DE69625304T2

DE69625304T2 - Farbtrennungsverfahren

Info

Publication number: DE69625304T2
Application number: DE69625304T
Authority: DE
Inventors: Marc Mahy
Original assignee: Agfa Gevaert NV
Current assignee: Agfa NV
Priority date: 1995-09-15
Filing date: 1996-08-29
Publication date: 2003-10-02
Anticipated expiration: 2016-08-30
Also published as: JP3174509B2; DE69625304D1; DE69615775D1; DE69615775T2; JPH09139851A; US5878195A

Description

Erfindungsgebiet

Die vorliegende Erfindung betrifft Einrichtungen und Verfahren für die Bildwiedergabe mit Hilfe von Farbreproduktionseinrichtungen.

Allgemeiner Stand der Technik

Die unabhängigen Werte, mit denen die Farbeinrichtung adressiert werden kann, werden als Farbstoffe bzw. Druckfarben bezeichnet. Zur Verallgemeinerung können die Werte für diese Farbstoffe immer so skaliert werden, daß sie im Bereich von 0 bis 100% liegen. Eine Farbreproduktionseinrichtung mit n Farbstoffen wird ein Drucker beziehungsweise ein n-Druckfarben-Prozeß genannt.
Unter Farbstoffraum wird ein n-dimensionaler Raum verstanden, wobei n die Anzahl unabhängiger Variablen ist, mit denen der Drucker adressiert werden kann. Im Fall einer Offsetdruckmaschine beispielsweise entspricht die Dimension des Raums der Anzahl von Druckfarben des Druckers.
Unter Farbraum wird ein Raum verstanden, der eine Anzahl von größen eines Objekts darstellt, die seine Farbe kennzeichnen. In der Praxis werden Farben in den meisten Situationen in einem dreidimensionalen Raum wie etwa dem CIE-XYZ-Raum dargestellt. Es können aber auch andere Charakteristiken verwendet werden, wie etwa multispektrale Werte, die auf Filtern basieren, die nicht unbedingt auf einer linearen Transformation der Farbanpassungsfunktionen basieren, um Farbe darzustellen. Ein typisches Beispiel ist ein n-dimensionaler Raum, dessen Achsen Dichten, entsprechen.
Als Farbstoffumfang oder Farbstoffdomäne wird das begrenzte Gebiet im Farbstoffraum von Farbstoffkombinationen bezeichnet, die sich durch einen, gegebenen Drucker physisch realisieren lassen, wobei mögliche zusätzliche Begrenzungen hinsichtlich der Farbstoffkombinationen berücksichtigt werden. Bei der vorliegenden Erfindung wird angenommen, daß die Farbstoffbegrenzungen bevorzugt durch mathematische Formeln spezifiziert werden können, die die Grenzen des gewünschten Farbstoffumfangs beschreiben.
Der Farbstoffumfang einer cmyk-Offsetdruckmaschine beispielsweise ist oftmals durch eine lineare Bedingung begrenzt, die die Summe der vier Farbstoffe (beispielsweise auf 340%) begrenzt.
Ein Druckermodell ist eine mathematische Beziehung, die Farbwerte als Funktion der Farbstoffe für einen gegebenen Drucker ausdrückt. Die Variablen der Farbstoffe sind mit C&sub1;, C&sub2;, ..., Cn bezeichnet, wobei n die Dimension des Farbstoffraums ist.
Ein Drucker oder n-Druckfarben-Prozeß wird vollständig durch seinen Farbstoffumfang mit einer Reihe von Farbstoffbegrenzungen und das Druckermodell gekennzeichnet. Unter Invertieren des Druckers oder des n-Druckfarben-Prozesses wird verstanden, daß das Druckermodell invertiert ist. Falls ein n-Druckfarben-Prozeß mit Farbstoffbegrenzungen in der Farbstoffdomäne angegeben ist und falls ein m-Druckfarben- Prozeß aus diesem n-Druckfarben-Prozeß dadurch abgeleitet wird, daß n-m Farbstoffe auf konstante Werte in dem Druckermodell des n-Druckfarben-Prozesses gesetzt werden, dann erbt dieser m-Druckfarben-Prozeß die Farbstoffbegrenzungen, falls der Farbstoffumfang des m-Druckfarben-Prozesses, durch Farbstoffbegrenzungen eingeschränkt ist, die dadurch erhalten werden, daß die n-m Farbstoffe bei den Farbstoffbegrenzungen des Farbstoffumfangs des n- Druckfarben-Prozesses auf ihre konstanten Werte gesetzt werden.
Einen m-Druckfarben-Prozeß aus einem n-Druckfarben- Prozeß bei m < n zu extrahieren, bedeutet, daß n-m der n Farbstoffe in dem Druckermodell durch einen konstanten Wert ersetzt werden. Die Farbstoffe eines derartigen m-Druckfarben-Prozesses variieren zwischen dem Mindestwert und dem Höchstwert, den sie entsprechend dem Farbstoffumfang des n- Druckfarben-Prozesses haben können, und der m-Druckfarben- Prozeß erbt nicht die Farbstoffbegrenzungen. Der m-Druckfarben-Prozeß wird als der extrahierte m-Druckfarben-Prozeß des n-Druckfarben-Prozesses bezeichnet.
Falls aus einem n-Druckfarben-Prozeß ein m-Druckfarben- Prozeß extrahiert wird und die n-m der n Farbstoffe in dem Druckermodell des n-Druckfarben-Prozesses durch ihren Mindest- oder Höchstwert wie durch den Farbstoffumfang des n-Druckfarben-Prozesses definiert ersetzt werden, wird der m-Druckfarben-Prozeß ein extrahierter m-Druckfarben-Grenzprozeß des n-Druckfarben-Prozesses bezeichnet. Im allgemeinen existieren
extrahierte m-Druckfarben-Grenzprozesse eines n-Druckfarben- Prozesses. Die Farbstoffe in dem Farbstoffumfang eines extrahierten m-Druckfarben-Grenzprozesses variieren zwischen dem Mindestwert und dem Höchstwert, den sie gemäß dem Farbstoffumfang des n-Druckfarben-Prozesses haben können, und die Farbstoffbegrenzungen werden von dem m-Druckfarben- Prozeß nicht geerbt.
Unter Farbumfang wird ein begrenztes Gebiet im Farbraum bezeichnet, das Farben enthält, die sich mit einem gegebenen Drucker physisch realisieren lassen, wobei mögliche zusätzliche Farbstoffbegrenzungen berücksichtigt werden. Typische Einrichtungen sind dabei Offsetdruckmaschinen oder Tiefdruckmaschinen, thermische Farbstoffsublimationsprozesse, thermische Wachsübertragungsprozesse, elektrophotographische Prozesse und viele andere Prozesse. Die Erfindung kann dennoch auch auf andere Farbreproduktionseinrichtungen, wie etwa Farbdisplays, Farbphotographie- oder Filmaufzeichnungsgeräte, angewendet worden.
Ein typischer Drucker ist in der Lage, verschiedene Mengen der Farbstoffe Cyan, Magenta und Gelb abzuscheiden. Diese verschiedenen Mengen können durch Verändern der Konzentration des Farbstoffs, der auf dem Substrat abgeschieden wird, oder mit. Hilfe einer der Rasterungstechniken moduliert werden, über die eine Zusammenfassung in dem Artikel von J. C. Stoffel und J. F. Moreland "A survey of Electronic Techniques for Pictorial Reproduction", IEEE Transactions on Communications, Band COM-29, Nr. 12, Dez. 1981 zu finden ist. Weitere und aktualisierte Informationen über die Rasterung kann man in der Patentliteratur finden, und eine Liste empfohlener Patente ist in dem Artikel von Peter R. Jones, "Evolution of halftoning technology in the United States patent literature", Journal of Electronic Imaging 3(3), 257-275, Juli 1994 veröffentlicht.
Die Berechnung der korrekten Mengen an Farbstoff für die Wiedergabe von Farbbildern auf einem Drucker wird als das Farbauszugsproblem bezeichnet. Die meisten der in der Technik bekannten Farbauszugsstrategien umfassen die folgenden Schritte:
In einem ersten Schritt wird die Beziehung zwischen den Mengen an Farbstoffen und den resultierenden Farben auf einem Drucker gekennzeichnet. Dies geschieht, indem zuerst ein Satz von Farbstoffkombinationen gedruckt wird, der den dynamischen Bereich des Druckers überspannt, und die resultierenden Farben gemessen werden. Ein Beispiel eines derartigen Satzes ist die Form ANSI IT8.7/3.
In einem zweiten Schritt wird diese Beziehung mathematisch modelliert, um das Druckermodell zu erhalten. Das Druckermodell besteht aus einer bestimmten Form eines analytischen Ausdruckes, der für eine gegebene Kombination von Farbstoffmengen eine Farbe vorhersagt. Ein wohlbekanntes mathematisches Modellist der Satz der "Neugebauer- Gleichungen".
In einem dritten Schritt wird das Druckermodell invertiert. Dies ist erforderlich, da es bei dem Farbauszugsproblem darum geht, einen Satz von Farbstoffen zu finden, der eine gegebene Farbe wiedergibt, und nicht umgekehrt. Eine Modellinversion geschieht üblicherweise mit Hilfe einer bestimmten iterativen Suchstrategie, wie etwa der Newton- Raphson-Iteration.
Eine Schwierigkeit besteht darin, daß sich viele Farben, die in photographischen Bildern auftreten können, durch einen gegebenen Drucker überhaupt nicht reproduziert werden können und daß somit kein physisch realisierbarer Satz von Farbstoffen gefunden werden kann, der diese Farben wiedergibt. Die Lösung dieses Problems besteht darin, zuerst die "nicht wiedergebbare Farbe" in eine "wiedergebbare Farbe" zu konvertieren. Um dieses Ziel zu erreichen, existiert bisher keine universell akzeptierte Strategie, und die Auswertung einer etwaigen derartigen Strategie basiert deshalb notwendigerweise auf Ästhetik und deshalb auf einem subjektiven Urteil. Eine Erörterung von Strategien zur Bewältigung des Problems findet man in dem Artikel von Jim Gordon "On the rendition of unprintable colours", 1987 Proceedings of the Technical Association of the Graphic Arts, S. 186-195.
Um das Verständnis der Probleme im Stand der Technik zu fördern, folgen einige weitere erläuternde Anmerkungen über die Neugebauer-Gleichungen für einen 3-Druckfarben-Prozeß, und es werden einige Verfahren vorgelegt, die zu ihrer Inversion gegenwärtig verwendet werden. Die Verallgemeinerung des Neugebauer-Prozesses für in Druckfarben ist kein Problem.
Die Neugebauer-Gleichungen für einen 3-Druckfarben-Prozeß.
Wenn mit drei Druckfarben und drei Rastern gedruckt wird, führt dies theoretisch zu 8 möglichen Kombinationen der Druckfarbenüberlappung. Die Neugebauer-Ausdrücke sagen die resultierende Farbe als eine lineare Funktion der Farben dieser Kombinationen voraus. Die Neugebauer-Gleichung für den X-Normfarbwert in einem 3-Druckfarben-Prozeß lautet:
X(c&sub1;,c&sub2;,c&sub3;) = awXw + a&sub1;X&sub1; + a&sub2;X&sub2; + a&sub3;X&sub3; + a&sub2;&sub3;X&sub2;&sub3; + a&sub1;&sub3;X&sub1;&sub3; + a&sub1;&sub2;X&sub1;&sub2; + a&sub1;&sub2;&sub3;X&sub1;&sub2;&sub3;
Die Terme Xijk in der obigen Gleichung sind die X-Normfarbwerte der entsprechenden Überdrucke. Der Neugebauer-Ausdruck für die Y- und die Z-Normfarbwerte werden erhalten, indem die X-Normfarbwerte durch die entsprechenden Y- beziehungsweise Z-Werte ersetzt, werden. Falls angenommen wird, daß die relativen Positionen der Rasterpunkte zufällig ist, können die Neugebauer-Koeffizienten aus den Demichel-Gleichungen berechnet werden, die den Anteil jeder Kombination der drei Druckfarben als eine Funktion ihrer jeweiligen Punktprozentsätze c&sub1;, c&sub2; und c&sub3; vorhersagen:
aw = (1 - c&sub1;)(1 - c&sub3;)
a&sub1; = (c&sub1;)(1 - c&sub2;)(1 - c&sub3;)
a&sub2; = (1 - c&sub1;)(c&sub2;)(1 - c&sub3;)
a&sub3; = (1 - c&sub1;)(1 - c&sub2;)(c&sub3;)
a&sub2;&sub3; = (1 - c&sub1;)(c&sub2;)(c&sub3;)
a&sub1;&sub3; = (c&sub1;)(1 - c&sub2;)(c&sub3;)
a&sub1;&sub2; = (c&sub1;)(c&sub2;)(1 - C&sub3;)
a&sub1;&sub2;&sub3; = (c&sub1;)(C&sub2;)(c&sub3;)
Wenn die Demichel-Gleichungen in die Neugebauer-Gleichungen eingesetzt werden und die Terme umgruppiert werden, dann führt dies zu der folgenden Darstellung der drei Neugebauer-Gleichungen für einen 3-Druckfarben-Prozeß:
X = k&sub0; + k&sub1;c&sub1; + k&sub2;c&sub2; + k&sub3;c&sub3; + k&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2; + k&sub1;&sub3;c&sub1;c&sub3; + k&sub2;&sub3;C&sub2;c&sub3; + k&sub1;&sub2;&sub3;c&sub1;c&sub2;c&sub3;
Y = l&sub0; + l&sub1;c&sub1; + l&sub2;c&sub2; + l&sub3;c&sub3; + l&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2; + l&sub1;&sub3;c&sub1;c&sub3; + l&sub2;&sub3;c&sub2;c&sub3; + l&sub1;&sub2;&sub3;c&sub1;c&sub2;c&sub3;
Y = m&sub0; + m&sub1;c&sub1; + m&sub2;c&sub2; + m&sub3;c&sub3; + m&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2; + m&sub1;&sub3;c&sub1;c&sub3; + m&sub2;&sub3;c&sub2;c&sub3; + m&sub1;&sub2;&sub3;c&sub2;c&sub3;
Diese Gleichungen sägen die XYZ-Normfarbwerte als eine Funktion der Mengen der drei Farbstoffe c&sub1;, c&sub2; und c&sub3; vorher.

