JP2013247267A - 縁マヨラナフェルミ粒子を使用したトポロジカル量子計算用デバイスユニット、及びその操作方法、並びにトポロジカル量子計算用デバイス、及びその操作方法 - Google Patents

Abstract

【課題】マヨラナフェルミ粒子（Majorana fermion、ＭＦ）を使用したトポロジカル量子計算用の実現可能なデバイス構造を与えること。
【解決手段】図中のａに示すように、縁ＭＦが存在することができる領域を四つの小領域に分け、中心となる一つの小領域が他の３つの小領域とそれぞれくびれ部を介して結合されている構造がこのデバイスの単位構造である。くびれ部分には可変の電圧が印加できるようになっていて、この電圧制御により、小領域間でのくびれ部分を介した縁ＭＦの移送をオン、オフできる。これにより、小領域上の対の縁ＭＦを交換することができる。この単位構造を、同じくびれ部分を介して直接に接続することで、より大規模なデバイスを構成することができる。
【選択図】図１

Description

本発明は量子計算に関し、特に縁マヨラナフェルミ粒子（edge Majorana fermion）を使用したトポロジカル量子計算用デバイスに関する。

トポロジカル量子計算（topological quantum computation、ＴＱＣ）は、量子情報が非局所的に記憶され、環境との相互作用によるデコヒーレンス（decoherence）に対して強固であることによる耐障害性というユニークな特徴のために大きな関心を集めている（非特許文献１，２）。基底状態の縮退（degeneracy）及びユニタリ非アーベル変換（unitary non-Abelian transformation）による縮退部分空間（degenerate subspace）内での回転はその実現のための２つの重要な要素である。粒子が自身の反粒子であるマヨラナフェルミ粒子（ＭＦ）（非特許文献３〜２３）が対応するゼロエネルギー励起を持つ系は有望である。というのはこれらは通常のフェルミ粒子の半分であって非局所性の量子ビットを形成できるからである。超伝導Bogoliubov準粒子が電子とホールの両方で構成されているので、超伝導はＭＦの良い棲家である。

ＭＦを超伝導系で探索しようという試みはReadとGreenによる興味深い研究から始まった（非特許文献５）。そこでは、スピンなしのｐ_ｘ＋ｉｐ_ｙ超伝導体の量子渦のコアにＭＦが存在する。スピンなしのカイラルｐ波超伝導体の存在は依然として不明だが、FuとKaneは同じ状態を従来のｓ波超伝導体（s-wave superconductor、ＳＣ）とトポロジカル絶縁体（topological insulator、ＴＩ）（非特許文献２４，２５）で実現し得ると提案している（非特許文献１１）。Sau他は、強磁性体絶縁体（ferromagnetic insulator、ＦＭＩ）に近接したスピン−軌道結合を示す半導体（spin-orbit coupling semiconductor、ＳＭ）はＴＩと似た役割を果たし、これによってＳＣ／ＳＭ／ＦＭＩへテロ構造がトポロジカル相（topological phase）を提供するための一般的なプラットホームとなり得ることを示すことによって、このアイディアを押し進めた（非特許文献１４）。量子渦状態（vortex state）に関連したＭＦの探索と並行して、Kitaevによって最初に論じられた（非特許文献７）一次元（１Ｄ）スピンなし超伝導体（one-dimensional spinless superconductor）の端部におけるＭＦにも大きな注意が払われた。Lutchyn他及びOreg他は、磁界中のｓ波超伝導体に近接した１Ｄスピン軌道結合半導体は端部ＭＦ（end MF）を生成し得ることを見出した（非特許文献１７，１８）。

IvanovはそのコアにＭＦを持つ２つの量子渦のブレーディング（braiding）は非アーベル統計に従うことを最初に証明した（非特許文献６）。最近、Alicea他は、端部ＭＦの非アーベルブレーディングは１ＤトポロジカルナノワイヤーのＴ接合への電圧印加によって達成できることを示した（非特許文献１９）。また、超伝導位相の調整に基いてＳ／ＴＩ／Ｓ接合の回路中でＭＦの生成、操作及び融合（fusion）を行うことも提案されている（非特許文献１１）。

しかしながら、従来技術で提案されたデバイスは理論的には存在できるものの、現実のデバイスを作製することは極めて困難であった。本発明の課題はＭＦを利用した量子計算用の実現可能なデバイスの構造及びその操作方法を提供することにある。

