JP2804704B2 - 関数演算システム - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、コンピュータシステム
における三次元空間格子点の変数関数値を算出する関数
演算システムに関する。

【０００２】近年、コンピュータの高速化に伴い、理論
化学計算を利用して様々な材料分子についてその特性を
予測することにより材料の設計を支援しようとする演算
システムが徐々に普及しつつある。このシステムは分子
設計支援システムと呼ばれ、グラフィックディスプレイ
装置等の表示装置を具備し、理論化学計算の結果を容易
に解析できるように、計算結果を三次元的に視覚化する
ものである。この分子設計支援システムにおいては、計
算結果を高速に表示装置へ視覚化するため、空間領域内
の格子点における関数の計算値を、視覚化に先だち高速
に算出することが要求されている。

【０００３】

【従来の技術】従来、分子設計の演算システムは、材料
分子の特性を予測して材料設計を行う場合の理論化学計
算に使用されるもので、計算結果をディスプレイ等の表
示装置で三次元的に視覚化して容易に解析を行うもので
ある。

【０００４】この分子設計の演算システムは、理論化学
計算によって得られた電子の情報である多変数関数を表
示装置で視覚化する場合に、表示を行う三次元空間領域
内の各格子点における関数の演算を行う。この場合、シ
ステムの高速な操作性を維持するため、標準では三次元
空間領域内の格子点数を少なくし多変数関数の演算数を
減らすことにより、多変数関数の高速な三次元視覚化を
実現していた。

【０００５】ところが、格子点の数が減少されることに
より、視覚化される図の精緻さに欠けることとなること
から、精緻な表示図が要求される場合に備えて、外部入
力手段を設けることにより、格子点数を増やすことがで
きるようにしていた。

【０００６】ここで、各格子点における関数計算につい
て説明する。

【０００７】いま、格子点において計算を行なおうとす
る関数Ψが、三次元空間座標ｘ，ｙ，ｚを独立変数とす
る関数であり、同様に三次元空間座標ｘ，ｙ，ｚを独立
変数とするＮ個の関数χ_i の一次結合により構成されて
いるものとする。また、この関数χ_i が各独立変数から
なる一変数関数の積で表せるものとすると関数Ψ（ｘ，
ｙ，ｚ）は次式（１）（数１）のように表される。

【０００８】

【数１】

【０００９】ここで、ｆ_i ，ｇ_i ，ｈ_i はｘ，ｙ，ｚを
独立変数とする一変数関数であり、また、ｃ_i は、一般
に理論化学計算により得られる情報から導出される値で
ある。

【００１０】三次元格子の空間領域をｘ_min から
ｘ_max ，ｙ_min からｙ_max ，ｚ_min からｚ _max とし、各
座標の格子点数をＬ_x ，Ｌ_y ，Ｌ_z ，格子幅をΔｘ，Δ
ｙ，Δｚとする。

【００１１】この場合、空間領域内の全格子点の関数値
を得るためには、少なくとも全格子点にあたるＬ_x Ｌ_y
Ｌ_z 回の初等関数演算が必要であり、実際にはΨの中に
複数の初等関数を含んでいることが多いため、さらに多
くの演算が必要となる。

【００１２】また、表示を行う場合、可視性の判断、す
なわち、陰線処理や陰面処理を行う必要があり、上記式
（１）（数１）中、多変数関数の空間座標の微分関数値
を算出しなければならない。この微分関数値は、式
（１）（数１）の関数における等値面に垂直な法線ベク
トルの成分を表わし、視線方向を示すベクトルとの内積
をとることによって表わされる。

【００１３】ここで、図１３に、可視性判断を説明する
ための図を示す。図１３において、１１は多変数関数の
等値面の断面図であり、１２は等値面上の第１の法線ベ
クトル、１３は等値面上の第２の法線ベクトル、１４は
視線方向を示す視線ベクトルである。

【００１４】そして、上記の式（１）（数１）の微分関
数の式は以下式（２）（数２）のように示される。

【００１５】

【数２】

【００１６】すなわち、可視性判断は、視線ベクトルと
法線ベクトルとの内積の正負により可視性の判断を行う
もので、第１の法線ベクトル１２と視線ベクトル１４の
内積が負の場合には可視と判断され、第２の法線ベクト
ル１３と視線ベクトル１４との内積が正の場合には不可
視と判断されるものである。

【００１７】この場合、上記の式（１）（数１）と同様
に、三次元空間領域内の全格子点における微分関数値を
算出しなければならず、少なくとも全格子点数の３倍に
あたる３Ｌ_x Ｌ_y Ｌ_z 回の初等演算を行うことが必要と
なる。

【００１８】

【発明が解決しようとする課題】しかし、上述のように
分子設計において理論化学計算で得られた分子情報の精
緻な図を表示するために外部入力手段で格子点を増やす
ことは、多変数関数やその中の一変数関数、及び視覚化
のための微分関数の演算数が全格子点数に比例すること
から、一辺の格子点数を２倍にすれば演算数が３乗にあ
たる８倍にまで増えることとなり、視覚化までに多くの
計算時間が費やされてシステムの操作性に大きな支障を
きたすという問題がある。特に、扱う分子数が十〜数十
原子以上になると、関数がより複雑となり、さらに多く
の初等関数の演算が必要となって膨大な計算時間を要す
るという問題がある。

【００１９】そこで、本発明は上記課題に鑑みなされた
もので、演算時間の短縮化を図り、システムの操作性を
向上させる関数演算システムを提供することを目的とす
る。

【００２０】

【課題を解決するための手段】上記課題は、三次元空間
領域上における空間座標の複数の格子点を連続させて三
次元表示を行う表示手段と、該各格子点の空間座標を、
独立変数とする多変数関数により得るにあたり、予め、
該多変数関数を所定数の一変数関数の積に置き換えて該
各一変数関数を演算しておき、該各一変数関数の関数値
に基づいて該多変数関数を演算する演算手段と、該演算
手段により予め演算された一変数関数の関数値を所定配
列で格納し、該演算手段による該多変数関数の演算の際
に、該格納した該一変数関数の関数値が読み出される記
憶手段と、を含む構成とすることにより解決される。

【００２１】

【作用】上述のように、表示手段により三次元表示を行
う場合の各格子点における関数値を、空間座標を独立変
数とする多変数関数を演算して得る場合に、予め、多変
数関数を一変数関数の積に置き換えて、該各一変数関数
を演算しておきその関数値を記憶手段に所定配列で格納
する。そして、演算手段が多変数関数を演算を行う際に
格納された一変数関数の関数値を読み出して行うもので
ある。

【００２２】これにより、最終的に三次元空間の各格子
点における関数値を得る演算には初等関数が含まれない
ことから、演算時間の短縮化を図ることが可能になると
共に、システムの操作性を向上させることが可能とな
る。

【００２３】

【実施例】本発明の第１実施例の構成を図１に示す。図
１における関数演算システム２１は、プロセッサ２２、
記憶手段である記憶装置２３、分子軌道計算手段２４、
データベース２５、及び表示手段である表示装置２６に
より構成される。なお、プロセッサ２２、分子軌道計算
手段２４及びデータベース２５により演算手段を構成す
る。

