JP2022544645A - 生成行列の三角分解による誤り訂正符号化のための方法及び装置 - Google Patents

Abstract

通信システム１００におけるソースデータブロックｄの信頼できる転送のためのエンコーダ装置１１０、２１０は、データコンテナブロックｖを受信し、外部変換行列Ｇｏｕｔに対してｕ＝ｖＧｏｕｔである、外部変換ブロックｕを計算するように構成された外部変換２１２を含む。エンコーダ装置はまた、外部変換ブロックｕを受信し、内部変換行列Ｇｉｎに対してｘ＝ｕＧｉｎである、送信された符号ブロックｘを計算するように構成された内部変換２１３を含む。データコンテナブロックｖは、ソースデータブロックｄ及び所定のシンボルブロックである凍結データブロックａから取得される。外部変換行列Ｇｏｕｔ及び内部変換行列は、変換行列Ｇの三角分解を形成し、外部変換行列Ｇｏｕｔ及び内部変換行列Ｇｉｎは、それぞれ厳密に上三角行列及び下三角行列である。

Description

本開示は、一般に、通信システムにおける誤り訂正符号化のための方法及び装置に関し、より詳細には、符号生成行列の三角分解を使用した誤り訂正符号化のための符号化及び復号方法及び装置に関する。

最新のデジタルデータ伝送（無線電話、無線データ伝送、プレーヤへの光ディスク伝送、音楽データを受信する音楽プレーヤなど）では、チャネルエンコーダがソースデータを受信し、それに冗長性を追加して、伝送チャネル内のノイズに対してソースデータを保護することができる。伝送チャネルの他端の受信機は、チャネルノイズ及び／又は歪みによって破損した符号化データを受信し、チャネルデコーダを使用してソースデータを復元する。次いで、復号されたデータは、復号されたデータをオーディオとして再生する目的地、例えば音楽プレーヤ、又は復号されたデータをファイルとして記憶する記憶装置に転送される。

チャネル符号化は、通常、「ソースデータブロック」（ＳＤＢ）と呼ばれる通信されることが求められる１つのデータを変換によって送り、それが導出されるＳＤＢよりもエラーに対してより良好に保護され、したがってＳＤＢよりも伝送に適した「送信された符号ブロック」（ＴＣＢ）を生成することによって機能する。本目的のためには、行列を使用してＳＤＢを乗算する線形ブロックエンコーダがこの目的のために使用されているということで十分であり、それは、それらが必要とする計算量に関して十分に「低複雑度」でありながら、ノイズから生じるフレームエラーレート（ＦＥＲ）などのエラーレートに関して一般的に表される、ノイズに対する有意な（絶対的ではないが）保護を提供する許容可能なトレードオフを達成することができるためである。受信信号のＦＥＲを低減するが、予想されるデータ伝送速度のために過度に多くの計算を必要とするより複雑な符号化方式は、ほとんど実用的ではない。

極符号。従来技術における線形ブロック符号のタイプは極符号（ＡＲＩ２００９）であり、これは低複雑度の符号化及び復号アルゴリズムを使用してチャネル容量を達成することができることによって関心を集めている。極符号は、チャネル偏波と呼ばれる現象に基づいている。本開示は、極符号よりも効果的にチャネル偏波を利用する新しいタイプの符号を提示し、優れたＦＥＲ性能を提供することを目的とする。極符号化の最新技術を概説することから始める。

極符号のレビューを単純に保つために、エンコーダがバイナリフィールドＦ_２＝｛０，１｝にわたってベクトルに対して動作するバイナリの事例のみを考慮する。［ＡＲＩ２００９］に示すように、すべての整数ｎ≧１について、任意の整数１≦Ｋ≦Ｎに対して符号ブロック長Ｎ＝２^ｎ及びレートＲ＝Ｋ／Ｎを有する極符号が存在する。符号ブロック長Ｎ及びレートＲ＝Ｋ／Ｎを有する極符号は、極変換行列Ｇ∈Ｆ_２ ^Ｎ×Ｎ、データインデックス集合Ａ、及び凍結データブロック（ＦＤＢ）ａによって定義され、式中極変換行列Ｇは、カーネル行列

のクロネッカー積

であり、データインデックス集合Ａは、基数｜Ａ｜＝Ｋを有する｛１，２，・・・，Ｎ｝のサブセットであり、ＦＤＢ ａは、Ｆ_２ ^Ｎ－Ｋからの任意であるが固定された行ベクトルである。パラメータ（Ｎ＝２^ｎ、Ｋ、Ａ、ａ）を有する極符号のためのエンコーダは、ＳＤＢ ｄ∈Ｆ_２ ^Ｋを入力として受信し、行列乗算ｘ＝ｕＧを実行することによってＴＣＢ ｘ∈Ｆ_２ ^Ｎを生成し、ｕ∈Ｆ_２ ^Ｎのは、データ部分ｕ_Ａ＝ｄ及び凍結部分ｕ_Ａｃ＝ａを含む変換入力ブロックである。（表記ｕ_Ａは、インデックスがＡにないｕの座標をすべて切り捨てた後に残るｕの部分を示す。）極符号の性能は、データインデックス集合Ａの選択に決定的に依存する。極符号化では、データインデックス集合Ａはチャネル偏波と呼ばれる現象に基づいて選択される。ＦＤＢ ａは、典型的には、全ゼロベクトルに設定される。

チャネル偏波をある程度詳細に論じるために、入力アルファベットＸ＝Ｆ_２、出力アルファベットＹ、及びｘ∈Ｘとｙ∈Ｙについての遷移確率Ｗ（ｙ｜ｘ）を有する所与のバイナリ入力メモリレスチャネル（ＢＭＣ）Ｗを介してデータを伝送するためのパラメータ（Ｎ＝２^ｎ、Ｋ、Ａ、ａ）を有する極符号の設計を考える。メモリレスチャネルの仮定により、チャネル入力ブロックｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，・・・，ｘ_Ｎ）∈Ｆ_２ ^ＮがＢＭＣ Ｗ上で送信されると仮定して、チャネル出力ブロックｙ＝（ｙ_１，ｙ_２，・・・，ｙ_Ｎ）∈Ｙ^Ｎが受信される条件付き確率は、積形式遷移確率Ｗ^Ｎ（ｙ｜ｘ）＝Π_ｉ＝１ ^ＮＷ（ｙ_ｉ｜ｘ_ｉ）によって与えられる。極符号化では、ＢＭＣ ＷのＮ個の独立したコピーからＮ個のビットチャネルを合成する。ビットチャネルは１～Ｎの整数によってインデックス付けされ、ｉ番目のビットチャネルは以下遷移確率を有する。

ここで、ｙ∈Ｙ^Ｎ、ｕ^ｉ－１∈Ｆ_２ ^ｉ－１、ｕ_ｉ∈Ｆ_２、ｕ_ｉ＋１ ^Ｎ∈Ｆ_２ ^Ｎ－ｉ、ｕ＝（ｕ^ｉ－１，ｕ_ｉ，ｕ_ｉ＋１ ^Ｎ）∈Ｆ_２ ^Ｎ、及び

である。ｉ番目のビットチャネルＷ_Ｎ ^（ｉ）は、入力アルファベットＦ_２、出力アルファベットＹ^Ｎ×Ｆ_２ ^ｉ－１、及び（ｙ，ｕ^ｉ－１）∈Ｙ^Ｎ×Ｆ_２ ^ｉ－１とｕ_ｉ∈Ｆ_２とした場合の遷移確率Ｗ_Ｎ ^（ｉ）（ｙ，ｕ^ｉ－１｜ｕ_ｉ）を有するＢＭＣとして解釈することができる。演算上、ｉ番目のビットチャネルＷ_Ｎ ^（ｉ）はｉ番目の変換入力ｕ_ｉを出力シンボル（ｙ、ｕ^ｉ－１）に接続し、ｕ_ｉ＋１ ^Ｎは干渉として作用する。受信機側では、ビットチャネルは、逐次除去（ＳＣ）復号［ＡＲＩ２００９］と呼ばれる特定のタイプの復号の下でアクセス可能になる。データインデックス集合Ａの推奨される選択方法は、ビットチャネルの対称容量｛Ｉ（Ｗ_Ｎ ^（ｉ））｝_ｉ＝１ ^Ｎの計算を必要とし、任意のＢＭＣ Ｗの対称容量は、以下の式によって定義される。

任意の数値精度［ＰＥＤ２０１１］、［ＴＡＬ２０１３］まで｛Ｉ（Ｗ_Ｎ ^（ｉ））｝_ｉ＝１ ^Ｎを計算するための効率的な方法が知られている。｛Ｉ（Ｗ_Ｎ ^（ｉ））｝_ｉ＝１ ^Ｎが計算された後、ビットチャネル｛Ｗ_Ｎ ^（ｉ）｝_ｉ＝１ ^Ｎがそれらの対称容量の降順にリストされ、ソートされたリスト内の最初のＫ個のビットチャネルのインデックスがデータインデックス集合Ａとして選択される。データインデックス集合Ａを選択するこの方法は、ＳＤＢビットが最も大きい対称容量を有するビットチャネルによって搬送されることを保証する。

［ＡＲＩ２００９］の主な偏波定理は、Ｎが大きくなるにつれて、ビットチャネルの対称容量｛Ｉ（Ｗ_Ｎ ^（ｉ））｝_ｉ＝１ ^Ｎは、漸近的に消失する小数を除いて、０又は１に収束することを述べている。この現象をチャネル偏波と呼ぶ。Ｎが大きくなると、その対称容量が１に偏るビットチャネルの小数はＩ（Ｗ）に近づき、一方、その対称容量が０に偏るビットチャネルの小数は１－Ｉ（Ｗ）に近づく。この漸近結果及びその改良に基づいて、［ＡＲＩ２００９］、［ＡＲＩ２００９ｂ］において、√Ｎに対してほぼ指数関数的に０になる誤りの確率を有し、符号化及び復号の複雑度が０（ＮｌｏｇＮ）である間に、極符号は、Ｉ（Ｗ）に近いデータ伝送速度で演算することができることが示されている。

極符号は、符号ブロック長Ｎが増加するにつれて漸近的にシャノン限界を達成するが、実際のブロック長Ｎでのそれらの性能は期待外れであった。実際のブロック長での極符号の比較的低い性能は、部分的には、逐次除去［ＡＲＩ２００９］及び確率伝搬［ＡＲＩ２００８］復号アルゴリズムなどの極符号で一般的に使用される低複雑度復号方法の弱点に起因する。しかしながら、最適な最尤（ＭＬ）復号の下でさえ、極符号は、誤り訂正符号化［ＡＲＩ２００９ｃ］において従来技術に勝てない。この状況を改善するために、複雑さを犠牲にして極符号の性能を改善するいくつかの方法が提案されている。そのような方法を調査する前に、極符号化の最先端技術、及び本原理の背後にある主なアイデアに関する適切な視点のために、極に対するプレカーソル符号化体形を説明する。

逐次復号は極符号化の発展において重要な役割を果たし、本原理についても同様の役割を果たすので、逐次復号の説明から始める。逐次復号は、元々ボーゼンクラフト［ＷＯＺ１９６１］によって導入された畳み込み符号（より一般的には任意の種類のツリー符号）の復号アルゴリズムである。逐次復号のいくつかの周知のバージョンは、ファノアルゴリズム［ＦＡＮ１９６３］及びスタックアルゴリズム［ＺＩＧ１９６６］、［ＪＥＬ１９６９］である。本質的に、逐次復号は、チャネル出力が与えられたツリー符号内の送信された符号語を見つけるための深さ優先ツリー探索ヒューリスティックである。逐次復号における探索の複雑さは、チャネル［ＪＡＣ１９６７］における雑音の激しさによって変化することが知られている。逐次復号における計算の可変性は、その実用的な適用性を、同じチャネルの対称容量よりも大幅に小さくなり得るチャネルパラメータであるカットオフレート未満の符号化レートに制限する。任意のＢＭＣ Ｗのカットオフレートは、

によって定義される。
Ｒ_０（Ｗ）は、符号を復号するために単一の逐次デコーダが使用される場合にのみ、逐次復号のカットオフレートに対する制限であることが分かる。復号問題がいくつかのより小さい復号問題に分割され、各々のより小さい復号問題に別個の逐次デコーダが割り当てられる場合、［ＡＲＩ２００６］に示すように、新しい体系のカットオフレートはもはやＲ_０（Ｗ）によって制限されない。［ＡＲＩ２０１６］で詳細に説明されているように、極符号化は、同数の逐次デコーダを有する複数の外部畳み込み符号を使用した一般化連結符号化（ＧＣＣ）体系（ＧＣＣ体系の説明については以下を参照）における内部符号として開発された。このＧＣＣ体系は、ＢＭＣ ＷのＮ個の独立したコピーのカットオフ速度をＮＲ_０（Ｗ）からΣ_ｉ＝１ ^ＮＲ_０（Ｗ_Ｎ ^（ｉ））に高めた。さらに、チャネル偏波現象のおかげで、Ｎが大きくなるにつれて、正規化された合計カットオフレート（１／Ｎ）Σ_ｉ＝１ ^ＮＲ_０（Ｗ_Ｎ ^（ｉ））が対称容量Ｉ（Ｗ）に近づいた。したがって、ＧＣＣ体系は容量達成体系であったが、複雑すぎて実用的ではなかった。一方、チャネル偏波はまた、Ｎが大きくなるにつれて、外部畳み込み符号及び逐次デコーダを排除することによってＧＣＣ体系を大幅に単純化することができることを意味する。十分に大きいＮについて、ビットチャネルＷ_Ｎ ^（ｉ）のＮＩ（Ｗ）に近いものは、それらの対称容量Ｉ（Ｗ_Ｎ ^（ｉ））が１に非常に近いため、それらのビットチャネル上の符号化されていない伝送を高い信頼性でサポートすることができた。残りのビットチャネルの対称容量の合計は、総対称容量ＮＩ（Ｗ）のごくわずかな割合であったので、残りのビットチャネルへの入力は、いかなる著しい容量損失も被ることなく０に固定されることが可能であり、同時に、デコーダがそれらのビットチャネルに対していかなる決定誤りも起こさないことが保証される。ＧＣＣ体系がこのようにしてその外部エンコーダ及びデコーダを取り除いた後に得られたものは、スタンドアロンの極符号であった。残念ながら、スタンドアロンの極符号は、チャネル符号化の最先端技術と競合するほど強くはなかった。極符号性能を強化するために、いくつかの方法が後に提案されている。ここで、本開示に最も関連すると思われるこれらの従来技術の方法のいくつかを検討する。

連結符号化極符号化の性能を改善するのに非常に効果的であることが証明された方法は、より強力な符号を作成するために２つ以上の符号をタンデムに組み合わせる方法である連結符号化である。連結符号化の考え方は、Ｅｌｉａｓ［ＥＬＩ１９５４］の製品符号化方法に遡ることができる。連結符号化に関する画期的な研究は、Ｆｏｒｎｅｙのモノグラフ［ＦＯＲ１９６６］である。Ｆｏｒｎｅｙの連結体系では、ソースデータブロックは最初に外部エンコーダによって外部符号から外部符号語に符号化され、外部符号語は内部エンコーダによって内部符号から内部符号語に符号化される。参考文献［ＳＥＩ２０１０］、［ＳＥＩ２０１３］、［ＴＲＩ２０１３］、［ＴＡＬ２０１５］、［ＨＵＡ２０１６］、［ＷＡＮ２０１６］、［ＣＨＥ２０１７］、［ＷＵＸ２０１８］、及び［ＺＨＡ２０１８］は、極符号を内部符号とし、様々なパリティ検査符号を外部符号とする連結符号化を適用する。特に、１に近いレートの単純な巡回冗長検査（ＣＲＣ）符号を外部符号として使用する［ＴＡＬ２０１５］の体系は、極符号が３ＧＰＰ ＮＲ規格［３ＧＰ２０１８］、［ＢＩＯ２０１８］の一部として採用されている点まで、極符号性能を改善するのに非常に有効であることが判明している。［ＴＡＬ２０１５］におけるデコーダは、リスト復号と逐次除去復号とを組み合わせたものであり、一般にＣＲＣ支援逐次除去リスト（ＣＡ－ＳＣＬ）デコーダと呼ばれる。

連結符号化体系の全体のレートは、Ｒ＝Ｒ_ｏｕｔＲ_ｉｎで与えられ、Ｒ_ｏｕｔ及びＲ_ｉｎは、それぞれ外部符号及び内部符号のレートである。したがって、任意の連結符号化システムでは、Ｒ_ｏｕｔ≧Ｒ及びＲ_ｉｎ≧Ｒの両方である必要がある。Ｒ_ｏｕｔ＝１又はＲ_ｉｎ＝１の連結符号化体系は極端な事例であり、外部符号又は内部符号のいずれかが本質的に存在しないことに留意されたい。通常の連結符号化体系では、Ｒ_ｏｕｔ＞Ｒ及びＲ_ｉｎ＞Ｒであり、従来技術におけるすべての連結極符号化システムは、Ｒ_ｏｕｔ＞Ｒ及びＲ_ｉｎ＞Ｒの状態で動作するように設計されている。Ｒ_ｉｎ＞Ｒであることは、（ちょうどＳＣＬデコーダがＳＣデコーダよりも複雑であるように）内部デコーダの複雑さを増加させる可能性があるレートＲで元のものよりも困難な符号化問題を解決することに対応する。本原理の目的は、通常の連結符号化によって引き起こされるレート膨張Ｒ_ｉｎ＞Ｒを回避することである。この目的のために、それらの好ましい実施形態における本原理は、Ｒ_ｏｕｔ＝Ｒ及びＲ_ｉｎ＝１を有する連結符号化の極限形態として動作することを目的とする。

一般化連結符号化（ＧＣＣ）極符号の性能を改善するために使用されてきた第２の方法は、ＧＣＣ方法であり、これは、複数の外部エンコーダ及びデコーダを可能にすることによってＦｏｒｎｅｙの連結符号化体系の一般化としてＢｌｏｋｈ及びＺｙａｂｌｏｖ［ＢＬＯ１９７４］によって開発された。（実際には、上記で見たように、極符号は元々ＧＣＣ体系の一部として開発された。）典型的なＧＣＣ体系では、ソースデータは、最初に、Ｕの第ｊ行が長さＭ（すべての外部符号に共通のＭ）の第ｊの外部符号（ブロック又は畳み込み）内の符号語であるように、バイナリシンボルの２次元アレイＵ＝（Ｕ_ｊ，_ｍ）、１≦ｊ≦Ｊ、１≦ｍ≦Ｍに符号化される。ｊ番目の外部符号のレートＲ_ｊは、受信機側のｊ番目のデコーダに利用可能な相互情報量又はカットオフレートなどのいくつかの設計メトリックに従って選択される［ＷＡＣ１９９９］。次に、アレイＵは、ブロック長Ｎ及びレートＪ／Ｎの内部符号を使用してＵの各列を符号化することによって、符号語アレイＸ＝（Ｘ_ｉ，_ｍ）、１≦ｉ≦Ｎ、１≦ｍ≦Ｍに符号化される。ＧＣＣシステムのデコーダは、２つの機能モジュール、内部デコーダのＭ個のコピーからなる内部デコーダモジュール（Ｘの各列に１つ）と、Ｊ個の外部デコーダからなる外部デコーダモジュール（Ｕの各行に１つ）とに分割される。内部デコーダモジュール及び外部デコーダモジュールは、通常、［ＩＭＡ１９７７］のような多段復号方式を使用して、協調方式で復号タスクを実行するために情報を交換する。ＧＣＣ符号化の本質的な概念は、コードの２次元構造によってもたらされるインターリーブ動作によってメモリレスチャネルを外部符号に提示することであり、これは製品符号化に戻る概念である［ＥＬＩ１９５４］。

極符号の文脈でＧＣＣを研究する論文の例は、［ＡＲＩ２００９ｄ］、［ＢＡＫ２０１０］、［ＴＲＩ２０１１］、［ＭＡＨ２０１４］、及び［ＷＡＮ２０１５］である。これらの参考文献では、内部符号は極符号であるが、外部符号のタイプは異なる。ＧＣＣの主な欠点は、その高度な複雑さである。ＧＣＣ体系における各外部符号は、異なるレートで動作し、その符号レートに合わせてカスタマイズされた別個のデコーダを必要とする。さらに、ＧＣＣは、スタンドアロン内部符号のＮからＧＣＣ体系のＭＮまで符号全体の長さを増加させ、これはシステム全体の複雑さをさらに増加させる。本原理の目的は、ＧＣＣ体系によって引き起こされる長さ膨張及びそれに伴う複雑さペナルティを回避することである。

復号方法従来技術における第３の作業主体は、極符号のベンチマーク復号アルゴリズムであるＳＣ復号よりも強力な復号アルゴリズムを使用することによって極符号の性能を改善することを目的としている。そのような復号アルゴリズムの統一された処理のために、目的が、チャネル出力を考慮すると、送信された経路である可能性が最も高いコードツリー内の経路を見つけることである、ツリー探索問題として極符号の復号を見ることが有益である。ツリー探索の観点は、ツリーの形式で表すことができる符号のデコーダとしてツリー探索アルゴリズムの使用への道を開く。実際、極符号用のいくつかの周知のデコーダは、特定のツリー探索アルゴリズムに関連付けることができる。例えば、ＳＣデコーダは、バックトラッキングのない深さ優先ツリー探索アルゴリズムである。ＳＣＬデコーダは、ビーム探索（［ＷＩＮ１９８４］、８４ページ参照）として知られる幅優先探索アルゴリズムである。逐次復号アルゴリズムは、バックトラッキングを用いた深さ優先探索アルゴリズムである。（逐次復号は、［ＮＩＵ２０１２］、［ＴＲＩ２０１７］、及び［ＪＥＯ２０１９］によって極符号に適用された。）