Interpretation der Neugebauer-Gleichungen

Es lohnt sich, eine Reihe verschiedener mathematischer Interpretationen der Neugebauer-Gleichungen zu berücksichtigen.
Gemäß einer ersten Interpretation können die Neugebauer-Gleichungen als ein Satz von drei trilinearen Interpolationsformeln (jeweils eine für X, Y und Z) angesehen werden. Wenn man sich die Form der Koeffizienten der Neugebauer-Gleichungen ansieht, wird dies sofort deutlich. Diese Koeffizienten führen zu präzisen Vorhersagen von X, Y Und Z für Werte von c&sub1;, c&sub2; und c&sub3;, wenn sie 0 oder 100% sind, und zu trilinear interpolierten Werten für andere Werte. Falls die Neugebauer-Gleichungen als multilineare Interpolationsformeln verwendet werden, dann kann mit ihnen jede beliebige Farbeinrichtung in jedem beliebigen Farbraum modelliert werden.
Anstatt Koeffizienten zu verwenden, die die Neugebauer- Gleichungen für 8 Farben präzise machen, ist es manchmal wünschenswert, Koeffizienten zu haben, die den Fehler (beispielsweise hinsichtlich des kleinsten Fehlerquadrats") über einen großen Satz von Farben hinweg minimieren. In diesem Fall können mit einer Regressionstechnik die Neugebauer-Koeffizienten erhalten werden. In diesem Fall haben die Gleichungen den Charakter eines "interpolierenden Polynoms".
Es wird interessanterweise beobachtet, daß für einen gegebenen Wert von X, Y und Z jede der drei Neugebauer- Gleichungen in dem dreidimensionalen Raum c&sub1;, c&sub2; und c&sub3; eine "Oberfläche" darstellt. Wie Fig. 1 zeigt, kann die Lösung der Neugebauer-Gleichungen für einen gegebenen X-, Y- und Z- Wert als die Schnittmenge zwischen den drei Oberflächen angesehen werden, die diesen Werten entsprechen.

Verbesserung der Präzision der Neugebauer-Gleichungen

Druckprozesse verhalten sich in der Praxis nur selten entsprechend dem physikalischen Modell, auf dem die Neugebauer-Gleichungen basieren, und dies erklärt die Abweichungen, zu denen es für eine gegebene Farbstoffkombination zwischen der vorhergesagten und der gemessenen Farbe kommen kann.
Die Interpretation der Neugebauer-Gleichungen als einem interpolierenden Polynom führt zu der Einführung zusätzlicher Terme höherer Ordnung, um ihre Präzision zu verbessern. Theoretisch ist es möglich, die Anzahl der Terme so lange zu erhöhen, bis eine beliebige gewünschte Präzision (hinsichtlich eines "kleinsten Fehlerquadrats") erhalten ist, doch legen praktische Argumente, wie etwa zahlenmäßige Stabilität und der für die Berechnung großer Mengen von Koeffizienten aus großen Datensätzen erforderliche Rechenaufwand, der erzielbaren Präzision Einschränkungen auf.
Ein alternativer Ansatz, der von uns bevorzugt wird, besteht darin, die Koeffizienten des Neugebauer-Druckermodells zu "lokalisieren", was zu einem Ansatz der stückweisen" Interpolation führt, was unter dem Namen lokalisierte oder zellenmäßige Neugebauer-Gleichungen (LNE) bekannt ist. Die verschiedenen Unterdomänen werden als die Neugebauer-Zellen bezeichnet. In Fig. 2 ist die Farbstoffdomäne eines cmy-Prozesses gezeigt, die in 8 Neugebauer-Zellen unterteilt ist. Pro Neugebauer-Zelle wird der Drucker mit einem 3-Druckfarben-Neugebauer-Prozeß modelliert.
Zur Verbesserung des Neugebauer-Modells sind auch verschiedene andere Modifikationen vorgeschlagen worden, wobei die n-modifizierten und die spektralen Neugebauer-Gleichungen angeführt werden. Diese und andere Modelle werden in einem Überblick im Artikel von R. Rolleston und R. Balasubramanian "Accuracy of various Types of Neugebauer Model", der 1993 auf der IS&T and SID's Color Imaging Conference on Transformation & Transportability of Color vorgetragen wurde, und in dem Artikel von Kang H. R., "Applications of color mixing models to electronic printing", Journal of Electronic Imaging 3(3), Juli 1994 erörtert.

