JP3742707B2 - 時変振動機構に用いる制振起動方法 - Google Patents
時変振動機構に用いる制振起動方法 Download PDFInfo
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、対象物を上昇・下降させながら水平方向に移動させることにより搬送するクレーンや、カッティングマシンにおけるキャリッジ等のように、駆動の際に、加速や減速を要する時変振動機構を有する装置に用いる制振起動方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
従来から、種々の装置において振動の発生を防止するための制御方法が研究開発されており、このような制御方法のなかに、例えば、特開昭６３−３１４６０６号や特開昭６３−３１４６０７号に開示されている、ロボットのアームの先端に発生する振動を抑制する方法がある。
【０００３】
これらの方法はいずれも、ロボットのアームの先端に取り付けた加速度センサの信号を外乱トルクとしてフィードバックし、このフィードバックされたデータに応じてロボットのアームに加える加速度を制御することにより制振するものである。
【０００４】
したがって、この方法によると、実際にロボットに振動が発生してから制振の制御に入るようになり、振動自体の発生を防止することはできないという問題がある。また、このような方法によると、高速度演算のできるＣＰＵが必要となり、装置が高価で複雑になるという問題もあった。
【０００５】
また、上記従来例のような、センサ等を用いたフィードバックによる制御を行うことなく、振動機構を制御対象とし、その固有の周期と同程度の時間で、しかも残留振動を生じさせることなく起動・停止できる駆動関数を求める方法として、日本機械学会論文集（Ｃ編）５１巻４６９号（昭６０−９）に開示された”振動機構系の最適な高速起動制御”がある。
【０００６】
この制御方法は、振動機構系をサーボモータで駆動する場合のモータおよび制御回路の動特性を考慮したもので、図９に示すように、駆動力ｆを、質量ｍ1 の駆動点１に負荷し、ばね定数Ｋのばね２を介して質量ｍ2 の制御対象点３を起動する場合の制振方法を示している。
【０００７】
なお、図１０は、駆動力ｆを、駆動点１に負荷する駆動力ｆ1 と制御対象点３に負荷する駆動力ｆ2 とに分けて考えることをができることを示している。また、図９および図１０において、ｘは駆動点１の変位、ｙは制御対象点３の変位をそれぞれ示している。
【０００８】
この場合、まず、残留振動が生じない制御対象点３の変位ｙ（ｔ）を、式
【数８】
という時間関数で表すとともに、制御対象点３が停止状態から残留振動なく時間Ｔで速度Ｖとなる条件式
【数９】
を用い、これらの式から、最適な駆動関数を求める。
【０００９】
そして、この駆動関数に追従するように駆動点１が加速するようにモータを駆動させるプログラムを作成し、このプログラムに沿ってモータを制御することにより、制御対象点３に振動を生じさせない駆動が可能になる。この結果、複雑で高価な装置を用いることなく装置の振動自体の発生を防止することができるようになるというものである。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上記の方法においては、ロボットのアーム等のような時間の経過によっても共振周波数が変化しない、いわゆる時不変振動機構に対しては制振効果を発揮するが、クレーンのように、物を目的地に移動させる際、ロープを伸縮させて物を上昇・下降させる動作が加わるような、共振周波数が時間とともに変わる時変振動機構に対しては、制振効果を発揮することができない。
【００１１】
このため、時変振動機構を有する装置において、上記のような方法を用いても、加速・減速の終了時には、やはり残留振動が生じるという問題がある。
この発明は、このような事情に鑑みなされたもので、共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有する装置における振動発生を防止することにより、その装置の起動から停止までの時間を短縮させることのできる時変振動機構に用いる制振起動方法の提供をその目的とする。
【００１２】
【課題を解決するための手段】
上記の目的を達成するため、この発明にかかる時変振動機構に用いる制振起動方法では、まず、共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有する装置における、時変パラメーターを時間ｔの多項式で表した時変振動機構に対応する運動方程式を立てる。
【００１３】
この場合、一般的な運動方程式をもとに、使用する装置特有の運動方程式を考えるが、この際に、共振周波数を経時的に変化させる要素を時変パラメーターとして多項式を作りこれを上記運動方程式に含ませる。これによって、この運動方程式が時変振動機構に対応するものとなる。
【００１４】
つぎに、この装置で駆動する制御対象物の加速または減速の終了時に振動が生じない境界条件を設定する。例えば、使用する装置がクレーンであれば、起動前の時間が０の場合には、ロープの振れ角度，振れ角速度，トロリーの位置，トロリーの速度がともに０となり、加速終了時には、トロリーの位置および速度が所定値になり、かつ、ロープの振れ角度，振れ角速度が０になるといった条件等である。
【００１５】
ついで、上記運動方程式および境界条件の式で係数を決定することが可能な次数の方程式を求め、これらの式を解くことによって起動方式を求める。これは、上記と同様クレーンの場合であれば、ロープの振れ角度やトロリーの位置を時間の関数として表し、これによって得られる式と上記の運動方程式および境界条件の式とで、起動方式を決定することができる。
【００１６】
なお、この場合の上記運動方程式の次数は、後述するように、上記の方法で得られた等式の数と未知数の数との関係で求められる。
そして、求められた起動方式に沿うように装置を駆動させ制御対象物の加速・減速制御を行う。
【００１７】
これによって、他の予期せぬ外因が生じない限り、加速・減速の終了時における制御対象物の振動発生が防止できるようになり、加速・減速の終了と略同時に制御対象物が停止するようになる。この結果、制御対象物の起動から停止までの時間が短縮できるようになる。また、制御対象物の振動により生じる他の問題、たとえば危険の発生等のあらゆる問題も解消できるようになる。
