JP2018097567A - 形状変形装置および形状変形用プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】ユーザが変形対象領域を指定しなくても、物体形状の広領域を滑らかな形状に変形することができるようにする。【解決手段】物体形状を表す形状データに対して、隣接する領域間でオーバーラップする複数の変形対象領域（球）を設定する領域設定部１０と、球内に含まれる物体形状の各構成点の移動元位置を移動先位置へと変形させるための変形写像を算出する変形写像算出部２０と、球ごとに算出した変形写像を用いて各球内の物体形状を変形させる処理を実行する形状変形部３０とを備え、球どうしがオーバーラップする重複領域内に含まれる構成点については、各球について算出された変形写像による移動先の重み付き平均により移動先位置を決定することにより、球ごとに物体形状を滑らかな形状に平滑化するとともに、オーバーラップ部分に関しては重み付き平均により段差や折れが生じないようにする。【選択図】図１

Description

本発明は、形状変形装置および形状変形用プログラムに関し、特に、測定等により得られた点群・ポリゴンにより表された３次元形状の表面を平滑化するための技術に関するものである。

今日、製品の設計を行う際には、ＣＡＤ（Computer Aided Design）によって製品の形状データを生成することが一般的に行われている。伝統的なＣＡＤシステムでは、ＮＵＲＢＳあるいはＢスプライン関数で表された曲線・曲面を用いて物体形状が表されていた。これに対し、最近では、多数の点の集合である点群データ、または、三角形や四角形の形状をした複数のポリゴンの集合（ポリゴンメッシュ）として物体形状を表す形状モデリングシステムが増えてきている。

この種の形状モデリングシステムにおいて、目的とする物体形状に近づけるために、表面形状を適宜変形することは必須である。例えば、物体表面に存在する凹凸をなくすような形状変形を施すことにより、滑らかな曲面形状を生成することが行われる。従来、滑らかな曲面形状を生成するための標準的な技術として、スムージングと呼ばれる手法が知られている。

本出願人は、点群データまたはポリゴンメッシュの何れにより表される物体形状に対しても適用でき、かつ、物体形状の広領域を「うねり」のない（曲がり方の変化が少ない）滑らかな形状に変形可能にしたスムージングに関する形状変形装置に係る発明について、特許出願をしている（特許文献１参照）。

特許文献１に記載した形状変形装置では、放射基底関数（ＲＢＦ）の１次結合で表わした位置連続に関する項を含む変形写像式と、移動元位置を変形写像式で写像した位置と目標とする移動先位置との距離を表した「位置近似」および移動先位置における「曲率変化率最小化」に関する拘束条件方程式とを設定し、当該拘束条件方程式を解いて、変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、位置近似および曲率変化率最小化を満たす変形写像を確定させる。そして、確定された変形写像を用いて、形状データにより表された物体形状を変形させる処理を実行するようにしている。

特許文献１に記載の技術によれば、移動元位置および移動先位置という点のデータを用いて、物体形状を近似変形することができる。そのため、物体形状の形状データが点群データにより表される場合は、各点のデータを移動させて物体形状を近似変形させることが可能である。また、物体形状の形状データがポリゴンメッシュにより表される場合は、メッシュの各頂点のデータを移動させて物体形状を近似変形させることが可能である。ここで、物体形状の近似変形は、位置近似および曲率変化率最小化を満たす変形写像に基づき行われるので、曲がり方の変化の少ない形状、つまり「うねり」のない滑らかな形状に変形される。

また、物体形状の広い範囲に複数の移動元位置が分布しているような場合でも、それら複数の移動元位置を表す各点のデータと、複数の移動元位置に対応する複数の移動先位置を表す各点のデータとを用いて拘束条件方程式を設定し、当該拘束条件方程式を解いて、変形写像式に含まれる未知数を求めれば、物体形状を近似変形することができる。つまり、広領域に含まれる点データを用いて表現した拘束条件方程式を解くだけで、物体形状を近似変形することができる。

以上により、特許文献１に記載の技術によれば、点群データまたはポリゴンメッシュの何れにより表される物体形状に対しても適用でき、かつ、物体形状の広領域を滑らかな形状に変形することが可能である。

なお、高品質なレンダリングを実現するための手法として、ＳＬＩＭ（Sparse Low-degree IMplicit）曲面を用いた描画方法が知られている（例えば、非特許文献１参照）。ＳＬＩＭ曲面は、中心位置、半径、基底変換の回転行列、多項式関数の情報を持ったサポート球の集合で構成され、関数はサポート球の持つローカル座標系により表現されている。曲面上の点の位置を求めるときは、ローカル座標系での座標値を回転行列によりグローバル座標系での座標値に変換してから、重み付き和を計算する。

特願２０１６−５１９７１号明細書

Sparse low-degree implicit surfaces with applications to high quality rendering, feature extraction, and smoothing (Yutaka Ohtake, Alexander Belyaev, Marc Alexa) - Eurographics Symposium on Geometry Processing, 2005

上記特許文献１に記載した形状変形装置は、物体形状の比較的広い領域を対象として滑らかな形状に変形することを可能にするものであるが、物体形状の中から変形対象領域を指定する必要があり、指定された領域内だけをスムージングするものであった。特許文献１に記載の技術では、変形対象領域内から複数のサンプル点を抽出し、抽出した複数のサンプル点に対する近似平面を生成する処理を行うため、サンプル点の位置のばらつきが大きくなると、誤差の少ない近似平面を生成することが難しくなる。そのため、サンプル点の位置のばらつきがあまり大きくならない比較的平坦な領域に絞って変形対象領域を指定する必要があった。

そこで、本発明は、ユーザが変形対象領域を指定しなくても、物体形状の広領域を滑らかな形状に変形することができるようにすることを目的とする。

上記した課題を解決するために、本発明では、物体形状を表す形状データに対して、隣接する領域間でオーバーラップする複数の変形対象領域を設定し、複数の変形対象領域のそれぞれにおいて、当該変形対象領域内に含まれる物体形状の各構成点の移動元位置を移動先位置へと変形させるための変形写像を算出し、変形対象領域ごとに算出した変形写像を用いて、変形対象領域内に含まれる物体形状を変形させる処理を実行する。ここで、変形対象領域がオーバーラップする重複領域内に含まれる形状部分の構成点については、各変形対象領域について算出された変形写像によるそれぞれの移動先の重み付き平均により移動先位置を決定するようにしている。

