KR101032397B1 - 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법 - Google Patents

구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법 Download PDF

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Abstract

구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법이 개시된다. 좌표 변환부는 음함수 형태의 곡면을 포함하는 3차원 좌표공간을 구면 좌표계로 변환하여 표현한다. 공간 분할부는 구면 좌표계로 표현된 3차원 좌표공간을 사전에 설정된 최대레벨에 따라 반복적으로 분할하여 복수의 셀을 생성하되, 상위레벨의 셀들 중에서 곡면이 포함된 셀을 선택적으로 분할하여 하위레벨의 셀을 생성한다. 정점 결정부는 3차원 좌표공간의 분할에 의해 생성된 셀들 중에서 곡면을 포함하는 셀들 각각에 대해 곡면과 셀 모서리의 교차점 및 교차점에서의 법선벡터를 기초로 셀 내부에서 곡면을 형상화하기 위한 정점의 위치를 결정한다. 곡면 형상화부는 구면 좌표계에 의해 3차원 좌표공간에서 정의된 정점들의 위치정보를 직교 좌표계로 변환하여 곡면을 형상화한다. 본 발명에 따르면, 음함수 곡면을 포함하는 3차원 공간을 분할할 때 직교 좌표계의 축에 따르지 않고 구면 좌표계의 축에 따라 분할함으로써 3차원 형상의 입체감을 잘 표현할 수 있으며, 각각의 셀 내부에서 결정되는 정점의 개수가 직교 좌표계를 사용하는 경우에 비해 감소하여 처리속도를 향상시킬 수 있다.

Description

구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법{Apparatus and method for representing 3D shape using spherical coordinate system}
본 발명은 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는, 구면 좌표계로 표현된 격자구조를 분할하여 입체형상을 표현하는 장치 및 방법에 관한 것이다.
컴퓨터 그래픽스 분야에서는 일반적으로 곡면을 나타내기 위해 음함수의 형태를 이용하며, 이러한 경우에 곡면은 f(x,y,z)=f(p)=0과 같이 표현된다. 이때 음함수 f=0을 만족시키는 점 p는 곡면 상에 위치한다. 이러한 음함수 곡면은 직선과의 교차 테스트에서 매개변수로 표현된 형태에 비해 자주 사용된다.
음함수 곡면의 또 다른 장점은 CSG(Constructive Solid Geometry) 알고리즘이 쉽게 적용될 수 있다는 것이다. 즉, 음함수로 표현된 곡면들 각각에 속하는 점들의 집합들에 대해 서로간의 차집합, 교집합 또는 합집합을 구하는 것이 용이하다. 또한 음함수간의 블렌딩(blending)이나 변형(deform)도 쉽게 표현할 수 있다.
또한 거리장(distance field)은 n차원의 공간을 나타내는 볼륨 데이터의 집합을 말하는 것으로, n차원 공간에 정의된 물체의 집합에 대해 거리장은 격자점 x∈Rn과 물체 간의 최소 거리값으로 정의할 수 있다. 이러한 거리장은 컴퓨터 그래픽 분야에서 형상 표현, 모델 단순화, 물체의 재메쉬화, 물체의 변형, CSG 연산, 경로 설정, 영상 정합, 충돌 및 근접성 검사와 그 외에 과학적 가시화, 영상처리, 컴퓨터 비전 등의 분야에서 효율적인 알고리즘 개발을 위한 중요한 도구로 사용되고 있다.
주어진 물체가 방향성을 가지며 닫힌 상태라면 거리장에서 부호를 설정할 수 있다. 특정 격자의 거리값이 부호를 가지게 되면 해당 격자가 물체의 내부에 존재하는지 표면에 존재하는지 또는 외부에 존재하는지를 알 수 있다. 이러한 부호 거리장(signed distance field)은 거리장 응용분야에서 발생하는 상당수의 문제를 단순화시켜주기 때문에 매우 유용한 도구로 사용된다. 이러한 거리장 또는 부호 거리장은 볼륨 데이터 형태로서 각각의 격자에 대해 최단거리 또는 부호를 가지는 최단거리를 설정해 주어야 한다. 각각의 격자에 대한 절대거리를 계산한 후 부호를 산출하기 위해서는 해당 격자가 물체의 내부 또는 외부에 위치하는지를 판단하여야 한다. 이러한 부호 정보는 물체의 법선벡터를 사용함으로써 알 수 있다.