【００１８】
なお、この発明に使用できる装置としては、共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有するものであればどのようなものにでも使用が可能であるが、特に、クレーンやプロッタ，カッティングマシンのキャリッジ等には効果的である。この場合において、装置がクレーンである場合には、時変パラメーターは伸縮するロープの長さになり、装置がキャリッジの場合には、時変パラメーターはベルトのばね定数になる。
【００１９】
また、他の時変振動機構を有する装置においては、時間とともに共振周波数を変化させるその装置特有の要素を時変パラメーターとすることにより、この発明は、時変振動機構を有する全ての装置に利用することができる。その場合の装置の駆動は、モータ駆動，油圧駆動等の形式を問わない。
つぎに、この発明による制振起動方法を図面を用いて詳しく説明する。
【００２０】
【発明の実施の形態】
図１は、この発明にかかる制振起動方法を行うためのクレーン装置の駆動部１０を示している。すなわち、図１において、１１は枠状の支持部であり、１２はその支持部１１に移動自在の状態で横架されたレールである。このレール１２は両端側に係合されたベルト１３の駆動により支持部１１の長手方向に沿って移動できるようになっている。
【００２１】
１４はレール１２の長手方向に沿って移動自在に設けられたトロリーであり、その下側に巻上げ巻下げが可能なロープ１５が垂下され、このロープ１５の下端に荷物１６が吊り下げられている。１７はトロリー１４を移動させるためのベルトである。ベルト１３，１７はともに、モータ（図示せず）の駆動によりプーリ（図示せず）を介して走行するようになっている。
【００２２】
また、図２は、この駆動部１０を含めたクレーン装置の主要部の構成を示している。図２において、１８はＣＰＵであり、入力装置（図示せず）を介して入力される制振起動方法に必要なデータや台形情報等を、メモリ１９に送り記憶させる。また、このＣＰＵ１８は、上記各種のデータや情報に基づいて演算処理をしながら、メモリ１９が記憶するプログラムに沿って作動し、駆動部１０を駆動させるようになっている。
【００２３】
２０はＣＰＵ１８から送られる出力信号をアナログ信号に変換するＤ／Ａ変換器であり、２１はサーボドライバである。このサーボドライバ２１は駆動部１０のモータ（図示せず）に接続され、Ｄ／Ａ変換器２０から送られる信号によって、モータを回転させることにより、駆動部１０を駆動させるようになっている。
【００２４】
このようなクレーン装置を用いて、荷物１６を振動させることなく搬送するには、まず、クレーンの運動方程式と、加速開始時刻と加速終了時刻とで荷物１６に振れがなく、かつトロリー１４が所定の速度と位置に到達する境界条件を考え、この運動方程式と境界条件から起動方法を決定する。
【００２５】
すなわち、クレーン装置におけるロープ１５の長さに変化を伴う運動方程式は、図３に示すように、ロープ１５の長さをｌ［ｍ］、荷物１６の質量をｍ［ｋｇ］、ロープ１５の振れ角度をθ［ｒａｄ］、粘性摩擦係数（この場合荷物１６に対する空気抵抗による摩擦やロープ１５の曲げによるエネルギー損失が主なものとなる。）をＤ［Ｎｓ／ｍ］、重力加速度をｇ［ｍ／ｓ2 ］、トロリー１４の位置（移動距離）をｘ［ｍ］とすると、
【数１０】
で表される。
【００２６】
そして、ロープ１５の長さｌは一定速度で変化するため、ロープ１５の初期の長さをｌ0 ［ｍ］、ロープ１５の単位時間当たりの長さの変化をｌ1 ［ｍ／ｓ］、として、ｌ＝ｌ0 ＋１1 ｔで、上記式（１０）を書き直すと、
【数１】
となる。
この際、式の分母にｔの項が残らないように、両辺にｍｌをかける。これによって、式（１）の解ｘ，θがｔの整数多項式で表されるようになる。
【００２７】
また、上記クレーン装置において、加速開始時と加速終了時で荷物１６に振れがなく、かつトロリー１４が所定の速度と位置に到達する境界条件は、加速終了時刻をＴ［ｓ］とし、加速終了時のトロリー１４の速度をＶ［ｍ／ｓ］としたとき、
【数２】
である。
【００２８】
上記式（２）は、加速開始時と、加速開始から時間Ｔが経過した時で振れがないことを表し、時間ｔが０、すなわち、起動前の状態では、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度、トロリー１４の位置、トロリー１４の速度、がともに０となり、加速開始から時間Ｔが経過した時には、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度が０で、トロリー１４の位置が０．５ＶＴ［ｍ］となり、トロリー１４の速度がＶ［ｍ／ｓ］となることを示している。
ここで、０．５ＶＴ［ｍ］とは、トロリー１４が平均速度０．５Ｖ［ｍ／ｓ］でＴ秒間移動することを意味する。
【００２９】
つぎに、求めようとする起動方法の方程式は、上記の運動方程式（１）および境界条件の式（２）を満たすものである。そこで、ロープ１５の振れ角θおよびトロリー１４の位置ｘをそれぞれ時間ｔの多項式
【数１１】
とすると、ｈ＝６，ｎ＝８、つまり、θ（ｔ）が６次で、ｘ（ｔ）が８次の式の時、式（１）の両辺はともに７次の式となる。このとき、式（１）における各次の係数を比較することで８個の連立方程式が求められ、境界条件の８個の式（２）と併せた１６の連立方程式を解くことによって１６個の未知数ａi ，ｂi が決定できる。ただし、上記１６個の連立方程式が一次独立でない場合、一義的に定まらない係数が発生するが、その場合は、その係数を０とする。
【００３０】
これをより詳しく説明すると、まず、式（１）において、左右両辺の等号がｔにかかわらず常に成り立つためには右辺と左辺のｔの次数が等しくならなければならない。そのためにはｈ＝ｎ−２の関係になければならない。これは、左辺の最高次数が、θにｔをかけたものであり、右辺の最高次数がｘを２回微分したものにｔをかけたものであるためである。
【００３１】
また、式（１）の左右両辺の次数が、たとえば、ｊ次の式でつり合ったとする。その場合、左右両辺の等号がｔにかかわらず常に成り立つ条件としては、左右各次の次数の係数も同じでなければならない。したがって、これらの係数によって、ｊ＋１個の等式が得られる。
