JP2022120968A - 推定装置、方法及びプログラム、並びに連続鋳造制御装置及び方法 - Google Patents

Abstract

【課題】 連続鋳造機で鋳造される鋳片の状態の推定精度の向上を、計算負荷の増加を抑制しつつ実現する。【解決手段】 推定装置１００ａは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのうち上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１におけるトラッキング面５００ａに対する時刻ｔ－Δｔでの伝熱凝固計算の結果を用いて、伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定された中間計算位置ｋに対する時刻ｔでの伝熱計算を実行し、当該伝熱計算の結果を用いて、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａに対する時刻ｔでの伝熱凝固計算を実行する。【選択図】 図５

Description

本発明は、推定装置、方法及びプログラム、並びに連続鋳造制御装置及び方法に関し、特に、連続鋳造機で鋳片を鋳造するために用いて好適なものである。

連続鋳造工程では、タンディッシュから鋳型内に溶鋼を供給して、鋳型から鋳片を引き抜く。そして、鋳型の下流側に配置される二次冷却帯において鋳片に冷却水を噴出して鋳片を冷却した後、二次冷却帯の下流側で鋳片に対して曲げおよび矯正を行う。その後、鋳片を切断してスラブ、ビレット、ブルーム等とする。ここで、鋳片の引き抜き方向の最下流の位置にあるロールの出口を機端出口と称する。二次冷却帯における冷却が適切でないと、鋳片の表面に割れ疵が生じたり、鋳片に中心偏析が生じたりする虞がある。また、機端出口において鋳片の中心まで凝固が完了せず、機端出口よりも先で鋳片の凝固が完了すると、鋳片が大きく膨張する虞がある。そこで、連続鋳造機で鋳造されている鋳片の温度および固相率を推定して管理することが行われる（例えば、特許文献１～２参照）。

鋳片の温度および固相率を推定するためには、鋳片と外部との間における熱伝達係数が用いられる。従って、熱伝達係数の推定精度が低いと、鋳片の温度および固相率の推定精度も低くなる。そこで、特許文献１、２には、鋳片に施される複数の冷却手段それぞれの熱伝達係数を算出し、算出した熱伝達係数のうちの最大値を用いて伝熱計算を行うことが開示されている。また、特許文献２には、鋳片の温度推定を行う位置での各計算区間内の全抜熱量を算出し、算出した全抜熱量を用いて伝熱計算を行うことが開示されている。

特開２０１３－３５０１１号公報 特開２０１９－９８３８８号公報

しかしながら、特許文献１、２に記載の技術では、計算区間の上流端の位置における鋳片の表面温度を用いて当該計算区間の下流端の位置における伝熱計算を実行する。従って、同一の計算区間内において鋳造に伴って鋳片の表面温度が変化することを考慮していない。よって、同一の計算区間内において鋳片の表面温度が変化する場合でも、当該計算区間に対して１つの熱伝達係数が選択される。このため、例えば、同一の計算区間内において熱伝達係数が鋳片の表面温度に応じて大きく異なる場合、鋳片の温度および固相率の推定精度が低下する虞がある。この場合、計算区間の間隔を短くすることにより、同一の計算区間内における熱伝達係数の変化を小さくすることが考えられる。しかしながら、このようにすると、計算負荷が高くなり、計算区間の長さだけ鋳造が進む間に計算が完了しない虞がある。

本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、連続鋳造機で鋳造される鋳片の状態の推定精度の向上を、計算負荷の増加を抑制しつつ実現することを目的とする。

本発明の推定装置は、連続鋳造機で鋳造される鋳片の状態を推定する推定装置であって、鋳造方向に間隔を有して設定される複数の伝熱凝固計算位置において、鋳造方向に垂直な前記鋳片の断面であるトラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する伝熱凝固計算部と、鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置の間に設定される少なくとも１つの中間計算位置において、前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行する伝熱計算部と、
を備え、前記伝熱計算部は、鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの上流側の伝熱凝固計算位置における前記トラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果を用いて、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行し、前記伝熱凝固計算部は、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算の結果を用いて、前記上流側の伝熱凝固計算位置にある前記トラッキング面が鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの下流側の伝熱凝固計算位置に位置するときの当該トラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する。

本発明の連続鋳造制御装置は、前記推定装置と、前記推定装置により実行された、前記トラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果に基づいて、前記連続鋳造機で鋳造されている鋳片の所定の位置における温度の目標値と計算値との偏差がゼロに近づくように、前記連続鋳造機の二次冷却帯における冷却水の供給量を制御する制御装置と、を備える。

本発明の推定方法は、連続鋳造機で鋳造される鋳片の状態を推定する推定方法であって、鋳造方向に間隔を有して設定される複数の伝熱凝固計算位置において、鋳造方向に垂直な前記鋳片の断面であるトラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する伝熱凝固計算工程と、鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置の間に設定される少なくとも１つの中間計算位置において、前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行する伝熱計算工程と、を有し、前記伝熱計算工程は、鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの上流側の伝熱凝固計算位置におけるトラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果を用いて、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行し、前記伝熱凝固計算工程は、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算の結果を用いて、前記上流側の伝熱凝固計算位置にある前記トラッキング面が鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの下流側の伝熱凝固計算位置に位置するときの当該トラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する。

本発明の連続鋳造制御方法は、前記推定方法により実行された、前記トラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果に基づいて、前記連続鋳造機で鋳造されている鋳片の所定の位置における温度の目標値と計算値との偏差がゼロに近づくように、前記連続鋳造機の二次冷却帯における冷却水の供給量を制御する制御工程を有する。

本発明のプログラムは、前記推定装置の各手段としてコンピュータを機能させるためのものである。

本発明によれば、連続鋳造機で鋳造される鋳片の状態の推定精度の向上を、計算負荷の増加を抑制しつつ実現することができる。

連続鋳造機の構成の一例を示す図である。 鋳片に対する冷却方式の一例を説明する図である。 各領域における熱伝達係数の計算値の一例を示す図である。 推定装置および制御装置の機能的な構成の一例を示す図である。 伝熱凝固計算位置のトラッキング面の計算点の一例を概念的に示す図である。 伝熱凝固計算位置と温度計算位置との関係の一例を示す図である。 中間計算位置における伝熱計算対象断面の計算点の一例を概念的に示す図である。 連続鋳造制御方法の一例を説明するフローチャートである。 基準例と比較例における、幅中央温度と鋳造長との関係を示す図である。 基準例と発明例における、幅中央温度と鋳造長との関係を示す図である。 図１０の一部分を拡大して示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の一実施形態を説明する。
尚、長さ、位置、大きさ、間隔等、比較対象が同じであることは、厳密に同じである場合の他、発明の主旨を逸脱しない範囲で異なるもの（例えば、設計時に定められる公差の範囲内で異なるもの）も含むものとする。

（連続鋳造機の概略構成）
図１は、連続鋳造機の構成の一例を示す図である。尚、連続鋳造機自体は、公知の技術で実現することができるので、図１では、本実施形態の説明に必要な部分のみを簡略化して示す。

不図示のタンディッシュから不図示の浸漬ノズル等を介して鋳型１内に溶鋼が供給される。鋳型１内において溶鋼の最上部には溶鋼メニスカス４が形成される。鋳型１内で溶鋼が冷却され外側が凝固した鋳片５を、複数の支持ロール７ａ～７ｖ、８ａ～８ｐで挟んで支持しながら引抜速度（鋳造速度）で鋳型１から引き抜く。複数の支持ロール７ａ～７ｖ、８ａ～８ｐは、鋳片５を間に挟むように相互に対向する位置に配置されると共に、鋳造方向に所定の間隔をあけて配置される。鋳造方向で隣接する２つの支持ロールの間には、鋳片５へ向けて冷却水を噴出する冷却スプレー２ａ～２ｔが配置される。本実施形態では、冷却スプレー２ａ～２ｔが、ミスト状の冷却水（水とエアーとの気液二相流体）を噴出するミストスプレーである場合を例に挙げて説明する。ただし、鋳片５を冷却する冷却水は、ミスト状の冷却水に限定されない。例えば、ミストスプレーに代えてまたは加えて水スプレー（水のみの単相流体を噴出するスプレー）を用いてもよい。

冷却スプレー２ａ～２ｔにより噴出される冷却水の流量は、配管１０ａ～１０ｊに設置された流量調整弁３ａ～３ｅにより調整される。流量調整弁３ａ～３ｅの開度は、制御装置１００ｂから与えられる水量指示値に基づいて調整される。本実施形態では、鋳片５の鋳造方向に垂直な方向の断面の形状が矩形である場合を例に挙げて説明する。以下の説明では、鋳造方向の下流側（機端出口９付近）において上方を向く上面または下方（重力方向）を向く下面となる鋳片５の面（５ｂ、５ｃ）を鋳片５の長辺面と称し、水平方向を向く側面となる鋳片５の面（５ａ）を鋳片５の短辺面と称する。本実施形態では、鋳片５の短辺面５ａに対向する位置に冷却スプレーを配置せずに、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに対向する位置に冷却スプレー２ａ～２ｔを配置する場合を例に挙げて説明する。従って、冷却スプレー２ａ～２ｔは、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに対して冷却水を噴出する。本実施形態では、連続鋳造制御装置１００が推定装置１００ａと制御装置１００ｂとを独立した装置として備え、冷却スプレー２ａ～２ｔにおける冷却水の流量（以下、冷却水量と称する）が、推定装置１００ａで推定される鋳片５の表面および内部の温度に基づいて制御装置１００ｂによって制御される場合を例に挙げて説明する。

配管１０ａ～１０ｊは、ストランドの鋳造方向の長さを複数個に区分した冷却ゾーン（冷却ゾーン境界線６ａ～６ｆによって区分された冷却ゾーン）に対応して設置される。ストランド内（機内）の鋳造方向の冷却水量の分布は、冷却ゾーンごとに制御される。これらの冷却ゾーンの全体（冷却ゾーン境界線６ａ～６ｆの間）を二次冷却帯と称する。

また、支持ロール８ｈは、鋳片５の鋳造速度を逐次測定するための鋳造速度測定ロールとしても機能する。図１では、鋳造方向（引き抜き方向）の最下流に配置される一対の支持ロール８ｈ、８ｐのうち下側にある支持ロール８ｈを鋳造速度測定ロールとする場合を例に挙げて示す。背景技術の欄で説明したように、鋳造方向の最下流に配置される一対の支持ロール８ｈ、８ｐの出口が機端出口９になる。

（伝熱凝固モデル）
連続鋳造機の操業状態の管理上、鋳片５の表面温度、内部温度、および固相率を算出する必要がある。そこで、本実施形態では、伝熱凝固計算を実行することにより、鋳片５の表面温度、内部温度、および固相率を算出する。以下に伝熱凝固計算に用いる伝熱凝固モデルの一例について説明する。本実施形態では、特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報に記載されている伝熱凝固モデルを用いて伝熱凝固計算を実行する場合を例に挙げて説明する。従って、ここでは、伝熱凝固モデルの主要な部分の説明を行い、詳細な部分の説明を省略する。

鋳型１内の湯面（溶鋼メニスカス４）から機端出口９までの領域において鋳造方向に一定間隔Δｚで設定した伝熱凝固計算位置で鋳造方向に垂直な方向に鋳片５を切った場合の鋳片５の断面を、伝熱凝固計算対象断面と称することとする。特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報に記載されているように、ストランド内における鋳片５の温度および固相率の分布は、各伝熱凝固計算対象断面内の鋳片５の温度および固相率の分布を、各伝熱凝固計算対象断面内の各計算点における冷却条件を反映した熱伝達係数の境界条件のもとで離散化した熱伝導方程式を解くことで計算される。ここで、熱伝達係数は、鋳片５と外部との間の熱伝達係数である（このことは以降の説明でも同じである）。

尚、特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報では、伝熱凝固計算対象断面を、計算対象断面と称している。本実施形態では、後述する伝熱計算対象断面と区別するために、特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報において計算対象断面と称しているものを伝熱凝固計算対象断面と称する。尚、詳細は後述するが、伝熱計算対象断面は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算対象断面の間隔を短くしなくても、伝熱凝固計算の精度向上を実現するために、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算断面の間に設定されるものであり、特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報には記載されていないものである。

各伝熱凝固計算対象断面に対する熱伝導方程式の初期条件として、当該伝熱凝固計算対象断面に対し上流側で隣接する伝熱凝固計算対象断面における計算結果が設定される。鋳片５の引き抜きにより、伝熱凝固計算対象断面が、当該伝熱凝固計算対象断面が存在する伝熱凝固計算位置から、当該伝熱凝固計算位置の１つ下流側の伝熱凝固計算位置へ移動するまでの当該伝熱凝固計算対象断面内のエンタルピー、温度（温度分布）、および固相率の時間変化の計算を繰り返す。このような繰り返し計算を、伝熱凝固計算対象断面のそれぞれについて実行することにより、鋳片５の全体の温度および固相率が算出される。

鋳造速度および冷却水量の指示値の変更に対応するために、鋳片５が一定距離Δｚだけ引き抜かれるたびに、鋳型１内の溶鋼メニスカス４の位置（ｚ＝０）に伝熱凝固計算対象断面を新たに発生させ、逐次、伝熱凝固計算対象断面の位置を追跡する。以下の説明では、この伝熱凝固計算対象断面のことをトラッキング面と称する。鋳造方向に一定間隔Δｚで設定した伝熱凝固計算位置にトラッキング面が位置すると、当該トラッキング面に対する伝熱凝固モデルによる計算が行われる。トラッキング面には、温度および固相率を算出する計算点が格子状に配置される。トラッキング面の境界線にも計算点が配置される。前述したように本実施形態では、鋳片５の鋳造方向に垂直な方向の断面の形状は矩形である。従って、トラッキング面の形状も矩形になる。トラッキング面の境界線は、当該矩形の輪郭線であり、鋳片５の表面に対応する。このようにしてトラッキング面に配置される各計算点の温度および固相率が伝熱凝固モデルに基づいて算出される。伝熱凝固モデルによる計算は、溶鋼メニスカス４から、少なくとも二次冷却帯の出口の位置までにある各々のトラッキング面について実行される。

