DE602006000587T2

DE602006000587T2 - Verfahren und System zum Bestimmen eines Impulspfades ohne Singularität

Info

Publication number: DE602006000587T2
Application number: DE602006000587T
Authority: DE
Inventors: Michael R. Plymouth Elgersma; Daniel P. Fridley Johnson; Gunter St. Paul Stein; Blaise G. Minnetonka Morton; Dennice F. Pasadena Gayme; Mason A. Ithaca PECK
Original assignee: Honeywell International Inc
Current assignee: Honeywell International Inc
Priority date: 2005-08-03
Filing date: 2006-08-02
Publication date: 2009-03-26
Anticipated expiration: 2026-08-03
Also published as: DE602006000587D1; EP1749743A1; JP4944534B2; JP2007042109A; US7464899B2; US20070029447A1; EP1749743B1

Description

Diese Erfindung betrifft das Gebiet der Steuerung von Weltraumfahrzeugen und insbesondere ein Verfahren und ein System zum Bestimmen eines singularitätfreien Impulspfades.
Um die Lage eines Weltraumfahrzeugs zu steuern, können verschiedene Rotationsträgheitselemente verwendet werden. Ein solches Trägheitselement ist ein Steuerimpulsgyroskop (CMG). Ein CMG weist in der Regel ein Schwungrad mit einer festen oder variablen Umdrehungsgeschwindigkeit auf, das an einer Kardanringbaugruppe montiert ist. Die Drehachse des CMG kann geneigt werden, indem man das CMG mit Hilfe der Kardanringbaugruppe bewegt. Diese Bewegung erzeugt ein gyroskopisches Drehmoment orthogonal zur Drehachse und Kardanringachse.
Um die volle Lagekontrolle über ein Weltraumfahrzeug zu erhalten, können mindestens drei CMGs, die so angeordnet sind, dass jedes CMG in der CMG-Anordnung ein Drehmoment um eine linear unabhängige Achse herum wirken lässt, verwendet werden. In der Regel sind noch weitere CMGs aus Redundanzgründen und zum Unterstützen des Vermeidens von Singularitäten vorhanden. Zu einer Singularität kommt es, wenn sich die Impulsvektoren der CMGs so aneinanderreihen, dass eine oder mehrere Komponenten des gewünschten Drehmoments nicht bereitgestellt werden können.
Es sind mehrere verschiedene Techniken zum Vermeiden von Singularitäten entwickelt worden. In einem dieser Verfahren ist als erstes festzustellen, dass ein Jacobisches A die CMG-Kardanringraten in ein Drehmoment einer dreidimensionalen Anordnung hinein abbildet: Aω = τ (1)wobei A eine Jacobische 3×n-Matrix ist, ω eine n×1- Anordnung von Kardanringraten für die n Kardanringe ist und τ eine 3×1-Anordnung von Drehmomentkomponenten ist, die auf das Weltraumfahrzeug einwirken sollen. Aus der obigen Gleichung und mit einem bekannten Drehmomentbefehl, τ, können die individuellen Kardanringraten für jedes CMG berechnet werden. Unter Verwendung der bekannten Moore-Penrose-Pseudoinversen zum Invertieren der Jacobischen Matrix ist ein Satz möglicher Kardanringraten: ω = AT(AAT)–1τ (2)
Wie zuvor besprochen, besteht bei der Verwendung von CMGs inhärent die Möglichkeit, dass die Impulsvektoren der CMGs sich so aneinanderreihen können, dass ein Singularitätszustand erreicht wird. Mathematisch können Singularitäten auftreten, wenn sich die Eigenwerte von AA^T null nähern, wodurch (AA^T)^–1 in Richtung Unendlichkeit geht. Oder Singularitäten können gleichermaßen auftreten, wenn die Determinante der Matrix AA^T gleich null ist (algebraisch als det(AA^T) = 0 ausgedrückt). Im Fall einer 3×n-Matrix A ist dies gleichbedeutend mit der Feststellung, dass der Rang der Matrix AA^T zwei oder weniger ist.
Es sind verschiedene Lösungsansätze zum Vermeiden von Singularitäten in der Bewegung von CMGs entwickelt worden. Bei einem Lösungsansatz wird, um sicher zu gehen, dass (AA^T)^–1 niemals 0 ist, (AA^T)^–1 durch (AA^T + εI)^–1 ersetzt, wobei I die Identitätsmatrix ist und ε eine kleine Zahl ist. Die Verwendung eines positiven ε gewährleistet, dass det(AA^T + εI)^–1 niemals 0 wird.
Zwar ist dieser Lösungsansatz in einigen Fällen brauchbar, aber ein Nachteil ist, dass dieser Lösungsansatz die Kardanringratenberechnung verändert. Im Fall des Jacobischen A bedeutet die Verwendung der Pseudoinversen, dass die Kardanringraten aufgrund des durch ε hervorgerufenen Fehlers nicht mehr exakt in die befohlenen Drehmomente hinein abgebildet werden. Dieser resultierende Fehler lenkt das Weltraumfahrzeug in die falsche Richtung und kann ein erhebliches unerwünschtes Drehmoment, insbesondere nahe der Singularität, hervorrufen.
Ein zweiter Lösungsansatz besteht darin, die Impulsabgabe der CMG-Anordnung auf einen kleineren Bereich innerhalb einer Impuls-Enveloppe zu begrenzen. Die Impuls-Enveloppe ist der Impuls, der in allen möglichen Kombinationen der CMGs in der CMG-Anordnung abgegeben wird. Je nach der CMG-Anordnung lassen sich – in einer Ausführungsform – durch Operieren innerhalb maximal eines Drittels der Impuls-Gesamtenveloppen Singularitäten vermeiden. Dieser Lösungsansatz vergeudet allerdings potenzielles Drehmoment und führt zu Systemen, die viel größer und schwerer als erforderlich sind.
Ein weiterer Lösungsansatz ist die Verwendung von Lenkgesetzen, die Singularitäten vermeiden. Lenkgesetze ermöglichen das Bestimmen eines singularitätsfreien Impulspfades vor dem Bewegen der CMGs. Die Schwierigkeit bei Lenkgesetzen ist, dass das Bestimmen des Pfades in der Regel ein mit hohem Rechenaufwand verbundenes Unterfangen ist, das zu einer übermäßigen Verzögerung zwischen dem Befehl zum Drehen des Weltraumfahrzeugs und der eigentlichen Einleitung der Drehung führt. Es wird ein Lenkgesetz gebraucht, dass effizient und schnell einen singularitätfreien Impulspfad bestimmen kann.
WO-A-99/47419 , "Constrained steering law of pyramidtype control moment gyros and ground tests", Journal of Guidance and Control and Dynamics, Band 20, Nummer 3, Mai 1997, Seiten 445 bis 449, und "Inverse-free technique for attitude control of spacecraft", ACTA astronautica, Band 39, Nummer 6, September 1996, Seiten 431 bis 438, offenbaren beide Verfahren und Vorrichtungen zum Ermöglichen einer Lagesteuerung von Weltraumfahrzeugen.
