JP2012079179A - シミュレーションモデルの作成方法及びそのコンピュータプログラム、シミュレーション方法及びそのコンピュータプログラム、並びにシミュレーションモデルの作成装置 - Google Patents

Abstract

【課題】シミュレーションモデルの対向する境界にそれぞれ存在する節点を対面平行に配置した構造を簡易に得ること。
【解決手段】母相と前記母相に含まれたフィラー相の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して、第１モデルを作成する（ステップＳ１０１）。次に、作成された第１モデルの鏡像中心部分に対して、鏡像複製を実行することにより、第２モデルを作成する（ステップＳ１０３）。そして、第１モデルと前記第２モデルとを結合したモデルを、第３モデルとする（ステップＳ１０４）。その後、第２モデルの作成とモデルの結合とを必要な回数だけ繰り返すことにより（ステップＳ１０５）、シミュレーションモデルを作成し、得られたシミュレーションモデルの境界に周期境界条件を設定する（ステップＳ１０６）。
【選択図】図４

Description

本発明は、材料特性の異なる複数の材料相が配置された不均質材料の挙動や特性をコンピュータでシミュレーションすることに関する。

近年は、材料特性の異なる複数の材料相が配置された不均質材料をコンピュータでシミュレーションすることが行われつつある。このようなシミュレーションを実行する手法として、例えば、特許文献１及び非特許文献１に記載されたようなものがある。

特開２００７−２６５３８２号公報

「非線形均質化理論における２変数境界値問題のミクロ−マクロ非連成近似解法」、渡邉育夢、寺田賢二朗、応用力学論文集Vol.8,pp . 275-285, （２００５年８月）

特許文献１や非特許文献１に記載されたシミュレーションにおいては、ミクロ構造のモデルからマクロ構造の力学情報を得るために、解析に供するモデルに周期境界条件を与える必要がある。周期境界条件を与えるためには、シミュレーションモデルの対向する境界にそれぞれ存在する節点を対面平行にしなければならない。一般に用いられている自動メッシュ生成ソフトウェアは、このようなモデルを作成することが困難である。本発明は、シミュレーションモデルの対向する境界にそれぞれ存在する節点を対面平行に配置した構造を簡易に得ることを目的とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、コンピュータが、２次元の場合は長方形領域内の、３次元の場合は直方体領域内の母相と前記母相に含まれたフィラー相の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して、第１モデルを作成する第１モデル作成手順と、前記コンピュータが、前記第１モデルのフィラー相が現れている境界である鏡像中心部分に対して、前記第１モデルが有するそれぞれの節点と対称となる位置にそれぞれ節点を生成し、生成された複数の節点で構成される領域を第２モデルとする第２モデル作成手順と、前記コンピュータが、前記第１モデルと前記第２モデルとを結合したモデルを、第３モデルとするモデル結合手順と、前記コンピュータが、前記第２モデル作成手順と前記モデル結合手順とを、作成するシミュレーションモデルの次元の数だけ繰り返し、かつ２回目以降の前記第２モデル作成手順及び前記モデル結合手順では、前記第３モデルを前記第１モデルとする繰り返し手順と、前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルをシミュレーションモデルとし、当該シミュレーションモデルに、周期境界条件を設定する境界条件設定手順と、を含むことを特徴とする。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの材料特性を変更し、変更後におけるモデルを前記シミュレーションモデルとすることが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルを少なくとも一つ複製することによって複数の第３モデルを作成し、次に、前記複数の第３モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、前記シミュレーションモデルを作成することが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルを少なくとも一つ複製することによって複数の第３モデルを作成し、次に、前記複数の第３モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合し、その後、結合後における前記複数の第３モデルのうち少なくとも一つの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して得られたモデルを前記シミュレーションモデルとすることが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記結合の前に、複数の前記第３モデルのうち少なくとも一つの材料特性を変更することが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して得られたモデルを前記シミュレーションモデルとすることが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して複数の第４モデルを作成し、次に、前記複数の第４モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、前記シミュレーションモデルを作成することが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記結合の前に、前記第４モデルとすべての前記複数の第４モデルとのうち、少なくとも一つの材料特性を変更することが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して第４モデルを作成し、次に、少なくとも一つの当該第３モデルと少なくとも一つの当該第４モデルとを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、前記シミュレーションモデルを作成することが好ましい。

本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法は、前記コンピュータが、前記結合の前に、前記第３モデルと前記第４モデルとのうち、少なくとも一つの材料特性を変更することが好ましい。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係るシミュレーション方法は、前記シミュレーションモデルの作成方法をコンピュータに実行させることを特徴とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係るシミュレーション方法は、コンピュータが、請求項１から１１のいずれか１項に記載のシミュレーションモデル作成方法によって作成されたシミュレーションモデルを用いて、母相にフィラー相が分散した材料の性能を模擬することを特徴とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係るシミュレーション用コンピュータプログラムは、前記シミュレーションモデルの作成方法をコンピュータに実行させることを特徴とする。

上述した課題を解決し、目的を達成するために、本発明に係るシミュレーションモデルの作成装置は、２次元の場合は長方形領域内の、３次元の場合は直方体領域内の母相と前記母相に含まれたフィラー相の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して、第１モデルを作成する第１モデル作成部と、前記第１モデルのフィラー相が現れている境界である鏡像中心部分に対して、前記第１モデルが有するそれぞれの節点と対称となる位置にそれぞれ節点を生成し、生成された複数の節点で構成される領域を第２モデルとする第２モデル作成部と、前記第１モデルと前記第２モデルとを結合したモデルを、第３モデルとするモデル結合部と、前記第２モデルを作成する処理と前記第１モデルと前記第２モデルとを結合する処理とを、作成するシミュレーションモデルの次元の数だけ、前記第２モデル作成部と前記モデル結合部とに繰り返させ、かつ２回目以降においては、前記第３モデルを前記第１モデルとする繰り返し演算部と、前記繰り返し演算部の処理が終了した後に得られる第３モデルをシミュレーションモデルとし、当該シミュレーションモデルに、周期境界条件を設定する境界条件設定部と、を含むことを特徴とする。

本発明は、シミュレーションモデルの対向する境界にそれぞれ存在する節点を対面平行に配置した構造を簡易に得ることができる。

図１は、不均質材料の模式図である。 図２−１は、周期境界条件が適用できるシミュレーションモデルを示す模式図である。 図２−２は、周期境界条件が適用できないシミュレーションモデルを示す模式図である。 図３は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行するシミュレーションモデルの作成装置を示す説明図である。 図４は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法の手順を示すフローチャートである。 図５は、不均質材料から直方体形状に切り出したミクロ領域を示す斜視図である。 図６は、第１モデルの斜視図である。 図７は、第１モデルの斜視図である。 図８は、第１モデルの鏡像中心部分を示す斜視図である。 図９は、鏡像複製を説明するための平面図である。 図１０は、第１モデルと第２モデルとを結合した第３モデルを示す斜視図である。 図１１は、第１モデルと第２モデルとを結合した第３モデルを示す斜視図である。 図１２−１は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法によって作成されたシミュレーションモデルの斜視図である。 図１２−２は、シミュレーションモデルに周期境界条件を設定する一例を示す模式図である。 図１３は、本実施形態の第１変形例に係るシミュレーションモデルの斜視図である。 図１４は、本実施形態の第１変形例において、第３モデルを結合する手法の説明図である。 図１５は、本実施形態の第１変形例において、第３モデルを結合する手法の説明図である。 図１６は、第３モデルの平面図である。 図１７は、本実施形態の第２変形例に係るシミュレーションモデルの平面図である。 図１８は、本実施形態の第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法の説明図である。 図１９は、本実施形態の第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法の説明図である。 図２０は、本実施形態の第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法の説明図である。 図２１は、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法における他の例の説明図である。 図２２は、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法における他の例の説明図である。 図２３は、本実施形態の第６変形例の説明図である。 図２４は、本実施形態の第６変形例の説明図である。 図２５は、本実施形態の第７変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を示す説明図である。 図２６は、本実施形態の第７変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を示す説明図である。 図２７は、本実施形態の第１変形例に係るシミュレーションモデルを示す模式図である。 図２８は、本実施形態の第６変形例に係るシミュレーションモデルを示す模式図である。 図２９は、図２７、図２８に示すシミュレーションモデルを用いて１軸伸張シミュレーションを実行した結果を示す応力−ひずみ線図である。