上記のように構成した本発明によれば、処理対象の物体形状が複数の互いにオーバーラップする変形対象領域に分割され、それぞれの変形対象領域内において変形写像による物体形状の変形が行われることにより、滑らかな形状に平滑化される。また、変形対象領域どうしのオーバーラップ部分に関しては、各変形対象領域の変形写像により算出される移動先の重み付き平均により移動先位置が決定されるので、オーバーラップ部分で段差や折れが生じないようにすることができる。これにより、本発明によれば、ユーザが変形対象領域を指定しなくても、物体形状の広領域を滑らかな形状に変形することができる。

本実施形態による形状変形装置の基本的な機能構成例を示すブロック図である。 本実施形態の領域設定部による複数の球の設定例を示す図である。 本実施形態の形状変形部によって行われる重み付け平均の概要を説明するための図である。 本実施形態による領域設定部の具体的な機能構成例を示すブロック図である。 本実施形態の球設定部による処理内容を説明するための模式図である。 本実施形態の球分割部による処理内容を説明するための模式図である。 本実施形態の隣接関係生成部による処理内容を説明するための模式図である。 本実施形態による変形写像算出部の具体的な機能構成例を示すブロック図である。 本実施形態による近似平面生成部および投影点算出部の処理内容を説明するための図である。 本実施形態の形状変形部によって行われる重み付け平均の詳細を説明するための図である。 本実施形態の重み付け平均に用いる重み関数を示す図である。 本実施形態による形状変形装置の他の機能構成例を示す図である。 本実施形態の形状変形装置による処理を実行する前の物体形状の一例を示す図である。 本実施形態の形状変形装置による処理を実行した後の物体形状の一例を示す図である。

以下、本発明の一実施形態を図面に基づいて説明する。本実施形態の形状変形装置は、点群データまたはポリゴンメッシュにより表される物体形状の広領域（例えば、物体形状の全体）の構成面を滑らかな形状に変形するためのスムージング処理を行うものである。本実施形態の形状変形装置において処理対象とする物体形状は、大きな凹凸や屈曲部、突出部などが比較的少ない単純な形状とすることが可能なことはもちろん、例えば図１３に示すような複雑な立体形状とすることも可能である。

本実施形態の形状変形装置では、スムージングの処理対象とする物体形状の全体に対して、互いにオーバーラップする複数の変形対象領域を設定し、それぞれの変形対象領域内において、特許文献１に記載した手法により変形写像を算出する。そして、それぞれの変形対象領域において、変形写像を用いた形状変形を行う。このとき、変形対象領域が互いにオーバーラップする部分については、領域ごとに算出された変形写像による移動先位置を重み付け平均化することにより、隣接する変形対象領域間を滑らかに接続するようにする。

＜本実施形態による形状変形装置の概略構成＞
図１は、本実施形態による形状変形装置の基本的な機能構成例を示すブロック図である。図１に示すように、本実施形態の形状変形装置は、その機能構成として、領域設定部１０、変形写像算出部２０および形状変形部３０を備えて構成されている。変形写像算出部２０は、具体的な機能構成として、変形写像設定部２１、拘束条件設定部２２および変形写像確定部２３を備えている。

図１に示した各機能ブロックは、ハードウェア、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ソフトウェアの何れによっても構成することが可能である。例えばソフトウェアによって構成する場合、上記各機能ブロックは、実際にはコンピュータのＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭなどを備えて構成され、ＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクまたは半導体メモリ等の記録媒体に記憶されたプログラムが動作することによって実現される。

領域設定部１０は、スムージング対象とする物体形状を表す形状データに対して、隣接する領域間でオーバーラップする複数の変形対象領域を設定する。本実施形態では、領域設定部１０は、変形対象領域として球形状の領域を設定する。物体形状のうち、比較的平坦な形状のところには大きな半径の球を設定し、凹凸部、屈曲部、突出部といった比較的複雑な形状のところには小さな半径の球を設定する。

図２は、隣接する領域間でオーバーラップする複数の球（変形対象領域）を設定した様子を示している。ここでは図示の便宜上、物体形状の一部２０１のみを示している。実際は、領域設定部１０は、物体形状の全体を覆うように複数の球２０２を設定する。図２において、球２０２の中に描かれている複数の点２０３は、物体形状を構成している各構成点である。物体形状の形状データが点群データにより表される場合は、各点が物体形状の構成点２０３となる。また、物体形状の形状データがポリゴンメッシュにより表される場合は、メッシュの各頂点が物体形状の構成点２０３となる。

領域設定部１０は、１つの球２０２内に含まれる複数の構成点２０３の数が所定範囲内となるように、複数の球２０２を設定する。これにより、比較的平坦な形状で構成点２０３が密集していないところには、上述したように大きな半径の球２０２が設定される。一方、凹凸部、屈曲部、突出部のように比較的複雑な形状で構成点２０３が密集しているところには、上述したように小さな半径の球２０２が設定される。なお、この球２０２の具体的な設定方法は後述する。

変形写像算出部２０は、領域設定部１０により設定された複数の変形対象領域のそれぞれにおいて、変形対象領域内に含まれる物体形状の各構成点の移動元位置を移動先位置へと変形させるための変形写像を算出する。この変形写像の算出は、特許文献１に記載した手法に基づいて行う。

すなわち、変形写像算出部２０は、点群データまたはポリゴンメッシュにより表される物体形状の構成面を滑らかな曲面に変形するための変形写像を、ＲＢＦ（Radial Basis Function：放射基底関数）を用いて表現する。ＲＢＦは、「定点からの距離によって値が定まる関数」である。一般には、ｎ次元ユークリッド空間Ｒ^ｎにおけるノルムを||・||と表すときに、以下の形で表されるｎ変数実数値関数Φ(ｘ)をＲＢＦと呼ぶ。
Φ(ｘ)＝φ（||ｘ−χ||）
ここで、φは１変数の関数である。また、χ∈Ｒ^ｎはｎ次元空間における固定点で、Φ(ｘ)の中心点と呼ぶ。

