JP2000076485A - ボロノイフィルタリングによる面再構築方法、装置、およびコンピュ―タ媒体 - Google Patents

ボロノイフィルタリングによる面再構築方法、装置、およびコンピュ―タ媒体

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JP2000076485A
JP2000076485A JP11229469A JP22946999A JP2000076485A JP 2000076485 A JP2000076485 A JP 2000076485A JP 11229469 A JP11229469 A JP 11229469A JP 22946999 A JP22946999 A JP 22946999A JP 2000076485 A JP2000076485 A JP 2000076485A
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ウェイン バーン マーシャル
Annamaria B Amenta
ビー アメンタ アンナマリア
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Abstract

(57)【要約】 【課題】 サンプル点の集合からｄ次元面を効果的に再
構築する。 【解決手段】 ボロノイ図処理１３０が、サンプル点か
ら複数のボロノイセルおよびボロノイ頂点を有するボロ
ノイ図をサンプル点から生成する。極選択１４０が、ボ
ロノイセルの幾何学的形状に基づいてボロノイ頂点の部
分集合を選択することによって、オリジナル面の中点軸
を概算して面を再構築する。さらに、ドローネ三角形分
割処理１４５がサンプル点および極のドローネ三角形分
割を計算し、法線角によるフィルタリング１５０および
多様体抽出１５５により、ドローネ三角形分割によって
得られた三角形のうち三つすべての頂点がサンプル点で
はない三角形をフィルタ除去するとともに、他の三角形
に隣接しない辺を有するすべての三角形を排除し、面を
再構築する。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、面再構築に関し、
特に、コンピュータグラフィック、データ画像化、自動
地図作成、および医療撮像の分野を含む多くの分野にお
ける課題である、サンプル点からの面の再構築に関す
る。
【０００２】
【従来の技術】面再構築アルゴリズムは一般的に、面を
明確に表現しない入力から、その未知の面を概算する。
第一の例としては、コンピュータグラフィックの分野に
おいて、レーザ距離測定器を用いて三次元モデルを走査
することによりサンプル点を生成し、それらの点をコン
ピュータに入力する場合がある。その後、面再構築アル
ゴリズムを実行して、さらなる操作および解釈に使用す
るための多角形面を再構築する。第二の例としては、力
学的システムを研究する科学者が、データ点の集合から
面を再構築し、それらの点が低い次数の多項式などの滑
らかな面に位置するかどうかを確認することが挙げられ
る。
【０００３】従来技術の面再構築アルゴリズムは、三角
形分割に基づくもの（本発明など）と、レベル集合（le
vel sets）に基づくものとに、大きく二種類に分類され
る。三角形分割に基づく最も周知のアルゴリズムは、イ
リノイ大学のエデルスブルンナらのアルファコンプレッ
クス（複体）構築（alpha complex construction ofEde
lsbrunner,et al.）である（H.Edelsbrunner and E.Muc
ke,"Three-Dimensional Alpha Shapes",ACM Trans.Grap
hics,13(1994)pp.43-72参照のこと）。三角形分割に基
づくアルゴリズムを用いた他の当業者には、ボワソナ
（S.D.Boissonat,"Geometric Structures for Three-Di
mensional Shape Reconstruction,ACM Trans.on Graphi
cs 3(1984)266-286参照のこと）、パーデュー大学のバ
ジャジら（C.L.Bajaj,F.Bernardini,and G.Xu,"Automat
ic Reconstruction of Surfaces andScaler Fields fro
m 3D Scans",Computer Graphics(Proc.SIGGRAPH),1995,
pp.109-118参照のこと）、およびフランスのアタリ（D.
Attali R-Regular,"Shape Reconstruction from Unorga
nized Points",Proceedings of the ACM Symposium on
Computational Geometry,1997,pp.248-253参照のこと）
を含む。アルファコンプレックスの欠点は、グローバル
（大域的）サイズのパラメータであるアルファを仮定す
るため、適応させて（adaptively）サンプリングした面
においてあまり良好に機能しない。本発明以前の三角形
分割に基づくすべてのアルゴリズムのより一般的な欠点
は、四つのサンプル点が同一円上に位置した（cocircul
ar）場合に、面内にスプリアスな穴が生じることであ
る。
【０００４】レベル集合アルゴリズムは、数々の研究グ
ループによって考案されている。最も著名なグループ
は、ワシントン大学のグループ（H.Hoppe,T.DeRose,T.D
uchamp,J.McDonald,and W.Stuetzle,"Surface Reconstr
uction from Unorganized Points",Computer Graphics
(Proc.SIGGRAPH),1992,pp.71-78参照のこと）およびス
タンフォード大学のグループ（B.Curless and M.Levo
y,"A Volumetric Method forBuilding Complex Models
From Range Images",Computer Graphics(Proc.SIGGRAP
