JP2017215843A - 穴被覆曲面生成装置および穴被覆曲面生成用プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】表面におけるうねり（曲がり方の変化）や不連続点がない滑らかな形状の穴被覆曲面を生成できるようにする。【解決手段】位置近似および曲率変化率最小化に関する第１の拘束条件を満たす第１の変形写像Ψ（近似変形写像Ψapprox）を求める第１の変形写像確定部１３と、位置連続および接連続に関する第２の拘束条件を満たす第２の変形写像Ψ（補間変形写像Ψinterp）を求める第２の変形写像確定部２３と、その合成写像Ψinterp〇Ψapproxを用いて、物体形状の穴に対して仮設定した初期曲面の形状変形処理を行うことにより、物体形状の表面にある穴を覆う穴被覆曲面を生成する形状変形部２４とを備え、第１の変形写像に基づいて「うねり」のない滑らかな形状への変形を実現するとともに、第２の変形写像に基づいて「不連続点」のない滑らかな形状への変形を実現する。【選択図】図１

Description

本発明は、穴被覆曲面生成装置および穴被覆曲面生成用プログラムに関し、特に、設計ツールにより生成される形状データにより表された物体の形状を変形させることによって、物体形状の表面に存在する穴を覆う穴被覆曲面を生成するための技術に関するものである。

今日、製品の設計を行う際には、ＣＡＤ（Computer Aided Design）によって製品の形状データを生成することが一般的に行われている。伝統的なＣＡＤシステムでは、ＮＵＲＢＳあるいはＢスプライン関数で表された曲線・曲面を用いて物体形状が表されていた。これに対し、最近では、多数の点の集合である点群データ、または、三角形や四角形の形状をした複数のポリゴンの集合（ポリゴンメッシュ）として物体形状を表す形状モデリングシステムが増えてきている。

ところで、形状モデリングにおいて、モデル表面の穴を、周面形状と滑らかにつながるような曲面（以下、穴被覆曲面という）で覆うというモデリング操作は、モデルのコーナー部分等のモデリングで多用され、従来のＣＡＤシステムにおいても、これに対応する機能が提供されていた。

しかしながら、ＣＡＤシステムの従来の技術では、生成される穴被覆曲面の品質が悪くなってしまうことが多いという問題があった。具体的には、生成される穴被覆曲面の表面にうねりを生じたり、穴の周辺にある既存の曲面と、穴の部分に生成された曲面との境界部分が不連続になったりしてしまうことが多く、このような問題を解消することは極めて困難であった。

なお、ＲＢＦ（Radial Basis Function：放射基底関数）と呼ばれる関数を用いて曲面形状の変形を行う技術が知られている。ＲＢＦは、関数補間、特に多変数における不規則なデータの補間および近似に用いられる技術である。形状処理分野への応用としては、２０００年頃に測定点群データからの曲面生成の問題に適用され（例えば、非特許文献１参照）、その後２００５年頃にポリゴンおよび曲面の変形処理に適用された（例えば、非特許文献２，３参照）。

曲線や曲面、あるいは点群やポリゴンといったＣＡＤ・形状処理で扱う形状データは、３次元ユークリッド空間Ｒ^３内に存在しており、空間の各点についてその「行き先」を指定する変形写像Ψ：Ｒ^３→Ｒ^３を与えることによって、形状を変形することができる。

しかしながら、非特許文献１〜３に記載されている形状変形処理は、「この点をこの点に動かす」という、点の位置（座標値）が一致するレベルの連続性を表した拘束条件（位置連続あるいはＧ^０連続という）から変形写像を求める方法に限定されている。そのため、非特許文献１〜３に記載の技術をそのまま用いても、生成される穴被覆曲面の表面にうねりを生じたり、穴被覆曲面とその周辺の既存曲面との境界部分が不連続になったりしてしまうという問題は解消することができない。

これ以外にも、ＲＢＦを用いた形状処理に関する技術が考案されている（例えば、特許文献１参照）。特許文献１に記載された発明の目的は、異なるＣＡＤシステム間で交換されたＣＡＤデータの中に存在する傷（修復すべき部分）を自動的に修復できるようにすることにある。この目的を達成するために、特許文献１に記載のシステムは、ＣＳＲＢＦ（compactly supported radial basis functions）技術またはＬＣＳＲＢＦ（local compactly supported radial basis functions）技術を使用することにより、ＣＡＤデータに表される構造を部分に分け、解析に不適な形状を探し出して、スムーズな形状となるよう修正している。

具体的には、特許文献１に記載のシステムは、２次元ＣＡＤデータに表される２次元画像上の傷の部分を範囲指定する手段と、範囲指定された傷の部分を適度に広げた領域を指定する手段と、当該広げた領域から傷の部分を引いた領域に対して、ＣＳＲＢＦ法またはＬＣＳＲＢＦ法を用いて関数データを求める手段と、求められた関数データを用いて、傷のついた部分を連続的に滑らかに補間して修復する手段とを備えている。

この特許文献１には、色の変化が比較的滑らかに起こるような２次元ＣＡＤデータ（２次元画像）上の傷をＣＳＲＢＦ法によって連続的に滑らかに修復することが記載されている。また、テクスチャ模様のように色の変化がシャープに起こるような２次元画像を表している２次元ＣＡＤデータ上の傷に対しては、ＬＣＳＲＢＦ法を用いて修復することが有効であることも記載されている。

しかしながら、特許文献１には、生成される曲面の表面の平滑化（フェアリング）や、既存曲面と生成曲面との境界部分との連続性を満足するように形状を変形することについては何ら開示されていない。すなわち、この特許文献１に記載の技術をそのまま用いても、生成される穴被覆曲面の表面にうねりを生じたり、穴被覆曲面と既存曲面との境界部分が不連続になったりしてしまうという問題は解消することができない。

