EP1240955A1 - Verfahren und Vorrichtung zur Berechnung der Walzspaltkontur - Google Patents

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EP1240955A1
EP1240955A1 EP02001665A EP02001665A EP1240955A1 EP 1240955 A1 EP1240955 A1 EP 1240955A1 EP 02001665 A EP02001665 A EP 02001665A EP 02001665 A EP02001665 A EP 02001665A EP 1240955 A1 EP1240955 A1 EP 1240955A1
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online
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    • B21B38/105—Calibrating or presetting roll-gap

Definitions

  • the present invention relates to a method for calculating the roll gap contour in a roll stand consisting of at least two work rolls, and an associated one Contraption.
  • the aim of the present invention is therefore to provide a method and an apparatus for Calculation of the roll gap contour to indicate that gives very accurate results and can still run fast enough for real-time applications.
  • the object is achieved according to the invention in that the roll gap contour is put together online from the results of a previously performed preliminary calculation and an online performed online calculation.
  • This procedure makes it possible to combine the advantages of a preliminary calculation, the high accuracy, and an online calculation, the high speed, in one process, which makes it possible to calculate the roll gap contour very quickly and with high accuracy.
  • This method is therefore easy to integrate into a real-time application, for example control of a rolling mill.
  • the high accuracy of the process can increase the quality of the rolled product, since predetermined rolled profiles can be adhered to very precisely.
  • the solution of the preliminary calculation can be calculated as the sum of a solution of a finite element calculation and a solution of a semi-analytical calculation.
  • the solution of the semi-analytical calculation can easily be found if the solution is calculated for an infinitely long cylinder.
  • the previously determined solutions are used particularly advantageously to do this online Contact problem between work roll and rolling material and possibly that To calculate the contact problem between other rollers in contact.
  • the solution is that is, the results of a preliminary calculation carried out during the roll change resorted. These results only need to come from one Memory can be read out, which speeds up the calculation of the roll gap contour very much and makes it applicable in real-time applications.
  • a further transformation results from a suitable transformation the two-dimensional contact problem to a one-dimensional contact problem, whereby with the solution from the pre-calculation, the roll gap contour online using the one-dimensional contact problem between contacting rollers and / or between the work roll and the rolling material is calculated and the one-dimensional solution in Connection to the two-dimensional solution is transformed back.
  • the nonlinear contact problem can be solved very advantageously iteratively by linearization become.
  • the Calibrate a roll stand the roll deformations of a number w rolls of Roll mill directly calculated from the resulting w-1 coupled contact problems become.
  • a correction to the strip exit thickness can be made at least one roll stand from the difference in roll deformation during calibration and can be calculated in real time in the conventional rolling process and the Strip exit thickness can be corrected in real time if necessary by changing manipulated variables.
  • the comparison of the calculations when calibrating and when conventional rolling process the measured scaffold suspension characteristic at the working point Getting corrected.
  • a simple Check the tolerance accuracy Because the results of the procedure are very accurate, the quality of the rolled products, through improved tolerance or by adhering to tighter tolerances, which can be further improved Consequence of course also has a positive economic impact.
  • the method according to the invention is very advantageous in a higher-level control integrated a rolling mill that the roll gap contour, and possibly the Strip exit thickness, calculated in real time, compared with a specified value and deviations of the roll gap contour or the lying outside the specified tolerance Corrected strip thickness in real time by changing manipulated variables. So you have that Possibility to precisely tailor the rolled profile from the first to the last roll stand Taxes.
  • the settings of the individual roll stands can be coordinated and the quality of the rolled product can be further improved.
  • ⁇ rr , ⁇ rz , ⁇ r ⁇ are to be replaced by ⁇ nn , ⁇ nt , ⁇ n ⁇ , where ⁇ nn , ⁇ nt , ⁇ n ⁇ are the components of the stress tensor in transformed coordinates, n denotes the normal direction with respect to of the bearing cone, t is the corresponding transverse direction.
  • Each solution L of the Lamé equation can be represented in a generally known form as a Fourier series.
  • L L FEM + L ANL is chosen. denotes the nth Fourier mode of a solution of the Lamé equation, calculated using the finite element method in the Fourier space and denotes the nth Fourier mode of a solution to the Lamé equation, calculated using semi-analytical methods for an infinitely long cylinder.
  • the entire solution L is thus constructed from a finite element solution L FEM and a semi-analytical solution L ANL .
  • the solutions L FEM of the finite element calculation can be found using the well known methods of finite elements.
  • the exemplary solution is therefore only outlined in broad outline.
  • the Lamé equation is first multiplied by a test function v and then integrated with surface O over the volume V.
  • K F ⁇ ⁇
  • the representation of F as the sum of triangles F d
  • the representation of u as the sum of suitable test functions respectively.
  • a Fourier mode leads to a linear system of equations for determining the amplitudes c i / kn .
  • the functions are represented again as Fourier integrals with respect to z. After insertion into the Lamé equation, this leads to three linearly independent sets of solutions for the semi-analytical part.
  • the solution L ANL / n of the boundary value problem for the nth Fourier mode then provides numerical integration of the solutions calculated in this way with respect to k.
  • the value for c 0 can be chosen arbitrarily.
  • a suitable mathematical transformation can be used.
  • the work roll A is in contact with the rolling material M on the underside of the bale over the strip width B and in contact with the support roll S in the top.
  • bending forces F B act on the work roll.
  • the position of the work roll A can have a displacement d A transverse to the rolling direction.
  • the position of the rolling material M can also be shifted transversely to the rolling direction, shift d M.
  • the rolling force F W acts between the rolling material M and the work roll A.
  • the support roller S is in contact with the work roller A on its underside.
  • the stator forces F S act in the bearings of the support roller S.
  • Both work roller A and backup roller S are ground (s A , s S ), both rollers are thermally stretched (t A , t S ) and their contour is changed by wear (v A , v S ).
  • These influences can be regarded as known and can either be determined directly from measurements, or in turn come from suitable model calculations.
  • the contact area K AM between work roll A and rolling material M, based on the coordinate system of work roll A, is described as follows:
  • the contact angle ⁇ k results from the maximum contact length L k with respect to z, divided by the radius of the work roll A.
