EP1576577A2 - Procede de simulation et de synthese numerique d'un phenomene oscillant - Google Patents

Procede de simulation et de synthese numerique d'un phenomene oscillant

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EP1576577A2
EP1576577A2 EP03767878A EP03767878A EP1576577A2 EP 1576577 A2 EP1576577 A2 EP 1576577A2 EP 03767878 A EP03767878 A EP 03767878A EP 03767878 A EP03767878 A EP 03767878A EP 1576577 A2 EP1576577 A2 EP 1576577A2
Authority
EP
European Patent Office
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resonator
impedance
linear
model
admittance
Prior art date
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EP03767878A
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German (de)
English (en)
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EP1576577B1 (fr
Inventor
Jean Kergomard
Philippe Guillemain
Thierry Voinier
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Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
Original Assignee
Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
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    • G—PHYSICS
    • G10—MUSICAL INSTRUMENTS; ACOUSTICS
    • G10H—ELECTROPHONIC MUSICAL INSTRUMENTS; INSTRUMENTS IN WHICH THE TONES ARE GENERATED BY ELECTROMECHANICAL MEANS OR ELECTRONIC GENERATORS, OR IN WHICH THE TONES ARE SYNTHESISED FROM A DATA STORE
    • G10H5/00—Instruments in which the tones are generated by means of electronic generators
    • G10H5/007—Real-time simulation of G10B, G10C, G10D-type instruments using recursive or non-linear techniques, e.g. waveguide networks, recursive algorithms
    • G—PHYSICS
    • G10—MUSICAL INSTRUMENTS; ACOUSTICS
    • G10H—ELECTROPHONIC MUSICAL INSTRUMENTS; INSTRUMENTS IN WHICH THE TONES ARE GENERATED BY ELECTROMECHANICAL MEANS OR ELECTRONIC GENERATORS, OR IN WHICH THE TONES ARE SYNTHESISED FROM A DATA STORE
    • G10H1/00—Details of electrophonic musical instruments
    • G10H1/02—Means for controlling the tone frequencies, e.g. attack or decay; Means for producing special musical effects, e.g. vibratos or glissandos
    • G10H1/06—Circuits for establishing the harmonic content of tones, or other arrangements for changing the tone colour
    • G10H1/16—Circuits for establishing the harmonic content of tones, or other arrangements for changing the tone colour by non-linear elements

Definitions

  • the subject of the invention is a method of numerical simulation of a nonlinear interaction between an excitation source and a wave in a resonator and can be applied, in particular, to the digital synthesis, in real time, of an oscillating phenomenon.
  • an oscillating phenomenon such as the sound emitted by a musical instrument operating in particular in sustained oscillations, such as a wind or bowed string instrument.
  • the phenomena of wave propagation and the formation of sounds emitted, in particular, by a musical instrument have been studied scientifically for a very long time.
  • a musical instrument comprises, at least, an exciter, characterized by a non-linear characteristic, possibly coupled with certain linear elements (the reed, the lips, the bow , the hammer, etc.) and resonator elements, in general linear, where there is propagation of waves as well as, generally, localized elements (for example lateral holes or simple elements of the mass or spring type) , also generally linear.
  • an exciter characterized by a non-linear characteristic, possibly coupled with certain linear elements (the reed, the lips, the bow , the hammer, etc.) and resonator elements, in general linear, where there is propagation of waves as well as, generally, localized elements (for example lateral holes or simple elements of the mass or spring type) , also generally linear.
  • a digital instrument capable of synthesizing the sounds emitted by a musical instrument generally consists of three main elements, respectively a first element whose role is to capture the gestures of a musician and transform them into signals / control parameters, a second element performing the calculation of the signal in real time, a third element converting this sequence of numbers calculated into an audible signal, by means of digital / analog converters, amplifier, speakers.
  • the present invention essentially relates to the second element for calculating the signal in real time.
  • the simulation then generally consists in calculating as quickly as possible the solution of the acoustic / mechanical model describing the functioning of the instrument or, at least, approximations preserving its most important characteristics.
  • the acoustic pressure at any point of the resonator of a wind instrument can decompose into a sum of two acoustic pressure waves, one propagating from the instrumentalist to the pavilion, and the other from the pavilion to the instrumentalist, which are called wave-go and wave-return.
  • this propagation is expressed by a convolution equation (a linear filtering), which gives the go (or return) wave at a point of the resonator at each instant according to the go (or return) wave in one another point at every moment.
  • a convolution equation a linear filtering
  • Green's kernel this linear filter, called Green's kernel, is a pure delay, depending on the speed propagation in the middle and its length.
  • these waves are represented by two signals corresponding respectively to the two propagative solutions of the differential equation.
  • a linear part simulating the resonator, which receives a signal denoted q 0 , representative of the outgoing wave, emitted by the non-linear part and which emits towards it a signal denoted q ,, representative of the return wave,
  • the change of section causes the appearance of a transmitted wave and a reflected wave at each interface.
  • the presence of interfaces was taken into account in 1962 by J.L. Kelly and C.C. Lochbaum as part of the modeling of the vocal tract.
  • This type of modeling which is identical, in its approach, to the classical theory of geometric optics, is also used, for example, in seismic-reflection, in order to describe the propagation of elastic waves in a multilayer soil.
  • the "waveguide” method when there are localized elements other than interfaces in the instrument to be stimulated, the "waveguide” method must be supplemented by a method of the "wave filter” type describing these localized elements. (such as mass, spring, shock absorber) to correctly connect the various subsystems.
  • the waves moving from the instrumentalist to the pavilion (go) and from the pavilion to the instrumentalist (return) are different, which requires either model them differently, by means of two linear filters corresponding to the Green nuclei describing the propagation in each direction, that is to approximate the cone by a succession of cylinders of short length and different diameters.
  • the sound produced by a musical instrument does not come solely from the propagation of a wave in a resonator, whatever the complexity of its geometry, but is the result of the non-linear coupling between this resonator and a exciting source.
  • This non-linear coupling is physically expressed between the physical quantities representing a cause (pressure in the acoustic case, force in the mechanical case) and an effect (flow in the acoustic case, speed in the mechanical case), called Kirchhoff variables.
  • the object of the invention is to avoid such drawbacks and to overcome these limitations by means of a new method of simulation and synthesis in real time of an oscillating phenomenon, applicable especially but not limited to self-oscillating wind instruments.
  • the subject of the invention is a simulation method making it possible to take into account the physical processes governing the operation of a real instrument and the digital implementation of which can be particularly simple.
  • the invention can be adapted to the simulation of other types of wind or string instruments.
  • the invention is not limited to the simulation of musical instruments but can be applied, in general, to digital synthesis, in real time of oscillating phenomena of all kinds.
  • the invention therefore relates to the simulation of a nonlinear interaction between an excitation source and a wave in a resonator, by means of tools for calculating digital signals, from equations of which the solution corresponds to the physical manifestation of a phenomenon to be simulated.
  • the phenomenon to be simulated translating, at each instant and at a given point of the resonator, by a linear relationship between two variables representative of the effect and the cause of said phenomenon, we transcribe directly the equation of impedance or admittance in the form of a numerical model making it possible to carry out a nonlinear interaction between the two variables of the relation of impedance or admittance.
  • the model comprises, on the one hand, at least one linear part directly representing the impedance or the admittance called input of the resonator, that is to say at the point where the interaction does not occur. linear and, on the other hand, a non-linear part modeling the role of the excitation source of the phenomenon to be simulated.
  • the invention makes it possible, from a system of equations between at least two variables representative of the behavior of the resonator, to establish an expression of l impedance or input admittance of the resonator in the form of a linear filter comprising delays, without decomposition in return waves, so as to produce at least one linear part of the model which can be coupled to a non-loop linear involving the evolution of non-linearity as it is expressed between the two variables of the impedance or admittance relation of the resonator.
  • this linear part of the model consists of the sum of two elementary waveguides performing a transfer function between the two variables of the impedance or admittance relationship.
  • the model is driven by at least two parameters representative of the non-linear physical interaction between the source and the resonator, by means of a loop connecting the output to the input of the linear part and comprising a nonlinear function playing the role of excitation source for the resonator.
  • the method according to the invention does not use to the return waves, but expresses directly and numerically the linear relation, called relation of impedance, between the variables cause and effect, ie pressure and flow in the acoustic case, force and speed in the mechanical case.
  • relation of impedance the linear relation between the variables cause and effect, ie pressure and flow in the acoustic case, force and speed in the mechanical case.
  • the present invention therefore essentially relates to the modeling element of a digital instrument which, from parameters developed by a control means, such as a gesture sensor controlled by the musician, calculates in real time a signal capable of being transformed into a sound signal by a conversion element.
  • a control means such as a gesture sensor controlled by the musician
  • the invention makes it possible to solve the representative system of equations of the phenomenon to be simulated by directly and numerically expressing the linear relationship of impedance or admittance between the cause and effect variables and by associating this linear relationship in digital form with the nonlinear relationship between the same variables.
  • a resonator of complex geometry it can be broken down into successive elements, so as to combine the elementary linear relations corresponding respectively to each element of the resonator, in order to obtain an impedance or admittance corresponding to the geometry of the instrument.
  • the invention applies, in particular, to the synthesis in real time of the sounds produced by a wind instrument.
  • the two variables of the relationship impedance are the acoustic pressure and flow at the input of the resonator.
  • - Ze ( ⁇ ) is the input impedance of the resonator
  • - Pe ( ⁇ ) and Ue ( ⁇ ) are the Fourier transforms of the dimensionless values of pressure and flow at the input of the resonator
  • - k ( ⁇ ) is a function of the pulsation of the wave which depends on the phenomenon to be simulated, - L is the length of the resonator.
  • each of the two waveguides involves a filter having the transfer function:
  • each waveguide corresponding to a term in the equation of impedance.
  • a model can advantageously be controlled by the length of the resonator and at least two parameters representative of the non-linear physical interaction between the pressure and the flow rate at the input of the resonator, by means of a loop connecting the output to the input of the linear part and 04/042696
  • the invention covers other essential characteristics mentioned in the claims and relating, in particular, to the equations used by the digital signal calculation tool and which lead to waveguide models depending on the phenomenon to be simulated.
  • the method proposed for the simulation of a simple phenomenon such as the propagation of a wave in a cylindrical resonator
  • a simple phenomenon such as the propagation of a wave in a cylindrical resonator
  • FIG. 1 schematically represents the assembly of a digital instrument for the simulation of a wind instrument, by the method according to the invention.
  • Figure 2 gives two diagrams representing respectively, on the left the transfer function, in Hertz, of a reed model with a mode and on the right, the impulse response according to the samples, with a sampling frequency of 44 100 Hertz.
  • Figure 3 is a calculation diagram by combination of waveguides, representing the input impedance of a cylindrical resonator. 04/042696
  • FIG. 4 gives two diagrams representing respectively, for a cylindrical resonator, at the top the input impedance as a function of the frequency indicated in
  • FIG. 5 is a calculation diagram of a simulation model of a reed instrument with a cylindrical resonator.
  • FIG. 6 gives two diagrams analogous to FIG. 3, representing respectively, for a resonator model calculated according to the invention, at the top the approximate input impedance and at the bottom the approximate impulse response.
  • FIG. 7 gives two diagrams similar to FIG. 2, representing respectively, for a reed model calculated according to the invention, on the left the transfer function and on the right the impulse response.
  • FIG. 8a shows the variations, as a function of the time indicated in seconds, of the internal acoustic pressure at the level of the mouth of a cylindrical resonator.
  • 8b and 8c are enlargements of the attack and extinction transients.
  • FIG. 9 gives two diagrams representing respectively, on the left the transfer function and on the right the impulse response, for a multimode reed model calculated according to the invention.
  • FIG. 10 gives two diagrams representing the spectrum of the external sound pressure, respectively at the top for a reed with a single mode and at the bottom for a reed with multiple modes.
  • FIG. 11 is a calculation diagram representing the impedance of a cylindrical resonator with terminal impedance.
  • FIG. 12 is a calculation diagram representing the impedance of a conical resonator.
  • FIG. 13 is a calculation diagram representing the impedance of a resonator for wind instruments.
  • FIG. 14 is a general calculation diagram representing the impedance of a parallel combination of cylindrical resonators.
  • FIG. 15 gives two diagrams representing respectively, in the case of a string, at the top the exact admittance and at the bottom the approximate admittance, as a function of the frequency indicated in Hertz.
  • Figure 16 is a digital instrument model simulating a string instrument.
  • Figure 1 7 shows, for a struck string, the variations over time, above the speed of the rope at the point of contact and, below, the force exerted by the hammer on the rope.
  • FIG. 18 represents, for a struck string, the trajectory of the force over time, as a function of the relative displacement of the hammer relative to the string.
  • FIG. 19 is a general simulation diagram of an instrument operating by non-linear coupling between an excitation source and a resonator. The invention will first be described in its application to a wind instrument of the clarinet type.
  • FIG. 1 schematically represents the assembly of a digital instrument for implementing the invention comprising, in general, a control element I comprising a gesture sensor 1 controlled by an operator 10 and transforming its actions into control parameters ⁇ r , ⁇ , ⁇ , L, a modeling element II on which the control parameters act, comprising a non-linear part 2, associated with a linear part 3, and an element III for creating the sound, comprising a means 4 for generating, from the signals calculated by the modeling element II, a signal which is transformed into sound synthesized by a digital-analog converter 5.
  • a control element I comprising a gesture sensor 1 controlled by an operator 10 and transforming its actions into control parameters ⁇ r , ⁇ , ⁇ , L
  • a modeling element II on which the control parameters act comprising a non-linear part 2, associated with a linear part 3
  • an element III for creating the sound comprising a means 4 for generating, from the signals calculated by the modeling element II, a signal which is transformed into sound synthesized by
  • a sound simulation model therefore comprises a linear part of the model corresponding to the resonator of the instrument which, in the case of the clarinet consists of a cylindrical tube.
  • the sound pressure inside the tube is governed by an equation of the form:
  • R being the radius of the tube, that is to say 7mm in the case of the clarinet.
  • waveguide will be reserved for the so-called Green formulation representing the propagation of a wave in a medium, and including dissipation and dispersion.
  • transfer function of a pipe of length L representing the propagation, dissipation and dispersion is:
  • the dissipation represented by the modulus of F ( ⁇ ) and the dispersion represented by the phase of F ( ⁇ ) are therefore proportional to V ⁇ , while the propagation delay is given by -.
  • the length of the pipe will therefore be the parameter of c height control and its radius the parameter of loss control.
  • ⁇ r 2 ⁇ / r corresponds to the resonance frequency / r, for example 2500 Hz and q r is the quality factor of the reed, for example 0.2.
  • the acoustic pressure pe (t) and the acoustic flow rate ue (t) (dimensioned) at the input of the resonator are connected in a manner non-linear by the equation:
  • the parameter ⁇ is characteristic of the mouthpiece and takes into account the position of the lips and the section ratio between the spout and the resonator. This parameter ⁇ is proportional to the square root of the opening of the reed at rest and is usually between 0.2 and 0.6.
  • the parameter ⁇ is the ratio between the pressure inside the mouth of an instrumentalist and the static tackle pressure from Tanche. For a hose without loss, it goes from - for the vibration to - for the position of beating reed.
  • the parameters ⁇ and ⁇ are therefore two important playing parameters insofar as they represent, respectively, the way in which the instrumentalist pinches Tanche and the pressure of the breath in the instrument.
  • u e (t) 1 (1 - sign ( ⁇ - x (t) - 1)) sign ( ⁇ - p e (t)) ⁇ (1 - ⁇ + x ⁇ y - p e (t)
  • the aim of the invention is therefore to find a formulation in the time domain of the impedance relation making it possible to solve this system of three equations, by modeling the impedance relation in terms of elementary waveguides.
  • FIG. 3 represents a calculation model by combination of waveguides, directly derived from this last equation and whose transfer function is the input impedance of the resonator. It consists of a sum of two elementary waveguides. The upper element corresponds to the first term of equation (12) while the lower element corresponds to the second.
  • (1 1) makes it possible to introduce the non-linearity in the form of a loop connecting the output pe of the resonator to the input eu.