Inversion von Neugebauer-Gleichungen mit Hilfe iterativer Verfahren

Die Neugebauer-Gleichungen sagen Farbe aus Farbstoffen vorher. An der entgegengesetzten Transformation ist ein Auszug beteiligt. Zur Erzielung dieser "Modellinversion" sind verschiedene Verfahren bekannt, und sie alle basieren auf einer iterativen Suche, die zu der gewünschten Lösung konvergiert. Ein Beispiel ist das Newton-Raphson-Inversionsverfahren. Da die Ableitung der Neugebauer-Gleichungen existiert und leicht berechnet werden kann, kann die Newton- Raphson-Iteration verwendet werden. Die Werte von c&sub1;, c&sub2; und c&sub3; in der (i + 1)-ten Iteration können wie folgt aus den Werten in der i-ten Iteration gefunden werden:
wobei die Korrekturen Δc&sub1;, Δc&sub2; und Δc&sub3; durch Lösen des Satzes linearer Gleichungen gefunden werden:
Die Wette ΔX, DY und ΔZ stellen die Differenzen zwischen den XYZ-Werten der gewünschten Farbe und der in der i-ten Iteration durch das Neugebauer-Modell für c&sub1;, c&sub2; und c&sub3; vorhergesagten Farbe dar. Die Iteration wird gestoppt, wenn die Werte für c&sub1;, c&sub2; und c&sub3; stabil geworden sind.
Die Newtonsche Iteration konvergiert schnell zu der gewünschten Lösung, vorausgesetzt, ein vernünftiger Startwert würde ausgewählt. Obwohl dies einfach klingt, ist es nicht immer offensichtlich, und es kann zu verschiedenen Komplikationen kommen.
Ein erstes Problem betrifft, die Möglichkeit, daß mindestens eine der partiellen Ableitungen der Farbkomponenten an einem bestimmten Punkt in der Iteration Null oder sehr klein werden kann. Zu einem typischen Beispiel dafür kommt es in dem cmy-Prozeß in dem Teil des Farbstoffraums, wo sich jede der drei Farbstoffkomponenten in der Nähe ihres Höchstwerts (100%) befindet: die Y- Farbkomponente variiert in diesem Fall sehr wenig bei Änderungen Δc, Δm und Δy an den Mengen an Farbstoffen c, m oder y. Eine Situation wie diese kann den Satz von Gleichungen in die Nähe der Singularität bringen und zu übermäßig großen Korrekturen Δc, Δm und Δy für die Farbstoffe führen, was ein Divergieren der Iteration bewirkt. Dies ist nicht unähnlich zu dem Beispiel der Newton-Raphson-Iteration an einer 1-dimensionalen Funktion in Fig. 3.
Weniger bekannt und bestimmt weniger verstanden sind die Probleme, die bei der Modellinversion eines 3-Druckfarben-Prozesses auftreten können, wenn die gleiche Farbe mit mehr als einem Satz von Farbstoffen wiedergegeben werden kann. Wie in Fig. 4 gezeigt wird, lautet die graphische Interpretierung dieser Situation, daß die drei Oberflächen, die jeder der Neugebauer-Gleichungen entsprechen, in dem Farbstoffumfang mehr als eine Schnittmenge aufweisen. Die Zeichnung basierte auf dem Verhalten eines Druckprozesses mit den Druckfarben Cyan, Gelb und Grün auf einem weißen Substrat. Es stimmt, daß die Existenz mehrerer Lösungen, die in den Farbstoffumfang fallen, für "sich wohlverhaltende" Druckprozesse wie etwa den cmy-Offsetdruckprozeß, relativ ungewöhnlich ist, und das erklärt wahrscheinlich, weshalb das Problem bisher nicht viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat. Unsere Erfahrung zeigt jedoch, daß mehrere Lösungen weitaus seltener die Ausnähme darstellen, wenn unkonventionelle Prozesse modelliert werden sollen. Zu Beispielen zählen ein thermischer Farbstoffsublimationsprozeß, bei dem es über bestimmten Farbstoffkonzentrationen in dem Substrat zu einem "inversen" Farbstoffluß kommt, was zu einer Nicht-Monotonie und doppelten Lösungen für bestimmte Farben führt. Ein weiteres Beispiel ist der Druckprozeß, der in vielen kommerziellen Telefonverzeichnissen verwendet wird, bei dem mit den Druckfarben Cyan, Magenta und Schwarz auf ein gelbes Substrat gedruckt wird. Man kann sogar intuitiv ohne weiteres verstehen, daß mehr als eine Kombination der drei Farbstoffe gefunden werden kann, die bestimmte Farben ergibt. Noch ein weiteres Beispiel findet sich auf dem Gebiet der "HiFi- Farbdruckprozesse", bei denen zusätzlich zu den Druckfarben Cyan, Magenta, Gelb und Schwarz die Druckfarben Rot, Grün und Blau verwendet werden: der 3-Druckfarben-Prozeß, bei dem beispielsweise die Druckfarben Cyan, Gelb und Grün in Gegenwart der Druckfarbe Magenta gedruckt werden, führt zu "mehreren Lösungen" für bestimmte Farben. Eine Modellinversion der obigen Prozesse mit Hilfe von Iterationen würde je nach der Verwendung des "Startvektors" zu verschiedenen Sätzen von Farbstoffen führen. Dieser Effekt wird problematisch, wenn Bilder mit kontinuierlichen Farbübergängen zu Farbübergängen getrennt werden können, die diskontinuierlich sind. Bei den Übergängen, wo die Auszüge von einer Lösung zu der anderen "springen", würden sogar kleine Registervariationen diese Diskontinuitäten als störende Artefakte manifestieren.
Dem Fall mit mehreren Lösungen ist der Fall entgegengesetzt, daß die Inversion eines Satzes von Neugebauer- Gleichungen überhaupt keine (reale) Lösung aufweist. Wie einem die Intuition sagt und wie eine eingehendere mathematische Analyse bestätigen würde, kann in der Tat nicht der ganze XYZ-Farbraum aus dem c&sub1;-, c&sub2;- und c&sub3;-Farbstoffraum "adressiert" werden, selbst wenn man zuläßt, daß die Farbstoffwerte zwischen minus Unendlich und plus Unendlich variieren. Umgekehrt ist es möglich, daß dem Iterationsprozeß eine XYZ-Farbe angeboten wird, für die kein (realer) Satz von Farbstoffen existiert, weshalb ein Iterationsprozeß für eine derartige XYZ-Farbe niemals konvergiert. Die graphische Interpretierung dieses Falles besteht darin, daß die drei Oberflächen, die jeder der Neugebauer-Gleichungen entsprechen, überhaupt keine Schnittmenge aufweisen. Somit mag der Versuch als sinnlos erscheinen, eine XYZ-Farbe zu trennen, für die kein Satz von. Farbstoffen existiert, doch ist die Wahrheit, daß dies nicht immer im voraus bekannt ist. Beispielsweise versuchen viele Verfahren, die zum Berechnen des reproduzierbaren Farbumfangs eines Druckprozesses verwendet werden, einen größen Satz von XYZ-Farben zu trennen, einschließlich solcher Farben, für die kein Satz von Farbstoffen existiert. Alle oben genannten Probleme werden nur noch schlimmer, wenn zum Zweck der besseren Präzision Modelle höherer Ordnung als die "einfachen Neugebauer-Gleichungen" verwendet werden: durch die zusätzlichen Wendepunkte, die durch die Terme höherer Ordnung eingeführt werden, steigen nur die Chancen mehrerer Lösungen oder einer Divergenz, verursacht durch lokale Extremwerte.
In Abhängigkeit von dem Startvektor findet man die eine oder die andere Lösung oder im schlimmsten Fall überhaupt keine Lösung. Es gibt niemals irgendwelche Informationen darüber, wieviele andere Lösungen tatsächlich existieren, welches die Lösungen sind und welche man beibehalten sollte.
Ebenfalls bei anderen Inversionstechniken, wie etwa Simplexverfahren, treten die gleichen Probleme wie bei der Inversion mit Hilfe der Newtonschen Iteration auf, da sie alle mehr zu dem Druckerverhalten als zu dem Inversionsverfahren in Beziehung stehen. Lokale Minima können bewirken, daß die Minimierungsstrategie zu dem "falschen" Satz von Farbstoffen konvergiert, und üblicherweise werden keine mehrfachen Lösungen erfaßt. Es werden keine sinnvollen Ergebnisse erhalten, wenn die Modellinversion für eine XYZ- Farbe durchgeführt wird, die keine Farbstofflösung aufweist.

Berechnung von Auszugsnachschlagetabellen

Der Auszug einer Farbe zu einem Satz von Farbstoffen mit Hilfe einer beliebigen der obigen Techniken ist eine rechnerisch intensive Aufgabe. Wenn von einer großen Anzahl von Farben Farbauszüge angefertigt werden sollen, wie es bei dem Auszug von hochauflösenden Bildern der Fall ist, werden Nachschlagetabellen und Interpolationstechniken verwendet. Die Nachschlagetabellen weisen einen 3-dimensionalen Adressenraum auf, dessen Achsen zu den Farbkoordinaten des Bilds in Beziehung stehen. Jeder adressierbaren Position in der Tabelle entspricht ein Satz von Farbstoffen, die mit Hilfe einer der obigen Strategien offline berechnet werden. Weitere Informationen über die Verwendung von Nachschlagetabellen für diesen Zweck findet man in den Patenten US 3,893,166, US 4,334,240, US 4,751,535, BP 0,550,212 und DE 42 34 985 und in dem Artikel von Kanamori "Color Correction Technique for Hard Copies by 4-Neighbors Interpolation Method", Journal of Imaging Science and Technology, Band 36, Nr. 1, Jan./Feb..
Bei diesen Tabellen tritt ein spezielles Problem auf, wenn zwei benachbarte adressierbare Positionen mit Farbstoffwerten ausgefüllt werden, die diskontinuierlichen Lösungen der Neugebauer-Gleichungen entsprechen. Es kann zu einem sehr großen Fehler bei der gedruckten Farbe kommen, wenn zum Erhalten der Farbstoffwerte für eine zwischen diesen adressierbaren Positionen liegende Farbe eine Interpolation verwendet wird.

