JP2001256216A - 構造物の固有振動数および振動モードを高次要素を用いて有限要素法で求める方法およびシステム - Google Patents
構造物の固有振動数および振動モードを高次要素を用いて有限要素法で求める方法およびシステムInfo
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 高次要素を用いた場合でも、集中質量行列を
用いて比較的少ない計算量あるいはメモリ量で解を算出
する有限要素解析方法およびシステムを与える。 【解決手段】 有限要素法の定型的手順により構造物の
解析モデルから剛性行列およぴ集中質量行列を生成す
る。これらの剛性行列およぴ集中質量行列で表される一
般固有値問題を標準的固有値問題Ａｙ＝λｙ（Ａは固有
値問題を与える行列、λは固有値、ｙは固有ベクトル）
に変換する。集中質量行列が負の成分を含む（即ち、集
中質量行列が正定値行列でない）場合、アーノルディの
反復法により、Ａを射影し行列Ｔ＝｛ｈij｝を得るが、
このときの初期ベクトルを、対応する集中質量行列の成
分が正であるような成分ｈに対しては実数、負であるよ
うな成分ｈに対しては純虚数となるように設定すること
により、行列Ａを実ヘッセンベルグ行列Ｔに変換する。
このヘッセンベルグ行列Ｔが与える標準的固有値問題の
固有値をＱＲ法により求める。固有ベクトルは、集中質
量行列が正定値行列の場合と同様に求められる。
用いて比較的少ない計算量あるいはメモリ量で解を算出
する有限要素解析方法およびシステムを与える。 【解決手段】 有限要素法の定型的手順により構造物の
解析モデルから剛性行列およぴ集中質量行列を生成す
る。これらの剛性行列およぴ集中質量行列で表される一
般固有値問題を標準的固有値問題Ａｙ＝λｙ（Ａは固有
値問題を与える行列、λは固有値、ｙは固有ベクトル）
に変換する。集中質量行列が負の成分を含む（即ち、集
中質量行列が正定値行列でない）場合、アーノルディの
反復法により、Ａを射影し行列Ｔ＝｛ｈij｝を得るが、
このときの初期ベクトルを、対応する集中質量行列の成
分が正であるような成分ｈに対しては実数、負であるよ
うな成分ｈに対しては純虚数となるように設定すること
により、行列Ａを実ヘッセンベルグ行列Ｔに変換する。
このヘッセンベルグ行列Ｔが与える標準的固有値問題の
固有値をＱＲ法により求める。固有ベクトルは、集中質
量行列が正定値行列の場合と同様に求められる。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、構造物の固有振動
数および振動モードを有限要素法で求める方法およびシ
ステムに関する。
数および振動モードを有限要素法で求める方法およびシ
ステムに関する。
【０００２】
【従来の技術】構造物の振動周波教や振動モードを求め
る方法としては、有限要素法に基づくアルゴリズムを用
いて計算機で算出することがよく行われる。このための
実用的なソフトウェアも色々あって市販されている。有
限要素法により振動解析を行う手順はおよそ以下の通り
である。 １）構造体の解析モデルを設定して有限個の要素に分割
し、この結果得られる要素および節点に適切に通し番号
を割り振る。 ２）有限要素法の定式化により剛性行列Ｋ及ぴ質量行列
Ｍを生成する。 ３）これにより構成される固有値問題Ｋｘ＝λＭｘを数
学的に解く。ただしλは周波数パラメータ、ｘは変位ベ
クトルである。しかし、一般に構造物の形状が複雑であ
ったり、高次の振動モードを求めようとしたり、より高
い精度の解を得ようとすると、解析モデルをそれだけ多
数の小さな要素に分割する必要がある。要素数が増える
にしたがって、固有値問題の解を求めるのに必要な計算
量、メモリ量またはこれらの両方が極めて大きなものと
なる。一般に、１次要素よりも２次以上の高次要素を用
いることにより、限られた計算量、あるいはメモリ量の
範囲でより精度の高い解が得られることが弾性解析や流
体の解析では知られている。前述の質量行列には分散質
量行列と集中質量行列があり、この両者では一般に解の
精度は同等であるが、集中質量行列を用いるとコスト、