本実施形態では、伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔と、トラッキング面を発生させる鋳造方向の間隔と、が共に一定間隔Δｚである場合を例に挙げて説明する。これにより、同一時刻において、全てのトラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行することができる。尚、特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報に記載されているように、トラッキング面を発生させる鋳造方向の間隔は、伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔の整数倍であればよい。即ち、当該整数倍は１倍に限定されず、２倍以上の整数倍であってもよい。

前述したように、各トラッキング面に対する熱伝導方程式の初期条件には、当該トラッキング面に対し上流側で隣接するトラッキング面における計算結果が設定される。鋳片５の引き抜きにより、伝熱凝固計算位置に存在するトラッキング面が、当該伝熱凝固計算位置から、当該伝熱凝固計算位置の１つ下流側の伝熱凝固計算位置へ移動するまでの当該トラッキング面内のエンタルピー、温度、および固相率の時間変化の計算を繰り返すことを各トラッキング面について実行することにより、鋳片５の全体の温度および固相率が算出される。

＜断面内座標と状態変数＞
前述したように本実施形態では、トラッキング面の形状は矩形である。ここで、鋳片５の鋳造方向に垂直な方向の断面において、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃにあたる辺に沿う方向を幅方向と称し、鋳片５の短辺面５ａに沿う方向を厚み方向と称する。図１では、冷却ゾーン境界線６ａ～６ｆを示す破線に沿う方向が厚み方向であり、図１の紙面に垂直な方向が幅方向であり、幅方向および厚み方向に垂直な方向が鋳造方向である。鋳片５の鋳造方向に垂直な方向の断面内の座標は、鋳片５の或る１つの頂点を原点０（ゼロ）とする座標とする。この座標の幅方向の軸をｘ軸、厚み方向の軸をｙ軸とする。また、鋳片５の幅をＸ、厚みをＹとする。また、この座標のｚ軸は、鋳片５の引き抜き方向（即ち、鋳造方向）の軸とする。尚、図１では、溶鋼メニスカス４の位置にｘ－ｙ－ｚ座標を示す。ｘ－ｙ－ｚ座標を示す記号として、〇の中に×を付している記号は、紙面の手前側から奥側に向かう矢印線に対応する（図１に示す当該記号は、紙面の手前側から奥側に向かう方向がｘ軸の正の方向であることを示す）。

伝熱凝固モデルでは、以下のものを、時刻ｔにおけるトラッキング面（伝熱凝固計算対象断面）内の座標（ｘ，ｙ）における状態変数とする。尚、μは、溶鋼中における溶質成分を識別する番号である。
エンタルピー：Ｈ（ｘ，ｙ，ｔ）
温度：Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）
固相率：ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）
固液界面における液相側の溶質成分濃度：Ｃ_Lμ（ｘ，ｙ，ｔ）
また、伝熱凝固モデルにおける物性パラメータは、以下の通りである。
熱伝導率（温度に依存）：λ（ｘ，ｙ，ｔ）＝λ（Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ））
鋼の比熱（温度に依存）：ｃ（ｘ，ｙ，ｔ）＝ｃ（Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ））
凝固潜熱：Ｌ_h
液相線温度：Ｔ_L
密度：ρ

＜伝熱凝固モデルの基礎方程式＞
エンタルピーは、凝固潜熱を含めたトラッキング面内の各計算点におけるエネルギーであるので、各計算点における熱収支を表す熱伝導方程式である以下の式（１）により、その時間変化を表すことができる。

ここで、ｑ_xはｘ軸方向の熱流束を表し、ｑ_yはｙ軸方向の熱流束を表す。トラッキング面の境界線以外の点である内点では、以下の式（２）および式（３）が成り立つ。

ここで、λ_xはｘ軸方向の熱伝導率を表し、λ_yはｙ軸方向の熱伝導率を表す。従って、式（２）および式（３）より、トラッキング面の内点において式（１）は、以下の式（４）のように表される。

＜境界条件＞
トラッキング面の境界線上の位置のうち、ｘ＝ｘ_B（ｘ_B＝０またはＸ）の位置では以下の式（５）で熱流束が表され、ｙ＝ｙ_B（ｙ_B＝０またはＹ）の位置では以下の式（６）で熱流束ｑ_x、ｑ_yが表されるものとする。尚、ｘ＝ｘ_Bは、鋳片５の短辺面５ａの幅方向の位置（ｘ軸座標）になり、ｙ＝ｙ_Bは、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃの厚み方向の位置（ｙ軸座標）になる。

ここで、ｈ_t（ｘ_B，ｙ，ｔ）は、鋳片５の短辺面５ａにおける熱伝達係数であり、ｈ_t（ｘ，ｙ_B，ｔ）は、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃにおける熱伝達係数である。また、Ｔ_a（ｘ_B，ｙ，ｔ）は、鋳片５の短辺面５ａの周囲における外部雰囲気温度であり、Ｔ_a（ｘ，ｙ_B，ｔ）は、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃの周囲における外部雰囲気温度である。詳細は後述するが、本実施形態では、式（５）および式（６）に示す境界条件を、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に設定される少なくとも１つの中間計算位置における鋳片５の表面に対する伝熱計算の結果に基づいて設定する（式（４３）および式（４４）を参照）。この点が、本実施形態で用いる伝熱凝固モデルと、特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報に記載されている伝熱凝固モデルと、の大きな相違点の一つである。

尚、特開２０１９－４８３２２号公報、特開２０１９－１４１８９３号公報に記載されているように、対称性を利用して、トラッキング面のうち、鋳片５のコーナーから鋳片５の中央までのいわゆる四分の一断面を計算対象領域としてもよい。

＜エンタルピーと温度および固相率との関係＞
合金である鋼では、鋼の温度が成分濃度で定まる液相線温度Ｔ_Lを下回ると凝固が始まって固相率ｆ_sが０を上回る（ｆ_s＞０となる）。その後、鋼の温度は、凝固が完了して固相率ｆ_sが１（ｆ_s＝１）となるまでの間に低下する。固相率ｆ_sが０≦ｆ_s≦１であることを考慮すると、エンタルピーＨと温度Ｔとの関係は、以下の式（７）で表される。

ここで、Ｔ₀は、任意の積分定数であり、Ｔは、トラッキング面における計算点における温度である。
＜エンタルピーを変数とする熱伝導方程式＞
式（７）の両辺に対して、ｘにより偏微分すると以下の式（８）になるので、ｘ軸方向の熱流束ｑ_xは、以下の式（９）で表される。同様に、式（７）の両辺に対して、ｙにより偏微分することにより、ｙ軸方向の熱流束ｑ_yは、以下の式（１０）で表される。

式（１）へ、式（９）および式（１０）を代入することにより、トラッキング面の内点では、熱伝導方程式を、エンタルピーＨを変数とする以下の式（１１）に書き換えることができる。このように、本実施形態では、ｘ軸方向およびｙ軸方向に熱伝達が生じるものとして、二次元の伝熱凝固計算が実行される。

温度Ｔと固相率ｆ_sとの関係を表すモデルは、これまでにいくつか提案されている。その一つに、以下の式（１２）のように、凝固が開始する液相線温度Ｔ_Lと、凝固が完了する固相線温度と、の間で、固相率ｆ_sを補間するモデルがある。

補間関数φ（Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ））は一般に単調増加であり、温度Ｔについて一次式とする方法や、温度Ｔについて二次式とする方法がある。

式（７）、式（１１）、および式（１２）は、変数Ｈ、Ｔ、およびｆ_sについて閉じている。従って、これらの式を連立して解くことにより、トラッキング面内のエンタルピーＨ（ｘ，ｙ，ｔ）、温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）、および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）が得られる。

固液共存領域内では固相と液相との界面での液相側溶質濃度により温度が定まるので、状態図から、温度Ｔと固相率ｆ_sとの関係を表す別のモデルとして、以下の式（１３）および式（１４）のように表されるモデルを用いてもよい。ここで、μ_maxは、伝熱凝固モデルで考慮する溶質成分の最大個数である。

式（７）、式（１１）、式（１３）、および式（１４）は、変数Ｈ、Ｔ、ｆ_s、Ｃ_Lμについて閉じている。従って、これらの式を連立して解くことにより、トラッキング面内のエンタルピーＨ（ｘ，ｙ，ｔ）、温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）、固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）、および固液界面の液相側溶質濃度Ｃ_Lμ（ｘ，ｙ，ｔ）が得られる。

式（７）、式（１１）、および式（１２）（または式（１３）および式（１４））を連立して解く際には、偏微分方程式を空間および時間で離散化することにより数値解を得る。即ち、本実施形態では、式（１１）の微分方程式を、トラッキング面内およびトラッキング面の境界線上で空間的に離散化し、鋳片５の表面における境界条件を組み込んだ形で、離散化した時刻ｔ＝１，２，・・・において、１時刻前のｔ－１における値から更新するモデルを用いる。時刻ｔ＝０は計算開始の時点を意味しており、式（１）から式（１４）で示した連続時間のモデルにおける初期条件を各変数に設定するものとする。

前述したようにトラッキング面は、鋳造方向において、一定間隔Δｚで設定されるものとする。伝熱凝固計算位置を示す番号ｎは、以下のように定められるものとする。即ち、鋳型１内の湯面位置（溶鋼メニスカス４の位置）を０（ｎ＝０）とし、以下、引き抜き方向（鋳造方向）にΔｚの一定間隔で並ぶ各位置を１、２、・・・、ｎ_max（ｎ＝１、２、・・・、ｎ_max）とする。トラッキング面の内部および境界線上には、複数の計算点が、各トラッキング面において同じ配置となるように設定される。上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１のトラッキング面から下流側の伝熱凝固計算位置ｎのトラッキング面に状態変数を更新する場合、時刻の離散化刻みΔｔを、以下の式（１５）で表す。

ここで、ｖ_cは、鋳造速度である。
トラッキング面の計算点の座標（ｘ_i，ｙ_j）において離散化したモデルは、エンタルピーと、温度と、固相率と、当該計算点に隣接する計算点におけるエンタルピーおよび固相率と、を用いて、以下の式（１６）、式（１７）のように表される。ここで、座標（ｘ_i，ｙ_j）の計算点に隣接する計算点は、座標（ｘ_i+1，ｙ_j）、座標（ｘ_i，ｙ_j+1）、座標（ｘ_i-1，ｙ_j）、および座標（ｘ_i，ｙ_j-1）の計算点である。

ここで、Ｎ（ｉ、ｊ）は、計算点（座標（ｘ_i，ｙ_j））に隣接する計算点の集合を表す。また、ａ^t _i,jは、式（１１）の偏微分方程式を中心差分により離散近似し、式（１６）の形に整理した場合のＨ_i,j,tにかかる係数である。α^t _i,jは、同じくｆ_si,j,tにかかる係数である。係数ａ^t _i,jは、式（１１）に現れる熱伝導率λ_xまたはλ_y、比熱ρ、および凝固潜熱Ｌ_hを含む。係数α^t _i,jは、式（１１）に現れる熱伝導率λ_xまたはλ_y、比熱ｃ、および密度ρを含む。また、ｂ_i,jは、座標（ｘ_i，ｙ_j）の計算点がトラッキング面の境界線上の点でない場合は常に０（ゼロ）である。一方、座標（ｘ_i，ｙ_j）がトラッキング面の境界線上の点である場合、ｂ_i,jは、式（１１）の偏微分方程式を中心差分により離散近似し、式（１６）の形に整理した場合の（Ｔ_a－ωＴ_i,j,t－（１－ω）Ｔ_i,j,t-1）にかかる係数であり、式（５）および式（６）における熱伝達係数ｈ_t（ｘ_B，ｙ，ｔ－１）またはｈ_t（ｘ，ｙ_B，ｔ－１）を含む。

また、式（１６）において計算安定化パラメータωは、０以上１以下の値（０≦ω≦１）を採る変数である。エンタルピーを更新するに際し、ω＜１の場合、時間刻みΔｔが長いと、計算結果が不安定になり発散することがあり、ωが小さい場合には不安定になりやすいことが知られている。そのため適切なωを設定することで計算を安定化する。ω＝０の場合は陽解法、ω＝１の場合は陰解法、ω＝１／２の場合は半陽半陰解法（Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｈｏｌｓｏｎ法）を用いることを意味する。

また、式（１７）におけるＴ_p,tおよびＨ_p,tにおけるｐは、計算点の座標（ｘ_i，ｙ_j）を表す省略記法である。また、温度Ｔがとりうる値の範囲を予め複数の温度区分に分割しておく。ｋ（ｐ）は、温度Ｔ（ｐ）を含むＴ^k(p)≦Ｔ（ｐ）＜Ｔ^k(p)+1なる温度区分の番号である。また、Ｉ_c（Ｔ^k(p)）は、式（７）における積分を温度Ｔ₀からの境界値Ｔ^k(p)までの範囲で実行することにより予め算出される値である。ｃ^* _k(p)+1/2は、温度区分ｋ（ｐ）における溶鋼の比熱ｃの代表値であり、例えば温度区分ｋ（ｐ）における溶鋼の比熱ｃの平均値を、代表値ｃ^* _k(p)+1/2として用いる。尚、ｃ^* _k(p)+1/2は、式（１７）において、ｃ^* _k(p)+1/2のｋの上に＊が付されている記号に対応する。

（熱伝達係数のモデル）
図２は、鋳片５に対する冷却方式の一例を説明する図である。図２では、鋳造方向で隣接する２つの支持ロール７ｌ、７ｍの間の、鋳片５の支持ロール７ｌ、７ｍ側の領域を取り出して、厚み方向と鋳造方向とに平行な断面（図１のｙ－ｚ断面）における鋳片５の冷却方式の違いを例に挙げて示す。

