JP2024049148A - 情報処理方法、及び情報処理装置 - Google Patents

Abstract

【課題】混合２値２次計画問題の最適解探索を高速に行う。【解決手段】混合２値２次計画問題の最適解探索を行う情報処理方法では、情報処理装置が、相互作用行列を複数のブロック行列に分割すると共に、複数の変数群を該複数のブロック行列に対応する独立な複数の変数ブロックに分割する。また情報処理装置が、複数の変数ブロックに応じて前記バイアスベクトルを複数のバイアスベクトルに分割する。また情報処理装置が、複数のブロック行列のうちの相互作用行列の対角に並ぶ複数の正方行列に基づいて、複数の変数ブロックのそれぞれに対応する複数の結合強度を算出する。また情報処理装置が、ブロック行列と結合強度とバイアスベクトルとに基づいて複数の変数ブロックの各変数を変数ブロック毎に順次更新して最適解探索を実行する。【選択図】図１０

Description

本発明は、情報処理方法、及び情報処理装置に関する。

特許文献１には、２次のエネルギー関数をもつイジングモデルの相互作用関係を完全２部グラフ構造に変換して、シミュレーティッド・アニーリングに基づく基底状態探索を効率良く行う方法に関して記載されている。特許文献２には、イジングモデルの基底状態探索問題を含んだ混合２値２次計画問題に対して、相互作用関係を完全２部グラフ構造に変換して、シミュレーティッド・アニーリングに基づく基底状態探索を効率良く行う方法に関して記載されている。

国際公開第２０１９－２１６２７７号 国際公開第２０２１－２２０４４５号

物理現象や社会現象の多くは相互作用モデルで表現可能である。相互作用モデルは、モデルを構成する複数のノードと、ノード間の相互作用、さらに必要であればノード毎に作用する係数で定義される。物理学や社会科学の分野においては、イジングモデルを始めとする種々のモデルが提案されているが、いずれも相互作用モデルの一形態として解釈することができる。

この相互作用モデルに関係づけられた指標を最小化または最大化するノード状態を求めることが社会課題の解決において重要である。例えば、ソーシャルネットワークのクリークを検知する問題や、金融分野のポートフォリオ最適化問題が挙げられる。これらは、オペレーションズ・リサーチの分野では、無制約２値２次計画問題やそれを含んだ混合２値２次計画問題（Mixed Binary Quadratic Optimization：ＭＢＱＰ）に大別される。

近年、混合２値２次計画問題は、並列処理計算機の発展を活用することで最適解探索を高速に行うことができる並列アルゴリズムが提案されてきている。

本発明は、上述の背景を鑑みてなされたもので、混合２値２次計画問題の最適解探索を高速に行いうるようにすることを目的とする。

本発明の一側面では、記憶部と協働して処理を実行する処理部を有する情報処理装置が、相互作用モデルの複数の変数群の各変数間の相互作用関係を表す相互作用行列に基づく２次項と該変数に対するバイアスを表すバイアスベクトルに基づく１次項とからなる目的関数を持つ混合２値２次計画問題の最適解探索を行う情報処理方法であって、前記処理部が、記相互作用行列を複数のブロック行列に分割すると共に、前記複数の変数群を該複数のブロック行列に対応する独立な複数の変数ブロックに分割し、前記複数の変数ブロックに応じて前記バイアスベクトルを複数のバイアスベクトルに分割し、前記複数のブロック行列のうちの前記相互作用行列の対角に並ぶ複数の正方行列に基づいて、前記複数の変数ブロックのそれぞれに対応する複数の結合強度を算出し、前記ブロック行列と前記結合強度と前記バイアスベクトルとに基づいて前記複数の変数ブロックの各変数を該変数ブロック毎に順次更新して前記最適解探索を実行する、ことを特徴とする。

本願の一側面によれば、混合２値２次計画問題の最適解探索を高速に行うことができる。

相互作用モデルのエネルギーランドスケープの概念図である。 相互作用モデルの変数間の相互作用関係を表すグラフ図である。 代替モデルの変数の定義域を示す図である。 変数を変化させた際の代替モデルのエネルギー値の変化を示す模式図である（変数群の間の結合が大きい場合）。 変数を変化させた際の代替モデルのエネルギー値の変化を示す模式図である（変数群の間の結合が小さい場合）。 相互作用モデルの変数ブロックの分割数が２の場合の代替モデルを示す図である。 相互作用モデルの変数ブロックの分割数が３の場合の代替モデルを示す図である。 情報処理装置の概略的な構成を示すブロック図である。 演算装置を構成する演算回路のブロック図である。 情報処理装置が備える主な機能を示す機能ブロック図である。 基底状態探索処理を説明するフローチャートである。 演算装置の詳細な構成例を示すブロック図である。 一つのユニットの回路構成例を示すブロック図である。

以下、図面を参照して本願の開示に係る実施形態を説明する。実施形態は、図面も含めて本願を説明するための例示である。実施形態では、説明の明確化のため、適宜、省略及び簡略化がされている。特に限定しない限り、実施形態の構成要素は単数でも複数でもよい。また、ある実施形態と他の実施形態を組み合わせた形態も、本願に係る実施形態に含まれる。

同一又は類似の構成要素には、同一の符号を付与し、既出に対する後出の実施形態での説明を省略する、又は差分を中心とした説明のみを行う場合がある。また、同一又は類似の構成要素が複数ある場合には、同一の符号に異なる添字を付して説明する場合がある。また、これらの複数の構成要素を区別する必要がない場合には、添字を省略して説明する場合がある。各構成要素の数は、特に断りがない限り単数でも複数でもよい。

実施形態において、プログラムを実行して行う処理について説明する場合がある。コンピュータは、プロセッサ（例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit））により、主記憶装置のメモリや補助記憶装置のストレージ等を用いながら、プログラムで定められた処理を行う。そのため、プログラムを実行して行う処理の主体を、プロセッサとしてもよい。プロセッサがプログラムを実行することで、処理を行う機能部が実現される。