【００２４】プロセッサ２２は、後述するように、分子
設計における理論化学計算の多変数関数、一変数関数及
び微分関数等の演算を行う。

【００２５】記憶装置２３は、プロセッサ２２で予め計
算されたｘ，ｙ，ｚの各座標のＮ個の一変数関数、及び
これらの微分関数の関数値をそれぞれ格納する。

【００２６】分子軌道計算手段２４は、プロセッサ２２
で計算される一変数関数の各原子に属する原子軌道の演
算に必要な定数（Ｃ，α，後述する）を得るもので、そ
の定数はデータベース２５に保持される。

【００２７】そして、表示装置２６は、プロセッサ２２
の演算により得られた関数値により、三次元空間領域の
格子点で三次元表示する。

【００２８】次に、図２に、第１実施例における演算処
理のフローチャートを示す。ステップＳＴ１の理論化学
計算を行うに際し、ステップＳＴ２でプロセッサ２２に
空間領域、格子数（Ｌ_x ，Ｌ_y ，Ｌ_z ）が入力される。
そして、上述の式（１）（数１）における全格子点での
関数Ψを算出するに先立って、ステップＳＴ３で予めｘ
座標において格子幅ごとにｆ₁ （ｘ_min ），ｆ₁ （ｘ
_min ＋Δｘ），…，ｆ₁（ｘ_max ）を計算し、ステップ
ＳＴ４でそれぞれの関数値を記憶装置２３上の配列ｍ₁
^x 〔１〕，ｍ₁ ^x 〔２〕，…，ｍ₁ ^x 〔Ｌ_x 〕に格納す
る。また、ステップＳＴ３はｆ₂ ，ｆ₃ ，…，ｆ_N に対
しても同様にして計算を行ない、ステップＳＴ４でそれ
ぞれの関数値を配列ｍ₂ ^x ，ｍ₃ ^x ，…，ｍ_N ^x に格納
する。

【００２９】一方、ｙ，ｚ座標においてもｘ座標と同様
に、ステップＳＴ５〜ＳＴ８によりプロセッサ２２を用
いて各格子点ごとにｇ_i ，ｈ_i を計算し、記憶装置２３
上の配列ｍ_i ^y ，ｍ_i ^z に格納しておく。なお、ｆ
_i （ｘ）等の各関数の計算については後述する。この場
合、初等関数の演算数はＮ（Ｌ_x ＋Ｌ_y ＋Ｌ_z ）回であ
り、格納するのに必要な記憶装置２３の容量はＮ（Ｌ_x
＋Ｌ_y ＋Ｌ_z ）語である。

【００３０】そして、ステップＳＴ９が各関数のすべて
について計算が終了したことを判別すると、ステップＳ
Ｔ１０で記憶装置２３に格納された後、全格子点での関
数値Ψの算出が行われる。

【００３１】例えば、三次元格子点で（ｌ_x ，ｌ_y ，ｌ
_z ）と表される空間座標を（ｘ’，ｙ’，ｚ’）とすれ
ば、その点における関数Ψの値は記憶装置２３上の配列
を用いて、次式（３）（数３）のようにして得られる。

【００３２】

【数３】

【００３３】式（３）（数３）より明らかなように、関
数Ψには初等関数の演算を一切含まないことから、全格
子点における関数Ψの値を極めて高速に得ることができ
る。

【００３４】なお、式（１）（数１）の関数χが各独立
変数からなる一変数関数の積で表わせない場合であって
も、一般に多変数関数は次式（４）（数４）に示すよう
に各変数からなる一変数関数の積の一次結合として展開
できることが知られている。

【００３５】

【数４】

【００３６】実際には、式（４）（数４）に示したよう
な無限項の展開は、計算機で取り扱うことができないの
で、近似的にＭ項で打ち切るとすると、式（４）（数
４）は次式（５）（数５）のようにして書くことができ
る。

【００３７】

【数５】

【００３８】式（５）（数５）を式（１）（数１）に代
入することにより、Ψは次式（６）となり、式（１）
（数１）と同型となるため、本実施例を適用できる。た
だし、式（６）（数６）中でｃ”_k ＝ｃ_i ｃ’_j であ
る。

【００３９】

【数６】

【００４０】このように、式（５）（数５）は、式
（１）（数１）に比べ展開領域はＭ倍となり、全格子点
を算出するための演算回数はＮＭ（Ｌ_x ＋Ｌ_y ＋Ｌ_z ）
となるが、従来方式の演算回数Ｌ_x Ｌ_y Ｌ_z に比べると
計算時間の面で著しく有利である。

【００４１】従って、多変数関数が各変数からなる一変
数関数の積、またはその一次結合で表される性質を利用
し、記憶装置２３に各変数の格子幅ごとの関数値を格納
し用いることにより、三次元空間領域内の全格子点にお
ける関数値の高速演算が実現できる。これにより、分子
設計支援システムにおいて、分子の電子的情報を実時間
性を損なうことなく得ることができ、グラフィックディ
スプレイ装置などの表示装置２６を用いたシステムの操
作性を向上させることができる。

【００４２】そこで、Ｈ₂ 分子を例にして説明する。図
３に、Ｈ₂ 分子の分子図を示す。

【００４３】いま、Ｈ₂ 分子を構成する各原子をＨ¹ ，
Ｈ² とし、座標をそれぞれ（ｘ₁ ，ｙ₁ ，ｚ₁ ），（ｘ
₂ ，ｙ₂ ，ｚ₂ ）とすると、各原子に属する原子軌道φ
₁ ，φ₂ は次式で与えられている。

【００４４】φ₁ ＝ｃ'₁Ｇ（α₁ ，ｒ₁)＋ｃ'₂Ｇ
（α₂ ，ｒ₁)＋ｃ'₃Ｇ（α₃ ，ｒ₁) φ₂ ＝ｃ'₄Ｇ（α₄ ，ｒ₂)＋ｃ'₅Ｇ（α₅ ，ｒ₂)＋ｃ'₆
Ｇ（α₆ ，ｒ₂) この場合、ｃ'₁，ｃ'₂，…，ｃ'₆及びα₁ ，α₂ ，…，
α₆ は上述のように分子軌道計算手段２４において用い
られる定数であり、図３に示すようにｒ₁ ，ｒ ₂ はそれ
ぞれ各原子核座標と任意の座標との距離を表す。また、
関数Ｇは次に示される指数関数である。

【００４５】Ｇ（α，ｒ）＝exp （−αｒ² ） 一方、分子軌道Ψは、分子軌道計算手段２４によって、
上記原子軌道φ₁ ，φ ₂ の一次結合として得られるの
で、結局次式のように関数Ｇに対しても同様に一次結合
で表される。

【００４６】Ψ＝ｃ”₁ φ₁ ＋ｃ”₂ φ₂ ＝ｃ₁ Ｇ（α₁ ，ｒ₁ ）＋ｃ₂ Ｇ（α₂ ，ｒ₁ ）＋ｃ₃
Ｇ（α₃ ，ｒ₁ ）＋ｃ₄ Ｇ（α₄ ，ｒ₂ ）＋ｃ₅ Ｇ（α
₅ ，ｒ₂ ）＋ｃ₆ Ｇ（α₆ ，ｒ₂ ） 上式でｃ”₁ ，ｃ”₂ は分子計算手段２４により計算さ
れ、データベース２５に出力されるものである。また、
ｃ₁ ，ｃ₂ ，…，ｃ₆ は簡便のため書き改めたものであ
り、実際にはｃ”とｃ’の積から容易に算出できる。