  • FIG. 5 gives an equivalent calculation diagram making it possible, for the simulation of an instrument with reed or mouthpiece, to non-linearly couple the displacement of the mouthpiece or the lips and the acoustic pressure with the acoustic flow at the input of the resonator, in calculating, at each sampled instant, the internal sound pressure at the mouth.
  • the model is entirely driven by the length L of the resonator and at least two parameters ⁇ and ⁇ representative of the non-linear physical interaction between the source and the resonator, by means of a loop connecting the input to the output of the part linear and comprising a non-linear function playing the role of excitation source for the resonator.
  • the linear part uses the diagram of Figure 2 and the non-linear function f is controlled by the two parameters ⁇ and ⁇ allowing to simulate the playing of an instrumentalist, and has as input parameters , in the case of a clarinet, the pressure at the mouthpiece and the displacement x (t) of Tanche relative to its equilibrium point, calculated as a function of the pressure at the mouthpiece, by a reed model (m) which constitutes the exciter.
  • the model requires a digital sampling and, for this, we carry out a formulation, in the time domain, of the impulse response of the resonator, corresponding to the inverse Fourier transform of l 'impedance.
  • This formulation in the time domain makes it possible to calculate the pressure pe (t) at the mouth as a function of the flow rate eu (t) but it is necessary, for this, to approximate the losses represented by the filter F ( ⁇ ) by means of an approximate digital filter.
  • F ( ⁇ ) 2 F (ro) j physical parameters such that for two given values of ⁇ .
  • the first value ⁇ 1 retained is that of the fundamental playing frequency. This ensures a decay time of the fundamental frequency of the impulse response of the waveguide model using the approximate filter, identical to that of the guide model using the exact filter.
  • the second value ⁇ 2 adopted is that of a harmonic chosen so as to obtain an identical overall decrease in the impulse responses of the waveguides, respectively, exact and approximate.
  • this second value ⁇ 2 is therefore more free. It corresponds, for example, to the second resonance peak in the case of the clarinet but, in certain cases, as will be seen later in the case of the trumpet, it may be preferable to choose a harmonic of higher rank.
  • c 1 cos (î ⁇ 1 ) )
  • c 2 cos (ro 2 )
  • F 1 F ( ⁇ 1 ) 2 2 "2
  • F c2 F E7 ( ⁇ profession 2 ) ⁇ 2 2 ⁇
  • a 1 F 1 c 1
  • a 2 F 2 c 2 'the coefficients ai and bO are given by:
  • x (n) b 1a p e (n-1) + a 1a x (n-1) + a 2a x (n-2) (18)
  • pe (n) U e (n) -a 1 u e (n-1) -boUe (n-2D) + a 1 p e (n-1) -boP e (n-2D) (19)
  • equations 19 and 20 above which do not depend on the time sample n, can, in fact, be grouped in the expressions:
  • V -a 1 u e (n-1) -boU e (n-2D) + a ⁇ p e (n-1) -b 0 p e (n-2D)
  • u ⁇ (n) sign ( ⁇ - V) (- bc 0 W 2 + W ⁇ '(bc 0 W) 2 + 4
  • V -a 1 u e (n-1) -b 0 u e (n-2D) + a 1 pe (n-1) -b 0 p e (n-2D) (22)
  • u e (n) sign ( ⁇ - V) (- bc 0 W 2 + ⁇ N ⁇ (bc 0 ⁇ N) 2 + 4
  • the invention makes it possible to solve in the time domain the system of equations governing the physical modeling of the instrument, from an equivalent sampled formulation of the impulse response of the Tanche displacement, of the impedance relation and of the nonlinear characteristic, which results in the system of equations 18, 19, 20, in which:
  • the method according to the invention makes it possible, in fact, to determine the flow rate and the pressure at the input of the resonator by a sequential calculation of equations 21 to 25, and to solve, in the time domain, the system of equations 9, 10, 1 1 governing the physical modeling of a reed-type instrument of the clarinet type, in order to synthesize the sounds produced by such an instrument.
  • FIG. 1 the system of equations 9, 10, 1 1 governing the physical modeling of a reed-type instrument of the clarinet type, in order to synthesize the sounds produced by such an instrument.
  • the digital implementation of such a non-linear waveguide model can be done by using commercially available elements for the gesture sensor.
  • This controller measures the pressure of the lips on Tench, which controls the parameter ⁇ , and the pressure of the breath, which controls the parameter ⁇ .
  • This information received in MIDI format (therefore between 0 and 127) is renormalized to correspond to the scale of the physical parameters.
  • the waveguide is tuned using MIDI pitch information controlled from the fingering which determines the length L of the pipe.
  • FIG. 1 which schematically represents the assembly of a digital instrument for the implementation of the invention in the case of a wind instrument
  • the signals p e (t) and u e (t) allowing the calculation of the external pressure p ex t (t) are developed by Telecommunicationment de modeling II from control parameters ⁇ r , ⁇ , ⁇ , L.
  • this modeling element II is of the type shown in FIG. 5 and allows the coupling of the three equations (9), (10), (1 1).
  • the linear part 3 comprises a calculation block 31 of the type shown in FIG. 3, whose transfer function Ze ( ⁇ ) is the input impedance of the resonator.
  • the model is driven by the length L of the resonator r and the nonlinear part 2 implements a nonlinear function 21 controlled by the two parameters ⁇ and ⁇ and having as input parameters the pressure p e (t) calculated by the linear part 3 and the displacement x (t) of the exciter 22 calculated, in the case of the clarinet by a reed model (m) as a function of the same pressure p e (t) at the mouth.
  • block 4 calculates the sound signal p ex t (t) emitted by the digital instrument using the converter 5.
  • the third condition is an imposed value of - for the module of the transmittance at the frequency ⁇ r, in order to preserve the height of the peak of the single mode reed model.
  • the coefficient B is replaced by a filter such as
  • exp - 1 - is replaced by its sampled equivalent v ⁇ : with the delay D defined by wherein E indicates the integer part.
  • x (n) baiPe (n-1) + b a 2Pe (n-2) + b a DiPe (nD a -1) + a a ⁇ x (n-1) + aa2x (n-2) + aaDx (nD a ) + a a Dix (n-Da-1) (29)
  • the transfer function and the impulse response of the single reed model as shown in FIG. 7 are superimposed in dashed lines.
  • the clarinet sound model it is also possible to improve the clarinet sound model so as to make it more natural by incorporating a certain noise into it, the system thus being more realistic. Since the noise is created by turbulence at the Tanche level before the start of the pipe, the noise is added to x (t). It also appears that, in practice, the noise level depends on the pressure of the breath while its "color” depends on the pressure of the lips on Tanche. Indeed, from a physical point of view, the more Tanche is pressed, the smaller the opening between Tanche and the pipe and the greater the turbulence. We will therefore use a simple noise model whose level is controlled by ⁇ and the brightness controlled by ⁇ .
  • the laws of variation of bb and aa can be determined so that the sound simulated by the model is as realistic as possible.
  • the two diagrams in FIG. 10 show by way of example, the variation of the module of the spectrum of the external acoustic pressure corresponding to the sound produced by the model, respectively on the top diagram for a reed with single mode and on the diagram of the low for a multiple mode reed with additional noise, the simulation parameters being as follows:
  • the method according to the invention relates to the simulation of sounds produced by a musical instrument with reed and cylindrical resonator, of the clarinet type.
  • the invention is not limited to such an application and can, on the contrary, be the subject of numerous developments.
  • FIGS. 1 1 to 14 represent equivalent calculation diagrams using waveguides and corresponding to resonators. having various geometries.
  • the operator C ( ⁇ ) represents the input impedance and C "1 ( ⁇ ) the input admittance of a cylindrical resonator, the numerical model corresponding to C " 1 ( ⁇ ) being obtained by simply changing the sign of the coefficient bo.
  • a first refinement of the basic model which has just been described with reference to FIGS. 3 and 5, will make it possible, by making use, in an analogous manner, of waveguides, of producing a physical model for a cylindrical resonator with terminal impedance.
  • Such an element will allow, for example, to connect between them portions of cylindrical resonators having different lengths and sections, so as to simulate the input impedance of a conduit of variable section, or else to take into account 'radiation impedance.
  • P e ( ⁇ ), U e ( ⁇ ) we consider the formalism of the transmission line linking the acoustic pressure and flow, respectively at the input of the resonator (P e ( ⁇ ), U e ( ⁇ )) and at its open end (P s ( ⁇ ), U s ( ⁇ )).
  • Equation 31 therefore shows that the impedance of a cylindrical resonator with terminal impedance can be obtained from the impedance of a cylindrical resonator without terminal impedance , replacing: exp (-2ik ( ⁇ ) L) with R ( ⁇ ) exp (-2ik ( ⁇ ) L).
  • Figure 1 1 gives an equivalent calculation diagram using waveguides, for the implementation of Equation 30, for calculating the impedance of a cylindrical resonator with terminal impedance.
  • Such a model makes it possible to generate in cascade the input impedance of a conduit having any geometry and which can be defined by a succession of elementary cylindrical conduits. Therefore, the invention can be applied to the simulation of the vocal tract.
  • FIG. 1 allows in particular, from the basic physical model for resonator cylindrical schematized in Figure 5, to build specific models for the simulation of various musical instruments.
  • p e (n) bc 0 u 8 (n) + bc ⁇ U e (n-1) + bc 2 U e (n-2) + bc D Ue (n-2D) + bc D ⁇ U e (n-2D- 1) + ac ⁇ Pe (n-1) + ac 2 p e (n-2) + ac D P e (n-2D) + ac D ⁇ P e (n-2D-1) (33)
  • the invention can be applied to the case of short resonators which appear, for example, in Mouth of a copper or in the beak of a reed instrument, or of a register hole or lateral hole.
  • the invention also makes it possible to simulate a more complex resonator, by assembling elementary impedances representing, on the one hand the conduit and, on the other hand, the beak of a reed instrument or mouthpiece of a copper.
  • a Helmhoitz resonator comprising a hemispherical cavity coupled with a short cylindrical pipe and a main resonator with conical pipe.
  • the input impedance of the entire resonator can be expressed by:
  • L1 is the length of the short pipe
  • L2 is the length of the conical pipe
  • Z1 and Z2 are the characteristic impedances of the two pipes which depend on their radii
  • k1 ( ⁇ ) and k2 ( ⁇ ) take into account losses and Ray
  • d 2f e . z + 1
  • the coefficients result from a direct calculation from Equation (35).
  • the invention can also be applied to the modeling of a cylindrical resonator with register holes.
  • elements using waveguides and corresponding respectively to a physical model of cylindrical pipe with terminal impedance representing a pipe of length L 1 between the mouth and the register hole a short pipe model will be used. which represents the register hole of length ht and the basic model for cylindrical pipe representing a pipe of length L2 between the register hole and the open end.
  • the terminal impedance of the first part of the pipe can be written:
  • the total pipe input impedance can then be expressed by: P ”(C 2 ( ⁇ ) + C 1 ( ⁇ )) Z t C t ( ⁇ ) + Z c C 1 ( ⁇ ) C 2 ( ⁇ )
  • the simulation model of the cylindrical resonator of the clarinet type obtained by direct transposition of the simplified equations of the physical behavior of the instrument, can be adapted to the simulation of instruments with non-cylindrical resonator, such as the saxophone, the trumpet or other wind instruments.
  • the invention is not limited to such an embodiment and to the adaptations which have just been described because, without departing from the protective framework defined by the claims, it can be applied to the simulation of other types. of instruments, for example with a bowed string like the violin or struck like the piano.
  • V ⁇ ( ⁇ >) • - sin (k ( ⁇ ).) F h () + ca & (k (>). JV b (j) in which F and V respectively represent the forces and speeds at each point.
  • the wave number k ( ⁇ ) is conventionally expressed from the differential equation of the movement of a bending cord and includes, as in the acoustic case, propagation (delay), dissipation, dispersion parts (see for example: C. Valette, C. Cuesta "Mechanics of the vibrating rope", Hermès, treatise on new technologies, Mechanical series. 1993).
  • V b ( ⁇ ) G 1 ' tan (fc ( ⁇ ))
  • This relation constitutes the input admittance of a portion of embedded-free string at the point where it is free, and is identical, except for a multiplicative constant, to the acoustic impedance of a cylindrical resonator. It can therefore be represented by a diagram similar to that of FIG. 3.
  • FIG. 15 represents, as a function of the frequency, at the top the exact admittance of a string to the eighth of its length, calculated with an expression of k ( ⁇ ) from a conventional model, and below the approximate admittance using an approximation of losses with a digital filter of order 1 whose coefficients are calculated with the same method as in the acoustic case.
  • the admittance described in this basic model comprising a cord with two fixed ends, can be refined so as to take into account additional physical phenomena.
  • the method again consists in associating the admittances of different elements.
  • the total admittance is expressed by a combination of two identical string admittances, each of these admittances being made up of two portions of strings, one portion of which is expressed identically at the input impedance of a cylindrical pipe. with terminal impedance.
  • the terminal admittance corresponding to that of the soundboard can be expressed by combinations of localized elements similar to those used to describe the mouthpiece or the spout (i.e. masses, springs, dampers) , allowing to take into account one or more vibration modes of the soundboard.
  • the formulation of the resonator in terms of mechanical admittance can be used, for example in an instrument with struck string such as the piano.
  • the speed of a string struck by a hammer such as that of a piano, can be expressed from the system of three coupled equations:
  • the nonlinear impact characteristic used here is known as Hunt-Crossley.
  • the exponent (p) is conventionally between 2 and 3, and is not an integer.
  • yh (n) indicates the movement of the hammer, ys (n) that of the rope. It should be noted that this is a new writing of the problem. Indeed, conventionally, the impedance relation used here is replaced by the differential equation of the movement of the string.
  • FIG. 16 is analogous to the general diagram in FIG. 1 and in which:
  • MA is, in the case of a stringed instrument, a hammer model, expressing its speed from the force f (t);
  • Vs (t) is the speed of the rope and Vh (t) that of the hammer;
  • MV is a model for calculating the speed at the bridge, which is then radiated by the soundboard, from the force and speed of the string at the point of hammer-string contact;
  • G is the nonlinear characteristic, and gathers the nonlinear function and the means of computation of displacements Yh (t) and Ys (t) starting from Vh (t) and Vs (t);
  • Vh (0) is the control parameter acting on the block
  • MA setting the initial speed of the hammer at the time of impact
  • L is the control parameter of the note played.
  • G is the nonlinear friction characteristic, of which there are many models in the literature and whose parameters of control are the pressure of the bow on the string and its speed of movement.
  • the MA block can be deleted.
  • the discrete time model uses, as for certain elements of the acoustic models, the bilinear transform to approach the operators of derivation with respect to time.
  • W noted V in the acoustic case
  • the model is checked, for the note played, by acting on the resonator (length, diameter, tension of the string).
  • FIG. 17 represents, as a function of time, the speed of the rope at the point of contact (the eighth of its length) at the top, the force exerted by the hammer on the rope at the bottom, solutions of the previous system of equations, solved by the fixed point method.
  • FIG. 18 represents the trajectory over time of the force as a function of the relative displacement of the hammer relative to the rope.
  • the invention makes it possible to avoid resorting to the go-wave and wave-return quantities.
  • simulation model of a string instrument illustrated in Figure 16 is very similar to the wind instrument model illustrated in Figure 1. Indeed, in both cases, they use linear filters comprising delays, to achieve a non-linear interaction between two physical variables, called variables of
  • FIG. 19 represents the general diagram of the model of such a digital instrument comprising, as usual, a control element I, a modeling element II and a sound creation element III.
  • Teltic de modeling II comprises a linear part 3 with a calculation block (31) whose transfer function is, depending on the instrument to be simulated, either the input impedance of the resonator Ze ( ⁇ ), or Tadmittance Ye ( ⁇ ) and a nonlinear part 2 which implements a nonlinear function 21.
  • Block 1 can be a gesture sensor providing control parameters CL acting on the linear part 3 of the model, and control parameters CNL acting on the non-linear part 2.
  • the linear part 3 receives from the non-linear part 2, from left to right, when the transfer function of the calculation block 31 is the impedance, a signal d effect E to produce a cause signal C which is transmitted to the non-linear part 2, the latter producing, from this cause signal C, a new effect signal E intended for the linear part 3.
