JP2018077199A - 推定装置 - Google Patents

Abstract

【課題】実際のヒステリシス現象に起因する制約を考慮して、より正確な推定を可能にする推定装置を提供する。【解決手段】本発明の一実施形態に係るバッテリ１の等価回路モデル４１を用いてバッテリ１の充電率ＳＯＣを推定する推定装置１０では、変数ｘｈ（ｔ）の関数で表されるヒステリシス電圧ｖｈ（ｔ）は、バッテリ１の充放電によるヒステリシスの最大値ｍと、変数ｘｈ（ｔ）とを用いて、｜ｘｈ｜≦ｍにより定義される制約の範囲内において、ｄｖｈ（ｔ）／ｄｘｈ≒１という傾きを有し、｜ｘｈ｜＞ｍにより定義される制約の範囲外において、ｄｖｈ（ｔ）／ｄｘｈ＞１という傾きを有する。【選択図】図１

Description

本発明は、バッテリの等価回路モデルを用いてバッテリの充電率を推定する推定装置に関する。

従来、バッテリの内部状態及びパラメータを推定するための装置が知られている。例えば、特許文献１に記載のバッテリのパラメータ推定装置は、バッテリの等価回路モデルについて、非特許文献１に記載のPlettのヒステリシスモデルを用いて、ヒステリシス電圧を推定する。同推定装置は、推定したヒステリシス電圧に基づいて、バッテリの開放電圧（ＯＣＶ）及び充電率（ＳＯＣ）の推定を行っている。

特開２０１６−０９０３２２号

G. L. Plett: "Extended Kalman filtering for battery management systems of LiPB-based HEV battery packs Part 2. Modeling and identification", Journal of Power Sources 134 (2004) 262-276

しかしながら、上記のヒステリシスモデルを用いてヒステリシス電圧を推定しようとする場合、その推定値は、原理的に−∞から＋∞の範囲の任意の値を得る可能性があった。一方で、実際のヒステリシス現象では、制約された所定の範囲内において、任意の値を得るのが通常である。すなわち、従来の推定装置は、このような実際のヒステリシス現象に起因する制約を考慮していなかった。

かかる観点に鑑みてなされた本発明の目的は、実際のヒステリシス現象に起因する制約を考慮して、より正確な推定を可能にする推定装置を提供することにある。

上記課題を解決するために、本発明の一実施形態に係るバッテリの等価回路モデルを用いて前記バッテリの充電率を推定する推定装置では、
変数ｘ_ｈ（ｔ）の関数で表されるヒステリシス電圧ｖ_ｈ（ｔ）は、前記バッテリの充放電によるヒステリシスの最大値ｍと、変数ｘ_ｈ（ｔ）とを用いて、

により定義される制約の範囲内において、

という傾きを有し、

により定義される制約の範囲外において、

という傾きを有する。

本発明によれば、実際のヒステリシス現象に起因する制約を考慮して、より正確な推定を可能にする推定装置を提供できる。

バッテリに接続された本実施形態に係る推定装置の機能ブロックを示す図である。 リン酸鉄リチウムイオン電池のＳＯＣ−ＯＣＶ特性の測定結果である。 バッテリの等価回路モデルを示す回路図である。 式（２７）に従った、ヒステリシス電圧と変数ｘ_ｈとの関係を示す図である。 制約を考慮しない、従来のPlettによるヒステリシスモデルに対してＵＫＦによる推定を行った場合のヒステリシス電圧の推定結果を示す図である。 本実施形態に係る推定装置において、制約を考慮した場合のＵＫＦによるヒステリシス電圧の推定結果を示す図である。 等価回路モデルとカルマンフィルタとの関係を示した模式図である。 カルマンフィルタに入力される電流値と電圧観測値とを示した図である。 本実施形態に係る推定装置において、２倍のヒステリシス電圧を観測値としてＵＫＦに入力した場合のヒステリシス電圧の推定結果を示す図である。 式（４６）に従った、ヒステリシス電圧と変数ｘ_ｈとの関係を示す図である。