【００４７】ところで、

【００４８】

【数７】

【００４９】関数Ｇは次式（８）（数８）のようにして
各独立変数からなる一変数関数の積で表現できる。

【００５０】

【数８】

【００５１】従って、関数の格子空間領域をｘ_min から
ｘ_max ，ｙ_min からｙ_max ，ｚ_minからｚ_max ，また、
格子数がＬ_x ，Ｌ_y ，Ｌ_z で、格子幅がΔｘ，Δｙ，Δ
ｚであるとき、次のようにしてプロセッサ２２で演算を
行なった後、記憶装置２３上の次式（９）（数９）で表
わされる配列ｍ_i ^x ，ｍ_i ^y ，ｍ_i ^z に格納する。

【００５２】

【数９】

【００５３】ここで、ｘ' _i ，ｙ' _i ，ｚ' _i はｉ＝
１，２，３のときｘ₁ ，ｙ₁ ，ｚ₁ であり、ｉ＝４，
５，６のときｘ₂ ，ｙ₂ ，ｚ₂ である。

【００５４】任意の格子点（ｌ’_x ，ｌ’_y ，ｌ’_z ）
における空間座標を（ｘ’，ｙ’，ｚ’）とすれば、そ
の座標における関数Ψの値は、記憶装置２３上に格納さ
れた配列ｍ_i ^x ，ｍ_i ^y ，ｍ_i ^z を用いると、次式（１
０）（数１０）のようにして得られる。

【００５５】

【数１０】

【００５６】空間領域内の全格子点について関数Ψの計
算を行なったとき、式（１０）（数１０）は指数関数の
演算を含まないため、極めて高速に算出することができ
る。

【００５７】本実施例における本発明の方式と従来の方
式による指数関数演算の回数を比較した例を、表１に示
す。表１から明らかなように、本発明による場合は、格
子数が増えれば増えるほど、従来の方式に比べ有利であ
ることがわかる。

【００５８】

【表１】

【００５９】なお、以上述べた高速演算は、多変数関数
が各独立変数からなる一変数関数の積で表わされる場合
のみに適用されるものではない。例えば、上述の原子軌
道φ ₁ ，φ₂ が上述のように次式（１１）（数１１）の
指数関数で表されるとき、

【００６０】

【数１１】

【００６１】ｘ，ｙ，ｚの一変数関数の積に表せること
はできないが、最小二乗法などを用いて、式（１１）
（数１１）を以下の式（１２）（数１２）のように近似
的に関数Ｇで展開すれば、容易に上記高速演算方式を適
用できる。

【００６２】

【数１２】

【００６３】なお、式（１２）（数１２）でｎの値を大
きくすると、関数の近似度が高くなる。

【００６４】ここで、定数Ｃ_i ，α_i は、分子軌道計算
手段２４において例えば最小二乗法により決定される。
具体的には次式（１３）（数１３）によりすべてのｉに
ついての最小値より求めることができる。

【００６５】

【数１３】

【００６６】なお、Ｎは規格化定数であり、ｒは座標間
の距離を表わす。

【００６７】次に、上述の一変数関数の演算について説
明する。図４に、一変数関数演算のフローチャートを示
す。一変数関数は、従来と同様に予め用意されている関
数ライブラリにより初等関数の演算が行なわれるもの
で、上述の式（１１）（数１１）及び式（１２）（数１
２）の指数関数で表わされ、関数値は前述のように記憶
装置２３に格納されている。まず、ステップＳＴ１１で
使用される指数関数の変数の範囲がｔ_min からｔ_max で
あるとし、変数の刻み幅をΔｔとすると、はじめに次式
（１４）（数１４）のように指数関数を計算し、ステッ
プＳＴ１２で指数関数表として記憶装置２３上の配列ｍ
₁ ，…，ｍＬ_t に格納する。

【００６８】

【数１４】

【００６９】ここでＬ_t ＝（ｔ_max −ｔ_min ）／Δｔ＋
１であり、指数関数における全区間数を示す。

【００７０】式（１４）（数１４）における指数関数の
概数値は、ステップＳＴ１３でｔ＝ζ₁ ｒ₁ でｔ＜ｔ
_max と判別されると、ステップＳＴ１４で指数関数表の
２つの指数関数値から次式（１５）（数１５）のように
線型補間して得られる。

【００７１】

【数１５】

【００７２】ここで、ｌは整数値であり、ｌとｔ_l は ｌ＝（ｔ−ｔ_min ）／Δｔ＋１ ｔ_l ＝ｔ_min ＋（ｌ−１）Δｔ δｔ＝ｔ−ｔ_l で求められる。なお、ステップＳＴ１３でｔ＞ｔ_max と
判別されると、ステップＳＴ１５でｆ（ｔ）＝０とす
る。

【００７３】式（１５）（数１５）に示されるように、
直接指数関数値を計算することなく、単純な加減乗除に
より指数関数の概数値が得られることから、結果的に格
子点上の関数Ψを高速に算出される。

【００７４】更に精度の高い指数関数の概数値は、指数
関数表の項目数を増やすことにより、すなわち、表を大
きくすることによって実現できる。

【００７５】また、同じ項目数の指数関数表で精度を高
くするためには、指数関数表から補間法の一種であるス
プライン関数を作成し、そのスプライン関数値を算出す
ることにより実現できる。ここで、スプライン関数は、
曲線全体をいくつかの小区間に分けた場合に、各小区間
で多項式関数を採用し、それらが全体として、できるだ
け滑らかに結合させるものである。

【００７６】例えば、指数関数表から三次のスプライン
関数を作成すると、指数関数表の各区間を各々異なる三
次関数で結合させるため、指数関数表からあらかじめ三
次関数の係数を算出し、各係数を記憶装置２３内の配列
ｃ₁ , _i ，ｃ₂ , _i ，ｃ₃ , _i （ｉ＝１，…，Ｌ_t −
１）に格納しておく。

【００７７】この配列を用いて、式（１３）（数１３）
における指数関数の概数値は次式（１６）（数１６）の
ようにして得られる。

【００７８】

【数１６】

【００７９】上記式（１６）（数１６）において、ｌと
ｔ_l 及びδｔは上記ステップＳＴ１４と共に説明した式
により得られる。

【００８０】ところで、変数の範囲におけるｔ_min は、
式（１１）（数１１）及び式（１２）（数１２）におい
ては常にζ_i ＞０であり、原子座標と任意の空間座標と
の距離ｒ_i ＝（√｛（ｘ−ｘ_i ）² ＋（ｙ−ｙ_i ）² ＋
（ｚ−ｚ_i ）² ｝）はｒ_i ≧０であって、ｒ→０におい
てｔが最小値をとり、ｔ_min ＝０となる。

【００８１】ここで、図５に、変数範囲のｔ_max の決定
のフローチャートを示す。いま、ステップＳＴ１６でコ
ンピュータで扱えることのできる０に最も近い正の浮動
小数点の値をｆ_min （ｔ_min ＝０）とすれば、ステップ
ＳＴ１７で式（１５）（数１５）から exp （−ｔ’_max ）＝ｆ_min ｔ’_max ＝log _e ｆ_min として、ｔ’_max を得られる。

