JP2015088059A - プログラム、生成方法、生成装置、駆動装置、加工装置、リソグラフィ装置及び物品の製造方法 - Google Patents

Abstract

【課題】対象物の状態量に係る伝達関数の変動の影響を軽減した電流の時系列データを得るのに有利な技術を提供する。【解決手段】対象物を駆動するためのモータを含む制御系を第１状態から第２状態へ遷移させるために前記モータに供給する電流の時系列データをコンピュータに生成させるプログラムであって、前記対象物の振動モード及び運動モードのうちの特定モードの状態量を前記時系列データから推定するための複数のモデルによりそれぞれ得られる複数の状態量のばらつきの上限値を制約する条件を含む制約条件を満たすように、且つ、該時系列データを評価するための評価関数の値が許容条件を満たすように、該時系列データを前記コンピュータに生成させることを特徴とするプログラムを提供する。【選択図】図３

Description

本発明は、モータに供給する電流の時系列データを生成するプログラム、生成方法、生成装置、駆動装置、加工装置、リソグラフィ装置及び物品の製造方法に関する。

レーザ穴あけ装置、レーザトリマ装置、レーザリペア装置などのレーザ加工装置（工作機械装置）では、ガルバノ装置が使用されている。ガルバノ装置は、モータの回転軸に取り付けられたミラーの回転角度を制御しながら、かかるミラーでレーザ光を反射して目標位置に照射する。レーザ光の照射位置を目標位置に位置決めする際には、ミラーの回転角度を制御することが必要となるため、ガルバノ装置には、ミラーの回転角度を検出する検出器（例えば、静電容量センサ、光学式又は磁気式エンコーダ）が備えられている。

レーザ加工装置においては、生産性の向上や加工品質の向上が要求されているため、ガルバノ装置のモータには、ミラーを高速、且つ、高精度に目標位置に位置決めすることが求められている。また、ガルバノ装置では、モータの回転軸及びミラーの動バランスが取れていない場合やモータの磁石及びコイルによって生じる力に回転成分以外の成分が含まれている場合に、ミラーがモータの回転軸に対して倒れる振動モードが励起される。

そこで、当該振動モードに係る伝達関数（伝達特性）のモデルを用いて倒れ応答を推定し、かかる倒れ応答を別のモータの回転によって補償する技術が提案されている（特許文献１参照）。また、高速、且つ、高精度なミラーの位置決めを実現するために、モータに印加される電圧の絶対値の最大値を制約してモータに供給する電流の時系列データを生成する技術も提案されている（特許文献２参照）。

特開２０１１−２５３１２５号公報 特開２０１２−５０２７３号公報

しかしながら、振動モードに係るモデルを用いて倒れ応答を推定する従来技術では、実際の伝達関数が変動した場合に、当該モデルから推定される倒れ応答（推定値）の誤差が大きくなりうる。

本発明は、このような従来技術の課題に鑑みてなされ、対象物の状態量に係る伝達関数の変動の影響を軽減した電流の時系列データを得るのに有利な技術を提供することを例示的目的とする。

上記目的を達成するために、本発明の一側面としてのプログラムは、対象物を駆動するためのモータを含む制御系を第１状態から第２状態へ遷移させるために前記モータに供給する電流の時系列データをコンピュータに生成させるプログラムであって、前記対象物の振動モード及び運動モードのうちの特定モードの状態量を前記時系列データから推定するための複数のモデルによりそれぞれ得られる複数の状態量のばらつきの上限値を制約する条件を含む制約条件を満たすように、且つ、該時系列データを評価するための評価関数の値が許容条件を満たすように、該時系列データを前記コンピュータに生成させることを特徴とする。

本発明の更なる目的又はその他の側面は、以下、添付図面を参照して説明される好ましい実施形態によって明らかにされるであろう。

本発明によれば、例えば、対象物の状態量に係る伝達関数の変動の影響を軽減した電流の時系列データを得るのに有利な技術を提供することができる。

図１は、本発明の第１の実施形態におけるレーザ加工装置の構成を示す概略図である。 モータへの電流指令値からミラーの回転角度、ミラーの倒れ角度及びミラーの回転角度を検出するエンコーダの出力までの周波数特性を示す図である。 ミラーの倒れ振動を含む制御対象の拡大系を示す図である。 レーザ加工装置における実際の加工の一例を示す図である。 レーザ加工装置における軌道設計の制約条件を示す図である。 レーザ加工装置におけるガルバノ装置のミラーの倒れ振動を補償する制御系を示す図である。 レーザ加工装置における穴あけ加工の軌道設計を説明するためのフローチャートである。 制約条件を用いて軌道設計した結果の一例を示す図である。 本発明の第２の実施形態におけるリソグラフィ装置が有する基板ステージの構成を示す概略図である。

以下、添付図面を参照して、本発明の好適な実施の形態について説明する。なお、各図において、同一の部材については同一の参照番号を付し、重複する説明は省略する。

＜第１の実施形態＞
図１は、本発明の第１の実施形態におけるレーザ加工装置１の構成を示す概略図である。レーザ加工装置１は、対象物（物体）ＯＢにレーザ光を照射し、例えば、対象物ＯＢの切断、穴あけ、溶接などの加工を行う装置である。レーザ加工装置１は、互いに直交する軸（回転軸）を有する２つのガルバノ装置１０及び２０と、制御装置３０とを有する。