本原理従来技術を概説してきたが、ここで、本原理の本質的な特徴のいくつかを述べる。本原理は、極符号化の性能を向上させるために連結の何らかの形式が必要であることを認識する。その目的のために、本開示は、三角分解（ＴＦ）符号と呼ばれる線形ブロック符号の新しいクラスを導入する。ＴＦ符号の符号化動作は、極符号の符号化動作に似ている。ＴＦ符号化において、ＳＤＢ ｄ∈Ｆ_２ ^Ｋは、行列乗算ｘ＝ｖＧによってＴＣＢ ｘ∈Ｆ_２ ^Ｎにマッピングされ、ここでＧ∈Ｆ_２ ^Ｎ×Ｎは、自明でない三角分解を有する任意の行列であり、ｖ∈Ｆ_２ ^Ｎは、データ部分ｖ_Ａ＝ｄ及び凍結部分ｖ_Ａｃ＝ａを含むベクトルである。自明でない三角分解とは、例えば、形式Ｇ＝Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎの因数分解を意味し、式中、Ｇ_ｏｕｔは上三角行列であり、Ｇ_ｉｎは下三角行列である。ＴＦ符号化では、Ｇ_ｉｎの役割は、グローバルチャネル情報を収集することによってチャネル偏波を生成することであり、Ｇ_ｏｕｔの役割は、ツリー探索アルゴリズムを使用して復号できるツリー符号を生成することである。ここでの動機は、生のチャネル情報よりも信頼性の高い偏波チャネル情報をツリー探索アルゴリズムに提示することによって、ツリー探索アルゴリズムを支援することである。

ＴＦ符号の構築の重要な部分は、ＴＦエンコーダへの新しい情報の流量を調整するデータインデックス集合Ａの選択である。本原理は、逐次デコーダによって外部ツリー符号を復号する過程での情報のボトルネックを減らすために、ＴＦエンコーダの情報取り込みを内部デコーダから利用可能なチャネル情報と一致させるようにデータインデックス集合Ａを選択することを可能にするフレームワークを提示する。

従来技術との比較。上述したように、ＴＦ符号は、Ｒ_ｏｕｔ＝Ｒ及びＲ_ｉｎ＝１を有する連結符号化の極限形態として動作することを目的としており、それらの好ましい実施形態では、これを達成することに近づく。ＴＦ符号化は、内部符号の誤り訂正能力に依存しない。ＴＦ符号化における内部符号の役割は、外部符号をより効率的に復号できるように偏波を生成することである。対照的に、このセクションで検討されたすべての連結又は一般化連結符号化体系は、内部符号の誤り訂正能力に依存する。

逐次復号は、［ＮＩＵ２０１２］、［ＴＲＩ２０１７］、及び［ＪＥＯ２０１９］の研究では極符号と共に使用されているが、極符号の復号には使用されている。それらの最も好ましい実施形態における本原理は、レート１の内部極符号がチャネルポラライザとして機能する状態で、外部ツリー符号を復号するために逐次デコーダを使用する。内部極符号を有する連結符号化体系に関する従来技術の技術とは異なり、本原理は、誤り訂正の目的ではなく、外部ツリー符号が逐次デコーダ（又は何らかの他のツリー探索ヒューリスティック）によってより効率的に探索され得るように偏波を生成する手段として内部極符号を使用する。

［３ＧＰ２０１８］３ＧＰＰ，’’３ＧＰＰ ＴＳ ３８．２１２：’Ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ ａｎｄ ｃｈａｎｎｅｌ ｃｏｄｉｎｇ（Ｒｅｌｅａｓｅ １５）．’’’３ＧＰＰ，Ｊｕｎ－２０１８． ［ＡＲＩ２００６］Ｅ．Ａｒｉｋａｎ，’’Ｃｈａｎｎｅｌ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ａｎｄ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｆｏｒ ｃｕｔｏｆｆ ｒａｔｅ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．５２，ｎｏ．２，ｐｐ．６２８－６３９，Ｆｅｂ．２００６． ［ＡＲＩ２００８］Ｅ．Ａｒｉｋａｎ，’’Ａ Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ ａｎｄ Ｒｅｅｄ－Ｍｕｌｌｅｒ Ｃｏｄｅｓ，’’ ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，ｖｏｌ．１２，ｎｏ．６，ｐｐ．４４７－４４９，Ｊｕｎ．２００８． ［ＡＲＩ２００９］Ｅ．Ａｒｉｋａｎ，’’Ｃｈａｎｎｅｌ Ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ：Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ Ｃａｐａｃｉｔｙ－Ａｃｈｉｅｖｉｎｇ Ｃｏｄｅｓ ｆｏｒ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｂｉｎａｒｙ－Ｉｎｐｕｔ Ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ Ｃｈａｎｎｅｌｓ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．５５，ｎｏ．７，ｐｐ．３０５１－３０７３，Ｊｕｌ．２００９． ［ＡＲＩ２００９ｂ］Ｅ．Ａｒｉｋａｎ ａｎｄ Ｅ．Ｔｅｌａｔａｒ，’’Ｏｎ ｔｈｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｃｈａｎｎｅｌ ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ，’’ｉｎ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，２００９．ＩＳＩＴ ２００９，２００９，ｐｐ．１４９３－１４９５． ［ＡＲＩ２００９ｃ］Ｅ．Ａｒｉｋａｎ，Ｈ．Ｋｉｍ，Ｇ．Ｍａｒｋａｒｉａｎ，Ｕ．Ｏｚｇｕｒ，ａｎｄ Ｅ．Ｐｏｙｒａｚ，’’Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｓｈｏｒｔ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ ｕｎｄｅｒ ＭＬ ｄｅｃｏｄｉｎｇ，’’ｉｎ Ｐｒｏｃ．ＩＣＴ－Ｍｏｂｉｌｅ Ｓｕｍｍｉｔ ２００９，Ｓａｎｔａｎｄｅｒ，Ｓｐａｉｎ．，２００９． ［ＡＲＩ２００９ｄ］Ｅ．Ａｒｉｋａｎ ａｎｄ Ｇ．Ｍａｒｋａｒｉａｎ，’’Ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｉｎｇ，’’ｉｎ Ｐｒｏｃ．Ｔｅｎｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｃｏｄｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ（ＩＳＣＴＡ’０９），Ａｍｂｌｅｓｉｄｅ，ＵＫ，２００９． ［ＡＲＩ２０１６］Ｅ．Ａｒｉｋａｎ，’’Ｏｎ ｔｈｅ Ｏｒｉｇｉｎ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｉｎｇ，’’ＩＥＥＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｓｅｌｅｃｔｅｄ Ａｒｅａｓ ｉｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，ｖｏｌ．３４，ｎｏ．２，ｐｐ．２０９－２２３，Ｆｅｂ．２０１６． ［ＢＡＫ２０１０］Ｍ．Ｂａｋｓｈｉ，Ｓ．Ｊａｇｇｉ，ａｎｄ Ｍ．Ｅｆｆｒｏｓ，’’Ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｅｄ Ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ，’’ｉｎ ２０１０ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ（ＩＳＩＴ），２０１０，ｐｐ．９１８－９２２． ［ＢＩＯ２０１８］Ｖ．Ｂｉｏｇｌｉｏ，Ｃ．Ｃｏｎｄｏ，ａｎｄ Ｉ．Ｌａｎｄ，’’Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ ｉｎ ５Ｇ Ｎｅｗ Ｒａｄｉｏ，’’ａｒＸｉｖ：１８０４．０４３８９［ｃｓ，ｍａｔｈ］，Ａｐｒ．２０１８． ［ＢＬＯ１９７４］Ｂｌｏｋｈ，Ｅ．Ｌ．ａｎｄ Ｚｙａｂｌｏｖ，Ｖ．Ｖ．，’’Ｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｅｄ Ｃｏｄｅｓ，’’Ｐｒｏｂｌｅｍｓ Ｉｎｆｏｒｍ．Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，ｖｏｌ．１０，ｎｏ．３，ｐｐ．２１８－２２２，１９７４． ［ＣＨＥ２０１７］Ｊ．Ｃｈｅｎ，Ｙ．Ｃｈｅｎ，Ｋ．Ｊａｙａｓｉｎｇｈｅ，Ｄ．Ｄｕ，ａｎｄ Ｊ．Ｔａｎ，’’Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ＣＲＣ Ｂｉｔｓ ｔｏ Ａｉｄ Ｐｏｌａｒ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ，’’ｉｎ ２０１７ ＩＥＥＥ Ｇｌｏｂｅｃｏｍ Ｗｏｒｋｓｈｏｐｓ（ＧＣ Ｗｋｓｈｐｓ），２０１７，ｐｐ．１－６． ［ＥＬＩ１９５４］Ｐ．Ｅｌｉａｓ，’’Ｅｒｒｏｒ－ｆｒｅｅ Ｃｏｄｉｎｇ，’’Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＲＥ Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ Ｇｒｏｕｐ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．４，ｎｏ．４，ｐｐ．２９－３７，Ｓｅｐ．１９５４． ［ＦＡＮ１９６３］Ｒ．Ｆａｎｏ，’’Ａ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｄｅｃｏｄｉｎｇ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．９，ｎｏ．２，ｐｐ．６４－７４，Ａｐｒ．１９６３． ［ＦＥＲ２０１７］Ａ．Ｊ．Ｆｅｒｒｉｓ，Ｃ．Ｈｉｒｃｈｅ，ａｎｄ Ｄ．Ｐｏｕｌｉｎ，’’Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，’’ａｒＸｉｖ：１７０４．００７１５［ｃｓ，ｍａｔｈ］，Ａｐｒ．２０１７． ［ＦＯＲ１９６６］Ｇ．Ｄ．Ｆｏｒｎｅｙ Ｊｒ，Ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｅｄ Ｃｏｄｅｓ．Ｔｈｅ ＭＩＴ Ｐｒｅｓｓ，１９６６． ［ＨＵＡ２０１６］Ｈｕａｗｅｉ ＨｉＳｉｌｉｃｏｎ，’’Ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅ ｄｅｓｉｇｎ，’’Ｒｅｎｏ，ＵＳＡ，Ｒ１－１６１１２５４，Ｎｏｖ．２０１６． ［ＩＭＡ１９７７］Ｈ．Ｉｍａｉ ａｎｄ Ｓ．Ｈｉｒａｋａｗａ，’’Ａ ｎｅｗ ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ ｃｏｄｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｉｎｇ ｅｒｒｏｒ－ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇ ｃｏｄｅｓ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．２３，ｎｏ．３，ｐｐ．３７１－３７７，Ｍａｙ １９７７． ［ＪＡＣ１９６７］Ｉ．Ｊａｃｏｂｓ ａｎｄ Ｅ．Ｂｅｒｌｅｋａｍｐ，’’Ａ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ ｄｅｃｏｄｉｎｇ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．１３，ｎｏ．２，ｐｐ．１６７－１７４，Ａｐｒ．１９６７． ［ＪＥＬ１９６９］Ｆ．Ｊｅｌｉｎｅｋ，’’Ｆａｓｔ Ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ Ｕｓｉｎｇ ａ Ｓｔａｃｋ，’’ＩＢＭ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，ｖｏｌ．１３，ｎｏ．６，ｐｐ．６７５－６８５，Ｎｏｖ．１９６９． ［ＪＥＯ２０１９］Ｍ．－Ｏ．Ｊｅｏｎｇ ａｎｄ Ｓ．－Ｎ．Ｈｏｎｇ，’’ＳＣ－Ｆａｎｏ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，’’ａｒＸｉｖ：１９０１．０６７９１［ｃｓ，ｅｅｓｓ，ｍａｔｈ］，Ｊａｎ．２０１９． ［ＭＡＨ２０１４］Ｈ．Ｍａｈｄａｖｉｆａｒ，Ｍ．Ｅｌ－Ｋｈａｍｙ，Ｊ．Ｌｅｅ，ａｎｄ Ｉ．Ｋａｎｇ，’’Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ Ｌｉｍｉｔｓ ａｎｄ Ｐｒａｃｔｉｃａｌ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｌｅａｖｅｄ Ｒｅｅｄ－Ｓｏｌｏｍｏｎ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｅｄ Ｃｏｄｅｓ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，ｖｏｌ．６２，ｎｏ．５，ｐｐ．１４０６－１４１７，Ｍａｙ ２０１４． ［ＮＩＵ２０１２］Ｋ．Ｎｉｕ ａｎｄ Ｋ．Ｃｈｅｎ，’’Ｓｔａｃｋ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ，’’Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，ｖｏｌ．４８，ｎｏ．１２，ｐｐ．６９５－６９７，２０１２． ［ＰＥＤ２０１１］Ｒ．Ｐｅｄａｒｓａｎｉ，Ｓ．Ｈ．Ｈａｓｓａｎｉ，Ｉ．Ｔａｌ，ａｎｄ Ｅ．Ｔｅｌａｔａｒ，’’Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ，’’ｉｎ ２０１１ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ（ＩＳＩＴ），２０１１，ｐｐ．１１－１５． ［ＳＥＩ２０１０］Ｍ．Ｓｅｉｄｌ ａｎｄ Ｊ．Ｂ．Ｈｕｂｅｒ，’’Ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎ ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ ｂｙ ｕｓａｇｅ ｏｆ ｉｎｎｅｒ ｂｌｏｃｋ ｃｏｄｅｓ，’’ｉｎ ２０１０ ６ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｔｕｒｂｏ Ｃｏｄｅｓ ａｎｄ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ（ＩＳＴＣ），２０１０，ｐｐ．１０３－１０６． ［ＳＥＩ２０１３］Ｍ．Ｓｅｉｄｌ ａｎｄ Ｊ．Ｂ．Ｈｕｂｅｒ，’’Ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｌｅｎｇｔｈ－ａｎｄ ｒａｔｅ－ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌａｒ ａｎｄ ｒｅｐｅｔｉｔｉｏｎ ｃｏｄｅｓ，’’ａｒＸｉｖ：１３１２．２７８５［ｃｓ，ｍａｔｈ］，Ｄｅｃ．２０１３． ［ＴＡＬ２０１３］Ｉ．Ｔａｌ ａｎｄ Ａ．Ｖａｒｄｙ，’’Ｈｏｗ ｔｏ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．５９，ｎｏ．１０，ｐｐ．６５６２－６５８２，Ｏｃｔ．２０１３． ［ＴＡＬ２０１５］Ｉ．Ｔａｌ ａｎｄ Ａ．Ｖａｒｄｙ，’’Ｌｉｓｔ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．６１，ｎｏ．５，ｐｐ．２２１３－２２２６，Ｍａｙ ２０１５． ［ＴＲＩ２０１１］Ｐ．Ｔｒｉｆｏｎｏｖ ａｎｄ Ｐ．Ｓｅｍｅｎｏｖ，’’Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｅｄ ｃｏｄｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｏｌａｒ ｃｏｄｅｓ，’’ｉｎ ２０１１ ８ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ（ＩＳＷＣＳ），２０１１，ｐｐ．４４２－４４６． ［ＴＲＩ２０１３］Ｐ．Ｔｒｉｆｏｎｏｖ ａｎｄ Ｖ．Ｍｉｌｏｓｌａｖｓｋａｙａ，’’Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｆｒｏｚｅｎ Ｓｙｍｂｏｌｓ ａｎｄ Ｔｈｅｉｒ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｂｙ Ｄｉｒｅｃｔｅｄ Ｓｅａｒｃｈ，’’ａｒＸｉｖ ｅ－ｐｒｉｎｔ １３０７．２３５２，Ｊｕｌ．２０１３． ［ＴＲＩ２０１７］Ｐ．Ｔｒｉｆｏｎｏｖ，Ｖ．Ｍｉｌｏｓｌａｖｓｋａｙａ，ａｎｄ Ｒ．Ｍｏｒｏｚｏｖ，’’Ｆａｓｔ Ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，’’ａｒＸｉｖ：１７０３．０６５９２［ｃｓ，ｍａｔｈ］，Ｍａｒ．２０１７． ［ＷＡＣ１９９９］Ｕ．Ｗａｃｈｓｍａｎｎ，Ｒ．Ｆ．Ｈ．Ｆｉｓｃｈｅｒ，ａｎｄ Ｊ．Ｂ．Ｈｕｂｅｒ，’’Ｍｕｌｔｉｌｅｖｅｌ ｃｏｄｅｓ：ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｄｅｓｉｇｎ ｒｕｌｅｓ，’’ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ｖｏｌ．４５，ｎｏ．５，ｐｐ．１３６１－１３９１，Ｊｕｌ．１９９９． ［ＷＡＮ２０１５］Ｙ．Ｗａｎｇ，Ｋ．Ｒ．Ｎａｒａｙａｎａｎ，ａｎｄ Ｙ．Ｃ．Ｈｕａｎｇ，’’Ｉｎｔｅｒｌｅａｖｅｄ Ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ＢＣＨ ａｎｄ Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌ Ｃｏｄｅｓ，’’ＩＥＥＥ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｎ Ｓｅｌｅｃｔｅｄ Ａｒｅａｓ ｉｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，ｖｏｌ．ＰＰ，ｎｏ．９９，ｐｐ．１－１，２０１５． ［ＷＡＮ２０１６］Ｔ．Ｗａｎｇ，Ｄ．Ｑｕ，ａｎｄ Ｔ．Ｊｉａｎｇ，’’Ｐａｒｉｔｙ－Ｃｈｅｃｋ－Ｃｏｎｃａｔｅｎａｔｅｄ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｅｓ，’’ＩＥＥＥ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，ｖｏｌ．２０，ｎｏ．１２，ｐｐ．２３４２－２３４５，Ｄｅｃ．２０１６． ［ＷＩＮ１９８４］Ｐ．Ｈ．Ｗｉｎｓｔｏｎ，Ａｒｔｉｆｉｃａｌ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，２ｎｄ ｅｄ．Ａｄｄｉｓｏｎ－Ｗｅｓｌｅｙ，Ｒｅａｄｉｎｇ ＭＡ，１９８４． ［ＷＯＺ１９６１］Ｊ．Ｍ．Ｗｏｚｅｎｃｒａｆｔ ａｎｄ Ｂ．Ｒｅｉｆｆｅｎ，Ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ．ＭＩＴ Ｐｒｅｓｓ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，Ｍａｓｓ．，１９６１． ［ＺＨＡ２０１８］Ｈ．Ｚｈａｎｇ ｅｔ ａｌ．，’’Ｐａｒｉｔｙ－Ｃｈｅｃｋ Ｐｏｌａｒ Ｃｏｄｉｎｇ ｆｏｒ ５Ｇ ａｎｄ Ｂｅｙｏｎｄ，’’ｉｎ ２０１８ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ（ＩＣＣ），２０１８，ｐｐ．１－７． ［ＺＩＧ１９６６］Ｚｉｇａｎｇｉｒｏｖ，Ｋ．Ｓｈ．，’’Ｓｏｍｅ Ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ Ｄｅｃｏｄｉｎｇ Ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ，’’Ｐｒｏｂｌｅｍｓ Ｉｎｆｏｒｍ．Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ，ｖｏｌ．２，ｎｏ．４，ｐｐ．１－１０，１９６６． 上記の刊行物は、参照により本明細書に組み込まれる。

本原理の新規性及び有用性に関するさらなる証拠は、本原理の詳細な説明の後に以下に提供される。シミュレーション研究は、本原理に従って構築された符号が、極符号化に関する従来技術の体系のＦＥＲ性能を大幅に改善することができることを示す。

最後の点として、畳み込み極符号化という用語は、本原理とは無関係の意味で文献で使用されていることを指摘する必要がある。［ＦＥＲ２０１７］では、標準極符号のカーネルを新しいタイプのカーネルに置き換えることによって新しいタイプの極符号が定義され、結果として得られる符号は畳み込み極符号と呼ばれた。本原理は、通常の極符号化カーネルを使用する。

ソースデータブロックｄの信頼できる転送のための通信システムで使用するためのエンコーダ装置は、データコンテナブロックｖを受信し、外部変換行列Ｇ_ｏｕｔに対してｕ＝ｖＧ_ｏｕｔである、外部変換ブロックｕを計算するように構成された外部変換を含む。エンコーダ装置はまた、外部変換ブロックｕを受信し、内部変換行列Ｇ_ｉｎに対してｘ＝ｕＧ_ｉｎである、送信された符号ブロックｘを計算するように構成された内部変換を含む。データコンテナブロックｖは、ソースデータブロックｄ及び凍結データブロックａから取得される。凍結データブロックａは、所定のシンボルブロックである。外部変換行列Ｇ_ｏｕｔ及び内部変換行列Ｇ_ｉｎは、Ｇ＝Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎである、変換行列Ｇの三角分解を形成する。変換行列Ｇは、非三角形の行列である。外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、任意に、厳密に上三角行列である。内部変換行列Ｇ_ｉｎは、任意に、厳密に下三角行列である。外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、任意に、因果インパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_ｍ）によって定義されるテプリッツ行列であり、ｍ＞０、ｃ_０≠０、及びｃ_ｍ≠０である。内部変換行列Ｇ_ｉｎは、任意に、クロネッカー積

の形態を有し、式中、Ｌ_ｉは、各ｉ＝１，・・・，ｎの下三角行列であり、式中、Ｌ_ｉは、各ｉ＝１，・・・，ｎについて

に等しくてもよい。データコンテナブロックは、任意に、データインデックス集合Ａによって示される座標のサブセット内でソースデータブロックｄを透過的に搬送し、データインデックス集合Ａに相補的な座標内の凍結データブロックａを搬送する。データインデックス集合Ａは、スコア関数に従って座標をランク付けする基準によって選択され得る。スコア関数は、ハミングスコア関数であってもよい。