例えば、ｎ個の点χ_ｉ（ｉ＝１，・・・，ｎ）について、それらが行き先の新しい点χ~_ｉ（ｉ＝１，・・・，ｎ）に移動するように物体形状を変形させる場合、そのための変形写像Ψを、点χ_ｉを中心点に持つＲＢＦ（Φ(ｘ−χ_ｉ）＝φ(||ｘ−χ_ｉ||)）の１次結合として、次の（式１）のように表す。ここで、係数ａ_ｉ∈Ｒ^３（ｉ＝１，・・・，ｎ）は未知ベクトルである。

一方、領域設定部１０により設定された変形対象領域（球２０２）に含まれる各構成点２０３をＮ個の点ξ_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）で表し、これが目標とする行き先の新しい点ξ~_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）に移動するものとして、移動後の点ξ~_jで形成される物体形状の構成面が凹凸や波打ちのない滑らかな曲面となるような拘束条件を与える。ここで、Ｎ個の点ξ_jが特許請求の範囲の「空間上の指定された移動元位置」であり、行き先の新しい点ξ~_jが「目標とする移動先位置」である。

本実施形態において与える拘束条件は２つある。１つは、移動元位置の点ξ_jを（式１）の変形写像式で写像した位置Ψ(ξ_j)と、点ξ~_jで表される目標とする移動先位置との距離ができるだけ小さくなるようにするための位置近似に関する拘束条件である。もう１つは、移動先位置の点ξ~_jにより形成される構成面の曲がり方の変化が少なくなるようにするための曲率変化率最小化に関する拘束条件である。

前者の位置近似に関する拘束条件は、次の（式２）に示す距離評価値Ｅ₀によって表す。

また、後者の曲率変化率最小化に関する拘束条件は、変形前の曲面Ｓ上の移動元位置における２つの独立な接ベクトルをｓ_u，ｓ_vとして、次の（式３）に示す曲率変化率評価値Ｅ_fairによって表す。接ベクトルをｓ_u，ｓ_vは、変形前曲面ｓ（ｕ，ｖ）上の点における互いに直交するｕ方向・ｖ方向の１階微分ベクトルである。

ここで、右辺のｓ~_uuu，ｓ~_vvv，ｓ~_uuv，ｓ~_uvvは、変形後曲面の移動先位置における３階微分ベクトルであり、それぞれ次の（式４）で表される。

上記（式４）において、ＤΨは変形写像Ψの１階微分写像、Ｄ²Ψは２階微分写像、Ｄ³Ψは３階微分写像である。このうち、１階微分写像ＤΨは、次の（式５）のように定義される。なお、ｖは任意のベクトルであり、添え字のαは３変数｛ｘ，ｙ，ｚ｝上を動く。

ここで、変形前曲面の微分ベクトルと変形後曲面の微分ベクトルとの関係について説明する。変形前曲面をｓ(ｕ，ｖ)、これを変形写像Ψで変形した変形後曲面をｓ~(ｕ，ｖ)で表すと、次の（式６）に示す関係が成り立つ。
ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ)) ・・・（式６）
つまり、変形後曲面ｓ~を２変数ｕ，ｖのベクトル値の関数として見ると、これは変形写像Ψと変形前曲面ｓとの合成関数であると言える。そこで、合成関数の微分法を適用することで、変形後曲面の微分ベクトルを求めることができる。

すなわち、変形写像Ψの１階微分写像を上述の（式５）のように定義し、２階微分写像を（式７）のように定義すると（ｖ，ｖ_１，ｖ_２は任意のベクトルであり、添え字のα，βは３変数ｘ，ｙ，ｚ上を動く）、変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ))の１階微分ベクトルは次の（式８）のように表され、２階微分ベクトルは次の（式９）のように表される。

また、変形写像Ψの１階微分写像を上述の（式５）、２階微分写像を上述の（式７）のように定義し、さらに３階微分写像を次の（式１０）のように定義すると（ｖ，ｖ_１，ｖ_２，ｖ_３は任意のベクトルであり、添え字のα，β，γは３変数ｘ，ｙ，ｚ上を動く）、変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ))の３階微分ベクトルは上述の（式４）のように表される。

本実施形態では、次の（式１１）に示すように、距離評価値Ｅ₀と曲率変化率評価値Ｅ_fairとを重みづけ加算した総合評価値Ｅ_totalを定義し、この総合評価値Ｅ_totalを最小化するという拘束条件を設定する。重みｗは、球の半径の６乗（球の断面である円の面積の３乗）に比例するように定める。これにより、大きい球ではより強く平滑化を行い、小さい球では弱く平滑化を行うこととなり、全体として整合性を保った平滑化結果形状を得ることができる。さらに、比例係数の大小により、全体的な平滑化の強さをユーザがコントロールすることができる。

上記（式１）で表される変形写像Ψの中で、この（式１１）に示す評価値を最小化するものを求めることにより、未知ベクトルａ_i（ｉ＝１，・・・，ｎ）が求められ、目的の変形写像Ψが確定する。例えば、移動対象とする空間上にあるＮ個の拘束点ξ_jについて（式１）の連立１次方程式を解くことによって変形写像Ψが求まれば、その空間上の拘束点ではない点についても、それらがどこに移動するかを計算することができるようになる。すなわち、変形写像Ψが求まるということは、空間のどの点に対しても移動先が決まるということである。

図１に示す変形写像設定部２１は、上記（式１）に示したような、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項を含む変形写像式を設定する。すなわち、（式１）に対して、未知数ａ_i以外の値であるＲＢＦの中心点χ_i（ｉ＝１，・・・，ｎ）を設定することにより、変形写像式を設定する。ここで、ｎ個の中心点χ_iは、領域設定部１０により設定された変形対象領域の中から変形写像設定部２１が自動的に設定する。