図２において、領域ａは、鋳片５の長辺面５ｂの領域のうち、支持ロール７ｌ、７ｍと接触する領域である。領域ａは、主に、支持ロール７ｌ、７ｍとの接触により冷却される。領域ｂは、鋳片５の長辺面５ｂの領域のうち、支持ロール７ｌ、７ｍおよび冷却水が接しない領域である。領域ｂは、主に、輻射放熱により冷却される。領域ｃは、鋳片５の長辺面５ｂの領域のうち、冷却スプレー２ｋから噴出された冷却水が水膜状になって接するが、冷却スプレー２ｋから噴出された空気は直接衝突しない領域である。領域ｃは、主に、冷却水により生じる水膜により冷却される。領域ｄは、鋳片５の長辺面５ｂの領域のうち、冷却スプレー２ｋから噴出された冷却水および空気がミストとなって直接衝突する領域である。領域ｄは、主に、ミスト状の冷却水により冷却される。領域ｅは、上方から水膜として流れた冷却水が支持ロール７ｍと鋳片５との間に溜まる領域である。領域ｅは、主に、支持ロール７ｍと鋳片５との間に溜まった水により冷却される。以上のように、鋳造方向で隣接する２つの支持ロール７ｌ、７ｍ間には、冷却方式が異なる複数の領域ａ～ｅが存在する。尚、領域ａ～ｅは、支持ロール７ａ～７ｖのうち、鋳造方向で隣接する２つの支持ロールの間の全てに存在する。ただし、鋳片５（鋳造方向）が水平の場合には、領域ｅは存在しない。

領域ａ、領域ｃ、および領域ｅでは、一定の熱伝達係数が用いられることが多い。一方、領域ｂでは、例えば、輻射放熱に関するステファン・ボルツマンの法則に基づく以下の式（１８）で表される熱伝達係数ｈ_tが用いられる。また、領域ｄでは、例えば、モデル実験に基づいて得られる以下の式（１９）の数式モデルで表される熱伝達係数ｈ_tが用いられる。

ここで、εは、輻射率であり、σは、ステファン・ボルツマン定数である。Ｔは、鋳片５の表面温度であり、Ｔ_aは、鋳片５の外部雰囲気温度である。Ａは、鋳片５の表面温度の条件に応じて定められる係数であり、Ｗは、鋳片５に衝突する冷却水の流量密度である。ｆ、ｇは、無次元の定数である。定数ｇは負の値である。従って、領域ｄでは、鋳片５の表面温度Ｔが低くなるほど熱伝達係数ｈ_tは大きくなる。また、領域ｄでは、熱伝達係数ｈ_tと鋳片５の表面温度Ｔとの関係が非線形になるため、鋳片５から外部への熱流束ｑ_yの大きさが鋳片５の表面温度Ｔに対して非線形特性になる。

（着想）
図３は、各領域ａ～ｅにおける熱伝達係数の計算値の一例を示す図である。領域ａ～ｅの熱伝達係数の大きさを比較すると、図３に示すように、冷却水量が多い領域ｃ～ｅの熱伝達係数と、支持ロール７ｌ、７ｍと接触する領域ａの熱伝達係数は、領域ｂの熱伝達係数の数十倍の大きさになることがある。

また、各領域ａ～ｅの鋳造方向の長さは、例えば、以下のようになる。即ち、領域ａの鋳造方向の長さは１０ｍｍ程度である。領域ｄの鋳造方向の長さは、冷却スプレー２ａ～２ｋの噴出口の形状により異なるが、１５～３０ｍｍ程度である。また、鋳片５（鋳造方向）が水平でない場合、領域ｄの上方の領域ｃの鋳造方向の長さは１０～５０ｍｍ程度であり、領域ｄの下方の領域ｃは、領域ｄの下端から領域ｅの上端まで広がる（領域ｄの下方の領域ｃは、領域ｄ、ｅに挟まれた領域として定まる）。領域ｅの鋳造方向の長さは、１０～３０ｍｍ程度である。領域ｂの鋳造方向の長さは、鋳造方向で隣接する２つの支持ロール間の残りの部分の長さである。前述したように鋳片５（鋳造方向）が水平の場合には領域ｅは発生せず、この場合、領域ｃの鋳造方向の長さは２０～５０ｍｍ程度である。

一方、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔Δｚは、例えば５０ｍｍ程度を最小値として設定される。伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔Δｚが短くなるほど、同時に伝熱凝固計算を実行するトラッキング面の個数が増加するため、計算負荷が増加する。一方、伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔Δｚが大きくなるほど、鋳造方向で隣接する２つのトラッキング面の間隔が大きくなるため、計算精度が低下する。図１に示すように連続鋳造中に、推定装置１００ａによる推定結果を用いて制御装置１００ｂによる冷却水の流量制御を行う場合には、鋳造速度に応じた時間的な制約の下で推定を行う必要があり、伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔Δｚは、計算精度（推定精度）と計算負荷（計算時間）との兼ね合いで定められる。

鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔Δｚを５０ｍｍとする場合、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置（即ち、２つのトラッキング面）の間に複数の冷却方式で冷却される領域が存在する場合がある。このため、冷却方式の違いによる熱伝達係数の大きさの違いを正確に評価しなければ、鋳片５の温度の計算値に大きな誤差が生じる虞がある。冷却方式の違いは、鋳片５の表面温度に特に大きな影響を与えるため、鋳片５の表面温度の計算値に特に大きな誤差が生じる虞がある。尚、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に存在する冷却方式の数は、伝熱凝固計算位置の場所および間隔によって、１つになることも、２つになることも、３つ以上になることもある。

以上のように、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に、熱伝達係数が数十倍異なる複数の領域（例えば、領域ｂと領域ａ、領域ｂと領域ｄ）が存在する場合には、冷却方式の違いによる熱伝達係数の大きさの違いを考慮するか否かで計算精度に大きな差が生じる虞がある。さらに、領域ｄのように、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に、熱伝達係数が大きく、且つ、熱伝達係数が鋳片５の表面温度に依存する領域がある場合には、鋳片５の表面温度の変化による熱伝達係数の変化を考慮しなければ、冷却による鋳片５からの抜熱を高精度に評価することができなくなる虞がある。このような課題に対して、伝熱凝固計算位置の鋳造方向の間隔Δｚを短くすることも考えられるが、上記の間隔Δｚを短くすると計算負荷が高くなり、間隔Δｚだけ鋳造が進む間に、各トラッキング面に対する伝熱凝固計算が完了しない虞がある。

そこで、本実施形態では、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間を移動する一つのトラッキング面に対する式（１６）および式（１７）に基づく伝熱凝固計算において、これらの隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に少なくとも１つの中間計算位置を設定する。そして、中間計算位置において、鋳片５の表面に対する伝熱計算を、上流側の伝熱凝固計算位置におけるトラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果を用いて実行し、当該伝熱計算の結果を用いて、上流側の伝熱凝固計算位置にあるトラッキング面が下流側の伝熱凝固計算位置に移動したときの当該トラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する。このように、中間計算位置における伝熱計算を実行することにより、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間における、鋳片５の表面およびその近傍の領域の温度変化を考慮することができる。従って、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面に対する伝熱凝固計算の際に、当該温度変化に応じた熱伝達係数を用いることができるので、鋳造中の鋳片の状態（温度および固相率）の推定精度を向上することができる。また、中間計算位置では、鋳片５の表面に対する伝熱計算を実行するので、伝熱凝固計算位置における伝熱凝固計算のように広い領域（トラッキング面）を計算対象の領域とする必要がなくなると共に、固相率ｆ_sを算出する必要がない。従って、中間計算位置に対する計算負荷は、伝熱凝固計算位置におけるトラッキング面全体に対する計算負荷よりも軽くなるので、計算負荷の増大を抑制しつつ、鋳片の状態の推定精度を向上することができる。以下に説明する本実施形態の推定装置１００ａは、このような着想に基づいてなされたものである。

（推定装置１００ａ、制御装置１００ｂ）
図４は、推定装置１００ａおよび制御装置１００ｂの機能的な構成の一例を示す図である。推定装置１００ａおよび制御装置１００ｂのハードウェアは、例えば、プロセッサ（例えばＣＰＵなど）、ＲＯＭ、ＲＡＭ、および各種のインターフェースを備えた情報処理装置、または、専用のハードウェアを用いることにより実現される。以下に本実施形態の推定装置１００ａおよび制御装置１００ｂが有する機能の一例を説明する。

まず、推定装置１００ａが有する機能の一例を説明する。
＜操業データ取得部４１０＞
操業データ取得部４１０は、連続鋳造機の操業データを取得する。連続鋳造機の操業データには、例えば、鋳造方向に垂直な方向の鋳片５の大きさ、鋳造速度ｖ_c、鋳型１内の溶鋼の温度、溶鋼中の溶質成分の濃度、溶質成分の濃度を用いて算出される溶鋼の液相線温度Ｔ_L、および、二次冷却帯の各冷却ゾーンに配置された冷却スプレー２ａ～２ｔから噴出された冷却水量、および鋳片５の表面の各点における冷却条件が含まれる。操業データ取得部４１０は、例えば、不図示の上位プロコンまたは下位計装装置から、連続鋳造機の操業データを受信することにより、連続鋳造機の操業データを取得する。

ここで、冷却条件には、例えば、冷却スプレー２ａ～２ｔから噴出された冷却水が鋳片５の表面に衝突する範囲を示すデータが含まれる。操業データ取得部４１０は、冷却スプレー２ａ～２ｔから噴出された冷却水の冷却水量を示すデータと、冷却スプレー２ａ～２ｔから噴出された冷却水が鋳片５の表面に衝突する範囲を示すデータと、冷却スプレー２ａ～２ｔの本数および配置と、を用いて、鋳片５の表面全体における冷却水の流量密度Ｗの分布を算出する。

＜伝熱凝固計算位置設定部４２０＞
伝熱凝固計算位置設定部４２０は、鋳型１内の溶鋼メニスカス４の位置をｚ＝０として、鋳造方向の間隔がトラッキング面の鋳造方向の発生間隔となるように、鋳片５の鋳造方向の位置ｚを、伝熱凝固計算位置として設定する。本実施形態では、トラッキング面の発生間隔は、式（１５）に示すΔｚであり、予め定められた一定間隔である。

伝熱凝固計算位置設定部４２０は、伝熱凝固計算位置におけるトラッキング面の計算点を設定する。図５は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１とｎにあるトラッキング面の計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ｂ～５３４ｂの一例を概念的に示す図である。図５では、伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定される温度計算位置ｋも併せて示す。前述したように、鋳型１内の湯面位置（溶鋼メニスカス４の位置）に一致する伝熱凝固計算位置に対してｎ＝０が与えられ、以降引き抜き方向（鋳造方向）に沿って一定間隔Δｚで並ぶ各伝熱凝固計算位置に対してｎ＝１、２、・・・、ｎ_maxが上流側の伝熱凝固計算位置から順番に与えられる。ｎ＝ｎ_maxは、最下流の伝熱凝固計算位置（本実施形態では機端出口９の位置）を示す。図５では、これらの伝熱凝固計算位置ｎ＝０、１、２、・・・、ｎ_maxのうち、鋳造方向で隣接する任意の２つの伝熱凝固位置ｎ－１、ｎを示す。鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固位置ｎ－１、ｎの組の数はｎ_maxである。

図５では、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１とｎの各々にトラッキング面５００ａと５００ｂがあり、時刻ｔ－Δｔにおいて伝熱凝固計算が実行された直後における状態が示されている。トラッキング面内およびトラッキング面の境界線上で空間的に離散化した伝熱凝固計算を実行するために、伝熱凝固計算位置設定部４２０は、各トラッキング面５００ａと５００ｂを格子状に分割し、分割したそれぞれの矩形領域に計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ｂ～５３４ｂを１つずつ設定する。図５では計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ｂ～５３４ｂを黒丸（●）で示す（表記が煩雑になるので符号を付すことを省略しているが、符号が付されていない黒丸（●）も計算点を示す）。尚、図５に示すように、トラッキング面５００ａと５００ｂに設定される矩形領域の大きさは、同じでなくてもよい。

伝熱凝固計算位置設定部４２０は、以上のようにして、複数の伝熱凝固計算位置ｎを設定し、複数の伝熱凝固計算位置ｎのそれぞれにおいて、複数の矩形領域および複数の計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ｂ～５３４ｂを設定する。

＜中間計算位置設定部４３０＞
中間計算位置設定部４３０は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定される１以上（図５では複数）の中間計算位置ｋの間隔を設定する。例えば、中間計算位置設定部４３０は、ユーザによる入力を通して指定される間隔に設定しても良いし、同様に指定される中間計算位置ｋの設定数およびΔｚに基づく中間計算位置ｋの間隔の計算値に設定しても良い。本実施形態では、複数の中間計算位置ｋ＝０～Ｎが等間隔に設定される場合を例に挙げて示す。図６は、伝熱凝固計算位置ｎと温度計算位置ｋとの関係の一例を示す図である。ｋは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎを両端とする区間に設定される中間計算位置を示す番号である。図５および図６に示すように、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１をｋ＝０とし、以下、引き抜き方向（鋳造方向）にｋ＝１、２、・・・、Ｎとする。下流側の伝熱凝固計算位置ｎをｋ＝Ｎとする。

図６では、各伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面（伝熱凝固計算対象断面）を、鋳造方向に垂直な実線で示す。ここでは、時刻ｔ－Δｔにおいて、図５に示す伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのｎが２（ｎ＝２）であるものとして、図５に示すトラッキング面５００ａ、５００ｂを図６に示す。その他の伝熱凝固計算位置ｎ（ｎ＝０，３，・・・，ｎ_max－１，ｎ_max）にもトラッキング面がそれぞれ存在する。図６では、時刻ｔ－Δｔにおいて、伝熱凝固計算位置ｎ＝０、ｎ_max－１、ｎ_maxにあるトラッキング面をトラッキング面５００ｃ、５００ｄ、５００ｅと表記している。

また、各中間計算位置ｋにおける伝熱計算対象断面６００を、鋳造方向に垂直な破線で示す。伝熱計算対象断面６００は、各中間計算位置ｋにおいて鋳造方向に垂直な方向に鋳片５を切った場合の鋳片５の断面である。尚、中間計算位置ｋ＝０、Ｎにおける伝熱計算対象断面６００は、伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎにおけるトラッキング面（例えば、トラッキング面５００ａ、５００ｂ）の各々と重なるため、鋳造方向に垂直な実線で示される。

中間計算位置設定部４３０は、伝熱凝固計算位置ｎ＝０～ｎ_maxのうち、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎを両端とする区間のそれぞれにおいて、複数の中間計算位置ｋの間隔を設定する。

