JP2005507128A

JP2005507128A - 物理的および非物理的なシステムのポジノミナルモデル化、サイジング、最適化および制御

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Publication number: JP2005507128A
Application number: JP2003540877A
Authority: JP
Inventors: デームス，ワルター; ギーレン，ゲオルゲス; サンセン，ウィリー
Original assignee: キモーション・テクノロジーズ・インコーポレイテッド
Priority date: 2001-10-31
Filing date: 2002-10-31
Publication date: 2005-03-10
Also published as: US20050251373A1; WO2003038686A3; CA2464935A1; EP1440396A2; IL161675A0; US7162402B2; WO2003038686A2; GB0126104D0

Abstract

数値的シミュレーション、測定または観察に基づいて、電子回路特性などの線形または非線形のシステムに対するポジノミナル性能パラメータモデルを自動的に生成するための方法および装置が開示される。結果的なモデルは、電子回路の最適化ベースのサイジングなどのシステムの自動的な最適化のために使用可能であるため、それらの性能は設計者によって課された仕様のセットを満たす。それらは電子回路の性能などのシステムの性能の最適化、または回路の動作の調整もしくは制御のためにも使用可能である。この方法および装置は、入力がシステムの解析的な定義ではなくシステムの性能の値である、あらゆる物理的（たとえば、電気的、化学的、機械的、生物学的）システムまたは非物理的（たとえば、経済的、財務的、銀行業務）システムに適用可能である。たとえば、入力はシミュレーションおよび／または測定および／または観察によって入手された性能データであり得る。

Description

【技術分野】
【０００１】
著作権についての注意
この開示の一部分はアルゴリズムなどの著作権保護の対象である題材を含む。著作権の所有者は特許出願または特許文献をコピーすることに対して異議はないが、それ以外のすべての著作権を留保する。
【０００２】
発明の分野
この発明はシステムのモデル化の分野に関する。特に、この発明は、シミュレーションおよび／または測定および／または観察などを介して性能データを利用可能な物理的（たとえば、電気的、化学的、機械的、生物学的）システムまたは非物理的（たとえば、経済的）システムのポジノミナル（posynomial）モデルの生成およびそのための装置に関する。この発明は、電子回路の設計、特に電子回路などのシステムの性能特性に対する解析的モデルの生成に適用可能である。これらモデルは、たとえば、設計および／または動作段階中のこれらシステムの自動的なサイジングおよび最適化など、そのようなシステムの設計、製造または動作段階中に使用可能である。
【背景技術】
【０００３】
発明の背景
システムをモデル化することが有利である用途が多くある。問題の解がコスト関数において局所的な最小を持たないようにまたはこれらが避けられるようにシステムをモデル化できることは有用である。これはモデルが凸型で、１つの極小のみを有するということである。ポジノミナルの形でモデルを作り、幾何学的プログラミングを使用して解くことは、この利点が得られる１つの解決策である。例として、ポジノミナルモデルは集積回路のサイジングに対して提案されている。サイジングは、電子回路の設計において時間がかかりかつ費用のかかるステップである。
【０００４】
ＵＳ５，８８０，９６７は、凸型プログラミングは扱いにくく、応用しにくいことを示している。これは、解決策として線形プログラミングを提案している。
【０００５】
最近、増幅器、スイッチキャパシタフィルタ、ＬＣオシレータ等のアナログ集積回路のサイジングおよび最適化を幾何学的プログラムとして定式化が可能であることが［１］、［２］、［１１］、［１２］、［１３］、［１４］の中で示された。これら回路は、ポジノミナル形式で作らなくてはならない象徴的な式で特徴付けられる。幾何学的プログラムの利点は、（１）問題が凸型であり、したがって、唯一のグローバルな最適条件を有すること、（２）この最適条件は最適化の開始点とは相互に関係しないこと、（３）実行不可能な条件のセット（すなわち、作用しない）を識別できることである。さらに、幾何学的プログラムの最適条件は、比較的大きな問題に対しても非常に効率的に見つけられる。サイジングは非常に高速なため（数秒）、設計空間の探査およびプロセスコーナー解析を非常に容易に行なうことができる。しかしながら、このアプローチにはいくつかの限界がある。
【０００６】
１．回路の最大限の性能を特徴付ける近似の象徴的な式を導かなければならない。これら式から、ポジノミナルでの試みがなされる。コンピュータで自動化されたシンボリック解析技術の進歩にもかかわらず、これらは依然として主に小さな信号特性に限られており、大きな信号および一時的な特性は手動で導く必要がある（たとえば、［１］および［２］を参照）。
【０００７】
２．式はポジノミナル形式で作らなくてはならない。多くの回路特性がポジノミナルであることが示されているが、すべての特性について当てはまるわけではない。この場合、式は何らかのポジノミナルモデルによって近似されなくてはならない。これは手動で行なうもので、近似エラーの制御が難しい。
【０００８】
３．出版されている文献（［１］および［２］）のデバイスモデルはポジノミナル形式で近似される。このことによって、特にミクロンを大きく下回るＣＭＯＳプロセスでは、さらにエラーが生じる。結果は、今日、設計者によって使用され信頼されている、十分に確立されかつ受入れられているＢＳＩＭ−３ｖ３などのモデルとは異なる。
【０００９】
ＥＰ２２３５２６は電子回路を最適化する方法を説明しているが、この方法は解析関数または一括回路解析を使用してモデルを生成する。
【００１０】
ＵＳ６，２６９，２７７は幾何学的プログラミングおよびポジノミナルモデルの使用を説明している。ポジノミナルは、ＩＳＡＡＣまたはＳＹＮＡＰなどの既知のシンボリック解析器によって生成される。しかしながら、これら既知の方法は、システムを規定するためにポジノミナルとして再度作られる解析関数に依存する。一般的に、いくらかの手動の作業が必要である。
【００１１】
事前公開されていないＵＳ６，４２５，１１１は、単項式を性能曲線に適合することによってポジノミナル様の関数を入手する方法を説明しているが、この方法は単項式に制限されているため、ポジノミナルには一般的ではない。データセグメントで直線適合を使用することは、たとえば２つの直線近似の接合部などで、直線が測定されたかまたはシミュレーションされた性能値から大きく離れ始めるときにエラーを生じさせる。
【００１２】
［参考文献］
【００１３】
【表１】