また、このｊ＋１個の式と、上記境界条件の８個の式（２）とで、計ｊ＋９個の等式が得られる。
【００３２】
一方、上記式（１１）における未知数の数は、ｈ＋１とｎ＋１の合計数であり、未知数決定の条件としては、ｊ＋９＝ｈ＋１＋ｎ＋１でなければならない。また、ｊは、式（１）における両辺がつり合う次数であるため、式（１）における両辺の次数ｈ＋１，ｎ−１と等しくなる。したがって、ｎ＝８、ｈ＝６となり、式（１）は７次の式となる。
【００３３】
この結果、式（１１）に、ｎ＝８、ｈ＝６を代入することにより、
【数１２】
が導け、さらに、この式（１２）を、式（１）を代入することによって、式
【数１３】
が得られる。この式（１３）の両辺の各次の係数を比較し、境界条件を考慮することによって上記の各ａi ，ｂi が決定できる。
【００３４】
また、この場合、粘性摩擦係数Ｄは無視できるほど小さいため、Ｄ＝０とすれば、ｈ＝４，ｎ＝６で、上記の式を表すことができる。このように次数が下がるのは、成立する１６個の連立方程式がすべて一次独立ではなく、一義的に定まらない係数を０とするためである。さらに、サンプル時間ｔと加速終了時間Ｔの比ｔ／Ｔをτで示して正規化すると、トロリー１４の加速度を示す式は、
【数１４】
で表される簡単な式になる。
【００３５】
このようにして、導出された起動方法の式（１４）を用いて荷物１６の巻き上げ搬送実験を行ったところ図４および図５に示すような結果を得た。
図４において、横軸は時間ｓで、縦軸は加速度ｍ／ｓ2 を示している。そして、破線ａはステップ加速、細線ｂは正弦波加速、実線ｃは上記式（１４）に基ずく制振加速、によるそれぞれ加速度と時間との関係を表す曲線を示している。
【００３６】
この実験においては、上記のそれぞれの加速方法でトロリー１４を３秒間加速させることを行った。また、Ｔ＝３［ｓ］，Ｄ＝０［Ｎｓ／ｍ］以外の各パラメーターは、荷物１６の質量ｍ＝３０［ｋｇ］，ロープ１５の初期の長さｌ0 ＝０．３［ｍ］，ロープ１５の単位時間当たりの長さの変化ｌ1 ＝０．１８［ｍ／ｓ］，加速終了時のトロリー１４の速度Ｖ＝０．７５［ｍ／ｓ］とした。
【００３７】
図５は、上記の条件によって、トロリー１４に、図４のような加速をさせた場合のそれぞれのロープ１５の振れを示しており、横軸は時間ｓで、縦軸はロープ１５の振れの角度を示している。この図でわかるように、加速が終了した加速開始から３秒後では、ステップ加速を示す曲線ａ’および正弦波加速を示す曲線ｂ’がまだ振れている状態であるのに、制振加速による曲線ｃ’には殆ど振れがなく、停止した状態になっていることがわかる。
【００３８】
これによって、ステップ加速や正弦波加速による加速を行った場合には、加速終了後もしばらく荷物１６に振動が続くのに対し、式（１４）による制振加速をトロリー１４に加えた場合には、加速終了時にロープ１５に振れがなく荷物１６が殆ど振動していないことがわかる。
【００３９】
なお、上記の例は、停止状態のトロリー１４を加速させる場合について説明しているが、これを走行中のトロリー１４を減速させ、かつその停止時に荷物１６に振れを発生させない場合に応用することもできる。この場合、境界条件の式は、
【数３】
となる。
【００４０】
この場合は、時間ｔが０、すなわち、起動前の状態では、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度、トロリー１４の位置がともに０で、トロリー１４の速度がＶ［ｍ／ｓ］となり、加速開始から時間Ｔが経過した時には、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度が０、トロリー１４の速度が０で、トロリー１４の位置が０．５ＶＴ［ｍ］となることを示している。
この８個の式（３）と式（１）をもとに上記と同様の手順をふむことにより、減速時の制振起動方式が得られる。
【００４１】
図６は、この発明の制振起動方法をプロッタやカッティングマシンのキャリッジに用いる例を示している。図６において、１７，１８は、それ自身の長手方向に直交する方向に移動自在になったレール部（図示せず）内に所定間隔を保った状態で内蔵された一対のプーリであり、その周囲にベルト１９が巻回されている。
【００４２】
そして、このベルト１９の所定箇所に、ペンまたはカッターを保持するキャリッジ２０が固定され、プーリ１８には駆動用のモータ２１が連結されている。したがって、モータ２１の駆動によりプーリ１８が回転するとベルト１９が走行し、キャリッジ２０もベルト１９に追従して左右に移動するようになる。
【００４３】
このようなキャリッジ２０を振動させることなく加速・減速させるには、上記の例と同様、まず、キャリッジ２０の運動方程式と、加速開始時刻と加速終了時刻とでキャリッジ２０に振動がなく、かつ所定の速度と位置に到達する境界条件を考え、この運動方程式と上記の境界条件から起動方法を決定する。
【００４４】
この場合、プーリ１７，１８間の距離をｌ［ｍ］，モータ２１側のプーリ１８から原点（キャリッジ２０の起動前の初期位置）Ｏまでの距離をｌ0 ［ｍ］，原点からキャリッジ２０までの距離をｘ［ｍ］，プーリ１８の半径×回転角をｙ［ｍ］、ベルト１９の単位長さにおけるばね定数をｋ［Ｎ］，キャリッジ２０の質量をｍ［ｋｇ］，粘性摩擦係数（主としてレール部とキャリッジ２０との間の摩擦）をＤ［Ｎｓ／ｍ］とすると、プーリ１７，１８の半径がｌ，１0 に比べて充分小さい場合、キャリッジ２０におけるベルト１９のばね定数に変化を伴う運動方程式は、
【数４】
となる。
【００４５】
これは、キャリッジ２０における一般的な運動方程式
【数１５】
から得ることができる。すなわち、図６において、プーリ１８を基準として、キャリッジ２０を右側に引っ張るベルトの長さはｌ0 ＋ｙで表せ、キャリッジ２０を左側に引っ張るベルトの長さはｌ＋（ｌ−ｌ0 −ｙ）で表すことができる。
【００４６】
したがって、ベルト１９の合成されたばね定数をＫとすると、式（１５）の中のｋとＫとの関係は、Ｋ＝ｋ／（ｌ0 ＋ｙ）＋ｋ／（２ｌ−ｌ0 −ｙ）となり、この式から、
【数１６】
が導かれる。さらに、キャリッジ起動時のプーリ１８の円周の平均加速度をα［ｍ／ｓ2 ］とし、かつ、ｙが平均加速度αで変位する運動に非常に近いと仮定して、ｙ＝１／２・αｔ2 で近似すると式（１６）は式（４）に書き換えられる。ただし、α＝目標速度Ｖ／加速時間Ｔの関係にある。
