una rotación de ángulo -\pi/4. Por este motivo, en lo
que sigue se concede un interés muy particular a los operadores que
realizan una rotación en el plano
tiempo-frecuencia.
Considérese que el conjunto de los operadores
cuya matriz característica es una rotación en el plano
tiempo-frecuencia:
Se ha visto ya que el operador de transformada de
Fourier F correspondía a una rotación de ángulo \varphi =
-\pi/2, mientras que el operador F^{3} = F^{-1} correspondía
a una rotación de ángulo \varphi = \pi/2.
Considérese un operador de la forma:
P^{\theta}FW^{\alpha}H_{\gamma}FW^{\beta}
Su matriz característica se escribe:
Haciendo \gamma = -cos\varphi y \alpha =
\beta = tg\varphi, se obtiene una matriz de rotación de ángulo
\varphi. El parámetro \theta se mantiene indeterminado. Para
salvar esta indeterminación, se impondrá que este operador deje
invariante la función gausiana
x(u) = e^{-\pi n^{2}}, o sea:
x(u) = e^{-\pi n^{2}}, o sea:
El término \varphi_{mod
\;\pi} designa el valor comprendido entre -\pi/2 y \pi/2 que es congruente con \varphi módulo \pi. Se puede escribir:
Finalmente, puede escribirse:
P^{-\varphi _{mod \
\pi^{/2}}} FW^{tg\varphi} H_{-cos\varphi} FW^{tg\varphi} x(u)
=
x(u)
Se denomina R^{\varphi} el operador de rotación
en el plano tiempo-frecuencia de ángulo \varphi
definido por:
Sea un número real \alpha. Se define,
igualmente, la potencia fraccionaria del operador F por la
relación:
F^{\alpha} =
R^{-\alpha\pi/2}
El conjunto de operadores así definido tiene una
estructura de grupo conmutativo isomorfo en el grupo de las
rotaciones del plano. La notación de exponente del operador F
verifica todas las propiedades "habituales" de un
exponente.
Considérese una función prototipo x(t)
real par que permita generar una base hilbertiana en la red
ortogonal, y la función y(t) definida por:
y =
F^{1/2}x
donde F^{1/2} es el operador raíz cuadrada de
la transformada de Fourier como el definido anteriormente. A nivel
de las funciones de ambigüedad, este operador realiza una rotación
de ángulo -\pi/4 en el plano tiempo frecuencia. Para que la
función y(t) sea real par, es necesario que su función de
ambigüedad presente una simetría con respecto a los ejes tiempo y
frecuencia. Esto implica, por tanto, que la función x(t)
presente, además de la simetría con respecto a los ejes tiempo y
frecuencia, una simetría con respecto a las diagonales del plano
tiempo-frecuencia. Una propiedad de este tipo
solamente puede verificarse si la función x(t) es idéntica a
su transformada de Fourier. Ahora bien, se conoce solamente una
función que tiene esta propiedad, que es la función
IOTA.
La función IOTA \pi/4 se define por la
relación:
\Im^{\pi/4} =
F^{1/2}\Im
Esta función es, por construcción, real y par. La
función de ambigüedad de esta función se anula, por tanto, en la
red dispuesta al tresbolillo generada por los vectores
(\tau_{1}, v_{1}) = (1/2, -1/2) y (\tau_{2}, v_{2}) =
(1/2, 1/2). De acuerdo con 4.1., se deduce que el conjunto de las
funciones {\Im^{\pi/2}_{m,n}} definido por:
{\Im^{\pi/4}_{m,n}\} (t) =
e^{i\varphi_{m,n}} e^{i\pi (m+n)t} \Im^{\pi/4}(t - (m -
n)/2)
con \phi_{m,n} = (m + n - mn - (m^{2} -
n^{2})/2)\pi/2
constituye una base hilbertiana.
