JP2014532931A

JP2014532931A - カオス的挙動を示す動的物理システムの制御方法

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Publication number: JP2014532931A
Application number: JP2014539408A
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Inventors: シェーパー，ティアードビクターシーベマリアオールディ; ロバートカーネル，アンドリュー
Original assignee: オックスフォードブルックスユニバーシティ
Priority date: 2011-11-03
Filing date: 2012-11-05
Publication date: 2014-12-08
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Abstract

複数の可変量を含む動的物理システムを制御する方法。前記可変量を表す複数の変数と前記変数の変化率を示す複数の各レート方程式を含むシステムのモデルが獲得される。前記複数のレート方程式から少なくとも１つのレート方程式において制御項が同定される。前記レート方程式における少なくとも１つの変数に対し、前記レート方程式の増加率に対する前記変数の比率からレート制御関数が導出され、安定した制御項を提供するため、前記レート制御関数は前記制御項に適用される。次に、前記動的物理システムは前記制御項における変数によって表される少なくとも１つの量を修正することによって制御されるため、前記修正された量から導出される制御項が前記安定した制御項と実質的に同一である。

Description

本発明は、動的物理システムの制御に関する。特に、これだけに限らないが、本発明はカオス的挙動を示す動的物理システムの制御に関する。

カオス的動的物理システムとは、数学的に決定論的な挙動（その挙動は特定の時点における状態により正確に決定される）を示すにも関わらず、状態に対するシステムの感度のため、経時的に予測不能である動的物理システムである。この予測不能性のため、動的物理システムの制御を試みる際、システムの制御能力を限定するのでカオス状態に入らせることは一般に望ましくないとされている。

しかし、カオス状態を避けることはシステムを非効率な状態に制限することを意味する場合がある。たとえば化学反応において、予測不能ではあるがカオス状態は、安定した非カオス状態よりも資源をより効率的に利用する場合がある。さらに、一定の大きさを超えたシステムにおいてはカオス状態が不可避である場合があり、故に、極小規模システムに制限することでしかカオス的挙動を避けることができない。このため、カオス的システムの制御は幾分着目されてきた。

動的物理システムは、各々が経時的に変化するシステム量を表す、複数の変数で表すことができる。（たとえば、そのシステムが化学プロセスである場合、その変数は異なる化学薬品の量又はそれらの濃度を表す場合がある。）そうすると、そのシステムは各々の変数に対する複数のレート方程式によってモデル化することができる。それは、現状に基づきその量がどのように経時的に変化するかを示す。

周知のように、システムの瞬間状態は「状態空間」を移動する点とみなすことができ、その状態空間の次元はシステムの異なる変数を表す。また、任意の時点における点の位置は、その時点での変数の値によって決定される。状態空間を進む点の例として、図１にレスラーシステム（カオス的挙動を示す周知の単純な動的物理システム）を示す。

カオス的挙動が発生する範囲内の動的物理システムにおいて、システムの大域的挙動がレート方程式の部分集合によって支配されることは既知であり、それはシステム量が指数関数的割合で増加することを許すシステムの非線形部分となりがちである。局所拡大率は各々の変数の局所的挙動に比例する。

カオス的システムを制御する既知の方法に、Ｅ．Ｏｔｔ，Ｃ．Ｇｒｅｂｏｇｉ，及びＪ．Ａ．Ｙｏｒｋｅ， “Ｃｏｎｔｒｏｌｌｉｎｇｃｈａｏｓ”，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．６４１１９６（１９９０）に初めて記載されたＯＧＹ（Ｏｔｔ，Ｇｒｅｂｏｇｉ及びＹｏｒｋｅ）法がある。ＯＧＹモデルは、前述のカオス的システムの特性に基づいている。ＯＧＹ法では、動的物理システムのモデルが獲得され、システムの周回が同定される近傍の不安定周期軌道を同定するために解析される。その結果、システムを選択された軌道内又は付近に保つため、変数の局所的挙動に比例してシステムの変数に小さな、予め決めた変化を適用することでシステムは制御される。

カオス的システムを制御する別の既知の方法として、Ｐｙｒａｇａｓの連続制御法がある。ＯＧＹ法同様、システムが周回する近傍の不安定周期軌道を同定する。しかしこの方法では、予め決めた時間遅れによってシステムの調整が行われるため、良好な制御を可能にするにはシステムの力学と慎重に整合されなければならない。

両ＯＧＹ法及びＰｙｒａｇａｓ法において、軌道の特性をその方法を実行するにあたって使用できるよう、特定の不安定周期軌道を同定するために解析においてシステムが作動中であることを要求するのは不利である。さらに、いずれの方法も全例においてシステムの制御を可能とはしない。

本発明は上述の問題を軽減しようとする。代替的に又は付加的に、本発明は動的物理システム、特にカオス的挙動を示す動的物理システムを制御する改善法を提供しようとする。

発明の第１の態様によれば、動的物理システムを制御する方法が提供されており、前記システムは複数の可変量を含み、前記方法は：
前記システムのモデルを獲得するステップであって、前記モデルは前記可変量を表す複数の変数と前記変数の変化率を示す複数の各レート方程式を含むステップ；
前記複数のレート方程式から少なくとも１つのレート方程式において制御項を同定するステップ；
前記レート方程式における少なくとも１つの変数に対し、前記レート方程式の増加率に対する前記変数の比率からレート制御関数を導出するステップ；
安定した制御項を提供するため、前記レート制御関数を前記制御項に適用するステップ；及び
前記制御項における変数によって表される少なくとも１つの量を修正することによって前記動的物理システムを制御するステップであって、そのため前記修正された量から導出される制御項が前記安定した制御項と実質的に同一であるステップを含む。

制御項は、少なくともシステムのある状態において、レート方程式によってその挙動が規定される変数の制御を支配する項である。前述の通り、カオス的挙動が発生する範囲内において、変数の局所拡大率は制御項における変数の局所的挙動に比例する。レート制御関数は変数の比率から導出され、レート方程式を安定させる。レート制御関数によって得られるモデルの安定化は、変数で表される量を適宜修正することでシステム自体に適用することができ、したがってシステムが安定するのを可能にする。制御項は大抵の場合、発明により提供される制御が適用されなかった場合、ある条件下では指数関数的に拡大する項となる。

上記の既知の方法と違って、本発明のこの態様の方法は、特定の不安定軌道の特性を同定することができるよう作動中にモデルが解析されることを要求しない。むしろ、レート制御方程式を導出することができるよう、考慮されなければならないのはモデルを規定するレート方程式のみである。

好ましくは、制御項はその挙動がレート方程式によって記述される変数を含む。そのような項は、変数自体の増加率に関する値のフィードバックが指数関数的増加を招くため、通常、システムの指数関数的な拡大を許す。

好ましくは、増加率に対する変数ｘの比率qxは方程式：
によって得られ、ここでμ_ｘは定数である。この場合も同様に、好ましくは、レート制御関数は：
という形式で、ここでｑ_ｘ1〜ｑ_ｘｎは増加率に対する変数ｘ_１〜ｘ_ｎの比率であり、ｆ及びξはスカラーである。スカラーｆ及びξは有利には、システムを予め決めた選択された軌道に安定させるよう変えられてもよい。レート制御関数は、上記の元のレート制御関数に定数項が加えられた形式においてバイアス項を含んでもよい。

好ましくは、該少なくとも１つのレート方程式は、そのそれぞれの変数の指数関数的増加を示す。これは、指数関数的増加を可能にするレート方程式は、少なくともある範囲においてシステムの挙動を支配しがちだからである。好ましくは、制御項は該少なくとも１つのレート方程式のそれぞれの変数の増加に寄与する。