H),1996およびG.Turk and M.Levoy,"Zippered Polygon
Meshes from Range Images",Computer Graphics(Proc.S
IGGRAPH),1994,pp.311-318参照のこと）である。レベル
集合アルゴリズムは、実際上良好に機能し、現在コンピ
ュータグラフィックなどの厳密さが要求されない利用に
おいて、三角形分割に基づく方法より好ましいとされて
いる。しかしレベル集合アルゴリズムの二つの特性が、
科学的画像化などのさらなる厳密さ要求される利用にお
いて不都合な点となっている。第一にレベル集合アルゴ
リズムは、サンプル点を補間する（通過する）のではな
く、サンプル点の近似値をとる（近くを通る）。第二に
レベル集合アルゴリズムは、境界（boundaries）を含む
面よりも閉鎖面を好む傾向が強い。
【０００５】本発明の面再構築アルゴリズムは、三角形
分割に基づくものであり、厳密さが要求される利用およ
び要求されない利用の両利用において、証明可能に信頼
性の高い性能を発揮する。本発明では三角形分割に基づ
く他のアルゴリズムとは異なり、グローバルサイズのパ
ラメータを仮定しないし、スプリアスな穴は回避され
る。また本発明はレベル集合アルゴリズムとは異なり、
所定のサンプル点の集合そのものを頂点の集合として有
する多角形面を供給する。さらに本発明は、境界を埋め
てしまった多角形をデータが十分サポートしない場合
は、たとえば面内の「ウィンドウ」として、境界を残
す。
【０００６】
【課題を解決するための手段】本発明の面再構築アルゴ
リズムは、サンプル点の集合からｄ次元の面を生成す
る。面再構築アルゴリズムは典型的には、三次元空間内
に埋め込まれた二次元面をサンプル点の集合から再構築
する。面再構築アルゴリズムは最初に、サンプル点のボ
ロノイ（Voronoi）図を生成する。ボロノイ図は、空間
をボロノイセルに分割した状態を表す。各サンプル点に
対して、一つのボロノイセルが示される。各サンプル点
のボロノイセルは、他のいずれのサンプル点よりその点
に近い空間で構成される。面再構築システムは、サンプ
ル点およびそれらのボロノイセルの形状を用いて、再構
築面にいずれの面素（三次元内の二次元面の場合は三角
形）を含むかを判定する。一つの実施形態では、ボロノ
イセルの形状情報は、頂点の位置、頂点および辺におけ
る角度、セルのアスペクト比（aspect ratio）、並びに
セルの主軸の方向および長さを含む。
【０００７】三次元内の二次元面の実施形態では、ボロ
ノイセル形状情報は、各ボロノイセルから特別に選択さ
れる一つまたは二つの「極」と呼ばれる頂点の位置であ
る。サンプル点ｖの第一の極ｐ+は、ｖのボロノイセル
の頂点のうちｖから最も遠い頂点である。ｖがサンプル
点の凸外殻（convex hull）に位置する場合、ｖのボロ
ノイセルは非有界である。その場合にｖのｐ+は、該ボ
ロノイセルが非有界である方向をベクタｖｐ+が指すと
いう条件を満たす頂点であればいずれの頂点でもよい。
いずれの場合も、第二の極ｐ-は、ｖのボロノイセルの
頂点のうちｖから最も遠い頂点であり、ｖｐ-とｖｐ+と
の点乗積（dot product）がマイナスであるという条件
を満たす頂点である。
【０００８】極の選択後、面再構築アルゴリズムは、サ
ンプル点および極を用いてドローネ三角形分割（Delaun
ay triangulation）を計算し、三つの頂点すべてがサン
プル点である三角形のみを保持する。最後の二つのオプ
ションのステップにおいて、アルゴリズムはさらなる三
角形フィルタリングを実施する。頂点から極へのベクタ
と三角形の法線との間の角度に基づいて、三角形を排除
してもよい。そしてさらにアルゴリズムは、保持した三
角形の集合から二次元多様体を抽出する。この多様体抽
出のステップでは、鋭い二面角（たとえば、他の三角形
に隣接しない辺）を有する各三角形を排除し、続いて三
角形の連合の内側または外側を決定する。
【０００９】
【発明の実施の形態】図１は、本発明の面再構築システ
ムの一つの実施形態を示すブロック図である。面再構築
システム１００の核心部は、面再構築装置１１０であ
る。一般的に面再構築装置１１０は、サンプル点
（Ｓi）を入力として受信し、図１に面再構築面１６０
として示す再構築面または「クラスト」を出力として生
成する。サンプル点（Ｓi）は、いずれのソースによっ
て生成されてもよい。面再構築装置１１０は、サンプル
点が十分に密集していることのみを仮定し、均一性や正
則性に関する仮定はしない。十分に密なサンプル点と
は、以下のように定義される。データ生成システム（１
２０）は、レーザ距離測定器、タッチスキャナ、または
他の測定デバイス（たとえばスキャナ１２２）で構成さ
れてもよいし、あるいは物理的工程の数値的シミュレー
ション（たとえばモデルデータ１２５）のように完全に
合成であってもよい。データ生成システム１２０は、点
の位置以外に、面の法線などの追加のデータを生成して
もよい。ここに説明する実施形態ではそのような補助的
情報は使用しないが、他の実施形態においては面再構築
方法に補助的情報を組み入れることも可能である。
【００１０】面再構築方法は、以下の構成部分を含む：
サンプル点のボロノイ図を算出するステップ（ボロノイ
頂点図処理１３０）；所定のボロノイ頂点を極として機
能させるよう選択するステップ（極選択１４０）；サン
プル点のドローネ三角形分割を計算するステップ（ドロ
ーネ三角形分割１４５）；ドローネ三角形のうち三つす
べての頂点がサンプル点である三角形を抽出するステッ
プ（ドローネ三角形分割１４５）；および、さらに三角
形を、法線角（normal angles）に基づいて抽出する
（法線角によるフィルタリング１５０）またはグローバ
ルトポロジに基づいて抽出する（多様体抽出１５５）ス
テップ。再構築面（１６０）は、多面を有する面であ
り、サンプル点の集合からの頂点を有する三角形を含
む。以下に、各ステップをさらに詳述する。
【００１１】サンプル点の集合Ｓ＝｛ｓ1，
ｓ2，．．．，ｓn｝があるとする。ボロノイ図は、空間
（たとえば、二次元または三次元のユークリッド空間）
をセルに分割する。各サンプル点に対して、一つのセル
