JP3041293B2 - 暗号化方法、復号化方法、認証方法、暗号化装置、復号化装置、認証装置、認証文送信者装置、認証文受信者装置、暗号通信システム及び認証システム - Google Patents

暗号化方法、復号化方法、認証方法、暗号化装置、復号化装置、認証装置、認証文送信者装置、認証文受信者装置、暗号通信システム及び認証システム

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JP3041293B2 JP11076245A JP7624599A JP3041293B2 JP 3041293 B2 JP3041293 B2 JP 3041293B2 JP 11076245 A JP11076245 A JP 11076245A JP 7624599 A JP7624599 A JP 7624599A JP 3041293 B2 JP3041293 B2 JP 3041293B2
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Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、デジタルＴＶ・衛
星放送におけるペイ・パー・ビュー（ｐａｙ ｐｅｒ
ｖｉｅｗ）システム・情報流通における鍵配送・電子メ
ール・電子決済等の通信におけるデータの秘匿および通
信者の個人認証に好適な暗号化・復号化・認証の高速化
を実現するための方式に関する。
【０００２】
【従来の技術】近年、通信分野において、伝送される情
報の秘匿等の通信者間の秘密性を保護する技術として暗
号化技術が有効に働くことから、各種暗号化技術が提案
されている。これら暗号化技術の性能は、暗号方式の安
全強度と暗号化・復号化に要する速度の観点から評価し
うる。すなわち安全強度が高く、暗号化・複合化の速度
が速い暗号方式が優れた暗号方式である。
【０００３】このような暗号化技術の中に、ＲＳＡ（Ri
vest Shamir Adleman）暗号として知られる、べき乗剰
余演算を用いるタイプの公開鍵暗号方式があり、既に実
用化されている。このＲＳＡ暗号方式では、公開鍵が素
因数分解できれば、暗号文から平文を得ることができる
ことが、文献「R.Rivest,A.Shamir and L.Adleman;"Ame
thod for obtaining digital signatures and public-k
ey cryptosystems.",Comm.,ACM,vol.21,No.2,pp.120-12
6,(1978) 」に示されている。
【０００４】このＲＳＡ暗号方式などの公開鍵暗号方式
は、公開された情報である公開鍵から秘密鍵を得ること
が計算量的に困難であることに安全性の根拠を置いてお
り、そのため公開鍵のサイズを大きく取れば、それだけ
安全強度が増すことになる。一方では、このＲＳＡ暗号
方式は、高次のべき乗計算を行うため計算量が多く、暗
号化・復号化にかなりの時間がかかるという大きな欠点
を有していた。
【０００５】例えば、べき乗計算の次数を減らすことに
より、暗号化・復号化を高速にできるが、そのためには
公開鍵のサイズを小さくするしかなく、これは暗号方式
の安全強度の低下につながることになる。
【０００６】以下、ＲＳＡ暗号方式を具体的に説明す
る。
【０００７】まず、それぞれ任意の相異なる素数である
ｐ，ｑを第１の秘密鍵とすると、第１の公開鍵ｎは、 ｎ＝ｐｑ で求められる。
【０００８】ここで、（ｐ−１）と（ｑ−１）の最小公
倍数であるＬは、 Ｌ＝ lcm（ｐ−１，ｑ−１） として求められる。
【０００９】次に、任意の整数ｅを第２の公開鍵とする
と、第２の秘密鍵ｄは、ユークリッドの互除法を用い
て、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） として求められる。
【００１０】これにより、平文Ｍおよびその暗号文Ｃ
は、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ）， Ｍ≡Ｃd （mod ｎ） となる。
【００１１】ここで、第２の公開鍵ｅの値は、例えば１
３程度と小さくとることができるので、暗号化の処理
は、極めて高速とすることができるが、第２の秘密鍵ｄ
の値は、ほぼｎのサイズとなることから、復号化処理は
かなり遅くなる。
【００１２】一方、べき乗剰余演算の処理量は、数のサ
イズの３乗に比例する。この特性を利用して、中国剰余
定理が復号化処理を高速化するために用いられる。
【００１３】中国剰余定理を用いる復号化処理を以下に
示す。
【００１４】ｄp ≡ｄ（mod ｐ−１）， ｄq ≡ｄ（mod ｑ−１）， ｕｑ≡１（mod ｐ）， Ｍp ≡Ｃdp（mod ｐ）， Ｍq ≡Ｃdq（mod ｑ）， Ｍ≡((Ｍp −Ｍq ）ｕ（mod ｐ))ｑ＋Ｍq ここで、ｕはｐを法とするときのｑの逆元である。
【００１５】ここで、ｐ，ｑ，ｄp ，ｄq のサイズは、
ｎのサイズの半分なので、ｐあるいはｑを法とするべき
乗剰余演算を、８倍高速化して処理することが可能とな
り、その結果、全体として、４倍の高速化が可能とな
る。
【００１６】さらに、ＲＳＡ暗号方式では、ｎが素因数
分解されれば容易に解読されてしまう。現時点で、脅威
となりえる可能性のある素因数分解アルゴリズムとして
は、「数体ふるい法」および「楕円曲線法」がある。
【００１７】それぞれの必要な計算量は、数体ふるい法
ではｎのサイズの準指数オーダであり、楕円曲線法が素
数のサイズの準指数オーダである。楕円曲線法は、その
オーダーが高いことおよび係数が大きいことにより現実
的には問題とならない。一方、数体ふるい法により素因
数分解の今までの最大数のレコードが達成されており、
その値としては１０進１４０桁程度である。従って、ｎ
が１０２４ビット程度の場合、これらの方法を用いた攻
撃は、現実的に脅威とはならない。
【００１８】なお、安全性の根拠に関する文献は、岡
本、太田（共編）：暗号・ゼロ知識証明・数論（共立出
版、１９９５）に詳しい。
【００１９】また、公開鍵暗号装置は、一般に公開鍵と
秘密鍵の演算を逆に適用することにより認証装置として
も使用することができる場合もある。
【００２０】
【発明が解決しようとする課題】このように本発明の目
的は、上記の従来知られていたＲＳＡ暗号方式について
の課題を克服し得る新たな暗号化・復号化及び認証の方
式を提供することにある。
【００２１】より具体的には、本発明の目的は、（１）
従来知られる有理整数環上のＲＳＡ暗号方式と比較し
て、同程度の安全強度を持つ暗号化・復号化の方式を実
現し、（２）従来のＲＳＡ暗号方式より暗号化・復号化
処理が高速である暗号化・復号化の方式を実現し、
（３）認証にも利用可能であり、単一の装置で暗号通信
と認証の両用が可能となるような暗号化・復号化の方式
を実現し、（４）従来のＲＳＡ暗号方式に基づく認証方
式より認証子生成および認証確認が高速である認証方式
を実現することにある。
【００２２】
【課題を解決するための手段】本発明は、上記の目的を
達成するため、以下の手段を提供する。
【００２３】即ち、本発明の第１の特徴は、Ｎ（≧２）
個の素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵とし、ｋ
１、ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの
積ｐ1 k1 ｐ2 k2…ｐN kNを第１の公開鍵ｎと設定するステ
ップと、前記第１の秘密鍵を用いて、第２の公開鍵ｅお
よび第２の秘密鍵ｄを、ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN
−１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように決定するステップと、前記第１の公開鍵
ｎと第２の公開鍵ｅとを用いて、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得るステップとを含むことを特徴とす
る暗号化方法を提供する点にある。
【００２４】本発明の第２の特徴は、前記設定ステップ
は、３つの素数ｐ1＝ｐ，ｐ2＝ｑおよびｐ3＝ｒを前記
第１の秘密鍵とし、ｋ＝ｋ1、ｌ＝ｋ2およびｍ＝ｋ3と
するときの積ｐk ｑl ｒm を前記第１の公開鍵ｎとする
点にある。
【００２５】本発明の第３の特徴は、前記設定ステップ
は、２つの素数ｐ1＝ｐおよびｐ2＝ｑを前記第１の秘密
鍵とし、ｋ＝ｋ1 とするときの積ｐkｑを前記第１の公
開鍵ｎとする点にある。
【００２６】本発明の第４の特徴は、前記決定ステップ
は、さらに、 ｄp :=ｄ（mod ｐ−１）， ｄq :=ｄ（mod ｑ−１） を満たす剰余ｄp ，ｄq を求め、前記第２の秘密鍵を、
前記ｄ、ｄp 及びｄqの組となるよう決定する点にあ
る。
【００２７】本発明の第５の特徴は、Ｎ（≧２）個の素
数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN である第１の秘密鍵と、ｋ１、
ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの積ｐ1
k1ｐ2 k2…ｐN kNである第１の公開鍵ｎと、ｐ1 −１，
ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅ及び第２の秘密鍵ｄとを用い
て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを復号化する復号化方法であ
って、前記第１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN に対し
て、所定のループ演算を用いて、前記平文Ｍの、ｐ
1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法とする、剰余Ｍ
p1k1，Ｍp2k2，…，ＭpNkNを取得するステップと、前記
剰余Ｍp1k1，Ｍp2k2，…，ＭpNkNに中国剰余定理を適用
して、前記平文Ｍを復元するステップとを含むことを特
徴とする復号化方法を提供する点にある。
【００２８】本発明の第６の特徴は、前記暗号文Ｃは、
３つの素数ｐ1＝ｐ、ｐ2＝ｑおよびｐ3＝ｒである前記
第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ1、ｌ＝ｋ2、ｍ＝ｋ3とすると
きの積ｐk ｑl ｒm である前記第１の公開鍵ｎとを用い
て得られ、前記取得ステップは、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； ｄr:=ｄ（mod r-1）； とするとき、 Ｋ0 p :=Ｃdp（mod ｐ）； Ｋ0 q :=Ｃdq（mod ｑ）； Ｋ0 r :=Ｃdr（mod ｒ）； の整数のべき乗剰余計算により、ｐ、ｑおよびｒのそれ
ぞれを法とするＫ0 p，Ｋ0 q およびＫ0 r を取得し、前記
Ｋ0 p ，Ｋ0 q およびＫ0 r のそれぞれに対して前記所定
のループ演算を適用することにより、ｐk ，ｑl 及びｒ
m のそれぞれを法とする剰余Ｍpk，ＭqlおよびＭrmを取
得し、前記復元ステップは、前記剰余Ｍpk，Ｍqlおよび
Ｍrmに対して前記中国剰余定理を適用する点にある。
【００２９】本発明の第７の特徴は、前記暗号文Ｃは、
２つの素数ｐ1＝ｐおよびｐ2＝ｑである前記第１の秘密
鍵と、ｋ＝ｋ1とするときの積ｐkｑである前記第１の公
開鍵ｎとを用いて得られ、前記取得ステップは、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； とするとき、 Ｋo :=Ｃdp（mod ｐ）； Ｍq :=Ｃdq（mod ｑ）； の整数のべき乗剰余計算により、前記平文Ｍのｐを法と
する剰余Ｋo およびｑを法とする剰余Ｍq を取得し、前
記Ｋ0 に対して前記所定のループ演算を適用することに
より、前記平文Ｍのｐk を法とする剰余Ｍpkを取得し、
前記復元ステップは、前記剰余Ｍpk，Ｍqに対して前記
中国剰余定理を適用する点にある。
【００３０】本発明の第８の特徴は、前記所定のループ
演算は、 （ａ）Ａo :=Ｋo ； と初期設定し、（ｂ）ｉ＝１ から（ ｋ−１）について Ｆi :=Ａi-1 e （mod ｐi+1 ）； Ｅi :=（Ｃ−Ｆi ）（mod ｐi+1 ）； Ｂi :=Ｅi ／ｐi in Ｚ； Ｋi :=（（ｅＦi ）-1Ａi-1 Ｂi ）（mod ｐ）； Ａi :=Ａi-1 ＋ｐi Ｋi in Ｚ； の反復計算を行い、 （ｃ）Ｍpk:=Ａk-1 ． と設定することにより実行される点にある。
【００３１】本発明の第９の特徴は、前記復元ステップ
は、 ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｖ1 :=((Ｍpk−Ｍq ）ｑ1 ）（mod ｐk ）； Ｍ :=（Ｍq ＋ｑｖ1 ）． の計算により前記平文Ｍを復元する点にある。
【００３２】本発明のだい１０の特徴は、前記復元ステ
ップは、 ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｖ1 :=((Ｍq −Ｍpk）ｐ1 ）（mod ｑ）； Ｍ :=（Ｍpk＋ｐk ｖ1 ）． の計算により前記平文Ｍを復元する点にある。
【００３３】本発明の第１１の特徴は、前記復元ステッ
プは、 ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； Ｍ :=（ｑ1 ｑＭpk＋ｐ1 ｐk Ｍq ）（mod ｐkｑ）． の計算により前記平文Ｍを復元する点にある。
【００３４】本発明の第１２の特徴は、送信者から受信
者に送信される認証文の認証を行う認証方法であって、
（ａ）送信側において、Ｎ（≧２）個の素数ｐ1 ，
ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、・・
・、ｋNを任意の正の整数とするときの積ｐ1 k1ｐ2 k2…
ｐN kNを第１の公開鍵ｎとし、第２の公開鍵ｅおよび第
２の秘密鍵ｄを、ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の
最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように設定するステップと、（ｂ）送信側にお
いて、ハッシュ関数ｈを用いて認証文Ｍをハッシュ化す
ることにより、認証子ｈ（Ｍ）を得るステップと、
（ｃ）送信側において、前記第１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，
…，ｐN に対して所定のループ演算を用いて、暗号化認
証子ｈ（Ｃ）のｐ1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法
とする、剰余ｈ（Ｃ）p1k1，ｈ（Ｃ）p2k2，…，ｈ
（Ｃ）pNkNを取得し、前記剰余ｈ（Ｃ）p1k1，ｈ（Ｃ）
p2k2，…，ｈ（Ｃ）pNkNに中国剰余定理を適用すること
