ES2225882T3 - Señal digital multiportadora y metodo de transmision y recepcion para la misma. - Google Patents
Señal digital multiportadora y metodo de transmision y recepcion para la misma.Info
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Abstract
LA INVENCION SE REFIERE A UNA SEÑAL MULTIPORTADORA DESTINADA A SER TRANSMITIDA A RECEPTORES DIGITALES, PARTICULARMENTE EN UN CANAL DE TRANSMISION NO ESTACIONARIO, QUE CORRESPONDE AL MULTIPLEXADO EN FRECUENCIA DE VARIAS PORTADORAS ELEMENTALES QUE CORRESPONDEN CADA UNA A UNA SERIE DE SIMBOLOS, ESTANDO DOS SIMBOLOS CONSECUTIVOS SEPARADOS POR UN TIEMPO DE SIMBOLO R SUB,0}, CARACTERIZADA PORQUE, POR UNA PARTE, LA SEPARACION V SUB,0} ENTRE DOS PORTADORAS ADYACENTES ES IGUAL A LA MITAD DE LA INVERSA DEL TIEMPO DE SIMBOLO R SUB,0}, Y POR OTRA PARTE, CADA PORTADORA ES SOMETIDA A UN FILTRADO DE CONFORMACION DE SU ESPECTRO QUE PRESENTA UN ANCHO DE BANDA ESTRICTAMENTE SUPERIOR A DOS VECES DICHA SEPARACION ENTRE PORTADORAS V SUB,0}, Y ELEGIDO PARA QUE CADA SIMBOLO ESTE FUERTEMENTE CONCENTRADO EN EL CAMPO TEMPORAL Y EN EL CAMPO FRECUENCIAL. LA INVENCION SE REFIERE TAMBIEN A LOS PROCEDIMIENTOS DE EMISION Y DE RECEPCION DE ESA SEÑAL.
Description
Señal digital multiportadora y método de
transmisión y recepción para la misma.
El dominio del invento es el de la transmisión o
de la difusión de datos numéricos, o de datos analógicos y
muestreados, destinados a ser recibidos en particular por móviles.
Más precisamente, el invento se refiere a señales producidas con
ayuda de nuevas modulaciones, así como a las técnicas de modulación
y de desmodulación correspondientes.
Desde hace varios años, se busca construir
modulaciones adaptadas a canales que no son muy estacionarios, tales
como los canales de transmisión hacia móviles. En tales canales, la
señal emitida es afectada de desvanecimientos y de trayectos
múltiples. Los trabajos llevados a cabo por la CCETT en el macro del
proyecto europeo EUREKA 147 (DAB: Radiodifusión Digital de Audio, o
Difusión Audionumérica) han mostrado el interés, para este tipo de
canales, de las modulaciones multiportadoras, y en particular del
OFDM (Multiplexado Ortogonal de División de Frecuencia).
El OFDM ha sido retenido en el marco de este
proyecto europeo como base de la norma DAB. Esta técnica es
igualmente considerada como modulación para la difusión de programas
de televisión. Sin embargo, se comprueba un cierto número de
limitaciones (precisadas en lo que sigue) cuando se aborda el
problema de modulaciones codificadas de alta eficacia espectral,
tales como las requeridas para las aplicaciones de TV numérica.
El invento encuentra aplicaciones en dominios muy
numerosos, en particular cuando se desea una elevada eficacia
espectral y cuando el canal es fuertemente estacionario.
Una primera categoría de aplicaciones se refiere
a la radiodifusión numérica terrestre, ya se trate de imagen, de
sonido y/o de datos. En particular, el invento puede aplicarse a la
difusión síncrona, que genera intrínsecamente trayectos múltiples de
larga duración. Se aplica igualmente de modo ventajoso a la difusión
hacia móviles.
Otra categoría de aplicaciones se refiere a las
radiocomunicaciones numéricas. El invento puede encontrar
particularmente aplicaciones en sistemas de comunicación numérica
hacia móviles de alto caudal, en el marco por ejemplo de la UMTS
(proyecto RACE). Puede igualmente ser considerado para redes locales
de radio de alto caudal (tipo HIPERLAN).
Una tercera categoría de aplicaciones es la de
las transmisiones submarinas. El canal de transmisión de las ondas
acústicas es fuertemente perturbado por el hecho de la débil
velocidad de transmisión de las ondas acústicas en el agua. Esto
conduce a una importante dispersión de los trayectos múltiples y del
espectro Doppler. Las técnicas de modulación multiportadoras están
por lo tanto bien adaptadas a este dominio, y particularmente las
técnicas objeto del presente invento.
Antes de presentar las señales según el invento,
se describe a continuación las señales conocidas. Esta descripción
se basa sobre una aproximación general de las señales
multiportadoras definidas por los inventores, y nueva en sí misma.
Esta generalización no tiene en efecto ningún equivalente en el
estado de la técnica, y no es evidente de ningún modo para el
experto. Debe por tanto ser considerada como una parte del invento,
y no como perteneciente al estado de la técnica.
Se tiene interés en señales reales (una magnitud
eléctrica por ejemplo), de energía finita, y función del tiempo. Las
señales pueden por tanto estar representadas por funciones reales de
L^{2} (R). Además, estas señales son de banda limitada w y su
espectro está contenido en
\left[f_{c}-\frac{w}{2},f_{c}+\frac{w}{2}\right],
siendo f_{c} la "frecuencia portadora" de la señal. Se puede
por tanto de manera equivalente representar una señal real
a(t) por su envolvente compleja s(t) con:
(1)s(t)=e^{-2 i\pi
f_{c}{}^{t}}F_{A}[a](t)
donde F_{A} designa el filtro
analítico.
La señal s(t) pertenece a un subespacio
vectorial (caracterizado por la limitación de banda a
\pm\frac{w}{2}) del espacio de las funciones complejas de una
variable real y de cuadrado sumable L^{2} (R). Se puede definir
este espacio vectorial de dos maneras diferentes, según que se
construya sobre el cuerpo de los complejos o el cuerpo de los
reales. A cada uno de estos espacios, se puede asociar un producto
escalar de valor en C o en R y construir un espacio de Hilbert. Se
llamará H al espacio de Hilbert construido sobre el cuerpo de los
complejos y H_{R} al espacio de Hilbert construido sobre el cuerpo
de los reales.
Los productos escalares correspondientes se
escriben:
(2)\langle
x|y\rangle _{R}=\int \limits _{R}x(t)y \cdot
(t)dt \ \text{en el caso de
H}
y
\hskip5,1cm\langle x|y\rangle _{R} =\Re e\int \limits _{R}x(t)y \cdot (t)dt en el caso de H_{R}
\hskip4,25cm(3)
Las normas asociadas son evidentemente idénticas
en los dos casos:
(4)||x||=\left[\int \limits
_{R}|x(t)|^{2}dt\right]^{1/2}
Los principios generales del OFDM están
presentados por ejemplo en la solicitud de patente francesa
FR-8.609.622 depositada el 2 de julio de 1986. La
idea de base de esta técnica es transmitir símbolos codificados como
coeficientes de formas de ondas elementales confinadas tanto como
sea posible en el plano tiempo-frecuencia, y para
los que el canal de transmisión puede ser considerado como
localmente estacionario. El canal aparece entonces como un simple
canal multiplicativo caracterizado por la distribución del módulo de
los coeficientes, que sigue una ley de Rice o de Rayleigh.
Se asegura a continuación la protección contra
los desvanecimientos con la ayuda de un código utilizable en
decisión ponderada, en asociación con un entrelazamiento en tiempo y
en frecuencia que garantice que los símbolos que intervienen en la
malla mínima del código sean afectados en la medida de lo posible
por desvanecimientos independientes.
Esta técnica de codificación con entrelazamiento
en el plano tiempo-frecuencia es conocida con el
nombre de COFDM. Está descrita por ejemplo en el documento [23]
(véase anexo 1) (para simplificar la lectura, la mayor parte de las
referencias del estado de la técnica están recogidas en este anexo
1. Éste, así como los anexos 2 y 3 deben desde luego ser
considerados como elementos que forman parte de la presente
descripción)).
Existen esencialmente dos tipos de modulaciones
OFDM conocidas. Al ser ambiguas a menudo las denominaciones
utilizadas en la literatura, introduciremos aquí denominaciones
nuevas más precisas recordando la correspondencia con la literatura
existente. Utilizaremos la denominación genérica OFDM, seguida de un
sufijo que precisa el tipo de modulación en el interior de esta
familia.
Una primera categoría de modulaciones está
constituida por un multiplex de portadoras QAM (Modulación de
Amplitud en Cuadratura), o eventualmente en QPSK (Clave de Desfase
en Cuadratura) en el caso particular de datos binarios. Designaremos
a continuación este sistema con el nombre OFDM/QAM. Las portadoras
están todas sincronizadas, y las frecuencias portadoras están
espaciadas en la inversa del tiempo símbolo. Aunque los espectros de
estas portadoras se recubren, la sincronización del sistema permite
garantizar la ortogonalidad entre los símbolos emitidos por
diferentes portadoras.
Las referencias [1] a [7] dan una buena
perspectiva de la literatura disponible sobre esta materia.
Para mayor simplicidad en la escritura, y según
la nueva aproximación del invento, se representarán las señales por
su envolvente compleja descrita más arriba. En estas condiciones, la
ecuación general de una señal OFDM/QAM se escribe:
(5)s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}x_{m,n}(t)
Los coeficientes a_{m,n} toman valores
complejos que representan los datos emitidos. Las funciones
x_{m,n} (t) son trasladadas en el espacio
tiempo-frecuencia de una misma función prototipo
x(t):
\vskip1.000000\baselineskip
siendo \varphi una fase
cualquiera, que se puede fijar arbitrariamente a 0. La función
x(t) está centrada, es decir que sus momentos de orden 1 son
nulos, o
sea:
(8)\int
t|x(t)|^{2}dt=\int
f|X(f)|^{2}df=0
designando X(f) la
transformada de Fourier de
x(t).
En estas condiciones, se observa que:
\int
t|x_{m,n}(t)|^{2}dt=n\tau
_{0}
(9)\int
f|X_{m,n}(f)|^{2}df=m\nu
_{0}
Los baricentros de las funciones de base forman
por tanto una red del plano de tiempo-frecuencia
engendrada por los vectores (\tau_{0}, 0) y (0, \nu_{0}), como
ya se ha ilustrado en la fig. 1. Esta red es de densidad unidad, es
decir que \nu_{0}\tau_{0}=1. Se podrá hacer referencia al artículo
[9] para una discusión más detallada sobre este asunto.
La función prototipo x(t) tiene de
particular que las funciones {x_{m,n}} son ortogonales entre sí, y
más precisamente constituyen una base hilbertiana de L^{2} (R), o
sea:
Proyectar una señal sobre esta base equivale
simplemente a cortar la señal en secuencias de duración \tau_{0} y
a representar cada una de estas secuencias por el desarrollo en
serie de Fourier correspondiente. Este tipo de descomposición
constituye un primer paso hacia una localización a la vez en tiempo
y en frecuencia, por oposición al análisis de Fourier clásico, que
asegura una localización de frecuencia perfecta con una pérdida
total de la información temporal.
Desgraciadamente, si la localización temporal es
excelente, la localización de frecuencia es mucho menos buena, por
el hecho del decrecimiento lento de X(f). El teorema de
Balian-Low-Coifman-Semmes
(véase [9], pág. 976) muestra por otro lado que si se llama X a la
transformada de Fourier de x, tx(t) y fX(f) no pueden
ser simultáneamente de cuadrado sumable.
De manera general, se puede caracterizar la
tolerancia de una modulación OFDM frente a trayectos múltiples y de
la dispersión Doppler por un parámetro que mide de manera global la
variación del nivel de interferencia entre símbolos (IES) en función
de un desfase en tiempo o en frecuencia. La justificación de este
concepto está dada en el anexo 2. Este parámetro de tolerancia es
denominado \xi y está definido por la relación:
(11)\xi
=1/4\pi \Delta t\Delta
f
con:
(12)\Delta
t^{2}\int |x(t)|^{2}dt=\int
t^{2}|x(t)|^{2}dt
(13)\Delta
f^{2}\int |x(t)|^{2}df=\int
f^{2}|X(f)|^{2}df
En virtud de la desigualdad de Heisenberg, \xi
no puede sobrepasar la unidad.
Teniendo en cuenta el teorema de
Balian-Low-Coifman-Semmes
previamente citado, el parámetro vale 0 para el OFDM/QAM. Se trata
de un defecto importante de la modulación OFDM/QAM tal como se ha
descrito más arriba. Esta se caracteriza en la práctica por una
fuerte sensibilidad a los errores temporales, y por consiguiente a
los trayectos múltiples.
