JP2006505409A - 金属のためのモデル化法 - Google Patents

Abstract

金属（１）の温度（Ｔ）が、調整量（Ｓ）に応じて操作される少なくとも１つの調整要素（２）によって直接的又は間接的に制御し得るようになっている。材料モデル（５）には、調整量（Ｓ）、金属（１）の温度及び金属（１）が少なくとも第１ないし第２の相で存在する相成分に対する出発値（Ｔ_Ａ、ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａ）が予め与えられる。材料モデル（５）内において、これらの量（Ｔ_Ａ、ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａ）を考慮して、実時間で熱伝導式及び転移式が解かれ、これらの量に対する期待値（Ｔ_Ｅ、ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ）が求められる。その際、転移式の枠組みにおいて、金属（１）の相のギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）、それに基き第１の相から第２の相への金属（１）の転移率、及びそれに基き期待成分（ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ）が求められる。

Description

本発明は、金属のためのモデル化法に関し、金属の温度が直接的又は間接的に少なくとも１つの調整要素によって制御され得るものであり、
・その際、材料モデルに、金属の出発温度と、金属が少なくとも第１の相ないし第２の相にある出発成分とが予め与えられ、
・その際、材料モデル内において、出発温度、出発成分及び調整要素に対する調整量を考慮して実時間で熱伝導式及び転移式が解かれ、そうして金属の期待温度及び金属が少なくとも第１の相ないし第２の相にある期待成分が求められ、
・その際調整要素が調整量に応じて操作される
ようになっている。

このような方法は、例えばダブリューボーハース（ W．Borchers）等著「鋼板の熱伝導の数値シミュレーション−数学が冷却路の制御を手伝う」（Numerische Simulation der Waermeleitung in Stahlblechen−Mathematik hilft bei der Steuerung von Kuehlstrecken）、フリードリッヒ・アレクサンダー大学(Friedrich-Alexander-Universitaet）、エアランゲン-ニュールンベルグの大学至急報として 27巻、102号 2001年10月発行されたものから知られている。

既知の方法は、特に圧延機の冷却材調整要素の制御のために使用される。その際冷却材調整要素はロールスタンド間に配置することができる。冷却材調整要素は又ロールスタンドの後方に配置することもできる。他の用途も考えることができ、例えば、連続鋳造における、又は圧延機そのものの制御における凝固プロセスの計算の枠組みで考えることができる。

相の成分を求めるため、従来技術においては、シャイル（Schel）の規則又はジョンソン-メール-アブラミ（Johnson-Mehl-Avrami）ないしブリマコム（Brimacombe）の数式が利用される。

従来技術の数式は、実際上すべての場合に誤りなく機能するものではない。特にこれらは一連の体系的な欠点を持っている。第１に、各材料は別々にパラメータ化されなければならない。異なる材料間の内挿は不可能か、少なくとも制限されてのみ可能である。第２に、従来技術の方法においては２相のみが考察される。２相より多いものに拡張することは系に基き不可能である。第３に、従来技術の方法は、考察されている金属の完全な転移の場合にしかモデルと事実との良好な一致を与えない。第４に、従来技術の方法は、相転移の際放出される転移熱に関する情報を与えない。しかしながら転移熱を知ることは、熱伝導式を正確に解くために不可欠である。

本発明の課題は、よりすぐれたモデル結果を与える金属のためのモデル化法を提供することにある。

この課題は、転移式の枠組みにおいて、金属の相のギブス自由エンタルピー、このギブス自由エンタルピーに基づいて第１の相から第２の相への金属の転移率、そしてこの転移率に基いて期待成分が求められる。

最も簡単な場合、本発明においては、従来技術の場合と同様に、純粋の２相系が考察され、例えばオーステナイトからフェライトへ、及びその逆の転移が考察される。しかしながら、多相系、特にフェライト-オーステナイト-セメンタイト系に拡張することも容易に可能である。

一般に、添加物質の成分は互いに無関係に考察することができる。その、しかも結び合わされた、添加物質のギブス自由エンタルピーへの影響は知られている。例えば、技術論文のジュルキミーティニン（Jyrki Miettinen）、カルファド（Calpfad）著「鋼のための近似熱力学的解の相データ（Approximate Thermodynamic Solution Phase Data for Steels）」22巻、2号、275〜300頁、1998年及びボ ズンドゥマン（Bo Sundman）及びジョン アグレン（John Agren）著「コンピュータアプリケーションに適する、複数の成分及びサブ格子を有する相のための正規の解モデル（A Regular Solution Model for Phase with Several Components and Sublattices,Suitable for Computer Applications）」Journal Phys.Chem.Solids、42巻、297〜301頁に示されている。従って鋼に対しては、鉄・炭素混合物のギブス自由エンタルピーを炭素の成分及び温度の関数として求め、添加物質、例えばNi、Si、Pの作用を鉄・炭素混合物及び温度の関数として考慮することが可能である。添加物質の成分も共に予め与えられるような材料モデルの設計においては、従って考察される相のギブス自由エンタルピーは、予め詳細に与えられない材料に対しても求めることができる。