該方法は、好ましくはコンピュータ又は計算装置を用いて実行される。あるいは、該方法は電子回路を用いて実行されてもよい。動的物理システムは、好ましくはコンピュータ又は計算装置からなる制御システムによって制御されてもよい。あるいは、該制御システムは電子回路を含んでもよい。制御システムは、好ましくは１つ以上の入力装置、センサー等を用いて、１つ以上のシステム量を測定する。システム量の値は、測定値から制御システムによって計算されてもよい。制御システムは制御されたシステム量に要求される修正を計算し、１つ以上の制御装置を用いて量を修正してもよい。

発明の第２の態様によれば、上記いずれかの方法によって制御される動的物理システムが提供されている。動的物理システムは、好ましくはコンピュータ又は計算装置を含む制御システムを含んでもよい。あるいは、該制御システムは電子回路を含んでもよい。制御システムは、１つ以上の入力装置、センサー等を用いて、１つ以上のシステム量を測定するよう整えられてもよい。制御システムは、測定値からのシステム量の計算値に整えられてもよい。制御システムは、制御されたシステム量に要求される修正を計算し、その量を１つ以上の制御装置を用いて修正するよう整えられてもよい。

発明の第１の態様において、動的物理システムはバイオリアクターであってもよい。該バイオリアクターはバイオエタノール発酵槽であってもよい。有利には、制御項はＤ（Ｃ_ｓｆ−Ｃ_ｓ）であり、ここでＣ_ｓは基質濃度、Ｃ_ｓｆは強制項、及びＤは定数である。そのような場合、好ましくはレート制御関数は：
であり、ここで：
である。

あるいは、制御項は−ＤＣ_ｐであってもよく、ここでＣ_ｐは生成物濃度でＤは定数である。これは、生成物の濃度を制御することによって、又は言い換えると生成と同時に生成物をシステムから取り除くことによって、システムが制御されることを可能にする。そのような場合、好ましくはレート制御関数は：
であり、ここで：
で、Ｃ_ｘはバイオマス濃度でＣ_ｅは活性成分比である。

発明の第３の態様によれば、上記いずれかの方法によって制御されるバイオリアクターが提供されている。

発明の第４の態様によれば、上記いずれかの方法によって制御されるバイオエタノール発酵槽が提供されている。

発明の第１の態様において、動的物理システムは風力タービンであってもよい。好ましくは、該風力タービンはタービンの翼板のピッチを変化させることによって制御される。有利には、制御項は風力タービンの空力トルクＴ_ｒである。その場合、レート制御関数は：
であってもよく、ここで：
である。

制御項は風速であってもよい。あるいは、該制御項はタービン発電機の電力出力であってもよい。風力タービンは、風速及びタービン発電機の電力出力それぞれの制御項から導出される制御関数の組み合わせである制御関数によって制御されてもよい。

風力タービンは、風力タービンの発電機のトルクを制御することによって制御されてもよい。代替的に及び／又は付加的に、該風力タービンは風力タービンの発電機の角速度を制御することによって制御されてもよい。制御項は、発電機の回転入力の角速度であってもよい。代替的に及び／又は付加的に、該制御項は発電機の回転入力のトルクであってもよい。

発明の第５の態様によれば、上記いずれかの方法によって制御される風力タービンが提供されている。

発明の第１の態様において、動的物理システムはＨＶＡＣシステムであってもよい。制御項は排気の容積流速
であってもよい。その場合、レート制御関数は：
であってもよく、ここで：
である。

あるいは、該制御項は調整給気の容積流速
であってもよい。その場合、該レート制御関数は：
であってもよく、ここで：
である。

発明の第１の態様において、動的物理システムは半導体レーザシステムであってもよい。半導体レーザシステムは、非線形レーザリングキャビティタイプであってもよい。有利には、制御項はキャビティ内の放散量であってもよい。あるいは、該半導体レーザシステムは遅延光フィードバックで作動しているレーザであってもよい。有利には、制御項はシステムのフィードバック強度であってもよい。該半導体レーザはフィードバックループを有する物理的電気光学装置であってもよい。有利には、制御項はローパスフィルタの出力での電圧であってもよい。

発明の第６の態様によれば、上記いずれかの方法によって制御されるレーザシステムが提供されている。

発明の第７の態様によれば、上記いずれかの方法によって制御される非線形レーザリングキャビティレーザシステムが提供されている。

発明の第８の態様によれば、上記いずれかの方法による遅延光フィードバックで作動しているレーザが提供されている。

発明の第９の態様によれば、上記いずれかの方法によるフィードバックループを有する物理的電気光学装置レーザシステムが提供されている。

発明の第１の態様において、動的物理システムは内燃機関であってもよい。

該内燃機関は、内燃機関のシリンダの空気取入口の圧力を制御することによって制御されてもよい。その場合、制御項はクランク軸回転に対して働く駆動側トルクであってもよい。あるいは、該制御項は内燃機関のクランク軸角速度であってもよい。有利には、クランク軸の回転に対するシリンダのトルク及びクランク軸角速度の両者が制御項である。

代替的に又は付加的に、該内燃機関は内燃機関のシリンダの燃料噴射経路の圧力を制御することによって制御されてもよい。その場合、制御項はシリンダ内の酸素の質量であってもよい。

あるいは、該制御項は内燃機関の排気室の圧力であってもよい。あるいは、該制御項はエンジンのシリンダ内の燃料の質量であってもよい。あるいは、該制御項はエンジンのシリンダの着火時間であってもよい。

発明の第１０の態様によれば、上記いずれかの方法によって制御される内燃機関が提供されている。該内燃機関は、内燃機関の少なくとも２つのシリンダの運転を制御することによって制御されてもよい。有利には、該少なくとも２つのシリンダは異なる制御項を用いて制御される。

さて、本発明の実施態様を単なる例示として、添付図面を参照しながら説明する。
図１はレスラーシステムの挙動を示すグラフである。図２は本発明の第１の実施態様の方法を説明するフローチャートである。図３ａは従来のバイオエタノール発酵槽におけるバイオマス濃度の経時的変化を示すグラフである。図３ｂは生成物濃度の経時的変化を示すグラフである。図３ｃは基質濃度の経時的変化を示すグラフである。図３ｄは活性成分濃度の経時的変化を示すグラフである。図４はバイオエタノール発酵槽における生成物濃度に対する基質濃度を示すグラフである。図５ａは本発明の実施態様の制御方法が時間１０００に適用されている、バイオエタノール発酵槽におけるバイオマス濃度の経時的変化を示すグラフである。図５ｂは生成物濃度の経時的変化を示すグラフである。図５ｃは基質濃度の経時的変化を示すグラフである。図６はバイオエタノール発酵槽における制御関数の経時的変化を示すグラフである。図７はバイオエタノール発酵槽における生成物濃度に対する基質濃度を示すグラフである。図８はシステムがいくつかのパラメータ変化を受けるにつれての生成物濃度に関する方法の結果を示すグラフである。図９は気象シミュレーションにおける風速の経時的変化を示すグラフである。図１０は典型的な風力タービン及び本発明の実施態様による風力タービンの角速度の経時的変化を示すグラフである。図１１は風力タービンのロータトルクの経時的変化を示すグラフである。図１２は風力タービンのシャフトねじれの経時的変化を示すグラフである。図１３は風力タービンの電力出力の経時的変化を示すグラフである。図１４は本発明の実施態様の風力タービンにおける制御関数の変化を示すグラフである。図１５は研究室用ＨＶＡＣシステムの概要図である。図１６は典型的な非線形レーザリングキャビティレーザシステム及び本発明の実施態様による非線形レーザリングキャビティレーザシステムの挙動を示す。図１７は制御が周期的にオン及びオフにされた場合の図１６のレーザシステムの挙動を示す。図１８は遅延光フィードバックで作動している典型的なレーザ及び本発明の実施態様による遅延光フィードバックで作動しているレーザの挙動を示す位相図である。図１９は経時的な図１８のレーザシステムの挙動を示す。図２０はポンピング電流が周期的に変えられた場合の本発明のレーザシステムの挙動を示す。図２１はフィードバックループを有する典型的な物理的電気光学装置レーザシステム及び本発明の実施態様によるフィードバックループを有する物理的電気光学装置レーザシステムの経時的な出力電力を示す。図２２はレーザシステムの出力電圧を示す。図２３は内燃機関のシリンダである。図２４は本発明の内燃機関のクランク軸の角速度の経時的変化を示す。図２５は本発明の内燃機関のクランク軸の角速度に基づく制御関数の経時的変化を示す。図２６は本発明の内燃機関のクランク軸の回転に対するシリンダのトルクに基づく制御関数の経時的変化を示す。図２７は本発明の内燃機関のシリンダ内の酸素の質量に基づく制御関数の経時的変化を示す。

