JP2020047586A - 二次電池システム - Google Patents

Abstract

【課題】シリコン系材料を負極活物質として用いた二次電池の内部状態の推定精度を向上させる。【解決手段】二次電池システム１０は、負極活物質（負極粒子２）がシリコン系材料からなる負極を有するバッテリ４と、バッテリ４の活物質モデルに基づいてバッテリ４の内部状態を推定するように構成されたＥＣＵ１００とを備える。ＥＣＵ１００は、負極活物質の内部におけるリチウムの濃度分布を規定する拡散方程式を解くことによって負極活物質の内部のリチウム量を算出する。ＥＣＵ１００は、負極活物質の内部のリチウム量θ２＿ａｖｅに応じて定まる負極活物質の表面応力σｓｕｒｆに基づいて、負極活物質の開放電位変化量ΔＶｓｔｒｅｓｓを算出する。ＥＣＵ１００は、負極活物質に表面応力が発生していない状態における負極活物質の開放電位Ｕ２＿ｓｔａと、開放電位変化量ΔＶｓｔｒｅｓｓとから負極開放電位Ｕ２を算出する。【選択図】図１３

Description

本開示は、二次電池システムに関し、より特定的には、シリコン系材料を負極活物質として用いた二次電池の内部状態の推定技術に関する。

近年、二次電池が搭載された電動車両（ハイブリッド車両、電気自動車等）の普及が進んでいる。このような二次電池では、その内部状態を正確に推定することが求められる。

二次電池の内部状態の推定には、二次電池の正極開放電位、正極電位、負極開放電位、負極電位などの様々な電位成分を算出することが含まれる。たとえば、二次電池の正極開放電位および負極開放電位から二次電池のＯＣＶを算出し、算出されたＯＣＶから二次電池のＳＯＣを推定することができる。また、二次電池の正極電位が所定の下限電位よりも低くなったり所定の上限電位よりも高くなったりした場合には、正極での副反応が起こり、正極が劣化し得る。負極についても同様に、負極電位が所定の電位範囲外になると劣化する可能性がある。よって、二次電池の単極電位（正極電位または負極電位）の算出精度を向上させることで、二次電池の正極および負極の劣化を抑制することも可能になる。

特開２００８−２４３３７３号公報（特許文献１）は、二次電池の内部状態を推定するための電池モデルを開示する。特許文献１によれば、この電池モデルに従って、活物質内部におけるリチウム濃度分布が算出される。そして、算出されたリチウム濃度分布に基づいて、二次電池の内部状態（詳細には正極開放電位および負極開放電位）が推定される。

特開２００８−２４３３７３号公報 特開２０１５−１６６７１０号公報 特開２０１４−１３９５２１号公報

"In Situ Measurements of Stress-Potential Coupling in Lithiated Silicon", V. A. Sethuraman et al., Journal of The Electrochemical Society, 157 (11) A1253-A1261 (2010)

二次電池のなかには、完全に放電された状態から二次電池を充電する際に得られるＳＯＣ（ＳＯＣ：State Of Charge）−ＯＣＶ（Open Circuit Voltage）カーブである「充電カーブ」と、満充電された状態から二次電池を放電する際に得られるＳＯＣ−ＯＣＶカーブである「放電カーブ」とが顕著に乖離する系が存在する。このように充電カーブと放電カーブとが乖離することを二次電池に「ヒステリシス」が存在するとも言う。たとえば特開２０１５−１６６７１０号公報（特許文献２）は、二次電池のヒステリシスを考慮した上でＯＣＶからＳＯＣを推定する技術を開示する。

たとえばリチウムイオン二次電池において、シリコン系材料を負極活物質として用いることが検討されている。シリコン系材料を用いることで、シリコン系材料を用いない場合と比べて、満充電容量を増加させることができるためである。一方、シリコン系材料を用いると、シリコン系材料を用いない場合と比べて、ＳＯＣ−ＯＣＶカーブのヒステリシスが大きくなることが知られている（たとえば特開２０１４−１３９５２１号公報：特許文献３参照）。

たとえば特許文献１に開示された二次電池の内部状態の推定手法では、二次電池のヒステリシスについては何ら考慮されていない。この点において、特許文献１に開示の推定手法には、二次電池の内部状態の推定精度に改善の余地がある。

本開示は上記課題を解決するためになされたものであって、その目的は、シリコン系材料を負極活物質として用いた二次電池の内部状態の推定精度を向上させることである。

本開示のある局面に従う二次電池システムは、負極活物質がシリコン系材料からなる負極を有する二次電池と、二次電池の活物質モデルに基づいて二次電池の内部状態を推定するように構成された制御装置とを備える。制御装置は、負極活物質の内部における電荷担体の濃度分布を規定する拡散方程式を解くことによって負極活物質内の電荷担体量を算出する。制御装置は、負極活物質内の電荷担体量に応じて定まる負極活物質の表面応力に基づいて、負極活物質の開放電位変化量を算出する。制御装置は、負極活物質に表面応力が発生していない状態における負極活物質の開放電位と、開放電位変化量とから負極の開放電位を算出する。

上記構成によれば、負極活物質の表面応力による負極活物質の開放電位変化量が算出される。そして、負極活物質に表面応力が発生していない状態における負極活物質の開放電位と、開放電位変化量とから負極の開放電位が算出される。このように、負極活物質の表面応力による開放電位への影響を考慮に入れることで、二次電池の負極の開放電位を高精度に推定することができる。その結果、負極の開放電位に関連する他の内部状態（ＳＯＣなど）の推定精度も向上させることが可能になる。

本開示によれば、シリコン系材料を負極活物質として用いた二次電池の内部状態の推定精度を向上させることができる。

本実施の形態に係る二次電池システムが搭載された電動車両の全体構成を概略的に示す図である。 各セルの構成をより詳細に説明するための図である。 本実施の形態におけるバッテリのＳＯＣ−ＯＣＶカーブの一例を示す図である。 バッテリの充放電に伴う表面応力の変化の一例を模式的に示す図である。 本実施の形態における電池モデルを説明するための図である。 正極粒子および負極粒子の内部におけるリチウム濃度分布の算出手法を説明するための図である。 電池モデルに使用されるパラメータを説明するための図である。 電池モデルに使用される添字（下付き添字）を説明するための図である。 本実施の形態における電位算出処理およびＳＯＣ推定処理に関するＥＣＵの機能ブロック図である。 ＳＯＣ−ＯＣＶ特性図上におけるバッテリの状態の遷移を説明するための概念図である。 表面応力の算出手法を説明するための図である。 本実施の形態においてバッテリのＳＯＣを推定するための一連の処理を示すフローチャートである。 収束演算処理を示すフローチャートである。 表面応力算出処理を示すフローチャートである。

以下では、本開示の実施の形態に係る二次電池システムが電動車両に搭載される構成を例に説明する。電動車両とは、ハイブリッド車（プラグインハイブリッド車を含む）であってもよいし、電気自動車であってもよい。また、電動車両は、燃料電池と二次電池とを組み合わせたハイブリッド車であってもよい。ただし、本開示に係る「二次電池システム」の用途は車両用に限定されるものではなく、定置用であってもよい。

［実施の形態］
＜二次電池システムの構成＞
図１は、本実施の形態に係る二次電池システムが搭載された電動車両の全体構成を概略的に示す図である。図１を参照して、車両９は、ハイブリッド車両であって、モータジェネレータ９１，９２と、エンジン９３と、動力分割装置９４と、駆動軸９５と、駆動輪９６と、二次電池システム１０とを備える。二次電池システム１０は、バッテリ４と、監視ユニット６と、パワーコントロールユニット（ＰＣＵ：Power Control Unit）８と、電子制御装置（ＥＣＵ：Electronic Control Unit）１００とを備える。

モータジェネレータ９１，９２の各々は、交流回転電機であり、たとえば、ロータに永久磁石が埋設された三相交流同期電動機である。モータジェネレータ９１は、主として、動力分割装置９４を経由してエンジン９３により駆動される発電機として用いられる。モータジェネレータ９１が発電した電力は、ＰＣＵ８を介してモータジェネレータ９２またはバッテリ４に供給される。

モータジェネレータ９２は、主として電動機として動作し、駆動輪９６を駆動する。モータジェネレータ９２は、バッテリ４からの電力およびモータジェネレータ９１の発電電力の少なくとも一方を受けて駆動され、モータジェネレータ９２の駆動力は駆動軸９５に伝達される。一方、車両の制動時や下り斜面での加速度低減時には、モータジェネレータ９２は、発電機として動作して回生発電を行なう。モータジェネレータ９２が発電した電力は、ＰＣＵ８を介してバッテリ４に供給される。

エンジン９３は、空気と燃料との混合気を燃焼させたときに生じる燃焼エネルギーをピストンやロータなどの運動子の運動エネルギーに変換することによって動力を出力する内燃機関である。

動力分割装置９４は、たとえば、サンギヤ、キャリア、リングギヤの３つの回転軸を有する遊星歯車機構（図示せず）を含む。動力分割装置９４は、エンジン９３から出力される動力を、モータジェネレータ９１を駆動する動力と、駆動輪９６を駆動する動力とに分割する。

バッテリ４は、複数のセル（単電池）６１を含んで構成された組電池である。本実施の形態における各セル５は、リチウムイオン二次電池である。各セル５の構成については図２にて説明する。

バッテリ４は、モータジェネレータ９１，９２を駆動するための電力を蓄え、ＰＣＵ８を通じてモータジェネレータ９１，９２へ電力を供給する。また、バッテリ４は、モータジェネレータ９１，９２の発電時にＰＣＵ８を通じて発電電力を受けて充電される。