同様に、プログラムを実行して行う処理の主体が、プロセッサを有するコントローラ、装置、システム、計算機、ノードであってもよい。プログラムを実行して行う処理の主体は、演算部であればよく、特定の処理を行う専用回路を含んでいてもよい。ここで、専用回路とは、例えばＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）やＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）、ＣＰＬＤ（Complex Programmable Logic Device）等である。

プログラムは、プログラムソースから計算機にインストールされてもよい。プログラムソースは、例えば、プログラム配布サーバまたは計算機が読取り可能な非一時的な記憶メディアであってもよい。プログラムソースがプログラム配布サーバの場合、プログラム配布サーバはプロセッサと配布対象のプログラムを記憶する記憶資源（ストレージ）を含み、プログラム配布サーバのプロセッサが配布対象のプログラムを他の計算機に配布してもよい。また、実施形態において、２以上のプログラムが１つのプログラムとして実現されてもよいし、１つのプログラムが２以上のプログラムとして実現されてもよい。

［実施形態］
（相互作用モデルについて）
先ず混合２値２次計画問題の相互作用モデルについて説明する。混合２値２次計画問題の相互作用モデルは、モデルを構成する複数のノード、ノード間の相互作用関係、及びノード毎のバイアスにより定義される。ここでは、各ノードｉ（ｉ＝１～Ｎ）に対応する変数ｓ_ｉは連続変数ｓ_ｉ∈［－１，１］又は離散変数ｓ_ｉ∈｛－１，１｝であるとする。相互作用モデルの相互作用関係とバイアスに基づき、エネルギー関数Ｈ（ｓ）（一般にハミルトニアンと呼ばれる）が定義される。特に、相互作用関係が２つのノード間で定義される場合は、エネルギー関数は式（１）の２次項と１次項からなる２次式の目的関数となる。

式（１）の第１項は相互作用関係を表現し、第２項はバイアスに基づくエネルギー関数を表現している。

一般に相互作用モデルは、無向グラフとして表現され、各相互作用項は無向グラフに含まれる変数の組で指定される。そのため、式（１）の｛Ｊ_ｉｊ｝は添え字の入れ替えに対して値を変えない実対称行列となる。

上記相互作用モデルは、イジングモデルを内包した概念である。相互作用モデルにおいて全変数を離散変数ｓ_ｉ∈｛－１，１｝に限定した場合が、イジングモデルに帰着する。イジングモデルは、例えば、統計力学で磁性体を記述する格子モデルとして用いられており、＋１／－１がスピンの上／下向きにそれぞれ対応する。

相互作用モデルの基底状態探索は、上記エネルギー関数を最小化する変数配列｛ｓ_ｉ｝を求める最適化問題である。本実施形態では、相互作用モデルの基底状態の探索をマルコフ連鎖モンテカルロ法（以降、ＭＣＭＣ（Markov Chain Monte Carlo methods）と呼ぶ）により行う。

（相互作用モデルのエネルギーランドスケープ）
図１は、相互作用モデルのエネルギーランドスケープの概念図である。グラフの横軸は変数配列、縦軸は系の全エネルギーである。確率的な遷移では、現在の状態ｓ＝｛ｓ_ｉ｝から他の状態への確率的な遷移を繰り返す。確率的な遷移を生成する方法として熱浴法がある。特に、ｉ番目の変数の値がｓ_ｉ以下の値となる累積分布関数Ｆ（ｓ）に対して逆関数Ｆ^－１が求められる場合、一様乱数ｒ∈［０，１］として、熱浴法による遷移先の状態ｓは、式（２）で与えられる。

遷移先を生成する方法としては、現在の状態ｓの各変数ｓ_ｉをｉ＝１～Ｎまでひとつずつ更新する方法が一般的である。変数をひとつずつ変えていくことで、変数全体がとりうる状態について探索を行う。例えば、図１の場合、状態Ａの－１を１に反転して状態Ｂとなり、更にひとつの１を－１に更新して状態Ｃとなる。

上記の状態遷移を制御するパラメタＴを導入して、徐々に遷移を抑制しつつＭＣＭＣを実行するとき、エネルギーが最も低い状態（基底状態）に漸近的に収束する。これを利用して最小化問題の最適解を求める手法がシミュレーティッド・アニーリング（以下、ＳＡ（Simulated Annealing）と呼ぶ）である。現実の焼きなましと対応して、パラメタＴを温度パラメタと呼ぶ。

相互作用モデルに対してＭＣＭＣやＳＡを適用する場合、式（２）などに基づき変数の値を確率的に更新する。ここで相互作用関係を持たない変数同士は、エネルギー関数式ひいては累積分布関数において独立となり、式（２）にもとづく状態遷移を同時に適用することが可能である。そのため、独立な変数を並列して更新することで、ＭＣＭＣやＳＡの処理の高速化を図ることが可能である。

（相互作用モデル相互作用関係を表すグラフ図）
図２は、相互作用モデルの変数間の相互作用関係を表すグラフ図である。変数数Ｎ＝６とした。図２における上方図は、相互作用モデルの変数間の相互作用関係を、全変数間に相互作用関係がある完全グラフ（全結合グラフ）で表している。組合せ最適化問題を相互作用モデルの基底状態探索問題として表現すると、変数間の相互作用関係はしばしば個々の変数がその他の多くの変数と結合するため、図２の上方図のように互いに独立でなく、各変数の確率的更新を同時に実行できないのでＭＣＭＣやＳＡの処理の高速化を図ることが困難である。

逆に言えば、全結合の相互作用関係を持つ相互作用モデルに対して、ＭＣＭＣの要求する理論的背景を満たしつつ複数のスピンを同時に更新することができれば、ＭＣＭＣやＳＡの処理の高速化を図ることが可能になる。

実際、特許文献１、２では、全結合の相互作用関係を持つ相互作用モデルの基底状態探索問題を、図２における下方図のような完全２部グラフ構造を持つ相互作用モデル（以下、代替モデルとよぶ）の基底状態探索問題に問題変換して、効率良く基底状態を求める方法が提案されている。第１変数群と第２変数群の値が一致している場合には、原問題の相互作用モデルとエネルギーが同じ値となるように変数群の間に結合を設定することで、代替モデルの基底状態から原問題の相互作用モデルの基底状態が得られる。