ガルバノ装置１０は、ミラー１０２と、モータ１０４とを含む。ミラー１０２は、モータ１０４の回転軸（駆動軸）に取り付けられ、レーザ光を他のミラー（ミラー２０２）に向けて反射する。モータ１０４は、対象物としてのミラー１０２を回転させる（初期状態（第１状態）から終端状態（第２状態）へ遷移させる）、即ち、ミラー１０２の角度を制御するＤＣサーボモータである。

ガルバノ装置２０は、ミラー２０２と、モータ２０４とを含む。ミラー２０２は、モータ２０４の回転軸に取り付けられ、レーザ光を対象物ＯＢに向けて反射する。モータ２０４は、対象物としてのミラー２０２を回転させる（初期状態から終端状態へ遷移させる）、即ち、ミラー２０２の角度を制御するＤＣサーボモータである。

制御装置３０は、ガルバノ装置１０及び２０（モータ１０４及び２０４）に対して終端状態制御（ＦＳＣ：Ｆｉｎａｌ−Ｓｔａｔｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ）を行う機能を有し、処理部３０２と、Ｄ／Ａ変換部３０４と、供給部３０６とを含む。

処理部３０２は、例えば、ＣＰＵやメモリなどを含む。処理部３０２は、ミラー１０２及び２０２のそれぞれの回転角度が目標角度となるように、モータ１０４及び２０４のそれぞれに供給する電流の値を決定して時系列的に表す電流プロファイル（時系列データ）を生成する処理を行う。処理部３０２は、例えば、メモリに格納されたプログラムを実行して、電流プロファイルを生成するための各処理を行う。但し、外部の情報処理装置（コンピュータなど）で電流プロファイルを生成するための処理を行って生成された電流プロファイルを処理部３０２のメモリに格納してもよい。

Ｄ／Ａ変換部３０４は、処理部３０２から入力されるデジタル形式の電流プロファイル（デジタル信号）をアナログ形式の電流プロファイル（アナログ信号）に変換して供給部３０６に入力する。

供給部３０６は、例えば、ブリッジ駆動のリニアアンプ（電流アンプ）を含み、処理部３０２で生成した電流プロファイル（電流指令値）に対応する電流をモータ１０４及び２０４のそれぞれに供給する。ここで、供給部３０６は、電流指令値とモータ１０４及び２０４のそれぞれに供給する電流の値とが同じになるように、電流フィードバック制御を行うことが可能である。

レーザ加工装置１において、レーザ光源ＬＳからのレーザ光は、ガルバノ装置１０及び２０のミラー１０２及び２０２のそれぞれで反射され、ＦθレンズＦＬを介して、対象物ＯＢに照射される。レーザ加工装置１では、対象物ＯＢの上でレーザ光を走査するための走査部として、ガルバノ装置１０及び２０が用いられている。なお、以下では、ガルバノ装置１０（ミラー１０２及びモータ１０４）とガルバノ装置２０（ミラー２０２及びモータ２０４）とを区別することなく、ガルバノ装置（ミラー及びモータ）として説明する。

ガルバノ装置では、モータの回転軸に対してミラーがねじれる方向及び倒れる方向に機械共振モード（振動モード（特定モード））が存在している。ここで、モータへの電流指令値ｉ_ｒｅｆからミラーの回転角度ｙ_ｒ、ミラーの倒れ角度ｙ_ｖ及びミラーの回転角度を検出するエンコーダの出力（検出角度）ｙ_ｓまでの周波数特性を図２（ａ）及び図２（ｂ）に示す。図２（ａ）では、横軸に周波数［Ｈｚ］を採用し、縦軸にゲイン［ｄＢ］を採用している。図２（ｂ）では、横軸に周波数［Ｈｚ］を採用し、縦軸に位相［ｄｅｇ］を採用している。また、Ｐ_ｒ（ｓ）、Ｐ_ｖ（ｓ）及びＰ_ｓ（ｓ）は、各モータへの電流指令値ｉ_ｒｅｆからミラーの回転角度ｙ_ｒ、ミラーの倒れ角度ｙ_ｖ及びミラーの回転角度を検出するエンコーダの出力ｙ_ｓまでの数学モデル（伝達特性）である。ねじれ方向の共振モードは、求められる制御帯域と比較して、その共振周波数が高いため、共振モードを励起しないように軌道設計することが可能である。また、減衰性を有するようにフィードバック制御器の設計を行うことも可能である。

一方、ミラーの倒れ振動の共振周波数は、ガルバノ装置の共振モードのうちの最も低い周波数であることがわかる。従って、倒れ振動を励起しないように制御器にノッチフィルタを含ませることは、ミラーの位置決め性能（回転角度制御）の劣化を招いてしまう。また、倒れ方向の共振モードは制御帯域内に存在するため、共振モードを励起しないように軌道設計で考慮し、ミラーの高速な位置決め動作を実現することは難しい。

レーザ加工装置１では、実際には、例えば、多数の穴あけ加工を連続して行うため、加工位置に応じた角度にガルバノ装置のミラーを位置決めし、ミラーを静止させた状態でレーザ光を照射する動作を繰り返している。１回のミラーの位置決め動作では、ミラーの倒れ振動は、要求される位置精度に対して十分に小さい。但し、ミラーの位置決め動作を連続的に行う際には、振動の波が重なり合う場合があり、高精度な加工を行う上で支障となってきている。