【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１４】
発明の概要
たとえば、幾何学的プログラミングを使用して、強力な最適化プログラムで使用できるシステムをモデル化するためのポジノミナルを生成するためのより一般的な方法および装置が必要とされている。
【００１５】
上述の必要性は、特許請求の範囲に規定される方法および装置によって解決される。
【００１６】
システムの性能データを使用して、自動的にポジノミナルモデルを生成するための方法を開示する。この数値性能データは、シミュレーションおよび／または測定および／または観察によって入手することができる。性能の数値データが入手可能でありかつシステムが再現可能な態様で挙動するのであれば、モデル化され得る物理的または非物理的なシステムの種類には特に制限はない。たとえば、電子回路では、特性は正確なデバイスモデルを使用して数値的なＳＰＩＣＥシミュレーションによって見つけることができる。この発明による方法では以下のようである。
【００１７】
１．簡略化された式の演繹的な生成は不要である。たとえば、モデルは、等式ではなく数値データのみを出力するＳＰＩＣＥシミュレーションによって構築される。
【００１８】
２．シグノミナル（signomial）モデルをポジノミナルモデルに手動で再投入すること（近似を伴い得る）は不要である。この発明の一局面は、シグノミナルモデルの特定のセットをポジノミナルモデルへと自動的に再投入するコンピュータの実行可能なアルゴリズムおよびコンピュータシステムである。別の局面では、直接的にポジノミナルモデルを生成し、シグノミナルモデルまたはより一般的なモデルの近似のポジノミナルモデルへの再投入を避ける方法および装置が提供される。
【００１９】
３．ＢＳＩＭ−３ｖ３またはＭＭ１１などのＳＰＩＣＥシミュレーションおよび確立された装置モデルの最大限の精度を使用して入力データを生成し、そこからモデルを生成することができる。
【００２０】
この発明は、シグノミナルモデルを数値データに適合し、続いてポジノミナルモデルに自動的に再投入することによって、システムの性能特性に対するポジノミナルモデルをこれら性能特性の数値データに基づいて生成するための方法を提供する。シグノミナルモデルはｎ階数の多項式であり得る。シグノミナルモデルをポジノミナルモデルへ再投入することは、自動的に行なわれることが好ましい。たとえば、自動的な再投入はコンピュータの実行可能なアルゴリズムによって制御され得る。
【００２１】
この発明は、ポジノミナルやテンプレートを数値データに直接適合することによって、システムの性能特性に対するポジノミナルモデルをこれら性能特性の数値データに基づいて生成するための方法を提供し、ポジノミナルテンプレートは任意の実数の指数を含む。
【００２２】
数値データは、測定、観察または数値的シミュレーションによって入手することができる。システムは、電子回路、またはマイクロ電気機械的システム（ＭＥＭＳ；micro electro-mechanical system）などの物理的なシステムであり得る。
【００２３】
この方法は、線形または非線形の性能特性に対するポジノミナルモデルを生成することができる。この方法は仕様に依存しないモデルおよび／または疎なモデルを生成することができる。
【００２４】
この発明は、上述の方法のいずれかによって入手されるモデルも含む。
【００２５】
この発明は、上述の方法にいずれかによって入手されるモデルに基づいて電子回路をサイジングまたは最適化するための方法を含む。
【００２６】
ポジノミナルモデルは、サイジングまたは最適化の繰返し中に適合するように更新してもよい。
【００２７】
電子回路などのシステムの設計のためのポジノミナル性能モデル化の上述の方法は、回路などのシステムを分析的に解析することなく、および／または結果的な解析的な式をポジノミナル形式に再投入することなく、および／またはポジノミナル形式でそれらを近似することなく、実行される。したがって、この発明は、モデル化されるシステムを説明するために簡略化された式を演繹的に生成することなく、ポジノミナル性能パラメータモデルを生成するための方法を含む。
【００２８】
ポジノミナル性能パラメータモデルの生成は、デバイスモデルを使用するＳＰＩＣＥ様のシミュレーションなどの数値的シミュレーション技術に基づいてもよい。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２９】
発明の詳細な説明
この発明をある実施例および図面に関して説明するが、この発明はそれらに限定されず、請求項によってのみ限定される。実施例は単なる例として与えられ、当業者には、この発明の教示はこれら具体的な例を超え、物理的および非物理的なシステムの両方に一般的に適用可能であることが理解されるであろう。この発明を主に半導体素子および電子回路への適用で説明するが、この発明は、機械的、化学的、生物学的、電気的および電子的なシステムに幅広く適用され得る。たとえば、解析関数が利用可能でないかまたは正確でないシステムが多くある。そのようなシステムでは、シミュレーションまたは測定によってパラメータ研究を行ない、観察されたまたはシミュレーションされた性能特性とシステムの設計変数での変化との間の隠れた関係を記録するデータのセットを生成するのが可能であることが多い。システムによっては（たとえば、天気予報）、人間の介入による設計変数の変更が可能ではない。しかしながら、ある期間にわたってそのようなシステムを観察することで、システムの変数は変化し、数値データの観察によって記録することができる。数値データは、たとえば、主要成分解析による無関係な変数の排除によってサイズを低減することができる。この発明はそのような数値データを入力として使用し、これにポジノミナルモデルを適合する。ポジノミナルは、少なくとも２つの単項式の合計を含み得る。さらに、この発明によって生成されるポジノミナルモデルは、具体的な適用のためにポジノミナルを解くための好適な解決器とともに使用することができる。たとえば、幾何学的プログラミングの使用は、解決器としてこの発明の範囲内に含まれる。
【００３０】
１この発明の理論的な基礎
１．１性能モデル化
入力信号Ｅを出力信号Ｙへと変形するシステムＳを考える（図１）。システムＳは、その挙動に影響する設計パラメータのセットＸに依存する。
【００３１】
Ｙ＝Ｓ（Ｅ，Ｘ）（１）
この入出力の関係の数学的なモデル化は挙動モデル化と呼ばれる。組合せ（Ｙ，Ｅ）によって、励起Ｅの影響下にあるシステムの特定の性能ｐ_iを決定することができる。特定の性能ｐ_iのセットをうまく選べば、そのシステムの全体の性能を知ることができる。これら性能ｐ_iは、集めてベクトルＰにすることができる。したがって、設計者の視点から見ると、鍵となる関係は以下のとおりである。
【００３２】
Ｐ＝Ｆ（Ｘ）（２）
この関係の数学的なモデル化は性能モデル化と呼ばれる。
【００３３】
１．２ポジノミナルモデル化問題
ポジノミナルおよび幾何学的プログラミング
Ｘ＝（ｘ₁，ｘ₂…，ｘ_n）^Tが実数の正の変数のベクトルであるとする。式ｆ（Ｘ）は、
【００３４】
【数１】

【００３５】
の形を有し、ｃ_i∈｛すべての実数のセット｝かつα_ij∈｛すべての実数のセット｝の場合に、シグノミナルと呼ばれる。
【００３６】
すべてのｃ_iが正であると制限した場合、式ｆ（Ｘ）はポジノミナルと呼ばれる。式（３）がポジノミナルで、かつｍ＝１である場合、式ｆ（Ｘ）は単項式と呼ばれる。
【００３７】
（第１の）幾何学的プログラムは条件付の最適化問題
【００３８】
【数２】

【００３９】
であり、すべてのｆ_i（Ｘ）はポジノミナルであり、すべてのｇ_j（Ｘ）は単項式である。
【００４０】
すべての変数ｘ_kをｚ_k＝ｌｏｇ（ｘ_k）で置換し、目的関数ｆ₀（Ｘ）およびすべての制約ｆ_i、ｇ_jの対数をとることによって、変形された問題が凸型の最適化問題であることがわかる。このため、それは唯一のグローバルな最適条件を有する。さらに、この最適条件は、大きな問題の場合でも内点法（［３］、［４］を参照）を使用して、非常に効率的に見つけることができる。
【００４１】
スケーリング
ポジノミナル関数の引数の領域は正の実数のセットに制限されているため、ｎ次元の設計空間のハイパー立方体
【００４２】
【数３】

【００４３】
は、次の正規化されたｎ次元の超立方体へとマッピングされる。
【００４４】
【数４】

【００４５】
これらマッピングされた変数は、生成されなくてはならないポジノミナル関数に対する引数の変数であるとみなされる。
【００４６】
これらマッピングの例は次のとおりである。
【００４７】
・線形マッピング
【００４８】
【数５】

【００４９】
・対数マッピング
【００５０】
【数６】

【００５１】
しかしながら、正の象眼（すべての正の実数のセット）へのマッピングであれば、どのようなものでも使用可能である。
【００５２】
式（４）の標準的な幾何学的プログラミングの定式化を考慮すると、すべての性能条件は、式（４）の通常の形でモデル化されるべきである。したがって、性能変数ｐ_iも、たとえば、以下のスケーリングを使用してスケーリングされる。
【００５３】
・線形スケーリング
【００５４】
【数７】

【００５５】
Ｗは任意の重み係数であり、ｐ_i,specはユーザが指定する性能である。定式中のプラス記号（＋）は、パラメータｐ_iが最小化される必要があるかまたは≦−条件（ｐ_i≦ｐ_i,spec）である場合に使用される。定式中のマイナス記号（−）は、そのパラメータが最大化される必要があるかまたは≧−条件（ｐ_i≧ｐ_i,spec）である場合に使用される。
【００５６】
・対数スケーリング
【００５７】
【数８】

【００５８】
Ｗは任意の重み係数であり、ｐ_i,specはユーザが指定する性能である。定式中のプラス記号（＋）は、パラメータｐ_iが最小化される必要があるかまたは≦−条件（ｐ_i≦ｐ_i,spec）である場合に使用される。定式中のマイナス記号（−）は、そのパラメータが最大化される必要があるかまたは≧−条件（ｐ_i≧ｐ_i,spec）である場合に使用される。
【００５９】
ｐ_i＝ｐ_i,specであるときにｐ_i,scaled＝１である場合のみ、さまざまなスケーリングの定式を使用可能である。スケーリングの定式（９）および（１０）は、モデルの、設計の仕様への真の依存を生じさせない。なぜなら、特定の仕様のセットを使用して生成されたモデルは、定数項の単純な加法または減法によって新たな任意の仕様のセットに変換され得るためである。この動作は、モデルのポジノミナル性を損なわない。したがって、スケーリングの定式（９）および（１０）を使用して生成されるモデルは「仕様に依存しない」といわれる。
【００６０】
この発明による方法の目的は、ポジノミナル適合問題を解くことである。
【００６１】
この発明の第１の実施例に従って、まずシグノミナル適合問題を定義する。
【００６２】
シグノミナル適合問題
性能サンプルのセット
【００６３】
【数９】

【００６４】
および所与の対数α_ij∈｛すべての実数のセット｝を備える種類（３）のモデルテンプレートがある場合に、
【００６５】
【数１０】

【００６６】
が最小となるように、係数ｃ_i、ただしｃ_i∈｛すべての実数をセット｝、を決定する。
【００６７】
ポジノミナル適合問題
追加の条件
【００６８】
【数１１】

