JP2007309785A - 固有振動モード抽出方法、固有振動モード抽出装置、および固有振動モード抽出用プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】入力がノイズの多いものであっても高い信頼性で各種構造物の固有振動モードを求めることのできる固有振動モード抽出方法、固有振動モード抽出装置、および固有振動モード抽出用プログラムの提供。
【解決手段】ある構造物にある入力を加えたときの出力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンス（Mode Amplitude Coherence、以下「ＭＡＣ」という。）を求める工程と、前記固有モードのＭＡＣに基づいて前記固有モードを前記構造物の振動特性に起因するものとノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとする工程とを有する固有振動モード抽出方法、固有振動モード抽出装置、および固有振動モード抽出用プログラム。
【選択図】図１

Description

本発明は、固有振動モード抽出方法、固有振動モード抽出装置、および固有振動モード抽出用プログラムに係り、特に、入力が地震波のようにノイズの多いものであっても高い信頼性で各種構造物の固有振動モードを求めることのできる固有振動モード抽出方法、固有振動モード抽出装置、および固有振動モード抽出用プログラムに関する。

建造物などの構造物の各所に地震計などの振動計を設置して振動状態を測定する所謂振動計測は古くから行われている。振動計測は、建造物が耐震基準を満たしているか否かを検査する手段としてだけでなく、地震にあった建造物が致命的な損傷を受けていないか否かを検証する手段としても使用される。

構造物の振動特性として重要な意味を持つ固有振動数や固有振動モード形状などの固有振動モードを特定する方法としては、以下の２つの手法が一般的であった。
（１）入力から出力への伝達関数（入力がホワイトノイズと看做せる場合には、出力のスペクトル）からピークとなる振動数を特定する方法（ピークピッキング法）、
（２）入力と出力との関係を分析し、カーブフィッティングやモーダル解析などの手法を用いてモードを特定する方法。

（１）の手法は、簡易ではあるが、入力にノイズが含まれる場合、固有振動モードに相当する振動数においても伝達関数のピークが現れ、どのピークが固有振動モードに対応する振動数かの判別が困難であるという問題がある。

（２）の手法は、ノイズを確率統計論的に処理できるゆえに、（１）の手法に比較してノイズには強いが、パラメータの最適な調整方法が確立されていない故に、分析者のノウハウや経験に依存する部分が大きかった。

たとえば、モーダル解析の手法には、ＥＲＡ（Eigensystem Realisation Algorithm）法がある（非特許文献１、２）。
Jar-Nan Juang and Richard S. Pappa, An Eigensystem Realization Algorithm for Modal Parameter Identification and Model Reduction, J. Guidance, U.S.A., Vol8, No.5, September-October, 1985 Shirley J. Dyke, Jean M. Caicedo, and Erik A. Johnson, Monitoring of a Benchmark Structure for Damage Identification, 前記ＥＲＡ法においては、ある構造物について出力データからｒ行ｓ列のハンケル行列Ｈを構成し、これを特異値分解してシステム行列Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを求める。ここでシステム行列Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは、以下の式 ｘ（ｋ＋１）＝Ａｘ（ｋ）＋Ｂｕ（ｋ） ｙ（ｋ）＝Ｃｘ（ｋ）＋Ｄｕ（ｋ）で与えられる。なお、ｘ、ｕ、ｙは、夫々状態ベクトル、入力ベクトル、出力ベクトルを示す。

そして、行列Ａを固有値解析して離散時間領域での極_ｘＰ_ｉを求め、これを連続時間領域に変換することによってｉ次複素モード固有値λ_ｉを求める。更に、行列Ａの固有ベクトルに左から行列Ｃを乗じてｉ次複素モードベクトルφ_ｉを求める。

しかしながら、前記ＥＲＡ法においては、ハンケル行列の行数ｉと列数ｊ、および特異値分解の次数ｋを任意に設定できるが、ハンケル行列の行数と列数、および特異値分解の次数の選び方によって得られる固有振動モードの値が大きく異なり、しかもどの値が正しいのか全く判別できない。したがって、入力が地震波のようにノイズを多く含む場合には、得られた固有振動モード構造物の振動特性に基づくものなのか、ノイズに基づくものなのかが全く区別できない。

