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Die
Erfindung bezieht sich auf eine Vorrichtung zur Analyse von Materialien
mittels Röntgen-Fluoreszenz,
umfassend: einen Probenhalter zum Aufnehmen einer zu analysierenden
Materialprobe, eine Röntgenstrahlungsquelle
zur Bestrahlung des Probenhalters mittels Röntgenstrahlen, einen Analysekristall,
der eine gekrümmte
reflektierende Oberfläche
zur Wellenlängenanalyse
von Fluoreszenzstrahlung, die von der Probe erzeugt wird, aufweist
und einen Detektor zur Detektion der vom Analysekristall ausgehenden
Strahlung. Die Erfindung bezieht sich auch auf einen Analysekristall
zur Verwendung in einem derartigen Röntgenspektrometer.
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Eine
derartige Vorrichtung ist bekannt aus „Principles and Practice of
X-Ray Spectrometric Analysis",
2. Edition von Eugene P. Bertin, Plenum Press, New York – London
(ISBN 0-306-30809-06), Kapitel 5.5, insbesondere Kapitel 5.5.3.1–5.5.3.3.
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Allgemein
ausgedrückt
werden in einem Röntgenspektrometer
Röntgenstrahlen
(Fluoreszenzstrahlung) in einer zu analysierenden Probe erzeugt;
diese Strahlung ist für
die in der Probe vorhandenen Elemente und chemischen Verbindungen
charakteristisch. Die Fluoreszenzstrahlung kann in der Probe durch
Röntgenstrahlen
einer Röntgenstrahlungsquelle,
die üblicherweise
eine Röntgenröhre ist, angeregt
werden. Die in der Probe angeregte Fluoreszenzstrahlung weist ein
mehr oder weniger breites Wellenlängenspektrum auf, das im Spektrum
mit einer gegebenen Intensitätsverteilung
vorkommt, die für
die Probenzusammensetzung charakteristisch ist.
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Es
kann vorkommen, dass der Anwender eines Röntgenspektrometers nur an der
Intensität
einer Wellenlänge
interessiert ist, das heißt
einer „Spektrallinie" oder an einer Anzahl
von Wellenlängen,
die nah beieinander liegen. Diese Situation tritt dann auf, wenn
der Gehalt eines gegebenen chemischen Elements in der zu analysierenden
Probe bestimmt wird.
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Da
die Intensität
der Fluoreszenzstrahlung für
eine oder für
einige nah beieinander liegende Wellenlängen aufgefunden werden soll,
muss die Fluoreszenzstrahlung entsprechend der Wellenlänge analysiert
werden, das heißt,
die Intensitätsanalyse. Dies
kann durch Einleiten von Fluoreszenzstrahlung in einen Analysekristall
erreicht werden. Diese Analyse basiert auf der bekannten Bragg Gleichung: 2d·sinν = nλwobei
d der Abstand zwischen den Röntgenstrahlen reflektierenden
Kristallflächen
im Analysekristall und ν der
Auftreff- oder Einfallwinkel der zu analysierenden Strahlung auf
den Analysekristall ist, λ ist
die Wellenlänge
der reflektierten Strahlung und n ist eine ganze Zahl. Eine Messung
der Intensität
der Strahlung, die mit einem gegebenen Winkel ν in Bezug zu den Gitterebenen
des Analysekristalls auftrifft oder einfällt und mit dem gleichen Winkel
wieder reflektiert wird, ergibt somit die Wellenlänge, die
diese Intensität
aufweist. Die Intensität
der relevanten Wellenlänge
kann dann mittels eines üblichen
Detektors gemessen werden.
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Es
wird darauf hingewiesen, dass in diesem Kontext der Begriff Analysekristall
nicht nur als realer Kristall zu verstehen ist, sondern auch als
ein als solcher bekannter Mehrebenen- oder Multilayerspiegel für Röntgenstrahlung.