監視ユニット６は、電圧センサ７１と、温度センサ７２とを含む。電圧センサ７１は、組電池であるバッテリ４に含まれる各セル５の電圧を検出する。温度センサ７２は、セル５毎の温度を検出する。各センサは、その検出結果をＥＣＵ１００に出力する。

なお、電圧センサ７１は、たとえば直列接続された複数のセル５を監視単位として電圧ＶＢを検出してもよい。また、温度センサ７２は、互いに隣接して配置された複数のセル５を監視単位として温度ＴＢを検出してもよい。このように、本実施の形態では、監視単位は特に限定されない。よって、以下では説明の簡略化のため、単に「バッテリ４の電圧ＶＢを検出する」あるいは「バッテリ４の温度ＴＢを検出する」と記載する。電位、ＯＣＶ（Open Circuit Voltage）およびＳＯＣについても同様に、バッテリ４を各処理の実行単位として記載する。

ＰＣＵ８は、ＥＣＵ１００からの制御信号に従って、バッテリ４とモータジェネレータ９１，９２との間で双方向の電力変換を実行する。ＰＣＵ８は、モータジェネレータ９１，９２の状態をそれぞれ別々に制御可能に構成されており、たとえば、モータジェネレータ９１を回生状態（発電状態）にしつつ、モータジェネレータ９２を力行状態にすることができる。ＰＣＵ８は、たとえば、モータジェネレータ９１，９２に対応して設けられる２つのインバータと、各インバータに供給される直流電圧をバッテリ４の出力電圧以上に昇圧するコンバータ（いずれも図示せず）とを含んで構成されている。

ＥＣＵ１００は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１００Ａと、メモリ（より具体的にはＲＯＭ（Read Only Memory）およびＲＡＭ（Random Access Memory））１００Ｂと、各種信号を入出力するための入出力ポート（図示せず）とを含んで構成されている。ＥＣＵ１００は、監視ユニット６の各センサから受ける信号ならびにメモリ１００Ｂに記憶されたプログラムおよびマップに基づいて、バッテリ４の状態を推定する。ＥＣＵ１００により実行される主要な処理として、バッテリ４の正極電位Ｖ_１および負極電位Ｖ_２を含む様々な電位成分を算出する「電位算出処理」が挙げられる。ＥＣＵ１００は、「電位算出処理の結果に応じて、バッテリ４のＳＯＣを推定したりバッテリ４の充放電を制御したりする。

なお、正極電位Ｖ_１とは、バッテリ４が通電状態にあるときの正極の電位である。負極電位Ｖ_２とは、バッテリ４が通電状態にあるときの負極の電位である。一方、バッテリ４が非通電状態（無負荷状態）にあるとき、正極の電位を正極開放電位（ＯＣＰ：Open Circuit Potential）Ｕ_１と言い、負極の電位を負極開放電位Ｕ_２と言う。これらの電位（および後述する他の電位）の基準となる電位は任意に設定可能であるが、本実施の形態では金属リチウムの電位が基準電位に定められる。

図２は、各セル５の構成をより詳細に説明するための図である。図２におけるセル５は、その内部を透視して図示されている。

図２を参照して、セル５は、角型（略直方体形状）の電池ケース５１を有する。電池ケース５１の上面は蓋体５２によって封じられている。正極端子５３および負極端子５４の各々の一方端は、蓋体５２から外部に突出している。正極端子５３および負極端子５４の他方端は、電池ケース５１内部において、内部正極端子および内部負極端子（いずれも図示せず）にそれぞれ接続されている。電池ケース５１の内部には電極体５５が収容されている。電極体５５は、正極と負極とがセパレータを介して積層され、その積層体が捲回されることにより形成されている。電解液は、正極、負極およびセパレータ等に保持されている。

正極、セパレータおよび電解液には、リチウムイオン二次電池の正極、セパレータおよび電解液として従来公知の構成および材料をそれぞれ用いることができる。一例として、正極には、コバルト酸リチウムの一部がニッケルおよびマンガンにより置換された三元系の材料を用いることができる。セパレータには、ポリオレフィン（たとえばポリエチレンまたはポリプロピレン）を用いることができる。電解液は、有機溶媒（たとえばＤＭＣ（dimethyl carbonate)とＥＭＣ（ethyl methyl carbonate)とＥＣ（ethylene carbonate)との混合溶媒）と、リチウム塩（たとえばＬｉＰＦ_６）と、添加剤（たとえばＬｉＢＯＢ（lithium bis(oxalate)borate）またはＬｉ［ＰＦ_２（Ｃ_２Ｏ_４）_２］）等を含む。

なお、セルの構成は特に限定されず、電極体が捲回構造ではなく積層構造を有するものであってもよい。また、角型の電池ケースに限らず、円筒型またはラミネート型の電池ケースも採用可能である。

＜ＳＯＣ−ＯＣＶカーブのヒステリシス＞
従来、リチウムイオン二次電池の典型的な負極活物質は、グラファイト等の炭素系材料であった。これに対し、本実施の形態では、シリコン系材料（ＳｉまたはＳｉＯ）が負極活物質として採用されている。シリコン系材料を用いることでバッテリ４のエネルギー密度が増加し、それによりバッテリ４の満充電容量を増大させることができるためである。その一方で、シリコン系材料を用いると、バッテリ４にヒステリシスが顕著に現れ得る。

図３は、本実施の形態におけるバッテリ４のＳＯＣ−ＯＣＶカーブの一例を示す図である。図３ならびに後述する図１０および図１１において、横軸はバッテリ４のＳＯＣを表し、縦軸はバッテリ４のＯＣＶを表す。なお、本明細書において、ＯＣＶとは、二次電池の電圧が十分に緩和した状態、すなわち、活物質内のリチウム（電荷担体または反応物質）の濃度が緩和した状態での電圧を意味する。

図３には、バッテリ４の充電カーブＣＨＧと放電カーブＤＣＨとが示されている。充電カーブＣＨＧは、バッテリ４を完全放電状態にしてから充電と休止（充電停止）とを繰り返すことで取得される。放電カーブＤＣＨは、バッテリ４を満充電状態にしてから放電と休止（放電停止）とを繰り返すことで取得される。

詳細には、充電カーブＣＨＧは、以下のように取得することができる。まず、完全放電状態のバッテリ４を準備し、たとえば５％のＳＯＣに相当する電気量を充電する。その電気量の充電後には充電を停止し、充電により生じた分極が解消されるまでの時間（たとえば３０分間）、バッテリ４を放置する。その放置時間の経過後にバッテリ４のＯＣＶを測定する。そして、充電後のＳＯＣ（＝５％）と、測定されたＯＣＶとの組合せ（ＳＯＣ，ＯＣＶ）を図中にプロットする。

続いて、次の５％のＳＯＣに相当する電気量のバッテリ４の充電（ＳＯＣ＝５％から１０％までの充電）を開始する。充電が完了すると、同様に放置時間の経過後にバッテリ４のＯＣＶを測定する。そして、ＯＣＶの測定結果から、バッテリ４の状態（ＳＯＣとＯＣＶとの組合せ）を再びプロットする。その後、バッテリ４が満充電状態に至るまで同様の手順を繰り返す。このような測定を実施することによって充電カーブＣＨＧを取得することができる。

同様に、バッテリ４が満充電状態から完全放電状態に至るまで、今度はバッテリ４の放電と放電停止とを繰り返しながら、５％刻みのＳＯＣにおけるバッテリ４のＯＣＶを測定する。このような測定を実施することによって放電カーブＤＣＨを取得することができる。取得された充電カーブＣＨＧおよび放電カーブＤＣＨは、ＥＣＵ１００のメモリ１００Ｂに格納されている。

充電カーブＣＨＧ上のＯＣＶを「充電ＯＣＶ」とも称し、放電カーブＤＣＨ上のＯＣＶを「放電ＯＣＶ」とも称する。充電ＯＣＶは各ＳＯＣにおけるＯＣＶの最高値を示し、放電ＯＣＶは各ＳＯＣにおけるＯＣＶの最低値を示している。バッテリ４の状態は、充電ＯＣＶ上、放電ＯＣＶ上、および、充電ＯＣＶと放電ＯＣＶとにより囲まれた領域（以下、「中間領域Ａ」とも称する）内のいずれかにプロットされることとなる（後述する図１０および図１１参照）。充電ＯＣＶと放電ＯＣＶとの乖離（たとえば１５０ｍＶ程度の電圧差が生じること）がバッテリ４におけるヒステリシスの存在を表している。

＜負極活物質の表面応力＞
バッテリ４にヒステリシスが生じる要因としては、充放電に伴う負極活物質の体積変化が考えられる。負極活物質は、リチウムの挿入に伴い膨張し、リチウムの脱離に伴い収縮する。このような負極活物質の体積変化に伴い、負極活物質の表面および内部に応力が発生し、負極活物質内のリチウム濃度が緩和した状態においても負極表面に応力が残留する。負極表面に残留する応力とは、負極活物質の内部で発生した応力と、負極活物質の体積変化に伴って負極活物質の周辺部材（バインダ、導電助剤など）から負極活物質に働く反作用力などとを含む様々な力が系全体で釣り合った状態での応力と考えられる。以下、この応力のことを「表面応力σ_ｓｕｒｆ」と記載する。

リチウムの挿入または脱離に伴うシリコン系材料の体積変化量は、グラファイトの体積変化量よりも大きい。具体的には、リチウムが挿入されていない状態での最小体積を基準とした場合に、リチウムの挿入に伴うグラファイトの体積変化量（膨張率）が１．１倍程度であるのに対して、シリコン系材料の体積変化量は最大で４倍程度である。そのため、負極活物質がシリコン系材料である場合には、負極活物質がシリコン系材料でない場合（負極活物質がグラファイトである場合）と比べて、表面応力σ_ｓｕｒｆが大きくなる。