本発明は、上記問題を解決すべく成されたものであり、出力がノイズの多いものであっても高い信頼性で各種構造物の固有振動モードを求めることのできる固有振動モード抽出方法、固有振動モード抽出装置、および固有振動モード抽出用プログラムの提供を目的とする。

請求項１に記載の発明は、ある構造物にある入力を加えたときの出力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンス（Modal Amplitude Coherence、以下「ＭＡＣ」という。）を求める工程と、前記固有モードのＭＡＣに基づいて前記固有モードを前記構造物の振動特性に起因するものとノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとする工程とを有することを特徴とする固有振動モード抽出方法に関する。

前記固有振動モード抽出方法においては、前記入力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのＭＡＣを求める。そして、前記ＭＡＣに基づいて前記固有モードを前記出力に対応するものとノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを前記構造物の固有振動モードとする
ＭＡＣは、０以上１以下の実数であり、ＭＡＣが１に近いほど、前記ＭＡＣに対応する固有モードは前記構造物の実際の固有振動モードに近く、ＭＡＣが０に近いほど、前記ＭＡＣに対応する固有モードはノイズに由来するものと看做すことができる。前記固有振動モード抽出方法においては、前記の考え方に基づき、ＭＡＣが１に近い固有モードについては前記構造物の実際の固有振動モードと看做し、ＭＡＣが０に近い固有モードについてはノイズに起因するものと看做して排除する。

したがって、前記固有振動モード抽出方法によれば、得られる固有モードを、前記構造物の固有の振動特性によるものとノイズによるものとに明確に分別できるから、出力が地震波のようにノイズが多い場合であっても高い信頼性で各種構造物の固有振動モードを求めることができる。

前記固有振動モード抽出方法において対象となる構造物には、オフィスビルやマンションなどの建築物のほか、橋梁やプラント、鉄道車両、および航空機などの各種構造体が含まれる。前記構造物に入力される入力としては、地震波のようなランダム入力、インパルス入力、および正弦波や矩形波のような規則波入力などがある。また、前記固有振動モード抽出方法で抽出できる固有振動モードとしては、固有振動数、モード形状、および減衰定数などがある。

請求項２に記載の発明は、前記固有モードおよびＭＡＣを求める工程が、ある構造物について求めるべき固有振動モードの次数ｋに応じて３個の自然数からなる複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）を定める工程と、前記出力データに基づいて前記組（ｒ，ｓ，ｎ）の夫々についてｒ行ｓ列のハンケル行列を作成する工程と、作成したｒ行ｓ列のハンケル行列についてｋ次の特異値分解を行って固有モードおよび前記固有モードのＭＡＣを求める工程とを有する請求項１に記載の固有振動モード抽出方法に関する。

前記固有振動モード抽出方法においては、ある構造物について、求めるべき固有振動モードの次数ｎに応じ、自然数の組（ｒ，ｓ，ｎ）を設定する。但しｎはｓ以下の自然数である。

そして、組（ｒ，ｓ，ｎ）の夫々についてハンケル行列Ｈ_ｒｓを立て、ＥＲＡ法に従って固有モードとＭＡＣを求める。

前記［背景技術］の欄でも述べたように、構造物の伝達関数は、
ｘ（ｋ＋１）＝Ａｘ（ｋ）＋Ｂｕ（ｋ）・・・（１）
ｙ（ｋ）＝Ｃｘ（ｋ）＋Ｄｕ（ｋ） ・・・（２）
で与えられる。なお、ｘ、ｕ、ｙは、夫々状態ベクトル、入力ベクトル、出力ベクトルを示す。

前記式（１）および式（２）から、前記伝達関数の時間領域は、以下のマルコフパラメータ
Ｙ（ｋ）＝ＣＡ^ｋ−１Ｂ ・・・（３）
を用いて、以下の式（４）で与えられるｒ行ｓ列のハンケル行列Ｈ_ｒｓ（ｋ−１）