  • the contact area K AS between work roll A and backup roll S, based on the coordinate system of work roll A, is described analogously as follows: ⁇ S is again the maximum contact angle that occurs, and L BA or L BS are the bale lengths of work roller A and support roller S.
  • the indices i and j therefore describe the point of application of the pressure p and the indices k and I describe the location where the deformation occurs.
  • Q AS / ij 1 for ( ⁇ , z ) ⁇ R AS / ij
  • x 0 and x 1 describe an additional vertical displacement or tilting of the work roll A.
  • the total deformation on the underside of the work roll u kl corresponds exactly to the roll gap contour sought, ie the determination of the roll gap contour is equivalent to the calculation of u kl .
  • r k is the non-deformed "distance between the work roller A and the support roller S.
  • the contact problem formulated above in the form of two inequalities is non-linear, which is why the solution is made iteratively.
  • the matrix M is formed by the components o AS / ij, kl and s AS / ij, kl of the relationships for o kl and s kl .
  • the vector b then contains all the other components of the relationships for o kl and s kl .
  • a significant reduction in computing time can be achieved by reducing the two-dimensional contact problem to a one-dimensional one, using a suitable mathematical transformation.
  • the above method can not only be used to calculate the roll gap contour during the rolling process, but also the roll deformations when calibrating the roll stand 1 can be calculated.
  • the roll deformations when calibrating the roll stand 1 can be calculated.
  • the two work rolls A are in direct contact.
  • the offline calculation is first carried out once.
  • the standardized semi-analytical solution L ANL / c 0 ⁇ 0 is calculated once (computing time about 20min;
  • the roll gap contour can be calculated at any time for each individual roll stand 1 and compared with predetermined values. If deviations are determined by influencing certain manipulated variables, such as the bending force, the roll adjustment or the work roll displacement, the control can make the necessary corrections.

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  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Mechanical Engineering (AREA)
  • Control Of Metal Rolling (AREA)

Abstract

Die erzielte Genauigkeit des Walzprofils eines Walzproduktes ist ein wesentliches Qualitätsmerkmal einer Walzstraße. Die genaue Kenntnis der Walzspaltkontur in Walzstraßen ist dabei Voraussetzung zur Erzielung hoher Genauigkeiten durch eine entsprechende Regelung der Walzstraße. Bis jetzt waren genaue Berechnungen der Walzspaltkontur jedoch sehr zeitaufwendig, wodurch keine Echtzeit-Anwendung möglich war. Umgekehrt waren schnelle Berechnungen sehr ungenau, wodurch diese nur bedingt zur Regelung eingesetzt werden konnten. Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur Berechnung der Walzspaltkontur, das sehr genaue Ergebnisse liefert und trotzdem in Echtzeit durchgeführt werden kann. <IMAGE>

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur Berechnung der Walzspaltkontur in einem Walzgerüst, bestehend aus zumindest zwei Arbeitswalzen, sowie eine zugehörige Vorrichtung.
Die genaue Kenntnis der Walzspaltkontur in Walzstraßen ist Voraussetzung zur präzisen Steuerung bzw. Regelung von Bandprofil und Bandplanheit, zwei wesentliche Parameter der Qualität eines Walzproduktes. In Warmwalzwerken, bestehend aus Vorstraße, Fertigstraße bzw. Grobblechstraße, können sowohl Band- bzw. Blechprofil als auch Band- bzw. Blechplanheit kontrolliert werden, in Kaltwalzwerken ist die Bandplanheit die zu kontrollierende Größe.
In einer mehrgerüstigen Warmwalzstraße ist das korrekte Bandprofil in den ersten Walzgerüsten einzustellen, während die Bandplanheit des Walzprodukts im letzten Gerüst zu erzielen ist. Zunächst muss dazu das relative Walzspaltprofil in den ersten Walzgerüsten auf das relative Zielprofil des Bandes gesetzt werden, weiters ist das relative Walzspaltprofil im letzten Gerüst auf das relative Walzspaltprofil in den ersten Walzgerüsten abzustimmen. Um Bandplanheit des Bandes zwischen den Walzgerüsten zu gewährleisten (ruhiger Bandlauf), ist das relative Walzspaltprofil von Walzgerüst zu Walzgerüst konstant zu halten. Dies verdeutlicht, wie wichtig die Kenntnis der Walzspaltkontur für die Qualität des Walzproduktes ist.
Die bisher verfügbaren Methoden zur Ermittlung der Walzspaltkontur lassen sich grob in zwei Klassen unterteilen:
  • 1. Offline-Berechnungen Da diese offline, d.h. nicht während des eigentlichen Walzvorganges, durchgeführt werden, sind diese Methoden zeitunkritisch. Es werden hier typischerweise Finite-Element-Methoden eingesetzt, bei denen ein Walzgerüst und Walzmaterial mit Finite-Elemente modelliert wird und die Deformation der Walzen unter einer vorgegeben Belastung ermittelt wird. Ein solcher Berechnungsvorgang liefert sehr genaue Ergebnisse, benötigt jedoch einige Minuten bis einige Stunden, wodurch diese Methoden absolut ungeeignet für Echtzeit-Anwendungen, wie z.B. eine Regelung einer Walzstraße, sind. Darüber hinaus können damit natürlich keine dynamischen Einflüsse berücksichtigt werden, da die Lösung nur für die Berechnung mit den vorgegebenen Randbedingungen Gültigkeit hat.
  • 2. Online-Berechnungen Ziel dieser Methoden ist es, die Walzspaltkontur in Echtzeit zu berechnen. Da diese Berechnungen naturgemäß sehr zeitkritisch sind, können nur Näherungsverfahren angewandt werden. Dazu werden existierende Lösungen der Elastizitätstheorie, wie ein eingespannter Träger unter Volumenkraft, unter Querkraft bzw. Momentbelastung, oder die Deformation eines elastischen Halbraumes unter lokal wirkender Kraft, kombiniert, wodurch diese Methoden zwar sehr schnell arbeiten, aufgrund der Näherungsverfahren, durch die anhaftende Ungenauigkeit dieser Verfahren, jedoch nur eingeschränkt brauchbare bzw. sogar unbrauchbare Ergebnisse liefern.
