JP2001298387A - ユニタリ時空信号コンステレーションを用いた無線通信の方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 高データレートおよび低エラー確率の理論的
な利益をさらに十分に成し遂げる時空信号コンステレー
ションの設計に対する、原則にもとづいたアプローチを
提供すること。 【解決手段】 本発明は、送信される各信号がユニタリ
時空信号のコンステレーションから選択される、２つま
たはそれ以上のアンテナのアレイからの信号の無線信号
送信のための方法を提供するものである。各ユニタリ時
空信号は、各列がそれぞれのアンテナを示し、各行がそ
れぞれの時間間隔を示し、各要素が所定の時間間隔にお
いて所定のアンテナによって送信される複素振幅を示す
ユニタリ行列である。本発明の特定の実施形態では、信
号コンステレーションの行列は、正のダイバーシチ積を
有する非アーベル群、またはそのような群の余剰類を形
成する。他の実施形態では、信号コンステレーション
は、このような群の部分集合であり、その乗算閉包は、
正のダイバーシチ積を有する有限の非アーベル群を形成
する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【関連出願の相互参照】本願は、２０００年３月９日に
提出された仮出願第６０／１８８１３７号の優先権を主
張する。

【０００２】

【発明の属する技術分野】本発明は、無線通信のための
変調方式に関する。特に、本発明は、無線信号のユニタ
リ時空変調に用いられる信号布置（信号コンステレーシ
ョン）の構築に関する。

【０００３】

【従来の技術】無線通信信号が送信アンテナと受信アン
テナとの間を通過しているとき、これらの信号は、一般
に、破壊的な干渉および経時的に変化するその他の物理
的な効果を受ける。この結果、受信信号は、減衰および
位相遅延（これらも経時的に変化する）を伴って到達さ
れる。この効果をフェージングと呼ぶ。例えば、十分に
狭い帯域幅に限定した場合、受信信号の減衰および位相
遅延は、多くの場合フェージング係数と呼ばれる複素数
値係数ｈによって記述され得る。

【０００４】無線通信の分野における実施者は、送信、
受信、または送受信のための多重アンテナを用いること
によって、フェージングの望ましくない結果のうちのい
くつかを緩和することができ、他の特定の利益を成し遂
げることが可能であることを認識している。例えば、多
重アンテナの使用によって、代替の送信路を与えること
ができ、これらの送信路のいくつかは、所定の時間に、
他の送信路よりもフェージングを受けにくくされ得る。
多重アンテナを用いることによってまた、冗長信号を送
信するためのメカニズムが提供され、深刻なフェージン
グに直面したときでも、受信側では信号をよりよく理解
できる。冗長性が主な目的でない場合でも、多重アンテ
ナの使用によって、受信側で分離され得る多数の独立し
た信号を同時に送信することによって、所定の周波数チ
ャネルにおける送信レート全体を増加させるためのメカ
ニズムが提供され得る。

【０００５】図１は、２つの送信アンテナ１０、１５お
よび３つの受信アンテナ２０、２５、３０を有する無線
通信システムの簡略化された概略図である。ブロック４
０で示されるように、ブロック３５で生成されるベース
バンドレベルの信号は、搬送波に変調され、搬送波は、
発振器５０で生成されるものとして図面に記号によって
示される。

【０００６】受信アンテナのそれぞれが送信を例えばア
ンテナ１０から受信することが図面から理解される。受
信アンテナ間に十分な空間分離（例示的に空間的な分
離）が存在する場合、送信信号は、受信されるときに別
個のフェージング効果を受ける。（この点で、フェージ
ング効果のダイバーシチは、少なくとも場合によって
は、アンテナが空間内で実質的に分離されていない場合
でも、入力信号の多様な分極を選択的に受ける受信アン
テナを用いることによっても成し遂げられ得ることに留
意されたい。）別個のフェージング係数ｈ_mnは、物理的
伝播チャネルにおいて、各送信アンテナｍと各受信アン
テナｎとの間のフェージング効果の原因となる。図面に
示すように、アンテナ１０についてはｍ＝１であり、ア
ンテナ１５についてはｍ＝２である。同様に、アンテナ
２０についてはｎ＝１であり、アンテナ２５については
ｎ＝２であり、アンテナ３０についてはｎ＝３である。
６つのフェージング係数ｈ_mnのすべては、図面のブロッ
ク５５に示される行列Ｈに配置されている。

【０００７】所定の時間間隔において、各受信アンテナ
が、それぞれの送信アンテナからの送信の重み付け合計
である総信号を受信することは上記より明らかである。
この合計の重み係数がフェージング係数である。受信信
号はまた、通常、付加ノイズ（図示せず）によってその
波形がくずされる。受信アンテナのそれぞれは、通常、
送信信号の異なる重み付け合計を受信するので、特定の
条件下では、復調された受信信号の適切に重み付けされ
た組み合わせをとることによって送信されたベースバン
ドレベル信号を回復することは理論的に可能である。こ
のような回復のために必要な１つの条件としては、送信
アンテナと少なくとも同数の受信アンテナが必要である
ことが挙げられる。他の条件としては、付加ノイズが信
号強度に対して過剰であってなならないことが挙げられ
る。（この点で、信号回復の実用的な方法は、多くの場
合、以下に記載する最尤検出などの間接的な方法を暗示
することに留意されたい。）

【０００８】再び図１を参照する。受信信号の復調は、
ブロック６０から７０で示される。信号回復は、ブロッ
ク７５で示される。回復信号は、ブロック８０で示され
る。

【０００９】時空信号と呼ばれる新しい種類の送信信号
は、フェージング性能および送信レートにおいて改善の
可能性を提供することが示されている。時空変調では、
送信される各信号は、所定の信号行列の有限集合または
コンステレーションから選択される。従って、このよう
な行列の合計がＬである場合、送信される個々の各行列
は、情報のｌｏｇ₂Ｌビットを搬送する。有利なこと
に、信号行列はユニタリである。ユニタリ行列では、列
または行（どちらか長い方）は、互いに直交し、単位標
準を有する。ユニタリ行列の個々の要素は、複素数（即
ち、実、虚、または実成分および虚成分の合計である
数）である。ユニタリ行列が用いられる場合、変調方法
をユニタリ時空変調（ＵＳＴＭ）と呼ぶ。

【００１０】以下、時空行列を送信する方法について、
図１を参照しながら説明する。２×２時空信号行列は、
ブロック３５において、行列

【外５】 として示される。この行列の各要素は、複素数である。
このような要素は、例えば、搬送波を、送信時間間隔の
長さに対して適切な幅を有する対応の複素振幅の適切な
パルス整形にかけることによって、搬送波に変調され
る。このような各送信時間間隔をチャネル利用と呼ぶ。
第１のチャネル利用では、要素ｓ₁₁は、アンテナ１０に
よって送信され、要素ｓ₁₂は、アンテナ１５によって送
信される。第２のチャネル利用ででは、要素ｓ₂₁は、ア
ンテナ１０によって送信され、要素ｓ ₂₂は、アンテナ１
５によって送信される。さらに一般的には、時空マトリ
クスの各行は、それぞれのチャネル利用に対応し、各列
は、それぞれの送信アンテナに対応する。従って、行ｐ
および列ｑのエントリは、ｑ番目のアンテナによってｐ
番目のチャネル利用の間に送信される複素振幅である。
チャネル利用の長さは、一般に、フェージング間隔（即
ちフェージング係数が一定であると推定され得る時間の
長さ）ほど長くないように選択される。

【００１１】受信側では、送信信号行列は、図１のブロ
ック８０において示されるように、行列

【外６】 として回復される。受信行列に基づいて、送信信号行列
の推定を回復するための方法としては様々なものがあ
る。最尤（ＭＬ）検出と呼ばれるこのような１つの方法
によると、尤度スコアは、送信されたであろう各候補信
号行列に対して計算され、尤度スコアを最大にする候補
は送信行列として識別される。通常、尤度スコアは、候
補行列が送信された場合に受信される生のベースバンド
信号振幅の確率である。

【００１２】各信号行列が信号コンステレーションから
得られた行列として送信される場合、ＭＬ検出器には、
通常、フェージング係数の値が提供されなければならな
い。このような値は、例えば、適切なパイロット信号を
用いて測定され得る。しかし、未知チャネル技術と呼ば
れる他の送信技術がある。この技術は、実質的に、送信
アンテナの数と少なくとも同数、通常、送信アンテナの
数の少なくとも２倍のチャネル利用にわたってフェージ
ング係数が変化しない場合には、（ほぼ正確な）フェー
ジング係数を知るためにＭＬ検出器を必要としない。未
知チャネル技術の１つのクラスを差分変調と呼ぶ。差分
変調の例を、以下にさらに詳細に記載する。簡単に述べ
ると、送信される各信号は、以前に送信された信号と、
信号コンステレーションから選択される新しい信号行列
との積である。この場合、適切に適応されたＭＬ検出器
は、各信号とその前の信号との間のフェージング効果の
共通点を利用し、フェージング効果に関する明白な知識
がなくても信号回復を行い得る。

【００１３】既知のチャネルにわたる送信についての、
トレリス符号に基づいた時空信号の比較的初期の研究の
１つは、Ｖ．Ｔａｒｏｋｈら、「Ｓｐａｃｅ−ｔｉｍｅ
ｃｏｄｅｓ ｆｏｒ ｈｉｇｈ ｄａｔａ ｒａｔｅ
ｗｉｒｅｌｅｓｓ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ：Ｐ
ｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ａｎｄｃ
ｏｄｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ」、ＩＥＥＥ Ｔｒ
ａｎｓ．Ｉｎｆｏ．Ｔｈｅｏｒｙ ４４（１９９８）７
４４〜７６５に記載されている。