【００８２】一般に、浮動小数点の内部表現はコンピュ
ータにより異なるので、ｔ’_max の値も異なる。

【００８３】次に、ステップＳＴ１８で式（１５）（数
１５）中のすべてのζ_i に対して空間領域の頂点である
８つの座標について、ζ_i ｒ_i を計算し、そのときの最
大値をｔ”_max とする。さらに、ステップＳＴ１９で先
のｔ’_max とｔ”_max を比較し、ステップＳＴ２０，Ｓ
Ｔ２１により小さい方の値をｔ_max に設定する。

【００８４】このようにすることによって、ｔ’_max ＞
ｔ”_max の場合には、指数関数表において実際の指数関
数計算で使用されない余分な情報をとり除くこととな
り、記憶装置２３の容量を有効に活用できる。また、
ｔ’_max ＜ｔ”_max の場合には、指数関数計算において
変数がｔ_max を越えるため、式（１５）（数１５）や式
（１６）（数１６）に適用することができないが、この
ときは実際の指数計算でもアンダーフローが起きる状況
であるため、指数関数の概数値は０とおくことができ
る。

【００８５】このように、指数関数を多く含む関数につ
いて、断続的に変化させた変数値における関数値をあら
かじめ指数関数表として記憶装置２３上に格納し、実際
の指数関数値は、指数関数表から補間し算出することに
よって、高速に指数関数の概数値を得ることができ、従
って指数関数を多用する関数も同時に高速に算出するこ
とができる。

【００８６】そこで、前述と同様にＨ₂ 分子を例にとれ
ば、Ｈ₂ 分子について、ある空間領域の全域に対して、
以下に示す関数Ψの計算がなされるものとする。

【００８７】 Ψ＝ｃ₁ exp （−ζ₁ ｒ₁ ）＋ｃ₂ exp （−ζ₂ ｒ₂ ） 上記計算式で、ｃ₁ ，ｃ₂ は理論化学計算により得られ
る。また、ζ₁ ，ζ₂ は、理論化学計算に先立って決定
される。ｒ₁ ，ｒ₂ は任意の座標ｘ，ｙ，ｚと図３に示
すＨ² とＨ¹ の距離である。

【００８８】この場合、ある空間領域に対する計算時間
は、従来比として、線型補間の場合は0.64倍、スプライ
ン補間の場合は0.75倍となる。

【００８９】次に、可視性判断の演算について説明す
る。図６に視覚性演算のフローチャートを示す。図７に
おいて説明したように、表示を行うためには陰線処理や
陰面処理を行う必要があり、式（２）（数２）の微分関
数の演算を行う必要がある。

【００９０】本発明では、前述のように多変数関数は一
変数関数の積で表わされることから、一変数関数の関数
値を算出すると共に、これらの微分関数の関数値をも算
出して記憶装置２３に予め格納しておくものである。

【００９１】すなわち、図６において、ステップＳＴ３
０の理論化学計算を行う際、ステップＳＴ３１でプロセ
ッサ２２に空間領域、格子数（Ｌ_x ，Ｌ_y ，Ｌ_z ）を入
力することは、図２と同様である。

【００９２】続いて、ステップＳＴ３２でｘ座標におい
て格子幅ごとにｆ₁ （ｘ_min ），ｆ ₁ （ｘ_min ＋Δ
ｘ），…，ｆ₁ （ｘ_max ）をプロセッサ２２で予め計算
し、同様にｆ₂ ，ｆ₃ ，…，ｆ_N について計算を行うと
共に、これらの微分演算ｆ_i ’（ｘ）＝ｄｆ_i ／ｄｘに
ついて計算を行う。そして、ステップＳＴ３３でこれら
を記憶装置２３上の配列ｍ₁ ^x （ｍ₁ ^x 〔１〕，ｍ₁ ^x
〔２〕，…，ｍ₁ ^x 〔Ｌ_x〕），ｍ₂ ^x ，ｍ₃ ^x ，…，
ｍ_N ^x 及びｍ₁ ’^x ，ｍ₂ ’^x ，ｍ₃ ’^x ，…，ｍ _N ’
^x に格納する。

【００９３】同様にして、ステップＳＴ３４〜ＳＴ３７
により、ｙ，ｚ座標においても各格子点ごとにｇ_i ，ｈ
_i 及びｇ_i ’，ｈ_i ’を計算し、記憶装置２３上の配列
ｍ_i ^y ，ｍ_i ^z 及びｍ_i ’^y ，ｍ_i ’^z に格納する。

【００９４】上記のステップＳＴ３２〜ＳＴ３７は、ス
テップＳＴ３８で総ての格子点について計算されたと判
別されるまで繰り返され、総ての格納が終了した後に、
ステップＳＴ３９で全格子点での関数Ψの微分値
Ψ’_x ，Ψ’_y ，Ψ’_z を算出するものである。

【００９５】これらの初等関数の演算数は２Ｎ（Ｌ_x ＋
Ｌ_y ＋Ｌ_z ）回であり、格納するのに必要な記憶装置２
３の容量は２Ｎ（Ｌ_x ＋Ｌ_y ＋Ｌ_z ）語である。

【００９６】このように、あらかじめ必要とされる初等
関数の演算を行なっておき、記憶装置２３に格納してお
くことにより、例えば、三次元格子点で（ｌ_x ＋ｌ_y ＋
ｌ_z）と表される空間座標を（ｘ，ｙ，ｚ）とすれば、
その点における関数Ψのｘ，ｙ，ｚ各座標に関する微分
関数Ψ’の値は記憶装置２３上の配列を用いて、次式
（１７（数１７）のようにして得られる。

【００９７】

【数１７】

【００９８】上記式（１７）（数１７）は初等関数の演
算を一切含まないため、全格子点における関数Ψの微分
関数の値は、従来方式に比べて極めて高速に得ることが
できる。

【００９９】なお、上記の関数χが、各独立変数からな
る一変数関数の積で表せない場合については、前述の式
（４）（数４）〜式（６）（数６）と同様である。従っ
て、空間座標に関する微分関数は式（２）（数２）と同
様に次式（１８）（数１８）で表される。

【０１００】

【数１８】

【０１０１】ただし、上記式（１８）（数１８）でＣ’
_k ＝ｃ_i Ｃ_j である。

【０１０２】上記式（１８）（数１８）は式（２）（数
２）に比べ、展開項数はＭ倍となり、全格子点における
微分関数値を算出するためには、２ＮＭ（Ｌ_x ＋Ｌ_y ＋
Ｌ_z）回の演算回数が必要であるが従来方式の演算回数
３Ｌ_x Ｌ_y Ｌ_z に比べると計算時間の面で著しく有利で
ある。

【０１０３】このように、多変数関数が各独立変数から
なる一変数関数の積、またはその一次結合で表される性
質を利用し、記憶装置２３に各変数の格子幅ごとの関数
値及び微分関数値を格納し用いることにより、三次元空
間領域内の全格子点における微分関数値の高速演算が実
現できる。

【０１０４】ここで、図３のＨ₂ 分子の場合を例に説明
すると、得られた式（９）（数９）のｍ_i ^x 〔ｌ_x 〕，
ｍ_i ^y 〔ｌ_y 〕，ｍ_i ^z 〔ｌ_z 〕について、微分を行い
式（１９）（数１９）を得て記憶装置２３上の配列
ｍ_i ’^x ，ｍ_i ’^y ，ｍ_i ’^z に格納する。