以下、添付図面を参照しながら本発明の一実施形態について説明する。図１は、バッテリ１に接続された本実施形態に係る推定装置１０の機能ブロックを示す図である。

本実施形態のバッテリ１の推定装置１０は、電気自動車又はハイブリッド電気自動車などの車両に用いられる。このような車両には、車両を駆動する電気モータ、バッテリ、及びこれらのコントローラなどが搭載される。そして、電気モータへの電力の供給（放電）、並びに制動時における電気モータからの制動エネルギの回生、及び地上充電設備からのバッテリへの電力回収（充電）が行われる。このような充放電電流のバッテリへの入出力により、バッテリ内部の状態は変化する。この内部状態を推定装置１０により推定しながらモニタしていくことで、バッテリ残量などの必要な情報が収集される。

図１に示すように、バッテリ１の推定装置１０は、電圧センサ（端子電圧検出部）２と、電流センサ（充放電電流検出部）３と、推定部４と、電荷量算出部５と、充電率算出部６と、健全度算出部７と、を備える。推定部４、電荷量算出部５、充電率算出部６、及び健全度算出部７は、例えば車載のマイクロコンピュータで構成される。

バッテリ１は、例えばリチャージャブルバッテリ（二次電池）である。バッテリ１は、本実施の形態においてリチウムイオンバッテリであるものとして説明するが、これに限定されない。バッテリ１は、他の種類のバッテリであってもよい。

端子電圧検出部２は、例えば電圧センサであって、バッテリ１の端子電圧値ｖを検出する。端子電圧検出部２は、検出した端子電圧値ｖを推定部４に出力する。

充放電電流検出部３は、例えば電流センサであって、バッテリ１の充放電電流値ｉを検出する。充放電電流検出部３は、検出した充放電電流値ｉを推定部４に出力する。

推定部４は、バッテリ１の等価回路モデル４１と、カルマンフィルタ４２と、を有する。推定部４は、カルマンフィルタ４２を用いて、等価回路モデル４１のパラメータ値と、バッテリ１の開放電圧ＯＣＶ(Open Circuit Voltage)と、バッテリ１の内部状態量と、を推定（算出）可能である。本実施形態において、推定部４は、端子電圧検出部２からの端子電圧ｖ及び充放電電流検出部３からの充放電電流ｉに基づいて、パラメータ値及び内部状態量を同時に推定する。推定部４は、推定したパラメータ値に基づいて開放電圧ＯＣＶを算出する。推定部４が行う推定及び算出の処理の詳細については後述する。また、推定部４は、算出した開放電圧ＯＣＶを、充電率算出部６及び健全度算出部７に出力する。

等価回路モデル４１は、抵抗とコンデンサとの並列回路を接続した、無限級数の和による近似で表されるフォスタ型ＲＣ梯子回路、又は、直列接続した抵抗間をコンデンサで接地した、連分数展開による近似で表されるカウエル型ＲＣ梯子回路等で構成される。なお、抵抗及びコンデンサは、等価回路モデル４１のパラメータとなる。

カルマンフィルタ４２は、対象となるシステムのモデル（本実施形態では等価回路モデル４１）と実システムとに同一の入力信号を入力した場合の両者の出力を比較する。カルマンフィルタ４２は、両者の出力に誤差があれば、この誤差にカルマンゲインを乗算して上記のモデルへとフィードバックする。これにより、カルマンフィルタ４２は、両者の誤差が最小になるようにモデルを修正する。カルマンフィルタ４２は、これらを繰り返すことで、モデルのパラメータを推定する。

電荷量算出部５は、充放電電流検出部３で検出したバッテリ１の充放電電流値ｉを取得する。電荷量算出部５は、この値を逐次積算していくことで、バッテリ１から出力された電荷量、及びバッテリ１へと入力された電荷量を求める。電荷量算出部５は、入出力された電荷量を、逐次積算演算前に記憶した残存電荷量から減算することで、現在のバッテリ１が有する電荷量Ｑを算出する。この電荷量Ｑは、健全度算出部７へ出力される。

充電率算出部６は、開放電圧ＯＣＶと充電率ＳＯＣ(State of Charge)との関係が温度及びバッテリ１の劣化に影響されにくいことから、これらの関係を予め実験等で求めて得た相関データを記憶する。充電率算出部６は、例えば、ＳＯＣ−ＯＣＶ特性を表として記憶してもよい。充電率算出部６は、対応する表に基づき、推定部４で推定した開放電圧ＯＣＶから、該当する時点での充電率ＳＯＣを推定する。推定された充電率ＳＯＣは、バッテリ１のバッテリマネージメントに利用される。