Este defecto puede ser contorneado por la
utilización de un intervalo de seguridad o protección descrito por
ejemplo en [5]. Se trata de un artificio consistente en prolongar la
ventana rectangular de la función prototipo. La densidad de la red
de los símbolos de base es entonces estrictamente inferior a la
unidad.
Esta técnica es posible por hecho de que se
encuentra en el interior de un símbolo prolongado por un intervalo
de seguridad una infinidad de versiones trasladadas del símbolo
inicial. Desde luego, este no funciona mas que porque la función
prototipo es una ventana rectangular. En este sentido, el OFDM/QAM
con intervalo de seguridad constituye un punto singular único.
La modulación OFDM/QAM con intervalo de seguridad
está en la base del sistema DAB. Este intervalo de seguridad permite
limitar la interferencia entre símbolos, al precio de una pérdida de
prestaciones, puesto que una parte de la información emitida no es
realmente utilizada por el receptor, sino que sirve solamente para
absorber los trayectos múltiples.
Así, en el caso del sistema DAB, donde el
intervalo de seguridad representa el 25% del símbolo útil, la
pérdida es de 1 dB. Además, existe una pérdida suplementaria, debida
al hecho de que para obtener una eficacia espectral global dada, es
preciso compensar la pérdida debida al intervalo de seguridad por
una mejor eficacia del código utilizado.
Esta pérdida es marginal en el caso del sistema
DAB, porque la eficacia espectral es débil. Por el contrario, si se
considera una eficacia espectral de 4 bits/Hz, es preciso utilizar
un código de 5 bits/Hz, o sea según el teorema de Shannon una
pérdida del orden de 3 dB. La pérdida global es pues en este caso de
aproximadamente 4 dB.
Se pueden imaginar otros sistemas de tipo
OFDM/QAM. Desgraciadamente, ninguna modulación QAM filtrada (es
decir que utiliza una puesta en forma tradicional de tipo
semi-Nyquist (o, más exactamente, "raíz cuadrada
de Nyquist")), no verifica las limitaciones de ortogonalidad
requeridas. Las funciones prototipos conocidas que verifican los
criterios de ortogonalidad requeridos son:
- la ventana rectangular;
- el seno cardinal.
Estos dos ejemplos son triviales, y aparecen como
duplicados uno al otro por transformada de Fourier. El caso de la
ventana rectangular corresponde al OFDM/QAM sin intervalo de
seguridad. El caso del seno cardinal corresponde a un múltiplex de
frecuencia clásico (es decir cuyas portadoras tienen espectros
separados) con un factor de corte de 0%, lo que constituye un caso
asintótico difícilmente realizable en la práctica.
En cada uno de estos casos, se observa que la
función prototipo está perfectamente equilibrada, bien en tiempo,
bien en frecuencia, pero posee un decrecimiento mediocre (en 1/t o
1/f) en el dominio dual.
El teorema de
Balian-Low-Coifman_Semmes deja por
otro lado poca esperanza a que puedan existir soluciones
satisfactorias. Como se ha indicado previamente, este teorema
demuestra que tx(t) y fX(f) no pueden ser
simultáneamente de cuadrado sumable. No puede pues esperarse
encontrar una función x(t) tal que x(t) y X(f)
decrezcan simultáneamente con un exponente inferior a -3/2.
Esto no excluye por otra parte que puedan existir
funciones satisfactorias a los ojos de un ingeniero. Sin embargo, un
artículo reciente [10] que trata este asunto exhibe otro ejemplo de
función prototipo con las propiedades requeridas. El aspecto de la
función prototipo propuesta en este artículo está muy alejado del
que se puede desear en términos de concentración temporal. Es por
tanto probable que no exista solución satisfactoria de tipo
OFDM/QAM.
En conclusión, el OFDM/QAM, correspondiente a la
utilización de una red de densidad 1 y de coeficientes a_{m,n}
complejos no pueda ser puesto en práctica más que en el caso de una
ventana temporal rectangular y de la utilización de un intervalo de
seguridad. El experto que busca otras modulaciones está por tanto
orientado a volverse hacia las técnicas descritas a continuación con
el nombre de OFDM/OQAM.
Una segunda categoría de modulaciones utiliza en
efecto un múltiplex de portadoras OQAM (Modulación de Amplitud en
Cuadratura Desplazada). Designaremos en lo que sigue a este sistema
con el nombre OFDM/OQAM. Las portadoras están todas sincronizadas, y
las frecuencias portadoras están espaciadas en la mitad de la
inversa del tiempo de símbolo. Aunque los espectros de estas
portadoras se recubren, la sincronización del sistema y la elección
de las fases de las portadoras permite garantizar la ortogonalidad
entre los símbolos emitidos por diferentes portadoras. Las
referencias [11-18] dan una buena perspectiva de la
literatura disponible sobre este asunto.
Para más simplicidad en la escritura, se
representarán las señales en su forma analítica. En estas
condiciones, la ecuación general de una señal OFDM/OQAM se
escribe:
(14)s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}x_{m,n}(t)
Los coeficientes a_{m,n} toman valores reales
que representan los datos emitidos. Las funciones
x_{m,n}(t) son trasladadas en el espacio
tiempo-frecuencia de una misma función prototipo
x(t):
con v_{0}\tau_{0} =
½.
siendo \varphi una fase cualquiera que se puede
arbitrariamente fijar igual a 0.
Los baricentros de las funciones de base forman
por tanto una red del plano de tiempo-frecuencias
engendrada por los vectores (\tau_{0},0) y (0,v_{0}), tal como
se ha ilustrado en la fig. 2.
Esta red es de densidad 2. Las funciones
x_{m,n}(t) son ortogonales en el sentido del producto
escalar en R. En las aproximaciones conocidas, la función prototipo
está equilibrada en frecuencia, de tal manera que el espectro de
cada portadora no recubre mas que el de las portadoras adyacentes.
En la práctica, las funciones prototipos consideradas son funciones
pares (reales o eventualmente complejas) verificando la relación
siguiente:
Una elección posible para x(t) es la
respuesta de impulsos de un filtro semi-Nyquist 100%
de corte, o sea
Cuando se observa x(t) y su transformada
de Fourier, se observa que X(f) es de soporte equilibrado y
que x(t) decrece en t^{-2}, es decir un resultado
notablemente mejor que el límite teórico que se deduce del teorema
de
Balian-Low-Coifman-Semmes.
Las formas de onda elementales están mejor localizadas en el plano
tiempo-frecuencia que en el caso del OFDM/QAM, lo
que confiere a esta modulación un mejor comportamiento en presencia
de trayectos múltiples y de Doppler. Como precedentemente, se puede
definir el parámetro \xi midiendo la tolerancia de la modulación
en el retardo y en el Doppler. Este parámetro \xi vale 0,865.
Estos sistemas conocidos presentan numerosos
inconvenientes y límites, en particular en los canales muy
perturbados, y cuando se requiere una alta eficacia.
El problema principal del sistema OFDM/QAM es que
necesita imperativamente la utilización de un intervalo de
seguridad. Como se ha indicado previamente, esto engendra una
pérdida de eficacia notable cuando se consideran elevadas eficacias
espectrales.
Además, los símbolos emitidos están mal
concentrados en el dominio de frecuencia, lo que limita igualmente
las prestaciones en canales fuertemente no estacionarios. En
particular, esta dispersión hace difícil la utilización de
igualadores.
A la inversa, las prestaciones de frecuencia del
OFDM/OQAM son mas bien satisfactorias y el problema de la pérdida
unida al intervalo de seguridad no se plantea. En cambio, la
respuesta de impulso de la función prototipo tiene un decrecimiento
temporal relativamente lento, es decir en 1/x^{2}.
Esto implica dos tipos de dificultades. En primer
lugar, la forma de onda difícilmente puede ser truncada sobre un
intervalo de tiempo corto, lo que implica un tratamiento complejo al
nivel del receptor. Además, esto complica igualmente eventuales
sistema de ecualización.
En otros términos, la eficacia de las técnicas
OFDM/OQAM es superior a la del OFDM/QAM, pero estas técnicas
resultan más complejas de poner en práctica, y por tanto costosas,
en particular en los receptores.
El invento tiene en particular por objetivo
paliar los diferentes inconvenientes y limitaciones del estado de la
técnica.
Así, un objetivo del invento es proporcionar una
señal numérica destinada a ser transmitida o difundida hacia
receptores, que permite obtener mejores prestaciones en canales no
estacionarios, y particularmente en canales fuertemente no
estacionarios.
El invento tiene igualmente por objetivo
proporcionar tal señal, permitiendo obtener una elevada eficacia
espectral.
Otro objetivo del invento es proporcionar tal
señal, que evita los inconvenientes del OFDM/QAM unidos al intervalo
de seguridad, conservando siempre una respuesta temporal de la
función prototipo tan concentrada como sea posible, en particular de
manera que se simplifique el tratamiento al nivel del receptor.
El invento tiene igualmente por objeto
proporcionar tal señal, permitiendo la realización de receptores de
complejidad y coste limitados, en particular en lo que se refiere a
la desmodulación y la ecualización.
Un objetivo complementario del invento es
proporcionar emisores, receptores, procedimientos de transmisión o
de difusión, procedimientos de recepción y procedimientos de
construcción, es decir de definición, de una modulación
correspondientes a tal señal.
Estos objetivos, así como otros que aparecerán a
continuación, son conseguidos según el invento por una señal
multiportadora destinada a ser transmitida hacia receptores
numéricos, en particular en un canal de transmisión no estacionario,
correspondiente al multiplexado en frecuencia de varias portadoras
elementales correspondientes cada una a una serie de símbolos,
estando separados dos símbolos consecutivos de un tiempo de símbolo
\tau_{0} de señal en el que, por una parte, el espaciamiento
\nu_{0} entre dos portadoras cercanas es igual a la mitad de la
inversa de los tiempos de símbolo \tau_{0} y en la que, por otra
parte, cada portadora sufre una filtrado de puesta en forma de su
espectro que presenta un ancho de banda estrictamente superior a dos
veces dicho espaciamiento entre portadoras \nu_{0}. Este espectro
es elegido de manera que cada elemento de símbolo esté concentrado
tanto como sea posible a la vez en el dominio temporal y en el
dominio de frecuencias.
En particular, tal señal puede responder a la
ecuación siguiente:
s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}x_{m,n}(t)
donde:
a_{m,n} es un coeficiente real representativo
de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación
predeterminado;
m es un entero que representa la dimensión de
frecuencia;
n es un entero que representa la dimensión
temporal;
t representa el tiempo;
x_{m,n}(t) es una función de base,
trasladada en el espacio tiempo-frecuencia de una
misma función prototipo x(t) par que toma valores reales o
complejos, o sea:
x_{m,n}(t)=\pm
i^{m+n}e^{i(2\pi m \nu _{0}t+\varphi
)}x(t-n\tau _{0}) \ con \ v_{0}\tau _{0}= \
^{1}/_{2}
donde \varphi es un parámetro de
fase
arbitraria,
- la transformada de Fourier X(f) de la función x(t) que tiene un soporte que se extiende más allá del intervalo [-\nu_{0},\nu_{0}],
- y donde dichas funciones de base {x_{m,n}} son ortogonales entre ellas, siendo nula la parte real del producto escalar de dos funciones de base diferentes.
El símbolo "\pm" indica que
x_{m,n}(t) puede tomar indiferentemente un signo negativo o
positivo. No significa, desde luego, que x_{m,n}(t) tome
los dos valores.
Así, el invento reposa sobre un sistema de
modulación que utiliza funciones prototipos tan concentradas como
sea posible en el plano tiempo-frecuencia. El
interés de esta aproximación es disponer de una modulación que
produzca una señal que evite los inconvenientes del OFDM/QAM unidos
al intervalo de seguridad, conservando al mismo tiempo una respuesta
temporal de la función prototipo tan concentrada como sea posible,
de manera que simplifique el tratamiento al nivel del receptor.
En otros términos, el invento tiene por objeto
nuevos sistemas de modulación construidos como el OFDM/OQAM sobre
una red ortogonal de densidad 2, sin que por tanto la función
prototipo sea un soporte equilibrado en frecuencia. Entre las
modulaciones propuestas, se encuentran o bien modulaciones que
utilizan funciones prototipos de soporte limitado en tiempos, o bien
funciones prototipos que no están equilibradas ni en tiempo ni en
frecuencia, pero que presentan por cuenta propiedades de
decrecimiento rápido a la vez en tiempo y en frecuencia, y una
concentración casi óptima en el plano
tiempo-frecuencia.