図２（ａ）及び図２（ｂ）を参照するに、ガルバノ装置は、低周波域では剛体特性を有し、高周波域では大きな２つの共振特性を有するシステムであることがわかる。そこで、ガルバノ装置の周波数応答を、剛体モード、２つの共振モード、むだ時間（電流アンプでの遅れ特性）からなる以下の伝達関数でモデリングする。

Ｐ_ｍｅｃｈは、以下の式（１）で示すように、剛体モードＰ_ｎと、共振モードＰ_１と、共振モードＰ_２との和で表現された伝達関数である。
Ｐ_ｍｅｃｈ（ｓ）＝Ｐ_ｎ（ｓ）＋Ｐ_１（ｓ）＋Ｐ_２（ｓ） ・・・（１）
但し、Ｐ_ｎ（ｓ）は、以下の式（２）で表され、Ｐ_ｉ（ｓ）は、以下の式（３）で表される。

図２（ａ）及び図２（ｂ）を参照するに、電流指令値からミラーの倒れ角度までの応答については、１つの共振特性を有するシステムである。また、ミラーの倒れ方向の共振モードは、温度変動や経時変化によって共振周波数が変動することがわかっている。そこで、特性変動を含むミラーの倒れ方向の共振モードＰ_ｖｉは、以下の式（４）で表現している。

以下では、ミラーの倒れ振動、即ち、ミラーの倒れ角度のみに着目し、ミラーのねじれ振動は考慮せずに説明する。

図３は、ミラーの倒れ振動を含む制御対象の拡大系を示す図である。図３において、Ｐ_ｓは、電流指令値に対するエンコーダの出力応答までの連続系のモデル（電流指令値からミラーの回転角度を推定するためのモデル）である。また、Ｐ_ｖｉは、電流指令値に対するミラーの倒れ角度応答までの連続系のモデル（電流指令値からミラーの倒れ角度（振動モードの状態量）を推定するためのモデル）である。

ガルバノ装置では、上述したように、ミラーの倒れ方向の共振モードについては、共振周波数が変動することがある。そこで、かかる共振周波数の変動を±５％とし、１％刻みのｎ＝１１通りのモデルＰ_ｖｉ ｛ｉ＝１，・・・，１１｝を考える。換言すれば、ガルバノ装置のモータの互いに異なる複数の動作環境のそれぞれに対応する複数のモデルを考える。ここで、動作環境は、ガルバノ装置のモータが配置された空間の温度を含む。このような複数のモデルの応答が制御仕様を満たすように、以下の軌道設計を行う。ｙ_ｖｒ［ｋ］は、以下の式（５）に示すように、時刻ｋでのミラーの倒れ振動のモデルの応答のばらつきを示す。Ｔ_ｖは、時刻ｋでのミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答のばらつきを算出するための行列である。ここでは、行列Ｔ_ｖは、１１通りの応答から２つの応答を取り出す全ての組み合わせである。

ｙ_ｖｍ［ｋ］は、時刻ｋでのミラー倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答の中心値である。Ｔ_ｍは、ミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答の中心を求める計算式である。具体的には、計算式Ｔ_ｍは、時刻ｋでの複数の応答の最大値及び最小値のそれぞれを求め、最大値と最小値との中心値を求めて出力する。

ここで、レーザ加工装置１における実際の加工での軌道設計について考える。レーザ加工装置１が、図４に示すように、ガルバノ装置のモータ、例えば、Ｘ軸モータの走査方向に、１ｍｍの穴を間隔Ｄ_ｐで５つ形成する場合を考える。図４において、黒点は、穴を形成する位置を示している。軌道設計においては、Ｘ軸方向については誤差なく穴を形成するものとし、Ｙ軸方向については±１μｍ以内の誤差で穴を形成するものとする。また、加工時間は、１００μｓとする。このような制約を満たすように、軌道設計を行う。

次に、レーザ加工装置１における軌道設計の制約条件について考える。図５（ａ）及び図５（ｂ）は、レーザ加工装置１における軌道設計の制約条件を示す図である。図５（ａ）では、横軸に時刻を採用し、縦軸にエンコーダの出力ｙ_ｓを採用している。図５（ｂ）では、横軸に時刻を採用し、縦軸にミラーの倒れ振動のモデルの応答のばらつき（の幅）ｙ_ｖｒを採用している。図５（ａ）及び図５（ｂ）において、太線は、制約条件を示している。また、１番目の穴から５番目の穴のそれぞれの加工開始時刻をＴ_１、・・・、Ｔ_５とし、１番目の穴から５番目の穴のそれぞれの加工終了時刻をＴ_１’、・・・、Ｔ_５’とする。

ここで、時刻Ｔ_１から時刻Ｔ_１’の間は、穴あけ加工を行う時間であり、エンコーダの出力は１ｍｍの位置に誤差なく位置決めし、且つ、ミラーの倒れ振動のモデルの応答（倒れ角度）のばらつきは２μｍ以内に制約することを示している。また、２番目の穴から５番目の穴についても同様に制約条件を設定していることを示している。このような制約条件を満たすように軌道設計を行う。