即ち、計算量または必要メモリ量が約１／２となるた
め、集中質量行列が用いられることが多い。固有値解析
では上記のように固有値間題を数学的アルゴリズムによ
り解くが、大規模な固有値問題の氷解方法としてはラン
チョス法が極めて優れている。以上のことを考慮する
と、効率的に固有値解析を行うためには、２次以上の高
次要素を用いて、質量行列としては集中質量行列を用い
て固有値問題の氷解にはランチョス法を適用するのが最
も効果的であると考えられる。
る方法としては、有限要素法に基づくアルゴリズムを用
いて計算機で算出することがよく行われる。このための
実用的なソフトウェアも色々あって市販されている。有
限要素法により振動解析を行う手順はおよそ以下の通り
である。 １）構造体の解析モデルを設定して有限個の要素に分割
し、この結果得られる要素および節点に適切に通し番号
を割り振る。 ２）有限要素法の定式化により剛性行列Ｋ及ぴ質量行列
Ｍを生成する。 ３）これにより構成される固有値問題Ｋｘ＝λＭｘを数
学的に解く。ただしλは周波数パラメータ、ｘは変位ベ
クトルである。しかし、一般に構造物の形状が複雑であ
ったり、高次の振動モードを求めようとしたり、より高
い精度の解を得ようとすると、解析モデルをそれだけ多
数の小さな要素に分割する必要がある。要素数が増える
にしたがって、固有値問題の解を求めるのに必要な計算
量、メモリ量またはこれらの両方が極めて大きなものと
なる。一般に、１次要素よりも２次以上の高次要素を用
いることにより、限られた計算量、あるいはメモリ量の
範囲でより精度の高い解が得られることが弾性解析や流
体の解析では知られている。前述の質量行列には分散質
量行列と集中質量行列があり、この両者では一般に解の
精度は同等であるが、集中質量行列を用いるとコスト、
即ち、計算量または必要メモリ量が約１／２となるた
め、集中質量行列が用いられることが多い。固有値解析
では上記のように固有値間題を数学的アルゴリズムによ
り解くが、大規模な固有値問題の氷解方法としてはラン
チョス法が極めて優れている。以上のことを考慮する
と、効率的に固有値解析を行うためには、２次以上の高
次要素を用いて、質量行列としては集中質量行列を用い
て固有値問題の氷解にはランチョス法を適用するのが最
も効果的であると考えられる。
【０００３】
【発明が解決しようとする課題】しかし、２次以上の高
次要素を用いた場合、集中質量行列の成分に負のものが
含まれ、正定値行列でなくなることがある。例えば、２
０接点要素の場合は集中質量行列に負の成分が含まれて
非正定値となるため、ランチョス法を適用することがで
きなくなる。したがって、本発明の課題は、有限要素解
析において２次以上の高次要素を用いたために集中質量
行列が負の成分を含み正定値行列でなくなった場合の固
有値問題をランチョス法と同程度のコストで求解するコ
ンピュータ実施可能な方法、およびこの方法に基づく有
限要素解析システムを与えることである。
次要素を用いた場合、集中質量行列の成分に負のものが
含まれ、正定値行列でなくなることがある。例えば、２
０接点要素の場合は集中質量行列に負の成分が含まれて
非正定値となるため、ランチョス法を適用することがで
きなくなる。したがって、本発明の課題は、有限要素解
析において２次以上の高次要素を用いたために集中質量
行列が負の成分を含み正定値行列でなくなった場合の固
有値問題をランチョス法と同程度のコストで求解するコ
ンピュータ実施可能な方法、およびこの方法に基づく有
限要素解析システムを与えることである。
【０００４】
【課題を解決するための手段】前記の課題は以下の方法
およびシステムによって達成される。請求項１記載の発
明は、有限要素法により構造物の固有振動数と振動モー
ドとをコストを抑えて計算する方法である。この方法
は、有限要素法の定型的手順により構造物の解析モデル
から剛性行列およぴ集中質量行列を生成する問題生成ス
テップと、前記剛性行列およぴ前記集中質量行列で表さ
れる一般固有値問題を標準的固有値問題Ａｙ＝λｙ（た
だし、Ａは固有値問題を与える行列、λは固有値、ｙは
固有ベクトル）に変換する標準化ステップと、前記集中