Gemäß der Erfindung wird ein Verfahren zum Vermeiden von Singularitäten in der Bewegung von CMGs in einer Anordnung von CMGs in einem Weltraumfahrzeug bereitgestellt, das folgende Schritte aufweist:
Empfangen eines Befehls zum Ändern einer Orientierung des Weltraumfahrzeugs; und
Berechnen eines Drehmoments, das benötigt wird, um den Befehl auszuführen;
gekennzeichnet durch folgende Schritte:
Integrieren des Drehmoments, um einen Impulspfad zu bestimmen;
Approximieren des Impulspfades mit mehreren geraden Liniensegmenten; für jedes Liniensegment der mehreren Liniensegmente:
Bestimmen eines Einheitsvektors entlang den geraden Liniensegmenten;
Bestimmen, ob es einen durchgängigen Pfad gibt, der einen Startpunkt und einen Endpunkt des Liniensegments in einer Ebene senkrecht zu dem Einheitsvektor verbindet;
Bestimmen eines Satzes Impulsvektoren; und
Berechnen einer erforderlichen Kardanringbewegung für die CMGs in der Anordnung von CMGs für den Satz Impulsvektoren, die für jedes Liniensegment bestimmt wurden.
Ein System gemäß der Erfindung ist in Anspruch 6 definiert.
In den Zeichnungen:
Die vorliegende Erfindung wird im Weiteren in Verbindung mit den folgenden Zeichnungsfiguren beschrieben, in denen gleiche Bezugszahlen gleiche Elemente bezeichnen und in denen Folgendes dargestellt ist:
1 ist ein Blockschaubild, das ein beispielhaftes CMG-Steuersystem gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung veranschaulicht.
2 ist ein Flussdiagramm eines Roadmap-Algorithmus zur Verwendung bei der CMG-Pfadplanung gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung und
3 veranschaulicht eine torusförmige Impuls-Enveloppe, die auf eine Ebene projiziert wird, gemäß einer beispielhaften Ausführungsform der vorliegenden Erfindung.
4 veranschaulicht die Projektion einer Impuls-Enveloppe für w_perp' × (h₁ + h₂) gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung.
5 veranschaulicht die Projektion einer Impuls-Enveloppe für w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)) gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung.
6 veranschaulicht 4 und 5 in Kombination gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung.
7 veranschaulicht die Bildung von Straßen und Kreuzungspunkten in einer Projektion der Impuls-Enveloppe einer CMG-Anordnung gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung und
8 ist ein Flussdiagramm, das ein Verfahren zum Manövrieren eines Weltraumfahrzeugs gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung veranschaulicht.
Die folgende detaillierte Beschreibung ist lediglich von beispielhafter Natur und soll weder die Erfindung noch deren Anwendungen und Nutzungsmöglichkeiten einschränken. Des Weiteren besteht nicht die Absicht, durch eine ausdrückliche oder implizierte Theorie gebunden zu sein, die in den vorangegangenen Abschnitten Technisches Gebiet, Allgemeiner Stand der Technik und Kurzdarstellung oder in der folgenden detaillierten Beschreibung dargestellt wurden bzw. werden.
Die folgende detaillierte Beschreibung beschreibt die Verwendung der vorliegenden Erfindung im Hinblick auf ihre Verwendung in einem beispielhaften System zum Vermeiden von Singularität in CMG-Anordnungen. Allerdings sind die Anwendungsmöglichkeiten der vorliegenden Erfindung nicht auf eine bestimmte Anwendung oder Ausführungsform beschränkt, sondern sie sind auf vielen verschiedenen Arbeitsgebieten von Nutzen.
Ein beispielhaftes Steuersystem 100 zum Implementieren der vorliegenden Erfindung ist in 1 veranschaulicht. Die Komponenten des Steuersystems 100 sind dem Fachmann bekannt und können auf verschiedene Weisen zusammengesetzt werden unter Verwendung verschiedener Prozessoren, Software, Steuereinheiten, Sensoren und dergleichen. Außerdem können verschiedene Rechenfunktionen, die in der Regel durch einen Teil des Systems ausgeführt werden, ebenso durch einen anderen Teil ausgeführt werden. Das System 100, wie in 1 gezeigt, enthält Teile, die für die Besprechung der vorliegenden Erfindung relevant sind, und das System 100 kann auch andere Elemente oder Systeme enthalten, die in einem Steuersystem vorhanden sein könnten und die alle bestens bekannt sind und nicht in 1 gezeigt sind.
Das Steuersystem 100 enthält ein Lagesteuersystem 102, das mit einem Impulsauslöse-Steuerprozessor 104 gekoppelt ist. CMGs 106 sind mit dem Impulsauslöse-Steuerprozessor 104 gekoppelt. Jedem CMG 106 sind ein oder mehrere CMG-Sensoren 108 zugeordnet, die Informationen bezüglich des Zustands des CMG 106 an das Steuersystem übermitteln. Das Steuersystem 100 ist in einer Ausführungsform an einem Weltraumfahrzeug, wie zum Beispiel einem erdumkreisenden Satelliten, montiert.
Das Lagesteuersystem 102 steuert die Positionierung eines Weltraumfahrzeugs. Das Lagesteuersystem 102 empfängt Daten bezüglich eines gewünschten Manövers des Weltraumfahrzeugs und legt einen geeigneten Drehmomentbefehl fest, um das gewünschte Manöver auszuführen. Die Drehmomentbefehle können an den Impulsauslöse-Steuerprozessor 104 übermittelt werden. Der Impulsauslöse-Steuerprozessor 104 kann in Reaktion auf die Drehmomentbefehle die Kardanringraten berechnen, die zum Erzeugen des befohlenen Drehmoments nötig sind. Außerdem kann der Impulsauslöse-Steuerprozessor 104 die Kardanringbewegung anhand eines Impulspfades berechnen, der durch ein Lenkgesetz bestimmt wurde.
Der Impulsauslöse-Steuerprozessor 104 gibt auf der Grundlage der oben genannten Berechnungen die nötigen Befehle an die CMGs 106 aus, so dass die CMG-Bewegung das befohlene Drehmoment erzeugt und – gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung – das Drehmoment abgibt, während Singularitäten vermieden werden.
2 ist ein Flussdiagramm einer beispielhaften Ausführungsform eines Verfahrens 200, das einen geraden Pfad im Impulsraum erzeugt, der Singularitäten vermeidet, und einen entsprechenden Pfad im Kardanringwinkelraum für – in diesem Beispiel – einen Satz aus vier CMGs erzeugt, die auf den Flächen einer vierseitigen Pyramide ausgerichtet sind. Es werden drei CMGs benötigt, um drei Freiheitsgrade zu erhalten, und der vierte CMG kann für Redundanzzwecke verwendet werden, und um zu helfen, Singularitäten zu vermeiden.