本発明を実施するための形態（実施形態）につき、図面を参照しつつ詳細に説明する。以下の実施形態に記載した内容により本発明が限定されるものではない。また、以下に記載した構成要素には、当業者が容易に想定できるもの、実質的に同一のものが含まれる。さらに、以下に記載した構成要素は適宜組み合わせることが可能である。

図１は、不均質材料の模式図である。不均質材料１は、材料特性の異なる複数の材料相が配置された材料である。図１に示す不均質材料１は、母相２にフィラー相３が分散した材料である。母相２は、例えば、ゴムや樹脂材料等の高分子材料（ポリマー）であり、フィラー相３は、例えば、カーボンブラックやシリカ等の無機材料の粒子である。母相２の材料である高分子材料と、フィラー相３の材料である無機材料とは材料特性が異なる。

タイヤ（空気入りタイヤを含む）のトレッドゴム部材及びビードフィラー相ゴム部材等に用いられるフィラー相を配合したゴム（フィラー相配合ゴム）のバルク特性は、タイヤの性能に影響を与える。このため、タイヤ性能のシミュレーション及びゴム材料特性のシミュレーションは、タイヤを開発する上で重要である。バルク特性とは、塊（バルク）の状態にある不均質材料の特性（マクロ特性）であり、不均質材料を均質な材料と見なした場合の等価な材料特性である。

前記フィラー相配合ゴムのような、材料特性の異なる複数の材料相が分散配置された不均質材料のバルク特性をコンピュータでシミュレーションして評価する方法として、例えば、上記非特許文献１に記載されたような、ミクロ−マクロ非連成解析手法に関する、非連成双方向マルチスケールシミュレーション（以下、ＭＳＳという）がある。この方法は、例えば、ミクロ構造のモデルで得られた引張試験のシミュレーション結果からマクロ構造のモデルにおける材料パラメータを求め、この材料パラメータをマクロ構造モデルに用いて、シミュレーションを行うものである。

例えば、不均質材料の代表領域（ミクロ領域）を直方体形状に切り出してコンピュータで取り扱うことのできるシミュレーションモデルを作成する。そして、このシミュレーションモデルが、あたかも上下、左右、奥行き方向に連続して無限に連なってバルクを成すように、シミュレーションモデルの対向する境界（面又は線）に周期境界条件を付与してシミュレーションに供するシミュレーションモデルを作成する。このようにして作成されたシミュレーションモデルを用いて、ミクロ構造のシミュレーションを行う。

図２−１は、周期境界条件が適用できるシミュレーションモデルを示す模式図である。図２−２は、周期境界条件が適用できないシミュレーションモデルを示す模式図である。ＭＳＳにおいては、図２−１に示すように、ＭＳＳに用いるシミュレーションモデル１０を境界Ｂで結合した場合、境界Ｂでそれぞれのシミュレーションモデル１０が有するそれぞれの要素Ｅ同士が一致する必要がある。より具体的には、境界Ｂで隣接するそれぞれの要素Ｅが有するそれぞれの節点Ｎ同士が、境界Ｂで一致する必要がある。ＭＳＳに用いるシミュレーションモデル１０は、このような条件が必要である。

このために、シミュレーションモデル１０は、対向する境界Ｂ、Ｂにそれぞれ存在する節点Ｎを対面平行、すなわち、対向する一対の境界（３次元では境界面、２次元では境界線）Ｂ、Ｂ上に位置してそれぞれ対応する節点Ｎ同士の位置を、互いに一致させる必要がある。このようにすることで、マクロ構造の一部を代表するモデルとしては、境界形状及び応力の連続性を満たすことができる。図２−２に示すシミュレーションモデル２００は、この条件を満たしていない。このようなシミュレーションモデル２００を用いてＭＳＳを実行すると、ミクロ構造におけるシミュレーション解析精度が低下する結果、ミクロ構造のシミュレーションで得られた材料パラメータをマクロ構造モデルに用いたマクロ構造のシミュレーションの解析精度も低下する。したがって、ＭＳＳでは、図２−１に示すように、対向する境界Ｂ、Ｂにそれぞれ存在する節点Ｎを対面平行としたシミュレーションモデル１０を用いる必要がある。

上述した通り、自動メッシュ生成ソフトウェアは、対向境界にそれぞれ存在する節点が対面平行となるように要素（メッシュ）を自動生成することは困難である。また、自動メッシュ生成ソフトウェアで要素を自動生成した後、対向境界にそれぞれ存在する節点が対面平行となるように節点の位置をマニュアル操作で調整することも手間及び時間を要し、非常に煩雑である。本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法は、ＭＳＳに供するシミュレーションモデル、すなわち、対向境界にそれぞれ存在する節点が対面平行となるようなシミュレーションモデルを簡易に製造することに有用である。次に、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行するシミュレーションモデルの作成装置について説明する。

図３は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行するシミュレーションモデルの作成装置を示す説明図である。シミュレーションモデルの作成装置（以下、モデル作成装置という）５０は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行して、例えば、図１に示す不均質材料１のシミュレーションモデルを作成する装置である。また、モデル作成装置５０は、本実施形態に係るシミュレーション方法を実行する。シミュレーションモデルとは、解析モデルである。解析モデルとは、コンピュータで取り扱うことにより、種々の解析が可能な解析モデルである。解析モデルは、数学的モデルや数学的離散化モデルを含む（以下の例でも同様）。

モデル作成装置５０はコンピュータであり、図３に示すように、処理部５２と記憶部５４とを有する。このモデル作成装置５０には、入出力装置５１が接続されており、ここに備えられた入力手段５３でシミュレーションモデルの対象である不均質材料の母相やフィラー相の物性値、あるいは解析における境界条件等を処理部５２や記憶部５４へ入力する。

入力手段５３には、キーボード、マウス等の入力デバイスを使用することができる。記憶部５４には、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を実現できるコンピュータプログラムやその他のコンピュータプログラムやデータテーブル、データマップ等が格納されている。記憶部５４は、ハードディスク装置や光磁気ディスク装置、又はフラッシュメモリ等の不揮発性のメモリ（ＣＤ−ＲＯＭ等のような読み出しのみが可能な記憶媒体）や、ＲＡＭ（Random Access Memory）のような揮発性のメモリ、あるいはこれらの組み合わせにより構成することができる。

本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法及びシミュレーション方法を実現できるシミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラム及びシミュレーション用コンピュータプログラムは、コンピュータシステムに既に記録されているコンピュータプログラムとの組み合わせによって、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法及びシミュレーション方法を実現できるものであってもよい。また、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラム及びシミュレーション方法をコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録して、この記録媒体に記録されたシミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラム及びシミュレーション方法をコンピュータシステムに読み込ませ、実行させる。これによって、本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法及びシミュレーション方法を実現してもよい。なお、本実施形態において、「コンピュータシステム」とは、ＯＳ（Operating System）や周辺機器等のハードウェアを含むものとする。