図６に示すように、例えば、伝熱凝固計算位置ｎ＝１は、伝熱凝固計算位置ｎ＝０に対しては下流側の伝熱凝固計算位置ｎとなる。従って、伝熱凝固計算位置ｎ＝０にあるトラッキング面５００ｃに対しては、伝熱凝固計算位置ｎ＝１にあるトラッキング面５００ａは、下流側のトラッキング面となる。よって、伝熱凝固計算位置ｎ＝０、１を両端とする区間においては（トラッキング面５００ｃが伝熱凝固計算位置ｎ＝１に移動するまでのトラッキング面５００ｃに対する伝熱凝固計算を実行する際には）、伝熱凝固計算位置ｎ＝１は中間計算位置ｋ＝Ｎと一致する（図５を参照）。

一方、伝熱凝固計算位置ｎ＝１は、伝熱凝固計算位置ｎ＝２に対しては上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１となる。従って、伝熱凝固計算位置ｎ＝２にあるトラッキング面５００ｂに対しては、伝熱凝固計算位置ｎ＝１にあるトラッキング面５００ａは、上流側のトラッキング面５００となる。よって、伝熱凝固計算位置ｎ＝１、２を両端とする区間においては（トラッキング面５００ａが伝熱凝固計算位置ｎ＝２に移動するまでのトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算を実行する際には）、伝熱凝固計算位置ｎ＝１は、中間計算位置ｋ＝０と一致する。

ここで、トラッキング面５００ａ～５００ｄが移動するとは、トラッキング面５００ａ～５００ｄの位置を当該トラッキング面が位置していた伝熱凝固計算位置ｎ－１から、伝熱凝固計算位置ｎまで、当該トラッキング面５００ａ～５００ｄに対する伝熱凝固計算の結果を含めて移動させることをいう。尚、伝熱凝固計算位置ｎ＝ｎ_maxよりも下流側の伝熱凝固計算位置はないので、伝熱凝固計算位置ｎ＝ｎ_maxにあるトラッキング面５００ｅを移動させることは、トラッキング面５００ｅを消滅させることと等価である。

以上のように、伝熱凝固計算位置ｎ＝１は、中間計算位置ｋ＝０になる場合と、中間計算位置ｋ＝Ｎになる場合と、がある。
伝熱凝固計算位置ｎ＝２、・・・、ｎ_max-1も、伝熱凝固計算位置ｎ＝１と同様に、中間計算位置ｋ＝０になる場合と、中間計算位置ｋ＝Ｎになる場合と、がある。

最上流の伝熱凝固計算位置ｎ＝０は、伝熱凝固計算位置ｎ＝０、１を両端とする区間においては、中間計算位置ｋ＝０となる。最上流の伝熱凝固計算位置ｎ＝０よりも上流側に伝熱凝固計算位置ｎはない。従って、最上流の伝熱凝固計算位置ｎ＝０が中間計算位置ｋ＝Ｎとなることはない。

また、最下流の伝熱凝固計算位置ｎ＝ｎ_maxは、伝熱凝固計算位置ｎ＝ｎ_max-1、ｎ_maxを両端とする区間においては、中間計算位置ｋ＝Ｎとなる。最下流の伝熱凝固計算位置ｎ＝ｎ_maxよりも下流側に伝熱凝固計算位置ｎはない。従って、最下流の伝熱凝固計算位置ｎ＝ｎ_maxが中間計算位置ｋ＝０となることはない。

以上のように、中間計算位置ｋ＝０、Ｎは伝熱凝固計算位置ｎと一致する。従って、同一の中間計算位置ｋ＝０、Ｎ（同一の伝熱凝固計算位置ｎ）において、後述する伝熱計算部４４０による伝熱計算と、後述する伝熱凝固計算部４７０による伝熱凝固計算と、により、同一の時刻に同一の変数（例えば鋳片の表面温度）が算出される場合が生じる。本実施形態では、このような場合、伝熱凝固計算部４７０による伝熱凝固計算の結果が優先して採用されるものとする。

以下では、トラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算を実行する場合を例示する。その他のトラッキング面５００ｂ～５００ｅについても、トラッキング面５００ａと同様に、同じ時刻ｔにおいて並列的に処理が実行される。
図２および図３を参照しながら説明したように、鋳造方向で隣接する２つの支持ロール７ｌ、７ｍの間には、冷却方式が異なる複数の領域ａ～ｅが存在し得る。中間計算位置ｋは、このような冷却方式の違いによる鋳片５の表面温度の変化を、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算に反映させることを目的の一つとして設定される。従って、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの少なくとも１つにおける冷却方式と、当該２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定される少なくとも１つの中間計算位置ｋにおける冷却方式と、が異なるように、２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に中間計算位置ｋが設定されるようにするのが好ましい。このようになるように中間計算位置ｋを設定することで、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎを両端とする領域に、２種以上の冷却方式の領域を含めることができ、冷却方式の違いによる鋳片５の表面温度の変化を、下流側の伝熱凝固計算位置におけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算に反映させることができる。尚、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎにおける冷却方式が異なり、且つ、当該２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎにおける冷却方式の双方と、当該２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定される少なくとも１つの中間計算位置ｋにおける冷却方式と、が異なる場合、当該２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎを両端とする領域には、３種以上の冷却方式の領域が含まれる。

また、中間計算位置ｋは、領域ｄのように、熱伝達係数が鋳片５の表面温度に依存し、且つ、鋳片５から外部への熱流束の大きさが鋳片５の表面温度に対して非線形特性になる領域に対する伝熱凝固計算の精度を高めることを目的の他の一つとして設定される。従って、鋳造方向で隣接する２つの中間計算位置ｋの鋳造方向の間隔は、領域ｄの鋳造方向の長さの最小値として想定されている値の１／２以下とするのが好ましい。このようにして中間計算位置ｋを設定することで、領域ｄに対して複数の中間計算位置ｋを設定することができる。従って、領域ｄ内での鋳片５の表面温度の変化を、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算に反映させることができる。

尚、複数の中間計算位置ｋ＝０～Ｎの間隔は、等間隔でなくてもよいし、固定値でなくてもよい。例えば、領域ｄに対応する中間計算位置ｋの間隔を、他の領域ａ～ｃ、ｅよりも短くしてもよい。また、操業データの内容に応じて、複数の中間計算位置ｋ＝０～Ｎの間隔を変更してもよい。

中間計算位置設定部４３０は、以上のようにして設定された間隔に従って、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に中間計算位置ｋを設定し、各中間計算位置ｋにおける伝熱計算対象断面６００に計算点を設定する。中間計算位置ｋの設定は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎを両端とする区間のそれぞれに対して実行される。

図７は、中間計算位置ｋにおける伝熱計算対象断面６００に対して設定される計算点７１１、７２１、７３１の一例を概念的に示す図である。中間計算位置設定部４３０は、伝熱計算対象断面６００を、トラッキング面５００ａ同じように格子状に分割し、分割した矩形領域のうち、鋳片５の表面を含む矩形領域７１０と、当該矩形領域７１０に（内側で）隣接する矩形領域７２０と、に計算点７１１、７２１を１つずつ設定する（計算点７１１は、鋳片５の表面を含む矩形領域７１０に設定される計算点であり、計算点７２１は、鋳片５の表面を含む矩形領域７１０に（内側で）隣接する矩形領域７２０に設定される計算点である）。このように、トラッキング面５００ａに設定される矩形領域５１０ａ、５２０ａの数、大きさ、および配置は、伝熱計算対象断面６００に設定される矩形領域７１０、７２０の数、大きさ、および配置と同じになる。尚、以下の説明では、鋳片５の表面を含む矩形領域７１０を、表層の矩形領域と称し、鋳片５の表面を含む矩形領域７１０に内側で隣接する矩形領域７２０を、第２層の矩形領域と称する。

図７において、伝熱計算対象断面６００の表層の矩形領域７１０に設定される計算点７１１は、図５に示すトラッキング面５００ａの表層の矩形領域５１０ａに設定される計算点５１１ａと同じように配置される。同様に図７において、伝熱計算対象断面６００の第２層の矩形領域７２０に設定される計算点７２１は、図５に示すトラッキング面５００ａの第２層の矩形領域５２０ａに設定される計算点５２１ａと同じように配置される。

図７では、伝熱計算対象断面６００の表層の矩形領域７１０に設定される計算点７１１を黒丸（●）で示し、伝熱計算対象断面６００の第２層の矩形領域７２０に設定される計算点７２１を白丸（〇）で示す（表記が煩雑になるので符号を付すことを省略しているが、符号が付されていない黒丸（●）および白丸（〇）も計算点を示す）。図７に示す伝熱計算対象断面６００は、図５に示す中間計算位置ｋ＝０～Ｎのそれぞれに設定される。本実施形態では、伝熱計算対象断面６００に設定される矩形領域のうち、第２層の矩形領域７２０の内側の矩形領域には計算点は設定されない。即ち、第２層の矩形領域７２０の内側の領域は、伝熱計算の対象の領域ではない。

また、本実施形態では、中間計算位置設定部４３０は、後述する伝熱計算部４４０が、中間計算位置ｋに設定された伝熱計算対象断面６００の周囲の外部雰囲気温度を算出するために、図７に示すようにして外部矩形領域７３０を設定する。外部矩形領域７３０は、伝熱計算対象断面６００の周囲の領域を、伝熱計算対象断面６００に設定された矩形領域の辺を外側に延長した仮想線を用いて区画した矩形領域である。外部矩形領域７３０のうち、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに沿う方向（ｘ軸方向）に並ぶ矩形領域のｙ軸方向の長さは、例えば、第２層の矩形領域７２０のｙ軸方向の長さとする。外部矩形領域７３０のうち、鋳片５の短辺面５ａに沿う方向（ｙ軸方向）に並ぶ矩形領域のｘ軸方向の長さは、例えば、第２層の矩形領域７２０のｘ軸方向の長さとする。

また、中間計算位置設定部４３０は、外部矩形領域７３０のそれぞれに計算点７３１を１つずつ設定する。図７では外部矩形領域７３０の計算点を黒丸（●）で示す（表記が煩雑になるので符号を付すことを省略しているが、符号が付されていない黒丸（●）も計算点を示す）。

＜伝熱計算部４４０＞
伝熱計算部４４０は、各中間計算位置ｋにおいて、鋳片５の表面に対する時刻ｔでの伝熱計算を実行する。
<<伝熱モデル>>
伝熱計算部４４０で実行される伝熱計算に用いる計算モデルである伝熱モデルの一例について説明する。

図７において、本実施形態では、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに沿う方向（ｘ軸方向）に並ぶ表層の矩形領域７１０の厚み方向（ｙ軸方向）の長さΔｙ_sの範囲において温度が一定であり、且つ、鋳片５の短辺面５ａに沿う方向（ｙ軸方向）に並ぶ表層の矩形領域７１０の幅方向（ｘ軸方向）の長さΔｘ_sの範囲において温度が一定であるとして、空間的な離散化を実行する。また、図５および図７において、伝熱凝固計算位置ｎ－１とｎの間に設定される中間計算位置ｋ＝１～Ｎ－１の伝熱計算対象断面６００の第２層の矩形領域７２０に設定される計算点７２１の温度は、当該トラッキング面５００ａの第２層の矩形領域５２０ａに設定される計算点７２１に対して後述する伝熱凝固計算部４７０で算出された温度Ｔ_s（ｘ，ｙ，ｔ－Δｔ）で一定であるものとする。以下、Ｔ_s（ｘ，ｙ，ｔ）を単にＴ_sと表記する。また、第２層の矩形領域７２０に設定された計算点７２１の温度Ｔ_sを表面直下温度と称する。

また、中間計算位置ｋの伝熱計算対象断面６００の周囲における外部雰囲気温度Ｔ_{a_k}（ｘ，ｙ，ｔ）は、中間計算位置ｋ－１の伝熱計算対象断面６００の周囲における外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}（ｘ，ｙ，ｔ）で一定であるものとする。外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}（ｘ，ｙ，ｔ）は、後述するようにして伝熱計算部４４０（第１計算部４４１）により算出される外部雰囲気温度である。尚、以下の説明において、中間計算位置ｋを特定しない場合の外部雰囲気温度を単にＴ_aと表記する。

また、以下の説明では、外部雰囲気温度Ｔ_a以外の変数についても、記号「_{_}」の隣にｋ、ｋ－１、ｋ－２等を付すことにより、当該変数が、中間計算位置ｋ、ｋ－１、ｋ－２等における変数であることを示すものとする。また、外部雰囲気温度Ｔ_a以外の変数についても、中間計算位置ｋを特定しない場合には、記号「_{_}」の隣に付すｋ、ｋ－１、ｋ－２等の中間計算位置を示す記号の表記を省略するものとする。

本実施形態では、伝熱計算部４４０は、外部矩形領域７３０ごとに外部雰囲気温度Ｔ_aを算出する。尚、外部矩形領域７３０の計算点７３１の温度が、当該外部矩形領域７３０における外部雰囲気温度Ｔ_aとなる。ただし、外部矩形領域７３０ごとに外部雰囲気温度Ｔ_aを算出する必要はない。例えば、１つの伝熱計算対象断面６００の周囲の領域のうち、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃの周囲の領域に対する外部雰囲気温度Ｔ_aとして共通の温度を採用すると共に、鋳片５の短辺面５ａの周囲の領域に対する外部雰囲気温度Ｔ_aとして共通の温度を採用してもよい。

また、鋼の密度ρ（ｘ，ｙ，ｔ）および比熱ｃ（ｘ，ｙ，ｔ）は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間で一定であるものとする。以下、ρ（ｘ，ｙ，ｔ）、ｃ（ｘ，ｙ，ｔ）を単にρ、ｃと表記する。また、熱伝達係数ｈ_t（ｘ，ｙ，ｔ）を単にｈ_tと表記する。

以下では、数式の表記が複雑になることを避けるため、伝熱計算対象断面６００の各計算点７１１、７２１における熱伝達係数ｈ_tを、以下の式（２０ａ）～式（２０ｂ）に示す離散化熱伝達係数Ｈ_tとして表す。また、伝熱計算対象断面６００の各計算点７１１、７２１におけるｘ軸方向・ｙ軸方向の熱伝導率λ_x・λ_yを、以下の式（２１ａ）～式（２１ｂ）に示す離散化熱伝導率Ｌとして表す。尚、離散化熱伝達係数Ｈ_tおよび離散化熱伝導率Ｌは、ｘ、ｙ、ｔの関数であるが、ここでは、ｘ、ｙ、ｔの関数であることの表記を省略する。