質量行列が負の成分を含む場合、アーノルディ法におけ
る初期ベクトルを、前記集中質量行列の成分が正である
ものに対しては実数、負であるものに対しては純虚数と
なるように設定して前記アーノルディ法を実行すること
により、前記行列Ａを実ヘッセンベルグ行列に変換する
ステップと、前記ヘッセンベルグ行列が与える標準的固
有値問題の固有値を求めるステップとを含むことを特徴
とする。請求項２記載の方法は、前記問題生成ステップ
が、前記解析モデルを高次要素を含む要素に分割するス
テップを含むことを特徴とする。請求項３記載の方法
は、前記標準化ステップにおいて、前記一般固有値問題
がＫｘ＝λＭｘ（Ｋ：前記剛性行列、Ｍ：前記集中質量
行列）と表される場合、前記標準的固有値問題を で与え、且つ（数１） （ただし、δはシフトパラメータ)とすることを特徴と
する。
およびシステムによって達成される。請求項１記載の発
明は、有限要素法により構造物の固有振動数と振動モー
ドとをコストを抑えて計算する方法である。この方法
は、有限要素法の定型的手順により構造物の解析モデル
から剛性行列およぴ集中質量行列を生成する問題生成ス
テップと、前記剛性行列およぴ前記集中質量行列で表さ
れる一般固有値問題を標準的固有値問題Ａｙ＝λｙ（た
だし、Ａは固有値問題を与える行列、λは固有値、ｙは
固有ベクトル）に変換する標準化ステップと、前記集中
質量行列が負の成分を含む場合、アーノルディ法におけ
る初期ベクトルを、前記集中質量行列の成分が正である
ものに対しては実数、負であるものに対しては純虚数と
なるように設定して前記アーノルディ法を実行すること
により、前記行列Ａを実ヘッセンベルグ行列に変換する
ステップと、前記ヘッセンベルグ行列が与える標準的固
有値問題の固有値を求めるステップとを含むことを特徴
とする。請求項２記載の方法は、前記問題生成ステップ
が、前記解析モデルを高次要素を含む要素に分割するス
テップを含むことを特徴とする。請求項３記載の方法
は、前記標準化ステップにおいて、前記一般固有値問題
がＫｘ＝λＭｘ（Ｋ：前記剛性行列、Ｍ：前記集中質量
行列）と表される場合、前記標準的固有値問題を で与え、且つ（数１） （ただし、δはシフトパラメータ)とすることを特徴と
する。
【０００５】請求項４記載の方法は、前記集中質量行列
が負の成分を含まない場合、前記標準的固有値問題をラ
ンチョス法を用いて解くステップをさらに含むことを特
徴とする。請求項５の発明は、有限要素法により構造物
の固有振動数と振動モードとをコストを抑えて計算する
システムである。本システムは、有限要素法の定型的手
順により構造物の解析モデルから剛性行列およぴ集中質
量行列を生成する問題生成手段と、前記剛性行列およぴ
前記集中質量行列で表される一般固有値問題を標準的固
有値問題Ａｙ＝λｙ（ただし、Ａは前記標準的固有値問
題を与える行列、λは固有値、ｙは固有ベクトル）に変
換する標準化手段と、前記集中質量行列が負の成分を含
む場合、アーノルディ法における初期ベクトルを、前記
集中質量行列の成分が正であるものに対しては実数、負
であるものに対しては純虚数となるように設定して前記
アーノルディ法を実行することにより、前記行列Ａを実
ヘッセンベルグ行列に変換する手段と、前記ヘッセンベ
ルグ行列が与える標準的固有値問題の固有値を求める手
段とを備えたことを特徴とする。請求項６記載のシステ
ムは、前記集中質量行列が負の成分を含まない場合、前
記標準的固有値問題をランチョス法を用いて解く手段を
さらに備えたことを特徴とする。請求項７記載のシステ
ムは、前記標準化手段が、Ｋｘ＝λＭｘ（Ｋ：前記剛性
行列、Ｍ：前記集中質量行列）と表される前記一般固有
値問題を に変換する手段からなり、且つ（数１） （ただし、δはシフトパラメータ)であることを特徴と
する。
が負の成分を含まない場合、前記標準的固有値問題をラ
ンチョス法を用いて解くステップをさらに含むことを特
徴とする。請求項５の発明は、有限要素法により構造物
の固有振動数と振動モードとをコストを抑えて計算する
システムである。本システムは、有限要素法の定型的手