により、 ｈ（Ｍ）≡ｈ（Ｃ）e （mod ｎ） に従って認証子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ（Ｃ）を取得
するステップと、（ｄ）前記送信者から前記受信者へ前
記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び前記認証文Ｍを送信するス
テップと、（ｅ）受信側において、前記第２の公開鍵ｅ
を用いて、送信者から受信される前記暗号化認証子ｈ
（Ｃ）から、ｈ（Ｃ）e （mod ｎ）を計算することによ
り、第１の認証子ｈ（Ｍ）1 を取得するステップと、
（ｆ）受信側において、前記ハッシュ関数ｈを用いて、
送信者から受信される前記認証文Ｍのハッシュ化を行う
ことにより、第２の認証子ｈ（Ｍ）2 を取得するステッ
プと、（ｇ）受信側において、前記第１の認証子ｈ
（Ｍ）1 と前記第２の認証子ｈ（Ｍ）2 とが一致してい
るか否かを検証することにより、前記認証文Ｍの正当性
を判断するステップとを含むことを特徴とする認証方法
を提供する点にある。
【００３５】本発明の第１３の特徴は、前記暗号化認証
子ｈ（Ｃ）は、３つの素数ｐ1＝ｐ、ｐ2＝ｑおよびｐ3
＝ｒである前記第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ1、ｌ＝ｋ2およ
びｍ＝ｋ3であるときの積ｐk ｑl ｒm である前記第１
の公開鍵ｎとを用いて得られ、前記ステップ（ｃ）は、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； ｄr:=ｄ（mod r-1）； とするとき、 ｈ（Ｋ）0 p :=ｈ（Ｍ）dp（mod ｐ）； ｈ（Ｋ）0 q :=ｈ（Ｍ）dq（mod ｑ）； ｈ（Ｋ）0 r :=ｈ（Ｍ）dr（mod ｒ）； の整数のべき乗剰余計算により、ｐ、ｑおよびｒのそれ
ぞれを法とするｈ（Ｋ）0 p ，ｈ（Ｋ）0 q およびｈ
（Ｋ）0 r を求め、前記ｈ（Ｋ）0 p ，ｈ（Ｋ）0 q お
よびｈ（Ｋ）0 r のそれぞれに対して前記所定のループ
演算を適用することにより、ｐk ，ｑl およびｒm のそ
れぞれを法とする剰余ｈ（Ｃ）pk，ｈ（Ｃ）qlおよびｈ
（Ｃ）rmを求め、前記剰余ｈ（Ｃ）pk，ｈ（Ｃ）qlおよ
びｈ（Ｃ）rmに対して前記中国剰余定理を適用する点に
ある。
【００３６】本発明の第１４の特徴は、前記暗号化認証
子ｈ（Ｃ）は、２つの素数ｐ1＝ｐおよびｐ2＝ｑである
前記第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ1であるときの積ｐkｑであ
る前記第１の公開鍵ｎとを用いて得られ、前記ステップ
（ｃ）は、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； とするとき、 ｈ（Ｋ）0 :=ｈ（Ｍ）dp（mod ｐ）； ｈ（Ｃ）q :=ｈ（Ｍ）dq（mod ｑ）； の整数のべき乗剰余計算により、前記暗号化認証子ｈ
（Ｃ）の、ｐを法とする剰余ｈ（Ｋ）0 と、ｑを法とす
る剰余ｈ（Ｃ）q とを取得し、前記ｈ（Ｋ）0 に対して
前記所定のループ演算を適用することにより、前記暗号
化認証子ｈ（Ｃ）の、ｐk を法とする剰余ｈ（Ｃ）pkを
取得し、前記剰余ｈ（Ｃ）pk及びｈ（Ｃ）qに対して前
記中国剰余定理を適用する点にある。
【００３７】本発明の第１５の特徴は、前記所定のルー
プ演算は、（ａ）ｈ（Ａ）o :=ｈ（Ｋ）o ；と初期設定
し、（ｂ）ｉ＝１ から（ ｋ−１）について ｈ（Ｆ）i :=（ｈ（Ａ）i-1 e ）（mod ｐi+1 ）； ｈ（Ｅ）i :=（ｈ（Ｍ）−ｈ（Ｆ）i ）（mod ｐ
i+1 ）； ｈ（Ｂ）i :=ｈ（Ｅ）i ／ｐi in Ｚ； ｈ（Ｋ）i :=（（ｅｈ（Ｆ）i ）-1ｈ（Ａ）i-1 ｈ
（Ｂ）i ）（mod ｐ）； ｈ（Ａ）i :=ｈ（Ａ）i-1 ＋ｐi ｈ（Ｋ）i in Ｚ； の反復計算を行い、（ｃ）ｈ（Ｃ）pk:=ｈ（Ａ）k-1 ．
と設定することにより実行される点にある。
【００３８】本発明の第１６の特徴は、前記ステップ
（ｃ）は、 ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｖ1 :=((ｈ（Ｃ）pk−ｈ（Ｃ）q ）ｑ1 ）（mod
ｐk ）； ｈ（Ｃ） :=（ｈ（Ｃ）q ＋ｑｖ1 ）． の計算により前記中国剰余定理を適用する点にある。
【００３９】本発明の第１７の特徴は、前記ステップ
（ｃ）は、 ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｖ1 :=((ｈ（Ｃ）q −ｈ（Ｃ）pk）ｐ1 ）（mod ｑ）； ｈ（Ｃ） :=（ｈ（Ｃ）pk＋ｐk ｖ1 ）． の計算により前記中国剰余定理を適用する点にある。
【００４０】本発明の第１８の特徴は、前記ステップ
（ｃ）は、 ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｈ（Ｃ） :=（ｑ1 ｑｈ（Ｃ）pk＋ｐ1 ｐk ｈ
（Ｃ）q ）（mod ｐkｑ）． の計算により前記中国剰余定理を適用する点にある。
【００４１】本発明の第１９の特徴は、Ｎ（≧２）個の
素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵とし、ｋ１、
ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの積ｐ
1 k1ｐ2 k2…ｐN kNを第１の公開鍵ｎと設定し、前記第
１の秘密鍵を用いて、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密
鍵ｄを、ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍
数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように決定する暗号化・復号化鍵生成処理部
と、前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを用い
て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得る暗号化処理部とを具備することを
特徴とする暗号化装置を提供する点にある。
【００４２】本発明の第２０の特徴は、Ｎ（≧２）個の
素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN である第１の秘密鍵と、ｋ
１、ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの
積ｐ1 k 1ｐ2 k2…ｐN kNである第１の公開鍵ｎと、ｐ1
−１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数をＬとする
とき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを復号化する復号化装置であ
って、前記第１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN に対し
て、所定のループ演算を用いて、前記平文Ｍの、
ｐ1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法とする、剰余
Ｍp1k1，Ｍp2k2，…，ＭpNkNを求める計算処理部と、前
記剰余Ｍp1k1，Ｍp2k2，…，ＭpNkNに中国剰余定理を適
用して、前記平文Ｍを復元する復号化処理部とを具備す
ることを特徴とする復号化装置を提供する点にある。
【００４３】本発明の第２１の特徴は、Ｎ（≧２）個の
素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵とし、ｋ１、
ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの積ｐ
1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kNを第１の公開鍵ｎとし、前記
第１の秘密鍵を用いて、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
密鍵ｄを、ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公
倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように決定する暗号化・復号化鍵生成処理部
と、前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを用い
て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得る暗号化処理部とを有する送信装置
と、前記第１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN に対して、
所定のループ演算を用いて、前記平文Ｍの、ｐ1 k1，ｐ
2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法とする、剰余Ｍp1k1，Ｍ
p2k2，…，ＭpNkNを求める計算処理部と、前記剰余Ｍ
p1k1，Ｍp2k2，…，ＭpNkNに中国剰余定理を適用して、
前記平文Ｍに復元する復号化処理部とを有する受信装置
とを具備することを特徴とする暗号通信システムを提供
する点にある。
【００４４】本発明の第２２の特徴は、送信者から受信
者に送信される認証文の認証に用いる認証文送信者装置
であって、Ｎ（≧２）個の素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を
第１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、・・・、ｋNを任意の
正の整数とするときの積ｐ1 k 1ｐ2 k2…ｐN kNを第１の
公開鍵ｎとし、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄ
を、ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数を
Ｌとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように設定する暗号化・復号化鍵生成処理部
と、ハッシュ関数ｈを用いて認証文Ｍをハッシュ化する
ことにより、認証子ｈ（Ｍ）を得る認証文ハッシュ化処
理部と、前記第１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN に対し
て所定のループ演算を用いて、認証子ｈ（Ｃ）の
ｐ1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法とする剰余ｈ
（Ｃ）p1k1，ｈ（Ｃ）p2k2，…，ｈ（Ｃ）pNkNを求め、
前記剰余ｈ（Ｃ）p1 k1，ｈ（Ｃ）p2k2，…，ｈ（Ｃ）
pNkNに中国剰余定理を適用することにより、 ｈ（Ｍ）≡ｈ（Ｃ）e （mod ｎ） に従って認証子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ（Ｃ）を得、
前記受信者へ前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び前記認証文
Ｍを送信する認証子暗号化処理部とを具備することを特
徴とする認証文送信者装置を提供する点にある。
【００４５】本発明の第２３の特徴は、Ｎ（≧２）個の
素数ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ である第１の秘密鍵と、
ｋ１、ｋ２、…、ｋNを任意の正の整数（ただし少なく
ともひとつのｊ（１≦ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）とす
るときのべき乗積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ ｋＮである第
１の公開鍵ｎと、ｐ１ −１，ｐ２ −１，…，ｐＮ−１
の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
て、送信者から受信者に送信される認証文の認証に用い
る認証文受信者装置であって、前記第２の公開鍵ｅを用
いて、前記送信者から受信される暗号化認証子ｈ（Ｃ）
から、ｈ（Ｃ）ｅ（mod ｎ）を計算することにより、第
１の認証子ｈ（Ｍ）１ を得る認証子復号化処理部と、
ハッシュ関数ｈを用いて、前記送信者から受信される認
証文Ｍのハッシュ化を行うことにより、第２の認証子ｈ
（Ｍ）２ を得る認証文ハッシュ化処理部と、 前記第
１の認証子ｈ（Ｍ）１ と前記第２の認証子ｈ（Ｍ）２
とが一致しているか否かを検証することにより、前記認
証文Ｍの正当性を判断する認証確認処理部とを具備する
ことを特徴とする認証文受信者装置を提供する点にあ
る。
【００４６】本発明の第２４の特徴は、送信者から受信
者に送信される認証文の認証を行う認証システムであっ
て、(i) Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ を第
１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、…、ｋNを任意の正の整
数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦Ｎ）に対し
てｋｊ≧２）とするときのべき乗積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…
ｐＮ ｋＮを第１の公開鍵ｎとし、第２の公開鍵ｅおよび
第２の秘密鍵ｄを、ｐ１ −１，ｐ２ −１，…，ｐＮ
−１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように設定する暗号化・復号化鍵生成処理部
と、ハッシュ関数ｈを用いて認証文Ｍをハッシュ化する
ことにより、認証子ｈ（Ｍ）を得る認証文ハッシュ化処
理部と、送信側において、前記第１の秘密鍵ｐ１ ，ｐ
２ ，…，ｐＮ のそれぞれに対して所定のループ演算を
用いて、暗号化認証子ｈ（Ｃ）のｐ１ ｋ１，ｐ２ ｋ２，
…，ｐＮ ｋＮをそれぞれ法とする剰余ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，
ｈ(Ｃ)ｐ２ｋ２，…，ｈ(Ｃ)ｐＮｋＮを求め、前記剰余
ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，ｈ(Ｃ)ｐ２ｋ２，…，ｈ(Ｃ)ｐＮｋＮ
に中国剰余定理を適用することにより、認証子ｈ（Ｍ）
の暗号化認証子ｈ（Ｃ）を得、前記受信者へ前記暗号化
認証子ｈ（Ｃ）及び前記認証文Ｍを送信する認証子暗号
化処理部とを有する送信装置と、(ii) 前記第２の公開鍵ｅを用いて、前記送信者から受
信される前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）からｈ（Ｃ）ｅ（mo