本発明の一側面によれば、縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ）が存在することができる四つの小領域を設けるとともに、中心となる一つの前記小領域が他の三つの前記小領域である第１、第２及び第３の小領域とそれぞれくびれ部を介して結合され、前記くびれ部への可変の電圧の印加によって、電子のホッピングを許し、または遮断することができ、初期状態においては、前記中心となる小領域と前記第１の小領域との間の前記くびれ部、及び前記中心となる小領域と前記第２の小領域との間の前記くびれ部がそれぞれ遮断されることにより、前記第１の小領域及び前記第２の小領域にそれぞれ縁ＭＳが存在するとともに、前記中心となる小領域と前記第３の小領域との間の前記くびれ部が電子のホッピングを許すことにより、前記中心となる小領域及び前記第３の小領域には縁ＭＦが存在しない、トポロジカル量子計算用デバイスユニットが与えられる。
ここで、前記領域はｓ波超伝導体層と、スピン−軌道結合を示す半導体層と、強磁性体絶縁体のヘテロ構造を有してよい。
また、前記ｓ波超伝導体層を基板の全面に設け、前記へテロ構造中の残りの層を前記ｓ波超伝導体層の上の前記領域が存在する部分に設けてよい。
また、前記くびれ部に可変電圧を印加することによって前記縁ＭＦを前記小領域間で移送することができる。
本発明の他の側面によれば、前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）〜（ウ）を設けて、前記第１の小領域上の縁ＭＦと前記第２の小領域上の縁ＭＦとを交換する、請求項４に記載のトポロジカル量子計算用デバイスユニットの操作方法が与えられる。
（ア）前記第１の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第３の小領域へ移送する。
（イ）前記第２の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第１の小領域へ移送する。
（ウ）前記第３の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第２の小領域へ移送する。
本発明の更に他の側面によれば、上述した何れかのデバイスユニットをＮ個（Ｎは２以上の整数）直列接続したトポロジカル量子計算用デバイスにおいて、ｉ番目（１≦ｉ≦Ｎ−１）の前記デバイスユニット中の前記他の三つの前記小領域の内の一つと（ｉ＋１）番目の前記デバイスユニット中の前記中心となる小領域とがくびれ部を介して結合されている、トポロジカル計算用デバイスが与えられる。
本発明の更に他の側面によれば、上述したトポロジカル量子計算用デバイス中のｍ番目（１≦ｍ≦Ｎ）の前記デバイスユニット中の、前記中心となる小領域を中心小領域ｍｃとし、他の三つの小領域のうちで隣接する前記デバイスユニットに前記くびれ部を介して結合されていない小領域を小領域ｍ１及び小領域ｍ２、結合されている小領域を小領域ｍ３と表現するとき、前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）から（ウ）を設けて、デバイスユニットｊ中の小領域ｊ１上の縁ＭＦとデバイスユニットｋ中の小領域ｋ１（１≦ｊ、ｋ≦Ｎ、かつｊ≠ｋ）上の縁ＭＦとを交換する、トポロジカル量子計算用デバイスの操作方法が与えられる。
（ア）小領域ｊ１上の縁ＭＦを介在する前記小領域及びくびれ部を経由して小領域ｋ３へ移送する。
（イ）小領域ｋ１上の縁ＭＦを介在する前期小領域及びくびれ部を経由して小領域ｊ１へ移送する。
（ウ）小領域ｋ３上の縁ＭＦを小領域ｋ１へ移送する。

本発明により、縁ＭＦとコアＭＦの対を量子ビットとした量子計算用デバイスを実現することができるようになる。このように本発明によれば実現可能なデバイス構造が与えられるため、本発明は量子計算の実用化へ大きく貢献する。

ａ．四つの有限サンプルをくびれ構造で接続したデバイスユニットの概念図。くびれ部（constriction junction）でゲート電圧を調節することによって端部ＭＦを操作できる。ｂ．量子渦を有するｓ波超伝導体、スピン軌道結合半導体、及び強磁性絶縁体から成る有限サンプル（小領域、つまりブリック）の構造を概念的に示す図。ｃ．強磁性体絶縁体に近接している半導体の分散関係（dispersion relation）を概念的に示す図。 幾つかの最低励起のエネルギースペクトル及びゼロエネルギーＭＦの波動関数ノルム（wave-function norm）の分布を示す図。ａ．は１つはブリックのコアに、もう一つはブリックの端部にという、都合２つのＭＦを有する１つのブリックについての図。ｂ．はそれぞれコアＭＦを有する、結合された２つのブリックについての図。結果は、ブリックについて１００×１００サイト、くびれ部については１０×１０サイトのとき、Δ_０＝０．５ｔ_０、Ｖ_ｚ＝０．８ｔ_０、μ＝０、及びｔ_α＝０．９ｔ_０であった。 （ａ）左端のブリックでできた縁ＭＦが右端のブリックへの移送、及び計算された波動関数ノルムの分布を示す図。（ｂ）エネルギースペクトルの変化を示す図。ここで、二つのゼロエネルギー励起（及びここでは示していない粒子−ホール対称性によるほかの２つ）は三つのコアＭＦ及び一つの縁ＭＦに対応している。左側の結合がλ_１によってパラメータ化されて断熱的にオンになり、右側の結合はλ_２によってパラメータ化されて断熱的にオフになる。なお、（ｂ）のグラフにおいて、Ｅ１のデータ点（◆）とＥ２のデータ点（●）は同じ位置にあって重なっているので、グラフ上では◆だけがプロットされているように見えることに注意されたい。 縁ＭＦのブレーディング及び計算された波動関数ノルムの分布を示す図。図中の数字はステップ番号である。 図４中の交換過程についての縁ＭＦの波動関数の時間変化を、初期ステージに作られた二つの縁ＭＦへのその射影（projection）Ｏ_Ｌ及びＯ_Ｒで表す図。移送過程の時間はＴ＝４００００ｈ／（２πｔ_０）である。 ブリック中の縁ＭＦについての南部スピノル成分を示す図。各ベクトルの角度及び長さは四つの複素場（complex field）の位相及び大きさを示す。 （ａ）（Ｓ２）式から計算した（上側）、及びＴＤＧＬ計算によって得た（下側）対ポテンシャル（pair potential）。この縮尺では見えないが、ベクトルの角度及び長さは対ポテンシャルの位相及び大きさを表す。（ｂ）縁ＭＦの波動関数ノルムのエネルギースペクトル及び分布を示す図（上側及び下側の差込図はそれぞれ（Ｓ２）式及びＴＤＧＬによって導出された対ポテンシャルを使った場合のノルム）。 λ（ｔ）が線形関数の場合（ａ）及び放物線関数の場合（ｂ）についてのＷ_Ｌ及びＷ_Ｒの時間変化を示す図。 （ａ）三つの縁ＭＦの二つのブレーディング過程を示す図。（ｂ）縁ＭＦの波動関数の時間変化を、初期状態で準備された三つの縁ＭＦへのその射影ＯＬ、ＯＲ及びＯＴで表した図。 本願発明にかかるユニットの１Ｄアレイを示す図。