Tales señales no son en ningún modo evidentes
para el experto, a la vista del estado de la técnica. Como se ha
indicado precedentemente, existen fundamentalmente dos modos de
construcción de modulaciones de tipo OFDM.
El primer modo de construcción conocido utiliza
una red de densidad 1. Esta primera solución utiliza una base de
descomposición de las señales o cualquier señal es cortada en
intervalos, siendo a continuación cada intervalo descompuesto en
forma de serie de Fourier. Esta es la solución OFDM/QAM. La
literatura da pocos ejemplos de soluciones alternativas construidas
sobre la misma red, y los resultados obtenidos son de poco interés
práctico [10].
Además, la técnica OFDM/QAM es la única que puede
beneficiarse del método del intervalo de seguridad. La solución
OFDM/QAM es por tanto un punto singular que no permite
extensiones.
El segundo modo de construcción conocido
(OFDM/OQAM) utiliza una red de densidad 2. La ortogonalidad entre
símbolos centrados sobre una misma frecuencia o sobre frecuencias
adyacentes está garantizada por una puesta en forma de las señales
de tipo semi-Nyquist y por la elección adecuada de
la fase de las señales. Finalmente, la ortogonalidad más allá de las
frecuencias adyacentes está garantizada por el hecho de que los
soportes de frecuencia están separados.
Por consiguiente, la construcción de nuevas
modulaciones que no verifican esta propiedad no es evidente.
Todas las variantes del invento descritas más
adelante presentan la ventaja de utilizar una función prototipo, ya
esté limitada en el dominio temporal, o ya sea de decrecimiento
rápido, de tal modo que la función pueda ser fácilmente
truncada.
Según una primera variante, dicha función
prototipo x(t) es una función par, nula desde fuera del
intervalo [-\tau_{0},\tau_{0}] y que verifica la
relación:
De manera ventajosa, dicha función prototipo
x(t) está definida por:
En este primer caso (denominado en lo que sigue
OFDM/MSK), las prestaciones en términos de resistencia en el Doppler
y en los trayectos múltiples son equivalentes al OFDM/OQAM, y la
realización del receptor es simplificada.
Según una segunda variante del invento, dicha
función prototipo x(t) está caracterizada por la
ecuación:
x(t)=\frac{y(t)}{\sqrt{\tau
_{0}\sum\limits _{k}|y(t-k\tau
_{0})|^{2}}}
estando definida la función
y(t) por su transformada de Fourier
Y(f):
Y(f)=\frac{G(f)}{\sqrt{\nu
_{0}\sum\limits _{k}|G(f-k\nu
_{0})|^{2}}}
donde G(f) es una función
gaussiana normalizada del tipo:
G(f)=(2\alpha)^{1/4}e^{-\pi \alpha
f^{2}}
siendo \alpha un parámetro real estrictamente
positivo. K varía de -\infty a +\infty.
De manera ventajosa, el parámetro \alpha es
igual a la unidad. La modulación correspondiente es denominada en lo
que sigue OFDM/IOTA. En este caso, la función prototipo
correspondiente, señalada \Im, es idéntica a su transformada de
Fourier.
La realización del receptor es más simple que en
el caso del OFDM/OQAM, así como ligeramente más compleja que en el
caso precedente, pero las prestaciones son sensiblemente
superiores.
El invento se refiere igualmente a un
procedimiento de transmisión de una señal numérica, en particular en
un canal de transmisión no estacionario, que comprende las etapas
siguientes:
- -
- codificación en canal de una señal numérica a transmitir, entregando coeficientes numéricos reales a_{m,n} escogidos en un alfabeto predeterminado;
- -
- construcción de una señal s(t) que responde a la ecuación definida anteriormente;
- -
- emisión de una señal que tiene para envolvente compleja dicha señal s(t) hacia al menos un receptor.
De manera ventajosa, tal procedimiento comprende
además una etapa de entrelazamiento en frecuencia y/o en tiempo,
aplicada a los elementos binarios que forman dicha señal numérica a
transmitir o a los coeficientes numéricos a_{m,n}.
Ello permite asegurar resultados óptimos en
canales no estacionarios.
El invento se refiere igualmente a los emisores
de tal señal.
El invento se refiere aún a un procedimiento de
recepción de una señal tal como se ha descrito anteriormente, que
comprende las etapas siguientes:
- -
- recepción de una señal que tiene para envolvente compleja una señal r(t) correspondiente a la señal s(t) de la emisión;
- -
- estimación de la respuesta del canal de transmisión, que comprende una estimación de la respuesta en fase \theta_{m,n} y la respuesta en amplitud \rho_{m,n};
- -
- desmodulación de dicha señal r(t), que comprende las etapas siguientes:
- \bullet
- multiplicación de dicha señal r(t) por la función prototipo x(t);
- \bullet
- repliegue de la forma de onda filtrada de módulo 2\tau_{0};
- \bullet
- aplicación de una transformada de Fourier (FFT);
- \bullet
- corrección de la fase \theta_{m,n} inducida por el canal de transmisión;
- \bullet
- corrección de la fase correspondiente al término i^{m+n};
- \bullet
- selección de la parte real del coeficiente obtenido \upbar{a}_{m,n} correspondiente al coeficiente a_{m,n} emitido ponderado por la respuesta en amplitud \rho_{m,n} del canal de transmisión.
De manera preferente, este procedimiento de
recepción comprende una etapa de desentrelazamiento en frecuencia
y/o en tiempo de dichos coeficientes numéricos reales
\upbar{a}_{m,n}, y, eventualmente, valores correspondientes
\rho_{m,n} de la respuesta de la amplitud del canal, siendo
inverso dicho desentrelazamiento de un entrelazamiento empleado en
la emisión, y/o una etapa de descodificación en decisión ponderada
adaptada a la codificación de canal empleado en la emisión.
El invento se refiere igualmente a los receptores
correspondientes.
Finalmente, el invento se refiere igualmente a un
procedimiento preferente de construcción de una función prototipo
x(t) para una señal tal como se ha descrito antes, que
comprende las etapas siguientes:
- -
- selección de una función gaussiana G(f) normalizada del tipo:
G(f)=(2\alpha
)^{1/4}e^{-\pi \alpha
f^{-2}};
- -
- determinación de dicha función prototipo x(t) tal que:
x(t)=\frac{y(t)}{\sqrt{\tau
_{0}\sum\limits _{k}|y(t-k\tau
_{0})^{2}}}
estando definida la función
y(t) por su transformada de Fourier
Y(f):
Y(f)=\frac{G(f)}{\sqrt{\nu
_{o}\sum\limits _{k}|G(f-k\nu
_{0})|^{2}}}
Este procedimiento permite en particular definir
la función prototipo \Im, descrita con anterioridad.
- la fig. 1 ilustra una red de densidad 1,
correspondiente a la empleada en el caso de la modulación conocida
OFDM/QAM;
- la fig. 2 ilustra una red de densidad 2,
correspondiente a la empleada en el caso de la modulación conocida
OFDM/OQAM y en el caso del invento;
- las figs. 3A a 3D, 4C a 4D, 5A a 5D, 6A a 6D y
7A a 7D ilustran respectivamente las modulaciones conocidas OFDM/QAM
(3), OFDM/QAM con intervalo de seguridad (4), OFDM/OQAM (5) y las
modulaciones del invento OFDM/MSK (6) y OFDM/IOTA (7), según los
aspectos siguientes:
\bullet A: la función prototipo
x(t);
\bullet B: la transformada de Fourier en lineal
de la función prototipo;
\bullet C: el módulo de la función de
ambigüedad en lineal (tal como la definida en el anexo 2);
\bullet D: la función de intersímbolo (tal como
se ha definido en el anexo 2);
- la fig. 7E muestra en escala logarítmica el
decrecimiento de la señal OFDM/IOTA;
- la fig. 8 la función de ambigüedad de una
función gaussiana;
- la fig. 9 es un esquema sinóptico de un emisor
(y del procedimiento de emisión correspondiente) utilizable según el
invento;
- la fig. 10 es un esquema sinóptico de un
receptor (y del procedimiento de recepción correspondiente)
utilizable según el invento;
- la fig. 11 ilustra más precisamente el
procedimiento de desmodulación puesto en práctica en el receptor de
la fig. 10.
Todas las funciones de base del OFDM/OQAM
definidas en (15) pueden rescribirse en la forma:
(18)x_{m,n}(t)=\pm
i^{m+n}e^{i(2\pi m\nu _{0}f+\varphi
)}x(t-n\tau _{0}) \ con \ v_{0}\tau _{0} =
^{1}/_{2}
Los baricentros de las funciones de base forman
pues una red del plano tiempo-frecuencia engendrado
por los vectores (\tau_{0},0) (0,\nu_{0}) (véase fig. 2). Esta
red es de densidad 2, es decir que \nu_{0}\tau_{0} = ½. Como se ha
indicado en [16], estas funciones constituyen una base hilbertiana
de H. A fin de simplificar la escritura, omitiremos en lo que sigue
los cambios de signo.
De manera general, se buscan las condiciones
sobre x(t) para que la familia {x_{m,n}} constituya una
base hilbertiana de H_{R}. Se impondrá que x(t) sea una
función par.
El producto escalar de x_{m,n} y de x_{m',n'}
puede escribirse:
sea, poniendo t'=
t-(n+n')\tau_{0}/2 y \tau'_{0}
=(n-n')\tau_{0}:
La ortogonalidad es por tanto obtenida si el
coeficiente de la integral es un número imaginario puro. El análisis
de este coeficiente muestra que basta para ello que
m-m' o que n-n' sea impar.
La red puede por tanto descomponerse en cuatro
sub-redes, tal como aparece en la fig. 2 ({m par, n
par}, {m par, n impar}, {m impar, n par}, {m impar, n impar}) que
son ortogonales entre sí (cualquier función de una de las
sub-redes es ortogonal a cualquier función de otra
sub-red). Una condición suficiente para que
{x_{m,n}} constituya una base hilbertiana es pues que:
(21)\langle
x_{m,n}|x_{m',n'}\rangle_{R}=0\forall m-m'
par,\forall
n-n'par,(m,n)\neq(m',n')
Basta con encontrar una función x(t) par
tal como las funciones del tipo:
(22)x_{2m,2n}(t)=e^{4i\pi m\nu
_{0}t}x(t-2n\tau
_{0})
siendo ortogonales entre sí en el
sentido del producto escalar en R. Por otra parte, si tal es el
caso, estas funciones son también ortogonales en el sentido del
producto escalar en C, por razones de simetría análogas a las
evocadas anteriormente. Otra manera de expresar esta condición es
utilizar la función de ambigüedad de x
[19]:
(23)A_{x}(\tau
,\nu )=\int x(t+\tau /2)x\text{*}(t-\tau
/2)e^{-2i\pi \nu
t}dt
Basta entonces con encontrar una función
x(t) par tal que:
(24)A_{x}(2n\tau _{0},2m\nu
_{0})=0,\forall (m,n)\neq
(0,0)
Si se compara el problema así planteado al de
encontrar una base hilbertiana en el sentido del producto escalar en
C, las limitaciones de ortogonalidad son netamente menos fuertes, ya
que la red en cuestión es dos veces menos densa. En efecto, las
funciones de base están centradas sobre los puntos de la red
{2m\nu_{0}, 2n\tau_{0}}, es decir una red de densidad ½. Se ve
por tanto aparecer aquí de manera intuitivamente evidente las
razones de la inaplicabilidad del teorema de
Balian-Low-Coifman-Semmes.
En el caso del OFDM/OQAM, la ortogonalidad de las
funciones x_{2m,2n}(t) entre sí es obtenida por dos
limitaciones de naturalezas diferentes. En efecto, si m \neq m',
\langle x_{2m,2n}|x_{2m',2n'}\rangle es nulo porque esas funciones
tienen espectros separados. Sin embargo, \langle
x_{2m,2n}|x_{2m',2n'}\rangle es nulo porque X(f) tiene una
puesta en forma de tipo semi-Nyquist.
Como muestra la abundante literatura ya citada,
el experto considera que es imperativo verificar estas dos
limitaciones. En particular, estima que la función prototipo debe
ser de soporte equilibrado en frecuencia.
El invento descansa sobre una aproximación
completamente nueva de las señales multiportadoras del tipo
OFDM/
OQAM, según la cual la ortogonalidad es obtenida no más por el respeto de dos limitaciones mencionadas con anterioridad, sino por una definición específica de las funciones prototipos.
OQAM, según la cual la ortogonalidad es obtenida no más por el respeto de dos limitaciones mencionadas con anterioridad, sino por una definición específica de las funciones prototipos.