In einem ersten Schritt, Schritt 202, wird der dreidimensionale Impulsraum, der durch die Bewegung der vier CMGs gebildet wird, in eine zweidimensionale Projektion zerlegt. Zunächst ist zu beachten, dass der gegebene Impuls für alle vier CMGs ist: h = h1 + h2 + h3 + h4 (3)wobei jede tiefgestellte Zahl ein individuelles CMG darstellt. In diesem verfahren liegt der befohlene Impulspfad auf der Linie: h(t) = h0 + t × w (4)wobei h₀ ein Punkt auf der Impulslinie ist, t eine skalare Quantität ist, die sich entlang der Linie bewegt (zum Beispiel ein Zeitparameter), und w ein Einheitsvektor entlang der Richtung der Linie ist.
Ein Gleichsetzen der Gleichungen 3 und 4 ergibt: h1 + h2 + h3 + h4 = h0 + t × w (5)
Da w ein Einheitsvektor entlang der Linie ist, kann w_perp als eine Projektion auf die Ebenen orthogonal zu w definiert werden. Wenn zum Beispiel w ein Einheitsvektor ist, der sich in der x-Achse bewegt, dann ist w_perp die y- und z-Ebene.
Das Multiplizieren beider Seiten von Gleichung 5 mit der Transponierten von w_perp ergibt: w_perp' × (h1 + h2) = w_perp' × (h0 – (h3 + h4)) (6)da w_perp' × w = [0, 0].
Gleichung 6 stellt eine zweidimensionale Projektion der Impuls-Enveloppe der CMGs dar. In der Projektion werden sowohl h₁ + h₂ als auch h₀ – (h₃ + h₄) auf die w_perp-Ebene projiziert. Da sich der Impulspfad entlang einer Linie in der w-Ebene bewegt, muss jede Bewegung von h₁ + h₂ in der w_perp-Ebene exakt durch die Bewegung von h₃ + h₄ in der w_perp-Ebene ausgelöscht werden, da Gleichung 4 verlangt, dass alle Impulse entlang der geraden Linie verlaufen. Darum sind Bereiche, wo die Projektion von h₁ + h₂ sich mit der Projektion von h₀ – (h₃ + h₄) in der w_perp-Ebene überlappt, mögliche Bereiche, wo ein Impulspfad entlang der w-Linie existiert, mit einem konstanten Effektivimpuls von w_perp' × h₀ in dem zweidimensionalen Raum senkrecht zu w.
Als ein Beispiel der Projektion von h₁ + h₂ auf die w_perp-Ebene ist zu beachten, dass der Impuls, h₁, eines ersten CMG auf einem Kreis liegt und der Impuls, h₂, eines zweiten CMG auf einem anderen Kreis liegt. In dieser beispielhaften Ausführungsform sind die relativen Geschwindigkeiten des Schwungrades des CMGs so bemessen, dass h₁ + h₂ zusammen eine Doughnut-förmige Figur bilden können, die gemeinhin als ein Torus bezeichnet wird. Wenden wir uns 3 zu, wo ein Torus 302 den Impulsraum darstellt, der durch h₁ + h₂ gebildet wird. In 3 wird der Torus 302 auf eine zweidimensionale Impuls-Enveloppe 304 projiziert, wodurch eine Impuls-Projektion 303 entsteht. Eine vertikale Linie kann den Torus 302 an 0, 2 oder 4 Stellen durchdringen. Wenn zum Beispiel eine erste Linie 306 außerhalb des Torus 302 liegt oder durch das Loch des Torus 302 verläuft, dann schneidet die erste Linie 306 den Torus 302 an 0 Stellen. Eine zweite Linie 307 schneidet die Oberfläche des Torus 302 an zwei Stellen, Punkt 308 und Punkt 310. Außerdem kann eine dritte Linie 309 in den Torus 302 eintreten und durch zwei Punkte hindurch verlaufen und sich dann durch das Loch hindurch fortsetzen und auf einer gegenüberliegenden Seite des Torus 302 austreten, wo die Linie dann an zwei weiteren Stellen, also insgesamt vier Stellen, den Torus durchdringt. Zum Beispiel kann die dritte Linie 309 den Torus 302 an Punkt 312, an Punkt 314, an Punkt 316 und an Punkt 318 schneiden.
Um die Anzahl der Stellen zu bestimmen, an denen eine Linie eine Impuls-Enveloppe an jedem beliebigen Punkt (y, z) in der Projektionsebene schneiden kann, können die Winkel θ₁ und θ₂ unter Verwendung von w_perp × (h₁(θ₁) + h₂(θ₂)) = [y, z] gelöst werden. Das Lösen dieser Gleichungen erzeugt ein Polynom vierter Ordnung, das vier Lösungen über das Feld der komplexen Zahlen hat. Das Ignorieren der komplexen (nicht-physikalischen) Lösung führt zu der Schlussfolgerung, dass es 0, 2 oder 4 reale Lösungen geben kann, was im dreidimensionalen Raum der Anzahl von Punkten entspricht, wo eine Linie die Impuls-Enveloppe schneidet.
Wenden wir uns 4 zu. 4 veranschaulicht eine Projektion 400 von w_perp × (h₁ + h₂) für eine bestimmte CMG-Anordnung. Die Projektion 400 enthält eine Außengrenze 402 und eine Innengrenze 404. Die Grenzen trennen Regionen unterschiedlicher Lösungen für w_perp × (h₁(θ₁) + h₂(θ₂)) = [y, z]. In einer ersten Region 406, die durch die Innengrenze 404 umschlossen wird, gibt es vier reale Lösungen. In einer zweiten Region 408 zwischen der Innengrenze 404 und der Außengrenze 402 gibt es zwei reale Lösungen. Außerhalb der Außengrenze 402 gibt es keine realen Lösungen.
5 veranschaulicht eine beispielhafte Projektion 500 von w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)). Die Grenzen trennen Regionen unterschiedlicher Lösungen für w_perp × (h₀ – (h₃(θ₃) + h₄(θ₄))) = [y, z]. In 5 gibt es eine Außengrenze 502 und eine Innengrenze 504, die sich an zwei Enden selbst überkreuzt. In einer ersten Region 506 zwischen der Außengrenze 502 und der Innengrenze 504 gibt es zwei reale Lösungen. In einer zweiten Region 508, die relativ elliptisch ist und durch die Innengrenze umschlossen wird, gibt es keine realen Lösungen. In den dritten Regionen 510, die etwas dreieckig sind und durch die Innengrenze 504 umschlossen werden, gibt es vier reale Lösungen.