固有の、即ち金属の単一の量に関する、相のギブス自由エンタルピーが求められると、転移率は特に簡単な方法で、即ち固有のギブス自由エンタルピーの差に基いて求めることができる。

それに代えて、転移率を相の成分で重み付けされた、相の固有のギブス自由エンタルピーの和に基づいて求めることが可能である。

さらに、転移率を固有のギブス自由エンタルピーに関する位置積分に基いて求めることが可能である。この種の求め方は特に、少なくとも１つの相のギブス自由エンタルピーの位置関係において有利である。

金属が少なくとも２つの化学的に互いに異なる構成成分を含むときは、ギブス自由エンタルピーは化学組成に対する構成成分の分布を求めるためにも考慮することができる。

本発明によるモデル化法は、相の少なくとも１つが金属の液体状の集合状態に相当する場合にも使用することができる。しかし又、相の少なくとも１つ（好ましくは相のすべて）が金属の固体状の集合状態に相当することも可能である。

この方法は金属ごとにただ１回使用されることが可能である。しかしながら金属の場所的に直接連続する多数の個所において使用するのが有利である。

材料モデルに少なくとも１つの目標温度が設定される場合には、材料モデルは調整量を自動的に求めることが可能である。目標温度はその際特に（時間的な）目標温度曲線であり得る。

調整量は時間的な調整量曲線であり得る。この場合特に、調整量曲線を考慮に入れて熱伝導式及び転移式がステップ式に解かれ、そうして金属の期待温度曲線及び相の期待成分曲線が求められることが可能である。調整要素の操作はこの場合、熱伝導式及び転移式の完全に解かれた後初めて行われるのが有利である。

調整量はまた個々の値であり得る。この場合調整量は各１ステップに対してのみ考慮に入れられる。調整量の操作はこの場合すぐ前のステップと後続のステップとの間に行われるのが有利である。

モデル化法は、出発温度が調整要素による金属の制御の前に測定要素により検出された実際温度であるとき特に信頼性をもって機能する。

調整要素による金属の制御の後、測定要素により金属の最終温度が検出され、この最終温度が期待温度と比較され、その比較に基き材料モデルが適応化されると、材料モデルは自己学習モデルとして形成される。

金属１の内部に対し解くべき熱伝導式が次の形

を持つのが有利であり、ここでＨはエンタルピー、ｔは時間、λは熱伝導率、ｐ１及びｐ２は相の成分、ρは密度、Ｔは金属の温度である。ｑ′は金属の内部に外部の影響例えば圧延時の変形又は誘導加熱により生じる熱量である。これに対し相転移に基き生じる転移熱は式の左の部分で既に考慮されている。

上述の正確な熱伝導式は、金属の形状及び集合状態に無関係に、常に使用することができる。金属が厚み方向を有する金属ベルトとして形成されている場合には、上述の式の代りに簡単化された式

を解くことが可能であり、ここでｘはベルト厚み方向の位置である。

その他の利点及び詳細は図面と関連して実施例の以下の説明から明らかである。その各図は原理的に示されている。

図１によれば、設備は金属１の温度制御のために調整要素２を有する。調整要素２を用いて、一般的には冷却により、また個々には加熱によって、直接的又は間接的に金属１の温度Ｔを制御することができる。例えば、規定の量の冷却媒体（代表的には水）を金属１上に与えることができる。

金属１は今の場合固体状の集合状態の鋼である。しかし又それは液体状の集合状態を持っていてもよい。また金属１は鋼とは違う金属、例えばアルミニウムや非鉄金属であってもよい。図１によれば、金属１はさらにベルト厚み方向を有する金属ベルトとして形成されている。しかし又、金属１の形状は例えば棒状のプロフィル（例えば導線）、管又はＵ字状プロフィルもあり得る。

この設備は制御計算機３によって制御される。特に調整要素２も制御計算機３により調整量Ｓに従って操作される。制御計算機３はコンピュータプログラム４によってプログラミングされている。コンピュータプログラム４によるプログラミングに基いて、制御計算機３は、さらに設備の制御のために、以下に詳細に述べる金属１のためのモデル化法を実行する。

モデル化法の実行の枠組みにおいては、図２に従って、金属１のための材料モデル５に、金属１の出発温度Ｔ_Ａ及び金属１が第１の相ないし第２の相にある出発成分ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａが予め与えられる。出発温度Ｔ_Ａは評価値又は理論的に計算された値であってよい。しかしながら、設備が測定要素６を備えるのが好ましい（図１参照）。測定要素６により金属１の実際温度Ｔを検出することができる。今の例では、操作要素２による金属１の制御に先立って実際温度Ｔのこのような検出が行われる。この時点で検出された実際温度Ｔは、出発温度Ｔ_Ａであり、材料モデル５に導かれる。

出発成分ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａは通例計算に基いて求められた値又はプロセス条件に基いて既知の値である。例えば、鋳造の前は金属１は完全に液相にあることは予め知られている。または、鋼が鋼の転移温度より高い温度に十分長い間保持されているときは、材料はオーステナイトであることが知られている。