図６は、レーザ加工装置１におけるガルバノ装置のミラーの倒れ振動を補償する制御系を示す図である。レーザ加工装置１において、２つのガルバノ装置の２つのモータ（Ｘ軸モータ及びＹ軸モータ）は、互いの回転軸が直交するように配置されている。Ｐ’_ｘｄ［ｚ］は、Ｘ軸の離散系のプラントモデルであり、電流入力値ｕ_ｘ［ｋ］に対するエンコーダの出力ｙ_ｘｓ［ｋ］を推定するモデルである。モデルＰ_ｘｄ［ｚ］は、連続系のモデルＰ_ｓ（ｓ）を離散化したものである。Ｐ_ｘｄ［ｚ］は、Ｘ軸の離散系のプラントモデルであり、電流入力値ｕ_ｘ［ｋ］に対するエンコーダの出力ｙ_ｘｓ［ｋ］、ミラーの倒れ角度ｙ_ｘｖ［ｋ］及びミラーの倒れ角度の中心値ｙ_ｘｖｍ［ｋ］を推定するモデルである。Ｃ_ｘ［ｚ］は、Ｘ軸の離散系のフィードバック制御器である。Ｍ_ｘ及びＧ_{ｘｚｐｅｔｃ}は、零位相差追従制御（ＺＰＥＴＣ）で設計した軌道追従制御系であり、ミラーの倒れ角度を他方のモータで補償することを示している。

同様に、Ｐ’_ｙｄ［ｚ］は、Ｙ軸の離散系のプラントモデルであり、電流入力値ｕ_ｙ［ｋ］に対するエンコーダの出力ｙ_ｙｓ［ｋ］を推定するモデルである。Ｐ_ｙｄ［ｚ］は、Ｙ軸の離散系のプラントモデルであり、電流入力値ｕ_ｙ［ｋ］に対するエンコーダの出力ｙ_ｙｓ［ｋ］、ミラーの倒れ角度ｙ_ｙｖ［ｋ］及びミラーの倒れ角度の中心値ｙ_ｙｖｍ［ｋ］を推定するモデルである。Ｃ_ｙ［ｚ］は、Ｙ軸の離散系のフィードバック制御器である。Ｍ_ｙ及びＧ_{ｙｚｐｅｔｃ}は、零位相差追従制御（ＺＰＥＴＣ）で設計した軌道追従制御系であり、ミラーの倒れ角度を他方のモータで補償することを示している。

ミラーの倒れ振動の共振周波数は、ねじれ振動の共振周波数よりも小さいため、他方のモータの制御帯域内となる。従って、ミラーの倒れ角度の中心値は、他方のモータで十分に補償することができるため、ミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答のばらつき（の上限値）を、必要な加工精度まで低減すればよい。換言すれば、ミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答のばらつきを２μｍ以内に抑制すれば、穴あけ加工に要求される精度を満たすことができる。

エンコーダの出力（応答）及びミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答のばらつきを制約した軌道設計について説明する。図３を参照するに、入力をｕ_ｄ［ｋ］、出力をエンコーダの出力ｙ_ｓ［ｋ］及びミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる応答の差異ｙ_ｖｒ［ｋ］とするシステムＰｄ［ｚ］：＝（Ａｄ，Ｂｄ，Ｃｄ，０）を求めると、以下の式（６）となる。

但し、Ｐ_ｓｄ［ｚ］：＝（Ａ_ｓｄ，Ｂ_ｓｄ，Ｃ_ｓｄ，０）、Ｐ_ｖ１［ｚ］：＝（Ａ_ｖ１，Ｂ_ｖ１，Ｃ_ｖ１，０）、Ｐ_ｖｎ［ｚ］：＝（Ａ_ｖｎ，Ｂ_ｖｎ，Ｃ_ｖｎ，０）、ｙ［ｋ］＝［ｙ_ｓ［ｋ］，ｙ_ｖｒ［ｋ］］^Ｔである。

Ｐ_ｓｄ［ｚ］は、エンコーダの出力のモデルＰ_ｓ（ｓ）をサンプリング時間τでゼロ次ホールドによって離散化したシステムである。Ｐ_ｖｉ［ｚ］ （ｉ＝１，・・・，ｎ）は、ミラーの倒れ振動のモデルＰ_ｖｉ（ｓ）をサンプリング時間τでゼロ次ホールドによって離散化したシステムである。また、図３では、入力ｕ_ｄ［ｋ］に対して拡大系の入力ｕ［ｋ］を設けている。

入力をｕ［ｋ］、出力をエンコーダの出力ｙ_ｓ［ｋ］及びミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる応答の差異ｙ_ｖｒ［ｋ］とするシステムＰ［ｚ］：＝（Ａ，Ｂ，Ｃ，０）を求めると、以下の式（７）となる。