Freilich ist, wie oben besprochen, der interessierende Bereich die Überlappung der zwei Projektionen. 6 veranschaulicht die Projektion von 4 und die Projektion von 5. Ein erster Bereich 602 stellt einen Bereich dar, wo Lösungen für die Projektion w_perp' × (h₁ + h₂) und die Projektion w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)) einander überlappen. Da jedes h_i einen Kreis umschreibt, der seine Mitte am Ursprung hat, ist w_perp' × (h_i + h_j) am Ursprung zentriert, und w_perp' × h₀ ist die Trennung zwischen den Mitten der zwei Doughnut-förmigen Regionen. Genauer gesagt, stellt der erste Bereich 602 die Überlappung der zweiten Region 408 der Projektion 400 und der ersten Region 506 der Projektion 500 dar. Bereiche, wo es entweder keine Überlappung gibt, wie zum Beispiel die zweite Region 604, oder wo sich ein Bereich mit null Lösungen mit einem Bereich mit zwei oder vier Lösungen überlappt, wie zum Beispiel die dritte Region 606, gibt es keine Lösungen. Ein vierter Bereich 608 stellt die Überlappung der ersten Region 406 der Projektion 400 und der ersten Region 506 der zweiten Projektion 500 dar. Ein fünfter Bereich 610 stellt die Überlappung der zweiten Region 408 der Projektion 400 und der dritten Region 510 der zweiten Projektion 500 dar.
Da verschiedene Regionen verschiedene Anzahlen von Lösungen haben, kann es sein, dass es beim Bewegen entlang der Impulslinie – wenn der Pfad in der w_perp- Ebene in einem Bereich beginnt, der mehr Lösungen hat als der Bereich, in dem der Pfad endet, und wenn am Anfang der falsche Pfad gewählt wird – möglicherweise keine durchgängige Lösung zwischen den zwei Regionen gibt, und es muss möglicherweise ein anderer Pfad gewählt werden, um den Endpunkt zu erreichen. Dies ist ein Beispiel einer Kardanringarretierung innerhalb des Impulsraums.
Kehren wir zu 2 zurück. In Schritt 204 werden die ersten Teile der Roadmap erzeugt, wenn die Grenzkurven für die Regionen w_perp × (h₁ + h₂) und w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)) konstruiert werden. Die Grenzkurven sind als Grenzen definiert, die Regionen mit verschiedenen Anzahlen von Lösungen trennen. Mathematisch lassen sie sich finden, indem man h_i als den Winkelimpuls des i-ten CMG und ∥⁣h_i∥⁣ als die konstante Impulsgrößenordnung nimmt. Jeder Impulsvektor h_i bewegt sich entlang eines Kreises. Wenn wir e_i als den konstanten Einheitsvektor senkrecht zu der Ebene nehmen, die diesen Kreis enthält, so ist e_i' × h_i = 0.
Bei einer gegebenen Impulslinie h = h₀ + w × t muss der Impuls senkrecht zu dieser Linie null sein, so dass w_perp' × (h₁ + h₂ + h₃ + h₄) = w_perp' × h₀, da w_perp' × w = [ 0 / 0]. Dies impliziert, dass w_perp' × (h₁ + h₂) = w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)). Da sich jedes h_i entlang einem Kreis bewegt, ergeben Kombinationen aus zwei von ihnen eine zweidimensionale Region. In der Ebene senkrecht zu w ist die zweidimensionale Region, die durch [y, z] = w_perp' × (h₁ + h₂) bestrichen wird, durch zwei Kurven begrenzt. Diese zwei eindimensionalen Kurven sind dort, wo die Funktion von zwei Variablen singulär ist, so dass die Funktion keine zweidimensionale Region ergibt, sondern zu einer eindimensionalen Grenzkurve degeneriert. Eine Funktion von zwei Variablen ist singulär, wenn die Jacobische Zwei-mal-zwei-Matrix singulär ist. Die Funktion [y, z] = w_perp' × (h_i + h_j) hat eine Jacobisches Matrix [dy, dz] = w_perp' × (dh_i + dh_j), wobei dh_i = e_i × h_i der Vektor senkrecht zu h_i in der Richtung ist, in der sich h_i ändert, wenn sich h_i entlang seinem Kreis bewegt. Die Jacobische ist singulär, wenn, und nur wenn, es einen zweidimensionalen Einheitsvektor v_ij gibt (v_ij also auf einem Kreis liegt), den die Jacobische zu null sendet, d. h. Vij' × w_perp' × ⌊ei × hiej × hj⌋ = [0 0]. (7)
Gleichermaßen hat die Funktion [y, z] = w_perp' × (h₀ – (h₃ + ... + h_n)) eine Jacobische Matrix [dy, dz] = –w_perp' × (h₃ + ... + dh_n), die singulär ist, wenn, und nur wenn, es einen zweidimensionalen Einheitsvektor v_3... _n gibt (v₃...n also auf einem Kreis liegt), den die Jacobische zu null sendet, d. h. v3...n × w_perp' ×[e2 × h3...en × hn] = [0...0] (8)
Aber für jeweils drei Vektoren a, b, c kann die Vektoridentität a' × (b × c) = det[a b c] mit a = w_perp × v_ij, b = e_i und c = h_i verwendet werden, um jede Hälfte der obigen Gleichung umzuwandeln in: 0 = vij' × w_perp' × (ei × hi) = (w_perp × vij)' × (ei × hi) = det[w_perp × vijeihi] = –hi' × (ei × (w_perp × vij)) (9)
Somit ist h_i orthogonal zu e_i × (w_perp × v_ij), und h_i ist orthogonal zu e_i, so dass h_i in der Richtung des Kreuzprodukts aus diesen zwei Vektoren verläuft. Somit sind Einheitsvektoren in diesen Richtungen gleich, bis zu einer möglichen Vorzeichenänderung:
Das Multiplizieren dieser Gleichung mit w_perp ergibt:
wobei die letzte Gleichheit die folgenden Vektoridentitäten verwendete, wobei alle Vektoren b, c, und Einheitsvektor e:
Eine symmetrische zwei-mal-zwei-Matrix A_i kann definiert werden als: Ai = w_perp × (I – ei × ei') × w_perp (13)
Die Verwendung dieser Matrix in der letzten Gleichung w_perp' × h_i ergibt:
Die inneren und äußeren (unten mit den Vorzeichen + und – zu verwenden) Grenzkurven der Region w_perp' × (h₁ + h₂) entstehen durch Bewegen von v₁₂ entlang einem Kreis und Berechnen von:
Die inneren und äußeren (unten mit den Vorzeichen + und – zu verwenden) Grenzkurven der Region w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)) entstehen durch Bewegen von v₃₄ entlang einem Kreis und Berechnen von:
Die Grenzkurven 2^n-3 (gilt unten für alle Vorzeichenauswahlen) der Region w_perp' × (h₀ – (h₃ + ... + h_n)) entstehen durch Bewegen von v_3...n entlang einem Kreis und Berechnen von:
Während des Berechnens der Kurven für die Region w_perp' × (h₁ + h₂) und die Region w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)) werden Schnittpunkte von Kurven gespeichert, und Kuspidalpunkte von Kurven werden gespeichert, um sie später bei den Roadmap-Berechnungen zu verwenden.