Redefiniendo los índices, puede rescribirse la
definición de este conjunto del modo siguiente:
{\Im^{\pi/4}_{m,n}\} (t) =
e^{i\phi_{m,n}} e^{i\pi mt}\Im^{\pi/4}(t - n/2), m + n \
par
con \varphi_{m,n} = (m - mn / 2 + (n^{2} -
m^{2})/4)\pi/2
Anexo
6
Se observará la identidad:
(u - a) ^{2} + (u -
b) ^{2} = 2u^{2}- 2au - 2bu + a^{2}+ b^{2}
=
2\left[u^{2} - au -
bu + \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} +
\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\right] = 2
\left[\left(u - \frac{a+b}{2}\right)^{2} +
\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\right]
Sea una función gausiana x definida por:
x(u) = (2\alpha)
^{1/4}e^{-\pi\alpha
u^{2}}
El producto x(u - a)x(u - b)
puede, por tanto, escribirse:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Finalmente, puede escribirse:
Anexo
4
En los dos capítulos precedentes, se han
considerado las funciones de L^{2}(R). En la práctica, el
tratamiento numérico de las señales supone pasar al ámbito
discreto.
Las señales utilizadas en la práctica son
consideradas siempre como limitadas a la vez en el ámbito temporal
y el ámbito frecuencial, aunque esta hipótesis sea una
imposibilidad teórica notoria. Sin embargo, este obstáculo puede
contornearse, y representar señales mediante un conjunto finito de
valores discretos aplicando el método siguiente:
Supóngase que se trata de una señal compleja
x(t) cualquiera en un espacio limitado a [0,T] en el ámbito
temporal y a [-W/2, W/2] en el ámbito frecuencial. Restringiéndose
al caso en que el producto WT es entero, a esta señal puede
asociarse un vector \upbar{x} de coordenadas x_{p} con
x_{p} = \sum\limits^{+\infty}\limits_{q =
-\infty} x (p/W + qT), variando p de 0 a WT-1
La suma según el índice q efectúa un solapamiento
temporal y, por tanto, "periodiza" la señal en el tiempo,
mientras que el muestreo "periodiza" la señal en
frecuencia.
Sea y(t) = x(t)e^{2i \pi
mt/T}
Puede escribirse:
Se observará que este resultado perfectamente
"natural" se obtiene solamente a costa de una elección
particular de la frecuencia de modulación, que elimina todos los
problemas de solapamiento. Del mismo modo, si se considera una
traslación del tipo y(t) = x(t - n/W), puede
escribirse:
De manera general, la elección de las estructuras
de muestreo temporal y frecuencial que sean, respectivamente,
múltiplos de 1/W y de 1/T garantiza un solapamiento armonioso de las
señales, y permite una escritura en el ámbito discreto que sea
directamente equivalente a la del ámbito continuo.
Considérese, finalmente, el producto escalar de
dos vectores \upbar{x} e \upbar{y}. Puede escribirse:
Se buscará aquí una primera transformada que
deriva de los resultados obtenidos en el capítulo "el
procedimiento teórico", y basada en la función IOTA.
Considérese aquí una transformada
"normalizada", es decir, construida sobre la base de la red de
tipo (n/\sqrt{2}, m/\sqrt{2}) descrita anteriormente. Se podrá
llegar siempre a esta situación por la acción previa del operador de
homotecia adecuado. Sea la base hilbertiana {\Im_{m,n}}
definida por:
\Im_{m,n}(t) =
e^{i\varphi_{m,n}} e^{\sqrt{2i\pi mt}} \Im
(t-\frac{n}{\sqrt{2}})
con \varphi_{m,n} = (m +
n)\pi/2
Se observará que puede elegirse alternativamente
la formulación siguiente:
correspondiendo esta modificación a una eventual
inversión de signo de las funciones de base. La transformada IOTA de
una señal s(t) de transformada de Fourier S(f) está
definida, entonces, por las
relaciones:
siendo las transformadas inversas
:
Tómese T igual a N \sqrt{2} y W igual a M
\sqrt{2}. Esta elección garantiza la ausencia de problemas de
solapamiento. Considérese una función de base \Im_{m,n}. A esta
función puede asociarse el vector \overline{\Im}_{m,n} de
coordenadas \Im_{m,n,p} con:
Sea un producto escalar del tipo
\langle\overline{\Im}_{m,n}|\overline{\Im}_{m',n'}\rangle_{a}.