［発明の詳細な説明］
図２のフローチャートを参照しながら、本発明の方法の第１の実施態様を説明する。本実施態様において、該方法は一組の可変量を含む動的物理システムを制御するために用いられる。

最初に、システムのモデルを獲得する（ステップ１０）。システムは、システムの可変量を表す一組の変数によってモデル化され、そのモデルはその現状に基づく量の変化率を示す、変数に対する一組のレート方程式を含む。そのモデルは、たとえば、その特性を導出するためにシステムを観察して、言い換えると、システムの観測された特性からモデルを導出して、獲得してもよい。あるいは、システムが既に観察されているため、モデルが既に利用可能であってもよい。

この次に、少なくとも１つのレート方程式に対する制御項が同定される（ステップ１１）。カオス的挙動制御の既知の方法に関して上記の通り、カオス状態において、システムの大域的挙動は指数関数的割合で量が増加することを可能にする、システムの非線形部分に支配されがちである。これは、そのような状態における変数の増加は、多くの場合、変数自体を含む項で決定されることを意味する。これは、変数自体の増加率に対する値のフィードバックが指数関数的増加を招くことによる。したがって、特定の変数に対するレート方程式の制御項は、多くの場合、方程式のうち変数自体を含む項となる。しかし、制御項が特定の変数を含むことは必要で（又、望ましくも）ない。制御項は、レート方程式のうち、指数関数的割合で拡大する傾向にあるどの項でもよい。

次に、レート方程式からレート制御関数が導出される（ステップ１２）。具体的には、レート制御関数はレート方程式の増加率に寄与する変数の比率を用いて導出される。これは、この場合も同様に、カオスの制御の既知の方法に関して前述の通り、局所拡大率は各々の変数の局所的挙動に比例するからである。

次に、制御項にレート制御関数が適用される（ステップ１３）。これは、レート方程式に対する安定した制御項を提供し、ここでレート制御関数は変数の発散率に比例してその制御項を限定する。したがって、システムのモデルが元の制御項の代わりに安定した制御項を用いることで修正された場合、これが、システムが安定したモデルを提供するはずである。

ある実施態様では、レート制御関数は１つ以上のスカラーに依存してもよい。スカラーはレート制御関数全体に適用されてもよく、その場合は単にシステムに適用される制御の強さを規定する。制御が指数関数的増加を防ぐのに不十分であるのでスカラーは小さすぎてはならず、システム全体の挙動に著しく影響を及ぼす（たとえば、完全にカオス的挙動を防いでしまう）ので大きすぎてもならない。そのようなスカラーの適切な値は、経験的に決定されてもよい。たとえば；システムを安定させておく値であれば十分である。

代替的に又は付加的に、スカラーはレート制御関数における変数の比率にのみ適用され、レート制御関数全体には適用されなくてもよい。そのようなスカラーは、単にシステムをうまく安定させるか否かを決定する以上に、レート制御関数の挙動により明確な影響を及ぼす。たとえば、スカラーを変えることによって、システムを安定させることのできる異なる軌道を選択できる可能性がある。以下同様に、そのようなスカラーの適切な値は、経験的に決定されてもよい。実際には、レート制御関数全体に適用されたスカラーは、比率にのみ適用されたスカラーに対する異なる値を考慮するために調整されなければならない可能性がある。

このようにして、システムの安定化モデルが提供された。システム自体を安定させるためには、修正された量から導出される制御項が安定した制御項と同一（又は、少なくとも実質的に同一）であるよう、その変数が制御項において存在する量が調整される（ステップ１４）。言い換えると、レート制御関数は、システムを安定させるためには量の値を用いた制御項の計算結果が何であるべきかを同定する。したがって、それを達成するための、量が変更されるべき結果が得られる。

簡単な例を挙げると、増加項が単一の変数ｘからなり、任意の時点におけるレート制御関数の値が０．５である場合、システムを安定させておくためには、変数ｘで表される量を半減させるべきであることを示す。一方、増加項が1つ以上の変数を含む場合、それらが表す量はレート制御関数を満たす任意の適切な方法で変更することができる。これは、たとえば、最も容易に調整できる量を変更することができることを意味する。

［実施例１］
さて、発明の方法が実例システムに適用された実施態様を説明する。該システムはカオス的挙動を示す周知の動的物理システムであるレスラーシステムで、下記のレート方程式で定義される：

変数ｚに対する３つ目のレート方程式を考慮すると、変数ｚの増分は項ｚｘ及びβ/αにより得られるので、（定数項β/αは変更できないため）項ｚｘが制御項とみなされる。増加率に対する制御項における各変数の比率は、商：
によって得られ、ここでｕ_ｘ及びｕ_ｚは定数である。

次に、これらの商は以下の通り、変数ｚに対するレート制御関数σを導出するために用いられる：
ここで、ｆ及びξは前述の通りのスカラーである。（スカラーｆはシステムに適用される制御の全体水準を定めるために用いられ、スカラーξはシステムを異なる周期に安定させるために用いられる。）

次に、レート制御関数は、下記の修正された制御項：
を得るためにレート方程式の制御項に適用され、それは以下の通りレート方程式に代入することができる：

これにより安定したシステムが得られ、上記の通り、制御項と共にレート制御関数はシステムを安定させるための、ｚ及びｘで表される量の変更目標を規定する。

［実施例２］
さて、発明の方法がバイオリアクターに適用された実施態様を説明する；即ち、生化学反応によって所望の生成物を製造する生化学プロセスである。バイオリアクター及びその一般モデルはＭｉｃｈａｅｌＡ．Ｈｅｎｓｏｎ．Ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇｃｅｌｌｕｌａｒｂｉｏｌｏｇｙｔｏｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｈｉｇｈ−ｖａｌｕｅｐｒｏｄｕｃｔｓ．ＩＥＥＥＣｏｎｔｒｏｌＳｙｓｔｅｍｓＭａｇａｚｉｎｅ，５４−６２ページ，２００６年８月に記載されている。