【００１４】既知および未知のチャネルに共に適用可能
なユニタリ時空変調は、例えば、Ｂ．Ｍ.Ｈｏｃｈｗａ
ｌｄらによって１９９８年８月１４日付けで提出され
た、「Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ａｎｔｅｎｎａ Ａｒｒａｙ
ｓ、Ｈａｖｉｎｇ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｒｅｓｉｓｔａ
ｎｃｅ ｔｏ Ｆａｄｉｎｇ」という名称の同時係属米
国特許出願第０９／１３４、２９７号、Ｂ．Ｈｏｃｈｗ
ａｌｄらによって１９９８年１２月７日付けで提出され
た、「Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ
Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ａｎｔｅｎｎａ Ａｒｒａｙｓ
Ｕｓｉｎｇ Ｕｎｉｔａｒｙ Ｓｐａｃｅ−Ｔｉｍｅ
Ｓｉｇｎａｌｓ」という名称の同時係属米国特許出願
第０９／２０６８４３号、およびＢ．Ｈａｓｓｉｂｉら
によって２０００年３月２１日付けで提出された、「Ｍ
ｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｃｏｍｍｕｎｉ
ｃａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ Ｕ
ｎｉｔａｒｙ Ｓｐａｃｅ−Ｔｉｍｅ Ｓｉｇｎａｌ
Ｃｏｎｓｔｅｌｌａｔｉｏｎｓ」という名称の同時係属
米国特許出願第０９／５２８９７３号に記載されてい
る。これらの文献はすべて本願と同じ譲受人に譲渡され
ている。

【００１５】未知チャネル多重アンテナ通信を実用的に
するために、未知の連続して変化するレイリーフラット
フェージングチャネル用に設計された、差分ユニタリ時
空信号を用いる差分多重アンテナ変調方式が提案されて
いる。差分ユニタリ時空信号は、未知のチャネルにわた
って信号アンテナと共に一般に用いられる標準的な差分
位相シフトキーイング（ＤＰＳＫ）信号を多重アンテナ
一般化したものであるユニタリ行列値信号である。差分
ユニタリ時空変調方式は、例えば、Ｂ．Ｈｏｃｈｗａｌ
ｄらによって１９９９年７月１６日付けで提出され、本
願と同じ譲受人に譲渡された、「Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ
Ｗｉｒｅｌｅｓｓ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｃｏ
ｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｍｕｌｔｉｐｌ
ｅ Ｔｒａｎｓｍｉｔｔｅｒ Ａｎｔｅｎｎａｓ」とい
う名称の同時係属米国特許出願第０９／３５６３８７号
に記載されている。

【００１６】

【発明が解決しようとする課題】高データレートおよび
低エラー確率の理論的な利益をさらに十分に成し遂げる
時空信号コンステレーションの設計に対する、原則にも
とづいたアプローチが依然として必要とされている。

【００１７】

【課題を解決するための手段】発明者は、このようなア
プローチを見出した。本発明者の新しいアプローチによ
ると、ユニタリ時空行列の信号コンステレーションは、
行列乗算の演算下で群特性を有するように構築される。
集合Ｇは、乗算下で閉包され、結合法則を満足し、単位
元を有し、各要素に対して逆数を含む場合、二値乗算演
算下にある群である。

【００１８】上記のように、通信システムの受信側で検
出される行列は、フェージングおよび付加ノイズの効果
を受ける。この結果、所定の受信信号を特定の送信信号
に帰属させる場合に、受信機ではいくらかのエラーの可
能性がある。時空信号コンステレーションの１つの重要
な特徴は、信号行列の各対が、フェージングおよびノイ
ズが存在していても受信機によってあまり混同されない
ように互いに区別できるように異なっていることであ
る。

【００１９】発明者は、特定のタイプの群から得られる
信号コンステレーションが、比較的高いダイバーシチ積
（diversity product）を有することを見出した。ダイ
バーシチ積は、フェージングチャネルにわたる送信後に
信号がどのように区別されるかについての（以下にさら
に詳細に議論する）測定値である。従って、このような
信号コンステレーションは、特に、時空変調で用いるの
に有利である。

【００２０】１つの広い態様では、本発明は、送信され
る各信号がユニタリ時空信号のコンステレーションから
選択される信号の無線信号送信のための方法を含む。本
発明のいくつかの実施形態では、信号コンステレーショ
ンは群を形成する。他の実施形態では、信号コンステレ
ーションは、群のすべてのメンバーを含むわけではない
が、乗法閉包（multiplicative closure）と呼ばれる群
は、信号コンステレーションのメンバーのすべての可能
な積の集合によって形成される。さらに他の実施形態で
は、信号コンステレーションは、群または群の部分集合
の各メンバーを共通の要素（通常、ユニタリ行列）で乗
算することによって群または群の部分集合から得られ
る。得られるコンステレーションは、群または群の部分
集合の剰余類と呼ばれる。さらに他の実施形態では、信
号コンステレーションは、群もしくは群の部分集合に属
さないまたは群もしくは群の部分集合から得られない１
つまたはそれ以上の他の要素を加えることによって形成
される、上記のタイプの任意のコンステレーションの拡
大（extension）である。

【００２１】重要なことに、これらの各場合における群
は、正のダイバーシチ積を有する行列の非アーベル群で
ある。群は、少なくとも２つの要素ＡおよびＢ（ＡＢ≠
ＢＡ）を含む場合に、非アーベル群となる。

【００２２】他の態様では、本発明は、群自体ではない
が、群に基づいたコンステレーションを構築するための
本発明の規則の拡大および一般化に従って構築される集
合に関連する信号コンステレーションを含む。

【００２３】

【発明の実施の形態】ユニタリ時空コンステレーション
についての設計上の問題は以下の通りである。Ｍを送信
アンテナの数とし、Ｒを所望の送信レート（ビット／チ
ャネル利用）とする。集合Ｖにおける任意の２つの異な
る要素ＡおよびＢについて、量｜ｄｅｔ（Ａ−Ｂ）｜が
できるだけ大きくなるように、Ｌ＝２^RMのユニタリＭ×
Ｍ行列の集合Ｖを構築する。すべての異なるＡ、Ｂ∈Ｖ
について｜ｄｅｔ（Ａ−Ｂ）｜＞０となる任意の集合Ｖ
は完全ダイバーシチ（full diversity）を有すると言え
る。

【００２４】設計上の問題は、適切な構造を先験的にコ
ンステレーション集合Ｖに課すことによって有利に簡略
化され得る。ここで、行列乗算に関する数学群を形成す
るユニタリ行列の集合Ｖに注目する。群構造を用いるこ
とによって特定の利点が得られる。まず第１の利点は、
理論的考慮に基づき、群構造を有するコンステレーショ
ンは、一般に、良好な潜在的性能を有すると期待される
ことである。

【００２５】第２の利点は実用的考慮に基づいている。
差分時空変調においては、Ｖにおける行列を乗算し、送
信信号行列を形成するため、Ｖが群である場合、すべて
の送信信号行列は常にＶの要素である。従って、明示的
な行列乗算は、より簡単な群テーブルルックアップに置
き換えられる。

【００２６】良好な信号の集合として現れる群のいくつ
かは、むしろ驚くべきものである。例えば、発明者は、
Ｍが奇数である場合、単一クラスの可能な群のみが存在
することを見出した。Ｍ＝２またはＭ＝４である場合、
優れた実行者である信号集合のいくつかは、ＳＬ
₂（Ｆ₅）、即ち、加算および乗算の二値演算を有する、
フィールドＦ₅（即ち、５を法とする整数のフィール
ド）にわたる２つの次元における特別な線形群を伴う。
しかし、発明者はまた、完全ダイバーシチ非アーベル群
が必ずしもすべてのＭおよびＲについて存在しないこと
も見出した。

【００２７】レイリーフラットフェージングチャネル レイリーフラットフェージング環境内で動作するＭ送信
アンテナおよびＮ受信アンテナとの通信リンクについて
考えよう。ｎ番目の受信アンテナは、統計学的に独立し
た乗算複合ガウスフェージング係数ｈ_mnによってｍ番目
の送信アンテナ上で送信されるシンボルに応答する。ｎ
番目のアンテナにおける受信信号は、受信アンテナ間で
統計学的に独立し、１つのシンボルから次のシンボルへ
と独立した複合ガウス付加ノイズｗ_tnによって時間ｔで
波形がくずされる。時間は離散している（ｔ＝０、
１、．．．）ものとする。

【００２８】Ｍチャネル利用のブロックにおけるＭアン
テナにわたって送信されるシンボルをグループ分けする
ことは便利である。これらのブロックを指し示すために
τ＝０、１．．．を用いる。τ番目のブロック内で、ｔ
＝τＭ、．．．、τＭ＋Ｍ−１である。送信信号は、Ｍ
ｘＭ行列Ｓ_τとして記載され、そのｍ番目の列は、ｍ番
目のアンテナ上で送信されるシンボルを時間の関数とし
て含み、同様に、行は任意の所定の時間にＭアンテナ上
で送信されるシンボルを含む。行列は、各行の予想され
る平方ユークリッドノルムが１に等しくなるように正規
化される。従って、送信パワー全体は、アンテナの数に
依存しない。フェージング係数ｈ_mnは、これらのＭチャ
ネル利用にわたって一定であると想定される。

【００２９】同様に、受信信号は、ＭｘＮ行列Ｘ_τにお
いて編成される。Ｍシンボルのブロック内ではフェージ
ング係数は一定であると想定したため、チャネルの作用
は、以下の簡単な行列式によって与えられる。

【００３０】

【数１】 ここで、Ｈ_τ＝｛ｈ_mn｝およびＷ_τ＝｛ｗ_tn｝は、独立
したＣＮ（０、１）分布確率変数、即ち、ゼロ平均およ
び単位変数で複合正規分布した変数のＭ×Ｎ行列であ
る。パワー正規化のために、ρは、各受信アンテナにお
ける予想ＳＮＲである。

【００３１】既知チャネル変調 最初に、受信機がチャネルＨ_τを知っている場合の信号
符号化および復号化について議論する。送信されるデー
タをシーケンスｚ₀、ｚ₁、．．．（但し、ｚ_τ?
｛０、．．．、Ｌ−１｝）として想定する。次に、デー
タは単に、どの行列が送信されるかを示す。

【００３２】

【数２】

【００３３】各送信行列はチャネルのＭ時間サンプルを
占め、このことは、チャネル利用当たりＲビットのレー
トでの送信が、Ｌ＝２^RMユニタリ信号行列のコンステレ
ーションｖ＝｛Ｖ₁、．．．、Ｖ_L｝を必要とすることを
意味する。

【００３４】受信機はＨ_τを知っており、送信データの
最大尤度推定を以下のように計算する。

【００３５】

【数３】 ここで、行列ノルムはフロベニウスノルムである。

【００３６】

【数４】 コンステレーションＶの質は、Ｖの１つのシンボルを他
のシンボルと間違える際のエラーの確率によって決定さ
れる。既知のチャネル（Ｈの統計データにわたって平均
された）の場合に、Ｖ_lをＶ_{l ’}と間違える対ごとの確率
に関するチェルノフ（Chernoff）範囲は、以下のように
与えられる。