ここで、式（２０ａ）および式（２１ａ）は、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに対する伝熱計算を実行する場合に使用される。式（２０ｂ）および式（２１ｂ）は、鋳片５の短辺面５ａに対する伝熱計算を実行する場合に使用される。また、図７に示すように、Δｘ_cは、伝熱計算対象断面６００の境界線のうち、鋳片５の短辺面５ａに平行な方向（ｙ軸方向）の境界線から、第２層の矩形領域７２０の計算点７２１のうち、当該境界線の直下にある計算点７２１までのｘ軸方向の長さである。Δｙ_cは、伝熱計算対象断面６００の境界線のうち、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに平行な方向（ｘ軸方向）の境界線から、第２層の矩形領域７２０の計算点７２１のうち、当該境界線の直下にある計算点７２１までのｙ軸方向の長さである。

鋳片５の表面に平行な方向の熱伝達を無視し、鋳片５の表面に垂直な方向の一次元の熱伝達が生じるものとすると、空間的に離散化された鋳片５の表面温度Ｔのモデル式は、非定常一次元熱伝導方程式に基づいて、以下の式（２２）で表される。

外部雰囲気温度Ｔ_a、表面直下温度Ｔ_s、熱伝達係数ｈ_t、密度ρ、および比熱ｃが時刻ｔから時刻ｔ＋Δｔまでの範囲で一定の場合、０≦τ≦Δｔとすると、時刻ｔ＋τにおける中間表面温度Ｔ（ｔ＋τ）は、以下の式（２３）のように解析解で表される。ここで、中間表面温度は、中間計算位置ｋにおける鋳片５の表面温度である。

式（２３）の右辺第２項において、（Ｈ_tＴ_a＋ＬＴ_s）／（Ｈ_t＋Ｌ）は、温度を表す座標軸において、外部雰囲気温度Ｔ_aを示す点と表面直下温度Ｔ_sを示す点とを結ぶ線分を、離散化熱伝達係数Ｈ_t：離散化熱伝導率Ｌで内分する点を示す温度であり、以下の説明では、中間外部温度と称する。また、中間外部温度を表す記号をＴ_bとする。尚、離散化熱伝達係数Ｈ_tおよび離散化熱伝導率Ｌがｘ、ｙ、ｔの関数であるため、中間外部温度Ｔ_bもｘ、ｙ、ｔの関数となる。

本実施形態では、伝熱計算部４４０は、式（２３）に基づく伝熱計算を実行する。式（２３）では、鋳片５の表面に垂直な方向の一次元の熱伝達が生じるものとし、外部雰囲気温度Ｔ_aおよび表面直下温度Ｔ_sにより中間表面温度Ｔ（ｔ＋τ）が定められる。従って、式（２３）により、表層の矩形領域７１０、第２層の矩形領域７２０、および外部矩形領域７３０の範囲内で、鋳片５の表面に垂直な方向の一次元の伝熱が生じるものとして伝熱計算が実行される。本実施形態では、伝熱計算部４４０は、第１計算部４４１、第２計算部４４２、および第３計算部４４３を備える。伝熱計算部４４０は、ｋ＝１を初期値、ｋ＝Ｎを最終値として、伝熱計算の対象の中間計算位置を示すｋの値をインクリメント（昇順に繰り返し１ずつ増加）して、以下の第１計算部４４１、第２計算部４４２、および第３計算部４４３の処理を繰り返し実行することを、時刻の離散化刻みΔｔの時間隔の各時刻ｔにおいて実行する。このように本実施形態では、伝熱計算部４４０は、ｋ＝０を上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１として、中間計算位置ｋにおける時刻ｔでの鋳片５の表面に対する伝熱計算を、当該上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１における時刻ｔ－Δｔでの伝熱凝固計算の結果と、当該上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１よりも下流側で、かつ当該ｋ＝１～Ｎ－１で特定される中間計算位置ｋよりも上流側の中間計算位置に対する時刻ｔ－（１－ｋ／Ｎ）Δｔに対応する鋳片５の表面に対する伝熱計算の結果と、を用いて実行する。

<<第１計算部４４１>>
第１計算部４４１は、鋳片５の表面全体における冷却水の流量密度Ｗの分布に基づいて、伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎとの間に設定された中間計算位置ｋ－１が、領域ａ～ｅのうち、どの領域に属するかを特定する。そして、第１計算部４４１は、特定した領域に応じて、中間計算位置ｋ－１における熱伝達係数ｈ_{t_k-1}および外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}を算出する。尚、前述したように本実施形態では、鋳片５の表面全体における冷却水の流量密度Ｗの分布は、操業データ取得部４１０により算出されるものとする。

まず、中間計算位置ｋ－１における熱伝達係数ｈ_{t_k-1}の算出方法の一例を説明する。
第１計算部４４１は、領域ａ、領域ｃ、および領域ｅに属する中間計算位置ｋ－１については、予め設定された一定の熱伝達係数ｈ_{t_k-1}とする。また、第１計算部４４１は、領域ｂ、ｄに属する中間計算位置ｋ－１については、それぞれ、式（１８）、式（１９）を用いて熱伝達係数ｈ_{t_k-1}を算出する。このとき、式（１８）、式（１９）のＴには、中間計算位置ｋ－１に対して後述する第２計算部４４２で計算された中間表面温度Ｔ＾_kが代入される（式（２４）を参照）。尚、Ｔ＾_kは、式（２４）においてＴ_kのＴの上に＾が付されている記号に対応する。このような表記は、Ｔ＾_k以外の変数の＾の表記においても同じである。

次に、中間計算位置ｋ－１における外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}の算出方法の一例を説明する。
第１計算部４４１は、外部雰囲気温度Ｔ_aとしてどのような温度を採用するのかが冷却方式（領域ａ～ｅ）ごとに予め登録されたテーブルを参照する。このテーブルに登録される内容の一例を説明する。

領域ａにおける外部雰囲気温度Ｔ_aとして、例えば、中間計算位置ｋ－１において鋳片と接する支持ロールの表面温度を用いることが登録される。
領域ｂにおける外部雰囲気温度Ｔ_aとして、例えば、外気温を用いることが登録される。

領域ｃ、ｄにおける外部雰囲気温度Ｔ_aとして、例えば、冷却スプレー２ａ～２ｔのうち中間計算位置ｋ－１に最も近い位置にある冷却スプレーにおける冷却水の温度を用いることが登録される。

領域ｅにおける外部雰囲気温度Ｔ_aとして、例えば、冷却スプレー２ａ～２ｔのうち支持ロール７ｍより上流側にあり，かつ中間計算位置ｋ－１に最も近い位置にある冷却スプレーにおける冷却水の温度を用いることが登録される。
尚、ここで示した例のように、外部雰囲気温度Ｔ_aの算出のために回帰式を用いる場合、例えば、二次冷却帯を模擬するモデル実験の結果や、二次冷却帯を模擬する数値シミュレーションの結果を用いて、回帰係数を決定すればよい。

また、本実施形態では、支持ロール７ａ～７ｖは、鋳片５の短辺面５ａに接触しない。さらに、冷却スプレー２ａ～２ｔは、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに対向する位置にあり、鋳片５の短辺面５ａに対向する位置にはない。従って、鋳片５の短辺面５ａに対する外部雰囲気温度Ｔ_aについては、全て外気温としてもよい。即ち、前述したテーブルは、鋳片５の長辺面５ｂ、５ｃに対する外部雰囲気温度Ｔ_aを算出するために用いるものとしてもよい。

第１計算部４４１は、以上のようなテーブルに登録されている内容に従って、外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}を算出する。尚、前述したようにしてテーブルを登録する場合には、テーブルに登録されている内容の計算を実行するために必要な情報（支持ロール７ａ～７ｖの温度や外気温等）も操業データとして操業データ取得部４１０により取得されるものとする。

<<第２計算部４４２>>
中間計算位置ｋにおける中間表面温度Ｔ＾_kおよび中間計算位置ｋ－１における中間外部温度Ｔ_b＾_{_k-1}は、式（２３）に基づいて、以下の式（２４）のように表される。

式（２４）に示すように、中間計算位置ｋにおける中間表面温度Ｔ＾_kは、温度を表す座標軸において、中間計算位置ｋ－１における中間表面温度Ｔ＾_k-1を示す点と中間計算位置ｋ－１における中間外部温度Ｔ_b＾_{_k-1}を示す点を結ぶ線分を、γ_k-1：１－γ_k-1で内分する点を示す温度で表される。ここで、γ_k-1およびＴ_b＾_{_k-1}は、以下の式（２５ａ）～式（２９）で表される。

ここで、式（２５ａ）および式（２６ａ）は、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに対する伝熱計算を実行する場合に使用される。式（２５ｂ）および式（２６ｂ）は、鋳片５の短辺面５ａに対する伝熱計算を実行する場合に使用される。尚、式（２７）において、Ｔ_{s_n-1}は、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１における表面直下温度（第２層の矩形領域７２０に設定された計算点７２１の温度）であり、後述する伝熱凝固計算部４７０により時刻ｔ－Δｔにおいて既に算出されているものである。尚、表面直下温度Ｔ_s以外の変数についても、記号「_{_}」の隣にｎ、Ｎ－１等を付すことにより、当該変数が、伝熱凝固計算位置ｎ、Ｎ－１等における変数であることを示すものとする。

第２計算部４４２は、式（２４）～式（２９）の計算を実行することにより、中間計算位置ｋにおける中間表面温度Ｔ＾_kおよび中間計算位置ｋ－１における中間外部温度Ｔ_b＾_k-1を算出する。前述したように、第２計算部４４２により算出された中間計算位置ｋにおける中間表面温度Ｔ＾_kは、ｋの値がインクリメントされて実行される次回の第１計算部４４１の計算において、式（１８）、式（１９）のＴに代入される。尚、伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に、領域ｂ、ｄのように熱伝達係数ｈ_tが鋳片５の表面温度Ｔに依存する領域が含まれない場合には、中間表面温度Ｔ＾_kの算出は実行されなくてもよい。

<<第３計算部４４３>>
鋳片５の表面に平行な方向の熱伝達を無視し、鋳片５の表面に垂直な方向の一次元の熱伝達が生じるものとすると、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から中間計算位置ｋまでの離散化した熱伝導方程式として、以下の式（３０）が得られる。

ここで、Ｔ₀は、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにトラッキング面５００ａが位置するときのトラッキング面５００ａにおける鋳片５の表面温度である。β_k-1は、中間計算位置ｋ－１における中間温度変化速度パラメータである。Ｔ_b ^* _{_k-1}は、中間計算位置ｋ－１における中間平均外部温度である。尚、Ｔ_b ^* _{_k-1}は、式（３０）において、Ｔ_{b_k-1}のｂの上に＊が付されている記号に対応する。このような表記は、Ｔ_b ^* _{_k-1}以外の変数の＊の表記においても同じである。

中間計算位置ｋ－１における中間平均外部温度Ｔ_b ^* _{_k-1}は、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から中間計算位置ｋまでの間の中間外部温度Ｔ_b ^{^} _{_0}～Ｔ_b ^{^} _{_k}の平均的な値を表す。中間計算位置ｋ－１における中間温度変化速度パラメータβ_k-1は、中間計算位置ｋ－１における離散化熱伝達係数Ｈ_{t_k-1}と、離散化熱伝導率Ｌと、に基づいて定められるパラメータであり、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から中間計算位置ｋまでの間の、鋳片５と外部との間における、熱および温度の伝わりやすさの平均的な値を表すパラメータである。

尚、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにトラッキング面５００ａが位置するときの当該トラッキング面５００ａにおける鋳片５の表面温度Ｔ₀は、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａの表層の矩形領域５１０ｂに設定される各計算点５１１ｂの温度であり、ｘ、ｙ、ｔの関数であるが、ここでは、ｘ、ｙ、ｔの関数であることの表記を省略する。また、中間外部温度Ｔ_bがｘ、ｙ、ｔの関数であるため、中間平均外部温度Ｔ_b ^*もｘ、ｙ、ｔの関数であるが、ここでは、ｘ、ｙ、ｔの関数であることの表記を省略する。また、離散化熱伝達係数Ｈ_tおよび離散化熱伝導率Ｌがｘ、ｙ、ｔの関数であるため、中間温度変化速度パラメータβも、ｘ、ｙ、ｔの関数であるが、ここでは、ｘ、ｙ、ｔの関数であることの表記を省略する。

上流側から数えてｋ－１番目の中間計算位置ｋ－１について式（３０）は、以下の式（３１）のように表される。

ｋ≧２の場合においては，式（２４）と式（３１）とからＴ^{^} _k-1を消去した式の左辺をＴ^{^} _k－Ｔ₀とすると共に右辺をＴ₀の１次式として整理した式と、式（３０）の左辺をＴ^{^} _k－Ｔ₀とすると共に右辺をＴ₀の１次式として整理した式と、の右辺のＴ₀にかかる係数を比較することで、以下の式（３２）が得られる。同様に、これらの式の右辺の定数項を比較することで、以下の式（３３）が得られる。

一方ｋ＝１の場合においては、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から中間計算位置ｋまでの離散化した熱伝導方程式は式（２４）と一致するので、以下の式（３４）式および式（３５）が得られる。

第３計算部４４３は、式（３２）または式（３４）の計算を実行することによって、中間計算位置ｋ－１における中間温度変化速度パラメータβ_k-1を算出し、式（３３）または式（３５）の計算を実行することによって、中間計算位置ｋ－１における中間平均外部温度Ｔ_b ^* _{_k-1}を算出する。
前述したように、第１計算部４４１、第２計算部４４２、および第３計算部４４３の処理は、ｋ＝１を初期値、ｋ＝Ｎを最終値とするそれぞれのｋの値について実行される。

＜平均熱伝達係数計算部４５０＞
平均熱伝達係数計算部４５０は、伝熱計算部４４０における伝熱計算の結果を用いて、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}を算出することを、時刻の離散化刻みΔｔの時間隔の各時刻ｔにおいて実行する。平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}は、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から下流側の伝熱凝固計算位置ｎまでの間の、鋳片５と外部との間の熱伝達係数の平均的な値である。本実施形態では、平均熱伝達係数計算部４５０は、伝熱計算部４４０において最終的に計算された中間温度変化速度パラメータβ_N-1を用いて、以下の式（３６ａ）および式（３６ｂ）の計算を実行することにより、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}を算出する。