d ｎ）を計算することにより、第１の認証子ｈ（Ｍ）１
を得る認証子復号化処理部と、前記ハッシュ関数ｈを
用いて、前記送信者から受信される前記認証文Ｍのハッ
シュ化を行うことにより、第２の認証子ｈ（Ｍ）２ を
得る認証文ハッシュ化処理部と、前記第１の認証子ｈ
（Ｍ）１ と前記第２の認証子ｈ（Ｍ）２ とが一致して
いるか否かを検証することにより、前記認証文Ｍの正当
性を判断する認証確認処理部とを有する受信装置、とを
具備することを特徴とする認証システムを提供する点に
ある。
【００４７】本発明の第２５の特徴は、Ｎ（≧２）個の
素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵とし、ｋ１、
ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの積ｐ
1 k1ｐ2 k2…ｐN kNを第１の公開鍵ｎと設定し、前記第
１の秘密鍵を用いて、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密
鍵ｄを、ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍
数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように決定する暗号化・復号化鍵生成処理と、
記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを用いて、平文
Ｍから、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得る暗号化処理とを含む処理をコンピ
ュータに実行せしめる暗号化プログラムを記録すること
を特徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒体を提
供する点にある。
【００４８】本発明の第２６の特徴は、Ｎ（≧２）個の
素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN である第１の秘密鍵と、ｋ
１、ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの
積ｐ1 k 1ｐ2 k2…ｐN kNである第１の公開鍵ｎと、ｐ1
−１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数をＬとする
とき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを復号化する復号化プログラ
ムを記録するコンピュータ読み取り可能な記録媒体であ
って、前記第１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐNに対し
て、所定のループ演算を用いて、前記平文Ｍの、
ｐ1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法とする、剰余
Ｍp1k1，Ｍp2k2，…，ＭpNkNを求める計算処理と、前記
剰余Ｍp1k1，Ｍp2k2，…，ＭpNkNに中国剰余定理を適用
して、前記平文Ｍを復元する復号化処理とを含む処理を
コンピュータに実行せしめる復号化プログラムを記録す
ることを特徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒
体を提供する点にある。
【００４９】本発明の第２７の特徴は、送信者から受信
者に送信される認証文の認証に用いる認証文送信プログ
ラムを記録するコンピュータ読み取り可能な記録媒体で
あって、Ｎ（≧２）個の素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第
１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、・・・、ｋNを任意の正
の整数とするときの積ｐ1 k1ｐ2 k2…ｐN kNを第１の公
開鍵ｎとし、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄを、
ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数をＬと
するとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように設定する暗号化・復号化鍵生成処理と、
ハッシュ関数ｈを用いて認証文Ｍをハッシュ化すること
により、認証子ｈ（Ｍ）を得る認証文ハッシュ化処理
と、前記第１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN に対して所
定のループ演算を用いて、認証子ｈ（Ｃ）のｐ1 k1，ｐ
2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法とする剰余ｈ
（Ｃ）p1k1，ｈ（Ｃ）p2k2，…，ｈ（Ｃ）pNkNを求め、
前記剰余ｈ（Ｃ）p1k1，ｈ（Ｃ）p2k2，…，ｈ（Ｃ）
pNkNに中国剰余定理を適用することにより、 ｈ（Ｍ）≡ｈ（Ｃ）e （mod ｎ） に従って認証子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ（Ｃ）を得、
前記受信者へ前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び前記認証文
Ｍを送信する認証子暗号化処理とを含む処理をコンピュ
ータに実行せしめる認証文送信プログラムを記録するこ
とを特徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒体を
提供する点にある。
【００５０】本発明の第２８の特徴は、Ｎ（≧２）個の
素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN である第１の秘密鍵と、ｋ
１、ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とするときの
積ｐ1 k 1ｐ2 k2…ｐN kNである第１の公開鍵ｎと、ｐ1
−１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数をＬとする
とき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
て、送信者から受信者に送信される認証文の認証に用い
る認証文受信プログラムを記録するコンピュータ読み取
り可能な記録媒体であって、前記第２の公開鍵ｅを用い
て、前記送信者から受信される暗号化認証子ｈ（Ｃ）か
ら、ｈ（Ｃ）e （mod ｎ）を計算することにより、第１
の認証子ｈ（Ｍ）1 を得る認証子復号化処理と、ハッシ
ュ関数ｈを用いて、前記送信者から受信される認証文Ｍ
のハッシュ化を行うことにより、第２の認証子ｈ（Ｍ）
2 を得る認証文ハッシュ化処理と、前記第１の認証子ｈ
（Ｍ）1 と前記第２の認証子ｈ（Ｍ）2 とが一致してい
るか否かを検証することにより、前記認証文Ｍの正当性
を判断する認証確認処理とを含む処理をコンピュータに
実行せしめる認証文受信プログラムを記録することを特
徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒体を提供す
る点にある。
【００５１】
【発明の実施の形態】以下、図面を用いて本発明の実施
の形態を詳細に説明する。
【００５２】尚、後述するように、本発明に係る暗号化
・復号化方式は一般には、ｎ＝ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ
ｋＮ のべき乗積（少なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦Ｎ）
に対してｋｊ≧２）として構成可能であるが、より実用
的な例であるｎ＝ｐ１ ｋ１ｐ２の場合（ｋ１≧２）を最
初に説明する。
【００５３】以下において、ｐk ｑは、一般的な表現で
あるｐ1 k1ｐ2 k2…ｐN kN（但し、ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐ
N はＮ （≧２）個の素数）において、Ｎ＝２，ｐ1＝
ｐ、ｐ2＝ｑ、ｋ１＝ｋ、ｋ2 ＝１としたときの、特殊
な場合に対応する。
【００５４】図１は、本発明の一実施形態に係る暗号通
信システムの全体構成を示す。
【００５５】図１に示す暗号通信システムは、通信路１
４を介して接続される暗号化装置１０と、復号化装置１
９からなる。暗号化装置１０は、入力として与えられた
平文Ｍから暗号文Ｃを得、得られた暗号文Ｃを通信路１
４を介して復号化装置１９に送信する暗号化処理部１３
を具備する。復号化装置１９は、暗号化処理部１３から
送信される暗号文Ｃを平文Ｍに復元し、得られた平文Ｍ
を出力する復号化処理部１５を具備する。復号化処理部
１５は、ループ演算処理部１７を有する。
【００５６】さらに、暗号化装置１０は、暗号化処理部
１３と復号化処理部１５との双方に接続される暗号化・
復号鍵生成処理部１１も具備する。暗号化・復号化鍵生
成処理部１１は、暗号化処理部１３に第一の公開鍵ｎお
よび第２の公開鍵ｅを供給し、一方、復号化処理部１５
に第１の秘密鍵ｐ、ｑと、第２の秘密鍵ｄと、任意の正
整数ｋと、第１の公開鍵ｎと、第２の公開鍵ｅとを供給
する。
【００５７】次に、暗号化装置１０の動作を、図２を参
照しながら詳細に説明する。
【００５８】まず、暗号化・復号化鍵が暗号化・復号化
鍵生成処理部１１で以下のように生成される（ステップ
Ｓ１０１）。
【００５９】ここでは、第１の秘密鍵は２個の有理素数
ｐ，ｑとして与えられる。また第１の公開鍵は、それら
の積すなわちｎ＝ｐk ｑとして与えられる。また、最小
公倍数を求める関数lcmを用いて、 Ｌ＝ lcm（ｐ−１，ｑ−１） となる最小公倍数Ｌを第１の秘密鍵ｐ、ｑから求める。
【００６０】次に、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす、ｅおよびｄを求める。
【００６１】さらに、それぞれ（ｐ−１）、（ｑ−１）
を法とする当該ｄについての剰余ｄp ，ｄq を ｄp :=ｄ（mod ｐ−１）， ｄq :=ｄ（mod ｑ−１） により求める。
【００６２】尚、ここで記号”:=”は、右辺を計算して
左辺に代入する演算を示す。そして、ｄ，ｄp ，ｄq の
３つの数を１組として第２の秘密鍵とし、ｅを第２の公
開鍵とする。
【００６３】これにより第１の公開鍵ｎ、第２の公開鍵
ｅ、第１の秘密鍵ｐ，ｑおよび第２の秘密鍵ｄ，ｄp ，
ｄq が設定される。
【００６４】次に、暗号化処理部１３において、暗号文
Ｃが以下のように得られる（ステップＳ１０２）。
【００６５】暗号化処理部１３は、第１の公開鍵ｎと第
２の公開鍵ｅを用い、平文Ｍを、式 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） により暗号化し、得られた暗号文Ｃを受信側に送信す
る。
【００６６】次に、復号化装置１９の動作を、図３を用
いて詳細に説明する。
【００６７】復号化処理部１５は、通信路を介して暗号
化処理部１３から入力される暗号文Ｃと、暗号化・復号
化鍵生成処理部１１から入力される第１の秘密鍵ｐ，
ｑ、第２の秘密鍵ｄ、第２の公開鍵ｅおよび任意の正の
整数ｋから、以下の代入演算処理を行うことにより、平
文Ｍを出力として得る。尚、ここで記号”:=”は、右辺
を計算して左辺に代入する演算を示す。
【００６８】（ステップＳ２０１）第２の秘密鍵ｄに対
して、それぞれ（ｐ−１）と（ｑ−１）を法とする値ｄ
p、ｄq を次の式で得る。
【００６９】ｄp :=ｄ（mod ｐ−１）， ｄq :=ｄ（mod ｑ−１）． 尚、これらｄ（mod ｐ−１），ｄ（mod ｑ−１）は、暗
号化・復号化の都度に計算する必要はなく、秘密鍵とし
て事前に一度、作成しておけば十分である。この場合、
ｄは、これらｄ（mod ｐ−１），ｄ（mod ｑ−１）を作
成するための中間段階で必要となるのみである。
【００７０】（ステップＳ２０２）暗号文Ｃから、ｐと
ｑのそれぞれを法とする平文Ｍの剰余Ｋo、Ｍq を以下
のように求める。
【００７１】Ｋo :=Ｃdp（mod ｐ）， Ｍq :=Ｃdq（mod ｑ）； （ステップＳ２０３）高木剛「ｐkｑを法とする高速Ｒ
ＳＡ型暗号」（The 1999Symposium on Cryptography an
d Information Security Kobe, Japan, January26-29,
1999）及び本願発明者による特願平９−１５６９０３に
開示された高速復号化アルゴリズムに従った以下のルー
プ演算をループ演算処理部１７において実行することに
より、ｐk を法とする平文Ｍの剰余Ｍpk を求める。
【００７２】Ａo :=Ｋo ； For ｉ＝１ to (ｋ−１) do Ｂｅｇｉｎ Ｆi :=Ａｉ−１e（mod ｐi+1 ）； Ｅi :=（Ｃ−Ｆi ）（mod ｐi+1 ）； Ｂi :=Ｅi ／ｐｉ in Ｚ； Ｋi :=（（ｅＦi ）-1Ａi-1 Ｂi ）（mod ｐ）； Ａi :=Ａi-1 ＋ｐi Ｋi in Ｚ； ｅｎｄ Ｍpk：＝Ａk-1 （ステップＳ２０４）剰余Ｍpｋ と剰余Ｍqに中国剰余
定理を適用することで、合成数ｎに対する平文Ｍの剰余
を求め、復号が完了する。ここで、このループ演算が機
能するためには、（ｋ−１）は少なくとも１以上でなけ
ればならないから、ｋは２以上（ｋ≧２）であることは
一目瞭然である。
【００７３】より具体的には、中国剰余定理は、以下の
式を用いて適用できる。
【００７４】ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｖ1 :=((Ｍpk−Ｍq ）ｑ1 ）（mod ｐk ）； Ｍ :=（Ｍq ＋ｑｖ1 ）． あるいは、中国剰余定理は、以下の式を用いても適用で
きる。
【００７５】ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｖ1 :=((Ｍq −Ｍpk）ｐ1 ）（mod ｑ）； Ｍ :=（Ｍpk＋ｐk ｖ1 ）． あるいは、中国剰余定理は、以下の式を用いても適用で
きる。
【００７６】ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； Ｍ :=（ｑ1 ｑＭpk＋ｐ1 ｐk Ｍq ）（mod ｐkｑ）． 次に、図１に示す暗号通信システムにおける各処理部の
機能を処理手順に従って説明する。
【００７７】まず段階１として、暗号化・復号化鍵生成
処理部１１において、第１の秘密鍵となる２個の素数
ｐ，ｑを生成し、これら２個の素数ｐ，ｑから、積ｎ＝
ｐkｑを求め第１の公開鍵とする。このとき、ｋは、安
全強度と処理速度とを考慮に入れて、任意の整数が選ば
れる。また、第１の公開鍵ｎに対するｎ＝ｐkｑの式か
ら理解されるように、ｎのサイズ（例えば桁数）が一定
ならｋを大きくすると、ｐ，ｑのそれぞれのサイズが小
さくでき、その分、素因数分解が容易になり（つまり