Derartige Spiegel bestehen aus einem Stapel von verschiedenen Schichten
von vergleichsweise geringer Dicke, z. B. 2 nm. Ein derartiger Spiegel
ermöglicht
ebenso die Messung von langwelligen Röntgenstrahlen im Gegensatz zu
natürlichen
Kristallen, die praktisch immer eine Gitterkonstante aufweisen und
dadurch einen zugehörigen Abstand
der reflektierenden Kristallflächen,
der zur Reflektion von derartig langwelligen Röntgenstrahlen zu klein ist.
Diese Begrenzung der zu reflektierenden Wellenlänge ergibt sich auch aus der
oben erwähnten
Bragg Gleichung.
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Um
eine geeignete Auflösung
und Empfindlichkeit und dadurch eine geeignete Messgenauigkeit zu
erreichen, wird ein Röntgenspektrometer
mit einem so genannten fokussierenden optischen System angegeben,
was in diesem Kontext bedeutet, dass die Quelle der zu analysierenden
Strahlung (das heißt,
der zu prüfenden
Probe oder der Eintrittsspalt der in dem Strahlenpfad davor angeordnet
ist) auf einem Röntgendetektor
(oder Austrittsspalt, der in dem davor angeordneten Strahlenpfad
angeordnet ist) mittels eines Analysekristalls abgebildet wird.
Dieser Abbildungseffekt wird dadurch erhalten, das der Analysekristall
so aufgebaut ist, das er eine gekrümmte Oberfläche aufweist, sodass der Analysekristall
nicht nur eine analysierende Funktion sondern auch eine Abbildungsfunktion
aufweist. Um sicherzustellen, dass die Fokussierungsbedingungen
immer noch erreicht werden, sollten die Probe (oder der Eintrittsspalt)
als auch der Analysekristall und der Detektor (oder der Austrittsspalt)
auf einem gegebenen Kreis, dem so genannten Rowlandkreis, verbleibend
angeordnet sein, wobei während
des aufeinanderfolgenden Durchlaufens von allen Werten von ν der Durchmesser
des Rowlandkreises mittels des Krümmungsradius des Analysekristalls
bestimmt wird. Die Krümmung
des Analysekristalls wird dann durch die Regel bestimmt, dass der
Krümmungsradius
in dem Bereich des tangentialen Berührungspunkts des Analysekristalls
zum Rowlandkreis gleich dem Durchmesser dieses Kreises sein muss.
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Das
zitierte Buch von Bertin beschreibt Analysekristalle mit verschiedenen
Formen und Krümmungen,
einschließlich
eines üblichen
Analysekristalls in der Form einer Log-Spirale. Derartige Log-Spiral-Analysekristalle
weisen eine Anzahl von Vor- und Nachteilen auf. Ein Vorteil der
Log-Spiral- Analysekristalle
besteht darin, dass bei derartigen Analysekristallen die Bragg Gleichung über die
gesamte Oberfläche
des Analysekristalls erfüllt
ist, wenn dieser einem nichtparallelem Strahl ausgesetzt ist, das
heißt
einem Strahl, der von einem Punkt stammt oder zu stammen scheint,
wie in dem Fall in der obigen Rowlandkonfiguration. Das bedeutet, dass
die gesamte Kristalloberfläche
zur Intensität
der zu analysierenden Röntgenstrahlung
beiträgt,
sodass ein hohes Signalrauschverhältnis für die Messung erhalten wird.
Darüber
hinaus weist diese Art eines Analysekristalls eine geeignete Wellenlängenselektivität auf, da
jedes Oberflächenelement
im Prinzip mit demselben exakten Bragg-Winkel bestrahlt wird.