デコーダ装置は、受信された符号ブロックを復号し、受信された符号ブロックは、送信された符号ブロックのノイズの多いバージョンを表し、送信された符号ブロックは、データコンテナブロックｖを受信して、外部変換行列Ｇ_ｏｕｔに対してｕ＝ｖＧ_ｏｕｔである、外部変換ブロックｕを計算するように構成された外部変換及び、外部変換ブロックｕを受信して、内部変換行列Ｇ_ｉｎに対してｘ＝ｕＧ_ｉｎである、送信された符号ブロックｘを計算するように構成された内部変換を含む所定のエンコーダによってソースデータブロックを符号化することによって得られ、データコンテナブロックｖは、ソースデータブロックｄ及び凍結データブロックａから取得され、凍結データブロックａは、所定のシンボルブロックであり、外部変換行列Ｇ_ｏｕｔ及び内部変換行列Ｇ_ｉｎは、Ｇ＝Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎである、変換行列Ｇの三角分解を形成し、変換行列Ｇは非三角行列である。デコーダ装置は、内部デコーダと外部デコーダとを含む。内部デコーダは、受信された符号ブロックを受信し、外部デコーダからノードメトリック要求を受信し、計算されたノードメトリックを外部デコーダに送信するように構成される。外部デコーダは、ノードメトリック要求を内部デコーダに送信し、計算されたノードメトリックを内部デコーダから受信し、復号されたデータコンテナブロックを計算するように構成される。デコーダ装置は、復号されたデータコンテナブロックから復号されたソースデータブロックを抽出するようにさらに構成される。内部デコーダは、任意に、極符号の逐次除去デコーダに従ってノードメトリック値を生成する。外部デコーダは、任意に、ノードメトリックを使用するツリー探索アルゴリズムを使用して、復号されたデータコンテナブロックを計算する。ツリー探索アルゴリズムは、深さ優先ツリー探索アルゴリズムであってもよい。ノードメトリックは、ファノメトリックであってもよい。

本開示の実施形態による、誤り訂正符号化を採用する通信システムの機能ブロック図である。 本開示の実施形態による三角分解符号化を採用する通信システムの機能ブロック図である。 図２のシステムと共に使用するための例示的なハードウェアデータインサータを実装するための回路である。 図２のシステムと共に使用するためのソフトウェア内の例示的なデータインサータを実装するための擬似符号である。 本開示の実施形態による、誤り訂正符号化を採用する通信システムで使用するための例示的な外部変換である。 本開示の実施形態による、誤り訂正符号化を採用する通信システムで使用するための例示的な極変換回路を示す図である。 本開示の実施形態による、誤り訂正符号化を採用する通信システムで使用するためのスタックデコーダのフローチャートである。 極符号化における従来技術に対する本原理の性能上の利点を実証するシミュレーション結果を示すグラフである。 本原理及び従来技術についての情報及び速度割当てプロファイルを比較するグラフである。 本開示による、誤り訂正符号化を実装し得る例示的な無線ネットワークを示す。 本開示に従って誤り訂正符号化を実装し得る例示的なユーザ機器ネットワークを示す。 本開示による、誤り訂正符号化を実装し得る例示的な拡張ＮｏｄｅＢ（ｅＮＢ）ネットワークを示す。

以下で説明される図１～図１０Ｂ、及びこの特許文書において本開示の原理を説明するために使用される様々な実施形態は、例示のみを目的としており、本開示の範囲を限定すると決して解釈されるべきではない。当業者は、本開示の原理が、任意の適切に配置された通信システムにおいて実装され得ることを理解するであろう。

表記任意の集合Ａ及び整数ｍ≧１について、Ａ^ｍは、Ａ上のｍタプルの集合を示す。ａ＝（ａ_１，ａ_２，・・・，ａ_ｍ）∈Ａ^ｍ及びｉ，ｊが１≦ｉ≦ｊ≦ｍを満たす整数である場合、ｉからｊまでの座標からなるａの部分（ａ_ｉ，ａ_ｉ＋１，・・・，ａ_ｊ）の簡略表記としてａ_ｉ ^ｊという表記を使用することになる。ｊ＜ｉの場合、ａ_ｉ ^ｊをヌルと解釈する。ａ＝（ａ_１，ａ_２，・・・，ａ_ｍ）∈Ａ^ｍとａの指数（座標）の任意の集合Ｓ⊂｛１，２，・・・，ｍ｝と仮定すると、表記ａ_ｓを使用してＳのインデックスを有する要素からなるタプルａ_ｓ＝（ａ_ｉ：ｉ∈Ｓ）を表す。表記ａ_Ｓｃ＝（ａ_ｉ：ｉ∈Ｓ^ｃ）は、Ｓ^ｃのインデックスを有するａの要素からなるベクトルを表し、Ｓ^ｃは、集合Ｓと相補的なａのインデックスの集合を表す。例えば、ｍ＝８及びＳ＝｛１，２，３，５，８｝とする。次に、ａ_ｓ＝（ａ_１，ａ_２，ａ_３，ａ_５，ａ_８）及びａ_Ｓｃ＝（ａ_４，ａ_６，ａ_７）である。（Ｓの要素が列挙されている順序に依存しないようにａ_ｓを定義する。例えば、Ｓ＝｛２，３，５，８｝に対してａ_ｓ＝（ａ_１，ａ_２，ａ_３，ａ_５，ａ_８）である。）

ｑを素数累乗とする任意の有限体Ｆ_ｑ＝｛０，１，・・・，ｑ－１｝上の行列を考える。表記Ｆ_ｑ ^ｍ×ｎは、Ｆ_ｑからの要素を有するすべてのｍ行ｎ列の行列の集合を表す。したがって、Ａ∈Ｆ_ｑ ^ｍ×ｎは、Ａがｍ行ｎ列の行列であることを示す。Ａ∈Ｆ_ｑ ^ｍ×ｎの要素を参照する必要があるとき、１≦ｉ≦ｍ、１≦ｊ≦ｎの場合、Ａのｉ行ｊ列の要素を表すために表記ａ_ｉ，ｊを使用する。行列Ｐ∈Ｆ_ｑ ^ｎ×ｎは、Ｐが各行及び各列に正確に１つの１を有する０－１行列である場合、置換行列と呼ばれる。行列Ａ∈Ｆ_ｑ ^ｎ×ｎは、すべての１≦ｉ＜ｊ≦ｎに対してａ_ｉ，ｊ＝０である場合、下三角形と呼ばれる。行列Ａ∈Ｆ_ｑ ^ｎ×ｎは、すべての１≦ｊ＜ｉ≦ｎに対してａ_ｉ，ｊ＝０である場合、上三角形と呼ばれる。すべてのｉ≠ｊに対してａ_ｉ，ｊ＝０である場合、行列Ａは対角線と呼ばれる。対角線上に１を有する対角行列は単位行列と呼ばれ、Ｉで示される。行列Ａ∈Ｆ_ｑ ^ｎ×ｎは、ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉとなるような行列Ｂ∈Ｆ_ｑ ^ｎ×ｎ（Ａの逆数と呼ばれる）が存在する場合、非特異的又は可逆的と呼ばれる。存在する場合、Ａの逆数はＡ^－１で示される。行列Ａ∈Ｆ_ｑ ^ｎ×ｎは、Ａが上三角行列であり、ｊ≧ｉに対してａ_ｉ，ｊ＝ｃ_ｊ－ｉの場合、すなわち、Ａが以下の形態を有する場合、インパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_ｎ－１）∈Ｆ_ｑ ^ｎを有する上三角テプリッツと呼ばれる。

２つの行列Ａ∈Ｆ_ｑ ^ｍ×ｎ及びＢ∈Ｆ_ｑ ^k×lのクロネッカー積を以下行列として定義する。

行列Ａのｎ番目のクロネッカー積

は、帰納的に

及びｎ≧２に対して

と定義される。

最初に図１を参照すると、本原理の実施形態を使用し得る通信システム１００が示されている。通信システム１００は、ソースからソースデータブロック（ＳＤＢ）ｄを受信し、それを復号されたソースデータブロック（ＤＳＤＢ）ｄ＾として宛先に配信する。（ソース及び宛先は、図には示されておらず、本原理の範囲外である。）フレームエラーは、ＤＳＤＢ ｄ＾がＳＤＢ ｄと正確に一致しない場合、すなわちｄ＾≠ｄの場合に発生すると言われる。通信システム１００の性能基準は、決定誤りの確率Ｐｒ（ｄ＾≠ｄ）として定義されるフレーム誤り率（ＦＥＲ）である。一般に、チャネル帯域幅、機器コスト、システム待ち時間、データスループットなどの制約内で実行可能な限り小さいＦＥＲを有する通信システム１００を有することが好ましい。通信システム１００は、送信機側に配置されたエンコーダ１１０と、送信機側を受信機側に接続するチャネル１２０と、受信機側のデコーダ１３０とを備える。通信システム１００のエンコーダ１１０は、ＳＤＢ ｄを受信し、送信された符号ブロック（ＴＣＢ）ｘに符号化する。チャネル１２０は、チャネル入力及びチャネル出力を備える。エンコーダ１１０は、チャネル入力にＴＣＢ ｘを付与する。チャネルは、チャネル入力に付与されたＴＣＢ ｘを受信し、それに応答してチャネル出力において受信された符号ブロック（ＲＣＢ）ｙを生成する。デコーダ１３０は、チャネル出力からＲＣＢ ｙを受け取り、ＲＣＢ ｙを処理してＤＳＤＢ ｄ＾を生成する。

チャネル１２０が、通信システムの動作に不可欠な多くの機能ブロック（変調器、デジタル－アナログ変換器、電力増幅器、送信アンテナ及び受信アンテナ、信号取得及び同期回路、アナログ－デジタル変換器、復調器など）を組み込んでいることは、当業者には明らかであろう。本原理は、主にエンコーダ１１０及びデコーダ１３０の設計に関する。

ＳＤＢをベクトルｄ＝（ｄ_１，ｄ_２，・・・，ｄ_Ｋ）として表し、Ｋはソースブロック長である。同様に、ＤＳＤＢをベクトルｄ＾＝（ｄ＾_１，ｄ＾_２，・・・，ｄ＾_Ｋ）として示す。通常、ＳＤＢ ｄとＤＳＤＢ ｄ＾の両方は、共通のアルファベット上のベクトルになる。ＴＣＢをベクトルｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，・・・，ｘ_Ｎ）として表し、Ｎは符号ブロック長である。エンコーダ１１０が、ＳＤＢ ｄをＴＣＢ ｘに符号化した後、ＴＣＢ ｘはチャネル１２０のＮ回の連続使用によってチャネル１２０を介して伝送され、チャネルは特定の確率でＲＣＢ ｙ＝（ｙ_１，ｙ_２，・・・，ｙ_Ｎ）を生成する。

通信システム１００を分析する目的で、確率的設定を使用し、システム内の様々な信号をランダム信号のサンプルとしてモデル化する。具体的には、ＳＤＢ ｄ、ＴＣＢ ｘ、ＲＣＢ ｙ、及びＤＳＤＢ ｄ＾をそれぞれＤ、Ｘ、Ｙ、及びＤ＾のサンプルと見なし、標準的な表記を使用してそれらの結合確率及び条件付き確率を示す。例えば、Ｐ_Ｄ，Ｙ（ｄ，ｙ）は、Ｄ＝ｄ及びＹ＝ｙである確率を示し、Ｐ_Ｙ｜Ｄ（ｙ｜ｄ）は、Ｄ＝ｄである場合のＹ＝ｙである条件付き確率を示す。別段の指定がない限り、Ｐ_Ｄ（ｄ）は、ＳＤＢ ｄの可能な値の範囲にわたって均一な分布であると仮定する。

確率的設定を使用して、通信システム１００のＦＥＲ Ｐｒ（ｄ＾≠ｄ）は、式Σ_{（ｄ，ｄ＾）：ｄ＾≠ｄ}Ｐ_Ｄ，Ｄ＾（ｄ，ｄ＾）を使用して計算される。エンコーダ１１０及びチャネル１２０が与えられる場合、ＦＥＲはデコーダ１３０に依存する。重要なタイプのデコーダは最尤（ＭＬ）デコーダであり、これはＤＳＤＢ ｄ＾をＰ_Ｙ｜Ｄ（ｙ｜ｄ’）を最大化する値ｄ’に設定する。Ｐ_Ｄ（ｄ）が均一であると仮定すると、ＭＬデコーダはＦＥＲを最小化する。一般に、ＭＬデコーダは実装するには複雑すぎる。それらは主に、他のより実用的なデコーダによって達成可能な最良の性能を評価するためのベンチマークとして機能する。

重要なチャネルモデルは、離散無記憶チャネル（ＤＭＣ）モデルである。ＤＭＣは、その入力アルファベットＸ、出力アルファベットＹ、及びｘ∈Ｘ、ｙ∈Ｙに対する遷移確率Ｗ（ｙ｜ｘ）によって特徴付けられる。遷移確率Ｗ（ｙ｜ｘ）は、ｘ∈Ｘがチャネル入力で送信されると仮定して、ｙ∈Ｙがチャネル出力で受信される条件付き確率である。ＤＭＣは、入力ブロックｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，・・・，ｘ_Ｎ）∈Ｘ^Ｎが送られると仮定して出力ブロックｙ＝（ｙ_１，ｙ_２，・・・，ｙ_Ｎ）∈Ｙ^Ｎを受信する条件付き確率が積形式Ｗ^Ｎ（ｙ｜ｘ）＝Π_ｉ＝１ ^ＮＷ（ｙ_ｉ｜ｘ_ｉ）により与えられるという意味で無記憶である。以下では、Ｘ＝Ｆ_ｑのＤＭＣモデルに注目することを制限し、ｑ＝２が最も重要な事例である。なお、チャネル１２０のＤＭＣチャネルモデルは、通信システム１００の確率モデルの一部を、Ｐ_Ｙ｜Ｘ（ｙ｜ｘ）＝Ｗ^Ｎ（ｙ｜ｘ）の式で定義する。

用語符号を使用して、ＳＢＤ ｄからＴＣＢ ｘへのマッピングｄ→ｘを参照する。エンコーダ１１０及びデコーダ１３０は、特定の符号を符号化及び復号するように設計されている。従来技術には、畳み込み符号や極符号など、多くの種類の符号がある。本開示は、三角分解（ＴＦ）符号と呼ばれる符号の新しいファミリを導入する。ＴＦ符号は、ここで定義する符号のより広いファミリのサブクラスとして導入される。

変換符号。有限体Ｆ_ｑ上の変換符号は、変換行列Ｇ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎ、データインデックス集合Ａ、及び凍結データブロック（ＦＤＢ）ａ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ－Ｋによって特徴付けられる符号であり、式中Ｎは符号ブロック長、Ｋはソースブロック長、データインデックス集合Ａはカーディナリティ｜Ａ｜＝Ｋを有する｛１，２，・・・，Ｎ｝のサブセットであり、ＦＤＢａは固定だが任意のベクトルである。以下のＡ^ｃを通して、｛１，２，・・・，Ｎ｝のデータインデックス集合Ａの補数を示す。パラメータ（Ｇ、Ａ、ａ）を有する変換符号のためのエンコーダは、ＳＤＢ ｄ∈Ｆ_ｑ ^Ｋをｘ＝ｖＧである、ＴＣＢ ｘ∈Ｆ_ｑ ^Ｎにマッピングし、ｖ∈Ｆ_ｑ ^Ｎは、データ部分ｖ_Ａ＝ｄ及び凍結部分ｖ_Ａｃ＝ａを含むデータコンテナブロック（ＤＣＢ）である。変換符号の復号タスクは、ＲＣＢ ｙ及びＦＤＢ ａの知識に基づいてＳＤＢ ｄを推定することである。

変換符号の復号は、２つの工程からなると考えることができる。第１の工程は、ＲＣＢ ｙを処理することによってＤＤＣＢ ｖ＾を作ることである。第２の工程は、ｄ＾を設定することによってＤＳＤＢ ｄ＾＝ｖ＾_Ａを得ることである。（これらの２つの工程は、時間を節約し、機器の複雑さを低減するために、デコーダを実装する際に同時に実行されてもよい。）変換符号のためのＭＬデコーダは、制約ｖ_Ａｃ＝ａを条件としてｖ∈Ｆ_ｑ ^ＮにわたってＰ_Ｙ｜Ｖ（ｙ｜ｖ）を最大化することによってＤＤＣＢ ｖ＾を計算することによって上記手順の第１の工程を実行することができる。

極符号との関係。極符号が変換符号のサブクラスであることは、極符号化の当業者には明らかであろう。具体的には、Ｆ_２上の標準極符号は、パラメータ（Ｇ、Ａ、ａ）を有する変換符号であり、ここで、

であり、Ａは相互情報などの情報理論基準に関して選択され、ａは通常、全ゼロベクトル０に設定される。

線形符号との関係。ＦＤＢ ａが全ゼロベクトルａ＝０であるパラメータ（Ｇ、Ａ、ａ）を有する変換符号は、従来技術における非常に広範で周知のクラスの符号である線形符号に減少する。線形符号の場合、ＳＤＢ ｄ及びＴＣＢ ｘは、生成行列Ｇ’∈Ｆ_ｑ ^Ｋ×Ｎのｘ＝ｄＧ’によって関連付けられる。変換符号（Ｇ，Ａ，ａ＝０）に対応する線形符号の生成行列Ｇ’は、Ｇ’＝Ｇ_Ａによって与えられ、Ｇ_Ａ∈Ｆ_ｑ ^Ｋ×Ｎは、各ｉ∈Ａ^ｃについてＧのｉ行目を削除することによってＧから得られる行列として定義される。一般に、変換符号（Ｇ、Ａ、ａ）によって定義されるエンコーダマッピングは、Ｇ’＝Ｇ_Ａ及びｂ＝ａＧ_Ａｃであるｘ＝ｄＧ’＋ｂの形式を有する。逆に、生成行列Ｇ’を有する線形符号が与えられると、Ｇ_Ａ＝Ｇ’となるように任意の行列としてＧを選択することによって等価変換符号（Ｇ，Ａ，ａ＝０）を構築することができる。

複雑さの考慮。等価線形符号の符号化を実装するために変換符号のためにエンコーダを使用することは、符号化の複雑さを大幅に低減することができることに留意されたい。所与の線形符号に対する（ベクトル行列積としての）マッピングｘ＝ｄＧ’の直接の実装は、ｖ_Ａ＝ｄ、ｖ_Ａｃ＝０、及びＧ_Ａ＝Ｇ’で等価変換ｘ＝ｖＧを計算するよりも複雑であり得る。Ｇ’は、ｘ＝ｄＧ’を計算する際に利用することができる構造を欠いていてもよいが、パラメータＡ及びＧ_Ａｃの選択において利用可能な追加の自由度を使用することによって、変換行列Ｇに計算上有用な構造を構築することが可能であり得る。例えば、

を有する標準的な極符号の場合、変換ｘ＝ｖＧを計算する複雑度は０（ＮｌｏｇＮ）であるが、Ｇにおける構造を利用しないｘ＝ｄＧ_Ａの計算は０（ＮＫ）工程を要し、これは０（ＮｌｏｇＮ）よりも大幅に高くなり得る。本原理は、従来技術における同等の次元の符号を超える性能上の利点を提供しながら、変換行列Ｇ内の特別に設計された構造を利用することによって低複雑度で符号化及び復号することができる変換コード（Ｇ、Ａ、ａ）を見つけることを目的とする。本原理は、これらの目的を達成するために行列の三角分解を利用する。

三角分解。行列の三角分解は、任意の分野にわたる線形代数における周知のトピックである。ここでは、変換符号の生成行列Ｇの三角分解に関する。そのような分解に関するいくつかの事実を証明なしで述べる。（証明については、Ｒ．Ａ．Ｈｏｒｎ及びＣ．Ｒ．Ｊｏｈｎｓｏｎによる書籍「Ｍａｔｒｉｘ Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９８５年」のセクション３．５を参照されたい。）

生成行列Ｇ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎ（特異又は非特異）を有する変換符号が与えられると、Ｇ＝ＰＵＬＱとなるような上三角行列Ｕ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎ、下三角行列Ｌ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎ、及び置換行列Ｐ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎ及びＱ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎが存在する。Ｇが非特異的である場合、Ｇ＝ＵＤＬ形式の一意の因数分解が存在し、Ｕ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎは対角線上に１を有する上三角行列であり、Ｌ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎは対角線上に１を有する下三角行列であり、Ｄ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎは非ゼロ対角エントリを有する対角行列である。具体的には、ＧがＦ_２ ^Ｎ×Ｎ（バイナリの事例）に属し、非特異的である場合、固有の因数分解Ｇ＝ＵＬが存在し、Ｕ∈Ｆ_２ ^Ｎ×Ｎは（対角線上に１を有する）上三角行列であり、Ｌ∈Ｆ_２ ^Ｎ×Ｎは（対角線上に１を有する）下三角行列である。

三角分解は、線形方程式の系を解くための効率的な方法として線形代数において使用される。本原理は、三角分解を誤り訂正符号化の領域に運ぶ。以下では、パラメータ（Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）を有する三角分解（ＴＦ）符号という用語を、Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎ、及びＧが形式Ｇ＝Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎの三角分解によって関連付けられる場合の変換コード（Ｇ，Ａ，ａ）を指すより具体的な方法として使用する。変換符号（Ｇ，Ａ，ａ）の変換行列の各三角分解Ｇ＝Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎは、対応する三角分解符号を定義する。三角分解は、通信システムにおいて符号化又は復号関数を実装するためのテンプレートとして主に着目される。本原理は、結果として得られる変換符号が十分に信頼できるデータ伝送を提供すると同時に、Ｇ_ｏｕｔ及びＧ_ｉｎに設計された特別な構造を利用する低複雑度の符号化及び復号手順を有するように、三角分解Ｇ＝Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎを有する変換行列Ｇを設計するという目的を有する。それらの好ましい実施形態における本原理は、これがどのように行われ得るかを示す。