    • Ziel der vorliegenden Erfindung ist es deshalb, ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Berechnung der Walzspaltkontur anzugeben, dass sehr genaue Ergebnisse liefert und trotzdem schnell genug für Echtzeit-Anwendungen ausgeführt werden kann.
    Die Aufgabe wird erfindungsgemäß dadurch gelöst, dass die Walzspaltkontur online aus den Ergebnissen einer vorab durchgeführten Vorab-Berechnung und einer online durchgeführten Online-Berechnung zusammengesetzt wird.
    Diese Vorgangsweise ermöglicht es, die Vorteile einer Vorab-Berechnung, die hohe Genauigkeit, und einer Online-Berechnung, die große Geschwindigkeit, in einem Verfahren zu vereinen, wodurch es möglich wird, die Walzspaltkontur sehr schnell und mit hoher Genauigkeit zu berechnen. Dieses Verfahren ist deshalb einfach in eine Echtzeit-Anwendung, z.B. eine Regelung einer Walzstraße, einzubinden. Darüber hinaus kann durch die hohe Genauigkeit des Verfahrens die Qualität des Walzproduktes gesteigert werden, da vorgegebene Walzprofile sehr genau eingehalten werden können.
    Besonders vorteilhaft ist es, wenn als Lösung der Vorab-Berechnung ein Deformationsvektorfeld, bzw. das radiale Deformationsfeld, einer Walze unter einer vorgegebenen Belastung berechnet wird. Die Lösung lässt sich dabei sehr einfach auffinden, wenn die Lösung als Fourierreihe dargestellt wird.
    Ein sehr günstiges Verfahren ergibt sich, wenn die Lösung der Vorab-Berechnung mit einer Finite-Element Berechnung berechnet wird, da diese Berechnungen sehr genau sind und somit eine genaue Lösung des Problems ermittelt wird. Für die Erzielung einer bestimmten Genauigkeit ist es ausreichend, für die Lösung die ersten NT Fouriermoden zu berechnen. Alternativ dazu kann die Lösung der Vorab-Berechnung als Summe einer Lösung einer Finite-Element Berechnung und einer Lösung einer semi-analytischen Berechnung berechnet wird. Die Lösung der semi-analytischen Berechnung kann einfach aufgefunden werden, wenn die Lösung für einen unendlich langen Zylinder berechnet wird. Für die Erzielung einer bestimmten Genauigkeit ist es hierbei vorteilhaft, mit der Finite-Elemente Berechnung die ersten NF Fouriermoden der Lösung und mit der semi-analytischen Berechnung die NF+1 bis NT Fouriermoden der Lösung zu berechnen.
    Wenn die Lösung für eine Walze mit normiertem Radius und/oder unter normierter Belastung berechnet wird, ergibt sich ein besonders vorteilhaftes Verfahren, da dann bestimmte Berechnungen nur ein einziges Mal durchgeführt werden müssen. In der Online-Berechnung können die normierten Lösungen dann sehr schnell durch eine geeignete Transformation an die realen Gegebenheiten angepasst werden, was die erforderliche Berechnungszeit verringert.
    Besonders vorteilhaft werden die vorab ermittelten Lösungen dazu verwendet, online das Kontaktproblem zwischen Arbeitswalze und Walzmaterial und gegebenenfalls das Kontaktproblem zwischen weiteren sich berührenden Walzen zu berechnen. Zur Lösung wird also auf die Ergebnisse einer während des Walzenwechsels durchgeführten Vorab-Berechnung zurückgegriffen. Diese Ergebnisse müssen bei Bedarf nur mehr aus einem Speicher ausgelesen werden, was die Berechnung der Walzspaltkontur sehr beschleunigt und in Echtzeit-Anwendungen anwendbar macht.
    Eine weitere Verbesserung des Verfahren ergibt sich durch eine geeigneten Transformation des zweidimensionalen Kontaktproblems auf ein eindimensionales Kontaktproblem, wobei mit der Lösung aus der Vorab-Berechnung die Walzspaltkontur online anhand des eindimensionalen Kontaktproblems zwischen sich berührenden Walzen und/oder zwischen der Arbeitswalze und dem Walzmaterial berechnet wird und die eindimensionale Lösung im Anschluss auf die zweidimensionale Lösung rücktransformiert wird.
    Sehr vorteilhaft kann das nichtlineare Kontaktproblem durch Linearisierung iterativ gelöst werden.
    Durch Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens kann darüber hinaus beim Kalibrieren eines Walzgerüstes die Walzendeformationen einer Anzahl w Walzen des Walzgerüstes direkt aus den sich ergebenden w-1 gekoppelten Kontaktproblemen berechnet werden.
    Um eine geforderte Banddicke zu erreichen, kann eine Korrektur zur Bandaustrittsdicke zumindest eines Walzgerüstes aus der Differenz der Walzendeformation beim Kalibrieren und beim herkömmlichen Walzvorgang in Echtzeit berechnet werden und die Bandaustrittsdicke in Echtzeit bei Bedarf durch Verändern von Stellgrößen korrigiert werden. Zusätzlich kann aus dem Vergleich der Berechnungen beim Kalibrieren und beim herkömmlichen Walzvorgang die gemessene Gerüstauffederungskennlinie im Arbeitspunkt korrigiert werden. Mit den verfahrensmäßig berechneten Banddicken kann eine einfache Kontrolle der Toleranzhaltigkeit durchgeführt werden. Da die Ergebnisse des Verfahrens sehr genau sind, kann die Qualität der Walzprodukte, durch verbesserte Toleranzhaltigkeit bzw. durch die Einhaltung engerer Toleranzen, verbessert werden, was sich in weiterer Folge natürlich auch wirtschaftlich positiv auswirkt.