で示される。

ここで、ハンケル行列Ｈ_ｒｓ（ｋ−１）をハンケル行列Ｈ_ｒｓ（ｋ）で置き換えると、式（５）

の形に書き直すことができる。但し式（５）中、行列Ｖ_ｒおよびＷ_ｓは、夫々式（６）および式（７）で表される行列である。

ここで、次式の関係を満たす行列Ｈ^＃

が存在すると仮定すると、行列Ｈ^＃は、ハンケル行列Ｈ_ｒｓ（０）を用いて

と変形できる。

行列Ｈ^＃の一般解は、以下の式（１０）

で与えられる。ここで、行列Ｐはｒｐ行ｎ列の、行列Ｑはｍｓ行ｎ列のアイソメトリック行列であり、Ｄは、対角要素としてハンケル行列Ｈ_ｒｓ（０）の固有値［ｄ_１，ｄ_２，ｄ_３，ｄ_４，・・・，ｄ_ｎ］を有する。

したがって、ハンケル行列Ｈ_ｒｓ（０）は式（１１）
Ｈ_ｒｓ（０）＝ＰＤＱ^Ｔ＝［ＰＤ］［Ｑ^Ｔ］＝Ｐ_ｄＱ^Ｔ ・・・（１１）
と変形できる。

ここで、行列Ｐｄ、行列Ｑ、行列Ｖ_ｒ、行列Ｗ_ｓは何れも次数および列数がｎである。式（５）においてｋ＝０とすると、ハンケル行列Ｈ_ｒｓ（０）は式（１２）のように変形される。

Ｖ_ｒＷ_ｓ＝Ｈ_ｒｓ（０）＝Ｐ_ｄＱ^Ｔ ・・・（１２）
式（１２）の両辺に左からＰ_ｄ ^Ｔを掛けて行列Ｑ^Ｔについて解くと、行列Ｑ^Ｔは、
Ｑ^Ｔ＝（Ｐ_ｄ ^ＴＰ_ｄ）^−１Ｐ_ｄ ^ＴＶ_ｒＷ_ｓ＝ＴＷ_ｓ ・・・（１３）
と表される。

ここで、Ｕ＝Ｗ_ｓＱ（Ｑ^ＴＱ）^−１＝Ｗ_ｓＱと置くと、式（１３）からＴＵ＝Ｉとなるから、
Ｗ_ｓ［Ｑ（Ｐ_ｄ ^ＴＰ_ｄ）^−１Ｐ_ｄ ^Ｔ］Ｖ_ｒ＝Ｉ_ｎ ・・・（１４）
したがって、行列Ｈ^＃は、
Ｈ^＃＝［Ｑ］［（Ｐ_ｄ ^ＴＰ_ｄ）^−１Ｐ_ｄ ^Ｔ］＝［Ｑ］［Ｄ^−１Ｐ^Ｔ］＝ＱＰ^＃ _ｄ・・・（１５）
となる。

式（３）、（５）、（６）、（７）、（８）、（１５）から、マルコフパラメータＹ（ｋ＋１）＝ＣＡ^ｋＢは、
Ｙ（ｋ＋１）＝Ｅ_ｐ ^ＴＨ_ｒｓ（ｋ）Ｅ_ｍ＝Ｅ_ｐ ^ＴＶ_ｒＡ^ｋＷ_ｓＥ_ｍ
＝Ｅ_ｐ ^ＴＰＤ^１／２［Ｄ^−１／２Ｐ^ＴＨ_ｒｓ（１）ＱＤ^−１／２］^ｋＤ^１／２ＱＴＥ_ｍ ・・・（１６）
と表される。ここで、Ｅ_ｐ ^Ｔ＝［Ｉ_ｐ，０_ｐ，・・・０_ｐ］、Ｅ_ｍ ^Ｔ＝［Ｉ_ｍ，０_ｍ，・・・０_ｍ］（但し、Ｉは単位行列であり、０は零行列である。）である。