【００３７】

【数５】 ここで、σ_m（Ｖ₁−Ｖ_{l ’}）は、Ｍ×Ｍ行列Ｖ_l−Ｖ_{l ’}
のｍ番目の特異値である。

【００３８】差分ユニタリ時空変調 受信機がチャネルを知らない場合、多重アンテナ差分変
調を用いて通信することが可能である。多重アンテナ差
分変調は、標準的な単一アンテナ差分位相シフトキーイ
ングと形式的には類似する。標準的なＤＰＳＫでは、送
信シンボルは単位係数であり、前に送信されたシンボル
と現在のデータシンボルとの積である。データシンボル
は通常、複合単位円上のＬ個の均等に間隔を置いた点の
１つである。一般化としては、Ｍアンテナ差分ユニタリ
時空変調は、前に送信された行列と、コンステレーショ
ンから得られるユニタリデータ行列との積であるＭ×Ｍ
ユニタリ行列を差分符号化する。換言すると、以下の式
のように表される。

【００３９】

【数６】 ここで、Ｓ₀＝Ｉ_Mである。行列乗算下でＶに群を形成さ
せることが実用上なぜ有用であるかを即座に理解でき
る。Ｖが群である場合、すべての送信行列Ｓ_τもＶに属
するからである。従って、送信機は、有限集合から行列
Ｓ_τを送信し、

【外７】 を明示的に乗算する必要はなく、むしろ群のテーブルル
ックアップを用い得る。

【００４０】フェージング係数が２Ｍ時間サンプルにわ
たってほぼ一定である場合（Ｈ_τ?Ｈ_{τ― 1}）、受信行列
は、以下の式に従うことになる。

【００４１】

【数７】 ここで、Ｗ_τ’は、付加ＣＮ（０、１）ノイズのＭ×Ｎ
行列である。既知の最大尤度復号化器は以下の簡単な構
造を有する：

【００４２】

【数８】 および未知のチャネルでの差分変調における対ごとのエ
ラーの確率に関するチェルノフ範囲は以下の式で表され
る。

【００４３】

【数９】

【００４４】高い信号対ノイズ比（ＳＮＲ）では、対ご
とのエラーの確率の範囲は、主に、チャネルが既知であ
るか否かに関係なく、Ｖ_l−Ｖ_{l ’}の行列式の係数であ
る、特異値の積に依存する。換言すると、高ＳＮＲに対
しては、以下のように書き表すことができる。

【００４５】

【数１０】 ここで、チャネルが既知の場合、α＝４であり、チャネ
ルが未知の場合、α＝８であり、異なって用いられる。
従って、コンステレーションＶの質をいわゆるダイバー
シチ積によって測定する。

【００４６】

【数１１】 スケーリング係数１／２は、０≦ζｖ≦１を保証する。
指数１／Ｍは、実質的に、Ｍ特異値の幾何学平均を与え
る。なぜなら、行列式の係数は、特異値の積であるから
である。明らかに、ζｖが大きいコンステレーションほ
ど優れている。ζｖ＞０のコンステレーションは、完全
ダイバーシチを有すると言える。ζｖ＞０であり、ＳＮ
Ｒが高い場合、いずれの２つの送信信号も、いずれのＨ
に対しても、同じ受信信号Ｘを与えることはできないこ
とに留意されたい。ここで、完全ダイバーシチコンステ
レーションのみを考慮し、特に、できるだけ大きいダイ
バーシチ積ζｖを有するコンステレーションを見出すこ
とを試みる。

【００４７】群提示 ダイバーシチ積ζｖができるだけ大きくなるＬ個のユニ
タリ行列の集合Ｖを見出したい。このセクションでは、
Ｖを行列乗算下で群を形成するものに限定する。群要件
では、設計上の問題は、以下の式の値ができるだけ大き
くなるように、Ｌ個のユニタリＭ×Ｍ行列の群を見出す
ことである。（行列シンボルＩ_dは、ｄ×ｄ単位行列を
示す。以後、文脈から明白である場合には、次元ｄを省
略する。）

【００４８】

【数１２】

【００４９】群は、特に、二値乗算演算がアーベル（即
ち、可換演算）であるかどうか、および群乗算テーブル
において現れる様々な種類の規則性によって区別される
多くの異なるクラスに分類される。多くの異なるクラス
の群を包含する群の１つの広いファミリーは、固定小数
点を含まない非アーベル群のファミリーである。

【００５０】固定小数点を含まない群の１つの重要な特
徴は、このような群がいずれも、完全ダイバーシチを有
する少なくとも１つの表現を有する点である。表現は、
表現される群の２つの要素の積が２つの対応する像行列
の積にマッピングされ、群の単位要素が単位行列にマッ
ピングされるような、可逆行列の群へのマッピングであ
る。任意の有限群は、ユニタリ行列ですでに表されてい
ない場合には、ユニタリ行列での同等の表現を有するこ
とに留意されたい。

【００５１】固定小数点を含まない群の非アーベルクラ
ス 以下の式を仮定する。

【００５２】

【数１３】 ここで、ｎは、ｍを法とするｒのオーダ（即ち、ｎは、
ｍを法とするｒⁿ≡ｌとなるような最小の正の整数）で
あり、ｔ＝ｍ／ｇｃｄ（ｒ−１、ｍ）であり、ｇｃｄ
（ｎ、ｔ）＝１である。（σ、τ∈Ｇについての表記σ
^τを用いてτστ^-1を意味するものとする。）ｒ−１お
よびｍの最大公約数は、ｒ₀で示される。群Ｇ_{m 、 r}は、オ
ーダｍｎを有する。なぜなら、Ｇ_{m 、 r}は、オーダｍおよ
びインデックスｎ（用語「インデックス」は、剰余類の
数を示す）のサブ群＜σ＞を含むためである。Ｇ
_{m 、 r}は、ｎのすべての素約数がｇｃｄ（ｒ−ｌ、ｍ）を
除算する場合および除算する場合においてのみ固定小数
点を含まない。

【００５３】ここで、ｎが１よりも大きい群に注目す
る。これにより、アーベル群および巡回群であるクラス
Ｇ_{m 、 r}の群が排除される。（固定小数点を含まない群
は、巡回である場合および巡回である場合にのみアーベ
ル群である。）

【００５４】ここで、固定小数点を含まない群Ｇ_{m 、 r}の
数例を示す。

【００５５】例１（３アンテナ） ｎ＝３、ならびにｒ＝４およびｍ＝２１とする。ｒ₀＝
３、ｔ＝７、ｇｃｄ（ｎ、ｔ）＝ｇｃｄ（３、７）＝
１、およびｎ（即ち、素数３）のすべての素約数はｒ₀
を除算する。従って、Ｇ_{21 、 4}は、固定小数点を含まな
い。η＝ｅ^{2 π i/21}および

【００５６】

【数１４】 を設定すると、６３個の行列Ａ^lＢ^k、ｌ＝０、．．．、
２０、ｋ＝０、１、２は、行列乗算下で群Ｇ_{21 、 4}を形成
する。ここで、σ≡Ａ、τ≡Ｂである。ζ_{G21 、 4}＝０．
３８５１が得られる。この３アンテナ６３要素のコンス
テレーションは、レートＲ＝２を有するには１要素足り
ない。

【００５７】例２（９アンテナ） ｎ＝９、ならびにｒ＝４およびｍ＝５７とする。ｒ₀＝
３、ｔ＝１９、ｇｃｄ（ｎ、ｔ）＝１、およびｎのすべ
ての素約数はｒ₀を除算する。従って、Ｇ_{57 、 4}は、固定
小数点を含まない。η＝ｅ^{2 π i/57}および

【００５８】

【数１５】 （ここで、ｄｉａｇ（ａ_l、．．．、ａ_n）は、対角エン
トリａ₁、．．．、ａ_nを有する対角行列を示す）を設定
すると、５１３個の行列Ａ^lＢ^k、ｌ＝０、．．．、５
６、ｋ＝０、．．．、８は、行列乗算下で群Ｇ_{57 、 4}を形
成する。ここで、σ≡Ａ、τ≡Ｂである。ζ_{G57 、 4}＝
０．３６１が得られる。この９アンテナ５１３要素のコ
ンステレーションは、１要素だけレート１を上回る。

【００５９】固定小数点を含まない群の分類 固定小数点を含まないすべての群を分類し、これらの群
の固定小数点を含まないすべての既約表現を計算した。
当業者には言うまでもなく、可逆複合線形変換Ｔおよび
低次元表現の対Δ₁（ｇ）、Δ₂（ｇ）について、以下の
式がすべてのｇ∈Ｇに対して当てはまる場合、要素ｇを
有する群Ｇの表現Δ（ｇ）は、可約である。

【００６０】

【数１６】 群表現が可約でない場合、既約であると言える。（上記
の式のうちシンボル「０」は、適切な次元のゼロ行列を
示す。）

【００６１】結果は以下の通りである。

【００６２】群タイプ 固定小数点を含まない群の１つのタイプは、上記で示し
たｍおよびｒに対するＧ_{m 、 r}である。さらに５つのタイ
プがある。以下の議論では、以下の規則を導入する。一
対の整数（ｍ、ｒ）が与えられる場合、ｎを、ｍを法と
するｒのオーダと定義し、ｒ₀＝ｇｃｄ（ｒ−１、
ｍ）；およびｔ＝ｍ／ｒ₀と定義する。ｇｃｄ（ｎ、
ｔ）＝１であり、ｎのすべての素約数がｒ₀を除算する
場合、この対（ｍ、ｒ）を許容可能とする。

【００６３】この６つの群タイプは以下の通りである。

【００６４】１．Ｇ_{m 、 r}（上述）：

【００６５】

【数１７】 ここで、（ｍ、ｒ）は許容可能である。Ｇ_{m 、 r}のオーダ
はＬ＝ｍｎである。上記ように、ここでは、ｎが１より
も大きいタイプＧ_{m 、 r}の群に注目する。