材料モデル５の内部においては、図２に従って、これらの出発値Ｔ_Ａ、ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａ、調整量Ｓ及び金属１の内部に対する調整要素２の実効性を考慮して、リアルタイムで材料式が解かれる。材料式は以下の形の熱伝導式

及び転移式を含む。これらの式において、それぞれ金属１の、Ｈはエンタルピー、ｔは時間、λは熱伝導度、ｐ１及びｐ２は相の成分、ρは密度、Ｔは温度を示す。ｑ′は金属１の内部に外部の影響、例えば圧延時の変形又は誘導加熱により生ずる熱量である。これに対し相転移に基き生じる転移熱は既に式の左の部分において考慮されている。従って材料モデル５内においてリアルタイムで、金属１の期待温度Ｔ_Ｅ及び金属１が第１の相ないし第２の相にある期待成分ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅが求められる。

熱伝導式の解法、また調整量Ｓ及び調整要素２の実効性をも斟酌することは当業者に一般に知られている。それ故その点に関しては以下詳細に述べない。ただ上述の熱伝導式は金属１の集合状態及び形状に無関係に解き得る一般的な式であることだけを述べておく。金属１がベルト厚み方向を備える金属ベルトとして存在する今の場合、熱伝導式は図３に従って1次元で表現することができる。何故ならベルト運動方向及びベルト幅の勾配はほぼ０であるからである。従ってこの場合熱伝導式は次のように簡単化される。ここでｘはベルト厚さ方向の位置である。

転移式を解くために、以下に図４と関連して詳細に説明する方法が使用される。図４に示したものにおいては、金属１が２つの相を取り得るという簡単化した想定が当てられた。しかしこの方法は２より多い相を持った金属１に容易に拡張することができる。

図４によれば、式処理ブロック７に複数の入力量が導かれる。まず式処理ブロック７に熱量Ｑ′が導かれる。熱量Ｑ′は、一方では熱伝導に基く熱収支の変化、他方では場合によっては金属１内で外部の影響によって生ずる熱量ｑ′を含む。

さらに式処理ブロック７には、金属１が第１の相で存在する成分ｐ１が導かれる。また式処理ブロック７には時間的変化ｐ１′が導かれる。図４に従って２相系のみが考察されるという状況に基いて、第２の相の成分ｐ２及びその変化ｐ２′も既知である。

最後に式処理ブロック７にはなお金属１の相のエンタルピーＨ１、Ｈ２が導かれる。その際エンタルピーＨ１、Ｈ２は金属１の単一の量、例えば１キログラム又は１モルに関連している。

式処理ブロック７は線形式セット

に基いてエンタルピーＨ１及びＨ２の時間的変化Ｈ１′及びＨ２′を求める。これらの変化Ｈ１′、Ｈ２′は積分器８、９に導かれ、これらの積分器は出力信号としてエンタルピーＨ１、Ｈ２を求める。

積分器８、９は出発値Ｈ１_０、Ｈ２_０により適切に初期化されている。その際出発値Ｈ１_０、Ｈ２_０は互いに無関係に予め定められ得るものではない。むしろそれらは、結果として生じる固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２が相転移温度において同じ値をとるように定められなければならない。

線形式セットにおいて、Ｔ１′及びＴ２′は各エンタルピーＨ１ないしＨ２に関する各温度Ｔ１、Ｔ２の一次導関数を意味し、従って時間の導関数を意味するものではない。

上述の線形式セットの代りに次ぎの形

の非線形式セットを解くこともできる。ここでＨ_０は系のエンタルピーＨに対する適切な出発値である。この式セットは直接エンタルピーＨ１、Ｈ２を与える。そのため、既に述べたようにそれは非線形である。

求められたエンタルピーＨ１は温度算出器１０に導かれる。この温度算出器１０は考察されている相に対するエンタルピーＨ１に基いて期待温度Ｔ１を求める。さらにエンタルピーＨ１はエントロピー算出器１１に導かれる。このエントロピー算出器１１は考察されている相に対し、次式

に基いてエントロピーＳ１を求める。

期待温度Ｔ１及び求められたエントロピーＳ１は乗算器１２に導かれる。その出力信号は、負の符号が付されて、加算器１３に導かれ、この加算器１３にはさらにエンタルピーＨ１も導かれる。加算器１３の出力信号は考察されている相の固有のギブス自由エンタルピーＧ１に相応する。

類似した方法で、第２の相に対しても対応する固有のギブス自由エンタルピーＧ２が求められる。その結果加算器１４において両固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の差ΔＧが形成される。

このようにして求められた両固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の差ΔＧは、転移率算出器１５に導かれる。この転移率算出器１５は差ΔＧ及び成分ｐ１に基いて転移率を求める。転移率は積分器１６に導かれ、この積分器にはさらに出発値として出発成分ｐ１_Ａが導かれる。積分器１６の出力信号、従って求められた期待成分ｐ１_Ｅ、は、再び式処理ブロック７及び転移率算出器１５に導かれる。