한편, 3차원 이미지에 등가면(iso-surface)을 추출하는 표준 알고리즘은 마칭큐브 알고리즘으로, 이 3차원 이미지는 N0×N1×N2의 크기를 가지는 정방형 격자상에서 정의되며, 이미지 값을 F(x,y,z)라 하면 등가면은 F(x,y,z)=c의 형태로 정의된다. 여기서 c는 레벨값이고, x,y,z는 연속적인 값이다. 이미지의 복셀은 직사각형의 입방체로 8개의 격자점으로 이루어져 있으며, 마칭큐브 알고리즘은 3차원 이미지 내부의 각 복셀을 분석하고 등가면이 각각의 복셀을 지나가는지를 검사한다. 등가면이 복셀을 지나가는 경우에는 해당 복셀을 위한 삼각형 메쉬를 생성하는데, 이 삼각형 메쉬는 복셀 내부의 등가면의 근사값을 나타낸다.
이미지가 정수값만을 가질 때 정수가 아닌 값으로 레벨값을 선택하여 복셀의 8개 코너에서의 부호를 비교한다. 만일 이웃하는 두 개의 코너에서 레벨값이 반대 부호를 가지고 이미지 값들 G(x,y,z)=F(x,y,z)-c가 두 코너를 연결하는 변에 대하여 선형이라면 등가면 G(x,y,z)=0은 그 변 위의 한 점을 지난다. 가로지르는 면의 복잡도는 복셀의 8개 코너 및 부호변화와 관련이 있다. 마칭큐브 알고리즘의 핵심은 부호의 조합에 의해 얻어지는 경우의 수가 적다는 것이다. 즉, 각 코너마다 +와 - 두 가지의 경우가 가능하므로 8개의 코너가 만드는 조합은 256가지가 얻어지며, 각 경우의 조합을 분석하여 등가면의 성질을 결정할 수 있다.
그리고 교차하는 등가면을 나타내기 위해서는 삼각형 메쉬를 사용한다. 삼각형 메쉬들은 크기가 256인 테이블에 저장되며, 복셀의 부호를 분석하여 테이블에 대한 인덱스 값을 구하고 테이블 인덱스 값에 의해 가로지르는 등가면을 표현하는 삼각형 메쉬를 구한다. 마칭큐브 알고리즘은 테이블 참조 방식이 간단하므로 좋은 검색 성능을 보인다.
그런데 이러한 마칭큐브 알고리즘은 날카로운 부분은 잘 표현하지 못하는 단점이 있으며, 이러한 단점을 개선하기 위해 듀얼 버텍스 및 에지와의 듀얼 관계를 가지는 듀얼 공간 격자 분할 방식들이 제안되었다. 그 중에서 가장 널리 사용되는 듀얼 공간 분할 방식이 듀얼 컨투어링이다. 듀얼 컨투어링 방식에 의하면 격자의 에지 부분에서 버텍스(vertex)를 생성하는 마칭큐브 알고리즘과는 달리 셀 공간 내에 버텍스를 생성하기 때문에 마칭큐브 알고리즘에 비해 날카로운 부분을 잘 표현할 수 있다. 다만, 듀얼 컨투어링은 직교 좌표계에서 구현되므로 세밀한 곡면을 표현하기에는 한계를 가진다.
본 발명이 이루고자 하는 기술적 과제는, 연산량을 감소시켜 처리 속도를 향상시킬 수 있으며, 미세한 곡면을 정확하게 표현할 수 있는 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법을 제공하는 데 있다.
본 발명이 이루고자 하는 다른 기술적 과제는, 연산량을 감소시켜 처리 속도를 향상시킬 수 있으며, 미세한 곡면을 정확하게 표현할 수 있는 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현방법을 컴퓨터에서 실행시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체를 제공하는 데 있다.
상기의 기술적 과제를 달성하기 위한, 본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치는, 음함수 형태의 곡면을 포함하는 3차원 좌표공간을 구면 좌표계로 변환하여 표현하는 좌표 변환부; 구면 좌표계로 표현된 상기 3차원 좌표공간을 사전에 설정된 최대레벨에 따라 반복적으로 분할하여 복수의 셀을 생성하되, 상위레벨의 셀들 중에서 상기 곡면이 포함된 셀을 선택적으로 분할하여 하위레벨의 셀을 생성하는 공간 분할부; 상기 3차원 좌표공간의 분할에 의해 생성된 셀들 중에서 상기 곡면을 포함하는 셀들 각각에 대해 상기 곡면과 셀 모서리의 교차점 및 상기 교차점에서의 법선벡터를 기초로 상기 셀 내부에서 상기 곡면을 형상화하기 위한 정점의 위치를 결정하는 정점 결정부; 및 상기 구면 좌표계에 의해 상기 3차원 좌표공간에서 정의된 상기 정점들의 위치정보를 직교 좌표계로 변환하여 상기 곡면을 형상화하는 곡면 형상화부;를 구비한다.