順により構造物の解析モデルから剛性行列およぴ集中質
量行列を生成する問題生成手段と、前記剛性行列およぴ
前記集中質量行列で表される一般固有値問題を標準的固
有値問題Ａｙ＝λｙ（ただし、Ａは前記標準的固有値問
題を与える行列、λは固有値、ｙは固有ベクトル）に変
換する標準化手段と、前記集中質量行列が負の成分を含
む場合、アーノルディ法における初期ベクトルを、前記
集中質量行列の成分が正であるものに対しては実数、負
であるものに対しては純虚数となるように設定して前記
アーノルディ法を実行することにより、前記行列Ａを実
ヘッセンベルグ行列に変換する手段と、前記ヘッセンベ
ルグ行列が与える標準的固有値問題の固有値を求める手
段とを備えたことを特徴とする。請求項６記載のシステ
ムは、前記集中質量行列が負の成分を含まない場合、前
記標準的固有値問題をランチョス法を用いて解く手段を
さらに備えたことを特徴とする。請求項７記載のシステ
ムは、前記標準化手段が、Ｋｘ＝λＭｘ（Ｋ：前記剛性
行列、Ｍ：前記集中質量行列）と表される前記一般固有
値問題を に変換する手段からなり、且つ（数１） （ただし、δはシフトパラメータ)であることを特徴と
する。
【０００６】
【発明の実施の形態】以下、本発明の実施の形態例と添
付図面により本発明を詳細に説明する。なお、複数の図
面に同じ要素を示す場合には同一の参照符号を付ける。
図１に、本発明の有限要素解析システムを実行するコン
ピュータシステムの概要を示す。図１において、コンピ
ュータシステム１は、コンピュータ本体１０、およびこ
れに接続された表示装置２０および入力装置３０からな
る。処理速度を考えれば、コンピュータ本体１０は、高
速なワークステーションが好ましい。本体１０のハード
ディスク１１には、本発明による有限要素解析システム
１３が格納されている。以下、有限要素解析システム１
３により構造物の固有振動数および振動モードを求め
る。本発明の有限要素解析システム１３においても、上
述の「構造体の解析モデルを設定して有限個の要素に分
割し、この結果得られる要素および節点に適切に通し番
号を割り振る」ステップと、「有限要素法の定式化によ
り剛性行列Ｋ及ぴ質量行列Ｍを生成する」ステップは従
来技術と同じなので、説明は省略する。以下、剛性行列
Ｋと質量行列Ｍによって与えられる一般固有値問題、 Ｋｘ＝λＭｘ ・・・（１） を本発明の原理にしたがって解くことにより、固有振動
数および固有振動モードを得る。ただし、λ＝ω
2（ω：角速度）、ｘは固有値λに対する固有ベクトル
（列ベクトル）である。ここでは、Ｋは、対称な正定値
行列であり、Ｍは、負の成分を含む対角行列（即ち、集
中質量行列）であるとする。
付図面により本発明を詳細に説明する。なお、複数の図
面に同じ要素を示す場合には同一の参照符号を付ける。
図１に、本発明の有限要素解析システムを実行するコン
ピュータシステムの概要を示す。図１において、コンピ
ュータシステム１は、コンピュータ本体１０、およびこ
れに接続された表示装置２０および入力装置３０からな
る。処理速度を考えれば、コンピュータ本体１０は、高
速なワークステーションが好ましい。本体１０のハード
ディスク１１には、本発明による有限要素解析システム
１３が格納されている。以下、有限要素解析システム１
３により構造物の固有振動数および振動モードを求め
る。本発明の有限要素解析システム１３においても、上
述の「構造体の解析モデルを設定して有限個の要素に分
割し、この結果得られる要素および節点に適切に通し番
号を割り振る」ステップと、「有限要素法の定式化によ
り剛性行列Ｋ及ぴ質量行列Ｍを生成する」ステップは従
来技術と同じなので、説明は省略する。以下、剛性行列
Ｋと質量行列Ｍによって与えられる一般固有値問題、 Ｋｘ＝λＭｘ ・・・（１） を本発明の原理にしたがって解くことにより、固有振動
数および固有振動モードを得る。ただし、λ＝ω
2（ω：角速度）、ｘは固有値λに対する固有ベクトル
（列ベクトル）である。ここでは、Ｋは、対称な正定値
行列であり、Ｍは、負の成分を含む対角行列（即ち、集
中質量行列）であるとする。