    Sehr vorteilhaft wird das erfindungsgemäße Verfahren in einer übergeordneten Regelung einer Walzstraße eingebunden, die die Walzspaltkontur, und gegebenfalls die Bandaustrittsdicke, in Echtzeit berechnet, mit einem vorgegebenen Wert vergleicht und außerhalb der vorgegebenen Toleranz liegende Abweichungen der Walzspaltkontur bzw. der Banddicke in Echtzeit durch Verändern von Stellgrößen korrigiert. Damit hat man die Möglichkeit, das Walzprofil angefangen vom ersten bis zum letzten Walzgerüst genau zu steuern. Die Einstellungen der einzelnen Walzgerüste können auf einander abgestimmt werden und so die Qualität des Walzproduktes weiter verbessert werden.
    Ganz besonders vorteilhaft wird das Verfahren auf einem Computer in Form eines Computerprogramms implementiert, da dann das Verfahren sehr einfach und sehr flexibel an sich ändernde Verhältnisse angepasst, bzw. sehr einfach erweitert werden kann.
    Das erfindungsgemäße Verfahren zur Berechnung der Walzspaltkontur wird anhand der Figuren 1 bis 3 und der folgenden Beschreibung beispielhaft und nicht einschränkend beschrieben. Dabei zeigt
  • Fig. 1 eine schematische Darstellung eines einzelnen Walzgerüstes,
  • Fig. 2 eine schematische Ansicht eines Walzensatzes während des Walzvorganges und
  • Fig. 3 eine graphische Darstellung der Ergebnisse einer Walzkonturberechnung.
    • Die folgenden Beschreibungen beziehen sich auf die Fig. 1 bis 3. Zuerst wird die Deformation einer einzelnen Walze unter einer radialen Druckbelastung p(r,ϕ,z) berechnet. Die zugrundeliegende Beziehung dazu, ist die sich aus der differentiellen Gleichgewichtsbedingung, ∂ j σ ij + ρgi = 0, und dem verallgemeinerten Hook'schen Gesetz,
    Figure 00040001
    mit uij = ∂ jui + ∂ iuj / 2, ergebende bekannte Lamé-Gleichung in der Form:
    Figure 00040002
    r,ϕ,z bezeichnen die Zylinderkoordinaten in Radial-, Winkel- und Achsenrichtung, u das Deformationsvektorfeld u(r,ϕ,z) mit Komponenten in Richtung r,ϕ,z, E den Elastizitätsmodul, ν die Querdehnungszahl, ρ die Dichte des Walzenmateriales, g die Gravitationsbeschleunigung, σij den Spannungstensor und uij den Verformungstensor. Dieses gekoppelte System linearer partieller Differentialgleichungen ist unter Zuhilfenahme von geeigneten Randbedingungen,
  • σrr = p(Rw,ϕ,z)
  • σrz = 0 bzw. σrϕ = 0 im Ballenbereich, mit dem Radius Rw der Walze in Walzenmitte, bzw.
  • σrr = p(RL,ϕ,z)
  • σrz = 0 bzw. σrϕ = 0 im Bereich der Walzenlager, mit dem Zapfenradius RL im Bereich des Walzenlagers,
    • zu lösen.
    Im Fall einer konischen Lagerform sind σrr, σrz, σrϕ durch σnn, σnt, σnϕ zu ersetzen, wobei σnn, σnt, σnϕ die Komponenten des Spannungstensors in transformierten Koordinaten sind, n bezeichnet die Normalenrichtung bzgl. des Lagerkonus, t ist die entsprechende Transversalrichtung.
    Aufgrund der Linearität der Lamé-Gleichung lässt sich jede Lösung zu einer gegebenen Druckverteilung p(R,ϕ, z) als Superposition der Lösungen zu speziellen Druckverteilungen pij (R,ϕ,z) darstellen, mit i = 1,...,Nz und j = 1,...,Nϕ: pij (R,ϕ,z) = 1   für - LB 2 + LB Nz (i - 1) < z < - LB 2 + LB Nz i       und 2π N ϕ (j - 1)-π < ϕ < 2π N ϕ j - π und pij (R,ϕ,z) = 0 sonst.
    LB bezeichnet hierbei die Ballenlänge der Walze. Wegen der Rotationssymmetrie genügt es allerdings, die Lösungen zu den Druckverteilungen pi 0(R,ϕ,z), i = 1,...,Nz, zu bestimmen.
    Jede Lösung L der Lamé-Gleichung kann in allgemein bekannter Form als Fourierreihe dargestellt werden. Zur Lösung wird der spezielle Ansatz L = LFEM + LANL gewählt.
    Figure 00050001
    bezeichnet in Folge die n-te Fouriermode einer Lösung der Lamé-Gleichung, berechnet mit der Methode der Finite-Elemente im Fourierraum und
    Figure 00060001
    bezeichnet die n-te Fouriermode einer Lösung der Lamé-Gleichung, berechnet mit semi-analytischen Methoden für einen unendlich langen Zylinder. Die gesamte Lösung L wird also aus einer Finite-Elemente Lösung LFEM und einer semi-analytischen Lösung LANL konstruiert. Die Randbedingung σrr = p(R,ϕ,z) ist in analoger Weise durch die fouriertransformierte Form σrr n = pn(R,z) zu ersetzen.
    Aufgrund der speziellen Eigenschaften der zylinderförmigen Walzengeometrie ist der Gravitationsbeitrag sowie die Lagerkraft nur in der ersten Fouriermode (n=1) zu berücksichtigen.
    Es ist im Rahmen der Erfindung auch möglich, gänzlich auf semi-analytische Lösungen LANL zu verzichten und alle notwendigen Fouriermoden mit der Finite-Elemente-Berechnung zu ermitteln, d.h. L = LFEM .
    Die Lösungen LFEM der Finite-Element Berechnung können mit den hinlänglich bekannten Methoden der Finiten-Elemente gefunden werden. Der beispielhafte Lösungsweg wird deshalb in Folge nur in groben Zügen skizziert. Die Lamé-Gleichung wird zuerst mit einer Testfunktion v multipliziert und anschließend über das Volumen V mit Oberfläche O aufintegriert. Mit der Darstellung eines Rotationskörpers K als Produkt von Rotationsfläche F und Winkelvariablen ϕ, K = F ⊗ ϕ, mit der Darstellung von F als Summe von Dreiecken Fd,
    Figure 00060002
    und der Darstellung von u als Summe von geeigneten Testfunktionen
    Figure 00060003
    bzw.