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Nachteile
eines Log-Spiral-Analysekristalls sind:
- 1)
Da der Krümmungsradius
derartiger Analysekristalle nicht über die gesamte Kristalloberfläche konstant
ist, gibt es Stellen mit einem Krümmungsradius, der deutlich
kleiner als der vorgeschriebene Krümmungsradius der Rowlandgeometrie
ist. Deshalb erweist es sich oft als schwierig, einen Kristall mit
adäquaten
Abmessungen herzustellen, da der Krümmungsradius dann so klein
wird, dass der Kristall (der im nicht gebogenen Zustand eine rechteckige
dünne Plattenform aufweist)
während
des Biegens, um eine gewünschte
Log-Spiralform zu erhalten, zerbricht.
- 2) Log-Spiralkristalle bilden einen Punkt der Quelle der zu
analysierenden Strahlung (das heißt, der zu überprüfenden Probe oder eines in
dem Strahlenpfad davor liegenden Eintrittsspalts) auf dem Röntgendetektor
(oder einem Austrittsspalt, der in dem Strahlenpfad davor angeordnet
ist) mit einem Abbildungsfehler ab, der größer als der von Analysekristallen
mit den gleichen Abmessungen und einem konstanten Krümmungsradius
ist. Konsequenterweise wird der Eintrittsspalt mit einer Breite
abgebildet, die (signifikant) größer als
seine wirkliche Breite ist. Darum muss der Austrittsspalt breiter
als der Wert entsprechend der Breite des Eintrittsspaltes sein,
sodass (signifikant) mehr Hintergrundstrahlung von dem Detektor
abgefangen wird, wodurch das Signalrauschverhältnis der Messung verschlechtert
wird.
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Ein
Röntgenspektrometer
versucht eine hohe Wellenlängenauflösung als
auch eine hohe Strahlungsintensität in dem Detektor zu erzielen. Eine
hohe Auflösung
ergibt einen hohen Grad an Zuverlässigkeit bezüglich der
Zusammensetzung der zu untersuchenden Probe. Eine hohe Strahlungsintensität im Detektor
stellt sicher, dass die zur Bestimmung der Probenzusammensetzung
erforderlichen Messzeiten kurz sind. Dies ist in der Praxis sehr
wichtig, da für
einige Proben die Messzeit in dem Größenbereich von einer halben
Stunde liegt. Die Anzahl von Proben, die in einer Zeiteinheit überprüft werden
können, bildet
insbesondere in einer industriellen Umgebung einen wichtigen Aspekt.
Die zwei obigen Anforderungen sind in gewissem Sinne gegensätzlich,
da in dem Fall einer geeigneten Auflösung nur ein kleiner Teil der
Strahlung detektiert wird, sodass nur eine geringe Intensität verbleibt.
Somit ist es sehr wichtig sicherzustellen, dass die Strahlungsverluste
der Probe auf ihrem Weg von dem Eintrittsschlitz zum Detektor minimiert
werden. Dies wird dadurch erreicht, dass sichergestellt wird, dass
so viel Strahlung wie möglich auf
den Analysekristall auftritt und somit zur gewünschten hohen Intensität beiträgt.
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Es
ist eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, eine Vorrichtung der
oben genannten Art zur Überprüfung von
Materialien mittels Röntgenfluoreszenz
anzugeben, in der die von einem Analysekristall reflektierte Strahlungsmenge
optimiert ist.
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Um
dies zu erreichen, ist die Röntgenfluoreszenzvorrichtung
gemäß der vorliegenden
Erfindung dadurch gekennzeichnet, dass der Analysekristall zwei
Teile umfasst, ein erster Teil weist eine reflektierende Oberfläche auf,
die in eine Richtung mit einem Krümmungsradius gekrümmt ist,
der von der Stelle oder Position an dem Kristall abhängig ist,
der andere Teil weist eine reflek tierende Oberfläche auf, die mit einem konstanten
Krümmungsradius
in dieselbe Richtung gekrümmt
ist.