しかし、このような問題変換で導入される結合の大きさは基底状態探索の難しさに影響を及ぼす。変数群の間の結合が大きな場合、変数群の間で対応する変数ペアの値が同じ値で固定されてしまい、確率的な更新が実施されづらくなり、解空間の探索が十分に実施されなくなる。

このような背景を鑑みて、本実施形態では、代替モデルにおける変数において一定数が互いに独立となりつつ、上記結合の大きさを抑制する方法を説明する。また、そのような方法における代替モデルを用いて、原問題の相互作用モデルの基底状態探索問題を解く方法についても説明する。

先ず、相互作用モデルである式（１）に含まれる離散変数ｓ_ｉ∈｛－１，１｝に注目する。原相互作用モデルのエネルギー関数Ｈ（ｓ）に対して、全ての変数ｓ_ｉを連続変数ｓ’_ｉ∈［－１，１］に置き換えた相互作用モデルのエネルギー関数をＨ（s’）として、Ｈ（ｓ）とＨ（s’）の基底状態をそれぞれｓ^＊とs’^＊とすると、式（３）が示せる。

符号関数ｓｉｇｎ（ｘ）は、ｘ≧０ならば＋１、ｘ＜０ならば－１を返す関数である。式（３）により、Ｈ（ｓ’）の基底状態を探索することでＨ（ｓ）の基底状態が求められる。そこで以下では、相互作用行列に含まれる離散変数は全て連続変数へと緩和して、全変数の定義域をｓ_ｉ∈［－１，１］として扱う。

図３の上方図に示したような定義域をもつ補助変数ベクトルｖ∈［－１，１］^Ｎから構成された項を式（１）に加えた、式（４）に示すようなモデルを考える。

ここでＩは、Ｎ次元の単位行列である。ここで結合強度ｗの大きさが、相互作用行列Ｊの最小固有値λｍｉｎ（Ｊ）に対して、ｍｉｎ｛０，－λｍｉｎ（Ｊ）／２｝よりも大きければＪ＋２ｗＩは正定値行列となるので、Ｈ（ｓ，ｖ）の基底状態においてｖ＝０となる。

式（４）のｓ，ｖに対してｓ＝(ｘ＋ｙ)／２，ｖ＝(ｘ－ｙ)／２から定義されたＮ次元の変数ベクトルｘ＝｛ｘ_１，ｘ_２，…，ｘ_Ｎ｝，ｙ＝｛ｙ_１，ｙ_２，…，ｙ_Ｎ｝を導入する。このとき、各ｘｉ，ｙｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）の定義域は図３の下方図のように表される。また、式（４）をｘ，ｙで表現し直すと式（５）のようになる。

式（５）の相互作用関係を無向グラフとして表すと、図２の下方図のようになる。すなわち、式（５）で表現されたエネルギー関数において、変数群ｘ，ｙの各ｘ_ｉ，ｙ_ｉは互いに独立となる。よって、ＭＣＭＣによる更新を独立に行うことができるので、並列処理により演算が高速化できる。また、その最適解はｖ＝０、すなわちｘ＝ｙの超平面上に存在する。

（代替モデルのエネルギー値の変化）
図４Ａ及び図４Ｂは、変数を変化させた際の代替モデルのエネルギー値の変化を示す模式図である。ここでｘ_ｉ，ｙ_ｉ以外の変数を固定して、それら２つの変数のみを動かすことを考える。図４Ａ及び図４Ｂは、それらの２つの変数を動かした際のエネルギー変化の等高線で表したエネルギー曲面を示す。色が濃い領域ほど、エネルギー値の変化が小さいことを示している。図４Ａに示すように変数群の間の結合が小さいほどエネルギー局面の勾配が平坦となり、図４Ｂに示すように変数群の間の結合が大きいほどエネルギー局面の勾配が急峻となる。

前述のようにｘ_ｉやｙ_ｉをＭＣＭＣに従って更新する場合、図４Ａ及び図４Ｂの中で水平もしくは垂直な方向に状態を確率的に更新していくことになる。このとき、エネルギー曲面の勾配が大きいほど、解空間を動き回ることが難しくなる。すなわち、式（５）における結合強度ｗの値はなるべく小さくとることが最適解探索の性能向上の観点からは望ましい。

そこで、原問題の相互作用モデルの変数ｓを２つの集合ｓ_Ａ，ｓ_Ｂに分割する。このとき相互作用行列Ｊもブロック行列に分割することで、式（５）に示した変数変換は、式（６）のようになる。

（相互作用モデルの変数ブロックの分割数と代替モデル）
図５は、相互作用モデルの変数ブロックの分割数が２の場合の代替モデルを示す図である。このように、原問題の相互作用モデルで変数群を変数ブロックに分割した後に変数変換を行った処理を模式的に表したのが図５となる。

ここで結合強度ｗ_Ａ，ｗ_Ｂは、式（６）の第１式第２項の相互作用行列が正定値となるように、式（６）に現れる複数の正方行列Ｊ_ＡＡ及びＪ_ＢＢの固有値の数値評価に基づいて決定する。

例えば、ｗ_Ａはｍｉｎ｛０，－λ_ｍｉｎ（Ｊ_ＡＡ）／２｝よりも大きく、ｗ_Ｂはｍｉｎ｛０，－λ_ｍｉｎ（Ｊ_ＢＢ）／２｝よりもそれぞれ大きくとれば、式（６）の第１式第２項の相互作用行列が正定値となり、充分である。すなわち、原問題の相互作用行列Ｊを分割したブロック行列のうち対角に現れる正方行列Ｊ_ＡＡに対応して変数群を分割した変数ブロックの変数の結合強度ｗ_Ａは、正方行列Ｊ_ＡＡの固有値の最小値に二分の一を乗じて符号を反転した値と０とのうちの小さい方よりも大である。同様に、相互作用行列Ｊを分割したブロック行列のうち対角に現れる正方行列Ｊ_ＢＢに対応して変数群を分割した変数ブロックの変数の結合強度ｗ_Ｂは、正方行列Ｊ_ＢＢの固有値の最小値に二分の一を乗じて符号を反転した値と０とのうちの小さい方よりも大である。