    Figure 00060004
    mit Amplituden c i / kn und Integration über die Winkelvariable ϕ gelangt man in jedem Fouriermode zu einem linearen Gleichungssystem zur Bestimmung der Amplituden c i / kn. Für jeden der NF Fouriermoden sind also zu den Nz Druckverteilungen pi 0(R,ϕ,z), i = 1,...,Nz die entsprechenden Amplituden zu berechnen. Daraus folgen im Besonderen NF × NZ Lösungen für das radiale Deformationsfeld
    Figure 00060005
    n = 0,...,NF-1 , i = 1,...,Nz.
    Zur Lösung des semi-analytischen Anteils der Gesamtlösung, wird der folgende Ansatz gewählt:
    Figure 00060006
    Figure 00060007
    und
    Figure 00060008
    Die Funktionen
    Figure 00070001
    werden selbst wieder als Fourierintegrale bzgl. z dargestellt. Dies führt nach Einsetzen in die Lamé-Gleichung auf drei linear unabhängige Sätze von Lösungen für den semi-analytischen Anteil. Die Randbedingung σrr n = pn(R,z) wird, wie aus den obigen Ausführungen bereits bekannt, ebenfalls als Fourierintegral dargestellt.
    Durch Linearkombination der drei sich ergebenden Lösungssätze können diese Randbedingungen erfüllt werden. Numerische Integration der so berechneten Lösungen bzgl. k liefert dann die Lösung L ANL / n des Randwertproblems für die n-te Fouriermode.
    Zu beachten ist hier besonders, dass die Lösung für eine auf Radius R = 1 normierte Walze ermittelt werden kann. Multiplikation des so berechneten Deformationsvektorfeldes mit dem aktuellen Walzenradius liefert dann das aktuelle Deformationsvektorfeld. Es werden dabei im Besonderen die speziellen Randbedingungen
    Figure 00070002
    für - c 0 < z < c 0 und
    Figure 00070003
    sonst
    gewählt. D.h., dass die Lösung LANL für eine normierte Walze mit Breite 2c0 und Radius R = 1 ermittelt wird. Der Wert für c0 kann dabei beliebig gewählt werden. Um aus diesen normierten Lösungen L ANL / c 0 die Lösung L ANL / c für die tatsächlichen Abmessungen der Walze zu erhalten, kann eine geeignete mathematische Transformation verwendet werden. Für die Gesamtlösung im realen Raum (=Summe aller Fouriermoden) existiert eine analoge Vorschrift bzgl. der Variablen ϕ. Damit kann aus einer einmal berechneten normierten Lösung L ANL / c 0ϕ0, definiert über
    Figure 00070004
    für - c 0 < z < c 0, -ϕ0 < ϕ < ϕ0 und
    Figure 00070005
    sonst,
    und einer geeigneten Transformation jede beliebige Lösung L ANL / cϕ abgeleitet werden.
    Es wird also einmalig die normierte Lösung L ANL / c 0ϕ0 berechnet und erst bei Bedarf die Transformation der Lösungen auf die tatsächliche Geometrie durchgeführt.
    Es ist natürlich auch möglich, direkt für die jeweilige Geometrie der Walze diese Lösungen L ANL / cϕ zu bestimmen. Die Berechnung dieser Lösungen L ANL / cϕ beansprucht jedoch sehr viel Rechenzeit, weshalb es günstiger ist, die Berechnungen nur einmal durchzuführen und dann bei Bedarf lediglich die Transformationen durchzuführen.
    Auf diese Weise wird die Lösung L der Lamé-Gleichung ermittelt, wodurch der Deformationszustand einer einzelnen Walze, hervorgerufen durch eine radiale Druckbelastung p(r,ϕ,z) bekannt ist. Während des Walzbetriebes ergibt sich jedoch im Walzgerüst 1, wie in Fig. 1 bzw. Fig. 2 dargestellt, eine Berührung zwischen der Arbeitswalze A und dem Walzmaterial M und zwischen der Arbeitswalze A und einer Stützwalze S. Bei mehrstöckigen Walzgerüsten können sich auch noch zwei oder mehrere Stützwalzen berühren, wodurch sich ein mehrfaches Kontaktproblem ergibt, das gelöst werden muss, um die aktuelle Walzspaltkontur zu erhalten. Es wird im Folgenden beispielhaft der obere Walzensatz hergenommen und die Lösung des Kontaktproblems anhand dieses Walzensatzes beschrieben. Dieser Lösungsweg ist dann natürlich auch für den unteren und alle anderen Walzensätze, auch für solche, wo nur Arbeitswalzen A vorhanden sind, äquivalent anzuwenden.
    Während des Walzvorgangs, Fig. 2, ergibt sich für den oberen Walzensatz folgende Situation: Die Arbeitswalze A ist an der Unterseite des Ballens über die Bandbreite B in Kontakt mit dem Walzmaterial M und an der Oberseite in Kontakt mit der Stützwalze S. In den Lagern der Arbeitswalze wirken Biegekräfte FB. Die Position der Arbeitswalze A kann quer zur Walzrichtung eine Verschiebung dA aufweisen. Die Position des Walzmaterials M kann ebenfalls quer zur Walzrichtung verschoben sein, Verschiebung dM. Zwischen Walzmaterial M und Arbeitswalze A wirkt die Walzkraft FW.
    Die Stützwalze S ist an ihrer Unterseite in Kontakt mit der Arbeitswalze A. In den Lagern der Stützwalze S wirken die Ständerkräfte FS.
    Sowohl Arbeits- A als auch Stützwalze S weisen einen Schliff auf (sA,sS), beide Walzen sind thermisch gedehnt (tA,tS) und ihre Kontur ist durch Verschleiß verändert (vA,vS). Diese Einflüsse sind als bekannt anzusehen und können entweder direkt aus Messungen bestimmt werden, oder stammen wiederum aus geeigneten Modellrechnungen.