なお、表面応力σ_ｓｕｒｆは、薄膜評価を通じて測定する（見積もる）ことができる。表面応力σ_ｓｕｒｆの測定手法の一例を簡単に説明する。まず、表面応力σ_ｓｕｒｆにより変形した薄膜である負極の曲率κの変化が測定される。たとえば市販の曲率半径測定システムを用いることによって曲率κを光学的に測定することができる。そして、測定された曲率κと、負極（負極活物質および周辺部材）の材料および形状に応じて定まる定数（ヤング率、ポアソン比、厚みなど）とをストーニーの式に代入することにより、表面応力σ_ｓｕｒｆを算出することができる（応力測定の詳細については、たとえば非特許文献１を参照）。

負極電位Ｖ_２は、負極活物質の表面状態により決定される。より詳細には、負極電位Ｖ_２は、負極活物質表面におけるリチウム量と、表面応力σ_ｓｕｒｆとにより決定される。シリコン系材料のように充放電に伴い大きな体積変化が生じ得る材料を採用した場合、以下に説明するように、負極活物質内のリチウム量の増減に伴い、表面応力σ_ｓｕｒｆが大きく変化し得る。

図４は、バッテリ４の充放電に伴う表面応力σ_ｓｕｒｆの変化の一例を説明するための図である。図４において、横軸は負極活物質表面におけるリチウム量（後に説明する負極粒子２のリチウム量θ_２）を表し、縦軸は表面応力σ_ｓｕｒｆを表す。

図４には、まず、リチウム量θ_２が最小であるθ_{２，ｍｉｎ}（たとえばθ_{２，ｍｉｎ}＝０）の状態からリチウム量θ_２が最大であるθ_{２，ｍａｘ}（たとえばθ_{２，ｍａｘ}＝１）の状態まで、バッテリ４が充電され、その後、θ_{２，ｍａｘ}の状態からθ_{２，ｍｉｎ}の状態までバッテリ４が放電された場合の表面応力σ_ｓｕｒｆの変化の一例が模式的に示されている。なお、表面応力σ_ｓｕｒｆについては、負極活物質の収縮時（バッテリ４の放電時）に発生する引っ張り応力σ_ｔｅｎを正方向で表し、負極活物質の膨張時（バッテリ４の充電時）に発生する圧縮応力σ_ｃｏｍを負方向で表している。

図４では、表面応力σ_ｓｕｒｆのすべての変化が直線で示されているが、これは、表面応力σ_ｓｕｒｆの変化を模式的に示すものに過ぎない。実際には、降伏後の塑性領域（塑性変形が起こるＳＯＣ領域）でも表面応力σ_ｓｕｒｆの非線形的な変化が生じる（たとえば非特許文献１の図２参照）。図４に模式的に示す平行四辺形の外周は、図３に示したＳＯＣ−ＯＣＶカーブに挟まれた領域（中間領域Ａ）の外周と対応している。

リチウム量がθ_{２，ｍｉｎ}である状態からの充電開始直後には、表面応力σ_ｓｕｒｆの大きさが線形に変化する。この充電中のリチウム量θ_２の領域（θ_{２，ｍｉｎ}≦θ_２≦Ｘの領域）では、負極活物質表面の弾性変形が起こっていると考えられる。これに対し、それ以降の領域（Ｘ＜θ_２≦θ_{２，ｍａｘ}の領域）においては、表面応力σ_ｓｕｒｆの大きさは、ほぼ一定である。このとき、負極活物質の表面が弾性変形を超えて塑性変形に至っていると考えられる。一方、バッテリ４の放電時においては、リチウム量がθ_{２，ｍａｘ}である状態からの放電開始直後の領域（Ｙ≦θ_２≦θ_{２，ｍａｘ}の領域）では負極活物質の表面で弾性変形が起こり、それ以降の領域（θ_{２，ｍｉｎ}≦θ_２＜Ｙの領域）では負極活物質の表面の塑性変形が起こっていると考えられる。

バッテリ４の充電継続時には、主に、負極活物質表面に圧縮降伏応力σ_ｃｏｍが発生し（表面応力σ_ｓｕｒｆが圧縮降伏応力となり）、表面応力σ_ｓｕｒｆが発生していない理想的（仮想的）な状態と比べて、負極開放電位Ｕ_２が低下する。以下では、表面応力σ_ｓｕｒｆが発生していない理想的な状態を「理想状態」とも称する。理想状態と比べて負極開放電位Ｕ_２が低下すると、バッテリ４のＯＣＶが上昇する。一方、バッテリ４の放電継続時には、主に、負極活物質表面に引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎが発生し（表面応力σ_ｓｕｒｆが引っ張り降伏応力となり）、理想状態と比べて、負極開放電位Ｕ_２が上昇する。その結果、バッテリ４のＯＣＶが低下する。

以上のメカニズムに従い、負極活物質がシリコン系材料であるバッテリ４では、そのヒステリシスに起因して電池の充電ＯＣＶと放電ＯＣＶとの乖離が顕在化する。そのため、この負極ヒステリシスの影響を考慮して、バッテリ４の負極開放電位Ｕ_２を高精度に算出すれば、バッテリ４の正極開放電位Ｕ_１と負極開放電位Ｕ_２との差（＝Ｕ_１−Ｕ_２）であるバッテリ４のＯＣＶについても高精度に算出することができる。

＜電池モデル＞
次に、本実施の形態においてバッテリ４の内部状態の推定に用いられる電池モデル（活物質モデル）について詳細に説明する。本実施の形態では、正極を１つの活物質（１粒子）により代表して表すとともに、負極を別の１つの活物質（別の１粒子）により代表して表す電池モデルが採用される。

図５は、本実施の形態における電池モデルを説明するための図である。図５を参照して、本実施の形態における電池モデルでは、バッテリ４の正極が正極活物質（たとえば三元系材料）からなる１粒子として表される。この粒子を簡単のため「正極粒子１」と記載する。一方、負極も負極活物質（シリコン系材料）からなる１粒子として表される。この粒子を「負極粒子２」と記載する。正極粒子１の電位を「正極電位Ｖ_１」と記載し、負極粒子２の電位を「負極電位Ｖ_２」と記載する。

図５にはバッテリ４の放電時の様子が示されている。バッテリ４の放電時には、負極粒子２からリチウムイオン（Ｌｉ^＋で示す）が脱離する一方で、正極粒子１にリチウムイオンが挿入される。このとき、バッテリ４には総電流Ｉ_Ｔが流れる。（図示しないが、バッテリ４の充電時には、電流（総電流Ｉ_Ｔ）の向きが図５に示した向きとは逆になる。なお、本明細書では、充電時の電流は負とし、放電時の電流を正としている。

以下に説明するように、本実施の形態における電池モデルでは、正極粒子１および負極粒子２の各々の内部におけるリチウム濃度分布が算出される。

図６は、正極粒子１および負極粒子２の内部におけるリチウム濃度分布の算出手法を説明するための図である。図６を参照して、本実施の形態では、球状の正極粒子１の内部において、極座標の周方向のリチウム濃度分布は一様と仮定され、極座標の径方向のリチウム濃度分布のみが考慮される。言い換えると、正極粒子１の内部モデルは、リチウムの移動方向を径方向に限定した１次元モデルである。

正極粒子１は、その径方向にＮ個（Ｎ：２以上の自然数）の領域に仮想的に分割される。各領域は、添字ｋ（ｋ＝１〜Ｎ）により互いに区別される。領域ｋにおけるリチウム濃度ｃ_１ｋは、正極粒子１の径方向における領域ｋの位置ｒ_１ｋと、時間ｔとの関数として表される（下記式（１）参照）。

詳細な算出手法については後述するが、本実施の形態では、各領域ｋのリチウム濃度ｃ_ｓ１ｋが算出され（すなわちリチウム濃度分布が算出され）、さらに、算出されたリチウム濃度ｃ_１ｋが規格化される。具体的には、式（２）に示すように、リチウム濃度の最大値（以下、「限界リチウム濃度」と称する）ｃ_{１，ｍａｘ}に対するリチウム濃度ｃ_１ｋの算出値の比率が領域ｋ毎に算出される。限界リチウム濃度ｃ_{１，ｍａｘ}は、正極活物質の種類に応じて定まる濃度であり、文献により既知である。

以下では、規格化後の値であるθ_１ｋを領域ｋの「局所リチウム量」と称する。局所リチウム量θ_１ｋは、正極粒子１の領域ｋに含まれるリチウム量に応じて０〜１の範囲内の値を取る。また、ｋ＝Ｎである最外周領域Ｎ（すなわち正極粒子１の表面）における局所リチウム量θ_１Ｎを「表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}」と称する。さらに、式（３）に示すように、領域ｋ（ｋ＝１〜Ｎ）の体積ν_１ｋと局所リチウム量θ_１ｋとの積の合計を求め、その合計を正極粒子１の体積（正極活物質の体積）で割った値を「平均リチウム量」と称し、θ_{１＿ａｖｅ}で表す。

図６では正極活物質を表す粒子（正極粒子１）を例に説明したが、負極活物質を表す粒子（負極粒子２）の内部におけるリチウム濃度分布および局所リチウム量（の分布）の算出手法も同等である。なお、正極粒子１と負極粒子２との間で領域の分割数が互いに異なってもよいが、本実施の形態では、説明の簡易化のため、分割数がいずれもＮであるとしている。

図７は、電池モデルに使用されるパラメータ（変数および定数）を説明するための図である。図８は、電池モデルに使用される添字（下付き添字）を説明するための図である。図７および図８に示すように、添字ｉは、正極粒子１と負極粒子２とを互いに区別するためのものであり、ｉ＝１，２のいずれかに定められる。ｉ＝１の場合には正極粒子１における値であることを意味し、ｉ＝２の場合には負極粒子２における値であることを意味する。また、電池モデルに使用されるパラメータのうち、添字ｅが付されたものは電解液中の値であることを意味し、添字ｓが付されたものは活物質中の値であることを意味する。