図２を参照すると、ＴＦ符号化システム２００を示すブロック図が示されており、ＴＦ符号化システム２００は、通信システム１００のＴＦ符号（Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎ、Ａ、ａ）の符号化及び復号への適合であり、Ｇ_ｏｕｔは外部変換行列であり、Ｇ_ｉｎは内部変換行列であり、Ａはデータ選択器集合であり、ａは固定データブロック（ＦＤＢ）である。ＴＦ符号化システム２００は、ＴＦエンコーダ２１０と、チャネル１２０（図１と同じ）と、ＴＦデコーダ２３０とを備える。ＴＦエンコーダ２１０は、データインサータ２１１、外部変換２１２、及び内部変換２１３を備え、データインサータ２１１は、ＳＤＢ ｄを受信し、ｖ_Ａ＝ｄ及びｖ_Ａｃ＝ａとなるようにデータコンテナブロック（ＤＣＢ）ｖを生成する。外部変換２１２は、ＤＣＢ ｖを受信し、ｕ＝ｖＧ_ｏｕｔである外部変換ブロック（ＯＴＢ）ｕを生成する。内部変換２１３は、ＯＴＢ ｕを受信し、ｘ＝ｕＧ_ｉｎであるＴＣＢ ｘを生成する。ＴＦエンコーダ２１０は、ＴＣＢ ｘをチャネル１２０に送る。チャネル１２０は、ＴＣＢ ｘを受信し、これに応答して、チャネル出力において受信された符号ブロック（ＲＣＢ）ｙを生成する。ＴＦデコーダ２３０は、内部デコーダ２３１と、外部デコーダ２３２と、データ抽出器２３３とを備える。ＴＦデコーダ２３０は、チャネル出力からＲＣＢ ｙを受信し、それを内部デコーダ２３１に渡す。内部デコーダ２３１と外部デコーダ２３２は、メッセージインターフェースを介してメッセージを交換する。メッセージインターフェースを介して外部デコーダ２３２によって送信された各ノードメトリック要求に応答して、内部デコーダ２３１は、ノードメトリックを計算し、ノードメトリックをメッセージインターフェースを介して外部デコーダ２３２に送信する。各ノードメトリックは、複数の変数の関数であり、複数の変数は、ノード識別子及びＲＣＢ ｙを含む。外部デコーダ２３２は、内部デコーダ２３１によって生成されたノードメトリックを受信し、復号されたデータコンテナブロック（ＤＤＣＢ）ｖ＾を計算し、ＤＤＣＢ ｖ＾をデータ抽出器２３３に渡す。データ抽出器２３３は、ＤＤＣＢ ｖ＾を受信し、ｄ＾＝ｖ＾_Ａを設定することによってＤＳＤＢ ｄ＾を抽出する。よく設計されたＴＦ符号化システムでは、ＤＳＤＢ ｄ＾は、高い確率でＳＤＢ ｄの正確なレプリカである。

ＴＦ符号化システム２００の重要な態様は、内部デコーダ２３１及び外部デコーダ２３２を互いに独立して実装することが可能であるという意味で、そのモジュール構造である。より正確には、内部デコーダ２３２は、外部変換Ｇ_ｏｕｔとは無関係に実装されてもよく、外部デコーダ２３２は、内部変換Ｇ_ｉｎとは無関係に実装されてもよい。ＴＦデコーダ２３０の実装においてこのようなモジュール性を有することは、ＴＦデコーダ２３０のすべての部分を再設計する必要なく、内部変換又は外部変換を変更することができるため、有利である。以下では、ＴＦ符号化システム２００の各部分についてより詳細に説明し、各部分の例示的な実施形態を提示する。

図３は、例示的なデータインサータ３００を示しており、例示的なデータインサータ３００は、特定の事例Ｎ＝８、Ａ＝｛４，６，７，８｝、及びａ＝（ａ_１ａ_２，ａ_３，ａ_４）に対してデータインサータ２１１を実装するデジタル論理回路である。したがって、例示的なデータインサータ３００は、ｖ_１＝ａ_１，ｖ_２＝ａ_２，ｖ_３＝ａ_３，ｖ_４＝ｄ_１，ｖ_５＝ａ_４，ｖ_６＝ｄ_２，ｖ_７＝ｄ_３，ｖ_８＝ｄ_４となるようにＳＤＢ ｄ＝（ｄ_１，ｄ_２，ｄ_３，ｄ_４）からＤＣＢ ｖ＝（ｖ_１，ｖ_２，・・・，ｖ_８）を生成する。例示的なデータインサータ３００は、ＳＤＢ ｄを受信して記憶するためのＳＤＢレジスタ３０１と、ＦＤＢ ａを記憶するためのＦＤＢレジスタ３０２と、ＤＣＢ ｖを形成して記憶するためのＤＣＢレジスタ３０３とを備える。例示的なデータインサータ３００の動作は、３つの工程を含む。第１の工程では、ＳＤＢ ｄは、クロック（図示せず）の制御下でＳＤＢレジスタ３０１にシリアルにロードされる。第２の工程では、ＳＤＢ ｄ及びＦＤＢ ａは、それらのそれぞれのレジスタ３０１及び３０２からＤＣＢレジスタ３０３にパラレルにロードされる。第３の工程では、ＤＣＢ ｖがＤＣＢレジスタ３０３からシリアルに移動される。デジタル回路又はプログラム記憶式コンピュータを使用して、所与のパラメータ対（Ｎ、Ａ、ａ）に対応するデータインサータ関数の他の多くの代替実施態様があることは、当業者には明らかであろう。例えば、レイテンシが重要であるシリアル演算の代わりに、並列論理演算を使用することができる。

データインサータ２１１は、汎用プロセッサ上にも実装することができ、これは、データインサータ２１１をパラメータ（Ｎ、Ａ、ａ）の異なる設定に再構成可能にすることが望ましい場合に、より良い選択肢となり得る。図４を参照すると、汎用プログラム記憶式コンピュータを使用してデータインサータ２１１を実装するための例示的なデータインサータアルゴリズム４００が示されており、アルゴリズム４００は、擬似符号で書かれた一連の命令であり、任意の所与のパラメータセット（Ｎ、Ａ、ａ）で動作するように再構成可能であり、Ｎは符号ブロック長であり、Ａはデータインデックス集合であり、ａはＦＤＢである。アルゴリズム４００は、ＳＤＢ ｄを入力として受信し、ｖ_Ａ＝ｄ及びｖ_Ａｃ＝ａであるＤＣＢ ｖを出力として生成する。当業者であれば、例示的なデータインサータアルゴリズム４００の論理に従って、プログラム記憶式コンピュータ上にデータインサータ２１１を実装することに困難はないであろう。

データインデックス集合Ａ。ＴＦ符号の性能は、データインデックス集合Ａの選択に決定的に依存する。データインデックス集合Ａの選択は１回限りの設計問題であるため、最適又はほぼ最適なＡを見つける複雑度は大きな問題ではない。それでも、探索空間の指数関数的サイズを考えると、最良のデータインデックス集合Ａの網羅的な探索は実行不可能である。本原理は、データインデックス集合Ａを選択するための任意の方法と使用することができる。しかしながら、データインデックス集合Ａを構築する好ましい方法は、スコア関数手法である。

スコア関数。Ａをデータインデックス集合として許容可能な集合とする、すなわち、Ａ⊂｛１，２，・・・，Ｎ｝及び｜Ａ｜＝Ｋであるようにする。Ａに関連付けられたスコア関数は、各インデックスｉ∈｛１，２，・・・，Ｎ｝に実数（スコア）を割り当てる任意の関数ｓ_Ａ：｛１，２，・・・，Ｎ｝→Ｒ（実数）である。スコア関数手法では、データインデックス集合は、すべてのｉ∈Ａより上のｓ_Ａ（ｉ）の最小値が可能な限り大きくなるように、許容可能なＡとして選択される。換言すれば、スコア関数手法では、最大値がすべての許容可能なＡの上にある最適化問題ｍａｘ_Ａｍｉｎ_ｉ∈Ａｓ_Ａ（ｉ）を解決しようとする。以下に定義されるスコア関数は、ＤＣＢ ｖの座標がＴＦデコーダ２３０で１からＮまで自然順序で復号されると仮定する。当業者は、復号化の他の順序がＴＦデコーダ２３０で採用される場合、以下のスコア関数に適切な変更を行うことに困難はないであろう。

２つのタイプのスコア関数、点別及び窓化を検討する。従来技術では、極符号及びリードミュラー符号を構築するために、点別スコア関数が使用されている。窓化スコア関数は、新規な手法である。従来技術を改善するために、両方のタイプのスコア関数を本原理と併せて使用することができる。最初に、点別スコア関数の３つの例を示す。

ハミングスコア関数は、ｓ_Ａ（ｉ）＝ｗ_Ｈ（ｉ－１）－Ｘ_Ａ（ｉ）と定義され、式中、ｗ_Ｈは整数（以下に定義される）のハミング重みであり、Ｘ_Ａは集合Ａ（すなわち、ｉ∈ＡであればＸ_Ａ（ｉ）＝１であり、ｉがＡの要素でない場合、Ｘ_Ａ（ｉ）＝０である）の指示関数である。整数ｋ≧０のハミング重みは、ｗ_Ｈ（ｋ）＝Σ_ｊ＝０ ^ｎ－１ｂ_ｊと定義され、式中、ｂ_０，ｂ_１，・・・，ｂ_ｎ－１∈Ｆ_２は、２進表現ｋ＝Σ_ｊ＝０ ^ｎ－１ｂ_ｊ２^ｊにおける係数である。例えば、１３＝１＋２^２＋２^３なので、ｗ_Ｈ（１３）＝３である。ハミングスコア関数は、チャネル１２０のパラメータに依存しない特性を有する。当業者は、ハミングスコア関数が、

を有する変換符号の特別な事例のためのリードミュラー符号を生成することを認識するであろう。リードミュラー符号は、

の場合、所与のレートのすべての符号より上の可能な最大の最小ハミング距離である。最小ハミング距離は、高い信号雑音比における符号のＦＥＲ性能を決定する際の重要なパラメータである。以下に報告されるシミュレーション研究では、ハミングスコア関数が、本原理の一部として使用される場合、極符号化及びリードミュラー符号化における従来技術を改善するＦＥＲ性能をもたらすことが分かる。

相互情報スコア関数は、ｓ_Ａ（ｉ）＝Ｉ（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１）－Ｘ_Ａ（ｉ）と定義され、式中、

は、Ｖ_ｉとＹ所与のＶ^ｉ－１との間の条件付き相互情報である。ここで、Ｖ_ｉは、ＤＣＢ ｖのｉ番目の座標に対応するランダム変数であり、Ｖ^ｉ－１は、ＤＣＢ ｖの初期セグメントｖ^ｉ－１に関連付けられたランダムベクトル、Ｖ^ｉ＝（Ｖ^ｉ－１，Ｖ_ｉ）であり、Ｙは、ＲＣＢ ｙに対応するランダムベクトルである。当業者は、相互情報スコア関数が、

を有する変換符号の特別な事例のための標準極符号を生成することを認識するであろう。

Ｇａｌｌａｇｅｒスコア関数は、ｓ_Ａ（ｉ）＝Ｅ_ｐ
（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１）－Ｘ_Ａ（ｉ）と定義され、

式中、ｐ＞０は自由パラメータ（ｐの各値に対して、異なるスコア関数を有する）である。Ｇａｌｌａｇｅｒ関数及びその特性の重要性の議論については、Ｒ．Ｇａｌｌａｇｅｒ、「Ａ ｓｉｍｐｌｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｄｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｓｏｍｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｖｏｌ．１１、ｎｏ．１、ｐｐ．３－１８、Ｊａｎ．１９６５を参照されたい。関数Ｅ_ｐ（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１）は、一般化条件情報である。ｐ→０として、Ｅ_ｐ（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１）→Ｉ（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１）のため、Ｇａｌｌａｇｅｒスコア関数は、特別な事例として相互情報スコア関数を含む。Ｇａｌｌａｇｅｒスコア関数の別の重要な特別な事例は、ｐ＝１で発生する。Ｅ_１（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１＝Ｒ_０（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１）であり、式中、Ｒ_０（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１）は、条件付きカットオフレートである。Ｇａｌｌａｇｅｒスコア関数は、ｐが増加するにつれて符号最小距離により重点を置く。

上記のスコア関数の計算は、外部変換Ｇ_ｏｕｔが上三角非特異行列である場合に容易になる。その場合、Ｇ_ｏｕｔの逆数も非特異上三角形であり、ＤＣＢ ｖの初期セグメントｖ^ｉとＯＴＢ ｕのｕ^ｉとは１対１で互いに関連する。したがって、Ｅ_ｐ（Ｙ；Ｖ_ｉ｜Ｖ^ｉ－１＝Ｅ_ｐ（Ｙ；Ｕ_ｉ｜Ｕ^ｉ－１）。内部変換が十分な構造を有する場合、例えば、

の場合、密度進化技術を使用して、Ｅ_ｐ（Ｙ；Ｕ_ｉ｜Ｕ^ｉ－１）を効率的に計算できる。

上記のスコア関数は、ｓ_Ａ（ｉ）が２つの関数、すなわち点別リソース関数ｑ（ｉ）及び点別レート関数Ｘ_Ａ（ｉ）の差として定義されるという意味で点別である。点別リソース値ｑ（ｉ）は、符号構築で使用される特定の三角分解Ｇ＝Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎに依存するが、Ａとは無関係である。点別レートＸ_Ａ（ｉ）は、Ａのみに依存する。値ｓ_Ａ（ｉ）は、利用可能なリソース（時間ｉで利用可能な情報）と需要（時間ｉでのソースデータビットの伝送）との間の差として解釈され得る。リソースの不足を最小限に抑えるようにＡを選択する。点別スコア関数は、バックトラッキング又は未来への先読みなしに、シーケンス内の各ビットについて最終的に順番に決定が行われる場合に意味がある。本原理は、外部符号の一部として強力なツリー探索アルゴリズムを使用することに基づいているため、点別スコア関数は本原理に準最適である。スコアを探索アルゴリズムの特性に一致させることができるスコア関数が必要とされている。次に導入される窓化スコア関数は、この目的を果たす。

すべてのスコア関数ｓ_Ａ（ｉ）＝ｑ（ｉ）－Ｘ_Ａ（ｉ）について、ｓ_Ａ（ｉ）の窓化バージョンをＳ_Ａ（ｉ；ｋ，ｍ）＝Σ_ｊ＝－ｋ ^ｍｗ_ｊｓ_Ａ（ｉ＋ｊ）と定義する。式中、ｋ≧０（固定整数）はラグパラメータであり、ｍ≧０（固定整数）はリードパラメータであり、ｗ_ｊ＞０（固定実数）は重みパラメータである。ｉ≦０又はｉ＞Ｎに対してｓ_Ａ（ｉ）＝０を設定することによって、ｓ_Ａ（ｉ）の定義をすべての整数に拡張する。ラグｋ及びリードｍを有する窓化スコア関数Ｓ_Ａ（ｉ；ｋ，ｍ）に対する窓の長さをｋ＋ｍ＋１と定義する。窓化スコア関数について言及するとき、窓の長さが１より大きいと暗に仮定する。窓の長さがどれだけ大きくなり得るかについては上限を設けない。上三角形テプリッツＧ_ｏｕｔを有するＴＦ符号化が使用される場合、窓の長さは、Ｇ_ｏｕｔの第１の行の非ゼロ部分の期間と同じ順序であり得る。

窓化スコア関数を有するインデックス集合設計問題は、すべてのｉ∈ＡのＳ_Ａ（ｉ；ｋ、ｍ）の最小が最大化されるように許容可能なデータインデックス集合Ａを探索する問題である。

明らかに、窓化スコア関数は、ｋ＝０、ｍ＝０、及びｗｊ＝１の特別な事例として点別スコア関数を含む。非ゼロのラグ及びリードを有する動機は、バックトラッキングメカニズムを備えた検索方法が、現在の検索近傍における可能な選択肢の窓内で検索を実行するという考えである。したがって、データインデックス集合を選択するためのアルゴリズムは、特定の決定点ではなく、探索窓にわたって多義性（ソース不確実性からチャネル情報を引いたもの）を小さく保つことに注意すべきである。

上記のスコア関数は、データインデックス集合の選択が極符号化における最適化問題とは著しく異なる最適化問題であるという一般的な考えを説明するために与えられている。当業者は、同じ目的を果たすために他のスコア関数を設計することができる。上記で提示された例示的なスコア関数方法のすべてのそのような拡張は、本開示の範囲内に含まれる。

外部変換Ｇ_ｏｕｔ。外部変換ｕ＝ｖＧ_ｏｕｔを計算する複雑度は、一般的な行列Ｇ_ｏｕｔ∈Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎに対して０（Ｎ^２）であり、これは、Ｎの中程度の値であっても多くの用途において非常に複雑である。本原理は、Ｇ_ｏｕｔに構造を課すことによって外部変換の複雑さを低減することが重要であることを認識している。この目的のために、本原理の好ましい実施形態では、Ｇ_ｏｕｔを、ｃ_０≠０、及びｃ_ｍ≠０であるインパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，…，ｃ_ｍ）∈Ｆ_ｑ ^ｍによって特徴付けられる上三角形テプリッツ行列であるように制限し、式中ｍは１≦ｍ≦Ｎ－１を満たす整数である。ｃ_０≠０という仮定は、外部変換行列Ｇ_ｏｕｔが非ゼロ対角エントリを有することを保証し、これにより、Ｇ_ｏｕｔが非特異的であることを保証する。いくつかのｍ≧１についてのｃ_ｍ≠０という仮定は、Ｇ_ｏｕｔが厳密に上三角行列であることを保証する。厳密に上三角形の外部変換行列Ｇ_ｏｕｔを使用することによって、外部変換２１２が自明でない演算であることが保証され、これにより、それらの好ましい実施形態におけるＴＦ符号が従来技術における極符号などの特定の他の符号と一致しないことが保証される。上記の条件下での例示的な外部変換行列は、

これは、インパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，ｃ_２，ｃ_３）＝（１，１，０，１）に対応する。Ｇ_ｏｕｔがインパルス応答ｃを有する上三角形テプリッツ行列と定義されるとき、外部変換演算ｕ＝ｖＧ_ｏｕｔは、すべてのｉ＝１，２，・・・，Ｎについてｕ_ｉ＝ｃ_０ｖ_ｉ＋ｃ_１ｖ_ｉ－１＋・・・ｃ_ｊｖ_ｉ－ｊ＋・・・＋ｃ_ｍｖ_ｉ－ｍとなるように畳み込みとして表すことができ、ｉ－ｊ≦０である場合、ｖ_ｉ－ｊを０と解釈する。したがって、外部変換２１２は、離散時間線形時不変フィルタと見なすことができる。ベクトルｃは、線形時不変フィルタのインパルス応答（入力ｖ＝（１，０・・・，０））と解釈することができる。上三角形テプリッツ行列Ｇ_ｏｕｔに対応する畳み込み演算を実装する多くの実用的な方法があることが当業者には知られている。

図５は、Ｇ_ｏｕｔがインパルス応答ｃ＝（１，１，０，１）によって定義される上三角形テプリッツ行列である特別な事例の変換ｕ＝ｖＧ_ｏｕｔを実装する例示的な外部変換回路５００を示す。例示的な外部変換回路５００は、シリアル入力ポート５０１と、シフトレジスタ５０２と、モジュロ２アダー５０３と、リセット回路５０４と、シリアル出力ポート５０５とを備える。例示的な外部変換回路５００は、クロック及び制御論理などの追加の信号を必要とする順序論理を使用する。これらの追加の信号は、不必要な詳細で図を混乱させないために、図５には示されていない。当業者であれば、欠けている詳細を提供することに困難はないであろう。シフトレジスタ５０２は、タンデムに接続された三つのレジスタ、すなわち第１のレジスタ５０２ａ、第２のレジスタ５０２ｂ、及び第３のレジスタ５０２ｃを備える。各シフトレジスタ５０２ａ，５０２ｂ，５０２ｃは、０又は１のいずれかである１ビットを保持することができる。モジュロ２アダー５０３は、入力ポート５０１の論理信号と第１のレジスタ５０２ａの出力と第３のレジスタ５０２ｃの出力とのモジュロ２和（等価的に排他的論理和（ＸＯＲ））を計算する。レジスタ５０２ｂの出力における論理信号は、ｃ_２＝０であるため、モジュロ２和から除外される。最初に、第１のクロック数の立ち上がりエッジにより、シフトレジスタ５０２の内容はリセット回路５０４によって０に初期化され、ＤＣＢ ｖの第１のビットｖ_１はシリアル入力ポート５０１で有効な論理信号として現れる。第２のクロック数の立ち上がりエッジにより、モジュロ２アダー５０３はＯＴＢ ｕの第１のビットｕ_１を計算し、それをシリアル出力ポート５０５で送信し、第１のビットｖ_１は第１のレジスタ５０２ａにシフトされ、第１のレジスタ５０２ａの内容は第２のレジスタ５０２ｂに移動し、第２のレジスタ５０２ｂの内容は第３のレジスタ５０２ｃに移動し、ＤＣＢ ｖの第２のビットｖ_２はシリアル入力ポート５０１で有効な論理信号として現れる。したがって、第３のクロック数の立ち上がりエッジの前に、シフトレジスタ５０２の内容は（ｖ_１，０，０）を読み取り、ＤＣＢ ｖの第２のビットｖ_２は、次の回のモジュロ２加算のためにシリアル入力ポート５０１で利用可能である。例示的な外部変換回路５００の動作はこのように継続し、ｕ_１＝ｖ_１、ｕ_２＝ｖ_１＋ｖ_２、ｕ_３＝ｖ_２＋ｖ_３、ｕ_４＝ｖ_１＋ｖ_３＋ｖ_４，ｕ_５＝ｖ_２＋ｖ_４＋ｖ_５、ｕ_６＝ｖ_３＋ｖ_５＋ｖ_６，ｕ_７＝ｖ_４＋ｖ_６＋ｖ_７、及びｕ_８＝ｖ_５＋ｖ_７＋ｖ_８を生成する。例えば、ｖ＝（１，１，０，０，１，０，１，１）の場合、ｕ＝（１，０，１，１，０，１，１，１，１）である。ＯＴＢ ｕの８番目のビットｕ_８がシリアル出力ポート５０５で送出されると、リセット回路５０４が起動され、回路は次のＤＣＢを受け入れる準備が整う。外部変換演算の１ラウンドを完了するには、正確に８クロック数を要する。例示的な外部変換回路５００は、連続するＤＣＢ上の外部変換動作間に時間ギャップなしで動作することができる。