  • the transfer function of the calculation block 31 is Tadmittance
  • the linear part 3 receives from right to left, from the non-linear part 2, a cause signal C and produces an effect signal E which is transmitted to the part nonlinear 2 to produce a new cause signal C for linear part 3.
  • Block 4 includes means for calculating the sound to be emitted from the cause C and effect E signals, which are transmitted to a digital analog converter 5.
  • the invention thus makes it possible to simulate all kinds of instrument and is not limited, moreover, not to the field of music. Indeed, the method according to the invention could also be applied to the simulation of other oscillating phenomena, thanks to an adaptation of certain equations to the differences and a choice of other non-linear characteristics and of control parameters taking account of the characteristics. physical phenomena to simulate.

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Abstract

L'invention a pour objet un procédé de simulation numérique d'une interaction non linéaire entre une source excitatrice et une onde dans un résonateur, et peut s'appliquer en particulier, à la synthèse, en temps réel, de signaux numériques représentatifs d'un phénomène oscillant tel que le son produit par un instrument de musique.Selon l'invention, les signaux numériques sont calculés à partir d'équations dont la solution correspond à la manifestation physique du phénomène à simuler qui se traduit, à chaque instant et en chaque point du résonateur, par une relation d'impédance ou d'admittance entre deux variables représentatives de l'effet et de la cause dudit phénomène et l'on transcrit directement l'équation de l'impédance ou de l'admittance sous forme d'un filtre linéaire comportant des retards, en vue de réaliser une interaction non linéaire entre les deux variables de la relation d'impédance ou d'admittance.

Description

Procédé de simulation et de synthèse numérique d'un phénomène oscillant
L'invention a pour objet un procédé de simulation numérique d'une interaction non linéaire entre une source excitatrice et une onde dans un résonateur et peut s'appliquer, en particulier, à la synthèse numérique, en temps réel, d'un phénomène oscillant tel que le son émis par un instrument de musique fonctionnant notamment en oscillations entretenues, comme un instrument à vent ou à corde frottée. Les phénomènes de propagation des ondes et de formation des sons émis, en particulier, par un instrument de musique ont été étudiés scientifiquement depuis très longtemps.
En particulier, il est admis d'une façon générale, qu'un instrument de musique comprend, au moins, un excitateur, caractérisé par une caractéristique non linéaire, couplée éventuellement avec certains éléments linéaires (l'anche, les lèvres, l'archet, le marteau , etc..) et des éléments de résonateurs, en général linéaires, où il y a propagation d'ondes ainsi que, généralement, des éléments localisés (par exemple des trous latéraux ou des éléments simples du type masse ou ressort), en général linéaires également.
De façon analogue, un instrument numérique apte à synthétiser les sons émis par un instrument de musique, se compose généralement de trois éléments principaux, respectivement un premier élément dont le rôle est de capter les gestes d'un musicien et de les transformer en signaux/paramètres de contrôle, un deuxième élément réalisant le calcul du signal en temps réel, un troisième élément convertissant cette suite de nombres calculée en un signal sonore, au moyen de convertisseurs numérique/analogique, amplificateur, haut-parleurs.
La présente invention concerne essentiellement le deuxième élément de calcul du signal en temps réel.
On sait que la simulation numérique d'un son ou, plus généralement, d'un phénomène oscillant, peut s'effectuer par discrétisation dans le domaine temporel, d'équations constituant la représentation mathématique du phénomène physique à simuler. Un tel modèle s'exprime toujours sous la forme d'un système d'équations aux dérivées partielles couplées, linéaires ou non.
La simulation consiste alors, d'une façon générale, à calculer le plus rapidement possible la solution du modèle acoustique/mécanique décrivant le fonctionnement de l'instrument ou, du moins, des approximations préservant ses caractéristiques les plus importantes..
De nombreuses méthodes existent à cet effet et l'on peut, en particulier, citer les méthodes modales (qui décrivent le résonateur comme un filtre résonant constitué d'une somme de résonances élémentaires), particulaires (qui décrivent le milieu dans lequel il y a propagation d'onde sous forme de chaînes du type masses-ressorts-amortisseurs), ou les méthodes numériques de résolution d'équations aux dérivées partielles.
Cependant, la synthèse sonore en temps réel est difficile à réaliser et c'est pourquoi, depuis quelques années, on a développé d'autres méthodes basées sur un formalisme "traitement du signal" de la propagation des ondes dans les deux directions du résonateur de l'instrument. On peut citer, par exemple les méthodes appelées "Guide d'onde numérique" (digital wave guide) ou "Filtre d'onde numérique" (digital wave filter).
D'une façon générale, pour représenter la propagation d'une onde, on peut utiliser, dans le formalisme le plus simple, l'équation bien connue de d'Alembert, qui s'applique tant aux ondes longitudinales (acoustique par exemple) que transversales (vibration d'une corde par exemple). En particulier, dans le cas de la propagation d'une onde acoustique, la pression acoustique en tout point du résonateur d'un instrument à vent peut se décomposer en une somme de deux ondes de pression acoustique, l'une se propageant de l'instrumentiste vers le pavillon, et l'autre du pavillon vers l'instrumentiste, qui sont appelées onde-aller et onde-retour.
En pratique, cette propagation s'exprime par une équation de convolution (un filtrage linéaire), qui donne l'onde aller (ou retour) en un point du résonateur à chaque instant en fonction de l'onde aller (ou retour) en un autre point à chaque instant. Dans la formulation dite de Green, qui peut être mise en œuvre sous forme numérique, l'équation de d'Alembert, stipule par exemple que ce filtre linéaire, appelé noyau de Green, est un retard pur (delay), dépendant de la vitesse de propagation dans le milieu et de sa longueur.
Dans un modèle de synthèse, ces ondes, respectivement aller et retour, sont représentées par deux signaux correspondant respectivement aux deux solutions propagatives de l'équation différentielle.
Une telle méthode de synthèse est mise en œuvre, par exemple dans le document US-A-5,332,862 qui décrit un synthétiseur comprenant d'une façon générale:
- une partie non linéaire, simulant l'excitateur, sur laquelle sont appliqués deux paramètres de contrôle du son à simuler qui sont, dans ce cas, la pression du souffle du musicien et la pression de ses lèvres sur l'anche ou l'embouchure,
- une partie linéaire, simulant le résonateur, qui reçoit un signal noté q0, représentatif de l'onde aller, émis par la partie non linéaire et qui émet vers celle-ci un signal noté q,, représentatif de l'onde retour,
- un moyen de création du son à partir des signaux issus de la partie linéaire et de la partie non linéaire,
- un convertisseur numérique-analogique produisant le son de synthèse.
Bien entendu, il existe d'autres types de synthétiseurs mais, jusqu'à présent, toutes les méthodes ayant recours à une modélisation des phénomènes physiques au sein de l'instrument étaient basées sur la décomposition de la vibration au sein du résonateur en termes de variables onde aller et onde retour. Or, il est apparu que de telles méthodes présentaient plusieurs inconvénients.
Tout d'abord, lorsque le résonateur acoustique est constitué, par exemple, de plusieurs portions de tubes cylindriques de diamètres différents, le changement de section provoque l'apparition d'une onde transmise et d'une onde réfléchie à chaque interface. La présence d'interfaces a été prise en compte dès 1962 par J.L. Kelly et C.C. Lochbaum dans le cadre de la modélisation du conduit vocal.
Ce type de modélisation , qui est identique, dans son approche, à la théorie classique de l'optique géométrique, est employé également, par exemple, en sismique-réflexion, afin de décrire la propagation d'ondes élastiques dans un sol multicouches.
Il est connu, en effet qu'il est intéressant, dans tous les cas où une ou plusieurs ondes se propagent, de caractériser une interface par une matrice de diffusion, car on peut ainsi accéder directement aux réflexions et transmissions des différentes ondes. Toutefois, le comportement de cet élément localisé devient souvent difficile à appréhender et à calculer, dans la mesure où les équations d'interface et de continuité sont toujours écrites à la base avec des grandeurs physiques, par exemple en exprimant, à l'interface, la continuité de la pression ou du débit, de la force ou de la vitesse.
Il est donc souvent plus avantageux d'utiliser des matrices "impédances" ou "admittances", qui relient directement les grandeurs physiques, comme cela a été décrit par J . Kergomard en 1991 .
D'autre part, lorsqu'il existe dans l'instrument à stimuler, des éléments localisés autres que des interfaces, la méthode "guides d'ondes" doit être complétée par une méthode du type "filtre d'onde" décrivant ces éléments localisés (tels que masse, ressort, amortisseur) pour raccorder correctement les différents sous-systèmes.
De même, lorsque le résonateur acoustique est constitué par exemple d'un tuyau conique, les ondes se déplaçant de l'instrumentiste vers le pavillon (aller) et du pavillon vers l'instrumentiste (retour) sont différentes, ce qui nécessite, soit de les modéliser de manière différente, au moyen de deux filtres linéaires correspondant aux noyaux de Green décrivant la propagation dans chaque sens, soit d'approximer le cône par une succession de cylindres de petite longueur et de diamètres différents.
Par ailleurs, le son produit par un instrument de musique n'est pas issu uniquement de la propagation d'une onde dans un résonateur, quelle que soit la complexité de sa géométrie, mais est le résultat du couplage non linéaire entre ce résonateur et une source excitatrice. Ce couplage non linéaire s'exprime physiquement entre les grandeurs physiques représentant une cause (pression dans le cas acoustique, force dans le cas mécanique) et un effet (débit dans le cas acoustique, vitesse dans le cas mécanique), appelées variables de Kirchhoff. Dans le cas acoustique, cette loi physique dite d'Euler-Bernoulli, version simplifiée des équations de Navier- Stokes utilisées en mécanique des fluides, stipule que la pression acoustique au niveau de l'anche ou des lèvres d'un instrument à vent est proportionnelle, à une constante additive près, au carré du débit acoustique. La formulation des ondes dans le résonateur sous forme d'ondes-aller et d'ondes-retour nécessite donc d'effectuer un changement de variables permettant d'exprimer le couplage non linéaire, non plus en fonction des variables physiques pression-débit, mais en fonction de ces nouvelles variables onde-aller et onde-retour, comme par exemple, dans le document US-A-5,332,862 déjà cité. Cependant, le changement de variables introduit une complexité supplémentaire dans le procédé de synthèse. C'est ainsi qu'on a proposé récemment l'emploi de méthodes itératives ou de fabulation pour calculer la solution du système non linéaire.
Les méthodes de synthèse utilisées jusqu'à présent ne permettent donc pas d'exprimer simplement le couplage non linéaire qu i existe entre la source excitatrice et le résonateur de l'instrument et limitent la paramétrisation physique des algorithmes de synthèse.
L'invention a pour objet d'éviter de tels inconvénients et de lever ces limitations grâce à une nouvelle méthode de simulation et de synthèse en temps réel d'un phénomène oscillant, applicable spécialement mais non limitativement aux instruments à vent auto-oscillants. En particulier, l'invention a pour objet un procédé de simulation permettant de prendre en compte les processus physiques régissant le fonctionnement d'un instrument réel et dont la mise en œuvre numérique peut être particulièrement simple.
En outre, à partir d'une méthode de base applicable à des instruments du type clarinette, à résonateur cylindrique, l'invention peut être adaptée à la simulation d'autres types d'instruments à vent ou à cordes.
Par ailleurs, l'invention ne se limite pas à la simulation d'instruments de musique mais peut s'appliquer, d'une façon générale à la synthèse numérique, en temps réel de phénomènes oscillants de toutes sortes.
D'u ne façon générale, l'invention a donc pour objet la simulation d'une interaction non linéaire entre une source excitatrice et une onde dans un résonateur, au moyen d'outils de calcul de signaux numériques, à partir d'équations dont la solution correspond à la manifestation physique d'un phénomène à simuler.
Conformément à l'invention, le phénomène à simuler se traduisant, à chaque instant et en un point donné du résonateur, par une relation linéaire entre deux variables représentatives de l'effet et de la cause dudit phénomène, on transcrit directement l'équation de l'impédance ou de l'admittance sous forme d'un modèle numérique permettant de réaliser une interaction non linéaire entre les deux variables de la relation d'impédance ou d'admittance. A cet effet, le modèle comporte, d'une part, au moins une partie linéaire représentant directement l'impédance ou l'admittance dite d'entrée du résonateur, c'est-à-dire au point où se manifeste l'interaction non linéaire et, d'autre part, une partie non linéaire modélisant le rôle de la source excitatrice du phénomène à simuler.
En particulier, pour la synthèse numérique, en temps réel, d'un phénomène oscillant, l'invention permet, à partir d'un système d'équations entre au moins deux variables représentatives du comportement du résonateur, d'établir une expression de l'impédance ou de l'admittance d'entrée du résonateur sous forme d'un filtre linéaire comportant des retards, sans décomposition en ondes aller-retour, de façon à réaliser au moins une partie linéaire du modèle qui peut être couplée à une boucle non linéaire faisant intervenir l'évolution de la non-linéarité telle qu'elle s'exprime entre les deux variables de la relation d'impédance ou d'admittance du résonateur.
De façon particulièrement avantageuse, cette partie linéaire du modèle est constituée de la somme de deux guides d'ondes élémentaires réalisant une fonction de transfert entre les deux variables de la relation d'impédance ou d'admittance.
Selon une autre caractéristique particulièrement avantageuse, le modèle est piloté par au moins deux paramètres représentatifs de l'interaction physique non linéaire entre la source et le résonateur, au moyen d'une boucle reliant la sortie à l'entrée de la partie linéaire et comprenant une fonction non linéaire jouant le rôle de source excitatrice pour le résonateur.
Ainsi, contrairement aux procédés de synthèse utilisés habituellement, le procédé selon l'invention ne fait pas appel aux ondes aller et retour, mais exprime directement et numériquement la relation linéaire, dite relation d'impédance, entre les variables cause et effet, c'est à dire pression et débit dans le cas acoustique, force et vitesse dans le cas mécanique. Naturellement, cette relation fait apparaître des éléments propagatifs, faisant intervenir des filtres et des retards, dans la mesure où le phénomène physique à simuler est inchangé.
Cependant, grâce au procédé selon l'invention, cette relation est facilement exploitable sous forme numérique et peut ensuite être associée avec la relation non linéaire exprimée physiquement entre les mêmes variables.
Comme indiqué plus haut, la présente invention concerne donc essentiellement l'élément de modélisation d'un instrument numérique qui, à partir de paramètres élaborés par un moyen de contrôle, tels qu'un capteur gestuel commandé par le musicien, calcule en temps réel un signal susceptible d'être transformé en signal sonore par un élément de conversion.
En particulier, pour la synthèse, en temps réel, par modélisation physique, du son d'un instrument de musique résultant d'un couplage non linéaire entre la source excitatrice et le résonateur, l'invention permet de résoudre le système d'équations représentatif du phénomène à simuler en exprimant directement et numériquement la relation linéaire d'impédance ou d'admittance entre les variables cause et effet et en associant cette relation linéaire sous forme numérique à la relation non linéaire entre les mêmes variables. De plus, dans le cas d'un résonateur de géométrie complexe, celui-ci peut être décomposé en éléments successifs, de façon à combiner les relations linéaires élémentaires correspondant respectivement à chaque élément du résonateur, afin d'obtenir une impédance ou admittance correspondant à la géométrie de l'instrument.
Comme on l'a indiqué, l'invention s'applique, en particulier, à la synthèse en temps réel des sons produits par un instrument à vent. Dans ce cas, les deux variables de la relation d'impédance sont la pression et le débit acoustiques à l'entrée du résonateur.
Dans le cas d'un résonateur cylindrique ayant une extrémité ouverte, il est particulièrement avantageux de réaliser la partie linéaire du modèle de transcription numérique de l'équation de l'impédance sous forme d'une somme de deux guides d'ondes élémentaires ayant pour source excitatrice le débit à l'entrée du résonateur et réalisant la fonction de transfert :
Pe(ω) _ 1 exp(-2ik(ω)L)
Ze(ω)
Ue(ω) 1 + exp(-2ik(ω)L) 1 + exp(-2ik(ω)L)
dans laquelle :
- ω est la pulsation de l'onde
- Ze(ω) est l'impédance d'entrée du résonateur, - Pe(ω) et Ue(ω) sont les transformées de Fourier des valeurs adimensionnées de la pression et du débit à l'entrée du résonateur,
- k(ω) est une fonction de la pulsation de l'onde qui dépend du phénomène à simuler, - L est la longueur du résonateur.