処理部５２は、第１モデル作成部５２ａと、第２モデル作成部５２ｂと、モデル結合部５２ｃと、繰り返し演算部５２ｄと、境界条件設定部５２ｅと、解析部５２ｆを含む。モデル作成装置５０は、第１モデル作成部５２ａと、第２モデル作成部５２ｂと、モデル結合部５２ｃと、繰り返し演算部５２ｄと、境界条件設定部５２ｅとを有していればよく、解析部５２ｆは必ずしも必要ではない。

第１モデル作成部５２ａは、例えば、図１に示す不均質材料１の母相２とフィラー相３の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して、第１モデルを作成する。第１モデルは、例えば、作成するシミュレーションモデルが２次元の場合には、不均質材料１の代表領域（ミクロ領域）を長方形（正方形を含む）形状に切り出して作成され、作成するシミュレーションモデルが３次元の場合には、不均質材料１の代表領域を直方体形状に切り出して作成される。すなわち、第１モデル作成部５２ａは、作成するシミュレーションモデルが２次元の場合は長方形領域内の、３次元の場合は直方体領域内の母相と前記母相に含まれたフィラー相の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して第１モデルを作成する。第１モデルは、解析モデルである。すなわち、第１モデルは、コンピュータが取り扱うことができ、かつ解析可能なモデルである。第１モデル作成部５２ａは、作成した第１モデルを記憶部５４に保存する。

第２モデル作成部５２ｂは、記憶部５４から第１モデルを読み出して、第１モデルのフィラー相が現れている境界である鏡像中心部分に対して、第１モデルが有するそれぞれの節点と対称となる位置にそれぞれ節点を生成し、生成された複数の節点で構成される領域を第２モデルとする。第２モデルは、解析モデルである。すなわち、第２モデルは、コンピュータが取り扱うことができ、かつ解析可能なモデルである。第２モデル作成部５２ｂは、作成した第１モデルを記憶部５４に保存する。

モデル結合部５２ｃは、第１モデル及び第２モデルを記憶部５４から読み出して、第１モデルと第２モデルとを結合したモデルを、第３モデルとする。第３モデルは、解析モデルである。すなわち、第３モデルは、コンピュータが取り扱うことができ、かつ解析可能なモデルである。モデル結合部５２ｃは、作成した第３モデルを記憶部５４に保存する。以下において、単にモデルというときは、解析モデルを意味するものとする。繰り返し演算部５２ｄは、第２モデルを作成する処理と、第１モデルと第２モデルとを結合する処理とを、作成するシミュレーションモデルの次元の数だけ、第２モデル作成部５２ｂとモデル結合部５２ｃとに繰り返させる。このとき、繰り返し演算部５２ｄは、２回目以降においては、第３モデルを前記第１モデルとする。境界条件設定部５２ｅは、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルを記憶部５４から読み出して、これをシミュレーションモデルとして設定し、このシミュレーションモデルに、周期境界条件を設定してから記憶部５４に保存する。

本実施形態において、処理部５２は、解析部５２ｆを含む。解析部５２ｆは、シミュレーションモデルを用いて、静的引張や動的応答等のシミュレーションを実行する。このように、モデル作成装置５０は、シミュレーションモデルを作成する他、これらを用いた動的応答のシミュレーションを実行する機能も有する。

処理部５２は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）及びメモリを有する。処理部５２は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法をコンピュータに実行させるシミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラムを処理部５２に組み込まれたメモリに読み込んで演算する。その際に処理部５２は、記憶部５４へ演算途中の数値を適宜保存し、また記憶部５４へ格納した数値を読み出して演算を進める。なお、この処理部５２は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラムの代わりに専用のハードウェアによって、その機能を実現するものであってもよい。

表示手段５５には、例えば、液晶表示装置を使用することができる。上述した第１モデル及び第２モデルあるいはシミュレーションモデル等が格納される記憶部５４は、他の装置（例えばデータベースサーバ）内にあってもよい。例えば、モデル作成装置５０は、入出力装置５１を備えた端末装置から通信により処理部５２や記憶部５４にアクセスするものであってもよい。次に、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を説明する。

図４は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法の手順を示すフローチャートである。図５は、不均質材料から直方体形状に切り出したミクロ領域を示す斜視図である。図６、図７は、第１モデルの斜視図である。図８は、第１モデルの鏡像中心部分を示す斜視図である。図９は、鏡像複製を説明するための平面図である。図１０は、第１モデルと第２モデルとを結合した第３モデルを示す斜視図である。図１１は、第１モデルと第２モデルとを結合した第３モデルを示す斜視図である。図１２−１は、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法によって作成されたシミュレーションモデルの斜視図である。図１２−２は、シミュレーションモデルに周期境界条件を設定する一例を示す模式図である。

図３に示すモデル作成装置５０が本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行する場合、処理部５２は、記憶部５４から本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラムを読み出して、処理部５２が有するメモリに展開する。そして、処理部５２は、前記シミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラムに記述された命令列を処理することにより、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法を実現する。

ステップＳ１０１において、モデル作成装置５０が有する処理部５２の第１モデル作成部５２ａは、第１モデル１０Ａを作成する。ステップＳ１０１が第１モデル作成手順に相当する。第１モデル１０Ａは、図５に示す不均質材料のミクロ領域１Ｐの一部を解析モデル化したものである。ミクロ領域１Ｐは、図１に示す不均質材料１の一部を直方体（立方体を含む）形状に切り出した領域である。ミクロ領域１Ｐは、母相２とフィラー相３とを有する。本実施形態においては、３次元のシミュレーションモデルを作成するので、ミクロ領域１Ｐは不均質材料１を直方体形状に切り出したものである。２次元のシミュレーションモデルを作成する場合、ミクロ領域１Ｐは、２次元の不均質材料１、例えば、３次元の不均質材料１の断面の一部を長方形（正方形を含む）形状に切り出したものになる。ミクロ領域１Ｐは、３次元の場合、直方体の中心（重心）にフィラー相３の中心が配置され、２次元の場合、長方形の中心（重心又は図心）にフィラー相３の中心が配置される。

第１モデル１０Ａは、有限要素法や有限差分法等の数値解析手法を用いて変形解析を行うために用いるモデルである。本実施形態では、第１モデル１０Ａの解析に有限要素法（Finite Element Method：ＦＥＭ）を使用する。本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法に適用できる解析手法は有限要素法に限られず、有限差分法（Finite Differences Method：ＦＤＭ）や境界要素法（Boundary Element Method：ＢＥＭ）等も使用できる。また、境界条件等によって最も適当な解析手法を選択し、又は複数の解析手法を組み合わせて使用することもできる。なお、有限要素法は、構造解析に適した解析手法なので、不均質材料の応力分布やひずみ分布等を求める解析には好適である。

第１モデル作成部５２ａは、ミクロ領域１Ｐの一部を、複数の節点を有する有限個の要素Ｅｍ、Ｅｆで分割することにより、第１モデル１０Ａを作成する。第１モデル１０Ａは、３次元においては、直方体形状であるミクロ領域１Ｐを１／８等分して得られる直方体（立方体を含む）形状の解析モデルであり、２次元においては、直方体形状であるミクロ領域１Ｐを１／４等分して得られる長方形（正方形を含む）形状の解析モデルである。第１モデル１０Ａは、母相１２とフィラー相１３とを有する。したがって、第１モデル１０Ａのフィラー相１３は、３次元においては、球形状であるミクロ領域１Ｐのフィラー相３を１／８等分して得られる１／８球形状であり、２次元においては、１／４円形状である。