本発明において、超伝導量子渦により有限サンプル中に生成された縁ＭＦ（図１（ａ）を参照）が非常に有用であることを示す。具体的には、超伝導量子渦がサンプルの中央にあるＳＣ／ＳＭ／ＦＭＩへテロ構造（非特許文献１４，１７）（ブリックと呼ぶ）を考える。ブリックはくびれ部（constriction junction）によって結合されていて、この接合は局所的なゲート電圧を印加することでオン・オフすることができる。トポロジカルな性質により、端部ＭＦは単にこれらのゲート電圧を指定された順序でオン、オフすることによって移送できることを見出した。端部ＭＦの動的挙動を、時間依存Bogoliubov-de Gennes（ＢｄＧ）方程式を解くことによって調べ、ＭＦの非アーベルブレーディング（non-Abelian braiding）を確認した。ここで提案するＭＦの操作は安定性、及びデバイスとして簡単に実現できるという利点を有する。本願では、図１（ａ）に示す構成、つまり中心の一つのブリックに三つのブリックがそれぞれくびれ部を介して結合されているものをデバイスユニットと呼ぶことがある。このデバイスユニットは一つでもデバイスとして使用できるが、複数個のデバイスユニットを直列に並べ、隣接するデバイスユニット間のブリック同士がくびれ部を介して結合されるような構造により、更に規模の大きなデバイスを提供することもできる。なお、図１（ａ）に示すブリック及びくびれ部を基板上に形成する場合、ブリックやくびれ部が存在している領域を図１（ｂ）に示す三層のヘテロ構造とし、これらが存在しない領域はこれらの層を全く設けなくてもよいし、あるいは超伝導体（ＳＣ）の層を基板の全面に設け、その上のブリックやくびれ部の領域にだけ残りの二つの層を設けても良い。

［モデルの系の説明］
基本的な系を概念的に図１のｂに示す。強磁性絶縁体に近接したスピン軌道結合半導体ハミルトニアンは以下の（１）式によって与えられる。

ここで、ｍ＊、μ、α_Ｒ及びＶ_ｚはそれぞれ実効電子質量、化学ポテンシャル、Rashbaスピン軌道結合の強度、及びZeeman場であり、また

Pauliマトリクス、

電子対消滅演算子（electron annihilation operator）である。ｓ波超伝導体からの近接効果は以下の（２）式によって与えられる。

ここで、

はｓ波ペアリングテンシャル（pairing potential）である。全ハミルトニアンはＨ_ｔｏｔ＝Ｈ_０＋Ｈ_ｓｃである。化学ポテンシャルが

を満たす場合、分散関係とスピン構成が図１（ｃ）で与えられ、系は実効的に２Ｄスピンなしｐ_ｘ＋ｉｐ_ｙ超伝導体として振舞う（非特許文献５、１０、２６〜２８）。

系内の準粒子励起（quasiparticle excitation）は、以下の（３）式で表されるBogoliubov-de-Gennes（ＢｄＧ）方程式によって与えられる。

ここで、南部スピノル（Nambu spinor）表記

が適用される。粒子−ホール対称性から、（３）式のエネルギーＥの固有ベクトル（eigen vector）Ψはエネルギー−Ｅのツイン

を有する。ここで、

は南部スピノル空間内のPauliマトリックスである。ＢｄＧ方程式は偶数次元ハミルトニアンによって定義されるので、ゼロエネルギーの固有モード（eigen mode）がもし存在すれば、それは対で現れる。これらのゼロエネルギーの固有波動関数（eigen wave function）を再結合することによって、常に下式を得ることができる。

これについて、以下の（４）式によって定義される準粒子演算子

は関係

を満足する。従って、系のゼロエネルギー励起は実際にＭＦである。

非特許文献１０、２７、２８では、超伝導体中に量子渦のある系の方程式（３）は量子渦のコアにＭＦを持つことを示している。系中に一個の量子渦がある場合には、そのツインは系の縁に現れるはずである（非特許文献２６、２９）。コアＭＦは先行する多くの研究で検討されてきたが、本願の中心テーマである縁ＭＦについては今まではほとんど注意が払われなかった。