【００４７】
また、加速開始時と加速終了時でキャリッジ２０が振動することなく、かつ、所定の速度と位置に到達する境界条件は、加速終了時刻をＴ［ｓ］とし、加速終了時のキャリッジ２０の速度をＶ［ｍ／ｓ］）としたとき、
【数５】
である。
【００４８】
すなわち、この場合は、時間ｔが０、すなわち、起動前の状態では、キャリッジ２０の移動距離，キャリッジ２０の速度，プーリ１８の半径×回転角，その回転速度がともに０で、加速開始から時間Ｔが経過した時には、キャリッジ２０の移動距離およびプーリ１８の半径×回転角がともに０．５ＶＴ［ｍ］で、キャリッジ２０の速度およびプーリ１８の周速度がともにＶ［ｍ／ｓ］となることを示している。
【００４９】
上記の運動方程式（４）および境界条件の式（５）と、式（１１）をこのケースに対応するよう変形した時間関数の式から、演算によりキャリッジ２０に適応する制振起動の式を求めることができ、この式に沿ってモータ２１を回転駆動させることにより、加速終了時に、キャリッジ２０に振動が発生しない起動が行えるようになる。
【００５０】
なお、ベルト１９の合成されたばね定数の計算過程において、ｙ＝１／２・αｔ2 と近似しているが、これは運動方程式（１６）および境界条件の式（５）を満たす真の解とは異なる。したがって、この計算手順によって導かれた起動方法の方程式のｙは真の解とは厳密には異なり、運動方程式（１６）から求められるｘも厳密には境界条件の式（５）を満たさない。しかし、ｙが真の解に十分近ければ、ｘも式（５）と略同一になる。その結果、実用上十分な制振効果が得られる。
【００５１】
たとえば、各パラメーターの条件を、ベルト１９の単位長さにおけるばね定数ｋを３２０［Ｎ］，キャリッジ２０の質量ｍを１［ｋｇ］，プーリ１７，１８間の距離ｌを０．３［ｍ］，加速時間Ｔを０．２［ｓ］，目標速度Ｖを０．４［ｍ／ｓ］，プーリ１８から原点Ｏまでの距離ｌ0 を０．０４［ｍ］とすると、プーリ１８の半径×回転角ｙの時間の関数は、
【数１７】
のようになる。
【００５２】
この式（１７）を２回微分することによって加速度を求め、これに沿って、図７に示すような駆動をするようモータ２１を制御することによって、図８に示すような結果を得た。図８によると、略０．２秒を経過したのちは、キャリッジ２０が一定の速度で移動することがわかる。キャリッジ２０に振動が発生している場合には、速度にむらがでてジグザグの曲線になるはずであるが、この場合には、振動の発生がないため、０．２秒以後は水平な直線で示されている。
【００５３】
また、逆に、走行するキャリッジ２０を減速して停止させる場合には、境界条件の式が、
【数６】
となる。この場合も、この式（６）等を用いて上記と同様このケースに応じた起動方式を求めることができ、これによって、停止時のキャリッジ２０に振動が生じなくすることができる。
【００５４】
以上のように、この発明にかかる制振起動方法によれば、クレーン装置やキャリッジ２０において、加速・減速後に、制御対象物に振動が発生することを防止できるが、この発明は、上記のクレーン装置やキャリッジ２０の外、式（７）の運動方程式に該当するすべての機構を有する装置にも応用することができる。
【００５５】
すなわち、式（７）において、ｍは制御対象点の質量，ｘは制御対象点の変位（一般化座標），ｃは粘性摩擦係数，Ｋはばね定数，ｆは駆動点の変位（外力）を示している。そして、この発明が使用可能な装置は、これらに該当する要素を含み、かつその要素の少なくとも１個は時間とともに共振周波数が変化する時変パラメーターである時変振動機構を有するものであればよい。
【００５６】
【発明の効果】
以上のように、この発明による制振起動方法では、使用する装置を共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有するものとしている。そして、時変振動機構における時変パラメーターを時間の多項式で表した運動方程式を立てるとともに、この装置で駆動する制御対象物の加速の終了時に振動が生じない境界条件を設定する。
【００５７】
そして、これらの運動方程式および境界条件の式で係数を決定することが可能な次数の方程式を求め、これらの式から求められる起動方式に沿うように装置を駆動させるようになっている。このように、加速・減速の終了時に振動が生じない条件を予め設定し、これを満足する起動方式を求めるため、駆動する装置は、振動が発生しないための理想的な動作をするようになる。
【００５８】
したがって、加速・減速の終了と略同時に制御対象物が停止するようになり、その結果、制御対象物の起動から停止までの時間が短縮できるようになり作業効率が大幅に改善される。また、これによって、制御対象物の振動により生じる他の問題も解消できるようになる。
さらに、この発明は、時変振動機構を有する全ての装置に利用することができるため、実用的効果が極めて大である。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明の一例で使用するクレーン装置の駆動部の斜視図である。
【図２】クレーン装置の要部の構成図である。
【図３】クレーン装置におけるトロリーの移動と荷物の振れの関係を示す説明図である。
【図４】加速方法を変えた場合のトロリーの加速度を示す曲線図である。
【図５】加速方法を変えた場合のロープの振れ角度を示す曲線図である。
【図６】この発明の他の例で使用するキャリッジの正面図である。
【図７】プーリの回転の際の周方向の加速度と時間の関係を示す曲線図である。
【図８】プーリの回転の際の周方向の速度と時間の関係を示す曲線図である。
【図９】従来例による駆動力と制御対象点の関係を示す説明図である。
【図１０】図７の駆動力を駆動点にかかる力と制御対象点にかかる力とに分けて示した説明図である。
【符号の説明】
１０・・・・・駆動部
１４・・・・・トロリー
１５・・・・・ロープ
１６・・・・・荷物
１７，１８・・プーリ
１９・・・・・ベルト
２０・・・・・キャリッジ
２１・・・・・モータ
ｃ・・・・・・制振加速を示す実線
ｃ’・・・・・制振加速による振れを示す曲線
【発明の属する技術分野】
この発明は、対象物を上昇・下降させながら水平方向に移動させることにより搬送するクレーンや、カッティングマシンにおけるキャリッジ等のように、駆動の際に、加速や減速を要する時変振動機構を有する装置に用いる制振起動方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