例示的な外部変換回路５００のモデルに従って、任意の上三角計テプリッツ行列に対応する一般的な畳み込み演算を容易に実装することができる。ＤＣＢ ｖがＮ次元であり、インパルス応答がｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_ｍ）の形式である場合、ｍ段のシフトレジスタが必要であり、外部変換動作の１ラウンドを完了するためにＮクロックサイクルを要する。

当業者は、図５に提示されるような畳み込みを計算する方法がよく知られており、データ全体を改善するため、又はレイテンシを低減するために、並列処理及び／又はパイプライン化を使用する回路など、畳み込みを計算するための多くの代替回路があることを知っている。

内部変換Ｇ_ｉｎ。内部変換演算ｘ＝ｕＧ_ｉｎは、一般的な行列Ｇ_ｉｎ＝Ｆ_ｑ ^Ｎ×Ｎに対して複雑度０（Ｎ^２）を有し、これは実際の実装には法外であり得る。本原理は、Ｇ_ｉｎに構造を課すことによって内部変換演算の複雑さを低減することを目的とする。本原理の好ましい実施形態では、Ｇ_ｉｎは、クロネッカー積形態：

を有するように制限され、Ｌ_ｉ∈Ｆ_ｑ ^{Ｎｉ×Ｎｉ}は、各ｉ＝１，２，・・・，ｎについてＮ_ｉ≧２の下三角行列である。結果として得られるＧ_ｉｎは、Ｎ＝Π_ｉ＝１ ^ｎＮ_ｉを有するＮ行Ｎ列の下三角行列である。Ｇ_ｉｎのクロネッカー因数Ｌ_１，・・・，Ｌ_ｎが適切に選択される場合、内部変換ｘ＝ｕＧ_ｉｎを計算する複雑度は、０（Ｎ^２）から０（ＮｌｏｇＮ）に低減され得る。例えば、各ｉ＝１，２，・・・，ｎそれぞれについて

である場合、

は極符号化における極変換行列になり、内部変換の複雑度は０（Ｎｌｏｇ_２Ｎ）に減少する。完全を期すために、

を有するこの重要な特別な事例についてｘ＝ｕＧ_ｉｎを実装するための回路を以下に提示する。

図６は、以下の特別な事例に内部変換２１２を実装するために使用することができる例示的な極変換回路６００を示す。

例示的な極変換回路６００は、パラレル入力ポート６０１、パラレル出力ポート６０２、及び内部論理回路を備える。内部論理は組み合わせである。回路は、パラレル入力ポート６０１で加えられる入力信号（ｕ_１，・・・，ｕ_８）によって駆動され、パラレル出力ポート６０２で（何らかの信号伝搬遅延後に）出力信号（ｘ_１，・・・，ｘ_８）を生成する。回路を介して入力論理信号を追跡することによって、出力信号が入力信号と

及びｘ_８＝ｕ_８によって関係していることを検証することができ、

は論理排他的論理和（ＸＯＲ）演算を示す。論理信号間のこれらの関係は、行列乗算

を実行することによってベクトルｕ＝（ｕ_１，…，ｕ_８）∈Ｆ_２ ^８とｘ＝（ｘ_１，…，ｘ_８）∈Ｆ_２ ^８との間に得られる代数的関係と同じである。したがって、回路６００が例示的な事例

の内部変換演算を正しく実装することが検証される。回路６００を任意のｎを有する事例

に一般化するために、極符号化に関する従来技術を参照する。極符号化に関する従来技術は、ハードウェア又はソフトウェアのいずれかを使用して極変換を実装するための多くの選択肢を含む。すべてのそのような実装オプションは、本原理の物理的実現に使用することができる。

ＴＦエンコーダ２１０の個々の部分ごとに例示的な実装オプションを提示した。次に、これらの部品をまとめるＴＦエンコーダ２１０の実施形態を提示する。

ＴＦエンコーダ２１０の好ましい実施形態ＴＦエンコーダ２１０の好ましい実施形態では、ＴＦ符号（Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）は、有限体Ｆ_ｑ上の符号であり、外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、インパルス応答ｃによって定義される非特異的な厳密に上三角形テプリッツ行列である。内部変換行列Ｇ_ｉｎは、クロネッカー積形式

を有する厳密に下三角行列で、ｎ≧１であり、Ｌ_ｉ∈Ｆ_ｑ ^{Ｎｉ×Ｎｉ}は、各ｉ＝１，２，・・・，ｎについてＮ_ｉ≧２行（等価的に列）を有する下三角行列であり、データインデックス集合Ａ及びＦＤＢ ａは任意のままである。ＴＦエンコーダ２１０の好ましい実施形態は、図３、図４、図５、及び図６の例示的な実施態様を使用して実装することができる。

次に、ＴＦエンコーダ２１０の好ましい実施形態に従って構築された、任意であるが固定ＴＦコード（Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）に適したデコーダを開発することに移る。Ｇ_ｏｕｔは上三角行列であるため、すべてのｉ∈｛１，２，・・・，Ｎ｝について、ｕ^ｉ＝（ｕ_１，・・・，ｕ_ｉ）がｖ^ｉ＝（ｖ_１，・・・，ｖ_ｉ）によって決定されるという意味で、ｖ∈Ｆ_ｑ ^Ｎからｕ∈Ｆ_ｑ ^Ｎへのマッピングｕ＝ｖＧ_ｏｕｔは因果的であることが観察される。外部変換Ｇ_ｏｕｔの因果的性質は、マッピングｖ→ｕ＝ｖＧ_ｏｕｔをツリーの形式で表すことを可能にし、これを外部変換（ＯＴ）ツリーと呼ぶ。ＯＴツリーは、０～Ｎの整数によってインデックス付けされたＮ＋１個のレベルを有する。ＯＴツリーのレベル０では、ルートノードのみが存在する。ＯＴツリーのレベルｉ∈｛１，２，・・・，Ｎ｝には、各ｖ_ｉ∈Ｆ_ｑ ^ｉに１つのノードを有するｑ^ｉノードがある。ＯＴツリーの最終レベル（レベルＮ）のノードは、リーフノードと呼ばれる。ＯＴツリーには、各ｖ∈Ｆ_ｑ ^Ｎに１つであるｑ^Ｎ個のリーフノードがある。

次に、ＴＦ符号がツリー符号であることを示す。ＯＴツリー内のリーフノードｖを、ｖ_Ａｃ＝ａである場合に許容可能であると呼ぶ。ＴＦ符号｜Ａ｜＝Ｋに対してｑ^Ｋ個の許容可能なリーフノードがある。ＴＦ符号（Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）の符号ツリーは、根から少なくとも１つの許容可能なリーフノードまでの経路上にないＯＴツリー内のすべてのブランチを削除した後に取得されるＯＴのサブツリーと定義される。ＤＣＢ ｖに対応する符号ツリー内の経路は、正しい経路と呼ばれる。ツリー表現を使用して、ＴＦ符号の復号タスクは、ＲＣＢ ｙによって提供される情報を使用してＴＦ符号ツリーを通る正しい経路の検索と見なすことができる。この観点は、様々なツリー探索アルゴリズムを復号タスクに適合させることができることを示している。例えば、ビタビ復号は、幅優先探索から導出され、バックトラッキングを伴う深さ優先探索から逐次復号され、バックトラッキングを伴わない深さ優先探索から逐次除去復号され、ビーム探索から逐次除去リスト復号される。

ツリー探索問題としてＴＦデコーダ２３０のタスクを再定式化したので、ここで、図２に示すＴＦデコーダ２３０のモジュール式アーキテクチャ内の一般的なツリー探索アルゴリズムの実装に注目する。具体的には、一般的なツリー探索アルゴリズムに含まれる様々なタスクを内部デコーダ２３１と外部デコーダ２３２との間でどのように分割できるかについて説明する。外部変換Ｇ_ｏｕｔの上三角形形式のおかげで、そのような区分が可能であることを理解するであろう。まず、線形代数から、非特異的な上三角行列の逆も上三角形であることを想起する。したがって、逆マッピングｖ＝ｕ（Ｇ_ｏｕｔ）^－１は、順方向マッピングｕ＝ｖＧ_ｏｕｔが因果的であるのと同じ意味で因果的である。言い換えれば、プレフィックスｖ^ｉ＝（ｖ_１，・・・，ｖ_ｉ）及びｕ^ｉ＝（ｕ_１，・・・，ｕ_ｉ）は、各ｉ∈｛１，２，・・・，Ｎ｝について互いに一意に決定し、いずれかのプレフィックスを使用してＯＴツリー内のノードを一意に識別することができる。この特性により、内部デコーダ２３１と外部デコーダ２３２との間のインターフェースにわたるメトリックトラフィックは、ノード識別子としてＯＴＢプレフィックスｕ^ｉを使用して実行され得る。以下に、ノード識別子としてＯＴＢプレフィックスｕ^ｉを有するメトリック要求及びメトリック値メッセージを渡すことにより、図２に示すようにツリー探索タスクをモジュールに分割することが可能になることを示す。

ＴＦデコーダ２３０の好ましい実施形態。ＴＦデコーダ２３０の好ましい実施形態では、ＴＦ符号パラメータ（Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）に対する制約は、ＴＦエンコーダの好ましい実施形態と同じであり、別個に指定される必要はない。したがって、ＴＦエンコーダ２１０及びＴＦデコーダ２３０の好ましい実施形態が互いに互換性がある場合。ＴＦデコーダ２３０の好ましい実施形態では、外部デコーダ２３２は、ツリー探索アルゴリズムを使用してＯＴツリーを通る正しい経路を探索し、ツリー探索アルゴリズムは、ノードメトリックΓ（ｕ^ｉ，ｙ）によってノードｕ^ｉが正しい経路上にある尤度を評価し、ノードメトリックΓ（ｕ^ｉ，ｙ）は、正しい経路上を上昇し、誤った経路上を下降するように設計される。外部デコーダ２３２は、ノード識別子ｕ^ｉを内部デコーダ２３２に提示することによって、内部デコーダ２３１からのノードメトリックΓ（ｕ^ｉ，ｙ）の計算を要求する。そのような要求を受信すると、内部デコーダ２３１は、ノードメトリックΓ（ｕ^ｉ，ｙ）を計算する役割を負う。メトリックΓ（ｕ^ｉ，ｙ）は、外部符号パラメータ（Ｇ_ｏｕｔ，Ａ，ａ）の知識を必要としないように設計され、それによって、内部デコーダ２３１を外部符号とは無関係に構成することができる。外部デコーダ２３２は、内部デコーダ２３１から受信したメトリック値を用いてツリー探索を行う。ツリー探索の終わりに、内部デコーダはＤＤＣＢ ｖ＾を生成し、ＤＤＣＢ ｖ＾をデータ抽出器２３３に渡す。データ抽出器２３３は、ｄ＾＝ｖ＾_Ａを設定することによってＤＳＤＢ ｖ＾を計算する。

ＴＦデコーダ２３０の好ましい実施形態の範囲は、上記で指定された特性を有する任意のツリー探索アルゴリズム及び任意のノードメトリックを網羅する。探索アルゴリズム及びノードメトリックのより具体的な選択は、ＴＦデコーダ２３０の最も好ましい実施形態の説明に備えて以下に説明される。ノードメトリックから始める。

ファノメトリック。ＴＦデコーダ２３０の好ましい実施形態を実装するために使用され得る例示的なノードメトリックは、以下のように定義されるファノメトリック［ＦＡＮ１９６３］である。

式中、Ｂ_ｉはバイアス項である。通常の畳み込み符号化及び逐次復号では、バイアス項は一定である。ここで、バイアス項が時変であることを可能にする。時変ファノメトリックを使用する理由は、ファノメトリックによってチャネルから到来する情報量

が時変であるという事実にもかかわらず、ファノメトリックがＴＦ符号ツリー内の正しい経路上で正のドリフトＥ［Γ（ｕ^ｉ，ｙ）］を維持することを保証するためである。時変バイアス項を有するファノメトリックの使用は、本原理を従来技術と区別する特徴である。

ファノメトリックを計算する際に、内部デコーダ２３１は、ＯＴ符号ツリー内のすべての経路が許容可能であると仮定することによって近似を求め（ＴＦ符号ツリーがＯＴツリーのサブツリーであることを無視する）、これにより、プレフィックスＵ^ｉがＯＴ符号ツリー内の２^ｉ個の可能な値を越えるのは等しく可能性があると仮定することになる。この近似は、ファノメトリックの計算を単純化し、ＴＦ符号の詳細とは無関係にする。ツリー探索がＴＦ符号ツリー内にない経路に逸脱しないように、内部デコーダ２３１から受信したメトリック値に補正を適用するために外部デコーダ２３２にそれを委ねる。

ファノメトリックは、Γ（ｕ_ｉ，ｙ）＝Σ_ｊ＝１ ^ｉγ（ｕ_ｊ，ｙ｜ｕ^ｊ－１）と書くことによって増分的に計算することができ、式中、

であり、ｂ_ｊ＝Ｂ_ｊ－Ｂ_ｊ－１である。計算のために、ベイズの法則及びＰ_{Ｕｊ｜Ｕｊ－１}（ｕ_ｊ｜ｕ_ｊ－１）＝１／２という仮定を使用することがより有利であり得、ブランチメトリックを次のように書き換える。

バイアス項を選択する好ましい方法は、いくつかの定数０＜ａ＜１についてＢ_ｉ＝ａＩ（Ｕ^ｉ；Ｙ）を設定することである。次に、正しい経路上のｉ番目のノードにおけるファノメトリックのドリフトは、Ｅ［Γ（Ｕ^ｉ，Ｙ）］＝（１－ａ）Ｉ（Ｕ^ｉ；Ｙ）に等しく、所望に応じて正である。Ｂ_ｉ＝ａＩ（Ｕ^ｉ；Ｙ）である場合、ブランチメトリックバイアス項はｂ_ｊ＝ａＩ（Ｕ_ｊ；Ｙ｜Ｕ^Ｊ－１）となり、正しいパスに沿ったブランチメトリックの期待値は、Ｅ［ｒ（ｕ_ｊ，ｙ｜ｕ^Ｊ－１）］＝（１－ａ）Ｉ（Ｕ_ｊ；Ｙ｜Ｕ^Ｊ－１）となり、これも正である。この説明は、ＴＦ符号を復号するためのツリー探索アルゴリズムに関連してファノメトリックを適用する際に時変バイアス項を有する必要性を示す。

当業者であれば、内部変換Ｇ_ｉｎが極変換

である重要な特別な場合、極符号の逐次除去復号の方法を使用して低複雑度で確率
Ｐ_{Ｕｊ｜Ｙ，Ｕｊ－１}（ｕ_ｊ｜ｙ，ｕ^ｊ－１）を計算できることを認識するであろう。実際、この場合、次式があり、

式中、Ｗ_Ｎ ^（ｊ）は、極変換によって生成されたｊ番目のビットチャネルを示す。さらに、この場合、相互情報項Ｉ（Ｕ^ｉ；Ｙ）及びバイアス項の推奨される形式で現れるＩ（Ｕ_ｊ；Ｙ｜Ｕ^Ｊ－１）は、極符号の設計のための密度進化技術を使用して複雑度０（ＮｌｏｇＮ）で計算することができる。

ここで、メトリックメッセージが内部デコーダ２３１と外部デコーダ２３２との間のインターフェースでどのように交換されるかをさらに詳細に明示する。ツリー探索アルゴリズムの実行中のある時点で、外部デコーダがＴＦ符号ツリー内のノードｕ^ｉ－１から前方を参照していると仮定する。ｉ∈Ａである場合、ノードｕ^ｉ－１のＴＦ符号ツリーには２つの可能な拡張（ｕ^ｉ－１，０）及び（ｕ^ｉ－１，１）があり、外部デコーダ２３２は両方のノードメトリックΓ（（ｕ^ｉ－１，０）、ｙ）及びΓ（（ｕ^ｉ－１，１）、ｙ）を内部デコーダ２３１に要求する。ｉがＡの要素でない場合、ノードｕ^ｉ－１のＴＦ符号ツリーには（ｕ^ｉ－１，０）又は（ｕ^ｉ－１，１）のいずれかの１つの可能な拡張しかなく、外部デコーダ２３２は、ノードｕ^ｉ－１の有効な拡張についてノードメトリックを要求し、ノードｕ^ｉ－１の無効な拡張のノードメトリックを－∞に設定する。

選択肢として、外部デコーダは、外部符号固有及びレベル固有のバイアスを各受信ノードメトリックに適用することによって、すべての受信ノードメトリックを修正することができる。そのような手順は、シミュレーションにおいて改善された結果をもたらすことが観察されている。

逐次復号。上述したように、逐次復号は、ボーゼンクラフト［ＷＯＺ１９６１］によって開発された畳み込み符号のための復号アルゴリズムである。ファノ［ＦＡＮ１９６３］は、ハードウェア実装に特に適した逐次復号を実施する実用的な方法を開発した。Ｚｉｇａｎｇｉｒｏｖ［ＺＩＧ１９６６］及びＪｅｌｉｎｅｋ［ＪＥＬ１９６９］は、ファノのアルゴリズムよりも理解しやすいが、かなり多くのメモリリソースを消費する、スタックデコーダとして知られるバージョンの逐次デコーダを開発した。逐次復号の両方のバージョンは、外部デコーダ２３２を実装する際のツリー探索ヒューリスティックとして使用することができる。ここでは、説明がはるかに容易であるため、スタックデコーダについて説明する。

図７は、スタックデコーダ７００のフローチャートであり、スタックデコーダは、ツリー符号の復号アルゴリズムであり、ランダムアクセスメモリ及びプロセッサユニットを備えた汎用コンピュータ上で実行することができる。フローチャート７００におけるスタックという用語は、一般に優先キューとして知られているデータ構造を指す。スタックは、ランダムアクセスメモリ内に常駐し、複数のノードを含み、スタック上の各ノードは、ツリー符号内のノードに関連付けられたデータレコードである。スタック上のノードは、ノードメトリックの降順で順序付けられる。最もメトリック値が高いスタック上のノードは、スタックトップノードと称される。スタックデコーダ７００は、初期化工程７０１、前方参照工程７０２、終了チェック工程７０３、タイムアウトチェック工程７０４、通常出口工程７０５、及びタイムアウト工程７０６を含む。初期化工程７０１では、スタックがクリアされ、ツリーのルートノードが、メトリック値が０のスタックトップノードとしてスタック上に配置され、サイクルカウンタが０に設定され、制御が前方参照工程７０２に渡される。前方参照工程７０２では、サイクルカウンタが１だけインクリメントされ、スタックトップノードがスタックから除去され、除去されたスタックトップノードのすべての子ノードのメトリック値がメトリックコンピュータから要求され受信され、子ノードがスタックに挿入され、スタック上のすべてのノードがそれらのメトリック値に対して降順に並べ替えられ、制御が終了チェック工程７０３に渡される。終了チェック工程７０３では、現在のスタックトップノードがツリー内のリーフノードであるかどうかをチェックされる。答えがはいである場合、制御は通常出口工程７０５に渡される。そうでない場合（答えがいいえである場合）、制御はタイムアウトチェック工程７０４に渡される。通常出口工程７０５において、スタックデコーダ７００は、最終デコーダ決定としてスタックトップノードを出力し、アルゴリズムは終了する。タイムアウトチェック工程７０４では、サイクルカウンタがタイムアウト制限を超えているかどうかがチェックされる。答えがはいである場合、制御はタイムアウト出口工程７０６に渡される。そうでなく、答えがいいえである場合、制御は、前方参照工程７０２に渡される。タイムアウト出口工程７０６において、スタックデコーダは、タイムアウトがあったという指示と共に、現在のスタックトップノードを最終デコーダ決定として出力する。

上述したスタックデコーダ７００を使用して、スタックを維持し、ノードメトリック要求を生成する責任を外部デコーダ２３２に割り当て、ノードメトリック値を計算する責任を内部デコーダ２３１に割り当てることによって、ＴＦデコーダ２３０の好ましい実施形態を実施できることは、当業者には明らかであろう。ノードメトリック計算及びツリー探索の関数の分割は、線形代数における三角分解を使用して線形方程式の系を解くのに似た順方向（内部復号）及び逆方向（外部復号）置換の方法として見ることができる。

ＴＦエンコーダ２１０の最も好ましい実施形態。ＴＦエンコーダ２１０の最も好ましい実施形態は、フィールドＦ_ｑがバイナリフィールドＦ_２（ｑ＝２）になるように制限され、データインデックス集合Ａがスコア関数を使用して構築され、外部変換行列Ｇ_ｏｕｔがインパルス応答ｃによって定義される非特異的な厳密に上三角形テプリッツ行列であり、内部変換行列が

として選択されるような、ＴＦエンコーダ２１０の好ましい実施形態の特別な場合である。変換エンコーダの好ましい実施形態は、図３、図４、図５、及び図６に提示された例示的な実施態様を組み合わせることによって実施することができることが当業者には明らかであろう。

ＴＦデコーダ２３０の最も好ましい実施形態。ＴＦデコーダ２３０の最も好ましい実施形態では、ＴＦ符号パラメータ（Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）に対する制約は、ＴＦエンコーダ２１０の最も好ましい実施形態と同じであり、別個に指定される必要はない。ＴＦデコーダ２３０の最も好ましい実施形態では、内部デコーダ２３１はファノメトリックを計算し、外部デコーダ２３２は、上述したように内部デコーダ２３１から受信したファノメトリックを調整することによって逐次復号アルゴリズムを実装する。ＴＦエンコーダ２１０の最も好ましい実施形態とＴＦデコーダ２３０の最も好ましい実施形態とのマッチングペアは、ＴＦ符号化システム２００の最も好ましい実施形態を構成する。

図８Ａを参照すると、本原理を従来技術と比較するためのシミュレーション結果８００が示されている。シミュレーション結果８００は、５つの性能曲線８０１から８０５を含む。性能曲線８０５は、本原理の最も好ましい実施形態（すなわち、ＴＦエンコーダ２１０の最も好ましい実施形態及びＴＦデコーダ２３０の最も好ましい実施形態）に従って構築された例示的なＴＦ符号化システムに属する。シミュレーション結果は、本原理にとって明らかな利点を示す。公平な比較のために、図８Ａの５つの符号化システムはすべて、バイナリフィールドＦ_２上の符号であり、Ｒ＝１／２の全体的な符号化率に対して共通の符号ブロック長Ｎ＝１２８、及び共通のソースブロック長Ｋ＝６４を有する。シミュレーションで使用されるチャネルは、入力アルファベットＸ＝Ｆ_２、出力アルファベットＹ＝Ｒ（実数）、及びチャネル推移確率密度関数