縁ＭＦを検討するため、正方形グリッド上でのタイトバインディング版のＨ_０を以下の（５）式に示すように求めた。

ここで、スピン保存ホッピング（spin-reserved hopping）

とスピンフリップホッピング（spin-flipped hopping）

は最近隣のグリッド点の間にあり、グリッド間隔はａで、μはバンドの底から測定される。本願では、核ブリックは１００サイト×１００サイトのグリッドに分割され、この系のハミルトニアンマトリックスは典型的には１０^５オーダーと大きいものである。Ｅ＝０に近い励起に関する限り、大きな系を扱うための強力な数値的な技法が利用できる（非特許文献３０）。

［縁ＭＦ及びその操作］
ここでは先ず単一のブリック、つまり正方形のサンプル（図１（ｂ）参照）であって量子渦が中心にある場合

ここでｓ＝４ａ、を検討する（後述の補足説明参照）。図２（ａ）のエネルギースペクトルに示されるように、二つのゼロエネルギー励起が見出された。一方の励起の波動関数は量子渦のコアに局在化され、他方はサンプルの縁に局在化されていて（ノルムについての図２（ａ）の差込図参照）、それぞれの波動関数はＭＦの一般的な関係（generic relation）を満たす（後述の補足説明参照）。これらの２つの状態をそれぞれコアＭＦ、縁ＭＦと呼ぶ。

次に、くびれ部で結合された二つのブリックを検討する。図２（ｂ）に示すように、この場合も二つのゼロエネルギーＭＦが見出され、これらは二つの量子渦のコアに局在している。今度は縁ＭＦはない（図２（ｂ）の差込図参照）。それは、二つのブリックの二つの縁ＭＦはくびれ部で出会って、融合して有限のエネルギーを持つBogoliubov準粒子となるからである。ＭＦの融合は本系のトポロジカルな特徴によるものであることを強調しておく。つまり、サンプルの周囲が二つの、従って偶数の量子渦を含む場合には縁ＭＦは存在しない。

今度は３個のブリックの系を検討するが、ここでくびれ部のオン／オフを切り替える動的過程を導入する。これはブリック間のくびれ部におけるホッピング積分（hopping integral）を調節することによって行われる。実際にはゲート電圧を調節することで実現することができる。初期ステージにおいて、左側のブリックは分離され、残り二つが結合される。図３に示すように、三つのコアＭＦ及び一つの縁ＭＦがある。計算によって確認したところでは、切替過程の間、コアＭＦは（指数精度で）不変であり、以下の議論では簡略化のため省略される。次に、左側のブリックと中央のブリックとの間のくびれ部が断熱的にオンにされる。図３（ａ）（上段から中段へ）に示すように、左側のブリックの縁ＭＦはその波動関数を中央及び右側のブリックに広げる。ここで、縁ＭＦの高い移動度はトポロジカルな特徴の明らかな現れであることを強調しておく。それは、統合された縁は今や三つの量子渦を含むからである。

次に、中央のブリックと右側のブリックとの間のくびれ部を断熱的にオフにする。図３（ａ）（下段）に示すように、縁ＭＦの波動関数は今や右側のブリックに収縮する。上述の２つの切替の結果、最初は左側のブリックにあった縁ＭＦは右側のブリックに移送される。この全ての過程の間のエネルギースペクトルを観測し、ゼロエネルギーＭＦと有限エネルギー励起の間のギャップは開いたままであることを確認した（図３（ｂ）参照）が、これは系のトポロジカル状態を保護する。

以上の結果から、縁ＭＦの対を交換できる。この目的のための最も簡単な構造は図１（ａ）に示すように四つのブリックからなり、二つの縁ＭＦの交換過程の図式を図４に示す。初期状態（ステップ０）では、左側及び右側のブリックに二つの縁ＭＦが置かれていて、中央及び上側のブリックは接続されている（従って、縁ＭＦは存在しない）。上述の移送過程により、左側のＭＦの縁ＭＦを上側のブリックに移送し（ステップ１及び２）、次に右側のブリックにある縁ＭＦを左側のブリックに移送する（ステップ３及び４）。最後に、一時的に上側のブリックに格納していた縁ＭＦを右側のブリックに移送する。これら一連の操作後、系の設定、つまりハミルトニアンは初期状態に戻るが、二つの縁ＭＦは初期状態のそれらとは交換されている。

［非アーベル統計］
ここで、上述の交換が波動関数系に与える影響を検討する。この目的のために、時間依存ＢｄＧ（ＴＤＢｄＧ）法（後述の補足説明、及び非特許文献３１〜３３）を使用して、断熱切替（adiabatic switching）についての波動関数の時間変化を評価する。先ず、（３）式のハミルトニアンを対角化することによって左側及び右側のブリックにおける縁ＭＦの波動関数を導出する。ここで、（３）式により、系全体についての所期は導関数は以下で与えられる。

図４に示された切替過程で、波動関数はＴＤＢｄＧ方程式である（６）式に従って時間変化する。

波動関数の時間変化は二つの縁ＭＦの初期波動関数へのその射影

及び

によってモニターすることができる。図５に示すように、一方では初期状態の定義によってＯ_Ｌ＝Ｏ_Ｒ＝＋１であり、他方、最終状態ではＯ_Ｌ＝１かつＯ_Ｒ＝−１となる。従って、図４に示す二つの縁ＭＦの交換の過程で、系の波動関数は以下の（７）式のように変化する。