ｐ，ｑの値が知られ易くなり）、従ってこの暗号方式の
安全強度が低下する。
【００７８】次に、これら２つの素数ｐ，ｑから最小公
倍数Ｌを計算し、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄ
を、ｅｄ≡１（mod Ｌ）に従って生成する。この最小公
倍数Ｌの計算は、まず拡張ユークリッドの互除法を使っ
て、最大公約数を求め、次に残りの因子を掛けて最小公
倍数を求めることによりなしうる。
【００７９】なお、この時点でのｅ、ｄの対は、ｅｄ≡
１（mod Ｌ）により一意的に定まる。この条件を満たす
対なら原理的にはどんな対でもかまわないものの、通
常、暗号化を高速にするために、第２の公開鍵ｅを小さ
い値に設定する。このため、第２の秘密鍵ｄはかなり大
きくなることから、従来方式を用いた場合には復号化処
理が遅くなる。なお、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密
鍵ｄは、法Ｌに関して、逆数関係にあり、従って第２の
公開鍵ｅおよび最小公倍数Ｌが分かれば第２の秘密鍵ｄ
を求めることができる。
【００８０】次に段階２として、暗号化処理部１３にお
いて、受信側の第２の公開鍵ｅを用い、式 Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） によって暗号化が実行され、暗号文Ｃが受信側に送信さ
れる。
【００８１】さらに段階３として、復号化処理部１５に
おいて、前述の高速復号化アルゴリズムにより、Ｍpk≡
Ｍ（mod ｐk ）及び、Ｍq ≡Ｃdq（mod ｑ）が得られ、
これら２つの数に中国剰余定理が適用される。この中国
剰余定理によれば、ある未知数の複数の法に対する剰余
が知られているときに、これら複数の法の積を法とする
未知数（解）が一意的に求められることから、平文Ｍを
復元することができる。
【００８２】次に、本実施形態に係る暗号化の具体例を
挙げる。
【００８３】まず、ｋ＝２の場合の例は、要約すると以
下のようになる。
【００８４】公開鍵 e = 5 公開鍵 n = 40270132689707 秘密鍵 d = 234982541 秘密鍵 p = 34273 秘密鍵 q = 34283 平文 Ｍ = 1234567890 暗号文 Ｃ = 10229049760163 Ａ0＝Ｋ0 = 20157 Ｍq = 2777 Ｋ1 = 1748 Ｍp = Ａ0 + Ｋ1 = 59929361 平文 Ｍ = 1234567890 この具体例では、第１の秘密鍵ｐ，ｑのそれぞれの値
は、ｎ1/(k+1) 程度である。また最小公倍数ＬはＲＳＡ
暗号方式より小さいｎ2/(k+1) 程度であるため、暗号化
・復号化の高速化の実現に貢献できる。
【００８５】より具体的には、Ｃd mod ｎの計算時間
は、Ｏ((log ｎ）2 （log ｄ))であり、Ｃd mod ｐ，Ｃ
d mod ｑの計算時間は、Ｏ（１／３log ｎ）2 （２／３
log ｎ）となる。このため、全体の処理時間は、ＲＳＡ
暗号化システムの処理時間の０．１４８倍である。本具
体例における処理は、中国剰余定理を使うQuisquater-C
oureur法(Ｏ(１／２log ｎ）2 （１log ｎ）の計算時間
となる）より、３倍強だけ高速になる。
【００８６】次に、ｋ＝３の場合の例は、要約すると以
下のようになる。
【００８７】公開鍵 e = 5 公開鍵 n = 627252701350243 秘密鍵 d = 7515005 秘密鍵 p = 5003 秘密鍵 q = 5009 平文 Ｍ = 123456789012345 暗号文 Ｃ = 287551735059915 Ａ0＝Ｋ0p = 1732 Ｍq = 3412 Ｋ1p = 4821 Ａ1=24121195 Ｋ2p=4395 Ｍp2 =Ａ2 = Ａ1 + ｐ2Ｋ2 = 110031010750 平文 Ｍ = 123456789012345 尚、上記の暗号化・復号化方式は、３つの素数ｐ1＝
ｐ，ｐ2＝ｑおよびｐ3＝ｒを第１の秘密鍵に、ｋ＝ｋ
1、ｌ＝ｋ2およびｍ＝ｋ3とするときの積ｐk ｑlｒm を
第１の公開鍵ｎにした場合にも適用できることは明らか
である。
【００８８】この場合、復号化は、まず以下の整数のべ
き乗剰余計算式により、ｐ、ｑ、ｒをそれぞれ法とする
Ｋ0 p ，Ｋ0 q およびＫ0 r を得る。
【００８９】Ｋ0 p :=Ｃdp（mod ｐ）； Ｋ0 q :=Ｃdq（mod ｑ）； Ｋ0 r :=Ｃdr（mod ｒ）； 但し、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； ｄr:=ｄ（mod r-1）； 次に、ｐ、ｑおよびｒのそれぞれを法とするＫ０ ｐ 、
Ｋ０ ｑ 、およびＫ０ ｒ のそれぞれに対して、ｎ＝ｐ ｋ
ｑの場合に行ったのと同様のループ演算を適用すること
により、ｐｋ、ｑｌ、ｒｍをそれぞれ法とする剰余Ｍ
ｐｋ、Ｍｑｌ、Ｍｒｍを求め、最後に剰余Ｍｐｋ、Ｍ
ｑｌ、Ｍｒｍに対して中国剰余定理を適用する。
【００９０】尚、上記の暗号化・復号化方式はまた、Ｎ
（≧２）個の素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵
とし、ｋ１、ｋ２、・・・、ｋNを任意の正の整数とす
るときの積ｐ1 k1 ｐ2 k2…ｐN kNを第１の公開鍵ｎとし、
ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数をＬと
するとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅ，ｄを第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄ
とした場合に一般化できることは明らかである。
【００９１】この一般化されたケースでは、暗号文Ｃ
は、平文Ｍから上記の第１の公開鍵ｎと第２の公開鍵ｅ
を用いて、以下の式に従い求めることができる。
【００９２】Ｃ≡Ｍe （mod ｎ） この場合にはまた、復号化は、まず、第１の秘密鍵ｐ
1 ，ｐ2 ，…，ｐN に対して前述の高速復号化アルゴリ
ズムのループ演算を行ってｐ1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kN
をそれぞれ法とする、平文Ｍの剰余Ｍp1k1，Ｍp2k2，
…，ＭpNkNを求め、次に、剰余Ｍp1k1，Ｍp2k2，…，Ｍ
pNkNに対して中国剰余定理を適用することにより実現で
きる。
【００９３】次に、図４は本発明の一実施形態に係る認
証システムの全体構成を示す。
【００９４】図４に示す認証装置は、通信路２６により
相互に接続される送信者装置２０と、受信者装置３３か
らなる。送信者装置２０は、入力認証文（平文）Ｍをハ
ッシュ化処理して認証子ｈ（Ｍ）を出力する認証文ハッ
シュ化処理部２３と、この認証文ハッシュ化処理部２３
から出力される認証子ｈ（Ｍ）を暗号化し、得られた暗
号化認証子ｈ（Ｃ）を通信路２６を介して送信する認証
子暗号化処理部２５とを具備する。
【００９５】受信者装置３３は、暗号化認証子ｈ（Ｃ）
から第１の認証子ｈ（Ｍ）1 を得る認証子復号化処理部
２７と、認証文Ｍから第２の認証子ｈ（Ｍ）2 を得る認
証文ハッシュ化処理部２９とを具備し、双方とも通信路
２６を介して認証子暗号化処理部２５に接続される。受
信者装置３３は、さらに、認証子復号化処理部２７と認
証文ハッシュ化処理部２９とに接続され、認証文Ｍの認
証を確認する認証確認処理部３１を具備する。
【００９６】さらに、送信者装置２０はまた、認証用暗
号化・復号化鍵を認証子暗号化処理部２５及び認証子復
号化処理部２７にそれぞれ出力する認証用暗号化・復号
化鍵生成処理部２１を具備する。
【００９７】図４に示すこの認証システムは、自身の認
証文を認証してもらいたい者が自らの秘密鍵により認証
文の暗号化を行って生成した認証子を受信者側に送信す
る認証方式を実現する。
【００９８】次に、図４に示す認証システムにおける各
処理部の動作を、図５を参照して処理手順に従い説明す
る。
【００９９】まず段階１として（ステップＳ３０１）、
認証用暗号化・復号化鍵生成処理部２１において、第１
の秘密鍵として２個の素数ｐ，ｑを生成し、この２個の
素数ｐ，ｑから、積ｎ＝ｐkｑを求め第１の公開鍵とす
る。このときｋは、安全強度と処理速度を考慮して、任
意の整数が選択される。また、第１の公開鍵ｎに対する
ｎ＝ｐkｑの式から理解されるように、ｎのサイズ（例
えば桁数）が一定の場合、ｋを大きくすると、ｐ，ｑの
サイズが小さくなり、その分、素因数分解が容易になり
（つまりｐ，ｑの値が知られ易くなり）、従ってこの認
証システムの安全強度が低下する。
【０１００】次にこれらの素数ｐ，ｑから最小公倍数Ｌ
を計算し、第２の公開鍵ｅと、第２の秘密鍵ｄを、以下
の式に従って生成する。
【０１０１】ｅｄ≡１（mod Ｌ） 次に、段階２として（ステップ３０２）、認証文ハッシ
ュ化処理部２３において、平文の認証文Ｍが、ハッシュ
関数ｈによりハッシュ化され、認証子ｈ（Ｍ）が得られ
る。ただし、０≦ｈ（Ｍ）＜ｎとする。ここで、ハッシ
ュ関数は、メッセージ長を短くするために用いる。例え
ば、ハッシュ化処理は、メッセージの先頭から何文字か
を抽出する。また、ある程度のスクランブル機能を持た
せる。尚、受信側と送信側とでは同じハッシュ関数が使
用される。
【０１０２】次に、段階３として（ステップＳ３０
３）、認証子暗号化処理部２５において、送信側の第１
の公開鍵であるｎと第２の秘密鍵であるｄを用い、前述
の高速復号化アルゴリズムの技術により暗号化認証子ｈ
（Ｃ）が計算される。なお、認証においては、復号化処
理と暗号化処理とは、上記の暗号化・復号化方式の場合
と全く逆になることから、暗号化認証子ｈ（Ｃ）の計算
は、中国剰余定理を使って、高速に演算処理することが
できる。
【０１０３】この演算処理の後に、暗号化認証子ｈ
（Ｃ）と認証文Ｍの組は通信路を介して受信側に送信さ
れる。
【０１０４】次に、段階４として（ステップＳ３０
４）、認証子復号化処理部２７において、受信側は、送
信側の第２の公開鍵ｅを利用して、ｈ（Ｍ）1 ≡ｈ
（Ｃ）e （mod ｎ）を計算することによって、暗号化認
証子ｈ（Ｃ）を復号化し、第１の認証子ｈ（Ｍ）1 を得
る。
【０１０５】次に、段階５として（ステップＳ３０
５）、認証文ハッシュ化処理部２９において、受信側
は、ハッシュ関数ｈを用いて、認証文Ｍのハッシュ化を
行い、第２の認証子ｈ（Ｍ）2 を得る。
【０１０６】次に、段階６として（ステップＳ３０
６）、認証確認処理部３１において、第１の認証子ｈ
（Ｍ）1 と第２の認証子ｈ（Ｍ）2 が一致しているか否
かに従い、認証文の正当性が判断され、一致（Ｙｅ
ｓ）、不一致（Ｎｏ）のいずれかが出力される。
【０１０７】より具体的には、本発明に係る認証方式
は、以下のように実現される。
【０１０８】最も一般化された場合、送信側は、Ｎ（≧
２）個の素数の組ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵
とし、k1,k2,・・・,kNを任意の正の整数とするときの
積ｐ1 k1ｐ2 k2…ｐN kN第１の公開鍵ｎとするとともに、
ｐ1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN−１の最小公倍数をＬと
するとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅ，ｄをそれぞれ第２の公開鍵ｅ及び第２の秘
密鍵ｄとする。
【０１０９】次に、送信側は、ハッシュ関数ｈにより認
証文Ｍをハッシュ化することで認証子ｈ（Ｍ）を得、第
１の秘密鍵ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN に対して、前述の高速
復号化アルゴリズムのループ演算を用いて、暗号化認証
子ｈ（Ｃ）の、ｐ1 k1，ｐ2 k2，…，ｐN kNをそれぞれ法
とする、剰余ｈ（Ｃ）p1k1，ｈ（Ｃ）p2k2，…，ｈ
（Ｃ）pNkN を求め、さらにこれら剰余ｈ（Ｃ）p1k1，
ｈ（Ｃ）p2k2，…，ｈ（Ｃ）pNkN に中国剰余定理を適
用することで、 ｈ（Ｍ）≡ｈ（Ｃ）e（mod ｎ） に従って、認証子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ（Ｃ）を得
る。
【０１１０】次に、暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び認証文Ｍ
は、送信側から受信側に送信される。
【０１１１】次に、受信側は、第２の公開鍵ｅを利用し
て送信側から受信される暗号化認証子ｈ（Ｃ）から、ｈ
（Ｃ）e （mod ｎ）を計算することによって、第１の認
証子ｈ（Ｍ）1 を得るとともに、ハッシュ関数ｈを用い
て、送信側から受信される認証文Ｍのハッシュ化を行っ
て第２の認証子ｈ（Ｍ）2 を得る。
【０１１２】次に、第１の認証子ｈ（Ｍ）1 と第２の認
証子ｈ（Ｍ）2 が一致しているか否かを判断することに
より、受信側で認証文Ｍの正当性が判断される。
【０１１３】以下、上記の一般式を特殊化した場合を説
明する。
【０１１４】まず、３つの素数ｐ1＝ｐ、ｐ2＝ｑ、ｐ3
＝ｒである第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ1、ｌ＝ｋ2およびｍ
＝ｋ3であるときの積ｐk ｑl ｒm である第１の公開鍵
ｎとを用いて、暗号化認証子ｈ（Ｃ）を得る特殊な場合
においては、送信側は、まず、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； ｄr:=ｄ（mod r-1）； とするとき、 ｈ（Ｋ）0 p :=ｈ（Ｍ）dp（mod ｐ）； ｈ（Ｋ）0 q :=ｈ（Ｍ）dq（mod ｑ）； ｈ（Ｋ）0 r :=ｈ（Ｍ）dr（mod ｒ）； の整数のべき乗剰余計算により、ｐ、ｑ、ｒをそれぞれ
法とするｈ（Ｋ）0 p，ｈ（Ｋ）0 q およびｈ（Ｋ）0 r
を求め、次に、ｈ（Ｋ）0 p ，ｈ（Ｋ）0 qおよびｈ
（Ｋ）0 r のそれぞれに対して上記ループ演算を適用す
ることにより、ｐk ，ｑl およびｒm のそれぞれを法と
する剰余ｈ（Ｃ）pk，ｈ（Ｃ）qlおよびｈ（Ｃ）rmを求
め、さらに、剰余ｈ（Ｃ）pk，ｈ（Ｃ）qlおよびｈ
（Ｃ）rmに対して中国剰余定理を適用することによっ
て、暗号化認証子ｈ（Ｃ）を得ることは、上記から明ら
かである。
【０１１５】また、２つの素数ｐ1＝ｐおよびｐ2＝ｑで
ある第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ１とするときの積ｐkｑで
ある第１の公開鍵ｎとを用いて、暗号化認証子ｈ（Ｃ）
を得る特殊な場合においては、送信側は、まず、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； とするとき、 ｈ（Ｋ）0 :=ｈ（Ｍ）dp（mod ｐ）； ｈ（Ｃ）q :=ｈ（Ｍ）dq（mod ｑ）； の整数のべき乗剰余計算により、ｐを法とする剰余ｈ
（Ｋ）0 と、ｑを法とする剰余ｈ（Ｃ）q とを求め、次