特開２００５−１９００４５号公報

J.C.Carr et.al., Reconstruction and Representation of 3D Objects with Radial Basis Functions, Proceedings of SIGGRAPH 2001, pp.67-76, ACM Express, 2001 M.Botsch, L.Kobbelt, Real-Time Shape Editing using Radial Basis Function, Computer Graphics Forum Vol.24, No.3 (EUROGRAPHICS 2005), pp.611-621, 2005 M. Botch et al.,"Polygon Mesh Processing", A K Peters, Ltd., 2010

本発明は、このような問題を解決するために成されたものであり、表面におけるうねり（曲がり方の変化）や不連続点がない滑らかな形状の穴被覆曲面を生成できるようにすることを目的とする。

上記した課題を解決するために、本発明では、放射基底関数（ＲＢＦ）の１次結合で表わした位置連続に関する項を含む第１の変形写像式と、形状データにより表された物体形状の表面に存在する穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、移動元位置を第１の変形写像式で写像した位置と目標の移動先位置との距離を表した「位置近似」および第１の変形写像式による写像で得られる変形後曲面における曲がり方の変化を表した「曲率変化率最小化」に関する第１の拘束条件方程式とを設定し、当該第１の拘束条件方程式を解いて、第１の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、位置近似および曲率変化率最小化を満たす第１の変形写像を確定させる。
さらに、本発明では、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項およびＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わした接連続に関する項を含む第２の変形写像式と、穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、移動元位置から移動先位置への移動を表した「位置連続」および当該移動先位置における「接連続」に関する第２の拘束条件方程式とを設定し、当該第２の拘束条件方程式を解いて、第２の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、位置連続および接連続を満たす第２の変形写像を確定させる。
そして、上記のように確定された第１の変形写像および第２の変形写像を用いて、物体形状の表面に存在する穴に対して仮設定した曲面を変形させる処理を実行することにより、当該穴を覆う穴被覆曲面を生成するようにしている。

上記のように構成した本発明によれば、位置近似および曲率変化率最小化を満たす第１の変形写像に基づいて、曲がり方の変化の少ない形状、つまり「うねり」のない滑らかな形状への変形が実現されるとともに、位置連続および接連続に関する第２の変形写像に基づいて、「不連続点」のない滑らかな形状への変形が実現される。これにより、物体形状の表面に存在する穴に対して仮設定した曲面について、第１の変形写像および第２の変形写像に基づく形状変形を行うことにより、表面におけるうねり（曲がり方の変化）がなく、かつ、既存曲面との境界部分に不連続点もない、滑らかな形状の穴被覆曲面を生成することができる。

本実施形態による穴被覆曲面生成装置の基本的な機能構成例を示すブロック図である。 本実施形態による穴被覆曲面生成装置の具体的な機能構成例を示すブロック図である。 本実施形態による第２の拘束条件の設定に用いる法線ベクトルを説明するための図である。 本実施形態によるサンプル点の抽出例を示す図である。 本実施形態による近似平面生成部および投影点算出部の処理内容を説明するための図である。 本実施形態によるＲＢＦの中心点の抽出例を示す図である。 本実施形態による第２の拘束条件設定部が設定する移動元位置および移動先位置を説明するための図である。 本実施形態の穴被覆曲面生成装置による処理を実際に適用した画像例を示す図である。

以下、本発明の一実施形態を図面に基づいて説明する。本実施形態の穴被覆曲面生成装置では、点群データまたはポリゴンメッシュ等の形状データにより表される物体形状の表面に存在する穴を覆う曲面（穴被覆曲面）を、ＲＢＦを用いた形状変形処理によって生成する。ＲＢＦは、「定点からの距離によって値が定まる関数」である。一般には、３次元ユークリッド空間Ｒ^３におけるノルムを||・||と表すときに、以下の形で表される３変数実数値関数Φ(ｘ)をＲＢＦと呼ぶ。
Φ(ｘ)＝φ（||ｘ−χ||）
ここで、φは１変数の関数である。また、χ∈Ｒ^３は３次元空間における固定点で、Φ(ｘ)の中心点と呼ぶ。

例えば、ｎ個の点χ_ｉ（ｉ＝１，・・・，ｎ）について、それらが行き先の新しい点χ~_ｉ（ｉ＝１，・・・，ｎ）に移動するように物体形状を変形させる場合、そのための変形写像Ψを、点χ_ｉを中心点に持つＲＢＦ（Φ(ｘ−χ_ｉ）＝φ(||ｘ−χ_ｉ||)）の１次結合として、次の（式１）のように表す。ここで、係数ａ_ｉ∈Ｒ^３（ｉ＝１，・・・，ｎ）は未知ベクトルである。

一方、移動元のＮ個の点が、目標とする行き先の新しい点に移動するものとして、移動後の点で形成される物体形状の構成面が所望の曲面形状となるような拘束条件を与える。そして、この拘束条件を満たす変形写像Ψによって移動元位置の各点を移動先位置の各点に移動させることにより、凹凸や波打ちがなく、不連続点もない滑らかな穴被覆曲面を生成する。

このために本実施形態では、近似変形写像Ψapprox（第１の変形写像に相当）と補間変形写像Ψinterp（第２の変形写像に相当）との合成写像Ψinterp〇Ψapproxを用いて、形状変形処理を行う。すなわち、物体形状の穴に対して仮設定した初期曲面に合成写像Ψinterp〇Ψapproxを適用することにより、拘束条件を満たす穴被覆曲面を生成する。以下に、近似変形写像Ψapproxおよび補間変形写像Ψinterpを順に説明する。

＜近似変形写像Ψapprox＞
近似変形写像Ψapproxを求める際には、まず、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項を含む第１の変形写像式を、（式１）のように設定する。そして、この（式１）における未知ベクトルａ_ｉを求めるために、移動元位置のＮ個の点ξ_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）が写像される移動先位置の新しい点を含んで形成される物体形状の構成面が、凹凸や波打ちのない滑らかな曲面となるような第１の拘束条件を与える。