Wenden wir uns 7 zu. 7 veranschaulicht eine weitere Anordnung von vier CMGs mit einer w_perp-Projektion von h₁ + h₂ und h₀ – (h₃ + h₄). In diesem Beispiel unterscheiden sich die Werte von h₁, h₂, h₃ und h₄ von denen aus den 4–6. Die Projektion von w_perp' × (h₁ + h₂) ist durch die durchgezogene Linie dargestellt, und die Projektion von w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)) ist durch durchbrochene Linien dargestellt. Es gibt vier Regionen. Die erste Region 702 hat insgesamt 16 Lösungen, eine zweite Region 704 hat 8 Lösungen, eine dritte Region 706 hat 4 Lösungen, und eine vierte Region 708 hat 0 Lösungen. Wie zu sehen ist, trennt eine erste Grenzkurve 710 die erste und die zweite Region, eine zweite Grenzkurve 712 trennt die zweite Region und die dritte Region, eine dritte Grenzkurve 714 trennt die dritte Region 706 und die vierte Region 708, und eine vierte Grenzkurve 716 trennt die vierte Region 708 von Punkten außerhalb der Projektion.
Die Grenzkurven fungieren als Straßen oder Pfade in der Projektion. Das Bewegen aus einer Region in eine andere kann durch Bewegen entlang einer Grenzkurve geschehen, bis eine andere Grenzkurve oder eine überschneidende Straße oder ein überschneidender Pfad erreicht ist. In 6 überschneiden sich die Grenzkurven. In 7 überschneiden sich die Grenzkurven nicht. Das bedeutet nicht, dass es in 7 keine Pfade von einer Region zu einer anderen gibt. Es impliziert, dass zusätzliche Straßen in der Roadmap benötigt werden.
In Schritt 206 werden zusätzliche Straßen für die Roadmap festgelegt, indem horizontale Tangentenlinien konstruiert werden, die Grenzkurven verbinden. Die Tangentenlinien werden so konstruiert, dass sie tangential zu den Grenzkurven verlaufen. Da die Tangentenlinien horizontal verlaufen, verlaufen sie tangential zu Grenzkurven an lokalen Maxima und Minima. In 7 sind beispielhafte horizontale Tangentenlinien 720 veranschaulicht, welche die Grenzkurven überschneiden.
Außerdem sind horizontale Linien durch alle Kuspidalpunkte der Grenzkurven gezogen. Ein Kuspidalpunkt ist als ein Punkt definiert, wo sich die Richtung der Grenzkurve abrupt ändert. Wie in 7 zu sehen, hat die erste Grenzkurve 710 einen ersten Kuspidalpunkt 722, einen zweiten Kuspidalpunkt 724, einen dritten Kuspidalpunkt 726 und einen vierten Kuspidalpunkt 728. Die Kuspidallinien 730 sind durch die Kuspidalpunkte gezogen.
Die Kuspidalpunkte können, wo die Kurve abrupt die Richtung ändert, berechnet werden, indem man zuerst feststellt, dass die Formeln für Grenzkurven des zweidimensionalen [y, z] = w_perp' × (h₁ + h₂) gegeben sind durch:
Damit die Kurve abrupt ihre Richtung ändert, müssen alle Komponenten ihrer Ableitung auf null gehen. Um die Ableitung der rechten Seite der obigen Gleichung mit Bezug auf den zweidimensionalen Einheitsvektorparameter v₁₂ zu berechnen, müssen wir
auswerten.
Da v' × v = 1, muss die Änderung von v senkrecht zu v verlaufen:
so dass
Der 2×2-Matrix-Ausdruck (v' × A × v) × A – A × v × v' × A in der obigen Gleichung kann vereinfacht werden, indem alle skalaren Terme herausmultipliziert werden, wobei
verwendet werden, so dass man
erhält.
Die Verwendung dieser Identität in der vorherigen Gleichung und die Feststellung, dass ∥⁣v∥⁣² = 1 und (I – v × v') × (I – v × v') = (I – v × v'), ergibt:
Die Verwendung dieser Art von Ausdruck für beide Teile A₁ und A₂ der Kurvengleichung ergibt die Bedingungen für Kurvenkuspidalpunkte, die auftreten, wo die Ableitung der Kurve null ist:
Darum muss der Skalar, der die Matrix (I – v₁₂ × v₁₂') multipliziert, null sein. Die äußere Grenzkurve entspricht dem Vorzeichen + in der obigen Formel, und die Summe zweier positiver Terme kann nicht null sein, so dass die äußere Grenzkurve keinerlei Kuspidalpunkte aufweisen kann. Die innere Grenzkurve entspricht dem Vorzeichen – in der obigen Formel, so dass Kuspidalpunkte auf der inneren Grenzkurve auftreten, wo:
Das Multiplizieren der obigen Gleichung mit (v₁₂' × A₁ × v₁₂)^3/2 × (v₁₂' × A₂ × v₁₂)^3/2 ergibt: ∥⁣h1∥⁣ × det(A1) × (v12' × A2 × v12)3/2 = ∥⁣h2∥⁣ × det(A2) × (v12' × A1 × v12)3/2 (27)
Das Erheben beider Seiten zur Potenz von 2/3 ergibt: (∥⁣h1∥⁣ × det (A1))2/3 × (v12' × A2 × v12) = (∥⁣h2∥⁣ × det(A2))2/3 × (v12' × A1 × v12) (28)
Wenn wir c_i = (∥⁣h_i∥⁣ × det(A_i))^2/3 nehmen, so ergibt das Herausrechnen von v₁₂' auf der linken Seite und v₁₂ auf der rechten Seite: 0 = v12' × (c1 × A2 – C2 × A1) × v12 (29)
Um diese Gleichung für v₁₂ zu lösen, nehmen wir die Eigenzerlegungen der symmetrischen 2×2-Matrix als:
Mit [ p1 / p2] = U × v₁₂ wird die Kuspidalgleichung zu:
Diese Gleichung hat Lösungen, wenn, und nur wenn, λ₁ und λ₂ entgegengesetzte Vorzeichen haben, da
Nehmen wir λ₁ als den größten Eigenwert, dann sind, wenn λ₂ negativ ist, die vier Kuspidallösungen für den Einheitsvektor v₁₂:
Gleichermaßen sind die Kuspidalpunkte auf der inneren Grenzkurve der Region w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄)) durch Lösungen von: 0 = v34' × (c3 × A4 – c4 × A3) × v34 (33)gegeben.
Nachdem die Kuspidalpunkte ermittelt sind, können horizontale Linien durch die Kuspidalpunkte gezogen werden, wodurch zusätzliche Straßen entstehen, welche die Grenzkurven verbinden.
Gleichermaßen sind, bei Erweiterung auf N CMGs, die Kuspidalpunkte auf der inneren Grenzkurve der Region w_perp' × (h₀ – (h₃ + ... + h_n)) durch Lösungen Von:
gegeben.