ここで、終端状態制御（ＦＳＣ）について説明する。終端状態制御は、与えられたシステムに対して、フィードフォワード入力を加えることによって、対象物を有限時間で指定した終端状態にする制御法である。制御システムＰ［ｚ］に対して、初期状態ｘ［０］をＮ（≧ｍ）ステップで出力ｙ［Ｎ］に制御する入力ｕ［ｋ］を求めることを考える。ｍ次の制御システムＰ［ｚ］のｋにｋ＝０，１，・・・，Ｎ−１を代入すると、以下の式（８）を得る。
ｙ［Ｎ］＝Ｃ（Ａ^Ｎｘ［０］＋ΣＵ） ・・・（８）
但し、
Σ＝［ Ａ^Ｎ−１Ｂ Ａ^Ｎ−２Ｂ ・・・ Ｂ ］ ・・・（９）
Ｕ＝［ ｕ［０］ ｕ［１］ ・・・ ｕ［Ｎ−１］ ］^Ｔ
Ａ及びＢが制御可能であり、且つ、Ｎ≧ｍが満たされているため、式（９）において、Σは、正方正則行列又は横長行フルランク行列となる。Σが正方正則行列であれば、式（８）を満たすＵは、１つに求まる。但し、一般的には、ステップ数Ｎは、制御対象物の次数ｍよりも十分に大きいため、Σは横長行フルランク行列となり、式（８）を満たすＵは、１つに求まらない。

そこで、終端状態制御では、式（８）に基づいて、以下の式（１０）を最小化する入力Ｕを求める。式（８）に基づく式（１０）の最小化問題は、ラグランジュの未定乗数で解くことが可能であり、以下の式（１１）で表される。
Ｊ＝ＵＴＱＵ、 Ｑ＞０ ・・・（１０）
Ｕ＝Ｑ^−１Σ^Ｔ（ΣＱ^−１Σ^Ｔ）^−１（ｘ［Ｎ］−Ａ^Ｎｘ［０］） ・・・（１１）
このようにして求めたフィードフォワード入力をＦＳＣ入力と称し、かかるＦＳＣ入力から得られる軌道をＦＳＣ軌道と称するものとする。

従来、終端状態制御で入力飽和などを考慮する際には、ＬＭＩ（Ｌｉｎｅａｒ Ｍａｔｒｉｘ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）として定式化している。但し、制約条件を考慮した終端状態制御では、２次計画問題として定式化することもできるため、ＬＭＩよりも高速に解を求めることができる可能性がある。

２次計画問題は、変数ベクトルＵに対して、以下の式（１２）に示す等式条件や以下の式（１３）に示す不等式条件を満たし、且つ、以下の式（１４）に示すＵに関する目的関数を最小化する問題として定式化される。なお、式（１３）で示すベクトルに対する不等式条件は、各要素について不等式をとるものとする。
Ａ_ＥＱＵ＝ｂ_ＥＱ ・・・（１２）
Ａ_ＩＮＥＱＵ≦ｂ_ＩＮＥＱ ・・・（１３）
Ｊ＝Ｕ^ＴＱＵ， Ｑ＞０ ・・・（１４）
式（８）に示す等式条件は、式（１２）に示す等式条件に対応し、式（１０）に示す目的関数は、式（１４）に示す目的関数に対応する。従って、通常の終端状態制御は、２次計画法によって解くことができる。更に、式（１３）に示す不等式条件を用いることで、入力飽和などの制約条件も扱うことができる。

そこで、以下の式（１５）に示すように、拡大系の状態ｘ［ｋ］と入力ｕ［ｋ］との線形和で制約変数ｚ［ｋ］を定義し、制約変数ｚ［ｋ］に対して、以下の式（１６）に示す制約条件を設定する。
ｚ［ｋ］＝Ｃ_ｚｘ［ｋ］＋Ｄ_ｚｕ［ｋ］ ・・・（１５）
｜ｚ［ｋ］｜≦ｚ_ｍａｘ ・・・（１６）
式（１５）において、ｋに０、１、・・・、Ｎ−１を順に代入すると、以下の式（１７）が得られる。また、式（１７）を行列形式で表現すると、以下の式（１８）が得られる。

式（１６）に示す制約条件は、以下の式（２２）及び式（２３）に示すように、Ｕに対する２つの不等式条件として表すことができるため、式（１３）に示す制約式として２字計画問題の制約条件に帰着することができる。但し、Ｚ_ｍａｘ＝ｚ_ｍａｘ［１、・・・、１］^Ｔとする。
Ω_ｚＵ≦Ｚ_ｍａｘ−Φ_ｚｘ［０］ ・・・（２２）
−Ω_ｚＵ≦Ｚ_ｍａｘ＋Φ_ｚｘ［０］ ・・・（２３）
上述した軌道設計手法を用いて、図４に示す穴あけ加工の軌道設計を考える。上述したように、Ｘ軸方向については誤差なく穴を形成するものとする。この場合、穴あけ加工中のエンコーダの出力を式（１２）に示す等式条件で考慮すればよいことがわかる。また、上述したように、Ｙ軸方向については±１μｍ以内の誤差で穴を形成するものとする。従って、穴あけ加工中のミラーの倒れ振動（倒れ角度）のばらつき（の上限値）が２μｍ以下となるように、式（１３）に示す不等式条件で考慮すればよいことがわかる。このような等式条件及び不等式条件を満たすように、数値最適化により軌道を求めればよい。

図７は、連続的な穴あけ加工の例として、５つの穴を形成する穴あけ加工の軌道設計を説明するためのフローチャートである。Ｎは、形成すべき穴の個数を示し、Ｎ個目までの穴あけ加工の軌道設計を行うものとする。ｋは、時刻を示す。ここでは、離散系の制御器を用いているため、単位を［ｓａｍｐｌｅ］とする。Ｔ_Ｎは、Ｎ個目の穴の形成を開始する時刻であり、図５（ａ）及び図５（ｂ）に示すＴ１、Ｔ２、Ｔ３、Ｔ４及びＴ５の時刻に対応する。