あるいは、演算子により以下の（８）式のように表される。

これはIvanovが示したコアＭＦについてのものと同じ形態であり、ユニタリ変換

によって表すことができる（非特許文献６、また非特許文献１９も参照のこと）。

上述の縁ＭＦの交換規則はＭＦについての格子ハミルトニアン（lattice Hamiltonian）によって理解することができる。先ず図３中のＭＦ移送から始める。断熱移送の低エネルギー物理についての瞬時ハミルトニアン（instantaneous Hamiltonian）は以下の（９）式で与えられる。

ここで、Γ_ｉｊ＝−Γ_ｊｉはＭＦ間の相互作用を示す。時間期間［０、Ｔ］の間で切替関数λ_１（ｔ）は０から１へ増加し、切替関数λ_２は１のままである。また、［Ｔ，２Ｔ］の間ではλ_２（ｔ）は１から０へ減少し、λ_１は１のままである。ゼロエネルギー縁ＭＦは以下の（１０）式で表すことができる。

ここで、

の要請から、

になることが分かる。

従って、図４に示される二つの縁ＭＦの交換過程は以下のように記述できる。

また、

また、

これより、ブレーディングの後、左側及び右側のブリックにおける二つのＭＦは反対の符号を獲得することが明らかである。このように図５及び（８）式の結果が理解される。従って、二つの縁ＭＦのブレーディングは非アーベル統計に従う（後述の補足説明参照）。

［検討］
最初に、ここでのデバイスの可能性について検討する。トポロジカル状態を保護するためには、動作温度は励起温度よりも下に維持しなければならないが、これはパラメータΔ_０＝０．５ｔ_０、Ｖ_ｚ＝０．８ｔ_０、かつα_Ｒ＝０．９ｔ_０の場合はほぼ０．００８Δ_０である。Δ_０≒１ｍｅＶでは（非特許文献２７、３４）、励起ギャップに対応する温度は約１００ｍＫとなるが、これは今日の低温科学では達成困難な温度ではない。強いスピン軌道結合を与えるためには、層状の極性半導体（polar semiconductor）ＢｉＴｅＩ（非特許文献３５）を本発明のデバイスに使用することができる。最近の研究（非特許文献２７）によれば、数ｍｅＶオーダーのZeeman分裂（Zeeman splitting）Ｖ_ｚは、強磁性絶縁体薄膜（非特許文献３６）中で実現することができる。

本発明を、ＭＦを操作することに関するこれまでの提案と比較する。コアＭＦのブレーディングは原理的にはホスト量子渦（host vortex）を交換することによって行うことができる（非特許文献６）が、量子渦の操作は実際上簡単なことではなく、また量子渦の大きな実効質量により遅い。超伝導位相の制御に基いてＳ／ＴＩ／Ｓ接合の回路中でＭＦを操作すること（非特許文献１１）、また電圧の印加に基いて１Ｄナノワイヤーのネットワーク中でこれを行うこと（非特許文献１９）とは対照的に、本発明のゲート電圧操作は、サンプル間の点状のくびれ部に局限される。これにより、デバイス構造を単純化しながら、系全体への動揺の影響は最小レベルに抑えることができる。本願発明の設定の構造は自然にＭＦの格子系をもたらすが、これは非アーベル統計のチェックの見通しを良くする。本設定は良好なスケーラビリティを有し（後述の補足説明参照）、従って実用に当たって好適である。

トポロジカルな特徴により、トポロジカル超伝導体の量子渦状態中の縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ）は、サンプル間の点状のくびれ部にゲート電圧を印加することによって移送することができることが示された。縁ＭＦの断熱ブレーディングを時間依存Bogoliubov-de Gennes法によってシミュレートし、非アーベル統計を確認した。従って、本発明は、ゼロエネルギーマヨラナフェルミ粒子に基いた量子トポロジカル計算のための、単純なデバイス構造と簡単な操作という利点を有する有望な手段を提供するものである。

［補足説明］
− 方法 −
本願では、上で説明したようにＴＤＢｄＧ法を使用してくびれ部のオン／オフ切替時の縁ＭＦの断熱ブレーディングをシミュレートした。このシミュレーションの主要な作業は、ＴＤＢｄＧ方程式（６）を解くことである。この方程式の形式的な解は以下の通りである。

これを数値的に解くため、シミュレートする時間全体を短時間のステップに分割し、この間ではハミルトニアンは変化しない。従って、下式を得る。

ここで、指数関数をChebyshev多項式Ｔｎ（Ｈ）によって展開して下式が得られる。

ここにおいて、係数ｃ_ｍは指数関数的に減少するので（非特許文献３１、３２）、十分な精度の波動関数を得るためには上記の展開式中の有限個数（Ｍ_ｍａｘ）の項しか必要とされない。Chebyshev多項式の再帰的関係
Ｔ_ｍ（Ｈ）＝２ＨＴ_ｍ−１（Ｈ）−Ｔ_ｍ−２（Ｈ）
を使用することで、（Ｓ１）式の和はＭ_ｍａｘ回の行列乗算として行うことができる。こうすることで、本願での疎行列Ｈでは計算時間はＯ（Ｎ）となる（非特許文献３１）。

ハミルトニアンの時間依存部分はブリック間のくびれ部でのホッピング積分である。本願では、パラメーター０≦λ（ｔ）≦１を使って、時間期間［０、Ｔ］の間のホッピング積分を調整する。断熱プロセスをシミュレートするため、関数λ（ｔ）はｔとともにゆっくりと変化しなければならず、従って変化時間全体Ｔは最低励起エネルギーの逆数と比較して十分に長く