상기의 기술적 과제를 달성하기 위한, 본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현방법은, 음함수 형태의 곡면을 포함하는 3차원 좌표공간을 구면 좌표계로 변환하여 표현하는 좌표 변환단계; 구면 좌표계로 표현된 상기 3차원 좌표공간을 사전에 설정된 최대레벨에 따라 반복적으로 분할하여 복수의 셀을 생성하되, 상위레벨의 셀들 중에서 상기 곡면이 포함된 셀을 선택적으로 분할하여 하위레벨의 셀을 생성하는 공간 분할단계; 상기 3차원 좌표공간의 분할에 의해 생성된 셀들 중에서 상기 곡면을 포함하는 셀들 각각에 대해 상기 곡면과 셀 모서리의 교차점 및 상기 교차점에서의 법선벡터를 기초로 상기 셀 내부에서 상기 곡면을 형상화하기 위한 정점의 위치를 결정하는 정점 결정단계; 및 상기 구면 좌표계에 의해 상기 3차원 좌표공간에서 정의된 상기 정점들의 위치정보를 직교 좌표계로 변환하여 상기 곡면을 형상화하는 곡면 형상화단계;를 갖는다.
본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법에 의하면, 음함수 곡면을 포함하는 3차원 공간을 분할할 때 직교 좌표계의 축에 따르지 않고 구면 좌표계의 축에 따라 분할함으로써 3차원 형상의 입체감을 잘 표현할 수 있다. 또한 각각의 셀 내부에서 결정되는 정점의 개수가 직교 좌표계를 사용하는 경우에 비해 감소하여 처리속도를 향상시킬 수 있다.
도 1은 본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치에 대한 바람직한 실시예의 구성을 도시한 블록도,
도 2는 직교 좌표계 상의 구면을 구면 좌표계로 표현한 일 예를 도시한 도면,
도 3은 분할 대상 영역을 나타내는 두 개의 구면의 예를 도시한 도면,
도 4는 구면 팔진트리의 노드 및 직교 팔진트리의 노드를 비교하여 도시한 도면,
도 5는 셀의 분할에 따라 노드 사이의 연결정보가 갱신되는 예를 도시한 도면,
도 6은 듀얼 컨투어링 방식에 의해 생성된 곡면의 예를 도시한 도면,
도 7은 인접한 셀들 간의 레벨 차이로 인해 곡면의 형상화시 나타나는 불연속 지점의 예를 나타낸 도면,
도 8은 인접 셀의 분할 전후에 직교 좌표계 및 구면 좌표계에서 각각 얻어지는 형상화된 곡면을 나타낸 도면,
도 9a 및 도 9b는 곡면의 연결이 단절된 부분에 생성되는 가상 노드 및 가상 노드에 의해 연결된 곡면의 예를 도시한 도면,
도 10은 직교 좌표계와 구면 좌표계에 의해 형상화된 곡면을 레벨에 따라 나타낸 도면,
도 11은 본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현방법에 대한 바람직한 실시예의 수행과정을 도시한 흐름도,
도 12a 및 도 12b는 다양한 곡면 모델을 직교 좌표계 및 구면 좌표계에 의해 형상화할 때 생성되는 정점의 개수를 비교하여 나타낸 도면, 그리고,
도 13a 내지 도 13d는 다양한 곡면 모델을 직교 좌표계 및 구면 좌표계를 사용하는 듀얼 컨투어링 기법에 의해 형상화한 결과를 나타낸 도면이다.
이하에서 첨부된 도면들을 참조하여 본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치 및 방법의 바람직한 실시예에 대해 상세하게 설명한다.
도 1은 본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현장치에 대한 바람직한 실시예의 구성을 도시한 블록도이다.
도 1을 참조하면, 본 발명에 따른 3차원 형상 표현장치는 좌표 변환부(110), 공간 분할부(120), 정점 결정부(130) 및 곡면 형상화부(140)를 구비한다.
좌표 변환부(110)는 음함수 형태의 곡면을 포함하는 3차원 좌표공간을 구면 좌표계로 변환하여 표현한다.
앞에서 설명한 바와 같이 음함수로 표현된 3차원 곡면을 형상화하기 위해 직교 좌표계에서 듀얼 컨투어링을 적용하는 경우에는 분할에 의해 얻어지는 셀의 모서리가 직교 좌표계의 좌표축인 x축, y축 및 z축에 평행하므로 미세한 곡면을 표현하는 데 한계가 있다. 따라서 본 발명에 따른 3차원 형상 표현장치는 음함수 곡면을 구면 좌표계로 표현하여 듀얼 컨투어링을 적용하는 방법을 사용한다.