【０１０５】

【数１９】

【０１０６】上記式（１９）（数１９）において、
Ｘ_i ，Ｙ_i ，Ｚ_i はｉ＝１，２，３のときｘ₁ ，ｙ₁ ，
ｚ₁ であり、ｉ＝４，５，６のときｘ₂ ，ｙ₂ ，ｚ₂ で
ある。また、Ｇ’は関数Ｇの微分関数であり次式で表さ
れる。

【０１０７】 Ｇ'(α，ｒ）＝ｄＧ（α，ｒ）／ｄｒ＝−２αｒexp(−αｒ² ） ＝−２αｒＧ（α，ｒ） 任意の格子点（ｌ_x ，ｌ_y ，ｌ_z ）における空間座標を
（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とすれば、その座標における微分関数
Ψ’_x ，Ψ’_y ，Ψ’_z の値は、記憶装置２３上に格納
された配列ｍ_i ^x ，ｍ_i ^y ，ｍ_i ^z およびｍ_i ’^x ，ｍ
_i ’^y ，ｍ_i ’^zを用いると、次式（２０）（数２０）
のようにして得られる。

【０１０８】

【数２０】

【０１０９】空間領域内の全格子点について関数Ψの計
算を行なったとき、上式は指数関数の演算を含まないた
め、極めて高速に算出することができる。

【０１１０】本実施例における本発明の方式と従来の方
式による指数関数演算の回数を比較した例を、表２に示
す。表２から明らかなように、本発明による場合は、格
子数が増えれば増えるほど、従来の方式に比べ有利であ
ることがわかる。

【０１１１】

【表２】

【０１１２】なお、上記実施例では、分子設計支援シス
テムに適用する場合を示したが、これに限らず表示装置
の三次元空間領域上に三次元表示を行うための総ての演
算に適用することができるものである。

【０１１３】ところで、よりリアリティのある描画を行
なうためには、描画対象物の隠線処理過程が必須であ
り、種々の方法が提案されている。例えば、ソリッドモ
デルの描画には、表示装置の解像度に合わせてメモリ上
に描画対象の奥行きの座標やその点における明度／輝度
を保持するＺバッファ法等がある。しかし、このＺバッ
ファ法では、解像度の大きな描画を行なう場合、多くの
記憶装置の容量を必要とし、また描画方法がソリッドモ
デルに限られ、ワイヤフレームモデルに適用できないな
どの問題点がある。

【０１１４】さらに、前記実施例の如く多変数関数を一
変数関数の積の一次結合に置き換えて高速に演算する方
式は、隠線処理過程の場合のように、一軸が操作者の視
線方向に沿う座標系においては、座標系の回転が伴うた
め、そのままでは適用できない。

【０１１５】多くのモデルに適用可能な隠線処理を行な
うには、分子の座標系における関数値の他に、操作者の
視線方向を一軸とする座標系での関数値の算出も行なう
必要がある。しかし、分子軌道計算等の結果から得られ
る複雑な関数でこの様な算出を行なうには、非常に多く
の計算時間を要するのが常である。そのため、実時間性
が要求される分子設計支援システムにおいて、実時間に
リアルな関数を描画することは、実質的に不可能だっ
た。

【０１１６】上記問題点に鑑み、本発明の第２実施例で
は、分子の電子的情報を表示装置に描画する際、実時間
性を損なわないような操作性を提供するために、多変数
関数を一変数関数の積の一次結合に置き換え、さらにユ
ニタリ変換装置を用いて関数を構成している初等関数の
一次結合係数をその関数形にしたがって、それぞれ一次
変換を施す。これにより、操作者の視線方向を一軸とす
る座標系における関数値を高速に演算することが可能と
なる。

【０１１７】又、上記問題点に鑑み、後述する本発明の
第３実施例では、分子の電子的情報を表示装置に描画す
る際、実時間性を損なわないような操作性を提供するた
めに、多変数関数を一変数関数の積の一次結合に置き換
え、三次元格子点上の関数値を高速に算出する。更に、
操作者の視線方向を一軸とする座標系における関数値
は、前座標系で得られた格子点における関数値から補間
（内挿）法により推定値を得、これに置き換える。これ
により高速な演算が可能となる。なお、多変数関数は、
例えばスカラ関数やベクトル関数である。

【０１１８】多変数関数Ψ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ａ（定数）
となる等値面上のある点の可視性を判断するには、ま
ず、その点を含む面の法線ベクトル（グラディエント）
と視線方向（視線ベクトル）の単位ベクトルのスカラ積
をとり、その値が０以上のとき不可視とする。スカラ積
が負の場合、さらに、その点から操作者の視線方向に沿
って関数値を算出し、障害面（その点を隠す他の等値
面）があるかどうかを調べる。障害面が存在しない場合
に、はじめて可視と判断される。図７に具体例を示す。
等値面４８上の点４４における法線ベクトル４７は、視
線ベクトル４２との内積が０以上となるため、不可視で
ある。また、等値面４８上の点４３，４５はともに、そ
の法線ベクトルと視線ベクトルとの内積が負となるが、
点４３は操作者４１から見て手前に他の等値面と交差す
る点４６が存在するため、不可視となる。

【０１１９】操作者の視線方向に沿った関数値の計算
は、視線方向と多変数関数の座標系の一軸が一致する場
合、第１実施例の如き多変数関数を一変数関数の積の一
次結合に置き換える方法を利用することにより高速な算
出が可能である。しかし、図８に示すように、視線方向
と多変数関数の座標系の一軸が一致しない場合（例え
ば、多変数関数の等値面を回転させる場合など）、第１
実施例の高速演算をそのまま適用することはできない。
なお、図８中、５０は操作者４１の表示装置２６の画面
に対する視線方向を一軸とする座標系Ｘ’、５１は多変
数関数の座標系Ｘ、５３は座標系５１における格子点の
例、５４は等値面（Ψ＝ａ）を表わす。

【０１２０】第１実施例の高速演算をそのまま適用でき
ないのは、以下の理由による。

【０１２１】すなわち、いま座標系Ｘにおいて多変数関
数Ψが、次式（２１）（数２１）のように一変数関数の
積の一次結合に置き換えられるものとすると、

【０１２２】

【数２１】

【０１２３】操作者の視線方向をｚ軸とする座標系Ｘ’
でΨを書き表わすと、次のように Ｘ’＝ＵＸ となり、座標系Ｘ’は座標系Ｘでユニタリ変換される。
このため、式（２１）（数２１）のΨは、座標系Ｘ’で
表わすと、通常は一変数関数の積の一次結合に置き換え
ることができない。

【０１２４】しかし、第２実施例では、分子軌道計算等
で多用される多変数関数Ψが次式（２２）（数２２）の
ように

【０１２５】

【数２２】

【０１２６】で表わされ、さらにχが χ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ−ｘ_i ) ^Nx（y −ｙ_i ）^Ny（ｚ
−ｚ_i ）^Nz ｅｘｐ（−α｜ｒ−ｒ_i ｜²) で表わされていると、次式（２３）（数２３）のよう
に、座標系Ｘ’の一変数関数の積に置き換えられること
に注目した。