Aufgaben der Erfindung.

Aus der obigen Erläuterung sollte klar sein, daß die Inversion der Neugebauer-Gleichungen mit Hilfe der existierenden Techniken nicht immer auf einen repräsentativen Satz von Farbstoffen konvergiert und daß dies zu Diskontinuitäten und Farbfehlern führen kann, wenn zu diesem Zweck Auszüge von Bildern angefertigt oder Nachschlagetabellen berechnet werden. Die. Probleme manifestieren sich insbesondere im Fall von Auszügen für "unkonventionelle Druckprozesse". Es existiert deshalb ein Bedarf an einer robusteren Lösung, die unter allen Bedingungen alle Farbstoffsätze findet, die eine gegebene Farbe wiedergeben, und dann auf der Basis eines bestimmten Kriteriums eine von ihnen beibehält. Ein derartiges Verfahren ist die Aufgabe der vorliegenden Erfindung. Es ist insbesondere
- eine Aufgabe der Erfindung, die Anzahl möglicher Sätze von Farbstoffen für die Wiedergabe einer Farbe mit Hilfe eines n-Druckfarben-Prozesses zu finden, bei dem n kleiner oder gleich der Dimension des Farbraums ist,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, diese Kombinationen von Farbstoffen zu finden,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, mindestens eine der Kombinationen aus Farbstoffen auszuwählen, die die spezifizierte Farbe ergibt,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, einen Satz von Farbstoffkombinationen durch Minimieren einer Kostenfunktion auszuwählen, falls die Dimension des Farbstoffraums größer ist als die Dimension des Farbraums,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, eine verbesserte Auszugstechnologie bereitzustellen, die Diskontinuitäten in getrennten Farbbildern vermeidet,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, den Farbstoffsatz für die Wiedergabe einer gegebenen Farbe zu finden, der in Anwesenheit von Variationen an den Mengen an Farbstoff die kleinste Änderung bei der Farbe ergibt,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, ein robustes Verfahren für die Inversion des Neugebauer-Modells für bis zu drei Farbstoffe in einem 3-dimensionalen Farbraum bereitzustellen,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, ein robustes Verfahren für die Inversion der lokalisierten Neugebauer- Gleichungen für bis zu drei Farbstoffe in einem 3- dimensionalen Farbraum bereitzustellen,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, ein robustes Verfahren für die Inversion des Neugebauer-Modells für n Farbstoffe (n > = 3) in einem 3-dimensionalen Farbraum bereitzustellen,
- eine weitere Aufgabe der Erfindung, ein robustes Verfahren für die Inversion der lokalisierten Neugebauer- Gleichungen für n Farbstoffe (n > = 3) in einem 3-dimensionalen Farbraum bereitzustellen.
Weitere Aufgaben und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus der folgenden Beschreibung.

Kurze Darstellung der Erfingung

Die obenerwähnten Aufgaben werden durch die spezifischen Merkmale nach Anspruch 1 realisiert. Bevorzugte Ausführungsformen der Erfindung sind in den abhängigen Ansprüchen offenbart. Im breitesten Sinne sind Neugebauer- Zellen Körper als ein Teil eines Farbstoffraums, so daß jeder zu dem Farbstoffumfang gehörende Punkt zu mindestens einer Neugebauer-Zelle gehört. Derartige Neugebauer-Zellen können somit gemeinsame Punkte, Gebiete oder Körper aufweisen. Bei einer spezifischen Ausführungsform unterteilen die Neugebauer-Zellen den Farbstoffumfang in zueinander disjunktive Teile. Das bedeutet, daß die Schnittmenge zwischen jeweils zwei Neugebauer-Zellen leer ist oder höchstens eine Oberfläche umfaßt. Bei einer besonders bevorzugten Ausführungsform ist jede Neugebauer-Zelle ein Quader, d. h. ein rechtwinkliges Parallelepiped. Eine spezifische Ausführungsform eines Quaders ist ein Würfel. Der Farbstoffumfang kann aufgeteilte Würfel darstellen, die alle die gleiche Größe aufweisen. Im breitesten Sinne sind "Neugebauer- Gleichungen, wie sie in der vorliegenden Erfindung erwähnt werden, Gleichungen mit mindesten seinem nichtlinearen Term. Ein nichtlinearer Term ist z. B. ein quadratischer, ein kubischer usw. Term oder ein Kreuzprodukt zwischen zwei oder mehr linearen Variablen (z. B. c&sub1;·c&sub2;). Aus dem Konzept der "Neugebauer-Gleichungen" sind alle Sätze von Gleichungen, die alle nur konstante oder lineare Terme aufweisen, ausgeschlossen. Bevorzugt sind Neugebauer-Gleichungen Polynome, die Farbwerte als bilineare, trilineare oder quadratische Farbstoffwerte ausdrücken. Bei einer spezifischen Ausführungsform sind die Neugebauer-Gleichungen auf die Formeln für X, Y und Z begrenzt, die im Allgemeinen Stand der Technik unter dem Titel "Die Neugebauer- Gleichungen" angegeben sind und die als trilineare Gleichungen bezeichnet sind.
Eines der Schlüsselelemente der vorliegenden Erfindung ist ein neues und robustes Verfahren zum Finden aller Farbstoffsätze, einschließlich sowohl der "realen" und der "komplexen" Lösungen, die eine in einem dreidimensionalen Raum spezifizierte gegebene Farbe für einen Prozeß wiedergeben, der mit den Neugebauer-Gleichungen für drei Farbstoffe modelliert ist. Offensichtlich haben die "komplexen" Lösungen keine physische Interpretation, auch nicht diese realen Lösungen, bei denen mindestens ein Farbstoff außerhalb des Farbstoffumfangs liegt. Diese Lösungen werden deshalb weggelassen und brauchen nicht weiter berücksichtigt zu werden. Die Anzahl verbleibender Lösungen gibt an, wieviele Farbstoffsätze zur Wiedergabe der gegebenen Farbe existieren. Diese Zahl kann Null, Eins oder über Eins betragen. Falls die Zahl über Eins liegt, dann wird der Satz von Farbstoffen ausgewählt, der ein zusätzliches Kriterium optimiert. Gemäß einer ersten Ausführungsform ist dieses Kriterium das Ausmaß der Farbänderung, das sich bei Anwesenheit von Farbstoffvariationen ergibt. Gemäß einer zweiten. Ausführungsform wird die eine Farbstofflösung beibehalten, die mit den Farbstofflösungen für die Farben entlang einem ausgewählten Weg im Farbraum verbunden ist.
Zum Invertieren der Neugebauer-Gleichungen für einen n- Druckfarben-Prozeß mit n > 3 werden bevorzugt n-3 Farbstoffe als Parameter berücksichtigt, und das n-Druckfarben-Modell wird auf einen Neugebauer-Prozeß für drei Farbstoffe reduziert, die unter Verwendung des vorausgegangenen Verfahrens invertiert werden können. Der Farbstoffsatz zur Wiedergabe einer gegebenen Farbe wird durch Minimieren einer Kostenfunktion gewählt.
Die obigen Ergebnisse können auf das lokalisierte Neugebauer-Modell erweitert werden, und somit kann ein beliebiger n-Druckfarben-Prozeß durch Approximieren eines Druckermodells mit dem lokalisierten Neugebauer-Modell invertiert werden.