구면 좌표계는 3차원 공간상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로서 (r,θ,φ)와 같이 나타낸다. 도 2는 직교 좌표계 상의 구면을 구면 좌표계로 표현한 일 예를 도시한 도면이다. 도 2를 참조하면, 점 p를 구면 좌표계에 의해 표현할 때 원점으로부터의 거리인 r의 값의 범위는 0에서 ∞, 양의 방향의 z축과 이루는 각도인 θ의 값의 범위는 0에서 π, 그리고 z축을 축으로 하여 양의 방향의 x축과 이루는 각도인 φ의 값의 범위는 0에서 2π로 정의된다.
직교 좌표계를 구면 좌표계로 변환하는 관계식은 다음의 수학식 1과 같다.
Figure 112010012774321-pat00001
공간 분할부(120)는 구면 좌표계로 표현된 3차원 좌표공간을 사전에 설정된 최대레벨에 따라 반복적으로 분할하여 복수의 셀을 생성하되, 상위레벨의 셀들 중에서 곡면이 포함된 셀을 선택적으로 분할하여 하위 레벨의 셀을 생성한다.
여기서 최대레벨은 사용자에 의해 설정될 수 있으며, 최대레벨의 값이 클수록 최하위레벨의 셀이 작은 크기를 가진다. 공간 분할부(120)가 3차원 좌표공간을 반복적으로 분할할 때마다 상위레벨의 셀로부터 복수 개의 하위레벨의 셀이 생성되며, 하위레벨의 셀이 나타내는 레벨의 값이 더 커지게 된다.
본 발명에 따른 3차원 형상 표현장치는 음함수 곡면을 형상화하기 위한 방법으로 구면 팔진트리를 사용한다. 일반적으로 컴퓨터 그래픽스에서는 내부가 아닌 표면모델만 다루기 때문에 구면 팔진트리를 적용함으로써 곡면을 포함하는 영역만을 대상으로 할 수 있다.
공간 분할부(120)에 의한 분할의 대상이 되는 영역을 결정하기 위해 곡면을 사이에 둔 두 개의 구면을 사용할 수 있다. 도 3에는 분할 대상 영역을 나타내는 두 개의 구면의 예가 도시되어 있으며, 도 3에서 안쪽의 구면은 구면 좌표계의 중심으로부터 곡면까지의 최단거리를 반지름으로 하고, 바깥쪽의 구면은 구면 좌표계의 중심으로부터 곡면까지의 최장거리를 반지름으로 한다.
이때 구면 좌표계의 중심, 즉 원점을 어떻게 정의하느냐에 따라 구면 팔진트리 기법에 의한 분할 결과가 달라진다. 이를 위해 공간 상의 점들을 모두 포함하는 최소의 구를 근사적으로 구하는 방법인 Smallest Enclosing Discs 방법을 사용하여 구면 좌표계의 원점을 정의하는 것이 바람직하다.
공간 분할부(120)는 이와 같이 정의된 영역을 반복적으로 분할하여 다양한 레벨에 해당하는 복수의 셀을 생성하고, 각각의 셀에 대한 정보를 포함하는 노드가 계층적 구조를 형성하는 트리구조를 생성할 수 있다. 즉, 트리구조의 각각의 노드는 공간 분할부(120)에 의해 생성된 하나의 셀에 대응하며, 곡면의 정보는 트리구조의 리프노드에 저장된다. 도 4는 구면 팔진트리의 노드 및 직교 팔진트리의 노드를 비교하여 도시한 도면으로, 좌측의 구면 팔진트리 노드는 r,θ,φ의 각 좌표축에 평행하는 형태를 가지는 반면 우측의 직교 팔진트리 노드는 x,y,z의 각 좌표축에 평행하는 형태를 가지는 것을 알 수 있다.
위와 같이 3차원 좌표공간을 분할하여 트리구조를 생성할 때, 구면 좌표계에 듀얼 컨투어링 방식을 적용하기 위해서는 팔진트리의 각 노드에 인접노드에 관한 정보가 포함되어 있어야 한다. 즉, 각각의 노드에 해당 노드에 대응하는 셀에 인접한 셀에 대응하는 노드정보가 포함되도록 할 수 있다. 이러한 노드 사이의 연결정보는 공간 분할부(120)에 의한 분할이 이루어질 때마다 지속적으로 갱신된다. 도 5는 셀의 분할에 따라 노드 사이의 연결정보가 갱신되는 예를 도시한 도면이다. 도 5를 참조하면, 네 개의 상위레벨의 셀 중에서 좌측 상단위 셀이 네 개의 하위레벨의 셀로 분할됨에 따라 팔진트리의 노드 사이의 연결정보는 우측과 같이 갱신됨을 확인할 수 있다. 도 5는 셀들을 2차원으로 표현한 것이며, 이러한 연결정보의 갱신은 팔진트리 기법에 의해 분할되는 3차원 셀에도 동일하게 적용될 수 있다.