具体的には、バイオエタノール発酵槽に適用した発明の方法をここに説明する。バイオエタノール発酵槽は、農業廃棄物（砂糖、果物、穀物、ジャガイモなど）等のバイオマスを発酵させることでエタノールを生成するシステムである。バイオマスはザイモモナスモビリス等の微生物を用いて発酵される。バイオエタノール発酵槽については、Ｉ．Ｍ．Ｊöｂｓｅｓ，Ｇ．Ｔ．Ｅｇｂｅｒｔｓ，Ｋ．Ｃ．Ｌｕｙｂｅｎ，及びＪ．Ａ．Ｒｏｅｌｓ， “ＦｅｒｍｅｎｔａｔｉｏｎｋｉｎｅｔｉｃｓｏｆＺｙｍｏｍｏｎａｓｍｏｂｉｌｉｓａｔｈｉｇｈｅｔｈａｎｏｌｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎｓ：Ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｉｎｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｃｕｌｔｕｒｅｓ”，ＢｉｏｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＢｉｏｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２８（６）：８６８ - ８７７，１９８６に記載されている。そこには、バイオエタノール発酵槽のモデルも記載されている。同様に、バイオエタノール発酵槽及びそのモデルについては、Ｍ．Ｅ．Ｅ．Ａｂａｓｈａｒ及びＳ．Ｓ．Ｅ．Ｈ．Ｅｌｎａｓｈａｉｅ， “Ｄｙｎａｍｉｃａｎｄｃｈａｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃａｌｌｙｆｏｒｃｅｄｆｅｒｍｅｎｔｏｒｓｆｏｒｂｉｏｅｔｈａｎｏｌｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ．ＣｈｅｍｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅ”，６５（１６）：４８９４ - ４９０５，２０１０年８月１５日に記載されている。しかし、この場合はバイオエタノール発酵槽のモデルは正弦波の強制項を含み、これは下記の通り、システム量のうちの一つへの周期的調整を示す。

強制項を有するシステムのモデルは、システムの活性成分濃度Ｃ_ｅ、生成物濃度Ｃ_ｐ、基質濃度Ｃ_ｓ、及びバイオマス濃度Ｃ_ｘに対し、下記レート方程式によって得られる：
μはシステムにおける特定の増加率であり、方程式：
によって得られ、ここで、μ_ｍａｘ及びＫ_ｓは定数である。Ｃ_ｓｆは強制項であり、周期的供給濃度は方程式：
によって得、ここでＣ_ｓ０、Ａ及びωは定数であり、ｔは時間である。Ａは適用されたフォーシングの量（ｔｈｅａｍｏｕｎｔｏｆｆｏｒｃｉｎｇ）を、ωはフォーシングの頻度（ｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｏｆｔｈｅｆｏｒｃｉｎｇ）を定義する。（非強制システムのモデルは、単純にＡをゼロに設定することで獲得できる。）方程式における他の値は定数である。

システムのカオス的挙動の例を、バイオマス濃度、生成物濃度、基質濃度及び活性成分濃度それぞれにおける経時的変化を示すグラフである図３a〜３ｄ、及び生成物濃度に対する基質濃度のグラフである図４に示す。

基質濃度Ｃ_ｓに対するレート方程式を考慮すると、この方程式に対する制御項は項Ｄ（Ｃ_ｓｆ−Ｃ_ｓ）である。レート方程式の増加率に対する変数Ｃ_ｓの比率は、商：
によって得られる。この方程式からレート制御関数σ（Ｃ_ｓ）が導出される：
以下の通り、安定した制御項を有する修正されたレート方程式を得るために、これを制御項に適用される：
そうするとこれは、システムを安定させるために、制御項を構成する変数で表される量をどのように調整することができるかを示す。言い換えると、この特定の場合において、レート制御関数は、システムを安定させておくためにシステムの基質濃度Ｃ_ｓをどのように調整するかを規定する。

代わりに、生成物濃度Ｃ_ｐに対するレート方程式を考慮すると、この方程式に対する制御項は項−ＤＣ_ｐであるとみなされる。これはこの場合、生成物Ｃ_ｐの生成は生成物自体の存在によって阻害されることがうかがえ、生成と同時に生成物を取り除くことによってシステムを制御することが望まれるからである。次に、寄与するレート方程式を考慮すると、レート方程式の増加に寄与する変数は変数Ｃ_ｘ及びＣ_ｅであり、それらのレート方程式の増加率に対する比率は方程式：
によって得られる。これらの方程式からレート制御関数σ（Ｃ_ｐ）が導出される：
以下の通り、安定した制御項を有する修正されたレート方程式を得るために、これが制御項に適用される：

この実施態様において、システムを制御するために両Ｃ_ｓ及びＣ_ｐの制御が示されているが、実際には一方のみの制御が要求される。しかし、システムの制御は、所望の場合、両変数を制御する（もちろん、実際にはそれらの基礎的な量を制御する）ことによって達成され得る。

制御方法を適用することによる影響を、バイオマス濃度、生成物濃度及び基質濃度それぞれにおける経時的変化を示すグラフである図５a〜５ｃに示す。ここで、制御方法は時間１０００に適用されている。同様に、図６は、時間１０００から適用されている、経時的な制御関数を示すグラフである。図７は生成物濃度に対する基質濃度のグラフであり、制御方法を適用することにおける影響を示している。最後に、図８はシステムがいくつかのパラメータ変化を受けるにつれての、生成物に関する方法の結果を示すグラフである；強制パラメータＡは１０００時間毎に増大される。見てわかるように、これによりシステムはいくつかの振動を経ることになるが、それでも該方法は強制項とは無関係にシステムを安定した振動に安定させる。（点線は、各強制パラメータ変化において、エタノールの生成量を平均抽出濃度として示し、とりわけグラフの右側からわかるように、その生成量はより高度に制御されたカオス的パラメータによって増大させることができる。）

［実施例３］
さて、発明の方法が風力タービン発電機に適用された実施態様を説明する。風力タービンは、ロータ軸の周りに配置された多くの翼板を含み、それは風上の運動エネルギーを回転運動に変換する。ロータ軸は発電機に機械的に接続され、それは回転運動を電気に変換する。多種の風力タービン設計があり、各々独自の特徴を有する。下記実施態様において、風力タービンは可変速度の水平軸風力タービン（ＨＡＷＴ）である。しかし、本発明は風力タービンの他の設計にも同じように適用できる。

典型的な風力タービン制御方法は、主としてタービン構造の最上部又はその近くに位置する風速計によって測定される風速に依存する。タービン制御は典型的には３つの領域に分けられ、主として一般的な風速に左右されるが、発電機軸の回転数並びに機器の機械及び電気限界にも左右される。これらの制御領域は以下の通りに規定される：

領域１：領域１において、発電機はロータ軸から切り離されている（即ち、ロータ軸の回転は発電機に伝達されない）。タービンを起動するのに風速が遅すぎると判断される場合、静止している間翼板にかかるストレスを低減するため、最小空力トルクを発生するよう翼板が調節される。風速が（タービンの種類に基づく）予め決めた値を越すと、翼板は最大空力トルクを提供する角度に調節され、その結果、風はタービンを回転させる働きをする。一旦発電機軸が（この場合も同様に、タービンの種類に基づく）予め決めた角速度に到達すると、発電機制御トルクが使用可能となりロータ軸を発電機に連結する。この段階で領域２の電力発生に入る。

領域２：領域２における風速は、発電機の定格電力を発生させるため要求されるそれに満たず、発電機制御トルクは、現在のロータ角速度及び風速の最適な電力回収を追跡する試みで調整される。

領域３：領域３における風速は、少なくとも風力タービンが定格電力出力を発生するのに十分である。発電機制御トルクは定格トルクとされる。さて、制御システムは翼板に働く空力トルクを制御するため、ロータ翼のピッチを変更することによってタービンを定格電力に維持することに関与しており、それにより風から得られる電力量を制御する。翼ピッチを変更し、この領域に定格電力を維持するために用いられる標準的な、非独占的な制御の方法は比例積分微分（ＰＩＤ）制御である。これはＢｏｓｓａｎｙｉ，Ｅ．１９８７，ＡｄａｐｔｉｖｅＰｉｔｃｈＣｏｎｔｒｏｌｆｏｒａ２５０ｋＷＷｉｎｄＴｕｒｂｉｎｅ，ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＢｒｉｔｉｓｈＷｉｎｄＥｎｅｒｇｙＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，８５〜９２ページ；並びにＢｏｕｋｈｅｚｚａｒ，Ｂ．及びＳｉｇｕｅｒｄｉｄｊａｎｅ，Ｈ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＣｏｎｔｒｏｌｏｆａＶａｒｉａｂｌｅ−ＳｐｅｅｄＷｉｎｄＴｕｒｂｉｎｅＵｓｉｎｇａＴｗｏ−ＭａｓｓＭｏｄｅｌ, ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎｅｎｅｒｇｙｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ，ｖｏｌ２６，Ｎｏ．１．２０１１に記載されている。