Selon u ne autre caractéristique, chacun des deux guides d'ondes fait intervenir un filtre ayant pour fonction de transfert :
- F(ω)2 = -exp(-2i (ω)L)
et représentant un trajet aller-retour d'une onde avec changement de signe à l'extrémité ouverte du résonateur, chaque guide d'onde correspondant à un terme de l'équation de l'impédance. Un tel modèle peut avantageusement être piloté par la longueur du résonateur et au moins deux paramètres représentatifs de l'interaction physique non linéaire entre la pression et le débit à l'entrée du résonateur, au moyen d'une boucle reliant la sortie à l'entrée de la partie linéaire et 04/042696
comprenant une fonction non linéaire jouant le rôle de source excitatrice pour le résonateur.
En particulier, pour la synthèse en temps réel des sons à simuler, on réalise une formulation, dans le domaine temporel, de la réponse impulsionnelle du résonateur, en approximant les pertes représentées par le filtre au moyen d'un filtre numérique approché.
L'invention couvre d'autres caractéristiques essentielles mentionnées dans les revendications et portant, en particulier, sur les équations utilisées par l'outil de calcul des signaux numériques et qui conduisent à des modèles à guides d'ondes dépendant du phénomène à simuler.
En effet, selon une caractéristique essentielle de l'invention, la méthode proposée pour la simulation d'un phénomène simple comme la propagation d'une onde dans un résonateur cylindrique, peut être adaptée de multiples façons pour la simulation de phénomènes plus complexes et, en particulier, de divers types d'instruments.
Dans la description qui va suivre, on va donc exposer en détail la méthode de simulation, les équations utilisées et le modèle à mettre en œuvre pour la synthèse du son d'un instrument à résonateur acoustique cylindrique à anche, du type clarinette, et ensuite certaines adaptations pour la simulation d'autres types d'instruments. La figure 1 représente schématiquement l'ensemble d'un instrument numérique pour la simulation d'un instrument à vent, par le procédé selon l'invention.
La figure 2 donne deux diagrammes représentant respectivement, à gauche la fonction de transfert, en Hertz, d'un modèle d'anche à un mode et à droite, la réponse impulsionnelle en fonction des échantillons, avec une fréquence d'échantillonnage de 44 100 Hertz.
La figure 3 est un schéma de calcul par combinaison de guides d'ondes, représentant l'impédance d'entrée d'un résonateur cylindrique. 04/042696
La figure 4 donne deux diagrammes représentant respectivement, pour un résonateur cylindrique, en haut l'impédance d'entrée en fonction de la fréquence indiquée en
Hertz et, en bas, la réponse impulsionnelle en fonction du temps, en secondes.
La figure 5 est un schéma de calcul d'un modèle de simulation d'un instrument à anche à résonateur cylindrique.
La figure 6 donne deux diagrammes analogues à la figure 3, représentant respectivement, pour un modèle de résonateur calculé selon l'invention, en haut l'impédance d'entrée approchée et en bas la réponse impulsionnelle approchée.
La figure 7 donne deux diagrammes analogues à la figure 2, représentant respectivement, pour un modèle d'anche calculé selon l'invention, à gauche la fonction de transfert et à droite la réponse impulsionnelle.
La figure 8a montre les variations, en fonction du temps indiqué en secondes, de la pression acoustique interne au niveau de l'embouchure d'un résonateur cylindrique. Les figures
8b et 8c sont des agrandissements des transitoires d'attaque et d'extinction.
La figure 9 donne deux diagrammes représentant respectivement, à gauche la fonction de transfert et à droite la réponse impulsionnelle, pour un modèle d'anche multimode calculé selon l'invention. La figure 10 donne deux diagrammes représentant le spectre de la pression acoustique externe, respectivement en haut pour une anche à un seul mode et en bas pour une anche à modes multiples.
La figure 11 est un schéma de calcul représentant l'impédance d'un résonateur cylindrique avec impédance terminale.
La figure 12 est un schéma de calcul représentant l'impédance d'un résonateur conique.
La figure 13 est un schéma de calcul représentant l'impédance d'un résonateur pour instruments à vent. La figure 14 est un schéma général de calcul représentant l'impédance d'une combinaison en parallèle de résonateurs cylindriques.
La figure 15 donne deux diagrammes représentant respectivement, dans le cas d'une corde, en haut l'admittance exacte et en bas l'admittance approchée, en fonction de la fréquence indiquée en Hertz.
La figure 16 est un modèle d'instrument numérique simulant un instrument à corde. La figu re 1 7 montre, pour une corde frappée, les variations au cours du temps, en haut de la vitesse de la corde au point de contact et, en bas, de la force exercée par le marteau sur la corde.
La figure 18 représente, pour une corde frappée, la trajectoire de la force au cours du temps, en fonction du déplacement relatif du marteau par rapport à la corde.
La figure 19 est un schéma général de simulation d'un instrument fonctionnant par couplage non linéaire entre une source excitatrice et un résonateur. L'invention va d'abord être décrite dans son application à un instrument à vent du type clarinette.
Sur la figure 1 , on a représenté schématiquement l'ensemble d'un instrument numérique pour la mise en œuvre de l'invention comprenant, d'une façon générale, un élément de contrôle I comportant un capteur gestuel 1 commandé par un opérateur 10 et transformant les actions de celui-ci en paramètres de contrôle ωr, ζ, γ, L, un élément de modélisation I I sur lequel agissent les paramètres de contrôle, comportant une partie non linéaire 2, associée à une partie linéaire 3, et un élément I I I de création du son, comportant un moyen 4 de génération, à partir des signaux calcu lés par l'élément de modélisation I I , d'un signal qui est transformé en son synthétisé par un convertisseur numérique-analogique 5. Comme on le sait, les phénomènes physiques mis en jeu lors de la production du son de la clarinette, s'expriment d'une part, par une équation de propagation linéaire des ondes dans le tuyau avec perte, et d'autre part, par une équation non linéaire reliant le débit avec la pression et le déplacement de l'anche au niveau de l'embouchure de l'instrument.
Un modèle de simulation du son comprend donc une partie linéaire du modèle correspondant au résonateur de l'instrument qui, dans le cas de la clarinette est constitué d'un tube cylindrique. Pou r cette géométrie, en supposant que le rayon du tube est grand devant les épaisseu rs des couches limites, la pression acoustique à l'intérieur du tube est régie par une équation de la forme :
δ2p(x,t) 1 52p(x,t) ôfp(x,t) α- = 0
Sx2 dt2 ôt
R étant le rayon du tube, c'est-à-dire 7mm dans le cas de la clarinette. Les valeu rs des constantes physiques, en unités mKs, sont : c=340, lv=4.10-8,
lt=5.6.1 0-8, Cv
En recherchant les solutions du type exp (i(ωt-k(ω)x)), ω étant la pulsation de l'onde, on peut écrire :
ω k(ω)2 = — (l-i c2ω- χ) (1)
x
En remplaçant Vï x par la valeur approchée 1 +
2 lorsque x est petit, l'expression approchée classique de k(ω), que nous utiliserons par la suite, devient :
k(ω) = αcω 2 (2) c 2 On sait que, si l'on considère un tuyau de longueur infinie que l'on suppose excité en x=0 et t=0 par une impulsion Dirac δ(x)δ(t), en tout point x>0, la pression acoustique propagée à partir de cette source s'écrit sous la forme d'une somme continue de toutes les ondes susceptibles de se propager dans le tuyau :
p(x,t) = Jexp(-ik(ω)x)exp(iωt)dω
qui apparaît comme la Transformée de Fourier inverse de la valeur exp(-ik(ω)).
Dans ce qui suit, on réservera le terme "guide d'onde" à la formulation dite de Green représentant la propagation d'une onde dans un milieu , et incluant la dissipation et la dispersion . Dans ce formalisme de Green, la fonction de transfert d'un tuyau de longueur L, représentant la propagation, la dissipation et la dispersion est :
F(ω) = exp(-ik(ω)L) =
La dissipation représentée par le module de F(ω) et la dispersion représentée par la phase de F(ω) sont donc proportionnelles à Vω , tandis que le retard de propagation est donné par — . La longueur du tuyau sera donc le paramètre de c contrôle de la hauteur et son rayon le paramètre de contrôle des pertes.
On sait, d'autre part, que les transformées de Fourier des pressions et débits adimensionnés à l'entrée (Pe(ω), Ue(ω)) et en sortie (Ps(ω), Us(ω)), du résonateur, sont liés par le système d'équations :
Pe(ω) = cos(k(ω)L)Ps(ω)+ / sin(k(ω)L)Us(ω)
Ue(ω) = /" sin(k(ω)L)Ps(ω)+ cos(k(ω)L)Us(ω) De façon classique, afin de modéliser la pression acoustique interne, le rayonnement peut être négligé. L'extrémité ouverte de l'instrument est donc parfaitement réfléchissante, ce qui entraîne que Ps(ω)=0. Ceci permet d'exprimer la relation entre pression et débit à l'entrée du résonateur :
Pe(ω) = / tan(k(ω)L)Ue(ω) = Ze (ω)Ue(ω) (4)
où Ze(ω) = i tan(k(ω)L) est l'impédance d'entrée normalisée du résonateur.
Dans le cas d'un modèle classique d'anche ou de lèvres à un mode, le déplacement adimensionné x(t) de l'anche par rapport à son point d'équilibre, et la pression acoustique pe(t) qui le produit sont liés par l'équation :
avec le signe + lorsque la pression tend à fermer l'anche ou les lèvres et le signe - lorsque la pression tend à les ouvrir, et dans laquelle ωr=2π/r correspond à la fréquence de résonance /r, par exemple 2500 Hz et qr est le facteur de qualité de l'anche, par exemple 0,2.
En écrivant, l'équation (5) avec le signe + dans le domaine de Fourier, on obtient la fonction de transfert de l'anche :
X(ω) ω
(6)
Pe(ω) ωr 2 - ω2 + iωqrωr dont la réponse impulsionnelle est donnée par
(7) A titre d'exemple, la figure 2 donne deux diagrammes indiquant respectivement, à gauche la fonction de transfert et à droite, la réponse impulsionnelle du modèle d'anche, pour une fréquence de résonance /r= 2 500Hz et un facteur de qualité qr=0,2.
Comme on le verra plus loin, il est important de noter que x(0)=0.
Par ailleurs, dans le cas d'un instrument à anche de type clarinette ou à embouchure de type trompette, la pression acoustique pe(t) et le débit acoustique ue(t) (adimensionnés) à l'entrée du résonateur sont reliés de façon non-linéaire par l'équation :
ue(t) (8)
Dans le cas d'un instrument à anche, le paramètre ζ est caractéristique de l'embouchure et prend en compte la position des lèvres et le rapport de section entre le bec et le résonateur. Ce paramètre ζ est proportionnel à la racine carrée de l'ouverture de l'anche au repos et est compris, habituellement entre 0,2 et 0,6.
Le paramètre γ est le rapport entre la pression à l'intérieur de la bouche d'un instrumentiste et la pression de plaquage statique de Tanche. Pour un tuyau sans perte, il va de - pour la mise en vibration à - pour la position d'anche battante.
Les paramètres ζ et γ sont donc deux paramètres de jeu importants dans la mesure où ils représentent, respectivement, la manière dont l'instrumentiste pince Tanche et la pression du souffle dans l'instrument.
En combinant l'équation de déplacement de Tanche ou des lèvres, la relation d'impédance et la caractéristique non linéaire, il apparaît que la pression et le débit acoustiques, au niveau de l'embouchure sont contrôlés par le système d'équations suivant :
(9) ω dt ωr dt
ue(t) = 1(1 - sign(γ - x(t) - 1))sign(γ - pe(t))ζ(1 - γ + x^y - pe(t)| (11)
Le but de l'invention est donc de trouver une formulation dans le domaine temporel de la relation d'impédance permettant de résoudre ce système de trois équations, en modélisant la relation d'impédance en termes de guides d'onde élémentaires.
Pour modéliser l'impédance d'entrée du résonateur en termes de guides d'onde élémentaires, on écrit la transformée de Fourier de l'impédance Ze(ω) sous la forme :
7 t„\ - i t≈nπ^ïi ^ - ; sin(k(ω)L) _ exp(ik(ω)L) - exp(-ik(ω)L) Ze(ω) - ι tan(k(ω)L) - , cos(k(ω)L) - exp(ik(ω)L) + eXp(-ik(ω)L)
Cette expression peut s'écrire sous la forme :
7 (ω\ = Pe(ω) ≈ 1 exp(-2ik(ω)L) . e K ' Ue(ω) 1 + exp(-2ik(ω)L) 1 + exp(-2ik(ω)L) ^
La figure 3 représente un modèle de calcul par combinaison de guides d'ondes, directement issu de cette dernière équation et dont la fonction de transfert est l'impédance d'entrée du résonateur. Il est constitué d'une somme de deux guides d'ondes élémentaires. L'élément supérieur correspond au premier terme de l'équation (12) tandis que Télément inférieur correspond au deuxième. Le filtre dont la fonction de transfert est ~ F(ω) = - exp(-2ik(ω)L) représente un trajet aller-retour, avec changement de signe de la pression acoustique à l'extrémité ouverte.
A titre d'exemple, la figure 4 donne deux diagrammes représentant respectivement, pour un tuyau de longueur L = 0.5m et de rayon R=7mm, en haut la variation de l'impédance d'entrée du résonateur en fonction de la fréquence et, en bas, la réponse impulsionnelle du modèle à guides d'onde correspondant, calculée par transformée de Fourier inverse de l'impédance. Le système des trois équations physiques couplées (9),
(10), (1 1 ) permet d'introduire la non-linéarité sous forme d'une boucle reliant la sortie pe du résonateur à l'entrée ue.
La figure 5 donne un schéma de calcul équivalent permettant, pour la simulation d'un instrument à anche ou embouchure, de coupler non linéairement le déplacement de Tanche ou des lèvres et la pression acoustique avec le débit acoustique à l'entrée du résonateur, en calculant, à chaque instant échantillonné, la pression acoustique interne au niveau de Tembouchure. Le modèle est entièrement piloté par la longueur L du résonateur et au moins deux paramètres ζ et γ représentatifs de l'interaction physique non linéaire entre la source et le résonateur, au moyen d'une boucle reliant l'entrée à la sortie de la partie linéaire et comprenant une fonction non-linéaire jouant le rôle de source excitatrice pour le résonateur. Comme le montre la Figure 4, la partie linéaire reprend le schéma de la Figure 2 et la fonction non-linéaire f est contrôlée par les deux paramètres ζ et γ permettant de simuler le jeu d'un instrumentiste, et a comme paramètres d'entrée, dans le cas d'une clarinette, la pression à Tembouchure et le déplacement x(t) de Tanche par rapport à son point d'équilibre, calculé en fonction de la pression à Tembouchure, par un modèle d'anche (m) qui constitue l'excitateur.
Aucun signal d'entrée n'est nécessaire, dans la mesure où γ est directement proportionnel à la pression dans la bouche de l'instrumentiste. C'est donc la non-linéarité elle-même, et son évolution imposée par l'instrumentiste, qui joue le rôle de source excitatrice, conformément au modèle physique.
Pour la synthèse, en temps réel, des sons à simuler, le modèle nécessite un échantillonnage numérique et, pour cela, on réalise une formulation, dans le domaine temporel , de la réponse impulsionnelle du résonateur, correspondant à la transformée de Fourier inverse de l'impédance. Cette formulation dans le domaine temporel permet de calculer la pression pe(t) à Tembouchure en fonction du débit ue(t) mais il est nécessaire, pour cela, d'approximer les pertes représentées par le filtre F(ω) au moyen d'un filtre numérique approché. On va donc utiliser une approximation de la fonction de transfert du filtre, - F(ω)2 = - exp(-2ik(ω)L) , dont les coefficients sont déterminés à partir de variables physiques telles que la longueur du résonateur et son rayon, de façon à pouvoir apporter les modifications nécessaires en fonction de la géométrie du résonateur. A cet effet, on exprime analytiquement les coefficients du filtre numérique comme des fonctions de paramètres physiques.