第１モデル１０Ａの母相１２は、ミクロ領域１Ｐの母相２を解析モデル化したものに相当し、フィラー相１３は、ミクロ領域１Ｐのフィラー相３を解析モデル化したものに相当する。第１モデル１０Ａが作成される際に、第１モデル作成部５２ａは、節点及び要素Ｅｍ、Ｅｆを定義するとともに、それぞれの要素Ｅｆ、Ｅｍの材料特性も定義する。第１モデル作成部５２ａは、定義した節点の座標、要素Ｅｆ、Ｅｍの積分点の座標及び要素Ｅｆ、Ｅｍの材料特性等の情報を記憶部５４に保存する。

第１モデル１０Ａは、直方体形状のミクロ領域１Ｐを解析モデル化しているので、第１モデル１０Ａの形状もミクロ領域１Ｐと同じ直方体形状である。すなわち、第１モデル１０Ａは、２次元の場合は長方形領域内の、３次元の場合は不均質材料１の直方体領域内の母相２と母相２に含まれたフィラー相３の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して作成される解析モデルである。第１モデル１０Ａは、少なくとも不均質材料１の母相２とフィラー相３とが解析モデル化されていればよく、不均質材料１に含まれる他の材料が解析モデル化されていればよい。

要素Ｅｍは、第１モデル１０Ａの母相１２を構成する要素であり、要素Ｅｆは、フィラー相１３を構成する要素である。第１モデル１０Ａが有する要素Ｅｍ、Ｅｆは、例えば、２次元のモデルでは、三辺形要素、四辺形要素、３次元のモデルでは四面体ソリッド要素、五面体ソリッド要素、六面体ソリッド要素等のソリッド要素や三角形シェル要素、四角形シェル要素等のシェル要素、面要素等、コンピュータで取り扱い得る要素とすることが望ましい。このようにして分割された要素は、解析の過程においては、２次元のモデルでは２次元座標を用いて、３次元のモデルでは３次元座標を用いて逐一特定される。

第１モデル１０Ａが作成されたら、モデル作成装置５０は、処理をステップＳ１０２へ進ませる。ステップＳ１０２において、第１モデル作成部５２ａは、鏡像中心部分を設定して、記憶部５４に格納する。ステップＳ１０２は、鏡像中心部分設定手順に相当する。本実施形態においては、第１モデル１０Ａは３次元の直方体形状であるため、鏡像中心部分は面になる。第１モデル１０Ａが３次元のモデルである場合、図７に示すように、鏡像中心部分は鏡像中心面１４Ａ、１４Ｂ、１４Ｃである。なお、第１モデル１０Ａが２次元のモデルである場合、鏡像中心部分は線（鏡像中心線）となる。なお、フィラー相１３が第１モデル１０Ａの表面に現れていない場合もある。この場合、第１モデル作成部５２ａが鏡像中心部分を設定することは難しいので、第１モデル１０Ａの鏡像中心部分を予め設定し、記憶部５４へ格納しておくことが好ましい。また、本実施形態に係るシミュレーション用コンピュータプログラムは、初期条件として、第１モデル１０Ａの鏡像中心部分を予め設定する手順を有していてもよい。

鏡像中心面１４Ａ、１４Ｂ、１４Ｃは、第１モデル１０Ａの境界面、すなわち、第１モデル１０Ａとその外側との境界面のうち、第１モデル１０Ａのフィラー相１３が現れている境界（境界面）である。３次元の第１モデル１０Ａは、それぞれの鏡像中心面１４Ａ、１４Ｂ、１４Ｃは互いに隣接している。第１モデル１０Ａが２次元である場合、鏡像中心部分（鏡像中心線）は、互いに隣接している。

鏡像中心部分が設定されたら、モデル作成装置５０は、処理をステップＳ１０３へ進ませる。ステップＳ１０３において、モデル作成装置５０が有する処理部５２の第２モデル作成部５２ｂは、第１モデル１０Ａのフィラー相１３が現れている境界である鏡像中心部分に対して、第１モデル１０Ａが有するそれぞれの節点と対称となる位置にそれぞれ節点を生成し、生成された複数の節点で構成される領域を第２モデルとすることにより、第２モデルを作成する。ステップＳ１０３が第２モデル作成手順に相当する。

第２モデルを作成するにあたり、第２モデル作成部５２ｂは、記憶部５４から第１モデル１０Ａの情報及び鏡像中心面１４Ａ、１４Ｂ、１４Ｃの情報を読み出す。そして、第２モデル作成部５２ｂは、ステップＳ１０２で設定された鏡像中心面１４Ａ、１４Ｂ、１４Ｃから一つを指定する。本実施形態では、図８に示す第１モデル１０Ａの鏡像中心面１４Ａが指定されるが、鏡像中心面１４Ｂ又は１４Ｃであってもよい。

次に、第２モデル作成部５２ｂは、図９に示すように、指定した鏡像中心面１４Ａに対して、第１モデル１０Ａが有するそれぞれの節点Ｎ１Ａ、Ｎ２Ａ・・、ＮｎＡ等と対称となる位置にそれぞれ節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等を生成（鏡像複製）する。そして、第２モデル作成部５２ｂは、生成された複数の節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等で構成される領域を第２モデル１０Ｂとする。すなわち、第２モデル１０Ｂは、複数の節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等及びこれらを有する要素で構成される。なお、第２モデル作成部５２ｂは、第２モデル１０Ｂを作成するにあたって、複数の節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等の一部で構成される要素を定義するとともに、それぞれの要素の材料特性も定義する。すなわち、第２モデル１０Ｂの節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等とともに、要素も生成される。このとき、第２モデル作成部５２ｂは、第２モデル１０Ｂが含む節点番号及び要素番号を新たに定義する。このようにして作成された第２モデル１０Ｂは、解析モデルである。第２モデル作成部５２ｂは、定義した節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等の座標、節点番号、要素の積分点の座標、要素番号及び要素の材料特性等の情報を記憶部５４に保存する。

このように、第２モデル１０Ｂは、第１モデル１０Ａが鏡像中心面１４Ａ（又は１４Ｂ又は１４Ｃ）に対して鏡像複製されることにより作成される。鏡像複製とは、いわゆるミラーリング処理のことであり、鏡像中心面１４Ａ（又は１４Ｂ又は１４Ｃ）に対して節点及び要素を複製（コピー）する操作である。すなわち、鏡像複製は、３次元の場合は鏡像中心面（２次元の場合は鏡像中心線）を対称面（軸）として、節点及び要素の配置が対称面（線）の両側で互いに等しくなるように節点及び要素を複製することである。

このようにして生成された第２モデル１０Ｂの節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等と、それぞれに対応する第１モデル１０Ａの節点Ｎ１Ａ、Ｎ２Ａ・・、ＮｎＡ等とを結ぶ直線は、鏡像中心面１４Ａ（又は１４Ｂ又は１４Ｃ）と直交する。そして、前記直線上において、第２モデル１０Ｂの節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等と鏡像中心面１４Ａ（又は１４Ｂ又は１４Ｃ）との距離は、それぞれに対応する第１モデル１０Ａの節点Ｎ１Ａ、Ｎ２Ａ・・、ＮｎＡ等と鏡像中心面１４Ａ（又は１４Ｂ又は１４Ｃ）との距離が等しい。図９に示す例では、節点Ｎ１Ａと鏡像中心面１４Ａとの距離及び節点Ｎ１Ｂと鏡像中心面１４Ａとの距離はいずれもＬ１で等しく、節点Ｎ２Ａと鏡像中心面１４Ａとの距離及び節点Ｎ２Ｂと鏡像中心面１４Ａとの距離はいずれもＬ２で等しい。さらに、第２モデル１０Ｂの節点Ｎ１Ｂ、Ｎ２Ｂ・・、ＮｎＢ等と、それぞれに対応する第１モデル１０Ａの節点Ｎ１Ａ、Ｎ２Ａ・・、ＮｎＡ等とは、鏡像中心面１４Ａ（又は１４Ｂ又は１４Ｃ）に対してそれぞれ反対の位置に存在する。このように、鏡像複製は、第１モデルの節点Ｎ１Ａ等を、鏡像中心面１４Ａ等と直交する直線上、かつ前記直線上において節点Ｎ１Ａ等と鏡像中心面１４Ａ等との距離が等しく、かつ鏡像中心面１４Ａ等に対して節点Ｎ１Ａ等と反対の位置に複製する操作であるともいえる。