健全度算出部７は、所定幅で区分けした健全度ＳＯＨ(State of Health)毎に電荷量Ｑと開放電圧ＯＣＶとの相関を表す特性表を有する。当該特性表の詳細については、例えば、本出願人の出願による特開２０１２−５７９５６号公報に開示されている。健全度算出部７には、推定部４で推定した開放電圧ＯＣＶと電荷量算出部５で算出した電荷量Ｑとが入力される。健全度算出部７は、入力されたこれらの値が上記特性表のいずれの健全度ＳＯＨの範囲に入るのかを算出する。健全度算出部７は、当てはまる健全度ＳＯＨを出力する。

次に、推定部４の処理について説明する。

本実施形態において、推定部４は、等価回路モデル４１において、カルマンフィルタ４２を用いてバッテリ１の内部状態量とパラメータ値とを同時に推定する。バッテリ１の内部状態量は、バッテリ１の充電率ＳＯＣを含み、パラメータ値は、後述する拡散容量Ｃ_ｄ又は拡散抵抗Ｒ_ｄの少なくとも１つを含むのが好適である。本実施形態において、カルマンフィルタ４２は、例えば無香料カルマンフィルタ（ＵＫＦ: Unscented Kalman Filter）であるが、これに限定されない。ＵＫＦは、シグマポイントという重み付きサンプル点を使って確率分布を近似し、それぞれの重み付き遷移を計算する。具体的には、ＵＫＦは、シグマポイントごとに遷移後の平均値と分散とを計算し、それらを重みに従って加算する。これにより、ＵＫＦは、遷移後の確率分布について、より真値に近く、かつ、計算量も増大し過ぎないような近似を行うことができる。また、ＵＫＦは、システムを近似するのではなく、確率分布をシグマポイントで近似しているので、システムの非線形性について制約がない。

実際のバッテリでは、充電後と放電後とで異なるＳＯＣ−ＯＣＶ特性を示すヒステリシス現象が発生することがある。この場合、バッテリのＳＯＣ−ＯＣＶ特性を正確に表すことができない。ヒステリシス現象は電極の材料により発生し、特にリン酸リチウムを用いた場合にはヒステリシス現象の影響が大きく表れる。

図２は、リン酸鉄リチウムイオン電池のＳＯＣ−ＯＣＶ特性の測定結果である。図２（ａ）に着目すると、充電時の特性と放電時の特性との間でＯＣＶの差が生じていることが分かる。また、図２（ａ）の破線囲み部を拡大した図２（ｂ）において、ＳＯＣが６８％の時点で放電するようにしてもヒステリシス特性を示すことが分かる。より具体的には、ＳＯＣが６８％から３８％に低下するまで放電が行われた後に、ＳＯＣが３８％から６８％に上昇するまで充電が行われた場合の小ループにおいても、充電時の特性と放電時の特性との間でＯＣＶの差が生じている。このような小ループは、図２（ａ）に示す全体ループの内側に形成される。すなわち、ヒステリシスによって生じる充電時の特性と放電時の特性との間のＯＣＶ差の最大値を２×ｍとすると、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、以下の式（１）のような制約を受ける。

このようなヒステリシス現象を表すモデルの１つとして、Plettのヒステリシスモデルが知られている。本実施形態の推定装置１０は、図３に示す等価回路のように、並列接続された可変抵抗Ｒ_ｈ及び可変コンデンサＣ_ｈによって構成されるPlettのヒステリシスモデルを組み込んだ等価回路モデル４１を採用する。

図３は、バッテリ１の等価回路モデル４１を示す回路図である。図３（ａ）は、バッテリ１の等価回路モデル４１の全体を示す回路図である。図３（ｂ）は、等価回路モデル４１を構成するワールブルグインピーダンスＺ_ｗの等価回路モデルを示す回路図である。

図３を用いて、バッテリ１の等価回路モデル４１について説明する。図３に示すように、バッテリ１の等価回路モデル４１として、開放電圧ＯＣＶを有し、並列接続された可変抵抗Ｒ_ｈ及び可変コンデンサＣ_ｈと、内部抵抗Ｒ_０と、ワールブルグインピーダンスＺ_ｗと、が直列に接続される開回路を想定する。