を有するバイナリ入力メモリレスチャネルであり、式中、ｘ∈Ｘ、ｙ∈Ｙ、及びｘ＝０の場合はｓ＝１、ｘ＝１の場合はｓ＝－１である。当業者は、このチャネルが加法性白色ガウス雑音（ＡＷＧＮ）チャネル上の２進信号のモデルと認識するであろう。本説明の残りの部分では、このチャネルを「ＡＷＧＮチャネル」と呼ぶ。ＡＷＧＮチャネルは、１／σ^２として定義されるその信号対雑音比（ＳＮＲ）によって特徴付けられる。シミュレーション研究では、ＳＮＲパラメータを０ｄＢから５ｄＢまで０．５ｄＢ刻みで変化させ、試行回数１０万回又はフレームエラー数１００回（いずれかが先に発生する）まで試行し、各ＳＮＲ点でＦＥＲ値を測定した。シミュレーション研究の詳細は以下の通りである。

性能曲線８０５は、外部変換行列Ｇ_ｏｕｔが、インパルス応答ｃ＝（１，０，１，１，０，１，１）によって特徴付けられる上三角形テプリッツ行列であり、内部変換は、

であり、データインデックス集合Ａは、ハミングスコア関数（Ａ＝｛１６，２４，２８，３０，３１，３２，４０，４４，４６，４７，４８，５２，５４，５５，５６，５８，５９，６０，６１，６２，６３，６４，７２，７６，７８，７９，８０，８４，８６，８７，８８，９０，９１，９２，９３，９４，９５，９６，１００，１０２，１０３，１０４，１０６，１０７，１０８，１０９，１１０，１１１，１１２，１１４，１１５，１１６，１１７，１１８，１１９，１２０，１２１，１２２，１２３，１２４，１２５，１２６，１２７，１２８｝、リードミュラー符号と一致する）を使用して構築され、ＦＤＢａは０に等しく、内部デコーダ２３１は、ファノメトリックを使用し、外部デコーダ２３２は、逐次復号アルゴリズムを使用するように、ＴＦ符号化システムの最も好ましい実施形態に従って構築されたＴＦ符号化システムに属する。この体系の符号レートを分析することは有益である。前述のように、本原理は、所与の全体的な符号レートＲに対してレートＲ_ｏｕｔ＝Ｒ及びＲ_ｉｎ＝１で動作することを目的としている。ここで、Ｒ＝１／２である。外部及び内部符号レートは、Ｒ_ｏｕｔ＝６４／１１２及びＲ_ｉｎ＝１１２／１１８である。データインデックス集合Ａの最小要素が１６に等しいため、Ｒ_ｏｕｔ＝６４／１１２となり、ＤＣＢ ｖの最初の１６凍結ビットは因果変換ｕ＝ｖＧ_ｏｕｔを介して伝播し、ＯＴＢ ｕの最初の１６ビットは凍結されたままである。したがって、事実上、外部符号は、１２８の代わりに符号ブロック長１２８－１６＝１１２を有する。この例は、本原理がレートＲ_ｏｕｔ＝Ｒ及びＲ_ｉｎ＝１を目標としているが、データインデックス集合の第１の要素が１ではない可能性があるというアーチファクトのために、この目標が完全には満たされない可能性があることを示している。

性能曲線８０１は、逐次除去（ＳＣ）復号化を伴うリードミュラー符号に属する。ここでのリードミュラー符号は、変換符号化（Ｇ_ｏｕｔ＝Ｉ（単位行列）、

、Ａはハミングスコア関数を用いて選択され、ａ＝０）の特別なインスタンスとして取得される。したがって、８０１と８０５との比較は、本原理による外部変換を使用する利点を示す。（縮退した）連結符号化システムとして、リードミュラー符号は、ここではレートＲ_ｏｕｔ＝１、Ｒ_ｉｎ＝１／２、及びＲ＝１／２を有する。

性能曲線８０２は、逐次除去復号を有する極符号に属する。この場合は、変換符号化（Ｇ_ｏｕｔ＝Ｉ、

、Ａは相互情報スコア関数（３ｄＢ ＳＮＲで最適化）を用いて選択され、ａ＝０）の縮退形態として見ることもできる。８０２と８０５との比較は、本原理による外部変換を使用する利点を示す。（縮退）連結符号化システムとして、ここでの極符号は、レートＲ_ｏｕｔ＝１、Ｒ_ｉｎ＝１／２、及びＲ＝１／２を有する。

性能曲線８０３は、（Ｆｏｒｎｅｙの意味における）連結符号化システムに属し、外部符号は４ビットの巡回冗長検査（ＣＲＣ）符号であり、内部符号はリードミュラー符号であり、デコーダはリストサイズ３２及びＣＲＣ長４ビットを有するＣＲＣ支援逐次除去リスト（ＣＡ－ＳＣＬ）デコーダである。（４ビットＣＲＣは、０、４、８、１６ビットの代替長の中で最良の性能をもたらす。）符号レートは、Ｒ_ｏｕｔ＝６４／６８、Ｒ_ｉｎ＝６８／１２８、Ｒ＝１／２である。

性能曲線８０４は、外部符号が８ビットＣＲＣコードであり、内部符号が３ｄＢ ＳＮＲに最適化された極符号であり、デコーダがリストサイズ３２及びＣＲＣ長８ビットを有するＣＡ－ＳＣＬデコーダである連結符号化システムに属する。（８ビットＣＲＣは、０、４、８、１６ビットの代替長の中で最良の性能をもたらす。）符号レートは、Ｒ_ｏｕｔ＝６４／７２、Ｒ_ｉｎ＝７２／１２８、Ｒ＝１／２である。

要約すると、図８Ａは、例示的なＴＦ符号化システムが、極符号がかなり複雑なＣＡ－ＳＣＬデコーダを使用して復号される場合でも、リードミュラー及び極符号における従来技術よりも大幅に優れた性能を提供することを示している。この大幅な改善は、Ｎ＝１２８の比較的小さいブロック長で得られることは注目に値する。そのような短いブロック長の符号は、通常、空間通信におけるテレメトリ情報及びセルラシステムにおけるリソース割り当て情報などの、通信システムにおける機密制御情報を保護するために使用される。したがって、図８Ａは、本原理の実際的な有用性及び潜在的な用途を実証する。本原理のレート対（Ｒ_ｏｕｔ、Ｒ_ｉｎ）は、従来技術を表す他の符号のレート対とは実質的に異なることも注目に値する。本原理は、レートＲ_ｏｕｔを１／２付近に設定し、Ｒ_ｉｎを１付近に設定するが、従来技術は、Ｒ_ｏｕｔを１付近又は１に設定し、Ｒ_ｉｎを１／２付近又は１／２に設定する。本原理は主に誤り訂正のための強力な外部符号に依存するが、従来技術の方法は主に誤り訂正に対して内部符号の強度に依存する。

次に、性能が曲線８０５によって示されているＴＦ符号化システムの設計を説明するために図８Ｂを参照する。図８Ｂは、本原理及び従来技術についての情報及びレート割り当てプロファイルを比較するグラフ８１０を示す。図８Ｂのすべての曲線は、３ｄＢのＳＮＲでＡＷＧＮチャネルについて計算される。３ｄＢ ＳＮＲにおけるＡＷＧＮチャネルの容量及びカットオフレートは、それぞれＩ（Ｗ）＝０．７２ビット及びＲ_ｏ（Ｗ）＝０．５５ビットによって与えられる。

従来技術は、曲線８１１、８１２及び８１３によって図８Ｂに表され、それぞれ、累積容量ｉ・Ｉ（Ｗ）、累積カットオフレートｉ・Ｒ_０（Ｗ）、及び累積レートｉ・Ｒ対指数変数ｉである。曲線８１１、８１２、８１３の数値は、レートＲ＝１／２の畳み込み符号を表す。（実際には、レート１／２の畳み込み符号の累積レートのより正確なプロットは、奇数時間インデックスで１ビットのジャンプを有する。したがって、曲線８１３は近似値である。）レート１／２の畳み込み符号のレートプロファイル８１３は、カットオフレートプロファイル８１２を下回ることが分かる。したがって、過度の計算の複雑なしに畳み込み符号を復号するために逐次デコーダを使用することができると予測する。一方、カットオフレートのプロファイル８１２とレートのプロファイル８１３との間のギャップは非常に狭い。したがって、デコーダのタイムアウト及び／又はバッファオーバフローをもたらす長い探索が時折存在することも予想される。

本原理は、曲線８１４、８１５、及び８１６によって図８Ｂに表されており、これらはそれぞれ、指数変数ｉ∈｛１，２，・・・，Ｎ｝の関数としての累積容量Ｉ（Ｖ^ｉ；Ｙ）＝Σ_ｊ＝１ ^ｉＩ（Ｖ_ｊ；Ｙ｜Ｖ^ｊ－１）、累積カットオフレートΣ_ｊ＝１ ^ｉＲ_０（Ｖ_ｊ；Ｙ｜Ｖ^ｊ－１）、及び累積レートΣ_ｊ＝１ ^ｉχ_Ａ（ｊ）である。曲線８１４、８１５、８１６の数値は、曲線８０５に関連して性能が上述されたＴＦ符号に属する。曲線８１４及び８１５はそれぞれ、チャネル容量及びカットオフレートに対する（外部デコーダ２３２で見られるような）偏波効果を示す。指数ｉの値が小さい場合、累積容量８１４及び累積カットオフレート８１５は非常にゆっくりと上昇し、それぞれの量のゼロへの偏波を示す。指数ｉの値が大きい場合、曲線８１４及び８１５の勾配は１に近づき、１に対するそれぞれの量の偏波を示す。曲線８１５の最終値が曲線８１２の最終値よりも著しく大きいという意味で、ＴＦ符号化システムがカットオフレートを高めることは注目に値する。ＴＦコードは、内部変換Ｇ_ｉｎの効果によってカットオフレートを高め、外部デコーダ２３２の内部に位置する逐次デコーダは、高められたカットオフレートを利用することができる。レート曲線８１６は、カットオフレート曲線８１５とのギャップが拡大しており、逐次復号における（計算の平均及び高次モーメントに関して）複雑さの低減につながることが観察される。

図９は、本開示による、誤り訂正符号化を実施し得る例示的な無線ネットワークを示す。図９に示される無線ネットワーク９００の実施形態は、例示のみを目的としている。本開示の範囲から逸脱することなく、無線ネットワーク９００の他の実施形態を使用することができる。無線ネットワーク９００は、ｅＮｏｄｅＢ（ｅＮＢ）９０１、ｅＮＢ９０２、及びｅＮＢ９０３を含む。ｅＮＢ９０１は、ｅＮＢ９０２及びｅＮＢ９０３と通信する。ｅＮＢ９０１はまた、インターネット、専用ＩＰネットワーク、又はその他のデータネットワークなどの少なくとも１つのインターネットプロトコル（ＩＰ）ネットワーク９３０と通信する。

ネットワークの種類に応じて、「基地局」又は「アクセスポイント」など、「ｅＮｏｄｅＢ」又は「ｅＮＢ」の代わりに他の周知の用語が使用されてもよい。便宜上、この特許文書では、「ｅＮｏｄｅＢ」及び「ｅＮＢ」という用語は、リモート端末に無線アクセスを提供するネットワークインフラストラクチャ構成要素を指すために使用される。また、ネットワークの種類によっては、「移動局」（又は「ＭＳ」）、「加入者局」（又は「ＳＳ」）、「リモート端末」、「無線端末」、又は「ユーザデバイス」など、「ユーザ機器」又は「ＵＥ」の代わりに他の周知の用語が使用されてもよい。便宜上、「ユーザ機器」及び「ＵＥ」という用語は、ＵＥがモバイルデバイス（携帯電話又はスマートフォンなど）であるか、通常は固定デバイス（デスクトップコンピュータ又は自動販売機など）と見なされるかにかかわらず、ｅＮＢに無線でアクセスするリモート無線機器を指すために本特許文書で使用される。

ｅＮＢ９０２は、ｅＮＢ９０２のカバレッジエリア９２０内の第一の複数のユーザ機器（ＵＥ）のためにネットワーク９３０への無線ブロードバンドアクセスを提供する。第一の複数のＵＥは、スモールビジネス（ＳＢ）に位置し得るＵＥ９１１と、企業（Ｅ）内に位置し得るＵＥ９１２と、ＷｉＦｉホットスポット（ＨＳ）に位置し得るＵＥ９１３と、第一の住宅（Ｒ）に位置し得るＵＥ９１４と、第２の住宅（Ｒ）に位置し得るＵＥ９１５と、携帯電話、無線ラップトップ、無線携帯情報端末（ＰＤＡ）、タブレットなどのようなモバイルデバイス（Ｍ）であり得るＵＥ９１６と、を含む。ｅＮＢ９０３は、ｅＮＢ９０３のカバレッジエリア９２５内の第２の複数のＵＥに対してネットワーク９３０への無線ブロードバンドアクセスを提供する。第２の複数のＵＥは、ＵＥ９１５及びＵＥ９１６を含む。いくつかの実施形態では、ｅＮＢ９０１～９０３のうちの１つ又は複数は、３Ｇ、４Ｇ又は５Ｇ、ロングタームエボリューション（ＬＴＥ）、ＬＴＥ－Ａ、ＷｉＭＡＸ、又はその他の高度な無線通信技術を用いて、互いに及びＵＥ９１１～９１６と通信し得る。

点線はカバレッジエリア９２０及び９２５のおおよその範囲を示し、これらは例示及び説明の目的のためだけにほぼ円形として示されている。カバレッジエリア９２０及び９２５などのｅＮＢに関連付けられたカバレッジエリアは、ｅＮＢの構成、並びに、自然及び人為的な障害物に関連付けられた無線環境における変動に依存して、不規則な形状を含むその他の形状を有し得ることが明確に理解されるべきである。

以下でより詳細に説明するように、ＢＳ９０１、ＢＳ９０２、及びＢＳ９０３のうちの１つ又は複数は、本開示の実施形態で説明するような２Ｄアンテナアレイを含む。いくつかの実施形態では、ＢＳ９０１、ＢＳ９０２及びＢＳ９０３のうちの１つ又は複数は、２Ｄアンテナアレイを有するシステムのための符号表設計及び構造をサポートする。

図９は、無線ネットワーク９００の一例を示すが、様々な変更が図９になされてもよい。例えば、無線ネットワーク９００は、任意の適切な配置で、任意の数のｅＮＢ及び任意の数のＵＥを含み得る。また、ｅＮＢ９０１は、任意の数のＵＥと直接通信し、それらのＵＥにネットワーク９３０への無線ブロードバンドアクセスを提供することができる。同様に、各ｅＮＢ９０２～９０３は、ネットワーク９３０と直接通信し、ＵＥに、ネットワーク９３０への直接の無線ブロードバンドアクセスを提供し得る。さらに、ｅＮＢ９０１、９０２及び／又は９０３は、例えば外部電話ネットワーク又はその他の種類のデータネットワークなどのその他又は追加の外部ネットワークへのアクセスを提供し得る。

図に示され、上述された例示的なチャネル復号システムは、以下でさらに詳細に説明されるように、ｅＮＢ（ｅＮＢ９０２など）及び／又はＵＥ（ＵＥ９１６など）において実装され得る。

図１０Ａは、本開示による、誤り訂正符号化を実装し得る例示的なユーザ機器ネットワークを示す。図１０Ａに示されるＵＥ９１６の実施形態は、例示のみを目的としており、図９のＵＥ９１１～９１５は、同じ又は同様の構成を有することができる。しかしながら、ＵＥは多種多様な構成であり、図１０Ａは、本開示の範囲をＵＥの任意の特定の実装に限定しない。

ＵＥ９１６は、アンテナ１００５と、無線周波数（ＲＦ）送受信機１０１０と、送信（ＴＸ）処理回路１０１５（図１のエンコーダ１１０を含み得る）と、マイクロフォン１０２０と、受信（ＲＸ）処理回路１０２５（図１のデコーダ１３０を含み得る）とを含む。ＵＥ９１６はまた、スピーカ１０３０と、メインプロセッサ１０４０と、入出力（Ｉ／Ｏ）インターフェース（ＩＦ）１０４５と、キーパッド１０５０と、ディスプレイ１０５５と、メモリ１０６０とを含む。メモリ１０６０は、基本オペレーティングシステム（ＯＳ）プログラム１０６１及び１又は複数のアプリケーション１０６２を含む。ＯＳプログラム１０６１、アプリケーション１０６２のうちの１つ、又はそれらの何らかの組み合わせのいずれかは、図１から図８の様々な実施形態で説明したように、誤り訂正符号化を採用するためのプログラミングを実装することができる。

ＲＦ送受信機１０１０は、アンテナ１００５から、ネットワーク１０００のｅＮＢによって送信された着信ＲＦ信号を受信する。ＲＦ送受信機１０１０は、着信ＲＦ信号をダウンコンバートして、受信機（Ｒｘ）処理回路１０２５に送信される中間周波数（ＩＦ）又はベースバンド信号を生成することができる。Ｒｘ処理回路１０２５は、処理された信号をスピーカ１０３０（音声データ用など）に、又はさらなる処理（ウェブブラウジングデータ用など）のためにメインプロセッサ１０４０に送信する。

送信（Ｔｘ）処理回路１０１５は、ソースデータブロックに対する少なくともいくつかの入力データとして、マイクロフォン１０２０からのアナログ若しくはデジタル音声データ又はメインプロセッサ１０４０からの他の発信ベースバンドデータ（ウェブデータ、電子メール、インタラクティブビデオゲームデータなど）を受信する。Ｔｘ処理回路１０１５は符号化を実施する。ＲＦ送受信機１０１０は、Ｔｘ処理回路１０１５から発信処理ベースバンド又はＩＦ信号を受信し、ベースバンド又はＩＦ信号を、アンテナ１００５を介して伝送されるＲＦ信号にアップコンバートする。

メインプロセッサ１０４０は、１又は複数のプロセッサあるいは他の処理デバイスを含み、ＵＥ ９１６の全体的な動作を制御するために、メモリ１０６０に記憶された基本ＯＳプログラム１０６１を実行することができる。例えば、メインプロセッサ１０４０は、周知の原理に従って、ＲＦ送受信機１０１０、Ｒｘ処理回路１０２５、及びＴｘ処理回路１０１５による順方向チャネル信号の受信及び逆方向チャネル信号の送信を制御することができる。いくつかの実施形態では、メインプロセッサ１０４０は、少なくとも１つのプログラマブルマイクロプロセッサ又はマイクロコントローラを含み、他の実施形態では、メインプロセッサは、専用回路（例えば、体系的及び／又は非体系的な符号化又は復号プロセス、パンクチャリングプロセス、データマッピング用などの）並びに（任意に）プログラマブル論理又は処理回路を含む。

メインプロセッサ１０４０はまた、メモリ１０６０に常駐する他のプロセス及びプログラム、例えば、２Ｄアンテナアレイを有するシステムのためのチャネル品質測定及び報告のための動作を実行することができる。メインプロセッサ１０４０は、実行プロセスによって要求されるように、データ及び／又は命令をメモリ１０６０の内外に移動させることができる。いくつかの実施形態では、メインプロセッサ１０４０は、ＯＳプログラム１０６１に基づいて、又はｅＮＢ若しくはオペレータから受信した信号に応答して、アプリケーション１０６２を実行するように構成される。メインプロセッサ１０４０はまた、ラップトップコンピュータ及びハンドヘルドコンピュータなどの他のデバイスに接続する能力をＵＥ９１６に提供するＩ／Ｏインターフェース１０４５に結合される。Ｉ／Ｏインターフェース１０４５は、これらのアクセサリとメインコントローラ１０４０との間の通信経路である。

メインプロセッサ１０４０はまた、キーパッド１０５０（単に単一のボタンであってもよく、又はボタンのアレイ若しくは他のセットであってもよい）及びディスプレイユニット１０５５に結合される。ＵＥ９１６のオペレータは、キーパッド１０５０を使用してＵＥ９１６にデータを入力することができる。ディスプレイ１０５５は、例えばウェブサイトからテキスト及び／又は少なくとも限定されたグラフィックをレンダリングし、既知の慣行に従ってユーザによるタッチ入力を受信することができるタッチスクリーンディスプレイ又は他のディスプレイであってもよい。メモリ１０６０はメインプロセッサ１０４０に結合され、メモリ１０６０の少なくとも一部はランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）を含むことができ、メモリ１０６０の別の部分はフラッシュメモリ又は他の読み出し専用メモリ（ＲＯＭ）を含むことができる。

図１０ＡはＵＥ９１６の一例を示しているが、図１０Ａに様々な変更を加え得る。例えば、図１０Ａの様々な構成要素を組み合わせるか、さらに細分化するか、又は省略することができ、特定の必要に応じて追加の構成要素を追加することができる。特定の例として、メインプロセッサ１０４０は、１又は複数の中央処理装置（ＣＰＵ）及び１又は複数のグラフィック処理装置（ＧＰＵ）などの複数のプロセッサに分割することができる。また、図１０Ａは、携帯電話又はスマートフォンとして構成されたＵＥ９１６を示しているが、ＵＥは、他の種類のモバイル又は固定デバイスとして動作するように構成することができる。

図１０Ｂは、本開示による、誤り訂正符号化が実装され得る例示的な拡張ＮｏｄｅＢ（ｅＮＢ）ネットワークを示す。図１０Ｂに示されたｅＮＢ９０２の実施形態は例示のみのためのものであり、図９の他のｅＮＢは同一又は同様の構成を有することができる。しかしながら、ｅＮＢは多種多様な構成であり、図１０Ｂは、本開示の範囲をｅＮＢの任意の特定の実施態様に限定しない。なお、ｅＮＢ９０１及びｅＮＢ９０３は、ｅＮＢ１００２と同一又は同様の構造を含み得る。