が形成される。Ｖｏｒ（ｓi）と表記されるサンプル点
ｓiのセルは、他のいずれのサンプル点よりその点に近
い空間で構成される。図２は、二次元における１０個の
サンプル点ｓ1，ｓ2，．．．，ｓ10の集合のボロノイ図
を表す。通常、二次元面に関するボロノイ図は三次元で
あるが、簡単に図示するため二次元空間で示す。ボロノ
イセルは、破線で区分されている。Ｖｏｒ（ｓ4）など
のボロノイセルは有界であるが、Ｖｏｒ（ｓ2）などの
他のセルは非有界である。非有界のセルは、セルに隣接
する部分は破線で示され、矢印は無限に向かうことを示
す。三つのセル（三次元では四つのセル）が接触する点
が、ボロノイ頂点である。たとえば２３０が付された点
は、Ｖｏｒ（ｓ1）、Ｖｏｒ（ｓ2）、およびＶｏｒ（ｓ
3）の接触点である。
【００１２】ボロノイ図は、計算機幾何学（computatio
nal geometry）のいずれの文献にも記載される標準的な
アルゴリズムによって算出することができる。また、自
由に入手可能なボロノイ図算出のためのソフトウェアが
ある。たとえば、ボロノイ図処理ステップ１３０の一つ
の実施形態では、ケンクラークソンの外殻プログラム
（Ken Clarkson's Hull program）を用いてドローネ三
角形分割を計算し（以下参照のこと）、続いてそのドロ
ーネ三角形分割からボロノイ図を算出する。この算出作
業は、比較的簡単である。クラークソンの外殻プログラ
ムは厳密な計算法を使用するが、それは本発明の方法に
必須ではない。一つの実施形態におけるボロノイ図処理
ステップ１３０（図１）では、各ボロノイ頂点は、ＬＡ
ＰＡＣＫのソルバー（solver from LAPACK）を用いて４
×４の線系の解を求めることにより（by solving a fou
r x four linear system）算出される。このソルバー
は、係数マトリックスの条件数（condition number）も
供給するため、それを用いて不確実なボロノイ頂点を排
除することも可能である。
【００１３】本発明の面再構築方法は、三次元のボロノ
イ頂点の多くが実際、中点軸（medial axis）の近くに
位置するという事実を活用する。密にサンプルされた滑
らかな表面Ｆにおける、いずれか一つのサンプルｓのボ
ロノイセルＶｏｒ（ｓ）について考察する。Ｆにおいて
サンプルｓは他のサンプルに囲まれており、Ｖｏｒ
（ｓ）は、ｓと隣接するサンプルとを分割する垂直の二
等分平面によって区分されている。ボロノイセルＶｏｒ
（ｓ）は細長く、ｓにてＦに対して概ね垂直である。ボ
ロノイセルＶｏｒ（ｓ）は、Ｆの他の部分のサンプルに
よって遮られない限り無限に伸張する。他のサンプルに
よって遮られる場合は、ボロノイセルＶｏｒ（ｓ）は中
点軸付近にて区切られる。本発明の面再構築方法は、ボ
ロノイ頂点をフィルタリングし、中点軸に近いボロノイ
頂点を検出する。
【００１４】面再構築に使用されるボロノイ頂点の部分
集合（サブセット）は、「極」と呼ばれる。一般的に極
は、面の中点軸付近に位置する。中点軸は、隣接するシ
ート状の面の間に二次元面を形成し、その面の断面が円
形の場合は一次元の曲線に退化する。好適な実施形態で
は、各サンプルｓに対して、ボロノイセルＶｏｒ（ｓ）
の頂点のうち面Ｆの各側に位置するｓから最も遠い二つ
の頂点のみを使用する。これらの二つの極は、ｐ+およ
びｐ-と表記される。ｐ+と呼ばれる一方の極は通常、ｓ
から最も遠いＶｏｒ（ｓ）の頂点である。ボロノイセル
Ｖｏｒ（ｓ）が細長いということは、他方の極ｐ-は、
ｐ+から概ね逆方向に位置するということを示唆する。
以下にさらに詳述するとおり、この実施形態では極ｐ-
は、ｓから最も遠いボロノイ頂点のうち、サンプル点か
ら極ｐ-へのベクタ（ｓｐ-）と、サンプル点から極ｐ+
へのベクタ（ｓｐ+）との点乗積がマイナスであるとい
う条件を満たす頂点である。
【００１５】極選択ステップ１４０では、再構築される
面の中点軸付近に位置するボロノイ頂点を検出する。し
かし、面およびその中点軸は、両方とも未知である。面
の中点軸については、図１２に関連して以下にさらに詳
述する。極選択ステップでは、各サンプル点ｓを順次処
理し、すべてのサンプル点に対して同じ処理が適用され
る。極選択の一つの実施形態を、図３に関連して説明す
る。
【００１６】図３は、三次元内に埋め込まれた二次元面
に関する極選択のための好適な実施形態を示すフローチ
ャートである。図３のブロック７００に示すとおり、極
の集合Ｐを空集合に初期化し、続いてサンプル点ｓiを
処理する。ブロック７２０に示すように、極選択１４０
ステップ（図１）は、ｓiがＳの凸外殻に位置するかど
うかを検査する。凸外殻は、計算機幾何学における標準
的な構造の一つである。ｓiの状況（凸外殻かどうか）
は、実はＳのボロノイ図に示されている。ｓiが凸外殻
に位置しない場合は、図４に示すようにＶｏｒ（ｓi）
は有界である。ｓiが凸外殻に位置しない場合はブロッ
ク７４０に示すように、極選択ステップ１４０（図１）
にて、必然的にボロノイ頂点であるＶｏｒ（ｓi）内の
ｓから最も遠い点を、「仮想」頂点として第一の極ｐi +
に選択する。
【００１７】ｓiが凸外殻に位置する場合は、図５に示
すようにＶｏｒ（ｓi）は非有界である。図３のブロッ
ク７３０に示すとおり極選択１４０ステップ（図１）に
て、ベクタｓiｐi +がＶｏｒ（ｓi）内に位置するという
条件を満たすいずれかの点を、ｐi +に指定する。ｐi +へ
の距離ではなく方向のみが重要であり、このｐi +は、最
終的には極の集合Ｐには含まない。一つの実施形態にお
いてベクタｓiｐi +は、ｓiに関係する凸外殻面の外向き
の法線を平均することによって計算される。
【００１８】どちらの場合もｐi +の選択後、図３のブロ
ック７５０に示すとおり極選択１４０にて、Ｖｏｒ（ｓ
i）の頂点ｖのうち、ｓiｖがベクタｓiｐi +上にマイナ
スの射影を投じるという条件を満たす頂点、または同義
的に、角度ｖｓiｐi +が９０°より大きいという条件を
満たす頂点を抽出する。それらのすべての頂点ｖのう
ち、ｐi +から最も遠い頂点をｓiの第二の極ｐi -として
選択する。ｐi -の選択の条件は、ｐi -が面Ｆの反対側に