図３に示すモデルにおいて、入力を電流ｕ＝ｉ、出力を端子電圧ｙ＝ｖとして、状態変数を、

とすると、連続時間系の状態空間表現は、

となる。ただし、

である。また、

である。この状態空間表現で、ＦＣＣはバッテリ１の満充電容量、Ｒ_０はバッテリ１の直達抵抗である。また，Ｃ_ｄ及びＲ_ｄはバッテリ１の拡散現象を表すパラメータであり、それぞれ拡散容量及び拡散抵抗である。Ｃ_ｈ及びＲ_ｈはバッテリ１のヒステリシス現象を表すパラメータであり、それぞれヒステリシス容量及びヒステリシス抵抗である。パラメータγはヒステリシスの速さを表すパラメータである。さらに、ｆ_ＯＣＶ（ＳＯＣ（ｔ））は、充電側及び放電側のＳＯＣ-ＯＣＶ特性の平均を表す非線形な関数（図１のＯＣＶ_ｍとＳＯＣとの関係に相当）である。

ここで、推定部４は、バッテリ１の等価回路モデル４１において推定したいパラメータを状態変数として加えた拡大系を構成し、バッテリ１の内部状態量とパラメータ値とを同時に推定する。推定するパラメータとして、直達抵抗Ｒ_０、拡散抵抗Ｒ_ｄ、及び拡散容量Ｃ_ｄを選択し、パラメータベクトルを

と選ぶと、拡大系状態ベクトルは、

となる。このとき、拡大系は、

となる。ただし、

である。ここで、パラメータベクトルを、式（１２）のように定義したが、ヒステリシスの最大値ｍは、上述のとおり、充放電のＳＯＣ-ＯＣＶ特性の幅（の２分の１）に相当する量であるので、予め計測しておくことができる。そのため、この値については既知として、推定するパラメータから除外してもよい。すなわち、

であってもよい。これにより、推定するパラメータが少なくなるので、他のパラメータの推定精度が向上する。以下では、説明の簡略化のために、式（１８）のパラメータベクトルを用いる。

上記の拡大系をそのまま利用すると、推定するパラメータのオーダの差が大きく、計算機による数値計算の精度が劣化する。そこで、各パラメータを対数化し、指数部分を推定することで数値計算の精度が向上する。パラメータベクトルを対数化すると、

となる。これにより、拡大系状態ベクトルは、

となる。このとき、拡大系は、

となる。ただし、

である。

ここで、本実施形態に係る推定装置１０は、上述した式（１）により表わされるヒステリシスによる制約を考慮するために、以下の処理を行う。すなわち、推定部４は、ヒステリシス電圧ｖ_ｈを以下のように置換して、ヒステリシス電圧ｖ_ｈに代えて変数ｘ_ｈ（ｔ）を推定する。

より具体的には、式（１）により定義される制約の範囲内において、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、変数ｘ_ｈの変化に対して傾きが略１となるような関数によって置換される。一方で、制約の範囲外では、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、変数ｘ_ｈの変化に対して傾きが１よりも大きいような関数によって置換される。

上記の両方の条件を満たす微分可能な１つの関数は、以下のとおりである。

図４は、式（２７）に従った、ヒステリシス電圧ｖ_ｈと変数ｘ_ｈとの関係を示す図である。図４に示すとおり、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、式（１）により定義される制約の範囲内においては、傾き略１で変化する。一方で、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、制約の範囲外では、変数ｘ_ｈの絶対値が大きくなるにつれて、その傾きを増大させる。以下では、式（２７）におけるｘ_ｈ（ｔ）／ｍを改めてｘ_ｈ（ｔ）と置き直す。すなわち、以下では、変数ｘ_ｈ（ｔ）の軸をｍ分の１倍にして、各式の導出を行う。