式（３６ａ）は、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに対する平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}を算出する場合に使用される。式（３６ｂ）は、鋳片５の短辺面５ａに平行な方向（ｙ軸方向）に対する平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}を算出する場合に使用される。

式（３６ａ）および式（３６ｂ）は、以下のようにして導かれる。
平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}を式（２０ａ）または式（２０ｂ）のｈ_tに代入することにより得られる離散化熱伝達係数をＨ_{t_ave}とすると、中間表面温度Ｔ＾_Nは、式（２３）より以下の式（３７）のように表される。

また、式（３０）において、ｋ＝Ｎとすると以下の式（３８）が得られる。

式（３７）の左辺をＴ＾_N－Ｔ₀とすると共に右辺を（Ｔ₀－Ｔ_b ^* _{_N}）に係数がかかる形になるように変形した式の右辺と、式（３８）の右辺と、を比較すると、以下の式（３９）が得られる。そして、式（３９）を式変形すると、以下の式（４０）が得られる。式（４０）の右辺を、式（２０ａ）および式（２０ｂ）の左辺に与えることにより、式（３６ａ）および式（３６ｂ）が得られる。

＜平均外部雰囲気温度計算部４６０＞
平均外部雰囲気温度計算部４６０は、伝熱計算部４４０における伝熱計算の結果と、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}と、を用いて、平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}を算出することを、時刻の離散化刻みΔｔの時間隔の各時刻ｔにおいて実行する。平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}は、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から下流側の伝熱凝固計算位置ｎまでの間の、鋳片５の外部雰囲気温度Ｔ_aの平均的な値である。本実施形態では、平均外部雰囲気温度計算部４６０は、伝熱計算部４４０において最終的に計算された中間平均外部温度Ｔ_b ^* _{_N-1}と、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}と、を用いて、以下の式（４１ａ）および式（４１ｂ）の計算を実行することにより、平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}を算出する。

式（４１ａ）は、鋳片５の長辺面５ｂ～５ｃに対する平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}を算出する場合に使用される。式（４１ｂ）は、鋳片５の短辺面５ａに対する平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}を算出する場合に使用される。

式（４１ａ）、式（４１ｂ）は、式（２７）に基づいて得られる以下の式（４２）を、左辺がＴ_{a_ave}となるように変形した式のＨ_{t_ave}に、式（２０ａ）、式（２０ｂ）の右辺をそれぞれ代入することにより得られる（ただし、式（２０ａ）～式（２０ｂ）の右辺のｈ_tをｈ_{t_ave}とする）。

＜伝熱凝固計算部４７０＞
伝熱凝固計算部４７０は、時刻の離散化刻みΔｔの時間間隔の各時刻ｔにおいて伝熱計算部４４０における伝熱計算の結果を用いて、時刻t－Δｔにおいて，上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１にあるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算を実行する。本実施形態では、伝熱凝固計算部４７０は、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｈ_{t_ave}（ｘ，ｙ_B；ｔ）と、平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}（ｘ_B，ｙ；ｔ）、Ｔ_{a_ave}（ｘ，ｙ_B；ｔ）と、に基づいて、トラッキング面５００ａが伝熱凝固計算位置ｎに到達するまでの伝熱凝固計算における鋳片５の表面の熱流束ｑ_x（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｑ_y（ｘ，ｙ_B；ｔ）を算出する。ここでの熱伝達係数と、外部平均温度と、および熱流束との表記におけるかっこ内のセミコロン「；」は時刻ｔ-Δｔからｔまでの平均であることを意味する。そして、伝熱凝固計算部４７０は、伝熱凝固計算位置ｎ－１における各計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ－Δｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ－Δｔ）を初期条件として用いると共に、鋳片５の表面の熱流束ｑ_x（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｑ_y（ｘ，ｙ_B；ｔ）を境界条件として用いて、前述した伝熱凝固モデルにより、下流側伝熱凝固計算位置にトラッキング面５００ａが到達した時点での各計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）を算出する。従って、本実施形態では、式（５）および式（６）に対し、ｈ_t（ｘ_B，ｙ，ｔ）をｈ_{t_ave}（ｘ_B，ｙ；ｔ）に、ｈ_t（ｘ，ｙ_B，ｔ）をｈ_{t_ave}（ｘ，ｙ_B；ｔ）に、Ｔ（ｘ_B，ｙ，ｔ）をＴ₀（ｘ_B，ｙ，ｔ－Δｔ）に、Ｔ（ｘ，ｙ_B，ｔ）をＴ₀（ｘ，ｙ_B，ｔ－Δｔ）に、Ｔ_a（ｘ_B，ｙ，ｔ）をＴ_{a_ave}（ｘ_B，ｙ；ｔ）に、Ｔ_a（ｘ，ｙ_B，ｔ）をＴ_{a_ave}（ｘ，ｙ_B；ｔ）にした以下の式（４３）および式（４４）を境界条件として用いる。

本実施形態では、後述するように制御装置１００ｂにおいて鋳片５の所定の位置における温度の目標値と計算値とを比較する場合、当該所定の位置または当該所定の位置に最も近い位置にある計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ｂ～５３４ｂを、温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）の計算対象の計算点に含める。例えば、トラッキング面５００ａの中心の位置または中心に最も近い位置にある計算点５３１ａ～５３４ａと、表面の位置または表面に最も近い位置にある計算点５１１ａと、のうち少なくとも一方の計算点を、温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）の計算対象の計算点に含めるのが好ましい。

伝熱凝固計算部４７０は、時刻ｔ－Δｔにおいて上流側伝熱凝固計算位置ｎ－１にあったトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算を実行して時刻ｔに下流側の伝熱凝固計算位置ｎに到達したときの結果を得ると、当該トラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の結果（時刻ｔにおけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の結果）を、次回の時刻ｔ＋Δｔにおいて、伝熱凝固計算位置ｎ＋１におけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の初期値として用いる。すなわち、伝熱凝固計算部４７０は、時刻ｔにおけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の結果を、時刻ｔ＋Δｔにおいて伝熱凝固計算位置ｎから開始するトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の初期条件として用いる。

このようにして、時刻ｔにおける、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１にあったトラッキング面５００ａの伝熱凝固計算の結果は、時刻ｔ＋Δｔにおいて下流側伝熱凝固計算位置ｎから開始する同じトラッキング面５００ａの伝熱凝固計算の初期値として用いる。このときの移動距離は、時刻の離散化刻みΔｔと、鋳造速度ｖ_cとに基づく距離Δｚである（式（１５）を参照）。本実施形態では、伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの鋳造方向の間隔と、トラッキング面５００ａを発生させる鋳造方向の間隔と、が共に一定間隔Δｚである。このため、同一時刻において、全てのトラッキング面が伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのいずれかに位置する。

そして、伝熱凝固計算部４７０は、次の時刻ｔ＋Δｔにおいて、鋳型１内の溶鋼メニスカス４の位置（ｚ＝０）である伝熱凝固計算位置ｎ＝０に、新たなトラッキング面を上流側のトラッキング面として発生させる。例えば、図６において、時刻ｔにおいて、伝熱凝固計算位置ｎ＝１におけるトラッキング面５００ａに対して実行された伝熱凝固計算の結果は、時刻ｔ＋Δｔにおいては、伝熱凝固計算位置ｎ＝１から開始する同じトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の初期条件となる。

尚、本実施形態では、鋳型１内の溶鋼メニスカス４の位置（ｚ＝０）に設定される伝熱凝固計算位置ｎ＝０のトラッキング面５００ａの各計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける固相率ｆ_s（ｘ、ｙ、ｔ）および温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）は、固相率ｆｓは全ての（ｘ、ｙ）で０、および、温度Ｔは全ての（ｘ、ｙ）においてタンディッシュ内の溶鋼温度実測値から推定される温度を初期値として定められているものとする。
伝熱凝固計算部４７０は、以上のような処理を、時刻ｔを逐次更新して実行する。

＜出力部４８０＞
出力部４８０は、伝熱凝固計算部４７０により実行された、下流側の伝熱凝固計算位置ｎに対する伝熱凝固計算の結果を示す情報を出力する。本実施形態では、出力部４８０は、伝熱凝固計算部４７０により計算された、下流側の伝熱凝固計算位置ｎに移動後のトラッキング面５００ａの計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）のうち、温度の目標値が定められている所定の位置の計算点５１１ａまたは当該所定の位置に最も近い計算点５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）を含む情報を、制御装置１００ｂに対して送信する。尚、推定装置１００ａと制御装置１００ｂとの通信は、有線通信であっても無線通信であってもよい。

次に、制御装置１００ｂが有する機能の一例を説明する。
＜制御部４９０＞
制御部４９０は、推定装置１００ａ（伝熱凝固計算部４７０）により実行された、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおける伝熱凝固計算に基づいて、連続鋳造機で鋳造されている鋳片５の所定の位置における温度の目標値と計算値との偏差がゼロに近づくように、連続鋳造機の二次冷却帯における冷却水量を制御する。鋳片５の所定の位置における温度の目標値は、例えば、鋳片５の仕様（例えば、鋳片５に含まれる成分等の品質）に基づいて制御装置１００ｂに予め設定される。

制御部４９０は、各伝熱凝固計算位置ｎにおける鋳片５の所定の位置の温度の目標値と計算値との偏差をゼロに近づけるように、冷却ゾーンごとの冷却水量を操作量として求める。鋳片５の所定の位置と計算点５１１ｂの位置とが一致する場合、伝熱凝固計算部４７０により計算された、下流側の伝熱凝固計算位置ｎに移動後のトラッキング面５００ａにおける計算点５１１ａの温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）が計算値となる。鋳片５の所定の位置と計算点５３１ａ～５３４ａの位置とが一致しない場合、制御部４９０は、伝熱凝固計算部４７０により計算された、下流側の伝熱凝固計算位置ｎに移動後のトラッキング面５００ａにおける計算点５３１ａ～５３４ａの温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）を用いて、当該所定の位置における温度を算出して計算値として用いる。例えば、下流側の伝熱凝固計算位置ｎに移動後のトラッキング面５００ａにおける計算点５３１ｂａ～５３４ａの温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）の代表値（例えば平均値）が計算値として用いられる。そして、制御部４９０は、求めた冷却水量に基づいて冷却スプレー２ａ～２ｔのそれぞれに対する水量指示値を設定し出力する。流量調整弁３ａ～３ｅは、冷却スプレー２ａ～２ｔから噴出される冷却水量が水量指示値に応じた流量となるように動作する。

尚、冷却ゾーンごとの冷却水量の制御は、例えばＰＩ制御などのフィードバック制御を実行することにより実現される。また、鋳片５の所定の位置は、伝熱凝固計算位置の間に設定された位置であれば、どの位置であってもよく、例えば、鋳片５の表面であっても中心部であってもよい。

（フローチャート）
次に、図８のフローチャートを参照しながら、連続鋳造制御装置１００を用いた連続鋳造推定方法の一例を説明する。尚、本実施形態では、連続鋳造制御装置１００を用いた連続鋳造推定方法は、推定装置１００ａを用いた推定方法と、制御装置１００ｂを用いた制御方法とを用いることにより実現される。
まず、ステップＳ８０１において、推定装置１００ａは、時刻ｔを初期時刻ｔ_i（例えば０や現在時刻など）に設定する。初期時刻ｔ_iは、推定装置１００ａにおける処理を開始する時刻であり、例えば、推定装置１００ａに対してオペレータが処理の開始を指示するための操作を実行したタイミングを意味する。以下のステップＳ８０２～Ｓ８１５の処理は、時刻ｔに対する処理として実行される。
次に、ステップＳ８０２において、操業データ取得部４１０は、連続鋳造機の操業データを取得する。

次に、ステップＳ８０３において、伝熱凝固計算位置設定部４２０は、伝熱凝固計算位置ｎおよび各伝熱凝固計算位置ｎの計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ｂ～５３４ｂを設定する。尚、伝熱凝固計算位置ｎおよび伝熱凝固計算位置ｎの計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ｂ～５３４ｂが時刻ｔによらずに一定である場合、ステップＳ８０３の処理は、ステップＳ８０１の前に実行されてもよい。

次に、ステップＳ８０４において、中間計算位置設定部４３０は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間における複数の中間計算位置ｋの間隔を設定する。そして、中間計算位置設定部４３０は、設定した間隔ｋに従って中間計算位置ｋを設定し、各中間計算位置ｋにおける伝熱計算対象断面６００に計算点７１１、７２１、７３１を設定する。尚、ステップＳ８０４の処理は、伝熱凝固計算位置ｎ＝０～ｎ_maxのうち鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのそれぞれについて実行される。

次に、ステップＳ８０５において、伝熱計算部４４０は、ｋに１を設定する。
次に、ステップＳ８０６において、第１計算部４４１は、中間計算位置ｋ－１における熱伝達係数ｈ_{t_k-1}および外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}を算出する。

次に、ステップＳ８０７において、第２計算部４４２は、式（２４）～式（２９）の計算を実行することにより、中間計算位置ｋにおける中間表面温度Ｔ＾_kおよび中間計算位置ｋ－１における中間外部温度Ｔ_b＾_{_k-1}を算出する。
次に、ステップＳ８０８において、第３計算部４４３は、式（３２）または式（３４）の計算を実行することによって、中間計算位置ｋ－１における中間温度変化速度パラメータβ_k-1を算出する。また、第３計算部４４３は、式（３３）または式（３５）の計算を実行することによって、中間計算位置ｋ－１における中間平均外部温度Ｔ_b ^* _{_k-1}を算出する。

次に、ステップＳ８０９において、伝熱計算部４４０は、ｋの値がＮであるか否かを判定する。Ｎは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間における複数の中間計算位置ｋの数に１を加算した値である。この判定の結果、ｋの値がＮでない場合（ステップＳ８０９でＮＯの場合）、ステップＳ８１０の処理が実行される。ステップＳ８１０において、伝熱計算部４４０は、ｋの値をインクリメントする。そして、インクリメントした後のｋについてステップＳ８０６～Ｓ８０９の処理が実行される。