【００６９】
を備えたシグノミナル適合問題を解く。
【００７０】
１．３全体的な概念
乗物システムとしての電子的なトランジスタレベルの回路を使用して、この発明のある実施例を説明する。しかしながら、モデルが生成されるシステムは、どのような物理的（たとえば、電気的、化学的、数学的、生物学的）システムまたは非物理的（たとえば、経済的、財務的または銀行業務）システムであってもよい。システムに対する唯一の要件は、その挙動が測定、観察またはシミュレーション可能であることである。たとえば、後者の場合では、微分方程式などの解析的な式のセットを使用して説明できることである。後者の場合、その挙動は、さまざまな微分方程式のセットを数値的に解くことによって計算（またはシミュレーション）が可能である。２つの開示される方法が当てはまる全体的な概念は図２に示される。このアプローチは、性能データを提供するステップ１およびこの性能データへのモデルの適合を行なうステップ２を含む。任意でモデル品質評価の第３のステップを設けてもよい。性能データは測定可能であり、たとえば、システムの設計変数を変動させて、応答が測定される。これは、設計変数が系統的に変動され、システムの応答が記録されるパラメータ研究として行なってもよい。以下に、単に例として、電子回路に関してシミュレーション方法を説明する。すなわち、性能データはシステムの構成要素の説明に基づいてシミュレーションされる。
【００７１】
方法の入出力
第１の入力は、たとえば、ネットリスト４などのシステムに対する構成要素リストの形でのシステムの説明である。このネットリスト４は設計変数でパラメータ化される。つまり、トランジスタ面積などの設計変数は各構成要素に結び付けられる。これらは、ある特定の望まれる回路の挙動を達成するために変更可能な変数である。これら変数は、回路の挙動に影響するものであればどのような変数でもよい。例としては、動作点ノード電圧、動作点ドレイン電流、バイアス電圧、バイアス電流、幾何学的構造のようなデバイスパラメータ（たとえば、ＭＯＳトランジスタの幅および長さ、バイポーラ接合トランジスタのベースエミッタ面積、受動素子の素子の値）または不整合パラメータ、技術的パラメータ（たとえば、ドーピングレベル、酸化ゲートの厚み）または環境的なパラメータ（たとえば、温度、放射レベル）などがある。ネットリスト４は、回路レベルのネットリストであればどのようなものでもよく、たとえば、パラメータ化されたＳＰＩＣＥネットリストまたは図１０に関して以下に説明される適用例で使用されるネットリストであってもよい。
【００７２】
第２の入力は、設計変数によって構成される多次元ベクトル入力空間の選ばれたハイパー体積３（たとえば、ハイパー立方体の部分空間）である。このハイパー体積３は、モデルの対象の面積を規定する。このハイパー体積３を超える外挿は大きな不正確性につながり得る。大きな体積を選択することは、詳細なモデルの正確さを低減することになり得る。たとえば、すべての設計変数に対して、下方境界および上方境界が指定される。このハイパー立方体の部分空間の説明の例は、図１０に関して説明される適用例に見られる。
【００７３】
出力は標準的なポジノミナルモデルのセットである。これらは設計変数で定式化された標準的な形のポジノミナル関数である。これら関数の関数値は、もともとの回路の挙動によって実現される性能値の近似である。この出力は、（モデルを理解しかつモデルの情報を使用して回路を設計できる）回路設計者に対する設計支援として使用可能である。出力は、数値的な最適化ループで使用して望まれる回路挙動を課す設計変数の値のセットを決定してもよい。モデルは標準的な形であるため、どのような幾何学的プログラミングソフトウェアプログラムでも変更なしに使用することができる（たとえば、［４］を参照）。
【００７４】
一般的に、モデルはさまざまな用途に使用することができる。
【００７５】
ａ）物理的なシステムの動作パラメータを変更するため。たとえば、方法のステップにおいて、たとえば、仕様内にシステムの性能を維持するために別の変数の変化に応じて温度を上げ下げする。したがって、この発明は、生成されたモデルの使用に基づくシステムの制御を含む。
【００７６】
ｂ）システムの構成要素の寸法または特性を変更するため。たとえば、トランジスタのサイズを変更し、この変更された構成要素を備えたシステムを実装して、たとえば、最適化された構成要素の特性を備えた関連する電子回路を生産する。
【００７７】
ｃ）システムの構成要素を追加または除去するため。
【００７８】
ｄ）トレードオフ、たとえば、トランジスタのサイズとコストの間でのトレードオフを行なうため。
【００７９】
ｅ）感度解析、たとえば、トランジスタのサイズに関する性能の感度はどのくらいかなどの感度解析を行なうため。
【００８０】
ｆ）構成要素を変更する、サイズ、重量、面積を低減するなどの他の方法でシステムを最適化するため。
【００８１】
ｇ）後続のまたは先行する従属プロセスを変更するため。たとえば、半導体処理において、第１のステップの実際の動作パラメータをこの発明によって生成されたこのプロセスのモデルに入力することによって、ドーピングステップが行われた後にエッチングステップを変更するため。後続のエッチングプロセスは、この発明によるそのプロセスのモデルまたは別のモデルを使用することによって、ドーピング中の動作条件の偏りにかかわらず計画された結果を提供するように適合される。
【００８２】
ｈ）システムに追加される構成要素を変更するため。たとえば、動作の一部の間にシステムに導入される原材料の量、温度、粒状化、酸度、湿度などを変更するため。
【００８３】
すべての入力および／または出力データならびにすべての中間の計算およびこの発明によって生成されたポジノミナルモデルの表現は、コンピュータのメモリ（たとえばこれらに限らないが、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＰＲＯＭ、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ）内で、磁気的（たとえばこれらに限らないが、ハードディスク、フロッピー（登録商標）ディスク、テープ）、または光学的（たとえばこれらに限らないが、ＣＤＲＯＭ、ＣＤＲ、ＣＤＲＷ、ＤＶＤ、ＤＶＤ−Ｒ、ＤＶＤ−ＲＡＭ／ＲＷ）もしくは磁気光学的（たとえばこれに限らないが、ＭＯ−ディスク）、紙（たとえば、書かれたまたは印刷された）などどのような記憶媒体上にあってもよい。
【００８４】
性能の計算
“実験の設計（Design of Experiments）”からの技術を使用して、たとえば、サンプル点｛Ｘ_k,s｜ｋ＝［１：ａ］｝の正規化されたリストが適合ハイパー立方体３内で選択される。すべてのサンプル点は単一の実験に対応する。性能の計算のステップは図３にさらに詳しく見られる。まず、正規化されたサンプリング点は、（式（７）または（８）のような）マッピング定式の逆数を使用してステップ５で非正規化される。パラメータ化されたネットリスト６および性能の仕様７とともに、十分に指定されたＳＰＩＣＥネットリスト９がコンポーザ８に構成される。このネットリスト９（第１の入力）を数値的シミュレータ１０（たとえば、ＳＰＩＣＥおよびその市販されている派生物）に与え、数値的シミュレーションが行なわれ、数値的シミュレーションの結果を含む出力ファイル１１が得られる。これら結果は、たとえば、プレーンテキストファイルまたはバイナリファイルに組込むことができる。この結果ファイルから、モデル化される性能の値Ｐ_kがステップ１２で抽出される。結果は必要であればステップ１３でスケーリングされる。
【００８５】
この性能計算のステップは、すべての実験に対して実行される。これらすべての実験は、ネットワーク（たとえば、これらに限らないがＬＡＮ、ＷＡＮ）に装着されたコンピュータのネットワーク上でまたはパラレルプロセッサを使用して直列または並列でコンピュータ上で作動させることができる。
【００８６】
モデルの適合
ポジノミナルモデル適合エンジン２は、ポジノミナルテンプレートをこの数値性能データセットに適合する。この発明の２つの実施例はこのポジノミナルモデル適合問題を解く。数値データ準備技術、たとえば、係数スクリーニングおよび主要成分解析などは、望まれないかまたは不必要な次元数を低減するために、提案されるモデル化アプローチとともにモデル適合プロセスの前に使用可能である。
【００８７】
モデル品質評価
生成されたモデルの品質適合の品質を評価するため、適合の品質パラメータｑを使用することができる。この適合品質は、モデルが適切であるかまたは調節を必要とするかを判断するのに有用である。このパラメータの出発点は偏りの測定、たとえば、ａ個のサンプリング点での偏りの二乗平均である。次に、このパラメータはサンプリング点の性能範囲で除すことによって正規化される。
【００８８】
【数１２】