上記の領域から領域への進行は、風速における比較的円滑かつ安定した変化を想定する。しかし、制御機構の観点からしてとりわけ厳しい状況は、突風状態である。強く変わりやすい突風の間、風力タービン制御機構はロータ組立体の角速度を定格値より低く維持し、機械的ストレスを最小限にできなければならない。そのような条件下、かつ本発明により提供されているような適切な制御機構がなければ、電力発生は中断されなければならない。

風力タービンの制御を含め、多くの産業において、比例積分微分（ＰＩＤ）制御装置を制御の方法として用いることは既知である。しかし、ＰＩＤ制御は事実上線形であるのに対して、風速は本質的にカオス的であるため風力タービンは非線形動的システムである。ＰＩＤ制御のパフォーマンスの欠点は、ニューラルネットワークやファジー制御等のフィードバック法を用いることで軽減できるが、これらはチューニングプロセスを複雑にし、高い精度及びサンプリングレートを要求し得る。さらに、閾値を超えないことを保証するためにＰＩＤ制御は異なる動作条件に調整されなければならず、ＰＩＤ制御が動作条件の全領域を通して機能できないこと自体が、非常な突風状態における風力タービンの停止を要求する理由となり得る。

風力タービンのモデルは、Ｅｉｓｅｎｈｕｔ，Ｃ．，Ｋｒｕｇ，Ｆ．，Ｓｃｈｒａｍ，Ｃ．及びＫｌｏｃｋｌ，Ｂ．２００７，Ｗｉｎｄ−ＴｕｒｂｉｎｅＭｏｄｅｌｆｏｒＳｙｓｔｅｍＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｓＮｅａｒＣｕｔ−ＩｎＷｉｎｄＳｐｅｅｄ，ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎｅｎｅｒｇｙｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ，ｖｏｌ．２２，Ｎｏ．２；並びにＳｏｌｔａｎｉ，Ｍ．，Ｗｉｓｎｉｅｗｓｋｉ，Ｒ．，Ｂｒａｔｈ，．Ｐ及びＢｏｙｄ，Ｓ，ＬｏａｄＲｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆＷｉｎｄＴｕｒｂｉｎｅｓＵｓｉｎｇＲｅｃｅｄｉｎｇＨｏｒｉｚｏｎＣｏｎｔｒｏｌ，ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓＩＥＥＥＭｕｌｔｉ‐ＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，Ｄｅｎｖｅｒ，２０１１年９月から抜粋された下記の方程式によって得られる：
ここで：
であり、ここでＭｕｈａｎｄｏ，Ｅ．Ｂ．，Ｓｅｎｊｙｕ，Ｔ．，Ｕｒａｓａｋｉ，Ｎ．，Ｙｏｎａ，Ａ．，Ｆｕｎａｂａｓｈｉ，Ｔ，ＲｏｂｕｓｔＰｒｅｄｉｃｔｉｖｅＣｏｎｔｒｏｌｏｆＶａｒｉａｂｌｅ−ＳｐｅｅｄＷｉｎｄＴｕｒｂｉｎｅＧｅｎｅｒａｔｏｒｂｙＳｅｌｆ−ＴｕｎｉｎｇＲｅｇｕｌａｔｏｒ２００７ＩＥＥＥより、Ｃ_ｐはλ及びβの非線形関数：
に：
で近似され、ｃ_１=０．５１７６、ｃ_２=１１６、ｃ_３=０．４、ｃ_４=５、ｃ_５=２１及びｃ_６=０．００６８である。

下記の用語は上の方程式及び以下に用いられている：

疾風状態の間風力タービンを制御するため、風から得られる電力量をタービンの定格限界内に保持するために空力トルクＴ_ｒが調整される。レート方程式
を考慮すると、この方程式の制御項は単純にＴ_ｒである。これより、下記のレート方程式が導出され：
ここで：
であり、これを既存モデルに適用すると：
が得られる。

実際には、空力トルクへのこの制御関数の適用は、どのように翼ピッチβが調整されるべきかを決定するのに用いられる。

制御方法を適用することによる影響を、図９〜１４を参照しながら示す。図
９は、２日間にわたる模擬風速データを示す。シミュレーションに対し、制御関数の定数は以下の通り選択された：ｆ＝０．７４，μ_Ｔｒ＝１．６ｅ^６及びξ＝−４．６。見てわかるように、２日目の風速には非常にばらつきがあった。この例に対し、タービンが超えてはならない電力として〜４００ＫＷが選択され、その上、定格発電機の回転数は２３５０ｒｐｍであり、したがって、定格発電機トルクは１６１９Ｎｍである。この定格電力が発生する風速はおよそ１０．３１ｍｓ^−１である。

図１０〜１３は、タービンの発電機の角速度、ロータトルク、剪断応力及び電力出力を示す。制御関数が使用されていないものは変動する点線で示され、制御関数が使用されているものは変動する実線で示されている。（実際には、タービンが点線で示すように作動した場合、突発故障を被り、フェールセーフ施策が全体として翼板のいかなる動作をも防ぐよう働き、図に示されている平らな破線が得られる。）図１４は制御関数の挙動を示す。見てわかるように、制御関数が用いられていない間である（ので、値１を維持する）１日目中、システムは同じ挙動を示す。２日目、ここで疾風状態は制御関数の使用を意味するが、制御関数がタービンを安全限界内で作動させ続けるよう働く一方、とりわけ図１３に示されているように、タービンが相当量の電力を発生させることを可能にしていることがわかる。シミュレーションにおいて、タービンは２日目に〜４．８８ＭＷｈ発生させることができた。一方、制御関数なしでは、タービンは２日目では実質的に使用不可能となり、電力は発生されない。

関連する実施態様において、制御関数は、風力タービンシステムが協働する２つの別個のシステムの組み合わせであると考慮して導出される。第１のシステムはタービンロータ組立体であり、強風及び／又は疾風の場合は制限されなければならない。第２のシステムは発電機システムであり、その定格電力限界内で作動するよう制御されなければならない。

以下の制御関数が導出され：
ここで：
である。

これらは、トルクＴ_ｇ及び発電機の角速度ω_ｇが、発電機の角速度ω_ｇから導出される制御関数によって制御されるよう、以下の通り風力タービンのモデルに適用される：
そして、翼ピッチは、翼ピッチβが風速Ｖ及びタービン発電機Ｐの電力出力に基づく制御関数の組み合わせによって制御されるよう、以下の通り制御される：
ここで、
である。

用いられてもよい他の制御は、以下の通りである：
ここで：
である。

上記の制御関数を組み込んだモデルのシミュレーションは、とりわけＰＩＤ制御を組み込んだモデルとは対照的に、より制御された電力出力を提供したので、なお電力スパイクが発電機の定格出力を超えないことを保証しつつ、より高い平均電力出力で作動することができた。さらに、タービンのドライブトレインは、より低いストレスの平均基準及びより低い最大ストレスピーク量を有していた。