정점 결정부(130)는 3차원 좌표공간의 분할에 의해 생성된 셀들 중에서 곡면을 포함하는 셀들 각각에 대해 곡면과 셀 모서리의 교차점 및 교차점에서의 법선벡터를 기초로 셀 내부에서 곡면을 형상화하기 위한 정점의 위치를 결정한다.
정점 결정부(130)는 공간 분할부(120)에 의해 생성된 셀들 중에서 곡면을 포함하는 셀들, 즉 트리구조에서 리프노드에 해당하는 셀들에 대하여 곡면의 형상화를 위한 정점을 결정한다. 이때 앞에서 설명한 듀얼 컨투어링 방식을 사용할 수 있다.
듀얼 컨투어링 방식은 격자 공간인 셀 내에서 정점의 위치를 결정하기 위해 2차 에러 함수(quadratic error function)를 사용한다. 2차 에러 함수는 다음의 수학식 2와 같이 정의된다.
Figure 112010012774321-pat00002
여기서, pi는 셀의 모서리 선과 음함수 표면, 즉 곡면의 교차점의 위치이며, ni는 그 교차점에서의 법선벡터이다. 따라서
Figure 112010012774321-pat00003
을 만족하는 점 x의 궤적은 pi를 지나며 법선벡터 ni를 가지는 평면이고, 위 수학식 2를 최소화하는 지점 x는 각 평면의 교차점임을 알 수 있다.
도 6은 듀얼 컨투어링 방식에 의해 생성된 곡면의 예를 도시한 도면으로, 마칭큐브 알고리즘과는 달리 정점이 셀의 내부에서 결정되는 것을 확인할 수 있다. 따라서 듀얼 컨투어링 방식에 의하면 셀의 모서리 부분에서 정점을 결정하는 마칭큐브 알고리즘에 비해 곡면의 날카로운 부분을 더 잘 표현할 수 있다.
한편, 정점 결정부(130)는 정점의 좌표를 계산하기 위해 수학식 2와 같은 2차 에러 함수를 사용하는 대신 다음의 수학식 3과 같이 하나의 셀 내에서의 교차점의 무게 값을 정점의 좌표로 결정할 수 있다.
Figure 112010012774321-pat00004
여기서, pi는 셀과 등가면이 만나는 점이고, n은 pi의 개수를 의미한다.
마지막으로 곡면 형상화부(140)는 구면 좌표계에 의해 3차원 좌표공간에서 정의된 정점들의 위치정보를 직교 좌표계로 변환하여 곡면을 형상화한다.
각각의 셀에 대해 결정된 정점들을 이용하여 곡면을 3차원 형상으로 형상화하기 위해 앞에서 설명한 인접 노드의 연결정보가 사용된다. 그런데 인접 노드의 레벨이 서로 다르면 곡면의 형상화 과정에서 연결이 자연스럽지 못한 부분들이 발생할 수 있다. 공간 분할부(120)는 이를 방지하기 위해 3차원 좌표공간에 대한 반복적인 분할이 완료되면 곡면을 포함하는 셀들 및 각각의 셀에 인접한 셀의 레벨을 비교하여 서로 레벨이 다른 경우에는 인접한 셀을 분할하여 레벨이 동일하게 되도록 한다.
도 7은 인접한 셀들 간의 레벨 차이로 인해 곡면의 형상화시 나타나는 불연속 지점의 예를 나타낸 도면으로, 매끈하게 표현되어야 할 곡면에서 튀어나온 부분이 발생하는 것을 확인할 수 있다. 이를 해결하기 위해 위에서 설명한 인접 셀의 분할 과정을 수행하면 자연스러운 곡면을 얻을 수 있다.
도 8은 인접 셀의 분할 전후에 직교 좌표계 및 구면 좌표계에서 각각 얻어지는 형상화된 곡면을 나타낸 도면이다. 도 8의 (a) 및 (b)는 각각 직교 좌표계에서 인접 셀의 분할 전후에 얻어지는 형상화된 곡면을 나타낸 것으로, 인접 셀의 분할에 의해 곡면의 품질이 현저하게 향상된 것을 확인할 수 있다. 또한 도 8의 (c) 및 (d)는 각각 구면 좌표계에서 인접 셀의 분할 전후에 얻어지는 형상화된 곡면을 나타낸 것으로, 도 8의 (c)에서 곳곳에 나타나는 부자연스러운 부분들이 도 8의 (d)에서는 보이지 않는 것을 확인할 수 있다.
구면 좌표계를 이용하여 곡면의 형상화를 위한 정점의 위치를 결정한 후에 이를 시각화하기 위해서는 그래픽 하드웨어 및 소프트웨어가 사용된다. 그런데 이러한 그래픽 도구들은 직교 좌표계를 시스템 좌표계로서 사용하기 때문에 최종적으로 정점들의 위치정보를 다시 직교 좌표계로 변환할 필요성이 있다. 구면 좌표계로부터 직교 좌표계로의 변환은 수학식 1을 역으로 적용함으로써 수행되며, 다음의 수학식 4와 같다.