拘束条件設定部２２は、移動元位置の点ξ_jを（式１）の変形写像式で写像した位置の点Ψ(ξ_j)と目標とする移動先位置の点ξ~_jとの距離を表した位置近似の距離評価値Ｅ₀、および、変形結果形状の曲率変化率評価値Ｅ_fairとを含む拘束条件方程式（上述した（式１１））を設定する。すなわち、（式１１）に対して、距離評価値Ｅ₀に含まれるξ_j，ξ~_jと、曲率変化率評価値Ｅ_fairに含まれるｓ~_uuu，ｓ~_vvv，ｓ~_uuv，ｓ~_uvvと、重みｗとを設定することにより、拘束条件方程式を設定する。

変形写像確定部２３は、拘束条件設定部２２により設定された拘束条件方程式を解いて、変形写像設定部２１により設定された変形写像式に含まれる未知数ａ_iを求めることにより、位置近似および曲率変化率最小化を満たす変形写像Ψを確定させる。具体的には、変形写像確定部２３は、上述の（式１１）で示される総合評価値Ｅ_totalを最小化するような（式１）の未知数ａ_iを求めることにより、変形写像Ψを確定させる。

形状変形部３０は、変形写像算出部２０により変形対象領域（球２０２）ごとに算出された変形写像Ψを用いて、球２０２内に含まれる物体形状を変形させる処理を実行する。すなわち、形状変形部３０は、球２０２内の各点に対して変形写像Ψを適用して移動先位置の点を求めることにより、物体形状を変形させる。これにより、球２０２内の形状が凹凸や波打ちのない滑らかな構成面となるような形状変形が実行される。

また、形状変形部３０は、変形対象領域がオーバーラップする重複領域内に含まれる形状部分の構成点については、各変形対象領域について算出された変形写像Ψによるそれぞれの移動先の重み付き平均により移動先位置を決定する。図３は、この重み付け平均の概要を説明するための図である。

図３に示すように、変形対象領域としての２つの球ＢＬ₁，ＢＬ₂がオーバーラップしていて、そのオーバーラップ領域内に構成点Ｐがあるものとする。点Ｐは、一方の球ＢＬ₁にも属し、他方の球ＢＬ₂にも属する点である。変形写像算出部２０により、２つの球ＢＬ₁，ＢＬ₂のそれぞれについて変形写像Ψ₁，Ψ₂が算出されている。形状変形部３０は、点Ｐを移動元位置として、変形写像Ψ₁，Ψ₂により移動先位置Ｑ₁，Ｑ₂をそれぞれ算出し、この移動先位置Ｑ₁，Ｑ₂を重み付き平均化することにより、点Ｐの移動先位置を決定する。なお、重み付き平均計算の詳細については後述する。

＜各機能ブロックの詳細構成＞
次に、図１に示した領域設定部１０、変形写像算出部２０および形状変形部３０の詳細な構成について説明する。

＜領域設定部１０の詳細な構成例＞
まず、領域設定部１０の詳細な構成例について説明する。図４は、領域設定部１０の具体的な機能構成例を示すブロック図である。図４に示すように、本実施形態の領域設定部１０は、その具体的な機能構成として、球設定部１１、球分割部１２および隣接関係生成部１３を備えている。

球設定部１１は、点群データまたはポリゴンメッシュにより表される物体形状の形状データに対して、１つのボックス内に含まれる複数の構成点の数が所定範囲内（例えば、１００±ｎ個程度の範囲内）となるまで分割を繰り返すことにより、複数の包含ボックスを設定し、それぞれの包含ボックスごとに、当該包含ボックスを内包する球を設定する。

本実施形態では一例として、ＢＶＨ（Bounding Volume Hierarchy）を用いた２分木分割構造による複数の包含ボックスを設定し、ツリーのリーフノードに相当する包含ボックスごとに、これを内包する球を設定する。包含ボックスとは、形状データの一部分を表す点群またはポリゴンメッシュを包含する直方体である。包含ボックスを内包する球とは、直方体の中心点を中心とし、その点から最も遠い角までの長さを半径とする球のことである。

図５は、球設定部１１による処理内容を説明するための模式図である。なお、説明を簡便にするために、図５では、立体の物体形状５０１を一方向から見た平面で表し、包含ボックスの直方体は長方形で表している。

図５に示すように、まず、２分木分割構造の１階層目に当たるルートノードでは、物体形状５０１の全体を覆う（例えば、物体形状５０１が内接する）ような大きな包含ボックスＢＸ₁を設定する。次に、２階層目において包含ボックスＢＸ₁を２つの包含ボックスＢＸ₂₁，ＢＸ₂₂に分割する。次いで、３階層目において包含ボックスＢＸ₂₁を２つの包含ボックスＢＸ₃₁，ＢＸ₃₂に分割するとともに、包含ボックスＢＸ₂₂を２つの包含ボックスＢＸ₃₃，ＢＸ₃₄に分割する。さらに、４階層目において包含ボックスＢＸ₃₂を２つの包含ボックスＢＸ₄₁，ＢＸ₄₂に分割するとともに、包含ボックスＢＸ₃₃を２つの包含ボックスＢＸ₄₃，ＢＸ₄₄に分割する。

このように、再帰的に分割処理を行うことで二分木構造にした結果、図５の例では、６つの包含ボックスＢＸ₃₁，ＢＸ₃₄，ＢＸ₄₁，ＢＸ₄₂，ＢＸ₄₃，ＢＸ₄₄がリーフノードとなる。これらのリーフノードに相当する包含ボックスＢＸ₃₁，ＢＸ₃₄，ＢＸ₄₁，ＢＸ₄₂，ＢＸ₄₃，ＢＸ₄₄は、何れもその中に含まれる複数の構成点の数が所定範囲内（例えば、１００±ｎ個程度の範囲内）となっている。