【００６６】２．Ｄ_{m 、 r 、 l}：

【００６７】

【数１８】 ここで、ｎｒ₀は偶数、（ｍ、ｒ）は許容可能、ｌ²≡ｍ
を法とする１、ｌ≡ｎを法とする１、およびｌ≡ｓを法
とする−１であり、ここで、ｓは、ｍｎを除算する２の
最も高いべき指数である。Ｄ_{m 、 r 、 l}のオーダはＬ＝２ｍ
ｎである。

【００６８】３．Ｅ_{m 、 r}：

【００６９】

【数１９】 ここで、（ｍ、ｒ）は許容可能、ｍｎは奇数、ｎｒ₀は
３で割り切れる。Ｅ_{m 、 r}のオーダは８ｍｎである。

【００７０】４．Ｆ_{m 、 r 、 l}：

【００７１】

【数２０】 ここで、（ｍ、ｒ）は許容可能、ｍｎは奇数、ｒ₀は３
で割り切れ、ｎは３で割り切れず、ｌ²≡ｍを法とする
１、ｌ≡ｎを法とする１、およびｌ≡３を法とする−１
である。Ｆ_{m 、 r 、 l}のオーダは１６ｍｎである。

【００７２】５．Ｊ_{m 、 r}：

【００７３】

【数２１】 ここで、（ｍ、ｒ）は許容可能、ｇｃｄ（ｍｎ、１２
０）＝１、ＳＬ₂（Ｆ₅）は行列式１の場合のＦ₅にわた
る２×２行列の群である。ＳＬ₅（Ｆ₅）は、生成元およ
び以下の関係を有する。

【００７４】

【数２２】 Ｊ_{m 、 r}のオーダは１２０ｍｎである。

【００７５】６．Ｋ_{m 、 r 、 l}：

【００７６】

【数２３】 次の関係が満たされ、

【００７７】

【数２４】 ここで、μおよびγはＪ_{m 、 r}における通りであり、ｌ²≡
ｍを法とする１、ｌ≡ｎを法とする１である。Ｋ_{m 、 r 、 l}
のオーダは２４０ｍｎである。

【００７８】表現定理 発明者は、固定小数点を含まない群の上記のクラスと、
それらの既約のユニタリ表現との間の以下の関係を数学
的に証明した。

【００７９】（１）許容可能な（ｍ、ｒ）に対するＧ_{m 、
r}は、以下の式で表されるｎ次元の固定小数点を含まな
い既約表現：

【００８０】

【数２５】 およびζ＝２^{2 π i/m}を有する。対応するコンステレーシ
ョンは、行列Ａ^sＢ^k（ｓ＝０、．．．、ｍ−１、ｋ＝
０、．．．、ｎ−１）によって与えられる。ここで、
（以後の説明では省略するが）この表現において、Ｇ_{m 、
l}は巡回群であるため、ｒ＝１のとき、行列Ａはスケー
ラになり、Ｂは不定となることに留意されたい。

【００８１】（２）許容可能な（ｍ、ｒ）を有するＤ_{m 、
r 、 l}は、以下の式で表される２ｎ次元の固定少数点を含
まない既約表現を有する。

【００８２】

【数２６】 ここで、ζ＝２^{2 π i/m}である。対応するコンステレーシ
ョンは、Ａ^sＢ^kＲ^j（ｓ＝０、．．．、ｍ−１、ｋ＝
０、．．．、ｎ−１、ｊ＝０、１）によって与えられ
る。

【００８３】（３）許容可能な（ｍ、ｒ）に対するＥ_{m 、
r}は、２ｎ次元の固定小数点を含まない既約表現を有す
る。

【００８４】

【数２７】 ここで、９がｍを除算する場合ｚ＝１、その他の場合ｚ
＝３である。対応するコンステレーションは、Ａ_z ^sＢ_z ^k
Ｐ^jＱ^P（ｓ＝０、．．．、ｍ−１、ｋ＝０、．．．、ｎ
−１、ｊ＝０、．．．、３、ｐ＝０、１）によって与え
られる。

【００８５】（４）ｎ＞１またはｌ?（ｍ／３）を法と
する１の場合、許容可能な（ｍ、ｒ）を有するＦ_{m 、 r 、 l}
は、以下の式で与えられる４ｎ次元の既約表現を有す
る。

【００８６】

【数２８】 ここで、Ａ_z、Ｂ_z、Ｐ、Ｑは、群Ｅ_{m 、 r}に対して定義さ
れる行列であり、９がｍを除算する場合ｚ＝１であり、
その他の場合ｚ＝３である。ｒ＝１およびｌ≡（ｍ／
３）を法とするｌである場合、Ｆ_{m 、 1 、 l}は、以下の式で
表される２次元の固定小数点を含まない既約表現を有す
る。

【００８７】

【数２９】 ここで、Ａ_{0 、 3}、Ｆ₀、およびＦ₁は、Ｅ_{m 、 r}に対して定義
される行列である。対応するコンステレーションは、Ａ
^sＢ^kＰ^jＱ^PＲ^q（ここで、ｓ＝０、．．．、ｍ−１、ｋ
＝０、．．．、ｎ−１、ｊ＝０、．．．、３、ｐ＝０、
１、ｑ＝０、１）によって与えられる。

【００８８】（５）Ｊ_{m 、 r}は、以下の式によって与えら
れる２ｎ次元の固定小数点を含まない既約表現を有す
る。

【００８９】

【数３０】 ここで、η＝ｅ^{2 π i/5}、ξ＝ｅ^{2 π i/m}、およびは、クロ
ネッカー積を示す。対応するコンステレーションは、行
列Ａ^sＢ^k（ＰＱ）^jＸ（ｓ＝０、．．．、ｍ−１、ｋ＝
０、．．．、ｎ−１、ｊ＝０、．．．、９）からなり、
Ｘは、集合｛Ｉ_2n、Ｐ、Ｑ、ＱＰ、ＱＰＱ、ＱＰＱＰ、
ＱＰＱ²、ＱＰＱＰＱ、ＱＰＱＰＱ²、ＱＰＱＰＱ²Ｐ、
ＱＰＱＰＱ²ＰＱ、ＱＰＱＰＱ²ＰＱＰ｝にわたる。

【００９０】（６）Ｋ_{m 、 r 、 l}は、以下の式で与えられる
４ｎ次元の固定小数点を含まない既約表現を有する。

【００９１】

【数３１】 ここで、η＝ｅ^{2 π i/5}、ξ＝ｅ^{2 π i/m}、およびは、クロ
ネッカー積を示す。対応するコンステレーションは、Ａ
^sＢ^k（ＰＱ）^jＸＲ^P（ｓ＝０、．．．、ｍ−１、ｋ＝
０、．．．、ｎ−１、ｊ＝０、．．．、９、ｐ＝０、
１）からなり、Ｘは、集合｛Ｉ_4n、Ｐ、Ｑ、ＱＰ、ＱＰ
Ｑ、ＱＰＱＰ、ＱＰＱ²、ＱＰＱＰＱ、ＱＰＱＰＱ²、Ｑ
ＰＱＰＱ²Ｐ、ＱＰＱＰＱ²ＰＱ、ＱＰＱＰＱ²ＰＱＰ｝
にわたる。

【００９２】６つのタイプの固定小数点を含まない群を
表１にまとめる。表に示される各群Ｇについて、ＬはＧ
のオーダ（コンステレーションの大きさ）、およびＭは
Ｇの表現の次元（送信アンテナの数）である。

【００９３】

【表１】

【００９４】いくつかの明示的な簡単なコンステレーシ
ョン 固定小数点を含まない群のいくつかのクラスの簡単な例
を以下に示す。簡単のため、上記で計算した固定小数点
を含まない表現の像を用いて群を識別し、群要素を行列
として挙げる。

【００９５】Ｍ＝２送信アンテナについて、固定小数点
を含まない既約の表現を有する群から始める。

【００９６】１．２次元の固定小数点を含まない既約表
現を有するＧ_{m 、 r}の最小の例はＧ_{6 、 - 1}である。対応する
コンステレーションは、１２個の行列Ａ^sＢ^k（ｓ＝
０、．．．、５、ｋ＝０、１）からなり、ここで、

【００９７】

【数３２】 およびξ＝ｅ^{2 π i/6}である。そのレートはＲ＝ｌｏｇ
（１２）／２＝１．７９であり、ダイバーシチ積はζ_{G6
、 -1}＝０．５である。

【００９８】２．２次元の固定小数点を含まない既約表
現を有するＤ_{m 、 r 、 l}の最小の例はＤ_{4 、 1 、― 1}である。対応
するコンステレーションは、１２個の行列Ａ^sＢ^k（ｓ＝
０、．．．、５、ｋ＝０、１）からなり、ここで、

【００９９】

【外８】 である。

【外９】 が得られる。Ｄ_{4 、 1 、 -1}は、いわゆる四元数群Ｄ_{2n 、 1 、 -1}
の特別な場合である。これは、Ｂ．Ｌ．Ｈｕｇｈｅｓ、
「Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｓｐａｃｅｔｉｍｅ Ｍ
ｏｄｕｌａｔｉｏｎ」、Ｐｒｏｃ．ＩＥＥＥ Ｗｉｒｅ
ｌｅｓｓ Ｎｅｔｗｏｒｋｉｎｇ ａｎｄ Ｃｏｍｍｕ
ｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ （ＷＣＮ
Ｃ）、１巻、１４５〜１４９頁（ニューオリンズ、１９
９９年９月）において無線通信に用いることが提案され
ている。

【０１００】３．群Ｅ_{m 、 l}の最小の例は、オーダ２４の
群Ｅ_{3 、 1}である。この群は、行列式１を有するＦ₃にわた
る２次元の行列の群であるＳＬ₂（Ｆ₃）と同形である。
コンステレーションは、２４個の行列Ａ^sＰ^jＱ^p（ここ
で、ｓ＝０、１、２、ｊ＝０、．．．、３、ｐ＝０、
１）および

【０１０１】

【数３３】 によって与えられる。そのレートは、Ｒ＝２．２９であ
り、ζ_{E3 、 1}＝０．５である。

【０１０２】４．群Ｆ_{m 、 1 、 l}の最小の例は、４８要素を
有する群Ｆ_{3 、 1 、 -1}である。これは、行列Ａ^sＰⁱＱ^pＲ
^q（ここで、ｓ＝０、１、２、ｊ＝０、．．．、３、ｐ
＝０、１、ｑ＝０、１）からなり、Ａ、Ｐ、Ｑは上記の
通りであり、以下の式が満たされる。