Figure 112010012774321-pat00005
구면 좌표계를 직교 좌표계로 변환할 때, 무한 소수인 원주율 π가 시스템 상에서는 64비트 double형으로 표현되면서 유한한 값을 가지게 되므로 구면 좌표계에 의해 표현되었던 팔진트리 구조에 불연속 지점이 발생하게 된다. 이는 도 8의 (c) 및 (d)로부터 확인할 수 있다. 또한 구면 좌표계를 직교 좌표계로 변환할 때 불연속 영역은 z축을 중심으로 발생한다.
따라서 곡면 형상화부(140)는 도 8의 (c) 및 (d)와 같이 셀 사이의 연결이 끊어진 부분에 가상 노드(ghost node)를 생성하여 곡면의 벌어진 부분을 연결할 수 있다. 가상 노드의 생성은 다음의 수학식 5에 의해 수행된다.
Figure 112010012774321-pat00006
여기서, Uambiguity는 곡면의 벌어진 부분을 사이에 둔 양쪽 지점, Vpolar는 불연속 영역을 지나는 좌표축, 즉 z축을 말하는 것으로, 곡면 형상화부(140)는 위 수학식 5를 만족하는 위치에 가상 노드를 생성하고, 각각의 가상 노드를 공유하는 한 쌍의 셀을 연결하여 연속된 곡면을 형상화한다.
도 9a 및 도 9b는 곡면의 연결이 단절된 부분에 생성되는 가상 노드 및 가상 노드에 의해 연결된 곡면의 예를 도시한 도면이다. 도 9a를 참조하면, 파란색 점으로 표시된 부분에 가상 노드가 생성된다. 이는 곡면이 벌어진 부분의 가장자리에 위치하는 셀로부터 곡면이 벌어진 부분을 통과하는 좌표축, 즉 z축을 향하는 최단 길이의 벡터가 투사된 지점에 해당한다. 각각의 가상 노드에 대해 가상 노드의 양쪽에 위치하는 셀들을 서로 연결함으로써 도 9b와 같이 연속적인 곡면을 얻을 수 있다.
도 10은 직교 좌표계와 구면 좌표계에 의해 형상화된 곡면을 레벨에 따라 나타낸 도면이다. 도 10의 (a)와 (b)는 동일한 음함수 곡면을 직교 좌표계 및 구면 좌표계에 의해 각각 형상화한 것으로, 직교 좌표계에 의할 경우 3차원 형상이 2차원적으로 표현되는 것에 비해 구면 좌표계를 사용하는 경우에는 3차원 형상의 입체감이 우수하게 표현됨을 알 수 있다. 또한 레벨이 증가할수록, 즉 곡면을 포함하는 셀의 크기가 작아질수록 3차원 형상의 미세한 부분까지 잘 표현된다.
도 10의 (c) 및 (d)는 각각 (a)와 (b)에 나타난 결과를 다른 방향에서 바라본 것으로, 시선의 방향이 달라짐에 따라 직교 좌표계에 의해 형상화된 곡면도 어느 정도의 입체감은 가지게 되었지만, 구면 좌표계에 의해 형상화된 곡면의 경우에 특징적인 부분까지도 잘 나타낼 수 있는 것을 확인할 수 있다.
도 11은 본 발명에 따른 구면 좌표계를 사용하는 3차원 형상 표현방법에 대한 바람직한 실시예의 수행과정을 도시한 흐름도이다.
도 11을 참조하면, 좌표 변환부(110)는 음함수 형태의 곡면을 포함하는 3차원 좌표공간을 구면 좌표계로 변환하여 표현한다(S1110). 다음으로 공간 분할부(120)는 구면 좌표계로 표현된 3차원 좌표공간을 사전에 설정된 최대레벨에 따라 반복적으로 분할하여 복수의 셀을 생성하되, 상위레벨의 셀들 중에서 곡면이 포함된 셀을 선택적으로 분할하여 하위레벨의 셀을 생성한다(S1120).
위치 결정부(130)는 3차원 좌표공간의 분할에 의해 생성된 셀들 중에서 곡면을 포함하는 셀들 각각에 대해 곡면과 셀 모서리의 교차점 및 교차점에서의 법선벡터를 기초로 셀 내부에서 곡면을 형상화하기 위한 정점의 위치를 결정한다(S1130). 곡면 형상화부(140)는 구면 좌표계에 의해 3차원 좌표공간에서 정의된 정점들의 위치정보를 직교 좌표계로 변환하여 곡면을 형상화한다(S1140).