Ausführliche Beschreibung der Erfindung

Die Erfindung wird im folgenden anhand von Beispielen unter Bezugnahme auf die beiliegenden Figuren beschrieben. Es zeigen:
Fig. 1 für einen gegebenen Wert X, Y und Z stellt jede der drei Neugebauer-Gleichungen in dem dreidimensionalen c&sub1;-, c&sub2;- und c&sub3;-Raum eine "Oberfläche" dar. Die Lösung der Neugebauer-Gleichungen für einen gegebenen X-, Y- und Z-Wert kann als die Schnittmenge zwischen den drei Oberflächen angesehen werden, die diesen Werten entsprechen. Bei diesem Beispiel wird ein cmy-Prozeß dargestellt. Die nach rechts zeigende Achse entspricht Gelb (y), die nach links zeigende Achse entspricht Magenta (m) und die nach oben zeigende dritte Achse ist Cyan (c).
Fig. 2 die Aufteilung des Farbstoffwürfels eines cmy- Prozesses in 8 Neugebauer-Zellen.
Fig. 3 die Newton-Raphson-Iteration an einer eindimensionalen Funktion. Die Iteration divergiert, da sie auf einen Punkt trifft, an dem die Ableitung einen Nullwert aufweist.
Fig. 4 ein Beispiel eines Falls, bei dem die drei den Neugebauer-Gleichungen entsprechenden Oberflächen mehr als eine Schnittmenge aufweisen. Bei diesem Beispiel werden Oberflächen im Farbstoffraum dargestellt, die konstanten Normfarbwerten für einen durch die Neugebauer-Gleichungen modellierten Gelb-, Grün- und Cyan-Druckfarben-Prozeß entsprechen. Die nach rechts zeigende Achse entspricht g, die nach links zeigende Achse entspricht y und die nach oben zeigende dritte Achse ist c.
Fig. 5 die Schnittvorgehensweise der Farbstoffkombination, die zu der stabilsten Farbwiedergabe für einen mit den Neugebauer-Gleichungen modellierten 3-Druckfarben-Prozeß führt.
In den folgenden Absätzen werden Druckermodelle für in einem dreidimensionalen Raum dargestellte Farben invertiert.
Die Inversion der Neugebauer-Gleichungen wird für in zu drei Farbstoffe vorgestellt. Diese Lösung kann auf die lokalisierten Neugebauer-Gleichungen erweitert werden, und somit wird die Inversion eines beliebigen Druckermodells durch Approximieren eines Druckermodells mit den Neugebauer- Gleichungen erhalten. Im Fall mehrerer Lösungen wird ein Auswahlmechanismus dargestellt.
Bei vier Farbstoffen wird ein Farbstoff als Parameter betrachtet. Dieser Farbstoff wird zwischen einem Mindestwert und einem Höchstwert abgetastet, und durch Setzen des Farbstoffs auf seinen abgetasteten Wert wird pro Abtastpunkt aus dem 4-Druckfarben-Prozeß ein 3-Druckfarben-Prozeß extrahiert. Zur Wahl eines Farbstoffsatzes wird eine gegebene Kostenfunktion minimiert. Die Verfahren zum Invertieren der Neugebauer-Gleichungen, der lokalisierten Neugebauer- Gleichungen und eines allgemeinen Druckermodells werden dargestellt, und mehrere Beispiele von Kostenfunktionen werden geliefert.
Im Fall von n Farbstoffen werden n-3 Farbstoffe als Parameter berücksichtigt, und pro Abtastpunkt in einem n-3- dimensionalen Farbstoffraum wird ein 3-Druckfarben-Prozeß invertiert. Unter allen diesen Farbstofflösungen wird die Lösung beibehalten, für die eine gegebene Kostenfunktion minimiert ist.

Inversion eines 3-Druckfarben-Prozesses

Neugebauer-Gleichungen

Diese Lösung basiert auf der Beobachtung, daß der Satz von Neugebauer-Gleichungen für drei Farbstoffe in ein Polynom 6ten Grades in einer Variablen transformiert werden kann und daß robuste numerische Algorithmen existieren, die unter allen Bedingungen alle Wurzeln (real und komplex) eines derartigen Polynoms finden. Die Neugebauer-Gleichungen sind hier in dem XYZ-Farbraum dargestellt, doch kann jeder andere Satz von Farbkoordinaten in einem 3-dimensionalen Raum verwendet werden.
Die Ableitung des Polynoms 6ten Grades wird hier dargestellt:
Unter Berücksichtigung von c&sub3; als Parameter können die ursprünglichen Neugebauer-Gleichungen umgeschrieben werden als:
X = (k&sub0; + k&sub3;c&sub3;) + (k&sub1; + k&sub1;&sub3;c&sub3;)c&sub1; + (k&sub2; + k&sub2;&sub3;c&sub3;)c&sub2; + (k&sub1;&sub2; + k&sub1;&sub2;&sub3;c&sub3;)c&sub1;c&sub2;
Y = (l&sub0; + l&sub3;c&sub3;) + (l&sub1; + l&sub1;&sub3;c&sub3;)c&sub2; + (l&sub2; + l&sub2;&sub3;c&sub3;)c&sub2; + (l&sub1;&sub2; + l&sub1;&sub2;&sub3;c&sub3;)c&sub1;c&sub2;
M = (m&sub0; + m&sub3;c&sub3;) + (m&sub1; + m&sub1;&sub3;c&sub3;)c&sub3; + (m&sub2; + m&sub2;&sub3;c&sub3;)c&sub2; + (m&sub1;&sub2; + m&sub1;&sub2;&sub3;c&sub3;)c&sub1;c&sub2;
Mit den folgenden Definitionen:
können die Neugebauer-Gleichungen vereinfacht werden zu:
X = K&sub0; + K&sub1;c&sub1; + K&sub2;c&sub2; + K&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2;
Y = L&sub0; + L&sub1;c&sub1; + L&sub2;c&sub2; + L&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2;
Z = M&sub0; + M&sub1;c&sub1; + M&sub2;c&sub2; + M&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2;
Dies ist ein Satz aus drei Gleichungen mit zwei Variablen. Angenommen M&sub1;&sub2; ist verschieden von Null, dann kann das Produkt c&sub1;c&sub2; in der obigen Gleichung eliminiert werden:
(K&sub0; - X)M&sub1;&sub2; - (M&sub0; - Z)K&sub1;&sub2; + c&sub1;(K&sub1;M&sub1;&sub2; - M&sub1;K&sub1;&sub2;) + c&sub2;(K&sub2;M&sub1;&sub2; - M&sub2;K&sub1;&sub2;) = 0
(L&sub0; - Y)M&sub1;&sub2; - (M&sub0; - Z)L&sub1;&sub2; + c&sub1;(L&sub1;M&sub1;&sub2; - M&sub1;L&sub1;&sub2;) + c&sub2;(L&sub2;M&sub1;&sub2; - M&sub2;L&sub1;&sub2;) = 0
und mit den folgenden Definitionen:
A&sub0; = (K&sub0; - X)M&sub1;&sub2; - (M&sub0; - Z)K&sub1;&sub2; B&sub0; = (L&sub0; - Y)M&sub1;&sub2; - (M&sub0; - Z)L&sub1;&sub2;
A&sub1; = (K&sub1;M&sub1;&sub2; - M&sub1;K&sub1;&sub2;) B&sub1; = (L&sub1;M&sub1;&sub2; - M&sub1;L&sub1;&sub2;)
A&sub2; = (K&sub2;M&sub1;&sub2; - M&sub2;K&sub1;&sub2;) B&sub2; = (L&sub2;M&sub1;&sub2; - M&sub2;L&sub1;&sub2;)
kann die vorausgegangene Gleichung kompakt umgeschrieben werden als:
A&sub0; + c&sub1;A&sub1; + C&sub2;B&sub2; = 0
B&sub0; = c&sub1;B&sub1; + C&sub2;B&sub2; = 0
Mit der Kramerschen Regel kann man sofort die Lösungen dieser Gleichungen finden:
Durch Einsetzen von c&sub1; und c&sub2; im dritten Ausdruck der vereinfachten Neugebauer-Gleichungen, d. h.
Z = M&sub0; + M&sub1;C&sub1; + M&sub2;c&sub2; + M&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2;
und Ausarbeiten der Terme wird das folgende Polynom 6ten Grades in c&sub3; erhalten:
(M&sub0; - Z)det(D)(L&sub1;K&sub2; - K&sub1;L&sub2;) + (K&sub0; - X)det(D)(M&sub1;L&sub2; - L&sub1;M&sub2;) + (L&sub0; - Y)det(D)(K&sub1;M&sub2; - M&sub1;K&sub2;) + (K&sub0; - X)²(L&sub2;M&sub1;&sub2; - L&sub1;&sub2;M&sub2;)(L&sub1;&sub2;M&sub1; - L&sub1;M&sub1;&sub2;) + (L&sub0; - Y)²(K&sub1;&sub2;M&sub2; - K&sub2;M&sub1;&sub2;)(K&sub1;M&sub1;&sub2; - K&sub1;&sub2;M&sub1;) + (M&sub0; - Z)²(K&sub2;L&sub1;&sub2; -K&sub1;&sub2;L&sub2;)(K&sub1;&sub2;L&sub1; - K&sub1;L&sub1;&sub2;) + (K&sub0; - X)(L&sub0; - Y)[(L&sub2;M&sub1;&sub2; - L&sub1;&sub2;M&sub2;)(K&sub1;M&sub1;&sub2; - K&sub1;&sub2;M&sub1;) + (K&sub1;&sub2;M&sub2; - K&sub2;M&sub1;&sub2;)(L&sub1;&sub2;M&sub1; - L&sub1;M&sub1;&sub2;)] + (K&sub0; - X)(M&sub0; - Z)[(L&sub2;M&sub1;&sub2; - L&sub1;&sub2;M&sub2;)(L&sub1;K&sub1;&sub2; - L&sub1;&sub2;K&sub1;) + (K&sub2;L&sub1;&sub2; - K&sub1;&sub2;L&sub2;)(L&sub1;&sub2;M&sub1; - L&sub1;M&sub1;&sub2;)] + (L&sub0; - Y)(M&sub0; - Z)[(K&sub1;&sub2;M&sub2; - K&sub2;M&sub1;&sub2;)(L&sub1;K&sub1;&sub2; - L&sub1;&sub2;K&sub1;) + (K&sub2;L&sub1;&sub2; - K&sub1;&sub2;L&sub2;)(K&sub1;M&sub1;&sub2; - K&sub1;&sub2;M&sub1;)] = 0
wobei der(D) sich auf die Determinante der Matrixkurve D bezieht:
Dieses Polynom in c&sub3; hat bis zu sechs Wurzeln, von denen einige komplex sein können. Sie können alle beispielsweise mit Hilfe des "Laguerre"-Algorithmus gefunden werden, der von William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, "Numerical Recipes in C" [Numerische Rezepte in C], Cambridge University Press, 1992, Kapitel 9.5 dargestellt wird. Die entsprechenden Werte für c&sub1;· und c&sub2; findet man durch Einsetzender Wurzeln c&sub3; des Polynoms in den Ausdrücken
Daraus ergeben sich bis zu sechs Tripel Von c&sub1;, c&sub2; und c&sub3;, die die Neugebauer-Gleichungen erfüllen.
Wenn Ki, Lj und Mk ausgetauscht werden, erhält man genau die gleichen Gleichungen. Daraus folgt, daß die Wurzeln des Polynoms 6ten Grades den Lösungen der Neugebauer-Gleichungen unter der Voraussetzung entsprechen, daß K&sub1;&sub2; ≠ 0 oder L&sub1;&sub2; ≠ 0 oder M&sub1;&sub2; ≠ 0.
Ein spezieller Fall tritt auf, wenn eine Wurzel gefunden würde, für die K&sub1;&sub2; = L&sub1;&sub2; = M&sub1;&sub2; = 0. Diese Wurzel würde nicht notwendigerweise eine Lösung der ursprünglichen Neugebauer-Gleichungen darstellen. Um herauszufinden, ob dieser spezielle Fall eintritt, wird ausgewertet, ob für eine der Wurzeln des 6ten Grades K&sub1;&sub2; = L&sub1;&sub2; = M&sub1;&sub2; = 0. Nur wenn dies NICHT der Fall ist, dann ist die Wurzel auch eine Lösung der Neugebauer-Gleichungen. Ansonsten muß die Lösung der Neugebauer-Gleichungen gesucht werden, indem der Wurzelwert in die ursprünglichen Neugebauer-Gleichungen eingesetzt wird, die in diesem Fall vereinfacht werden können zu:
X = k'&sub0; + k'&sub1;c&sub1; + k'&sub2;c&sub2; + k'&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2;
Y = l'&sub0; + l'&sub1;c&sub1; + l'&sub2;c&sub2; + l'&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2;
Z = m'&sub0; + m'&sub1;c&sub1; + m'&sub2;c&sub2; + m'&sub1;&sub2;c&sub1;c&sub2;
Wenn einer der Koeffizienten der Kreuzterme c&sub1;c&sub2; von Null verschieden ist, angenommen m'&sub1;&sub2;, dann können die Kreuzterme in c&sub1;c&sub2; in dem ersten beiden Gleichungen eliminiert werden. Auf diese Weise wird ein Satz aus zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen erhalten, die mit standardmäßigen mathematischen Prozeduren gelöst werden können. Nur Wenn für diese c&sub1;c&sub2;-Lösung auch die letzte. Gleichung erfüllt ist, ist sie eine Lösung für die Neugebauer-Gleichungen. Eine ähnliche Prozedur kann angewendet werden, wenn m'&sub1;&sub2; Null ist und einer der Koeffizienten k'&sub1;&sub2; oder l'&sub1;&sub2; von Null verschieden ist. Falls alle Koeffizienten der Kreuzterme c&sub1;c&sub2; Null sind, kann ein Satz linearer Gleichungen erhalten werden, die unter Verwendung standardmäßiger Verfahren gelöst werden können.
Es kann verifiziert werden, daß alle Fälle, bei denen mindestens einer der Koeffizienten der Kreuzprodukte zwischen zwei Farbstoffen in den ursprünglichen Neugebauer- Gleichungen von Null verschieden sind, auf ähnliche Weise gelöst werden können, indem der verbleibende Farbstoff als der Parameter genommen wird. In allen anderen Fällen arten die Neugebauer-Gleichungen zu einem Satz von linearen Gleichungen aus, die unter Verwendung einfacher Techniken gelöst werden können. Die obige Erläuterung kann wie folgt zusammengefaßt werden: die Neugebauer-Gleichungen für einen 3-Druckfarben-Prozeß können in ein Polynom 6ten Grades in einer Variablen konvertiert werden. Es existieren robuste numerische Verfahren, um die sechs Wurzeln eines derartigen Polynoms zu finden, die real oder komplex-konjugiert sein können. Die, Wurzeln dieses Polynoms entsprechen sechs Sätzen von drei Farbstoffen, mit denen eine gegebene Farbe wiedergegeben werden kann, wenn die Neugebauer-Gleichungen als Druckermodell verwendet werden. Somit sind die Fragen beantwortet, wieviele Lösungen für die Neugebauer- Gleichungen existieren und welches diese Lösungen sind.
Ein Neugebauer-Prozeß mit weniger als drei Druckfarben kann als ein Neugebauer-Prozeß mit drei Farbstoffen angesehen werden, doch werden eine Reihe von Koeffizienten in den Neugebauer-Gleichungen Null sein. Somit kann ein Neugebauer-Prozeß mit weniger als drei Druckfarben ebenfalls invertiert werden, indem die Inversion eines 3-Druckfarben- Neugebauer-Prozesses verwendet wird.