に、ｈ（Ｋ）0 に対して上記ループ演算を適用すること
により、ｐk を法とする剰余ｈ（Ｃ）pkを求め、さら
に、剰余ｈ（Ｃ）pk、ｈ（Ｃ）q に対して中国剰余定理
を適用することによって、暗号化認証子ｈ（Ｃ）を得る
ことは、上記から明らかである。
【０１１６】この場合、ループ演算は、以下のように実
行される。
【０１１７】ｈ（Ａ）o :=ｈ（Ｋ）o ； ＦＯＲ ｉ＝１ to（ ｋ−１） do begin ｈ（Ｆ）i :=（ｈ（Ａ）i-1 e ）（mod ｐi+1 ）； ｈ（Ｅ）i :=（ｈ（Ｍ）−ｈ（Ｆ）i ）（mod ｐ
i+1 ）； ｈ（Ｂ）i :=ｈ（Ｅ）i ／ｐi in Ｚ； ｈ（Ｋ）i :=（（ｅｈ（Ｆ）i ）-1ｈ（Ａ）i-1 ｈ
（Ｂ）i ）（mod ｐ）； ｈ（Ａ）i :=ｈ（Ａ）i-1 ＋ｐi ｈ（Ｋ）i in Ｚ； end ｈ（Ｃ）pk:=ｈ（Ａ）k-1 ． また、この場合には、中国剰余定理は、以下の式を用い
て適用できる。
【０１１８】ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｖ1 :=((ｈ（Ｃ）pk−ｈ（Ｃ）q ）ｑ1 ）（mod
ｐk ）； ｈ（Ｃ） :=（ｈ（Ｃ）q ＋ｑｖ1 ）． あるいは、中国剰余定理は、以下の式を用いても適用で
きる。
【０１１９】ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｖ1 :=((ｈ（Ｃ）q −ｈ（Ｃ）pk）ｐ1 ）（mod ｑ）； ｈ（Ｃ） :=（ｈ（Ｃ）pk＋ｐk ｖ1 ）． あるいは、中国剰余定理は、以下の式を用いても適用で
きる。
【０１２０】ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｈ（Ｃ） :=（ｑ1 ｑｈ（Ｃ）pk＋ｐ1 ｐk ｈ
（Ｃ）q ）（mod ｐkｑ）． 上述してきたように、それぞれの素数はｎ1/(k+1) 程度
のサイズであり、現在知られる最速の素因数分解アルゴ
リズムである数体ふるい法・楕円曲線法ともに防ぐのに
十分である。また、第２の公開鍵ｅは小さく設定される
ので、第２の秘密鍵ｄは最小公倍数Ｌと同程度の大きさ
になる。ここで、最小公倍数Ｌはｎ2/(k +1) 程度のサイ
ズであってＲＳＡ暗号方式のものより小さくなり、この
ため暗号化・復号化の高速化の実現に貢献する。
【０１２１】また本実施形態では、ｋ＝３の場合、ｎ＝
ｐ3 ｑの合成数を法とすることから、ｐ，ｑのそれぞれ
のサイズは、ｎのサイズの１／４となる。ｐ3 を法とす
る復号化処理は、ｐを法とする処理とほぼ同じ計算量で
あり、その結果、ｐ3 ，ｑを法とする処理が、それぞれ
６４倍高速になる。こうして、全体の処理としては、３
２倍高速化が可能となる。これは従来実現されていた４
倍の高速化と比較しても、非常に高速である。
【０１２２】以上説明したように、本実施形態は、Ｎ
（≧２）個の素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵
とし、k1,k2,・・・,kNを任意の正の整数とするときの
積ｐ1 k1ｐ2 k2…ｐN kN第１の公開鍵ｎとしたので、従
来、知られる有理整数環上のＲＳＡ暗号と同程度の安全
性強度を持ち、かつ暗号化・復号化処理の高速化が実現
できる。さらに、認証にも利用可能であり、かつ認証子
作成および認証確認の高速化が実現できるという効果を
奏するものである。
【０１２３】さらに、本実施形態に係る暗号方式は、ｐ
1 −１，ｐ2 −１，…，ｐN −１の最小公倍数をＬとす
るとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅ，ｄの組を生成し、それぞれ第２の公開鍵ｅ
を暗号化の鍵とし、第２の秘密鍵ｄを復号化の鍵とした
ので、復号化の鍵ｄのサイズはＬのサイズと同程度にす
ることができる。
【０１２４】これに対し、例えばＲＳＡ暗号方式の場
合、ｐ1 k1ｐ2 k2…ｐN kN（但し、ｐ1，ｐ2 ，…，ｐN は
Ｎ（≧２）個の素数）を第１の公開鍵ｎとした場合、オ
イラー関数φ（ｎ）を、 φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ1 ）（１−１／ｐ2 ）…（１
−１／ｐN） で表すとき、 ｅｄ≡１（mod φ（ｎ）） を満たすｅ，ｄの組を生成し、それぞれｅを暗号化の鍵
とし、ｄを復号化の鍵とするので、復号化の鍵ｄのサイ
ズはφ（ｎ）のサイズとなり本発明の場合のサイズＬに
比較するとかなり長大である。
【０１２５】尚、上述した他にも、本発明の本旨を逸脱
することなく、上記の実施形態に様々な変更変形を成し
得ることが可能であることはいうまでもなく、これらの
変形変更はすべて本発明の範囲に含まれるものである。
【０１２６】
【発明の効果】上述したように、本発明は、Ｎ（≧２）
個の素数ｐ1 ，ｐ2 ，…，ｐN を第１の秘密鍵とし、k
1,k2,・・・,kNを任意の正整数とするときの積ｐ1 k1ｐ2
k2…ｐN kN第１の公開鍵ｎとしたので、従来、知られる
有理整数環上のＲＳＡ暗号と同程度の安全強度を持ち、
かつ暗号化・復号化処理の高速化が実現できる。さら
に、認証にも利用可能であり、かつ認証子作成および認
証確認の高速化が実現できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の一実施形態に係る暗号通信システムの
構成を示すブロック図である。
【図２】図１の暗号通信システムにおける暗号化装置の
暗号化処理を示すフローチャートである。
【図３】図１の暗号通信システムにおける復号化装置の
復号化処理を示すフローチャートである。
【図４】本発明の一実施形態に係る認証システムの構成
を示すブロック図である。
【図５】図４の認証システムにおける認証処理を示すフ
ローチャートである。
【符号の説明】
１０ 暗号化装置 １１ 暗号化・復号化鍵生成処理部 １３ 暗号化処理部 １４、２６ 通信路 １５ 復号化処理部 １７ ループ演算処理部 １９ 復号化装置 ２０ 送信者装置 ２１ 認証用暗号化・復号化鍵生成処理部 ２３ 認証文ハッシュ化処理部 ２５ 認証子暗号化処理部 ２７ 認証子復号化処理部 ２９ 認証文ハッシュ化処理部 ３１ 認証確認処理部 ３３ 受信者装置
フロントページの続き (56)参考文献 特開 昭58−190151（ＪＰ，Ａ) 特開 平11−174955（ＪＰ，Ａ) Ｔｓｕｙｏｓｈｉ ＴＡＫＡＧＩ, “Ｆａｓｔ ＲＳＡ−Ｔｙｐｅ Ｃｒｙ ｐｔｏｓｙｓｔｅｍ Ｍｏｄｕｌｏ ｐ ｋｑ，”Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓｉ ｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃ ｅ，Ｖｏｌ．1462，（1998），ｐ．318 −326 Ｓ．Ａ．ＶＡＮＳＴＯＮＥ ａｎｄ Ｒ．Ｊ．ＺＵＣＣＨＥＲＡＴＯ，“Ｕｓ ｉｎｇ ｆｏｕｒ−ｐｒｉｍｅ ＲＳＡ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｉｔｓ ａｒｅ ｓｐｅｃｉ ｆｉｅｄ，”Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，Ｖｏｌ．30，Ｎｏ. 25，（1994），ｐ．2118−2119 Ｔａｔｓｕａｋｉ ＯＫＡＭＯＴＯ, “Ａ Ｆａｓｔ Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ Ｓｃｈｅｍｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｃｏ ｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ Ｐｏｌｙｎｏｍ ｉａｌ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ，”ＩＥ ＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒ ｙ，Ｖｏｌ．36，Ｎｏ．１，（1990）, ｐ．47−53 (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) G09C 1/00 - 5/00 H04K 1/00 - 3/00 H04L 9/00 ＩＮＳＰＥＣ（ＤＩＡＬＯＧ) ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)

Claims (29)

    (57)【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，
    …，ｐＮ を第１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、…、ｋＮ
    を任意の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦
    ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）として、暗号化装置の暗号
    化・復号化鍵生成処理部にべき乗積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…
    ｐＮ ｋＮを第１の公開鍵ｎとして設定させるステップ
    と、 前記暗号化・復号化鍵生成処理部に、ｐ１−１，ｐ２−
    １，…，ｐＮ−１の最小公倍数Ｌを演算させ、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして生成させるステップと、 前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅと、平文Ｍと
    を、前記暗号装置の暗号化処理部に入力するステップ
    と、 前記暗号化処理部に、演算 Ｃ≡Ｍｅ（mod ｎ） を行わせて、暗号文Ｃを生成させるステップとを含むこ
    とを特徴とする暗号化方法。
  2. 【請求項２】 前記設定ステップは、３つの素数ｐ１＝
    ｐ，ｐ２＝ｑおよびｐ３＝ｒを前記第１の秘密鍵とし、
    ｋ＝ｋ1、ｌ＝ｋ2およびｍ＝ｋ3を正の整数（ただし少
    なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦３）に対してｋｊ≧２）
    として、前記暗号化・復号化鍵処理部に、べき乗積ｐｋ
    ｑｌｒｍ を第１の公開鍵ｎとして設定させることを特
    徴とする請求項１に記載の暗号化方法。
  3. 【請求項３】 ２個の素数ｐ１＝ｐおよびｐ２＝ｑを第
    １の秘密鍵とし、ｋを正の整数（ただしｋ１≧２）とし
    て、暗号化装置の暗号化・複合化鍵生成処理部に、べき
    乗積ｐｋｑ を第１の公開鍵ｎとして設定させるステッ
    プと、 前記暗号化・復号化鍵生成処理部に、ｐ−１と，ｑ−１
    の最小公倍数Ｌを演算させ、ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして生成させるステップと、 前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅと、平文Ｍと
    を、前記暗号装置の暗号化処理部に入力するステップ
    と、 前記暗号化処理部に、演算 Ｃ≡Ｍ ｅ （mod ｎ） を行わせて、暗号文Ｃを生成させるステップとを含むこ
    とを特徴とする暗号化方法 。
  4. 【請求項４】 前記第２の秘密鍵ｄの生成ステップは、
    さらに、暗号化・復号化鍵生成部に、 ｄp :=ｄ（mod ｐ−１）， ｄq :=ｄ（mod ｑ−１） を満たす剰余ｄｐ ，ｄｑ を求めさせ、前記第２の秘
    密鍵が、前記ｄ、ｄｐ及びｄｑ の組となるように決定
    させることを特徴とする請求項３に記載の暗号化方法。
  5. 【請求項５】 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，…，
    ｐＮ である第１の秘密鍵と、ｋ１、ｋ２、…、ｋＮを
    任意の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦ｊ
    ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）とするときのべき乗積ｐ１
    ｋ１ｐ２ ｋ２...ｐＮ ｋＮである第１の公開鍵ｎと、ｐ
    １−１，ｐ２−１，…，ｐＮ−１の最小公倍数をＬとす
    るとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅ及び第２の秘密鍵ｄとを用い
    て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe（mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを、復号装置の復号化処理部
    に入力するステップと、 前記復号装置のループ演算部に、 前記第１の秘密鍵ｐ１
    ，ｐ２ ，…，ｐＮ のそれぞれに対して、 （A）ｊ＝１からＮについて ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝Ｃ dpj （mod ｐ ｊ ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ ｊ −１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（Ｃ−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） -1 Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ ｊ ｉ Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍｐ ｊ ｋ ｊ ：=Ａ ｋｊ−１，ｊ とする ループ演算を適用させることにより、前記平文Ｍ
    の、ｐ１ ｋ１、ｐ２ ｋ２、...、ｐＮ ｋＮをそれぞれ法
    とする、剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍｐ２ｋ２，…，ＭｐＮｋＮ
    を取得させるステップと、前記復号化処理部に、 剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍｐ２ｋ２，
    …，ＭｐＮｋＮに対して中国剰余定理を適用させ、前記
    平文Ｍを復元して出力させるステップとを含むことを特
    徴とする復号化方法。
  6. 【請求項６】 前記暗号文Ｃは、３つの素数ｐ１＝ｐ，
    ｐ２＝ｑおよびｐ３＝ｒである第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ
    1、ｌ＝ｋ2およびｍ＝ｋ3（少なくともひとつのｊ（１