En otros términos, el invento tiene por objeto
nuevas señales, basadas en sistemas de modulación construidos como
el OFDM/OQAM sobre una red ortogonal de densidad 2, sin que por
tanto la función prototipo tenga un soporte equilibrado en
frecuencia.
El principio utilizado es construir redes
ortogonales de densidad 1/2, y luego deducir redes de densidad 2 por
una elección juiciosa de las fases de las señales.
Muy numerosas señales pueden ser construidas
según la técnica del invento. Se dan a continuación dos ejemplos no
limitativos de tales señales, denominadas respectivamente OFDM/MSK y
OFDM/IOTA. Es igualmente proporcionado un método particular para
construir tales señales, a título de ejemplo no limitativo, en el
anexo 3. Este método forma desde luego parte del invento, y no ha
sido reenviado en el anexo para simplificar la lectura de la
presente descripción.
Consideramos aquí una nueva modulación construida
según la misma ecuación genérica que la modulación OFDM/
OQAM (ecuaciones 14 y 15), pero a partir de una función prototipo diferente. La bautizaremos OFDM/MSK porque cada portadora está modulada en MSK [20]. La función prototipo se escribe:
OQAM (ecuaciones 14 y 15), pero a partir de una función prototipo diferente. La bautizaremos OFDM/MSK porque cada portadora está modulada en MSK [20]. La función prototipo se escribe:
De hecho, se comprueba a posteriori que
esta modulación puede ser considerada como dual del OFDM/OQAM, ya
que corresponde a un intercambio de ejes de tiempo y frecuencia. El
interés esencial de esta modulación con relación al OFDM/OQAM es que
la función prototipo está estrictamente limitada en el tiempo, lo
que simplifica notablemente la mejora del receptor, ya que el número
de coeficientes del filtro de entrada es reducido considerablemente.
Por otro lado, las prestaciones en presencia de trayectos múltiples
no tienen cambios, siendo el parámetro \xi idéntico.
La modulación OFDM/IOTA resulta como revancha de
una aproximación totalmente nueva y original en el dominio del
tratamiento de señal que bautizamos transformada IOTA (para
"Algoritmo de Transformada Ortogonal Isotrópica"), y descrita
en el anexo 3.
Consideramos aquí una nueva modulación construida
según la misma ecuación genérica que la modulación OFDM/
OQAM (ecuaciones 14 y 15), pero a partir de una función prototipo diferente. La bautizaremos OFDM/IOTA con motivo de la elección de la función prototipo. La función prototipo se escribe:
OQAM (ecuaciones 14 y 15), pero a partir de una función prototipo diferente. La bautizaremos OFDM/IOTA con motivo de la elección de la función prototipo. La función prototipo se escribe:
(26)x(t)=\frac{1}{2^{1/4}\sqrt{\tau
_{0}}}\Im(t/\tau
_{0}\sqrt{2}
designando \Im la función IOTA
definida en el anexo
3.
Se observará que el método de construcción dado
en el anexo 3 permite obtener una infinidad de soluciones,
constituyendo la función IOTA una solución reseñable. Las funciones
de base de la modulación OFDM/IOTA se escriben por tanto:
(27)\Im_{m,n}(t)=\frac{i^{m+n}}{2^{1/4}\sqrt{\tau
_{0}}}e^{2i\pi m\nu _{0}t}\Im ((\frac{t}{\tau _{0}}-n)\sqrt{2}) \
con \ \nu _{0}\tau _{0}=
1/2
La señal emitida se escribe pues:
(28)s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}\Im_{m,n}(t)
con:
(29)a_{m,n}=\Re e\int \limits
_{R}s(t)\Im_{m,n}{}\cdot
(t)dt
A fin de poner más en evidencia, de manera
visual, las ventajas del invento, se presenta para cada modulación
discutida precedentemente:
\bullet A: la función prototipo
x(t);
\bullet B: la transformada de Fourier en línea
de la función prototipo;
\bullet C: el módulo de la función de
ambigüedad en lineal (tal como se ha definido en el anexo 2);
\bullet D: la función de intersímbolo (tal como
se ha definido en el anexo 2).
Las vistas de la función de ambigüedad (figuras
con índice C) permiten juzgar del confinamiento en el plano
tiempo-frecuencia de la función prototipo. Las
vistas de la función de intersímbolo (figuras con índice D) permiten
apreciar la sensibilidad de una modulación en el retraso y en el
Doppler. Los errores de fase no están considerados, porque todas las
modulaciones son equivalentes en este plano.
Las figs. 3A a 3D se refieren al caso conocido
del OFDM/QAM clásico. El defecto principal de esta modulación no
está, como podría hacerlo pensar la respuesta en frecuencia de la
función prototipo, el débil decrecimiento de los lóbulos
secundarios.
De hecho, la sensibilidad del OFDM a los errores
de frecuencia no es más que ligeramente superior a la de las otras
modulaciones consideradas. La IES tiene por el contrario una
estadística diferente, que se traduce por un cierre horizontal del
ojo equivalente al de una modulación de corte nula. Existen por
tanto trazas, algunas improbables, pero que pueden crear errores
sistemáticos en ausencia de codificación. Este detalle es
"antiestético", pero sin consecuencia real en presencia de
codificación. Por el contrario, éste débil decrecimiento hace que la
energía de IES se reparta sobre un gran número de símbolos cercanos,
que hacen muy delicada cualquier tentativa de ecualización.
Paradójicamente, el verdadero problema viene de
la limitación brutal de la respuesta temporal, que corresponde a una
función de ambigüedad triangular según este eje. Esto da una función
de intersímbolo con una mayor sensibilidad a los errores temporales:
la pendiente es vertical y el parámetro \xi es por tanto nulo.
Esto es lo que justifica la utilización de un intervalo de
seguridad.
Las figs. 4C y 4D se refieren al OFDM/QAM con un
intervalo de seguridad (la función prototipo y la transformada de
Fourier son idénticas a las del OFDM/QAM ilustradas en las figs. 3A
y 3C. La utilización de un intervalo de seguridad crea una zona
plana al nivel de la función de ambigüedad. De hecho, se debería
hablar más bien en este caso de ambigüedad transversal. Se encuentra
evidentemente esta parte plana al nivel de la función de
intersímbolo, lo que proporciona una inmunidad a los errores
temporales. Las figuras representan el caso de un intervalo de
seguridad de 0,25 \tau_{0}.
Al nivel de errores de frecuencias, las
propiedades son las mismas que las del OFDM estándar.
El coste del intervalo de seguridad es admisible
cuando se interesan modulaciones de poca eficacia espectral. Resulta
por el contrario redhibitorio si se busca una eficacia espectral
elevada: tomemos por ejemplo un intervalo de seguridad igual a la
cuarta parte del símbolo útil. En estas condiciones, hace falta para
alcanzar una eficacia neta de 4 bits/s/Hz un sistema de modulación y
de codificación que tienen una eficacia bruta de 5 bits/s/Hz, o sea
una pérdida de 3 dB con relación a la capacidad límite de Shannon.
Es necesario aún añadir a esta pérdida la pérdida suplementaria de 1
dB debido a la potencia "inútilmente" emitida en el intervalo
de seguridad. En total, son por tanto 4 dB los que son perdidos con
relación al óptimo.
Las figs. 5A a 5D presentan el caso del
OFDM/OQAM.
La respuesta temporal del OFDM/OQAM presenta un
mejor aspecto que la del OFDM/QAM. Sin embargo el decrecimiento
temporal no es mas que en 1/t^{2}. La función de ambigüedad se
anula sobre una red de densidad ½. La sensibilidad a los errores en
frecuencia es superior a la de los errores temporales. El parámetro
\xi vale 0,8765.
Las figs. 6A a 6D se refieren al primer modo de
realización del invento, el OFDM/MSK. Se verifica que presenta
propiedades estrictamente idénticas a las del OQAM invirtiendo las
escalas temporales y de frecuencias. El parámetro \xi permanece
sin cambios.
Finalmente, las figs. 7A a 7D presentan la
modulación OFDM/IOTA. Ésta presenta un decrecimiento rápido (en el
sentido matemático del término) en tiempo y en frecuencia, lo que
permite considerar la ecualización en las mejores condiciones
posibles. Presenta por otro lado una simetría perfecta con relación
a estos dos ejes. Su función de intersímbolo es casi ideal. De
manera general su comportamiento se aproxima al de la gaussiana. El
parámetro \xi vale 0,9769.
Puede compararse la función de ambigüedad de la
función \Im (fig. 7C) a la de una gaussiana, tal como la ilustrada
en la fig. 8. El aspecto general de estas dos funciones es muy
similar al nivel de la parte superior. Por el contrario, difieren en
la base.
La fig. 7E muestra en escala logarítmica el
decrecimiento en tiempo de la señal IOTA. Se observa que la amplitud
de la señal decrece linealmente en escala logarítmica (en tiempo y
en frecuencia, desde luego, ya que los dos aspectos son idénticos),
o sea de manera exponencial en escala lineal. Esta propiedad permite
por tanto en una realización práctica truncar la forma de onda y
limitar así la complejidad del receptor.
La fig. 9 presenta un sinóptico simplificado de
un emisor de una señal según el invento. El procedimiento de emisión
se deduce de ello directamente.
Se considera una fuente binaria de elevado caudal
(típicamente algunas decenas de Megabits/s). Por fuente binaria, se
entiende una serie de elementos de datos correspondientes a una o
varias señales 91 fuente de todos tipos (sonidos, imágenes, datos)
numéricos o analógicos muestreados. Estos datos binarios son
sometidos a una codificación de canal 92 binario a binario adaptado
a canales que se desvanecen. Se podrá utilizar por ejemplo un código
reticular (Modulación Codificada Reticular), concatenado
eventualmente con un código de Reed-Solomon. Más
precisamente, si se desea una eficacia espectral de 4 bits/Hz, puede
utilizarse un código de rendimiento 2/3 asociado a una modulación
8AM, tomando 8 niveles de amplitud.
A continuación, conforme a los principios
expuestos en la patente FR-8.815.216, se reparten
(93) estos datos codificados en el espacio
tiempo-frecuencia de manera que aporten la
diversidad necesaria, y que descorrelacionen el desvanecimiento de
Rayleigh que afecta a los símbolos emitidos.
Más generalmente, se efectúa una primera
codificación binaria a binaria, un entrelazamiento en tiempo y en
frecuencia y una codificación binaria de coeficientes, comúnmente
denominada "cartografiado". Está claro que el entrelazamiento
puede ser efectuado indiferentemente antes o después del
cartografiado, según las necesidades y los códigos utilizados.
A la salida de esta operación de codificación, se
disponen símbolos reales a emitir a_{m,n}. El principio de
realización del modulador 94 OFDM/MSK u OFDM/IOTA es análogo al de
un emisor OFDM/OQAM. Sólo difiere la forma de onda prototipo. Se
podrá hacer referencia a [15] para una descripción detallada del
sistema de modulación. Para construir la señal a emitir, se
reagrupan los símbolos del mismo rango n, y se calcula:
(30)s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}x_{m,n}(t)=\sum\limits _{n}\sum\limits
_{m}a_{m,n}i^{m+n}e^{2i\pi m\nu
_{0}t}x(t-n\tau
_{0})
Esta operación puede ser ventajosamente realizada
en forma numérica por una transformada de Fourier rápida (FFT) que
recae sobre todos los símbolos del mismo rango n, seguida de una
multiplicación de la forma de onda resultante por la función
prototipo IOTA, y finalmente de una suma de los símbolos de rangos
diferentes (suma según el índice n).
La señal compleja así generada es entonces
convertida en forma analógica 98, luego traspuesta a la frecuencia
final por un modulador 99 de dos vías en cuadratura (modulador
I&Q), y finalmente amplificada 910 antes de ser emitida 911.
La fig. 10 ilustra de forma esquemática un
receptor de una señal según el invento (así como el procedimiento de
recepción correspondiente).
El receptor OFDM/MSK u OFDM/IOTA es sensiblemente
análogo al adaptado a la modulación OFDM/OQAM. Las fases o etapas de
entrada son tradicionales. La señal es preamplificada 101, luego
convertida en frecuencia intermedia 102 a fin de realizar el
filtrado de canal 103. La señal en frecuencia intermedia es a
continuación convertida en banda de base sobre dos vías en
cuadratura 105. Además, se realizan las funciones de corrección
automática de ganancia (CAG) 104, que controla la preamplificación
101.
Otra solución consiste en transportar la señal en
frecuencia intermedia sobre una frecuencia portadora base, de manera
que se muestre la señal sobre una sola vía, siendo entonces obtenida
la representación compleja por filtrado numérico. Alternativamente,
la señal RF puede ser transpuesta directamente en banda de base
(conversión directa), siendo entonces realizado el filtrado de canal
sobre cada una de las dos vías I&Q. En todos los casos, se puede
volver a hacer una representación discreta de la señal de la
envolvente compleja correspondiente a la señal recibida.