Habida cuenta de las propiedades de ortogonalidad de las
trasladadas tiempo-frecuencia de la función IOTA,
este producto escalar es nulo si (m,n) \neq (m',n') mod (2M, 2N).
En lo que concierne a la norma de los vectores
\overline{\Im}_{m,n}, puede escribirse:
Habida cuenta de estas observaciones, puede
definirse la transformada IOTA discreta del modo siguiente:
Sean M y N dos enteros cualesquiera. Considérense
4MN vectores de dimensión 2MN, ortogonales en el sentido del
producto escalar real, y definidos del modo siguiente:
variando m de 0 a 2M-1, n de
0 a 2N-1 y p de 0 a
2MN-1
Sea \overline{s} un vector complejo de
dimensión 2MN. Éste Puede descomponerse en la forma:
S_{p} = \sum\limits_{m =
0}^{2M-1} \sum\limits_{n =
0}^{2N-1}a_{m,n}\Im_{m,n,p}, variando p de 0
a 2MN - 1, con:
La matriz {a_{m,n}} es la transformada IOTA del
vector \overline{s}.
Considérese aquí una transformada
"normalizada", es decir, construida sobre la base de la red
normalizada dispuesta al tresbolillo descrita anteriormente. A esta
situación podrá llegarse siempre por la acción previa del operador
de homotecia adecuado. Sea la base hilbertiana {\Im_{m,n}^{\pi
/4}} definida por:
con \varphi_{m,n} = (n - mn/2 +
(n^{2}-m^{2})/4)\pi/2
Se verifica fácilmente que puede elegirse
alternativamente la formulación siguiente:
correspondiendo esta modificación a una eventual
inversión de signo de las funciones de base. La transformada IOTA
\pi/4 de una señal s(t) de transformada de Fourier
S(f) viene definida, entonces, por las
relaciones:
las transformadas inversas
son:
Tómese T igual a 2N y W igual a 2M. Esta elección
garantiza la ausencia de problemas de solapamiento. Considérese una
función de base \Im_{m,n}^{\pi/4}. A esta función puede
asociarse el vector \overline{\Im}_{m,n}^{\pi/4} de coordenadas
\Im_{m,n,p}^{\pi/4} con:
Sea un producto escalar del tipo
\langle\vec{\Im}_{m,n}^{\pi/4}|\vec{\Im}_{m',n'}^{\pi/4}\rangle.
Habida cuenta de las propiedades de ortogonalidad de las
trasladadas tiempo-frecuencia de la función IOTA,
este producto escalar es nulo si (m, n) \neq (m', n') mod (2M,
2N). En lo que concierne a la norma de los vectores
\overline{\Im}_{m,n,p}^{\pi/4}, puede escribirse:
Habida cuenta de estas observaciones, la
transformada IOTA \pi/4 discreta puede definirse del modo
siguiente:
Sean M y N dos enteros cualesquiera. Considérense
8MN vectores de dimensión 4MN, ortogonales en el sentido del
producto escalar real, y definidos del modo siguiente:
variando m de 0 a 4M-1, n de 0 a
4N-1 con m+n par y variando p de 0 a
4MN-1.
Sea \overline{s} un vector complejo de
dimensión 4 MN. Éste puede descomponerse en la forma:
La matriz {a_{m,n}} es la transformada IOTA
\pi/4 del vector \overline{s}.