図４から分かるように、転移式はステップ式に解かれ、その際各ステップにおいて前に求められた期待値が式処理ブロック７に導かれる。類似の方法で、熱伝導式もステップ式に解かれる。その際熱伝導式及び転移式の結果は、当然各ステップ後に調整される。この方法は熱伝導式の各支点に対して有利に使用される。計算時間を節約するため、相転移の際の支点をまとめることによって、転移モデルの計算の際の費用を下げることができる。熱伝導式はしかし常に、従ってこの場合も、各支持位置に対し解かれる。

さらに温度Ｔ１、Ｔ２は計算が正しい場合には各時点に同じ値を有し、以下期待温度Ｔ_Ｅともいう。それ故場合によって生じることのある温度Ｔ１、Ｔ２相互間のずれは、材料モデル５の最適から外れた姿態に対するしるしである。それ故このずれは、材料モデル５のプログラム技術的作成の枠組みで、材料モデル５の最適化のために、特にエントロピー算出器１１及び温度算出器１０のために考慮することができる。

図４による方法によって、また期待温度Ｔ_Ｅ及び期待成分ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅに対する時間的曲線が求められる。

調整量Ｓは、図４による方法の場合、各時点に同じ値を持つ必要はない。むしろ調整量Ｓは時間的曲線（以下調整量曲線という）を有することができる。それ故調整量Ｓの実際値も各ステップにおいて現実化される。実際値は金属１のただ表面に作用する処理において、例えば水が与えられる際には、熱伝導式を解く際顧慮される周縁条件に入り込む。これに対し、金属１の容積に作用する処理、例えば圧延工程又は誘導加熱においては、調整量Ｓは特に熱量Ｑ′に入り込む。

熱伝導式及び材料式をステップ式に解く際、２つの二者択一のやり方が可能である。一方では、期待温度Ｔ_Ｅ及び期待成分ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅに対する時間的曲線を求めた後あらかじめ与えられた調整量曲線Ｓに応じて調整要素２の操作を行うことができる。また他方では、各ステップに対し調整量Ｓのみを関係させ、すぐ前のステップと後続のステップとの間で調整量Ｓに応じて調整要素２を操作することも可能である。

これら両者において、材料モデル５に調整量Ｓのみを設定することが可能である。図２及び図３によれば、材料モデル５に目標温度Ｔ*（そのうえさらに目標温度Ｔ*の時間的曲線が好ましい）を設定することもできる。この場合、材料モデル５は目標温度Ｔ*、出発温度Ｔ_Ａ及び調整要素２の実効性に基いて調整量Ｓを自動的に求めることが可能である。

金属１を調整要素２により制御した後、図１に従って別の測定要素６′を使用して、新たに金属１の実際温度Ｔが検出される。この温度Ｔ（以下最終温度という）は、図５に従って適応化要素５′により期待温度Ｔ_Ｅと比較される。この比較に基き適応化要素５′は材料モデル５を適応化させる。例えば熱伝導式の熱伝達量又は転移率に対する影響量を変えることができる。

したがって与えられた実施例によれば、金属１の単一の量に関係する相の固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２が求められる。それから転移率は差ΔＧに基き求められる。最も簡単な場合、転移率は求められた差ΔＧと定数との積として生じる。ここで転移率ｐ１′を差ΔＧと目下の相成分ｐ１との積から求める転移率算出器１５を使用するのが有利である。このような転移率算出器１５は、例えば種々の鋼に対するZTUダイヤグラムのデータセットに基いてパラメータを決められ得る。

その上転移率を相の成分ｐ１、ｐ２で重み付けされた固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の和に基いて求めることと完全に同等であろう。ここで、温度が固定されている場合の転移はひとりでにギブス自由エンタルピーＧの減少方向にのみ進行することが利用される。

上述の図４と関連して説明したやり方は、純粋の相転移が同じ化学組成を生じる場合、例えばオーステナイトからフェライトへの転移のような場合には特に意義がある。それは固相から液相への純粋の転移が生じる場合にも使用することができる。

成分ｐ１、ｐ２を求める上述の説明においては、常に固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２、固有のエントロピーＳ１、Ｓ２、固有のエンタルピーＨ１、Ｈ２に対する実際の瞬時値及び期待温度Ｔ１、Ｔ２が使用された。しかし温度算出器１０及びエントロピー算出器１１の評価は、温度Ｔ１、Ｔ２及び固有のエントロピーＳ１、Ｓ２の関連する固有のエンタルピーＨ１、Ｈ２との関数曲線ないし関係が既知であることを前提とする。それ故相転移を良好に且つ正しく記述し得るためには、温度算出器１０及びエントロピー算出器１１の基礎をなし、実際にモデル化された金属１、特にその化学組成に関係する関数を利用し得ることが必要である。そのため材料モデル５を発展させたものにおいては、まず考察している物質の相に対する固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２が温度の関数として求められるのが有利である。固有のギブス自由エンタルピーを温度の関数として求めることは、例えば学術論文のペルグスタフソン（Per Gustafson）著「Fe−C系の熱力学的評価（A Thermodynamic Evaluation of the Fe-C System）」Scandinavian Journal of Metallurgy 14(1985)、259〜267頁に記載されている。