【０１０３】

【外１０】 ｎ＝１であるため、行列Ｂは現れない。コンステレーシ
ョンは、レートＲ＝２．７９を有し、

【外１１】 である。

【０１０４】５．Ｊ_{m 、 r}の最小の例は、ＳＬ₂（Ｆ₅）と
同形のＪ_{1 、 1}である。このコンステレーションは、行列
（ＰＱ）^jＸ（ここで、ｊ＝０、．．．、９、Ｘは集合
｛Ｉ₂、Ｐ、Ｑ、ＱＰ、ＱＰＱ、ＱＰＱＰ、ＱＰＱ²、Ｑ
ＰＱＰＱ、ＱＰＱＰＱ²、ＱＰＱＰＱ²Ｐ、ＱＰＱＰＱ²
ＰＱ、ＱＰＱＰＱ²ＰＱＰ｝にわたり、および

【０１０５】

【外１２】 ここで、η＝ｅ^{2 π i/5}である）によって与えられる１２
０個の要素を有する。これは、レートＲ＝３．４５を有
し、

【外１３】 である。この群は非常に優れている。

【０１０６】６．Ｍ＝３について、固定小数点を含まな
い既約表現を有する固定小数点を含まない群の最も簡単
な例は、上記の群Ｇ_{21 、 4}である。

【０１０７】７．４次元の固定小数点を含まない既約表
現を有する低レートの固定小数点を含まない群の最良の
例は、Ｋ_{1 、 1 、 -1}である。これは、レートＲ＝ｌｏｇ
₂（２４）／４＝１．９８およびζ_{k1 、 -1 、 -1}＝０．５を
有する２４０個の要素をもつ。このコンステレーション
の要素は、（ＰＱ）^jＸＲ^p（ここで、ｊ＝０、．．．、
９、ｐ＝０、１、Ｘは上記の例（５）と同じ集合にわた
るが、以下の式が満たされる）によって与えられる。

【０１０８】

【数３４】

【０１０９】例示的なコンステレーションおよびその性
能 以下、上記のコンステレーションのいくつかの性能につ
いて議論する。性能を評価するために、上記の差分送信
フレームワークを用いた。

【０１１０】２つの連続した行列値信号に対してランダ
ムに選択されたが一定に保持されたフェージング係数を
用いて、大半のコンステレーションをコンピュータシミ
ュレーションした。以下に記載する１つの例外では、コ
ンステレーションを機能的な３送信アンテナ無線チャネ
ルにわたって送信した。得られた図は、Ｐ_eで示される
行列を誤って復号化するブロック確率をプロットしてい
る。

【０１１１】図２は、１２０個の要素を有し、レートＲ
＝ｌｏｇ（１２０）／２?３．４５を有する群ＳＬ₂（Ｆ
₅）のシミューレートされた性能を示す。見出すことが
可能な最良のアーベル群、Ｊ．Ｓｅｌ．Ａｒｅａ Ｃｏ
ｍｍ．（２０００）に公開されるＶ．Ｔａｒｏｋｈらの
「Ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ
ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｍｉｔ ｄｉｖｅ
ｒｓｉｔｙ」に記載される２次元直交設計、およびＬ＝
１２８行列およびレートＲ＝３．５を有する四元数群Ｑ
₆も比較する。直交設計は、１２１個の要素を有し、１
１のベキ根で満たされた２×２行列によってパラメータ
表示された。ＳＬ₂（Ｆ₅）の優れた性能は、直交設計
（群ではない）に対する約２．５ｄＢの向上、アーベル
群に対する６．５ｄＢの向上、および四元数群に対する
１３ｄＢの向上によって証明される。

【０１１２】図３は、Ｎ＝２の受信アンテナを想定する
こと以外は図２と同様である。様々なコンステレーショ
ンの相対的なメリットは、現在さらに顕著である。Ｎ＝
１システムと比較したＮ＝２システムの性能の利点もま
た明白である。図４は、レートＲ?４を考慮すること以
外は図２と同様の比較を提供している。群コンステレー
ションは、Ｌ＝２４０要素（Ｒ＝３．９５）を有するＦ
_{15 、 1 、 11}である。他のコンステレーションは、最良の直
交設計、対角コンステレーション、および比較可能レー
トの四元数群である。

【０１１３】図５は、最良の３送信アンテナ６３要素対
角コンステレーションと比較した、Ｍ＝３アンテナ６３
要素（Ｒ＝１．９９）群Ｇ_{21 、 4}の性能の利点を示す。こ
のコンステレーションは、研究施設の廊下内に配置され
た無線装置にわたって送信することもできた。３つの送
信アンテナは、金属壁および器具と並べられた廊下内の
湾曲部の周りで、１つの受信アンテナから約１０メート
ルだけ分離され、豊富な擬似スタティック分散環境が形
成された。図６は、その性能を示す。

【０１１４】図７は、Ｍ＝４の送信アンテナに対するＫ
_{1 、 1 、 -1}の利点を示し、これを発明者が見出した最良のア
ーベル群と比較している。再び、アーベル群に対するこ
の群の性能の利点は明白である。

【０１１５】表２は、異なる数のアンテナＭおよびレー
トＲについて、高いζを有するこが見出された群コンス
テレーションのいくつかをまとめて示す。

【０１１６】

【表２】

【０１１７】少なくともいくらかの場合では、信号コン
ステレーションは、既約ではなくむしろ可約群表現に基
づき得ることに留意されたい。特に、行列
Ａ₁、．．．、Ａ_Lからなる群の既約表現を想定すると、
可約表現は、ブロック対角構築によって既約表現から得
られ得る。例えば、適切な次元の可逆な複合線形変換Ｔ
を想定すると、対応する可約表現は、以下の行列からな
る。

【０１１８】

【数３５】

【０１１９】群の可約表現を得るためのさらに一般的な
構築は、群ｉ＝ｌ、．．．、ｍの自己同形φ_iのある数
ｍで定義される。自己同形は、単位元を保持し、乗算を
考慮する、群のそれ自体への１対１マッピングである。
即ち、マッピングにおける２つの乗算係数の像は、それ
ぞれの係数の像の積である。このような構築によると、
行列Ａ_iのそれぞれは、以下の式のｍ×ｍ行列A_iに置き
換えられる。

【０１２０】

【数３６】

【０１２１】上述したものから他のコンステレーション
を得るための構築は、任意ではあるが固定されたユニタ
リ行列ＵおよびＶで定義される。行列A_iのコンステレー
ションを想定すると、新しいコンステレーションは行列
ＵA_iＶからなる。新しいコンステレーションが必ずしも
群を形成しないことに留意されたい。ここで、用語「剰
余類」を、左からの乗算、右からの乗算、または左およ
び右からの乗算によって、群または群の部分集合から得
られる任意の集合を含むものと定義する。従って、本発
明の定義によると、行列ＵA_iＶからなるコンステレーシ
ョンは、行列A_iのコンステレーションの剰余類である。

【０１２２】Ｇ_{m 、 r} の非群への一般化 上記では、所定のパラメータｍおよびｒに対して、群Ｇ
_{m 、 r}が次元ｎ（ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とするｌとなるような
最小の整数である）の固定小数点を含まない表現を有す
ることを説明した。ここで、一般にＳ_{m 、 s}は群ではない
が、Ｇ_{m 、 r}と同様の方法で構築される集合Ｓ_{m 、 s}について
説明する。しかし、示されるように、ダイバーシチ積ζ
は、閉形式からＳ_{m 、 s}について計算され得る。Ｓ_{m 、 s}に対
する適切なパラメータは、正のζとなるように選択され
得る。少なくともいくらかの場合では、正のζを有する
集合Ｓ_{m 、 s}は、信号コンステレーションとして有用であ
る。

【０１２３】さらに一般的には、例えば、信号行列の少
なくとも半分が集合Ｓ_{m 、 s}のメンバーに対応するか、ま
たは左からの乗算、右からの乗算、もしくは左および右
からの乗算によって集合Ｓ_{m 、 s}から得られる剰余類のメ
ンバーに対応する有用なコンステレーションがある。

【０１２４】集合Ｇ_{m 、 r}については、パラメータｎは、
送信アンテナの数に等しい。しかし、群Ｇ_{m 、 r}から集合
Ｓ_{m 、 s}への一般化では、ｎについての可能な値に対する
他の制約はない。η＝ｅ^{2 π i/m}、β＝ｅ^{2 π i/s}、および
ｕ₁、．．．、ｕ_nを整数とする。Ｓ_{m 、 s}は、形式Ａ^lＢ^k
のｎ×ｎ行列の集合として定義される。ここで、ｌ＝
０、．．．、ｍ−１、ｋ＝０、．．．、ｐ−１、ｐはｓ
およびｎの小さい方、およびｎ×ｎ行列ＡおよびＢは以
下の式で与えられる。

【０１２５】

【数３７】 ダイバーシチ積?_sは、以下の式で与えられる。

【０１２６】

【数３８】 ここで、ｑは、ｎおよび｜ｋ｜の最大公約数である。

【０１２７】集合Ｓ_{m 、 s}内の要素の数は、Ｌ＝ｍｐであ
る。従って、レートＲは、ｌｏｇＬ／Ｍ＝ｌｏｇｍｐ／
ｎによって与えられる。任意の数Ｍのアンテナおよび任
意の所望のレートＲについて、適切なコンステレーショ
ンは、Ｍ＝ｎを設定し、ＬをＬ＝ｍｐ（ｐ≦ｎ）として
分解し、整数ｕ₁、．．．、ｕ_n、ｓ（ここで、ｓ≦ｐお
よび整数ｕ_iのそれぞれに対して、ｉ＝１、．．．、
ｎ、０≦ｕ_i≦ｎ−１）を検索し、適切な値（即ち、?_S
の比較的高い値）を得ることによって容易に設計され
る。

【０１２８】さらなるコンステーションは、左からの乗
算、右からの乗算、またはその両方によって形成される
剰余類として、集合Ｓ_{m 、 s}から得られ得る。さらなるコ
ンステレーションはまた、集合Ｓ_{m 、 s}もしくはその任意
の剰余類の部分集合またはスーパーセットとして得られ
得る。