Considérese una modulación de tipo multiportadora
IOTA caracterizada por la ecuación de la señal emitida:
s(t)=
\sum\limits_{m,n}a_{m,n}\Im_{m,n}(t)
Sea un canal de transmisión caracterizado por su
función de transferencia variable T(f, t). La señal recibida
r(t) se escribe:
r(t) = \int
S(f)T(f,t)e^{2i \pi
ft}df
El desmodulador óptimo estima la función de
transferencia T(f,t) por medios que no se describen en esta
fase. Para desmodular la señal propiamente dicha, se asimila
localmente el canal a un canal multiplicativo caracterizado por una
amplitud y una fase correspondientes al valor de T(f,t) para
el instante y la frecuencia considerados. Para estimar a_{m,n},
la señal recibida se asimila, por tanto, a la señal:
Sea:
T(m /\sqrt{2}, n/
\sqrt{2}) = \rho_{m,n}e^{i\theta
_{m,n}}
El desmodulador efectúa, por tanto, el
tratamiento siguiente:
\overline{a}_{m,n} = \Re
e\int
r(t)e^{-i\theta_{m,n}}\Im^{\text{*}}_{m,n}(t)dt
En el caso de un canal estacionario de función de
transferencia \rhoe^{i\theta}, se tiene, evidentemente:
\overline{a}_{m,n} = \rho
a_{m,n}
En la práctica, el tratamiento se efectúa en
forma numérica. Se obtiene:
Se hace, entonces, p = k + 2Mr, variando k de 0 a
2M-1 y r de 0 a N-1:
Esta ecuación muestra que puede utilizarse un
algoritmo rápido de desmodulación que comprende los tratamientos
siguientes:
- \bullet
- prefiltrado de la señal recibida por la función prototipo
- \bullet
- solapamiento de la forma de onda filtrada módulo 2M
- \bullet
- FFT de dimensión 2M puntos complejos
- \bullet
- corrección de la fase \theta_{m,n} + \varphi_{m,n}
- \bullet
- selección de la parte real
Este algoritmo permite, por tanto, calcular
globalmente todos los coeficientes de un índice n dado. El orden de
magnitud de la complejidad correspondiente es, aproximadamente, el
doble del orden de magnitud del algoritmo utilizado para la
OFDM.
Considérese una modulación de tipo multiportadora
IOTA \pi/4 caracteriza- da por la ecuación de la señal
emitida:
Como anteriormente, el desmodulador efectúa el
tratamiento siguiente:
En la práctica, el tratamiento se efectúa en
forma numérica. Se obtiene:
Se hace, entonces, p = k + 4Mr, variando k de 0 a
4M-1 y r de 0 a N-1:
Esta ecuación muestra que puede utilizarse un
algoritmo rápido de desmodulación que comprende los tratamientos
siguientes:
- \bullet
- prefiltrado de la señal recibida por la función prototipo \Im^{\pi/4}
- \bullet
- solapamiento de la forma de onda filtrada módulo 4M
- \bullet
- FFT de dimensión 4M puntos complejos. En la práctica, basta calcular según la paridad de n los puntos pares o impares. Esta FFT parcial se efectúa decimando en una relación 2 las muestras después del primer banco de mariposas, lo que equivale a un simple prefiltrado complementario (suma o diferencia de muestras). Se llega, entonces, a una FFT de dimensión 2M puntos.
- \bullet
- corrección de la fase \theta_{m,n} + \varphi_{m,n}
- \bullet
- selección de la parte real
Este algoritmo permite, por tanto, calcular
globalmente todos los coeficientes de un índice n dado. El orden de
magnitud de la complejidad correspondiente es, aproximadamente, el
doble del orden de magnitud del algoritmo utilizado para la
0FDM.
Claims (11)
1. Señal multiportadora s(t) destinada a
ser transmitida a receptores digitales, especialmente en un canal
de transmisión no estacionario, correspondiente al multiplexado en
frecuencia de varias portadoras elementales, correspondientes, cada
una, a una serie de símbolos,
siendo asignado cada símbolo a una portadora
durante un tiempo símbolo \tau_{0} y siendo el espaciamiento
entre dos portadoras contiguas igual a v_{0},
caracterizado porque la citada red
tiempo-frecuencia utilizada es una red dispuesta al
tresbolillo, en la cual:
- el citado tiempo símbolo \tau_{0} es igual
a la cuarta parte de la inversa del citado espaciamiento v_{0}
entre dos portadoras contiguas;
- dos símbolos consecutivos emitidos en una misma
portadora están espaciados dos tiempos símbolo \tau_{0}; y
- los símbolos emitidos en dos portadoras
adyacentes están desplazados el tiempo símbolo \tau_{0}.