式（１６）と式（１）および（２）とを比較すると、行列Ｅ_ｐ ^ＴＰＤ^１／２は前記伝達関数のＣに、行列［Ｄ^−１／２Ｐ^ＴＨ_ｒｓ（１）ＱＤ^−１／２］はＡに、Ｄ^１／２ＱＴＥ_ｍ はＢに対応することがわかる。したがって、前記伝達関数（１）、（２）は、
Ｘ（ｋ＋１）＝［Ｄ^−１／２Ｐ^ＴＨ_ｒｓ（１）ＱＤ^−１／２］ｘ（ｋ）＋Ｄ^１／２ＱＴＥ_ｍ ｕ（ｋ）
・・・（１７）
ｙ（ｋ）＝Ｅ_ｐ ^ＴＰＤ^１／２ｘ（ｋ） ・・・（１８）
と書き直すことができる。

前記行列［Ｄ^−１／２Ｐ^ＴＨ_ｒｓ（１）ＱＤ^−１／２］の一般形である行列［Ｄ^−１／２Ｐ^ＴＨ_ｒｓ（ｋ）ＱＤ^−１／２］を特異値分解して、次式：
φ^−１［Ｄ^−１／２Ｐ^ＴＨ_ｒｓ（ｋ）ＱＤ^−１／２］φ＝ｚ ・・・（２０）
を満たす固有値ｚおよび固有ベクトルφを求める。

前記固有値ｚおよび固有ベクトルφと式（１７）、（１８）の伝達関数とから、３個の数式の組
［ｚ，φ^−１Ｄ^１／２Ｑ^ＴＥ_ｍ，Ｅ_ｐ ^ＴＰＤ^１／２φ］
が求められる。ｚから固有振動数が求められ、行列φ^−１Ｄ^１／２Ｑ^ＴＥ_ｍは初期モード振幅と、行列Ｅ_ｐ ^ＴＰＤ^１／２φはモード形状と称される。なお、固有値ｚは、

によってｓ平面における固有値ｓに転写される。ここで、Δτはデータサンプリング間隔であり、ｊは自然数である。前記構造物の減衰定数および固有振動数は、夫々前記固有値ｓの実部および虚部によって与えられる。

ここで、構造物への入力が、
行列φ^−１Ｄ^１／２Ｑ^ＴＥ_ｍ＝［ｂ_１，ｂ_２，ｂ_３．・・・ｂ_ｎ］・・・（２２）
とすると、ベクトルｂ_ｊ（ｊ＝１〜ｎの何れかの整数である。）は、構造物の系の固有値ｓ_ｊに対応するから、ベクトルｑ_ｊを
ｑ_ｊ＝［ｂ_ｊ，ｅｘｐ（ｔ_ｊΔτｓ_ｊｂ_ｊ），・・・，ｅｘｐ（ｔ_ｓ−１Δτｓ_ｊ）］
・・・（２３）
と定義すると、
行列φ^−１Ｄ^１／２Ｑ^Ｔ＝［ｑ_１，ｑ_２，ｑ_３，・・・ｑ_ｎ］ ・・・（２４）
となる。

したがって、ｊ次のＭＡＣ（モード振幅コヒーレンス）は、以下の式

によって求められる。

このようにして求められたＭＡＣが１に近い程、固有モード、即ち固有振動数、減衰定数、およびモード形状は真の値に近く、ＭＡＣが０に近いほど、固有モード、即ち固有振動数、減衰定数、およびモード形状はノイズに起因するものと判定される。

そこで、前記固有振動モード抽出方法においては、自然数からなる複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）の夫々について上記の操作を行って固有モードとＭＡＣとを求めたあと、求めたＭＡＣが１に近い固有モードは前記構造物の固有振動特性に起因するもの、言い換えれば入力ｕに対応する出力であり、前記ＭＡＣが０に近い固有モードはノイズに起因するものとし、前者を前記構造物の固有振動モードとする。

請求項３に記載の発明は、前記固有モードのＭＡＣに基づいて前記固有モードを入力に対応する出力とノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとする工程においては、前記固有モードおよびＭＡＣを求める工程において求められた固有モードを近接する値ごとに群に分け、夫々の群において前記固有モードに対応するＭＡＣで重み付け平均して固有振動モードを求める請求項２に記載の固有振動モード抽出方法に関する。

固有振動モード抽出方法においては、近接する値ごとに群に分けられた固有振動モードをＭＡＣで重み付け平均しているから、構造物の固有振動モードとして求められる値にＭＡＣの値の大きさを反映させることができる。即ち、ＭＡＣの大きな固有振動モードの値は、構造物の固有振動モードの値により大きく反映されるが、ＭＡＣの小さな、言い換えればノイズに由来する固有振動モードの値は小さくしか反映されない。