    Die Kontaktfläche KAM zwischen Arbeitswalze A und Walzmaterial M, bezogen auf das Koordinatensystem der Arbeitswalze A, wird folgendermaßen beschrieben:
    Figure 00080001
    Der Kontaktwinkel Φk ergibt sich aus der bzgl. z maximalen Kontaktlänge Lk, dividiert durch den Radius der Arbeitswalze A. Die Kontaktfläche KAM wird zerlegt in rechteckige Intervalle RAM ij mit i = 1,...,N AM / z und j=1,...,N AM / ϕ
    Die Kontaktfläche KAS zwischen Arbeitswalze A und Stützwalze S, bezogen auf das Koordinatensystem der Arbeitswalze A, wird analog folgendermaßen beschrieben:
    Figure 00090001
    ΦS ist dabei wieder der bzgl. z maximale auftretende Kontaktwinkel und LBA bzw. LBS sind die Ballenlängen von Arbeits- A und Stützwalze S. Die Kontaktfläche KAS wird wiederum zerlegt in rechteckige Intervalle RAS ij mit i = 1,..., N AS / z und j = 1,...,N AS / ϕ .
    Zu einer normierten radialen Druckverteilung P AM / ij auf die Kontaktfläche KAM in der Form PAM ij = 1 für (ϕ,z)∈ R AM / ij , PAM ij = 0 sonst
    und mit i = 1,..., N AM / z und j = 1,..., N AM / ϕ, ergibt sich mit den oben beschriebenen Methoden das radiale Deformationsfeld auf der Arbeitswalzenunterseite uAM ij,kl mit k = 1,...,N AM / z und l = 1,...,N AM / ϕ ,
    sowie das radiale Deformationsfeld auf der Arbeitswalzenoberseite OAM ij,kl mit k = 1,...,N AS / z und l = 1,...,N AS / ϕ .
    Die Indizes i und j beschreiben folglich den Angriffspunkt des Druckes p und die Indizes k und I beschreiben den Ort wo die Deformation auftritt. Analog dazu ergibt sich zu einer normierten radialen Druckverteilung Q AS / ij auf die Kontaktfläche KAS in der Form QAS ij = 1 für (ϕ,z)∈ R AS / ij , QAS ij = 0 sonst
    und mit i = 1,...,N AS / z und j = 1,...,N AS / ϕ , das radiale Deformationsfeld auf der Arbeitswalzenunterseite uAS ij,kl mit k = 1,...,N AM / z und l = 1,...,N AM / ϕ ,
    sowie das radiale Deformationsfeld auf der Arbeitswalzenoberseite oAS ij,kl mit k = 1,...,N AS / z und l = 1,...,N AS / ϕ ,
    sowie das radiale Deformationsfeld auf der Stützwalzenunterseite sAS ij,kl mit k = 1,...,N AS / z und l = 1,...,N AS / ϕ .
    Bei gegebenen tatsächlichen Druckverteilungen p AM / ij auf KAM und q AS / ij auf KAS ergibt sich für die Gesamtdeformation an der Arbeitswalzenunterseite somit die Beziehung
    Figure 00100001
    an der Arbeitswalzenoberseite die Beziehung
    Figure 00100002
    und an der Stützwalzenunterseite die Beziehung
    Figure 00100003
    Dabei bezeichnen s u / AK,,t u / AK, ν u / AK den Arbeitswalzenschliff, -dehnung und -verschleiß bezogen auf die Diskretisierung zwischen Arbeitswalze A und Walzmaterial M, d.h. k = 1,...,N AM / z , s o / AK,,t o / AK, ν o / AK den Arbeitswalzenschliff, -dehnung und -verschleiß bezogen auf die Diskretisierung zwischen Arbeitswalze A und Stützwalze S, d.h. k = 1,...,N AS / z und sSK,tSK,vSK den Stützwalzenschliff, -dehnung und -verschleiß bezogen auf die Diskretisierung zwischen Arbeitswalze A und Stützwalze S, d.h. k = 1,..., AS / z. x0 und x1 beschreiben eine zusätzliche vertikale Verschiebung bzw. Verkippung der Arbeitswalze A. Die Gesamtdeformation an der Arbeitswalzenunterseite ukl entspricht dabei genau der gesuchten Walzspaltkontur, d.h. die Bestimmung der Walzspaltkontur ist gleichzusetzen mit der Berechnung von ukl . Dazu wird das Kontaktproblem wie folgt formuliert: okl + skl ≤ rk mit k = 1,...,N AS / z und l = 1,...,N AS / ϕ und qAS ij ≥ 0 mit i = 1,...,N AS / z und j = 1,...,N AS / ϕ .
    rk ist dabei der nichtdeformierte" Abstand zwischen Arbeits- A und Stützwalze S. Zusätzlich müssen Gesamtkraft und Gesamtmoment verschwinden, was zwei weitere Gleichungen zur Bestimmung von x0 und x1 liefert.
    Aus dem oben formulierten Kontaktproblem wird jetzt q AS / ij , x0 und x1 ermittelt. Zu beachten ist dabei auch, dass wenn die Druckverteilung p AM / ij zwischen Arbeitswalze A und Walzmaterial M als bekannt angenommen werden kann, q AS / ij , x0 und x1 direkt berechnet werden können. Ist die Druckverteilung p AM / ij nicht bekannt, müssen p AM / ij , q AS / ij , x0 und x1 iterativ berechnet werden.
    Mit den somit bestimmten q AS / ij , x0 und x1 bzw. p AM / ij kann nun die Walzspaltkontur, d.h. ukl , berechnet werden.
    Das oben in Form von zwei Ungleichungen formulierte Kontaktproblem ist jedoch nichtlinear, weshalb die Lösung auf iterativen Wege erfolgt. Der Ausgangspunkt für die iterative Lösung kann beispielsweise ein liniearisiertes Gleichungssystem der Form M0 ij,kl q0 ij = b0 ij mit
    Figure 00110001
    und der Dimension D 0 = NAS z × NA S ϕ + 2 sein. Die Matrix M wird dabei durch die Komponenten o AS / ij,kl und s AS / ij,kl der Beziehungen für okl und skl gebildet. Der Vektor b enthält dann folglich alle anderen Komponenten der Beziehungen für okl und skl .