2. Señal de acuerdo con la reivindicación 1,
caracterizada porque cada una de las citadas portadoras es
sometida a un filtrado de puesta en forma de su espectro elegido de
modo que cada símbolo esté firmemente concentrado a la vez en el
ámbito temporal y en el ámbito frecuencial.
3. Señal de acuerdo con una cualquiera de las
reivindicaciones 1 a 2, caracterizada porque su envolvente
compleja responde a la ecuación siguiente:
s(t) =
\sum\limits_{m+n \
par}a_{m,n}x_{m,n}(t)
donde:
a_{m,n} es un coeficiente real representativo
de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación
predeterminado;
m es un entero que representa la dimensión
frecuencial;
n es un entero que representa la dimensión
temporal;
t representa el tiempo;
x_{m,n}(t) es una función de base,
trasladada en el espacio tiempo-frecuencia, de una
misma función prototipo x(t) que toma valores reales o
complejos, o sea:
x_{m,n}(t) = e^{i \varphi
m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0} \tau + \varphi)} \
x(t-n\tau_{0})
\hskip0,5cmcon v_{0} \tau_{0} = 1/4
con \varphi_{m,n} = (m + n + mn + (n^{2}
- m^{2}) / 2)\pi /
2
donde \varphi es un parámetro de fase
arbitrario,
y donde la citadas funciones de base {x_{m,n}}
son ortogonales entre sí, siendo la parte real del producto escalar
de dos funciones de base diferentes, nula.
4. Señal de acuerdo con la reivindicación 3,
caracterizada porque la citada función prototipo x(t)
correspondiente a la rotación de 45º en el plano
tiempo-frecuencia de una función prototipo permite
definir una base hilbertiana en una red
tiempo-frecuencia ortogonal de densidad 1/2.
5. Señal de acuerdo con la reivindicación 4,
caracterizada porque la citada función prototipo x(t)
es obtenida por aplicación del operador F^{1/2}, correspondiente a
la raíz cuadrada de una transformada de Fourier, a la citada función
prototipo que permite definir una base hilbertiana en una red
tiempo-frecuencia ortogonal de densidad 1/2.
6. Señal de acuerdo con una cualquiera de las
reivindicaciones 4 y 5, caracterizada porque la citada
función prototipo x(t) es una función idéntica a su
transformada de Fourier.
7. Señal de acuerdo con la reivindicación 6,
caracterizada porque la citada función prototipo x(t)
es la función prototipo \Im.
8. Procedimiento de transmisión de una señal
digital, especialmente, en un canal de transmisión no estacionario,
caracterizado porque comprende las etapas siguientes:
- codificación en el canal (92) de una señal
digital que hay que transmitir, que facilita coeficientes numéricos
reales a_{m,n} elegidos en un alfabeto predeterminado;
- construcción (94) de una señal s(t) que
responde a la ecuación siguiente:
s(t) =
\sum\limits_{m+n \
par}a_{m,n}x_{m,n}(t)
donde:
- \bullet m es un entero que representa la dimensión frecuencial;
- \bullet n es un entero que representa la dimensión temporal;
- \bullet t representa el tiempo;
- \bullet x_{m,n}(t) es una función de base, trasladada en el espacio tiempo-frecuencia, de una misma función prototipo x(t) par que toma valores reales o complejos, o sea:
x_{m,n}(t) = e^{i \varphi
m,n} \ e^{i(2 \pi m v_{0} t + \varphi)} \
x(t-n\tau_{0})
\hskip0,5cmcon v_{0} \tau_{0} = 1/4
donde \varphi es un parámetro de fase
arbitrario,
siendo las citadas funciones de base {x_{m,n}}
son ortogonales entre sí, y siendo la parte real del producto
escalar de dos funciones de base diferentes nula.
- emisión (911), al menos, a un receptor de una
señal que tiene por envolvente compleja la citada señal
s(t).
9. Procedimiento de acuerdo con la reivindicación
8, caracterizado porque comprende una etapa de
entrelazamiento en frecuencia y/o en tiempo (93), aplicada a los
elementos binarios que forman la citada señal digital que hay que
transmitir y/o a los coeficientes numéricos a_{m,n}.