ＭＡＣによる重み付けは、ＭＡＣに比例した重み付けおよびＭＡＣの２^ｎ乗（ｎ＝１、２、３、４、５、・・・）に比例した重み付けの何れであってもよい。ＭＡＣの２^ｎ乗（ｎ＝１、２、３、４、５、・・・）に比例した重み付けとしては、具体的には、ＭＡＣの２乗に比例した重み付け、ＭＡＣの４乗に比例した重み付け、ＭＡＣの８乗に比例した重み付け、ＭＡＣの１６乗に比例した重み付け、ＭＡＣの３２乗に比例した重み付けなどがある。ＭＡＣの２^ｎ乗に比例した重み付けにおいては、ｎが大きくなればなるほどノイズによる影響を小さくすることができる。

請求項４に記載の発明は、前記固有モードのＭＡＣに基づいて前記固有モードを入力に対応する出力とノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとする工程においては、前記固有モードおよびＭＡＣを求める工程において求められた固有モードを近接する値ごとに群に分け、夫々の群において前記特異値分解によって算定されたＭＡＣが所定値以上の固有モードのみを単純平均して固有値モードとする請求項２に記載の固有振動モード抽出方法に関する。

前記固有振動モード抽出方法は、ＭＡＣが０に近い固有モードはノイズに由来すると考えられることに基づき、所定値未満の固有振動モードはノイズに由来するものとして切り捨てるものである。したがって、固有振動モードを抽出するためのアルゴリズムを簡略化できる。

請求項５に記載の発明は、ある構造物にある入力を加えたときの出力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのＭＡＣを求める固有モード算出手段と、前記固有モード算出手段で算出したＭＡＣに基づいて前記固有モードを前記構造物の振動特性に基づくものとノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとする固有モード分別手段とを有することを特徴とする固有振動モード抽出装置に関する。

前記固有振動モード抽出装置においては、前記固有モード算出手段において前記出力データを固有値解析して固有モードおよびＭＡＣを求め、次いで固有モード分別手段において前記ＭＡＣに基づいて固有モードを前記構造物の振動特性に起因するものとノイズに起因するものとに分別し、前記構造物の振動特性に起因するとされた固有モードを前記構造物の固有振動モードであると判定する。

固有モード分別手段において固有モードを前記構造物の振動特性に起因するものとノイズに起因するものとに分別する基準は、請求項１のところで述べたとおりである。

したがって前記固有振動モード抽出装置によれば、出力が地震波のようにノイズの多い場合であっても高い信頼性で前記構造物の固有振動モードを求めることができる。

前記固有振動モード抽出装置が対象とする構造物および前記構造物への入力の種類については請求項１に述べたとおりである。

請求項６に記載の発明は、前記固有モード算定手段が、ある構造物について求めるべき固有振動モードの次数ｋに応じて任意に定められた３個の自然数からなる複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）を入力する入力手段と、前記入力手段によって入力された組（ｒ，ｓ，ｎ）に対応するｒ行ｓ列のハンケル行列を作成する第１演算手段と、前記第１演算手段で作成したｒ行ｓ列のハンケル行列についてｋ次の特異値分解を行って固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを算定する第２演算手段とを有する請求項５に記載の固有振動モード抽出装置に関する。

前記固有振動モード抽出装置においては、前記固有モード算定手段に３個の自然数からなる組（ｒ，ｓ，ｎ）を複数個入力すると、前記第１演算手段においては、入力された組（ｒ，ｓ，ｎ）の夫々についてｒ行ｓ列のハンケル行列Ｈ_ｒｓを作成する。そして、第２演算手段においては、前記第１演算手段で作成されたハンケル行列Ｈ_ｒｓの夫々について請求項２に記載した手順に従って変形および特異値分解して固有モードおよびＭＡＣを求める。