コーシーの入れ子定理に基づくと、実対称行列である相互作用行列Ｊよりもそのブロック行列であるＪ_ＡＡ，Ｊ_ＢＢの方が最小固有値の値は大きくなるため、ｗ_Ａ，ｗ_Ｂはｗより小さな値に設定できることになる。すなわち、図４Ａ及び図４Ｂで表したようなエネルギー曲面がより平坦となり、解探索がよりしやすいモデルとなっている。

さらにｗ_Ａとｗ_Ｂを小さな値にとるには、Ｊ_ＡＡ及びＪ_ＢＢの最小固有値の絶対値が所定値以下の小さい値となるように集合ｓ_Ａとｓ_Ｂの取り方を決めればよい。

そのための指針のひとつは、Ｊ_ＡＡ及びＪ_ＢＢの非対角成分のノルムを最小化する、すなわち、Ｊ_ＡＢの成分のノルムを最大化するように集合ｓ_Ａとｓ_Ｂの取り方を決めることである。この問題は、相互作用行列Ｊの各要素をその絶対値に置き換えた隣接行列Ｊ’を対象とする最大カット問題に対応する。この問題の近似解を得ることは、半正定値計画法やより計算コストの低い近似解法で可能なので、それらを用いて集合ｓ_Ａとｓ_Ｂの取り方を決めることもできる。

また、その他の指針として、Ｊ_ＡＡ及びＪ_ＢＢの成分で０となるものの数を最大化する、すなわち、Ｊ_ＡＢの成分で非ゼロとなるものの数を最大化することも考えられる。相互作用行列Ｊで成分が０の箇所に１、非ゼロの箇所に０を格納した隣接行列をＪ´´として、この隣接行列Ｊ´´のカット数が最小となるように集合ｓ_Ａとｓ_Ｂのクラスタリングを行うことで、複数の変数群を複数の変数ブロックに分割することもできる。

以上の議論は原問題の相互作用モデルの変数ブロックの分割数を増やしても適用することが可能である。図６は、相互作用モデルの変数ブロックの分割数が３の場合の代替モデルを示す図である。さらには４以上の分割数をとることも可能である。

（熱浴法に基づく状態遷移）
次に式（６）のエネルギー関数に対して熱浴法に基づいて状態を遷移させる方法を説明する。温度のパラメタをＴとして、式（６）の右辺の相互作用モデルの状態｛ｘ，ｙ｝は、ボルツマン分布に基づく受理確率ｐ（ｘ，ｙ）で出現するものとする。

式（７）におけるＺは、分配関数とよばれるボルツマン分布の規格化因子である。一様乱数ｒを準備して式（７）に基づいて逆関数法を適用することで、ｘ，ｙを確率的に更新することが可能である。

一例として、与えられたｙ，ｘ_Ｂのもとでｘ_Ａを更新する方法を示す。なお、与えられたｙ，ｘ_Ａのもとでｘ_Ｂを更新する場合は、式（８）～式（１０）を参照する以下の説明において、ｘ_Ａ→ｘ_Ｂ、ｘ_Ｂ→ｘ_Ａ、ｗ_Ａ→ｗ_Ｂ、ｙ_Ａ→ｙ_Ｂ、ｙ_Ｂ→ｙ_Ａ、ｈ_Ａ→ｈ_Ｂとすればよい。

また、与えられたｘ、ｙ_Ａのもとでｙ_Ｂを更新する場合には、式（８）～式（１０）を参照する以下の説明において、ｙ→ｘ、ｘ_Ａ→ｙ_Ａ、ｘ_Ｂ→ｙ_Ｂ、ｙ_Ａ→ｘ_Ａ、ｙ_Ｂ→ｘ_Ｂとすればよい。また、与えられたｘ、ｙ_Ｂのもとでｙ_Ａを更新する場合には、式（８）～式（１０）を参照する以下の説明において、ｙ→ｘ、ｘ_Ａ→ｙ_Ｂ、ｘ_Ｂ→ｙ_Ａ、ｗ_Ａ→ｗ_Ｂ、ｙ_Ａ→ｘ_Ｂ、ｙ_Ｂ→ｘ_Ａ、ｈ_Ａ→ｈ_Ｂとすればよい。

ｘ_Ａの従う確率密度関数（受理確率）は、式（６）の右辺と式（７）から、式（８）のように表せる。この受理確率は、熱浴法に基づくものであり、複数の変数群ｘ，ｙ間の条件付き確率式のもとで、一方の変数群ｘを変数ブロックｘ_Ａ，ｘ_Ｂに分けてＭＣＭＣを実行することで更新するためものである。

式（８）における“ｈ_Ａ”は、相互作用モデルの変数ｓを２つの変数ブロックｓ_Ａ，ｓ_Ｂに分割した場合の変数ブロックｓ_Ａのバイアスベクトルである。“ｈ_Ｂ”は、相互作用モデルの変数ｓを２つの変数ブロックｓ_Ａ，ｓ_Ｂに分割した場合の変数ブロックｓ_Ｂのバイアスベクトルである。バイアス係数ベクトルｈは、相互作用モデルの変数ｓの分割と同様に、複数のバイアス係数ベクトルに分割される。

そこでｘ_Ａに含まれる変数ｘ_ｉ∈[－１，１]の従う累積分布関数は、式（８）の右辺をガウス分布の確率密度関数と見て適切にパラメタσ_ｉ，μ_ｉを定めることで、式（９）のように表せる。式（９）のｅｒｆ（ｘ）は、誤差関数である。

式（９）に逆関数法を適用することで、ｘ_ｉは、式（１０）に従って状態を順次更新すれば、最適化探索の最適解が求まる。式（１０）のｅｒｆｉｎｖ（ｘ）は、逆誤差関数である。