第２モデル１０Ｂが作成されたら、モデル作成装置５０は、処理をステップＳ１０４へ進ませる。ステップＳ１０４において、モデル作成装置５０が有する処理部５２のモデル結合部５２ｃは、図１０に示すように、第１モデル１０Ａと第２モデル１０Ｂとを結合したモデルを第３モデル１０Ｃとし、作成された第３モデル１０Ｃを記憶部５４に保存する。第３モデル１０Ｃは、第１モデル１０Ａのフィラー相１３と第２モデル１０Ｂのフィラー相１３とが結合されたフィラー相１３を有する。ステップＳ１０４が、モデル結合手順に相当する。

モデル結合手順においては、鏡像中心面１４Ａ上の同じ位置（座標）に存在する第１モデル１０Ａの節点と第２モデル１０Ｂの節点とが結合される。モデル結合部５２ｃは、鏡像中心面１４Ａ上の同じ位置（座標）に存在する第１モデル１０Ａの節点と第２モデル１０Ｂの節点とのいずれか一方を他方に置き換えることにより、両者を結合することができる。また、モデル結合部５２ｃは、鏡像中心面１４Ａ上の同じ位置（同一座標）に存在する第１モデル１０Ａの節点と第２モデル１０Ｂの節点とが等しく運動するように拘束することにより、両者を結合することもできる。

第３モデル１０Ｃが作成されたら、モデル作成装置５０は、処理をステップＳ１０５へ進ませる。ステップＳ１０５において、モデル作成装置５０が有する処理部５２の繰り返し演算部５２ｄは、第２モデル作成手順とモデル結合手順とを、作成するシミュレーションモデルの次元の数だけ繰り返し、かつ２回目以降の第２モデル作成手順及びモデル結合手順では、第３モデル１０Ｃを第１モデル１０Ａとする。ステップＳ１０５が、繰り返し手順に相当する。

具体的には、繰り返し演算部５２ｄは、第２モデル作成手順（ステップＳ１０３）とモデル結合手順（ステップＳ１０４）とが、作成するシミュレーションモデルの次元の数ｎ（２次元の場合ｎ＝２、３次元の場合ｎ＝３）だけ実行されたか否かを判定する。第２モデル作成手順とモデル結合手順とがｎ回実行されていないことを繰り返し演算部５２ｄが検出した場合（ステップＳ１０５、Ｎｏ）、繰り返し演算部５２ｄは、第２モデル作成手順とモデル結合手順とがｎ回実行されるまで両者を繰り返す。

図１１は、第２モデル作成手順とモデル結合手順とが２回実行された状態を示している。２回目の第２モデル作成手順において、第２モデル作成部５２ｂは、記憶部５４から読み出した第３モデル１０Ｃを第１モデル１０Ａに設定し、鏡像中心面１４Ｂ（図１０参照）に対して第１モデル１０Ａを鏡像複製することにより、第２モデル１０Ｂを作成する。そして、２回目のモデル結合手順において、モデル結合部５２ｃは、第１モデル１０Ａと第２モデル１０Ｂとを結合し、第３モデル１０Ｃとして記憶部５４に保存する。この第３モデル１０Ｃは、図１１に示すように、鏡像中心面１４Ｃにフィラー相１３が現れている。

３次元のシミュレーションモデルを作成する場合、この状態はｎ＝３なので、繰り返し演算部５２ｄは、３回目の第２モデル作成手順とモデル結合手順とを実行する。３回目の第２モデル作成手順においては、第２モデル作成部５２ｂは、記憶部５４から読み出した第３モデル１０Ｃを第１モデル１０Ａに設定し、図１１に示す鏡像中心面１４Ｃに対して第１モデル１０Ａを鏡像複製することにより、第２モデル１０Ｂを作成する。そして、３回目のモデル結合手順において、モデル結合部５２ｃは、第１モデル１０Ａと第２モデル１０Ｂとを結合し、第３モデル１０Ｃとして記憶部５４に保存する。

第２モデル作成手順とモデル結合手順とｎ回実行されたことを繰り返し演算部５２ｄが検出した場合（ステップＳ１０５、Ｙｅｓ）、モデル作成装置５０は、処理をステップＳ１０６へ進ませる。ステップＳ１０６において、モデル作成装置５０が有する処理部５２の境界条件設定部５２ｅは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後に得られる第３モデル１０Ｃを記憶部５４から読み出し、これを図１２−１に示すシミュレーションモデル１０とする。そして、境界条件設定部５２ｅは、シミュレーションモデル１０に、周期境界条件を設定して、記憶部５４に保存する。ステップＳ１０６が、境界条件設定手順に相当する。シミュレーションモデル１０の形状は、直方体（立方体）である。

境界条件設定部５２ｅは、例えば、特開２００７−２６５３８２号公報に記載されている、対面節点の相対変位が等しくなるような多点拘束を用いることにより、周期境界条件を設定することができる。直方体形状のシミュレーションモデル１０は、対向する境界１５Ａ、１５Ａ’と、境界１５Ｂ、１５Ｂ’と、境界１５Ｃ、１５Ｃ’とを有する。対向する境界１５Ａ、１５Ａ’はそれぞれ平行であり、境界１５Ｂ、１５Ｂ’はそれぞれ平行であり、境界１５Ｃ、１５Ｃ’はそれぞれ平行である。また、対向する境界１５Ａ、１５Ａ’と、境界１５Ｂ、１５Ｂ’と、境界１５Ｃ、１５Ｃ’とは、それぞれ直交する。

図１２−２に示す対向する境界１５Ａ、１５Ａ’にそれぞれ直交する方向（図１２−２の矢印で示す方向）のひずみをシミュレーションモデル１０に付与することにより、引張試験のシミュレーションを行う場合、すなわち、ひずみ制御によるシミュレーションを行う場合において、周期境界条件を設定することについて説明する。シミュレーションモデル１０の対向する境界１５Ａ、１５Ａ’に存在する対応する節点ＮＡ、ＮＢについて、変位勾配テンソルを用いた関係式が作成される。すなわち、ひずみによって作られる変位勾配テンソルが算出され、この変位勾配テンソルを対応する節点ＮＡ、ＮＢの変位ベクトルとともに用いて、節点ＮＡ、ＮＢ間における変位ベクトルの差分と関係付けることができる。