Lokalisierte Neugebauer-Gleichungen

Zum Invertieren der lokalisierten Neugebauer-Gleichungen mit bis zu drei Farbstoffen werden die Gleichungen für jede Neugebauer-Zelle invertiert und die realen Lösungen, die in die entsprechende Zelle fallen, werden beibehalten. Alle diese Lösungen sind Farbstoffsätze, die zu der erforderlichen Farbe führen. In den meisten Situationen kann eine gegebene Farbe nur mit einer Farbstoffkombination erhalten werden. Bei einigen Prozessen findet man jedoch mehrere Lösungen, die zu der gleichen oder zu verschiedenen Neugebauer-Zellen gehören.

Allgemeines Druckermodell

Jedes Druckermodell kann durch Verwendung der lokalisierten Neugebauer-Gleichungen mit dieser Genauigkeit approximiert werden, wenn eine ausreichende Anzahl von Neugebauer-Zellen verwendet wird. Es ist deshalb möglich, jedes Druckermodell zu invertieren, indem dieses Modell mit den lokalisierten Neugebauer-Gleichungen approximiert wird und diese Gleichungen invertiert werden.

Beispiel

Mit Hilfe eines Beispiels wird gezeigt, daß die Newtonsche Iteration die Lösung, die gesucht wird, manchmal "Verfehlen" kann. Der folgende Satz von Gleichungen wurde aus Messungen einer cmyk-Offsetdruckmaschine erhalten. Er sagt die XYZ-Farbe als Funktion der Farbstoffe Schwarz (c&sub1;), Cyan (c&sub2;) und Magenta (c&sub3;) in Kombination mit einem festen Wert von 100% für den Farbstoff Gelb voraus. Die Koeffizienten werden "lokalisiert" und sind nur innerhalb der folgenden Bereiche der Farbstoffwerte gültig (in diesem Absatz liegen die Farbstoffwerte im Bereich von 0 bis 1,0):
0.2 < c&sub1; < 0,4
0.0 < c&sub2; < 0,1
0.7 < c&sub3; < 1,0
Die Gleichungen sagen vorher, daß bei Setzender Farbstoffwerte auf
c&sub1; = 0,20
c&sub2; = 0,00
c&sub3; = 1,00
die resultierende XYZ-Farbe gleich:
X = 24,54
Y = 13,95
Z = 2,40
ist.
Die Inversion der Neugebauer-Gleichungen mit Hilfe der Newtonschen Iteration mit den Startwerten c&sub1; = c&sub2; = c&sub3; = 0,5 führt zu der folgenden Lösung für die Farbstoffe:
c&sub1; = 0,38
c&sub2; = -0,36
c&sub3; = 0,99
Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichungen kann verifiziert werden, daß, auch wenn dies physisch nicht realisierbar ist, dies tatsächlich unter dem mathematischen Gesichtspunkt eine gültige Lösung ist.
Eine Inversion der Gleichungen mit Hilfe des Polynomwurzelfindens führt zu den folgenden vier Lösungen (nur die realen Lösungen werden beibehalten):
Die erste Lösung ist diejenige, auf die die Newtonsche Iteration konvergierte. Nur die zweite Lösung fällt in den Farbstoffumfang. Zusätzlich wurden zwei andere (physisch nicht realisierbare) Lösungen gefunden. Ein Paar aus zwei komplex-konjugierten Lösungen ist nicht gezeigt.