おいてｐi +から最も遠いボロノイ頂点であることであ
る。ｒ≦．１の時にＳがｒ−サンプルである限りにおい
て、この条件は満たされる。それは、ｒ−サンプルの各
ボロノイセルが細長く、長手方向が面に対してほぼ垂直
であるためである。
【００１９】Ｐと表記される極の集合は、有界ボロノイ
セルを有するサンプル点に関して選択されたｐi +と、全
サンプル点に関して選択されたｐi -とを含む。各仮想頂
点、すなわち非有界ボロノイセルを有するサンプル点に
関して選択されたｐi +は、すでにｐi -の算出という目的
を果たしたため、現時点で放棄できる。図３の７６０に
示すとおり、極選択工程は各サンプル点に対して繰り返
される。
【００２０】極選択は、多様な方法での実施が可能であ
る。一例としては、たとえばｐi -からｓiの距離の１／
１０の地点の点などの、サンプル点と上述したばかりの
極との擬似（アフィン）結合を、極として使用すること
ができる。この実施形態は、サンプル数が若干十分でな
い面に対して良好に機能する。他の実施形態では、（方
向に関わらず）二番目に遠いボロノイ頂点をｐi -として
使用する。さらなる実施形態では、ｓiにて二つの極へ
のベクタ間に形成される角度において、少なくともある
しきい値が測定される限りにおいて、二つの仮想頂点を
使用することを含む。これらの実施形態は、機器のパー
ツや建造物などの鋭い辺を有する面を再構築する場合に
利用される。鋭い二面角を有する面においては、基本の
実施形態にて使用される第二の極ｐi -は、面自身に近す
ぎる位置にあるかもしれない。極選択のためのこれらの
追加の実施形態は、確実な面構築を可能にし、場合によ
っては基本実施形態よりも優れていることがある。
【００２１】ｄ次元内のｋ次元面の再構築の際、極選択
ステップ１４０の実施形態では、一つのサンプル点に対
して二つ以上の極を使用する。各ボロノイセルは、ｋ次
元において圧縮状態（「細い」）であり、ｄ−ｋ次元に
おいて長い。基本実施形態を適切に概括すると、すべて
のボロノイ頂点は長手方向であるｄ−ｋ次元の最端点で
ある。すなわち、凸外殻に位置するすべてのボロノイ頂
点は、セルの長手方向次元であるｄ−ｋ次元に対してほ
ぼ平行な（ｄ−ｋ）平坦面（(d-k)-flat）上に射影す
る。この平坦面は、ボロノイセルのｄ−ｋ主軸を用いて
算出できるし、あるいは、包囲する最少直六面体（mini
mum enclosing rectangular parallelopiped）の最も長
い面に渡ると考えられる。したがって三次元内の二次元
面の場合に極は、ボロノイセルの最も長い辺に概ね平行
な線上に射影する二つの最端の頂点である。
【００２２】極選択後、面再構築方法は、計算機幾何学
の標準的な作図法であるドローネ三角形分割（図１、１
４５）を実施する。図６は、サンプル点の集合｛ｓ1，
ｓ2，．．．，ｓ10｝に関するドローネ三角形分割を示
す。サンプル点の集合例は、図２に示すサンプル点と同
じである。二次元でのドローネ三角形分割は、ボロノイ
セル同士が隣接する三つのサンプル点に対して一つの三
角形を形成する。三次元でのドローネ三角形分割では、
ボロノイセル同士が隣接する四つのサンプル点に対して
一つの四面体を形成する。たとえば図６に示すとおり、
Ｓ9を含むボロノイセル２２０は、Ｖｏｒ（ｓ10）、Ｖ
ｏｒ（ｓ8）、およびＶｏｒ（ｓ5）に隣接する。サンプ
ル点Ｓ9に関して言えば、ドローネ三角形分割によっ
て、Ｓ8、Ｓ9、およびＳ10を頂点に有する三角形と、Ｓ
9、Ｓ8、およびＳ5を頂点に有する第二の三角形とが形
成される。このように、Ｓ5、Ｓ8、およびＳ9を頂点と
して有する三角形が形成されるのは、これらのサンプル
点のボロノイセルがボロノイ頂点にて接触するからであ
る。
【００２３】詳細には、面再構築方法は、Ｓ∪Ｐ（すな
わち、サンプル点および非仮想極の和集合）のドローネ
三角形分割を計算する。一つの実施形態では、たとえば
インターネット上のhttp://cm.bell-labs.com/netlib/v
oronoi/hull.htmlで入手可能な「凸外殻のためのプログ
ラム」（「クラークソンの外殻プログラム」）などの、
ボロノイ図の算出に使用したものと同じプログラムを使
用して、ドローネ三角形分割が計算される。クラークソ
ンの外殻プログラムは厳密な整数計算法を使用するた
め、非常に確固としており、厳密な出力を生成し、計算
法上の許容パラメータを必要としない。外殻プログラム
は、ドローネ四面体のリストを出力するが、常にある程
度の切捨て誤差を含むそれらの外心（二つのボロノイ頂
点）の座標は出力しない。しかし本発明による面再構築
においては、その数値誤差は極と面との間の距離に相対
してわずかであり、極の正確な位置は重要でない。
【００２４】厳密な計算法を使用しない三次元ドローネ
三角形分割プログラムに切り替えることによって、効率
を大きく改善できる場合もある。ドローネ三角形分割の
実行時間は、ドローネ三角形分割の計算に必要な時間に
よって決まる。クラークソンの外殻プログラムはインク
リメンタルアルゴリズム（incremental algorithm）を
使用するため、その実行時間は頂点の入力順序に左右さ
れやすい。三角形分割アルゴリズムは、三角形分割の実
施と同時に探索（サーチ）構造を構築するため、その工
程は二分探索ツリーのインクリメンタルな構築によるソ
ートに類似する。ランダムな順序で点が入力された場
合、探索構造は（非常に高い確率にて）平衡状態であり
予想実行時間は最適である。しかし実際上は、メモリの
ページング動作の関係で、多数の入力のランダムな読込
みは時間がかかる。一つの実施形態では、平衡した初期
構造を得るために数千点のランダムな部分集合を読み込
み、続いて、局所性（locality）を改善するよう空間的
区分そのままのベースにて残りの点を読み込むことで、
性能を向上させる。ドローネ三角形分割は外殻コンピュ
ータプログラムを用いて実施できるが、本発明の面再構
築技術において、特定のドローネ三角形分割アルゴリズ
ムが必須ということではない。ドローネ三角形分割のさ
らなる説明に関しては、K.Clarkson,K.Mehlhorn and R.