Das Multiplizieren der obigen Gleichung mit (v_3...n' × A₃ × v_3...n)^3/2 × ... × (v_3...n' × A_n × v_3...n)^3/2 ergibt:
Das Erheben beider Seiten solcher Gleichungen zur Potenz von 2/3, das Umordnen und erneute Erheben zur Potenz von 2/3 und das Wiederholen des Prozesses n – 3-mal ergibt ein sehr hochgradiges (um die 2^n-2) Polynom im Verhältnis der zwei Komponenten des Einheitsvektors v_3...n. Das Bilden und Lösen solcher Polynome hoher Ordnung ist sehr schwierig für n > 4, so dass statt dessen Kuspidalpunkte der Grenzkurven
unter der Feststellung berechnet werden sollten, wann sich die Richtung der Kurve abrupt ändert, wenn die Kurve numerisch berechnet wird, wenn v_3...n einen Einheitskreis umschreibt.
Mit diesen zusätzlichen "Straßen" kann eine Bewegung von einer Grenzkurve zu einer anderen erfolgen, indem man sich entlang der Grenzkurve bewegt, bis eine Tangentenlinie erreicht ist, und dann weiter entlang der Tangentenlinie zu einer weiteren Grenzkurve bewegt. Zusätzlich zu den Linien, die im letzten Schritt konstruiert wurden, werden zusätzliche Linien benötigt, um die Startpunkte und die Endpunkte mit den Grenzkurven, den Tangentenlinien und den Kuspidallinien zu verbinden. Darum wird in Schritt 208 eine horizontale Linie 743 von einem Startpunkt 740 über alle Grenzkurven hinweg konstruiert, und eine horizontale Linie 745 wird von einem Endpunkt 742 über alle Grenzkurven hinweg konstruiert. Da der Impulspfad eine gerade Linie in einer Ebene orthogonal zur w_perp-Ebene ist, stimmen eine Projektion des Start- und des Stopppunktes überein. Somit erscheint eine Stopplinie in Übereinstimmung mit der Startlinie. Jedoch existieren die Linien auf verschiedenen Schichten der Projektion, etwa wie bei einer Brücke oder Autobahn mit zwei übereinanderliegenden Fahrbahnen, da sich die Start- und Stopppunkte in verschiedenen Entfernungen entlang der w-Linie befinden. Wenn zum Beispiel, womit wir zu 3 zurückkehren, der Startpunkt mit dem Punkt 312 und der Endpunkt mit Punkt 318 übereinstimmt, so sind in dreidimensionalen Räumen die zwei Punkte klar voneinander verschiedene Punkte. Nach einer Projektion in einen zweidimensionalen Raum scheinen der Startpunkt und der Endpunkt jedoch übereinzustimmen.
Nachdem alle Straßen konstruiert sind, können die Schnittpunkte der Linien und Kurven in Schritt 210 berechnet werden. Der Schnittpunkt stellt dar, wo ein Lösungspfad von einer Region mit Lösungen zu einer anderen Region mit Lösungen übergehen kann. Somit fungieren Kreuzungspunkte wie Autobahnausfahrten und -auffahrten im Straßenverkehr. Zum Beispiel beginnt der Startpunkt 740 in der ersten Region 702. Um sich zur zweiten Region 704 zu bewegen, kann die Bewegung von der Linie 743 zur ersten Grenzkurve 710 erfolgen, wo es einen Schnittpunkt gibt. Dann kann die Bewegung entlang der ersten Grenzkurve 710 zu einer Stelle erfolgen, wo eine der horizontalen Tangentenlinien 720 die Grenzkurve schneidet. An diesem Schnittpunkt kann die Bewegung entlang der horizontalen Tangentenlinie 720 in die zweite Region 704 hinein erfolgen.
Nachdem die Straßen und die Schnittpunkte in den zwei Dimensionen konstruiert sind, muss in Schritt 212 ermittelt werden, welche dieser Schnittpunkte auch Schnittpunkte im dreidimensionalen Raum sind. Die Schnittpunkte, zugehörigen Grenzkurven und horizontalen Linien in drei Dimensionen stellen dann die Roadmap dar.
Dann kann in Schritt 214 der beste Pfad, der vom Start zum Ziel zu nehmen ist, durch einen Algorithmus wie zum Beispiel den Dijkstra-Algorithmus bestimmt werden. Der Dijkstra-Algorithmus ist nach E. W. Dijkstra benannt, der einen Algorithmus entwickelt hat, um den kürzesten Pfad von einem ersten Punkt auf einer Kurve (dem Startpunkt 740) zu einem zweiten Punkt auf der Kurve (dem Endpunkt 742) zu finden. In diesem Algorithmus werden die Schnittpunkte als Scheitelpunkte in der Kurve betrachtet, und die Grenzkurven und horizontalen Kurven sind Kurvenränder.
8 veranschaulicht ein Verfahren 800 zum Steuern eines Weltraumfahrzeugs gemäß den Lehren der vorliegenden Erfindung. Zuerst wird in Schritt 802 ein Manövrierbefehl zum Drehen der Orientierung des Weltraumfahrzeugs empfangen. In einer beispielhaften Ausführungsform wird der Manövrierbefehl von einer Bodenkontrollstation an das Lagesteuersystem 102 des Weltraumfahrzeugs gesendet. Alternativ kann der Manövrierbefehl durch das Weltraumfahrzeug auf der Grundlage eines vorher festgelegten Bewegungsplanes erzeugt werden.
Nachdem der Manövrierbefehl empfangen wurde, wird in Schritt 804 das Drehmoment als eine Funktion der Zeit, die zum Manövrieren des Weltraumfahrzeugs benötigt wird, im Steuersystem 100 berechnet. Dies kann in einer Ausführungsform in dem Lagesteuersystem 102 erfolgen.
In Schritt 806 wird das in Schritt 804 berechnete Drehmoment integriert, um einen Impulspfad als eine Funktion der Zeit zu finden. Diese Berechnung kann in dem Lagesteuersystem 102 stattfinden. In Schritt 808 wird der Impulspfad in eine Reihe gerader Liniensegmente zerlegt. Als nächstes kann dann für jedes der individuellen Liniensegmente bestimmt werden, ob es einen durchgängigen Pfad von einem Startpunkt zu einem Endpunkt eines jeden der Liniensegmente gibt. Die Anzahl der Liniensegmente, die zum Approximieren eines Impulspfades benötigt wird, richtet sich danach, wie genau die Reihe der Liniensegmente an die ursprüngliche übergangslose Impulskurve angenähert werden muss.
In Schritt 810 wird für jedes Liniensegment ein Einheitsvektor w bestimmt. Wie zuvor besprochen, kann der Impuls für ein Liniensegment unter Verwendung des Einheitsvektors als: h(t) = h0 + t × w (37)ausgedrückt werden, wobei t ein Parameter, wie zum Beispiel die Zeit, ist, w der Einheitsvektor ist und h0 ein Punkt am Anfang des Liniensegments ist.