本実施形態において与える第１の拘束条件は２つある。１つは、物体形状の表面に存在する穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、移動元位置の点ξ_jを（式１）の変形写像式で写像した位置Ψ(ξ_j)と、点ξ~_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）で表される目標の移動先位置との距離ができるだけ小さくようにするための「位置近似」に関する拘束条件である。もう１つは、変形後曲面の曲がり方の変化が少なくなるようにするための「曲率変化率最小化」に関する拘束条件である。

前者の位置近似に関する拘束条件は、次の（式２）に示す距離評価値Ｅ₀によって表す。

また、後者の曲率変化率最小化に関する拘束条件は、変形前の曲面ＳをＳ＝ｓ（ｕ，ｖ）とするとき、次の（式３）に示す曲率変化率評価値Ｅ_fairによって表す。

ここで、右辺のｓ~_uuu，ｓ~_vvv，ｓ~_uuv，ｓ~_uvvは、変形後曲面の移動先位置における３階微分ベクトルであり、それぞれ次の（式４）で表される。

上記（式４）において、ＤΨは変形写像Ψの１階微分写像、Ｄ²Ψは２階微分写像、Ｄ³Ψは３階微分写像である。このうち、１階微分写像ＤΨは、次の（式５）のように定義される。なお、ｖは任意のベクトルであり、添え字のαは３変数｛ｘ，ｙ，ｚ｝上を動く。

ここで、変形前曲面の微分ベクトルと変形後曲面の微分ベクトルとの関係について説明する。変形前曲面をｓ(ｕ，ｖ)、これを変形写像Ψで変形した変形後曲面をｓ~(ｕ，ｖ)で表すと、次の（式６）に示す関係が成り立つ。
ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ)) ・・・（式６）
つまり、変形後曲面ｓ~を２変数ｕ，ｖのベクトル値の関数として見ると、これは変形写像Ψと変形前曲面ｓとの合成関数であると言える。そこで、合成関数の微分法を適用することで、変形後曲面の微分ベクトルを求めることができる。

すなわち、変形写像Ψの１階微分写像を上述の（式５）のように定義し、２階微分写像を（式７）のように定義すると（ｖ，ｖ_１，ｖ_２は任意のベクトルであり、添え字のα，βは３変数ｘ，ｙ，ｚ上を動く）、変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ))の接ベクトルである１階微分ベクトルは次の（式８）のように表され、２階微分ベクトルは次の（式９）のように表される。

また、変形写像Ψの１階微分写像を上述の（式５）、２階微分写像を上述の（式７）のように定義し、さらに３階微分写像を次の（式１０）のように定義すると（ｖ，ｖ_１，ｖ_２，ｖ_３は任意のベクトルであり、添え字のα，β，γは３変数ｘ，ｙ，ｚ上を動く）、変形後曲面ｓ~(ｕ，ｖ)＝Ψ(ｓ(ｕ，ｖ))の３階微分ベクトルは上述の（式４）のように表される。

本実施形態では、次の（式１１）に示すように、距離評価値Ｅ₀と曲率変化率評価値Ｅ_fairとを重みづけ加算した総合評価値Ｅ_totalを定義し、この総合評価値Ｅ_totalを最小化するという拘束条件を設定する。なお、重みｗは、ユーザが任意に設定することが可能である。距離評価値Ｅ₀と曲率変化率評価値Ｅ_fairとのどちらをどの程度重視するかによって、所望の重みｗを設定すればよい。

上記（式１）で表される変形写像Ψの中で、この（式１１）に示す評価値を最小化するものを求めることにより、未知ベクトルａ_i（ｉ＝１，・・・，ｎ）が求められ、目的の変形写像Ψが確定する。このようにして求められる変形写像Ψが、近似変形写像Ψapproxである。

＜補間変形写像Ψinterp＞
上述のように、近似変形写像Ψapproxは、穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定した拘束条件を満たす変形写像である。しかし、この近似変形写像Ψapproxで写像した位置が必ずしも穴の縁線上の位置に一致することを拘束条件とするものではなく、穴の縁線上の位置にできるだけ近づくという近似的な拘束条件を与えているだけである。そのため、近似変形写像Ψapproxによって生成される変形後曲面は、表面のうねりは極小化されているものの、穴の縁線上をぴったりと通る保証はないものになっている。そこで、生成される穴被覆曲面が穴の縁線上をぴったりと通ることを保証するために適用する変形写像が、補間変形写像Ψinterpである。

補間変形写像Ψinterpを求める際には、まず、第２の変形写像を次の（式１２）のように設定する。

そして、この（式１２）における未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ（ａ_ｉはベクトル）を求めるために、移動元位置のＮ個の点ξ_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）が写像される移動先位置の新しいＮ個の点Ψ(ξ_j) （ｊ＝１，・・・，Ｎ）が、穴の縁線上の位置に一致するような第２の拘束条件を与える。

本実施形態において与える第２の拘束条件は２つある。１つは、物体形状の表面に存在する穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、移動元位置の点ξ_jを（式１）の変形写像式で写像した位置Ψ(ξ_j)と、点ξ~_jで表される目標の移動先位置とが一致するための位置連続に関する拘束条件である。位置連続とは、Ｇ^０連続とも呼ばれ、点が一致するレベルの連続性をいう。この位置連続を満たす拘束条件（以下、Ｇ^０拘束条件という）の方程式は、次の（式１３）で表される。
Ψ(ξ_ｉ)＝ξ~_ｉ （ｉ＝１，・・・，Ｎ）・・・（式１３）

もう１つの拘束条件は、生成される穴被覆曲面と、その周辺の既存曲面である周辺面との接続箇所において折れが生じないようにするための接連続に関する拘束条件である。接連続とは、Ｇ^１連続とも呼ばれ、２つの構成面に関する接続箇所での法線ベクトル（接平面）が一致するレベルの連続性をいう。なお、この接連続を満たす拘束条件（以下、Ｇ^１拘束条件という）については、詳細を後述する。