A fin de detallar el tratamiento numérico en
banda de base, consideramos una modulación de tipo multiportadora
caracterizada por la ecuación de la envolvente compleja de la señal
emitida:
(31)s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}x_{m,n}(t)
Sea un canal de transmisión caracterizado por su
función de transferencia variable T(f,t) (véase anexo 2). La
envolvente compleja de la señal recibida r(t) se escribe:
(32)r(t)=\int
S(f)T(f,t)e^{2\pi
ft}df
El desmodulador estima (106) la función de
transferencia T(f,t) por medios clásicos, que pueden por
ejemplo utilizar una red de referencia de portadoras explícitas
según la patente FR-9.001.491. Para desmodular la
señal propiamente dicha (107), se asimila localmente el canal a un
canal multiplicativo caracterizado por una amplitud y una fase
correspondiente al valor de T(f,t) para el instante y la
frecuencia considerada. Para estimar a_{m,n}(t), la señal
recibida es así asimilada a la señal:
(33)\upbar{r}(t) =\int
S(f)T(m\nu _{0},n\tau _{0})e^{2i\pi
ft}df=T(m\nu _{0},n\tau
_{0})s(t)
Se planteará:
(34)T(m\nu _{0},n\tau
_{0})=\rho _{m,n}e^{i\theta
_{m,n}}
El desmodulador efectúa pues el tratamiento
siguiente:
(35)\upbar{a}_{m,n}=\Re e\int
r(t)e^{-i\theta }x\cdot
_{m,n}(t)dt
En el caso de un canal estacionario de función de
transferencia \rhoe^{i\theta }, se encuentra evidentemente:
(36)\upbar{a}_{m,n}=\rho
a_{m,n}
En la práctica, el tratamiento 107 es efectuado
en forma numérica, según el procedimiento ilustrado en la fig. 11.
El receptor funciona de manera análoga a un receptor OFDM/OQAM
[13-16]. Efectúa los tratamiento siguientes:
- -
- multiplicación 111 de dicha señal recibida r(t) por la función prototipo x(t) 112;
- -
- "repliegue" 113 de la forma de onda filtrada módulo 2\tau_{0};
- -
- aplicación 114 de una transformada de Fourier (FFT);
- -
- corrección 115 de la fase \theta_{m,n} en función de la estimación del canal 116, comprendiendo por ejemplo una estimación \rho_{m,n} de la respuesta en amplitud y una estimación \theta_{m,n} de la respuesta en fase del canal de transmisión;
- -
- corrección 117 de la fase correspondiente en el término i^{m+n}, estando los elementos de datos alternativamente en fase y en cuadratura;
- -
- selección 118 de la parte real del coeficiente obtenido \upbar{a}_{m,n} correspondiente al coeficiente a_{m,n} emitido ponderado por la respuesta en amplitud \rho_{m,n} del canal de transmisión.
Este algoritmo permite así calcular globalmente
todos los coeficientes de un índice n dado. El orden de magnitud de
la complejidad correspondiente es aproximadamente el doble de la del
algoritmo utilizado para el OFDM/QAM.
Los coeficientes así obtenidos son a continuación
desentrelazados 108, simétricamente al entrelazamiento empleado en
la emisión, luego descodificados 109, ventajosamente según una
técnica de descodificación de decisión suave, empleando por ejemplo
un algoritmo del tipo de Viterbi. Si la descodificación del canal
tiene en cuenta la estimación de la respuesta de amplitud del canal
\rho_{m,n}, los valores correspondientes son igualmente
desentrelazados 110. Por otro lado, el desentrelazamiento es desde
luego efectuado antes o después del cartografiado, según el momento
en que el entrelazamiento haya sido empleado en la emisión.
\newpage
Anexo
1
[1] M.L. Doeltz, E.T. Heald y D.L.
Martin, "Técnicas de transmisión de datos Binarios para
sistemas lineales" Procedimientos del IRE, págs.
656-661, Mayo 1957.
[2] R.R. Dossier, "Un sistema de
transmisión de datos que usa modulación de fase de impulso"
IRE Conv. Rec. Ist Nat'l Conv. Military Electronics
(Washington, D.C., Junio 17-19, 1957) págs.
233-238.
[3] G.A. Franco y G. Lachs, "Una
técnica de codificación ortogonal para comunicaciones"
1961 IRE Internat'l Conv. Rec., vol. 9, págs.
126-133.
[4] H.F. Harmuth, "En la transmisión de
información por funciones de tiempo ortogonales" AIEE
Trans. (Communications and Electronics) Vol. 79, págs.
248-255, Julio 1960.
[5] S.B. Weinstein y Paul M.
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[6] L.J. Cimini, "Análisis y simulación
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[7]E.F. Casas y C. Leung,
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[8] E.F. Casas y C. Leung, "OFDM
para comunicación de datos sobre canal de FM de radio móvil - Parte
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[9] I. Daubechies, "La transformación de
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[10] H.E. Jensen, T. Hoholdt, y J.
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[14] B. Hirosaki, "Un análisis de
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[15] B. Hirosaki, "Un sistema QAM
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[16] B. Hirosaki, "Un receptor de máxima
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[17] B. Hirosaki, S. Hasegawa, y A.
Sabato, "Módem de grupo de banda avanzado que usa la
técnica QAM multiplexada ortogonalmente," IEEE Trans.
Común., Vol. COM-34, págs.
587-592, Junio de 1986.
[18] John A.C. Bingham,
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[19] P.M. WOODWARD, "Teoría de la
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[20] F. Amoroso y J.A. Kivett,
"Técnica de señalización MSK simplificada," IEEE Trans.
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433-441, Abril 1977.
[21] P.A. Bello, "Caracterización de
canales lineales de tiempo variable aleatoriamente," IEEE
Trans. Comun. Systems, Págs. 360-393, Dic.
1964.
\newpage
[22] P.M. WOODWARD, "Teoría de la
probabilidad e información con aplicación a Radar," Pergamon
Press, Londres 1953.
[23] M. ALARD y R. LASSALLE
"Principios de modulación y de codificación de canal en
radiodifusión numérica hacia los móviles" Revista de
l'U.E.R, Nº 224, agosto 1987, págs.
168-190.
Anexo
2
Se puede considerar un canal dispersivo como un
sistema lineal que tiene una respuesta de impulsos variable en el
tiempo. Existen dos formas de definir esta respuesta de impulsos. Se
inspirará ampliamente en los acuerdos propuestos en [21]:
\bullet la respuesta de impulsos a la entrada
(Función de Dispersión de Retardo de Entrada) g(t,\tau)
definida por:
r(t)=\int s(t-\tau
)g(t,\tau )d\tau
donde s(t) y r(t)
representan respectivamente las señales emitidas y
recibidas
\bullet la respuesta de impulsos en salida
(Función de Dispersión de Retardo de Salida) h(t,\tau)
definida por:
r(t)=\int s(t-\tau
)h(t-\tau ,\tau )d\tau
Se ha puesto en evidencia que h(t,\tau)
= g(t+\tau,\tau). h(t,\tau) representa la
respuesta de impulsos del canal en el instante t. Provistos de estos
acuerdos, podremos definir las funciones características
siguientes:
\bullet la función de dispersión
retardo-Doppler U(\tau,\nu) (Función de
Dispersión de Retardo-Doppler) caracterizada
por:
g(t,\tau )=\int U(\tau
,\nu )e^{i2\pi \nu t}d\nu
con
\hskip5,5cmr(t)=\int \int U(\tau ,\nu )s(t-\tau )e^{i2\pi \nu t}d\nu d\tau
\bullet la función de dispersión
retardo-Doppler V(\nu,\tau) (Función de
Dispersión de Retardo-Doppler) caracterizada
por:
h(t,\tau )=\int V(\nu
,\tau )e^{i2\pi \nu
t}dv
con
\hskip5,5cmr(t)=\int \int V(\nu ,\tau )s(t-\tau )e^{i2\pi \nu (t-\tau )}d\nu d\tau
Se tiene simplemente:
V(\nu ,\tau
)=e^{i2\pi \nu t}U(\tau ,\nu
)
\bullet la función de transferencia variable
(Función de Transferencia Variable en el Tiempo) T(f,t)
caracterizada por:
T(f,t)=\int
g(t,\tau )e^{-i2\pi ft}d\tau
con
\hskip5,8cmr(t)=\int S(f)T(f,t)e^{i2\pi ft}df
Se encuentra pues la misma ecuación que en el
caso de un canal estacionario, siendo la diferencia simplemente que
la función de transferencia resulta variable en el tiempo. Esta
función de transferencia T(f,t) es la transformada de Fourier
bidimensional de U(\tau,\nu), o sea:
T(f,t)=\iint U(\tau ,\nu
)e^{-2\pi \tau f}e^{i2\pi \nu t}d\tau d\nu
En todos los casos, consideraremos que
U(\tau,\nu) tiene un soporte limitado, lo que permite
representar la función de transferencia T(f,t) por una red de
valores discretos en virtud del teorema de muestreo.
El modelo retardo-Doppler está
definido por la ecuación:
r(t)=\iint U(\tau ,\nu
)s(t-\tau )e^{i2\pi \nu t}d\tau d\nu
Esta ecuación hace aparecer el canal como una
suma de canales elementales caracterizados por una amplitud, una
fase, un desplazamiento temporal y un desplazamiento de frecuencias.
También es legítimo interesarse en el comportamiento de las
diferentes modulaciones en presencia de este tipo de canal, que
bautizaremos retardo-Doppler estático.
La ecuación del canal se escribe pues en la forma
simplificada siguiente:
r(t)=Ae^{i\theta
}s(t-\tau )e^{i2\pi \nu
t}
Consideremos una modulación multiportadora OFDM
de cualquier tipo (OFDM/QAM, OFDM/OQAM u OFDM/
IOTA) caracterizada por la ecuación genérica:
IOTA) caracterizada por la ecuación genérica:
s(t)=\sum\limits
_{k\epsilon
E}a_{k}x_{k}(t)
siendo a_{k} variables reales,
siendo E una red bidimensional de densidad 2 en el espacio
tiempo-frecuencia, siendo las funciones x(t)
trasladadas en tiempo y en frecuencia de una misma función prototipo
x(t), y que constituyen una base hilbertiana de
L^{2}(R).
x_{k}(t)=e^{i\varphi
_{k}}x(t-\tau _{k})e^{2i\pi \nu _{k}t}, k \ \epsilon \
E
Se observará que no se ha hecho ninguna hipótesis
sobre la estructura de la red E. En el caso particular del OFDM/QAM,
esta red se descompone en dos sub-redes
co-localizadas con fases en cuadratura.
La operación de desmodulación se escribe:
\upbar{a}_{n}=\Re e\lfloor
e^{-i\phi }\int r(t)x\cdot _{n}
(t)dt\rfloor
siendo \phi una fase estimada por
el desmodulador y r(t) la envolvente compleja de la señal
recibida. Se puede así
escribir:
Ahora bien:
De ello se deduce que:
El valor óptimo de \phi es el que maximiza el
coeficiente a_{n},o sea:
\phi =Arg\int
\int e^{2i\pi \nu t}U(\tau ,\nu )A_{x}(-\tau ,-\nu )d\tau
d\nu
Aunque generales, las ecuaciones anteriores no
son apenas manipulables. Muestran sin embargo que la señal útil y el
intersímbolo aparecen como integraciones de la función de ambigüedad
ponderada por la función de dispersión
retardo-Doppler.