従来から、種々の装置において振動の発生を防止するための制御方法が研究開発されており、このような制御方法のなかに、例えば、特開昭６３−３１４６０６号や特開昭６３−３１４６０７号に開示されている、ロボットのアームの先端に発生する振動を抑制する方法がある。
【０００３】
これらの方法はいずれも、ロボットのアームの先端に取り付けた加速度センサの信号を外乱トルクとしてフィードバックし、このフィードバックされたデータに応じてロボットのアームに加える加速度を制御することにより制振するものである。
【０００４】
したがって、この方法によると、実際にロボットに振動が発生してから制振の制御に入るようになり、振動自体の発生を防止することはできないという問題がある。また、このような方法によると、高速度演算のできるＣＰＵが必要となり、装置が高価で複雑になるという問題もあった。
【０００５】
また、上記従来例のような、センサ等を用いたフィードバックによる制御を行うことなく、振動機構を制御対象とし、その固有の周期と同程度の時間で、しかも残留振動を生じさせることなく起動・停止できる駆動関数を求める方法として、日本機械学会論文集（Ｃ編）５１巻４６９号（昭６０−９）に開示された”振動機構系の最適な高速起動制御”がある。
【０００６】
この制御方法は、振動機構系をサーボモータで駆動する場合のモータおよび制御回路の動特性を考慮したもので、図９に示すように、駆動力ｆを、質量ｍ1 の駆動点１に負荷し、ばね定数Ｋのばね２を介して質量ｍ2 の制御対象点３を起動する場合の制振方法を示している。
【０００７】
なお、図１０は、駆動力ｆを、駆動点１に負荷する駆動力ｆ1 と制御対象点３に負荷する駆動力ｆ2 とに分けて考えることをができることを示している。また、図９および図１０において、ｘは駆動点１の変位、ｙは制御対象点３の変位をそれぞれ示している。
【０００８】
この場合、まず、残留振動が生じない制御対象点３の変位ｙ（ｔ）を、式
【数８】
【数９】
【０００９】
そして、この駆動関数に追従するように駆動点１が加速するようにモータを駆動させるプログラムを作成し、このプログラムに沿ってモータを制御することにより、制御対象点３に振動を生じさせない駆動が可能になる。この結果、複雑で高価な装置を用いることなく装置の振動自体の発生を防止することができるようになるというものである。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上記の方法においては、ロボットのアーム等のような時間の経過によっても共振周波数が変化しない、いわゆる時不変振動機構に対しては制振効果を発揮するが、クレーンのように、物を目的地に移動させる際、ロープを伸縮させて物を上昇・下降させる動作が加わるような、共振周波数が時間とともに変わる時変振動機構に対しては、制振効果を発揮することができない。
【００１１】
このため、時変振動機構を有する装置において、上記のような方法を用いても、加速・減速の終了時には、やはり残留振動が生じるという問題がある。
この発明は、このような事情に鑑みなされたもので、共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有する装置における振動発生を防止することにより、その装置の起動から停止までの時間を短縮させることのできる時変振動機構に用いる制振起動方法の提供をその目的とする。
【００１２】
【課題を解決するための手段】
上記の目的を達成するため、この発明にかかる時変振動機構に用いる制振起動方法では、まず、共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有する装置における、時変パラメーターを時間ｔの多項式で表した時変振動機構に対応する運動方程式を立てる。
【００１３】
この場合、一般的な運動方程式をもとに、使用する装置特有の運動方程式を考えるが、この際に、共振周波数を経時的に変化させる要素を時変パラメーターとして多項式を作りこれを上記運動方程式に含ませる。これによって、この運動方程式が時変振動機構に対応するものとなる。
【００１４】
つぎに、この装置で駆動する制御対象物の加速または減速の終了時に振動が生じない境界条件を設定する。例えば、使用する装置がクレーンであれば、起動前の時間が０の場合には、ロープの振れ角度，振れ角速度，トロリーの位置，トロリーの速度がともに０となり、加速終了時には、トロリーの位置および速度が所定値になり、かつ、ロープの振れ角度，振れ角速度が０になるといった条件等である。
【００１５】
ついで、上記運動方程式および境界条件の式で係数を決定することが可能な次数の方程式を求め、これらの式を解くことによって起動方式を求める。これは、上記と同様クレーンの場合であれば、ロープの振れ角度やトロリーの位置を時間の関数として表し、これによって得られる式と上記の運動方程式および境界条件の式とで、起動方式を決定することができる。
【００１６】
なお、この場合の上記運動方程式の次数は、後述するように、上記の方法で得られた等式の数と未知数の数との関係で求められる。
そして、求められた起動方式に沿うように装置を駆動させ制御対象物の加速・減速制御を行う。
【００１７】
これによって、他の予期せぬ外因が生じない限り、加速・減速の終了時における制御対象物の振動発生が防止できるようになり、加速・減速の終了と略同時に制御対象物が停止するようになる。この結果、制御対象物の起動から停止までの時間が短縮できるようになる。また、制御対象物の振動により生じる他の問題、たとえば危険の発生等のあらゆる問題も解消できるようになる。
【００１８】
なお、この発明に使用できる装置としては、共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有するものであればどのようなものにでも使用が可能であるが、特に、クレーンやプロッタ，カッティングマシンのキャリッジ等には効果的である。この場合において、装置がクレーンである場合には、時変パラメーターは伸縮するロープの長さになり、装置がキャリッジの場合には、時変パラメーターはベルトのばね定数になる。
【００１９】