球設定部１１は、これら６つの包含ボックスＢＸ₃₁，ＢＸ₃₄，ＢＸ₄₁，ＢＸ₄₂，ＢＸ₄₃，ＢＸ₄₄に対して、これを内包する６つの球をそれぞれ設定する。この場合、３階層目の包含ボックスＢＸ₃₁，ＢＸ₃₄に対して設定される球は比較的大きくなり、４階層目の包含ボックスＢＸ₄₁，ＢＸ₄₂，ＢＸ₄₃，ＢＸ₄₄に対して設定される球は比較的小さくなる。すなわち、比較的平坦な形状のところには大きな半径の球が設定され、比較的複雑な形状のところには小さな半径の球が設定されることになる。

なお、ここでは、ＢＶＨを用いた２分木分割構造によって複数の包含ボックスを設定する例について説明したが、本発明はこれに限定されない。例えば、ＢＶＨに代えて、８分木やｋｄ−ｔｒｅｅ等を用いてもよい。

球分割部１２は、球設定部１１により設定された球内に含まれる複数の構成点と最小２乗平面との距離誤差を算出し、当該誤差の算出値が第１の所定値より大きい球を更に分割する。誤差の算出に関しては、種々の方法を適用することが可能である。一例として、球分割部１２は、図６に示すように、球設定部１１により設定された球内に含まれる複数の構成点ｓ₁〜ｓ_Nから最小２乗平面６０１を生成し、当該最小２乗平面６０１と複数の構成点ｓ₁〜ｓ_Nとの距離ｄ₁〜ｄ_Nがそれぞれ第１の所定値より大きいか否かを判定する。そして、所定数以上の構成点について距離が第１の所定値より大きくなる場合は、その球は精度が不十分であると判断し、これを複数のより小さい球に分割する。

本実施形態では、第１の所定値として、球の半径に対して一定割合（例えば、３０％）の値を用いる。また、本実施形態では、最小２乗平面６０１と構成点ｓ₁〜ｓ_Nとの距離が第１の所定値より大きい球を、４個の小さい球に分割する。分割した球についても同様の判定を行い、精度が不十分であれば更に分割する。なお、全ての球について精度が良くなるまで分割を繰り返してもよいが、処理効率を考慮して、上限の分割回数を定めてもよいし、固定回数（例えば、４回）だけ分割を行うようにしてもよい。

なお、図６において、ｓ₁〜ｓ_Nは、１つの球内に含まれるＮ個の構成点を示している。形状変形部３０により変形が行われる前の物体形状は、その表面に凹凸を有しているため、Ｎ個の構成点ｓ₁〜ｓ_Nは波打った位置に存在している。球分割部１２は、これらＮ個の構成点ｓ₁〜ｓ_Nから最小２乗法により近似平面（最小２乗平面）６０１を生成する。そして、球分割部１２は、Ｎ個の構成点ｓ₁〜ｓ_Nと最小２乗平面６０１との距離ｄ₁〜ｄ_Nをそれぞれ求め、第１の所定値より大きくなるものが存在するか否かを判定する。

また、球分割部１２は、物体形状の形状データがポリゴンデータまたは法線付き点群データの場合には、分割によって最終的に生成される球内に含まれる複数の構成点の法線ベクトルがほぼ同じ方向を向くように、球の分割を行う。すなわち、球分割部１２は、球内に含まれる複数の構成点の法線ベクトルの方向の相違度合を算出し、当該相違度合の算出値が第２の所定値より大きい場合には、その球を更により小さい球に分割する。

例えば、球分割部１２は、図６のように球内に含まれる複数の構成点ｓ₁〜ｓ_Nから最小２乗平面６０１を生成し、当該最小２乗平面６０１の法線ベクトルの方向と、複数の構成点ｓ₁〜ｓ_Nの法線ベクトルの方向との誤差が第２の所定値より大きいか否かを判定し、所定数以上の構成点について誤差が第２の所定値より大きくなる球を更に分割する。

これにより、球分割部１２は、複数の構成点ｓ₁〜ｓ_Nから求められる最小２乗平面６０１の法線ベクトルの方向を、物体形状の表方向と一致させるように球の分割を行う。例えば、球分割部１２は、最小２乗平面６０１の法線ベクトルと球内の各構成点ｓ₁〜ｓ_Nの法線ベクトルとの内積が√３／２以上（角度の誤差が３０度以下）でない場合は、その球を更に分割する。このような分割を行うことにより、１つの球内に、法線ベクトルの方向が逆を向く構成点が含まれないようになる。

隣接関係生成部１３は、球設定部１１および球分割部１２によって生成された球どうしの隣接関係に関するデータを生成する。すなわち、隣接関係生成部１３は、各球と、その近傍に存在する別の球との間における隣接関係のデータを生成する。図７に示すように、球ＢＬ₂が球ＢＬ₁に隣接して存在するとは、この２つの球ＢＬ₁，ＢＬ₂の中心点Ｃ₁，Ｃ₂間の距離Ｄが、球ＢＬ₁，ＢＬ₂のそれぞれの半径Ｒ₁，Ｒ₂の和よりも小さいことをいう。

ただし、物体形状の形状データがポリゴンデータまたは法線付き点群データ で構成される場合には、球ＢＬ₂が球ＢＬ₁に隣接して存在しても、ただちにこの２つの球ＢＬ₁，ＢＬ₂の間に隣接関係を構築するわけではない。すなわち、２つの球ＢＬ₁，ＢＬ₂の最小２乗平面の法線ベクトルの方向（表・裏）が一致する場合にのみ、隣接関係を構築する。

２つの球ＢＬ₁，ＢＬ₂が隣接関係にあるとき、隣接関係生成部１３は、一方の球を他方の球の「隣接球集合」に入れる。すなわち、球ＢＬ₂を他方の球ＢＬ₁の「隣接球集合」に入れる。また、球ＢＬ₁を他方の球ＢＬ₂の「隣接球集合」に入れる。さらに、隣接関係生成部１３は、一方の球に所属する構成点から他方の球の中心までの距離が他方の球の半径よりも小さいとき、つまり、一方の球の構成点が球ＢＬ₁，ＢＬ₂のオーバーラップ領域に含まれるとき、その構成点を他方の球の「所属点集合」に入れる。例えば、図７のように球ＢＬ₁，ＢＬ₂のオーバーラップ領域に所属する球ＢＬ₁の構成点ｓ₁を、他方の球ＢＬ₂の「所属点集合」に入れる。