【０００７】図２は、（１）の固有値問題において、質
量行列Ｍが集中質量行列で負の成分を含む場合に、本発
明の原理にしたがって求解する手順を示す流れ線図であ
る。まず、式（１）の一般固有値問題を以下の手順によ
り標準固有値問題に変換する（ステップ２０１）。シフ
トパラメータδを のように定義する。ただし、上線付きωは、変換後の一
般固有値問題の振動パラメータである。これにより、剛
性行列Ｋは、 のように変換される。また質量行列Ｍは、周知のコレス
キ（cholesky）分解により、 のように対角行列の積に変換する。ただし、ＣTは、Ｃ
の転置行列である。Ｍの負の成分に対しては、Ｃの成分
は純虚数とする。これらを用いると、式（１）の一般固
有値問題は、次の標準的固有値問題に変換することがで
きる。 ただし、（数２） である。式（６）中のＫ:の逆行列は計算せずに、 のように三角行列と対角行列の積に分解する。ここで、
Ｌは対角成分がすべて１の下三角行列、Ｄは対角行列で
ある。
量行列Ｍが集中質量行列で負の成分を含む場合に、本発
明の原理にしたがって求解する手順を示す流れ線図であ
る。まず、式（１）の一般固有値問題を以下の手順によ
り標準固有値問題に変換する（ステップ２０１）。シフ
トパラメータδを のように定義する。ただし、上線付きωは、変換後の一
般固有値問題の振動パラメータである。これにより、剛
性行列Ｋは、 のように変換される。また質量行列Ｍは、周知のコレス
キ（cholesky）分解により、 のように対角行列の積に変換する。ただし、ＣTは、Ｃ
の転置行列である。Ｍの負の成分に対しては、Ｃの成分
は純虚数とする。これらを用いると、式（１）の一般固
有値問題は、次の標準的固有値問題に変換することがで
きる。 ただし、（数２） である。式（６）中のＫ:の逆行列は計算せずに、 のように三角行列と対角行列の積に分解する。ここで、
Ｌは対角成分がすべて１の下三角行列、Ｄは対角行列で
ある。
【０００８】行列Ａは複素成分を含み対称（即ち、ａij
＝ａji）であるが、エルミート（即ち、ａij＝ａ* ji）
でないためランチョス法など効率のよいアルゴリズムは
適用できない。したがって、一般の複素行列に適用され
る、アーノルディ（Arnoldi）法を試みる（ステップ２
０２）。即ち、行列Ａの射影である行列（数３） の成分ｈijをアーノルディの反復法により、次のように
算出する。 １） 絶対値が１に等しい初期ベクトルｑ1を選定す
る。 ２） 次の計算２ａ〜２ｅをｊ＝１から始めて、収束す
るまで反復する。 （数４） しかし、一般の複素固有値問題として扱うと氷解は大変
煩雑になるので、所望の解は実固有値およぴ実固有べク
トルであることを考慮して次のような手順を考える。行
列Ｋ: 1は対称実行列であるので、仮に対角行列Ｍの第ｉ
成分が負であるとすると、Ｃの第ｉ成分が純虚数とな
り、Ａの第ｉ行および第ｉ列の成分が純虚数となる。
（対角成分は実数となる。）従って、Ｍの負の成分に対
して、対応するＡの行および列の成分が純虚数となるこ
とがわかる。（ただし、負の成分が行と列で重なる場合
は実数となる。） そこで、初期ベクトルｑ1をＭの成分が正であるものに
対しては実数、負であるものに対しては純虚数となるよ
うに決めると、その後生成されるリッツベクトルはべて
同じ実数と純虚数の配置をもつようになる。ただし、Ａ
はエルミート行列ではないので、Ｔは実ヘッセンベルグ
行列となる。以降、元の固有値問題（１）の固有値は、
以上のようにして求めたヘッセンベルグ行列Ｔを用いた
次式の固有値問題を周知のＱＲ法により求めることがで
きる（ステップ２０３）。
＝ａji）であるが、エルミート（即ち、ａij＝ａ* ji）
でないためランチョス法など効率のよいアルゴリズムは
適用できない。したがって、一般の複素行列に適用され
る、アーノルディ（Arnoldi）法を試みる（ステップ２
０２）。即ち、行列Ａの射影である行列（数３） の成分ｈijをアーノルディの反復法により、次のように
算出する。 １） 絶対値が１に等しい初期ベクトルｑ1を選定す
る。 ２） 次の計算２ａ〜２ｅをｊ＝１から始めて、収束す