＜機能ブロック＞
電位算出処理により算出される各種電位成分は様々な処理や制御に使用され得るが、本実施の形態では、「電位算出処理」の結果に基づいてバッテリ４のＳＯＣを推定する「ＳＯＣ推定処理」を実行する構成について説明する。

図９は、本実施の形態における電位算出処理およびＳＯＣ推定処理に関するＥＣＵ１００の機能ブロック図である。図９を参照して、ＥＣＵ１００は、パラメータ設定部１１０と、交換電流密度算出部１２１と、反応過電圧算出部１２２と、濃度分布算出部１３１と、リチウム量算出部１３２と、表面応力算出部１３３と、開放電位変化量算出部１３４と、開放電位算出部１３５と、塩濃度差算出部１４１と、塩濃度過電圧算出部１４２と、収束条件判定部１５１と、電流設定部１５２と、ＳＯＣ推定部１６０とを含む。

パラメータ設定部１１０は、他の機能ブロックによる演算に用いられるパラメータを出力する。具体的には、パラメータ設定部１１０は、電圧センサ７１からバッテリ４の電圧ＶＢを受けるとともに、温度センサ７２から電池モジュール（図示せず）の温度ＴＢを受ける。パラメータ設定部１１０は、電圧ＶＢをバッテリ４の測定電圧Ｖ_ｍｅａｓとして設定するとともに、温度ＴＢを絶対温度Ｔ（単位：ケルビン）に換算する。測定電圧Ｖ_ｍｅａｓおよび絶対温度Ｔ（または温度ＴＢ）は、他の機能ブロックに出力される。なお、絶対温度Ｔは多くの機能ブロックにより出力されるので、図面が煩雑になるのを防ぐため、絶対温度Ｔの伝達を示す矢印の図示は省略されている。

それに加えて、パラメータ設定部１１０は、拡散係数Ｄ_ｓ１，Ｄ_ｓ２を濃度分布算出部１３１に出力する。拡散係数Ｄ_ｓ１，Ｄ_ｓ２としては、それぞれ、局所リチウム量θ_１，θ_２に応じて異なる値（平均リチウム量であってもよいし表面リチウム量であってもよい）を設定することが好ましい。

詳細は後述するが、収束条件判定部１５１および電流設定部１５２により実行される反復法による演算処理では、可変に設定されるパラメータとして総電流Ｉ_Ｔが用いられる。パラメータ設定部１１０は、前回演算時に電流設定部１５２により設定された電流（総電流Ｉ_Ｔ）を受け、この電流を今回演算時に使用するパラメータとして他の機能ブロックに出力する。

交換電流密度算出部１２１は、パラメータ設定部１１０から絶対温度Ｔを受けるとともに、リチウム量算出部１３２から、正極粒子１の表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}および負極粒子２の表面リチウム量θ_{２＿ｓｕｒｆ}を受ける。交換電流密度算出部１２１は、他の機能ブロックから受けたパラメータに基づいて、正極粒子１の交換電流密度ｉ_０＿１および負極粒子２の交換電流密度ｉ_０＿２を算出する。

より詳細には、交換電流密度ｉ_０＿１とは、正極粒子１における酸化反応に対応するアノード電流密度と、正極粒子１における還元反応に対応するカソード電流密度とが等しくなるときの電流密度である。交換電流密度ｉ_０＿１は、正極粒子１の表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}および絶対温度Ｔに依存する特性を有する。したがって、交換電流密度ｉ_０＿１と表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}と絶対温度Ｔとの対応関係を規定したマップ（図示せず）を予め準備しておくことにより、リチウム量算出部１３２により算出される表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}（後述）と、絶対温度Ｔとから、交換電流密度ｉ_０＿１を算出することができる。負極粒子２の交換電流密度ｉ_０＿２も同様であるため、説明は繰り返さない。

反応過電圧算出部１２２は、パラメータ設定部１１０から絶対温度Ｔを受けるとともに、パラメータ設定部１１０から総電流Ｉ_Ｔを受ける。また、交換電流密度算出部１２１から交換電流密度ｉ_０＿１，ｉ_０＿２を受ける。そして、反応過電圧算出部１２２は、バトラー・ボルマー（Butler-Volmer）の関係式から導かれる下記式（４）および式（５）に従って、正極粒子１の反応過電圧（正極過電圧）η_１と、負極粒子２の反応過電圧（負極過電圧）η_２とをそれぞれ算出する。なお、反応過電圧とは、活性化過電圧とも呼ばれ、電荷移動反応（リチウムの挿入／脱離反応）に関連する過電圧である。算出された各反応過電圧η_１，η_２は、収束条件判定部１５１に出力される。

濃度分布算出部１３１は、パラメータ設定部１１０から正極粒子１におけるリチウムの拡散係数Ｄ_ｓ１を受ける。濃度分布算出部１３１は、正極活物質（正極粒子１）を球として扱った極座標系の拡散方程式である下記式（６）を時間発展的に解くことによって、正極粒子１の内部におけるリチウム濃度分布を算出する。正極粒子１の表面（位置ｒ_１＝Ｒ_１）におけるリチウム濃度の変化量は総電流Ｉ_Ｔに比例することから、拡散方程式（６）の境界条件は、式（７）のように設定される。

一方、負極粒子２についての極座標系の拡散方程式は、式（８）のように表される。式（８）は、表面応力σ_ｓｕｒｆにより生じる負極粒子２内でのリチウムの拡散を考慮するための拡散項を右辺第２項に含む点において、正極粒子１についての拡散方程式（式（６））と異なる。

より詳細には、表面応力σ_ｓｕｒｆに由来する拡散項は、電解液中での負極粒子２の静水圧応力σ_ｈ（ｒ）を用いて下記式（９）のように表される。式（９）では、負極活物質（負極粒子２）が塑性変形しないと仮定し、弾性限界内での負極粒子２のヤング率およびポアソン比をＥおよびνでそれぞれ表している。また、負極粒子２が周辺部材から受ける合計応力がＦ_ｅｘにより表されている。

静水圧応力σ_ｈ（ｒ）を表す式（９）を拡散方程式である上記式（８）に代入すると、式（８）は以下のように変形される（下記式（１０）参照）。

式（１０）は、下記式（１１）により定義される実効拡散係数Ｄ_ｓ２ ^ｅｆｆを用いて下記式（１２）のように変形される。実効拡散係数Ｄ_ｓ２ ^ｅｆｆは正の値であることから、式（１２）により、表面応力σ_ｓｕｒｆが負極粒子２内でのリチウムの拡散を速める方向に作用することが分かる。また、表面応力σ_ｓｕｒｆの影響が負極粒子２内の各点（拡散方程式が演算される各格子点）におけるリチウム濃度ｃ_ｓ２に応じて定まることも分かる。

なお、上記式（１２）の拡散方程式の境界条件は、下記式（１３）のように静水圧応力σ_ｈ（ｒ）に依存する項をさらに含む点において、正極粒子１についての境界条件（式（７）参照）と異なる。

このように、濃度分布算出部１３１は、２粒子（正極粒子１および負極粒子２）の各々の内部におけるリチウム濃度分布を別々に算出する。算出されたリチウム濃度分布は、リチウム量算出部１３２に出力される。

リチウム量算出部１３２は、濃度分布算出部１３１から２粒子の各々の内部におけるリチウム濃度分布（ｃ_ｓ１，ｃ_ｓ２）を受け、各種リチウム量を算出して他の機能ブロックに出力する。

具体的には、リチウム量算出部１３２は、正極粒子１のリチウム濃度分布ｃ_ｓ１に基づいて正極粒子１の表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}を算出する（上記式（２）参照）。同様に、リチウム量算出部１３２は、負極粒子２のリチウム濃度分布ｃ_ｓ２に基づいて負極粒子２の表面リチウム量θ_{２＿ｓｕｒｆ}を算出する。算出された表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}，θ_{２＿ｓｕｒｆ}は、開放電位算出部１３５に出力される。

また、リチウム量算出部１３２は、上記式（３）に従って、正極粒子１のリチウム濃度分布ｃ_ｓ１に基づいて平均リチウム量θ_{１＿ａｖｅ}を算出する。同様に、リチウム量算出部１３２は、負極粒子２のリチウム濃度分布ｃ_ｓ２に基づいて負極粒子２の平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}を算出する。算出された平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}は、表面応力算出部１３３に出力される。

表面応力算出部１３３は、リチウム量算出部１３２からの平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}に基づいて表面応力σ_ｓｕｒｆを算出する。表面応力σ_ｓｕｒｆの算出手法については後に詳細に説明する。算出された表面応力σ_ｓｕｒｆは、開放電位変化量算出部１３４に出力される。

開放電位変化量算出部１３４は、表面応力算出部１３３からの表面応力σ_ｓｕｒｆに基づいて開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}を算出する。開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}とは、表面応力σ_ｓｕｒｆによる負極粒子２の開放電位の変化量である。表面応力σ_ｓｕｒｆが発生していない状態を「理想状態」と呼び、理想状態での負極粒子２の開放電位を「理想開放電位Ｕ_{２＿ｓｔａ}」と呼ぶことにすると、開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}とは、理想開放電位Ｕ_{２＿ｓｔａ}を基準とした、表面応力σ_ｓｕｒｆによる負極粒子２の開放電位のずれ量であるとも言い換えられる。開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}は、リチウム１モル当たりのシリコン系化合物（ＳｉＯ）の体積変化量Ωと、ファラデー定数Ｆとを用いて、式（１４）に従って表面応力σ_ｓｕｒｆから算出される。算出された開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}は、開放電位算出部１３５に出力される。