Ｓ１１では、Ｎ＝１とし、１個目の穴までの軌道を設計する。また、位置決めのための時刻ｋを１としている。Ｓ１２では、１個目の穴の形成を開始する時刻Ｔ_１を１サンプルとし、Ｓ１３では、Ｓ１２の設定条件で軌道設計を行う。Ｓ１４では、設定条件を満たす軌道設計を行うことができたかどうかを判定する。設定条件が厳しい場合には、設定条件を満たす解がないこともある。

設定条件を満たす軌道設計を行うことができなかった（即ち、設定条件を満たす解がない）場合には、Ｓ１６にて、位置決めのための時刻ｋを１サンプル増加させて、Ｓ１２に移行する（軌道設計を再度行う）。かかる処理は、設定条件を満たす軌道設計を行うことができるまで、繰り返し行う。

一方、設定条件を満たす軌道設計を行うことができた（即ち、設定条件を満たす解がある）場合には、Ｓ１５にて、５個目の穴までの軌道が設計されたか（Ｎ＝５？）どうかを判定する。５個目の穴までの軌道が設計されていない場合、Ｓ１７にて、穴の個数Ｎを１つ増加させて、Ｓ１２に移行する（軌道設計を継続する）。なお、Ｎ個目の穴までの軌道を設計する際には、Ｎ−１個目の穴までの軌道設計で求めた時刻Ｔ_１、・・・、Ｔ_Ｎ−１を用いて処理を行う。このような処理を繰り返し、５個目の穴までの軌道設計を行う。

ここで、以下の制約条件を満たすように軌道を設計する。
１個目の穴の制約条件：
ｙ_ｓ［ｋ_１］＝１ｍｍ （Ｔ_１≦ｋ_１≦Ｔ_１’）
｜ｙ_ｖｒ［ｋ_１］｜≦２μｍ （Ｔ_１≦ｋ_１≦Ｔ_１’）
２個目の穴の制約条件：
ｙ_ｓ［ｋ_２］＝１ｍｍ （Ｔ_２≦ｋ_２≦Ｔ_２’）
｜ｙ_ｖｒ［ｋ_２］｜≦２μｍ （Ｔ_２≦ｋ_２≦Ｔ_２’）
３個目の穴の制約条件：
ｙ_ｓ［ｋ_３］＝１ｍｍ （Ｔ_３≦ｋ_３≦Ｔ_３’）
｜ｙ_ｖｒ［ｋ_３］｜≦２μｍ （Ｔ_３≦ｋ_３≦Ｔ_３’）
４個目の穴の制約条件：
ｙ_ｓ［ｋ_４］＝１ｍｍ （Ｔ_４≦ｋ_４≦Ｔ_４’）
｜ｙ_ｖｒ［ｋ_４］｜≦２μｍ （Ｔ_４≦ｋ_４≦Ｔ_４’）
５個目の穴の制約条件：
ｙ_ｓ［ｋ_５］＝１ｍｍ （Ｔ_５≦ｋ_５≦Ｔ_５’）
｜ｙ_ｖｒ［ｋ_５］｜≦２μｍ （Ｔ_５≦ｋ_５≦Ｔ_５’）
上述した制約条件を用いて軌道設計した結果を図８に示す。図８（ａ）では、横軸に時刻を採用し、縦軸にモータに供給する電流の値（モータに供給する電流の時系列データ）を採用している。図８（ｂ）では、横軸に時刻を採用し、縦軸にエンコーダの出力Ｙ_ｓ（ミラーの回転角度）を採用している。図８（ｃ）では、横軸に時刻を採用し、縦軸にミラーの倒れ振動のモデルから得られる応答Ｙ_ｖｉ（倒れ角度）を採用している。図８（ｄ）では、横軸に時刻を採用し、縦軸にミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる応答のばらつきＹ_ｖｒを採用している。エンコーダの出力が１ｍｍ、２ｍｍ、３ｍｍ、４ｍｍ及び５ｍｍで静止している区間（静止区間）では、モータに供給する電流の値が０になっていることがわかる。更に、かかる静止区間において、ミラーの倒れ振動の複数のモデルのそれぞれから得られる応答のばらつきは、制約条件である２μｍ以下となっていることがわかる。このような軌道設計をガルバノ装置に適用することによって、高速、且つ、高精度なミラーの位置決めを行うことができる。従って、レーザ加工装置１は、高速、且つ、高精度なレーザ加工を行うことができる。

本実施形態では、終端状態制御を用いた軌道設計について説明したが、その他の軌道設計を適用することも可能であり、例えば、ミラーのねじれ振動の共振周波数を抑制するために周波数重み付き終端状態制御（ＦＦＳＣ）を適用してもよい。なお、ＦＦＳＣでは、共振周波数付近の電流成分を抑制するように目的関数に重みを付ける方法が広く知られている。