10. Procedimiento de recepción de una señal
multiportadora s(t) destinada a ser transmitida a receptores
digitales, especialmente, en un canal de transmisión no
estacionario, que corresponde al multiplexado en frecuencia de
varias portadoras elementales, correspondientes, cada una, a una
serie de símbolos,
siendo asignado cada símbolo a una portadora
durante un tiempo símbolo \tau_{0} y siendo el espaciamiento
entre dos portadoras contiguas igual a v_{0},
caracterizado porque la citada red
tiempo-frecuencia utilizada es una red dispuesta al
trebolillo en la cual:
- el citado tiempo símbolo \tau_{0} es igual
a la cuarta parte de la inversa del citado espaciamiento
v_{0}entre dos portadoras contiguas;
- dos símbolos consecutivos emitidos en una misma
portadora están espaciados dos tiempos símbolos \tau_{0}; y
- los símbolos emitidos en dos portadoras
adyacentes están desfasados el tiempo símbolo \tau_{0},
y porque comprende las etapas siguientes:
- recepción de una señal que tiene por envolvente
compleja una señal r(t) correspondiente a la señal
s(t) en la emisión:
- estimación (106) de la respuesta del canal de
transmisión, que comprende una estimación de la respuesta en fase
\theta_{m,a} y de la respuesta en amplitud \rho_{m,n};
- desmodulación de la citada señal r(t),
que comprende las etapas siguientes:
- multiplicación (111) de la citada señal
r(t) por la función prototipo x(t);
- solapamiento (113) de la forma de onda filtrada
módulo 2\tau_{0};
- aplicación (114) de una transformada de Fourier
(FFT);
- selección de las muestras para las cuales m+n
es par;
- corrección (115) de la fase \theta_{m,n}
inducida por el canal de transmisión;
- corrección (117) de la fase correspondiente al
término e^{i\varphi_{m,n}};
- selección (118) de la parte real del
coeficiente obtenido \overline{a}_{m,n} correspondiente al
coeficiente a_{m,n} emitido ponderado por la respuesta en amplitud
\rho_{m,n} del canal de transmisión.
11. Procedimiento de acuerdo con la
reivindicación 10, caracterizado porque comprende, al menos,
una de las etapas siguientes:
- desentrelazamiento (108) en frecuencia y/o en
tiempo de los citados coeficientes numéricos reales
\overline{a}_{m,n} y, eventualmente, de los valores
correspondientes \rho_{m,n} de la respuesta de la amplitud del
canal, siendo el citado desentrelazamiento simétrico de un
entrelazamiento puesto en práctica durante la emisión;
- descodificación (109) en decisión ponderada
adaptada a la codificación en el canal puesta en práctica durante
la emisión.
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Families Citing this family (24)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
US7054504B2 (en) * | 1999-02-25 | 2006-05-30 | Ludwig Lester F | Relative optical path phase reconstruction in the correction of misfocused images using fractional powers of the fourier transform |
JP4284774B2 (ja) * | 1999-09-07 | 2009-06-24 | ソニー株式会社 | 送信装置、受信装置、通信システム、送信方法及び通信方法 |
FR2799073B1 (fr) * | 1999-09-29 | 2002-01-18 | France Telecom | Procede de transmission d'un signal bfdm/oqam, procedes de modulation et de demodulation et dispositif correspondants |
US7072412B1 (en) | 1999-11-09 | 2006-07-04 | Maurice Bellanger | Multicarrier digital transmission system using an OQAM transmultiplexer |
FR2800954B1 (fr) * | 1999-11-09 | 2001-12-28 | Maurice Bellanger | Systeme de transmission numerique multiporteuse utilisant un transmultiplexeur oqam |
US6289000B1 (en) * | 2000-05-19 | 2001-09-11 | Intellon Corporation | Frame control encoder/decoder for robust OFDM frame transmissions |