開放電位算出部１３５は、リチウム量算出部１３２からの正極粒子１の表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}に基づいて正極粒子１の開放電位Ｕ_１を算出する。より具体的には、正極粒子１は、その径方向にＮ個の領域に仮想的に分割されているが、正極粒子１の開放電位Ｕ_１は、最外周領域Ｎである正極粒子１の表面における局所リチウム量θ_１Ｎ（表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}）に応じて定まる（下記式（１５）参照）。そのため、開放電位Ｕ_１と表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}との対応関係を規定したマップ（図示せず）を事前実験により作成することによって、表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}から開放電位Ｕ_１を算出することができる。

一方、負極粒子２の開放電位Ｕ_２を算出する際には、表面応力σ_ｓｕｒｆの影響が考慮される。開放電位Ｕ_２は、下記式（１６）に示すように、表面応力σ_ｓｕｒｆが発生していない状態（理想状態）での負極粒子２の開放電位（理想開放電位）Ｕ_{２＿ｓｔａ}に開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}を加算することにより算出される。式（１５）および式（１６）に従ってそれぞれ算出された開放電位Ｕ_１，Ｕ_２は、収束条件判定部１５１に出力される。

バッテリ４の充放電に伴い電解液中のリチウム塩の濃度ｃ_ｅが変化し、電解液中にリチウム塩の濃度勾配が生じ得る。そうすると、正極活物質（正極粒子１）と負極活物質（負極粒子２）との間にリチウム塩の濃度勾配に起因する塩濃度過電圧ΔＶ_ｅが生じ、正極電位Ｖ_１および負極電位Ｖ_２に影響を与える可能性がある。

塩濃度差算出部１４１は、正極活物質と負極活物質との間のリチウム塩の濃度差Δｃ_ｅを算出する。リチウム塩の濃度差Δｃ_ｅは、電解液の拡散係数Ｄ_ｅ、電解液の体積分率ε_ｅ、リチウムイオンの輸率ｔ_＋ ^０および電流（総電流Ｉ_Ｔ）に依存するため、たとえば以下の式（１７）〜式（１９）に従って算出することができる。漸化式である式（１７）が所定の演算周期毎に繰り返し解かれるところ、式（１７）〜式（１９）では、その演算周期をΔτで表している。なお、肩（右上）にｔが付されたパラメータは今回の演算時のものであることを示し、肩に（ｔ−Δτ）が付されたパラメータは前回の演算時のものであることを示す。算出された濃度差Δｃ_ｅは、塩濃度過電圧算出部１４２に出力される。

塩濃度過電圧算出部１４２は、下記式（２０）に従い、塩濃度差算出部１４１により算出されたリチウム塩の濃度差Δｃ_ｅから塩濃度過電圧ΔＶ_ｅを算出する。算出された塩濃度過電圧ΔＶ_ｅは、電流設定部１５２に出力される。

収束条件判定部１５１および電流設定部１５２は、バッテリ４の各種電位成分を算出するための反復法の演算処理を実行する。本実施の形態では、代表的な反復法の１つであるニュートン法が用いられる。ただし、反復法の種類はこれに限定されるものではなく、２分法または割線法などの他の非線形方程式の解法を用いてもよい。

前述した各機能ブロックによる演算では、前回演算時に電流設定部１５２により設定された総電流Ｉ_Ｔが用いられている。収束条件判定部１５１は、総電流Ｉ_Ｔに基づく各種電位成分の算出結果を他の機能ブロックから受ける。より詳細には、収束条件判定部１５１は、反応過電圧算出部１２２から反応過電圧η_１，η_２を受け（式（４）および式（５）参照）、開放電位算出部１３５から開放電位Ｕ_１，Ｕ_２を受け（式（１５）および式（１６）参照）、パラメータ設定部１１０から測定電圧Ｖ_ｍｅａｓ（バッテリ４の電圧の測定値）を受け、塩濃度過電圧算出部１４２から塩濃度過電圧ΔＶ_ｅを受ける（式（２０）参照）。また、図示しないが、収束条件判定部１５１は、パラメータ設定部１１０から直流抵抗Ｒ_ｄを受ける（詳細は後述）。

収束条件判定部１５１は、電圧と電流との間に成立する下記関係式（２１）に従って、正極電位Ｖ_１と、負極電位Ｖ_２と、直流抵抗Ｒ_ｄによる電圧降下量（＝Ｉ_ＴＲ_ｄ）と、塩濃度過電圧ΔＶ_ｅとから、バッテリ４の電圧を算出する。算出された電圧を測定電圧Ｖ_ｍｅａｓ（電圧センサ７１による測定値）と区別して「演算電圧Ｖ_ｃａｌｃ」と記載する。

式（２１）における正極電位Ｖ_１は、下記式（２２）により算出される。負極電位Ｖ_２は、下記式（２３）により算出される。

そして、収束条件判定部１５１は、演算電圧Ｖ_ｃａｌｃと測定電圧Ｖ_ｍｅａｓとを比較することによって、反復法の収束条件が満たされているかどうかを判定する。具体的には、収束条件判定部１５１は、演算電圧Ｖ_ｃａｌｃと測定電圧Ｖ_ｍｅａｓとがほぼ一致しているか（これら電圧間の誤差が所定値ＰＤ未満であるか）どうかを判定する。演算電圧Ｖ_ｃａｌｃと測定電圧Ｖ_ｍｅａｓとの間の誤差（＝｜Ｖ_ｃａｌｃ−Ｖ_ｍｅａｓ｜）が所定値ＰＤ以上である場合には、収束条件判定部１５１は、反復法の収束条件が満たされていないとする判定結果を電流設定部１５２に出力する。

電流設定部１５２は、収束条件が満たされていない旨の判定結果を収束条件判定部１５１から受けると、総電流Ｉ_Ｔを次回演算時に使用するための値に更新する。より詳細には、電流設定部１５２は、ニュートン法のアルゴリズムを用いて、前回演算時および今回演算時に使用された総電流Ｉ_Ｔから、次回演算時に使用される総電流Ｉ_Ｔを設定する。このようにして更新された総電流Ｉ_Ｔは、パラメータ設定部１１０に出力され、次回演算時に用いられることとなる。

このようにして、収束条件判定部１５１および電流設定部１５２は、演算電圧Ｖ_ｃａｌｃと測定電圧Ｖ_ｍｅａｓとの間の誤差が所定値ＰＤ未満になるまで反復的に演算処理を行なう。上記誤差が、所定値ＰＤ未満になると、反復演算処理が収束したとして、収束条件判定部１５１は、ＳＯＣ推定に必要なパラメータ（正極開放電位Ｕ_１、負極開放電位Ｕ_２、表面リチウム量θ_{ｉ＿ｓｕｒｆ}および開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}）をＳＯＣ推定部１６０に出力する。

ＳＯＣ推定部１６０は、正極粒子１の各種リチウム量（θ_{１＿ａｖｅ}，θ_{１＿ＳＯＣ０}，θ_{１＿ＳＯＣ１００}）に基づいてバッテリ４のＳＯＣを推定する。このＳＯＣ推定手法については後述する。

＜表面応力の算出＞
続いて、表面応力σ_ｓｕｒｆの算出手法について詳細に説明する。以下では、バッテリ４の負極のリチウム量θ_２（たとえば平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}）と負極開放電位Ｕ_２との組合せ（θ_２，Ｕ_２）として負極リチウム量−負極開放電位特性図上に表されるバッテリ４の状態を「状態Ｐ」と記載する。特に、ｍ（ｍは自然数）回目の演算時におけるバッテリ４の状態Ｐを「Ｐ（ｍ）」と表す。本実施の形態では、バッテリ４の状態Ｐの遷移に着目することによって表面応力σ_ｓｕｒｆが算出される。

図１０は、負極表面リチウム量−負極開放電位特性図上におけるバッテリ４の状態Ｐの遷移を説明するための概念図である。図１０Ａ〜図１０Ｅおよび後の図１１では、横軸に負極粒子のリチウム量θ_２が示され、縦軸に負極開放電位Ｕ_２が示されている。図１０Ａでは、バッテリ４が充電され、バッテリ４の状態Ｐ（ｍ）が充電曲線（破線で示す）上にプロットされる例が示されている。

状態Ｐ（ｍ）からバッテリ４の充電が継続された場合、（ｍ＋１）回目の演算周期における状態Ｐ（ｍ＋１）は、図１０Ｂに示すように充電曲線上に維持される。

一方、図１０Ａに示す状態Ｐ（ｍ）からバッテリ４が放電された場合には、図１０Ｃに示すように、（ｍ＋１）回目の演算周期における状態Ｐ（ｍ＋１）は、充電曲線から外れ、充電曲線と放電曲線（１点鎖線で示す）との間の領域内にプロットされる。バッテリ４の放電が継続されると、たとえば（ｍ＋２）回目の演算周期において、状態Ｐ（ｍ＋２）が放電曲線に到達する（図１０Ｄ参照）。その後もバッテリ４の放電が継続された場合、バッテリ４の状態Ｐ（ｍ＋３）は、放電曲線上に維持される（図１０Ｅ参照）。

図１１は、表面応力σ_ｓｕｒｆの算出手法を説明するための図である。図１１には、状態Ｐ（１）〜Ｐ（８）の順にバッテリ４の充放電が行なわれた例が示されている。

より詳細には、まず、放電曲線上の状態Ｐ（１）からバッテリ４が放電され、その放電が状態Ｐ（３）まで継続される。この間の状態Ｐ（２），Ｐ（３）は、放電曲線上に維持される。そして、状態Ｐ（３）において、放電から充電への切り替えが行なわれる。充電が開始されてからの状態Ｐ（４），Ｐ（５）は、充電曲線と放電曲線との間の領域内を遷移する。その後、状態Ｐ（６）が充電曲線上にプロットされる。バッテリ４の充電がさらに継続されている間、状態Ｐは、充電曲線上に維持される（状態Ｐ（７），Ｐ（８）参照）。