上記第２の変形写像を表す（式１２）において、ＤΦはＲＢＦの１階導関数である。ここでは、ＲＢＦ（Φ(ｘ)＝φ(||ｘ||)）の１階導関数ＤΦを、任意のベクトルｖに対して、次の（式１４）のように定義する。
ＤΦ(ｘ，ｖ)＝−(▽Φ(ｘ))・ｖ＝−２Φ’(ｘ)ｘ・ｖ ・・・（式１４）
ここで、▽Φ(ｘ)はΦ(ｘ)の勾配ベクトルである。この勾配ベクトル▽Φ(ｘ)は、１変数関数ｆ(ｒ)の導関数をｆ’(ｒ)とし、
Φ’(ｘ)＝ｆ’(ｘ・ｘ)＝ｆ’(ｘ^２＋ｙ^２＋ｚ^２)
という記号を導入したとき、▽Φ(ｘ)＝２Φ’(ｘ)ｘと表される。

また、（式１２）において、Ψ_１(ｘ)の項はＲＢＦの１次結合として表されるもので、上述した（式１）と同じであり、ＮはＧ^０拘束点の個数を示している。これに対し、Ψ_２(ｘ)およびΨ_３(ｘ)の項は１階導関数ＤΦの１次結合として表されるものであり、ＭはＧ^１拘束点の個数を示している。すなわち、（式１２）に示す変形写像Ψの式は、ＲＢＦの１次結合で表わしたＧ^０連続に関する項Ψ_１(ｘ)と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わしたＧ^１連続に関する項Ψ_２(ｘ)，Ψ_３(ｘ)とを含む変形写像式である。ここで、Ψ_１(ｘ)の右辺の係数ベクトルａ_ｉ∈Ｒ^３（ｉ＝１，・・・，Ｎ）と、Ψ_２(ｘ)およびΨ_３(ｘ)の右辺の係数ｂ_ｊ∈Ｒ，ｃ_ｊ∈Ｒ（ｊ＝１，・・・，Ｍ）とがそれぞれ未知数である。

次に、（式１２）に示す第２の変形写像式に対して与える第２の拘束条件のうち、接連続を満たすＧ^１拘束条件の方程式について説明する。曲面形状を想定したとき、１階微分レベルの重要な幾何的データは法線ベクトル（接平面に直交するベクトル）である。そこで、Ｇ^１拘束条件では、変形後の曲面に対する法線ベクトルを拘束条件として与えることを考える。なお、変形前の法線ベクトルと変形後の法線ベクトルとを拘束条件として与えるという方法では、うまく方程式の形に記述することができない。

そこで、本実施形態では、変形前の接ベクトルと変形後の法線ベクトルとで拘束条件を記述するようにしている。すなわち、図３に示すように、変形前の曲面ｓ上の点ηにおける２つの独立な接ベクトルをｓ_ｕ，ｓ_ｖとするとき、変形写像Ψによってこれらの接ベクトルが写された先のベクトルが、変形後の曲面ｓ~上の法線ベクトルｎ~と直交することを拘束条件として設定する。

すなわち、接ベクトルｓ_ｕ，ｓ_ｖと法線ベクトルｎ~との拘束条件を、次の（式１５）に示す２つの方程式で表す。これは、点ηの変形写像Ψによる移動先位置における接ベクトルと、移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表したＧ^１連続に関する拘束条件である。
ＤΨ(η，ｓ_ｕ)・ｎ~＝０、ＤΨ(η，ｓ_ｖ)・ｎ~＝０ ・・・（式１５）
この（式１５）において、“・”はベクトルの内積を表す。また、この（式１５）において、Ｇ^０拘束条件を満たす変形写像Ψの１階微分写像ＤΨは、上述の（式５）に示したように定義している。この（式１５）を上記（式１２）に適用して表現すると、Ｇ^１拘束条件の方程式は、次の（式１６）で表される。

上記（式１２）で表される変形写像Ψの中で、Ｇ^０拘束条件の（式１３）およびＧ^１拘束条件の（式１６）に満たすものを求めることにより、未知ベクトルａ_i（ｉ＝１，・・・，Ｎ）および未知数ｂ_ｊ，ｃ_ｊ（ｊ＝１，・・・，Ｍ）が求められ、Ｇ^０拘束条件とＧ^１拘束条件とが混在した目的の変形写像Ψが確定する。このようにして求められる変形写像Ψが、補間変形写像Ψinterpである。

以上のように、移動対象とする空間上にあるＮ個の拘束点ξ_jについて近似変形写像Ψapproxおよび補間変形写像Ψinterpが求まれば、その空間上の拘束点ではない点についても、それらがどこに移動するかを計算することができるようになる。すなわち、近似変形写像Ψapproxおよび補間変形写像Ψinterpが求まるということは、その合成写像Ψinterp〇Ψapproxによって、空間のどの点に対しても移動先が決まるということである。

図１は、以上に示した処理を実行する本実施形態による穴被覆曲面生成装置の基本的な機能構成例を示すブロック図である。図１に示すように、本実施形態の穴被覆曲面生成装置は、第１の変形写像設定部１１、第１の拘束条件設定部１２、第１の変形写像確定部１３、第２の変形写像設定部２１、第２の拘束条件設定部２２、第２の変形写像確定部２３および形状変形部２４を備えて構成されている。

これらの各機能ブロック１１〜１３，２１〜２４は、ハードウェア、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ソフトウェアの何れによっても構成することが可能である。例えばソフトウェアによって構成する場合、上記各機能ブロック１１〜１３，２１〜２４は、実際にはコンピュータのＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭなどを備えて構成され、ＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクまたは半導体メモリ等の記録媒体に記憶されたプログラムが動作することによって実現される。

第１の変形写像設定部１１は、上記（式１）に示したような、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項を含む第１の変形写像式を設定する。すなわち、（式１）に対して、未知数ａ_i以外の値であるＲＢＦの中心点χ_i（ｉ＝１，・・・，ｎ）を設定することにより、第１の変形写像式を設定する。なお、ｎ個の中心点χ_iを指定する方法は、ユーザがこれらを個別に手動で指定する方法と、ユーザにより指定された空間上の範囲の中から第１の変形写像設定部１１が内部処理によって自動的に設定する方法とがある。後者の場合、例えば、穴被覆曲面を生成したい物体形状上の穴をユーザが指定して形状変形の実行を指示すると、当該穴に対応する所定領域内にあるｎ個の中心点χ_iを第１の変形写像設定部１１が自動的に設定する。