Seidel,"Four Results on Randomized Incremental Con
structions",Computational Geometry:Theory and Appl
ications,1993を参照されたい。
【００２５】一つの実施形態では、三角形の法線角に基
づいてさらなるフィルタリングが実施される（図１、１
５０）。ｒ≦．１などｒが適切に小さいとして、Ｓがｒ
−サンプルであると仮定すると、ベクタｓiｐi +および
ｓiｐi -は、ｓiにて面に対してほぼ垂直であることが確
実になる。そして、三角形Ｔの法線が、その頂点の一つ
にてこれらのベクタの一つから所定のしきい値を越えて
異なる場合には、その三角形Ｔを排除する。一つの実施
形態では、このしきい値は３０°である。法線角による
フィルタリングは、面に連結した別個の構成部分を接続
することで形成された三角形などの、スプリアスな三角
形を排除するのに有効な技術である。
【００２６】法線角によるフィルタリング後にもさら
に、保持された三角形の集合には余計な三角形が含まれ
ることがある。たとえば、「細長片」四面体（外接円半
径と最短の辺の長さとの比率が過度に大きくない非常に
平たい四面体）の四つの三角形のすべてが、上述のすべ
てのフィルタリングステップを通過したかもしれない。
一つの実施形態において面再構築技術は、多様体抽出ス
テップ（図１、１５５）を実施し、二次元多様体を抽出
する。
【００２７】多様体抽出の一つの実施形態では、三角形
はまず、幅ファースト探索（breadth-first search）に
したがって「内側」および「外側」が方向決めされる。
この処理は、いずれかのサンプル点ｓiから始められ、
ｐi +を「外側」、ｐi -を「内側」と指定する。多様体抽
出処理では続いて、ｓiに関係するいずれかの三角形Ｔ
を選択し、ｓｐi +上のある点からＴを見て、見える側を
Ｔの外側面と指定する。多様体抽出は続いて、他の頂点
の極の方向決めを、Ｔに指定された方向と適合するよう
実施する。そして、Ｔと頂点を共有する各三角形の方向
決めを、共有極の方向が一致するように実施する。この
処理は、すべての極および三角形が方向決めされるま
で、幅ファースト探索によって続けられる。
【００２８】三角形分割され区分的には線形である二次
元多様体において、二つの三角形は各辺にて、外側面同
士および内側面同士を合わせて隣接する。多様体抽出ス
テップは、再構築面においてこれと同じ性質を実現させ
る。現時点での三角形の集合において「鋭い」辺とは、
隣接する三角形との間に、その辺の周囲に輪環の順にて
２７０°を越える二面角を形成する辺と定義される。そ
して多様体抽出ステップは、「鋭い」辺を有する三角形
をすべて除去する。残る三角形は、一定の向きにて、各
辺において少なくとも二つの三角形が隣接する「キル
ト」面を形成する。多様体抽出ステップは、このキルト
面の外側を、三角形の方向決めに用いた幅ファースト探
索と同様の幅ファースト探索を三角形に実施することに
よって算出する。
【００２９】図７は、三次元内に埋め込まれた二次元面
の再構築のための好適な実施形態を示すフローチャート
である。図７のフローチャートは、上述の面再構築方法
のステップを明示するものである。ブロック６４５に
て、Ｓのサンプル点（Ｓ＝［Ｓ1，Ｓ2，．．．Ｓn］）
に関してボロノイ図を算出する。ブロック６５０にて、
同じサンプル点に関して極の集合Ｐを算出する。極の集
合の算出は、上述したとおりである。ブロック６５５に
て、サンプル点および極のドローネ三角形分割を計算す
る。ブロック６６０にて、ドローネ三角形分割から得ら
れた出力三角形のうち、一つ以上の頂点が極である三角
形を削除する。ブロック６６５にて、法線角が極へのベ
クタから逸れている三角形を削除する。最終処理ステッ
プとしてブロック６７０にて、二次元多様体を抽出す
る。
【００３０】二次元における一次元面の再構築 二次元内の一次元面（曲線）を再構築する場合、すべて
のボロノイ頂点が単純に極として指定される。そして、
ボロノイ頂点の集合（Ｖ）を用いて、（Ｓ∪Ｖ）のドロ
ーネ三角形分割が実施される。図８に、曲線上のサンプ
ル点の集合に関するボロノイ図を示す。詳細には図８
は、二次元内の一次元面（曲線）を再構築する場合を示
す。各サンプル点に対応するボロノイセルが設けられて
いることに留意されたい。出版物GRAPHICAL MODELS AND
IMAGE PROCESSING,Vol.60/2,No.2,March,pp.125-135,1
998,Article No.IP980465の記事、"The Crust and the
β-Skeleton:Combinatorial Curve Reconstruction",Au
thors:Nina Amenta,MarshallBern and David Eppstein
は、二次元内の一次元面（曲線）を再構築する場合につ
いて説明している。
【００３１】図９に、Ｓ∪Ｖのドローネ三角形分割を示
す。太線にて示されるクラスト辺（すなわち再構築面）
は、図９にて符号５００が付されている。図１０に、ド
ローネ三角形分割で得られた辺のうち両端点がサンプル
点である辺そのものを辺として有する再構築曲線を示
す。
【００３２】従来技術のアルゴリズムは、三次元には及
ばない。図１１に示すように三次元では、サンプリング
密度に関わらず、ボロノイ頂点は面に任意に近接してい
るように見える。本発明は、ボロノイ頂点の部分集合の
みを使用することで、不都合な配置のボロノイ頂点によ
る問題を回避する。詳細には、図１１の例は７個のサン
プル点を含む。曲面６２０上のサンプル点の一つには符
号６１０が付され、その点の三次元ボロノイセルの辺に
は６００が付されている。図１１に示すとおり、６３０
が付されたボロノイ頂点は、中央付近の四つのサンプル
点から等距離の位置にて、面６２０に近接している。６
４０が付された他のボロノイ頂点は、中点軸付近に位置
する。このようにボロノイ頂点６３０は、面６２０の中
点軸を概算する際に役に立たない。
【００３３】面再構築方法の証明可能な信頼性 面再構築方法の証明可能な信頼性は、中点軸の概念を用
いて最も明確に説明される、一式の数学的定理に基づ
く。ｄ次元内の（ｄ−１）次元面の中点軸は、面上に一
つ以上の最も近い点を有する点の集合（の外殻（closur
e））である。図１２に、二次元内に埋め込まれた一次
元面（曲線）の中点軸を示す。曲線には、４００および
４１０の二つの連続的要素が含まれることに留意された
い。中点軸は、曲線内部に一つの連続的要素（４２０）