すなわち、複数の変数ブロックの各変数が取る２値｛－１，１｝のうちの第１の値（例えば“－１”）における条件付き確率に基づく誤差関数の値と、第２の値（例えば“１”）における誤差関数の値と、の間の乱数ｒに基づくランダム値の逆誤差に基づいて、複数の変数ブロックの各変数を順次更新することができる。

（情報処理装置１０の構成）
続いて、上記の基底状態探索を実施する、情報処理装置の実施形態例を示す。図７は、情報処理装置１０の概略的な構成を示すブロック図である。

図７に示した情報処理装置１０は、プロセッサ１１、主記憶装置１２、補助記憶装置１３、入力装置１４、出力装置１５、通信装置１６、１つ以上の演算装置２０、及びこれらの装置を通信可能に接続するシステムバス５を備える。情報処理装置１０は、例えば、その一部又は全部がクラウドシステム（Cloud System）により提供されるクラウドサーバ（Cloud Server）のような仮想的な情報処理資源を用いて実現されてもよい。また情報処理装置１０は、例えば、互いに協調して動作する、通信可能に接続された複数の情報処理装置によって実現されもよい。

プロセッサ１１は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＭＰＵ（Micro Processing Unit）を用いて構成されている。主記憶装置１２は、プログラムやデータを記憶する装置であり、例えば、ＲＯＭ（Read Only Memory）（ＳＲＡＭ（Static Random Access Memory）、ＮＶＲＡＭ（Non Volatile RAM）、マスクＲＯＭ（Mask Read Only Memory）、ＰＲＯＭ（Programmable ROM）等）、ＲＡＭ（Random Access Memory）（ＤＲＡＭ（Dynamic Random Access Memory））等である。

補助記憶装置１３は、ハードディスクドライブ（Hard Disk Drive）、フラッシュメモリ（Flash Memory）、ＳＳＤ（Solid State Drive）、光学式記憶装置（ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ(Digital Versatile Disc)等）等である。補助記憶装置１３に格納されているプログラムやデータは、随時、主記憶装置１２に読み込まれる。

入力装置１４は、ユーザから情報の入力を受け付けるユーザインタフェースであり、例えば、キーボード、マウス、カードリーダ、タッチパネル等である。出力装置１５は、ユーザに情報を提供するユーザインタフェースであり、例えば、各種情報を可視化する表示装置（ＬＣＤ（Liquid Crystal Display）、グラフィックカード等）や音声出力装置（スピーカ）、印字装置等である。通信装置１６は、他の装置と通信する通信インタフェースであり、例えば、ＮＩＣ（Network Interface Card）、無線通信モジュール、ＵＳＢ（Universal Serial Interface）モジュール、シリアル通信モジュール等である。

演算装置２０は、基底状態探索を実行する装置である。演算装置２０は、例えば、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit）のように、情報処理装置１０に装着する拡張カードの形態を取るものであってもよい。演算装置２０は、例えば、ＣＭＯＳ（Complementary Metal Oxide Semiconductor）回路、ＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）等のハードウェアによって構成される。

演算装置２０は、制御装置、記憶装置、システムバス５に接続するためのインタフェース等を含み、システムバス５を介してプロセッサ１１との間でコマンドや情報の送受を行う。演算装置２０は、例えば、通信線を介して他の演算装置２０と通信可能に接続され、他の演算装置２０と協調して動作するものであってもよい。演算装置２０により実現される機能を、例えば、プロセッサ（ＣＰＵ、ＧＰＵ等）にプログラムを実行させることにより実現してもよい。

（演算装置２０を構成する演算回路８００の構成）
図８は、演算装置２０を構成する演算回路８００のブロック図である。図８は、演算装置２０の動作原理を説明する図である。演算回路８００は、式（１０）に相当する機能を実現する。以下、図８とともに演算装置２０の動作原理について説明する。

図８に示すように、演算回路８００は、相互作用係数メモリ８１１、バイアス係数メモリ８１２、第１変数Ａメモリブロック８１３Ａ、第１変数Ｂメモリブロック８１３Ｂ、第２変数Ａメモリブロック８１４Ａ、第２変数Ｂメモリブロック８１４Ｂ、積和演算装置８１５、及び数学関数演算装置８１６を含む。

なお、演算回路８００は、相互作用モデルの変数ブロックの分割数が２（Ａブロック及びＢブロック）の場合を例示している。一般的に、相互作用モデルの変数ブロックの分割数がｎ（ｎは２以上の自然数）での場合に各変数ブロックをＡ_ｊと表記すると、演算回路８００は、第１変数Ａ_ｊメモリブロック８１３Ａ_ｊ（ｊ＝１，２，…，ｎ）、第２変数Ａ_ｊメモリブロック８１４Ａ_ｊ（ｊ＝１，２，…，ｎ）を有することになる。

相互作用係数メモリ８１１には、相互作用行列Ｊを表す情報が格納される。前述の通り、相互作用行列は実対称行列であるから、この対称性を用いて相互作用係数メモリ８１１の使用量を削減できる。

バイアス係数メモリ８１２には、バイアス係数ベクトルｈを表す情報が格納される。

第１変数Ａメモリブロック８１３Ａ、及び第１変数Ｂメモリブロック８１３Ｂには、前述した代替モデルの第１変数群ｘの状態を示すＮ次元ベクトルの情報が格納される。第２変数Ａメモリブロック８１４Ａ、及び第２変数Ｂメモリブロック８１４Ｂには、前述した代替モデルの第２変数群ｙの状態を示すＮ次元ベクトルの情報が格納される。

演算回路８００には、信号ＳＷ，ＳＲ，ＳＴが入力される。数学関数演算装置８１６は信号ＳＰを出力する。

信号ＳＷは、整数１、２を周期的に繰り返す信号であり、第１変数メモリ（第１変数Ａメモリブロック８１３Ａ、第１変数Ｂメモリブロック８１３Ｂ）、第２変数メモリ（第２変数Ａメモリブロック８１４Ａ、第２変数Ｂメモリブロック８１４Ｂ）を指定する。