【０１２９】群表現の積 群に基づいたコンステレーションの他の一般化では、集
合Ｓ_{A 、 B}は、固定小数点を含まない有限群Ｇ_AおよびＧ_B
の２つのそれぞれのユニタリ表現の要素の対ごとの積の
集合として定義される。即ち、Ｖ_A＝｛Ａ_l、．．．、Ａ
_LA｝およびＶ_B＝｛Ｂ_l、．．．、Ｂ_LB｝を群Ｇ_Aおよび
Ｇ_BのＭ×Ｍユニタリ表現とする。（Ａ₀およびＢ₀が適
切な次元の単位行列を示すものとする。）群Ｇ_Aおよび
Ｇ_Bは、上記の固定小数点を含まない非アーベル（およ
び非巡回）群のタイプのいずれかから選択され得る。一
般には、集合Ｓ_{A 、 B}は群ではないが、少なくともいくつ
かの場合、信号コンステレーションとして有用である。
この点で、他のコンステレーションは、集合Ｓ_{A 、 B}もし
くはその任意の剰余類の部分集合またはスーパーセット
として導き出すことが可能である。

【０１３０】さらに一般的には、例えば、信号行列の少
なくとも半分が集合Ｓ_{A 、 B}のメンバー、左からの乗算、
右からの乗算、または左および右からの乗算によって集
合Ｓ _{A 、 B}から得られる剰余類のメンバーに対応する有用
なコンステレーションがある。

【０１３１】集合Ｓ_{A 、 B}のダイバーシチ積?_Sは、以下の
式によって与えられる。

【０１３２】

【数３９】

【０１３３】特に、それぞれの表現は、同じ群の同等な
表現であり得る。即ち、いくつかのユニタリ行列Ｔおよ
びすべてのｊに対して、ｊ＝ｌ、．．．、Ｌ_A、Ｂ_j＝Ｔ
Ａ_jＴ^*である。しかし、このような場合、ダイバーシチ
積?_Sは、（ｉ）群Ｇ_Aが奇数の別個の要素を有する場
合、および（ｉｉ）表現Ｖ_A＝｛Ａ_l、．．．、Ａ_LA｝が
可約表現である場合のみに正である。

【０１３４】事実、上記のように構築される集合Ｓ_{A 、 B}
は、群Ｇ_AおよびＧ_Bの一方または両方が巡回群である場
合（但し、この点では、固定小数点を含まない（即ち、
正のダイバーシチ積を有する）巡回群を選択することが
望まれる）でも、信号コンステレーションとして有用で
あり得る。上記のように、構築Ｂ_j＝ＴＡ_jＴ^*による同
等の群の積は、巡回群Ｇ_Aが奇数の別個の要素を有し、
Ｇ_Aの表現が可約である場合にのみ正のダイバーシチ積
を生成する。このような構築では、Ｔは、任意のユニタ
リ行列であり得る。（シンボル「^*」は共役移項（conju
gate transposition）を意味する。）

【０１３５】巡回群の可約表現は、以下の対角形式を有
するＭ×Ｍ行列の集合として容易に構築される。

【０１３６】

【数４０】 所望の数Ｍの送信アンテナを想定すると、Ｍ整数
ｕ_l、．．．、ｕ_Mは、１からＬ _A−１からの閉区間で選
択される。群Ｇ_A内に所望の数Ｌ_Aの要素を想定すると、
パラメータηは、基本のＬ_Aのベキ根と等しい集合であ
る。（Ｌ_Aのベキ根は、Ｌ _Aが、根が最小の非ゼロ累乗さ
れるとき１の値を生成する最小の非ゼロ累乗である場
合、基本となる。）群表現の要素は、以下の式によって
与えられる対角行列Ａ_k（ｋ＝０、．．．、Ｌ_A−１）で
ある。

【０１３７】

【数４１】 Ａ₀は、適切な次元の単位行列であり、ｋ＞１に対し
て、Ａ_k＝（Ａ_l）^kであることが理解される。

【０１３８】重要なことに、発明者は、巡回群表現が正
のダイバーシチ積を有することを確実にするためには、
行列Ａ_kは、互いに等しい対角要素の半分より多くを有
するべきではないことを見出した。さらに、正のダイバ
ーシチ積は、Ｌ_Aが素数である場合に保証される。

【０１３９】ハミルトニアンコンステレーション次元２
×２の信号行列は、正確に２個の送信アンテナを有する
通信システムにおける差分変調に対して提案されてい
る。例えば、Ｊ．Ｓｅｌ．Ａｒｅａ．Ｃｏｍｍ．（２０
００）に登場するＶ．Ｔａｒｏｋｈらの「Ａ ｄｉｆｆ
ｅｒｅｎｔｉａｌ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ
ｆｏｒ ｔｒａｎｓｍｉｔ ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ」
は、このような目的のために、等しい絶対値の１対の複
合パラメータｘ、ｙ（即ち、｜ｘ｜＝｜ｙ｜）から信号
行列を得るための規則について記載している。発明者が
直交設計と呼ぶこの規則によると、各信号行列は、以下
の形式をとる。

【０１４０】

【数４２】 ここで、シンボル「^*」は複素共役を示す。

【０１４１】パラメータｘおよびｙが単位絶対値を有す
る場合、行列はユニタリ行列である。従って、例えば、
サイズＬ＝Ｑ²のユニタリコンステレーションは、ｘお
よびｙのそれぞれの範囲がＱのベキ根にわたるとする
（即ち、ｘ、ｙ＝ｌ、ｅ^{1 ? 2 π i /Q}、
ｅ^{2 ? 2 π i/Q}、．．．、ｅ^{(Q-1) ? 2 π i/Q}）ことによって得
られる。このようなコンステレーションのダイバーシチ
積?_ODは以下の式によって与えられる。

【０１４２】

【数４３】

【０１４３】発明者は、パラメータｘおよびｙの値が適
切に選択される場合、ｘおよびｙが絶対値において異な
り得るとき、少なくとも大きなコンステレーションに対
して、さらに良好なダイバーシチ積が得られ得ることを
見出した。

【外１４】

【０１４４】得られる行列がユニタリでなければならな
いという上記の要件を保持するならば、ｘおよびｙの実
部および虚部の範囲は、（Ｒｅｘ）²＋（Ｒｅｙ）²＋
（Ｉｍｘ）²＋（Ｉｍｙ）²＝１の制約に従う、実の４次
元ユークリッド空間にわたることが可能になる。これ
は、本明細書では、単位３球面と呼ばれる４次元空間に
埋め込まれる単位半径の３次元球面の式である。（例示
的には、通常の球面は、３次元空間に埋め込まれる２次
元平面である。）

【０１４５】ハミルトニアンコンステレーションのダイ
バーシチ積?_Hは、以下の式によって与えられる。

【０１４６】

【数４４】 重要なことに、対（ｘ、ｙ）が単位３球面上の点として
見なされる場合、このダイバーシチ積は、最も近接して
間隔を置いたこのような点の対間の（４次元における）
通常のユークリッド距離である。

【０１４７】例示的に、Ｌオブジェクトが（通常の３次
元空間における）単位立方体内に均一に分布される場
合、隣接するオブジェクト間の分離は約Ｌ^-1/3である。
一般に、信号行列の良好な選択に対応する単位３球面の
点は、最も近い隣接対間のほぼ均一な間隔を有する。こ
のように、ダイバーシチ積を抑えるような特に小さな空
間は存在しない。従って、単位立方体に対する上記と類
似する推理では、大きなＬに対する漸近挙動はＯ（Ｌ
^-1/3）となる。対照的に、?_ODの漸近挙動はＯ
（Ｌ^{- 1/2}）である。この結果、大きなハミルトニアンコ
ンステレーションは、一般に、同じサイズの直交設計さ
れたコンステレーションよりも大きなダイバーシチ積を
有する。

【０１４８】上記のように、サイズＬのコンステレーシ
ョンを用いた時空変調のためのデータ送信レートＲは、
信号行列毎のチャネル利用の数によって分割されるｌｏ
ｇ₂Ｌに等しい。従って、直交設計されたコンステレー
ションだけでなく、ハミルトニアンコンステレーション
に対しては、Ｒは、１／２ｌｏｇ₂Ｌと等しくなる。所
望のレートＲを想定すると、適切なコンステレーション
は、大きな最小距離パッキングに従って、対応する数Ｌ
の点を有する３球面をパッキングすることによって容易
に構築される。このようなパッキングは、例えば、Ｊ．
Ｈａｍｋｉｎｓらの「Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ
ｄｅｎｓｅ ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｃｏｄｅｓ」、ＩＥ
ＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｉｎｆｏ．Ｔｈｅｏｒｙ ４３（１
９９７）１７７４〜１７９８、およびＪ．Ｈ．Ｃｏｎｗ
ａｙらのＳｐｈｅｒｅ Ｐａｃｋｉｎｇｓ、Ｌａｔｔｉ
ｃｅｓ ａｎｄ Ｇｒｏｕｐｓ、Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｖ
ｅｒｌａｇ （１９８８）に記載されている。ハミルト
ニアンコンステレーションも直交設計されたコンステレ
ーションも、通常、群を形成しないことに留意された
い。（しかし、１つの特筆すべき例外は、群ＳＬ₂Ｆ₅で
ある。）

【０１４９】ハミルトニアンコンステレーションの復号
化に対する１つの比較的簡単なアプローチには、送信さ
れた行列の受信推定から、（埋込み４次元実空間におけ
る）最も小さいユークリッド距離を有する候補信号行列
を選択することが含まれる。単位３球面上の信号点が良
好に分離されている場合、このような選択は、Ｌ．Ｄｅ
ｖｒｏｙｅ、Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｏｎ Ｂｕ
ｃｋｅｔ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ、Ｂｉｒｋｈａｕｓｅ
ｒ、Ｂｏｓｔｏｎ、ＭＡ（１９８６）に記載されている
バケッティング（bucketing）技術などの標準的な技術
によって容易に成し遂げられる。このようなアプローチ
は特に有用である。なぜなら、バケッティング技術の複
雑さは、コンステレーションのサイズとは独立している
ためである。