と、曲線外部に二つの連続的要素（４４６および４５
０）とを含む。
【００３４】面上の点ｐにおける局所特徴サイズ（loca
l feature size）ＬＦＳ（ｐ）は、ｐから面の中点軸上
の最も近い点への距離と定義される。一般的にＬＦＳ
（ｐ）は、以下の二つの数値のうちの少ないほうであ
る：ｐにおける曲率半径、および、ｐとｐに最も近い面
の「向こう側」との間の距離の１／２。Ｆ上のいずれの
点ｐもサンプル点からｒ・ＬＦＳ（ｐ）より遠くに位置
しない場合に、サンプル点の集合Ｓは、面Ｆのｒ−サン
プルと呼ばれる。ここでｒはゼロと１との間の実数であ
る。定理において指定されるｒの数値は比較的小さい
（たとえば、ｒ≦０．０６）が、面再構築方法は経験的
には、よりまばらなサンプル集合（たとえば、ｒ≒０．
５）に対しても良好に機能する。
【００３５】ｒ−サンプルの定義は、サンプル点の分布
に関して、その密度以外には何ら制約を課さない。点
は、非常に非均一に分布していてもよい。またｒ−サン
プルの定義は、鋭い角（かど）および辺（面が微分不可
能である部分）において無限のサンプリング密度を必要
とする。しかし実際上、面再構築方法は、鋭い角および
辺を有する例においても比較的良好に機能する。さらに
ｒ−サンプルの定義は、薄いプレートの両側を別個の面
として解像するためには、その両側において密なサンプ
リングを必要とする。この例においてｒ−サンプルは、
曲線を考慮することのみを必要とするメッシュ簡約化ア
ルゴリズム（mesh simplificatio algorithm）によって
通常生成される頂点の分布とは異なる。
【００３６】面再構築方法の理論上の分析において数値
ｒが使用されるが、ｒは本方法の一部ではない。したが
って、面再構築システム１００のユーザはｒを設定する
必要はない。この数値は単に、データ収集システム１２
０におけるガイドラインである。
【００３７】面再構築方法の好適な実施形態のための二
つの定理は、以下のとおりである。ｒ≦０．１の時にＳ
が、三次元内に埋め込まれた滑らかな二次元面Ｆのｒ−
サンプルである場合、再構築面は、Ｆに同相な多面体を
形成する三角形の集合を含む。Ｓがｒ≦０．０６の時に
ｒ−サンプルである場合、再構築面は、Ｆにおける各点
ｐの周囲に半径５ｒＬＦＳ（ｐ）の球を配置することに
より形成される分厚い面内に位置する。法線角によるフ
ィルタリングおよび多様体抽出処理の有効性をさらに明
確に定義する定理は、他にも存在する。
【００３８】コンピュータシステム 図１３は、本発明の面再構築方法を実行できる汎用コン
ピュータシステムの高レベルのブロック図である。コン
ピュータシステム１０００は、プロセッサユニット１０
０５と、主メモリ１０１０と、相互接続バス１０２５と
を含む。プロセッサユニット１００５は、単一のマイク
ロプロセッサを含んでもよいし、または複数のマイクロ
プロセッサを含んでコンピュータシステム１０００をマ
ルチプロセッサシステムとして構成してもよい。主メモ
リ１０１０は一部では、プロセッサユニット１００５に
よって実行される命令およびデータを記憶する。本発明
の面再構築システムを全体的または部分的にソフトウェ
アによって実現する場合は動作時に、主メモリ１０１０
は実行可能なコードを記憶する。主メモリ１０１０は、
高速キャッシュメモリのほか、ダイナミックＲＡＭ（Ｄ
ＲＡＭ）列を含んでもよい。
【００３９】コンピュータシステム１０００はさらに、
大容量記憶装置１０２０と、周辺機器１０３０と、可搬
記憶媒体用ドライブ１０４０と、入力制御装置１０７０
と、グラフィックサブシステム１０５０と、出力ディス
プレイ１０６０とをさらに含む。図示の簡素化のため、
図１３のコンピュータシステム１０００のすべての構成
要素は、バス１０２５を通じて接続されているように示
す。しかし、コンピュータシステム１０００を一つ以上
のデータ伝送手段を通じて接続してもよい。たとえば、
プロセッサユニット１００５および主メモリ１０１０を
ローカルマイクロプロセッサバスを介して接続し、大容
量記憶装置１０２０、周辺機器１０３０、可搬記憶媒体
用ドライブ１０４０、およびグラフィックサブシステム
１０５０を一つ以上の入力／出力（Ｉ／Ｏ）バスを通じ
て接続することもできる。大容量記憶装置１０２０は、
プロセッサユニット１００５によって使用されるデータ
および命令を記憶する不揮発性記憶装置であって、磁気
ディスクドライブまたは光学ディスクドライブを用いて
実現できる。ソフトウェアによる実施形態では、大容量
記憶装置１０２０は面再構築システムソフトウェアを記
憶し、そこから主メモリ１０１０へ読み込ませる。
【００４０】可搬記憶媒体用ドライブ１０４０は、フロ
ッピーディスクまたはコンパクトディスクＲＯＭ（ＣＤ
−ＲＯＭ）などの可搬不揮発性記憶媒体に関連して動作
し、データおよびコードをコンピュータシステム１００
０へ入力およびそこから出力させる。一つの実施形態で
は、面再構築ソフトウェアはそのような可搬媒体に記憶
され、可搬記憶媒体用ドライブ１０４０を介してコンピ
ュータシステム１０００へ入力される。周辺機器１０３
０は、コンピュータシステム１０００に追加機能を付加
するための、入力／出力（Ｉ／Ｏ）インタフェースなど
のいずれのタイプのコンピュータサポート機器をも含む
ことができる。たとえば周辺機器１０３０は、コンピュ
ータシステム１０００をネットワークにインタフェース
させる、ネットワークインタフェースカードを含んでも
よい。ソフトウェアによる実施形態において入力サンプ
ル点は、面再構築システムによる処理を受ける際に、可
搬記憶媒体またはネットワークを通じてコンピュータシ
ステム１０００に入力されることができる。
【００４１】入力制御装置１０７０は、コンピュータシ
ステム１０００のユーザのためのユーザインタフェース
の一部を成す。入力制御装置１０７０は、文字およびそ
の他のキー情報を入力するための文字キーパッドと、マ
ウス、トラックボール、入力ペン（尖筆）、またはカー
ソル方向キーなどのカーソル制御デバイスとを有するこ
とが考えられる。テキストおよびグラフィック情報を表
示するために、コンピュータシステム１０００はグラフ
ィックサブシステム１０５０および出力ディスプレイ１
０６０を含む。出力ディスプレイ１０６０は、陰極線管
（ＣＲＴ）ディスプレイまたは液晶ディスプレイ（ＬＣ
Ｄ）を含んでもよい。グラフィックサブシステム１０５
０は、テキストおよびグラフィック情報を受信し、その
情報を処理して出力ディスプレイ１０６０へ出力する。
コンピュータシステム１０００に含まれる構成要素は、