尚、ステップＳ８０５～Ｓ８１０の処理は、伝熱凝固計算位置ｎ＝０～ｎ_maxのうち鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのそれぞれにおいて実行される。鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎによって中間計算位置ｋの数が異なる場合、例えば、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのうち、それらの間に設定される中間計算位置ｋの数が最大の伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎにおける当該中間計算位置ｋの数に１を加算した値をＮとする。このようにする場合、伝熱計算部４４０は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのうち、全てのｋについてステップＳ８０６～Ｓ８１０の処理が終了した伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎについては、その時点で、ステップＳ８０６～Ｓ８１０の処理を終了させる。そして、伝熱計算部４４０は、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのうち、全てのｋについてステップＳ８０６～Ｓ８１０の処理が終了していない伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎに対してのみ、ステップＳ８０６～Ｓ８１０の処理を継続させる。尚、ｋ＝０における値は、例えば、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１におけるトラッキング面５００ａの各計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける伝熱凝固計算（温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ－Δｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ－Δｔ））の結果を用いることにより定められる。

ステップＳ８０９の判定の結果、ｋの値がＮである場合（ステップＳ８０９でＹＥＳの場合）、ステップＳ８１１の処理が実行される。ステップＳ８１１において、平均熱伝達係数計算部４５０は、ｋ＝ＮのときにステップＳ８０８で算出された中間温度変化速度パラメータβ_N-1を用いて、式（３６ａ）および式（３６ｂ）の計算を実行することにより、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}を算出する。尚、中間温度変化速度パラメータβ_N-1は、伝熱凝固計算位置ｎ＝０～ｎ_maxのうち鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのそれぞれにおいて算出される。従って、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}も、伝熱凝固計算位置ｎ＝０～ｎ_maxのうち鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのそれぞれにおいて算出される。

次に、ステップＳ８１２において、平均外部雰囲気温度計算部４６０は、ｋ＝ＮのときにステップＳ８０８で算出された中間平均外部温度Ｔ_b ^* _{_N-1}と、ステップＳ８１１で算出された平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}と、を用いて、式（４１ａ）および式（４１ｂ）の計算を実行することにより、平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}を算出する。尚、中間温度変化速度パラメータβ_N-1および平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}は、伝熱凝固計算位置ｎ＝０～ｎ_maxのうち鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのそれぞれにおいて算出される。従って、平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}も、伝熱凝固計算位置ｎ＝０～ｎ_maxのうち鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのそれぞれにおいて算出される。

次に、ステップＳ８１３において、伝熱凝固計算部４７０は、ステップＳ８１１で算出された平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｈ_{t_ave}（ｘ，ｙ_B；ｔ）と、ステップＳ８１２で算出された平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}（ｘ_B，ｙ；ｔ）、Ｔ_{a_ave}（ｘ，ｙ_B；ｔ）と、に基づいて、時刻ｔにおいて下流側の伝熱凝固計算位置ｎに位置するトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の境界条件として用いる、鋳片５の表面の熱流束ｑ_x（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｑ_y（ｘ，ｙ_B；ｔ）を算出する。

そして、伝熱凝固計算部４７０は、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１におけるトラッキング面５００ａの各計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ－Δｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ－Δｔ）を初期条件として用いると共に、下流側の伝熱凝固計算位置ｎに位置するトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算において、鋳片５の表面の熱流束ｑ_x（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｑ_y（ｘ，ｙ_B；ｔ）を境界条件として用いて、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａの各計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）を算出する。そして、伝熱凝固計算部４７０は、当該初期条件として用いた上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１におけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の結果（時刻ｔ－Δｔにおける伝熱凝固計算の結果）を、時刻ｔ＋Δｔにおいて当該下流側の伝熱凝固計算位置ｎから開始するトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算の初期値として用いる。

尚、ステップＳ８１３の処理は即、伝熱凝固計算位置ｎ＝１～ｎ_maxのそれぞれにおいて実行され、各計算点５１１ａ、５１１ｂ、５２１ａ、５２１ｂ、５３１ａ～５３４ａ、５３１ａ～５３１ｂにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）が算出される。

次に、ステップＳ８１４において、出力部４８０は、ステップＳ８１３で計算された、下流側の伝熱凝固計算位置ｎに移動後のトラッキング面５００ａの計算点５１１ａ、５２１ａ、５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）のうち、温度の目標値が定められている所定の位置の計算点５１１ａまたは当該所定の位置に最も近い計算点５３１ａ～５３４ａにおける温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）を含む情報を、制御装置１００ｂに対して送信する。

次に、ステップＳ８１５において、制御装置１００ｂの制御部４９０は、各伝熱凝固計算位置ｎにおける鋳片５の所定の位置の温度の目標値と計算値との偏差をそれぞれゼロに近づけるように、冷却ゾーンごとの冷却水量を操作量として求める。尚、鋳片５の所定の位置と、ステップＳ８１４で送信された温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）を示す計算点５１１ａの位置とが一致する場合、計算値は、当該温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）となる。鋳片５の所定の位置と、ステップＳ８１４で送信された温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）を示す計算点５１１ａの位置とが一致しない場合、計算値は、当該温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）を用いて算出される当該所定の位置の温度となる。そして、制御部４９０は、求めた冷却水量に基づいて冷却スプレー２ａ～２ｔのそれぞれに対する水量指示値を設定し出力し、流量調整弁３ａ～３ｅの開度を調整する。

次に、ステップＳ８１６において、推定装置１００ａは、推定装置１００ａにおける処理を終了するか否かを判定する。例えば、推定装置１００ａは、オペレータが処理の終了を指示するための操作を推定装置１００ａに対して実行すると、推定装置１００ａにおける処理を終了すると判定する。ステップＳ８１６の判定の結果、推定装置１００ａにおける処理を終了しない場合（ステップＳ８１６でＮＯの場合）、ステップＳ８１７の処理が実行される。ステップＳ８１７において、推定装置１００ａは、時刻ｔを時刻ｔ＋Δｔに更新する。そして、更新後の時刻ｔに対して、ステップＳ８０２～Ｓ８１６の処理が実行される。
ステップＳ８１６の判定の結果、推定装置１００ａにおける処理を終了する場合（ステップＳ８１６でＹＥＳの場合）、図８のフローチャートによる処理は終了する。

（計算例）
次に、計算例を説明する。
本計算例では、基準例、発明例、および比較例のそれぞれにより、連続鋳造機の二次冷却帯における鋳片５の表面温度を算出した。
基準例では、二次冷却帯における各冷却方式の変化を反映した伝熱凝固計算を実行することができるように、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間隔（上述したΔｚ）を５ｍｍと短くして鋳片５の表面温度を伝熱凝固計算により算出する。基準例では、中間計算位置は設定されず、各伝熱凝固計算位置における伝熱凝固計算を、当該伝熱凝固計算位置に上流側で隣接する伝熱凝固計算位置での伝熱凝固計算の結果を用いて実行する。基準例では、例えばΔｚを５０ｍｍに設定した場合よりも計算精度は高いが、その反面として計算時間が長くなる。

一方、発明例では、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間隔（上述したΔｚ）を５０ｍｍとし、中間計算位置をこの間隔内に５ｍｍ間隔で９点設定し、前述した実施形態の手法で鋳片５の表面温度を算出する。つまり、発明例のΔｚは基準例のΔｚの１／１０にしているので、発明例では基準例に対し、計算負荷の高い伝熱凝固計算の回数を１／１０に減少させることができる。

また、発明例による温度の計算精度の確認のため、比較例では、以下のようにして鋳片５の表面温度を算出する。比較例でも、発明例と同様に、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間隔を５０ｍｍとし、中間計算位置をこの間隔内に５ｍｍ間隔で９点設定する。比較例では、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に設定される中間計算位置における熱伝達係数を、特許文献２に記載の技術と同様に、上流側の伝熱凝固計算位置における伝熱凝固計算の結果（鋳片５の表面温度）を用いて算出する。比較例では、このようにして算出される各中間計算位置における熱伝達係数の算術平均値を平均熱伝達係数として用いて、下流側の伝熱凝固計算位置における伝熱凝固計算を実行し、鋳片５の表面温度を算出する。比較例では、何れの中間計算位置においても、上流側の伝熱凝固計算位置における鋳片５の表面温度の計算値を用いて熱伝達係数が算出されるので、発明例のように、伝熱凝固計算位置の間の鋳片５の表面温度の変化を考慮していない。

図９は、基準例と比較例における、幅中央温度と鋳造長との関係を示す図である。図１０は、基準例と発明例における、幅中央温度と鋳造長との関係を示す図である。幅中央温度とは、幅方向（ｘ軸方向）の中央における鋳片５の表面温度を指す。鋳造長とは、溶鋼メニスカス４の位置を０（ゼロ）とする鋳造方向の長さを指す。図９および図１０では、溶鋼メニスカス４の位置から機端出口９の位置までの各位置における幅中央温度を示す。

図９に示すように、比較例の手法で算出した幅中央温度と基準例の手法で算出した幅中央温度とには８０℃～１００℃程度の大きな乖離がある。一方、図１０に示すように、図９と同じ温度スケールでは、発明例の手法で算出した幅中央温度と基準例の手法で算出した幅中央温度との差を表すことができず、発明例の手法で算出した幅中央温度は、Δｚが基準例の手法よりも１０倍長いにもかかわらず、基準例の手法で算出した幅中央温度との区別がつかない。図１１は、図１０の一部分を拡大して示す図である。発明例の手法では、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間隔が基準例の手法よりも大きいにもかかわらず、図１１に示すように、全体としては発明例と基準例とで概ね一致している。このように、本発明の手法は、基準例の手法に近い精度を実現しながらも、計算時間については基準例の手法の１／１０近くまで短縮できている。従って、発明例では、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間隔の長さだけ鋳造が進む間に、下流側の伝熱凝固計算位置における伝熱凝固計算を完了させることを、実用上要求される精度で実現することができることが分かる。

（まとめ）
以上のように本実施形態では、推定装置１００ａは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎのうち上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１におけるトラッキング面５００ａに対する時刻ｔ－Δｔでの伝熱凝固計算の結果を用いて、伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定された中間計算位置ｋにおける鋳片表面に対する伝熱計算を実行し、当該伝熱計算の結果を用いて、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａに対する時刻ｔでの伝熱凝固計算を実行する。従って、伝熱凝固計算を実行するトラッキング面の間隔を短くしなくても、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間における、鋳片５の表面およびその近傍の領域の温度変化を考慮して、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算を実行することができる。よって、連続鋳造機で鋳造される鋳片５の温度および固相率の推定精度の低下と計算負荷の増加との双方を抑制することができる。

また、本実施形態では、推定装置１００ａは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎおよびｎ－１の間に設定された中間計算位置ｋに対する時刻ｔでの伝熱計算の結果を用いて、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から下流側の伝熱凝固計算位置ｎまでの間の、鋳片５と外部との間の熱伝達係数の平均的な値である平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}を算出する。また、推定装置１００ａは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に設定された中間計算位置ｋに対する時刻ｔでの伝熱計算の結果と、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}と、を用いて、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から下流側の伝熱凝固計算位置ｎまでの間の、鋳片５の外部雰囲気温度Ｔ_aの平均的な値である平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}を算出する。そして、推定装置１００ａは、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}と、平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}と、に基づいて、鋳片５の表面における時刻ｔでの熱流束ｑ_x（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｑ_y（ｘ，ｙ_B；ｔ）（即ち、トラッキング面５００ａが上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１から下流側の伝熱凝固計算位置ｎに移動するまでの鋳片５の表面における各時刻ｔの熱流束ｑ_x（ｘ_B，ｙ；ｔ）、ｑ_y（ｘ，ｙ_B；ｔ））を算出し、鋳片５の表面における時刻ｔでの熱流束ｑ_x、ｑ_yを用いて、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおける時刻ｔでの伝熱凝固計算を実行する。従って、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間における、熱伝達係数ｈ_tの変化を考慮して、トラッキング面５００ａが下流側の伝熱凝固計算位置ｎに位置するときの伝熱凝固計算を実行することができる。よって、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置の間に、領域ｄのような、熱伝達係数ｈ_tの値が大きく、且つ、熱流束ｑ_x、ｑ_yが温度に対して非線形に変化する領域が含まれている場合でも、連続鋳造機で鋳造される鋳片５の温度および固相率の推定精度の低下を抑制することができる。

また、本実施形態では、推定装置１００ａは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定された中間計算位置ｋに対する時刻ｔでの鋳片５の表面に対する伝熱計算を、鋳片５の表面に垂直な方向の一次元の伝熱計算として実行し、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおける対する時刻ｔでの伝熱凝固計算を、鋳片５の表面に平行な方向および垂直な方向の二次元の伝熱凝固計算として実行する。従って、伝熱凝固計算の計算負荷よりも伝熱計算の計算負荷をより低減することができる。

また、本実施形態では、推定装置１００ａは、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に複数の中間計算位置ｋを設定し、各中間計算位置ｋに対する時刻ｔでの鋳片５の表面に対する伝熱計算を、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１における時刻ｔ－Δｔでの伝熱凝固計算の結果と、当該中間計算位置ｋよりも上流側の中間計算位置に対する時刻ｔでの鋳片５の表面に対する伝熱計算の結果と、を用いて実行する。従って、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に、多くの中間計算位置ｋを設定することができる。よって、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間の鋳片５の表面およびその近傍の領域の温度変化をより正確に反映して、下流側の伝熱凝固計算位置ｎにおけるトラッキング面５００ａに対する伝熱凝固計算を実行することができる。

また、本実施形態では、推定装置１００ａは、中間計算位置ｋ－１における熱伝達係数ｈ_{t_k-1}および外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}を算出し、算出した結果を用いて、中間計算位置ｋ－１における中間外部温度Ｔ_b＾_{_k-1}を算出し、算出した結果を用いて、中間計算位置ｋ－１における中間平均外部温度Ｔ_b ^* _{_k-1}および中間温度変化速度パラメータβ_k-1を算出することを、ｋを１からＮまで更新して繰り返し実行する。従って、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間における、鋳片５の表面およびその近傍の領域の温度変化を、中間平均外部温度Ｔ_b ^* _{_k-1}を用いて定量的に表現することができると共に、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間における、鋳片５と外部との間の熱および温度の伝わりやすさの変化を、中間温度変化速度パラメータβ_k-1を用いて定量的に表現することができる。よって、鋳片５の温度および固相率の推定精度の低下を、より一層抑制することができる。