また、他の時変振動機構を有する装置においては、時間とともに共振周波数を変化させるその装置特有の要素を時変パラメーターとすることにより、この発明は、時変振動機構を有する全ての装置に利用することができる。その場合の装置の駆動は、モータ駆動，油圧駆動等の形式を問わない。
つぎに、この発明による制振起動方法を図面を用いて詳しく説明する。
【００２０】
【発明の実施の形態】
図１は、この発明にかかる制振起動方法を行うためのクレーン装置の駆動部１０を示している。すなわち、図１において、１１は枠状の支持部であり、１２はその支持部１１に移動自在の状態で横架されたレールである。このレール１２は両端側に係合されたベルト１３の駆動により支持部１１の長手方向に沿って移動できるようになっている。
【００２１】
１４はレール１２の長手方向に沿って移動自在に設けられたトロリーであり、その下側に巻上げ巻下げが可能なロープ１５が垂下され、このロープ１５の下端に荷物１６が吊り下げられている。１７はトロリー１４を移動させるためのベルトである。ベルト１３，１７はともに、モータ（図示せず）の駆動によりプーリ（図示せず）を介して走行するようになっている。
【００２２】
また、図２は、この駆動部１０を含めたクレーン装置の主要部の構成を示している。図２において、１８はＣＰＵであり、入力装置（図示せず）を介して入力される制振起動方法に必要なデータや台形情報等を、メモリ１９に送り記憶させる。また、このＣＰＵ１８は、上記各種のデータや情報に基づいて演算処理をしながら、メモリ１９が記憶するプログラムに沿って作動し、駆動部１０を駆動させるようになっている。
【００２３】
２０はＣＰＵ１８から送られる出力信号をアナログ信号に変換するＤ／Ａ変換器であり、２１はサーボドライバである。このサーボドライバ２１は駆動部１０のモータ（図示せず）に接続され、Ｄ／Ａ変換器２０から送られる信号によって、モータを回転させることにより、駆動部１０を駆動させるようになっている。
【００２４】
このようなクレーン装置を用いて、荷物１６を振動させることなく搬送するには、まず、クレーンの運動方程式と、加速開始時刻と加速終了時刻とで荷物１６に振れがなく、かつトロリー１４が所定の速度と位置に到達する境界条件を考え、この運動方程式と境界条件から起動方法を決定する。
【００２５】
すなわち、クレーン装置におけるロープ１５の長さに変化を伴う運動方程式は、図３に示すように、ロープ１５の長さをｌ［ｍ］、荷物１６の質量をｍ［ｋｇ］、ロープ１５の振れ角度をθ［ｒａｄ］、粘性摩擦係数（この場合荷物１６に対する空気抵抗による摩擦やロープ１５の曲げによるエネルギー損失が主なものとなる。）をＤ［Ｎｓ／ｍ］、重力加速度をｇ［ｍ／ｓ2 ］、トロリー１４の位置（移動距離）をｘ［ｍ］とすると、
【数１０】
【００２６】
そして、ロープ１５の長さｌは一定速度で変化するため、ロープ１５の初期の長さをｌ0 ［ｍ］、ロープ１５の単位時間当たりの長さの変化をｌ1 ［ｍ／ｓ］、として、ｌ＝ｌ0 ＋１1 ｔで、上記式（１０）を書き直すと、
【数１】
となる。
この際、式の分母にｔの項が残らないように、両辺にｍｌをかける。これによって、式（１）の解ｘ，θがｔの整数多項式で表されるようになる。
【００２７】
また、上記クレーン装置において、加速開始時と加速終了時で荷物１６に振れがなく、かつトロリー１４が所定の速度と位置に到達する境界条件は、加速終了時刻をＴ［ｓ］とし、加速終了時のトロリー１４の速度をＶ［ｍ／ｓ］としたとき、
【数２】
である。
【００２８】
上記式（２）は、加速開始時と、加速開始から時間Ｔが経過した時で振れがないことを表し、時間ｔが０、すなわち、起動前の状態では、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度、トロリー１４の位置、トロリー１４の速度、がともに０となり、加速開始から時間Ｔが経過した時には、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度が０で、トロリー１４の位置が０．５ＶＴ［ｍ］となり、トロリー１４の速度がＶ［ｍ／ｓ］となることを示している。
ここで、０．５ＶＴ［ｍ］とは、トロリー１４が平均速度０．５Ｖ［ｍ／ｓ］でＴ秒間移動することを意味する。
【００２９】
つぎに、求めようとする起動方法の方程式は、上記の運動方程式（１）および境界条件の式（２）を満たすものである。そこで、ロープ１５の振れ角θおよびトロリー１４の位置ｘをそれぞれ時間ｔの多項式
【数１１】
【００３０】
これをより詳しく説明すると、まず、式（１）において、左右両辺の等号がｔにかかわらず常に成り立つためには右辺と左辺のｔの次数が等しくならなければならない。そのためにはｈ＝ｎ−２の関係になければならない。これは、左辺の最高次数が、θにｔをかけたものであり、右辺の最高次数がｘを２回微分したものにｔをかけたものであるためである。
【００３１】
また、式（１）の左右両辺の次数が、たとえば、ｊ次の式でつり合ったとする。その場合、左右両辺の等号がｔにかかわらず常に成り立つ条件としては、左右各次の次数の係数も同じでなければならない。したがって、これらの係数によって、ｊ＋１個の等式が得られる。
また、このｊ＋１個の式と、上記境界条件の８個の式（２）とで、計ｊ＋９個の等式が得られる。
【００３２】
一方、上記式（１１）における未知数の数は、ｈ＋１とｎ＋１の合計数であり、未知数決定の条件としては、ｊ＋９＝ｈ＋１＋ｎ＋１でなければならない。また、ｊは、式（１）における両辺がつり合う次数であるため、式（１）における両辺の次数ｈ＋１，ｎ−１と等しくなる。したがって、ｎ＝８、ｈ＝６となり、式（１）は７次の式となる。
【００３３】
この結果、式（１１）に、ｎ＝８、ｈ＝６を代入することにより、
【数１２】
【数１３】
【００３４】
また、この場合、粘性摩擦係数Ｄは無視できるほど小さいため、Ｄ＝０とすれば、ｈ＝４，ｎ＝６で、上記の式を表すことができる。このように次数が下がるのは、成立する１６個の連立方程式がすべて一次独立ではなく、一義的に定まらない係数を０とするためである。さらに、サンプル時間ｔと加速終了時間Ｔの比ｔ／Ｔをτで示して正規化すると、トロリー１４の加速度を示す式は、
【数１４】
【００３５】
このようにして、導出された起動方法の式（１４）を用いて荷物１６の巻き上げ搬送実験を行ったところ図４および図５に示すような結果を得た。