En pratique, il est particulièrement avantageux d'utiliser un filtre à un pôle en exprimant la fonction de transfert approchée sous la forme :
ω xσ = dans laquelle /e étant la fréquence d'échantillonnage, et D = f e — est le retard pur correspondant à un trajet aller ou retour des ondes dans le résonateur.
Les paramètres bO et a i sont exprimés en fonction des
F(ω)2 = F(ro)j paramètres physiques de telle sorte que pour deux valeurs données de ω. La première valeur ω1 retenue est celle de la fréquence fondamentale de jeu. Ceci permet d'assurer un temps de décroissance de la fréquence fondamentale de la réponse impulsionnelle du modèle à guides d'ondes utilisant le filtre approché, identique à celui du modèle à guides d'ondes utilisant le filtre exact.
La deuxième valeur ω2 retenue est celle d'un harmonique choisi de façon à obtenir une décroissance globale identique des réponses impulsionnelles des guides d'onde, respectivement, exact et approché.
Le choix de cette deuxième valeur ω2 est donc plus libre. Elle correspond, par exemple, au second pic de résonance dans le cas de la clarinette mais, dans certains cas, comme on le verra plus loin dans le cas de la trompette, il peut être préférable de choisir un harmonique de rang supérieur.
Le système d'équations à résoudre est donné par : F(ω1)2|2(1 + a2 - 2a1 cos(τ01)) = b2
F(ω2)2 (1 + a2 - 2at cos(cτ2)) = b
dans lequel F(ω) = exp - 2αc — L
En négligeant la dispersion introduite par la partie non- linéaire de la phase de F(ω), les fréquences des harmoniques sont :
τσk = 2k-1 est le rang de l'harmonique. En notant : c1 = cos(îσ1)) c2 = cos(ro2), F1 = F(ω1)22 "2, F c2 = F E7(ω„ 2 ) \22 ^, A1 = F1c1, A2 = F2c 2 ' les coefficients ai et bO sont donnés par :
A1 - A2 - (A1 - A2)2 - (F1 - F2)1 a1 = (14) Fι - F2 ^,(0, - c2)(A1 - A2 - (A, - A2)2 - (F, - F2)2) b0 = (15)
Fι - F2
A partir de l'expression de l'impédance d'entrée du résonateur :
1 exp(-2ik(ω)L)
Ze(ω) =
1 + exp(-2ik(ω)L) 1 + exp(-2ik(ω)L) '
et en notant z=exp(iw), on tire directement :
-2D
P.(z) 1 1 - a^"1 U.(z)
1 + -2D -2D
1 - a^ -1 1 +
1 - a.,z -1
1 - a,z-1 - b0z-2D 1 - a^"1 + b0z-2D
d'où Ton tire l'équation aux différences :
pe(n) = ue(n) - a1ue(n - 1) - b0ue(n - 2D) + a1pe(n - 1) - b0pe(n - 2D) (16)
La figure 6 donne deux diagrammes montrant respectivement, en haut la variation de l'impédance d'entrée du résonateur approché en fonction de la fréquence et, en bas, la réponse impulsionnelle du modèle à guides d'onde correspondant, calculée à partir de l'équation aux différences pour un tuyau cylindrique de longueur L=0.5m et de rayon R=7mm.
On constate que le modèle ainsi établi donne une réponse impulsionnelle très proche de celle du résonateur, représentée sur la figure 2.
De même que pour le filtre représentant les pertes, la relation entre la pression acoustique et le déplacement de l'excitateur (anche ou lèvres) doit être discrétisée dans le domaine temporel. Or, la réponse impulsionnelle de Tanche est une sinusoïde amortie de façon exponentielle qui satisfait à la condition x(0)=0, comme on Ta indiqué plus haut. Il est donc possible de construire un filtre numérique pour lequel le déplacement de Tanche à l'instant tn = — est fonction de la fe n - 1 pression acoustique à l'instant tn_n = et non pas tn. Ceci fe permet de respecter la propriété x(0)=0 du système continu lorsque Tanche est soumise à une excitation Dirac. Pour satisfaire cette condition, au lieu d'utiliser la transformation bilinéaire pour approximer les termes iω et -ω2, on utilise, selon fe l'invention, les expressions lω ≈ — (z - z ) et
-ω2≈fe 2(z - 2 + z~1), qui correspondent à une différentiation numérique centrée exacte au second ordre.
Avec ces approximations, la fonction numérique de transfert de Tanche est donnée par :
X(z) ω; Pe(z) ωr 2 + fe 2(z - 2 + z-1) + (z - z-1)qrωr
d'où Ton tire l'équation aux différences :
x(n) )+a-ιax(n-1 )+a2ax(n-2) (17)
dans laquelle les coefficients b 1 a, a 1 a et a2a sont définis par : a0a -
La figure 7 donne, pour un tel modèle d'anche approché, deux diagrammes représentant, à gauche la fonction de transfert et à droite la réponse impulsionnelle, avec une fréquence d'échantillonnage fe=44 100 Hertz, les valeurs des paramètres étant fr=2500Hz et qr=0,2.
On voit que les diagrammes obtenus sont très proches de ceux de la figure 2 Ceci étant établi, on va maintenant exposer une méthode de résolution explicite, selon l'invention, pour le couplage des équations aux différences avec la caractéristique non linéaire.
Les formulations échantillonnées des réponses impulsionnelles du déplacement de Tanche et de l'impédance permettent, en effet, d'écrire l'équivalent échantillonné du système d'équation (9, 10, 1 1 ) indiqué plus haut, sous la forme :
x(n)=b1ape(n-1 )+a1ax(n-1 )+a2ax(n-2) (18)
pe(n)=Ue(n)-a1ue(n-1)-boUe(n-2D)+a1pe(n-1)-boPe(n-2D) (19)
Ue(n)= 2(1_sign(γ _x(n)_1))sign(γ"Pe(n))^1"γ + x(n lγ _peN (20)
Ce système d'équations est implicite, du fait que le calcul de Pe(n) par Téquation d'impédance nécessite la connaissance de ue(n) et que cette valeur est elle-même obtenue à partir de Téquation non linéaire et nécessite la connaissance de pe(n). Cependant, comme on Ta indiqué plus haut, le calcul de x(n) ne nécessite pas la connaissance de pe(n) mais celle de pe(n-1 ) qui est connu à l'instant n.
Ceci permet, selon l'invention, de résoudre simplement et exactement le système couplé. Pour cela, les termes des équations 19 et 20 ci-dessus, qui ne dépendent pas de l'échantillon de temps n, peuvent, en effet, être regroupés dans les expressions :
V=-a1ue(n-1 )-boUe(n-2D)+aιpe(n-1 )-b0pe(n-2D)
W = (1 sign(γ - x(n) - 1)) x ζ(1 - γ + x(n)) 2
ce qui permet d'écrire :
pe (n) =ue(n)+V
Pour généraliser la méthode, il est intéressant d'associer ue (n) à un coefficient bco = 1 dans le cas d'un tuyau cylindrique. Les deux équations 19 et 20 ci-dessus peuvent alors être écrites sous la forme :
ue (n) = Wsign(γ - Pe (n))^ - Pe (n)|
1 Etant donné que le terme - (1 - sign(γ - x(n) - 1)) annule W lorsque (1 -γ+x(n)) est négatif, W reste toujours positif. Si Ton considère successivement les deux cas : γ-pe(n)>0 et γ-pe(n)<0 correspondant respectivement aux cas ue(n)>0 et ue(n)<0, ue(n) peut s'exprimer exactement et sans faire intervenir l'inconnue pe(n), sous la forme :
uβ(n) = sign(γ - V)(-bc0W2 + W^ '(bc0W)2 + 4|γ - V| De la sorte, le calcul de la pression acoustique et du débit au niveau de Tembouchure à un instant échantillonné n, peut s'effectuer en utilisant de façon séquentielle les équations suivantes : x(n)=bιape(n-1 )+aιax(n-1 )+a2ax(n-2) (21)
V=-a1ue(n-1 )-b0ue(n-2D)+a1pe(n-1 )-b0pe(n-2D) (22)
W = 1 (1 - sign(γ - x(n) - 1))ζ(1 - γ + x(n)) (23)
ue (n) = sign(γ - V)(-bc0W2 + \N^(bc0\N)2 + 4|γ - V| (24)
Pe(n)=bc0ue(n)+V (25)
Ainsi, l'invention permet de résoudre dans le domaine temporel le système d'équations régissant la modélisation physique de l'instrument, à partir d'une formulation échantillonnée équivalente de la réponse impulsionnelle du déplacement de Tanche, de la relation d'impédance et de la caractéristique non linéaire, qui se traduit par le système d'équations 18, 19, 20, dans lequel :
- Téquation (18) est une transcription numérique du modèle (m) de la figure 5, - Téquation (19) est une transcription numérique du modèle d'impédance de la figure 3,
- Téquation (20) est une transcription numérique de la caractéristique non linéaire reliant le déplacement de Tanche et la pression acoustique avec le débit acoustique.
En regroupant les termes qui ne dépendent pas de l'échantillon temporel n, le procédé selon l'invention permet, en effet, de déterminer le débit et la pression à l'entrée du résonateur par un calcul séquentiel des équations 21 à 25, et de résoudre, dans le domaine temporel, le système d'équations 9, 10, 1 1 régissant la modélisation physique d'un instrument à anche du type clarinette, afin de synthétiser les sons produits par un tel instrument. A titre d'exemple, la figure 7 montre la variation de la pression acoustique interne au niveau de Tembouchure, calculée par un tel modèle non linéaire faisant appel à des guides d'ondes, pour un tuyau de longueur L=0,5m et de rayon R=7mm, les valeurs des paramètres étant γ=0,4, ζ=0,4, fr=2205 Hz, qr=0,3.
On observe trois phases : le transitoire d'attaque correspondant à une augmentation brutale de γ et ζ, le régime permanent pendant lequel γ et ζ diminuent progressivement, de façon linéaire, jusqu'au seuil d'oscillation, et le transitoire d'extinction.
En pratique, la mise en œuvre numérique d'un tel modèle à guides d'ondes non linéaire, peut se faire en utilisant, pour le capteur gestuel, des éléments se trouvant dans le commerce. Par exemple, on peut effectuer une mise en œuvre numérique en langage C sous forme d'un objet externe « clarinette » pour l'environnement connu sous la marque Max-MSP, piloté à partir de commandes MIDI fournies par un contrôleur Yamaha WX5®. Ce contrôleur mesure la pression des lèvres sur Tanche, qui contrôle le paramètre ζ, et la pression du souffle, qui contrôle le paramètre γ. Ces informations reçues au format MIDI (donc entre 0 et 127) sont renormalisées pour correspondre à l'échelle des paramètres physiques. L'accord du guide d'onde est réalisé à partir de l'information MIDI pitch contrôlée à partir du doigté qui détermine la longueur L du tuyau.
Cependant, comme dans un instrument réel, la hauteur change en fonction des paramètres physiques tels que γ, ζ, ωr et qr. Or, en réalité, un instrument de musique n'est pas parfaitement accordé pour tous les doigtés. L'utilisation d'un filtre passe-tout pour la mise en œuvre de la partie fractionnaire du retard D n'est donc pas indispensable.
En pratique, il apparaît que les sensations de jeu d'un tel instrument virtuel sont tout à fait comparables à celles d'un instrument réel. Cependant, le procédé qui vient d'être décrit pour la simulation du son d'un instrument à anche du type clarinette, peut encore être perfectionné.
On sait, en effet, que la pression acoustique au niveau de Tembouchure n'est pas la variable représentative du son perçu. Il est donc intéressant de calculer la pression externe qui, pour un tuyau cylindrique, peut s'exprimer comme la dérivée en fonction du temps, du débit sortant : pext(t)= — — . En négligeant dt encore le rayonnement, ce qui entraîne ps(t)=0, il vient
Pe(ω) = /sin(k(ω)L))Us(ω) Ue(ω) = cos(k(ω)L)Us(ω) d'où l'on tire :
Us(ω) =exp(-ik(ω)L)(Pe(ω)+Ue(ω))
Du point de vue perception, le terme exp(-ik(ω)L) est négligeable. L'expression ci-dessus peut donc être simplifiée et devient :
P ext(t)=-^ (Pe(t) + Ue (t)) (26) dt
Ainsi, d'un point de vue numérique, le calcul, à chaque instant échantillonné (n), de la pression externe pext(n), se réduit à une simple différence entre la somme de la pression interne et du débit, entre l'instant (n) et l'instant (n-1 ).
Comme le montre la figure 1 , qui représente schématiquement l'ensemble d'un instrument numérique pour la mise en œuvre de l'invention dans le cas d'un instrument à vent, les signaux pe(t) et ue(t) permettant le calcul de la pression externe pext(t) sont élaborés par Télément de modélisation II à partir des paramètres de contrôle ωr, ζ, γ, L. Pour un résonateur cylindrique, cet élément de modélisation I I est du type représenté sur la figure 5 et permet le couplage des trois équations (9), (10), (1 1 ).
La partie linéaire 3 comporte un bloc de calcul 31 du type représenté sur la figure 3, dont la fonction de transfert Ze(ω) est l'impédance d'entrée du résonateur.
Le modèle est piloté par la longueur L du résonateu r et la partie non linéaire 2 met en œuvre une fonction non linéaire 21 contrôlée par les deux paramètres ζ et γ et ayant comme paramètres d'entrée la pression pe(t) calculée par la partie linéaire 3 et le déplacement x(t) de l'excitateur 22 calculé, dans le cas de la clarinette par un modèle d'anche (m) en fonction de la même pression pe(t) à Tembouchure.
A partir de cette pression pe(t) et du débit ue(t) à Tembouchure, calculés respectivement par la partie linéaire 3 et la partie non linéaire 2, le bloc 4 calcule le signal sonore pext(t) émis par l'instrument numérique grâce au convertisseur 5.
Le procédé selon l'invention a été décrit en détail pour la simulation d'un instrument simple, à résonateur cylindrique, du type clarinette.
Cependant, on va le voir maintenant, le schéma général de la figure 1 peut être appliqué à la simulation de phénomènes plus complexes.
En particulier, des mesures physiques ont montré que les vibrations d'une anche étaient plus complexes qu'une simple sinusoïde amortie. Il est donc apparu que le modèle simple décrit plus haut pouvait être perfectionné de façon à améliorer la qualité du son produit, tel qu'il est perçu. Pour cela, on considère un modèle très simplifié d'anche sous forme d'une corde encastrée libre. Ainsi, le modèle d'impédance d'un tuyau cylindrique décrit plus haut, qui génère principalement des harmoniques impaires, sert de base pour la réalisation d'un modèle d'anche à mode multiple satisfaisant la même condition x(0)=0, ce qui permet de conserver le schéma de résolution numérique des équations 21 à 25 indiquées plus haut. Etant donné que la valeur de l'impédance est réelle pour tous les pics de résonance, sa réponse impulsionnelle est une somme de fonctions cosinus. D'autre part, on a vu que la réponse impulsionnelle d'un modèle d'anche à mode unique est une fonction sinusoïdale. On va donc utiliser, dans la définition du modèle, la fonction de transfert entre une sinusoïde amortie et une cosinusoïde amortie. En conservant les mêmes notations, la transformée de Fourier de est donnée par : ω
X(ω) ω' - or + ιωqrωr
De même, la transformée de Fourier de y(t)= rt est donnée par : ωr(ωrqr + 2iω)
Y(ω)
^4 - q2 (ω2 - ω2 + iωqrωr )
La fonction de transfert entre y(t) et x(t) est alors :
On peut ainsi écrire le modèle de transmittance sous la forme :
Pour déterminer les trois inconnues ωa, C, B, on s'impose trois conditions. La première est de conserver la fréquence du premier pic, qui est le pic maximal. On choisit pour cela, ωa= ωr en supposant que le décalage de fréquence résultant du facteur de qualité qr est négligeable. La seconde condition, satisfaite par le modèle d'anche à mode unique, consiste à imposer une valeur unitaire du module de transmittance pour ω=0 de façon à maintenir X(ω) ≈ Pe(ω) aux basses fréquences. La troisième condition est une valeur imposée de — pour le module de la transmittance à la fréquence ωr, afin de conserver la hauteur du pic du modèle d'anche à mode unique.