取られる。

― 縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ） ―
有限系における準粒子励起については、コア及びサンプルの縁での波動関数は指数関数的に小さなオーバーラップを持つが、これにより、励起エネルギーは正確にはゼロにならない（非特許文献１０、１４、２７）。ここで扱う系において、図２に示す「ゼロエネルギー」状態の対では｜Ｅ_０｜＝１．５×１０^−７ｔ_０であり、これは２番目に低い有限エネルギー励起｜Ｅ｜＝１．０×１０^−２ｔ_０の大きさより５桁小さい。動作温度は通常は｜Ｅ_０｜よりもかなり高いので、これら二つの「ゼロエネルギー」状態は厳密に縮退した（degenerate）とみなすことができる。これら二つの状態を再結合して、図２（ａ）に示すように、一方は量子渦のコアに他方はサンプルの縁にある、対となったＭＦを得る。図６はこの縁ＭＦの四つの南部スピノル成分（Nambu-spinor components）の分布を示す。関係

及び

が満足されていることは明らかであり、ＭＦが満たすべきものである（非特許文献１４）。

― 多重量子渦（multi vortices）についての対ポテンシャル ―
多重量子渦を持つ系については、一つの量子渦に近いが他の量子渦からは遠い位置における超伝導の対ポテンシャルは近似的に以下の（Ｓ２）式によって与えることができる。

ここで、

及び

である。なお、

及び

はサイトｉ及びｍ番目の量子渦のコアの位置である（非特許文献２、３７、３８）。ここで例として図７（ａ）中の三個のブリックの系についての対ポテンシャルをプロットした。ここで、各ブリックの中心に一つの量子渦があるとした。

図７（ｂ）には、この代わりに、ゼロ電気ポテンシャルゲージを使って時間依存Gingzburg-Landau計算（非特許文献３９）による対ポテンシャルを示す。形状の制限により、ゲージ不変な物理実体（gauge-invariant physical object）である量子渦はブリックの中心にトラップされる。

図７（ｂ）から明確に分かるように、ＭＦのエネルギー並びに縁ＭＦの第１励起状態及びその波動関数ノルムの分布は対ポテンシャルの二つのセットについて等しい。この結果は、ゼロエネルギーＭＦの起源は系のトポロジカルな性質であってそれは位相の巻き数（winding number of the phase）、あるいは等価的に量子渦の分布によってに支配されるという理解に一致する。

― くびれ部での切替動作 ―
本発明のデバイスでは、ブリック間の接続のオン／オフ切替はくびれ部におけるゲート電圧を調節することによって行われる。ＴＤＢｄＧシミュレーションにおいて、この過程はホッピング積分ｔ_０及びｔ_αをゼロから本来の値まで調整する時間依存変数λ（ｔ）によってパラメータ化される。原理上は、単調でゆっくり増減する任意の関数をλ（ｔ）として使用することができる。しかし、関数λ（ｔ）として良好なものは、シミュレーション時間を短縮できる一方で、実際のデバイス動作についての有用なヒントを与える関数である。調節関数を評価するために、図３中の移送過程中の左側及び右側のブリックにおける波動関数の重み

の時間変化をモニターする。

最も簡単な選択は、線形の関数
λ（ｔ）＝ｔ／Ｔ
である。ここでＴは切替過程の全動作時間である（オフに切り替える場合はλ（ｔ）＝１−ｔ／Ｔ）。

であり、また本明細書中で使用されたパラメータを使用した場合のＴＤＢｄＧ計算に基くｗ_Ｌ，Ｒの時間変化を図８（ａ）に示す。ここで、ｗ_Ｌとｗ_Ｒとの合計は１ではない。それは、波動関数は移送過程の間にブリックの中心に重みを持つからである。移送過程の間にｗ_Ｌ及びｗ_Ｒに振動が起こるが、これは有限エネルギーの状態への励起によって引き起こされる。これが起こるのは、この過程が十分に断熱的でないからである。切替時間がもっと短い場合、移送過程に課せられるところの、ｗ_Ｌが１からゼロまで減少しまたｗ_Ｒがゼロから１まで増加するという要請は達成できない。

同じ所与の切替時間内の断熱過程の品質を向上するため、放物線関数λ（ｔ）＝（ｔ／Ｔ）^２を導入した。図８（ｂ）から分かるように、この図の縮尺では波動関数の振動は観測されない。放物線関数によって達成されたこの目覚しい改善は、本明細書中で既に導入した簡単なモデルによって以下のように説明できる。

既に説明したように、移送におけるオン切替過程のための低エネルギー物理の実効ハミルトニアンは

である。なお、ここで、Γ_ＬＣ＝Γ_ＣＲ＝１とした。三つの固有状態は３×３のハミルトニアン行列を対角化することによって得られ、そのうちの一つはゼロエネルギーＭＦ

であり、二つは普通の正則準粒子

であって、エネルギーが

であるものである。切替が十分に断熱的である場合には、ゼロエネルギーＭＦは既に述べたように移送過程を辿る。そうでない場合には、図８（ａ）に示すように、二つの準粒子状態が関与する。