図４において、横軸は時間ｓで、縦軸は加速度ｍ／ｓ2 を示している。そして、破線ａはステップ加速、細線ｂは正弦波加速、実線ｃは上記式（１４）に基ずく制振加速、によるそれぞれ加速度と時間との関係を表す曲線を示している。
【００３６】
この実験においては、上記のそれぞれの加速方法でトロリー１４を３秒間加速させることを行った。また、Ｔ＝３［ｓ］，Ｄ＝０［Ｎｓ／ｍ］以外の各パラメーターは、荷物１６の質量ｍ＝３０［ｋｇ］，ロープ１５の初期の長さｌ0 ＝０．３［ｍ］，ロープ１５の単位時間当たりの長さの変化ｌ1 ＝０．１８［ｍ／ｓ］，加速終了時のトロリー１４の速度Ｖ＝０．７５［ｍ／ｓ］とした。
【００３７】
図５は、上記の条件によって、トロリー１４に、図４のような加速をさせた場合のそれぞれのロープ１５の振れを示しており、横軸は時間ｓで、縦軸はロープ１５の振れの角度を示している。この図でわかるように、加速が終了した加速開始から３秒後では、ステップ加速を示す曲線ａ’および正弦波加速を示す曲線ｂ’がまだ振れている状態であるのに、制振加速による曲線ｃ’には殆ど振れがなく、停止した状態になっていることがわかる。
【００３８】
これによって、ステップ加速や正弦波加速による加速を行った場合には、加速終了後もしばらく荷物１６に振動が続くのに対し、式（１４）による制振加速をトロリー１４に加えた場合には、加速終了時にロープ１５に振れがなく荷物１６が殆ど振動していないことがわかる。
【００３９】
なお、上記の例は、停止状態のトロリー１４を加速させる場合について説明しているが、これを走行中のトロリー１４を減速させ、かつその停止時に荷物１６に振れを発生させない場合に応用することもできる。この場合、境界条件の式は、
【数３】
となる。
【００４０】
この場合は、時間ｔが０、すなわち、起動前の状態では、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度、トロリー１４の位置がともに０で、トロリー１４の速度がＶ［ｍ／ｓ］となり、加速開始から時間Ｔが経過した時には、ロープ１５の振れ角度、振れ角速度が０、トロリー１４の速度が０で、トロリー１４の位置が０．５ＶＴ［ｍ］となることを示している。
この８個の式（３）と式（１）をもとに上記と同様の手順をふむことにより、減速時の制振起動方式が得られる。
【００４１】
図６は、この発明の制振起動方法をプロッタやカッティングマシンのキャリッジに用いる例を示している。図６において、１７，１８は、それ自身の長手方向に直交する方向に移動自在になったレール部（図示せず）内に所定間隔を保った状態で内蔵された一対のプーリであり、その周囲にベルト１９が巻回されている。
【００４２】
そして、このベルト１９の所定箇所に、ペンまたはカッターを保持するキャリッジ２０が固定され、プーリ１８には駆動用のモータ２１が連結されている。したがって、モータ２１の駆動によりプーリ１８が回転するとベルト１９が走行し、キャリッジ２０もベルト１９に追従して左右に移動するようになる。
【００４３】
このようなキャリッジ２０を振動させることなく加速・減速させるには、上記の例と同様、まず、キャリッジ２０の運動方程式と、加速開始時刻と加速終了時刻とでキャリッジ２０に振動がなく、かつ所定の速度と位置に到達する境界条件を考え、この運動方程式と上記の境界条件から起動方法を決定する。
【００４４】
この場合、プーリ１７，１８間の距離をｌ［ｍ］，モータ２１側のプーリ１８から原点（キャリッジ２０の起動前の初期位置）Ｏまでの距離をｌ0 ［ｍ］，原点からキャリッジ２０までの距離をｘ［ｍ］，プーリ１８の半径×回転角をｙ［ｍ］、ベルト１９の単位長さにおけるばね定数をｋ［Ｎ］，キャリッジ２０の質量をｍ［ｋｇ］，粘性摩擦係数（主としてレール部とキャリッジ２０との間の摩擦）をＤ［Ｎｓ／ｍ］とすると、プーリ１７，１８の半径がｌ，１0 に比べて充分小さい場合、キャリッジ２０におけるベルト１９のばね定数に変化を伴う運動方程式は、
【数４】
となる。
【００４５】
これは、キャリッジ２０における一般的な運動方程式
【数１５】
【００４６】
したがって、ベルト１９の合成されたばね定数をＫとすると、式（１５）の中のｋとＫとの関係は、Ｋ＝ｋ／（ｌ0 ＋ｙ）＋ｋ／（２ｌ−ｌ0 −ｙ）となり、この式から、
【数１６】
【００４７】
また、加速開始時と加速終了時でキャリッジ２０が振動することなく、かつ、所定の速度と位置に到達する境界条件は、加速終了時刻をＴ［ｓ］とし、加速終了時のキャリッジ２０の速度をＶ［ｍ／ｓ］）としたとき、
【数５】
である。
【００４８】
すなわち、この場合は、時間ｔが０、すなわち、起動前の状態では、キャリッジ２０の移動距離，キャリッジ２０の速度，プーリ１８の半径×回転角，その回転速度がともに０で、加速開始から時間Ｔが経過した時には、キャリッジ２０の移動距離およびプーリ１８の半径×回転角がともに０．５ＶＴ［ｍ］で、キャリッジ２０の速度およびプーリ１８の周速度がともにＶ［ｍ／ｓ］となることを示している。
【００４９】
上記の運動方程式（４）および境界条件の式（５）と、式（１１）をこのケースに対応するよう変形した時間関数の式から、演算によりキャリッジ２０に適応する制振起動の式を求めることができ、この式に沿ってモータ２１を回転駆動させることにより、加速終了時に、キャリッジ２０に振動が発生しない起動が行えるようになる。
【００５０】
なお、ベルト１９の合成されたばね定数の計算過程において、ｙ＝１／２・αｔ2 と近似しているが、これは運動方程式（１６）および境界条件の式（５）を満たす真の解とは異なる。したがって、この計算手順によって導かれた起動方法の方程式のｙは真の解とは厳密には異なり、運動方程式（１６）から求められるｘも厳密には境界条件の式（５）を満たさない。しかし、ｙが真の解に十分近ければ、ｘも式（５）と略同一になる。その結果、実用上十分な制振効果が得られる。
【００５１】
たとえば、各パラメーターの条件を、ベルト１９の単位長さにおけるばね定数ｋを３２０［Ｎ］，キャリッジ２０の質量ｍを１［ｋｇ］，プーリ１７，１８間の距離ｌを０．３［ｍ］，加速時間Ｔを０．２［ｓ］，目標速度Ｖを０．４［ｍ／ｓ］，プーリ１８から原点Ｏまでの距離ｌ0 を０．０４［ｍ］とすると、プーリ１８の半径×回転角ｙの時間の関数は、
【数１７】
【００５２】