Auswahlmechanismus für einen Satz von Farbstoffwerten

Um eine Farbe in Farbstoffe zu trennen, wird nur ein Satz Farbstoffe benötigt. Angesichts der Tatsache, daß mit dem obigen Verfahren bis zu sechs Lösungen der Neugebauer- Gleichungen erzeugt werden, wird zum Bestimmen, welche Lösung für die Trennung von Farbe in Farbstoff verwendet wird, ein Auswahlkriterium benötigt.
Bei einem ersten Schritt werden die Paare komplex-konjugierter Lösungen, die gefunden wurden, verworfen, da sie keinen physisch realisierbaren Farbstoffsätzen entsprechen. Falls alle Lösungen komplex-konjugiert sind, liegt die Farbe in dem Teil des Farbraums, der von den Neugebauer-Gleichungen aus dem Farbstoffraum "nicht adressiert" werden kann. Sie kann somit nicht gedruckt werden und muß zu ihrer Wiedergabe auf eine druckbare Farbe abgebildet werden. Beispiele von Techniken dafür sind in US 4,500,919 beschrieben. Die in diesem Patent beschriebenen Umfangsgrenzen können beispielsweise mit Hilfe der Techniken berechnet werden, die in dem Artikel von M. Inui "A Fast Algorithm for Computing Color Gamuts" (Color Research and Application, Band 18, Nr. 5, Oktober 1993) beschrieben werden.
Bei einem zweiten Schritt werden diejenigen Lösungen der Neugebauer-Gleichungen beibehalten, die in den Farbstoffumfang fallen. Für Offsetdruckprozesse beispielsweise liegt dieser Bereich üblicherweise zwischen 0 und 100%. Angenommen, daß die Farbe tatsächlich eine druckbare Farbe ist, darin existiert mindestens ein derartiger Satz von Farbstoffen mit dieser Eigenschaft. Falls keine derartige Lösung gefunden wird, dann kann die Farbe nicht gedruckt werden, und muß zur Wiedergäbe auf eine druckbare Farbe abgebildet werden.
Bisher werden nur Lösungen beibehalten, die sowohl real sind als auch in den Farbstoffumfang fallen. Prinzipiell kann jeder dieser Sätze von Farbstoffen für die korrekte Wiedergabe der Farbe verwendet werden, und die Auswahl eine von ihnen enthält immer ein willkürliches Element. Es werden hier zwei Ansätze dargestellt, doch existieren viele weitere, die in den Gedanken und den Schutzbereich der Erfindung fallen.
Gemäß einem ersten Ansatz wird diejenige Lösung ausgewählt, durch die man auf dem Drucker die stabilste Wiedergabe der Farbe erhält. Unter der stabilsten Wiedergabe wird derjenige Satz von Farbstoffen verstanden, der bei Anwesenheit inkrementaler Änderungen an den Farbstoffwerten die kleinste Änderung der Farbe liefert. Die Farbänderung als Ergebnis von Farbstoffänderungen kann durch, eine Auswertung der gesamten Ableitung des Vorwärts-Neugebauer- Modells für den jeweiligen Farbstoffsatz leicht berechnet werden, d. h.
Durch Berechnen der Zerlegung singulärer Werte (SVD = singular value decomposition) der vorausgegangenen 3 · 3- Matrix wird eine orthogonale Achsentransformation derart durchgeführt, daß eine der neuen Achsen für eine Einheitsänderung in dem Farbstoffraum entlang der größten Farbänderung liegt. Diese Farbänderung entspricht dem größten singulären Wert, da sie in Farbeinheiten pro Einheitsfarbstoffänderung ausgedrückt wird (sowohl im Farbstoff- als auch im Farbraum wird das normale euklidische Entfernungsmaß verwendet). Es wird diejenige Farbstoffkombination beibehalten, für die der größte singuläre Wert am kleinsten ist. Die Auswahl der zu der stabilsten Farbwiedergabe führenden Farbstoffkombination ist in dem Flußdiagramm in Fig. 5 dargestellt. Die SVD einer Matrix kann unter Verwendung des Verfahrens berechnet werden, das in William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, "Numerical Recipes in C" [Numerische Rezepte in C], Cambridge University Press, 1992 vorgestellt wird.
Gemäß einem zweiten Ansatz erhält die Kontinuität der Farbstoffänderungen entlang bestimmter Wege im Farbraum Vorrang. Insbesondere in Bereichen glätter Ton- und Farbübergänge sind abrupte räumliche Änderungen bei Farbstoffwerten höchst unerwünscht, da sie bei Gegenwart einer Fehlregistrierung zwischen den Farbstoffebenen sichtbare Artefakte erzeugen. Für einen cmy-Druckprozeß beispielsweise kann dies in die Anforderung übersetzt werden, daß die Wiedergabe von Degrades von Weiß zu cm, cy und my und von cmy zu cm, cy und my so glatt wie möglich zu machen ist. Bei der nachfolgenden Berechnung der Farbstoffwerte für die Wiedergäbe derartiger Farbwege wird immer derjenige Satz von Farbstoffen ausgewählt, der sich (hinsichtlich des kleinsten mittleren Quadrats) am wenigsten von dem Satz von Farbstoffen an dem vorausgegangenen. Punkt auf dem Weg unterscheidet. Das gleiche Prinzip kann verwendet werden, wenn die Punkte einer dreidimensionalen Auszugsnachschlagetabelle ausgefüllt werden sollen.

Inversion eines 4-Druckfarben-Prozesses

Neugebauer-Gleichungen

Da die Neugebauer-Gleichungen stetige Funktionen sind, kann es im Farbstoffraum bis zu sechs Wege geben, die die gleiche Farbe ergeben. Dies kann wie folgt betrachtet werden. Wenn der vierte Farbstoff konstant gehalten wird, dann kann es zur Wiedergabe einer gegebenen Farbe bis zu sechs Lösungen geben. Durch unendliches Variieren der vierten Farbe werden aufgrund der stetigen Beziehungen zwischen den Farbwerten und Farbstoffen die vorausgegangenen sechs Lösungen ebenfalls unendlich geändert. Durch Ändern des vierten Farbstoffs werden somit im Farbstoffraum sechs Wege erhalten, die eine gegebene Farbe ergeben.
Um eine Farbstoffkombination auszuwählen, werden für einen Farbstoff, mit dem eine gegebene Farbe erzielt werden kann, der Mindestwert und der Höchstwert bestimmt. Diese Werte können beispielsweise durch Invertieren aller extrahierten 3-Druckfarben-Grenzprozesse des 4-Druckfarben- Prozesses für die gegebene Farbe berechnet werden. Pro Farbstoff sind der Mindestwert und der Höchstwert aller dieser Farbstofflösungen der Mindestwert und der Höchstwert dieses Farbstoffs, mit dem die gegebene Farbe erreicht werden kann. Die sechs Wege können nun durch Wählen eines Werts für einen Farbstoff zwischen seinem Mindestwert und Höchstwert, Extrahieren des 3-Druckfarben-Prozesses durch Einsetzen dieses Werts in den 4-Druckfarben-Prozeß und Invertieren des extrahierten 3-Druckfarben-Prozesses für die gegebene Farbe abgetastet Werden. Unter allen diesen Farbstoffkombinationen, die in den Farbstoffumfang fallen, wird derjenige Satz beibehalten, für den eine gegebene Kostenfunktion ein Minimum ist. Mehrere Beispiele von Kostenfunktionen sind:
- Stabilste Wiedergabe: Im Fall eines 4-Druckfarben-Prozesses wird die Beziehung zwischen Farbänderungen und Farbstoffänderungen mit einer 3 · 4-Matrix ausgedrückt. Es wird derjenige Farbstoffsatz beibehalten, für den der größte singuläre Wert ein Minimum ist.
- Minimaler Farbstoff: diejenige Farbstoffkombination, für die ein gegebener Farbstoffwert ein Minimum ist
- Maximäler Farbstoff: diejenige Farbstoffkombination, für die ein gegebener Farbstoffwert ein Maximum ist
- Prozentsatz Farbstoff: die Farbstoffkombination, für die eine gegebene Farbe einem Prozentsatz zwischen ihrem Mindestwert und Höchstwert entspricht
- Minimumfarbstoffsumme: die Farbstoffkombination, für die die Summe der Farbstoffe ein Minimum ist
- Maximumfarbstoffsumme: die Farbstoffkombination, für die die Summe der Farbstoffe ein Maximum ist
- Gleiche Farbstoffe: die Farbstoffkombination, für die die Differenz zwischen den Farbstoffwerten so klein wie möglich ist
- Moire: die Farbstoffkombination, die gegenüber Moire am unempfindlichsten ist
- Weg: Wählen eines Weges aus den sechs Wegen, der zu der gegebenen Farbe führt, und Anwenden einer Kostenfunktion, um auf diesem Weg eine Farbstoffkombination auszuwählen.
- Kontinuität: Farbstoffkombinationen werden derart gewählt, daß kontinuierliche Farbänderungen in kontinuierliche Farbstoffänderungen getrennt werden.
Es ist klar, daß diese Liste von Kostenfunktionen unbegrenzt ist und daß viele Weitere Kostenfunktionen existieren, die in den Schutzbereich und den Gedanken der vorliegenden Erfindung fallen.

Lokalisierte Neugebauer-Gleichungen

Das vorausgegangene Verfahren kann auf die lokalisierten Neugebauer-Gleichungen mit vier Farbstoffen ausgeweitet werden. Pro Neugebauer-Zelle kann es bis zu 6 Wege geben, die auf die gleiche Farbe im Farbraum abbilden, und somit kann es mehrere Wege in der Farbstoffdomäne geben, die die gegebene Farbe ergeben, falls alle Wege in den Neugebauer-Zellen zusammengenommen werden. Da die lokalisierten Neugebauer-Gleichungen stetige Funktionen sind, gibt es jedoch Wege von benachbarten Zellen, die miteinander verbunden sind.
Zur Berechnung des Mindestwerts und Höchstwerts eines Farbstoffs, um eine gegebene Farbe zu erhalten, muß hinsichtlich des Verhaltens des Druckers eine Unterscheidung vorgenommen werden. Bei Prozessen mit gutem Verhalten, wie etwa einer cmyk-Offsetdruckmaschine, können der Mindestwert und Höchstwert eines Farbstoffs, um eine gegebene Farbe zu bilden, dadurch gefunden werden, daß die extrahierten 3- Druckfarben-Grenzprozesse der lokalisierten Neugebauer- Gleichungen bestimmt und diese extrahierten 3-Druckfarben- Grenzprozesse für die gegebene Farbe invertiert werden. Pro Farbstoff sind der Mindestwert und Höchstwert dieser Farbstofflösungen der Mindestwert und Höchstwert für diesen Farbstoff, mit dem die gegebene Farbe erreicht werden kann. Bei einigen unkonventionellen Prozessen muß jedoch eine vorausgegangene Prozedur pro Neugebauer-Zelle angewendet werden, d. h. Bestimmen der extrahierten 3-Druckfarben- Grenzprozesse und Invertieren dieser extrahierten Grenzprozesse für die gegebene Farbe. Pro Farbstoff sind der kleinste und größte Farbstoffwert aller vorausgegangenen Farbstofflösungen der Mindestwert und Höchstwert dieser Farbstoffe, mit denen die gegebene Farbe erhalten werden kann.
Dann wird ein Farbstoff zwischen seinem Mindestwert und Höchstwert abgetastet, der 3-Druckfarben-Prozeß wird extrahiert, indem dieser Wert in den 4-Druckfarben-Prozeß eingesetzt wird, und schließlich wird der extrahierte 3- Druckfarben-Prozeß für die gegebene Farbe invertiert. Unter allen diesen Farbstoffkombinationen wird derjenige Satz beibehalten, der in den Farbstoffumfang des n-Druckfarben- Prozesses fällt und für den eine gegebene Kostenfunktion ein Minimum ist.