［実施例４］
さて、発明の方法が暖房、換気、および空調（ＨＶＡＣ）システムに適用された実施態様を説明する。ＨＶＡＣシステムは、会社、自動車、工場、研究室、冷却装置及び生命維持／防護服等の多数の異なる状況での作動がみられることがある。

研究室用ＨＶＡＣシステムの概略図を図１５に示す。図は研究室１００及び周辺領域１０１を示し、熱は矢印１０９で示されているように双方を伝導する。研究室１００はヒュームフード１０２を含む。アクチュエータ１０９がヒュームフードからヒューム排気管１０５に空気を吸い込み、それにより研究室１００からヒュームフード１０２に空気が吸い込まれる。さらなるアクチュエータ１０８は、研究室１００から一般排気管１０４に空気を吸い込む。最後に、そのプロセスにおいて加熱コイル１０６によって熱せられる給気１０３がアクチュエータ１０７より研究室１００に吹込まれる。

Ｏｓｍａｎ，Ａ．，Ｍｉｔｃｈｅｌｌ，Ｊ．Ｗ．＆Ｋｌｅｉｎ，Ｓ．Ａ，ＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆａＳｉｍｕｌａｔｏｒｆｏｒＬａｂｏｒａｔｏｒｙＨＶＡＣＳｙｓｔｅｍ（ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｉｎｉｖｅ．ｏｒｇ／ｍｅｍｂｅｒｓ＿ａｒｅａ／ｍｅｄｉａｓ／ｐｄｆ／Ｉｎｉｖｅ／ｃｌｉｍａ２０００／１９９７／Ｐ２７４．ｐｄｆ）から導出された、研究室用ＨＶＡＣシステムのモデルは以下の通りであり：
ここで用いられている用語は以下の通りである：

研究室空間によっては、研究室内の空気圧Ｐは、周辺領域の空気圧Ｐ_ａｄよりも低い値に維持されることがある。これは、研究室からいくらかの有害物質が流れ出るのを防ぐのに役立つ。あるいは、無菌室等の空間においては、周辺領域から研究室に汚染物質が入らないことを保証することが望ましいので、この関係は逆転する。

そのようなＨＶＡＣシステムの制御システムは、典型的には、中でも温度、圧力差（Ｐ_ａｄ−Ｐ）、空気の容積流速、一般排気等の特定の変数を安全性及び／又は快適性に対応する明確な範囲内に維持するのに関与する。

第１の方程式を考慮すると、制御項は
（排気の容積流速）で、得られる制御関数は：
であり、ここで：
である。

代わりに第２の方程式を考慮すると、制御項は
（調整給気の容積流速）で、得られる制御関数は：
であり、ここで：
である。

そうすると、どのように排気及び／又は調整給気が制御されるべきかを決定するために、制御関数をそれぞれ第１及び第２の方程式における制御項に適用することができる。

［実施例５］
さて、発明の方法がレーザのカオス的挙動を制御するために適用された実施態様を説明する。半導体レーザは、たとえば光通信ネットワーク、ＤＶＤプレイヤー及びその他多くのアプリケーション等の多くのアプリケーションに用いられている。レーザの動的挙動は、特にフィードバックや遅延結合等の外部摂動の影響下では、極めて複雑となることがある。

半導体レーザシステムの第１タイプは、非線形レーザリングキャビティである。これは、Ｋ. Ｉｋｅｄａ，Ｍｕｌｔｉｐｌｅ−ｖａｌｕｅｄｓｔａｔｉｏｎａｒｙｓｔａｔｅａｎｄｉｔｓｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｍｉｔｔｅｄｌｉｇｈｔｂｙａｒｉｎｇｃａｖｉｔｙｓｙｓｔｅｍ，ＯｐｔｉｃｓＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，３０（２）：２５７-２６１，１９７９に記載されている池田写像を用いてモデル化できる。複素方程式：
の実数部及び虚数部をｘ＝Ｒｅ（ｚ）及びｙ＝Ｉｍ（ｚ）でプロットすることにより、典型的にはａ＝１、ｂ＝０．９、κ＝０．４及びη＝６．０である場合に、池田写像は以下の通り記述することができる：

方程式ｘ_ｎ＋１及びｙ_ｎ＋１を考慮すると、制御項はキャビティ内の放散量を表すφであり、制御関数：
が得られ、ここで：
であり：
が得られる。

μ＝５及びξ＝１を採用すると、図１６は白丸で示されている５周期軌道と星印で示されている１５周期軌道の２つの異なる安定した軌道を上に有する、制御されていない池田写像を示す。システムが安定する軌道は、制御可能な際、軌道に対するシステムの近接に依存する。制御のオフ及びオンを繰り返すことにより、異なる軌道がみられることがある。これを証明するために、図１７は、１０００時間ステップ後に制御を有効にし、さらに１５００時間ステップ後に再びオフにするシミュレーションを示す。その後、このパターンは２５００時間ステップの周期で４回繰り返される。図１７から、その後システムは周期１５の軌道、次いで周期５の軌道、再び周期１５の軌道、周期５の軌道に安定することがわかる。

半導体レーザシステムの第２タイプは、遅延光フィードバックで作動しているレーザである。このタイプのシステムのモデルであるＬａｎｇ−Ｋｏｂａｙａｓｈｉモデルは、Ｔ．Ｓａｎｏ，Ａｎｔｉｍｏｄｅｄｙｎａｍｉｃｓａｎｄｃｈａｏｔｉｃｉｔｉｎｅｒａｎｃｙｉｎｔｈｅｃｏｈｅｒｅｎｃｅｃｏｌｌａｐｓｅｏｆｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒｌａｓｅｒｓｗｉｔｈｏｐｔｉｃａｌｆｅｅｄｂａｃｋ，ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＡ，５０（３）：２７１９-２７２６，１９９４に記載されており、以下の通りである：
ここでＰは光子数、φは光位相のゆっくりと変化する部分、そしてソリタリーレーザ（ｓｏｌｉｔａｒｙｌａｓｅｒ）の閾値Ｎ_ｔｈからのキャリア数の偏差ΔＮ＝Ｎ-Ｎ_ｔｈである。ωは光角周波数で、ゼロであると想定される。κ＝１０００は光子数の減衰定数であり、ΔＪは閾値からのポンピング電流偏差である。フィードバック強度γは：
によって得られ、ここでＲは外部ミラーの電力反射率、ｒはレーザ面の電力反射率、τ_ｃはキャビティのラウンドトリップタイム、そしてηは結合比である。他のパラメータ値はα＝６、β＝１０^−５、η＝１、Ｎ_ｔｈ＝１０^３である。

Ｐ又はφにおける変化に対して方程式を考慮すると、制御項はγとみなされる。また、これは物理的実装において制御できるため現実的な選択である。制御項はσで：
によって得られ、ここでｆ＝６及びξ＝−１であり、新たな項：
が得られる。

図１８は、位相差に対するシステムのキャリア数の位相空間表現を示し、制御されていないシステムが下に、制御されたシステムがその上に黒で示されている。図１９は、同様に経時的なキャリア数の変化を示し、ここで時間＝２００ａｕで制御が有効となっている。両者において、制御関数が実質的にシステムの挙動を安定させることがわかる。さらに、図２０は、経時的なシステムの挙動の挙動を示し、ここで５００時間ステップ毎に（−１０〜＋１まで）ポンピング電流ΔＪが増加される。システムは短い過渡電流を経るが、毎回すぐに安定することがわかる。水平線（例、５００〜１０００）はシステムが制御された安定状態にあることを意味する。太い黒バーはシステムが、制御された安定しているが高い周波数で振動していることを意味する。本発明の制御方法は、分岐を起こすかもしれないパラメータ変化とは無関係にカオス的システムの制御に効果的なので、異なる量のポンピング電流ΔＪでレーザの安定性を維持するために用いることができる。