固有モード分別手段においては、このようにして求められたＭＡＣに基づいて固有モードを構造物の振動特性に起因するものとノイズに起因するものとに分別する。

請求項７に記載の発明は、前記固有モード分別手段が、前記固有モード算定手段の備える第２演算手段で算出された固有モードを近接する値ごとに群に分け、夫々の群において前記固有モードに対応するモード振幅コヒーレンスで重み付け平均して固有振動モードを求める請求項６に記載の固有振動モード抽出装置に関する。

前記固有振動モード抽出装置においては、請求項３に係る固有振動モード抽出方法と同様に、ＭＡＣの２^ｎ乗に比例した重み付けを行っているから、ｎが大きくなればなるほどノイズによる影響を小さくすることができる。

請求項８に記載の発明は、前記固有モード分別手段が、前記固有モード算定手段の備える前記第２演算手段で算出された固有モードを近接する値ごとに群に分け、夫々の群において前記固有モードに対応するモード振幅コヒーレンスが所定値以上の固有モードのみを単純平均して固有振動モードとする請求項６に記載の固有振動モード抽出装置に関する。

前記固有振動モード抽出装置においては、前記固有モード分別手段において、請求項４に係る固有振動モード抽出方法と同様に、ＭＡＣが０に近い固有モードはノイズに由来するとの考え方に基づき、所定値未満の固有振動モードはノイズに由来するものとして省略している。したがって、固有振動モードを抽出するためのアルゴリズムを簡略化できる。

請求項９に記載の発明は、ある構造物にある入力を加えたときの出力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求めるステップと、前記固有モードのモード振幅コヒーレンスに基づいて前記固有モードを前記構造物の振動特性に基づくものとノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとするステップとをコンピュータに実行させるための固有振動モード抽出用プログラムに関する。

前記固有振動モード抽出用プログラムをコンピュータにインストールすることにより、請求項１に記載の固有振動モード抽出方法を実行させることができる。

これにより、得られる固有モードを、前記構造物の固有の振動特性によるものとノイズによるものとに明確に分別できるから、出力が地震波のようにノイズが多い場合であっても高い信頼性で各種構造物の固有振動モードを求めることができる。

請求項１０に記載の発明は、前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求めるステップにおいては、ある構造物について求めるべき固有振動モードの次数ｋに応じて３個の自然数からなる複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）を定めるステップと、前記出力データに基づいて前記自然数の複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）の夫々についてｒ行ｓ列のハンケル行列を作成するステップと、作成したｒ行ｓ列のハンケル行列についてｋ次の特異値分解を行って固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求めるステップとをコンピュータに実行させる請求項９に記載の固有振動モード抽出用プログラムに関する。

前記固有振動モード抽出用プログラムをコンピュータにインストールすることにより、請求項２に記載の固有振動モード抽出方法を実行させることができる。

以上説明したように本発明によれば、出力がノイズの多いものであっても高い信頼性で各種構造物の固有振動モードを求めることのできる固有振動モード抽出方法が提供される。

１．実施形態１
ある４層の建物の夫々の層にランダム波を入力したときの出力に基づいてＥＲＡ法によって固有モードおよびＭＡＣを求め、前記前記固有モードと前記ＭＡＣとに基づいて前記建物の固有振動モードとして固有振動数およびモード形状を求め、前記建物の各層の質量、減衰定数、および剛性からモード解析によって求めた固有振動モードと比較した。

前記建物は、図１に示すように、１層から４層までの各層の質量がｍ_１、ｍ_２、ｍ_３、ｍ_４であり、減衰定数がｃ_１、ｃ_２、ｃ_３、ｃ_４であり、剛性がｋ_１、ｋ_２、ｋ_３、ｋ_４であるとする。そして、図２に示すように、各階にランダム波が入力されたものとする。

前記建物は、図１に示すように、地面と質量ｍ_１と質量ｍ_２と質量ｍ_３と質量ｍ_４とが、夫々減衰定数ｃ_１、ｃ_２、ｃ_３、ｃ_４および剛性ｋ_１、ｋ_２、ｋ_３、ｋ_４の棒で連結された剪断串団子状の構造体として考えられる。