このようにして関連する温度Ｔ１ないしＴ２の関数として求められた固有のギブス自由エンタルピーＧ１ないしＧ２（従って固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の関数曲線）に基いて、固有のエンタルピーＨ１、Ｈ２の関数として温度Ｔ１、Ｔ２ないし固有のエントロピーＳ１、Ｓ２の関数曲線を容易に求めることができる。これらを求めることは当業者に一般に知られている。その詳細に関してはあらためて上述のペルグスタフソンの論文を参照されたい。

固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の関数曲線並びに温度Ｔ１、Ｔ２及び固有のエントロピーＳ１、Ｓ２の関数曲線を求める場合、添加物質により引き起こされる固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の変化も特に考慮しなければならない。従って考察すべき添加物質について、固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の変化が考察される添加物質の添加される量の関数として求められる。これらの変化は考察される添加物質の量に関してたしかに著しく非線形であり得る。これらの変化はまた互いに無関係であり得る。しかし作用並びに相互の関係は知られており、既述のジェイミーティニン、ビー ズンダマン及びジェイ アグレン著の論文を参照されたい。従って結局のところ、温度算出器１０及びエントロピー算出器１１は、添加物質の成分が知られている場合には未知の混合物のためのものでもある。そこから未知の混合物（特に未知の鋼組成物）をも高い精度でモデル化することが可能である。

実際上、金属１はしばしば２つの化学的に互いに異なる基礎構成成分を有する。鋼の場合、これら両構成成分は代表的に鉄（明らかに50原子％を超える主構成成分）と炭素である。この場合、先ず固有のギブス自由エンタルピーＧが両構成成分の一方の（相対的）成分ｎ及び温度の関数として求められる。次いで再び考察すべき添加物質に対して、この関数がどのように変化するかが求められる。ここでも、この変化がたしかに著しく非線形であり得ることがあてはまる。このことは、添加物質の量についても、鉄と炭素との混合比が異なる場合の添加物質の同じ量の作用についても通用する。従って、1％の炭素と99％の鉄とを有する鉄・炭素混合物における添加物質の特定の量（例えば1％のシリコン及び2％の燐）は、4％の炭素と96％の鉄とを有する鉄・炭素混合物の場合における固有のギブス自由エンタルピーへの影響を全く異にすることが十分に可能である。この際パーセント数は原子パーセントに関する。また、例えば添加物質の２倍の量は、添加物質の1倍の量とは、固有のギブス自由エンタルピーへの影響が全く異なることも十分に可能である。しかしさらに、添加物質の影響は知られており、ないしは知られた方法で求めることができることが認められている。

このようにして求められた鉄・炭素混合物の固有のギブス自由エンタルピーＧの曲線は、金属１の構成成分の化学組成に関する分布を求めるのに関係させることができる。このことは以下に鉄・炭素混合物の例に基いて詳細に説明する。

鉄と炭素との混合物が存在するものと仮定する。その際ｎ_Ａは混合物中の鉄の成分、ｎ_Ｂは混合物中の炭素の成分とする。成分ｎ_Ａ、ｎ_Ｂの和は当然１である。さらにｎ_Ａ１は第１の化学組成中の鉄の成分、ｎ_Ａ２は第２の化学組成中の鉄の成分と仮定する。この際これらの成分ｎ_Ａ１、ｎ_Ａ２の和は当然鉄の全成分に等しい。同じように両組成中には炭素の成分ｎ_Ｂ１、ｎ_Ｂ２も含まれている。これらの成分ｎ_Ｂ１、ｎ_Ｂ２の和は同じように炭素の全成分ｎ_Ｂとなる。ｍ_１＝ｎ_Ａ１＋ｎ_Ｂ１及びｍ_２＝ｎ_Ａ２＋ｎ_Ｂ２により各組成に対する成分が導入される。それによって全系のギブス自由エンタルピーＧは次のようになる。

この式をｎ_Ａ１ないしｎ_Ｂ１に対し（全）微分し導関数を０とおくことにより、２つの式及び従って成分ｎ_Ａ１及びｎ_Ｂ１に対する２つの条件を得る。その際この式において、ｍ_１、ｍ_２及びＧ２の独立変数が変数として暗黙にｎ_Ａ１及びｎ_Ｂ１を含むことが注意されなければならない。

鉄・炭素混合物のギブス自由エンタルピーＧが炭素の成分ｎの関数として例えば図５に示されるように凸状の曲線を有する場合には、固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の成分で重み付けされた和が均一に混合された系のギブス自由エンタルピーより小さい２つの化学組成の分布は不可能である。この場合式は線形に関係する。その結果金属１の均一な化学組成が生じる。