FR2814303A1 (fr) * | 2000-09-20 | 2002-03-22 | France Telecom | Signal multiporteuse a symbole de reference concu pour limiter l'interference, procede de reception, procede de construction, recepteur et dispositif correspondants |
WO2003017508A1 (en) * | 2001-08-20 | 2003-02-27 | Qualcomm Incorporated | Transmitter system and method for a wireless communication system |
FR2834596B1 (fr) * | 2002-01-10 | 2004-03-12 | Wavecom Sa | Procede de gestion de communications dans un reseau, signal, dispositif emetteur et terminal recepteur correspondants |
KR100515496B1 (ko) * | 2002-12-23 | 2005-09-20 | 브이케이 주식회사 | 다중반송파 코드분할 다중접속에서의 스크램블링 시스템및 방법, 그 프로그램이 저장된 기록매체 |
AU2003231522A1 (en) * | 2003-04-30 | 2004-11-23 | Dequn Liang | A multi-modulation transmitting method |
FR2855000B1 (fr) * | 2003-05-14 | 2005-08-12 | Wavecom | Procede de reception d'un signal multiporteuse mettant en oeuvre une determination du format du filtrage de mise en forme et recepteur correspondant |
US7103106B2 (en) * | 2003-06-16 | 2006-09-05 | Motorola, Inc. | System and method for generating a modified IOTA pulse for reducing adjacent channel interference (ACI) in an isotropic orthogonal transfer algorithm (IOTA) orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) system |
WO2005122459A2 (en) * | 2004-06-10 | 2005-12-22 | Koninklijke Philips Electronics N.V. | Transmitting signals via at least two channels simultaneously |
WO2006004980A1 (en) * | 2004-06-28 | 2006-01-12 | The Board Of Trustees Of The Leland Stanford Junior University | Method for pulse shape design for ofdm |
FR2890808A1 (fr) * | 2005-09-13 | 2007-03-16 | France Telecom | Caracterisation de spectre pour equipements de communication |
US7970081B2 (en) * | 2006-05-11 | 2011-06-28 | Telefonaktiebolaget Lm Ericsson (Publ) | Delay-doppler channel response demodulation method and apparatus |
US8259845B2 (en) * | 2007-05-25 | 2012-09-04 | Telefonaktiebolaget L M Ericsson (Publ) | Method and apparatus for communicating with root-nyquist, self-transform pulse shapes |
WO2009018980A2 (de) * | 2007-08-03 | 2009-02-12 | Oliver Bartels | Funkgerät mit mehrträgerübertragung |
FR2972091A1 (fr) * | 2011-02-28 | 2012-08-31 | France Telecom | Procede de modulation d'un signal multiporteuse de type oqam, programme d'ordinateur et modulateur correspondants |
FR2985152A1 (fr) | 2011-12-23 | 2013-06-28 | France Telecom | Procede de groupement de couples emetteur-recepteur pour communiquer sur un reseau de communications |
FR2985134A1 (fr) * | 2011-12-23 | 2013-06-28 | France Telecom | Procede d'emission d'au moins un signal multi-porteuse forme de symboles ofdm-oqam |
FR3054941B1 (fr) * | 2016-08-05 | 2018-08-31 | Airbus Defence And Space Sas | Procede et systeme de detection de signaux utiles a derives frequentielles respectives non negligeables dans un signal global |
EP3537678B1 (en) * | 2018-03-08 | 2022-05-04 | Institut Mines Telecom - IMT Atlantique - Bretagne - Pays de la Loire | Pseudo-guard intervals insertion in an fbmc transmitter |
Family Cites Families (3)
Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
---|---|---|---|---|
FR2733869B1 (fr) | 1995-05-02 | 1997-07-18 | France Telecom | Signal multiporteuse, procede de construction d'un tel signal et procedes d'emission et de reception correspondants |
US5790516A (en) * | 1995-07-14 | 1998-08-04 | Telefonaktiebolaget Lm Ericsson | Pulse shaping for data transmission in an orthogonal frequency division multiplexed system |
US6523147B1 (en) * | 1999-11-11 | 2003-02-18 | Ibiquity Digital Corporation | Method and apparatus for forward error correction coding for an AM in-band on-channel digital audio broadcasting system |
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1997
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