＜変形写像算出部２０の詳細な構成例＞
次に、変形写像算出部２０の詳細な構成例について説明する。図８は、変形写像算出部２０の具体的な機能構成例を示すブロック図である。なお、図８において、図１に示した符号と同一の符号を付したものは同一の機能を有するものであるので、ここでは重複する説明を省略する。図８に示すように、変形写像算出部２０は、その具体的な機能構成として、図１に示した構成に加え、近似平面生成部２４、投影点算出部２５および中心点抽出部２６をさらに備えている。

近似平面生成部２４は、領域設定部１０により変形対象領域として設定された球に含まれる複数の構成点に対する近似平面を生成する。本実施形態において、近似平面の生成法は特に限定しないが、一例として、図６に示したように、複数の構成点に最小２乗法を適用して近似平面（最小２乗平面６０１）を生成することが可能である。なお、この最小２乗平面６０１は、球分割部１２が球を分割するか否かを判定する際に生成したものを用いてもよい。その場合、近似平面生成部２４は省略が可能である。

投影点算出部２５は、複数の構成点をそれぞれ近似平面上に投影することにより、複数の投影点を算出する。例えば、投影点算出部２５は、構成点から近似平面に対して垂線を下し、その垂線と近似平面との交点を投影点として設定する。

図９は、近似平面生成部２４および投影点算出部２５の処理内容を説明するための図である。図９において、ｓ₁〜ｓ_Nは、１つの球内に含まれるＮ個の構成点を示している。近似平面生成部２４は、これらＮ個の構成点ｓ₁〜ｓ_Nから最小２乗法により近似平面６０１を生成する。そして、投影点算出部２５は、Ｎ個の構成点ｓ₁〜ｓ_Nから近似平面６０１に対してそれぞれ垂線を下ろし、その垂線と近似平面６０１との交点をＮ個の投影点ｐ₁〜ｐ_Nとして設定する。

拘束条件設定部２２は、投影点算出部２５により算出されたＮ個の投影点ｐ₁〜ｐ_Nをそれぞれ移動元位置の点ξ_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）として指定する。また、拘束条件設定部２２は、領域設定部１０により設定された球内に含まれるＮ個の構成点ｓ₁〜ｓ_Nをそれぞれ、複数の投影点ｐ₁〜ｐ_Nに対する目標の移動先位置の点ξ~_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）として指定して、位置近似および曲率変化率最小化に関する拘束条件方程式を設定する。

中心点抽出部２６は、近似平面生成部２４により生成された近似平面６０１内から複数のＲＢＦの中心点χ_i（ｉ＝１，・・・，ｎ）を抽出する。本実施形態において、中心点χ_iの抽出法は特に限定しないが、近似平面６０１内からほぼ均等に複数の中心点χ_iを抽出するのが好ましい。

例えば、中心点抽出部２６は、近似平面生成部２４により生成された近似平面６０１を格子状に分割し、各格子点（格子の隅の各点）を１つずつ抽出する。上述の変形写像設定部２１は、中心点抽出部２６により抽出されたｎ個のＲＢＦの中心点χ_i（ｉ＝１，・・・，ｎ）を、（式１）に示す変形写像式における位置連続に関する項Φ(ｘ−χ_ｉ）に設定する。

＜形状変形部３０の詳細な構成例＞
次に、形状変形部３０の詳細な構成例について説明する。上述のように、形状変形部３０は、各球内に含まれる構成点を移動元位置の点として、各構成点に対して、変形写像算出部２０により個々の球ごとに算出された変形写像Ψを適用して移動先位置の点を求めることにより、物体形状を変形させる。このとき、形状変形部３０は、変形対象領域がオーバーラップする重複領域内に含まれる形状部分の構成点については、変形写像Ψによるそれぞれの移動先の重み付き平均により移動先位置を決定する。

例えば、図１０に示すように、球ＢＬに対してｎ個（図１０はｎ＝５の例）の他の球ＢＬ_i（ｉ＝１〜ｎ）が隣接している場合、球ＢＬに含まれる構成点ｓの移動先の点Ｑは、次の（式１２）により算出される。

上記（式１２）において、ｐは球ＢＬ内における構成点ｓの最小２乗平面への投影点、Ψ(ｐ)は当該投影点ｐを変形写像Ψにより写像した先の点を示す。また、ｐ_iは各球ＢＬ_i（ｉ＝１〜ｎ）内における構成点ｓ_iの最小２乗平面への投影点、Ψ_i(ｐ_i)は当該投影点ｐ_iを変形写像Ψ_iにより写像した先の点を示す。また、（式１２）に含まれる関数ｇ(x)は、次の条件を満たす重み関数である。
ｇ(0)＝０，ｇ(1)＝１，ｇ’(0)＝ｇ’(1)＝０
０≦ｇ(x)≦１（０≦x≦１）
ただし、ｇ’(x)は１階微分を示す。

本実施形態では、上記条件を満たす重み関数の一例として、次の（式１３）に示す関数ｇ(x)を用いる。そして、球ＢＬについてはｘ＝（ｒ−ｄ）／ｒ、球ＢＬに隣接する各球ＢＬ_iについてはｘ＝（ｒ_i−ｄ_i）／ｒ_iを用いる。ここで、ｒは球ＢＬの半径、ｒ_iは球ＢＬ_iの半径、ｄは構成点ｓと球ＢＬの中心点Ｃとの距離、ｄ_iは構成点ｓと球ＢＬ_iの中心点Ｃ_iとの距離である。図１０には、球ＢＬ₂に関する半径ｒ₂および距離ｄ₂が示されている。