【０１２７】

【数２３】

【０１２８】上記式（２３）（数２３）で、ｃ_i ’は以
下で詳しく説明するように、関数形にしたがって、ユニ
タリ変換を施すことにより得られる。なお、式（２３）
（数２３）で、ｆ_i ' ，ｇ_i ' ，ｈ_i ' はそれぞれ、 ｆ_i ' （ｘ’）＝（ｘ’−ｘ_i ’）^Nxｅｘｐ（−α
（ｘ’−ｘ_i ’）² ） ｇ_i ' （ｙ’）＝（ｙ’−ｙ_i ’）^Nxｅｘｐ（−α
（ｙ’−ｙ_i ’）² ） ｈ_i ' （ｚ’）＝（ｚ’−ｚ_i ’）^Nxｅｘｐ（−α
（ｚ’−ｚ_i ’）² ） で表わされる。又、例えば、式（２２）（数２２）に次
の関数を含むとき、 χ_Px＝（ｘ−ｘ_i ）ｅｘｐ（−α｜ｒ−ｒ_i ｜² ） χ_Py＝（ｙ−ｙ_i ）ｅｘｐ（−α｜ｒ−ｒ_i ｜² ） χ_Pz＝（ｚ−ｚ_i ）ｅｘｐ（−α｜ｒ−ｒ_i ｜² ） 式（２２）（数２２）においてそれぞれの一次結合係数
をｃ_P ＝（ｃ_Px，ｃ_Py，ｃ_Pz）とすれば、座標系Ｘ’に
おける一次結合係数ｃ_P ’は、後述する図９に示すユニ
タリ変換装置６７を用いて次のように得られる。

【０１２９】ｃ_P ’＝Ｕｃ_P さらに、式（２２）（数２２）に次のような関数を含む
場合には、 χｄ_xx＝（ｘ−ｘ_i ）² ｅｘｐ（−α｜ｒ−ｒ_i ｜² ） χｄ_xy＝（ｘ−ｘ_i ）（ｙ−ｙ_i ）ｅｘｐ（−α｜ｒ−
ｒ_i ｜² ） χｄ_yy＝（ｙ−ｙ_i ）² ｅｘｐ（−α｜ｒ−ｒ_i ｜² ） χｄ_yz＝（ｙ−ｙ_i ）（ｚ−ｚ_i ）ｅｘｐ（−α｜ｒ−
ｒ_i ｜² ） χｄ_zz＝（ｚ−ｚ_i ）² ｅｘｐ（−α｜ｒ−ｒ_i ｜² ） χｄ_zx＝（ｚ−ｚ_i ）（ｘ−ｘ_i ）ｅｘｐ（−α｜ｒ−
ｒ_i ｜² ） 一次結合係数ｃ_d は上記と同様にユニタリ変換装置６７
を用いて次のように変換する。

【０１３０】ｃ_d ’＝ＵＵｃ_d 一般に、上記χ（ｘ，ｙ，ｚ）に関する式でＮ_x ＋Ｎ_y
＋Ｎ_z が同じ値を持つ関数群がある場合、一次結合係数
ｃはユニタリ変換装置６７で次のように変換する。

【０１３１】ｃ’＝Ｕ^(Nx+Ny+Nz)ｃ 以上のようにして、一次結合係数ｃを、部分的に（関数
形にしたがって）ユニタリ変換装置６７で変換し、新た
な一次結合係数ｃ’を算出する。こうして得られたｃ’
は、予め隠線処理に先だって図９に示す記憶装置２３上
の配列ｃｐに格納しておく。

【０１３２】次に、座標系Ｘ’の、三次元格子点におい
て、式（２３）（数２３）のｆ_i ’，ｇ_i ’，ｈ_i ’の
値を算出しておく。つまり、ｆ_i ’（ｘ’），ｘ’＝ｘ
_min，ｘ_min ＋Δｘ，・・・，ｘ_max を計算し、記憶装
置２３上の配列Ｍ_x に格納し、さらに、ｇ_i ’
（ｙ’），ｈ_i ’（ｚ’）についても同様な計算を行な
い、配列Ｍ_y ，Ｍ_z に格納する。

【０１３３】実際、ある等値面上の点（ｘ₀ ’，
ｙ₀ ’，ｚ₀ ’）が可視かどうかの判断は、前述のよう
に、等値面上の法線（グラディエント）と視線ベクトル
の内積を計算した後、それが負である、つまりその面が
操作者側を向いているとわかった場合、既に記憶装置２
３上に格納されている配列ｃｐ，Ｍ_x ，Ｍ_y ，Ｍ_z を利
用し、以下のようにして行なう。

【０１３４】まず、座標系Ｘ’のｘｙ平面（つまり、操
作者の視線方向に垂直な面）上で、（ｘ₀ ’，ｙ₀ ’）
に最も近距離にある格子点を求め、これを（ｘ_G ’，ｙ
_G ’）とする。次に、ｚ₀ ’より手前（操作者側）にあ
って、最も近距離にある格子点を求め、これをｚ_G ’と
する。

【０１３５】次に、次式（２４）（数２４）において、
ｚ＝ｚ_G ’，ｚ_G ’＋Δｚ，・・・，ｚ_max ’と変化さ
せることにより、視線方向のΨ値を算出する。

【０１３６】

【数２４】

【０１３７】このとき、Ψの値が他の等値面を横切った
場合、つまり、 Ψ（ｘ_G ',ｙ_G ',ｚ＋ＮΔｚ）＜α＜Ψ（ｘ_G ',ｙ_G ',
ｚ＋（Ｎ＋１）Δｚ） または、 Ψ（ｘ_G ',ｙ_G ',ｚ＋ＮΔｚ）＞α＞Ψ（ｘ_G ',ｙ_G ',
ｚ＋（Ｎ＋１）Δｚ） が成立したとき、等値面上の点（ｘ₀ ’，ｙ₀ ’，
ｚ₀ ’）は不可視と判断される。

【０１３８】従って、本実施例によれば、多変数関数の
等値面における隠線処理過程が高速に行なえるため、例
えば分子設計支援システム等においてなされる分子の電
子的情報の描画を、実時間性を損なうことなく高速に得
ることができ、表示装置などを利用したシステムの操作
性が向上する。

【０１３９】本発明の第２実施例の構成を図９に示す。
図９に示す関数演算システム６１は、プロセッサ２２、
記憶装置２３、データベース２５、表示装置２６、ユニ
タリ変換装置６７及び隠線処理装置６９により構成され
る。分子軌道計算手段２４の図示は省略する。

【０１４０】ユニタリ変換装置６７は、データベース２
５から得られた分子座標系Ｘ及び一次結合係数ｃに基づ
いて、ｃをｃ’に変換する。この変換により得られた新
たな一次結合係数ｃ’は、記憶装置２３上の配列ｃｐに
格納される。

【０１４１】次に、プロセッサ２２は、上記式（２３）
（数２３）に従って、ｆ_i ’，ｇ_i’，ｈ_i ’を計算
し、記憶装置２３上の配列Ｍ_x ，Ｍ_y ，Ｍ_z に格納す
る。

【０１４２】その後、隠線処理装置６９により上記の如
き隠線処理を行ない、視線方向の関数値探索を高速に行
なって、最終的に表示装置２６により隠線処理を施され
た画像を表示する。