また、本実施形態において、目的関数（評価関数）とは、電流プロファイル（時系列データ）を評価するための関数であって、最適化（換言すれば、最小化など、許容条件を満たすようにすること）の対象となる関数である。目的関数は、例えば、ガルバノ装置のモータに供給する電流の値（時系列データ）の微分値の二乗和、時系列データの特定の周波数成分の大きさ、モータに供給する電流の値の二乗和などの少なくとも１つを含みうる。また、目的関数は、ガルバノ装置のモータに供給する電流アンプの消費電力、モータに供給する電流の絶対値の最大値、及び、モータに供給する電流によりモータに発生する（印加させる）電圧の絶対値の最大値を含んでもよい。

＜第２の実施形態＞
本実施形態では、露光装置などのリソグラフィ装置が有する基板ステージ（ＸＹステージ）への適用例を説明する。図９は、本発明の第２の実施形態におけるリソグラフィ装置が有する基板ステージ１０００の構成を示す概略図である。リソグラフィ装置は、パターンを基板に形成する装置であって、例えば、露光装置、描画装置、インプリント装置などとして具現化される。露光装置は、レチクル（マスク）を照明する照明光学系と、レチクルのパターンを基板に投影する投影光学系とを有し、レチクルのパターンを基板の上に転写する装置である。描画装置は、荷電粒子線（電子線やイオンビーム）を用いて基板の上にパターンを描画する装置である。インプリント装置は、基板上の樹脂とモールド（型）とを接触させた状態で樹脂を硬化させ、硬化した樹脂からモールドを剥離することで基板の上にパターンを転写する装置である。

基板ステージ１０００は、図９に示すように、Ｙ軸方向へのステージ１００８の移動に用いられるＹ軸モータ１００９と、Ｘ軸方向へのステージ１００８の移動に用いられるＸ軸モータ１０１２とを有する。

ステージ１００８をＸ軸モータ１０１２によってＸ軸方向に移動させた場合、ステージ１００８には、Ｘ軸方向（の運動モード）の移動とは異なる非直線成分の移動（ステージ１００８を駆動すべき方向と異なる方向の運動モード）が存在する。かかる非直線成分のうち、Ｙ軸方向の成分については、Ｙ軸モータ１００９によるステージ１００８のＹ軸方向への直線運動で補償することができる。

同様に、ステージ１００８をＹ軸モータ１００９によってＹ軸方向に移動させた場合、ステージ１００８には、Ｙ軸方向（の運動モード）の移動とは異なる非直線成分の移動（ステージ１００８を駆動すべき方向と異なる方向の運動モード）が存在する。かかる非直線成分のうち、Ｘ軸方向の成分については、Ｘ軸モータ１０１２によるステージ１００８のＸ軸方向への直線運動で補償することができる。

そこで、第１の実施形態と同様に、非直線成分の運動モードをモデル化し、非直線成分の運動モード（特定モード）の変位を推定するための複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答（変位）のばらつきを低減するように軌道設計を行う。これにより、一方のステージの非直線成分の運動モードの変位を、他方のステージによって高精度に補償することができる。

このように、第１の実施形態で説明した軌道設計をリソグラフィ装置の基板ステージに適用することによって、高速、且つ、高精度に基板ステージの位置決めを行うことができる。従って、かかるリソグラフィ装置は、高いスループットで経済性よく高品位な半導体デバイス、ＬＣＤ素子、撮像素子（ＣＣＤなど）、薄膜磁気ヘッドなどの物品を提供することができる。デバイスなどの物品の製造方法は、上述したリソグラフィ装置を用いてパターンを基板に形成する工程と、かかる工程でパターンが形成された基板を現像する工程とを含む。更に、上述した工程に続いて、かかる製造方法は、他の周知の工程（酸化、成膜、蒸着、ドーピング、平坦化、エッチング、レジスト剥離、ダイシング、ボンディング、パッケージングなど）を含みうる。本実施形態における製造方法は、従来に比べて、物品の性能、品質、生産性及び生産コストの少なくとも１つにおいて有利である。

＜第３の実施形態＞
本実施形態では、第１の実施形態で説明したレーザ加工装置１において、加工の対象物を第２の実施形態で説明した基板ステージに配置した場合について説明する。

まず、基板ステージを静止状態に位置決めした場合を考える。レーザ加工時にガルバノ装置のミラーを連続的に位置決めすると、第１の実施形態で説明したように、ミラーは、モータの回転軸に対してミラーが倒れる方向に振動する。かかる振動によって、対象物上のレーザ照射位置（加工位置）が振動することになる。そこで、対象物を保持する基板ステージを、ガルバノ装置のミラーの倒れ振動による加工位置の振動を減衰させるように移動させることで、ミラーの倒れ振動による影響を補償することができる。具体的には、第１の実施形態と同様に、ガルバノ装置のミラーの倒れ振動を推定する複数のモデルのそれぞれから得られる複数の応答のばらつきを低減するように軌道設計を行う。これにより、ガルバノ装置のミラーの倒れ振動による影響を、基板ステージによって高精度に補償する琴が可能となる。従って、レーザ加工装置においては、高速、且つ、高精度に対象物を位置決めすることができるため、高速、且つ、高精度なレーザ加工を実現することが可能となる。

＜第４の実施形態＞
第１の実施形態では、２軸の回転モータの制御についての実施形態を説明し、第２の実施形態では、２軸のリニアモータの制御についての実施形態を説明した。また、第３の実施形態では、回転モータとリニアモータとを組み合わせた実施形態を説明した。但し、本発明は、これらに限定されるものではなく、３軸以上の多軸のモータの制御にも適用することができる。