汎用コンピュータシステムに通常含まれるものである。
そして実際それらの構成要素が、当業界において周知の
幅広い種類のそのようなコンピュータ構成品を代表する
ことを意図する。
【００４２】面再構築システムは、ハードウェアまたは
ソフトウェアのどちらによっても実現され得る。ソフト
ウェアによる実施形態では面再構築システムは、コンピ
ュータによって実行可能な複数の命令を含むソフトウェ
アであり、汎用コンピュータシステムにて実行される。
汎用コンピュータシステムに読み込まれる前に、面再構
築システムソフトウェアは符号化情報として、磁気フロ
ッピーディスク、磁気テープ、およびコンパクトディス
クＲＯＭ（ＣＤ−ＲＯＭ）などのコンピュータ読出し可
能媒体内に記憶されてもよい。ハードウェアによる一つ
の実施形態では面再構築システムは、本明細書にて説明
した機能を実施するためのプロセッサ命令を含む専用の
プロセッサを有することが考えられる。本明細書にて説
明した機能を実施する回路を作成してもよい。
【００４３】本発明は特定の例示的実施形態に関連して
説明されたが、当業者によって本発明の精神および範囲
から逸れることなく多様な修正および変更が実施され得
ることは明白であろう。
【図面の簡単な説明】
【図１】 本発明を組み入れた面再構築システムを示す
ブロック図である。
【図２】 二次元における１０個のサンプル点の集合例
に関するボロノイ図である。
【図３】 三次元内に埋め込まれた二次元面に関して極
を選択するための好適な実施形態を示すフローチャート
である。
【図４】 有界のボロノイセルの極を示す図である。
【図５】 非有界のボロノイセルの極を示す図である。
【図６】 図２の集合例に関するドローネ三角形分割を
示す図である。
【図７】 三次元内に埋め込まれた二次元面の再構築の
ための好適な実施形態を示すフローチャートである。
【図８】 曲線上のサンプル点の集合に関するボロノイ
図である。
【図９】 図８のボロノイ図に基づくＳ∪Ｖに関するド
ローネ三角形分割を示す図である。
【図１０】 ドローネ三角形分割によって得られた辺の
うち両端点がサンプル点である辺そのものを辺として有
する再構築曲線を示す図である。
【図１１】 従来技術のアルゴリズム（Ｓ∪Ｖ）から生
成された出力クラストを示す図である。
【図１２】 二次元内の滑らかな曲線の中点軸を示す図
である。
【図１３】 本発明の面再構築方法を実行できる汎用コ
ンピュータシステムの高レベルのブロック図である。
【符号の説明】
１１０ 面再構築装置、１３０ ボロノイ図処理、１４
０ 極選択、１４５ドローネ三角形分割処理、１５０
法線角によるフィルタリング、１５５ 多様体抽出、１
６０ 再構築面。
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 アンナマリア ビー アメンタ アメリカ合衆国 テキサス州 オウスティ ン イースト 33アールディー ストリー ト 206

Claims (22)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 サンプル点の集合から面を再構築する方
    法であって、 複数のボロノイセルを含み、対応するサンプル点に関し
    て画定されるボロノイセルの幾何学的形状の境界が前記
    サンプル点の集合の他のいずれの点よりも前記対応する
    サンプル点に近い空間を画定するボロノイ図を、複数の
    サンプル点から生成するステップと、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップとを有することを特徴とする面再構築方法。
  2. 【請求項２】 請求項１に記載の方法において、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップは、前記ボロノイ図における頂点の位置並びに前記
    頂点および前記境界における角度から再構築面を生成す
    るステップを含むことを特徴とする面再構築方法。
  3. 【請求項３】 請求項１に記載の方法において、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップは、前記ボロノイセルのアスペクト比並びに前記ボ
    ロノイセルの主軸の方向および長さから再構築面を生成
    するステップを含むことを特徴とする面再構築方法。
  4. 【請求項４】 請求項１に記載の方法において、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップは、対応するボロノイセルの幾何学的形状に基づい
    て前記ボロノイ図における前記ボロノイ頂点の部分集合
    を選択するステップを含むことを特徴とする面再構築方
    法。
  5. 【請求項５】 請求項４に記載の方法において、 前記ボロノイ図における前記ボロノイ頂点の部分集合を
    選択するステップは、前記再構築面の対向する両側にお
    けるボロノイ頂点を選択するステップを含むことを特徴
    とする面再構築方法。
  6. 【請求項６】 請求項４に記載の方法においてさらに、 前記サンプル点および前記ボロノイ頂点の部分集合を用
    いてドローネ三角形分割を計算するステップと、 前記ドローネ三角形分割から得た三角形のうち三つすべ
    ての頂点がサンプル点でない三角形をフィルタ除去し、
    残った三角形で前記面を再構築するステップとを有する
    ことを特徴とする面再構築方法。
  7. 【請求項７】 請求項６に記載の方法においてさらに、 他の三角形に隣接しない辺を有するすべての三角形を除
    去することにより前記再構築面をトリミングし、前記三
    角形の連合の内側または外側を決定するステップを有す
    ることを特徴とする面再構築方法。
  8. 【請求項８】 請求項１に記載の方法において、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップは、ボロノイセルから少なくとも一つのボロノイ頂
    点を選択して前記ボロノイセルを通過する前記面の中点
    軸を概算することにより、対応するボロノイセルに関し
    て少なくとも一つの極を生成するステップを含むことを
    特徴とする面再構築方法。
  9. 【請求項９】 請求項８に記載の方法において、 対応するボロノイセルに関して少なくとも一つの極を生
    成するステップは、前記ボロノイセルの前記サンプル点
    から最も遠く、前記面の互いに対向する両側に位置する