Si se tiene interés en un canal de tipo
retardo-Doppler estático, caracterizado por una fase
\theta, un retardo \tau y un desplazamiento \nu (se
normalizará la amplitud A a 1), se efectúa las desmodulación de
manera similar introduciendo en el estimador un parámetro de fase
\phi. El resultado de esta operación se escribe:
La señal desmodulada se escribe por tanto
finalmente:
\upbar{a}_{n}=c_{n}a_{n}+\sum\limits
_{k\epsilon E, K\neq
n}c_{k}a_{k}
El segundo término representa la interferencia
entre símbolo (IES). Si se consideran los datos a_{k} como
variables aleatorias independientes de varianza \sigma^{2}, la
varianza I del IES se escribe:
I=\sum\limits
_{k\epsilon E,k\neq n}c^{2}_{k}\sigma
^{2}
Ahora bien, los coeficientes \xi son los
coeficientes de la descomposición de la función e^{i(\theta -\phi
)}e^{-2i\pi \nu t(t+r)} x_{n}(t+\tau), de norma
unidad, sobre la base hilbertiana de las funciones
x_{k}(t). Se tiene pues:
\sum\limits
_{k\epsilon E}c^{2}_{k}=1 \ \ y \ \
I=(1-c^{2}_{n})\sigma
^{2}
En otros términos, la varianza de la señal
recibida es constante y se reparte entre la señal "útil" cman y
el IES, de varianza
I=(1-c^{2}_{n})\sigma^{2}. El cálculo del
coeficiente ck da:
Ahora bien la función de ambigüedad de x_{n} se
escribe:
A_{x_{n}}(\tau
,\nu )=e^{2i\pi (\nu _{n}\tau -\tau _{n}\nu )}A_{x}(\tau
,\nu)
Finalmente, se puede escribir:
c_{n}=\Re
e\lfloor e^{i(\theta -\phi -\pi \nu t)}e^{2i\pi (\nu _{n}\tau -\tau
_{nv})}A_{x}(\tau ,\nu
)\rfloor
Se considerará que la fase de desmodulación
\phi se escribe en forma, \phi_{opt} + \Delta\phi dónde
\phi_{opt} es la fase de desmodulación que minimiza el IES, es
decir que minimiza c_{n}, o sea:
\phi
_{opt}=\theta +\pi \nu t+2\pi (\tau _{n}\nu -\nu _{n}\tau
)
Entonces, la varianza del IES se escribe
simplemente:
I=(1-(\Re
e[A_{x}(\tau ,\nu )e^{i\Delta \phi }])^{2}\sigma
^{2}
Cuando la función prototipo es par, (lo que
corresponde al caso del método de construcción de bases hilbertianas
descrito en el texto principal), la función de ambigüedad es real, y
se tiene por tanto:
I=(1-A^{2}_{x}(\tau
,\nu )cos^{2}\Delta \phi )\sigma
^{2}
Este resultado es de hecho notable, ya que
demuestra que la sensibilidad al retardo y al Doppler de cualquier
modulación multiportadora no depende más que de la función de
ambigüedad de su función prototipo. Se denominará en lo que sigue
función de intersímbolo (por abuso de lenguaje, para función de
interferencia entre símbolos) la función
Is(\tau,\nu)=\sqrt{1-A^{2}_{x}(\tau ,\nu
)} en el caso general, que representa el valor cuadrático medio del
intersímbolo normalizado por el valor cuadrático medio de los datos
en el caso de una estimación de fase óptima.
Nos interesamos más adelante en las propiedades
de la función de intersímbolo. Se constata que la sensibilidad de
una modulación multiportadora está directamente unida al
comportamiento de la función de ambigüedad de la función prototipo
correspondiente a la proximidad de (0,0). El problema planteado es
totalmente análogo a los problemas de incertidumbre encontrados en
el dominio de radar, y se podrá hacer referencia a la literatura
abundante sobre la materia (véase ejemplo [22]). Sin pérdida de
generalidad, se puede elegir la función x(t), por una
traslación temporal y de frecuencias adecuada, de tal modo que sus
momentos de orden uno sean nulos, o sea:
\int
t|x(t)|^{2}dt=\int
f|X(f)|^{2}df=0
En estas condiciones, se verifica fácilmente que
las derivadas parciales de primer orden se anulan:
\hskip1cm\frac{\partial A_{x}}{\partial V}(\tau ,\nu )=-2i\pi \int e^{-2i\pi \nu t}tx(t+\tau /2)x \cdot (t-\tau /2)dt\Rightarrow
Se puede caracterizar el comportamiento de la
función de ambigüedad alrededor de (0,0) a partir de las derivadas
parciales de segundo orden:
\hskip1cmSe supondrá \frac{\partial ^{2}A_{x}}{\partial \tau \partial V}(0,0)\mu _{x}
Consideraremos el desarrollo de
Taylor-Young de la función de ambigüedad en
(0,0):
A_{x}(d\tau
,d\nu )1-2\pi^{2}(\Delta t^{2}d\nu ^{2}+\Delta
f^{2}d\tau ^{2})+\mu d\nu d\tau +\sigma (d\nu ^{2}+d\tau
^{2})
Se deduce de ello el desarrollo de
Taylor-Young de la varianza del intersímbolo
I=(1-(\Re
e[A_{x}(\tau ,\nu )e^{i\Delta \phi }])^{2}cos\Delta \phi
\sigma
^{2}
o
sea:
I(d\tau
,d\nu ,d\phi )=\sigma ^{2}[4\pi ^{2}(\Delta t^{2}d\nu ^{2}+\Delta
f^{2}d\tau ^{2})-2\mu d\nu d\tau +d\phi ^{2}+\sigma
(d\nu ^{2}+d\tau ^{2}+d\phi
^{2})]
Se deduce de ello que la función de intersímbolo
Is admite en el origen un cono tangente de ecuación:
z=\sqrt{4\pi
^{2}(\Delta t^{2}\nu ^{2}+\Delta f^{2}\tau
^{2})-2\mu \nu \tau
}
La intersección de este cono con el plano z = 1
(intersímbolo máximo) delimita una superficie de contorno elíptico
cuya área \xi puede ser considerada como una medida de la
sensibilidad al retardo y al Doppler. Cuando \mu_{X}, es nulo,
esta elipse tiene por ejes de simetría los ejes temporal y de
frecuencias, y se extiende de \pm 1/2\pi\Deltaf según el eje
temporal y \pm 1/2\pi\Deltat según el eje de frecuencia. Se
tiene pues:
\xi=1/4\pi
\Delta t\Delta
f
En virtud de la desigualdad de Heisenberg, \xi
no puede sobrepasar la unidad. Este resultado se generaliza en el
caso en que \mu_{X} es diferente de 0. Consideramos la función
y(t) obtenida multiplicando la función x(t) por una
wobulación:
y(t)=e^{i\pi \beta
t^{2}}x(t)\Rightarrow y'(t)=e^{i\pi \beta t^{2}}(x'(t)+2i\pi
\beta
tx(t))
Se puede pues escribir:
Es por tanto siempre posible anular \mu_{y}
eligiendo \beta de forma apropiada. Ahora bien la operación de
multiplicación por una wobulación realiza un simple cambio de ejes
de la función de ambigüedad asociada, con conservación de áreas. Se
deduce de ello que el parámetro \xi está pues siempre comprendido
entre 0 y 1.
Este resultado es extremamente importante, porque
permite comparar las prestaciones de todas las MCM en canales
dispersivos a partir de un parámetro único. Se constata pues que
estas prestaciones no dependen más que de la concentración de la
función prototipo asociada. El óptimo es alcanzado virtualmente por
la gaussiana, pero este óptimo es inaccesible, porque las gaussianas
no permiten construir una base hilbertiana.
Anexo
3
Este anexo da un método de construcción de
función prototipos que verifica los criterios de ortogonalidad
requeridos. El método permite obtener una infinidad de funciones,
entre las cuales una solución particular (llamada función IOTA) que
posee la particularidad de ser idéntica a su transformada de
Fourier.
Este capítulo recuerda las principales
propiedades de la función de ambigüedad, y describe diferentes
operadores que actúan sobre esta función.
Sea una función x(t) y su transformada de
Fourier X(f). Se puede asociarle sus productos temporal y de
frecuencias definidos respectivamente por:
La transformada de Wigner-Ville y
la función de ambigüedad de x son entonces dadas por:
Sea una función x(t). Se observará
respectivamente por x^{-} y \upbar{X} las funciones definidas
de la manera siguiente:
Se tienen entonces las relaciones:
A_{x}(\tau
,\nu )=\int e^{-2i\pi \nu t}x(t +\tau /2)x\cdot (t +
\tau /2)dt=\int e^{-2i\pi \nu t}x(-t-\tau /2)x\cdot
(-t+\tau
/2)dt
o sea, suponiendo u
=-t:
A_{x}(\tau
,\nu )=\int e^{2i\pi \nu t}x(-u+\tau /2)x\cdot (-u-\tau
/2)du= \int e^{2i\pi \nu t}x(-u+\tau /2)x\cdot (u+\tau
/2)du=A_{x}{}\cdot (\tau ,\nu
)
Se concluye de ello en particular que si una
función x es par, es decir, que x=x^{-}, su función de ambigüedad
es real. Por otra parte, se observará la relación siguiente:
A_{x}(\tau
,\nu )=\int e^{-2i\pi \nu t}x\cdot (u+\tau /2)x(u-\tau
/2)du=A_{x}(-\tau ,\nu
)
Combinando estas dos relaciones, se obtiene:
A_{x}(\tau
,\nu )=A_{x}(-\nu ,\tau
)
Se puede rescribir la definición de la función de
ambigüedad de la manera siguiente:
A_{x}(\tau
,\nu )=\int\Gamma _{x}(f,\nu )e^{2i\pi f\tau }df=\int\gamma
_{x}(f,\nu )e^{2i\pi f\tau }df=A_{x}(\nu ,-\tau
)
o aún:
\hskip5,8cmA_{x}(\tau ,\nu )=A_{x}(-\nu ,\tau )
Consideremos una función trasladada de una
función prototipo x(t) cualquiera, sea:
x_{k}=e^{i\varphi _{k}}e^{2i\pi
\nu _{k}t}x(t-\tau
_{k})
La función de ambigüedad asociada se escribe:
A_{x}(\tau
,\nu )=\int e^{-2i\pi \nu t}e^{i\varphi _{k}}e^{2i\pi \nu
_{k}(t+\tau /2)}x(t-\tau _{k}+\tau /2)e^{-i\varphi
_{k}}e^{-2i\pi \nu _{k}(t-\tau /2)}x\cdot (t-\tau _{k}-\tau
/2)dt= \int e^{-2i\pi \nu t}e^{2i\pi \nu _{k}\tau
}x(t-\tau _{k}+\tau /2)x\cdot (t-\tau _{k}-\tau
/2)dt
sea, suponiendo u =
t-\tau_{k}
A_{x}(\tau
,\nu )=e^{2i\pi (\nu _{k}\tau -\nu \tau _{k})}\int e^{-2i\pi \nu
t}x(u+\tau /2)x \cdot (u-\tau /2)du=e^{2i\pi
(\nu _{k}\tau -\nu \tau _{k})}A_{x}(\tau ,\nu
)
Se consideran dos funciones trasladadas de una
misma función x(t), o sea:
x_{k}=e^{i\varphi _{k}}e^{2i\pi
\nu _{k}t}x(t-\tau
_{k})
x_{k'}=e^{i\varphi _{k'}}e^{2i\pi
\nu _{k'}t}x(t-\tau
_{k'})
El producto escalar de estas dos funciones se
escribe:
\langle
x_{k}|x_{k'}\rangle=e^{i(\varphi _{k}-\varphi _{k'}})\int\limits
_{R} e^{2i\pi (\nu _{k}-\nu _{k'})t}x(t-\tau _{k})x \cdot
(t-\tau
_{k})dt
sea, suponiendo u =
t-(\tau_{k}+\tau_{k'})/2:
Se considera un conjunto de funciones {x_{m,n}}
definido por:
x_{m,n}(t)=e^{i(m+n)\pi
/2}e^{2i\pi m\nu _{0}t}x(t-n\tau _{0}) con
v0\tau0 =
½
Se buscan las condiciones sobre x(t) para
que este conjunto {x_{m,n}} constituya una base hilbertiana de
H_{R}. Se impondrá que x(t) sea una función par, cuya
función de ambigüedad A_{x} es por tanto real.
El producto escalar en R de x_{m,n} y de
x_{m',n'} puede escribirse
Se observará la relación de congruencia de módulo
2:
(m-m')+(n-n')+(m-m')(n+n')\equiv
1-(m-m'+1)(n-n'+1)
Por consiguiente, si
(m,n)\neq(m',n') módulo 2, el producto escalar es
nulo. La red {x_{m,n}} puede por tanto descomponerse en cuatro
subredes caracterizadas por: {m par, n par},{m par, n impar},{m
impar, n par},{m impar, n impar}. La ortogonalidad entre funciones
que pertenecen a subredes diferentes es por tanto automática, y no
depende de las propiedades de la función prototipo, desde el
instante en que es par.
Queda a continuación garantizar que las funciones
de una misma subred sean ortogonales entre ellas. Basta para ello
que la función de ambigüedad A_{x} verifique:
A_{x}(2n\tau
_{0},2m\nu _{0})=0\forall (m,n)\neq
(0,0)
Se constata pues que el problema de la
construcción de bases hilbertianas de H sobre una red ortogonal de
densidad 2 se reduce al de la construcción de una función prototipo
par cuya función de ambigüedad se anula sobre una red de densidad
½.