第１の拘束条件設定部１２は、物体形状の表面に存在する穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、空間上の移動元位置の点ξ_jを（式１）に示す第１の変形写像式で写像した位置の点Ψ(ξ_j)と、目標とする移動先位置の点ξ~_jとの距離を表した位置近似の距離評価値Ｅ₀、および、変形結果形状の曲率変化率評価値Ｅ_fairを含む第１の拘束条件方程式（上述した（式１１））を設定する。すなわち、（式１１）に対して、距離評価値Ｅ₀に含まれるξ_j，ξ~_jと、曲率変化率評価値Ｅ_fairに含まれるｓ~_uuu，ｓ~_vvv，ｓ~_uuv，ｓ~_uvvと、重みｗとを設定することにより、第１の拘束条件方程式を設定する。

なお、移動元位置であるＮ個の点ξ_jおよび目標とする移動先位置であるＮ個の点ξ~_jを指定する方法は、ユーザが各点ξ_j，ξ~_jを個別に手動で指定する方法と、ユーザにより指定された空間上の範囲の中から第１の拘束条件設定部１２が内部処理によって自動的に設定する方法とがある。後者の場合、例えば、穴被覆曲面を生成したい物体形状上の穴をユーザが指定して形状変形の実行を指示すると、当該穴の縁線上にあるＮ個の点ξ~_jとそれに対応するＮ個の点ξ_jとを第１拘束条件設定部１２が自動的に設定する。また、移動先位置における３階微分の接ベクトルｓ~_uuu，ｓ~_vvv，ｓ~_uuv，ｓ~_uvvは、上述のように指定された空間上の移動先位置ξ~_jの情報を用いて第１の拘束条件設定部１２が自動的に計算して設定する。

第１の変形写像確定部１３は、第１の拘束条件設定部１２により設定された第１の拘束条件方程式を解いて、第１の変形写像設定部１１により設定された第１の変形写像式に含まれる未知数ａ_iを求めることにより、位置近似および曲率変化率最小化を満たす第１の変形写像Ψ（近似変形写像Ψapprox）を確定させる。具体的には、第１の変形写像確定部１３は、上述の（式１１）で示される総合評価値Ｅ_totalを最小化するような（式１）の未知数ａ_iを求めることにより、第１の変形写像Ψを確定させる。

第２の変形写像設定部２１は、上記（式１２）に示したような、ＲＢＦの１次結合で表わした位置連続に関する項と、ＲＢＦの１階導関数の１次結合で表わした接連続に関する項とを含む第２の変形写像式を設定する。すなわち、（式１２）に対して、未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊ以外の値（移動元位置に関するξ_ｉ，η_ｊ，ｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊ)と、移動先位置に関するｎ~_ｊ）を代入することにより、第２の変形写像式を設定する。

なお、移動元位置であるＮ個の点ξ_ｉおよび目標とする移動先位置であるＮ個の点ξ~_ｉは、第２の変形写像設定部２１が内部処理によって自動的に設定する。すなわち、本実施形態では、第１の変形写像Ψ（近似変形写像Ψapprox）により写像されるＮ個の点を、第２の変形写像Ψ（補間変形写像Ψinterp）における移動元位置のＮ個の点ξ_ｉとして設定する。また、物体形状に存在する穴の縁線上のＮ個の点（第１の拘束条件設定部１２が穴の縁線上に目標の移動先位置として設定したＮ個の点ξ~_ｉと同じ点）を移動先位置の点ξ~_ｉとして設定する。

また、移動元位置η_ｊにおける接ベクトルｓ_ｕ ^ｊ，ｓ_ｖ ^ｊと、移動先位置における法線ベクトルｎ~_ｊは、上述のように指定した空間上の移動元位置ξ_ｉおよび移動先位置ξ~_ｉの情報を用いて自動的に計算して設定する。

第２の拘束条件設定部２２は、上述のように穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、空間上の移動元位置点ξ_jから移動先位置の点ξ~_jへの移動を表した位置連続（Ｇ^０連続）、および、当該移動先位置における接ベクトルである１階微分ベクトルと移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表した接連続（Ｇ¹連続）に関する第２の拘束条件方程式（上述した（式１３）および（式１６））を設定する。

第２の変形写像確定部２３は、第２の拘束条件設定部２２により設定された第２の拘束条件方程式を解いて、第２の変形写像設定部２１により設定された第２の変形写像式に含まれる未知数ａ_ｉ，ｂ_ｊ，ｃ_ｊを求めることにより、位置連続および接連続を満たす第２の変形写像Ψ（補間変形写像Ψinterp）を確定させる。具体的には、第２の変形写像確定部２３は、上述の（式１３）および（式１６）で示される拘束条件を満たす（式１２）の未知数ａ_i，ｂ_ｊ，ｃ_ｊを求めることにより、第２の変形写像Ψを確定させる。

形状変形部２４は、第１の変形写像確定部１３により確定された第１の変形写像Ψ（近似変形写像Ψapprox）および第２の変形写像確定部２３により確定された第２の変形写像Ψ（補間変形写像Ψinterp）を用いて、物体形状の穴に対して仮設定した曲面を変形させる処理を実行することにより、当該穴を覆う穴被覆曲面を生成する。すなわち、形状変形部２４は、物体形状の穴に対して仮設定した初期曲面に合成写像Ψinterp〇Ψapproxを適用することにより、第１および第２の拘束条件を満たす穴被覆曲面を生成する。