また、本実施形態では、推定装置１００ａは、中間計算位置ｋ－１における熱伝達係数ｈ_{t_k-1}および外部雰囲気温度Ｔ_{a_k-1}の算出結果を用いて、中間計算位置ｋにおける中間表面温度Ｔ＾_kを算出し、中間計算位置ｋ－１における熱伝達係数ｈ_{t_k-1}を、中間計算位置ｋにおける中間表面温度Ｔ＾_k-1を用いて算出する。従って、温度に依存して変化する熱伝達係数ｈ_tを定量的に求めることができる。

また、本実施形態では、二次冷却帯において鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの少なくとも１つの伝熱凝固計算位置における鋳片５の表面に対する冷却方式と、当該２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に設定される少なくとも１つの中間計算位置ｋにおける鋳片５の表面に対する冷却方式と、が異なるように、中間計算位置ｋを設定する。従って、伝熱凝固計算位置ｎ－１から伝熱凝固計算位置ｎまでの間に、複数の冷却方式の領域が存在する場合であっても、当該２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間の領域における鋳片５の表面およびその近傍の領域の温度変化を、中間計算位置ｋにおける伝熱計算の結果に基づいて推定することができる。よって、鋳片５の温度および固相率の推定精度の低下を、より一層抑制することができる。

また、本実施形態では、鋳造方向で隣接する２つの中間計算位置ｋの鋳造方向の間隔は、冷却スプレー２ａ～２ｔから噴出されたミスト状の冷却水が鋳片５に衝突する領域ｄの鋳造方向の長さの最小値として想定されている値の１／２以下とする。従って、複数の中間計算位置ｋが領域ｄに位置するようになる。従って、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に、領域ｄのような、熱伝達係数ｈ_tの値が大きく、且つ、熱流束ｑ_x、ｑ_yが温度に対して非線形に変化する領域における鋳片５の表面およびその近傍の領域の温度変化を、当該複数の中間計算位置ｋにおける伝熱計算の結果に基づいて推定することができる。よって、鋳造方向で隣接する２つの伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間に領域ｄが含まれている場合の鋳片５の温度および固相率の推定精度の低下を、より一層抑制することができる。

また、本実施形態では、推定装置１００ａは、トラッキング面５００ａの全面に対する伝熱凝固計算を実行する。従って、トラッキング面５００ａの温度Ｔ（ｘ，ｙ，ｔ）および固相率ｆ_s（ｘ，ｙ，ｔ）の分布を、より高精度に算出することができる。
また、本実施形態では、推定装置１００ａは、表層の矩形領域７１０と、表層の矩形領域７１０に対して鋳片５の内側で隣接する第２層の矩形領域７２０と、表層の矩形領域７１０に対して鋳片５の外側で隣接する外側矩形領域７３０と、を伝熱対象の領域とする伝熱計算を実行する。従って、鋳片５の表面に対する伝熱の影響を及ぼす範囲を限定することができる。よって、鋳片５の表面に対する伝熱計算の計算負荷をより低減することができる。

また、本実施形態では、制御装置１００ｂは、推定装置１００ａにより実行された伝熱凝固計算位置ｎ－１およびｎの間におけるに伝熱凝固計算の結果に基づいて、連続鋳造機で鋳造されている鋳片５の所定の位置（例えば、表面や中心部）における温度の目標値と計算値との偏差がゼロに近づくように、流量調整弁３ａ～３ｅの動作（連続鋳造機の二次冷却帯における冷却水量）を制御する。従って、鋳片５の表面に割れ疵が生じたり、鋳片５に中心偏析が生じたり、機端出口９において鋳片５の中心まで凝固が完了しなかったりすることを抑制することができる。

（変形例）
本実施形態では、推定装置１００ａと制御装置１００ｂとをそれぞれ独立した装置として備える連続鋳造制御装置１０（システム）を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。推定装置１００ａが有する機能と制御装置１００ｂが有する機能とを含む１つの装置として連続鋳造制御装置を構成してもよい。

また、本実施形態では、平均熱伝達係数ｈ_{t_ave}と、平均外部雰囲気温度Ｔ_{a_ave}と、に基づいて、鋳片５の表面における時刻ｔでの熱流束ｑ_x、ｑ_yを伝熱凝固計算における境界条件として算出する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、伝熱凝固計算における境界条件を、中間計算位置ｋに対する伝熱計算の結果を用いて設定していれば、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、上流側の伝熱凝固計算位置ｎ－１における伝熱凝固計算の結果を出発点として、中間計算位置ｋに対する伝熱計算の結果を用いて、各中間計算位置ｋにおける熱伝達係数および外部雰囲気温度を計算することを、計算対象の中間計算位置ｋを下流側にずらしながら行うことにより、伝熱凝固計算における境界条件を算出してもよい。

尚、以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ－ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。また、本発明の実施形態は、ＰＬＣ（Programmable Logic Controller）により実現されてもよいし、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）等の専用のハードウェアにより実現されてもよい。

また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１ 鋳型
２ａ～２ｔ 冷却スプレー
３ａ～３ｅ 流量調整弁
４ 溶鋼メニスカス
５ 鋳片
５ａ 短辺面
５ｂ～５ｃ 長辺面
６ａ～６ｆ 冷却ゾーン境界線
７ａ～７ｖ 支持ロール
８ａ～８ｐ 支持ロール
９ 機端出口
１００ 連続鋳造制御装置
１００ａ 推定装置
１００ｂ 制御装置
４１０ 操業データ取得部
４２０ 伝熱凝固計算位置設定部
４３０ 中間計算位置設定部
４４０ 伝熱計算部
４４１ 第１計算部
４４２ 第２計算部
４４３ 第３計算部
４５０ 平均熱伝達係数計算部
４６０ 平均外部雰囲気温度計算部
４７０ 伝熱凝固計算部
４８０ 出力部
４９０ 制御部
５００ａ～５００ｅ トラッキング面
５１０ａ～５１０ｂ 表層の矩形領域
５１１ａ、５１２ａ 計算点
５２０ａ～５２０ｂ 第２層の矩形領域
５２０ａ、５２１ｂ 計算点
５３１ａ～５３４ａ 計算点
５３１ｂ～５３４ｂ 計算点
６００ 伝熱計算対象断面
７１０ 表層の矩形領域
７１１ 計算点
７２０ 第２層の矩形領域
７２１ 計算点
７３０ 外部矩形領域
７３１ 計算点
ａ～ｅ 冷却方式の異なる領域
ｎ－１～ｎ 伝熱凝固計算位置
ｋ 中間計算位置
Δｘ_c 伝熱計算対象断面の境界線から第２層の計算点までのｘ軸方向の長さ
Δｙ_c 伝熱計算対象断面の境界線から第２層の計算点までのｙ軸方向の長さ
Δｘ_s ｙ軸方向に並ぶ表層の矩形領域のｘ軸方向の長さ
Δｙ_s ｘ軸方向に並ぶ表層の矩形領域のｙ軸方向の長さ

Claims (14)

1. 連続鋳造機で鋳造される鋳片の状態を推定する推定装置であって、
   鋳造方向に間隔を有して設定される複数の伝熱凝固計算位置において、鋳造方向に垂直な前記鋳片の断面であるトラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する伝熱凝固計算部と、
   鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置の間に設定される少なくとも１つの中間計算位置において、前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行する伝熱計算部と、
   を備え、
   前記伝熱計算部は、鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの上流側の伝熱凝固計算位置における前記トラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果を用いて、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行し、
   前記伝熱凝固計算部は、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算の結果を用いて、前記上流側の伝熱凝固計算位置にある前記トラッキング面が鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの下流側の伝熱凝固計算位置に位置するときの当該トラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する、推定装置。
2. 前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算の結果を用いて、前記トラッキング面が前記上流側の伝熱凝固計算位置から前記下流側の伝熱凝固計算位置までに移動するまでの間の、前記鋳片と外部との間の熱伝達係数の平均的な値である平均熱伝達係数を算出する平均熱伝達係数計算部と、
   前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算の結果と、前記平均熱伝達係数と、を用いて、前記トラッキング面が前記上流側の伝熱凝固計算位置から前記下流側の前記伝熱凝固計算位置に移動までの間の、前記鋳片の外部雰囲気温度の平均的な値である平均外部雰囲気温度を算出する平均外部雰囲気温度計算部と、
   を、さらに備え、
   前記伝熱凝固計算部は、前記平均熱伝達係数と、前記平均外部雰囲気温度と、に基づいて、前記上流側の伝熱凝固計算位置にある前記トラッキング面が前記下流側の伝熱凝固計算位置に移動するまでの前記鋳片の表面の熱流束を算出し、前記下流側の伝熱凝固計算位置における前記鋳片の表面の熱流束を用いて、前記上流側の伝熱凝固計算位置にある前記トラッキング面が前記下流側の伝熱凝固計算位置に位置するときの当該トラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する、請求項１に記載の推定装置。
3. 前記伝熱計算部は、前記鋳片の表面に対する伝熱計算として、前記鋳片の表面に垂直な方向の一次元の伝熱計算を実行し、
   前記伝熱凝固計算部は、前記伝熱凝固計算として、前記鋳片の表面に平行な方向および垂直な方向の二次元の伝熱凝固計算を実行する、請求項１または２に記載の推定装置。
4. 鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置の間に複数の前記中間計算位置が設定され、
   前記伝熱計算部は、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算を、前記上流側の伝熱凝固計算位置における前記トラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果と、当該中間計算位置よりも上流側の前記中間計算位置に対する伝熱計算の結果と、を用いて実行する、請求項１～３のいずれか１項に記載の推定装置。
5. 前記伝熱計算部は、
   前記鋳片と外部との間の熱伝達係数と、前記鋳片の外部雰囲気温度と、を算出する第１計算部と、
   前記第１計算部における計算の結果を用いて、中間外部温度を算出する第２計算部と、
   前記第２計算部における計算の結果を用いて、中間平均外部温度と、中間温度変化速度パラメータと、を算出する第３の計算部と、
   を有し、
   前記第１の計算部における計算、前記第２の計算部における計算、および前記第３の計算部における計算は、計算対象の前記中間計算位置を、上流側の前記中間計算位置から順番に更新して繰り返し実行され、
   前記中間外部温度は、計算対象の前記中間計算位置よりも１つ上流側の前記中間計算位置における、前記鋳片の内部および外部の温度に基づいて定められる温度であり、
   前記中間平均外部温度は、前記上流側の伝熱凝固計算位置から、計算対象の前記中間計算位置までの間の、前記中間外部温度の平均的な値を表し、
   前記中間温度変化速度パラメータは、前記上流側の伝熱凝固計算位置から、計算対象の前記中間計算位置までの間の、前記鋳片と外部との間における、熱および温度の伝わりやすさの平均的な値を表すパラメータである、請求項１～４のいずれか１項に記載の推定装置。
6. 前記第２計算部は、前記第１計算部における計算の結果を用いて、前記鋳片の表面温度である中間表面温度をさらに算出し、
   前記第１計算部は、計算対象の前記中間計算位置よりも１つ上流側の前記中間計算位置における前記中間表面温度を用いて、前記鋳片と外部との間の熱伝達係数を算出する、請求項５に記載の推定装置。
7. 前記推定装置は、前記連続鋳造機の二次冷却帯で冷却される鋳片の状態を推定し、
   前記中間計算位置は、前記二次冷却帯において鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置の少なくとも１つの前記伝熱凝固計算位置における、前記鋳片の表面に対する冷却方式と、当該２つの前記伝熱凝固計算位置の間に設定される少なくとも１つの前記中間計算位置における、前記鋳片の表面に対する冷却方式と、が異なるように設定される、請求項１～６のいずれか１項に記載の推定装置。
8. 前記推定装置は、前記連続鋳造機の二次冷却帯で冷却される鋳片の状態を推定し、
   鋳造方向で隣接する前記２つの伝熱凝固計算位置の間に複数の前記中間計算位置が設定され、
   鋳造方向で隣接する２つの前記中間計算位置の鋳造方向の間隔は、前記二次冷却帯において冷却水が前記鋳片に衝突する領域の鋳造方向の長さの最小値として想定される値の１／２以下である、請求項１～７のいずれか１項に記載の推定装置。
9. 前記伝熱凝固計算部は、前記トラッキング面の全面に対する伝熱凝固計算を実行する、請求項１～８のいずれか１項に記載の推定装置。
10. 前記伝熱計算部は、前記中間計算位置において、前記鋳片の表面を含む離散化された領域と、当該領域に対し前記鋳片の内側および外側で隣接する離散化された領域と、を伝熱の対象領域とする伝熱計算を実行する、請求項１～９のいずれか１項に記載の推定装置。
11. 請求項１～１０のいずれか１項に記載の推定装置と、
    前記推定装置により実行された、前記トラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果に基づいて、前記連続鋳造機で鋳造されている鋳片の所定の位置における温度の目標値と計算値との偏差がゼロに近づくように、前記鋳片に対する冷却水の供給量を制御する制御装置と、
    を備える、連続鋳造制御装置。
12. 連続鋳造機で鋳造される鋳片の状態を推定する推定方法であって、
    鋳造方向に間隔を有して設定される複数の伝熱凝固計算位置において、鋳造方向に垂直な前記鋳片の断面であるトラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する伝熱凝固計算工程と、
    鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置の間に設定される少なくとも１つの中間計算位置において、前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行する伝熱計算工程と、
    を有し、
    前記伝熱計算工程は、鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの上流側の伝熱凝固計算位置におけるトラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果を用いて、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算を実行し、
    前記伝熱凝固計算工程は、前記中間計算位置における前記鋳片の表面に対する伝熱計算の結果を用いて、前記上流側の伝熱凝固計算位置にある前記トラッキング面が鋳造方向で隣接する２つの前記伝熱凝固計算位置のうちの下流側の伝熱凝固計算位置に位置するときの当該トラッキング面に対する伝熱凝固計算を実行する、推定方法。
13. 請求項１２に記載の推定方法により実行された、前記トラッキング面に対する伝熱凝固計算の結果に基づいて、前記連続鋳造機で鋳造されている鋳片の所定の位置における温度の目標値と計算値との偏差がゼロに近づくように、前記鋳片に対する冷却水の供給量を制御する制御工程を有する、連続鋳造制御方法。
14. 請求項１～１０のいずれか１項に記載の推定装置の各部としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

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