半導体レーザシステムの第３タイプは、フィードバックループを有する物理的電気光学装置である。このタイプのシステムのモデルであるＢｌａｋｅｌｙモデルは、ＪＮＢｌａｋｅｌｙ，ＬＩｌｌｉｎｇ，及びＤａｎｉｅｌＪＧａｕｔｈｉｅｒ，Ｈｉｇｈ−ｓｐｅｅｄｃｈａｏｓｉｎａｎｏｐｔｉｃａｌｆｅｅｄｂａｃｋｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｆｌｅｘｉｂｌｅｔｉｍｅｓｃａｌｅｓ，ＱｕａｎｔｕｍＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，ＩＥＥＥ，４０（３）：２９９-３０５，２００４；並びにＹ．Ｇ．Ｚｈｅｎｇ及びＺ．Ｈ．Ｗａｎｇ．ＳｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄＨｏｐｆｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｓｏｆａｎｏｐｔｏｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｔｉｍｅ-ｄｅｌａｙｆｅｅｄｂａｃｋｓｙｓｔｅｍ，ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃs，５７（１−２）：１２５-１３４，２００８年９月に記載されている。その主要な特色は、帯域通過特性を得るために付加的なローパス及びハイパスフィルタを有する遅延フィードバックである。Ｂｌａｋｅｌｙモデルは方程式：
によって記載され、ここでｖ（ｔ）はローパスフィルタの出力での電圧、ｐ（ｔ）はハイパスフィルタの出力での電圧に関係するレーザ出力、Ｖ_ｄｅｔ（ｔ）は（非線形）フォトダイオードの電圧出力、ｐ_０＝２６は出射パワー、Ｔ_０＝１９．１はフィードバックループにおける時限遅延、τ_l＝０．６６はローパスフィルタ時定数、τ_h＝２２はハイパスフィルタ時定数、γ＝０．００５３はフィードバック強度によるシステム増幅、ｋ＝４．８は電力変換力に対する電圧、α＝１．８９は干渉計の感度を決定し、β＝０．８は縞可視度である。

ｐの時間における変化に対して方程式を考慮すると、この方程式の制御項は、ローパスフィルタの出力での電圧ｖ（ｔ）とみなされる。フィードバック強度は容易に変更できないため、これもまた、物理的実装において現実的である。その結果、制御関数及び修正されたレート方程式は：
であり、ここで、ｆ＝２０及びξ＝−１である。

図２１及び２２は、出力電力及び電圧の経時的な変化を、制御されていないシステムは灰色で、制御されているシステムは黒で示す。時間＝２００ａｕで制御が実行されている。システムは、システムの安定性を維持するために必要とする出力電力を大いに低減するステイブル４−オービット（ｓｔａｂｌｅ４-ｏｒｂｉｔ）に即座に制御され、それにより必要とする出力電力の低減がおおよそ５６％となり、より効率的で経済的となる。

［実施例６］
さて、発明の方法が内燃機関に適用された実施態様を説明する。内燃機関は、複数のシリンダによって駆動されるクランク軸を含む。図２３に代表的なシリンダを示す。シリンダ２００は、中に移動可能なピストン２０２があるシリンダキャビティ２０１を含む。ピストン２０２はピストンロッド２０３を駆動し、それは順にクランク軸２０４を回転させる。シリンダ２００は、それを通してシリンダキャビティ２０１内に燃料噴射装置が燃料（たとえば、オクタン）を噴射する燃料吸入口２０５、及びそれを通してシリンダキャビティ２０１内に空気を取り入れる空気取入口２０６を有する。当業者にはよくわかるように、シリンダ２００は吸入行程、圧縮行程、燃焼行程及び排気行程からなる「４ストローク」運転である。

従来のエンジンにおいて、噴射する燃料の量等のさまざまなパラメータは、パラメータに対して予め決めた理想値を提供するために流速、トルク、温度、加速度等といったエンジンの特性を用いる、ルックアップテーブルによって制御される。理想値は、典型的には製品開発段階で、そのパフォーマンスの範囲を通してエンジンを試験することによって決定される。しかし、これはある程度のパフォーマンスを保証することを可能にするが、エンジンが有することのできるかもしれない最適なパフォーマンスを可能にしない。下記の通り、本発明の実施態様の内燃機関において、エンジンのさまざまなパラメータはエンジンの特性に基づく制御関数を用いて制御される。

エンジンの運転は以下の通りモデル化される。クランク軸角度Ａに関するシリンダヘッドの高さｈは：
によって記述され、ここでｒはクランク軸２０４の半径、ｌはアーム２０３の長さである。燃料及び他の構成要素の質量流量方程式は以下の通りである：
ここで、熱損失（燃焼プロセス中は熱損失ゼロ）及び理想的なガス挙動に関する典型的なモデル仮定が行われた。他の燃焼化学種の解離は具体的にモデル化されておらず、むしろ過剰燃料は完全に又は部分的に燃焼されないと想定され、燃焼生成物においてオクタンとして表される。

次に、クランク力学は：
によって記述され、さらに、シリンダキャビティ内の圧力の結果としてピストンヘッドに働く力に起因するクランクへのトルクτ_cは：
によって記述され、ここでＡはクランク角で範囲[０，４π）ラジアンであり、Ｆはガス混合気によってピストンヘッドに加えられる力、Ｆ_１はピストンロッドを下に伝達する力、Ｆ_ｃはクランク軸とピストンロッドの接点でクランク軸に加えられる接線力、そしてτ_cはピストンによってクランク軸に加えられるトルクである。

燃焼は、Ｆｌａｇａｎ，ＲｉｃｈａｒｄＣ．＆Ｓｅｉｎｆｅｌｄ，ＪｏｈｎＨ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｆａｉｒｐｏｌｌｕｔｉｏｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｐｒｅｎｔｉｃｅ-Ｈａｌｌ，Ｉｎｃ．，ＥｎｇｌｅｗｏｏｄＣｌｉｆｆｓ，ＮｅｗＪｅｒｓｅｙ（１９８８）に記載されているオクタン燃焼式を用いてモデル化される。化学量論的状態（燃料を全て燃焼するのに要求されるちょうどの量の空気がある）又は非化学量論的状態（燃料を全て燃焼するのに要求されるより多くの空気）において、燃料１モルに対する反応方程式は：
である。

リッチな空気／燃料混合気（燃料を全て燃焼するのに要求されるだけの空気がない）において、この場合も同様に、燃料１モルに対する反応方程式は：
であり、ここで完全な化学量論的燃焼のためにはχ=１２．５である。リッチな状態の間はオクタンの部分的燃焼はなく、燃焼されていないオクタンは反応物において純オクタンとして単に存在すると想定される。また、空気組成は窒素８０％及び酸素２０％と想定される。

この反応中に産生された熱は、構成化学種の定容比熱容量値を想定し、この反応方程式の熱平衡式からから導出される。燃焼に起因する温度変化は、（おおよそ５００Ｋの適切な温度でとられた）含まれる全ての物質に対する比熱値の平均を用いて温度の変化を計算することによって近似する。このモデルは燃焼プロセスに含まれる力学を十分に表現し、その仮定は、燃焼プロセスの細部がシステムの一般的な挙動に著しく影響しない、という結果に悪影響を及ぼさない。たとえば、一酸化炭素、水素及び窒素酸化物等の化学種の解離のモデル化は、システムの巨視的力学を著しく変更しない。

このモデルを用いて、クランク軸回転に対して働く駆動側トルク、クランク軸角速度及び（実際には質量流量センサーを用いて推定され得る）シリンダ内の酸素の質量に基づき下記の制御関数：
が導出され、ここで：
である。