ここで、穴に対して仮設定する初期曲面は、穴の縁線を境界とし、当該境界の内側に張られた任意の曲面である。この初期曲面の設定には公知の手法を適用することが可能である。形状変形部２４は、設定した初期曲面上の各点に対して合成写像Ψinterp〇Ψapproxを適用して移動先位置の点を求めることにより、初期曲面を変形させる。これにより、穴被覆曲面の表面にうねり（曲がり方の変化）がなく、かつ、周辺面との境界部分に不連続点もない、滑らかな構成面となるような形状変形が実行される。

次に、具体的な実施例について説明する。図２は、本実施形態に係る穴被覆曲面生成装置の具体的な機能構成例を示すブロック図である。なお、図２において、図１に示した符号と同一の符号を付したものは同一の機能を有するものであるので、ここでは重複する説明を省略する。

図２に示すように、穴被覆曲面生成装置は、その機能構成として、図１に示した構成に加え、穴指定部３１、サンプル点抽出部３２、近似平面生成部３３、投影点算出部３４、中心点抽出部３５および法線ベクトル算出部３６をさらに備えている。

穴指定部３１は、物体形状の表面に存在する穴を指定する。この穴の指定は、例えば、画面上に表示された物体形状に対して、ユーザが所望の穴をマウスのクリック操作またはドラッグ操作により指定することによって行う。

サンプル点抽出部３２は、穴指定部３１により指定された穴の縁線上から複数のサンプル点を抽出する。本実施形態において、サンプル点の抽出法は特に限定しないが、指定された穴の縁線上からほぼ均等に複数のサンプル点を抽出するのが好ましい。図４は、サンプル点の抽出例を示す図である。図４に示すように、サンプル点抽出部３２は、指定された穴４０の縁線上から等間隔で複数の点を抽出し、それをサンプル点とする。

近似平面生成部３３は、サンプル点抽出部３２により抽出された複数のサンプル点に対する近似平面を生成する。本実施形態において、近似平面の生成法は特に限定しないが、一例として、複数のサンプル点に最小２乗法を適用して近似平面を生成することが可能である。

投影点算出部３４は、複数のサンプル点をそれぞれ近似平面上に投影することにより、複数の投影点を算出する。例えば、投影点算出部３４は、サンプル点から近似平面に対して垂線を下し、その垂線と近似平面との交点を投影点として設定する。

図５は、近似平面生成部３３および投影点算出部３４の処理内容を説明するための図である。図５において、ｓ₁〜ｓ_Nは、サンプル点抽出部３２により抽出されたＮ個のサンプル点を示している。図５に示す例において、変形前の物体形状は、その表面に凹凸を有しているため、Ｎ個のサンプル点ｓ₁〜ｓ_Nは波打った位置に存在している。サンプル点抽出部３２により抽出されたＮ個のサンプル点ｓ₁〜ｓ_Nは、第１の拘束条件設定部１２に供給される。

近似平面生成部３３は、これらＮ個のサンプル点ｓ₁〜ｓ_Nから最小２乗法により近似平面５０を生成する。そして、投影点算出部３４は、Ｎ個のサンプル点ｓ₁〜ｓ_Nから近似平面５０に対してそれぞれ垂線を下ろし、その垂線と近似平面５０との交点をＮ個の投影点ｐ₁〜ｐ_Nとして設定する。投影点算出部３４により設定されたＮ個の投影点ｐ₁〜ｐ_Nは、第１の拘束条件設定部１２および第１の変形写像確定部１３に供給される。

第１の拘束条件設定部１２は、投影点算出部３４により算出されたＮ個の投影点ｐ₁〜ｐ_Nをそれぞれ移動元位置の点ξ_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）として指定する。また、第１の拘束条件設定部１２は、サンプル点抽出部３２により抽出されたＮ個のサンプル点ｓ₁〜ｓ_Nをそれぞれ、複数の投影点ｐ₁〜ｐ_Nに対する目標の移動先位置の点ξ~_j（ｊ＝１，・・・，Ｎ）として指定して、位置近似および曲率変化率最小化に関する第１の拘束条件方程式を設定する。

第１の変形写像確定部１３は、投影点算出部３４により算出された複数の投影点ｓ₁〜ｓ_Nを、確定した第１の変形写像Ψ（近似変形写像Ψapprox）により写像することにより、近似写像点を求める。そして、その求めた近似写像点を第２の拘束条件設定部２２に供給する。

中心点抽出部３５は、近似平面生成部３３により生成された近似平面５０内から複数のＲＢＦの中心点χ_i（ｉ＝１，・・・，ｎ）を抽出する。上述の第１の変形写像設定部１１は、中心点抽出部３５により抽出された複数の中心点χ_iを、（式１）に示す第１の変形写像式における位置連続に関する項Φ(ｘ−χ_ｉ）に設定する。本実施形態において、中心点χ_iの抽出法は特に限定しないが、近似平面５０上の領域のうち、物体形状の穴に対向する領域内からほぼ均等に複数の中心点χ_iを抽出するのが好ましい。

図６は、中心点χ_iの抽出例を示す図である。図６に示すように、中心点抽出部３５は、近似平面５０上に、穴４０に対向する領域（穴４０の縁線上から抽出したＮ個のサンプル点ｓ₁〜ｓ_Nに対応するＮ個の投影点ｐ₁〜ｐ_Nにより区画される領域）を含む所定領域６０を設定し、当該設定した所定領域６０内からｎ個の中心点χ_iを抽出する。

ここで、所定領域６０は、例えば、穴４０に対向する領域が内接する矩形領域とすることが可能である。あるいは、穴４０に対向する領域が内接する矩形領域よりも上下左右に所定サイズだけ大きい矩形領域を所定領域６０として設定するようにしてもよい。中心点抽出部３５は、当該設定した所定領域６０を格子状の小領域に分割して、各小領域の中から代表点を１つずつ抽出することにより、それをＲＢＦの中心点χ_iとする。代表点は、例えば図６において×印で示すように、各小領域内の中央点とすることが可能である。