放電曲線上にプロットされる状態Ｐ（１）〜Ｐ（３）において、表面応力σ_ｓｕｒｆは、塑性変形域（図４参照）内で降伏しており、下記式（２４）に示すように引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎと等しい。

一方、充電曲線上の状態Ｐ（６）〜Ｐ（８）における表面応力σ_ｓｕｒｆは、圧縮降伏応力σ_ｃｏｍにて降伏している（下記式（２５）参照）。

これに対し、バッテリ４の状態Ｐが充電曲線上にも放電曲線上にもプロットされていない場合、すなわち、状態Ｐが充電曲線と放電曲線との間の領域内にプロットされる場合（状態Ｐ（４），Ｐ（５）参照）の表面応力σ_ｓｕｒｆをどのように算出するかが問題となる。本実施の形態においては、このような領域内の表面応力σ_ｓｕｒｆの算出に、バッテリ４の充放電方向が切り替えられたときの負極粒子２内の平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}と、そのときの表面応力σ_ｓｕｒｆとが用いられる。以下では、バッテリ４の充放電方向が切り替えられたときの状態Ｐにおける平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}を「基準リチウム濃度ｃ_ＲＥＦ」と記載し、当該状態Ｐにおける表面応力σ_ｓｕｒｆを「基準表面応力σ_ＲＥＦ」と記載する。

図１１に示す例では、バッテリ４の充放電方向が切り替えられたときの状態Ｐとは、放電から充電への切り替え時の状態Ｐ（３）である。状態Ｐ（４），Ｐ（５）を算出する際には、状態Ｐ（３）の時点での平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}が上記式（８）〜式（１０）により既に算出されている。したがって、状態Ｐ（３）における算出済みの平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}が基準リチウム濃度ｃ_ＲＥＦとされる。また、状態Ｐ（３）における基準表面応力σ_ＲＥＦは、引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎである（上記式（２４）参照）。

充電曲線と放電曲線との間の領域内の状態Ｐでは、平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}から基準リチウム濃度ｃ_ＲＥＦを差し引いたリチウム濃度差（ｃ_{２＿ａｖｅ}−ｃ_ＲＥＦ）と表面応力σ_ｓｕｒｆとの間に、式（２６）のように表される線形関係が存在する。

この線形関係は、バッテリ４の充放電方向が切り替えられたときの状態Ｐを基準とした場合に、表面応力σ_ｓｕｒｆの変化量が負極粒子２内のリチウム含有量の変化量（負極粒子２へのリチウム挿入量または負極粒子２からのリチウム脱離量）に比例することを表すと理解される。

比例定数α_ｃは、負極活物質であるシリコン系化合物および周辺部材の機械的特性に応じて定まるパラメータであり、実験により求めることができる。より詳細には、比例定数α_ｃは、負極活物質の温度（≒バッテリ４の温度ＴＢ）と、負極活物質内のリチウム含有量（言い換えれば、平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}）とに応じて変化し得る。そのため、バッテリ４の温度ＴＢおよび平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}の様々な組合せ毎に比例定数α_ｃが求められ、温度ＴＢと平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}と比例定数α_ｃとの相関関係を示すマップ（または関係式）が準備される。温度ＴＢおよび平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}のうちのいずれか一方と比例定数α_ｃとの相関関係を示すマップを準備してもよい。

バッテリ４の温度ＴＢおよび平均リチウム濃度ｃｓ_{２＿ａｖｅ}と比例定数α_ｃ（または比例定数α_θ）との相関関係を示すマップが準備され、ＥＣＵ１００のメモリ１００Ｂに予め格納されている。そのため、当該マップを参照することにより、温度ＴＢ（温度センサ７２による測定値）と平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}（前回演算時における推定値）とから比例定数α_ｃを算出することができる。そして、比例定数α_ｃ、平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}、基準リチウム濃度ｃ_ＲＥＦおよび基準表面応力σ_ＲＥＦを上記式（２６）に代入することによって、上記領域内での表面応力σ_ｓｕｒｆを算出することができる。なお、表面応力σ_ｓｕｒｆの算出フローについては図１４において詳細に説明する。

なお、リチウム濃度とリチウム量とは上記式（２）のように置き換え可能であるため、負極粒子２の平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}を用いて上記式（２６）を下記式（２７）のように変形してもよい。

＜ＳＯＣ推定フロー＞
図１２は、本実施の形態においてバッテリ４のＳＯＣを推定するための一連の処理を示すフローチャートである。このフローチャートは、たとえば所定周期が経過する度にメインルーチン（図示せず）から呼び出され、ＥＣＵ１００により繰り返し実行される。これらのフローチャートに含まれる各ステップ（以下「Ｓ」と略す）は、基本的にはＥＣＵ１００によるソフトウェア処理によって実現されるが、ＥＣＵ１００内に作製された専用のハードウェア（電気回路）によって実現されてもよい。

図１２を参照して、以下に説明するＳ１０１〜Ｓ１０６の処理が本実施の形態に係る単極電位算出処理に相当する。まず、Ｓ１０１において、ＥＣＵ１００は、電圧センサ７１からバッテリ４の電圧ＶＢを取得するとともに、温度センサ７２からバッテリ４の温度ＴＢを取得する。この電圧ＶＢが測定電圧Ｖ_ｍｅａｓとして用いられるとともに、温度ＴＢが絶対温度Ｔに換算される。なお、絶対温度Ｔは、現時刻（今回演算時）の温度ＴＢから算出されてもよいし、予め定められた直近の所定期間内（たとえば３０分間）の温度ＴＢの加重平均から算出されてもよい。

Ｓ１０２において、ＥＣＵ１００は、正極粒子１の交換電流密度ｉ_０＿１を算出する。図９にて説明したように、交換電流密度ｉ_０＿１は、正極粒子１の表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}と絶対温度Ｔとに依存する。したがって、ＥＣＵ１００は、交換電流密度ｉ_０＿１と表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}と絶対温度Ｔとの対応関係を規定したマップ（図示せず）を参照することにより、前回演算時に算出された表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}（図１３のＳ３０３参照）と、絶対温度Ｔとから、交換電流密度ｉ_０＿１を算出する。ＥＣＵ１００は、負極粒子２の交換電流密度ｉ_０＿２についても同様に、負極粒子２に対応するマップ（図示せず）を参照することにより算出する。

Ｓ１０３において、ＥＣＵ１００は、バッテリ４の直流抵抗Ｒ_ｄを算出する。直流抵抗Ｒ_ｄとは、リチウムイオンおよび電子が正極活物質と負極活物質との間を移動するときの抵抗成分や金属部の抵抗成分である。直流抵抗Ｒ_ｄは、絶対温度Ｔおよびリチウム量θ_１に依存して変化する特性を有する。したがって、温度毎の直流抵抗Ｒ_ｄの測定結果に基づき、直流抵抗Ｒ_ｄと絶対温度Ｔとの対応関係を規定したマップ（図示せず）を予め準備しておくことにより、絶対温度Ｔから直流抵抗Ｒ_ｄを算出することができる。

Ｓ１０４において、ＥＣＵ１００は、電解液中における正極活物質と負極活物質との間のリチウム塩の濃度差Δｃ_ｅを算出する（上記式（１７）〜式（１９）参照）。さらに、ＥＣＵ１００は、上記式（２０）に従い、リチウム塩の濃度差Δｃ_ｅから塩濃度過電圧ΔＶ_ｅを算出する（Ｓ１０５）。これらの処理については図９にて詳細に説明したため、説明は繰り返さない。

Ｓ１０６において、ＥＣＵ１００は、正極粒子１および負極粒子２を流れる総電流Ｉ_Ｔを決定するための収束演算処理を実行する。そして、Ｓ２００において、ＥＣＵ１００は、電位算出処理の結果に基づいて、バッテリ４のＳＯＣを推定する（ＳＯＣ推定処理）。このＳＯＣ推定処理については後述する。

図１３は、収束演算処理（図１２のＳ１０６の処理）を示すフローチャートである。図１３を参照して、Ｓ３０１において、ＥＣＵ１００は、上記式（４）に従って、正極粒子１の交換電流密度ｉ_０＿１および絶対温度Ｔから正極粒子１の反応過電圧η_１を算出する。また、ＥＣＵ１００は、上記式（５）に従って、負極粒子２の交換電流密度ｉ_０＿２および絶対温度Ｔから負極粒子２の反応過電圧η_２を算出する。

Ｓ３０２において、ＥＣＵ１００は、正極粒子１について、拡散方程式である上記式（６）に正極粒子１におけるリチウムの拡散係数Ｄ_ｓ１を代入し、総電流Ｉ_Ｔに応じて定まる境界条件（上記式（７）参照）下で解くことによって、正極粒子１の内部におけるリチウム濃度分布を算出する。なお、拡散係数Ｄ_ｓ１は、正極粒子１のリチウム量θ_１および絶対温度Ｔに依存する。よって、予め準備されたマップ（図示せず）を用いて、前回演算時のリチウム量θ_１および絶対温度Ｔから拡散係数Ｄ_ｓ１を算出することができる。

さらに、ＥＣＵ１００は、実効拡散係数Ｄ_ｓ２ ^ｅｆｆ（式（１３）参照）が代入された拡散方程式（１１）を境界条件（式（１２）参照）下で解くことによって、負極粒子２の内部におけるリチウム濃度分布を算出する。