    Eine deutliche Verminderung der Rechenzeit kann durch Reduktion des zweidimensionalen Kontaktproblems auf ein eindimensionales, mittels einer geeigneten mathematischen Transformation, erzielt werden. Das Kontaktproblem ist dabei nur entlang einer Linie ϕ=konst. zu lösen und im Anschluss auf das zweidimensionale Problem umzurechnen.
    Das obige Verfahren kann jedoch nicht nur zur Berechnung der Walzspaltkontur während des Walzvorganges herangezogen werden, sondern es können auch die Walzendeformationen beim Kalibrieren des Walzgerüstes 1 berechnet werden. Für Walzgerüste mit einer Anzahl w Walzen ergeben sich dabei w-1 Kontaktprobleme, die gelöst werden müssen. Beim Kalibrieren eines zweistöckigen Walzgerüstes 1, wie in Fig. 1 und 2 gezeigt, sind im Gegensatz zum Walzvorgang die beiden Arbeitswalzen A in direkter Berührung. Daher sind drei gekoppelte Kontaktprobleme zu lösen: oo kl + so kl ≤ ro k   qo ij ≥ 0 Kopplung des oberen Walzensatzes, uo kl + ou kl ≤ rm k    qm ij ≥ 0 Kopplung der beiden Arbeitswalzen und uu kl + su kl ≤ ru k    qu ij ≥ 0 Kopplung des unteren Walzensatzes.
    Zusätzlich müssen für beide Walzensätze separat und für das gesamte System jeweils Gesamtkraft und Gesamtmoment verschwinden, was die Variablen x o / 0,x o / 1,x m / 0,x m / 1,x u / 0,x u / 1 festlegt. Der Lösungsalgorithmus ist in weiterer Folge analog zu oben.
    Bei einer beispielhaften, praktischen Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens in Warmwalzwerken wird zuerst einmalig die Offline-Berechnung durchgeführt. Dabei wird die normierte semi-analytische Lösung L ANL / c 0ϕ0 einmal berechnet (Rechenzeit ungefähr 20min;
    Anm.: alle Angaben zur Rechenzeit sind beispielhaft und beziehen sich in Folge auf einen PC mit 350MHz Taktfrequenz). Weiters werden, beispielsweise bei jedem Walzenwechsel, als Vorab-Berechnung vorab die Fourier-Finite-Elemente-Lösungen und daraus die radialen Deformationsfelder ermittelt (Rechenzeit ungefähr 40 sec pro Walze).
    Im Betrieb werden danach bei Bedarf die Online-Berechnungen durchgeführt. Während der nach dem Walzenwechsel notwendigen Kalibrierung der Walzgerüste 1 wird die dabei auftretende Deformation der Walzen berechnet (Rechenzeit ungefähr 1sec pro Walzgerüst). Alle diese Berechnungen müssen nur einmal durchgeführt werden. Während des eigentlichen Walzvorganges wird dann bei Bedarf die aktuelle Walzspaltkontur, sowie jene Korrektur zur Bandaustrittsdicke, die aus der Differenz der Walzendeformation beim Kalibrieren und beim normalen Walzvorgang resultiert, berechnet. Zur präzisen Regelung der Bandaustrittsdicke über die Bandlänge wird außerdem die genaue Steigung der Gerüstauffederungskennlinie (= Änderung der Gerüstauffederung / Änderung der Ständerkraft) im Arbeitspunkt benötigt. Diese folgt aus der gemessenen Kennlinie, korrigiert um die berechnete Differenz der Steigungen beim Kalibrieren und beim normalen Walzvorgang. (Rechenzeit ungefähr 0.05sec pro Walzensatz).
    Alle rechenzeitintensiveren Berechnungen werden somit vorab bzw. offline durchgeführt. Die eigentliche Online-Berechnung beansprucht nur sehr wenig Rechenzeit, ohne jedoch an Genauigkeit einzubüßen, weshalb diese in Echtzeit durchgeführt werden kann. Dieses Verfahren wird folglich in ein übergeordnetes Steuerungs- und Regelkonzept für die Walzstraße eingebettet. Während des Walzvorgang kann für jedes einzelne Walzgerüst 1 jederzeit die Walzspaltkontur berechnet werden und mit vorgegebenen Werten verglichen werden. Die Regelung kann bei Feststellen von Abweichungen durch Einflussnahme auf gewisse Stellgrößen, wie beispielsweise die Biegekraft, die Walzenanstellung oder die Arbeitswalzenverschiebung, die notwendigen Korrekturen vornehmen.
    In Fig. 3 sind beispielhaft die Ergebnisse einer solchen Walzspaltkonturberechnung graphisch dargestellt. Im oberen Bild berühren sich die Stützwalzenunterseite und die Arbeitswalzenoberseite während des Walzvorganges. Die daraus resultierende Druckverteilung qAS ist in der mittleren Abbildung dargestellt. Man erkennt, dass an der Walze nur dort eine Druckbelastung auftritt, wo sich die beiden Walzen berühren, womit die Randbedingungen erfüllt sind. In der unteren Abbildung ist die berechnete Walzspaltkontur ukl dargestellt. Die kubische Form der Walzspaltkontur ukl ergibt sich dabei aus dem angewendeten kubischen Arbeitswalzenschliff.

    Claims (26)

    1. Verfahren zur Berechnung der Walzspaltkontur in einem Walzgerüst, bestehend aus zumindest zwei Arbeitswalzen (A), dadurch gekennzeichnet, dass die Walzspaltkontur online aus den Ergebnissen einer vorab durchgeführten Vorab-Berechnung und einer online durchgeführten Online-Berechnung zusammengesetzt wird.
    2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass als Lösung L der Vorab-Berechnung ein Deformationsvektorfeld u(r,ϕ,z), bzw. das radiale Deformationsfeld ur , einer Walze unter einer vorgegebenen Belastung berechnet wird.
    3. Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Lösung L als Fourierreihe dargestellt wird.
    4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Lösung L der Vorab-Berechnung mit einer Finite-Element Berechnung LFEM berechnet wird.
    5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die Lösung L die ersten NT Fouriermoden berechnet werden.
    6. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Lösung L der Vorab-Berechnung als Summe einer Lösung einer Finite-Element Berechnung LFEM und einer Lösung einer semi-analytischen Berechnung LANL berechnet wird.