信号ＳＲは、各要素が互いに独立な乱数であるベクトルを表す信号である。確率的更新で用いる乱数を入力する。

信号ＳＴは、ＳＡにおける温度パラメタＴを入力する。

前述の通り、結合強度ｗ_Ａ，ｗ_Ｂは分割された相互作用行列の固有値情報に基づいて、十分大きな値となるように設定される。式（１０）の数値評価は、演算装置２０の外部、例えばプロセッサ１１で行ってもよい。また、演算装置２０内で計算も可能である。例えば、べき乗法等で最大固有値を計算する場合、これは行列・ベクトル積を繰り返し実行するものであり、積和演算装置８１５を活用できる。

積和演算装置８１５には、相互作用係数メモリ８１１、バイアス係数メモリ８１２、第１変数Ａメモリブロック８１３Ａ、第１変数Ｂメモリブロック８１３Ｂ、第２変数Ａメモリブロック８１４Ａ、及び第２変数Ｂメモリブロック８１４Ｂの各メモリが記憶する情報と、信号ＳＷが入力される。積和演算装置８１５は、信号ＳＷにより指定された第１変数群及び第２変数群の何れかについて、相互作用行列Ｊとベクトルの積和演算を実行し、出力する。

式（１０）は、積和演算の出力や一様乱数ｒなどに対する数学関数の演算を含んでいる。数学関数演算装置８１６は、この数学関数の演算を実行する。数学関数演算装置８１６は、信号ＳＷによる指定に応じて、第１変数群及び第２変数群の何れに対応した演算を実行する。

また、一様乱数ｒや温度パラメタＴは、それぞれ信号ＳＲと信号ＳＴから入力される。信号ＳＰにはその出力値である、ＭＣＭＣに従い更新された変数の値が出力される。

各変数群のＸブロック（Ｘ＝Ａ，Ｂ）の各変数に対して、式（１０）の演算は独立に実行可能である。つまり、複数の演算回路８００を並列実行することでＭＣＭＣの高速化が実現する。

（情報処理装置１０の構成）
図９は、情報処理装置１０が備える主な機能を示す機能ブロック図である。図９に情報処理装置１０が備える主な機能（ソフトウェア構成）を示している。図９に示すように、情報処理装置１０は、記憶部９００、モデル係数設定部９１１、結合強度計算部９１２、変数値初期化部９１３、温度パラメタ制御部９１４、エネルギー演算実行部９１５、及び変数値読出部９１６を備える。これらの機能は、プロセッサ１１が、主記憶装置１２に格納されているプログラムを読み出して実行することにより、もしくは、演算装置２０が備えるハードウェアにより実現される。

尚、情報処理装置１０は、上記の機能に加えて、例えば、オペレーティングシステム、ファイルシステム、デバイスドライバ、ＤＢＭＳ（DataBase Management System）等の他の機能を備えていてもよい。

記憶部９００は、ＭＢＱＰ形式問題データ９０１、及び演算装置制御プログラム９０２を、主記憶装置１２又は補助記憶装置１３に記憶する。ＭＢＱＰ形式問題データ９０１は、組合せ最適化問題を所定の記述形式で入力したデータである。ＭＢＱＰ形式問題データ９０１は、例えば、ユーザがユーザインタフェース（入力装置、出力装置、通信装置等）を介して設定する。

演算装置制御プログラム９０２は、エネルギー演算実行部９１５が演算装置２０を制御する際に実行する、もしくはエネルギー演算実行部９１５が個々の演算装置２０にロードして演算装置２０に実行させるプログラムである。

モデル係数設定部９１１は、ＭＢＱＰ形式問題データ９０１に基づいて、相互作用係数メモリ８１１とバイアス係数メモリ８１２を設定する。

結合強度計算部９１２は、相互作用係数メモリ８１１に基づき、結合強度ｗ_Ａ，ｗ_Ｂの値を相互作用行列のブロック行列の固有値から設定する。

変数値初期化部９１３は、演算装置２０の変数メモリに格納されている値を初期化する。例えば、－１～＋１の一様乱数で設定する。

温度パラメタ制御部９１４は、ＳＡにおける温度パラメタＴを制御する。

エネルギー演算実行部９１５は、相互作用モデルに対してＳＡに従った基底状態探索（以下、エネルギー演算と称する）を行う。エネルギー演算は、相互作用演算ともいう。

変数値読出部９１６は、エネルギー演算実行部９１５によりＳＡが実行されると、変数メモリに格納されている値を読み出し、読み出した値を出力装置１５や通信装置１６に出力することで、基底状態探索を終了する。

（基底状態探索処理）
図１０は、基底状態探索処理を説明するフローチャートである。図１０は、相互作用モデルの基底状態探索に際し情報処理装置１０が行う処理（以下、基底状態探索処理Ｓ１０００と称する）を説明するフローチャートである。

以下、図１０とともに基底状態探索処理Ｓ１０００について説明する。尚、以下において、符号の前に付している「Ｓ」の文字は処理ステップの意味である。基底状態探索処理Ｓ１０００は、例えば、入力装置１４を介してユーザからの指示等を受け付けることにより開始される。

初めに、モデル係数設定部９１１が、相互作用係数メモリ８１１、バイアス係数メモリ８１２に値を設定する（Ｓ１０１１）。メモリの値は、ユーザインタフェース（例えば、入力装置１４、出力装置１５、通信装置１６等により実現される）を介してユーザが設定又は編集することもできる。

続いて、結合強度計算部９１２が、相互作用係数メモリ８１１に格納された相互作用行列Ｊの情報に基づいて、このＪをブロックに分割する。前述の通り、この分割の仕方は最大カット問題の求解やクラスタリングの処理などの数値計算で定められるので、演算装置２０内やプロセッサ１１で実行すればよい（Ｓ１０１２）。