ここで、系がｔにおいてゼロエネルギー状態であると仮定する。これは妥当な近似である。というのは、励起状態からの成分による振動の振幅は図８（ａ）にあってさえも小さいからである。また、時間ステップΔｔの間にシステムが二つの最も低い励起状態であるＥ_±に励起される可能性をチェックした。この時間ステップの間に、ハミルトニアンは

の変化を受け、システムが励起される可能性は以下の一次摂動（first-order perturbation）によって与えられる。

よって、λが小さい場合には、Ｐを抑えるにはΔλを減らすのが理想的であることは明白である。従って、放物線関数は線形関数に比べてはるかに好ましく、

の場合、移送過程をほとんど完全に断熱的にする。

― 三つの縁ＭＦのブレーディング ―
ここで、三つの縁ＭＦの非アーベルブレーディングを示す。図９に示すように、同一の初期状態から出発して、二つの異なる順序のブレーディングにより、二つの異なる最終状態が生成される。この結果は、不等式Ｕ_ＬＴＵ_ＴＲ≠Ｕ_ＴＲＵ_ＬＴ、すなわち非アーベル統計であること、に直接対応する。

― 設定のスケーラビリティ ―
本発明に係る設定は良好なスケーラビリティを有している。図１に示すユニットのアレイは多体マヨラナ縁状態の線状の組合せから成り、空間内の状態の回転（rotation of states）は非アーベル統計に従う。図１０に示すように、初期状態において、全てのユニット中のブリック２とブリック４との間のくびれ部はオン状態（図中では濃色で表現）に、他のくびれ部はオフ状態（図中では淡色で表現）になっている。ここで、量子情報は全てのユニット中のブリック１及びブリック３中にエンコードされる（これらのブリックは濃色で縁取りすることで表現）。

異なるユニット中でのＭＦのブレーディングが効率よくでき、しかも非アーベル統計に従う。これを示すためには、例として、ユニットｉ中のブリック１にあるＭＦとユニットｊ中のブリック１にあるＭＦである二つのＭＦを交換するだけでよい（図９を参照）。

まずユニットｉ中のブリック１にあるＭＦ

を、ユニットｊのブリック４に移送し、次に、ユニットｊのブリック１にあるＭＦ

をユニットｉのブリック１に移送する。最後に、

をユニットｊのブリック４からブリック１へ移動する。すでに明らかになったように、縁ＭＦを同じくびれ部を通って反対方向へ移動する際には、Γ_ｉｊ＝−Γ_ｊｉであることから、常にマイナス符号を取得する。上述の交換過程の間、ユニットｉとユニットｊとの間隔にかかわらず、水平方向での反対向きの動きが奇数回起こり（図９参照）、垂直方向では２回起こる。その結果、全体としては奇数個のマイナス符号がもたらされる。従って、交換過程の後では、二つの縁ＭＦは（８）式に示すように逆の符号を獲得する。

A. Y. Kitaev, Ann. Phys. 303, 2 (2003). C. Nayak, S. H. Simon, A. Stern, M. Freedman and S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 80, 1083 (2008). G. Moore and N. Read, Nuc. Phys. B 360, 362 (1991). X. G. Wen, Phys. Rev. Lett. 70, 355358 (1993). N. Read and D. Green, Phys. Rev. B 61, 10267 (2000). D. A. Ivanov, Phys. Rev. Lett. 86, 268 (2001). A. Y. Kitaev, Phys. -Usp. 44, 131 (2001). S. Das Sarma, M. Freedman and C. Nayak, Phys. Rev. Lett. 94, 166802 (2005). S. Tewari, S. Das Sarma, C. Nayak, C. -W. Zhang and P. Zoller, Phys. Rev. Lett 98, 010506 (2007). V. Gurarie and L. Radzihovsky, Phys. Rev. B 75, 212509 (2007). L. Fu and C. L. Kane, Phys. Rev. Lett. 100, 096407 (2008). F. Wilczek, Nat. Phys. 5, 614 (2009). K. T. Law, P. A. Lee and T. K. Ng, Phys. Rev. Lett. 103, 237001 (2009). J. D. Sau, R. M. Lutchyn, S. Tewari and S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 104, 040502 (2010). M. Wimmer, A. R. Akhmerov, M. V. Medvedyeva, J. Tworzydlo and C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 105, 046803 (2010). J. Linder, Y. Tanaka, T. Yokoyama, A. Sudb. and N. Nagaosa, Phys. Rev. Lett. 104, 067001 (2010). R. M. Lutchyn, J. D. Sau and S. Das Sarma, Phy. Rev. Lett. 105, 077001 (2010). Y. Oreg, G. Rafael and F. von Oppen, Phys. Rev. Lett. 105, 177002 (2010). J. Alicea, Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen and M. P. A. Fisher, Nat. Phys. 7, 412 (2011). B. Zhou and S. Q. Shen, Phys. Rev. B 84, 054532 (2011). P. Hosur, P. Ghaemi, R. S. K. Mong and A. Vishwanath, Phys. Rev. Lett. 107, 097001 (2011). L. Mao, J. R. Shi, Q. Niu and C. W. Zhang, Phys. Rev. Lett. 106, 157003 (2011). J. Jang, D. G. Ferguson, V. Vakaryuk, R. Budakian, S. B. Chung, P. M. Goldbart and Y. Maeno, Science 331, 186 (2011). M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010). X. L. Qi and S. C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011). S. Tewari, S. Das Sarma and D. -H. Lee, Phys. Rev. Lett. 99, 037001 (2007). J. D. Sau, S. Tewari, R. M. Lutchyn, T. D. Stanescu and S. Das Sarma, Phys. Rev. B 82, 214509 (2010). L. Mao and C. W. Zhang, Phys. Rev. B 82, 174506 (2010). E. Grofeld and A. Stern, Proc. Nat. Acad. Sci. 108, 11810 (2011). M. Bollh¨ofer and Y. Notay, Comp. Phys. Com. 177, 951 (2007). S. Roche, Phys. Rev. B 59, 2284 (1999). Y. L. Loh, S. N. Taraskin and S. R. Elliott, Phys. Rev. Lett. 84, 2290 (2000). A. Weisse, G. Wellein, A. Alveman and H. Fehske, Rev. Mod. Phys. 78, 275 (2006). A. Chrestin, T. Matsuyama and U. Merkt, Phys. Rev. B 55 ,8457 (1997). K. Ishizaka et al., Nat. Mat. 10, 521 (2011). B. T. Matthias, R. N. Bozorth and J. H. Van Vleck, Phys. Rev. Lett. 7, 160 (1961). A. Stern, F. von Oppen and E. Mariani, Phys. Rev. B 70, 205338 (2004). M. Cheng, R. M. Lutchyn, V. Galitski and S. Das Sarm, Phys. Rev. Lett. 103, 107001 (2009). W. D. Gropp, H. G. Kaper, G. K. Leaf, D. M. Levine, M. Palumbo and V. M. Vinokur, J. Com. Phys. 123, 254 (1996).