ここで、式（２３）よりヒステリシス電圧ｖ_ｈについての方程式を抽出すると、

となる。式（２８）のヒステリシス電圧ｖ_ｈを式（２７）で置き換えると、

が得られる。ただし、式（２９）の導出過程において、

と仮定した。すなわち、ヒステリシスの最大値ｍは、時間変化しないものと仮定する。

推定部４は、上記の結果を、対数化した拡大系に入れ込む。より具体的には、以下のとおりである。すなわち、初めに、状態ベクトル及びパラメータベクトルを

とすると、拡大系状態ベクトルは、

と表せる。このとき、拡大系は、

となる。ただし、

である。

上記のように対数化して、かつ、ヒステリシスの制約を考慮した拡大系は、連続系の状態空間表現である。従って、推定部４は、最後にルンゲクッタ法又はオイラー法などを用いて離散化を行う。本実施形態では、一例として、推定部４は、ルンゲクッタ法により離散化を行う。これにより、推定部４は、通常よく用いられるオイラー法と比べて、離散化誤差を低減できる。

サンプリング周期をＴ_Ｓ秒とすると、

となる。ただし、

である。また、

である。

続いて、上記の推定部４の処理によって得られる、制約を考慮したＵＫＦによる推定結果について説明する。

図５は、制約を考慮しない、従来のPlettによるヒステリシスモデルに対してＵＫＦによる推定を行った場合のヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定結果を示す図である。図６は、本実施形態に係る推定装置１０において、制約を考慮した場合のＵＫＦによるヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定結果を示す図である。図６（ａ）は、Plettのヒステリシスモデルによる出力値とＵＫＦによる推定値とを比較した図である。図６（ｂ）は、ヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定誤差を示した図である。

初めに比較のために、図５を用いて、制約を考慮しない、従来のPlettによるヒステリシスモデルを用いた場合のヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定結果について説明する。図５では、従来のPlettのヒステリシスモデルによる出力値を破線で示し、ＵＫＦによる推定値を実線で示す。図５に示すとおり、上記のように制約を考慮しない場合、従来のPlettのヒステリシスモデルによる出力値とＵＫＦによる推定値とは、一部の時間領域において大きく異なる。特に、図５の２つの破線囲み部では、出力値と推定値とは、一致しない。さらに、２つの破線囲み部において、ヒステリシス電圧ｖ_ｈのＵＫＦによる推定値は、制約（約−１０ｍＶ）を大きく超えることもある。

一方で、図６を用いて、制約を考慮した場合のＵＫＦによるヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定結果について説明する。図６（ａ）では、図５と同様にPlettのヒステリシスモデルによる出力値を破線で示し、ＵＫＦによる推定値を実線で示す。制約を考慮した、本実施形態に係る推定装置１０では、図６（ａ）に示すとおり、Plettのヒステリシスモデルによる出力値とＵＫＦによる推定値とは、よく一致している。実際、図６（ｂ）に示すとおり、ヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定誤差は、数ｍＶの範囲内に収まっている。さらに、ヒステリシス電圧ｖ_ｈのＵＫＦによる推定値は、全ての時間領域において制約内（約±１０ｍＶ）に収まっている。

続いて、２倍のヒステリシス電圧ｖ_ｈを観測値としてＵＫＦに入力する場合を考える。図７は、等価回路モデル４１とカルマンフィルタ４２との関係を示した模式図である。図８はカルマンフィルタ４２に入力される電流値と電圧観測値とを示した図である。図９は、本実施形態に係る推定装置１０において、２倍のヒステリシス電圧ｖ_ｈを観測値としてＵＫＦに入力した場合のヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定結果を示す図である。図９（ａ）は、Plettのヒステリシスモデルによる出力値とＵＫＦによる推定値とを比較した図である。図９（ｂ）は、ヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定誤差を示した図である。

図７に示すとおり、推定部４は、等価回路モデル４１、すなわちPlettのヒステリシスモデルからの電圧真値の出力を分岐して、分岐された出力において電圧真値を２倍（α＝２）する。推定部４は、倍になった電圧真値を電圧観測値としてカルマンフィルタ４２に入力する。

このとき、図８に示すとおり、ヒステリシス電圧ｖ_ｈについて、実線で示した観測値は、全ての時間領域において、破線で示した真値の倍となる。すなわち、観測値は、一部の時間領域において、制約の範囲（約±１０ｍＶ）を超える。

一方で、図９に着目すると、電圧観測値が制約の範囲を超える場合であっても、Plettのヒステリシスモデルによる出力値、すなわち真値と、カルマンフィルタ４２を構成するＵＫＦによる推定値とは、よく一致している。実際、図９（ｂ）に示すとおり、ヒステリシス電圧ｖ_ｈの推定誤差は、略０である。さらに、ヒステリシス電圧ｖ_ｈのＵＫＦによる推定値は、破線囲み部において一部制約の範囲を超えるものの、直ちに制約の範囲内に収まり、略全ての時間領域において制約内（約±１０ｍＶ）に収まる。