すなわち、シミュレーションモデル１０において、ひずみの平均値が設定値になるように（平均ひずみとなるように）関係式を定める。関係式は、節点ＮＡの変位ベクトル、節点ＮＢの変位ベクトルをそれぞれＷａ、Ｗｂとし、さらに、シミュレーションモデル１０における節点と別個独立した仮想の節点ＮＤを導入し、この節点ＮＤの変位ベクトルをＷｄとする。また、節点ＮＡ及び節点ＮＢの位置ベクトルをそれぞれＹａ及びＹｂとし、上記変位勾配テンソルをＨとする。このとき、下記式（２）の右辺の値（節点ＮＡ、ＮＢの変位ベクトルの差分に変位勾配テンソルを作用させた値）を節点ＮＤにおける変位ベクトルとすることにより、下記式（１）が定まる。
Ｗｂ−Ｗａ＝Ｗｄ・・・（１）
Ｗｄ＝Ｈ・（Ｙｂ−Ｙａ）・・・（２）
このように、シミュレーションモデル１０を用いたシミュレーションに際して、仮想の節点ＮＤを導入し、式（１）の関係式を節点ＮＡ、ＮＢ、ＮＤ間の拘束条件として与えることで、式（２）に示す値を仮想の節点ＮＤの変位ベクトルとして与えるだけで、シミュレーションモデル１０における周期対称条件を設定することができる。

ステップＳ１０６でシミュレーションモデル１０に周期境界条件が付与された後、モデル作成装置５０が有する処理部５２の解析部５２ｆは、周期境界条件が付与されたシミュレーションモデル１０を用いて伸張解析や応答解析等のシミュレーションを実行する。すなわち、解析部５２ｆは、本実施形態に係るシミュレーション方法を実行して、母相１２にフィラー相１３が分散した材料の性能を模擬する。本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法は、ＭＳＳに用いる、周期境界条件を設定するために対向する境界に存在する節点が一致した構造のモデルを容易に作成することができる。その結果、ＭＳＳシミュレーションを実行するまでの工程が短縮できる。本実施形態の構成は、以下においても適宜適用できる。

（第１変形例）
図１３は、本実施形態の第１変形例に係るシミュレーションモデルの斜視図である。シミュレーションモデル１００は、第１変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法によって作成される。第１変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、上述したモデル作成装置５０によって実現できる。本変形例において、モデル作成装置５０の第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデル１０Ｃを少なくとも一つ複製することによって、複数の第３モデル１０Ｃを作成する。次に、モデル作成装置５０のモデル結合部５２ｃは、複数の第３モデル１０Ｃを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、シミュレーションモデル１００を作成する。シミュレーションモデル１００は、母相１２及びフィラー相１３を含む第３モデル１０Ｃを複数有するので、複数のフィラー相１３を有する。モデル作成装置５０の境界条件設定部５２ｅは、シミュレーションモデル１００に周期境界条件を設定して、記憶部５４に保存する。

図１４、図１５は、本実施形態の第１変形例において、第３モデルを結合する手法の説明図である。本変形例において、図１４に示すように、第２モデル作成部５２ｂは、第３モデル１０Ｃを少なくとも１以上複製して、複数（２以上）の第３モデル１０Ｃを作成する。そして、モデル結合部５２ｃは、図１５に示すように、それぞれの第３モデル１０Ｃの境界１５Ｃ’と境界１５Ｃとを一致、すなわち、それぞれの境界１５Ｃ’と境界１５Ｃとの同じ位置に存在する節点同士を一致させた上で、それぞれの節点を結合する。一致させた二つの節点のうちいずれか一方を他方に置き換えたり、一致させた二つの節点が等しく運動するように拘束したりすることにより、二つの節点を結合することができる。第１変形例は、周期境界条件を設定するために対向する境界の節点が一致し、かつフィラー相１３が複数存在するシミュレーションモデル１００を容易に得ることができる。その結果、第１変形例は、ＭＳＳシミュレーションを実行するまでの工程を短縮できる。第１変形例の構成は、以下においても適宜適用できる。

（第２変形例）
図１６は、第３モデルの平面図である。図１７は、本実施形態の第２変形例に係るシミュレーションモデルの平面図である。第２変形例に係るシミュレーションモデルは、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法によって作成される。第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、上述したモデル作成装置５０によって実現できる。本変形例において、モデル作成装置５０の第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、図１６に示す第３モデル１０Ｃの境界に存在する節点以外の節点の位置（座標）を変更して第４モデルを作成し、当該第４モデルを図１７に示すシミュレーションモデル１０ａとする。このシミュレーションモデル１０ａは、楕円体のフィラー相１３ａと、フィラー相１３ａを囲む母相１２ａとを有する。第２モデル作成部５２ｂは、作成したシミュレーションモデル１０ａを、記憶部５４に保存する。次に、シミュレーションモデル１０ａを作成する方法の一例を説明する。

図１８から図２０は、本実施形態の第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法の説明図である。第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、ＦＥＭを用いて実現することができる。まず、第２モデル作成部５２ｂは、図１８に示す第３モデル１０Ｃのすべての要素、すなわち、母相１２及びフィラー相１３が有するすべての要素を同一の材料物性に設定する。次に、第２モデル作成部５２ｂは、第３モデル１０Ｃの対向する境界１５Ｃ、１５Ｃ’が離れる方向（伸張）又は両者が接近する方向（圧縮）に、境界１５Ｃ、１５Ｃ’に存在する節点を移動させる。本変形例では、第２モデル作成部５２ｂは、境界１５Ｃ、１５Ｃ’が離れる方向（図１８の矢印Ｆ１で示す方向）に前記節点を移動させる。この処理により、第３モデル１０Ｃは、図１９に示すように伸張される。

次に、第２モデル作成部５２ｂは、図１９のフィラー相１３に属する節点Ｎの位置（座標）を拘束する。そして、第２モデル作成部５２ｂは、境界１５Ｃ、１５Ｃ’に存在する節点を、節点Ｎを拘束する前とは反対の方向に移動させ、節点Ｎを拘束する前の位置、すなわち、第３モデル１０Ｃでの位置に戻す処理をする。本実施形態では、節点Ｎを拘束する前において、境界１５Ｃ、１５Ｃ’に存在する節点を伸張したので、前記処理においては、境界１５Ｃ、１５Ｃ’に存在する節点を圧縮する。すなわち、境界１５Ｃ、１５Ｃ’は、図１９の矢印Ｆ２で示す方向に移動する。この処理によって、第３モデル１０Ｃの対向する境界１５Ｃ、１５Ｃ’に存在する節点以外の節点の位置（座標）が変更される。

上述した処理によって図２０に示すようなモデルをシミュレーションモデル１０ａとする。本変形例のシミュレーションモデル１０ａは、対向する境界に存在する節点の座標を保持したまま、フィラー相１３ａの形状を球形又は円形以外の形状に変更したＭＳＳを実現できる。なお、本変形例に係るシミュレーションモデル１０ａの作成方法は、その処理の過程において対向する境界（例えば、境界１５Ｃ、１５Ｃ’）は移動するが、第３モデル１０Ｃとシミュレーションモデル１０ａとの間で、対向する境界に存在する節点の位置（座標）は移動せず、シミュレーションモデル１０ａの境界に存在する節点の位置（座標）が移動する（以下、同様の例でも同じ）。

シミュレーションモデル１０ａは、楕円体のフィラー相１３ａと、フィラー相１３ａの周囲に存在する母相１２ａとを有する。なお、第２モデル作成部５２ｂは、境界１５Ｃ、１５Ｃ’に存在する節点を移動させた後のモデルが有する要素を再生成、すなわちリメッシュしてもよい。第３モデル１０Ｃの変形にともない、第３モデル１０Ｃが有する要素の形状は歪むことがあるが、前記リメッシュにより、歪んだ要素の形状をより歪みの少ない形状にすることができる。その結果、本変形例のシミュレーションモデル１０ａを用いれば、ＭＳＳの精度低下を抑制できる。

図２１、図２２は、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法における他の例の説明図である。このシミュレーションモデルの作成方法は、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法と同様であるが、第３モデル１０Ｃ内でフィラー相１３を移動させることにより、第３モデル１０Ｃ内におけるフィラー相１３の位置（座標）を変更するものである。