これに対し、例えば図６に示されるように、炭素成分の関数としてのギブス自由エンタルピーＧが必ずしも凸状に変化しない場合には、固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の成分で重み付けされた和が均一に混合された系のギブス自由エンタルピーより小さい２つの異なる化学組成の分布は可能である。この場合式は線形に無関係である。それによって成分ｎ_Ａ１、ｎ_Ａ２、ｎ_Ｂ１及びｎ_Ｂ２に対する一義的な値が生じる。この場合金属１は２つの互いに異なる化学組成に分かれる。組成は混合比ｎ_１ないしｎ_２を明示する。混合比ｎ_１、ｎ_２は次式によって定義される。

実際にはこれら両方のやり方の混合が講じられなければならない。例えばオーステナイトには比較的大きい量の炭素が溶け得る。これに対しフェライトには僅かな量の炭素しか溶け得ない。それ故オーステナイトは冷却の際フェライトとパーライトとの混合物に崩壊し、その際パーライトは共融混合物であり、これはセメンタイト（Fe_３C）とフェライトとからなり、冷却により炭素で飽和されたオーステナイトから転移温度以下で生じる。

相転移速度はいわゆる転移-拡散モデルによって記述される。その際異なる相は可動性の相境界によって互いに分離されている。各相内には可動性と非可動性の元素がある。非可動性の元素は一様に分布されている。可動性の元素は一般に相内で一様に分布していない。可動性の元素の拡散は、各相において所属の化学ポテンシャルの負の勾配の方向に進行する。その際可動性の元素の拡散速度は有限である。その際化学ポテンシャルは、可動性の元素の濃度についての、固有の（即ち同じ量に関して）ギブス自由エンタルピーの微分によって得られる。１つ又は複数の可動性の元素に対する拡散の正しい表示は当業者に知られている。自由な相境界においては、相境界面が移動する速度を求めるため、相境界面のすぐ前とすぐ後の固有のギブス自由エンタルピーの差が形成される。この提出課題は、当業者によって拡散による自由な境界値問題又はシュテファン問題ともいわれ、一般に知られている。近似解は例えば、エイカール（A.Kar）及びジェイ マズムダー（J.Mazumder）著「有限媒体におけるシュテファン問題の分析解（Analytic Solution of the Stefan Problem in Finite Mediums）」Quart.Appl.Math.,52巻 1994年に見られる。

本発明の枠組みにおいて、各転移に対し（相転移に対しても、並びに１つの化学組成の他の化学組成への崩壊に対しても）、適切な転移率を求めることができる。全体として、転移事象は常に全系のギブス自由エンタルピーＧの減少方向に進行することが確認され得る。そのように、上述のモデルイメージは、相境界面における固有のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の差の明確な使用なしでも文書化することができる。特に金属１の冷却の振る舞いを考慮して、金属１の相状態について述べることも、その組織構造及び粒子の大きさについて述べることも可能である。

図７によれば、設備は金属１に対する冷却装置として構成されている。調整要素２は冷却材調整要素として構成されている。この調整要素は圧延機のロールスタンド間に配置されるか、ロールスタンドの後方に配置されている。調整要素は、個々に操作可能な部分２′を介して規定量の冷却材、代表的には水を金属１上に施すことができる。

図１と関連して先に述べたように、測定要素６、６′を用いて金属１の温度が検出される。冷却装置がもっぱらロールスタンドの後方に配置されている場合には、測定要素６は最後のロールスタンドの後方で冷却装置の前に配置される。さもなければ、測定要素６は冷却装置に前置されたロールスタンドの前に、測定要素６′は冷却装置に後置されたロールスタンドの後に配置されるのが好ましい。

冷却区間が駆動されると、熱伝導式及び転移式の解と時間を合わせて、それぞれ測定要素６を用いて金属１の出発温度Ｔ_Ａが検出される。さらに、材料モデル５には材料速度ｖが導かれる。それによって材料モデル５は、出発温度Ｔ_Ａが検出された金属１の個所に関して、材料追跡を実行し、その結果調整要素２の個々の部分２′を時間に合わせて操作することができる。冷却区間の末端にある別の測定要素６′を用いた最終温度Ｔの検出も時間に合わせて行い、金属１の関連する個所に所属せしめることができる。図７による実施例においては、従って金属１の場所的に直接連続する多数の個所においてモデル化法が用いられる。

図７の例においては、材料の流れ方向は常に同じである。しかし材料の流れ方向を変えることもできる。例えば厚板ロール列においては、材料は冷却のため再びロールスタンドに戻され、新たな圧延プロセスと続く冷却プロセスにかけられることができる。

図８及び図９は本発明によるモデル化法の別の適用例を示す。

図８によれば、設備は圧延路として構成されている。調整要素２はこの場合にはロールスタンドの１つであり、関連する調整量Ｓは圧延速度である。場合によっては調整要素２はロールスタンドと冷却装置との組み合わせであってもよい。この場合、調整量Ｓも当然組み合わせられた調整量である。