【０１５０】上記のように、直交構築に属する行列だけ
でなく、ハミルトニアンコンステレーションの行列は、
複素数ｘおよびｙで定義される。ハミルトニアンコンス
テレーションでは、ｘおよびｙは、｜ｘ｜²＋｜ｙ｜²＝
１などの正規化条件を満足しなければならない。直交構
築では、ｘおよびｙは、等しい絶対値を有していなけれ
ばならない。明らかに、ハミルトニアンコンステレーシ
ョンは、｜｜ｘ｜−｜ｙ｜｜がゼロよりも大きい少なく
とも１つの行列を含む場合には、直交構築とは区別され
なければならない。このような例示的なコンステレーシ
ョンは、｜｜ｘ｜−｜ｙ｜｜が少なくとも０．１である
少なくとも１つの行列を含む。

【０１５１】

【発明の効果】上記のように、本発明によると、高デー
タレートおよび低エラー確率の理論的な利益をさらに十
分に成し遂げる時空信号コンステレーションの設計に対
する、原則にもとづいたアプローチが提供される。

【図面の簡単な説明】

【図１】多重アンテナアレイを用いた無線通信のための
システムの概略ブロック図である。

【図２】本発明の１つの実施形態による、群ＳＬ
₂（Ｆ₅）に基づいた信号コンステレーションの理論的な
ブロックエラーレート性能のグラフを示す図である（ア
ンテナ構造は、Ｍ＝２の送信アンテナおよびＮ＝１の受
信アンテナからなり、比較のため、同じアンテナ構造で
あるが、信号コンステレーションが、非群直交構築（破
線）、最良の対角構築（アーベル群（一点鎖線）に基づ
いている）、および四元数群（点線）に基づいた理論的
な結果が含まれる）。

【図３】図２と同様（但し、Ｎ＝２の受信アンテナ）の
理論的なブロックエラーレート性能のグラフを示す図で
あり、群ＳＬ₂（Ｆ₅）の符号化の利点は、受信アンテナ
の数が増加するにつれてさらに顕著になることを示唆す
る図である。

【図４】本発明の１つの実施形態による、群Ｆ_{15 、 1 、 11}
に基づいた信号コンステレーションの理論的なブロック
エラーレート性能のグラフを示す図である（アンテナ構
造は、Ｍ＝２送信アンテナおよびＮ＝１受信アンテナか
らなり、実線は、Ｌ＝２４０のユニタリ行列（レートＲ
＝３．９５）を有するＦ_{15 、 1 、 11}を示し、破線は、非群
直交設計（Ｒ＝４）を示し、一点鎖線は、対角（アーベ
ル群）構築（Ｒ＝３．９５）を示し、及び点線は、Ｌ＝
２５６行列（Ｒ＝４）を有する四元数群を示す）。

【図５】Ｌ＝６３行列の既約表現を有する、群Ｇ_{21 、 4}に
基づいた信号コンステレーションの理論的なブロックエ
ラーレート性能のグラフを示す図である（アンテナ構造
は、Ｍ＝３送信アンテナおよびＮ＝１受信アンテナから
なる（Ｒ＝１．９９）、比較のため、同じレートＲを有
する対角（アーベル群）構築も示されている）。

【図６】発明者の研究センターの屋内廊下において無線
装置にわたって送信された群Ｇ _{21 、 4}に基づいた信号コン
ステレーション（図５と同様）の実験的に測定されたブ
ロックエラーレート性能のグラフを示す図である。

【図７】Ｌ＝２４０のユニタリ行列（Ｒ＝１．９８）を
有する群ＳＬ₂（Ｆ₅）の二値拡大である、群Ｋ
_{1 、 1 、 -1}（実線）に基づいた信号コンステレーションの理
論的なブロックエラーレート性能のグラフを示す図であ
る（アンテナ構造は、Ｍ＝４の送信アンテナおよびＮ＝
１の受信アンテナからなり、比較のため、このアンテナ
構造およびレートについて見出された最良の対角（アー
ベル群）構築（破線）も示されている）。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (71)出願人 596077259 600 Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ａｖｅｎｕｅ, Ｍｕｒｒａｙ Ｈｉｌｌ， Ｎｅｗ Ｊｅ ｒｓｅｙ 07974−0636Ｕ．Ｓ．Ａ. (72)発明者 ババク ハッシビ アメリカ合衆国 08873 ニュージャーシ ィ，サマーセット，ジェーエフケー ブゥ ルヴァード １，アパートメント 45エル (72)発明者 バートランド エム． ホッチワルド アメリカ合衆国 07901 ニュージャーシ ィ，サミット，マウンテン アヴェニュー 28 (72)発明者 モハマッド アミン ショクローラヒ アメリカ合衆国 07030 ニュージャーシ ィ，ホボークン，ハドソン ストリート 710，アパートメント ２ (72)発明者 ウィム スウェルデンス アメリカ合衆国 07974 ニュージャーシ ィ，ニュー プロヴィデンス，モアハウス プレイス 29