    7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Lösung der semi-analytischen Berechnung LANL als Lösung für einen unendlich langen Zylinder berechnet wird.
    8. Verfahren nach Anspruch 6 oder 7, dadurch gekennzeichnet, dass mit der Finite-Element Berechnung die ersten NF Fouriermoden der Lösung L und mit der semi-analytischen Berechnung die NF+1 bis NT Fouriermoden der Lösung L berechnet werden.
    9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass das die Lösung L für eine Walze mit normierten Radius und/oder unter normierter Belastung berechnet wird.
    10. Verfahren nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet, dass in der Online-Berechnung und/oder der Vorab-Berechnung die normierten Lösungen durch eine geeignete Transformation an die realen Gegebenheiten angepasst werden.
    11. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, dass als Online-Lösung die Walzspaltkontur mit der Lösung aus der Vorab-Berechnung online aus dem Kontaktproblem zumindest zwischen der Arbeitswalze (A) und dem Walzmaterial (M) und gegebenenfalls zwischen weiteren sich berührenden Walzen berechnet wird.
    12. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 11, dadurch gekennzeichnet, dass das zweidimensionale Kontaktproblem mit einer geeigneten Transformation auf ein eindimensionales Kontaktproblem reduziert wird, die Walzspaltkontur mit der Lösung aus der Vorab-Berechnung online anhand des eindimensionalen Kontaktproblems zwischen sich berührenden Walzen und/oder zwischen der Arbeitswalze (A) und dem Walzmaterial (M) berechnet wird und die eindimensionale Lösung im Anschluss auf die zweidimensionale Lösung rücktransformiert wird.
    13. Verfahren nach Anspruch 11 oder 12, dadurch gekennzeichnet, dass das nichtlineare Kontaktproblem iterativ gelöst wird.
    14. Verfahren nach Anspruch 11 oder 12, dadurch gekennzeichnet, dass das nichtlineare Kontaktproblem durch Linearisierung in ein lineares Gleichungssystem umgewandelt wird und iterativ gelöst wird.
    15. Verfahren nach einem der Ansprüche 11 bis 14, dadurch gekennzeichnet, dass beim Kalibrieren eines Walzgerüstes (1) die Walzendeformationen einer Anzahl w Walzen des Walzgerüstes (1) aus den sich ergebenden w-1 gekoppelten Kontaktproblemen berechnet werden.
    16. Verfahren nach Anspruch 15, dadurch gekennzeichnet, dass eine Korrektur zur Bandaustrittsdicke zumindest eines Walzgerüstes (1) aus der Differenz der Walzendeformation beim Kalibrieren und/oder beim herkömmlichen Walzvorgang in Echtzeit berechnet wird und die Bandaustrittsdicke in Echtzeit bei Bedarf durch Verändern von Stellgrößen, wie beispielsweise die Walzenanstellung, korrigiert wird.
    17. Verfahren nach Anspruch 15 oder 16, dadurch gekennzeichnet, dass aus dem Vergleich der Berechnungen beim Kalibrieren und beim herkömmlichen Walzvorgang die gemessene Gerüstauffederungskennlinie im Arbeitspunkt korrigiert wird.
    18. Anwendung des Verfahrens nach den Ansprüchen 1 bis 17 in einer Regelung einer Walzstraße mit zumindest einem Walzgerüst, dadurch gekennzeichnet, dass die Walzspaltkontur eines Walzgerüstes (1) in Echtzeit berechnet wird, mit einem vorgegebenen Wert verglichen wird und außerhalb der vorgegebenen Toleranz liegende Abweichungen der Walzspaltkontur in Echtzeit durch Verändern von Stellgrößen, wie beispielsweise der Biegekraft und/oder der Arbeitswalzenverschiebung, korrigiert werden.
    19. Regelung nach Anspruch 18, dadurch gekennzeichnet, dass die Bandaustrittsdicke eines Walzgerüstes (1) in Echtzeit berechnet wird und die Bandaustrittsdicke in Echtzeit durch Verändern von Stellgrößen, wie beispielsweise die Walzenanstellung, korrigiert wird.
    20. Regelung nach Anspruch 18 oder 19, dadurch gekennzeichnet, dass aus dem Vergleich der Berechnungen beim Kalibrieren und beim herkömmlichen Walzvorgang die gemessene Gerüstauffederungskennlinie im Arbeitspunkt korrigiert wird.
    21. Vorrichtung zur Berechnung der Walzspaltkontur in einem Walzgerüst, bestehend aus zumindest zwei Arbeitswalzen, dadurch gekennzeichnet, dass die Walzspaltkontur in einer Berechnungseinheit online aus den Ergebnissen einer vorab durchgeführten Vorab-Berechnung und einer online durchgeführten Online-Berechnung berechenbar ist.
    22. Vorrichtung nach Anspruch 21, dadurch gekennzeichnet, dass Eingangsgrößen für die Berechnung der Walzspaltkontur, wie beispielsweise, Walzenschliff, Walzenverschleiß, Walzenverschiebungen, Kräfte, etc., messbar und/oder aus geeigneten Modellen berechenbar sind und in der Berechnungseinheit verarbeitbar sind.
    23. Vorrichtung nach Anspruch 21 oder 22, dadurch gekennzeichnet, dass die Walzendeformation beim Kalibrieren eines Walzgerüstes und/oder während des Walzvorganges in der Berechnungseinheit in Echtzeit berechenbar ist und die Bandaustrittsdicke in Echtzeit bei Bedarf durch Verändern von Stellgrößen, wie beispielsweise die Walzenanstellung, korrigierbar ist.
    24. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 21 bis 23, dadurch gekennzeichnet, dass die gemessene Gerüstauffederungskennlinie im Arbeitspunkt durch einen Vergleich der Berechnungen beim Kalibrieren und beim herkömmlichen Walzvorgang korrigierbar ist.
    25. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 21 bis 24, dadurch gekennzeichnet, dass die Berechnungseinheit ein Computer ist.
    26. Vorrichtung nach Anspruch 25, dadurch gekennzeichnet, dass die Berechnung der Walzspaltkontur und/oder Walzendeformation als Computerprogramm am Computer implementiert ist.
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