Allgemeines Druckermodell

Inversion eines n-Druckfarben-Prozesses

Neugebauer-Gleichungen

Vorausgegangene Verfahren können für jede Anzahl von Druckfarben verallgemeinert werden. Der kleinste und größte Farbstoffwert zur Reproduktion einer gegebenen Farbe wird durch Bestimmen aller extrahierten 3-Druckfarben-Grenzprozesse des n-Druckfarben-Prozesses und Invertieren dieser extrahierten 3-Druckfarben-Grenzprozesse für die gegebene Farbe erhalten. Pro Farbstoff sind der Mindestwert und Höchstwert aller dieser Farbstofflösungen der kleinste und größte Farbstoffwert für diesen Farbstoff zum Reproduzieren der gegebenen Farbe.
Für einen n-Druckfarben-Prozeß mit n > 3 gibt es n-3 Freiheitsgrade, weshalb n-3 Farbstoffe als Parameter berücksichtigt werden, die Farbstoffwerte zwischen ihrem Mindestwert und Höchstwert aufweisen können, mit denen eine gegebene Farbe erreicht werden kann. Dieser (n-3)-dimensionale Parameterraum wird abgetastet, und der 3-Druckfarben- Prozeß wird aus dem n-Druckfarben-Prozeß extrahiert, indem die (n-3) Farbstoffe in dem Druckermodell des n-Druckfarben- Prozesses auf ihre Abtastwerte gesetzt werden. Dieser extrahierte 3-Druckfarben-Prozeß wird invertiert, und für alle Abtastpunkte wird diejenige Lösung beibehalten, für die eine gegebene Kostenfunktion ein Minimum ist, wobei die Farbstoffbegrenzungen des Farbstoffumfangs des n-Druckfarben- Prozesses berücksichtigt werden.

Lokalisierte Neugebauer-Gleichungen

Das vorausgegangene Verfahren kann auf die lokalisierten Neugebauer-Gleichungen mit n Farbstoffen ausgeweitet werden.
Zur Berechnung des Mindestwerts und Höchstwerts eines Farbstoffs, um eine gegebene Farbe zu erhalten, muß hinsichtlich des Verhaltens des Druckers eine Unterscheidung vorgenommen werden. Bei Prozessen mit gutem Verhalten, wie etwa einer cmyk-Offsetdruckmaschine, können der Mindestwert und Höchstwert eines Farbstoffs, um eine gegebene Farbe zu bilden, dadurch gefunden werden, daß die extrahierten 3- Druckfarben-Grenzprozesse der lokalisierten Neugebauer- Gleichungen bestimmt und diese extrahierten 3-Druckfarben- Grenzprozesse für die gegebene Farbe invertiert werden. Pro Farbstoff sind der Mindestwert und Höchstwert dieser Farbstofflösungen der Mindestwert und Höchstwert für diesen Farbstoff, mit dem die gegebene Farbe erreicht werden kann. Bei einigen unkonventionellen Prozessen muß jedoch eine vorausgegangene Prozedur pro Neugebauer-Zelle angewendet werden, d. h. Bestimmen der extrahierten 3-Druckfarben- Grenzprozesse und Invertieren dieser Prozesse für die gegebene Farbe. Pro Farbstoff sind der kleinste und größte Farbstoffwert aller vorausgegangenen Farbstofflösungen der Mindestwert und Höchstwert dieser Farbstoffe, mit denen die gegebene Farbe erhalten werden kann.
Dann werden die n-3 Farbstoffe zwischen ihrem Mindestwert und Höchstwert abgetastet, der 3-Druckfarben-Prozeß wird durch Einsetzen dieser Werte in das Druckermodell des n-Druckfarben-Prozesses extrahiert und schließlich wird der extrahierte 3-Druckfarben-Prozeß für die gegebene Farbe invertiert. Aus allen diesen Farbstoffkombinationen wird derjenige Satz beibehalten, der in den Farbstoffumfang des n- Druckfarben-Prozesses fällt und für den eine gegebene Kostenfunktion ein Minimum ist.

Allgemeines Druckermodell

Jedes Druckermodell kann durch Verwendung der lokalisierten Neugebauer-Gleichungen mit dieser Genauigkeit approximiert werden, wenn eine ausreichende Anzahl von Neugebauer-Zellen verwendet wird. Es ist deshalb möglich, jedes Druckermodell zu invertieren, indem dieses Modell mit den lokalisierten Neugebauer-Gleichungen approximiert wird und diese Gleichungen invertiert werden.
Nachdem bevorzugte Ausführungsformen der vorliegenden Erfindung ausführlich beschrieben worden sind, ist dem Fachmann nunmehr offensichtlich, daß daran zahlreiche Modifikationen vorgenommen werden können, ohne von dem Schutzbereich der Erfindung, wie er in den folgenden Ansprüchen definiert ist, abzuweichen.

Claims

1. Verfahren zum Berechnen eines Satzes von Farbstoffwerten (c&sub1;, c&sub2;, ... cn) zum Erhalten einer gegebenen Farbe durch eine Farbreproduktionseinrichtung unter Verwendung eines N-Druckfarben-Prozesses, mit dem Schritt des Modellierens der Farbreproduktionseinrichtung durch Neugebauer-Gleichungen zur Vorhersage einer Farbe aus einem gegebenen Satz von Farbstoffwerten (c&sub1;, c&sub2;, ... cn), gekennzeichnet durch die folgenden Schritte:

- Extrahieren eines 3-Druckfarben-Prozesses aus den Neugebauer-Gleichungen durch Setzen von N-3 Farbstoffwerten auf einen konstanten Wert;

- Finden mehrerer Sätze von Farbstoffwerten (c&sub1;, c&sub2;, cn)k, k = 1, ..., die die Farbe durch Inversion der Neugebauer-Gleichungen des 3-Druckfarben-Prozesses für die gegebene Farbe reproduzieren können;

- Auswahl eines Satzes von Farbstoffwerten (c&sub1;, c&sub2;, ... cn) aus den mehreren Sätzen.

2. Verfahren nach Anspruch 1, weiterhin mit den folgenden Schritten:

- Definieren eines Farbstoffraums;

- Aufteilen des Farbstoffraums in Neugebauer-Zellen als Unterdomänen des Farbstoffraums;

- Modellieren der Farbreproduktionseinrichtung durch einen Satz lokalisierter Neugebauer-Gleichungen pro Neugebauer-Zelle;

- Extrahieren eines 3-Druckfarben-Prozesses aus den lokalisierten Neugebauer-Gleichungen durch Setzen von N-3 Farbstoffwerten auf einen konstanten Wert;

- Finden mehrerer Sätze von Farbstoffwerten (c&sub1;, c&sub2;, ... cn)k, k = 1, ... durch Inversion der lokalisierten Neugebauer-Gleichungen des 3-Druckfarben-Prozesses für die gegebene Farbe;

- Auswahl eines Satzes von Farbstoffwerten (c&sub1;, c&sub2;, ... cn) aus den mehreren Sätzen, wobei die Farbstoffwerte (c&sub1;, c&sub2;, ... cn) in der entsprechenden Neugebauer-Zelle enthalten sind.

3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, weiterhin mit den folgenden Schritten:

- Transformieren des 3-Druckfarben-Prozesses auf mindestens ein Polynom in einer Variablen;

- Invertieren des 3-Druckfarben-Prozesses durch Finden mehrerer Wurzeln des Polynoms.

4. Verfahren nach Anspruch 3, weiterhin mit den folgenden Schritten:

- Finden eines kleinsten und größten Farbstoffwerts, die sich zum Reproduzieren der gegebenen Farbe eignen, für mindestens einen Parameter;

- Abtasten des Parameters in einem Bereich zwischen dem Minimum und Maximum.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, wobei der Satz durch Minimierung einer Kostenfunktion ausgewählt wird.

6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, weiterhin mit den folgenden Schritten:

- Zurückweisen komplexer oder imaginärer Lösungen;

- Zurückweisen von Lösungen außerhalb eines festgelegten Farbstoffraums.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, wobei nicht druckbare Farben auf druckbare Farben in einem Farbumfang der Farbreproduktionseinrichtung abgebildet werden.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, weiterhin mit den folgenden Schritten:

- für jeden Satz von Farbstoffwerten, Bewerten einer durch inkrementale Änderungen von Farbstoffwerten verursachten Farbänderung;

- Auswählen des Satzes von Farbstoffwerten mit der kleinsten Farbänderung.

9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, weiterhin mit den folgenden Schritten:

- Auswählen mindestens eines kontinuierlichen Wegs im Farbraum;

- Auswählen des auf einem kontinuierlichen Weg im Farbstoffraum liegenden Satzes von Farbstoffwerten, der durch die Neugebauer-Gleichungen auf den Weg im Farbraum transformiert wird.

10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, wobei die Neugebauer-Gleichungen trilineare Polynome sind.

11. Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 10, wobei die Neugebauer-Zellen gegenseitig disjunktiv und bevorzugt quaderförmig sind.