るまで反復する。 （数４） しかし、一般の複素固有値問題として扱うと氷解は大変
煩雑になるので、所望の解は実固有値およぴ実固有べク
トルであることを考慮して次のような手順を考える。行
列Ｋ: 1は対称実行列であるので、仮に対角行列Ｍの第ｉ
成分が負であるとすると、Ｃの第ｉ成分が純虚数とな
り、Ａの第ｉ行および第ｉ列の成分が純虚数となる。
（対角成分は実数となる。）従って、Ｍの負の成分に対
して、対応するＡの行および列の成分が純虚数となるこ
とがわかる。（ただし、負の成分が行と列で重なる場合
は実数となる。） そこで、初期ベクトルｑ1をＭの成分が正であるものに
対しては実数、負であるものに対しては純虚数となるよ
うに決めると、その後生成されるリッツベクトルはべて
同じ実数と純虚数の配置をもつようになる。ただし、Ａ
はエルミート行列ではないので、Ｔは実ヘッセンベルグ
行列となる。以降、元の固有値問題（１）の固有値は、
以上のようにして求めたヘッセンベルグ行列Ｔを用いた
次式の固有値問題を周知のＱＲ法により求めることがで
きる（ステップ２０３）。
【０００９】固有ベクトルは正定値行列の場合と１同様
に求められる。実際に、上記のように初期ベクトルを設
定すると、複素数として純虚数しか表れないのでプログ
ラム上では実数演算のみで処理することが可能である。
比較のため、ＡＮＳＹＳ第５．４版（ANSYS Inc.）、Ｆ
ＥＭ５のＶ２６Ｌ１０版（株式会社富士通長野システム
エンジニアリング）および本発明のシステムにより、２
０節点六面体要素として直方鉄板の固有振動周波数を求
めた。モデルの寸法はｌ００×２００×５００ｍ、ヤン
グ率は２，１２７×１Ｏ11Ｎ／ｍ2、ポアソン比は０，
２８９、密度は７８６ｋｇ／ｍ3とした。図３に要素数
（横軸）と固有振動周波数（縦軸）の関係を示す。図３
において、大きなＸ印は、本発明のシステムにより集中
質量行列を用いて計算した場合である。小さい×印は、
ＡＮＳＹＳを用いて集中質量行列で計算した場合、小さ
い黒丸は、ＦＥＭ５を用いて集中質量行列で計算した場
合である。市販のツールで集中質量行列と分散質量行列
を選択することができるのはＡＮＳＹＳとＦＥＭ５であ
った。しかし、２０節点六面体要素、集中質量行列を選
択した場合、図３に示すように解の収束は悪くなってい
る。これに対して本発明の手法では分散質量行列の場合
と同等の高い精度で解が得られている。以上は、本発明
の説明のために実施の形態の例を掲げたに過ぎない。し
たがって、本発明の技術思想または原理に沿って上述の
実施の形態に種々の変更、修正または追加を行うこと
は、当業者には容易である。故に、本発明は、以上述べ
た実施の形態に捕らわれることなく、ただ特許請求の範
囲の記載に従って解釈するべきである。
に求められる。実際に、上記のように初期ベクトルを設
定すると、複素数として純虚数しか表れないのでプログ
ラム上では実数演算のみで処理することが可能である。
比較のため、ＡＮＳＹＳ第５．４版（ANSYS Inc.）、Ｆ
ＥＭ５のＶ２６Ｌ１０版（株式会社富士通長野システム
エンジニアリング）および本発明のシステムにより、２
０節点六面体要素として直方鉄板の固有振動周波数を求
めた。モデルの寸法はｌ００×２００×５００ｍ、ヤン
グ率は２，１２７×１Ｏ11Ｎ／ｍ2、ポアソン比は０，
２８９、密度は７８６ｋｇ／ｍ3とした。図３に要素数
（横軸）と固有振動周波数（縦軸）の関係を示す。図３
において、大きなＸ印は、本発明のシステムにより集中
質量行列を用いて計算した場合である。小さい×印は、
ＡＮＳＹＳを用いて集中質量行列で計算した場合、小さ
い黒丸は、ＦＥＭ５を用いて集中質量行列で計算した場
合である。市販のツールで集中質量行列と分散質量行列
を選択することができるのはＡＮＳＹＳとＦＥＭ５であ
った。しかし、２０節点六面体要素、集中質量行列を選
択した場合、図３に示すように解の収束は悪くなってい
る。これに対して本発明の手法では分散質量行列の場合
と同等の高い精度で解が得られている。以上は、本発明
の説明のために実施の形態の例を掲げたに過ぎない。し
たがって、本発明の技術思想または原理に沿って上述の
実施の形態に種々の変更、修正または追加を行うこと