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Für den ersten
Teil des Analysekristalls kann eine ausgestreckte dünne Platte
eines Kristallmaterials verwendet werden, die in einer Ebene gebogen ist,
das heißt
eine Ebene wird senkrecht zur Oberfläche der Kristallebene abgebildet,
wobei die Schnittlinie dieser imaginären Ebene und der Kristalloberfläche in Längsrichtung
der ausgestreckten Kristallplatte angeordnet sind. Die Kristallplatte
wird dann derart gebogen, dass die (anfänglich gerade) Schnittlinie
zu einer gekrümmten
Linie wird. Gerade Linien in der Kristalloberfläche, die sich senkrecht zu
der Schnittlinie erstrecken, bleiben dann gerade Linien. Somit erhält man eine
reflektierende Oberfläche,
die in einer Ebene mit einem Krümmungsradius
gekrümmt
ist, der, wenn die Schnittlinie nicht gebogen ist, um einen Kreis
zu formen, nicht konstant ist und somit von der Position an dem
Kristall abhängig
ist. Wenn aus einigen Gründen
die Entscheidung zugunsten einer Kristalloberfläche mit einem nicht konstanten
Krümmungsradius
getroffen wird, tritt die Situation auf, bei der Teile der Oberfläche notwendigerweise
einen Krümmungsradius
aufweisen, der kleiner ist als der von anderen Teilen, insbesondere
kleiner als der Krümmungsradius
der vorgeschriebenen Rowlandgeometrie.
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Da
es das Ziel ist, eine hohe Strahlungsintensität in dem Detektor zu erhalten,
wird es versucht, den Analysekristall so nah wie möglich zum Eintrittsspalt
anzuordnen, was bedeutet, dass eine Geometrie mit einem so klein
wie möglichen
Rowlandkreis bevorzugt wird. Konsequenterweise muss der Analysekristall
auch einen kleinen Krümmungsradius
aufweisen, was zu einer Fraktur der Kristallplatte während ihrer
Deformation zur Erreichung des gewünschten Krümmungsgrads führen kann.
Der erste Teil des Analysekristalls kann nun so lang ausgewählt werden,
dass der Krümmungsradius
bei dem die Fraktur der Kristallplatte auftreten würde, gerade nicht
erreicht wird. Um trotzdem eine größtmögliche Kristalloberfläche zu erhalten,
kann der Analy sekristall mit einem Teil mit einem konstanten Krümmungsradius
fortgesetzt werden.
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Für diesen
anderen Teil des Analysekristalls kann dasselbe ausgestreckte dünne Kristallmaterial, das
ebenso in der Ebene gebogen ist, verwendet werden. Wenn die Schnittlinie
für diesen
Teil so gebogen ist, als ob sie einen Kreis bilden würde, wird
der dazugehörige
Krümmungsradius
in dieser Ebene konstant sein.
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Ein
Teil des Kristalls mit einem konstanten Krümmungsradius weist Winkelabweichungen
auf (das heißt
Abweichungen des Einfallwinkels, die auftreten, da die an den Rändern des
Kristalls einfallenden Strahlen mit einem Winkel einfallen, der
größer ist
als der Winkel der Strahlen, die in der Mitte auftreffen oder einfallen),
jedoch können
diese Winkelabweichungen ignoriert werden, vorausgesetzt dass sie kleiner
als ein vorbestimmter (nicht sehr niedriger) Grenzwert im Vergleich
zu anderen größeren Abweichungen
sind. Derartige größere Abweichungen
treten insbesondere auf, wenn oben erwähnte Multilayerspiegel für den Analysekristall
ausgewählt
werden. Es ist eine bekannte Eigenschaft von derartigen Multilayerspiegeln,
dass die gemäß der Bragg
Gleichung reflektierte Wellenlänge
keine genau definierte Wellenlänge
ist und dass ein vergleichsweise breiter Bereich (im Vergleich zu
natürlichen
Kristallen) um diese Wellenlänge
herum, auch reflektiert wird (mit einer Breite, die einem Winkelbereich
von etwa 2° entspricht).