【００８９】
式（１４）において、性能範囲が０に近づくときにエラーの過大評価を避けるためにｃは定数である。
【００９０】
しかしながら、適合ハイパー立方体（サンプリング点には一致しない）内にある検証点を使用することで、より現実的な品質検証の判断基準が得られる。
【００９１】
次のように定義される３つの相対的な品質の数値を使用することができる。
【００９２】
・ｑ_oc：中心点における相対的なモデルの偏り
・ｑ_tc：適合ハイパー立方体の内側にあるサンプリング点で評価される式（１４）の品質の数値
・ｑ_wc：モデルの一般化に使用されるもともとのサンプリング点で評価される式（１４）の品質の数値。
【００９３】
２２つのモデル生成技術
２．１．１間接適合法
この発明の間接適合の実施例は、シグノミナル適合問題は突き詰めると式（１２）のユークリッドノルムを使用するときに最小二乗の意味において線形の式の過剰決定されたセットを解くことであるという事実に基づく、［５］を参照。間接適合法の概要は図４に示される。任意で、データセット｛（Ｘ₁，ｐ_i,1），Ｘ₂，ｐ_i,2），...，（Ｘ_a，ｐ_i,a）｝は、ステップ１５において、Ｘ平面の原点について対称であるデータセットへとまず変形される。変数の変形は任意であり省略可能であるが、これによって多項式のパラメータ回帰が数値の視点からより安定したものになる。その後、ｎ階数の多項式、たとえば２階数の多項式は、サンプリング点でのエラーを最小化するなどのために（変形１５が行なわれるか行なわれないかに応じて）ステップ１６または１７で適合される。当業者は、適合を最適化する方法が多くあり、最小二乗エラー方法はその１つにすぎないことを知っている。これは標準の線形代数、たとえば、ＬＵ分解またはよりよいＱＲ因数分解、［５］を参照、を使用して行なうことができる。変形１５が行われたとき、ステップ１８の逆の変形が行なわれる。結果的なｎ階数、たとえば２階数の多項式は、ステップ１９でポジノミナル式によって近似され、結果的なモデルが生成される。ポジノミナル近似のステップの本質は、適合ハイパー立方体の中心での（公称のおよび第１の派生的な）エラーを最小化することである。
【００９４】
このようにして、次の形
【００９５】
【数１３】

【００９６】
のポジノミナルモデルを生成することが可能であり、ｎは設計パラメータの数であり、ｘ_i,k,j,lは正である。
【００９７】
２階数の多項式モデルがどのように近似のポジノミナルモデルに変換されるかを説明する。次の一般的なｎ次元の２階数の多項式モデルを考える。
【００９８】
【数１４】

【００９９】
正の係数ｃ_i、ｃ_i,i、ｃ_ijを有する項は単項式の項である。負の係数を有する項は、次のように中心点Ｘ^*＝（ｘ₁ ^*，ｘ₂ ^*，...，ｘ_n ^*）^Tについてポジノミナル近似によって近似される。
【０１００】
・負の線形の項：ｃ_i＜０
【０１０１】
【数１５】

【０１０２】
ｄ_iおよびｂ_iは、関数値および第１の導関数が維持されるように選ばれる。すなわち
【０１０３】
【数１６】

【０１０４】
・負の相互作用の項：ｃ_ij＜０
【０１０５】
【数１７】

【０１０６】
ｄ_ijおよびｂ_ijは、関数値および第１の導関数が維持されるように選ばれる。すなわち
【０１０７】
【数１８】

【０１０８】
・負の二次項：ｃ_i,i＜０
【０１０９】
【数１９】

【０１１０】
ｄ_i,iおよびｂ_i,iは、関数値および第１の導関数が維持されるように選ばれる。すなわち
【０１１１】
【数２０】

【０１１２】
図５はこれら近似を示す。これら近似は中心点Ｘ^*での良好な適合を支持するモデルを作ることは明らかである。繰返される回路のサイジング中に、この中心点は移動し、そのような条件下でモデルは適合するように更新される、［２］、［６］を参照。
【０１１３】
上述の近似を逆の順序で適用することでシグノミナル項はモデルから取除かれる。ただし、負になる可能性が最も高い定数項は除く。このことは何ら問題にならない。なぜなら、幾何学的プログラムに現れる場合、この定数項は排除することができ、プログラムの幾何学的な性質は保持されるためである。
【０１１４】
第１の実施例の例示的な例
２つの入力ｘ₁ならびにｘ₂および１つの出力ｙを備え、入出力の関係がｙ＝ｈ（ｘ₁，ｘ₂）であり、
【０１１５】
【数２１】

【０１１６】
であるシステムを考える。
【０１１７】
この関係をグラフに示したものが図６に見られる。この関係は未知であるとするが、（ｘ₁，ｘ₂）＝（０．５，０．５）のまわりで興味深いとみなされる領域におけるいくつかの入力の組合せの影響下にある出力をシミュレーションまたは測定もしくは観察することは可能であるとする。これらシミュレーションまたは測定もしくは観察の結果は次のサンプルデータセットである。
【０１１８】
【表２】

【０１１９】
第１のステップは、変数の変形を適用して、このデータセットを原点に関して対称にすることである。
【０１２０】
【数２２】

【０１２１】
この結果は次のとおりである。
【０１２２】
【表３】

【０１２３】
２階数の多項式
【０１２４】
【数２３】

【０１２５】
を、標準の最小二乗パラメータ回帰を使用してこれら変形されたサンプルデータ点に適合すると次のようになる。
【０１２６】
【数２４】

【０１２７】
式（２４）を使用して、変数を再度変形して戻すと、
【０１２８】
【数２５】

【０１２９】
となり、
【０１３０】
【数２６】

【０１３１】
である。
【０１３２】
この多項式適合は、もともとの（未知の）入出力関係とともに図６に示される。
【０１３３】
多項式ｇ（ｘ₁，ｘ₂）はまだポジノミナルではない。なぜなら、ｃ₁，ｃ₂およびｃ_1,1は負であるからである。（ｘ１，ｘ２）＝（０．５，０．５）であることがわかっているので、式（２１）および（２２）を使用して近似することができ、
【０１３４】
【数２７】

【０１３５】
であり、式（１７）および（１８）をして近似することができる。
【０１３６】
【数２８】

【０１３７】
この結果はポジノミナルモデル
【０１３８】
【数２９】

【０１３９】
となり、
【０１４０】
【数３０】

【０１４１】
である。
【０１４２】
このポジノミナルモデルは、もともとの（未知の）入出力関係および多項式モデルとともに図６に示される。そのｑ_wcは８５％となる。
【０１４３】
２．１．２直接適合法
この発明による直接適合の実施例はポジノミナル適合問題を直接的に解く。ポジノミナル適合問題は単一の目的最適化問題
【０１４４】
【数３１】

【０１４５】
として書き直すことができ、ｘ_j, _ｔおよびｐ_i, _ｔは、それぞれｔ番目の実験でのｘ_jの値およびｐ_iの値である。目的関数（３４）は、凸型の条件セットに限定される正の半限定２階数多項式である。したがって最適化問題は凸型である。
【０１４６】
この発明による直接適合法のある実施例のアルゴリズムは図７に見られる。このアルゴリズムはモデルの定数項が係数ｃ₁を有すると仮定している。アルゴリズムの本質のため、疎なポジノミナルモデル、すなわち、係数の大半がゼロであるモデルとなる。直接適合技術は、任意の実数の指数を備えたポジノミナルモデルのモデル係数を適合することができる。
【０１４７】
第２の実施例の例示的な例
再び上述のセクションの例示的なシステム、すなわち、２つの入力ｘ₁ならびにｘ₂および１つの出力ｙを備え、（未知であると仮定される）入出力の関係がｙ＝ｈ（ｘ₁，ｘ₂）であり、
【０１４８】
【数３２】

【０１４９】
であるシステムを考える。
この関係をグラフで示したものが図８に見られる。上述の例示的なサンプルデータセット、すなわち、次のものを再使用する。
【０１５０】
【表４】

【０１５１】
目的は、次のようなポジノミナルテンプレートを適合することである。
【０１５２】
【数３３】

【０１５３】
図７の直接適合アルゴリズムの動作を説明するため、ステップごとにアルゴリズムを検討する。ステップの番号は以下の説明の行の終わりの近くに示される。簡略化のため、カウンタ初期化は省略する。
【０１５４】
｛１｝ Ψ（Ｃ）を構成することで開始する
｛２｝ Ψ_prev＝＋∞に設定し、Ｃに対する任意の開始点、たとえば、Ｃ＝（１，１，...，１）^Tを選ぶ。
【０１５５】
以下の一覧では、すべての列は、式（３６）の係数の順番にベクトル成分に対応する。
【０１５６】
【数３４】

【０１５７】
｛３｝外部ループに入る
｛３．１｝内部ループに入る
｛３．１．１｝Ｃが負の成分を含むまで、最小化ルーチン、たとえば、共役勾配効果、たとえば［７］のFletcher-Reevesアルゴリズムを使用して、Ψ（Ｃ）を最小化することで開始する。しかし、どのような共役勾配効果アルゴリズムを使用してもよい。この結果は次のようである。
【０１５８】
【数３５】