続いて、結合強度計算部９１２が、相互作用係数メモリ８１１に格納された相互作用行列ＪとＳ１０１２で指定されたＪの分割の仕方に基づいて結合強度ｗ_Ａ，ｗ_Ｂを設定し、相互作用係数メモリ８１１に格納する。前述の通り、この計算は演算装置２０内またはプロセッサ１１で実行してもよい（Ｓ１０１３）。

続いて、変数値初期化部９１３が、変数メモリに格納されている値を初期化する（Ｓ１０１４）。

続いて、エネルギー演算実行部９１５の結果に基づいて変数メモリの値を更新する（Ｓ１０１５）。

続いて、エネルギー演算実行部９１５は、ＳＡ終了条件が成立したか否か（例えば、既定の回数だけ温度パラメタＴを変えながら状態更新を実行したか否か）を判定する（Ｓ１０１６）。エネルギー演算実行部９１５がＳＡ終了条件が成立したと判定した場合（Ｓ１０１６：ＹＥＳ）、処理はＳ１０１７に進む。一方、エネルギー演算実行部９１５が停止条件が成立しないと判定した場合（Ｓ１０１６：ＮＯ）、処理はＳ１０１５に戻る。

続いて、変数値読出部９１６が、変数メモリに格納されている値を読み出して基底状態探索の結果として記憶し（Ｓ１０１７）、基底状態探索処理Ｓ１０００は終了する。

（演算装置２０の詳細構成）
図１１は、演算装置２０の詳細な構成例を示すブロック図である。図１１は、演算装置２０の詳細な構成例を示すブロック図であり、ＳＲＡＭの技術を本実施形態の演算回路８００に適用した場合の回路構成例を示すブロック図である。複数のユニット１１０１がアレイユニット１１０２を構成している。このような構成は半導体製造技術を応用して製造可能である。

図１１の構成例を、一般化されている図７の情報処理装置１０の構成も参照しつつ説明する。相互作用係数メモリ８１１、バイアス係数メモリ８１２に格納されるデータは、モデル係数設定部９１１から設定される。相互作用係数メモリ８１１には相互作用行列Ｊが、バイアス係数メモリ８１２にはバイアス係数ベクトルｈが格納されるが、回路規模を縮小するために全てのユニット１１０１で共通に用いられる。図１１ではそのための信号線は省略している。なお、原理的にはこれらのメモリを各ユニット１１０１が個々に備えてもよい。

相互作用ドライバ１１０３は、図５で説明したように、１つの変数群を選び、更新を許可する信号ＳＷを各ユニット１１０１に入力する。これにより、各ユニット１１０１によって、特定の１つの変数群のみが更新される。

ＳＲＡＭインタフェース１１０４は、ＳＲＡＭの回路構成を応用して作成されたユニット１１０１の変数を格納する変数メモリに対して書き込みおよび読み出しを行う。演算回路８００での処理終了後に読み出された変数の値は、変数値読出部９１６に送られる。変数値読出部９１６は、読み出した値を適宜記憶及び出力することで基底状態探索の結果を出力する。

コントローラ１１０５は、エネルギー演算実行部９１５の指示により、演算回路８００の初期化や処理の終了報告を行う。

（ユニット１１０１の構成）
図１２は、ユニット１１０１（図１１）の回路構成例を示すブロック図である。ユニット１１０１は、何れかの変数群に含まれる変数１つを記憶する変数メモリ１２０１が含まれる。

以上、詳細に説明したように、本実施形態の情報処理装置１０によれば、相互作用モデルのＳＡに基づく基底状態探索を、相互作用行列の構造に基づいた問題の構造に合わせて効率よく行うことができる。また、情報処理装置１０（演算装置２０を含む）は、シンプルな構成であるので、安価かつ容易に製造することができる。

以上、本発明の一実施形態について詳述したが、本発明は上記の実施形態に限定されるものではなく、その要旨を逸脱しない範囲で種々変更可能である。例えば、上記の実施形態は本発明を分かりやすく説明するために詳細に説明したものであり、必ずしも説明した全ての構成を備えるものに限定されるものではない。また上記実施形態の構成の一部について、他の構成の追加・削除・置換をすることが可能である。

また上記の各構成、機能部、処理部、処理手段等は、それらの一部または全部を、例えば、集積回路で設計する等によりハードウェアで実現してもよい。また上記の各構成、機能等は、プロセッサがそれぞれの機能を実現するプログラムを解釈し、実行することによりソフトウェアで実現してもよい。各機能を実現するプログラム、テーブル、ファイル等の情報は、メモリやハードディスク、ＳＳＤ（Solid State Drive）等の記録装置、ＩＣカード、ＳＤカード、ＤＶＤ等の記録媒体に置くことができる。

また上記の各図において、制御線や情報線は説明上必要と考えられるものを示しており、必ずしも実装上の全ての制御線や情報線を示しているとは限らない。例えば、実際には殆ど全ての構成が相互に接続されていると考えてもよい。

また以上に説明した情報処理装置１０の各種機能部、各種処理部、各種データベースの配置形態は一例に過ぎない。各種機能部、各種処理部、各種データベースの配置形態は、情報処理装置１０が備えるハードウェアやソフトウェアの性能、処理効率、通信効率等の観点から最適な配置形態に変更し得る。

また前述した各種のデータを格納するデータベースの構成（スキーマ（Schema）等）は、リソースの効率的な利用、処理効率向上、アクセス効率向上、検索効率向上等の観点から柔軟に変更し得る。

５：システムバス、１０：情報処理装置、１１：プロセッサ、１２：主記憶装置、１３：補助記憶装置、１４：入力装置、１５：出力装置、１６：通信装置、２０：演算装置、８１１：相互作用係数メモリ、８１２：バイアス係数メモリ、８１３Ａ：第１変数Ａメモリブロック、８１３Ｂ：第１変数Ｂメモリブロック、８１４Ａ：第２変数Ａメモリブロック、８１４Ｂ：第２変数Ｂメモリブロック、８１５：積和演算装置、８１６：数学関数演算装置、９００：記憶部、９０１：ＭＢＱＰ形式問題データ、９０２：演算装置制御プログラム、９１１：モデル係数設定部、９１２：結合強度計算部、９１３：変数値初期化部、９１４：温度パラメタ制御部、９１５：エネルギー演算実行部、９１６：変数値読出部、１１０１：ユニット、１１０２：ユニットアレイ、１１０３：変数群選択ドライバ、１１０４：ＳＲＡＭインタフェース、１１０５：コントローラ。