Dieser Bereich ist als Schwenkbreite („rocking width") des Kristalls bekannt.
Wenn also ein Multilayerspiegel für den Teil mit einem nicht
konstanten Krümmungsradius
verwendet wird, zeigt dieser Teil somit schon eine gegebene Spannweite
in der zu reflektierenden Wellenlänge, deren Phänomen denselben
Effekt wie die zuvor erwähnte
Winkelabweichung aufweist. Somit kann, wenn sichergestellt ist, dass
die vom Teil mit dem konstanten Krümmungsradius verursachte Winkelabweichung
vernachlässigbar
klein im Vergleich zur Schwenkbreite („rocking width") des gesamten Kristalls
ist, ein Gewinn daraus in Bezug auf die Abmessungen des Kristalls
gezogen werden, ohne einen Anstieg für eine vergrößerte Winkelabweichung
zu geben. Die vorliegende Erfindung basiert auf der Erkenntnis dieses
Fakts.
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In
einem Ausführungsbeispiel
weist der erste Teil der Erfindung eine reflektierende Oberfläche auf, die
in Form einer logarithmischen Spirale gekrümmt ist.
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Als
ein Ergebnis dieses Schritts wird die Eigenschaft von Kristallen
in Form einer logarithmischen Spirale optimal verwendet, da die
Winkelabweichung für
alle praktische Zwecke gleich null gesetzt werden kann, sodass der
Beitrag der Winkelabweichung von diesem Teil des Kristalls so klein
wie möglich
ist und unter praktischen Umständen
ausschließlich
von der Schwenkbreite („rocking
width") des Kristallmaterials
bestimmt wird.
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In
einem weiteren Ausführungsbeispiel
der vorliegenden Erfindung ist an beiden Enden des ersten Teils
ein Teil mit einer reflektierenden Oberfläche angeordnet, die mit einem
konstanten Krümmungsradius
gekrümmt
ist.
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Obwohl
das Risiko einer Fraktur oder eines Zerbrechens aufgrund eines kleinen
Krümmungsradius
an der am wenigstens gekrümmten
Seite des Teils mit dem nicht konstanten Krümmungsradius praktisch nicht
besteht, kann an dieser Seite auch ein zylindrischer Teil angeordnet
werden. Die Herstellung wird somit in einigen Fällen vereinfacht.
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Die
Erfindung wird im Folgenden detailliert mit Bezug auf die Figuren
beschrieben, in denen Bezugszeichen entsprechende Elemente bezeichnen, es
zeigen:
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1 einen Teilschnitt eines
Teils des Röntgenspektrometers
gemäß der vorliegenden
Erfindung;
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2 eine Darstellung, die
den Strahlenpfad in einer Rowlandgeometrie zeigt;
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3 schematisch, einen gekrümmten Analysekristall
entsprechend der Erfindung.
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1 zeigt einen Teil eines
Röntgenspektrometers,
der für
die Erfindung relevant ist. Das Röntgenspektrometer umfasst eine
Röntgenröhre 2 zur Erzeugung
eines Röntgenstrahls 10.
Der Röntgenstrahl 10 durchleuchtet
eine Probe 4 eines mittels des Röntgenspektrometers zu analysierenden
Materials; die Probe 4 ist auf einem Probenhalter 6 zur
Aufnahme der Probe 4 angeordnet. Für die vorliegende Erfindung
ist es nicht zwingend notwendig, dass die Röntgenfluoreszenzstrahlung in
der Probe 4 mittels Röntgenstrahlen
erzeugt wird, die von der Röntgenröhre 2 ausgehen;
es ist auch möglich,
die Probe mittels, z. B. Elektronen zu bestrahlen, wodurch in der Probe
Röntgenstrahlen
erzeugt werden.
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Die
Probe 4 ist in einem Probenhalter 6 in einer separaten
Probenkammer 8 angeordnet. In der Probe 4 wird
Röntgenfluoreszenzstrahlung
erzeugt, die sich in alle Richtungen verbreitet, wie durch die durchgehenden
Linien in der 1 dargestellt.