【０１５９】
｛３．１．３｝すべての負の成分（定数項を除く）はゼロに設定される。
【０１６０】
【数３６】

【０１６１】
であり、sigcounter＝２である。
【０１６２】
｛３．１．５｝ゼロに設定された負の成分は、それらの対応する勾配（Ｇ）成分が正である場合に固定される。さもなければそれらはリリースされる。
【０１６３】
【数３７】

【０１６４】
この場合、リリースは行なわれない（releasecounter＝０）。
【０１６５】
sigcounter≠０であるので、ループ３．１に再び入る。
【０１６６】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０１６７】
【数３８】

【０１６８】
｛３．１．３｝負の成分はゼロに設定される。
【０１６９】
【数３９】

【０１７０】
であり、sigcounter＝２である。
【０１７１】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０１７２】
【数４０】

【０１７３】
したがって、リリースは行なわれない（releasecounter＝０）。
【０１７４】
sigcounter≠０であるので、ループ３に再び入る。
【０１７５】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０１７６】
【数４１】

【０１７７】
｛３．１．３｝負の成分はゼロに設定される。
【０１７８】
【数４２】

【０１７９】
であり、sigcounter＝２である。
【０１８０】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０１８１】
【数４３】

【０１８２】
したがって、リリースは行なわれない（releasecounter＝０）。
【０１８３】
sigcounter≠０であるので、ループ３．１に再び入る。
【０１８４】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０１８５】
【数４４】

【０１８６】
｛３．１．３｝負の成分はゼロに設定される。
【０１８７】
【数４５】

【０１８８】
であり、sigcounter＝１である。
【０１８９】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０１９０】
【数４６】

【０１９１】
したがって、リリースは行なわれない（releasecounter＝０）。
【０１９２】
sigcounter≠０であるので、ループ３．１に再び入る。
【０１９３】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０１９４】
【数４７】

【０１９５】
｛３．１．３｝負の成分はゼロに設定される。
【０１９６】
【数４８】

【０１９７】
であり、sigcounter＝１である。
【０１９８】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０１９９】
【数４９】

【０２００】
したがって、リリースは行なわれない（releasecounter＝０）。
【０２０１】
sigcounter≠０であるので、ループ３．１に再び入る。
【０２０２】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２０３】
【数５０】

【０２０４】
｛３．１．３｝負の成分はないため、sigcounter＝０である。
【０２０５】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２０６】
【数５１】

【０２０７】
したがって、３つのリリースが行なわれ得るので、releasecounter＝３である。
【０２０８】
sigcounter≡０であるので、ループ３．１を停止する。
【０２０９】
｛３．２｝ releasecounter≠０であるので、ループ３を続ける。
【０２１０】
【数５２】

【０２１１】
｛３．４．２｝Ｃの４番目の成分は最大の軸方向の下降を提供し、リリースされる。ループ３．１に再び入る。
【０２１２】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２１３】
【数５３】

【０２１４】
｛３．１．３｝負の成分はないため、sigcounter＝０である。
【０２１５】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２１６】
【数５４】

【０２１７】
したがって、１つのリリースが行なわれ得るため、releasecounter＝１である。
【０２１８】
sigcounter≡０であるので、ループ３．１を停止する。
【０２１９】
｛３．２｝ releasecounter≠０であるので、ループ３を続ける。
【０２２０】
【数５５】

【０２２１】
｛３．４．２｝Ｃの５番目の成分（リリースされ得る唯一のものである）は最大の軸方向の下降を提供し、リリースされる。
【０２２２】
ループ３．１に再び入る。
【０２２３】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２２４】
【数５６】

【０２２５】
｛３．１．３｝負の成分はないため、sigcounter＝０である。
【０２２６】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２２７】
【数５７】

【０２２８】
したがって、２つのリリースが行なわれ得るため、releasecounter＝２である。
【０２２９】
sigcounter≡０であるので、ループ３．１を停止する。
【０２３０】
｛３．２｝ releasecounter≠０であるので、ループ３を続ける。
【０２３１】
【数５８】

【０２３２】
｛３．４．２｝Ｃの６番目の成分は最大の軸方向の下降を提供し、リリースされる。ループ３．１に再び入る。
【０２３３】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２３４】
【数５９】

【０２３５】
｛３．１．３｝負の成分はないため、sigcounter＝０である。
【０２３６】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２３７】
【数６０】

【０２３８】
したがって、１つのリリースのみが行なわれ得るため、releasecounter＝１である。
【０２３９】
sigcounter≡０であるので、ループ３．１を停止する。
【０２４０】
｛３．２｝ releasecounter≠０であるので、ループ３を続ける。
【０２４１】
【数６１】

【０２４２】
｛３．４．２｝Ｃの３番目の成分は最大の軸方向の下降を提供し、リリースされる。
【０２４３】
ループ３．１に再び入る。
【０２４４】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２４５】
【数６２】

【０２４６】
｛３．１．３｝負の成分はゼロに設定される。
【０２４７】
【数６３】

【０２４８】
であり、sigcounter＝１である。
【０２４９】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２５０】
【数６４】

【０２５１】
したがって、リリースは行なわれない（releasecounter＝０）。
【０２５２】
sigcounter≠０であるので、ループ３．１に再び入る。
【０２５３】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２５４】
【数６５】

【０２５５】
｛３．１．３｝負の成分はゼロに設定される。
【０２５６】
【数６６】

【０２５７】
であり、sigcounter＝１である。
【０２５８】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２５９】
【数６７】

【０２６０】
したがって、リリースは行なわれず、releasecounter＝０である。
【０２６１】
sigcounter≠０であるので、ループ３．１に再び入る。
【０２６２】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２６３】
【数６８】

【０２６４】
｛３．１．３｝負の成分はゼロに設定される。
【０２６５】
【数６９】

【０２６６】
であり、sigcounter＝１である。
【０２６７】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２６８】
【数７０】

【０２６９】
したがって、リリースは行なわれず、releasecounter＝０である。
【０２７０】
sigcounter≠０であるので、ループ３．１に再び入る。
【０２７１】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２７２】
【数７１】

【０２７３】
｛３．１．３｝負の成分はないため、sigcounter＝０である。
【０２７４】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２７５】
【数７２】

【０２７６】
したがって、２つのリリースが行なわれ得るので、releasecounter＝２である。
【０２７７】
sigcounter≡０であるので、ループ３．１を停止する。
【０２７８】
｛３．２｝ releasecounter≠０であるのでループ３を続ける。
【０２７９】
【数７３】

【０２８０】
｛３．４．２｝Ｃの４番目の成分は最大の軸方向の下降を提供し、リリースされる。
【０２８１】
ループ３．１に再び入る。
【０２８２】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２８３】
【数７４】

【０２８４】
｛３．１．３｝負の成分はないため、sigcounter＝０である。
【０２８５】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２８６】
【数７５】

【０２８７】
したがって、１つのリリースが行なわれ得るので、releasecounter＝１である。
【０２８８】
sigcounter≡０であるので、ループ３．１を停止する。
【０２８９】
｛３．２｝ releasecounter≠０であるので、ループ３を続ける。
【０２９０】
【数７６】

【０２９１】
｛３．４．２｝Ｃの４番目の成分は最大の軸方向の下降を提供し、リリースされる。
【０２９２】
ループ３．１に再び入る。
【０２９３】
｛３．１．１｝Ｃの固定されない成分のみを考慮して、Ψ（Ｃ）を最小化する。結果は次のようである。
【０２９４】
【数７７】

【０２９５】
｛３．１．３｝負の成分はないため、sigcounter＝０である。
【０２９６】
｛３．１．５｝勾配を計算すると次のようになる。
【０２９７】
【数７８】

【０２９８】
したがって、リリースは行なわれ得ず、releasecounter＝０である。
【０２９９】
sigcounter≡０であるので、ループ３．１を停止する。
【０３００】
｛３．２｝ releasecounter≡０であるので、ループを停止する。
【０３０１】
これでアルゴリズムは終わりである。
【０３０２】
結果的なポジノミナルモデルは
【０３０３】
【数７９】