図９のよる実施形態においては、設備は連続鋳造設備として構成されている。調整要素２は組み合わせられた調整要素として構成され、それを用いて一方では連続鋳造設備の鋳型の冷却が制御され、他方では鋳造されたロープ１が鋳型から引き抜かれる排出速度ｖが制御される。

本発明の利点は多岐にわたっている。一方では、本発明の材料モデル５は、可能な添加物質に関する完全なパラメータ化において、未知の材料クラス及び原材料の処理をも可能な一般に有効な結果を可能にする。さらに、シャイル(Scheil)及びアブラミ(Avrami)の数式と異なり、転移事象が不完全な転移の場合に対しても正しく記述される。その際、材料モデル５の枠組みにおいて、従来技術の方法と異なり、相転移の際に生じる転移熱も正確に求められ考慮される。しかしなかんずく、状態図表及びZTUダイヤグラムの複雑なトポロジーが通常のなめらかな曲線のパラメータ化に還元される。それによって、鋼における合金元素の特別に複雑な関係の技術的処理が始めて可能になる。何故なら、考察される系（ここでは金属１）の圧力及び温度Ｔが一定に保持されている場合には、系のギブス自由エンタルピーＧはその最小値に逆行しようとするからである。従って異なる相のギブス自由エンタルピーＧ１、Ｇ２の比較は相転移の方向を示す。その際、添加物質と相としてセメンタイト（Fe_３C）のような化合物とを有する金属の特別にむずかしい場合でさえ、物理的に正しく処理され得る。最後に、数式は温度計算にのみならず、構造及び粒子の大きさの計算にも使用することができる。

本発明による金属の温度制御のための設備の構成配置図である。 本発明の材料モデルの例の説明図である。 本発明の材料モデルの別の例の説明図である。 本発明による転移式を解くためのブロック図である。 ギブス自由エンタルピーの曲線の一例である。 ギブス自由エンタルピーの曲線の別の例である。 本発明による金属の温度制御のための別の設備の構成配置図である。 本発明による金属の温度制御のための別の設備の構成配置図である。 本発明による金属の温度制御のためのさらに別の設備の構成配置図である。

符号の説明

１ 金属
２ 調整要素
３ 制御計算機
４ コンピュータプログラム
５ 材料モデル
６ 測定要素
７ 式処理ブロック
８、９ 積分器
１０ 温度算出器
１１ エンタルピー算出器
１２ 乗算器
１３、１４ 加算器
１５ 転移率算出器
１６ 積分器
Ｓ 調整量
Ｔ_Ａ 金属の出発温度
ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａ 金属の相成分の出発値
Ｔ_Ｅ 金属の期待温度
ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ 金属の期待相成分
Ｇ１、Ｇ２ 金属の相のギブス自由エンタルピー

Claims (27)