なお、格子の大きさは、所定の大きさの固定値としてもよいし、ユーザが任意に設定可能としてもよい。あるいは、設定される所定領域６０の大きさによらず、抽出される中心点χ_iの数が所定範囲内となるように、所定領域６０に合わせて格子の大きさを動的に可変設定するようにしてもよい。また、ここでは各小領域の中央点を中心点χ_iとして抽出する例を示したが、本発明はこれに限定されない。例えば、格子状の交点を中心点χ_iとして抽出するようにしてもよい。

法線ベクトル算出部３６は、穴指定部３１により指定された穴４０の周辺に周辺面が存在する場合は、その周辺面と接する穴の縁線上からサンプル点抽出部３２により抽出されたサンプル点における法線ベクトルを算出する。この法線ベクトル算出部３６により算出される法線ベクトルは、（式１６）に示すＧ^１拘束条件の方程式において、変形後の曲面ｓ~上の法線ベクトルｎ~として用いる。

上述の第２の拘束条件設定部２２は、第１の変形写像確定部１３より供給される近似写像点（すなわち、投影点算出部３４により算出された複数の投影点が、第１の変形写像Ψ（近似変形写像Ψapprox）により写像される点）をそれぞれ（式１３）における移動元位置の点ξ_jとして指定し、サンプル点抽出部３２により抽出された複数のサンプル点をそれぞれ（式１３）、（式１６）における移動先位置の点ξ~_jとして指定する。また、第２の拘束条件設定部２２は、法線ベクトル算出部３６により算出された法線ベクトルを（式１６）における法線ベクトルｎ~として指定する。これにより、（式１３）、（式１６）に示す位置連続および接連続に関する第２の拘束条件方程式を設定する。

図７は、第２の拘束条件設定部２２が第２の拘束条件において設定する移動元位置の点ξ_jおよび移動先位置の点ξ~_jを説明するための図である。ｓはサンプル点抽出部３２により抽出されたサンプル点の１つを示し、ｐはそのサンプル点ｓの近似平面５０への投影点を示す。ｐ~は投影点ｐが近似変形写像Ψapproxにより写像される近似写像点を示す。ここで、第２の拘束条件設定部２２は、近似写像点ｐ~を移動元位置の点ξ_jとして指定し、サンプル点ｓを移動先位置の点ξ~_jとして指定する。

第２の拘束条件設定部２２が設定する第２の拘束条件において、（式１３）に示す位置連続の拘束条件（Ｇ^０拘束条件）は、近似写像点ｐ~を補間変形写像Ψinterpで写像した点（Ψinterp（ｐ~））が、穴４０の縁線上から抽出したサンプル点ｓと一致することを条件とするものである。また、（式１６）に示す接連続の拘束条件（Ｇ^１拘束条件）は、近似写像点ｐ~を補間変形写像Ψinterpで写像した点（Ψinterp（ｐ~））における法線ベクトルが、穴４０の縁線上から抽出したサンプル点ｓにおける法線ベクトルｎ~と一致することを条件とするものである。

図８は、上記実施形態で説明した穴被覆曲面生成装置の処理を実際に適用した画像例を示す図である。図８（ａ）は変形前の物体形状を示し、図８（ｂ）は変更後の物体形状を示している。図８（ｃ）は変更後の物体形状をゼブラシェーディング表示したものである。

この例では、図８（ａ）において物体形状の表面に存在する穴８１を指定し、形状変形処理を行った。その結果、図８（ｂ）に示すように、穴８１を覆う穴被覆曲面８２が生成された。この穴被覆曲面８２は、表面のうねりが殆どなく、かつ、周辺面８３との境界も連続な滑らかな曲面となっている。図８（ｃ）のゼブラ表示からも分かるように、穴被覆曲面８２と周辺面８３との境界においてゼブラの白黒模様が不連続となっておらず、Ｇ⁰連続およびＧ^１連続となっていることが読み取れる。

以上詳しく説明したように、本実施形態では、位置近似および曲率変化率最小化に関する第１の拘束条件を満たす第１の変形写像Ψ（近似変形写像Ψapprox）と、位置連続および接連続に関する第２の拘束条件を満たす第２の変形写像Ψ（補間変形写像Ψinterp）とを求め、その合成写像Ψinterp〇Ψapproxを用いて、物体形状の穴に対して仮設定した初期曲面の形状変形処理を行うことにより、物体形状の表面にある穴を覆う穴被覆曲面を生成するようにしている。

このように構成した本実施形態によれば、位置近似および曲率変化率最小化を満たす第１の変形写像に基づいて、曲がり方の変化の少ない形状、つまり「うねり」のない滑らかな形状への変形が実現されるとともに、位置連続および接連続に関する第２の変形写像に基づいて、「不連続点」のない滑らかな形状への変形が実現される。これにより、物体形状の表面に存在する穴に対して仮設定した曲面について、第１の変形写像および第２の変形写像に基づく形状変形を行うことにより、表面におけるうねり（曲がり方の変化）がなく、かつ、既存曲面との境界部分に不連続点もない、滑らかな形状の穴被覆曲面を生成することができる。

なお、上記実施形態では、近似変形写像Ψapproxと、補間変形写像Ψinterpとの合成写像Ψinterp〇Ψapproxを用いて形状変形処理を行う例について説明したが、本発明はこれに限定されない。例えば、穴に仮設定した曲面に対して近似変形写像Ψapproxを適用して１回目の形状変形処理を行い、その結果得られた曲面に対して補間変形写像Ψinterpを適用して２回目の形状変形処理を行うようにしてもよい。

また、上記実施形態において、形状変形部２４により生成された形状データをＮＵＲＢＳ形式の形状データに更に変換するようにしてもよい。

その他、上記実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の一例を示したものに過ぎず、これによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその要旨、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１１ 第１の変形写像設定部
１２ 第１の拘束条件設定部
１３ 第１の変形写像確定部
２１ 第２の変形写像設定部
２２ 第２の拘束条件設定部
２３ 第２の変形写像確定部
２４ 形状変形部
３１ 穴指定部
３２ サンプル点抽出部
３３ 近似平面生成部
３４ 投影点算出部
３５ 中心点抽出部
３６ 法線ベクトル算出部

Claims (6)