【０１４３】図１０に、図９の実施例における演算処理
のフローチャートを示す。ステップＳＴ４１は、ある等
値面上の点（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を求める。ステップＳ
Ｔ４２は、点（ｘ’．ｙ’．ｚ’）が位置する等値面上
の法線（グラディエット）と視線ベクトルとの内積を計
算する。ステップＳＴ４３は、この内積の値が０より大
であるか否かを判別する。ステップＳＴ４３の判別結果
がＮＯであると、ステップＳＴ４４で不可視とみなされ
て、処理は終了する。

【０１４４】他方、ステップＳＴ４３の判別結果がＹＥ
Ｓであると、ステップＳＴ４５で点（ｘ’，ｙ’，
ｚ’）に対する格子点（ｘ_G ’，ｙ_G ’，ｚ_G ’）を算
出する。ステップＳＴ４６は、ｚ＝ｚ_G ’に設定し、ス
テップＳＴ４７は、上記式（２４）（数２４）に基づい
てΨ_a を計算する。又、ステップＳＴ４８は、ｚ＝ｚ＋
Δｚに設定する。

【０１４５】ステップＳＴ４９は、ｚ＜ｚ_max であるか
否かを判別する。ステップＳＴ４９の判別結果がＮＯで
あると、ステップＳＴ５０で可視とみなされて、処理は
終了する。

【０１４６】他方、ステップＳＴ４９の判別結果がＹＥ
Ｓであると、ステップＳＴ５１で上記式（２４）（数２
４）に基づいてΨ_b を計算する。ステップＳＴ５２は、
Ψ_a＜ａ＜Ψ_b 又はΨ_b ＜ａ＜Ψ_a であるか否かを判別
する。ステップＳＴ５２の判別結果がＮＯであると、ス
テップＳＴ５３でΨ_a ＝Ψ_b に設定し、処理がステップ
ＳＴ４８へ戻る。ステップＳＴ５２の判別結果がＹＥＳ
であれば、ステップＳＴ５４が不可視とみなし、処理が
終了する。

【０１４７】次に、本発明の第３実施例を説明する。

【０１４８】上記の如く、座標系Ｘ’は座標系Ｘでユニ
タリ変換されるため、式（２１）（数２１）のΨは座標
系Ｘ’で表わすと、特殊な場合を除いて一変換関数の積
の一次結合に置き換えることができない。

【０１４９】そこで、第３実施例では、図１１に示すあ
る等値面上の点５５について、操作者４１の視線方向に
沿った別の点５６の関数値を次のようにして求める。つ
まり、いま、上記の点５６の座標を（ｘ_F ，ｙ_F ，
ｚ_F ）とし、その近傍にある格子点４点を選択する。図
１１中、図８と同一部分には同一符号を付し、その説明
は省略する。格子点の座標を、それぞれ（ｘ₁ ，ｙ₁ ，
ｚ₁ ）（ｘ₂ ，ｙ₂ ，ｚ₂）（ｘ₃ ，ｙ₃ ，ｚ₃ ）（ｘ
₄ ，ｙ₄ ，ｚ₄ ）とし、また各点における関数値をそれ
ぞれΨ₁ ，Ψ₂ ，Ψ₃ ，Ψ₄ としたとき、次の等式 Ψ₁ ＝ｃ₁ ｘ₁ ＋ｃ₂ ｙ₁ ＋ｃ₃ ｚ₁ ＋ｃ₄ Ψ₂ ＝ｃ₁ ｘ₂ ＋ｃ₂ ｙ₂ ＋ｃ₃ ｚ₂ ＋ｃ₄ Ψ₃ ＝ｃ₁ ｘ₃ ＋ｃ₂ ｙ₃ ＋ｃ₃ ｚ₃ ＋ｃ₄ Ψ₄ ＝ｃ₁ ｘ₄ ＋ｃ₂ ｙ₄ ＋ｃ₃ ｚ₄ ＋ｃ₄ を成立せしめる係数ｃ₁ ，ｃ₂ ，ｃ₃ ，ｃ₄ を決定する
ことを考える。これらの係数は、上式が線形であること
を考慮すると、四元連立方程式を解くことにより容易に
得られる。つまり、実際には次の行列（数２５）

【０１５０】

【数２５】

【０１５１】の逆行列をとり、

【０１５２】

【数２６】

【０１５３】との積をとることにより得られる。

【０１５４】係数を決定したのち、次の計算を施すこと
により点５６上の関数値Ψ_F の推定値が得られる。

【０１５５】Ψ_F ＝ｃ₁ ｘ_F ＋ｃ₂ ｙ_F ＋ｃ₃ ｚ_F ＋ｃ
₄ また、上記の等式でなく、次式 Ψ＝c₁x²＋c₂y²＋c₃z²＋c₄xy＋c₅yz＋c₆zx＋c₇x ＋c₈y
＋c₉z ＋c₁₀ のような二次式を用いて係数ｃ₁ ，ｃ₂ ，・・・を決定
することも同様に可能である。この場合、点５６の近傍
の格子点は１０点必要となり、上記の一次式より計算時
間を要するが精度の高い推定値が得られる。

【０１５６】以上の操作は、３，４，・・・次式にして
も適用可能であるが、高次にするほど、近傍の格子点の
情報が必要となり、したがって計算時間を要するため、
適当な次数の選択が望ましい。

【０１５７】従って、本実施例によっても、多変数関数
の等値面における隠線処理過程が高速に行なえるため、
例えば分子設計支援システム等においてなされる分子の
電子的情報の描画を、実時間性を損なうことなく高速に
得ることができ、表示装置などを利用したシステムの操
作性が向上する。

【０１５８】本発明の第３実施例の構成を図１２に示
す。図１２に示す関数演算システム７１は、プロセッサ
２２、記憶装置２３、データベース２５、表示装置２
６、隠線処理装置６９及び逆行列生成装置７９により構
成される。分子軌道計算手段２４の図示は省略する。

【０１５９】プロセッサ２２は、データベース２５から
得られた分子座標等の情報から、得ようとする空間座標
（ｘ_F ，ｙ_F ，ｚ_F ）の近傍の格子点座標（ｘ₁ ，
ｙ₁ ，ｚ ₁ ），（ｘ₂ ，ｙ₂ ，ｚ₂ ），（ｘ₃ ，ｙ₃ ，
ｚ₃ ），（ｘ ，ｙ₄ ，ｚ₄ ）を選択し、各座標におけ
る関数値Ψ₁ ，Ψ₂ ，Ψ₃ ，Ψ₄ ，・・・と共に記憶装
置２３に格納する。これらの空間座標（ｘ_F ，ｙ_F ，ｚ
_F ）の近傍の格子点及び関数の個数は、補間（内挿）す
る関数に係数がいくつあるかによって決まる。例えば、
上記の場合のように１次式であれば４点、２次式であれ
ば１０点となる。

【０１６０】逆行列生成装置７９は、これらの記憶装置
２３上の値に基づいて、補間する関数の係数ｃ₁ ，
ｃ₂ ，ｃ₃ ，ｃ₄ ，・・・を決定する。又、プロセッサ
２２は、座標（ｘ_F ，ｙ_F ，ｚ_F ）における関数値の推
定値Ψ_F を算出する。

【０１６１】最後に、隠線処理装置６９により隠線処理
を行ない、この隠線処理を施された画像が表示装置２６
に表示される。

【０１６２】なお、上記各実施例の説明より明らかな如
く、各実施例においては、多変数関数が少なくとも二つ
以上の一変数関数の積の一次結合に置き換えられても良
く、一変数関数の積に近似的に置き換えられても良い。
又、一変数関数は、初等関数又は初等関数の組合わせで
も良い。