以上のような推定装置１０は、実際のヒステリシス現象に起因する制約を考慮して、より正確な推定を可能にする。すなわち、推定装置１０は、実際のヒステリシス現象の制約範囲内に収まるヒステリシス電圧ｖ_ｈを推定可能である。特に、推定装置１０は、式（２７）によりヒステリシス電圧ｖ_ｈを置き換えることで、図６及び図９に示すとおり、推定誤差を低減できる。また、推定装置１０は、図９に示すとおり、電圧観測値が制約の範囲を超える場合であっても、ヒステリシス電圧ｖ_ｈを制約の範囲内で精度良く推定可能である。これは、以下の理由によるものと考えられる。すなわち、式（２７）では、変数ｘ_ｈが＋ｍ以上、又は−ｍ以下になると、ヒステリシス電圧ｖ_ｈの絶対値が急激に増大する。一方で、実際の現象では、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、−ｍ以上＋ｍ以下の値をとる。従って、式（２７）で置換しない場合と比べて、推定値と測定値との乖離が増大する。乖離が増大すると、カルマンフィルタ４２がそれを低減するようにカルマンゲインを調整して直ちにフィードバックする。これにより、推定装置１０は、推定値を制約の範囲内から大きく逸脱しない範囲に留めることができる。

本発明は、その精神又はその本質的な特徴から離れることなく、上述した実施形態以外の他の所定の形態で実現できることは当業者にとって明白である。従って、先の記述は例示的なものであり、これに限定されるものではない。発明の範囲は、先の記述によってではなく、付加した請求項によって定義される。あらゆる変更のうちその均等の範囲内にあるいくつかの変更は、その中に包含されるものとする。

例えば、本実施形態に係る推定装置１０は、ヒステリシス電圧ｖ_ｈを式（２７）で置き換えたが、これに限定されない。例えば、推定装置１０は、以下の式でヒステリシス電圧ｖ_ｈを置き換えてもよい。

ただし、ｋは１よりも大きな値の係数である。

図１０は、式（４６）に従った、ヒステリシス電圧ｖ_ｈと変数ｘ_ｈとの関係を示す図である。図１０に示すとおり、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、式（１）により定義される制約の範囲内（−ｍ≦ｘ_ｈ≦ｍ）においては、傾き１で変化する。一方で、ヒステリシス電圧ｖ_ｈは、制約の範囲外では、傾きｋで変化する。これにより、推定装置１０は、ヒステリシス電圧ｖ_ｈを単純な線形関数に置き換えるので、推定処理における計算式を簡素化できる。

このように、推定装置１０は、式（２５）及び（２６）の条件を満たす関数であれば、任意の関数でヒステリシス電圧ｖ_ｈを置き換えてもよい。

１ バッテリ
２ 電圧センサ（端子電圧検出部）
３ 電流センサ（充放電電流検出部）
４ 推定部
４１ 等価回路モデル
４２ カルマンフィルタ
５ 電荷量算出部
６ 充電率算出部
７ 健全度算出部
１０ 推定装置

Claims (3)

1. バッテリの等価回路モデルを用いて前記バッテリの充電率を推定する推定装置であって、
   変数ｘ_ｈ（ｔ）の関数で表されるヒステリシス電圧ｖ_ｈ（ｔ）は、前記バッテリの充放電によるヒステリシスの最大値ｍと、変数ｘ_ｈ（ｔ）とを用いて、
   

   

   により定義される制約の範囲内において、
   

   

   という傾きを有し、
   

   

   により定義される制約の範囲外において、
   

   

   という傾きを有する、
   推定装置。
2. 前記ヒステリシス電圧ｖ_ｈ（ｔ）と前記変数ｘ_ｈ（ｔ）とは、
   

   

   という関係を満たす、
   請求項１に記載の推定装置。
3. 前記ヒステリシス電圧ｖ_ｈ（ｔ）と前記変数ｘ_ｈ（ｔ）とは、ｋを１よりも大きな値の係数として、
   

   

   という関係を満たす、
   請求項１に記載の推定装置。

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