また、本発明は、以下の処理を実行することによっても実現される。即ち、上述した実施形態の機能を実現するソフトウェア（プログラム）を、ネットワーク又は各種記憶媒体を介してシステム或いは装置に供給し、そのシステム或いは装置のコンピュータ（又はＣＰＵやＭＰＵ等）がプログラムを読み出して実行する処理である。

以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明はこれらの実施形態に限定されないことはいうまでもなく、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。

Claims (18)

1. 対象物を駆動するためのモータを含む制御系を第１状態から第２状態へ遷移させるために前記モータに供給する電流の時系列データをコンピュータに生成させるプログラムであって、
   前記対象物の振動モード及び運動モードのうちの特定モードの状態量を前記時系列データから推定するための複数のモデルによりそれぞれ得られる複数の状態量のばらつきの上限値を制約する条件を含む制約条件を満たすように、且つ、該時系列データを評価するための評価関数の値が許容条件を満たすように、該時系列データを前記コンピュータに生成させることを特徴とするプログラム。
2. 前記制御系は、前記振動モード及び前記運動モードのうちの第１モードの状態量を制御し、前記特定モードの状態量は、前記振動モード及び前記運動モードのうちの前記第１モードとは異なる第２モードの状態量であることを特徴とする請求項１に記載のプログラム。
3. 前記第１モードの状態量は、前記モータの駆動軸とともに回転する前記対象物の回転角であり、前記第２モードの状態量は、前記対象物の倒れ角であることを特徴とする請求項２に記載のプログラム。
4. 前記第１モードの状態量は、第１方向において前記モータにより駆動される前記対象物の該第１方向における位置であり、前記第２モードの状態量は、前記第１方向とは直交する第２方向における前記対象物の位置であることを特徴とする請求項２に記載のプログラム。
5. 前記複数のモデルは、互いに異なる複数の動作環境における前記制御系に係る複数のモデルを含むことを特徴とする請求項１乃至４のうちいずれか１項に記載のプログラム。
6. 前記動作環境は、前記制御系が配置された空間の温度を含むことを特徴とする請求項５に記載のプログラム。
7. 前記評価関数は、前記時系列データの微分値の二乗和を含むことを特徴とする請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載のプログラム。
8. 前記評価関数は、前記時系列データの特定の周波数成分の大きさを含むことを特徴とする請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載のプログラム。
9. 前記評価関数は、前記時系列データの二乗和を含むことを特徴とする請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載のプログラム。
10. 前記評価関数は、前記モータに電流を供給する電流アンプの消費電力を含むことを特徴とする請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載のプログラム。
11. 前記評価関数は、前記時系列データの絶対値の最大値を含むことを特徴とする請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載のプログラム。
12. 前記評価関数は、前記時系列データにより前記モータに印加される電圧の絶対値の最大値を含むことを特徴とする請求項１乃至６のうちいずれか１項に記載のプログラム。
13. 対象物を駆動するためのモータを含む制御系を第１状態から第２状態へ遷移させるために前記モータに供給する電流の時系列データを生成する生成方法であって、
    前記対象物の振動モード及び運動モードのうちの特定モードの状態量を前記時系列データから推定するための複数のモデルによりそれぞれ得られる複数の状態量のばらつきの上限値を制約する条件を含む制約条件を満たすように、且つ、該時系列データを評価するための評価関数の値が許容条件を満たすように、該時系列データを求めることを特徴とする生成方法。
14. 対象物を駆動するためのモータを含む制御系を第１状態から第２状態へ遷移させるために前記モータに供給する電流の時系列データを生成する生成装置であって、
    前記対象物の振動モード及び運動モードのうちの特定モードの状態量を前記時系列データから推定するための複数のモデルによりそれぞれ得られる複数の状態量のばらつきの上限値を制約する条件を含む制約条件を満たすように、且つ、該時系列データを評価するための評価関数の値が許容条件を満たすように、該時系列データを求める処理部を有することを特徴とする生成装置。
15. 対象物を駆動するためのモータを含む制御系を有する駆動装置であって、
    前記制御系を第１状態から第２状態へ遷移させるために前記モータに供給する電流の時系列データを求める処理部を有し、
    前記処理部は、前記対象物の振動モード及び運動モードのうちの特定モードの状態量を前記時系列データから推定するための複数のモデルによりそれぞれ得られる複数の状態量のばらつきの上限値を制約する条件を含む制約条件を満たすように、且つ、該時系列データを評価するための評価関数の値が許容条件を満たすように、該時系列データを求めることを特徴とする駆動装置。
16. ミラーを有し、該ミラーを介して光を照射して物体を加工する加工装置であって、
    前記ミラーを対象物とする請求項１５に記載の駆動装置を有することを特徴とする加工装置。
17. 基板を保持するステージを有し、前記ステージに保持された前記基板にパターンを形成するリソグラフィ装置であって、
    前記ステージを対象物とする請求項１５に記載の駆動装置を有することを特徴とするリソグラフィ装置。
18. 請求項１７に記載のリソグラフィ装置を用いてパターンを基板に形成する工程と、
    前記工程で前記パターンを形成された前記基板を現像する工程と、
    を含むことを特徴とする物品の製造方法。

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