Grâce à ces trois conditions, la fonction de transfert ainsi réalisée reproduit les caractéristiques principales du modèle d'anche à mode unique.
Les deux premières conditions conduisent au système d'équations :
2C(1 - B)
= 1 ωrqr(1 + B)
en posant : A1 = ωrqr et A3=A2Aιqr, les coefficients B et C résolvant le système sont donnés par :
De même que pour le cas de Tanche à mode unique, on va construire un modèle numérique dans lequel le déplacement de
Tanche à l'instant échantillonné tn=— est fonction de la pression
'e n - 1 acoustique, non pas à l'instant tn mais à l'instant tn-ι= . Ceci
' e est possible du fait que la réponse impulsionnelle du modèle est la somme de fonctions sinusoïdales amorties.
Pour remplir cette condition, on utilise une approximation de iω sous la forme iω ≈ ^z ~ 1> = WθxpOrc) ~ 1).
De plus, pour ajouter au modèle un paramètre de contrôle supplémentaire, on remplace le coefficient B par un filtre tel que
B ≈ . Ainsi, on peut ajuster l'amortissement des harmoniques en fonction de l'amortissement de la fondamentale. Pour conserver la caractéristique X(0)=1 , les
R paramètres ba et aa sont liés par Téquation B=
1 - a. f . πω
Le terme exp - 1 — est remplacé par son équivalent v ωa échantillonné : avec le retard Da défini par dans lequel E indique la partie entière.
Si Ton note : β = - ωrqr , la fonction de transfert numérique s'écrit :
C(z Da+1 Da
X(z) = aaz az)
Pe(z) (β + fe(z - 1))(z Da+1 Da
- aaz + baz)
ce qui conduit à Téquation aux différences
x(n)=baiPe(n-1 )+ba2Pe(n-2)+baDiPe(n-Da-1 ) +aaιx(n-1 ) +aa2x(n-2)+aaDx(n-Da)+aaDix(n-Da-1 ) (29)
dans laquelle les coefficients aaι , aa2, aaD2, aaoι sont définis par :
_ fe(1 + aa ) - β ^ _ aa(β - fe) _ ba(fe - β) aaι , aa2=- > SaD — ba, aaD1 = f. t L et les coefficients baι , ba2. baDι par
. C - Caa h - Cbε baι= — , ba2 = §- , baDl=- fe fe fe
On remarque que Téquation 29 ainsi établie permet de déterminer le déplacement adimensionné x(n) de Tanche à l'instant échantillonné (n), à partir des instants précédents.
Il apparaît donc que le schéma de calcul numérique du son dans le cas d'un modèle d'anche multimode peut être le même que celui de Tanche à mode unique en remplaçant Téquation 21 par l'équation 29 qui est une autre transcription numérique du modèle (m) de la figure 5.
A titre d'exemple, la figure 9, qui est analogue aux figures 2 et 7, donne, pour un modèle approché d'anche multimode calculé selon l'invention, deux diagrammes représentant respectivement, en trait plein, à gauche la fonction de transfert et à droite la réponse impulsionnelle avec une fréquence d'échantillonnage fe=44100 Hertz, les paramètres ayant des valeurs fr=1837,5 Hz, qr=0,2, aa=0. Sur les mêmes diagrammes, on a superposé, en traits interrompus, la fonction de transfert et la réponse impulsionnelle du modèle de anche unique telles que représentées sur la figure 7.
Selon un autre développement de l'invention, on peut aussi améliorer le modèle de son de clarinette de façon à le rendre plus naturel en lui incorporant un certain bruit, le système étant ainsi plus réaliste. Etant donné que le bruit est créé par une turbulence au niveau de Tanche avant le début du tuyau, le bruit est ajouté à x(t). Il apparaît d'autre part que, en pratique, le niveau de bruit dépend de la pression du souffle alors que sa « couleur » dépend de la pression des lèvres sur Tanche. En effet, d'un point de vue physique, plus Tanche est pressée, plus faible est l'ouverture entre Tanche et le tuyau et plus importante est la turbulence. On utilisera donc un simple modèle de bruit dont le niveau est piloté par γ et la brillance pilotée par ζ.
Pour la mise en œuvre numérique d'un tel modèle de bruit, on utilisera un filtrage passe-bas d'un bruit blanc. La fonction de transfert de ce filtre est donnée par Tb(z) = — — , le
1 - abz-1 coefficient bb étant piloté par γ, et le coefficient ab piloté par ζ. Les lois de variation de bb et aa peuvent être déterminées de telle sorte que le son simulé par le modèle soit aussi réaliste que possible. Les deux diagrammes de la figure 10 montrent à titre d'exemple, la variation du module du spectre de la pression acoustique externe correspondant au son produit par le modèle, respectivement sur le diagramme du haut pour une anche à mode unique et sur le diagramme du bas pour une anche à mode multiple avec bruit additionnel, les paramètres de simulation étant les suivants :
fr=2205 Hz, qr=0.25, aa=0, γ=0.44, ζ=0.4, L=0,48 m, R=7.10"3 m
Comme on Ta indiqué, le procédé selon l'invention, tel qu'il vient d'être décrit en détail, a pour objet la simulation de sons produits par un instrument de musique à anche et à résonateur cylindrique, du type clarinette. Mais l'invention ne se limite pas à une telle application et peut, au contraire, faire l'objet de nombreux développements.
En effet, à partir du modèle physique non linéaire, faisant appel à des guides d'onde et schématisé sur la figure 5, ainsi que de sa transcription numérique selon la séquence des équations 21 à 25, il va être possible, de simuler le fonctionnement d'un résonateur ayant une géométrie quelconque, en modifiant le modèle d'impédance pour résonateur cylindrique et les équations aux différences associées, pour les remplacer par des impédances et des équations aux différences plus complexes. Tout en conservant les propriétés du modèle qu i vient d'être décrit, il est possible en effet, à partir du schéma général de la figure 1 , de bâtir d'autres modèles d'impédance plus complexes, en combinant certains éléments d'impédance en parallèle ou en série et en proposant des approximations numériques permettant un usage explicite des variables physiques et un contrôle plus flexible de l'instrument nu mérique.
A titre d'exemple, on va maintenant décrire certains développements du modèle de base pour résonateur cylindrique, en se référant aux figures 1 1 à 14 qui représentent des schémas de calcul équivalents faisant appel à des guides d'ondes et correspondant à des résonateu rs ayant des géométries diverses. D'une façon générale, sur ces schémas qui correspondent au bloc de calcul 31 de la figure 1 , l'opérateur C(ω) représente l'impédance d'entrée et C"1(ω) l'admittance d'entrée d'un résonateur cylindrique, le modèle numérique correspondant à C" 1 (ω) étant obtenu en changeant simplement le signe du coefficient bo.
Un premier perfectionnement du modèle de base qui vient d'être décrit en se référant aux figures 3 et 5, va permettre, en faisant appel, de façon analogue, à des gu ides d'onde, de réaliser un modèle physique pour résonateur cylindrique avec impédance terminale. Un tel élément permettra, par exemple, de relier entre elles des portions de résonateurs cylindriques ayant des longueurs et des sections différentes, de façon à simuler l'impédance d'entrée d'un conduit de section variable, ou bien de prendre en compte l'impédance de rayonnement. Pour cela, on considère le formalisme de la ligne de transmission liant la pression et le débit acoustiques, respectivement à l'entrée du résonateur (Pe(ω), Ue(ω)) et à son extrémité ouverte (Ps(ω), Us(ω)).
Si Ton note Zr = -^— l'impédance caractéristique on a : c πR2 Pe(ω) = cos(k(ω)L)Ps(ω) + iZcsin(k(ω)L)Us(ω)
Uβ(ω) = -ï- sin(k(ω)L)Ps(ω) + cos(k(ω)L)Us(ω)
E =n notant P,(ω) l'impédance de sortie et U.(ω) Q
R(ω) = z0 - Z.(ω) , on peut écrire l'impédance d'entrée de deux zc + Zs(ω) ' façons i différentes :
+ 1 tan(k(ω)L) P» - Z (30)
Z„ cUQ e(\ω) J. Λ 1 + . | ZB s(Vω) .an( .k. ( ,ω) ..L) .
1 - R(ω)exp(-2ik(ω)L)
1 + R(ω) exp(-2ik(ω)L) L'équation 31 montre donc que l'impédance d'un résonateur cylindrique avec impédance terminale peut être obtenue à partir de l'impédance d'un résonateur cylindrique sans impédance terminale, en remplaçant : exp(-2ik(ω)L) par R(ω)exp(-2ik(ω)L).
La Figure 1 1 donne un schéma équivalent de calcul faisant appel à des guides d'onde, pour la mise en œuvre de Téquation 30, permettant de calculer l'impédance d'un résonateur cylindrique avec impédance terminale.
Un tel modèle permet de générer en cascade l'impédance d'entrée d'un conduit ayant une géométrie quelconque et pouvant être défini par une succession de conduits cylindriques élémentaires. De ce fait, l'invention peut s'appliquer à la simulation du conduit vocal.
Mais l'invention peut faire l'objet de bien d'autres développements et le schéma de la figure 1 permet en particulier, à partir du modèle de base physique pour résonateur cylindrique schématisé sur la figure 5, de construire des modèles spécifiques pour la simulation de divers instruments de musique.
C'est ainsi que dans un premier développement du modèle de base, on va construire un modèle pour résonateur conique, utilisable, par exemple, pour la simulation d'un saxophone.
Si Ton appelle L la longueur du tuyau, R son rayon d'entrée, θ son ouverture, la distance xe entre le sommet du cône et l'entrée est : R
Xe =
L'impédance d'entrée, relative l'impédance caractéristique
Z _,c πR2 est alors donnée par l'expression
P»
(32) ZcUe(ω) + i tan(k(ω)L) lω qui peut s'écrire sous la forme
x. lω
P, (ω) ZcUe(ω) x. lω -
1 + i tan(k(ω)L) La Figure 12 donne un schéma équivalent de calcul faisant appel à des guides d'onde, dans lequel élément noté D est Topérateur différentiel D=iω et Télément noté C-1 (ω) correspond au schéma de la figure 2 en remplaçant -exp (-2ik(ω)L) par +exp (-2ik(ω)L). Les équations aux différences correspondantes peuvent être établies en suivant un processus analogue à celui qui a été décrit plus haut.
Ainsi, en utilisant la transformée bilinéaire pour approximer iω, la fonction de transfert numérique d'un résonateur conique est donnée par :
P.(z) 1
ZcUe(z) z + 1 1 - a.,z + b0z -2D
+
2fe — (z - 1) 1 - aιz_1 - b0z-2D c
1 1 En notant : Gp = 1 + et Gm = 1 - , la fonction
2f. -^ 2f. ^ c c de transfert se réduit à :
Pe(z) _ 1 - (a1 + 1)z~1 + a,z-2 - b0z-2D + b0z-2p-1
ZcUe(z) " Gp - (aιGp + Gm )z-1 + aιGmz-2 + b0Gmz-2D - 0Gpz-2D-1
d'où Ton tire Téquation aux différences :
pe(n) = bc0u8(n) +bcιUe(n-1)+bc2Ue(n-2)+bcDUe(n-2D)+bcDιUe(n-2D-1) + acιPe(n-1 )+ac2pe(n-2)+acDPe(n-2D)+acDιPe(n-2D-1) (33)
dans laquelle les coefficients bcO, bd , bc2, bcD et bcD1 sont définis par :
bc0=
et les coefficients ad , ac2, acD et acD1 sont définis par :
aιGp + Gm aιGm _ b0Gm _ ac1 - — , ac2 - — ; , acD - — — , acD1 - D0
GP GP GP
De façon analogue, l'invention peut s'appliquer au cas de résonateurs courts qui apparaissent, par exemple, dans Tembouchure d'un cuivre ou dans le bec d'un instrument à anche, ou bien d'un trou de registre ou trou latéral..
Pour cela, on admet que le rayon du résonateur court est suffisamment grand pour conserver le modèle de perte utilisé jusqu'à présent.
Cette approximation d'un résonateur court se fera en approximant l'impédance ZI(ω)= i tan (k(ω)l) pour des valeurs faibles de k(ω)l.
On arrive ainsi à l'expression
Z|(ω)= i tan (k(ω)l) s l(k(ω)l) = G(ω) + iωH(ω) (34)
dans laquelle G(ω) et H (ω)=i(l - G(ω)).
Dans un autre développement du modèle de base pour résonateur cylindrique, l'invention permet également de simuler un résonateur plus complexe, par assemblage d'impédances élémentaires représentant, d'une part le conduit et, d'autre part, le bec d'un instrument à anche ou Tembouchure d'un cuivre.
Dans ce cas, on modélisera Tembouchure ou le bec par un résonateur de Helmhoitz comprenant une cavité hémisphérique couplée avec un tuyau court cylindrique et un résonateur principal à tuyau conique.
L'impédance d'entrée de l'ensemble du résonateur peut s'exprimer par :
Ze(ω) = Zn lω + l ρc2
1 + - tan(k2(ω)L2) dans laquelle V=— πR est le volume de la cavité
6 hémisphérique, L1 est la longueur du tuyau court, L2 est la longueur du tuyau conique, Z1 et Z2 sont les impédances caractéristiques des deux tuyaux qui dépendent de leurs rayons, k1 (ω) et k2(ω) tiennent compte des pertes et du rayon
R1 et R2 de chaque tuyau.
Cette équation peut être écrite sous la forme :
ιω-
On peut ainsi établir le schéma équivalent de calcul représenté sur la figure 13, dans lequel Topérateur noté C-ι (ω) correspond au schéma de la figure 5 et Topérateur noté S(ω) correspond à l'impédance d'entrée du tuyau conique et au schéma de la figure 12.
Des méthodes de résolution analogues à celles qui ont été décrites précédemment, permettent d'exprimer le modèle équivalent numérique et les équations aux différences correspondantes. L'impédance du tuyau court peut être modélisée en utilisant Tapproximation exprimée par Téquation (34) précédente. L'impédance du tuyau conique est représentée par le modèle correspondant à Téquation aux différences (33).
L'admittance de la cavité iω est approximée par la pc2 z - 1 transformation bilinéaire d , où d=2fe. z + 1 En considérant l'association de la cavité hémisphérique et du tuyau court comme un résonateur de Helmhoitz ayant pour fréquence de résonance ωh ≈ c r~ , on peut utiliser cette
fréquence ωh pour approximer G(ω) par G(ωh) et H(ω) par H(ωh). Les deux fréquences utilisées pour le calcul des coefficients ai c(12πL + 9π2xe + 16L) and bo sont ω. = — -^ qui correspond au premier
4L(4L + 3πxe + 4xe ) pic d'impédance du tuyau conique, et ω2 = ωh. De plus, on utilisera 7 n = £ Q£. = 72 pour normaliser l'impédance d'entrée.
Ù2
L'impédance numérique d'un résonateur de type cuivre est ainsi donnée par l'expression :
S„
^ = Vd(z - 1) + PC 1 <35>
Pc2(z + 1) ^ Cι(z) + ^ s2(2)
qui peut être simplifiée sous la forme
∑k= k=0 bc„ z"k + ∑ 0 bcDkz
Ze(z) = αr k≈ an -7 _k k = 3 α _,-2D-k d 0 ~ ^k=1 dυk - ^k=0 d Dk^
d'où Ton tire Téquation aux différences :
k≈4 k=3
Pe(n)= ∑ bckue (n - k) + ∑ bcDkuΘ (n - k - 2D)
k≈4 k≈3
+ ∑∑aacckkppβΘ((nn -- kk)) ++ ∑∑ acDkPe(n - k - 2D) (36) k=1 k = 0
Les coefficients découlent d'un calcul direct à partir de Téquation (35). L'invention peut encore être appliquée à la modélisation d'un résonateur cylindrique avec trous de registre. On utilisera, à cet effet, des éléments faisant appel à des guides d'ondes et correspondant respectivement à un modèle physique de tuyau cylindrique avec impédance terminale représentant un tuyau de longueur L 1 entre Tembouchure et le trou de registre, un modèle de tuyau court qui représente le trou de registre de longueur ht et le modèle de base pour tuyau cylindrique représentant un tuyau de longueur L2 entre le trou de registre et l'extrémité ouverte.