    極を選択するステップを含むことを特徴とする面再構築
    方法。
  10. 【請求項１０】 サンプル点の集合から面を再構築する
    方法であって、 複数のボロノイ頂点を含み、複数のサンプル点に関し、
    他のいずれのサンプル点よりも対応するサンプル点に近
    い空間を画定する複数のボロノイセルから成るボロノイ
    図を生成するステップと、 ボロノイセルから少なくとも一つのボロノイ頂点を選択
    して前記ボロノイセルを通過する前記面の中点軸を概算
    することにより、対応するボロノイセルに関して少なく
    とも一つの極を生成するステップと、 前記サンプル点および前記極を用いてドローネ三角形分
    割を計算するステップと、 前記ドローネ三角形分割から得た三角形のうち三つすべ
    ての頂点がサンプル点でない三角形をフィルタ除去し、
    残った三角形で前記面を再構築するステップとを有する
    ことを特徴とする面再構築方法。
  11. 【請求項１１】 請求項１０に記載の方法において、 対応するボロノイセルに関して少なくとも一つの極を生
    成するステップは、前記再構築面の対向する両側におけ
    るボロノイ頂点を極として選択するステップを含むこと
    を特徴とする面再構築方法。
  12. 【請求項１２】 請求項１０に記載の方法において、対
    応するボロノイセルに関して少なくとも一つの極を生成
    するステップは、 ボロノイセルに対応するサンプル点がサンプル点の凸外
    殻に位置するかどうかを検出するステップを含み、 前記サンプル点が前記凸外殻に位置する場合は、 １）隣接するボロノイセルの法線の間の方向にて外向き
    に伸張するベクタｓｐ+を算出するステップと、 ２）前記サンプル点から最も遠く、前記ベクタｓｐ+上
    にマイナスの射影を投じるボロノイ頂点を極として選択
    するステップと、を含み、 前記サンプル点が前記凸外殻に位置しない場合は、 １）前記対応するサンプル点から最も遠いボロノイ頂点
    を、ベクタｓｐ+を規定する第一の極として選択するス
    テップと、 ２）前記サンプル点から最も遠く、前記ベクタｓｐ+上
    にマイナスの射影を投じるボロノイ頂点を、第二の極と
    して選択するステップと、を含むことを特徴とする面再
    構築方法。
  13. 【請求項１３】 請求項１２に記載の方法において、 前記凸外殻に位置する前記サンプル点に関してベクタｓ
    ｐ+を算出するステップは、隣接するボロノイセルの外
    向きの法線を平均するステップを含むことを特徴とする
    面再構築方法。
  14. 【請求項１４】 請求項１０に記載の方法においてさら
    に、 他の三角形に隣接しない辺を有するすべての三角形を除
    去することにより前記再構築面をトリミングし、前記三
    角形の連合の内側または外側を決定するステップを有す
    ることを特徴とする面再構築方法。
  15. 【請求項１５】 請求項１２に記載の方法においてさら
    に、 自身の法線が前記ベクタｓｐ+およびｓｐ-から所定のし
    きい値を越えて異なる三角形をフィルタ除去するステッ
    プを有することを特徴とする面再構築方法。
  16. 【請求項１６】 一式の命令が内部に記憶されているコ
    ンピュータ読出し可能媒体であって、それらの命令がコ
    ンピュータによって実行されると前記コンピュータに、 複数のボロノイセルを含み、対応するサンプル点に関し
    て画定されるボロノイセルの幾何学的形状の境界が前記
    サンプル点の集合の他のいずれの点よりも前記対応する
    サンプル点に近い空間を画定するボロノイ図を、複数の
    サンプル点から生成するステップと、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップと、を実施させることを特徴とするコンピュータ読
    出し可能媒体。
  17. 【請求項１７】 請求項１６に記載の媒体において、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップは、対応するボロノイセルの幾何学的形状に基づい
    て前記ボロノイ図における前記ボロノイ頂点の部分集合
    を選択するステップを含むことを特徴とするコンピュー
    タ読出し可能媒体。
  18. 【請求項１８】 請求項１７に記載の媒体において、 前記ボロノイ図における前記ボロノイ頂点の部分集合を
    選択するステップは、前記再構築面の対向する両側にお
    けるボロノイ頂点を選択するステップを含むことを特徴
    とするコンピュータ読出し可能媒体。
  19. 【請求項１９】 請求項１７に記載の媒体において、 さらに、 前記サンプル点および前記ボロノイ頂点の部分集合を用
    いてドローネ三角形分割を計算するステップと、 前記ドローネ三角形分割から得た三角形のうち三つすべ
    ての頂点がサンプル点でない三角形をフィルタ除去し、
    残った三角形で前記面を再構築するステップとを有する
    ことを特徴とするコンピュータ読出し可能媒体。
  20. 【請求項２０】 請求項１９に記載の媒体において さ
    らに、 他の三角形に隣接しない辺を有するすべての三角形を除
    去することにより前記再構築面をトリミングし、前記三
    角形の連合の内側または外側を決定するステップを有す
    ることを特徴とするコンピュータ読出し可能媒体。
  21. 【請求項２１】 請求項１６に記載の媒体において、 前記ボロノイセルの幾何学的形状に基づいて前記サンプ
    ル点および前記ボロノイ図から再構築面を生成するステ
    ップは、ボロノイセルから少なくとも一つのボロノイ頂
    点を選択して前記ボロノイセルを通過する前記面の中点
    軸を概算することにより、対応するボロノイセルに関し
    て少なくとも一つの極を生成するステップを含むことを
    特徴とするコンピュータ読出し可能媒体。
  22. 【請求項２２】 請求項２１に記載の媒体において、 対応するボロノイセルに関して少なくとも一つの極を生
    成するステップは、前記ボロノイセルの前記サンプル点
    から最も遠く、互いに前記面の反対側に位置する極を選
    択するステップを含むことを特徴とするコンピュータ読
    出し可能媒体。
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