Claims (7)

1. 縁マヨラナフェルミ粒子（縁ＭＦ）が存在することができる四つの小領域を設けるとともに、中心となる一つの前記小領域が他の三つの前記小領域である第１、第２及び第３の小領域とそれぞれくびれ部を介して結合され、
   前記くびれ部への可変の電圧の印加によって、電子のホッピングを許し、または遮断することができ、
   初期状態においては、前記中心となる小領域と前記第１の小領域との間の前記くびれ部、及び前記中心となる小領域と前記第２の小領域との間の前記くびれ部がそれぞれ遮断されることにより、前記第１の小領域及び前記第２の小領域にそれぞれ縁ＭＳが存在するとともに、前記中心となる小領域と前記第３の小領域との間の前記くびれ部が電子のホッピングを許すことにより、前記中心となる小領域及び前記第３の小領域には縁ＭＦが存在しない、
   トポロジカル量子計算用デバイスユニット。
2. 前記領域はｓ波超伝導体層と、スピン−軌道結合を示す半導体層と、強磁性体絶縁体のヘテロ構造を有する、請求項１に記載のデバイスユニット。
3. 前記ｓ波超伝導体層を基板の全面に設け、前記へテロ構造中の残りの層を前記ｓ波超伝導体層の上の前記領域が存在する部分に設ける、請求項２に記載のデバイスユニット。
4. 前記くびれ部に可変電圧を印加することによって前記縁ＭＦを前記小領域間で移送することができる、請求項１から３の何れかに記載のデバイスユニット。
5. 前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）〜（ウ）を設けて、前記第１の小領域上の縁ＭＦと前記第２の小領域上の縁ＭＦとを交換する、請求項４に記載のトポロジカル量子計算用デバイスユニットの操作方法。
   （ア）前記第１の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第３の小領域へ移送する。
   （イ）前記第２の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第１の小領域へ移送する。
   （ウ）前記第３の小領域上の縁ＭＦを前記くびれ部及び前記中心となる小領域を経由して前記第２の小領域へ移送する。
6. 請求項１から４の何れかに記載のデバイスユニットをＮ個（Ｎは２以上の整数）直列接続したトポロジカル量子計算用デバイスにおいて、
   ｉ番目（１≦ｉ≦Ｎ−１）の前記デバイスユニット中の前記他の三つの前記小領域の内の一つと（ｉ＋１）番目の前記デバイスユニット中の前記中心となる小領域とがくびれ部を介して結合されている、トポロジカル計算用デバイス。
7. 請求項６に記載のトポロジカル量子計算用デバイス中のｍ番目（１≦ｍ≦Ｎ）の前記デバイスユニット中の、前記中心となる小領域を中心小領域ｍｃとし、他の三つの小領域のうちで隣接する前記デバイスユニットに前記くびれ部を介して結合されていない小領域を小領域ｍ１及び小領域ｍ２、結合されている小領域を小領域ｍ３と表現するとき、
   前記くびれ部への前記可変電圧の選択的な印加による以下のステップ（ア）から（ウ）を設けて、デバイスユニットｊ中の小領域ｊ１上の縁ＭＦとデバイスユニットｋ中の小領域ｋ１（１≦ｊ、ｋ≦Ｎ、かつｊ≠ｋ）上の縁ＭＦとを交換する、トポロジカル量子計算用デバイスの操作方法。
   （ア）小領域ｊ１上の縁ＭＦを介在する前記小領域及びくびれ部を経由して小領域ｋ３へ移送する。
   （イ）小領域ｋ１上の縁ＭＦを介在する前期小領域及びくびれ部を経由して小領域ｊ１へ移送する。
   （ウ）小領域ｋ３上の縁ＭＦを小領域ｋ１へ移送する。