L'impédance terminale de la première partie du tuyau peut s'écrire :
En écrivant cette expression sous la forme
on peut établir un schéma général de calcul par guides d'onde représenté sur la Figure 14, qui, dans le cas qui vient d'être décrit, est utilisé pour calculer l'impédance terminale par une combinaison en parallèle des impédances Z2C2(ω) et
ZtCt(ω).
Dans le cas limite d'un trou de registre fermé, avec deux parties du tuyau ayant le même rayon, on pose ZtC (ω)=∞ et Z2=ZC d'où il vient Zs(ω)=iZc tan(k(ω)L2) et Zc(ω)=iZc tan(k(ω)(L1 +L2)).
L'impédance totale d'entrée du tuyau peut alors s'exprimer par : P» (C2(ω) + C1(ω))ZtCt(ω) + ZcC1(ω)C2(ω)
(37)
Z0Ue(ω) (1 + C1(ω)C2(ω))ZtCt(ω) + Z0C2(ω)
En utilisant iω=fe(1 -Z"1 ) dans l'impédance du tuyau court, comme précédemment, il en découle directement Téquation aux différences.
Ainsi, le modèle de simulation du résonateur cylindrique du type clarinette, obtenu par transposition directe des équations simplifiées du comportement physique de l'instrument, peut être adapté à la simulation d'instruments à résonateur non cylindrique, tel que le saxophone, la trompette ou autres instruments à vent.
Mais l'invention ne se limite pas à un tel mode de réalisation et aux adaptations qui viennent d'être décrites car, sans s'écarter du cadre de protection défini par les revendications, elle peut s'appliquer à la simulation d'autres types d'instruments, par exemple à corde frottée comme le violon ou frappée comme le piano.
En effet, dans le cas d'une corde, il est connu qu'en utilisant le formalisme ligne de transmission mécanique, analogue à celui d'une ligne de transmission acoustique, on établit des relations analogues entre les variables de la relation d'impédance. Celles-ci sont la force exercée sur Télément mécanique, et la vitesse de cet élément résultant de cette force. Dans la mesure où la grandeur reliée au son émis est liée à la vitesse (c'est à dire à l'effet) dans le cas mécanique, par opposition au cas acoustique dans lequel la grandeur reliée au son émis est la pression (c'est à dire la cause), on préfère décrire le résonateur en terme d'admittance plutôt que d'impédance. Les équations de la ligne de transmission mécanique entre un point (b) et un point (e) sont alors :
.Fe ( } = cos(k( j)L) Fb( ,) - iZc sin(k cj)L)Vb( j ? (38)
Vβ(μ>) = •— sin(k(ω). ) Fh( ) + c.a&(k( >) . jVb( j) dans lesquelles F et V représentent respectivement les forces et vitesses en chaque point.
Le nombre d'onde k(ω) s'exprime classiquement à partir de Téquation différentielle du mouvement d'une corde en flexion et comporte, comme dans le cas acoustique, des parties propagation (retard), dissipation, dispersion (voir par exemple : C. Valette, C. Cuesta "Mécanique de la corde vibrante", Hermès, traité des nouvelles technologies, série Mécanique. 1993).
Si Ton suppose que l'extrémité (b) de la corde est fixe et l'extrémité (e) mobile, on a :
Vb(ω) = G 1' tan(fc(ω) ) Cette relation constitue l'admittance d'entrée d'une portion de corde encastrée-libre au point ou elle est libre, et est identique, à une constante multiplicative près, à l'impédance acoustique d'un résonateur cylindrique. Elle peut donc être représentée par un schéma analogue à celui de la figure 3. Au point où l'interaction avec l'excitateur est réalisée, on écrit les équations de continuité entre les deux portions de corde 1 et 2, en considérant que la force totale exercée est la somme des forces exercées sur chaque portion, tandis que les vitesses de chaque portion sont égales : (ω) = F (ω) + F2(ω) V( ) = Vι (ω) = V2(ω) En supposant que la corde complète est fixe à ses deux extrémités, ceci permet d'exprimer l'admittance d'entrée de la corde à partir d'une combinaison en série de chaque portion de corde, soit donc, en terme d'admittance :
Cette relation est identique, à une constante près, à la combinaison en parallèle de deux résonateurs acoustiques cylindriques et peut donc être représentée par le schéma de la figure 14 dans lequel les éléments notés Ct et C2 représentent l'admittance de chaque portion de corde.
A titre d'exemple, la figure 15 représente, en fonction de la fréquence, en haut l'admittance exacte d'une corde au huitième de sa longueur, calculée avec une expression de k(ω) issue d'un modèle classique, et en bas l'admittance approchée en utilisant une approximation des pertes avec un filtre numérique d'ordre 1 dont les coefficients sont calculés avec la même méthode que dans le cas acoustique. II convient de remarquer que, dans le cas du violon, le point de contact entre l'archet et la corde s'effectue très près de Tune des extrémités de la corde. En conséquence, il est possible d'utiliser Tapproximation « tuyau court » pour l'admittance de Tune des deux portions. De plus, dans la mesure où les pertes exprimées par k(ω) sont très faibles dans une corde, il est également possible de les négliger pour la portion courte. Ainsi, l'admittance d'une corde de violon au point de contact avec l'archet peut s'exprimer de façon identique à l'impédance d'un résonateur acoustique conique et peut donc se représenter par le schéma de la figure 12.
Comme dans le cas d'instruments auto-oscillants acoustiques, l'admittance décrite dans ce modèle de base comprenant une corde à deux extrémités fixes, peut être raffinée de façon à prendre en compte des phénomènes physiques supplémentaires. Le procédé consiste à nouveau à associer les admittances de différents éléments. Ainsi, il est possible avec cette approche de construire une admittance d'entrée d'un résonateur constitué de deux cordes couplées par une table d'harmonie, c'est à dire dont les extrémités ne sont plus fixes, mais mobiles. En effet, dans la plupart des notes d'un piano, ce sont deux ou trois cordes accordées à des fréquences très proches, qui sont frappées simultanément par le même marteau. Dans ce cas, Tadmittance totale s'exprime par une association de deux admittances de cordes identiques, chacune de ces admittances étant constituée de deux portions de cordes, dont une portion s'exprime identiquement à l'impédance d'entrée d'un tuyau cylindrique avec impédance terminale. Dans le cas mécanique, Tadmittance terminale correspondant à celle de la table d'harmonie, peut s'exprimer par combinaisons d'éléments localisés similaires à ceux employés pour décrire Tembouchure ou le bec (c'est à dire des masses, ressorts, amortisseurs), permettant de prendre en compte un ou plusieurs modes de vibration de la table d'harmonie.
Selon l'invention, la formulation du résonateur en terme d'admittance mécanique peut être exploitée, par exemple dans un instrument à corde frappée tel que le piano. Dans ce cas, et comme dans le cas acoustique, la vitesse d'une corde frappée par un marteau tel que celui d'un piano, peut s'exprimer à partir du système de trois équations couplées:
/(i) = K(yh(t) - ys{t))*(l «^(Vfc(*) -- V.(*)))
V,(ω) = Y{ω)F(ω)
c'est-à-dire: -une caractéristique non linéaire exprimant la force en fonction des déplacements et vitesses relatifs du marteau et de la corde, -une équation de la dynamique du marteau reliant son accélération à la force que la corde exerce sur lui par réaction, qui est analogue à l'expression du déplacement de Tanche en fonction de la pression,
-une équation d'admittance exprimant la vitesse de la corde en fonction de la force qui lui est imposée, qui est équivalente à la relation d'impédance acoustique.
La caractéristique non linéaire d'impact utilisée ici est connue sous le nom de Hunt-Crossley. L'exposant (p) est classiquement compris entre 2 et 3, et est non entier. yh(n) désigne le déplacement du marteau, ys(n) celui de la corde. Il convient de remarquer qu'il s'agit ici d'une écriture nouvelle du problème. En effet, classiquement, la relation d'impédance utilisée ici est remplacée par Téquation différentielle du mouvement de la corde.
Un tel procédé de simulation d'un instrument à corde peut être mis en œuvre par un instrument numérique dont le modèle est schématisé sur la figure 16 qui est analogue au schéma général de la figure 1 et dans laquelle:
Ye(ω) désigne Tadmittance d'entrée du résonateur;
MA est, dans le cas d'un instrument à corde frappée, un modèle de marteau , exprimant sa vitesse à partir de la force f(t);
Vs(t) est la vitesse de la corde et Vh(t) celle du marteau; MV est un modèle de calcul de la vitesse au niveau du chevalet qui est ensuite rayonnée par la table d'harmonie, à partir de la force et de la vitesse de la corde au point de contact marteau-corde;
G est la caractéristique non linéaire, et regroupe la fonction non linéaire et les moyens de calcul des déplacements Yh(t) et Ys(t) à partir de Vh(t) et Vs(t); Vh(0) est le paramètre de contrôle agissant sur le bloc
MA, fixant la vitesse initiale du marteau au moment de l'impact;
L est le paramètre de contrôle de la note jouée. Dans le cas d'un instrument à corde frottée, G est la caractéristique non linéaire de friction , dont on trouve de nombreux modèles dans la littérature et dont les paramètres de contrôle sont la pression de l'archet sur la corde et sa vitesse de déplacement.
Dans un modèle simplifié, le bloc MA peut être supprimé.
Dans le cas d'un instrument à corde frappée, le modèle à temps discret fait appel, comme pour certains éléments des modèles acoustiques, à la transformée bilinéaire pour approcher les opérateurs de dérivation par rapport au temps. En notant W (noté V dans le cas acoustique) tous les termes indépendants de (n) de Téquation aux différences reliant la vitesse de la corde vs(n) et la force f(n), et vh(n) la vitesse du marteau, la transcription du système d'équations ci-dessus en terme de signaux échantillonnés est : f{n) = K(yh(n) - ys(n)f(l - a(υh( ) - υβ(n))) υh(n) = υk(n - 1) - — -.(/(n) + f(n - 1))
2fEMh
1 IJlΛr = yh{n - 1) + τ-(uΛfa) + vh{n - 1))
Us{n) = Vs{n - 1) + r{vs{n) + υ8(n - 1))
Compte-tenu du fait que l'exposant (p) est non entier, il n'existe pas de solution explicite à ce système, contrairement au cas acoustique. En substituant les expressions de yh(n) et ys(n) données par les deux dernières équations dans la première équation, on obtient une équation de type « point fixe » :
fin) = (A - Bf(n) C - £>/(*))
Bien qu'il n'existe pas de solution analytique, ce type d'équation se résout classiquement à l'aide de méthodes itératives, la plus simple étant celle dite du point fixe. La régularité dans le domaine temporel de la force f(n) permet l'obtention d'une convergence très rapide. En effet, on observe que deux ou trois itérations sont suffisantes.
Le contrôle du modèle s'effectue, pour la note jouée, en agissant sur le résonateur (longueur, diamètre, tension de la. corde). La dynamique est contrôlée par la vitesse initiale du marteau , obtenue en fixant vh(n=0).
A titre d'exemple de réalisation, la figure 17 représente, en fonction du temps, en haut la vitesse de la corde au point de contact (le huitième de sa longueur), en bas la force exercée par le marteau su r la corde, solutions du système d'équations précédent, résolu par la méthode du point fixe.
De même, la figure 18 représente la trajectoire au cours du temps de la force en fonction du déplacement relatif du marteau par rapport à la corde. On a ainsi décrit en détail u ne application du procédé selon l'invention à la simulation d'un instrument à corde.
Comme pour les instruments à vent décrits précédemment et contrairement aux méthodes connues précédemment, l'invention permet d'éviter de faire appel aux grandeurs ondes-aller et ondes-retour.
En outre, il est à noter que le modèle de simulation d'un instrument à corde, illustré par la figure 16 est très semblable au modèle d'instrument à vent illustré par la figure 1 . En effet, dans les deux cas, ils font appel à des filtres linéaires comportant des retards, pour réaliser une interaction non linéaire entre deux variables physiques, dites variables de
Kirchhoff, représentatives de l'effet et de la cause du phénomène à simuler.
Il apparaît donc que l'invention peut s'étend re, d'une façon générale, à la simulation de tout instrument fonctionnant par couplage non linéaire entre une source excitatrice et un résonateur.
A titre d'exemple, la figure 19 représente le schéma général du modèle d'un tel instrument numérique comprenant, comme habituellement, un élément de contrôle I , un élément de modélisation I I et un élément de création du son I I I .
Comme précédemment, Télément de modélisation I I comprend une partie linéaire 3 avec un bloc de calcul (31 ) dont la fonction de transfert est, selon l'instrument à simuler, soit l'impédance d'entrée du résonateur Ze(ω), soit Tadmittance Ye(ω) et une partie non linéaire 2 qui met en œuvre une fonction non linéaire 21 .
Le bloc 1 peut être un capteur gestuel fournissant des paramètres de contrôle CL agissant sur la partie linéaire 3 du modèle, et des paramètres de contrôle CNL agissant sur la partie non linéaire 2.
Suivant le sens des flèches indiquées sur le bloc 31 sur la figure 19, la partie linéaire 3 reçoit de la partie non linéaire 2, de gauche à droite, lorsque la fonction de transfert du bloc de calcul 31 est l'impédance, un signal d'effet E pour produire un signal de cause C qui est transmis à la partie non linéaire 2, celle-ci produisant, à partir de ce signal de cause C, un nouveau signal d'effet E à destination de la partie linéaire 3. Inversement, lorsque la fonction de transfert du bloc de calcul 31 est Tadmittance, la partie linéaire 3 reçoit de droite à gauche, de la partie non linéaire 2, un signal de cause C et produit un signal d'effet E qui est transmis à la partie non linéaire 2 pour produire un nouveau signal de cause C à destination de la partie linéaire 3.
La partie non linéaire 2 est associée à des excitateurs 23 transformant respectivement les signaux de cause et d'effet pour prod uire les autres variables intervenant dans la caractéristique non linéaire H. Le bloc 4 comporte des moyens de calcul du son à émettre à partir des signaux de cause C et d'effet E, qui est transmis à un convertisseur numérique analogique 5.
L'invention permet ainsi de simuler toutes sortes d'instru ment et ne se limite, d'ailleurs pas au domaine de la musique. En effet, la méthode selon l'invention pourrait aussi s'appliquer à la simulation d'autres phénomènes oscillants, grâce à une adaptation de certaines équations aux différences et un choix d'autres caractéristiques non linéaires et de paramètres de contrôle tenant compte des caractéristiques physiques des phénomènes à simuler.

Claims

REVENDICATIONS
1 . Procédé de simulation numérique d'une interaction non linéaire entre une source excitatrice et une onde dans un résonateur, au moyen d'outils de calcul de signaux numériques à partir d'équations dont la solution correspond à la manifestation physique d'un phénomène à simuler qui se traduit, à chaque instant et en chaque point du résonateur, par une relation linéaire entre deux variables représentatives de l'effet et de la cause dudit phénomène à simuler, procédé dans lequel on transcrit directement Téquation de l'impédance ou de Tadmittance sous forme d'un modèle numérique permettant de réaliser une interaction non linéaire entre les deux variables de la relation d'impédance ou d'admittance.
2. Procédé selon la revendication 1 , de simulation d'un phénomène oscillant, caractérisé par le fait que le modèle comporte, d'une part au moins une partie linéaire (3) représentant l'impédance ou Tadmittance d'entrée du résonateur et, d'autre part, une partie non linéaire (2) modélisant le rôle de la source excitatrice (22) du phénomène à simuler.
3. Procédé de simulation selon Tune des revendications 1 et 2, pour la synthèse numérique, en temps réel, d'un phénomène oscillant, caractérisé par le fait que, à partir d'un système d'équations entre au moins deux variables représentatives du comportement d'une onde dans le résonateur, on établit une expression de l'impédance ou de Tadmittance d'entrée du résonateur sous forme d'un filtre linéaire comportant des retards, sans décomposition en onde aller-retour, de façon à réaliser au moins une partie linéaire (3) du modèle.
4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé par le fait que la partie linéaire (3) du modèle est couplée à une partie non linéaire (2) faisant intervenir l'évolution de la non-linéarité telle qu'elle s'exprime entre les deux variables de la relation d'impédance ou d'admittance d'entrée du résonateur.