Ｓ３０３において、ＥＣＵ１００は、Ｓ３０２にて算出された正極粒子１の内部におけるリチウム濃度分布に基づいて、正極粒子１の表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}を算出する（上記式（２）参照）。同様に、ＥＣＵ１００は、負極粒子２の表面リチウム量θ_{２＿ｓｕｒｆ}を算出する。

Ｓ３０４において、ＥＣＵ１００は、正極粒子１の開放電位Ｕ_１とリチウム量θ_１との対応関係を規定したマップ（図示せず）を参照することによって、Ｓ３０３にて算出された表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}から正極開放電位Ｕ_１を算出する（式（１５）参照）。

Ｓ３０５において、ＥＣＵ１００は、表面応力σ_ｓｕｒｆ＝０である理想状態における負極粒子２の開放電位Ｕ_２とリチウム量θ_２との対応関係を規定したマップ（図示せず）を参照することによって、表面リチウム量θ_{２＿ｓｕｒｆ}から理想状態における開放電位Ｕ_{２＿ｓｔａ}を算出する。

Ｓ３０６において、ＥＣＵ１００は、表面応力σ_ｓｕｒｆを算出するための「表面応力算出処理」を実行する。

図１４は、表面応力算出処理（図１３のＳ３０６の処理）を示すフローチャートである。図１４を参照して、Ｓ４０１において、ＥＣＵ１００は、負極粒子２の平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}を算出する。平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}は、全領域ｋ（ｋ＝１〜Ｎ）についてリチウム濃度ｃ_ｓ２ｋから局所リチウム量θ_２ｋを算出し、算出された局所リチウム量θ_２ｋの加重平均により算出される（正極粒子１に関する上記式（３）参照）。

Ｓ４０２において、ＥＣＵ１００は、前回演算時までにメモリ１００Ｂに格納された基準リチウム量θ_ＲＥＦおよび基準表面応力σ_ＲＥＦを読み出す（後述するＳ４１３の処理を参照）。

Ｓ４０３において、ＥＣＵ１００は、マップ（図示せず）を参照することによって、バッテリ４の温度ＴＢおよび平均リチウム濃度ｃ_{ｓ２＿ａｖｅ}（前回演算時の値）から比例定数α_θを算出する。なお、負極活物質および周辺部材の物性値（ヤング率など）から比例定数α_θを算出（シミュレーション予測）することも可能である。ただし、比例定数α_θを可変とすることは必須ではなく、予め定められた固定値を比例定数α_θとして用いてもよい。

Ｓ４０４において、ＥＣＵ１００は、上記式（２７）に従って、比例定数α_θおよび平均リチウム量θ_{2＿ａｖｅ}から表面応力σ_ｓｕｒｆを算出する。この表面応力σ_ｓｕｒｆは、負極活物質の降伏を考慮せずに仮に算出されたものであり、以降の処理により、負極活物質の降伏を考慮した表面応力σ_ｓｕｒｆが決定（本算出）される。

Ｓ４０５において、ＥＣＵ１００は、Ｓ４０４にて仮算出された表面応力σ_ｓｕｒｆと、圧縮降伏応力σ_ｃｏｍとを比較する。図４に示したような表面応力σ_ｓｕｒｆの符号を考慮した上での表面応力σ_ｓｕｒｆが圧縮降伏応力σ_ｃｏｍ以下である場合、すなわち、表面応力σ_ｓｕｒｆの大きさが圧縮降伏応力σ_ｃｏｍの大きさ以上である場合（Ｓ４４４においてＹＥＳ）、ＥＣＵ１００は、負極活物質が降伏しているとして、表面応力σ_ｓｕｒｆが圧縮降伏応力σ_ｃｏｍに等しい（σ_ｓｕｒｆ＝σ_ｃｏｍ）と判定する（Ｓ４０６）。つまり、Ｓ４０４にて仮算出された表面応力σ_ｓｕｒｆは採用されず、それに代えて圧縮降伏応力σ_ｃｏｍが採用される。そして、ＥＣＵ１００は、圧縮降伏応力σ_ｃｏｍを新たな基準表面応力σ_ＲＥＦとして設定することにより、基準表面応力σ_ＲＥＦを更新する。さらに、ＥＣＵ１００は、Ｓ４０１にて算出された平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}を基準リチウム量θ_ＲＥＦとして設定することにより、基準リチウム量θ_ＲＥＦを更新する（Ｓ４０７）。

一方、符号を考慮した上での表面応力σ_ｓｕｒｆが圧縮降伏応力σ_ｃｏｍよりも大きい場合（表面応力σ_ｓｕｒｆの大きさが圧縮降伏応力σ_ｃｏｍの大きさ未満である場合）（Ｓ４０５においてＮＯ）には、ＥＣＵ１００は、処理をＳ４０８に進め、表面応力σ_ｓｕｒｆと引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎとを比較する。

表面応力σ_ｓｕｒｆが引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎ以上である場合（Ｓ４０８においてＹＥＳ）、ＥＣＵ１００は、負極活物質が降伏しており、表面応力σ_ｓｕｒｆが引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎに等しくなっていると判定する（Ｓ４０９）。そして、ＥＣＵ１００は、基準表面応力σ_ＲＥＦを引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎにより更新するとともに、基準リチウム量θ_ＲＥＦをＳ４０１にて算出された平均リチウム量θ_{２＿ａｖｅ}により更新する（Ｓ４１０）。

Ｓ４０８にて表面応力σ_ｓｕｒｆが引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎ未満である場合（Ｓ４０８においてＮＯ）には、表面応力σ_ｓｕｒｆは、圧縮降伏応力σ_ｃｏｍと引っ張り降伏応力σ_ｔｅｎとの間の中間領域Ａ内にあり（σ_ｃｏｍ＜σ_ｓｕｒｆ＜σ_ｔｅｎ）、負極活物質は降伏していない。よって、Ｓ４０４にて仮算出された表面応力σ_ｓｕｒｆが採用される（Ｓ４１１）。この場合には、基準表面応力σ_ＲＥＦは更新されず、前回演算時（あるいは、それよりも前の演算時）に設定された基準表面応力σ_ＲＥＦが維持される。また、基準リチウム量θ_ＲＥＦの更新も行なわれない（Ｓ４１２）。

Ｓ４０７，Ｓ４１０，Ｓ４１２の処理のうちのいずれかの処理が実行されると、基準リチウム量θ_ＲＥＦおよび基準表面応力σ_ＲＥＦがメモリ１００Ｂに格納される（Ｓ４１３）。その後、収束演算処理のＳ３０７（図１３参照）に処理が戻される。

図１３を再び参照して、Ｓ３０７において、ＥＣＵ１００は、負極粒子２の開放電位Ｕ_２における表面応力σ_ｓｕｒｆの影響を考慮に入れるべく、上記式（１４）に従って表面応力σ_ｓｕｒｆから開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}を算出する。

Ｓ３０８において、ＥＣＵ１００は、上記式（２）に従い、正極粒子１の反応過電圧η_１と正極開放電位Ｕ_１との和を正極電位Ｖ_１として算出する。また、ＥＣＵ１００は、開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}を負極粒子２の理想開放電位Ｕ_{２＿ｓｔａ}に加算することによって負極開放電位Ｕ_２を算出し（上記式（１６）参照）、さらに、負極粒子２の反応過電圧η_２と負極開放電位Ｕ_２との和を負極電位Ｖ_２として算出する（上記式（２２）参照）。

Ｓ３０９において、ＥＣＵ１００は、上記式（２１）に従い、正極電位Ｖ_１と、負極電位Ｖ_２と、直流抵抗Ｒ_ｄによる電圧降下量（＝Ｉ_ＴＲ_ｄ）と、塩濃度過電圧ΔＶ_ｅとから演算電圧Ｖ_ｃａｌｃを算出する。

Ｓ３１０において、ＥＣＵ１００は、収束演算処理における反復演算が収束する条件（収束条件）が成立したか否かを判定する。具体的には、収束条件とは、Ｓ３０９にて算出された演算電圧Ｖ_ｃａｌｃと、Ｓ１０１にて電圧センサ７１から取得された測定電圧Ｖ_ｍｅａｓとの差の絶対値（＝｜Ｖ_ｃａｌｃ−Ｖ_ｍｅａｓ｜）が所定値ＰＤ未満であるとの条件である（｜Ｖ_ｃａｌｃ−Ｖ_ｍｅａｓ｜＜ＰＤ）。

収束条件が成立していない場合（Ｓ３１０においてＮＯ）、ＥＣＵ１００は、ニュートン法のアルゴリズムに従って総電流Ｉ_Ｔを更新し（Ｓ３１１）、Ｓ３０１に処理を戻す。一方、収束条件が成立すると（Ｓ３１０においてＹＥＳ）、ＥＣＵ１００は、ＳＯＣ推定処理（図１２のＳ２００の処理）を実行する。

図１２を再び参照して、Ｓ２００において、ＥＣＵ１００は、電位成分算出処理の結果に基づいてバッテリ４のＳＯＣを推定するＳＯＣ推定処理を実行する。ＳＯＣ推定処理は、たとえばＳ２０１，Ｓ２０２の処理を含む。

Ｓ２０１において、ＥＣＵ１００は、正極粒子１の平均リチウム量θ_{１＿ａｖｅ}（収束所条件が成立したＳ３０２の処理にて算出された値）を取得するとともに、メモリ１００Ｂに格納された既知のリチウム量θ_{１＿ＳＯＣ０}，θ_{１＿ＳＯＣ１００}を読み出す。なお、リチウム量θ_{１＿ＳＯＣ０}とは、ＳＯＣ＝０％に相当する正極粒子１のリチウム量であり、リチウム量θ_{１＿ＳＯＣ１００}とは、ＳＯＣ＝１００％に相当する正極粒子１のリチウム量である。