1. 形状データにより表された物体形状を変形させることによって、上記物体形状の表面に存在する穴を覆う穴被覆曲面を生成するための穴被覆曲面生成装置であって、
   放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項を含む第１の変形写像式を設定する第１の変形写像設定部と、
   上記形状データにより表された上記物体形状の表面に存在する穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、空間上の移動元位置を上記第１の変形写像式で写像した位置と上記目標の移動先位置との距離を表した位置近似、および、上記第１の変形写像式による写像で得られる変形後曲面における曲がり方の変化を表した曲率変化率最小化に関する第１の拘束条件方程式を設定する第１の拘束条件設定部と、
   上記第１の拘束条件設定部により設定された上記第１の拘束条件方程式を解いて、上記第１の変形写像設定部により設定された上記第１の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置近似および上記曲率変化率最小化を満たす第１の変形写像を確定させる第１の変形写像確定部と、
   上記放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした接連続に関する項とを含む第２の変形写像式を設定する第２の変形写像設定部と、
   上記穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、空間上の移動元位置から上記移動先位置への移動を表した上記位置連続、および、当該移動先位置における接ベクトルである１階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表した上記接連続に関する第２の拘束条件方程式を設定する第２の拘束条件設定部と、
   上記第２の拘束条件設定部により設定された上記第２の拘束条件方程式を解いて、上記第２の変形写像設定部により設定された上記第２の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続および上記接連続を満たす第２の変形写像を確定させる第２の変形写像確定部と、
   上記第１の変形写像確定部により確定された上記第１の変形写像および上記第２の変形写像確定部により確定された上記第２の変形写像を用いて、上記穴に対して仮設定した曲面を変形させる処理を実行することにより、上記穴被覆曲面を生成する形状変形部とを備えたことを特徴とする穴被覆曲面生成装置。
2. 上記形状データにより表された上記物体形状の表面に存在する上記穴の縁線上から複数のサンプル点を抽出するサンプル点抽出部と、
   上記サンプル点抽出部により抽出された上記複数のサンプル点に対する近似平面を生成する近似平面生成部と、
   上記複数のサンプル点をそれぞれ上記近似平面上に投影することにより複数の投影点を算出する投影点算出部とを更に備え、
   上記第１の拘束条件設定部は、上記投影点算出部により算出された上記複数の投影点をそれぞれ上記移動元位置として指定し、上記サンプル点抽出部により抽出された上記複数のサンプル点をそれぞれ上記複数の投影点に対する上記目標の移動先位置として指定して、上記位置近似および上記曲率変化率最小化に関する第１の拘束条件方程式を設定することを特徴とする請求項１に記載の穴被覆曲面生成装置。
3. 上記近似平面生成部により生成された上記近似平面上に、上記穴に対向する領域を含む所定領域を設定し、当該設定した所定領域内から上記放射基底関数の複数の中心点を抽出する中心点抽出部を更に備え、
   上記第１の変形写像設定部は、上記中心点抽出部により抽出された上記複数の中心点を用いて上記第１の変形写像式を設定することを特徴とする請求項２に記載の穴被覆曲面生成装置。
4. 上記第１の変形写像確定部は、上記移動元位置と上記目標の移動先位置との距離を表す値および上記曲率変化率最小化を表す値の合計値を最小化するような上記未知数を求めることにより、上記第１の変形写像を確定させることを特徴とする請求項１に記載の穴被覆曲面生成装置。
5. 上記第２の拘束条件設定部は、上記投影点算出部により算出された上記複数の投影点が上記第１の変形写像により写像される近似写像点をそれぞれ上記移動元位置として指定し、上記サンプル点抽出部により抽出された上記複数のサンプル点をそれぞれ上記移動先位置として指定して、上記位置連続および上記接連続に関する第２の拘束条件方程式を設定することを特徴とする請求項２に記載の穴被覆曲面生成装置。
6. 形状データにより表された物体形状を変形させることによって、上記物体形状の表面に存在する穴を覆う穴被覆曲面を生成するための穴被覆曲面生成用プログラムであって、
   放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項を含む第１の変形写像式を設定する第１の変形写像設定手段、
   上記形状データにより表された上記物体形状の表面に存在する穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、空間上の移動元位置を上記第１の変形写像式で写像した位置と上記目標の移動先位置との距離を表した位置近似、および、上記第１の変形写像式による写像で得られる変形後曲面における曲がり方の変化を表した曲率変化率最小化に関する第１の拘束条件方程式を設定する第１の拘束条件設定手段、
   上記第１の拘束条件設定手段により設定された上記第１の拘束条件方程式を解いて、上記第１の変形写像設定手段により設定された上記第１の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置近似および上記曲率変化率最小化を満たす第１の変形写像を確定させる第１の変形写像確定手段、
   上記放射基底関数の１次結合で表わした位置連続に関する項と、上記放射基底関数の１階導関数の１次結合で表わした接連続に関する項とを含む第２の変形写像式を設定する第２の変形写像設定手段、
   上記穴の縁線上の位置を目標の移動先位置に設定して、空間上の移動元位置から上記移動先位置への移動を表した上記位置連続、および、当該移動先位置における接ベクトルである１階微分ベクトルと上記移動先位置における法線ベクトルとの内積値がゼロになることを表した上記接連続に関する第２の拘束条件方程式を設定する第２の拘束条件設定手段、
   上記第２の拘束条件設定手段により設定された上記第２の拘束条件方程式を解いて、上記第２の変形写像設定手段により設定された上記第２の変形写像式に含まれる未知数を求めることにより、上記位置連続および上記接連続を満たす第２の変形写像を確定させる第２の変形写像確定手段、
   上記第１の変形写像確定手段により確定された上記第１の変形写像および上記第２の変形写像確定手段により確定された上記第２の変形写像を用いて、上記穴に対して仮設定した曲面を変形させる処理を実行することにより、上記穴被覆曲面を生成する形状変形手段
   としてコンピュータを機能させるための穴被覆曲面生成用プログラム。