Als nächstes wird in Schritt 814 der Roadmap-Algorithmus verwendet, um zu bestimmen, ob es einen Pfad in der w_perp-Ebene gibt, der die Start- und Endpunkte für ein Liniensegment verbindet. Dann können, wenn es einen Pfad gibt, in Schritt 816 für jeden Punkt entlang dem Pfad in der w_perp-Ebene die individuellen Impulsvektoren h₁ und h₂ für jedes Liniensegment bestimmt werden.
Bei gegebenen Werten für den Punkt [y, z] in der Ebene senkrecht zu w kann die Gleichung [y, z] = w_perp' × (h₁ + h₂) verwendet werden, um individuelle Impulsvektoren h₁ und h₂ zu lösen. Der komplette Satz Gleichungen, die gelöst werden müssen, ist:
[y, z] = w_perp' × (h₁ + h₂): zwei lineare Gleichungen in h₁ und h₂ ∥⁣h1∥⁣2 = h1' × h1: quadratisch in h1 ∥⁣h2∥⁣2 = h2 × h2: quadratisch in h2 e1' × h1 = 0: lineare Gleichung in h1 e2' × h2 = 0: lineare Gleichung in h2 (38)
Da y, z, w_perp, ∥⁣h₁∥⁣², ∥⁣h₂∥⁣², e₁ und e₂ bekannt sind, können wir die obigen sechs Gleichungen für die sechs unbekannten Komponenten der Vektoren h₁ und h₂ lösen. Da vier der obigen sechs Gleichungen linear sind, können sie verwendet werden, um vier der Variablen auszuschalten, wodurch zwei quadratische Gleichungen in zwei verbleibenden Variablen übrig bleiben. Mit Hilfe von Standardtechniken, wie zum Beispiel Resultanten, können die zwei quadratischen Gleichungen in zwei Variablen verwendet werden, um eine einzelne quartische Gleichung (der vierten Ordnung) in einer einzigen Variable zu erhalten. Durch Lösen der vier Wurzeln der quartischen Gleichung und anschließende Rücksubstitution können die übrigen fünf Variablen gelöst werden. Dies ergibt vier Lösungen für die Vektoren h₁ und h₂.
Gleichermaßen kann, bei gegebenen Werten für den Punkt [y, z] in der Ebene senkrecht zu w und bei gegebenen beliebigen Werten für die Impulse h₅ bis h_n, die Gleichung [y, z] = w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄ + h₅ + ... + h_n)) verwendet werden, um individuelle Impulsvektoren h₃ und h₄ zu lösen. Der komplette Satz Gleichungen, die gelöst werden müssen, ist:
[y, z] = w_perp' × (h₀ – (h₃ + h₄ + h₅ + ... + h_n)): zwei lineare Gleichungen in unbekannten h₃ und h₄ ∥⁣h3∥⁣2 = h3' × h3: quadratisch in h3 ∥⁣h4∥⁣2 = h4' × h4: quadratisch in h4 e3' × h3 = 0: lineare Gleichungen in h3 e4' × h4 = 0: lineare Gleichungen in h4 (39)
Da y, z, w_perp, ∥⁣h₃∥⁣², ∥⁣h₄∥⁣², e₃, e₄ und h₅ bis h_n bekannt sind, können wir die obigen sechs Gleichungen für die sechs unbekannten Komponenten der Vektoren h₃ und h₄ lösen. Da vier der obigen sechs Gleichungen linear sind, können sie verwendet werden, um vier der Variablen auszuschalten, wodurch zwei quadratische Gleichungen in zwei verbleibenden Variablen übrig bleiben. Mit Hilfe von Standardtechniken, wie zum Beispiel Resultanten, können die zwei quadratischen Gleichungen in zwei Variablen verwendet werden, um eine einzelne quartische Gleichung in einer einzigen Variable zu erhalten. Durch Lösen der vier Wurzeln der quartischen Gleichung und anschließende Rücksubstitution können die verbleibenden 5 Variablen gelöst werden. Dies ergibt vier Lösungen für die Vektoren h₃ und h₄.
Die obige Lösungstechnik vermeidet das Verwenden von Trigonometrie. Eine alternative Lösungstechnik ist, h₁ und h₂ als Summen konstanter Vektoren mal den Sinus und den Kosinus der Kardanringwinkel θ₁ und θ₂ zu schreiben und dann die obigen vier linearen Gleichungen zusammen mit den folgenden zwei quadratischen Gleichungen zu lösen: (cos(θ₁))² + (sin(θ₁))² = 1 und (cos(θ₂))² + (sin(θ₂))² = 1.
Schließlich können die Impulsvektoren dann an den Impulsauslöse-Steuerprozessor 104 gesendet werden, und die richtigen Kardanringbewegungen können bestimmt werden. Wenn die Werte für θ₁ und θ₂ in Schritt 816 ermittelt werden, können in Schritt 818 die Kardanringwinkel auf der Grundlage der Werte, die für jeden Punkt in dem Pfad in der w_perp-Ebene bestimmt wurden, geändert werden.
Obgleich in der vorangegangenen detaillierten Beschreibung mindestens eine beispielhafte Ausführungsform vorgestellt wurde, versteht es sich, dass es eine sehr große Anzahl von Varianten gibt. Es versteht sich des Weiteren, dass die beispielhafte Ausführungsform oder die beispielhaften Ausführungsformen lediglich Beispiele sind und den Geltungsbereich, die Anwendbarkeit oder die Konfiguration der Erfindung in keiner Weise einschränken sollen. Vielmehr gibt die vorangegangene detaillierte Beschreibung dem Fachmann einen bequemen Wegweiser zum Implementieren der beispielhaften Ausführungsform oder beispielhaften Ausführungsformen in die Hand. Es versteht sich, dass verschiedene Änderungen an der Funktion und Anordnung von Elementen vorgenommen werden können, ohne den Geltungsbereich der Erfindung, wie er in den angehängten Ansprüchen dargelegt ist, zu verlassen.