モデル作成装置５０の第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、図２１に示す第３モデル１０Ｃの境界１５Ｂ、１５Ｂ’、１５Ｃ、１５Ｃ’等に存在する節点以外の節点の位置（座標）を変更して作成したモデルを、図２２に示すシミュレーションモデル１０ｂとする。このシミュレーションモデル１０ｂは、フィラー相１３と母相１２とを有する。そして、シミュレーションモデル１０ｂは、境界１５Ｂ、１５Ｂ’、１５Ｃ、１５Ｃ’等に対するフィラー相１３の位置が、第３モデル１０Ｃにおける境界１５Ｂ、１５Ｂ’、１５Ｃ、１５Ｃ’等に対するフィラー相１３の位置とは異なる。

シミュレーションモデル１０ｂを作成するにあたって、第２モデル作成部５２ｂは、図２１に示す第３モデル１０Ｃのすべての要素、すなわち、母相１２及びフィラー相１３が有するすべての要素を同一の材料物性に設定する。次に、第２モデル作成部５２ｂは、第３モデル１０Ｃの対向する境界１５Ｂ、１５Ｂ’、１５Ｃ、１５Ｃ’等の位置（座標）を拘束して、フィラー相１３の位置（座標）を移動させる。この例では、フィラー相１３が境界１５Ｃ’へ接近するように、図２１の矢印δで示す方向にフィラー相１３は移動する。

次に、第２モデル作成部５２ｂは、移動後のフィラー相１３に属する節点の位置（座標）を拘束する。この処理によって、第３モデル１０Ｃの境界１５Ｂ、１５Ｂ’、１５Ｃ、１５Ｃ’等の位置（座標）を固定した状態で、フィラー相１３の位置（座標）を変更したシミュレーションモデル１０ｂを得ることができる。この例のシミュレーションモデル１０ｂは、境界に存在する節点とフィラー相との相対的な位置関係を異ならせたＭＳＳを実現できる。第２変形例の構成は、以下においても適宜適用できる。

（第３変形例）
第３変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行して得られたモデルに対して、第１変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行するものである。第３変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、上述したモデル作成装置５０によって実現できる。第３変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法において、第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデル１０Ｃ（図１８参照）の境界（例えば、対向する境界１５Ｃ、１５Ｃ’）に存在する節点以外の節点の位置（座標）を変更する。この処理によって、第２モデル作成部５２ｂは、複数の第４モデルを作成する。次に、モデル結合部５２ｃは、前記複数の第４モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、シミュレーションモデルを作成する。第３変形例は、球形又は円形以外の形状のフィラー相を複数有するシミュレーションモデルを容易に得ることができる。第３変形例の構成は、以下においても適宜適用できる。

（第４変形例）
第４変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、第１変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行して得られたモデルに対して、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行するものである。第４変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、上述したモデル作成装置５０によって実現できる。第４変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法において、第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルを少なくとも一つ複製することによって複数の第３モデルを作成する。次に、モデル結合部５２ｃは、複数の第３モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合する。その後、第２モデル作成部５２ｂは、結合後における複数の第３モデルのうち少なくとも一つの境界（例えば、対向する境界）に存在する節点以外の節点の位置（座標）を変更することにより、シミュレーションモデルを作成する。第４変形例も、球形又は円形以外の形状のフィラー相を複数有するシミュレーションモデルを容易に得ることができる。第４変形例の構成は、以下においても適宜適用できる。

（第５変形例）
第５変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、第２変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法によって得られた、フィラー相の形状を変更したモデルと、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法によって得られた、フィラー相の形状を変更しないモデルとを組み合わせる。この処理によって、複数のフィラー相を有するシミュレーションモデルを得るものである。第５変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、上述したモデル作成装置５０によって実現できる。

第５変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法において、第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの境界（例えば、対向する境界）に存在する節点以外の節点の位置を変更して複数の第４モデルを作成する。次に、モデル結合部５２ｃは、少なくとも一つの第３モデルと少なくとも一つの第４モデルとを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、シミュレーションモデルを作成する。第５変形例は、形状が異なるフィラー相を有するシミュレーションモデルを容易に得ることができる。第５変形例の構成は、以下においても適宜適用できる。

（第６変形例）
図２３、図２４は、本実施形態の第６変形例の説明図である。第６変形例は、第２変形例の他の例におけるフィラー相を移動させたモデルを複数組み合わせたシミュレーションモデル及びその作成方法に関するものである。第６変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、第１変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行して得られたモデルに対して、第２変形例の他の例に係るシミュレーションモデルの作成方法を実行するものである。第６変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、上述したモデル作成装置５０によって実現できる。

第６変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法において、第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデル１０Ｃを少なくとも一つ複製することによって複数の第３モデル１０Ｃを作成する。次に、モデル結合部５２ｃは、複数の第３モデル１０Ｃを、それぞれの境界同士を一致させてから結合したモデルを作成する（図２３参照）。その後、第２モデル作成部５２ｂは、結合後における複数の第３モデル１０Ｃうち少なくとも一つのフィラー相１３の位置（座標）を、それぞれの境界の位置（座標）を拘束した上で移動させる。この例では、図２３の矢印δで示す方向へ移動させる。次に、第２モデル作成部５２ｂは、移動後のフィラー相１３に属する節点の位置（座標）を拘束する。この処理によって、境界の位置（座標）を固定した状態で、フィラー相１３ａの位置（座標）を変更した第３モデル１０Ｃを含むシミュレーションモデル１００ａを得ることができる。

第２モデル作成部５２ｂは、作成したシミュレーションモデル１００ａを、記憶部５４に保存する。この例のシミュレーションモデル１００ａは、複数のフィラー相を有し、かつシミュレーションモデル１００ａの境界に存在する節点とフィラー相との相対的な位置関係を異ならせたＭＳＳを実現できる。第６変形例の構成は、以下においても適宜適用できる。

（第７変形例）
図２５、図２６は、本実施形態の第７変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法を示す説明図である。本変形例は、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの材料特性を変更し、変更後におけるモデルをシミュレーションモデルとするものである。次においては、変形例１に係るシミュレーションモデルの作成方法により得られたシミュレーションモデル１００が有する少なくとも一つの第３モデル１０Ｃの材料特性を変更する例を説明する。しかし、本変形例は、上述した実施形態及びその第１変形例から第６変形例に対しても同様に適用できる。材料特性とは、材料の弾性特性、粘弾性特性、密度及び熱伝導率等である。

第７変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法は、上述したモデル作成装置５０によって実現できる。第７変形例に係るシミュレーションモデルの作成方法において、第２モデル作成部５２ｂは、繰り返し手順（ステップＳ１０５）が終了した後であって境界条件設定手順（ステップＳ１０６）の前に、繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデル１０Ｃを少なくとも一つ複製することによって複数の第３モデル１０Ｃを作成する。次に、モデル結合部５２ｃは、複数の第３モデル１０Ｃを、それぞれの境界同士を一致させてから結合する。その後、第２モデル作成部５２ｂは、結合後における複数の第３モデル１０Ｃのうち、少なくとも一つの材料特性を変更する。この例では、二つの第３モデル１０Ｃが有するそれぞれのフィラー相１３の材料特性を変更する。具体的には、フィラー相１３の材料特性を、母相１２の材料特性と同一にする。すなわち、フィラー相１３は、母相１２と同じ材料とする。

上述した処理により得られたシミュレーションモデル１００ｂ（図２６参照）は、第１変形例に係るシミュレーションモデル１００（図１３参照）と比較して、フィラー相１３の数が少なくなる。このように、本変形例は、フィラー相１３の充填率を変更したシミュレーションモデルを簡易に作成できるので、フィラー相の充填率を変更したＭＳＳが可能になる。