は、当業者には容易である。故に、本発明は、以上述べ
た実施の形態に捕らわれることなく、ただ特許請求の範
囲の記載に従って解釈するべきである。
【００１０】
【発明の効果】集中質量行列に負の成分を含む固有値問
題をランチョス法と同程度のコストで解くことができる
ので、分散質量行列を用いた解析と同等の精度の解を約
１／２の計算量あるいはメモリ量で算出することができ
る。
題をランチョス法と同程度のコストで解くことができる
ので、分散質量行列を用いた解析と同等の精度の解を約
１／２の計算量あるいはメモリ量で算出することができ
る。
【図１】本発明の有限要素解析システムを実行するコン
ピュータシステムの概要を示すブロック図である。
ピュータシステムの概要を示すブロック図である。
【図２】式（１）の固有値問題において、質量行列Ｍが
集中質量行列で負の成分を含む場合に、本発明の原理に
したがって求解する手順を示す流れ線図である。
集中質量行列で負の成分を含む場合に、本発明の原理に
したがって求解する手順を示す流れ線図である。
【図３】本発明の有限要素解析システムと市販のシステ
ムとの実測値の比較を示すグラフである。
ムとの実測値の比較を示すグラフである。
１：コンピュータシステム １０：コンピュータ本体 １１：ハードディスク １３：本発明の有限要素解析プログラム ２０：表示装置 ３０：入力装置
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き Ｆターム(参考） 5B046 GA01 JA08 5B056 AA01 AA06 BB01 BB43 HH03
Claims (7)
- 【請求項１】 有限要素法の定型的手順により構造物の
解析モデルから剛性行列およぴ集中質量行列を生成する
問題生成ステップと、前記剛性行列およぴ前記集中質量
行列で表される一般固有値問題を標準的固有値問題Ａｙ
＝λｙ（ただし、Ａは固有値問題を与える行列、λは固
有値、ｙは固有ベクトル）に変換する標準化ステップ
と、前記集中質量行列が負の成分を含む場合、アーノル
ディ法における初期ベクトルを、前記集中質量行列の成
分が正であるものに対しては実数、負であるものに対し
ては純虚数となるように設定して前記アーノルディ法を
実行することにより、前記行列Ａを実ヘッセンベルグ行
列に変換するステップと、前記ヘッセンベルグ行列が与
える標準的固有値問題の固有値を求めるステップとを含
むことを特徴とする、有限要素法により構造物の固有振
動数と振動モードとをコストを抑えて計算する方法。 - 【請求項２】 前記問題生成ステップが、前記解析モデ
ルを高次要素を含む要素に分割するステップを含むこと
を特徴とする請求項１記載の方法。 - 【請求項３】 前記標準化ステップにおいて、前記一般
固有値問題がＫｘ＝λＭｘ（Ｋ：前記剛性行列、Ｍ：前
記集中質量行列）と表される場合、前記標準的固有値問
題を で与え、且つ（数１） （ただし、δはシフトパラメータ)とすることを特徴と
する請求項１または２記載の方法。 - 【請求項４】 前記集中質量行列が負の成分を含まない
場合、前記標準的固有値問題をランチョス法を用いて解
くステップをさらに含むことを特徴とする請求項１記載
の方法。 - 【請求項５】 有限要素法の定型的手順により構造物の
解析モデルから剛性行列およぴ集中質量行列を生成する
問題生成手段と、前記剛性行列およぴ前記集中質量行列
で表される一般固有値問題を標準的固有値問題Ａｙ＝λ
ｙ（ただし、Ａは前記標準的固有値問題を与える行列、
λは固有値、ｙは固有ベクトル）に変換する標準化手段
と、前記集中質量行列が負の成分を含む場合、アーノル
ディ法における初期ベクトルを、前記集中質量行列の成
分が正であるものに対しては実数、負であるものに対し
ては純虚数となるように設定して前記アーノルディ法を
実行することにより、前記行列Ａを実ヘッセンベルグ行
列に変換する手段と、前記ヘッセンベルグ行列が与える
標準的固有値問題の固有値を求める手段とを備えたこと
を特徴とする、有限要素法により構造物の固有振動数と