    ≦ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）とするときのべき乗積ｐ
    ｋｑｌｒｍであるｎを第１の公開鍵ｎとを用いて得ら
    れ、 前記剰余の取得ステップは、前記復号化処理部に、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； ｄr:=ｄ（mod r-1）； とするとき、 Ｋ0 p :=Ｃdp（mod ｐ）； Ｋ0 q :=Ｃdq（mod ｑ）； Ｋ0 r :=Ｃdr（mod ｒ）； の整数のべき乗剰余計算をさせて、ｐ、ｑおよびｒのそ
    れぞれを法とするＫ０ ｐ 、Ｋ０ ｑ 、Ｋ０ ｒ を取得さ
    せ、前記復号装置のループ演算部に、 Ｋoｐ 、Ｋoｑ 、Ｋo
    ｒ のそれぞれに対して、 （A）ｊ＝１から３について ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝Ｃ dpj （mod ｐ ｊ ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ−１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（Ｃ−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） -1 Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍｐ j ｋ j ：=Ａ kj−1,j とする ループ演算を適用させることにより、ｐｋ、
    ｑｌ、ｒｍをそれぞれ法とする、剰余Ｍｐｋ，Ｍｑｌ，
    …，Ｍｒｍを取得させるステップを含み、 前記復元ステップは、前記復号化処理部に、剰余
    Ｍｐｋ，ＭｑｌおよびＭｒｍに対して中国剰余定理を適
    用させ、前記平文Ｍを復元して出力させるステップとを
    含むことを特徴とする請求項５に記載の復号化方法。
  7. 【請求項７】 ２つの素数ｐ１＝ｐおよびｐ２＝ｑであ
    る前記第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ1（ｋ１≧２）とすると
    きのべき乗積ｐｋｑである第１の公開鍵ｎと、ｐ−１と
    ｑ−１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅ及び第２の秘密鍵ｄとを用い
    て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe（mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを、復号装置の復号化処理部
    に入力するステップと、 前記復号化処理部に、 ｄp:=ｄ（mod p-1）； ｄq:=ｄ（mod q-1）； とするとき、 Ｋ0 :=Ｃdp（mod ｐ）； Ｍq :=Ｃdq（mod ｑ）； の整数のべき乗剰余計算をさせて、前記平文Ｍのｐを法
    とする剰余Ｋo と、ｑを法とする剰余Ｍq を取得させ、前記復号装置のループ演算部に、 前記Ｋo に対して（A）Ａo :=Ｋo ； と初期設定し、 （B）ｉ＝１ から（ ｋ−１）について Ｆi :=Ａｉ−１ e （mod ｐ i+1 ）； Ｅi :=（Ｃ−Ｆi ）（mod ｐ i+1 ）； Ｂi :=Ｅi ／ｐ ｉ in Ｚ； Ｋi :=（（ｅＦi ） -1 Ａi-1 Ｂi ）（mod ｐ）； Ａi :=Ａi-1 ＋ｐ i Ｋi in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍpk:=Ａ ｋ−１ と設定する ループ演算を適用させることにより、前記平
    文Ｍのｐｋ を法とする剰余Ｍpｋを取得させるステップ
    と、前記復号化処理部に、 前記剰余Ｍpｋ，Ｍqに対して前記
    中国剰余定理を適用させるステップとを含むことを特徴
    とする復号化方法。
  8. 【請求項８】 前記復元ステップは、復号化処理部に ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｖ1 :=((Ｍpk−Ｍq ）ｑ1 ）（mod ｐｋ ）； Ｍ :=（Ｍq ＋ｑｖ1 ）． の計算により前記平文Ｍを復元することを特徴とする請
    求項７に記載の復号化方法。
  9. 【請求項９】 前記復元ステップは、復号化処理部に ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｖ1 :=((Ｍq −Ｍpk）ｐ1 ）（mod ｑ）； Ｍ :=（Ｍpk＋ｐkｖ1 ）． の計算を行わせることにより前記平文Ｍを復元すること
    を特徴とする請求項７に記載の復号化方法。
  10. 【請求項１０】 前記復元ステップは、復号化処理部に ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； Ｍ :=（ｑ1 ｑＭpk＋ｐ1 ｐｋＭq ）（mod ｐｋｑ）． の計算を行わせることにより前記平文Ｍを復元すること
    を特徴とする請求項７に記載の復号化方法。
  11. 【請求項１１】 送信者から受信者に送信される認証文
    の認証を行う認証システムで使用される認証方法であっ
    て、 （ａ）前記認証システムの送信者側の認証用暗号化・復
    号化鍵生成処理部に、Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２
    ，…，ｐＮ を第１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、…、
    ｋＮを任意の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ
    （１≦ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）として記憶させ、べ
    き乗積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ ｋＮを第１の公開鍵ｎと
    して生成させ、さらに、ｐ１-１，ｐ２−１，…，ｐＮ
    −１の最小公倍数Ｌを演算させて、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして生成させるステップと、 （ｂ）前記第１の公開鍵ｎと認証文Ｍとを、前記認証シ
    ステムの送信者側の認証文ハッシュ化処理部に入力し、
    前記ハッシュ化処理部で、ハッシュ関数ｈを用いて認証
    文Ｍをハッシュ化させて、認証子ｈ（Ｍ）を出力させる
    ステップと、 （ｃ）前記認証子ｈ（Ｍ）を前記認証システムの送信側
    の認証子暗号化処理部に入力し、前記第１の秘密鍵ｐ１
    ，ｐ２ ，…，ｐＮ のそれぞれに対して、 （A）ｊ＝１からＮについて ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝ｈ（Ｍ） dpj （mod ｐ j ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ ｊ −１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（ｈ（Ｍ）−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） -1 Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）ｈ（Ｃ）ｐ j ｋ ｊ ：=Ａ kj−1,j とする ループ演算を適用させることにより、暗号化認証
    子ｈ（Ｃ）のｐ１ｋ１，ｐ２ｋ２，…，ｐＮｋＮをそれ
    ぞれ法とする、剰余ｈ（Ｃ）ｐ１ｋ１，ｈ（Ｃ）
    ｐ２ｋ２，…，ｈ（Ｃ）ｐＮｋＮを取得させ、前記剰余
    ｈ（Ｃ）ｐ１ｋ１，ｈ（Ｃ）ｐ２ｋ２，…，ｈ（Ｃ）
    ｐＮｋＮに中国剰余定理を適用させることにより、認証
    子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ（Ｃ）を生成させるステッ
    プと、 （ｄ）前記送信者側の装置から前記受信者側の装置へ前
    記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び前記認証文Ｍを送信するス
    テップと、 （ｅ）受信側において、前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）と第
    ２の公開鍵ｅとを認証システムの認証子復号化処理部に
    入力して、ｈ（Ｃ）ｅ（mod ｎ）を計算させることによ
    り、第１の認証子ｈ（Ｍ）１ を取得させるステップ
    と、 （ｆ）受信側において、前記認証文Ｍを認証システムの
    認証文ハッシュ化処理部に入力し、前記ハッシュ関数ｈ
    を用いて、認証文Ｍのハッシュ化を行うことにより、第
    ２の認証子ｈ（Ｍ）２ を取得させるステップと、 （ｇ）受信側において、前記認証システムの認証確認処
    理部に、前記第１の認証子ｈ（Ｍ）１ と前記第２の認
    証子ｈ（Ｍ）２ とが一致しているか否かを検証させる
    ことにより、前記認証文Ｍの正当性を判断させるステッ
    プとを含むことを特徴とする認証方法。
  12. 【請求項１２】 前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）は、 ３つの素数ｐ1＝ｐ、ｐ2＝ｑおよびｐ3＝ｒである前記
    第１の秘密鍵と、ｋ＝ｋ1、ｌ＝ｋ2およびｍ＝ｋ3（少
    なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦３）に対してｋｊ≧２）
    であるときのべき乗積ｐｋｑｌｒｍ である前記第１の
    公開鍵ｎとを用いて得られ、 前記ステップ（ｃ）は、前記送信者側の認証子暗号化処
    理部に、 （A）ｊ＝１から３について ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝ｈ（Ｍ） dpj （mod ｐ j ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ−１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（ｈ（Ｍ）Ｃ−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ ｉ，ｊ ） −１ Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）ｈ（Ｃ）ｐ j ｋ j ：=Ａ kj-1,j とする ループ演算を適用させることにより、ｐｋ、
    ｑｌ、ｒｍ のそれぞれを法とする剰余ｈ（Ｃ）ｐｋ，
    ｈ（Ｃ）ｑｌおよびｈ（Ｃ）ｒｍを求めさせ、 前記剰余ｈ（Ｃ）ｐｋ，ｈ（Ｃ）ｑｌおよびｈ（Ｃ）
    ｒｍに対して前記中国剰余定理を適用させるステップを
    含むことを特徴とする請求項１１に記載の認証方法。
  13. 【請求項１３】 送信者から受信者に送信される認証文
    の認証を行う認証システムで使用される認証方法であっ
    て、 （ａ）前記認証システムの送信者側の認証用暗号化・復
    号化鍵生成処理部に、２個の素数ｐ １ ＝ｐとｐ ２ ＝ｑを
    第１の秘密鍵とし、ｋ１＝ｋ（ただしｋ≧２）として記
    憶させ、べき乗積ｐ ｋ ｑを第１の公開鍵ｎとして生成さ
    せ、さらに、ｐ-１とｑ−１の最小公倍数Ｌを演算させ
    て、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして生成させるステップと、 （ｂ）前記第１の公開鍵ｎと認証文Ｍとを、前記認証シ
    ステムの送信者側の認証文ハッシュ化処理部に入力し、
    前記ハッシュ化処理部で、ハッシュ関数ｈを用いて認証
    文Ｍをハッシュ化させて、認証子ｈ（Ｍ）を出力させる
    ステップと 、 （ｃ）前記送信者側の認証子暗号化処理部に、 ｄp:=ｄ（mod ｐ-1）； ｄq:=ｄ（mod ｑ-1）； とするとき、 ｈ（Ｋ）０ :=ｈ（Ｍ）ｄｐ（mod ｐ）； ｈ（Ｃ）ｑ :=ｈ（Ｍ）ｄｑ（mod ｑ）； の整数のべき乗剰余計算をさせて、前記暗号化認証子ｈ
    （Ｃ）の、ｐを法とする剰余ｈ（Ｋ）０ と、ｑを法と
    する剰余ｈ（Ｃ）ｑ とを取得させ、 前記ｈ（Ｋ）０ に対して、（A）ｈ（Ａ）o :=ｈ（Ｋ）o ； と初期設定し、 （B）ｉ＝１ から（ ｋ−１）について ｈ（Ｆ）i :=（ｈ（Ａ）ｉ−１ e ）（mod ｐ i+1 ）； ｈ（Ｅ）i :=（ｈ（Ｍ）−ｈ（Ｆ）i ）（mod ｐ
    i+1 ）； ｈ（Ｂ）i :=ｈ（Ｅ）i ／ｐ i in Ｚ； ｈ（Ｋ）i :=（（ｅｈ（Ｆ）i ） -1 ｈ（Ａ） i-1 ｈ
    （Ｂ）i ）（mod ｐ）； ｈ（Ａ）i :=ｈ（Ａ） i-1 ＋ｐ i ｈ（Ｋ）i in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）ｈ（Ｃ）pk:=ｈ（Ａ） k-1 ． と設定する ループ演算を行わせることにより、前記暗号
    化認証子ｈ（Ｃ）の、ｐｋ を法とする剰余ｈ（Ｃ）pk
    を取得させ、前記剰余ｈ（Ｃ）pk及びｈ（Ｃ）qに対し
    て前記中国剰余定理を適用させることにより認証子ｈ
    （Ｍ）の暗号化認証子ｈ（Ｃ）を生成させるステップ
    と、 （ｄ）前記送信者側の装置から前記受信者側の装置へ前
    記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び前記認証文Ｍを送信するス
    テップと、 （ｅ）受信側において、前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）と第
    ２の公開鍵ｅとを認証システムの認証子復号化処理部に
    入力して、ｈ（Ｃ） ｅ （mod ｎ）を計算させることによ
    り、第１の認証子ｈ（Ｍ） １ を取得させるステップ
    と、 （ｆ）受信側において、前記認証文Ｍを認証システムの
    認証文ハッシュ化処理部に入力し、前記ハッシュ関数ｈ
    を用いて、認証文Ｍのハッシュ化を行うことにより、第
    ２の認証子ｈ（Ｍ） ２ を取得させるステップと、 （ｇ）受信側において、前記認証システムの認証確認処
    理部に、前記第１の認証子ｈ（Ｍ） １ と前記第２の認
    証子ｈ（Ｍ） ２ とが一致しているか否かを検証させる
    ことにより、前記認証文Ｍの正当性を判断させるステッ
    プとを含む 認証方法。
  14. 【請求項１４】 前記ステップ（ｃ）は、 ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｖ1 :=((ｈ（Ｃ）pk−ｈ（Ｃ）q ）ｑ1 ）（mod ｐ