この式（１７）を２回微分することによって加速度を求め、これに沿って、図７に示すような駆動をするようモータ２１を制御することによって、図８に示すような結果を得た。図８によると、略０．２秒を経過したのちは、キャリッジ２０が一定の速度で移動することがわかる。キャリッジ２０に振動が発生している場合には、速度にむらがでてジグザグの曲線になるはずであるが、この場合には、振動の発生がないため、０．２秒以後は水平な直線で示されている。
【００５３】
また、逆に、走行するキャリッジ２０を減速して停止させる場合には、境界条件の式が、
【数６】
となる。この場合も、この式（６）等を用いて上記と同様このケースに応じた起動方式を求めることができ、これによって、停止時のキャリッジ２０に振動が生じなくすることができる。
【００５４】
以上のように、この発明にかかる制振起動方法によれば、クレーン装置やキャリッジ２０において、加速・減速後に、制御対象物に振動が発生することを防止できるが、この発明は、上記のクレーン装置やキャリッジ２０の外、式（７）の運動方程式に該当するすべての機構を有する装置にも応用することができる。
【００５５】
すなわち、式（７）において、ｍは制御対象点の質量，ｘは制御対象点の変位（一般化座標），ｃは粘性摩擦係数，Ｋはばね定数，ｆは駆動点の変位（外力）を示している。そして、この発明が使用可能な装置は、これらに該当する要素を含み、かつその要素の少なくとも１個は時間とともに共振周波数が変化する時変パラメーターである時変振動機構を有するものであればよい。
【００５６】
【発明の効果】
以上のように、この発明による制振起動方法では、使用する装置を共振周波数が時間とともに変化する時変振動機構を有するものとしている。そして、時変振動機構における時変パラメーターを時間の多項式で表した運動方程式を立てるとともに、この装置で駆動する制御対象物の加速の終了時に振動が生じない境界条件を設定する。
【００５７】
そして、これらの運動方程式および境界条件の式で係数を決定することが可能な次数の方程式を求め、これらの式から求められる起動方式に沿うように装置を駆動させるようになっている。このように、加速・減速の終了時に振動が生じない条件を予め設定し、これを満足する起動方式を求めるため、駆動する装置は、振動が発生しないための理想的な動作をするようになる。
【００５８】
したがって、加速・減速の終了と略同時に制御対象物が停止するようになり、その結果、制御対象物の起動から停止までの時間が短縮できるようになり作業効率が大幅に改善される。また、これによって、制御対象物の振動により生じる他の問題も解消できるようになる。
さらに、この発明は、時変振動機構を有する全ての装置に利用することができるため、実用的効果が極めて大である。
【図面の簡単な説明】
【図１】この発明の一例で使用するクレーン装置の駆動部の斜視図である。
【図２】クレーン装置の要部の構成図である。
【図３】クレーン装置におけるトロリーの移動と荷物の振れの関係を示す説明図である。
【図４】加速方法を変えた場合のトロリーの加速度を示す曲線図である。
【図５】加速方法を変えた場合のロープの振れ角度を示す曲線図である。
【図６】この発明の他の例で使用するキャリッジの正面図である。
【図７】プーリの回転の際の周方向の加速度と時間の関係を示す曲線図である。
【図８】プーリの回転の際の周方向の速度と時間の関係を示す曲線図である。
【図９】従来例による駆動力と制御対象点の関係を示す説明図である。
【図１０】図７の駆動力を駆動点にかかる力と制御対象点にかかる力とに分けて示した説明図である。
【符号の説明】
１０・・・・・駆動部
１４・・・・・トロリー
１５・・・・・ロープ
１６・・・・・荷物
１７，１８・・プーリ
１９・・・・・ベルト
２０・・・・・キャリッジ
２１・・・・・モータ
ｃ・・・・・・制振加速を示す実線
ｃ’・・・・・制振加速による振れを示す曲線
Claims (4)
- 起動後、経時的に共振周波数が変化する時変振動機構を有する装置において、当該装置によって搬送される制御対象物の振動を防止する制振起動方法であって、
時変パラメーターを時間の多項式で表した前記時変振動機構に対応する運動方程式を立てるとともに、
前記運動方程式における、前記制御対象物の加速・減速終了時に振動が生じない境界条件の式を設定し、
時間的にその物理変動量が変化する制御対象物の変数ｘを時間ｔの多項式
で表現した形式で前記運動方程式に代入し、
代入後の運動方程式の両辺の時間ｔの次数が等しく、かつ、境界条件を与える式の個数とから、解を得るのに最適な次数ｎを決定し、
代入された運動方程式を解き、前記変数の時間多項式を決定し、
決定された前記制御対象物の変数の時間変位を定める式に、経過時間を代入して得られる加速度情報を、加速度指令として移動機構に与えることにより、制御対象物を移動させることを特徴とする時変振動機構に用いる制振起動方法。 - 装置がクレーンで、時変パラメーターが巻上げ巻下げにより伸縮するロープの長さであり、
ｍ ：荷物の質量［ｋｇ］
ｌ0 ：初期ロープ長［ｍ］
ｌ1 ：ロープの単位時間当たりの長さの変化［ｍ／ｓ］
θ ：ロープの振れ角度［ｒａｄ］
Ｄ ：粘性摩擦係数［Ｎｓ／ｍ］
ｇ ：重力加速度［ｍ／ｓ2 ］
ｘ ：トローリの移動距離［ｍ］
のとき、運動方程式が、
Ｔ ：加速終了までの時間［ｓ］
Ｖ ：加速終了時のトロリーの速度［ｍ／ｓ］
のとき、境界条件が式
- 装置がカッティングマシンやプロッタのようにベルトやプーリを介してモータ駆動によりキャリッジを左右に往復移動させる装置で、時変パラメーターがベルトのばね定数であり、
ｍ ：キャリッジの質量［ｋｇ］
ｌ ：プーリ間の距離［ｍ］
ｌ0 ：モータ側のプーリから原点までの距離［ｍ］
ｘ ：原点からキャリッジまでの距離［ｍ］
ｙ ：駆動プーリの半径×回転角［ｍ］
ｋ ：単位長さにおけるベルトのばね定数［Ｎ］
Ｄ ：粘性摩擦係数［Ｎｓ／ｍ］
α ：プーリ円周の平均加速［ｍ／ｓ2］
のとき、運動方程式が、原点からキャリッジまでの距離ｘ，駆動プーリの半径×回転角ｙの特性を失わずに、式
- 使用する装置の運動方程式が、ｍ ：制御対象点の質量［ｋｇ］
ｘ ：制御対象点の変位［ｍ］
ｃ ：粘性摩擦係数［Ｎｓ／ｍ］
Ｋ ：ばね定数［Ｎ／ｍ］
ｆ ：駆動点の変位［Ｎ］（外力）
のとき式
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