図１０Ｂに示すように、ｅＮＢ９０２は、複数のアンテナ１０７０ａ～１０７０ｎと、複数のＲＦ送受信機１０７２ａ～１０７２ｎと、送信（Ｔｘ）処理回路１０７４と、受信（Ｒｘ）処理回路１０７６とを含む。特定の実施形態では、複数のアンテナ１０７０ａ～１０７０ｎのうちの１つ又は複数は、２Ｄアンテナアレイを含む。ｅＮＢ９０２はまた、コントローラ／プロセッサ１０７８と、メモリ１０８０と、バックホール又はネットワークインターフェース１０８２とを含む。

ＲＦ送受信機１０７２ａ～１０７２ｎは、アンテナ１０７０ａ～１０７０ｎから、ＵＥ又は他のｅＮＢによって送信された信号などの着信ＲＦ信号を受信する。ＲＦ送受信機１０７２ａ～１０７２ｎは、着信ＲＦ信号をダウンコンバートしてＩＦ信号又はベースバンド信号を生成する。ＩＦ信号又はベースバンド信号は、Ｒｘ処理回路１０７６に送られ、Ｒｘ処理回路１０７６は、ベースバンド信号又はＩＦ信号をフィルタリング、復号、及び／又はデジタル化することによって処理された信号を生成する。Ｒｘ処理回路１０７６は、さらなる処理のために処理された信号をコントローラ／プロセッサ１０７８に送信する。

Ｔｘ処理回路１０７４は、ソースデータブロック用の少なくともいくつかの入力データとして、コントローラ／プロセッサ１０７８からアナログ又はデジタルデータ（音声データ、ウェブデータ、電子メール、インタラクティブビデオゲームデータなど）を受信する。Ｔｘ処理回路１０７４は、出力ベースバンドデータを符号化、多重化、及び／又はデジタル化する回路を実装して処理信号を生成する。ＲＦ送受信機１０７２ａ～１０７２ｎは、Ｔｘ処理回路１０７４から発信処理信号を受信し、ベースバンド信号又はＩＦ信号を、アンテナ１０７０ａ～１０７０ｎを介して伝送されるＲＦ信号にアップコンバートする。

コントローラ／プロセッサ１０７８は、ｅＮＢ ９０２の全体的な動作を制御する、１又は複数のプロセッサ若しくはその他の処理デバイスを含み得る。例えば、コントローラ／プロセッサ１０７８は、周知の原理に従って、ＲＦ送受信機１０７２ａ～１０７２ｎ、Ｒｘ処理回路１０７６、及びＴｘ処理回路１０７４による順方向チャネル信号の受信及び逆方向チャネル信号の送信を制御することができる。コントローラ／プロセッサ８７８は、より高度な無線通信機能などの追加の機能もサポートすることができる。多種多様な他の機能のいずれかが、コントローラ／プロセッサ１０７８によってｅＮＢ９０２においてサポートされ得る。いくつかの実施形態では、コントローラ／プロセッサ１０７８は、少なくとも１つのマイクロプロセッサ又はマイクロコントローラを含み、他の実施形態では、メインプロセッサは、専用回路（例えば、体系的及び／又は非体系的な符号化プロセス、パンクチャリングプロセス、データマッピング用などの）並びに（任意に）プログラマブル論理又は処理回路を含む。

コントローラ／プロセッサ１０７８はまた、基本ＯＳなどのメモリ１０８０に常駐するプログラム及び他のプロセスを実行することができる。コントローラ／プロセッサ１０７８はまた、２Ｄアンテナアレイを有するシステムのためのチャネル品質測定及び報告をサポートすることができる。いくつかの実施形態では、コントローラ／プロセッサ１０７８は、エンティティ間の通信をサポートする。コントローラ／プロセッサ１０７８は、実行プロセスによって必要とされるように、データ及び／又は命令をメモリ１０８０の内外に移動させることができる。

コントローラ／プロセッサ１０７８はまた、バックホール又はネットワークインターフェース１０８２に結合される。バックホール又はネットワークインターフェース１０８２は、ｅＮＢ ９０２がバックホール接続又はネットワークを介して他のデバイス又はシステムと通信することを可能にする。インターフェース１０８２は、任意の適切な有線又は無線接続（複数可）を介した通信をサポートすることができる。例えば、ｅＮＢ９０２がセルラ通信システム（例えば、３Ｇ、４Ｇ、５Ｇ、ＬＴＥ、又はＬＴＥ－Ａをサポートするもの）の一部として実施される場合、インターフェース１０８２は、ｅＮＢ９０２が有線又は無線バックホール接続を介して他のｅＮＢと通信することを可能にし得る。ｅＮＢ９０２がアクセスポイントとして実装される場合、インターフェース１０８２は、ｅＮＢ７０２が有線若しくは無線ローカルエリアネットワークを介して、又は有線若しくは無線接続を介して（インターネットなどの）より大規模なネットワークと通信することを可能にし得る。インターフェース１０８２は、イーサネット（登録商標）又はＲＦ送受信機などの有線又は無線接続を介した通信をサポートする任意の適切な構造を含む。

メモリ１０８０は、コントローラ／プロセッサ１０７８に結合されている。メモリ１０８０の一部はＲＡＭを含むことができ、メモリ１０８０の別の部分はフラッシュメモリ又は他のＲＯＭを含むことができる。特定の実施形態では、複数の命令がメモリに記憶される。命令は、コントローラ／プロセッサ１０７８に、体系的及び／又は非体系的な符号化若しくは復号プロセス、パンクチャリングプロセス、データマッピングなどを実行させるように構成される。

図１０ＢはｅＮＢ９０２の一例を示しているが、図１０Ｂに様々な変更を加え得る。例えば、ｅＮＢ９０２は、図示された任意の数の各構成要素を含み得る。特定の例として、アクセスポイントは、複数のインターフェース１０８２を含むことができ、コントローラ／プロセッサ１０７８は、異なるネットワークアドレス間でデータをルーティングするためのルーティング機能をサポートすることができる。別の特定の例として、Ｔｘ処理回路１０７４の単一のインスタンス及びＲｘ処理回路１０７６の単一のインスタンスを含むものとして示されているが、ｅＮＢ９０２は、各々の複数のインスタンス（ＲＦ送受信機ごとに１つなど）を含むことができる。

従来技術との比較。本開示のこの部分では、本原理を従来技術と比較し、いくつかの重要な違いを指摘する。

実用的な観点から、本原理の最も重要な態様は、図８に示すように、それらが従来技術よりも大きな性能利得を提供することである。この改善は、いくつかの技術を組み合わせることによって得られる。チャネル偏波を生成する手段として、内部変換が使用される。外部変換は、ツリー符号を作成するために使用される。（新規スコア関数法に基づく）データインデックス集合選択方法は、デコーダにおいて深さ優先ツリー探索アルゴリズムに利用可能な偏波情報の量に従ってソースデータビットの取り込みを調整するために使用される。本原理は、方程式が雑音によって乱される場合に１組の線形方程式を解く効率的で強力な方法として三角分解を使用する。

極符号化における従来技術は、様々な連結体系によって、とりわけ外部符号としてのＣＲＣ及び内部極符号を復号するためのリストデコーダを使用することによって、最良の既知の性能結果を達成する。そのようなＣＲＣ支援リスト復号方法では、Ｒ＝Ｒ_ｏｕｔＲ_ｉｎという制約を条件として、外部符号は１に近いレートＲ_ｏｕｔを有し、内部符号は符号全体の目標レートＲをわずかに上回るレートＲ_ｉｎを有する。複雑さはほぼ完全に内部デコーダ内に常駐し、外部デコーダは単純なＣＲＣチェックを実行する。本原理は、特定の重要な点で従来技術の連結体系とは異なる。第一に、それらの好ましい実施形態における本原理は、レートＲ_ｉｎが１に近い内部符号及びレートＲ_ｏｕｔがＲに近い外部符号を使用する。言い換えれば、内部符号は有意な冗長性を付加しない（したがって、スタンドアロン符号として有意な誤り訂正能力を有さない）。本原理は、主に誤り訂正のための強力な外部符号に依存し、従来技術の連結方法は、主に誤り訂正のための内部符号の強度に依存する。

極変換は、従来技術において、極変換入力のいくつかの座標が凍結されたスタンドアロン符号化体系として使用される。本原理は、チャネル偏波を生成する手段として極変換を使用する。それらの好ましい実施形態における本原理は、ツリー探索アルゴリズムを使用して復号することができるツリー符号を構築するために、内部デコーダによって提供される偏波相互情報を利用する。

複雑度が低い場合、ツリー符号は畳み込み演算を使用して構築される。従来技術における畳み込み符号とは異なり、畳み込み演算への入力は、データシンボルと凍結シンボルとの混合である。データシンボルと凍結シンボルとの混合は、提供されたデータレートを、内部変換によってチャネルから到来する偏波情報に一致させるアルゴリズムに従って行われる。それらの好ましい実施形態では、ＴＦ符号は、外部符号を復号するための強力なデコーダ（逐次デコーダ）と、内部変換によって提供される逐次復号のカットオフレートを高めるための偏波の有益な効果との両方の利点を享受する。

従来技術における畳み込み符号化は、メモリレスチャネルに適した時不変レートプロファイルを使用する。本原理は、外部変換への入力の座標のサブセットが凍結されている場合、ある種の畳み込み符号化を使用する。しかしながら、結果として得られる畳み込み符号は、外部変換によって見られる有効チャネルの時変情報プロファイルと一致する時変レートプロファイルを有する。従来技術における畳み込み符号は終端を必要とする。本原理による外部変換は終端を使用しない。

従来技術の逐次デコーダは、主にメモリレスチャネルで使用される。本原理は、逐次復号を使用してメモリを有するチャネル（内部極変換によって生成されたチャネルはメモリを有する）上で符号を復号する。従来技術における逐次デコーダは、ノードの深さに依存しない時不変バイアス項を使用する。本原理による逐次デコーダは、符号ツリー内のノードの深さに依存する時変バイアス項を使用する。

本原理の拡張。ここで、本原理を容易に拡張することができるいくつかの方向を指摘する。そのような拡張はすべて当業者には明らかであり、それらは本開示によって網羅される。

上記で指摘したように、本原理は、外部デコーダ２３２の一部として任意のツリー探索アルゴリズムで適用することができる。１つの可能性は、メモリレスチャネルを介して畳み込み符号を復号するためのＭＬ手順であるビタビ復号を使用することである。外部コーダ２３２は、チャネル１２０と外部デコーダ２３２との間に内部デコーダ２３１が存在することに起因してメモリを有するチャネルを見るので、ビタビ復号はＴＦ符号を復号するのに準最適である。しかしながら、ＴＦコードを復号するためにリストの有無にかかわらずビタビデコーダを使用することが依然として可能である。

説明を簡単にするために、外部変換Ｇ_ｏｕｔが厳密に上三角行列であり、内部変換Ｇ_ｉｎが厳密に下三角行列であるようにＴＦ符号を定義した。本原理の利点は、Ｐ、Ｑ、Ｐ’、Ｑ’が置換行列であり、Ｕ及びＬはそれぞれ厳密に上三角行列及び厳密に下三角行列である場合、形式Ｇ_ｏｕｔ＝ＰＵＱの外部変換又は形式Ｇ_ｉｎ＝Ｐ’ＬＱ’の内部変換を使用しても保存できることが当業者には明らかであろう。本原理は、そのような置換の導入がハードウェア又はソフトウェアにおける本原理の実装を容易にし得ることを予測している。本開示における方法のすべてのそのような変形は、本原理によって網羅される。

外部変換行列Ｇ_ｏｕｔ及び内部変換行列Ｇ_ｉｎは、本原理の好ましい実施形態における非特異行列である。しかしながら、本原理のいくつかの実施形態では、Ｇ_ｏｕｔ又はＧ_ｉｎのいずれかが特異であっても非正方であってもよいことを予測する。この状況は、例えば、ＴＣＢのいくつかの要素がパンクチャリングされる場合に発生する可能性があり、これはＧ_ｉｎのいくつかの列を落とすことに相当する。

本原理の背後にある本質的な考え方は、外部変換Ｇ_ｏｕｔ及び内部変換Ｇ_ｉｎが同じ寸法を有さない場合でも適用され得ることが当業者には明らかであろう。例えば、Ｇ_ｉｎの行数がＧ_ｏｕｔの列数よりも多い場合、第２のソースデータブロック又は第２の凍結データブロックを内部変換Ｇ_ｉｎの入力に挿入することができる。

本明細書では、生成行列の三角分解による誤り訂正符号化のための方法及び装置の特定の実施形態が詳細に説明され、図面に示されているが、本開示に包含される主題は特許請求の範囲によってのみ限定されることを理解されたい。本開示を例示的な実施形態と共に説明してきたが、当業者であれば種々の変更及び修正を提案し得る。本開示は、添付の特許請求の範囲内に含まれるそのような変更及び修正を包含することが意図される。本出願の説明は、任意の特定の要素、工程、又は機能が、特許請求の範囲に含まれなければならない必須又は重要な要素であることを暗示するものとして読まれるべきではなく、特許取得された主題の範囲は、許容される特許請求の範囲によってのみ定義される。さらに、これらの特許請求の範囲はいずれも、「のための手段（ｍｅａｎｓ ｆｏｒ）」又は「のための工程（ｓｔｅｐ ｆｏｒ）」という正確な単語が特定の請求項で明示的に使用され、続いて機能を特定する分詞句が使用されない限り、添付の特許請求の範囲又は請求項の要素のいずれかに関して３５ ＵＳＣ§１１２（ｆ）を行使することを意図していない。請求項内の「機構」、「モジュール」、「デバイス」、「ユニット」、「構成要素」、「要素」、「部材」、「装置」、「機械」、「システム」、「プロセッサ」、又は「コントローラ」などの用語（これらに制限するものではないが）の使用は、特許請求の範囲自体の特徴によってさらに修正又は強化されるとき、当業者に知られている構造を指すと理解及び意図されており、３５ Ｕ．Ｓ．Ｃ．§１１２（ｆ）を行使することを意図していない。

連結符号化極符号化の性能を改善するのに非常に効果的であることが証明された方法は、より強力な符号を作成するために２つ以上の符号をタンデムに組み合わせる方法である連結符号化である。連結符号化の考え方は、Ｅｌｉａｓ［ＥＬＩ１９５４］の製品符号化方法に遡ることができる。連結符号化に関する画期的な研究は、Ｆｏｒｎｅｙのモノグラフ［ＦＯＲ１９６６］である。Ｆｏｒｎｅｙの連結体系では、ソースデータブロックは最初に外部エンコーダによって外部符号から外部符号語に符号化され、外部符号語は内部エンコーダによって内部符号から内部符号語に符号化される。参考文献［ＳＥＩ２０１０］、［ＳＥＩ２０１３］、［ＴＲＩ２０１３］、［ＴＡＬ２０１５］、［ＨＵＡ２０１６］、［ＷＡＮ２０１６］、［ＣＨＥ２０１７］、［ＷＵＸ２０１８］、及び［ＺＨＡ２０１８］は、極符号を内部符号とし、様々なパリティ検査符号を外部符号とする連結符号化を適用する。特に、１に近いレートの単純な巡回冗長検査（ＣＲＣ）符号を外部符号として使用する［ＴＡＬ２０１５］の体系は、極符号が３ＧＰＰ ＮＲ規格［３ＧＰ２０１８］、［ＢＩＯ２０１８］の一部として採用されている点まで、極符号性能を改善するのに非常に有効であることが判明している。［ＴＡＬ２０１５］におけるデコーダは、リスト復号と逐次除去復号とを組み合わせたものであり、一般にＣＲＣ支援逐次除去リスト（ＣＡ－ＳＣＬ）デコーダと呼ばれる。［ＴＡＬ２０１５］のスキームの一般化が［ＷＡＮ２０１６］に示されており、パリティ検査ビットを極符号器の入力ワードに挿入してＳＣＬ復号化下で極符号の性能を向上させるための様々なヒューリスティック的な方法を用いることを検討している。

逐次復号は、［ＮＩＵ２０１２］、［ＴＲＩ２０１７］、及び［ＪＥＯ２０１９］の研究では極符号と共に使用されているが、極符号の復号には使用されている。それらの最も好ましい実施形態における本原理は、レート１の内部極符号がチャネルポラライザとして機能する状態で、外部ツリー符号を復号するために逐次デコーダを使用する。内部極符号を有する連結符号化体系に関する従来技術の技術とは異なり、本原理は、誤り訂正の目的ではなく、外部ツリー符号が逐次デコーダ（又は何らかの他のツリー探索ヒューリスティック）によってより効率的に探索され得るように偏波を生成する手段として内部極符号を使用する。
国際出願公開第２０１８／１９６７６５号では、図４において、符号化ビットシーケンスを得るために情報Ｕを行列Ｇにより符号化している。
国際出願公開第２０１８／０６０９６１号では、ブロック上三角行列又は帯状テプリッツ行列を用いて、複数構成された極符号を「空間的に」異なる組み合わせで連結することで、異なるブロック長を符号化することを開示している。

図２を参照すると、ＴＦ符号化システム２００を示すブロック図が示されており、ＴＦ符号化システム２００は、通信システム１００のＴＦ符号（Ｇ_ｏｕｔ、Ｇ_ｉｎ、Ａ、ａ）の符号化及び復号への適合であり、Ｇ_ｏｕｔは外部変換行列であり、Ｇ_ｉｎは内部変換行列であり、Ａはデータ選択器集合であり、ａは凍結データブロック（ＦＤＢ）である。ＴＦ符号化システム２００は、ＴＦエンコーダ２１０と、チャネル１２０（図１と同じ）と、ＴＦデコーダ２３０とを備える。ＴＦエンコーダ２１０は、データインサータ２１１、外部変換２１２、及び内部変換２１３を備え、データインサータ２１１は、ＳＤＢ ｄを受信し、ｖ_Ａ＝ｄ及びｖ_Ａｃ＝ａとなるようにデータコンテナブロック（ＤＣＢ）ｖを生成する。外部変換２１２は、ＤＣＢ ｖを受信し、ｕ＝ｖＧ_ｏｕｔである外部変換ブロック（ＯＴＢ）ｕを生成する。内部変換２１３は、ＯＴＢ ｕを受信し、ｘ＝ｕＧ_ｉｎであるＴＣＢ ｘを生成する。ＴＦエンコーダ２１０は、ＴＣＢ ｘをチャネル１２０に送る。チャネル１２０は、ＴＣＢ ｘを受信し、これに応答して、チャネル出力において受信された符号ブロック（ＲＣＢ）ｙを生成する。ＴＦデコーダ２３０は、内部デコーダ２３１と、外部デコーダ２３２と、データ抽出器２３３とを備える。ＴＦデコーダ２３０は、チャネル出力からＲＣＢ ｙを受信し、それを内部デコーダ２３１に渡す。内部デコーダ２３１と外部デコーダ２３２は、メッセージインターフェースを介してメッセージを交換する。メッセージインターフェースを介して外部デコーダ２３２によって送信された各ノードメトリック要求に応答して、内部デコーダ２３１は、ノードメトリックを計算し、ノードメトリックをメッセージインターフェースを介して外部デコーダ２３２に送信する。各ノードメトリックは、複数の変数の関数であり、複数の変数は、ノード識別子及びＲＣＢ ｙを含む。外部デコーダ２３２は、内部デコーダ２３１によって生成されたノードメトリックを受信し、復号されたデータコンテナブロック（ＤＤＣＢ）ｖ＾を計算し、ＤＤＣＢ ｖ＾をデータ抽出器２３３に渡す。データ抽出器２３３は、ＤＤＣＢ ｖ＾を受信し、ｄ＾＝ｖ＾_Ａを設定することによってＤＳＤＢ ｄ＾を抽出する。よく設計されたＴＦ符号化システムでは、ＤＳＤＢ ｄ＾は、高い確率でＳＤＢ ｄの正確なレプリカである。

ＴＦ符号化システム２００の重要な態様は、内部デコーダ２３１及び外部デコーダ２３２を互いに独立して実装することが可能であるという意味で、そのモジュール構造である。より正確には、内部デコーダ２３１は、外部変換Ｇ_ｏｕｔとは無関係に実装されてもよく、外部デコーダ２３２は、内部変換Ｇ_ｉｎとは無関係に実装されてもよい。ＴＦデコーダ２３０の実装においてこのようなモジュール性を有することは、ＴＦデコーダ２３０のすべての部分を再設計する必要なく、内部変換又は外部変換を変更することができるため、有利である。以下では、ＴＦ符号化システム２００の各部分についてより詳細に説明し、各部分の例示的な実施形態を提示する。

図６は、以下の特別な事例に内部変換２１３を実装するために使用することができる例示的な極変換回路６００を示す。

例示的な極変換回路６００は、パラレル入力ポート６０１、パラレル出力ポート６０２、及び内部論理回路を備える。内部論理は組み合わせである。回路は、パラレル入力ポート６０１で加えられる入力信号（ｕ_１，・・・，ｕ_８）によって駆動され、パラレル出力ポート６０２で（何らかの信号伝搬遅延後に）出力信号（ｘ_１，・・・，ｘ_８）を生成する。回路を介して入力論理信号を追跡することによって、出力信号が入力信号と

及びｘ_８＝ｕ_８によって関係していることを検証することができ、

は論理排他的論理和（ＸＯＲ）演算を示す。論理信号間のこれらの関係は、行列乗算

を実行することによってベクトルｕ＝（ｕ_１，…，ｕ_８）∈Ｆ_２ ^８とｘ＝（ｘ_１，…，ｘ_８）∈Ｆ_２ ^８との間に得られる代数的関係と同じである。したがって、回路６００が例示的な事例