Sea una función x(t) de transformada de
Fourier X(f). Se llama O_{t} al operador de
ortogonalización temporal que asocia a x(t) una función
y(t) definida por su transformada de Fourier Y(f):
Y(f)=\frac{X(f)}{\sqrt{\nu
_{0}\sum\limits _{k}|X(f-k\nu
_{0})|^{2}}}
Por construcción se tiene:
\nu
_{0}\sum\limits _{m}|Y(f-m\nu _{0}|^{2}=\nu
_{0}\sum\limits _{m}\Gamma _{y}(f-m\nu
_{0},0)=1
sea, por transformada de Fourier
inversa:
\left[\sum\limits _{m}\delta
(\tau -2n\tau _{0})\right]A_{y}(\tau ,0)=\delta (\tau
)
sea
aún
A_{y}(2n\tau
_{0},0)=0 \ \forall n\neq 0 \ \ y \ \
A_{y}(0,0)=1
Se realiza por tanto bien la ortogonalización
sobre el eje temporal. Se observa además que este operador normaliza
y.
Sea x una función gaussiana e y=O_{t}x.
Consideremos la expresión:
\Gamma
_{y}(f,2m\nu _{0})=Y(f+m\nu _{0})Y\cdot
(f-m\nu _{0})=\frac{X(f+m\nu
_{0})X'(f-m\nu _{0})}{\nu _{0}\sum\limits
_{k}|X(f-k\nu
_{0})|^{2}}
Ya que X es una gaussiana, se puede escribir:
X(f+m\nu _{0})X'(f+m\nu
_{0})=c_{m}|X(f)|^{2}
donde cm es una constante. Se
deduce de ello
que:
\Gamma
_{y}(f,2m\nu _{0})=c_{m}\Gamma
_{y}(f,0)
Por transformada de Fourier inversa, se
obtiene:
A_{y}(\tau
,2m\nu _{0})=c_{m}A_{y}(\tau
,0)
Por consiguiente:
\forall
m,\forall n\neq 0
\hskip0,5cmA_{y}(2n\tau _{0},2m\nu _{0})=0
El operador de ortogonalización temporal O_{t}
ortogonaliza por tanto el conjunto de la red, a excepción del eje de
las frecuencias.
Teorema
1
Sea x una función gaussiana e y=O_{t}x,
entonces:
\forall
m,\forall n\neq 0
\hskip0,5cmA_{y}(2n\tau _{0},2m\nu _{0})=0
Sea una función x(t). Se llama O_{t} al
operador de ortogonalización de frecuencias que asocia a x(t)
una función y(t) definida por:
y(t)=\frac{x(t)}{\sqrt{\tau
_{0}\sum\limits _{n}|x(t-k\tau
_{0})|^{2}}}
Por construcción, se tiene:
\tau
_{0}\sum\limits _{n}|y(t-n\tau _{0}|^{2}=\tau
_{0}\sum\limits _{n}\gamma _{y}(t-n\tau
_{0},0)=1
o sea, por transformada de
Fourier:
\left[\sum\limits _{m}\delta (\nu
-2m\nu _{0})\right]A_{y}(0,\nu )=\delta (\nu ) \ \ con \ \
\nu _{0}\tau
_{0}=1/2
o sea
aún
A_{y}(0,2m\nu
_{0})= 0 \ \ \forall m\neq 0 \ \ y \ \
A_{y}(0,0)=1
Se comprueba por tanto bien la ortogonalización
sobre el eje de frecuencias. Se observa además que este operador
normaliza y.
Sea x una función gaussiana y z = O_{t}y, con y
= O_{t}x. Consideremos la expresión:
\gamma
_{z}(t,2n\tau _{0})=z(t+n\tau _{0})z\cdot
(t-n\tau _{0})=\frac{y(1+n\tau _{0})y \cdot
(t-n\tau _{0})}{\tau _{0}\sum\limits
_{k}|y(t-k\tau
_{0})|^{2}}
Se puede por tanto escribir:
\gamma
_{z}(t,2n\tau _{0})=\gamma _{z}(t,2n\tau
_{0})P(t)
donde P(t) es una función
periódica de período \tau_{0}, que admite un desarrollo en serie
de Fourier del tipo
\sum\limitsake4i\pikv0t
Por transformada de Fourier, se obtiene:
A_{z}(2n\tau
_{0},\nu )=\sum\limits _{k}a_{k}A_{y}(2n\tau _{0},\nu -2k\nu
_{0})
Ahora bien
\forall m,
\forall n\neq 0,
\hskip0,5cmA_{y}(2n\tau _{0},2m\nu _{0})=0\Rightarrow
\forall m,
\forall n\neq 0,
\hskip0,5cmA_{z}(2n\tau _{0},2m\nu _{0})=0
Además, por construcción,
\forall m \neq
0,
\hskip0,5cmA_{y}(0,2m\nu _{0})=0
Se tiene por tanto finalmente:
\forall
(m,n)\neq (0,0),
\hskip0,5cmA_{yz}(2n\tau _{0},2m\nu _{0})=0
Así, la función de ambigüedad de z se anula fuera
de (0,0) para todos los múltiplos de 2\tau0 y de 2\nu0, o sea
una red de densidad ½.
Teorema
2
Sea x una función gaussiana y z =
O_{t}O_{t}x, entonces:
\forall
(m,n)\neq (0,0),
\hskip0,5cmA_{yz}(2n\tau _{0},2m\nu _{0})=0
A la vista de lo que precede; parece claramente
que existe una escala de tiempo-frecuencia que
simetriza la escritura de las ecuaciones: Batas para ello elegir
\tau0 = \nu0 = 1/\sqrt2. Se renormalizarán pues las escalas en
consecuencia, sin que ello perjudique a la generalidad de las
demostraciones.
Se llama O al operador de ortogonalización que
asociada a una función x la función y definida por:
\gamma
(u)=\frac{2^{1/4}y(u)}{\sqrt{\sum\limits
_{k}|y(u-k/\sqrt{2})|^{2}}}
Además, se llamará en lo que sigue F al operador
de transformada de Fourier.
Sea z = Oy e y = Ox. Se puede escribir:
Se tiene pues OOx = Ox, lo que demuestra la
idempotencia del operador O. De la misma manera, el operador
F-1OF es igualmente idempotente, ya que
F-1OFF-1OF = F-1OOF
= F-1OF.
Sea P una función periódica de período 1/\surd2
y D una distribución de la forma:
D(u)=\sum\limits
_{k}a_{k}\delta
(u-k\sqrt{2})
Sea x una función cualquiera:
[D*P(x)]u=\sum\limits
_{k}a_{k}P(u-k\sqrt{2})x(u-k\sqrt{2}=P(u)\sum\limits
_{k}a_{k}x(u-k\sqrt{2})=[P(D*x)](u)
Lema
1
Sea P una función periódica de período 1/\surd2
y D una distribución de la forma D(u)=\sum\limits _{k}a_{k}
\delta (u-k\sqrt{2}). Sea x una función cualquiera.
Se tiene:
D*(Px)=P(D*x)
Lema
2
Sea la función y\alpha definida por y\alpha =
D * x\alpha, con x_{\alpha }=(2\alpha )^{1/4}e^{-\pi
\alpha \nu ^{2}}, y siendo D una distribución de la forma
D(u)=\sum\limits _{k}a_{k}\delta
(u-k\sqrt{2)}
Se puede por tanto escribir: y_{\alpha
}(u)=\sum\limits _{k}a_{k}x_{\alpha
}(u-k\sqrt{2})
Consideremos la suma:
\sum\limits
_{k}|y_{\alpha }(u-k/\sqrt{2})|^{2}=\sum\limits
_{k}\sum\limits _{k',k''}a_{k'}a_{k''}x_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2}-k'\sqrt{2})x_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2}-k''\sqrt{2})
Sea aún, por aplicación del resultado dado en el
apéndice (4):
\sum\limits
_{k}|y_{\alpha }(u-k/\sqrt{2})|^{2}=\sum\limits
_{k}\sum\limits _{k',k''}a_{k'}a_{k''}e^{-\pi \alpha
(k'-k'')^{2}}|x_{\alpha
}(u-(k+k'+k'')/\sqrt{2}|^{2}
luego, reorganizando los índices y
volviendo a definir k como
k+k'+k'':
\sum\limits
_{k}|y_{\alpha }(u-k/\sqrt{2})|^{2}=\sum\limits
_{k}\sum\limits _{k',k''}a_{k'}a_{k''}e^{-\pi \alpha
(k'-k'')^{2}}|x_{\alpha }(u-k
/\sqrt{2})|^{2}
Se puede por tanto escribir:
\sum\limits
_{k}|y_{\alpha }(u-k/\sqrt{2})|^{2}=c\sum\limits
_{k}|x_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2})|^{2}
con
\hskip6cmc=\sum\limits _{k',k''}a_{k'}a_{k''}e^{-\pi \alpha (k'-k'')^{2}}
Se puede estimar fácilmente el coeficiente c
volviendo a escribir la relación precedente en la forma:
\sum\limits
_{k}\gamma _{y_{\alpha
}}(u-k/\sqrt{2,0})=c\sum\limits _{k}\gamma
_{x_{\alpha
}}(u-k/\sqrt{2,0})
Sea, por transformada de Fourier:
\sqrt{2}\left[\sum\limits
_{k}\delta
(\nu-k/\sqrt{2})\right]A_{y_{\alpha }}(0,\nu
)=c\sqrt{2}\left[\sum\limits _{k}\delta (\nu
-k/\sqrt{2})\right]A_{x_{\alpha }}(0,\nu
)
En particular, se deduce de ello:
||y_{\alpha
}||^{2}=A_{y_{\alpha }}(0,0)=cA_{x_{\alpha }}(0,0)=c||x_{\alpha
}||^{2}
Se tiene por tanto finalmente:
\frac{\sum\limits _{k}|y_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2})|^{2}}{||y_{\alpha
}||^{2}}=\frac{\sum\limits _{k}|x_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2})|^{2}}{||x_{\alpha
}||^{2}}
Lema
2
Sea la función y_{\alpha } definida por
y_{\alpha } = D * x_{\alpha }, con x_{\alpha
}=(2\alpha)^{1/4}e^{-\pi \alpha \nu ^{2}}, y siendo D
una distribución de la forma
D(u)=\sum\limits_{k}a_{k}\delta(u-k\sqrt{2}).
Se puede escribir:
\frac{\sum\limits _{k}|y_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2})|^{2}}{||y_{\alpha
}||^{2}}=\frac{\sum\limits _{k}|x_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2})|^{2}}{||x_{\alpha
}||^{2}}
Vamos ahora a demostrar que los operadores O y
F^{-1}OF conmutan cuando son aplicados a una gaussiana. Sea
x_{\alpha}=(2\alpha)^{1/4}e^{-\pi \alpha \nu
^{2}}.