    k ）； ｈ（Ｃ） :=（ｈ（Ｃ）q ＋ｑｖ1 ）． の計算により前記中国剰余定理を適用することを特徴と
    する請求項１３に記載の認証方法。
  15. 【請求項１５】 前記ステップ（ｃ）は、 ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｖ1 :=((ｈ（Ｃ）q −ｈ（Ｃ）pk）ｐ1 ）（mod ｑ）； ｈ（Ｃ） :=（ｈ（Ｃ）pk＋ｐkｖ1 ） の計算により前記中国剰余定理を適用することを特徴と
    する請求項１３に記載の認証方法。
  16. 【請求項１６】 前記ステップ（ｃ）は、 ｐ1 :=（ｐk ）-1（mod ｑ）； ｑ1 :=ｑ-1（mod ｐk ）； ｈ（Ｃ） :=（ｑ1 ｑｈ（Ｃ）pk＋ｐ1 ｐkｈ（Ｃ）q
    ）（mod ｐkｑ）． の計算により前記中国剰余定理を適用することを特徴と
    する請求項１３に記載の認証方法。
  17. 【請求項１７】 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，
    …，ｐＮ を第１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、・・・、
    ｋNを任意の正の整数（ただしｋｉ≧２）とするときの
    積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ ｋＮを第１の公開鍵ｎ
    と設定し、前記第１の秘密鍵を用いて、ｐ１ −１，ｐ
    ２ −１，…，ｐＮ −１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして決定する暗号化・復号化鍵生成処理部と、 前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを用いて、平
    文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe（mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得る暗号化処理部とを具備することを
    特徴とする暗号化装置。
  18. 【請求項１８】 ２つの素数ｐ１＝ｐおよびｐ２＝ｑを
    第１の秘密鍵とし、ｋ１＝ｋ（ｋ１≧２である整数）と
    するときのべき乗積ｐ ｋ ｑを第１の公開鍵と設定し、前
    記第１の秘密鍵を用いて、ｐ−１とｑ−１の最小公倍数
    をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして決定する暗号化・復号化鍵生成処理部と、 前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを用いて、平
    文Ｍから、 Ｃ≡Ｍ e （mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得る暗号化処理部とを具備することを
    特徴とする暗号化装置。
  19. 【請求項１９】 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，
    …，ｐＮ である第１の秘密鍵と、ｋ１、ｋ２、…、ｋN
    を任意の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦
    ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）とするときの積ｐ１ ｋ１
    ｐ２ ｋ２…ｐＮ ｋＮである第１の公開鍵ｎと、ｐ１ −
    １，ｐ２ −１，…，ｐＮ −１の最小公倍数をＬとする
    とき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
    て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe（mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを復号化する復号化装置であ
    って、 前記第１の秘密鍵ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ のそれぞれ
    に対して、（A）ｊ＝１からＮについて ｄ ｐｊ ：＝ｄ（mod ｐ ｊ −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝Ｃ ｄｐｊ （mod ｐ ｊ ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば （B）i＝１から（ｋ ｊ −１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（Ｃ−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） −１ Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod ｐ
    j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍｐ j ｋ j ：=Ａ kj-1,j とする ループ演算を適用させることにより、前記平文Ｍ
    の、ｐ１ ｋ１，ｐ２ ｋ２，…，ｐＮ ｋＮをそれぞれ
    法とする、剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍｐ２ｋ２，…，Ｍ
    ｐＮｋＮを求める計算処理部と、 前記剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍｐ２ｋ２，…，ＭｐＮｋＮに中
    国剰余定理を適用して、前記平文Ｍを復元する復号化処
    理部とを具備することを特徴とする復号化装置。
  20. 【請求項２０】 ２つの素数ｐ１＝ｐ、ｐ２＝ｑである
    第１の秘密鍵と、ｋ１＝ｋ（ただしｋ１≧２である整
    数）とするときの積ｐ ｋ ｑである第１の公開鍵ｎと、ｐ
    −１とｑ−１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
    て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍ e （mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを復号化する復号化装置であ
    って、 ｄ p :=ｄ（mod p-1）； ｄ q :=ｄ（mod q-1）； とするとき、 Ｋ 0 :=Ｃ dp （mod ｐ）； Ｍ q :=Ｃ dq （mod ｑ）； の整数のべき乗剰余計算により、前記平文Ｍのｐを法と
    する剰余Ｋo と、ｑを法とする剰余Ｍq を取得し、 前記Ｋo に対して （A）Ａo :=Ｋo ； と初期設定し、 （B）ｉ＝１ から（ ｋ−１）について Ｆi :=Ａｉ−１ e （mod ｐ i+1 ）； Ｅi :=（Ｃ−Ｆi ）（mod ｐ i+1 ）； Ｂi :=Ｅi ／ｐ i in Ｚ； Ｋi :=（（ｅＦi ） -1 Ａi-1 Ｂi ）（mod ｐ）； Ａi :=Ａi-1 ＋ｐ i Ｋｉ in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍpk:=Ａ ｋ−１ とするループ演算を適用し、前記平文Ｍのｐ ｋ を法と
    する剰余Ｍp ｋ を求める計算処理部と、 前記剰余Ｍp ｋ とＭｑに中国剰余定理を適用して、前記
    平文Ｍを復元する復号化処理部とを具備することを特徴
    とする復号化装置。
  21. 【請求項２１】Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，…，
    ｐＮ を第１の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、…、ｋNを任意
    の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦
    Ｎ）に対してｋｊ≧２）とするときの積ｐ１ ｋ１，ｐ
    ２ ｋ２，…，ｐN ｋＮを第１の公開鍵ｎとし、前記第
    １の秘密鍵を用いて、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密
    鍵ｄを、ｐ１ −１，ｐ２ −１，…，ｐＮ −１の最小
    公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように決定する暗号化・復号化鍵生成処理部
    と、 前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを用いて、平
    文Ｍから、 Ｃ≡Ｍｅ（mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得る暗号化処理部とを有する送信装置
    と、 前記第１の秘密鍵ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ のそれぞれ
    に対して、 （A）ｊ＝１からＮについて ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝Ｃ dpj （mod ｐ j ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ j −１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（Ｃ−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） -1 Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍｐ j ｋ j ：=Ａ kj-1,j とする ループ演算を適用させることにより、前記平文Ｍ
    の、ｐ１ ｋ１，ｐ２ ｋ２，…，ｐＮ ｋＮをそれぞれ
    法とする、剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍｐ２ｋ２，…，Ｍ
    ｐＮｋＮを求める計算処理部と、 前記剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍｐ２ｋ２，…，ＭｐＮｋＮに中
    国剰余定理を適用して、前記平文Ｍを復元する復号化処
    理部とを有する受信装置とを具備することを特徴とする
    暗号通信システム。
  22. 【請求項２２】 ２つの素数ｐ１＝ｐおよびｐ２＝ｑを
    第１の秘密鍵とし、ｋ１＝ｋ（ｋ１≧２である整数）と
    するときのべき乗積ｐ ｋ ｑを第１の公開鍵と 設定し、前
    記第１の秘密鍵を用いて、ｐ−１とｑ−１の最小公倍数
    をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして決定する暗号化・復号化鍵生成処理部と、 前記第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを用いて、平
    文Ｍから、 Ｃ≡Ｍ e （mod ｎ） に従い暗号文Ｃを得る暗号化処理部とを有する送信装置
    と、 ｄ p :=ｄ（mod p-1）； ｄ q :=ｄ（mod q-1）； とするとき、 Ｋ 0 :=Ｃ dp （mod ｐ）； Ｍ q :=Ｃ dq （mod ｑ）； の整数のべき乗剰余計算により、前記平文Ｍのｐを法と
    する剰余Ｋo と、ｑを法とする剰余Ｍq を取得し、 前記Ｋo に対して （A）Ａo :=Ｋo ； と初期設定し、 （B）ｉ＝１ から（ ｋ−１）について Ｆi :=Ａｉ−１ e （mod ｐ i+1 ）； Ｅi :=（Ｃ−Ｆi ）（mod ｐ i+1 ）； Ｂi :=Ｅi ／ｐ i in Ｚ； Ｋi :=（（ｅＦi ） -1 Ａi-1 Ｂi ）（mod ｐ）； Ａi :=Ａi-1 ＋ｐ i Ｋｉ in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍpk:=Ａ k - 1 とするループ演算を適用し、前記平文Ｍのｐ ｋ を法と
    する剰余Ｍp ｋ を求める計算処理部と、 前記剰余Ｍp ｋ とＭｑに中国剰余定理を適用して、前記
    平文Ｍを復元する復号化処理部とを有する受信装置とを
    具備することを特徴とする暗号通信システム。
  23. 【請求項２３】 送信者から受信者に送信される認証文
    の認証に用いる認証文送信者装置であって、 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ を第１の
    秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、…、ｋNを任意の正の整数
    （ただし少なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦Ｎ）に対して
    ｋｊ≧２）とするときの積ｐ１ ｋ１，ｐ２ ｋ２，
    …，ｐＮ ｋＮを第１の公開鍵ｎとし、第２の公開鍵ｅ
    および第２の秘密鍵ｄを、ｐ１ −１，ｐ２−１，…，
    ｐＮ −１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように設定する暗号化・復号化鍵生成処理部
    と、 ハッシュ関数ｈを用いて認証文Ｍをハッシュ化すること
    により、認証子ｈ（Ｍ）を得る認証文ハッシュ化処理部
    と、 前記第１の秘密鍵ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ のそれぞれ
    に対して、（A）ｊ＝１からＮについて ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝ｈ（Ｍ） dpj （mod ｐ j ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ ｊ −１）について Ｆ i , j :=Ａ i - 1 , j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i , j :=（ｈ（Ｍ）−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i , j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i , j :=（（ｅＦ i , j ） -1 Ａ i - 1 , j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i - 1 , j ＋ｐ j i Ｋ i , j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）ｈ（Ｃ）ｐ j ｋ j ：=Ａ kj - 1 , j とする ループ演算を適用させることにより、認証子ｈ