1. 金属（１）のためのモデル化法であって、金属の温度が直接的又は間接的に少なくとも１つの調整要素によって制御され得るものであり、
   ・その際、材料モデル（５）に、金属（１）の出発温度（Ｔ_Ａ）と、金属（１）が少なくとも第１の相ないし第２の相にある出発成分（ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａ）とが予め与えられ、
   ・その際、材料モデル（５）内において、出発温度（Ｔ_Ａ）、出発成分（ｐ１_Ａ、ｐ２_Ａ）及び調整要素（２）に対する調整量（Ｓ）を考慮して実時間で熱伝導式及び転移式が解かれ、そうして金属（１）の期待温度（Ｔ_Ｅ）及び金属（１）が少なくとも第１の相ないし第２の相にある期待成分（ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ）が求められ、
   ・その際調整要素（２）が調整量（Ｓ）に応じて操作される
   ようになっているモデル化法において、
   転移式の枠組みにおいて、金属（１）の相のギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）、このギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）に基づいて第１の相から第２の相への金属（１）の転移率、この転移率に基いて期待成分（ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ）が求められることを特徴とする金属のためのモデル化法。
2. 固有の、即ち金属（１）の単一の量に関する、相のギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）が求められ、固有のギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）の差に基いて転移率が求められることを特徴とする請求項１記載のモデル化法。
3. 固有の、即ち金属（１）の単一の量に関する、ギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）が求められ、相の成分（ｐ１、ｐ２）で重み付けされた相の固有のギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）の和に基いて転移率が求められることを特徴とする請求項１記載のモデル化法。
4. 固有の、即ち金属（１）の単一の量に関する、ギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）が求められ、相の少なくとも１つの固有のギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）は位置に関係し、相の固有のギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）に関する位置積分に基いて転移率が求められることを特徴とする請求項１〜３のいずれか１つに記載のモデル化法。
5. 金属（１）が少なくとも２つの化学的に互いに異なる構成成分（例えば鉄及び炭素）を含み、ギブス自由エンタルピー（Ｇ１、Ｇ２）が構成成分の化学組成に対する分布を求めるためにも考慮されることを特徴とする請求項１〜４のいずれか１つに記載のモデル化法。
6. 相の少なくとも１つが金属（１）の液体状の集合状態に相応することを特徴とする請求項１〜５のいずれか１つに記載のモデル化法。
7. 相の少なくとも１つが金属（１）の固体状の集合状態に相応することを特徴とする請求項１〜６のいずれか１つに記載のモデル化法。
8. 金属（１）の場所的に直接連続する多数の個所に用いられることを特徴とする請求項１〜７のいずれか１つに記載のモデル化法。
9. 材料モデル（５）に少なくとも１つの目標温度（Ｔ*）が設定され、材料モデル（５）が調整量（Ｓ）を自動的に求めることを特徴とする請求項１〜８のいずれか１つに記載のモデル化法。
10. 目標温度（Ｔ*）が目標温度曲線（Ｔ*）であることを特徴とする請求項１〜９のいずれか１つに記載のモデル化法。
11. 調整量（Ｓ）が調整量曲線（Ｓ）であり、調整量曲線（Ｓ）を考慮して熱伝導式及び転移式がステップ式に解かれ、金属（１）の期待温度曲線（Ｔ_Ｅ）及び相の期待成分曲線（ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ）が求められ、調整量曲線（Ｓ）に基く調整要素（２）の操作が、金属（１）の期待温度（Ｔ_Ｅ）及び相の期待成分曲線（ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ）が求められた後初めて行われることを特徴とする請求項１〜１０のいずれか１つに記載のモデル化法。
12. 熱伝導式及び転移式がステップ的に解かれ、金属（１）の期待温度曲線（Ｔ_Ｅ）及び相の期待成分曲線（ｐ１_Ｅ、ｐ２_Ｅ）が求められ、調整量（Ｓ）が各ステップに対してのみ考慮され、調整要素（２）の操作がすぐ前のステップと後続のステップとの間で調整量（Ｓ）に応じて行われることを特徴とする請求項１〜１０のいずれか１つに記載のモデル化法。
13. 出発温度（Ｔ_Ａ）が金属（１）の調整要素（２）による制御の前に測定要素（６）により検出された実際温度（Ｔ）であることを特徴とする請求項１〜１２のいずれか１つに記載のモデル化法。
14. 金属（１）の調整要素（２）による制御の後に測定要素（６′）により金属（１）の最終温度（Ｔ）が検出され、この最終温度（Ｔ）が期待温度（Ｔ_Ｅ）と比較され、この比較に基いて材料モデル（５）が適応化されることを特徴とする請求項１〜１３のいずれか１つに記載のモデル化法。
15. 金属（１）の内部に対し解くべき熱伝導式が
    

    

    の形を有し、ここでＨはエンタルピー、ｔは時間、λは熱伝導率、ｐ１及びｐ２は相の成分、ρは密度、Ｔは金属の温度、ｑ′は金属の内部に外部の影響により生じる熱量であることを特徴とする請求項１〜１４のいずれか１つに記載のモデル化法。
16. 金属（１）が厚み方向を有する金属ベルトとして形成され、金属（１）の内部に対し解くべき熱伝導式が
    

    

    の形を有し、ここでＨはエンタルピー、ｔは時間、ｘはベルト厚み方向の位置、λは熱伝導率、ｐ１及びｐ２は相の成分、ρは密度、Ｔは金属の温度、ｑ′は金属の内部に外部の影響により生じる熱量であることを特徴とする請求項１〜１４のいずれか１つに記載のモデル化法。
17. 金属（１）が主成分として鉄を含むことを特徴とする請求項１〜１６のいずれか１つに記載のモデル化法。
18. 請求項１〜１６のいずれか１つに記載のモデル化法を実施するためのコンピュータプログラム。
19. 金属（１）の温度（Ｔ）を直接的又は間接的に制御可能な調整要素（２）を有する設備のための、請求項１８記載のコンピュータプログラム（４）によりプログラムされた制御計算機。
20. 金属（１）の温度（Ｔ）を直接的又は間接的に制御可能な調整要素（２）を有する設備であって、請求項１９記載の制御計算機（３）により操作されることを特徴とする設備。
21. 金属（１）の冷却装置として構成され、調整要素（２）が冷却材調整要素（２）であることを特徴とする請求項２０記載の設備。
22. 冷却装置に圧延機の少なくとも１つのロールスタンドが後置されていることを特徴とする請求項２１記載の設備。
23. 冷却装置が圧延機の少なくとも１つのロールスタンドに後置されていることを特徴とする請求項２１記載の設備。
24. 圧延路として構成され、調整要素（２）が圧延速度調整要素（２）として構成されていることを特徴とする請求項２０記載の設備。
25. 連続鋳造設備として構成されていることを特徴とする請求項２０記載の設備。
26. ４０〜１００ｍｍの間の厚み（ｄ）を有するベルトの鋳造のための連続鋳造設備として構成され、仕上げ路が直接後置されていることを特徴とする請求項２０記載の設備。
27. 最大１０ｍｍの厚み（ｄ）を有する金属ベルト（１）を鋳造するための薄板鋳造設備として構成され、最大２つのロールスタンドが後置されていることを特徴とする請求項２０記載の設備。

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