도 12a 및 도 12b는 다양한 곡면 모델을 직교 좌표계 및 구면 좌표계에 의해 형상화할 때 생성되는 정점의 개수를 비교하여 나타낸 도면이다. 도 12a 및 도 12b를 참조하면, 구면 좌표계에 의해 곡면을 형상화할 경우에 직교 좌표계에 비해서 최대 50% 정도까지 적은 개수의 정점만을 사용하므로 기존의 직교 좌표계를 사용하는 듀얼 컨투어링 기법에 비해 처리속도를 향상시킬 수 있다.
도 13a 내지 도 13d는 다양한 곡면 모델을 직교 좌표계 및 구면 좌표계를 사용하는 듀얼 컨투어링 기법에 의해 형상화한 결과를 나타낸 도면으로, 최대레벨의 값이 크게 설정되어 셀의 크기가 매우 작아지므로 직교 좌표계를 사용한 경우와 구면 좌표계를 사용한 경우 모두 원본모델과 거의 동일하게 3차원 형상을 표현할 수 있다. 그러나 도 12a 및 도 12b를 통해 검토한 것과 같이 구면 좌표계를 사용하는 경우에는 곡면 형상화를 위한 정점의 개수가 적어지므로 계산량이 감소하여 성능을 향상시킬 수 있다.
본 발명은 또한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체에 컴퓨터가 읽을 수 있는 코드로서 구현하는 것이 가능하다. 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록매체는 컴퓨터 시스템에 의하여 읽혀질 수 있는 데이터가 저장되는 모든 종류의 기록장치를 포함한다. 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록매체의 예로는 ROM, RAM, CD-ROM, 자기 테이프, 플로피디스크, 광데이터 저장장치 등이 있으며, 또한 캐리어 웨이브(예를 들어 인터넷을 통한 전송)의 형태로 구현되는 것도 포함한다. 또한 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록매체는 네트워크로 연결된 컴퓨터 시스템에 분산되어 분산방식으로 컴퓨터가 읽을 수 있는 코드가 저장되고 실행될 수 있다.
이상에서 본 발명의 바람직한 실시예에 대해 도시하고 설명하였으나, 본 발명은 상술한 특정의 바람직한 실시예에 한정되지 아니하며, 청구범위에서 청구하는 본 발명의 요지를 벗어남이 없이 당해 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 누구든지 다양한 변형 실시가 가능한 것은 물론이고, 그와 같은 변경은 청구범위 기재의 범위 내에 있게 된다.
110 - 좌표 변환부
120 - 공간 분할부
130 - 정점 결정부
140 - 곡면 형상화부

Claims (15)

  1. 음함수 형태의 곡면을 포함하는 3차원 좌표공간을 구면 좌표계로 변환하여 표현하는 좌표 변환부;
    구면 좌표계로 표현된 상기 3차원 좌표공간을 사전에 설정된 최대레벨에 따라 반복적으로 분할하여 복수의 셀을 생성하되, 상위레벨의 셀들 중에서 상기 곡면이 포함된 셀을 선택적으로 분할하여 하위레벨의 셀을 생성하는 공간 분할부;
    상기 3차원 좌표공간의 분할에 의해 생성된 셀들 중에서 상기 곡면을 포함하는 셀들 각각에 대해 상기 곡면과 셀 모서리의 교차점 및 상기 교차점에서의 법선벡터를 기초로 상기 셀 내부에서 상기 곡면을 형상화하기 위한 정점의 위치를 결정하는 정점 결정부; 및
    상기 구면 좌표계에 의해 상기 3차원 좌표공간에서 정의된 상기 정점들의 위치정보를 직교 좌표계로 변환하여 상기 곡면을 형상화하는 곡면 형상화부;를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현장치.
  2. 제 1항에 있어서,
    상기 공간 분할부는 상기 반복적인 분할에 의해 생성되는 복수의 셀이 레벨에 따라 계층적 구조를 형성하는 트리구조를 생성하며, 상기 트리구조의 각 노드에는 각각의 셀에 인접한 셀에 대응하는 노드정보가 포함되는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현장치.
  3. 제 1항 또는 제 2항에 있어서,
    상기 공간 분할부는 상기 구면 좌표계에 의해 표현된 상기 3차원 좌표공간의 중심으로부터 상기 곡면까지의 최단거리를 반지름으로 하는 내부 구면과 상기 3차원 좌표공간의 중심으로부터 상기 곡면까지의 최장거리를 반지름으로 하는 외부 구면 사이의 공간을 분할하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현장치.
  4. 제 3항에 있어서,
    상기 3차원 좌표공간의 중심은 상기 곡면을 포함하는 최소 크기의 구의 중심에 의해 결정되는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현장치.