    （Ｃ）のｐ１ ｋ１，ｐ２ ｋ２，…，ｐＮ ｋＮをそれぞれ
    法とする剰余ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，ｈ(Ｃ)ｐ２ｋ２，…，ｈ
    (Ｃ)ｐＮｋＮを求め、前記剰余ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，ｈ(Ｃ)
    ｐ２ｋ２，…，ｈ(Ｃ)ｐＮｋＮに中国剰余定理を適用す
    ることにより、認証子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ（Ｃ）
    を得、前記受信者へ前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び前記
    認証文Ｍを送信する認証子暗号化処理部とを具備するこ
    とを特徴とする認証文送信者装置。
  24. 【請求項２４】 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，
    …，ｐＮ である第１の秘密鍵と、ｋ１、ｋ２、…、ｋN
    を任意の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦
    ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）とするときの積ｐ１ ｋ１，
    ｐ２ ｋ２，…，ｐＮ ｋＮである第１の公開鍵ｎと、ｐ１
    −１，ｐ２ −１，…，ｐＮ −１の最小公倍数をＬと
    するとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
    て、送信者から受信者に送信される認証文の認証に用い
    る認証文受信者装置であって、 前記第２の公開鍵ｅを用いて、前記送信者から受信され
    る暗号化認証子ｈ（Ｃ）から、ｈ（Ｃ）ｅ（mod ｎ）を
    計算することにより、第１の認証子ｈ（Ｍ）１を得る認
    証子復号化処理部と、 ハッシュ関数ｈを用いて、前記送信者から受信される認
    証文Ｍのハッシュ化を行うことにより、第２の認証子ｈ
    （Ｍ）２ を得る認証文ハッシュ化処理部と、 前記第１の認証子ｈ（Ｍ）１ と前記第２の認証子ｈ
    （Ｍ）２ とが一致しているか否かを検証することによ
    り、前記認証文Ｍの正当性を判断する認証確認処理部と
    を具備することを特徴とする認証文受信者装置。
  25. 【請求項２５】 送信者から受信者に送信される認証文
    の認証を行う認証システムであって、 (i) Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ を第
    １の秘密鍵とし、ｋ１、ｋ２、…、ｋNを任意の正の整
    数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦Ｎ）に対し
    てｋｊ≧２）とするときの積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ
    ｋＮを第１の公開鍵ｎとし、第２の公開鍵ｅおよび第２
    の秘密鍵ｄを、ｐ１ −１，ｐ２ −１，…，ｐＮ −１
    の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすように設定する暗号化・復号化鍵生成処理部
    と、 ハッシュ関数ｈを用いて認証文Ｍをハッシュ化すること
    により、認証子ｈ（Ｍ）を得る認証文ハッシュ化処理部
    と、 送信側において、前記第１の秘密鍵ｐ１ ，ｐ２ ，…，
    ｐＮ のそれぞれに対して、（A）ｊ＝１からＮについて ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ ｊ −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝ｈ（Ｍ） ｄｐｊ （mod ｐ j ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ ｊ −１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（ｈ（Ｍ）−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） -1 Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）ｈ（Ｃ）ｐｊｋｊ：=Ａｋｊ−１，ｊ とする ループ演算を適用させることにより、暗号化認証
    子ｈ（Ｃ）のｐ１ ｋ１，ｐ２ ｋ２，…，ｐＮ ｋＮをそれ
    ぞれ法とする剰余ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，ｈ(Ｃ)ｐ２ｋ２，
    …，ｈ(Ｃ)ｐＮｋＮを求め、前記剰余ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，
    ｈ(Ｃ)ｐ２ｋ２，…，ｈ(Ｃ)ｐＮｋＮに中国剰余定理を
    適用することにより、認証子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ
    （Ｃ）を得、前記受信者へ前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及
    び前記認証文Ｍを送信する認証子暗号化処理部とを有す
    る送信装置と、 (ii) 前記第２の公開鍵ｅを用いて、前記送信者から受
    信される前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）からｈ（Ｃ）ｅ（mo
    d ｎ）を計算することにより、第１の認証子ｈ（Ｍ）１
    を得る認証子復号化処理部と、 前記ハッシュ関数ｈを用いて、前記送信者から受信され
    る前記認証文Ｍのハッシュ化を行うことにより、第２の
    認証子ｈ（Ｍ）２ を得る認証文ハッシュ化処理部と、 前記第１の認証子ｈ（Ｍ）１ と前記第２の認証子ｈ
    （Ｍ）２ とが一致しているか否かを検証することによ
    り、前記認証文Ｍの正当性を判断する認証確認処理部と
    を有する受信装置とを具備することを特徴とする認証シ
    ステム。
  26. 【請求項２６】 暗号化装置を作動させるためのプログ
    ラムを記録する記録媒体であって、 前記暗号装置の暗号化・復号化鍵生成処理部に、 Ｎ（≧
    ２）個の素数ｐ１，ｐ２，…，ｐＮを第１の秘密鍵と
    し、ｋ１、ｋ２、…、ｋＮを任意の正の整数（ただし少
    なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）
    としたときのべき乗積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ ｋＮを第
    １の公開鍵ｎとして生成させ、さらに、ｐ１ −１，ｐ
    ２ −１，…，ｐＮ −１の最小公倍数Ｌを演算させて、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅおよびｄを、第２の公開鍵ｅおよび第２の秘
    密鍵ｄとして生成させるステップと、 前記暗号装置の暗号処理部に入力された 平文Ｍに、前記
    第１の公開鍵ｎおよび第２の公開鍵ｅを適用させ、前記
    暗号化処理部に、演算 Ｃ≡Ｍｅ（mod ｎ）を行わせて、暗号文Ｃを生成させるステップ とを含む暗
    号化プログラムを記録するコンピュータ読み取り可能な
    記録媒体。
  27. 【請求項２７】 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１ ，ｐ２ ，
    …，ｐＮ である第１の秘密鍵と、ｋ１、ｋ２、…、ｋN
    を任意の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦
    ｊ≦Ｎ）に対してｋｊ≧２）とするときのべき乗積ｐ１
    ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ ｋＮである第１の公開鍵ｎと、ｐ
    １ −１，ｐ２ −１，…，ｐＮ −１のの最小公倍数を
    Ｌとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵ｄとを用い
    て、平文Ｍから、 Ｃ≡Ｍe（mod ｎ） に従って得られた暗号文Ｃを復号する復号装置を作動さ
    せるためのプログラムを記録する記録媒体であって、前記復号装置のループ演算処理部に、 前記第１の秘密鍵
    ｐｊ（すなわちｐ１，ｐ２ ，…，ｐＮ ）のそれぞれに
    対して、（A）ｊ＝１からＮについて ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝Ｃ dpj （mod ｐ j ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ j −１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（Ｃ−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） -1 Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ j ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）Ｍｐ j ｋ j ：=Ａ kj-1,j とする ループ演算を適用させ、前記平文Ｍの、ｐ１
    ｋ１，ｐ２ ｋ２，…，ｐＮ ｋＮをそれぞれ法とす
    る、剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍｐ２ｋ２，…，ＭｐＮｋＮを求
    めさせるステップと、前記復号装置の復号化処理部に 、剰余Ｍｐ１ｋ１，Ｍ
    ｐ２ｋ２，…，ＭｐＮｋＮに対して中国剰余定理を適用
    させて、前記平文Ｍを復元させるステップとを含む復号
    化プログラムを記録することを特徴とするコンピュータ
    読み取り可能な記録媒体。
  28. 【請求項２８】 送信者から受信者に送信される認証文
    の認証を行う認証システムの送信者側の装置を作動させ
    るためのプログラムを記録する記録媒体であって、前記送信者側装置の暗号化・復号化鍵生成処理部に、 Ｎ
    （≧２）個の素数ｐ１，ｐ２ ，…，ｐＮ を第１の秘密
    鍵として設定させ、ｋ１、ｋ２、…、ｋNを任意の正の
    整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦Ｎ）に対
    してｋｊ≧２）とするときの積ｐ１ ｋ１ｐ２ ｋ２…ｐＮ
    ｋＮを第１の公開鍵ｎとして設定させ、ｐ１ −１，ｐ
    ２ −１，…，ｐＮ −１の最小公倍数をＬとするとき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たすｅとｄとを第２の公開鍵ｅおよび第２の秘密鍵
    ｄとして設定させるステップと、前記送信者側装置のハッシュ化処理部に、入力された 認
    証文Ｍをハッシュ関数ｈを用いてハッシュ化させること
    により、認証子ｈ（Ｍ）を生成させるステップと、前記送信者側装置の認証子暗号化処理部に、 前記第１の
    秘密鍵ｐ１ ，ｐ２ ，…，ｐＮ のそれぞれに対して（A）ｊ＝１からＮについて ｄ pj ：＝ｄ（mod ｐ j −１） Ａo ， j：＝Ｋo,j：＝Ｃ dpj （mod ｐ j ） と初期設定し、ｋｊ≧２ならば、 （B）i＝１から（ｋ j −１）について Ｆ i,j :=Ａ i-1,j e （mod ｐ j i+1 ）； Ｅ i,j :=（ｈ（Ｍ）−Ｆi,j ）（mod ｐ j i+1 ）； Ｂ i,j :=Ｅ i 、 j ／ｐ j i in Ｚ； Ｋ i,j :=（（ｅＦ i,j ） -1 Ａ i-1,j Ｂ i 、 j ）（mod
    ｐ ｊ ）； Ａi,j :=Ａ i-1,j ＋ｐ j i Ｋ i,j in Ｚ； の反復計算を行い、 （C）ｈ（Ｃ）ｐ ｊ ｋ ｊ ：=Ａ ｋｊ−１，ｊ とする ループ演算を適用させ、認証子ｈ（Ｃ）のｐ１
    ｋ１，ｐ２ ｋ２，…，ｐＮ ｋＮをそれぞれ法とする剰余
    ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，ｈ(Ｃ)ｐ２ｋ２，…，ｈ(Ｃ)ｐＮｋＮ
    を求めさせ、前記剰余ｈ(Ｃ)ｐ１ｋ１，ｈ
    (Ｃ)ｐ２ｋ２，…，ｈ(Ｃ)ｐＮｋＮに中国剰余定理を適
    用させることにより、認証子ｈ（Ｍ）の暗号化認証子ｈ
    （Ｃ）を生成させて、前記認証システムの受信者側の装
    置へ前記暗号化認証子ｈ（Ｃ）及び前記認証文Ｍを送信
    させるステップとを含む認証文送信プログラムを記録し
    たコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
  29. 【請求項２９】 Ｎ（≧２）個の素数ｐ１，ｐ２，…，
    ｐＮである第１の秘密鍵と、ｋ１、ｋ２、…、ｋＮを任
    意の正の整数（ただし少なくともひとつのｊ（１≦ｊ≦
    Ｎ）に対してｋｊ≧２）とするときのべき乗積ｐ１ ｋ１
    ｐ２ ｋ２…ｐＮ ｋＮである第１の公開鍵ｎと、ｐ１ −
    １，ｐ２ −１，…，ｐＮ −１の最小公倍数をＬとする
    とき、 ｅｄ≡１（mod Ｌ） を満たす第２の公開鍵ｅと第２の秘密鍵ｄとを用いて、
    認証システムの送信者側装置から送られてくる認証文を
    認証する受信者側の装置を作動させるためのプログラム
    を記録した記録媒体であって、前記受信者側装置の認証子復号化処理部に 、前記送信者
    側装置から送信される暗号化認証子ｈ（Ｃ）を受信さ
    せ、前記第２の公開鍵ｅを用いてｈ（Ｃ）ｅ（mod ｎ）
    を計算させることにより、第１の認証子ｈ（Ｍ）1 を生
    成させるステップと、前記受信者側装置のハッシュ化処理部に、 前記送信者側
    装置から送信される認証文Ｍを受信させ、ハッシュ関数
    ｈを用いて認証文Ｍのハッシュ化を行わせることによ
    り、第２の認証子ｈ（Ｍ）2 を生成させるステップと、前記受信者側装置の認証確認処理部に、 前記第１の認証
    子ｈ（Ｍ）1 と前記第２の認証子ｈ（Ｍ）2 とが一致し
    ているか否かを検証させることにより、前記認証文Ｍの
    正当性を判断させるステップとを含む認証文受信プログ
    ラムを記録するコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
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