そして、Ｓ２０２において、ＥＣＵ１００は、上記３つのリチウム量に基づいてバッテリ４のＳＯＣを推定する。具体的には、下記式（２８）を用いることによって、バッテリ４のＳＯＣを算出することができる。

以上のように、本実施の形態においては、負極粒子２に発生する表面応力σ_ｓｕｒｆの影響を考慮して負極開放電位Ｕ_２が算出される。具体的には、表面応力σ_ｓｕｒｆによる負極粒子２の開放電位Ｕ_２のずれ量を示す開放電位変化量ΔＶ_{ｓｔｒｅｓｓ}が算出される（式（１４）参照）。これにより、表面応力σ_ｓｕｒｆの影響を負極開放電位Ｕ_２に正確に反映させることができるため（上記式（１６）参照）、負極電位Ｖ_２も高精度に算出することが可能になる。さらに、バッテリ４のＳＯＣも高精度に推定することが可能になる（ＳＯＣ推定処理）。このように、本実施の形態によれば、バッテリ４の内部状態を高精度に推定することができる。

［変形例１］
変形例１では、活物質表面に形成される電気二重層の影響を考慮して収束演算処理を実行する構成について説明する。この変形例では、総電流Ｉ_Ｔがリチウム生成（リチウムイオンの挿入および脱離）に関与する電流成分と、リチウム生成に関与しない電流成分とにさらに分配される。具体的には、正極粒子１について、総電流Ｉ_Ｔのうちリチウム生成に関与する電流を「反応電流Ｉ_１ ^ＥＣ」と記載し、リチウム生成に関与しない電流を「キャパシタ電流Ｉ_１ ^Ｃ」と記載すると、下記式（２９）が成立する。

また、正極粒子１に形成される電気二重層の静電容量をＣ_１と記載する。静電容量Ｃ_１は、事前の評価により既知である。キャパシタ電流Ｉ_１ ^Ｃは、下記式（３０）のように表される。

正極電位Ｖ_１と正極開放電位Ｕ_１と反応過電圧η_１との間には上記式（２２）と同様の関係が成立する（下記式（３１）参照）。ただし、正極過電圧η_１では、下記式（３２）に示すように、総電流Ｉ_Ｔに代えて反応電流Ｉ_１ ^ＥＣが用いられる。

負極側については、負極粒子２を流れる総電流Ｉ_Ｔを反応電流Ｉ_２ ^ＥＣとキャパシタ電流Ｉ_２ ^Ｃとに区別する。そうすると、これらの電流間には下記式（３３）が成立する。

キャパシタ電流Ｉ_２ ^Ｃは、負極粒子２に形成される静電容量Ｃ_２と負極電位Ｖ_２とにより下記式（３４）のように表される。

また、上記式（３１）と同様の下記式（３５）が成立する。ここでも、負極過電圧η_２において、総電流Ｉ_Ｔがキャパシタ電流Ｉ_Ｔ ^ＥＣに置き換えられる（下記式（３６）参照）。

以上のように、変形例１においては、正極活物質の表面に形成される電気二重層の影響を考慮して、正極粒子１を流れる電流（総電流Ｉ_Ｔ）がキャパシタ電流Ｉ_１ ^Ｃと反応電流Ｉ_１ ^ＥＣとに区別される。負極側についても同様に負極活物質の表面に形成される電気二重層の影響を考慮して、総電流Ｉ_Ｔがキャパシタ電流Ｉ_２ ^Ｃと反応電流Ｉ_２ ^ＥＣとに区別される。そして、反応過電圧（η_１，η_２）の算出には、対応する反応電流（Ｉ_Ｔ ^ＥＣ，Ｉ_２ ^ＥＣ）が用いられる。つまり、リチウムの挿入／脱離反応に応じて発生する電圧である反応過電圧の算出において、電気二重層を充放電するだけでリチウムの挿入／脱離には寄与しない電流成分（キャパシタ電流）の影響が除外される。これにより、前述の実施の形態と比べて、ＥＣＵ１００の演算負荷が増加し得るものの、各反応過電圧の算出精度を一層向上させることができる。

［変形例２］
実施の形態および変形例１では、拡散方程式を解くことで、正極粒子１および負極粒子２の各々の内部におけるリチウム濃度分布を算出すると説明した（図６参照）。変形例２においては、ＥＣＵ１００の演算負荷およびメモリ量を低減するための構成について説明する。

変形例２における電池モデルでは、正極粒子１について下記式（３７）に示す拡散方程式（上記式（６）と同様の式）を境界条件（式（７）参照）下で解くことにより、正極粒子１におけるリチウム濃度分布が算出される。そして、正極粒子１の内部のリチウム濃度分布から、正極粒子１の表面リチウム量θ_{１＿ｓｕｒｆ}が算出される（上記式（２）参照）。

一方、変形例２では、負極粒子２の内部におけるリチウムの拡散を簡易化する。そのため、負極粒子２についての拡散方程式（上記式（８）〜式（１３）参照）は省略される。言い換えると、負極粒子２のリチウム濃度分布は一様と仮定される。

前述のように、負極粒子２の開放電位（負極開放電位Ｕ_２）は、負極粒子２の表面リチウム量θ_{２＿ｓｕｒｆ}に応じて定まる（上記式（１６）参照）。負極粒子２のリチウム濃度分布を一様と仮定して拡散方程式の立式を省略する場合、どのように負極開放電位Ｕ_２を算出するかが課題となる。

一般に、正極活物質におけるリチウム濃度と負極活物質におけるリチウム濃度との間には、一方が上昇すると他方が低下するとの関係が存在する。変形例２における電池モデルでは、この関係を用いることで、正極活物質におけるリチウム濃度（正極粒子１のリチウム量θ_１）から負極活物質におけるリチウム濃度を算出する。

詳細には、変形例２における電池モデルでは、負極粒子２は、正極粒子１と異なり、複数の領域に仮想的に分割されておらず、その内部におけるリチウム濃度分布は考慮されない。そのため、負極粒子２の表面と、それ以外（負極粒子２の内部）とを区別せず、負極粒子２内のリチウム濃度を規格化した値をリチウム量θ_２と記載する。

正極粒子１の容量と負極粒子２の容量との比（容量比）をθ_ｒａｔｅと記載すると、この容量比θ_ｒａｔｅは、固定値であるが、正極粒子１のリチウム量θ_１と負極粒子２のリチウム量θ_２とを用いて下記式（３８）のように表すこともできる。なお、今回演算時における値には、右上（右肩）にｔを付し、前回演算時における値には、右上に（ｔ−Δｔ）を付すことによって、両者を区別している。

続いて、負極粒子２のリチウム量θ_２ ^ｔが算出される。負極粒子２のリチウム量θ_２ ^ｔは、下記式（３９）に従い、正極粒子１のリチウム量θ_１ ^ｔと、容量比θ_ｒａｔｅとを用いて算出することができる。なお、式（３９）において、θ_{１＿ｆｉｘ}とは、リチウム量θ_１の基準値であり、θ_{２＿ｆｉｘ}とは、リチウム量θ_１の基準値（θ１_＿ｆｉｘ）に対応するリチウム量θ_２の値である。これらの値は、いずれも実験により求められる。

このように、変形例２では、正極粒子１のリチウム量θ_１から負極粒子２のリチウム量θ_２が算出される。これにより、負極粒子２についての拡散方程式を解くことが必要なくなるので、実施の形態と比べて、ＥＣＵ１００の演算負荷およびメモリ量を低減することができる。上記以外の処理は、実施の形態にて説明した処理と同等であるため、詳細な説明は繰り返さない。

なお、実施の形態および、その変形例１，２では、液系のリチウムイオン二次電池を例に説明した。しかし、リチウムイオン二次電池は、液系に限定されず、ポリマー系であってもよいし全固体系であってもよい。

今回開示された実施の形態は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本開示の範囲は、上記した実施の形態の説明ではなくて特許請求の範囲によって示され、特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

１ 正極粒子、２ 負極粒子、４ バッテリ、５ セル、６ 監視ユニット、９ 車両、１０ 二次電池システム、５１ 電池ケース、５２ 蓋体、５３ 正極端子、５４ 負極端子、５５ 電極体、５６ 正極、５７ 負極、５８ セパレータ、７１ 電圧センサ、７２ 温度センサ、９１，９２ モータジェネレータ、９３ エンジン、９４ 動力分割装置、９５ 駆動軸、９６ 駆動輪、１００ ＥＣＵ、１００Ａ ＣＰＵ、１００Ｂ メモリ、１１０ パラメータ設定部、１２１ 交換電流密度算出部、１２２ 反応過電圧算出部、１３１ 濃度分布算出部、１３２ リチウム量算出部、１３３ 表面応力算出部、１３４ 開放電位変化量算出部、１３５ 開放電位算出部、１４１ 塩濃度差算出部、１４２ 塩濃度過電圧算出部、１５１ 収束条件判定部、１５２ 電流設定部、１６０ ＳＯＣ推定部。

Claims (1)

1. 負極活物質がシリコン系材料からなる負極を有する二次電池と、
   前記二次電池の活物質モデルに基づいて前記二次電池の内部状態を推定するように構成された制御装置とを備え、
   前記制御装置は、
   前記負極活物質の内部における電荷担体の濃度分布を規定する拡散方程式を解くことによって前記負極活物質の内部の電荷担体量を算出し、
   前記負極活物質の内部の電荷担体量に応じて定まる前記負極活物質の表面応力に基づいて、前記負極活物質の開放電位変化量を算出し、
   前記負極活物質に表面応力が発生していない状態における前記負極活物質の開放電位と、前記開放電位変化量とから前記負極の開放電位を算出する、二次電池システム。

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