Die Fluoreszenzstrahlung erreicht einen Eintrittsspalt 14, sodass
dieser Eintrittsspalt 14 die Funktion eines Objekts 16 erfüllt, dass
in der Rowlandgeometrie, die in 2 beschrieben
wird, abgebildet wird. Aufgrund der Klarheit ist die Breite des
Spalts 14 nicht maßstabsgetreu
in der Figur dargestellt, wobei die Breite des Spalts 14 in
der praktischen Anwendung in der Größenordnung von einigen 10 μm – bis einigen
mm liegt, abhängig
von der Anwendung. Nachdem die Strahlung den Eintrittsspalt 14 verlassen
hat, trifft der Strahl der Fluoreszenzstrahlung 18 auf
einen Analysekristall 28 mit einer gekrümmten reflektierenden Oberfläche 29.
Die Form der Oberfläche
wird in 3 detailliert
beschrieben. An diesem Punkt wird nur darauf hingewiesen, dass die
Oberfläche 29 des Analysekristalls 28 eine
zylindrische Form hat, das heißt,
die Schnittlinie der Kristalloberfläche mit der Zeichnungsebene
ist eine gekrümmte
Linie (d. h. die Linie 29 in der 1), jedoch ist die Schnittlinie der Kristalloberfläche mit
einer Ebene senkrecht zur Zeichnungsebene eine gerade Linie (z.
B. die Ebene senkrecht zur Zeichnungsebene und auch senkrecht zur
Linie 29). In dieser Anordnung weist der Analysekristall 28 eine
Doppelfunktion auf: Er selektiert die gewünschte Wellenlänge, die
durch den Einfallwinkel ν von
dem Fluoreszenzstrahlungsstrahl auf Basis der Bragg Gleichung (2dsinν = nλ) bestimmt
ist und er fokussiert den Strahl, der von dem augenscheinlichen Objektpunkt 16 ausgeht
in den Bildpunkt 24. Der Bildpunkt 24 wird auf
einem Austrittsspalt 26 abgebildet, der den Eingangskollimator
oder die Eingangsblende für
einen Röntgendetektor 20 bildet.
Die so reflektierten Röntgenstrahlen
fallen über
ein Eingangsfenster 22 in den Detektor 20 ein
oder treffen auf diesen auf und werden dort detektiert, wobei nachfolgend
weitere Signalverarbeitungen mittels elektronischer Einrichtungen
(nicht dargestellt) stattfinden.
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Der
Analysekristall 28 ist an einem Halter befestigt, der in
der Figur nicht dargestellt ist und der in zwei Richtungen in der
Zeichnungsebene verschiebbar ist (durch die Pfeile 30 dargestellt)
und auch drehbar um die Achse 32 gelagert ist, die sich
senkrecht zur Zeichnungsebene erstreckt. Aufgrund dieser Verschiebemöglichkeiten
kann der Analysekristall so eingestellt werden, dass er eine genau
definierte Orientierung und Position aufweist.
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Der
Strahlenpfad von der Röntgenröhre 2 zum
Detektor 20 erstreckt sich in einem Messraum, der hermetisch
abgedichtet und, falls erforderlich, evakuiert ist oder mit einem
für Messungen
geeigneten Gas gefüllt
ist.
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2 zeigt ein Diagramm, das
den Strahlenpfad in einer Rowlandgeometrie darstellt. Der Eintrittsspalt 14 erfüllt die
Funktion eines abzubildenden Objekts 16 für die abbildende
Rowlandgeometrie. Das Objekt 16 ist darin auf dem Rowlandkreis 34 angeordnet,
der einen Mittelpunkt M aufweist. Der Analysekristall 28 ist
so angeordnet, dass seine Oberfläche 29 den
Kreis 34 in einem Berührungspunkt 31 tangiert.