したがって、前記建造物の運動方程式は、以下の行列式（２６）

で表される。

これを状態空間モデルで記述すると、以下の行列式（２７）

で表される。

建造物がｎ階のとき、行列Ａは２ｎ行×２ｎ列なので、本実施形態においては、行列Ａは８行×８列である。建造物の固有振動モード（固有値λおよびモード形状）は、行列Ａの一般固有値問題を解くことによって求められる。ｓ次の固有値を_ｓλとすると、ｓ次の固有振動数_ｓｆは、以下の式（２８）

で与えられる。また、前記建造物の運動方程式（２６）および状態空間モデルを示す行列式（２７）から前記建築物のモード形状も求められる。

次に、前記運動方程式（２６）に示される質量Ｍ、減衰Ｃ、および剛性Ｋの各行列を構造モデルとしてシミュレーションによって前記建造物の入出力波形を求め、前記入出力波形に基づいてＥＲＡ法を用いて前記固有建造物の固有振動モード（固有振動数、およびモード形状）を求めた。

先ず、ハンケル行列の行数ｒおよび列数ｓの組合せを
（５０，１００）、（５０，１２５）、（５０，１５０）、（５０，２００）、
（７５，１００）、（７５，１５０）、（７５，２００）、（７５，３００）、
（１００，１５０）、（１００，２００）、（１００，２５０）、（１００，３００）、
（１５０，２００）、（１５０，３００）、（１５０，３７５）、（１５０，４５０）、
（２００，３００）、（２００，４００）、（２００，５００）、（２００，６００）、
（２５０，４００）、（２５０，５００）、（２５０，６００）、（２５０，７５０）、
（３００，４５０）、（３００，６００）、（３００，７５０）
の２７通り設定し、夫々の組合せにつき、請求項２のところで述べた手順に従って前記シミュレーションで求められた出力波形に基づいてハンケル行列Ｈ_ｒｓを作成した。作成したハンケル行列Ｈ_ｒｓの夫々について１０、１２、１４、１６、１８の５通りの次数ｎで特異値分解してモード形状を求めるとともに、固有振動数、およびＭＡＣを求めた。但し、ｒ＜ｓであり、ｎ＜ｓと設定した。

次いで、前記モード形状および固有振動数を対応するＭＡＣの２^ｎ（ｎは自然数である。）で重み付けして固有振動モードを求めた。

また、ＭＡＣが一定値（２５％、５０％、７５％、上位１０個）以上のモード形状および固有振動数について単純平均して固有振動モードを求めた。

このようにして求められた固有振動モード（モード形状および固有振動数）の値Ｆ_１と、前記建造物の運動方程式（２６）および状態空間モデルを示す行列式（２７）から求めた固有振動モード（モード形状および固有振動数）の値Ｆ_０とに基づいて同定誤差（Ｆ_１−Ｆ_０）／Ｆ_０を求めた。結果を表１および表２に示す。

固有振動数およびモード形状の何れについても、ＭＡＣの２^ｎで重み付け平均したときの同定誤差は、ＭＡＣに関係なく単純平均したときの同定誤差よりも小さく、しかもｎが大きくなるにつれて同定誤差が小さくなることが、表１から判る。

また、ＭＡＣが５０％未満のデータを捨て、ＭＡＣが５０％以上のデータについて単純平均した場合においても、同定誤差は、ＭＡＣに関係なく単純平均したときの同定誤差よりも小さくなることがわかる。また、前記同定誤差は、データを捨てる基準となるＭＡＣの値が大きくなればなるほど前記同定誤差は小さくなることが判る。

本発明の固有振動モード抽出方法は、各種建造物についてだけでなく、鉄道車両、航空機、プラント、船舶、および人工衛星などの各種構造物についても適用できる。

図１は、実施形態１においてシミュレーションを行った４層の建造物の剪断串団子型モデルを示す説明図である。 図２は、前記建築物の各層にランダム波が入力されたことを示す説明図である。

Claims (10)