次に、制御関数は、以下の通り、空気取入口の圧力及び燃料噴射経路の圧力を制御するために用いられる：

言い換えると、シリンダ内の酸素の質量に基づく制御関数は燃料噴射経路の圧力を制御するために用いられる一方、クランク軸回転に対して働く駆動側トルク及びクランク軸角速度に基づく制御関数は空気取入口の圧力を制御するために用いられる。

用いられ得る他の制御関数は以下の通りであり：
ここで：
である。

上記に用いられている用語は以下の通りである：

実施態様において制御されているエンジンのクランク軸角速度は図２４に示され、ここで、システムに対する外部トルク要求は時間５×１０^５及び１０×１０^５で実質的に増大されている。ストールする代わりに、安定したシステムを維持するために制御関数が燃料及び空気噴射圧力を調整することがわかる。経時的な制御関数の変動を図２５〜２７に示す。

当業者は、他の実施態様においては、エンジンの各シリンダは、シリンダの異なるパラメータを制御するために異なる組の制御関数を用いて制御され得ることを理解するであろう。

本発明は特定の実施形態に関し記載及び説明されたが、ここに具体的に説明されていない多くの異なるバリエーションに当該発明が役立つことが当業者に理解されるであろう。特に、多くの異なる技術分野におけるカオス的システムに発明が適用されることが理解されるであろう。さて、いくつかの考え得るバリエーションを、単なる例示として記載する。

Claims

動的物理システムを制御する方法であって、前記システムは複数の可変量を含み、前記方法は：
前記システムのモデルを獲得するステップであって、前記モデルは前記可変量を表す複数の変数と前記変数の変化率を示す複数の各レート方程式を含むステップ；
前記複数のレート方程式から少なくとも１つのレート方程式において制御項を同定するステップ；
前記レート方程式における少なくとも１つの変数に対し、前記レート方程式の増加率に対する前記変数の比率からレート制御関数を導出するステップ；
安定した制御項を提供するため、前記レート制御関数を前記制御項に適用するステップ；及び
前記制御項における変数によって表される少なくとも１つの量を修正することによって前記動的物理システムを制御するステップであって、そのため前記修正された量から導出される制御項が前記安定した制御項と実質的に同一であるステップを含む動的物理システムを制御する方法。
前記制御項が、その挙動が前記レート方程式によって記述される前記変数を含む請求項１記載の方法。
前記増加率に対する前記変数ｘの前記比率q_xが、方程式：
によって得られ、ここでμ_ｘは定数である請求項１又は請求項２記載の方法。
前記レート制御関数が、次式：
の形式であって、ここでｑ_ｘ1〜ｑ_ｘｎは前記増加率に対する前記変数ｘ１〜ｘｎの比率であり、ｆ及びξはスカラーである上記いずれかの請求項記載の方法。
ｆ及びξが、前記システムを予め決めた軌道に安定させるよう変化する請求項４記載の方法。
前記少なくとも１つのレート方程式が、そのそれぞれの変数の指数関数的増加を示す上記いずれかの請求項記載の方法。
前記制御項が、前記少なくとも１つのレート方程式の前記それぞれの変数の増加に寄与する上記いずれかの請求項記載の方法。
請求項１から７のいずれかの方法により制御された動的物理システム。
前記動的物理システムが、バイオリアクターである請求項１から７のいずれかに記載の方法。
バイオリアクターがバイオエタノール発酵槽である請求項９記載の方法。
前記制御項が、Ｄ（Ｃ_ｓｆ−Ｃ_ｓ）であり、ここでＣ_ｓは基質濃度、Ｃ_ｓｆは強制項、及びＤは定数である請求項９記載の方法。
前記レート制御関数が：
であり、ここで：
である請求項１１記載の方法。
前記制御項が、−ＤＣ_ｐであり、ここでＣ_ｐは生成物濃度で、Ｄは定数である請求項９記載の方法。
前記レート制御関数が：
であり、ここで：
で、Ｃ_ｘはバイオマス濃度で、Ｃ_ｅは活性成分比である請求項１１記載の方法。
請求項９の方法により制御されたバイオリアクター。
請求項１０から１４のいずれかの方法により制御されたバイオエタノール発酵槽。
前記動的物理システムが、風力タービンである請求項１から７のいずれかに記載の方法。
前記風力タービンが、前記タービンの翼板のピッチを変化させることによって制御される請求項１７記載の方法。
前記制御項が、前記風力タービンの空力トルク、Ｔ_ｒである請求項１７又は１８記載の方法。
前記レート制御関数が：
であり、ここで：
である請求項１９記載の方法。
前記制御項が、風速である請求項１７又は１８記載の方法。
前記制御項が、前記タービン発電機の電力出力である請求項１７又は１８記載の方法。
前記風力タービンが、前記風力タービンの発電機のトルクを制御することによって制御される請求項１７から２２のいずれかに記載の方法。
前記風力タービンが、前記風力タービンの発電機の角速度を制御することによって制御される請求項１７又は２３記載の方法。
前記制御項が、前記発電機の回転入力の角速度である請求項１７、２３又は２４記載の方法。
前記制御項が、前記発電機の回転入力のトルクである請求項１７、２３又は２４記載の方法。
請求項１７から２６のいずれかの方法により制御された風力タービン。
前記動的物理システムが、ＨＶＡＣシステムである請求項１から７のいずれかに記載の方法。
前記制御項が、排気の容積流速
である請求項２８記載の方法。
前記レート制御関数が：
で、ここで：
である請求項２９記載の方法。
前記制御項が、調整給気の容積流速
である請求項２８記載の方法。
前記レート制御関数が：
であり、ここで：
である請求項３１記載の方法。
前記動的物理システムが、半導体レーザシステムである請求項１から７のいずれかに記載の方法。
前記半導体レーザシステムが、非線形レーザリングキャビティタイプである請求項３３記載の方法。
前記制御項が、前記キャビティ内の放散量である請求項３４記載の方法。
前記半導体レーザシステムが、遅延光フィードバックで作動しているレーザである請求項２７記載の方法。
前記制御項が、前記システムのフィードバック強度である請求項３６記載の方法。
前記半導体レーザシステムが、フィードバックループを有する物理的電気光学装置である請求項３３記載の方法。
前記制御項が、ローパスフィルタの出力での電圧である請求項３８記載の方法。
請求項３３の方法により制御された半導体レーザシステム。
請求項３４から３５のいずれかの方法により制御された非線形レーザリングキャビティレーザシステム。
請求項３６から３７のいずれかの方法により制御された遅延光フィードバックで作動するレーザ。
請求項３８から３９のいずれかの方法により制御されたフィードバックループを有する物理的電気光学装置レーザシステム。
前記動的物理システムが、内燃機関である請求項１から７のいずれかに記載の方法。
前記内燃機関が、前記内燃機関のシリンダの空気取入口の圧力を制御することによって制御されている請求項４４記載の方法。
前記制御項が、前記内燃機関のクランク軸回転に対して働く駆動側トルクである請求項４５記載の方法。
前記制御項が、前記内燃機関のクランク軸角速度である請求項４４又は４５記載の方法。
前記内燃機関が、前記内燃機関のシリンダの燃料噴射経路の圧力を制御することによって制御されている請求項４４から４７のいずれかに記載の方法。
前記制御項が、前記シリンダ内の酸素の質量である請求項４８記載の方法。
請求項４４から４９のいずれかの方法により制御された内燃機関。
前記内燃機関の少なくとも２つのシリンダの運転を制御することによって制御されている請求項５０記載の内燃機関。
前記少なくとも２つのシリンダは異なる制御項を用いて制御される請求項５１記載の内燃機関。