Claims (14)

1. 記憶部と協働して処理を実行する処理部を有する情報処理装置が、相互作用モデルの複数の変数群の各変数間の相互作用関係を表す相互作用行列に基づく２次項と該各変数に対するバイアスを表すバイアスベクトルに基づく１次項とからなる目的関数を持つ混合２値２次計画問題の最適解探索を行う情報処理方法であって、
   前記処理部が、
   前記相互作用行列を複数のブロック行列に分割すると共に、前記複数の変数群を該複数のブロック行列に対応する独立な複数の変数ブロックに分割し、
   前記複数の変数ブロックに応じて前記バイアスベクトルを複数のバイアスベクトルに分割し、
   前記複数のブロック行列のうちの前記相互作用行列の対角に並ぶ複数の正方行列に基づいて、前記複数の変数ブロックのそれぞれに対応する複数の結合強度を算出し、
   前記ブロック行列と前記結合強度と前記バイアスベクトルとに基づいて前記複数の変数ブロックの各変数を該変数ブロック毎に順次更新して前記最適解探索を実行する、
   ことを特徴とする情報処理方法。
2. 請求項１に記載の情報処理方法であって、
   前記処理部が、
   前記最適解探索において、熱浴法に基づいて前記複数の変数ブロックの各変数の状態遷移の受理確率を求め、ＭＣＭＣ（Markov Chain Monte Carlo methods）を実行することで、前記相互作用モデルの基底状態を探索する、ことを特徴とする情報処理方法。
3. 請求項２に記載の情報処理方法であって、
   前記受理確率は、前記複数の変数群間の条件付き確率である、ことを特徴とする情報処理方法。
4. 請求項３に記載の情報処理方法であって、
   前記複数の変数ブロックの各変数が取る２値のうちの第１の値における前記条件付き確率に基づく誤差関数の値と、前記２値のうちの第２の値における前記誤差関数の値と、の間のランダム値の逆誤差に基づいて、前記複数の変数ブロックの各変数を順次更新する、ことを特徴とする情報処理方法。
5. 請求項１に記載の情報処理方法であって、
   前記相互作用行列は、実対称行列であり、
   前記処理部が、
   前記結合強度を、前記正方行列の固有値の数値評価に基づいて決定する、ことを特徴とする情報処理方法。
6. 請求項５に記載の情報処理方法であって、
   前記結合強度は、前記固有値の最小値に二分の一を乗じて符号を反転した値と０とのうちの小さい方よりも大である、ことを特徴とする情報処理方法。
7. 請求項１に記載の情報処理方法であって、
   前記処理部が、
   前記相互作用行列の各要素をその絶対値に置き換えた隣接行列を対象とする最大カット問題を解くことで、前記複数の変数群を前記複数の変数ブロックに分割する、ことを特徴とする情報処理方法。
8. 請求項１に記載の情報処理方法であって、
   前記処理部が、
   前記相互作用行列の各成分の有無に対応して０又は１を各成分に配置した隣接行列に対して、そのカット数が最小となるようにクラスタリングすることで、前記複数の変数群を前記複数の変数ブロックに分割する、ことを特徴とする情報処理方法。
9. 相互作用モデルの複数の変数群の各変数間の相互作用関係を表す相互作用行列に基づく２次項と該各変数に対するバイアスを表すバイアスベクトルに基づく１次項とからなる目的関数を持つ混合２値２次計画問題の最適解探索を行う情報処理装置であって、
   記憶部と協働して処理を実行する処理部を有し、
   前記処理部は、
   前記相互作用行列を複数のブロック行列に分割すると共に、前記複数の変数群を該複数のブロック行列に対応する独立な複数の変数ブロックに分割し、
   前記複数の変数ブロックに応じて前記バイアスベクトルを複数のバイアスベクトルに分割し、
   前記複数のブロック行列のうちの前記相互作用行列の対角に並ぶ複数の正方行列に基づいて、前記複数の変数ブロックのそれぞれに対応する複数の結合強度を算出し、
   前記ブロック行列と前記結合強度と前記バイアスベクトルとに基づいて前記複数の変数ブロックの各変数を該変数ブロック毎に順次更新して前記最適解探索を実行する、
   ことを特徴とする情報処理装置。
10. 請求項９に記載の情報処理装置であって、
    前記処理部は、
    前記最適解探索において、熱浴法に基づいて前記複数の変数ブロックの各変数の状態遷移の受理確率を求め、ＭＣＭＣ（Markov Chain Monte Carlo methods）を実行することで、前記相互作用モデルの基底状態を探索する、ことを特徴とする情報処理装置。
11. 請求項１０に記載の情報処理装置であって、
    前記受理確率は、前記複数の変数群間の条件付き確率である、ことを特徴とする情報処理装置。
12. 請求項１１に記載の情報処理装置であって、
    前記複数の変数ブロックの各変数が取る２値のうちの第１の値における前記条件付き確率に基づく誤差関数の値と、前記２値のうちの第２の値における前記誤差関数の値と、の間のランダム値の逆誤差に基づいて、前記複数の変数ブロックの各変数を順次更新する、ことを特徴とする情報処理装置。
13. 請求項９に記載の情報処理装置であって、
    前記相互作用行列は、実対称行列であり、
    前記処理部は、
    前記結合強度を、前記正方行列の固有値の数値評価に基づいて決定する、ことを特徴とする情報処理装置。
14. 請求項１３に記載の情報処理装置であって、
    前記結合強度は、前記固有値の最小値に二分の一を乗じて符号を反転した値よりも大である、ことを特徴とする情報処理装置。
    

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