Entonces Fx_{\alpha } = x_{1/\alpha }
y Ox_{\alpha } = P_{\alpha }x_{\alpha }
estando P_{\alpha } definido por la
relación:
P_{\alpha
}(u)=\frac{2^{1/4}}{\sqrt{\sum\limits _{k}|x_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2})|^{2}}}
y su transformada de Fourier
D_{\alpha }
por:
D_{\alpha
}(u)=\sum\limits _{k}a_{\alpha ,k}\delta
(u-k/\sqrt{2})
Sean y_{\alpha } = F^{-1}OFx_{\alpha } y
z_{\alpha } = Oy_{\alpha }. Se puede escribir:
y_{\alpha } =
F^{-1}OFx_{\alpha } = F^{-1}Ofx_{1/\alpha } = F^{-1}(P_{1/\alpha
}x_{1/\alpha }) = D_{1/\alpha }* x_{\alpha
}
y
\hskip5,5cmz_{\alpha }(u)=\frac{2^{1/4}y_{\alpha }(u)}{\sqrt{\sum\limits _{k}|y_{\alpha }(u-k/\sqrt{2})|^{2}}}
siendo x_{\alpha } e y_{\alpha } de norma
unidad, se puede escribir, en aplicación del lema 2:
z_{\alpha
}(u)=\frac{2^{1/4}y_{\alpha }(u)}{\sqrt{\sum\limits _{k}|y_{\alpha
}(u-k/\sqrt{2})|^{2}}}=P_{\alpha }y_{\alpha
}=P_{\alpha }(D_{1/\alpha }*x_{\alpha
})
De la misma manera se define:
w_{1/\alpha }
= FOx_{\alpha } = F(P_{\alpha }x_{\alpha }) = D_{\alpha }*
x_{1/\alpha
}
Se puede escribir:
Ow_{1/\alpha
}(u)=\frac{2^{1/4}w_{1/\alpha }(u)}{\sqrt{\sum\limits
_{k}|w_{1/\alpha }
(u-k/\sqrt{2})|^{2}}}
siendo w_{1/\alpha } y
w_{1/\alpha } de norma unidad, se tiene, en aplicación del lema
2:
Ow_{1/\alpha
}(u)=\frac{2^{1/4}w_{1/\alpha }(u)}{\sqrt{\sum\limits
_{k}|w_{1/\alpha } (u-k/\sqrt{2})|^{2}}}=P_{1/\alpha
}(w_{1/\alpha }=P_{1/\alpha }(D_{\alpha }*x_{1/\alpha
})
O sea, por transformada de Fourier inversa:
F^{-1}OFOx_{\alpha } =
F^{-1}Ow_{1/\alpha } = D_{1/\alpha }* (P_{\alpha }x_{\alpha
})
Ahora bien, por aplicación del lema 1:
D_{1/\alpha }
*(P_{\alpha }x_{\alpha }) = P_{\alpha }(D_{1/\alpha } * x_{\alpha
})
Se deduce de ello que:
OF^{-1}OFx_{\alpha } =
F^{-1}OFOx_{\alpha
}
Teorema
3
Para cualquier función gaussiana x, los
operadores O y F^{-1}OF conmutan, o sea:
OF^{-1}OFx =
F^{-1}OFOx
Corolario
1
Sea z_{\alpha} = OF^{-1}OFx_{\alpha}, con
x_{\alpha}=(2\alpha)^{1/4}e^{-\pi \alpha \nu ^{2}},
entonces Fz_{\alpha }= z_{1/\alpha }
Demostración:
Fz_{\alpha } = FF^{-1}OFOx_{\alpha } =
OF^{-1}Ox_{\alpha }= OF^{-1}Ofx_{1/\alpha } = z_{1/\alpha
}
Fz_{1} =
z_{1}
Esta función confiere una perfecta simetría a los
ejes de tiempos y de frecuencia, y constituye por tanto la función
prototipo de la transformada IOTA (Algoritmo de Transformación
Ortogonal Isotrópico). Se observará esta función particular
\Im.
Corolario
2
Sea x una función gaussiana y z = OF^{-1}OFx,
entonces Oz=z
Demostración:
Oz =
OOF^{-1}OFx = OF^{-1}Ofx =
z
Corolario
3
Sea x una función gaussiana y z=OF^{-1}OFx,
entonces F^{-1}OFz=z
Demostración:
F^{-1}OFz =
F^{-1}OFF^{-1}OFOx = F^{-1}OOFOx = F^{-1}OFOx=
z
Consideramos el teorema 2, con la normalización
\tau_{0}=\nu_{0}=1\sqrt{2}. Entonces:
O_{t} = O \ y
\ O_{t} =
F^{-1}OF
Por consiguiente, el teorema 2 se puede
reescribir:
Teorema
4
Sea x una función gaussiana normalizada y z =
F^{-1}OFOx, entonces:
\forall(m,n)\neq (0,0),
\hskip0,5cmA_{z}(n\sqrt{2},m\sqrt{2})=0
Sea una función gaussiana normalizada
x_{\alpha} definida por:
x_{\alpha
}(u)=(2\alpha )^{1/4}e^{-\pi \alpha
\nu^{2}}
El producto
x_{\alpha}(u-a)x_{\alpha}(u-b)
puede por tanto escribirse:
x(u-a)x(u-b)=\sqrt{2\alpha
} e^{-\pi \alpha ((\alpha -a)^{2}+(\alpha
-b)^{2}}
Ahora bien, se tiene la identidad:
(u-a)^{2}+(u-b)^{2}=2\left[(u-\frac{a+b}{2})^{2}+(\frac{a-b}{2})^{2}\right]
Finalmente, se puede escribir:
x(u-a)x(u-b)=e^{-\pi
\alpha
(a-b)^{2}/2}\left[x(u-(\frac{a+b}{2})\right]^{2}
Claims (13)
1. Una señal multiportadora destinada a ser
transmitida hacia receptores numéricos, particularmente en un canal
de transmisión no estacionario, correspondiente al multiplexado en
frecuencia de varias portadoras elementales correspondientes cada
una a una serie de símbolos, estando separados dos símbolos
consecutivos de un tiempo de símbolo \tau_{0},
caracterizado por una parte porque el espaciamiento \nu_{0}
entre dos portadoras contiguas es igual a la mitad de la inversa del
tiempo símbolo \tau_{0}, y por otra parte porque cada portador
sufre un filtrado (94) de puesta en forma de su espectro que
presenta un ancho de banda superior a dos veces dicho espaciamiento
entre los portadoras \nu_{0}, y elegido de manera que cada símbolo
sea concentrado en el dominio temporal y en el dominio de
frecuencias.
2. Una señal según la reivindicación 1ª,
caracterizado porque su envolvente compleja responde a la
ecuación siguiente:
s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}x_{m,n}(t)
donde:
a_{m,n} es un coeficiente real representativo
de la señal fuente, elegido en un alfabeto de modulación
predeterminado;
- m
- es un entero que representa la dimensión de frecuencia;
- n
- es un entero que representa la dimensión temporal;
- t
- representa el tiempo;
X_{m,n}(t) es una función
de base, trasladada en el espacio tiempo-frecuencia
de una misma función prototipo x(t) par que toma valores
reales o complejos, o
sea:
x_{m,n}(t)=\pm
i^{m+n}e^{i(2\pi m\nu _{0}f+\varphi
)}x(t-n\tau _{0}) con v_{0}\tau _{0}
=1/2
donde \varphi es un parámetro de
fase
arbitrario,
teniendo la transformada de Fourier X(f)
de la función x(t) un soporte que se extiende más allá del
intervalo [-\nu_{0},\nu_{0}],
y donde dichas funciones de base {X_{m,n}} son
ortogonales entre sí, siendo nula la parte real del producto escalar
de dos funciones de base diferentes.
3. Una señal según la reivindicación 2ª,
caracterizada porque dicha función prototipo x(t) es
una función par, nula fuera del intervalo [-\tau_{0},\tau_{0}],
y verificando la relación:
4. Una señal según la reivindicación 3ª,
caracterizada porque dicha función prototipo x(t) está
definida por:
5. Una señal según la reivindicación 2ª,
caracterizada porque dicha función prototipo x(t) está
caracterizada por la ecuación:
x(t)=\frac{y(t)}{\sqrt{\tau
_{0}\sum\limits _{k}|y(t-k\tau
_{0})|^{2}}}
estando definida la función
y(t) por su transformada de Fourier
Y(f):
Y(f)=\frac{G(f)}{\sqrt{\nu
_{0}\sum\limits _{k}|G(f-k\nu
_{0})|^{2}}}
donde G(f)es una
función gaussiana normalizada del tipo:
G(f)=(2\alpha )^{1/4}e^{-\pi \alpha f^{-2}} siendo
\alpha un parámetro real estrictamente
positivo.
6. Una señal según la reivindicación 5ª,
caracterizada porque el parámetro \alpha es igual a la
unidad.
7. Un procedimiento de emisión de una señal
multiportadora hacia receptores numéricos, particularmente en un
canal de transmisión no estacionario, correspondiendo dicha señal al
multiplexado en frecuencia de varias portadoras elementales que
corresponden cada una a una serie de símbolos, estando separados dos
símbolos consecutivos de un tiempo símbolo \tau_{0},
caracterizado por una parte porque el espaciamiento \nu_{0}
entre dos portadoras contiguas es igual a la mitad de la inversa del
tiempo símbolo \tau_{0}, y por otra parte porque cada portadora
sufre un filtrado (94) de puesta en forma de su espectro que
presenta un ancho de banda superior a dos veces dicho espaciamiento
entre portadoras \nu_{0}, y elegido de manera que cada símbolo sea
concentrado en el dominio temporal y en el dominio de
frecuencia.
8. Un procedimiento de emisión de una señal
numérica según la reivindicación 7ª, particularmente en un canal de
transmisión no estacionario, que comprende una etapa de codificación
de canal de una señal numérica a transmitir, que entrega los
coeficientes numéricos reales a_{m,n} elegidos en un alfabeto
predeterminado, caracterizado porque comprende las etapas
siguientes:
- construcción (94) de una señal s(t) que
responde a la ecuación siguiente:
s(t)=\sum\limits
_{m,n}a_{m,n}x_{m,n}(t)
donde:
- m es un entero que representa la dimensión de frecuencia;
- n es un entero que representa la dimensión temporal;
- t representa el tiempo;
- X_{m,n}(t) es una función de base, trasladada en el espacio tiempo-frecuencia de una misma función prototipo x(t) par que toma valores reales o complejos, o sea:
x_{m,n}(t)=\pm
i^{m+n}e^{i(2\pi m\nu _{0}f+\varphi
)}x(t-n\tau _{0}) con v_{0\tau \ 0} =
1/2
- donde \varphi es un parámetro de fase arbitrario,
- teniendo la transformada de Fourier X(f) de la función x(t) un soporte que se extiende más allá del intervalo [-\nu_{0},\nu_{0}],
- siendo dichas funciones de base {X_{m,n}} ortogonales entre ellas, siendo nula la parte real del producto escalar de dos funciones de base diferentes.
- emisión (911) de una señal que tiene por
envolvente compleja dicha señal s(t) hacia al menos un
receptor.
9. Un procedimiento según la reivindicación 8ª,
caracterizado porque comprende una etapa (93) de
entrelazamiento en frecuencia y/o en tiempo, aplicada a los
elementos binarios que forman dicha señal numérica a transmitir o a
los coeficientes numéricos a_{m,n}.
10. Un procedimiento de emisión según una
cualquiera de las reivindicaciones 8ª y 9ª, caracterizado
porque dicha función prototipo es obtenida según las etapas
siguientes:
- selección de una función gaussiana G(f)
normalizada del tipo:
G(f)=(2\alpha
)^{1/4}e^{-\pi \alpha
f^{2}}
- determinación de dicha función prototipo
x(t) tal como:
\newpage
x(t)=\frac{y(t)}{\sqrt{\tau
_{0}\sum\limits _{k}|y(t-k\tau
_{0})|^{2}}}
estando definida la función
y(t) por su transformada de Fourier
Y(f):
Y(f)=\frac{G(f)}{\sqrt{\nu
_{0}\sum\limits _{k}|G(f-k\nu
_{0})|^{2}}}
11. Un procedimiento de recepción de una señal
multiportadora, caracterizado porque comprende una etapa de
descodificación de dicha señal, correspondiendo dicha señal al
multiplexado en frecuencia de varias portadoras elementales que
corresponden cada una a una serie de símbolos, estando separados dos
símbolos consecutivos de un tiempo símbolo \tau_{0}, siendo igual
el espaciamiento \nu_{0} entre dos portadoras contiguas a la mitad
de la inversa del tiempo símbolo \tau_{0}, y habiendo sufrido cada
portadora un filtrado (94) de puesta en forma de su espectro que
presenta una anchura de banda superior a dos veces dicho
espaciamiento entre portadoras \nu_{0}, y elegido de manera que
cada símbolo sea concentrado en el dominio temporal y en el dominio
de frecuencia.
12. Un procedimiento de recepción según la
reivindicación 11ª, caracterizado porque comprende las etapas
siguientes:
- recepción de una señal que tiene por envolvente
compleja una señal r(t);
- estimación (106) de la respuesta del canal de
transmisión, que comprende una estimación de la respuesta de la fase
\theta_{m,n} y de la respuesta de la amplitud \sigma
_{m,n};
- desmodulación de dicha señal r(t), que
comprende las etapas siguientes:
- -
- multiplicación (111) de dicha señal r(t) por una función prototipo x(t);
- -
- repliegue (113) de la forma de onda obtenida del módulo 2\tau _{0};
- -
- aplicación (114) de una transformada de Fourier (FFT);
- -
- corrección (115) de la fase \theta _{m,n} inducida por el canal de transmisión;
- -
- corrección (117) de la fase i^{m+n};
- -
- selección (118) de la parte real \upbar{a}_{m,n} correspondiente al coeficiente obtenido ponderado por la respuesta de amplitud \rho _{m,n} del canal de transmisión.
13. Un procedimiento según la reivindicación 12ª,
caracterizado porque comprende una etapa de
desentrelazamiento (108) en frecuencia y/o en tiempo de dichos
coeficientes numéricos reales \upbar{a}_{m,n} y, eventualmente,
de los valores correspondientes rm,n de la respuesta de la amplitud
del canal, siendo dicho desentrelazamiento simétrico a un
entrelazamiento empleado en la emisión, y/o una etapa de
descodificación en decisión ponderada adaptada a la codificación de
canal empleada en la emisión.
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|---|---|---|---|
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Family Cites Families (3)
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-
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-
1996
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