  5. 제 1항 또는 제 2항에 있어서,
    상기 공간 분할부는 상기 반복적인 분할이 완료된 후 상기 곡면을 포함하는 각각의 셀과 인접한 셀의 레벨이 동일하도록 상기 인접한 셀을 분할하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현장치.
  6. 제 1항 또는 제 2항에 있어서,
    상기 곡면 형상화부는 상기 공간 분할부에 의해 생성된 복수의 셀 중에서 상기 곡면을 포함하는 셀 각각에 대한 정보 중에서 편각 정보를 원주율의 근사값에 의해 조정하고, 상기 3차원 좌표공간에서 상기 곡면을 포함하는 셀 사이의 연결이 단절된 영역에 가상 노드를 생성하여 상기 가상 노드에 인접한 두 개의 셀을 서로 연결하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현장치.
  7. 제 6항에 있어서,
    상기 곡면 형상화부는 상기 연결이 단절된 영역을 중심으로 양쪽에 위치하는 두 개의 셀의 중심으로부터 상기 연결이 단절된 영역을 지나는 좌표축을 향하는 최소 크기의 벡터가 투사된 지점에 상기 가상 노드를 생성하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현장치.
  8. 음함수 형태의 곡면을 포함하는 3차원 좌표공간을 구면 좌표계로 변환하여 표현하는 좌표 변환단계;
    구면 좌표계로 표현된 상기 3차원 좌표공간을 사전에 설정된 최대레벨에 따라 반복적으로 분할하여 복수의 셀을 생성하되, 상위레벨의 셀들 중에서 상기 곡면이 포함된 셀을 선택적으로 분할하여 하위레벨의 셀을 생성하는 공간 분할단계;
    상기 3차원 좌표공간의 분할에 의해 생성된 셀들 중에서 상기 곡면을 포함하는 셀들 각각에 대해 상기 곡면과 셀 모서리의 교차점 및 상기 교차점에서의 법선벡터를 기초로 상기 셀 내부에서 상기 곡면을 형상화하기 위한 정점의 위치를 결정하는 정점 결정단계; 및
    상기 구면 좌표계에 의해 상기 3차원 좌표공간에서 정의된 상기 정점들의 위치정보를 직교 좌표계로 변환하여 상기 곡면을 형상화하는 곡면 형상화단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현방법.
  9. 제 8항에 있어서,
    상기 공간 분할단계에서, 상기 반복적인 분할에 의해 생성되는 복수의 셀이 레벨에 따라 계층적 구조를 형성하는 트리구조를 생성하며, 상기 트리구조의 각 노드에는 각각의 셀에 인접한 셀에 대응하는 노드정보가 포함되는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현방법.
  10. 제 8항 또는 제 9항에 있어서,
    상기 공간 분할단계에서, 상기 구면 좌표계에 의해 표현된 상기 3차원 좌표공간의 중심으로부터 상기 곡면까지의 최단거리를 반지름으로 하는 내부 구면과 상기 3차원 좌표공간의 중심으로부터 상기 곡면까지의 최장거리를 반지름으로 하는 외부 구면 사이의 공간을 분할하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현방법.
  11. 제 10항에 있어서,
    상기 3차원 좌표공간의 중심은 상기 곡면을 포함하는 최소 크기의 구의 중심에 의해 결정되는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현방법.
  12. 제 8항 또는 제 9항에 있어서,
    상기 공간 분할단계에서, 상기 반복적인 분할이 완료된 후 상기 곡면을 포함하는 각각의 셀과 인접한 셀의 레벨이 동일하도록 상기 인접한 셀을 분할하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현방법.
  13. 제 8항 또는 제 9항에 있어서,
    상기 곡면 형상화단계에서, 상기 공간 분할부에 의해 생성된 복수의 셀 중에서 상기 곡면을 포함하는 셀 각각에 대한 정보 중에서 편각 정보를 원주율의 근사값에 의해 조정하고, 상기 3차원 좌표공간에서 상기 곡면을 포함하는 셀 사이의 연결이 단절된 영역에 가상 노드를 생성하여 상기 가상 노드에 인접한 두 개의 셀을 서로 연결하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현방법.
  14. 제 13항에 있어서,
    상기 곡면 형상화단계에서, 상기 연결이 단절된 영역을 중심으로 양쪽에 위치하는 두 개의 셀의 중심으로부터 상기 연결이 단절된 영역을 지나는 좌표축을 향하는 최소 크기의 벡터가 투사된 지점에 상기 가상 노드를 생성하는 것을 특징으로 하는 3차원 형상 표현방법.
  15. 제 8항 또는 제 9항에 기재된 3차원 형상 표현방법을 컴퓨터에서 실행시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체.
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