の内部変換演算を正しく実装することが検証される。回路６００を任意のｎを有する事例

に一般化するために、極符号化に関する従来技術を参照する。極符号化に関する従来技術は、ハードウェア又はソフトウェアのいずれかを使用して極変換を実装するための多くの選択肢を含む。すべてのそのような実装オプションは、本原理の物理的実現に使用することができる。

ネットワークの種類に応じて、「基地局」、「ＢＳ］、又は「アクセスポイント」など、「ｅＮｏｄｅＢ」又は「ｅＮＢ」の代わりに他の周知の用語が使用されてもよい。便宜上、この特許文書では、「ｅＮｏｄｅＢ」及び「ｅＮＢ」という用語は、リモート端末に無線アクセスを提供するネットワークインフラストラクチャ構成要素を指すために使用される。また、ネットワークの種類によっては、「移動局」（又は「ＭＳ」）、「加入者局」（又は「ＳＳ」）、「リモート端末」、「無線端末」、又は「ユーザデバイス」など、「ユーザ機器」又は「ＵＥ」の代わりに他の周知の用語が使用されてもよい。便宜上、「ユーザ機器」及び「ＵＥ」という用語は、ＵＥがモバイルデバイス（携帯電話又はスマートフォンなど）であるか、通常は固定デバイス（デスクトップコンピュータ又は自動販売機など）と見なされるかにかかわらず、ｅＮＢに無線でアクセスするリモート無線機器を指すために本特許文書で使用される。

ｅＮＢ９０２は、ｅＮＢ９０２のカバレッジエリア９２０内の第一の複数のユーザ機器（ＵＥ）のためにネットワーク９３０への無線ブロードバンドアクセスを提供する。第一の複数のＵＥは、スモールビジネス（ＳＢ）に位置し得るＵＥ９１１と、企業（Ｅ）内に位置し得るＵＥ９１２と、ＷｉＦｉホットスポット（ＨＳ）に位置し得るＵＥ９１３と、第一の住宅（Ｒ１）に位置し得るＵＥ９１４と、第２の住宅（Ｒ２）に位置し得るＵＥ９１５と、携帯電話、無線ラップトップ、無線携帯情報端末（ＰＤＡ）、タブレットなどのようなモバイルデバイス（Ｍ）であり得るＵＥ９１６と、を含む。ｅＮＢ９０３は、ｅＮＢ９０３のカバレッジエリア９２５内の第２の複数のＵＥに対してネットワーク９３０への無線ブロードバンドアクセスを提供する。第２の複数のＵＥは、ＵＥ９１５及びＵＥ９１６を含む。いくつかの実施形態では、ｅＮＢ９０１～９０３のうちの１つ又は複数は、３Ｇ、４Ｇ又は５Ｇ、ロングタームエボリューション（ＬＴＥ）、ＬＴＥ－Ａ、ＷｉＭＡＸ、又はその他の高度な無線通信技術を用いて、互いに及びＵＥ９１１～９１６と通信し得る。

ＲＦ送受信機１０１０は、アンテナ１００５から、ネットワーク９００のｅＮＢによって送信された着信ＲＦ信号を受信する。ＲＦ送受信機１０１０は、着信ＲＦ信号をダウンコンバートして、受信機（Ｒｘ）処理回路１０２５に送信される中間周波数（ＩＦ）又はベースバンド信号を生成することができる。Ｒｘ処理回路１０２５は、処理された信号をスピーカ１０３０（音声データ用など）に、又はさらなる処理（ウェブブラウジングデータ用など）のためにメインプロセッサ１０４０に送信する。

図１０Ｂは、本開示による、誤り訂正符号化が実装され得る例示的な拡張ＮｏｄｅＢ（ｅＮＢ）ネットワークを示す。図１０Ｂに示されたｅＮＢ９０２の実施形態は例示のみのためのものであり、図９の他のｅＮＢは同一又は同様の構成を有することができる。しかしながら、ｅＮＢは多種多様な構成であり、図１０Ｂは、本開示の範囲をｅＮＢの任意の特定の実施態様に限定しない。なお、ｅＮＢ９０１及びｅＮＢ９０３は、ｅＮＢ９０２と同一又は同様の構造を含み得る。

コントローラ／プロセッサ１０７８は、ｅＮＢ ９０２の全体的な動作を制御する、１又は複数のプロセッサ若しくはその他の処理デバイスを含み得る。例えば、コントローラ／プロセッサ１０７８は、周知の原理に従って、ＲＦ送受信機１０７２ａ～１０７２ｎ、Ｒｘ処理回路１０７６、及びＴｘ処理回路１０７４による順方向チャネル信号の受信及び逆方向チャネル信号の送信を制御することができる。コントローラ／プロセッサ１０７８は、より高度な無線通信機能などの追加の機能もサポートすることができる。多種多様な他の機能のいずれかが、コントローラ／プロセッサ１０７８によってｅＮＢ９０２においてサポートされ得る。いくつかの実施形態では、コントローラ／プロセッサ１０７８は、少なくとも１つのマイクロプロセッサ又はマイクロコントローラを含み、他の実施形態では、メインプロセッサは、専用回路（例えば、体系的及び／又は非体系的な符号化プロセス、パンクチャリングプロセス、データマッピング用などの）並びに（任意に）プログラマブル論理又は処理回路を含む。

コントローラ／プロセッサ１０７８はまた、バックホール又はネットワークインターフェース１０８２に結合される。バックホール又はネットワークインターフェース１０８２は、ｅＮＢ ９０２がバックホール接続又はネットワークを介して他のデバイス又はシステムと通信することを可能にする。インターフェース１０８２は、任意の適切な有線又は無線接続（複数可）を介した通信をサポートすることができる。例えば、ｅＮＢ９０２がセルラ通信システム（例えば、３Ｇ、４Ｇ、５Ｇ、ＬＴＥ、又はＬＴＥ－Ａをサポートするもの）の一部として実施される場合、インターフェース１０８２は、ｅＮＢ９０２が有線又は無線バックホール接続を介して他のｅＮＢと通信することを可能にし得る。ｅＮＢ９０２がアクセスポイントとして実装される場合、インターフェース１０８２は、ｅＮＢ９０２が有線若しくは無線ローカルエリアネットワークを介して、又は有線若しくは無線接続を介して（インターネットなどの）より大規模なネットワークと通信することを可能にし得る。インターフェース１０８２は、イーサネット（登録商標）又はＲＦ送受信機などの有線又は無線接続を介した通信をサポートする任意の適切な構造を含む。

実用的な観点から、本原理の最も重要な態様は、図８Ａに示すように、それらが従来技術よりも大きな性能利得を提供することである。この改善は、いくつかの技術を組み合わせることによって得られる。チャネル偏波を生成する手段として、内部変換が使用される。外部変換は、ツリー符号を作成するために使用される。（新規スコア関数法に基づく）データインデックス集合選択方法は、デコーダにおいて深さ優先ツリー探索アルゴリズムに利用可能な偏波情報の量に従ってソースデータビットの取り込みを調整するために使用される。本原理は、方程式が雑音によって乱される場合に１組の線形方程式を解く効率的で強力な方法として三角分解を使用する。

本明細書では、生成行列の三角分解による誤り訂正符号化のための方法及び装置の特定の実施形態が詳細に説明され、図面に示されているが、本開示に包含される主題は特許請求の範囲によってのみ限定されることを理解されたい。本開示を例示的な実施形態と共に説明してきたが、当業者であれば種々の変更及び修正を提案し得る。本開示は、添付の特許請求の範囲内に含まれるそのような変更及び修正を包含することが意図される。本出願の説明は、任意の特定の要素、工程、又は機能が、特許請求の範囲に含まれなければならない必須又は重要な要素であることを暗示するものとして読まれるべきではなく、特許取得された主題の範囲は、許容される特許請求の範囲によってのみ定義される。

Claims (16)

1. ソースデータブロックｄを送信された符号ブロックｘに符号化するための通信システムで使用するためのエンコーダ装置であって、
   データインサータと、
   変換エンコーダと、を備え、
   前記エンコーダ装置は、１組のパラメータ（Ｎ，Ｋ，Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）に従って構成され、Ｎは前記送信された符号語ｘの長さであり、Ｋは前記ソースデータブロックｄの長さであり、Ｇ_ｏｕｔは外部変換行列であり、Ｇ_ｉｎは内部変換行列であり、Ａはデータインデックス集合であり、ａは固定データブロックであり、Ｎ及びＫは１≦Ｋ＜Ｎを満たす整数であり、前記データインデックス集合Ａはサイズ｜Ａ｜＝Ｋを有する｛１，２，・・・，Ｎ｝のサブセットであり、前記固定データブロックａは長さＮ－Ｋを有し、前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、ｉ＝１，２，・・・，Ｎ及びｊ＝１，２，・・・，Ｎごとに行列Ｇ_ｏｕｔのｉ行目とｊ列目に要素（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊを有するＮ×Ｎの上三角行列であり、１≦ｊ＜ｉ≦Ｎを満たす各対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ＝０であり、各ｉ＝１，２，・・・，Ｎに対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｉ≠０であり、１≦ｉ＜ｊ≦Ｎを満たす少なくとも１つの対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ≠０であり、前記内部変換行列Ｇ_ｉｎは、クロネッカー積
   

   

   
   によって与えられるＮ×Ｎの下三角極変換行列であり、ｎ＝ｌｏｇ_２Ｎであり、
   前記データインサータは、前記ソースデータブロックｄを受信し、ｖ_Ａ＝ｄ及びｖ_Ａｃ＝ａを設定することによってデータコンテナブロックｖを生成するように構成され、ｖ_Ａは、インデックスがＡにあるｖの座標に対応するｖのデータ部分を表し、ｖ_Ａｃは、インデックスがＡにないｖの座標に対応するｖの凍結部分を表し、
   前記変換エンコーダは、前記データコンテナブロックｖを受信し、ｘ＝ｖＧ_ｏｕｔＧ_ｉｎを計算することによって、送信された符号ブロックｘを集約するように構成され、
   前記エンコーダ装置は、前記送信された符号ブロックｘを前記通信システム内のチャネルに送るようにさらに構成される、エンコーダ装置。
2. 前記変換エンコーダが、前記データコンテナブロックｖを受信し、外部変換ブロックｕ＝ｖＧ_ｏｕｔを生成するように構成された外部変換エンコーダと、
   前記外部変換ブロックｕを受信し、前記送信された符号ブロックｘ＝ｖＧ_ｉｎを計算するように構成された内部変換エンコーダと、を備える、請求項１に記載のエンコーダ装置。
3. 前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、因果インパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_ｍ）によって定義されるテプリッツ行列であり、ｍ＞０、ｃ_０≠０、及びｃ_ｍ≠０である、請求項２に記載のエンコーダ装置。
4. 前記データインデックス集合Ａは、点別スコア関数に従って選択され、前記点別スコア関数は、ハミングスコア関数、相互情報スコア関数、又はＧａｌｌａｇｅｒスコア関数のうちの１つである、請求項１に記載のエンコーダ装置。
5. チャネルから受信された符号ブロックｙを受信し、前記受信された符号ブロックｙを復号して、ソースデータブロックｄの推定値として復号されたソースブロックｄ＾を生成するための通信システムにおいて使用するためのデコーダ装置であって、前記受信された符号ブロックｙは、送信された符号ブロックｘのノイズの多いバージョンを備え、前記デコーダ装置は、
   内部デコーダと、
   外部デコーダと、を備え、
   前記デコーダ装置は、１組のパラメータ（Ｎ，Ｋ，Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）に従って構成され、Ｎは前記送信された符号語ｘの長さであり、Ｋは前記ソースデータブロックｄの長さであり、Ｇ_ｏｕｔは外部変換行列であり、Ｇ_ｉｎは内部変換行列であり、Ａはデータインデックス集合であり、ａは固定データブロックであり、Ｎ及びＫは１≦Ｋ＜Ｎを満たす整数であり、前記データインデックス集合Ａはサイズ｜Ａ｜＝Ｋを有する｛１，２，・・・，Ｎ｝のサブセットであり、前記固定データブロックａは長さＮ－Ｋを有し、前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、ｉ＝１、２、・・・，Ｎ及びｊ＝１、２、・・・，ＮごとにＧ_ｏｕｔのｉ行目及びｊ列目に要素（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊを有するＮ×Ｎの上三角行列であり、１≦ｊ＜ｉ≦Ｎを満たす各対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ＝０であり、各ｉ＝１，２，・・・，Ｎに対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｉ≠０であり、１≦ｉ＜ｊ≦Ｎを満たす少なくとも１つの対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ＝０であり、前記内部変換行列Ｇ_ｉｎは、クロネッカー積
   

   

   
   によって与えられるＮ×Ｎの下三角極変換行列であり、ｎ＝ｌｏｇ_２Ｎであり、前記送信された符号ブロックｘ及び前記ソースデータブロックは、関係式ｘ＝ｖＧ_ｏｕｔＧ_ｉｎを満たし、ｖは、データ部分ｖ_Ａ＝ｄ及び凍結部分ｖ_Ａｃ＝ａを含むデータコンテナブロックであり、ｖ_Ａは、インデックスがＡにあるｖの座標に対応するｖの部分を表し、ｖ_Ａｃは、インデックスがＡにないｖの座標に対応するｖの部分を表し、
   前記内部デコーダは、前記受信された符号ブロックｙを受信し、前記外部デコーダからのノードメトリック要求を受信し、前記内部変換行列Ｇ_ｉｎに従ってノードメトリックを計算し、計算されたノードメトリックを前記外部デコーダに送信するように構成され、
   前記外部デコーダは、前記内部デコーダへノードメトリック要求を送信し、前記内部デコーダから計算されたノードメトリックを受信し、前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔ、前記データインデックス集合Ａ、及び前記固定データブロックａに従って、復号されたデータコンテナブロックｖ＾を計算するように構成され、
   前記デコーダ装置は、ｄ＾＝ｖ＾_Ａを設定することによって前記復号されたデータコンテナブロックｖ＾から復号されたソースデータブロックｄ＾を抽出するようにさらに構成された、デコーダ装置。
6. 前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、因果インパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_Ｎ－１）によって定義されるテプリッツ行列であり、１≦ｍ≦Ｎ－１を満たす少なくとも１つの整数ｍに対してｃ_０≠０及びｃ_ｍ≠０である、請求項５に記載のデコーダ装置。
7. 前記データインデックス集合Ａは、点別スコア関数に従って選択され、前記点別スコア関数は、ハミングスコア関数、相互情報スコア関数、又はＧａｌｌａｇｅｒスコア関数のうちの１つである、請求項５に記載のデコーダ装置。
8. 前記外部デコーダは、深さ優先ツリー探索アルゴリズムを使用することによって前記復号されたデータコンテナブロックを計算する、請求項５に記載のデコーダ装置。
9. データインサータ及び変換エンコーダを含むエンコーダ装置を使用して、ソースデータブロックｄを送信された符号ブロックｘに符号化する通信システムで使用するための符号化方法であって、
   １組のパラメータ（Ｎ，Ｋ，Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）に従って前記エンコーダ装置を構成することであって、Ｎは前記送信された符号語ｘの長さであり、Ｋは前記ソースデータブロックｄの長さであり、Ｇ_ｏｕｔは外部変換行列であり、Ｇ_ｉｎは内部変換行列であり、Ａはデータインデックス集合であり、ａは固定データブロックであり、Ｎ及びＫは１≦Ｋ＜Ｎを満たす整数であり、前記データインデックス集合Ａはサイズ｜Ａ｜＝Ｋを有する｛１，２，・・・，Ｎ｝のサブセットであり、前記固定データブロックａは長さＮ－Ｋを有し、前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、ｉ＝１，２，・・・，Ｎ及びｊ＝１，２，・・・，ＮごとにＧ_ｏｕｔのｉ行目及びｊ列目に要素（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊを有するＮ×Ｎの上三角行列であり、１≦ｊ＜ｉ≦Ｎを満たす各対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ＝０であり、各ｉ＝１，２，・・・，Ｎに対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ≠０であり、１≦ｉ＜ｊ≦Ｎを満たす少なくとも１つの対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ≠０であり、前記内部変換行列Ｇ_ｉｎは、クロネッカー積
   

   

   
   によって与えられるＮ×Ｎの下三角極変換行列であり、ｎ＝ｌｏｇ_２Ｎである、前記エンコーダ装置を構成することを含み、前記符号化方法は、
   前記データインサータで、前記ソースデータブロックｄを受信することと、
   前記データインサータ内で、ｖ_Ａ＝ｄ及びｖ_Ａｃ＝ａを設定することによってデータコンテナブロックｖを生成することであって、ｖ_Ａは、インデックスがＡ内にあるｖの座標に対応するｖのデータ部分を表し、ｖ_Ａｃは、インデックスがＡ内にないｖの座標に対応するｖの凍結部分を表す、データコンテナブロックｖを生成することと、
   前記データインサータから前記変換エンコーダで前記データコンテナブロックｖを受信することと、
   前記変換エンコーダ内で、ｘ＝ｖＧ_ｏｕｔＧ_ｉｎを計算することによって送信された符号ブロックｘを集約することと、
   前記送信された符号ブロックｘを前記通信システム内のチャネルに送ることと、
   を含む、符号化方法。
10. 前記変換エンコーダは、
    前記データコンテナブロックｖを受信し、外部変換ブロックｕ＝ｖＧ_ｏｕｔを生成する外部変換エンコーダと、
    前記外部変換ブロックｕを受信し、前記送信された符号ブロックｘ＝ｖＧ_ｉｎを計算する内部変換エンコーダと、
    を備える、請求項９に記載の符号化方法。
11. 前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、因果インパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_ｍ）によって定義されるテプリッツ行列であり、ｍ＞０、ｃ_０≠０、及びｃ_ｍ≠０である、請求項１０に記載の符号化方法。
12. 前記データインデックス集合Ａは、点別スコア関数に従って選択され、前記点別スコア関数は、ハミングスコア関数、相互情報スコア関数、又はＧａｌｌａｇｅｒスコア関数のうちの１つである、請求項９に記載の符号化方法。
13. チャネルから受信された符号ブロックｙを受信し、ソースデータブロックｄの推定値として復号されたソースブロックｄ＾を生成するために、内部デコーダ及び外部デコーダを含むデコーダ装置を使用して、前記受信された符号ブロックｙを復号するための通信システムにおいて使用するための復号方法であって、前記受信された符号ブロックｙは、送信された符号ブロックｘの雑音バージョンを含み、前記復号方法は、
    １組のパラメータ（Ｎ，Ｋ，Ｇ_ｏｕｔ，Ｇ_ｉｎ，Ａ，ａ）に従って前記デコーダ装置を構成することであって、Ｎは前記送信された符号語ｘの長さであり、Ｋは前記ソースデータブロックｄの長さであり、Ｇ_ｏｕｔは外部変換行列であり、Ｇ_ｉｎは内部変換行列であり、Ａはデータインデックス集合であり、ａは固定データブロックであり、Ｎ及びＫは１≦Ｋ＜Ｎを満たす整数であり、前記データインデックス集合Ａはサイズ｜Ａ｜＝Ｋを有する｛１，２，・・・，Ｎ｝のサブセットであり、前記固定データブロックａは長さＮ－Ｋを有し、前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、ｉ＝１、２、・・・、Ｎ及びｊ＝１、２、・・・、ＮごとにＧ_ｏｕｔのｉ行目及びｊ列目に要素（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊを有するＮ×Ｎの上三角行列であり、１≦ｊ＜ｉ≦Ｎを満たす各対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ＝０であり、各ｉ＝１，２，・・・，Ｎに対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｊ≠０であり、１≦ｉ＜ｊ≦Ｎを満たす少なくとも１つの対の整数（ｉ，ｊ）に対して（ｇ_ｏｕｔ）_ｉ，ｉ≠０であり、前記内部変換行列Ｇ_ｉｎは、クロネッカー積
    

    

    
    によって与えられるＮ×Ｎの下三角極変換行列であり、ｎ＝ｌｏｇ_２Ｎであり、前記送信された符号ブロックｘ及び前記ソースデータブロックは、関係式ｘ＝ｖＧ_ｏｕｔＧ_ｉｎを満たし、ｖは、データ部分ｖ_Ａ＝ｄ及び凍結部分ｖ_Ａｃ＝ａを含むデータコンテナブロックであり、ｖ_Ａは、インデックスがＡにあるｖの座標に対応するｖの部分を表し、ｖ_Ａｃは、インデックスがＡにないｖの座標に対応するｖの部分を表す、前記デコーダ装置を構成することと、
    前記内部デコーダで、前記受信された符号ブロックｙを受信することと、
    前記外部デコーダから前記内部デコーダにノードメトリック要求を送信することと、
    前記内部デコーダで、前記外部デコーダからの前記ノードメトリック要求を受信することと、
    前記内部デコーダ内で、前記内部変換行列Ｇ_ｉｎに従ってノードメトリックを計算することと、
    前記内部デコーダから前記外部デコーダへ計算されたノードメトリックを送信することと、
    前記外部デコーダで、前記内部デコーダからの前記計算されたノードメトリックを受信することと、
    前記外部デコーダ内で、前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔ、前記データインデックス集合Ａ、及び前記固定データブロックａに従って、復号されたデータコンテナブロックｖ＾を計算することと、
    前記データインデックス集合Ａに従って前記復号されたデータコンテナブロックｖ＾から復号されたソースデータブロックｄ＾を抽出することと、
    を含む復号方法。
14. 前記外部変換行列Ｇ_ｏｕｔは、因果インパルス応答ｃ＝（ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_Ｎ－１）によって定義されるテプリッツ行列であり、１≦ｍ≦Ｎ－１を満たす少なくとも１つの整数ｍに対して、ｃ_０≠０、及びｃ_ｍ≠０である、請求項１３に記載の復号方法。
15. 前記データインデックス集合Ａは、点別スコア関数に従って選択され、前記点別スコア関数は、ハミングスコア関数、相互情報スコア関数、又はＧａｌｌａｇｅｒスコア関数のうちの１つである、請求項１３に記載の復号方法。
16. 前記外部デコーダは、深さ優先ツリー探索アルゴリズムを使用して前記復号されたデータコンテナブロックを計算する、請求項１３に記載の復号方法。
    

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