Claims (26)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 無線通信方法であって、 （ａ）信号の布置（コンステレーション）から少なくと
   も１つの信号を選択するステップであって、前記コンス
   テレーション内の各信号は、行および列で配置されてい
   る要素のユニタリ行列に対応するステップと、 （ｂ）第１の時間間隔において、２つまたはそれ以上の
   各アンテナからそれぞれの複素振幅を送信するステップ
   であって、前記振幅は、前記選択される信号に対応する
   前記行列の行のそれぞれの要素に比例するステップと、 （ｃ）少なくとも１つの他の時間間隔において、前記２
   つまたはそれ以上の各アンテナから他のそれぞれの複素
   振幅を送信するステップであって、前記他の振幅は、前
   記選択される信号に対応する前記行列の他の行のそれぞ
   れの要素に比例するステップとを含み、 前記選択するステップは、対応するユニタリ行列の集合
   が、 （Ｉ）正のダイバーシチ積を有する四元数群以外の非ア
   ーベル群、 （ＩＩ）正のダイバーシチ積を有する四元数群以外の非
   アーベル群の部分集合であって、前記部分集合の乗法的
   閉包は、正のダイバーシチ積を有する非アーベル群であ
   るという他の特性を有する部分集合、 （ＩＩＩ）左からの乗算、右からの乗算、または左およ
   び右からの乗算によって、（Ｉ）を特徴とする種類の群
   から得られる剰余類、または （ＩＶ）左からの乗算、右からの乗算、または左および
   右からの乗算によって、（ＩＩ）を特徴とする種類の群
   の部分集合から得られる剰余類のうちの少なくとも１つ
   を含む信号コンステレーションからの選択を行うことを
   含む無線通信方法。
2. 【請求項２】 前記非アーベル群は、クラスＧ_{m 、 r}に属
   し、前記群内の要素の数はｍｎであり、前記送信するス
   テップにおいて用いられるアンテナの数はｎであり、ｎ
   は、ｒⁿ＝ｍを法とする１となるような、１より大きい
   最小の正の整数である請求項１に記載の方法。
3. 【請求項３】 前記非アーベル群は、クラスＤ_{m 、 r 、 l}に
   属し、前記群内の要素の数は２ｍｎであり、前記送信す
   るステップにおいて用いられるアンテナの数は２ｎであ
   り、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１となるような、最小の
   正の整数である請求項１に記載の方法。
4. 【請求項４】 前記非アーベル群は、クラスＥ_{m 、 r}に属
   し、前記群内の要素の数は８ｍｎであり、前記送信する
   ステップにおいて用いられるアンテナの数は２ｎであ
   り、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１となるような、最小の
   正の整数である請求項１に記載の方法。
5. 【請求項５】 前記非アーベル群は、クラスＦ_{m 、 r 、 l}に
   属し、前記群内の要素の数は１６ｍｎであり、前記送信
   するステップにおいて用いられるアンテナの数は４ｎま
   たは２であり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１となるよう
   な、最小の正の整数である請求項１に記載の方法。
6. 【請求項６】 前記非アーベル群は、クラスＪ_{m 、 r}に属
   し、前記群内の要素の数は１２０ｍｎであり、前記送信
   するステップにおいて用いられるアンテナの数は２ｎで
   あり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１となるような、最小
   の正の整数である請求項１に記載の方法。
7. 【請求項７】 前記非アーベル群は、クラスＫ_{m 、 r 、 l}に
   属し、前記群内の要素の数は２４０ｍｎであり、前記送
   信するステップにおいて用いられるアンテナの数は４ｎ
   であり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１となるような、最
   小の正の整数である請求項１に記載の方法。
8. 【請求項８】 無線通信方法であって、 （ａ）信号のコンステレーションから少なくとも１つの
   信号を選択するステップであって、前記コンステレーシ
   ョン内の各信号は、行および列で配置されている要素の
   ユニタリ行列に対応するステップと、 （ｂ）第１の時間間隔において、２つまたはそれ以上の
   各アンテナからそれぞれの複素振幅を送信するステップ
   であって、前記振幅は、前記選択される信号に対応する
   前記行列の行のそれぞれの要素に比例するステップと、 （ｃ）少なくとも１つの他の時間間隔において、前記２
   つまたはそれ以上の各アンテナから他のそれぞれの複素
   振幅を送信するステップであって、前記他の振幅は、前
   記選択される信号に対応する前記行列の他の行のそれぞ
   れの要素に比例するステップとを含み、 （Ｉ）前記選択するステップは、少なくとも半分が、形
   式Ａ^lＢ^kの行列積として表すことができるユニタリ行列
   の集合、または左からの乗算、右からの乗算、もしくは
   左および右からの乗算によってユニタリ行列のこのよう
   な集合から得られる剰余類に対応する、信号のコンステ
   レーションからの選択を行うことを含み、 （ＩＩ）Ａは、対角要素のそれぞれがｍのベキ根の整数
   累乗であるｎ×ｎの対角行列であり、 （ＩＩＩ）Ｂは、形式 【外１】 （ここで、右上の角は（ｎ−１）×（ｎ−１）単位行列
   である）のｎ×ｎ対角行列であり、ならびに （ＩＶ）ｓおよびｍは正の整数、ｎは少なくとも２の正
   の整数、ｌの各値はｍ未満の負でない整数、ｋの各値は
   ｓおよびｎ未満の負でない整数である方法。
9. 【請求項９】 無線通信方法であって、 （ａ）信号のコンステレーションから少なくとも１つの
   信号を選択するステップであって、前記コンステレーシ
   ョン内の各信号は、行および列で配置されている要素の
   ユニタリ行列に対応するステップと、 （ｂ）第１の時間間隔において、２つまたはそれ以上の
   各アンテナからそれぞれの複素振幅を送信するステップ
   であって、前記振幅は、前記選択される信号に対応する
   前記行列の行のそれぞれの要素に比例するステップと、 （ｃ）少なくとも１つの他の時間間隔において、前記２
   つまたはそれ以上の各アンテナから他のそれぞれの複素
   振幅を送信するステップであって、前記他の振幅は、前
   記選択される信号に対応する前記行列の他の行のそれぞ
   れの要素に比例するステップとを含み、 前記選択するステップは、少なくとも半分が、有限群Ｇ
   _AおよびＧ_Bの２つのそれぞれのユニタリ表現の要素の対
   ごとの積として表すことができるユニタリ行列の集合、
   または左からの乗算、右からの乗算、もしくは左および
   右からの乗算によってユニタリ行列のこのような集合か
   ら得られる剰余類に対応する、信号のコンステレーショ
   ンからの選択を行うことを含む方法。
10. 【請求項１０】 Ｇ_AおよびＧ_Bは、固定小数点を含まな
    い群である請求項９に記載の方法。
11. 【請求項１１】 Ｇ_AおよびＧ_Bは、同じ群であり、前記
    それぞれの表現は、同等の可約表現であり、前記群は、
    奇数の別個の要素を有する請求項９に記載の方法。
12. 【請求項１２】 無線通信方法であって、 （ａ）信号のコンステレーションから少なくとも１つの
    信号を選択するステップであって、前記コンステレーシ
    ョン内の各信号は、行および列で配置されている要素の
    ユニタリ行列に対応するステップと、 （ｂ）第１の時間間隔において、２つの各アンテナから
    それぞれの複素振幅を送信するステップであって、前記
    振幅は、前記選択される信号に対応する前記行列の行の
    それぞれの要素に比例するステップと、 （ｃ）少なくとも１つの他の時間間隔において、前記２
    つの各アンテナから他のそれぞれの複素振幅を送信する
    ステップであって、前記他の振幅は、前記選択される信
    号に対応する前記行列の他の行のそれぞれの要素に比例
    するステップとを含み、 （Ｉ）前記選択するステップは、少なくとも半分が、形
    式 【外２】 の２×２のユニタリ行列の集合、または左からの乗算、
    右からの乗算、もしくは左および右からの乗算によって
    ユニタリ行列のこのような集合から得られる剰余類に対
    応する、信号のコンステレーションからの選択を行うこ
    とを含み、 （ＩＩ）ｘおよびｙは、条件｜ｘ｜²＋｜ｙ｜²＝１を満
    足する複素数であり、 （ＩＩＩ）前記２×２のユニタリ行列の集合は、｜｜ｘ
    ｜−｜ｙ｜｜がゼロよりも大きい少なくとも１つの行列
    を含む方法。
13. 【請求項１３】 前記２×２のユニタリ行列の集合は、
    ｜｜ｘ｜−｜ｙ｜｜が少なくとも０．１である少なくと
    も１つの行列を含む請求項１２に記載の方法。
14. 【請求項１４】 無線通信方法であって、 ２つまたはそれ以上の送信アンテナから少なくとも１つ
    の送信信号を受信するステップであって、前記信号は、
    送信時に、２つまたはそれ以上のそれぞれの時間間隔の
    各々において、前記送信アンテナのそれぞれから送信さ
    れるぞれぞれの複素振幅を含むステップと、 前記受信信号と、信号のコンステレーションから選択さ
    れる複数の信号のそれぞれとを比較し、それによって、
    前記選択される信号の１つを用いて前記受信信号を識別
    するステップであって、前記信号のコンステレーション
    の信号は、ユニタリ行列の集合に対応し、前記集合は、 （Ｉ）正のダイバーシチ積を有する四元数群以外の非ア
    ーベル群、 （ＩＩ）正のダイバーシチ積を有する四元数群以外の非
    アーベル群の部分集合であって、前記部分集合の乗法的
    閉包は、正のダイバーシチ積を有する非アーベル群であ
    るという他の特性を有する部分集合、 （ＩＩＩ）左からの乗算、右からの乗算、または左およ
    び右からの乗算によって、（Ｉ）を特徴とする種類の群
    から得られる剰余類、または （ＩＶ）左からの乗算、右からの乗算、または左および
    右からの乗算によって、（ＩＩ）を特徴とする種類の群
    の部分集合から得られる剰余類のうちの少なくとも１つ
    を含むステップとを含む方法。
15. 【請求項１５】 前記非アーベル群は、クラスＧ_{m 、 r}に
    属し、前記群内の要素の数はｍｎであり、送信アンテナ
    の数はｎであり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１となるよ
    うな、１より大きい最小の正の整数である請求項１４に
    記載の方法。
16. 【請求項１６】 前記非アーベル群は、クラスＤ_{m 、 r 、 l}
    に属し、前記群内の要素の数は２ｍｎであり、送信アン
    テナの数は２ｎであり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１と
    なるような、最小の正の整数である請求項１４に記載の
    方法。
17. 【請求項１７】 前記非アーベル群は、クラスＥ_{m 、 r}に
    属し、前記群内の要素の数は８ｍｎであり、送信アンテ
    ナの数は２ｎであり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１とな
    るような、最小の正の整数である請求項１４に記載の方
    法。
18. 【請求項１８】 前記非アーベル群は、クラスＦ_{m 、 r 、 l}
    に属し、前記群内の要素の数は１６ｍｎであり、送信ア
    ンテナの数は４ｎまたは２であり、ｎは、ｒ ⁿ＝ｍを法
    とする１となるような、最小の正の整数である請求項１
    ４に記載の方法。
19. 【請求項１９】 前記非アーベル群は、クラスＪ_{m 、 r}に
    属し、前記群内の要素の数は１２０ｍｎであり、送信ア
    ンテナの数は２ｎであり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする１
    となるような、最小の正の整数である請求項１４に記載
    の方法。
20. 【請求項２０】 前記非アーベル群は、クラスＫ_{m 、 r 、 l}
    に属し、前記群内の要素の数は２４０ｍｎであり、送信
    アンテナの数は４ｎであり、ｎは、ｒⁿ＝ｍを法とする
    １となるような、最小の正の整数である請求項１４に記
    載の方法。
21. 【請求項２１】 無線通信方法であって、 ２つまたはそれ以上の送信アンテナから少なくとも１つ
    の送信信号を受信するステップであって、前記信号は、
    送信時に、２つまたはそれ以上のそれぞれの時間間隔の
    各々において、前記送信アンテナのそれぞれから送信さ
    れるぞれぞれの複素振幅を含むステップと、 前記受信信号と、信号のコンステレーションから選択さ
    れる複数の信号のそれぞれとを比較し、それによって、
    前記選択される信号の１つを用いて前記受信信号を識別
    するステップとを含み、 （Ｉ）前記信号のコンステレーションの少なくとも半分
    の信号は、形式Ａ^lＢ^kの行列積として表すことができる
    ユニタリ行列の集合、または左からの乗算、右からの乗
    算、もしくは左および右からの乗算によってユニタリ行
    列のこのような集合から得られる剰余類に対応し、 （ＩＩ）Ａは、対角要素のそれぞれがｍのベキ根の整数
    累乗であるｎ×ｎの対角行列であり、 （ＩＩＩ）Ｂは、形式 【外３】 （ここで、右上の角は（ｎ−１）×（ｎ−１）単位行列
    である）のｎ×ｎ対角行列であり、ならびに （ＩＶ）ｓおよびｍは正の整数、ｎは少なくとも２の正
    の整数、ｌの各値はｍ未満の負でない整数、ｋの各値は
    ｓおよびｎ未満の負でない整数である方法。
22. 【請求項２２】 無線通信方法であって、 ２つまたはそれ以上の送信アンテナから少なくとも１つ
    の送信信号を受信するステップであって、前記信号は、
    送信時に、２つまたはそれ以上のそれぞれの時間間隔の
    各々において、前記送信アンテナのそれぞれから送信さ
    れるぞれぞれの複素振幅を含むステップと、 前記受信信号と、信号のコンステレーションから選択さ
    れる複数の信号のそれぞれとを比較し、それによって、
    前記選択される信号の１つを用いて前記受信信号を識別
    するステップとを含み、 前記信号のコンステレーションの少なくとも半分の信号
    は、有限群Ｇ_AおよびＧ_Bの２つのそれぞれのユニタリ表
    現の要素の対ごとの積として表すことができるユニタリ
    行列の集合、または左からの乗算、右からの乗算、もし
    くは左および右からの乗算によってユニタリ行列のこの
    ような集合から得られる剰余類に対応する方法。
23. 【請求項２３】 Ｇ_AおよびＧ_Bは、固定小数点を含まな
    い群である請求項２２に記載の方法。
24. 【請求項２４】 Ｇ_AおよびＧ_Bは、同じ群であり、前記
    それぞれの表現は、同等の可約表現であり、前記群は、
    奇数の別個の要素を有する請求項２２に記載の方法。
25. 【請求項２５】 無線通信方法であって、 ２つまたはそれ以上の送信アンテナから少なくとも１つ
    の送信信号を受信するステップであって、前記信号は、
    送信時に、２つまたはそれ以上のそれぞれの時間間隔の
    各々において、前記送信アンテナのそれぞれから送信さ
    れるぞれぞれの複素振幅を含むステップと、 前記受信信号と、信号のコンステレーションから選択さ
    れる複数の信号のそれぞれとを比較し、それによって、
    前記選択される信号の１つを用いて前記受信信号を識別
    するステップとを含み、 （Ｉ）前記信号のコンステレーションの少なくとも半分
    の信号は、形式 【外４】 の２×２のユニタリ行列の集合、または左からの乗算、
    右からの乗算、もしくは左および右からの乗算によって
    ユニタリ行列のこのような集合から得られる剰余類に対
    応し、 （ＩＩ）ｘおよびｙは、条件｜ｘ｜²＋｜ｙ｜²＝１を満
    足する複素数であり、 （ＩＩＩ）前記２×２のユニタリ行列の集合は、｜｜ｘ
    ｜−｜ｙ｜｜がゼロよりも大きい少なくとも１つの行列
    を含む方法。
26. 【請求項２６】 前記２×２のユニタリ行列の集合は、
    ｜｜ｘ｜−｜ｙ｜｜が少なくとも０．１である少なくと
    も１つの行列を含む請求項２５に記載の方法。