【０３０４】
であり、
【０３０５】
【数８０】

【０３０６】
である。
【０３０７】
そのｑ_wcは１３．３％になる。
【０３０８】
３生成されたモデルの使用
この発明に従って生成されたモデルは多くの目的に使用することができる。たとえば、以下にいくつかの例を挙げる。
【０３０９】
１．鍵となる設計変数、および設計者が分析しなければならない回路の性能に対するそれらの影響を理解する上で設計者を支援する設計支援として使用することができる。
【０３１０】
２．ポジノミナル性能モデルを使用するマクロモデルを使用したシミュレーションを高速化するために使用することができる。
【０３１１】
３．ユーザの指定したすべての条件を満たしかつ特定の目的に向けて最適化される設計変数の最適なセットを見つけるために、幾何学的プログラムの一部として使用することができる。
【０３１２】
用途１を図１１から１４を参照して以下に例示する。
【０３１３】
挙動モデルの一部としてのポジノミナル性能モデルの使用は、一般的に知られているモデル（たとえば、シグノミナルモデル）を使用するのと同じぐらい有利である。したがって、この点に関してさらに論じる必要はない。
【０３１４】
生成されたモデルを幾何学的プログラムの一部として使用するには、さらにいくつかの操作が必要であり、これを説明する。
【０３１５】
この発明の技術を使用して、特に式（９）または（１０）などの性能スケーリング公式を使用して生成された性能モデルは、式（４）の標準的な幾何学的プログラミング定式化において目的関数ｆ₀（Ｘ）または制約関数ｆ_i（Ｘ）として直接的に現れ得る。適合テンプレートが単合式テンプレートに制限される場合、性能モデルは等式条件ｇ_j（Ｘ）として使用可能である。問題が２つだけ起こり得るが、それらは次のとおりである。
【０３１６】
１．目的関数は２つ以上の性能パラメータの線形の組合せである必要がある。各パラメータを個々に適合する代わりに性能値の線形の組合せを適合することで、これを容易に解決することができる。さらに、線形の組合せの重みが正である場合、個々のモデルは結果的な目的関数のポジノミナル性を損なうことなく線形で組合わせることができる。
【０３１７】
２．生成されたモデルの定数項（ｃ₁）は負であり得る（ポジノミナルであるという条件に反する。この負荷は、さらに手直しすることによって容易に克服することができる。
【０３１８】
【数８１】

【０３１９】
を考える。
【０３２０】
このモデルが目的関数として作用する場合、条件はさらなる最適化とは関係ないため、ゼロに設定され、結局、モデルはポジノミナルになる。このモデルが不等式条件として作用する場合、それは次のように（４）の幾何学的プログラミング定式の中に現われる。
【０３２１】
【数８２】

【０３２２】
これは
【０３２３】
【数８３】

【０３２４】
に等しく、これは式（４）の要件を再び満たし、不等式の左手側がポジノミナルであるとことが保証されることがわかる。
【０３２５】
一般に最適化ソフトウェアは標準的な最適化問題を扱うように書かれているため（たとえば、［４］を参照）、モデルは、さらに手直しすることなく最適化器に対する入力として使用可能な状態である。
【０３２６】
３．１第２の実施例のさらなる例
３．１．１テストセットアップ
テスト事例として、ＢＳＩＭ３ｖ３ＭＯＳトランジスタモデル［８］を使用してモデル化された（現在はAMI Semiconductorの一部であるAlcatel Microelectronicsからの）０．７μｍＣＭＯＳ技術の高速ＣＭＯＳＯＴＡ（図９を参照）を使用する。供給電圧は５Ｖである。この技術の公称のしきい値電圧は、ＮＭＯＳ素子に対しては０．７６Ｖであり、ＰＭＯＳ素子に対しては−０．７５Ｖである。回路は１０ｐＦのロードキャパシタンスを駆動しなければならない。ＯＴＡのネットリストは図１０に見られる。
【０３２７】
目的は、システムパラメータ、たとえば、低周波数利得（Ａ_ｖ _,LF）、単位周波数（ｆ_u）、位相マージン（ＰＭ）、入力参照オフセット（ｖ_offset）および正ならびに負のスリューレート（ＳＲ_p，ＳＲ_n）に対する式を導いて、幾何学的プログラミングに基づく自動サイジングアプローチでモデルを使用できるようにすることである。以下の仕様が目標である。
【０３２８】
【表５】

【０３２９】
幾何学的プログラミング定式化（その直接の形では最小化のみをサポートする）を満たすため、最大化される必要があるかまたは≧−条件（すなわち、−Ａ_ｖ _,LF，−ｆ_u，−ＰＭおよび−ＳＲ_p）に従う特性の逆数を適合する。すべての特性は式（９）に従って線形にスケーリングされるが、ｆ_uは式（１０）に従って対数的にスケーリングされる。
【０３３０】
１３の独立した設計変数を図９の高速ＯＴＡに対して選ぶことができる。変数の有界範囲ｖ_i∈［ｌｂ_i，ｕｂ_i］は、
【０３３１】
【数８４】

【０３３２】
を使用して、ｘ_i,s∈［０，１］へと対数的にマッピングされる。
【０３３３】
結果として、すべてのスケーリングされた変数は、（ポジノミナル定式化に必要とされるように）正である。表２は、選ばれた設計変数およびそれらの境界の概要である。
【０３３４】
【表６】

【０３３５】
特性の各々をモデル化するため、設計空間の中心点（ｘ_i＝０．５，ｉ＝［１：１３］）のまわりで２つの異なるサンプリングハイパー立方体の幅（ｄｘ＝０．１，ｄｘ＝０．０１）を使用して、ポジノミナル式を導く。
【０３３６】
実験は、２４３の実験［９］を含む強さ３の３レベルの直交するアレイを使用して設計された。他のサンプリング方法も使用可能である。性能データは、SUN（登録商標） Ultra Sparc I（SPECfp95は９）からHP B-1000（SPECfp95は４２）などの１６のＵＮＩＸ（登録商標）ワークステーション上で、それらのネイティブのＯＳを使用して生成された。各シミュレーションはどのコンピュータ上で作動してもよく、したがって、どのコンピュータ（またはコンピュータのクラスタ）を使用してこれら計算を行なってもよい。２４３のサンプリング点の完全なセットを入手するのに必要とされるシミュレーションには約３分かかった。使用されたシミュレータはBerkeley SPICE 3f４［10］であった。これらのシミュレーションには、ＳＰＩＣＥのようなシミュレータであればどのような市販されているシミュレータでも使用可能である。これらデータを使用して、性能特性（−Ａ_ｖ _,LF，−ｆ_u，−ＰＭ，ｖ_offset，−ＳＲ_p，ＳＲ_n）のセット全体を適合することができる。
【０３３７】
３．１．２結果的なモデルの品質
（式（１４）およびｃ＝０を使用して得られた）結果的なモデルの品質は、表３で評価することができる。
【０３３８】
【表７】