1. ある構造物にある入力を加えたときの出力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求める工程と、
   前記固有モードのモード振幅コヒーレンスに基づいて前記固有モードを前記構造物の振動特性に起因するものとノイズに起因するものとに分別し、前記構造物の振動特性に起因する固有モードを固有振動モードとする工程と
   を有することを特徴とする固有振動モード抽出方法。
2. 前記固有モードおよびモード振幅コヒーレンスを求める工程は、
   ある構造物について求めるべき固有振動モードの次数ｋに応じて３個の自然数からなる複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）を定める工程と、
   前記出力データに基づいて前記組（ｒ，ｓ，ｎ）の夫々についてｒ行ｓ列のハンケル行列を作成する工程と、
   作成したｒ行ｓ列のハンケル行列についてｋ次の特異値分解を行って固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求める工程と
   を有する請求項１に記載の固有振動モード抽出方法。
3. 前記固有モードのモード振幅コヒーレンスに基づいて前記固有モードを入力に対応する出力とノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとする工程においては、
   前記固有モードおよびモード振幅コヒーレンスを求める工程において求められた固有モードを近接する値ごとに群に分け、
   夫々の群において前記固有モードに対応するモード振幅コヒーレンスで重み付け平均して固有振動モードを求める
   請求項２に記載の固有振動モード抽出方法。
4. 前記固有モードのモード振幅コヒーレンスに基づいて前記固有モードを入力に対応する出力とノイズに起因するものとに分別し、前記出力に対応する固有モードを固有振動モードとする工程においては、
   前記固有モードおよびモード振幅コヒーレンスを求める工程において求められた固有モードを近接する値ごとに群に分け、
   夫々の群において前記特異値分解によって算定されたモード振幅コヒーレンスが所定値以上の固有モードのみを単純平均して固有値モードとする
   請求項２に記載の固有振動モード抽出方法。
5. ある構造物にある入力を加えたときの出力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求める固有モード算出手段と、
   前記固有モード算出手段で算出したモード振幅コヒーレンスに基づいて前記固有モードを前記構造物の振動特性に起因するものとノイズに起因するものとに分別し、前者の固有モードを固有振動モードとする固有モード分別手段と
   を有することを特徴とする固有振動モード抽出装置。
6. 前記固有モード算定手段は、
   ある構造物について求めるべき固有振動モードの次数ｋに応じて任意に定められた３個の自然数からなる複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）を入力する入力手段と、
   前記入力手段によって入力された組（ｒ，ｓ，ｎ）に対応するｒ行ｓ列のハンケル行列を作成する第１演算手段と、
   前記第１演算手段で作成したｒ行ｓ列のハンケル行列についてｋ次の特異値分解を行って固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを算定する第２演算手段と
   を有する請求項５に記載の固有振動モード抽出装置。
7. 前記固有モード分別手段は、
   前記固有モード算定手段の備える第２演算手段で算出された固有モードを近接する値ごとに群に分け、
   夫々の群において前記固有モードに対応するモード振幅コヒーレンスで重み付け平均して固有振動モードを求める
   請求項６に記載の固有振動モード抽出装置。
8. 前記固有モード分別手段は、
   前記固有モード算定手段の備える前記第２演算手段で算出された固有モードを近接する値ごとに群に分け、
   夫々の群において前記固有モードに対応するモード振幅コヒーレンスが所定値以上の固有モードのみを単純平均して固有振動モードとする
   請求項６に記載の固有振動モード抽出装置。
9. ある構造物にある入力を加えたときの出力データについて固有値解析して前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求めるステップと、
   前記固有モードのモード振幅コヒーレンスに基づいて前記固有モードを前記構造物の振動特性に基づくものと入力に対応する出力とノイズに起因するものとに分別し、前者の固有モードを固有振動モードとするステップと
   をコンピュータに実行させるための固有振動モード抽出用プログラム。
10. 前記構造物の固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求めるステップにおいては、
    ある構造物について求めるべき固有振動モードの次数ｋに応じて３個の自然数からなる複数の組（ｒ，ｓ，ｎ）を定めるステップと、
    前記出力データに基づいて前記組（ｒ，ｓ，ｎ）の夫々についてｒ行ｓ列のハンケル行列を作成するステップと、
    作成したｒ行ｓ列のハンケル行列についてｋ次の特異値分解を行って固有モードおよび前記固有モードのモード振幅コヒーレンスを求めるステップと
    をコンピュータに実行させる請求項９に記載の固有振動モード抽出用プログラム。

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