Claims

Verfahren zum Vermeiden von Singularitäten in der Bewegung von CMGs (106) in einer Anordnung von CMGs (106) in einem Weltraumfahrzeug, das folgende Schritte aufweist: Empfangen eines Befehls zum Ändern einer Orientierung des Weltraumfahrzeugs; und Berechnen eines Drehmoments, das benötigt wird, um den Befehl auszuführen; gekennzeichnet durch folgende Schritte: Integrieren des Drehmoments, um einen Impulspfad zu bestimmen; Approximieren des Impulspfades mit mehreren geraden Liniensegmenten; für jedes Liniensegment der mehreren Liniensegmente: Bestimmen eines Einheitsvektors entlang den geraden Liniensegmenten; Bestimmen, ob es einen durchgängigen Pfad gibt, der einen Startpunkt und einen Endpunkt des Liniensegments in einer Ebene senkrecht zu dem Einheitsvektor verbindet; Bestimmen eines Satzes Impulsvektoren; und Berechnen einer erforderlichen Kardanringbewegung für die CMGs (106) in der Anordnung von CMGs (106) für den Satz Impulsvektoren, die für jedes Liniensegment bestimmt wurden.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt des Bestimmens eines Einheitsvektors des Weiteren aufweist, jedes Liniensegment zu einem Einheitsvektor und einem skalaren Parameter, der sich entlang der Linie h(t) = h0 + t × wbewegt, wobei h(t) der Impulspfad für das Liniensegment ist, t ein skalarer Parameter ist und w der Einheitsvektor ist, gleichzusetzen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt des Bestimmens, ob es einen durchgängigen Pfad gibt, der einen Startpunkt und einen Endpunkt des Liniensegments in einer senkrechten Ebene verbindet, des Weiteren enthält, eine Ebene senkrecht zu dem Einheitsvektor, w_perp-Ebene, zu berechnen.
Verfahren nach Anspruch 1, das des Weiteren das Senden des Impulsvektors zu einem Impulsauslöse-Steuerprozessor enthält, um die erforderliche Kardanringbewegung zu bestimmen.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei der Schritt des Bestimmens, ob es einen durchgängigen Pfad gibt, der einen Startpunkt und einen Endpunkt des Liniensegments in einer senkrechten Ebene verbindet, des Weiteren Folgendes enthält: Projizieren eines dreidimensionalen Impulsraumes auf eine zweidimensionale Ebene, um eine w_perp-Projektion zu bilden; Bestimmen von Grenzkurven der w_perp-Projektion; Verbinden der Grenzkurven mit einer Reihe horizontaler Tangentenlinien, wobei jede der horizontalen Tangentenlinien tangential zu einer der Grenzkurven verläuft und sich durch die Grenzkurven hindurch erstreckt; Verbinden der Grenzkurven mit einer Reihe horizontaler Kuspidallinien, wobei jede der Kuspidallinien tangential zu einem Kuspidalpunkt einer der Grenzkurven verläuft und sich durch die Grenzkurven hindurch erstreckt; Konstruieren einer Startlinie von dem Startpunkt, wobei die Startlinie die w_perp-Projektion kreuzt; Konstruieren einer Endlinie von dem Endpfad, wobei die Linie die w_perp-Projektion kreuzt; Wählen von Stellen als Überschneidungspunkte, wo die Grenzkurven, die Horizontale, die Tangentenlinien, die Kuspidallinien, die Startlinien und die Endlinien einander treffen; und Bestimmen eines optimalen Pfades von dem Startpunkt zu dem Endpunkt unter Nutzung der Überschneidungspunkte.
Steuersystem (100) für ein Weltraumfahrzeug, das Folgendes aufweist: mehrere Steuermomentgyroscope (106), die mit einem Impulsauslöse-Steuerprozessor (104) verbunden sind und dafür konfiguriert sind, Befehle von dem Impulsauslöse-Steuerprozessor (104) zu empfangen, um die Orientierung des Weltraumfahrzeugs zu ändern; ein Lagesteuersystem (102), das dazu dient: einen Befehl zum Ändern der Orientierung des Weltraumfahrzeugs zu empfangen; und ein Drehmoment zu berechnen, das benötigt wird, um die Orientierung des Weltraumfahrzeugs zu drehen; dadurch gekennzeichnet, dass das Lagesteuersystem dafür konfiguriert ist: das Drehmoment zu integrieren, um einen Impulspfad zu bestimmen; den Impulspfad mit mehreren geraden Liniensegmenten zu approximieren; für jedes Liniensegment der mehreren Liniensegmente einen Einheitsvektor entlang den geraden Liniensegmenten zu bestimmen; und zu bestimmen, ob es einen durchgängigen Pfad gibt, der einen Startpunkt und einen Endpunkt des Liniensegments in einer Ebene senkrecht zu dem Einheitsvektor verbindet; für jedes Liniensegment der mehreren Liniensegmente einen Satz Impulsvektoren zu bestimmen; und den Impulsauslöse-Steuerprozessor (104), der mit dem Lagesteuersystem (102) verbunden ist, wobei der Impulsauslöse-Steuerprozessor (104) dafür konfiguriert ist, einen Satz Kardanringbewegungen für jeden Impulsvektor zu bestimmen, der für jedes Liniensegment bestimmt wurde.
System nach Anspruch 6, wobei das Lagesteuersystem (102) des Weiteren dafür konfiguriert ist, jedes Liniensegment zu einem Einheitsvektor und einem skalaren Parameter, der sich entlang der Linie h(t) = h0 + t × w bewegt, wobei h(t) der Impulspfad für ein Liniensegment ist, t ein skalarer Parameter ist und w der Einheitsvektor ist, gleichzusetzen.
System nach Anspruch 6, wobei der Impulsauslöse-Steuerprozessor dafür konfiguriert ist, eine erforderliche Kardanringbewegung für jeden Punkt (y(t), z(t)) entlang des Pfades zu berechnen.
System nach Anspruch 6, wobei der Impulsauslöse-Steuerprozessor (104) dafür konfiguriert ist, die Kardanringwinkel an die mehreren Steuermomentgyroscope (106) zu senden, um die Kardanringwinkel zu ändern.
System nach Anspruch 6, wobei das Lagesteuersystem (102) beim Bestimmen, ob es einen durchgängigen Pfad gibt, der einen Startpunkt und einen Endpunkt des Liniensegments in einer senkrechten Ebene verbindet, des Weiteren dafür konfiguriert ist: einen dreidimensionalen Impulsraum auf eine zweidimensionale Ebene zu projizieren, um eine w_perp-Projektion zu bilden; die Grenzkurven der w_perp-Projektion zu bestimmen; die Grenzkurven mit einer Reihe horizontaler Tangentenlinien zu verbinden, wobei sich jede der horizontalen Tangentenlinien durch die Grenzkurven hindurch erstreckt; die Grenzkurven mit einer Reihe horizontaler Kuspidallinien zu verbinden, wobei jede der Kuspidallinien tangential zu einem Kuspidalpunkt einer der Grenzkurven verläuft, wobei sich die Kuspidallinien durch die Grenzkurven hindurch erstrecken; eine Startlinie von dem Startpunkt zu konstruieren, wobei die Startlinie die w_perp-Projektion kreuzt; eine Endlinie von dem Endpfad zu konstruieren, wobei die Endlinie die w_perp-Projektion kreuzt; Stellen als Überschneidungspunkte zu wählen, wo die Grenzkurven, die Horizontale, die Tangentenlinien, die Kuspidallinien, die Startlinien und die Endlinien einander treffen; und einen optimalen Pfad von dem Startpunkt zu dem Endpunkt unter Nutzung der Überschneidungspunkte zu bestimmen.