以上、本実施形態及びその変形例は、周期境界条件を設定するために対向する境界の節点が一致し、かつフィラー相が複数存在するシミュレーションモデルを容易に得ることができる。また、本実施形態及びその変形例は、複数のフィラー相を有するシミュレーションモデルを作成すること、フィラー相の形状を変更したシミュレーションモデルを作成すること、フィラー相の凝集の度合いを変更したシミュレーションモデルを作成すること、のうち少なくとも一つを簡易に実現できる。その結果、本実施形態及びその変形例は、ＭＳＳシミュレーションを実行するまでの工程を短縮できる。

（評価例）
図２７は、本実施形態の第１変形例に係るシミュレーションモデルを示す模式図である。図２８は、本実施形態の第６変形例に係るシミュレーションモデルを示す模式図である。図２９は、図２７、図２８に示すシミュレーションモデルを用いて１軸伸張シミュレーションを実行した結果を示す応力−ひずみ線図である。図２７のシミュレーションモデル１００は、母相１２中にフィラー相１３が略均等に分散したものを模擬しており、図２８に示すシミュレーションモデル１００ａは、母相１２中のフィラー相１３が凝集したものを模擬している。図２９の縦軸は応力（σ）、横軸はひずみ（ε）である。図２９の実線は、図２７に示すシミュレーションモデル１００の結果であり、点線は、図２８に示すシミュレーションモデル１００ａの結果である。本評価例においては、シミュレーションモデル１００、１００ａの周期境界条件を設定した後、１軸伸張シミュレーションを実行した。図２９に示す結果から分かるように、母相１２中にフィラー相１３が略均等に分散したものの方が、母相１２中のフィラー相１３が凝集したものよりも応力−ひずみ線の傾きが大きく、実際の現象と合致した。このように、本実施形態に係るシミュレーションモデルの作成方法によって得られたシミュレーションモデルは、実際の結果を再現できる。

以上のように、本発明に係るシミュレーションモデルの作成方法及びそのコンピュータプログラム、シミュレーション方法及びそのコンピュータプログラム、並びにシミュレーションモデルの作成装置は、材料特性の異なる複数の材料相が配置された不均質材料の性能や挙動をコンピュータでシミュレーションすることに有用である。

１ 不均質材料
１Ｐ ミクロ領域
２ 母相
３ フィラー相
１０、１０ａ、１０ｂ、１００、１００ａ、１００ｂ シミュレーションモデル
１０Ａ 第１モデル
１０Ｂ 第２モデル
１０Ｃ 第３モデル
１２、１２ａ 母相
１３、１３ａ フィラー相
１４Ａ、１４Ｂ、１４Ｃ 鏡像中心面
１５Ａ、１５Ａ’、１５Ｂ、１５Ｂ’、１５Ｃ、１５Ｃ’ 境界
５０ モデル作成装置
５１ 入出力装置
５２ 処理部
５２ａ 第１モデル作成部
５２ｂ 第２モデル作成部
５２ｃ モデル結合部
５２ｄ 繰り返し演算部
５２ｅ 境界条件設定部
５２ｆ 解析部
５３ 入力手段
５４ 記憶部
５５ 表示手段

Claims (14)

1. コンピュータが、２次元の場合は長方形領域内の、３次元の場合は直方体領域内の母相と前記母相に含まれたフィラー相の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して、第１モデルを作成する第１モデル作成手順と、
   前記コンピュータが、前記第１モデルのフィラー相が現れている境界である鏡像中心部分に対して、前記第１モデルが有するそれぞれの節点と対称となる位置にそれぞれ節点を生成し、生成された複数の節点で構成される領域を第２モデルとする第２モデル作成手順と、
   前記コンピュータが、前記第１モデルと前記第２モデルとを結合したモデルを、第３モデルとするモデル結合手順と、
   前記コンピュータが、前記第２モデル作成手順と前記モデル結合手順とを、作成するシミュレーションモデルの次元の数だけ繰り返し、かつ２回目以降の前記第２モデル作成手順及び前記モデル結合手順では、前記第３モデルを前記第１モデルとする繰り返し手順と、
   前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルをシミュレーションモデルとし、当該シミュレーションモデルに、周期境界条件を設定する境界条件設定手順と、
   を含むことを特徴とするシミュレーションモデルの作成方法。
2. 前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの材料特性を変更し、変更後におけるモデルを前記シミュレーションモデルとする請求項１に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
3. 前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルを少なくとも一つ複製することによって複数の第３モデルを作成し、次に、前記複数の第３モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、前記シミュレーションモデルを作成する請求項１に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
4. 前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルを少なくとも一つ複製することによって複数の第３モデルを作成し、次に、前記複数の第３モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合し、その後、結合後における前記複数の第３モデルのうち少なくとも一つの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して得られたモデルを前記シミュレーションモデルとする請求項１に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
5. 前記コンピュータが、前記結合の前に、複数の前記第３モデルのうち少なくとも一つの材料特性を変更する請求項３又は４に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
6. 前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して得られたモデルを前記シミュレーションモデルとする請求項１に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
7. 前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して複数の第４モデルを作成し、次に、前記複数の第４モデルを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、前記シミュレーションモデルを作成する請求項１に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
8. 前記コンピュータが、前記結合の前に、前記第４モデルとすべての前記複数の第４モデルとのうち、少なくとも一つの材料特性を変更する請求項７に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
9. 前記コンピュータが、前記繰り返し手順が終了した後に得られる第３モデルの境界に存在する節点以外の節点の位置を変更して第４モデルを作成し、次に、少なくとも一つの当該第３モデルと少なくとも一つの当該第４モデルとを、それぞれの境界同士を一致させてから結合することにより、前記シミュレーションモデルを作成する請求項１に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
10. 前記コンピュータが、前記結合の前に、前記第３モデルと前記第４モデルとのうち、少なくとも一つの材料特性を変更する請求項９に記載のシミュレーションモデルの作成方法。
11. 請求項１から１０のいずれか１項に記載のシミュレーションモデルの作成方法をコンピュータに実行させることを特徴とするシミュレーションモデルの作成用コンピュータプログラム。
12. コンピュータが、請求項１から１０のいずれか１項に記載のシミュレーションモデル作成方法によって作成されたシミュレーションモデルを用いて、母相にフィラー相が分散した材料の性能を模擬するシミュレーション方法。
13. 請求項１２に記載のシミュレーション方法をコンピュータに実行させることを特徴とするシミュレーション用コンピュータプログラム。
14. ２次元の場合は長方形領域内の、３次元の場合は直方体領域内の母相と前記母相に含まれたフィラー相の一部とを、複数の節点を有する複数の要素に分割して、第１モデルを作成する第１モデル作成部と、
    前記第１モデルのフィラー相が現れている境界である鏡像中心部分に対して、前記第１モデルが有するそれぞれの節点と対称となる位置にそれぞれ節点を生成し、生成された複数の節点で構成される領域を第２モデルとする第２モデル作成部と、
    前記第１モデルと前記第２モデルとを結合したモデルを、第３モデルとするモデル結合部と、
    前記第２モデルを作成する処理と前記第１モデルと前記第２モデルとを結合する処理とを、作成するシミュレーションモデルの次元の数だけ、前記第２モデル作成部と前記モデル結合部とに繰り返させ、かつ２回目以降においては、前記第３モデルを前記第１モデルとする繰り返し演算部と、
    前記繰り返し演算部の処理が終了した後に得られる第３モデルをシミュレーションモデルとし、当該シミュレーションモデルに、周期境界条件を設定する境界条件設定部と、
    を含むことを特徴とするシミュレーションモデルの作成装置。

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