【０３３９】
３．１．３結果的なモデルおよびさらなる使用
直接適合法の結果的なモデルおよびそれらが疎であることは、図１１ならびに図１２（ｄｘ＝０．１）および図１３ならびに図１４（ｄｘ＝０．０１）からわかる。これらの図では、下部の各行は設計変数ｘ_iに対応する。各列はモデルの１つの特定の項、ｘ_i，ｘ_j入力パラメータの組合せに対応する。下部のセル（欄）のハッチングは、モデルの変数の指数の値を示す（入力パラメータの範例も参照）。透明のセルは値がゼロの指数に対応し、すなわち、対応する設計変数が項の中に存在しない。上部のバーは各々係数の数値を示す。灰色のバーは正の係数に対応し、黒いバーは負の係数に対応する。係数の値は通常、尺度上では見えず、軸の下方の小さなバーによって示される。項の相対的な動的な範囲（すなわち、ある項の最大値と最小値の差、この差が最大である項に対して正規化される）は中間の棒グラフによって示される。これら棒グラフによって、モデルに現われる主流の設計パラメータを容易に見つけることができる。異なるモデルのグラフを完全に水平に整列することで、直交する項、すなわち、他の性能特性を損なうことなく１つの性能特性に大きく影響するのを可能にする項を見つけることができる。このようにして、性能特性間の相関関係を非常にすばやく見つけることができる。さらに、これらグラフを使用して、異なる性能パラメータを独立して調整する設計変数を識別することができる。
【０３４０】
実装
図１５は、この発明によるシステムおよび方法とともに使用可能なコンピュータシステムの概略図である。ビデオディスプレイ端子４４、キーボード４６などのデータ入力手段、およびマウス４８などのグラフィックユーザインターフェイス表示手段を含み得るコンピュータ６０が示される。コンピュータ６０は、ＵＮＩＸ（登録商標）ワークステーションなどの汎用コンピュータとして実現してもよい。
【０３４１】
コンピュータ６０は、従来のマイクロプロセッサなどの中央演算ユニット（ＣＰＵ）４５を含み、Intel Corp USAによって供給されるPentium（登録商標）IVプロセッサはその単なる例である。いくつかの他のユニットがシステムバス２２を介して相互に接続される。コンピュータ６０は少なくとも１つのメモリを含む。メモリは、ランダムアクセスメモリ（「ＲＡＭ」）、リードオンリメモリ（「ＲＯＭ」）、当業者に知られるハードディスクなどの不揮発性読取／書込メモリなどの当業者に知られるさまざまなデータ記憶装置のいずれかを含み得る。たとえば、コンピュータ６０は、ランダムアクセスメモリ（「ＲＡＭ」）２４、リードオンリメモリ（「ＲＯＭ」）２６、システムバスを任意のビデオディスプレイ端子４４に接続するための任意のディスプレイアダプタ２７、および周辺機器（たとえば、ディスクおよびテープドライバ２３）をシステムバス２２に接続するための任意の入出力（Ｉ／Ｏ）アダプタ２９を含んでもよい。ビデオディスプレイ端子４４は、コンピュータ６０の視覚的な出力であり、コンピュータハードウェアの分野でよく知られるＣＲＴに基づくのビデオディスプレイなどの好適なディスプレイ装置であればどのようなものでもよい。しかしながら、ポータブルコンピュータまたはノートブックコンピュータでは、ビデオディスプレイ端子４４はＬＣＤまたはガスプラズマに基づくフラットパネルディスプレイで置換えてもよい。コンピュータ６０は、キーボード４６、マウス４８、任意のスピーカ３６を接続し、外部システム２０のセンサ４０などの物理的な値の捕捉装置から任意の物理的な値の入力を可能にするためのユーザインターフェイスアダプタ４９をさらに含む。センサ４０はシステム２０の物理的なパラメータを捕捉するための好適なセンサであればどのようなものでもよい。これらセンサ４０は、システム２０の動作または設計を特徴づけるのに必要とされる関連する物理的な値、たとえば、温度、圧力、流体速度、電界、磁界、電流、電圧を捕捉するためのセンサを含み得る。たとえば、システム２０は、ＣＡＤ−ＣＡＭ技術を使用して電子回路が設計されるコンピュータに基づく電子回路設計環境であってもよい。またはこれに代えて、システム２０は化学企業の処理プラントであってもよい。付加的または代替の物理的なシステム２１の物理的なパラメータを捕捉するための付加的または代替のセンサ４１は、コンピュータ６０をインターネット、イントラネット、ローカルエリアネットワークまたはワイドエリアネットワーク（ＬＡＮもしくはＷＡＮ）またはＣＡＮなどのデータネットワークに接続する通信アダプタを介してバス２２に接続してもよい。このことによって、シミュレーションされる物理的なシステムの物理的な値または表現を通信ネットワーク上で伝送することが可能になる。たとえば、物理的なシステムの説明を近くの場所で入力し、たとえば、インターネットを介してそれを遠隔の場所に伝送し、そこでプロセッサがこの発明による方法を実行してその物理的なシステムに関係するパラメータを近くの場所に返すことが可能となる。
【０３４２】
「物理的な値の捕捉装置」または「センサ」という言葉は、モデル化される物理的なシステムのパラメータの値を提供する装置を含む。同様に、物理的な値の捕捉装置またはセンサは、進歩する物理的なシステムの詳細を伝送するための装置を含み得る。この発明は、キーボード４６を使用して、または２３などの記憶装置からの、コンピュータへの直接の物理的な値の入力をその範囲内に含む。
【０３４３】
システム２０および／または２１のパラメータ制御ユニット３７も通信アダプタ３８を介して接続してもよい。パラメータ制御ユニット３７は、この発明によるポジノミナル関数を使用してシステムをモデル化するためのコンピュータプログラムを作動させるコンピュータ６０からの出力値またはそのような出力の値から導かれるかそれを表わす値を受取ってもよく、コンピュータ６０からの出力の値の受取に応答して物理的なシステム２０および／またはシステム２１のパラメータを変更するように適合してもよい。たとえば、半導体装置の１つの素子の寸法は出力に基づいて変更してもよく、材料は、たとえばアルミニウムから銅へと変更してもよい。または材料は出力に基づいて修正してもよく、たとえば、半導体層のドーピングレベルが異なるようにしてもよい。
【０３４４】
コンピュータ６０は、コンピュータ６０の動作を指示するために機械の読取可能な媒体内にあるグラフィカルユーザインターフェイスを含む。好適な機械の読取可能な媒体であればどのような媒体でも、ランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）２４、リードオンリメモリ（ＲＯＭ）２６、磁気ディスク、磁気テープ、または光学ディスク（最後の３つはディスクおよびテープドライブ２３内にある）などのグラフィカルユーザインターフェイスを保持してよい。好適なオペレーティングシステムおよび関連するグラフィカルユーザインターフェイス（たとえば、MicrosoftのWindows（登録商標））がＣＰＵ４５に指示してもよい。さらに、コンピュータ６０はコンピュータメモリストレージ５２内にある制御プログラム５１を含む。制御プログラム５１は、ＣＰＵ上で実行されるとコンピュータ６０のオペレーティングシステムの基本的な動作を実行する命令を保持する。
【０３４５】
当業者には、図１５に示されるハードウェアは具体的な用途によって変わり得ることが理解されるであろう。たとえば、光学ディスク媒体、オーディオアダプタ、またはコンピュータハードウェアの分野でよく知られているＰＡＬまたはＥＰＲＯＭプログラミング装置などのチッププログラミング装置等のその他の周辺装置を、既に説明したハードウェアとともにまたはその代わりに使用してもよい。
【０３４６】
図１５に示される例では、この発明によるコンピュータプログラム製品はコンピュータストレージ５２内にあってもよい。しかしながら、この発明はこれまでも、これからもそうであるが、この発明のメカニズムはさまざまな形でプログラム製品として分散可能であり、かつ分散を実際に実行するのに使用される信号保持媒体の特定の種類にかかわらず等しく適用されることを当業者が理解することが重要である。コンピュータの読取可能な信号保持媒体の例は、フロッピー（登録商標）ディスクおよびＣＤＲＯＭなどの記録可能な種類の媒体およびデジタルならびにアナログ通信リンクなどの伝送の種類の媒体がある。
【０３４７】
この発明によるコンピュータプログラム製品は、上述のこの発明の方法のいずれかを実行するためのコードのセグメントを含む。上述の方法は、Ｃなどの好適な言語でプログラミングし、コンピュータ６０の関連するプロセッサに対してコンパイルしてもよい。
【０３４８】
図１５および上述の説明は、システムの性能をそのパラメータに結び付ける数値データに適合することでポジノミナルモデルを生成するためのメモリおよびプロセッサを有するコンピュータに基づくシステムを開示している。上述の説明は以下の実施例を開示する。
【０３４９】
１）１つまたは両方のシステム２０、２１がコンピュータシステムであり、たとえば、シミュレーション実験を実行してこの発明のポジノミナル適合法のための入力数値データを生成するために並列して使用可能ないくつかのコンピュータがコンピュータ６０上で作動する。
【０３５０】
２）システム２０、２１のうちの少なくとも１つは、この発明に従って生成されたポジノミナルモデルから導かれた出力を使用して適合または制御されるシステムであり、コンピュータ６０上で作動する。出力を導くのに幾何学的プログラミングを使用してもよい。システム２０および／またはシステム２１は物理的システムまたは非物理的なシステムであってもよい。
【０３５１】
３）システム２０、２１のうちの少なくとも１つが、半導体製品のための製造プロセスまたは電子回路もしくは銀行業務システムまたは財務システムなどの物理的な実体であり、システム２０および／または２１のうちの少なくとも１つの構成要素は、この発明に従って生成されたポジノミナルモデルから導かれた出力に応答して、修正、適合、最適化、追加または除去される、コンピュータ６０上で作動する。出力を導くのに幾何学的プログラミングを使用してもよい。
【０３５２】
４）コンピュータ６０および／またはシステム２０および／またはシステム２１は物理的な実体のための設計環境であり、設計はこの発明に従って生成されたポジノミナルモデルから導かれる出力に応答して修正される。
【図面の簡単な説明】
【０３５３】
【図１】Ｘによってパラメータ化され、励起Ｅおよび応答Ｙを備え、性能Ｐにつながる電子システムＳの図である。
【図２】この発明の実施例の概略的なブロック図である。
【図３】この発明の方法およびシステムへの入力として使用するためのシミュレーションに基づく性能計算の図である。
【図４】この発明のある実施例による間接適合法の概略的なフロー図である。
【図５】（ａ）負の線形項、（ｂ）負の二次項および（ｃ）負の相互作用項のポジノミナル近似法の図である。もともとの項は実線で示され、近似のポジノミナルは破線で示される。
【図６】この発明のある実施例による間接適合法の例示的な例のための入出力関係（ｈ（ｘ₁，ｘ₂））、適合された２階数のポジノミナル（ｇ（ｘ₁，ｘ₂））、およびポジノミナル（ｆ（ｘ₁，Ｘ₂））のグラフである。
【図７】この発明のある実施例による直接適合アルゴリズムの例である。
【図８】この発明のある実施例による直接適合法の例示的な例のための入出力関係（ｈ（ｘ₁，ｘ₂））、およびポジノミナル（ｆ（ｘ₁，Ｘ₂））のグラフである。
【図９】高速ＣＭＯＳＯＴＡの概略図である。
【図１０】性能データのシミュレーションのために使用可能なファイルのリスト：highspeed.dsc（例示的な動作トランスコンダクタンス増幅器のネットリスト）である。
【図１１Ａ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．１に対する直接適合法を使用して生成されたモデルのグラフである（Ａ_v,LF、図１１ａ、ｆ_u、図１１ｂ、ＰＭ、図１１ｃ）。
【図１１Ｂ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．１に対する直接適合法を使用して生成されたモデルのグラフである（Ａ_v,LF、図１１ａ、ｆ_u、図１１ｂ、ＰＭ、図１１ｃ）。
【図１１Ｃ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．１に対する直接適合法を使用して生成されたモデルのグラフである（Ａ_v,LF、図１１ａ、ｆ_u、図１１ｂ、ＰＭ、図１１ｃ）。
【図１２Ａ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．１に対する直接適合法を使用したさらなるモデルのグラフである（ｖ_offset、図１２ａ、ＳＲ_p、図１２ｂ、ＳＲ_n、図１２ｃ）。
【図１２Ｂ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．１に対する直接適合法を使用したさらなるモデルのグラフである（ｖ_offset、図１２ａ、ＳＲ_p、図１２ｂ、ＳＲ_n、図１２ｃ）。
【図１２Ｃ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．１に対する直接適合法を使用したさらなるモデルのグラフである（ｖ_offset、図１２ａ、ＳＲ_p、図１２ｂ、ＳＲ_n、図１２ｃ）。
【図１３Ａ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．０１に対する直接適合法を使用して生成されたさらに別のモデルのグラフである（Ａ_v,LF、図１３ａ、ｆ_u、図１３ｂ、ＰＭ、図１３ｃ）。
【図１３Ｂ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．０１に対する直接適合法を使用して生成されたさらに別のモデルのグラフである（Ａ_v,LF、図１３ａ、ｆ_u、図１３ｂ、ＰＭ、図１３ｃ）。
【図１３Ｃ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．０１に対する直接適合法を使用して生成されたさらに別のモデルのグラフである（Ａ_v,LF、図１３ａ、ｆ_u、図１３ｂ、ＰＭ、図１３ｃ）。
【図１４Ａ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．０１に対する直接適合法を使用したモデルのグラフである（ｖ_offset、図１４ａ、ＳＲ_p、図１４ｂ、ＳＲ_n、図１４ｃ）。
【図１４Ｂ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．０１に対する直接適合法を使用したモデルのグラフである（ｖ_offset、図１４ａ、ＳＲ_p、図１４ｂ、ＳＲ_n、図１４ｃ）。
【図１４Ｃ】この発明のある実施例によるｄｘ＝０．０１に対する直接適合法を使用したモデルのグラフである（ｖ_offset、図１４ａ、ＳＲ_p、図１４ｂ、ＳＲ_n、図１４ｃ）。
【図１５】この発明とともに使用可能なコンピュータシステムの概略図である。