上記（式１３）に示す重み関数ｇ(x)は、図１１のように表される。これにより、重み関数ｇ(x)の値は、構成点ｓの位置が球ＢＬの中心点Ｃに近いほど大きくなり、中心点Ｃの位置と一致すると（ｄ＝０）、ｇ(x)＝ｇ(1)＝１となる。逆に、構成点ｓの位置が球ＢＬの中心点Ｃから遠いほど、重み関数ｇ(x)の値は小さくなり、球ＢＬの周面の位置と一致すると（ｄ＝ｒ）、ｇ(x) ＝ｇ(0)＝０となる。また、ｇ’(0)＝ｇ’(1)＝０であるから、球ＢＬと球ＢＬ_iとのオーバーラップ部分における形状の滑らかさが保証されている。

以上詳しく説明したように、本実施形態によれば、処理対象の物体形状が複数の互いにオーバーラップする変形対象領域（球）に分割され、それぞれの変形対象領域内において変形写像Ψによる物体形状の変形が行われることにより、滑らかな形状に平滑化される。また、変形対象領域どうしのオーバーラップ部分に関しては、各変形対象領域の変形写像Ψ，Ψ_i（ｉ＝１〜ｎ）により算出される移動先の重み付き平均により移動先位置が決定されるので、オーバーラップ部分で段差や折れが生じないようにすることができる。これにより、本実施形態によれば、ユーザが変形対象領域を指定しなくても、物体形状の広領域（例えば、全体）を滑らかな形状に変形することができる。

図１４は、図１３に示した物体形状の全体に対して、本実施形態の形状変形装置によりスムージング処理を実行した結果を示す図である。図１３に示す形状データは、フェイス数が871,306個、メッシュの頂点数が435,545個のポリゴンデータで構成されたものである。この形状データに対して本実施形態のスムージング処理を実行することにより、113,452個の球が設定され、球ごとに算出された変形写像Ψを用いた形状変形の結果、図１４に示す物体形状が得られた。図１４に示すように、物体の表面に存在していた凹凸が形状変形後には少なくなって、滑らかな曲面となっている。

なお、物体形状の中でシャープなエッジ形状をしている部分では、分割して生成された球内の点群の分布が平面的ではなくなる。そのような球の各点群に対して変形写像Ψをそのまま適用すると、各点群の移動先の点群で形成される曲面も平面的でなくなって、滑らかな曲面にならない可能性がある。そこで、複数の構成点が平面的に分布していない球については、移動先の重み付け平均を求める際に、変形写像Ψによる移動先の位置に代えて、当該変形写像Ψを適用しない移動元の位置を用いるようにしてもよい。

図１２は、シャープなエッジ形状への対策を考慮した形状変形装置の機能構成例を示す図である。なお、この図１２において、図１に示した符号と同一の符号を付したものは同一の機能を有するものであるので、ここでは重複する説明を省略する。図１２に示す形状変形装置では、分散指標算出部４０を更に備えている。また、形状変形部３０に代えて形状変形部３０’を備えている。

分散指標算出部４０は、領域設定部１０により設定された変形対象領域（球）内に含まれる複数の構成点が非平面的に分散している度合いを表す指標である分散指標を算出する。例えば、分散指標算出部４０は、球内に含まれる複数の構成点から、共分散行列の固有値を算出し、最小固有値と２番目に小さい固有値との比率を分散指標として算出する。

例えば、共分散行列の固有値を小さい方から順に、σ₁，σ₂とする。ここで、球内に含まれる複数の構成点が平面的に分散している場合は、最小固有値σ₁だけ“０”に近くなり、他の固有値σ₂はσ₁より大きな値となる。一方、球内に含まれる複数の構成点が平面的に分散していない場合は、最小固有値σ₁と２番目に小さい固有値σ₂とはほぼ同じ値となる。したがって、最小固有値σ₁と２番目に小さい固有値σ₂との比率λ＝σ₁／σ₂は、複数の構成点が非平面的に分散している度合を表す値として用いることができる。

形状変形部３０’は、分散指標算出部４０により算出された分散指標の算出値（比率λの値）が第３の所定値より大きい変形対象領域内に含まれる構成点については、当該変形対象領域について算出された変形写像によるそれぞれの移動先に代えて、当該変形写像を行わない移動元の構成点を用いるようにする。すなわち、（式１２）において、Ψ(ｐ)の代わりに構成点ｓの位置を用い、Ψ_i(ｐ_i)の代わりに構成点ｓ_iの位置を用いるようにする。

一例として、形状変形部３０’は、ある球について分散指標算出部４０により算出された固有値σ₁，σ₂の比率λが０．２より大きい場合に（λ＞０．２）、当該球については移動元の構成点の位置を用いて重み付け平均を行うようにする。または、球ＢＬについて算出された比率λの値が０．０２＜λ≦０．２で、その球ＢＬに関するλの値が、 隣接する球ＢＬ_iに関するλ_iの値の平均値の２．５倍を超える場合に、移動元の構成点の位置を用いて重み付け平均を行うようにしてもよい。

図１２に示すように構成することにより、シャープなエッジ形状や形状が急変する箇所において、無理な形状変形をすることがなくなるので、形状の品質を低下させることを防止することができる。

その他、上記実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の一例を示したものに過ぎず、これによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその要旨、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１０ 領域設定部
１１ 球設定部
１２ 球分割部
１３ 隣接関係生成部
２０ 変形写像算出部
２１ 変形写像設定部
２２ 拘束条件設定部
２３ 変形写像確定部
２４ 近似平面生成部
２５ 投影点算出部
２６ 中心点抽出部
３０，３０’ 形状変形部
４０ 分散指標算出部

Claims (12)