5. Procédé selon la revendication 4, caractérisé par le fait que la partie linéaire (3) du modèle de simulation numérique de Téquation de l'impédance ou de Tadmittance fait appel à deux guides d'ondes élémentaires réalisant une fonction de transfert entre les deux variables de la relation d'impédance ou d'admittance.
6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé par le fait que la partie linéaire (3) à deux guides d'onde du modèle est couplée à une boucle reliant la sortie à l'entrée de ladite partie linéaire (3) et comprenant une fonction (21 ) faisant intervenir la non-linéarité telle qu'elle s'exprime physiquement.
7. Procédé selon la revendication 6, caractérisé par le fait que le modèle est piloté par au moins deux paramètres représentatifs de l'interaction physique non-linéaire entre la source et le résonateur, au moyen d'une boucle reliant la sortie à l'entrée de la partie linéaire (3) et comprenant une fonction non- linéaire (21 ) jouant le rôle de source excitatrice pour le résonateur.
8. Procédé selon Tune des revendications précédentes, de synthèse en temps réel du son d'un instrument de musique comprenant, au moins, une source excitatrice à caractéristique non linéaire et un résonateur linéaire, le son produit par l'instrument résultant d'un couplage entre la source excitatrice et le résonateur qui s'exprime au moins par une relation linéaire d'impédance ou d'admittance et une relation non linéaire entre deux variables physiques représentatives de l'effet et de la cause du son produit, procédé dans lequel le son produ it par l'instrument est simulé en temps réel par modélisation des phénomènes physiques régissant le fonctionnement de l'instrument, caractérisé par le fait que, pour réaliser cette modélisation physique, on exprime directement et numériquement la relation linéaire d'impédance ou d'admittance entre deux variables physiques représentatives de la cause et de l'effet du phénomène à simuler et Ton associe cette relation d'impédance ou d'admittance sous forme numérique à la relation non linéaire entre les mêmes variables.
9. Procédé selon la revendication 8 de synthèse du son d'un instrument à résonateur complexe, caractérisé par le fait que le résonateur est décomposé en une série d'éléments successifs et que les relations d'impédance ou d'admittance correspondant respectivement à chaque élément du résonateur sont calculées et combinées de façon à obtenir une impédance globale correspondant à la géométrie du résonateur.
10. Procédé selon Tune des revendications 8 et 9, caractérisé par le fait que, pour la synthèse en temps réel de sons produ its par un instrument à vent, les deux variables de la relation d'impédance sont la pression (pe) et le débit (ue) acoustiques à l'entrée du résonateur.
1 1 . Procédé selon la revendication 10, caractérisé par le fait que, pour un résonateur cylindrique ayant une extrémité ouverte, la partie linéaire (3) du modèle de transcription numérique de Téquation de l'impédance constitue la somme de deux guides d'ondes élémentaires ayant pour source excitatrice le débit (ue) à l'entrée du résonateur et réalise la fonction de transfert :
Pe(ω) 1 exp(-2ik(ω)L)
Z.(ω) = (12)
Ue(ω) ~ 1 + exp(-2ik(ω)L) 1 + exp(-2ik(ω)L)
dans laquelle :
- ω est la pulsation de Tonde - Ze(ω) est l'impédance d'entrée du résonateur,
- Pe(ω) et Ue(ω) sont les transformées de Fourier des valeurs adimensionnées de la pression et du débit à l'entrée du résonateur,
- k(ω) est une fonction de la pulsation de Tonde qui dépend du phénomène à simuler,
- L est la longueur du résonateur.
12. Procédé selon la revendication 1 1 , caractérisé par le fait que chacun des deux guides d'ondes fait intervenir un filtre ayant pour fonction de transfert : - F(ω)2 = - exp(-2ik(ω)L) et représentant un trajet aller-retou r d'une onde avec changement de signe à l'extrémité ouverte du résonateur, chaque guide d'onde correspondant à un terme de Téquation de impédance.
13. Procédé selon la revendication 12, caractérisé par le fait que le modèle est piloté par la longueur (L) du résonateur et au moins deux paramètres (ζ, γ) représentatifs de l'interaction physique non linéaire entre la pression (pe) et le débit (ue) à l'entrée du résonateur, au moyen d'une boucle reliant la sortie à l'entrée de la partie linéaire (3) et comprenant une fonction non linéaire (21 ) jouant le rôle de source excitatrice pour le résonateur.
14. Procédé selon la revendication 1 1 , caractérisé par le fait que la fonction non linéaire a comme paramètres d'entrée la pression et le déplacement de l'organe de formation des vibrations et est contrôlée par au moins deux paramètres de simulation du jeu d'un instrumentiste.
15. Procédé selon la revendication 14, caractérisé par le fait que les paramètres de jeu pour le contrôle de la fonction non linéaire sont :
- un paramètre ς caractéristique de Tembouchure et de l'action de l'instrumentiste sur l'organe de formation des vibrations,
- un paramètre γ représentatif de la pression appliquée sur l'organe de formation des vibrations.
16. Procédé selon Tune des revend ications 10 à 15, caractérisé par le fait que, pour la synthèse en temps réel des sons à simuler, on réalise une formulation dans le domaine temporel de la réponse impulsionnelle de Timpédance du résonateur, en approximant les pertes représentées par le filtre au moyen d'un filtre numérique approché.
17. Procédé selon la revendication 16, caractérisé par le fait que, pour exprimer la réponse impulsionnelle de Timpédance du résonateur, on utilise un filtre numérique à un pôle sous la forme :
b0 exp(-2kσD)
F(τσ) = (13) 1 - a1 exp(— i π)
dans laquelle : ω TO = — e , fe étant la fréquence d'échantillonnage,
D - fA c est le retard pur correspondant à un trajet aller ou retour de Tonde dans le résonateur, - les coefficients bo et ai sont exprimés en fonction des
, 2 ~ 2 paramètres physiques de telle sorte que F(ω) = F(τσ) pour une valeur ω 1 de la pulsation correspondant à la fréquence fondamentale de jeu et une autre valeur ω2 correspondant à un harmonique, et Ton en tire Téquation aux différences :
pe(n) = ue(n) a1ue (n - 1) b0u( l(n - 2D) + a1pe(n - 1) - bo e(n - 2D) (16)
18. Procédé selon la revendication 17, caractérisé par le fait que les coefficients bo et ai sont obtenus par résolution du système d'équation
F(ω., )2 (1 + a2 - 2a1 cos(τπ., )) = b\
F(ω2)2 (1 + a2 - 2a1 cos(w2)) = b
ω avec F(ω) = exp(-2αα. — L) , lesdits coefficients étant donnés par les formules : A1 - A2 - (A1 - A2)2 - (F1 - F 2 a, = Fι " F2
dans lesquelles
c1 = cos(<π., ), c2 = cos(πj2), F,, = F(ω., π , F2 = F(ω2 )
1 — r1C1, A2 — r2C2
19. Procédé selon la revendication 18, de simulation d'un instrument à résonateur cylindrique, à partir d'une modélisation physique régie par le système d'équation :
(avec le signe + pour une anche et le signe - pour les lèvres)
ue(t) = 1(1 - sign(γ - x(t) - 1))sign(γ - pe(t))ζ(1 - γ + x^γ - pe (t)| dans lequel ωr est la fréquence de résonance et qr est le facteur de qualité de Tanche ou des lèvres, caractérisé par le fait que ledit système d'équations est résolu dans le domaine temporel à partir d'une formulation échantillonnée équivalente de la réponse impulsionnelle du déplacement de Tanche ou des lèvres et de la relation d'impédance qui se traduit par le système d'équations :
x(n)=biapβ(n-1 )+aιax(n-1 )+a2ax(n-2) (18)
pe(n)=ue(n)-a1uo (n-1 )-b0ue(n-2D)+a1pe(n-1 )b0pe(n-2D) (19) ue(n) = - (1 - sign(γ - x(n) - 1))sign(γ - pe(n))ζn)- y + x(n)) /|γ - pβ(n)| (20) lesdites équations étant utilisées de manière séquentielle en regroupant les termes ne dépendant pas de l'échantillon temporel n , de façon à calculer successivement :
x(n)=b1ape(n-1 )+aiax(n-1 )+a2ax(n-2) (21 )
V=-aιue(n-1 )-b0ue(n-2D)+a pe(n-1 )-b0pe(n-2D) (22)
W = l (1 - sign(γ - x(n) - 1 ))ζ)) - y + x(n)) (23)
u.(n) = l sign(γ - V)(-bc0W2 + (24)
Pe(n)=b0Coue(n)+V (25)
20. Procédé selon la revendication 19, pour une simulation plus réaliste du son produit, caractérisé par le fait que, en négligeant le rayonnement, la pression externe s'exprime comme la dérivée en fonction du temps, du débit sortant, sous la forme
P«.(t) = ^ (Pβ(t) + uβ(t)) (26) et est calculée, à chaque instant échantillonné (n), par différence entre les sommes de la pression interne pe et du débit ue, respectivement à l'instant (n) et à l'instant (n-1 ).
21 . Procédé selon la revendication 19 de simulation d'un instrument à anche multimode, caractérisé par le fait que le calcul de la pression acoustique et du débit au niveau de Tembouchure s'effectue par résolution séquentielle d'un système d'équations dans lequel le déplacement de Tanche à chaque instant (n) est de la forme :
x(n)=ba1pe(n-1 )+ba2Pe(n-2)+baD1pe(n-Da-1 ) +aa1x(n-1 ) +aa2x(n-2)+aaDx(n-Da)+aaD1x(n-Da-1 ) les coefficients aa1 , aa2, aaD2, aaD1 étant définis par
a , f,(1 + a, ) - β a.(β - fa ) _ _ h a _ b.(f. - β) aι , aa2 , aap — Da, aaDi-- f ' e f e e et les coefficients bal , ba2, baD 1 par :
(28) en posant : A1 = ωrqr et A3=A2Aιqr, les équations suivantes étant les mêmes que pour une anche à mode unique.
22. Procédé selon Tune des revendications 19 à 21 , caractérisé par le fait que Ton réalise un modèle pour résonateur cylindrique avec impédance terminale à partir du modèle de base correspondant à un résonateur cylindrique et constituant la somme de deux guides d'onde faisant intervenir chacun un filtre ayant pour fonction de transfert -F(ω)2=-exp(-2ik(ω)L), en remplaçant l'expression exp(-2ik(ω)L) par l'expression
Zc - Zs(ω)
R(ω)exp(-2ik(ω)L), dans laquelle R(ω) zc + z» Zc étant Timpédance caractéristique
-^ P-c e ttZ7. , T.•impé - djance d ,ιe sor *ti-e Ps s(ω) ' πR2 Us(ω)
23. Procédé selon Tune des revend ications 19 à 22, caractérisé par le fait que, à partir du modèle d'impédance pou r un instrument à résonateur cylind rique et des équations aux différences associées, on construit d'autres modèles d'impédance plus complexes pour la simulation de phénomènes oscillants produits par un résonateur de forme quelconque en combinant des éléments d'impédance en parallèle ou en série et en utilisant des approximations numériques pour un usage explicite des variables physiques intervenant dans la production desdits phénomènes oscillants et un contrôle plus flexible du résultat de la simulation.
24. Procédé selon Tune des revendications 19 à 23, caractérisé par le fait que, à partir du modèle de base pour résonateur cylindrique dans lequel la réponse impulsionnelle du déplacement de Tanche ou des lèvres se traduit par un système d'équations aux différences donnant, à chaque instant (n), le déplacement x(n) la pression pe(n) et le débit ue(n) à l'entrée du résonateur, on construit un modèle pour résonateur conique dans lequel Téquation de la pression est de la forme : pe(n) = bc0ue(n) +bcιUe(n-1 )+bc2Ue(n-2)+bcDUe(n-2D)+bCDiUe(n-2D-1 ) + acιpe(n-1 )+ac2pe(n-2)+acDPe(n-2D)+acDιPe(n-2D-1) (33)
dans laquelle les coefficients bcO, bel , bc2, bcD et bcD1 sont définis par :
bc0= — - , bct= - -^ — , bc2=-i- , bcD= - - -, bcoi≈-2-
GP GP GP GP GP et les coefficients ac-i, ac2, aco et acoi sont définis par :
1 1 en notant : Gp = 1+ et Gm = 1
2f. - • 2f. -s- c c
25. Procédé selon Tune des revendications 19 à 23, caractérisé par le fait que, à partir du modèle de base pour résonateur cylindrique, on construit un modèle pour un résonateur court ayant une longueur I, en approximant
Timpédance selon l'expression :
Z,(ω)= i tan (k(ω)l) s G(ω) + iωH(ω) (34) dans laquelle G(ω) et H (ω)=-(l - G(ω)).
26. Procédé selon l'ensemble des revendications 23, 24,
25, pour la simulation d'un instrument à vent, caractérisé par le fait que Ton modélise Tembouchure ou le bec par un résonateur de Helmhoitz comprenant une cavité hémisphérique couplée avec un tuyau court cylindrique et un résonateur principal à tuyau conique, Timpédance d'entrée de l'ensemble du résonateur pouvant s'exprimer par l'expression :
J_
iZ^ω^ + Z. . îω-
1 + - itan(k2(ω)L2)
dans laquelle est le volume de la cavité hémisphérique, L1 est la longueur du tuyau court, L2 est la longueur du tuyau conique, Z1 et Z2 sont les impédances caractéristiques des deux tuyaux qu i dépendent de leu rs rayons, k1 (ω) et k2(ω) tiennent compte des pertes et du rayon R 1 et R2 de chaque tuyau, et que, à partir du modèle de base pour résonateur cylindrique, de ses extensions au tuyau conique et au tuyau court, on construit un modèle pour résonateur en exprimant la pression à l'embouchure ou dans le bec par Téquation aux différences :
k = 4 k = 3 pe(n)= ∑ bckue(n - k) + ∑ bcDkue(n - k - 2D) (36) k≈o k=o k=4 k=3
+ ∑ ackPe(n - k) + ∑ acDkpe(n - k - 2D) k=1 k=0
27. Procédé selon Tune des revendications 1 à 9, pour la simulation d'un phénomène oscillant dans lequel les deux variables physiques de la relation linéaire sont la force exercée en un point d'un système mécanique tel qu'une corde engendrant des vibrations et la vitesse en ce point, caractérisé par le fait que Ton exprime Tadmittance en ce point sous la forme d'une combinaison des admittances de chaque portion de corde, de part et d'autre dudit point, chaque admittance mécanique étant obtenue à partir du modèle de base décrivant Timpédance acoustique d'un résonateur à tuyau cylindrique, en exprimant la vitesse au point considéré de la corde en fonction de la force exercée en ce point, le filtre F(ω) du modèle de base pouvant être exprimé à partir d'un modèle de propagation d'ondes de flexion dans une corde munie de raideur.
28. Dispositif de simulation numérique, par le procédé selon Tune des revendications 8 à 27, d'un instrument de musique de production d'un son résultant d'un couplage entre un résonateur linéaire et une source excitatrice à caractéristique non linéaire, qui s'exprime au moins par une relation linéaire d'impédance ou d'admittance et une relation non linéaire entre deux variables représentatives de l'effet et de la cause du son produit, ce dispositif de simulation comprenant un élément de contrôle I comportant au moins un capteur gestuel 1 transformant les actions d'un instrumentiste en paramètres de contrôle, un élément de modélisation II comportant une partie non linéaire (2) associée à une partie linéaire (3) et un élément de création du son synthétisé I I I , caractérisé par le fait que la partie linéaire (3) comporte un bloc de calcul (31 ) piloté par la longueur (L) du résonateur ayant comme paramètre d'entrée un signal représentatif de Tune des variables cause, effet, calculé par la partie non linéaire (2), et dont la fonction de transfert est Timpédance ou Tadmittance d'entrée du résonateur, que la partie non linéaire (2) met en œuvre une fonction non linéaire (21 ) pilotée par au moins deux paramètres de contrôle et ayant comme paramètres d'entrée un signal représentatif de l'autre variable cause ou effet, calculé par la partie linéaire (3) et un signal modelisant le rôle de la source excitatrice, la partie linéaire (3) étant ainsi couplée en boucle fermée à la partie non linéaire (2), et que Télément de création du son I I I calcule un signal sonore à partir de signaux représentatifs de la cause et de l'effet du son à simuler, émis respectivement par la partie linéaire (3) et la partie non linéaire (2)
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