振動モードとをコストを抑えて計算するシステム。 - 【請求項６】 前記集中質量行列が負の成分を含まない
場合、前記標準的固有値問題をランチョス法を用いて解
く手段をさらに備えたことを特徴とする請求項１記載の
システム。 - 【請求項７】 前記標準化手段が、Ｋｘ＝λＭｘ（Ｋ：
前記剛性行列、Ｍ：前記集中質量行列）と表される前記
一般固有値問題を に変換する手段からなり、且つ（数１） （ただし、δはシフトパラメータ)であることを特徴と
する請求項５記載のシステム。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2000064136A JP2001256216A (ja) | 2000-03-08 | 2000-03-08 | 構造物の固有振動数および振動モードを高次要素を用いて有限要素法で求める方法およびシステム |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2000064136A JP2001256216A (ja) | 2000-03-08 | 2000-03-08 | 構造物の固有振動数および振動モードを高次要素を用いて有限要素法で求める方法およびシステム |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP2001256216A true JP2001256216A (ja) | 2001-09-21 |
Family
ID=18583884
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP2000064136A Pending JP2001256216A (ja) | 2000-03-08 | 2000-03-08 | 構造物の固有振動数および振動モードを高次要素を用いて有限要素法で求める方法およびシステム |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2001256216A (ja) |
Cited By (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN105424980A (zh) * | 2015-12-30 | 2016-03-23 | 北京联合大学 | 一种基于整体建模的谐振音叉结构设计方法 |
| CN109711030A (zh) * | 2018-12-20 | 2019-05-03 | 长安大学 | 一种基于不完备数据的有限元模型修正方法 |
| JP2020177548A (ja) * | 2019-04-22 | 2020-10-29 | 大成建設株式会社 | スペクトル要素法に用いる解析モデルの要素条件決定方法 |
-
2000
- 2000-03-08 JP JP2000064136A patent/JP2001256216A/ja active Pending
Cited By (5)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN105424980A (zh) * | 2015-12-30 | 2016-03-23 | 北京联合大学 | 一种基于整体建模的谐振音叉结构设计方法 |
| CN109711030A (zh) * | 2018-12-20 | 2019-05-03 | 长安大学 | 一种基于不完备数据的有限元模型修正方法 |
| CN109711030B (zh) * | 2018-12-20 | 2023-04-18 | 长安大学 | 一种基于不完备数据的有限元模型修正方法 |
| JP2020177548A (ja) * | 2019-04-22 | 2020-10-29 | 大成建設株式会社 | スペクトル要素法に用いる解析モデルの要素条件決定方法 |
| JP7206151B2 (ja) | 2019-04-22 | 2023-01-17 | 大成建設株式会社 | スペクトル要素法に用いる解析モデルの要素条件決定方法 |
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