1. 物体形状を表す形状データに対して、隣接する領域間でオーバーラップする複数の変形対象領域を設定する領域設定部と、
   上記領域設定部により設定された上記複数の変形対象領域のそれぞれにおいて、当該変形対象領域内に含まれる物体形状の各構成点の移動元位置を移動先位置へと変形させるための変形写像を算出する変形写像算出部と、
   上記変形写像算出部により上記変形対象領域ごとに算出された上記変形写像を用いて、上記変形対象領域内に含まれる物体形状を変形させる処理を実行する形状変形部とを備え、
   上記形状変形部は、上記変形対象領域がオーバーラップする重複領域内に含まれる形状部分の構成点については、各変形対象領域について算出された上記変形写像によるそれぞれの移動先の重み付き平均により上記移動先位置を決定し、
   上記変形写像算出部は、
   放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項を含む変形写像式を設定する変形写像設定部と、
   空間上の指定された移動元位置を上記変形写像式で写像した位置と目標とする移動先位置との距離を表した位置近似、および、上記移動先位置における曲率変化率最小化に関する拘束条件方程式を設定する拘束条件設定部と、
   上記拘束条件設定部により設定された上記拘束条件方程式を解いて、上記変形写像設定部により設定された上記変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置近似および上記曲率変化率最小化を満たす変形写像を確定させる変形写像確定部とを備えたことを特徴とする形状変形装置。
2. 上記領域設定部は、
   上記形状データに対して、１つのボックス内に含まれる複数の構成点の数が所定範囲内となるまで分割を繰り返すことにより、複数の包含ボックスを設定し、それぞれの包含ボックスごとに、当該包含ボックスを内包する球を設定する球設定部と、
   上記球内に含まれる複数の構成点の最小２乗平面に対する距離誤差を算出し、当該誤差の算出値が第１の所定値より大きい球を更に分割する球分割部とを備え、
   上記球設定部および上記球分割部の処理により設定される球を上記変形対象領域として設定することを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
3. 上記球分割部は、上記球内に含まれる複数の構成点から最小２乗平面を生成し、当該最小２乗平面と上記複数の構成点との距離が上記第１の所定値より大きいか否かを判定し、所定数以上の構成点について上記距離が上記第１の所定値より大きくなる球を更に分割することを特徴とする請求項２に記載の形状変形装置。
4. 上記球分割部は、上記球内に含まれる複数の構成点の法線ベクトルの方向の相違度合を算出し、当該相違度合の算出値が第２の所定値より大きい球を更に分割することを特徴とする請求項２に記載の形状変形装置。
5. 上記球分割部は、上記球内に含まれる複数の構成点から最小２乗平面を生成し、当該最小２乗平面の法線ベクトルの方向と上記複数の構成点の法線ベクトルの方向との誤差が上記第２の所定値より大きいか否かを判定し、所定数以上の構成点について上記誤差が上記第２の所定値より大きくなる球を更に分割することを特徴とする請求項４に記載の形状変形装置。
6. 上記形状変形部は、
   ｇ(0)＝０，ｇ(1)＝１，ｇ’(0)＝ｇ’(1)＝０，０≦ｇ(x)≦１（０≦x≦１）
   を満たす関数ｇ(x)を用いて、上記重み付き平均を求めることを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
7. 上記領域設定部により設定された上記変形対象領域内に含まれる複数の構成点が非平面的に非分散している度合いを表す指標である分散指標を算出する分散指標算出部を更に備え、
   上記形状変形部は、上記分散指標の算出値が第３の所定値より大きい変形対象領域内に含まれる構成点については、当該変形対象領域について算出された上記変形写像による移動先に代えて、当該変形写像を行わない移動元の構成点の位置を用いて上記重み付き平均を算出することを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
8. 上記分散指標算出部は、上記領域設定部により設定された上記変形対象領域内に含まれる複数の構成点から、共分散行列の固有値を算出し、最小固有値と２番目に小さい固有値との比率を上記分散指標として算出し、
   上記形状変形部は、上記比率が上記第３の所定値より大きい変形対象領域内に含まれる構成点については、上記移動元の構成点を用いて上記重み付き平均を算出することを特徴とする請求項７に記載の形状変形装置。
9. 上記変形写像算出部は、
   上記領域設定部により設定された上記変形対象領域内に含まれる上記複数の構成点に対する近似平面を生成する近似平面生成部と、
   上記複数の構成点をそれぞれ上記近似平面上に投影することにより複数の投影点を算出する投影点算出部とを更に備え、
   上記拘束条件設定部は、上記投影点算出部により算出された上記複数の投影点をそれぞれ上記移動元位置として指定し、上記複数の構成点をそれぞれ上記複数の投影点に対する上記移動先位置として指定して、上記位置近似および上記曲率変化率最小化に関する拘束条件方程式を設定することを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
10. 上記近似平面生成部により生成された上記近似平面内から上記放射基底関数の複数の中心点を抽出する中心点抽出部を更に備え、
    上記変形写像設定部は、上記中心点抽出部により抽出された上記複数の中心点を用いて上記変形写像式を設定することを特徴とする請求項９に記載の形状変形装置。
11. 上記変形写像確定部は、上記移動元位置と上記移動先位置との距離を表す値および上記曲率変化率最小化を表す値の合計値を最小化するような上記未知数を求めることにより、上記変形写像を確定させることを特徴とする請求項１に記載の形状変形装置。
12. 物体形状を表す形状データに対して、隣接する領域間でオーバーラップする複数の変形対象領域を設定する領域設定手段、
    上記領域設定手段により設定された上記複数の変形対象領域のそれぞれにおいて、当該変形対象領域内に含まれる物体形状の各構成点の移動元位置を移動先位置へと変形させるための変形写像を算出する変形写像算出手段、および
    上記変形写像算出手段により上記変形対象領域ごとに算出された上記変形写像を用いて、上記変形対象領域内に含まれる物体形状を変形させる処理を実行する形状変形手段
    としてコンピュータを機能させ、
    上記形状変形手段は、上記変形対象領域がオーバーラップする重複領域内に含まれる形状部分の構成点については、各変形対象領域について算出された上記変形写像によるそれぞれの移動先の重み付き平均により上記移動先位置を決定し、
    上記変形写像算出手段は、
    放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項を含む変形写像式を設定する変形写像設定手段、
    空間上の指定された移動元位置を上記変形写像式で写像した位置と目標とする移動先位置との距離を表した位置近似、および、上記移動先位置における曲率変化率最小化に関する拘束条件方程式を設定する拘束条件設定手段、
    上記拘束条件設定手段により設定された上記拘束条件方程式を解いて、上記変形写像設定手段により設定された上記変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置近似および上記曲率変化率最小化を満たす変形写像を確定させる変形写像確定手段
    とを含むことを特徴とする形状変形用プログラム。