Der Austrittsspalt 24 ist auch an dem Kreis 34 angeordnet.
Der Eintrittsspalt 14 und der Austrittsspalt 24 sind
symmetrisch in Bezug auf den Berührungspunkt 31 angeordnet.
Die vom Objekt 16 ausgehenden Strahlen treffen auf den
Analysekristall 28 auf. Ein zentraler Strahl des Strahlenbündels 36 fällt mit
einem Winkel ν ein.
Wenn für
die Kristalloberfläche 29 eine
Kreisform gewählt
ist, umfassen die Röntgenstrahlen
des Strahls 36 einen Winkel ν + Δν in Bezug auf die Kristalloberfläche, wobei Δν die Winkelabweichung
ist. Der Radius des Kreises, der die Kristalloberfläche bildet,
ist dann, konform zur Rowlandgeometrie, gleich dem Durchmesser des
Rowlandkreises 34. Der Punkt A gegenüber dem Berührungspunkt 31 des
Kreises 34 bildet somit den Mittelpunkt der Kristalloberfläche 29.
Die Winkelabweichung ist jedoch gleich null, wenn für die Kristalloberfläche 29 die
Form einer logarithmischen Spirale gewählt ist. Nach der Reflektion
an der Kristalloberfläche 29 wird
der reflektierte Strahl 38 in dem Bildpunkt 24 fokussiert,
der auch auf dem Kreis 34 angeordnet ist und trifft dann
auf den Austrittsspalt 24.
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3 zeigt schematisch die
gekrümmte Oberfläche 29 des
Analysekristalls 28 gemäß der Erfindung.
Ein derartiger Kristall kann durch Formen einer Platte aus einem
gewünschten
Kristallmaterial (in dem Fall eines natürlichen Kristalls) oder aus
einem Multilayerspiegel hergestellt werden. Es wird eine Form mit
einer inneren Oberfläche
hergestellt, die die gewünschte
gekrümmte
Form aufweist, die von der Kristalloberfläche angenommen werden soll.
Die Form der inneren Oberfläche
kann mittels verschiedener bekannter Herstellungstechniken realisiert werden,
beispielsweise Fräsen
mittels einer numerisch gesteuerten Fräsmaschine. Somit kann jede gewünschte Form
geeignet angenähert
werden. Nachfolgend wird die Platte des Kristallmaterials gegen
die gekrümmte
innere Oberfläche
der Form gepresst, sodass die Platte elastisch deformiert wird und
die Form der inneren Oberfläche
annimmt. Der Kristall wird in diesem Zustand in seiner Position
gehalten, beispielsweise durch Kleben.
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Die
Oberfläche 29 kann
in drei Teile unterteilt werden: Ein erster Teil 40 ist
mit einem Krümmungsradius
gekrümmt,
der von der Stelle oder Position des Kristalls abhängig ist,
das heißt
in Form einer logarithmischen Spirale; ein zweiter Teil 42 ist
mit einem konstanten Krümmungsradius 44 gekrümmt, als eine
kreisförmige
Form; und ein dritter Teil 46 ist mit einem konstanten
Krümmungsradius 48 gekrümmt, wiederum
in einer kreisförmigen
Form. Die gepunktete Linie 50 deutet die Fortsetzung der
logarithmischen Spirale an, es ist deutlich dargestellt, dass sich der
Krümmungsradius
dieses Teils 50 kontinuierlich entlang dieser Linie verringert,
das heißt,
dass er eine sich vergrößernde Krümmung aufweist.
Diese sich vergrößernde Krümmung wird
durch das Bereitstellen des kreisförmigen Teils 42 vermieden.
Es wird erkannt, dass 3 wegen
der Übersichtlichkeit
nur eine schematische Darstellung der Realität angibt; unter praktischen
Umständen
sind die Krümmungen der
Oberflächen 40, 42 und 46 deutlich
geringer.