Claims

システムの性能特性に対するポジノミナルモデルを、これら性能特性の数値データに基づいて、前記ポジノミナルモデルを前記数値データに間接的または直接的に適合するステップによって生成するためのコンピュータに基づく方法。
前記適合するステップは、シグノミナルモデルを前記数値データに適合し、続いてポジノミナルモデルに自動的に再投入するステップを含む、請求項１に記載の方法。
前記シグノミナルモデルは、ｎ階数の多項式である、請求項２に記載の方法。
適合するステップはポジノミナルテンプレートを前記数値データに直接的に適合するステップを含み、前記ポジノミナルテンプレートは任意の実数の対数を含む、請求項１に記載の方法。
ポジノミナルは少なくとも２つの単項式の線形の合計である、請求項１から４のいずれかに記載の方法。
前記数値データは測定および／またはシミュレーションおよび／または観察によって入手される、請求項１から５のいずれかに記載の方法。
前記システムは物理的なシステムである、請求項１から６のいずれかに記載の方法。
前記システムは電子回路または半導体装置もしくはマイクロ電気機械システム（ＭＥＭＳ）である、請求項７に記載の方法。
前記システムは線形または非線形の性能特性を示す、請求項１から８のいずれかに記載の方法。
前記ポジノミナルモデルは仕様に依存しないモデルである、請求項１から９のいずれかに記載の方法。
前記ポジノミナルモデルは疎なモデルである、請求項１から１０のいずれかに記載の方法。
記憶装置内にありかつ請求項１から１１の方法のいずれかによって入手されるモデル。
請求項１から１１の方法のいずれかによって入手されるポジノミナルモデルに基づいて電子回路、半導体装置またはマイクロ電気機械システム（ＭＥＭＳ）をサイジングまたは最適化するための方法。
前記ポジノミナルモデルは前記サイジングまたは最適化の繰返し中に適合するように更新される、請求項１３に記載の方法。
ポジノミナルモデルは、前記システムを分析的に解析することなく、および／または結果的な解析的な式をポジノミナル形式に投入することなく、および／またはそれらをポジノミナル形式で近似することなく、または簡略化した式を演繹的に生成することなく入手される、請求項１から１１のいずれかに記載の方法。
ポジノミナル性能パラメータモデルの生成は、数値的なＳＰＩＣＥ様のシミュレーションに基づく、請求項１５に記載の方法。
請求項１３から１６のいずれかの方法によって入手される電子回路、半導体装置またはマイクロ電気機械システム。
システムの性能特性に対するポジノミナルモデルを、これら性能特性の数値データに基づいて生成するためのメモリおよびプロセッサを含むコンピュータシステムであって、前記ポジノミナルモデルを前記数値データに間接的または直接的に適合するための手段を含む、コンピュータシステム。
前記適合するための手段は、シグノミナルモデルを前記数値データに適合し、続いてポジノミナルモデルに自動的に再投入するための手段を含む、請求項１８に記載のコンピュータシステム。
前記適合するための手段は、ポジノミナルテンプレートを前記数値データに直接的に適合するための手段を含み、前記ポジノミナルテンプレートは任意の実数の指数を含む、請求項１８に記載のコンピュータシステム。
ポジノミナルは少なくとも２つの単項式の線形の合計である、請求項１８から２０のいずれかに記載のコンピュータシステム。
測定および／またはシミュレーションおよび／または観察によって入手された前記数値データを入力するための入力手段をさらに含む、請求項１８から２１のいずれかに記載のコンピュータシステム。
幾何学的プログラミング手段をさらに含む、請求項１８から２２のいずれかに記載のコンピュータシステム。
メモリおよびプロセッサを有するコンピュータシステム上で実行されるときにシステムの性能特性に対するポジノミナルモデルをこれら性能特性の数値データに基づいて生成するコンピュータプログラムプロダクトであって、前記ポジノミナルモデルを前記数値データに間接的または直接的に適合するための手段を含む、コンピュータプログラムプロダクト。
そのコードが前記コンピュータシステム上で実行されるときにシグノミナルモデルを前記数値データに適合し、続いてポジノミナルモデルに自動的に再投入するための手段を実行するためのコードをさらに含む、請求項２４に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
そのコードが前記コンピュータ上で実行されるときにポジノミナルテンプレートを前記数値データに直接的に適合するための手段を実行するためのコードをさらに含み、前記ポジノミナルテンプレートは任意の実数の指数を含む、請求項２４に記載のコンピュータプログラムプロダクト。
ポジノミナルは少なくとも２つの単項式の線形の合計である、請求項２４から２６のいずれかに記載のコンピュータプログラムプロダクト。
そのコードがコンピュータシステム上で実行されるときに幾何学的プログラムを実行するためのコードをさらに含む、請求項２４から２７のいずれかに記載のコンピュータプログラムプロダクト。
請求項２４から２７のいずれかに記載のコンピュータプログラムプロダクトを記憶するデータキャリア。
第１のシステムのモデル化のための方法であって、前記第１のシステムの説明を近くの場所から、処理エンジンが請求項１から１１のいずれかによる方法を実行する遠隔の場所へと伝送するステップと、
近くの場所で前記モデルの表現を受取るステップとを含む、方法。
第１のシステムのモデル化のための方法であって、前記第１のシステムの説明を近くの場所から、処理エンジンが請求項１から１１のいずれかによる方法を実行する遠隔の場所へと伝送するステップと、
前記第１のシステムに関連する少なくとも１つのパラメータに関連する値を近くの場所で受取るステップとを含む、方法。
第１のシステムのモデル化のための方法であって、前記システムの説明を近くの場所から、処理エンジンが請求項１から１１のいずれかによる方法を実行する遠隔の場所へと伝送するステップと、
前記第１のシステムに依存する第２のシステムに関連する少なくとも１つのパラメータに関連する値を近くの場所で受取るステップとを含む、方法。
前記第１のシステムは物理的なシステムであり、前記パラメータは物理的なパラメータである、請求項３０または３１に記載の方法。
前記第２のシステムは物理的なシステムであり、前記パラメータは物理的なパラメータである、請求項３２または３３に記載の方法。