【０１６３】更に、上記第２及び第３実施例では本発明
が分子設計支援システムに適用されているが、これらの
実施例は流体、熱伝導、その他のコンピュータ支援シス
テム等の、種々な多変数関数の可視可が要求される分野
にも応用可能である。

【０１６４】以上、本発明を実施例により説明したが、
本発明はこれらの実施例に限定されるものではなく、種
々の変形及び改良が本発明の範囲内で可能であることは
言うまでもない。

【０１６５】

【発明の効果】以上のように本発明によれば、予め、多
変数関数を一変数関数の積に置き換えて、該各一変数関
数を演算しておきその関数値を記憶手段に所定配列で格
納することにより、演算時間の短縮化を図ることがで
き、システムの操作性を向上させることができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の第１実施例の構成図である。

【図２】第１実施例における演算処理のフローチャート
である。

【図３】Ｈ₂ 分子の分子図である。

【図４】一変数関数演算のフローチャートである。

【図５】変数範囲のｔ_max の決定のフローチャートであ
る。

【図６】視覚性演算のフローチャートである。

【図７】可視性の判断の具体例を説明する図である。

【図８】操作者と描画物の座標系が異なる場合を説明す
る図である。

【図９】本発明の第２実施例の構成図である。

【図１０】第２実施例における動作を説明するフローチ
ャートである。

【図１１】本発明の第３実施例において操作者と描画物
の座標系が異なる場合を説明する図である。

【図１２】第３実施例の構成図である。

【図１３】可視性判断を説明するための図である。

【符号の説明】

２１ 関数演算システム ２２ プロセッサ ２３ 記憶装置 ２４ 分子軌道計算手段 ２５ データベース ２６ 表示装置 ６７ ユニタリ変換装置 ６９ 隠線処理装置 ７９ 逆行列生成装置

Claims (19)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 表示手段（２６）の画面に三次元空間領
   域上における空間座標の複数の格子点を連続させて三次
   元表示させるために、 該各格子点における関数値を、空間座標を独立変数とす
   る多変数関数により得るにあたり、予め、該多変数関数
   を所定数の一変数関数の積に置き換えて該各一変数関数
   を演算しておき、該各一変数関数の関数値に基づいて該
   多変数関数を演算する演算手段（２２，２４，２５）
   と、 該演算手段（２２，２４，２５）により予め演算された
   一変数関数の関数値を所定配列で格納し、該演算手段に
   よる該多変数関数の演算の際に、該格納した該一変数関
   数の関数値が読み出される記憶手段（２３）とを含む関
   数演算システム。
2. 【請求項２】 前記演算手段（２２，２４，２５）にお
   いて演算される前記多変数関数は、少なくとも二つ以上
   の前記一変数関数の積の一次結合に置き換えられる請求
   項１記載の関数演算システム。
3. 【請求項３】 前記演算手段（２２，２４，２５）にお
   いて演算される前記多変数関数は、前記一変数関数の積
   に近似的に置き換えられる請求項１又は２記載の関数演
   算システム。
4. 【請求項４】 前記記憶手段（２３）は、前記一変数関
   数の関数値及び該一変数関数を構成する初等関数の関数
   値を記憶する請求項１乃至３記載の関数演算システム。
5. 【請求項５】 前記演算手段（２２，２４，２５）にお
   いて、前記記憶手段（２３）に記憶された前記初等関数
   の関数値を、変数範囲を浮動小数点の内部表現より求め
   て補間し、該初等関数の概数値を得る請求項４記載の関
   数演算システム。
6. 【請求項６】 前記演算手段（２２，２４，２５）にお
   いて、前記記憶手段（２３）に記憶されている前記一変
   数関数の関数値を補間して該一変数関数の概数値を得る
   請求項４記載の関数演算システム。
7. 【請求項７】 前記演算手段（２２，２４，２５）にお
   いて、前記初等関数の概数値より前記一変数関数の概数
   値を算出する請求項５記載の関数演算システム。
8. 【請求項８】 前記演算手段（２２，２４，２５）にお
   いて、前記初等関数を、線型補間により所定の変数値に
   対して該初等関数の概数値を算出する請求項４記載の関
   数演算システム。
9. 【請求項９】 前記演算手段（２２，２４，２５）にお
   いて、前記初等関数よりスプライン関数を作成し、所定
   の変数値に対するスプライン関数値を得て、該初等関数
   の概数値を得る請求項４記載の関数演算システム。
10. 【請求項１０】 前記演算手段（２２，２４，２５）に
    おいて、前記一変数関数の各座標に関する微分関数値を
    演算し、前記記憶手段（２３）に格納し、前記多変数関
    数の各座標に関する微分関数値を得る請求項１乃至３記
    載の関数演算システム。
11. 【請求項１１】 前記多変数関数は、分子設計における
    理論化学計算により得られる分子情報である請求項１乃
    至１０記載の関数演算システム。
12. 【請求項１２】 前記分子情報は、分子軌道計算に基づ
    く演算により得られる請求項１１記載の関数演算システ
    ム。
13. 【請求項１３】 前記分子情報は、分子が含まれる電子
    の情報である請求項１１又は１２記載の関数演算システ
    ム。
14. 【請求項１４】 前記多変数関数の等値面を前記表示手
    段（２６）の画面に投影する際、該多変数関数の座標系
    をＸ、該表示手段（２６）の画面に対する視線方向を一
    軸とする座標系をＸ’とすると、 前記記憶手段（２３）は、前記演算手段（２２，２４，
    ２５，６７，７９）により演算された、一変数関数及び
    その一変数関数の各座標Ｘ，Ｘ’に関する関数値及び微
    分関数値の、各座標Ｘ，Ｘ’の格子幅毎における値を格
    納し、 該記憶手段（２３）に格納された値に基づいて可視／不
    可視の判断を含む隠線処理を行なう隠線処理手段（６
    ９）を更に含む請求項１乃至１３記載の関数演算システ
    ム。
15. 【請求項１５】 前記多変数関数は、スカラ関数又はベ
    クトル関数である請求項１４記載の関数演算システム。
16. 【請求項１６】 前記演算手段（２２，２４，２５，６
    ７）は、前記座標系Ｘ及び前記一変数関数を構成してい
    る関数の一次結合係数に基づいて、該一次結合係数をそ
    の関数形により新たな一次結合係数に一次変換するユニ
    タリ変換手段（６７）を有する請求項１４又は１５記載
    の関数演算システム。
17. 【請求項１７】 前記演算手段（２２，２４，２５，７
    ９）は、前記座標系Ｘにおける任意の格子点に関する関
    数値を、該任意の格子点と同一視線方向上の別の格子点
    の近傍にある複数の格子点における関数値により補間し
    て得た該別の格子点に関する関数値の推定値により近似
    する請求項１４記載の関数演算システム。
18. 【請求項１８】 前記演算手段（２２，２４，２５，７
    ９）は、前記補間をする関数の係数を逆行列を用いて決
    定する逆行列生成手段（７９）を有する請求項１７記載
    の関数演算システム。
19. 【請求項１９】 前記演算手段（２２，２４，２５，７
    ９）は、前記推定値を線形な関係式、一次式又は二次以
    上の式により近似する請求項１７又は１８記載の関数演
    算システム。