DE602006000587T2 - Method and system for determining a pulse path without singularity - Google Patents
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Description
Diese Erfindung betrifft das Gebiet der Steuerung von Weltraumfahrzeugen und insbesondere ein Verfahren und ein System zum Bestimmen eines singularitätfreien Impulspfades.These The invention relates to the field of spacecraft control and more particularly to a method and system for determining a singularity free Pulse path.
Um die Lage eines Weltraumfahrzeugs zu steuern, können verschiedene Rotationsträgheitselemente verwendet werden. Ein solches Trägheitselement ist ein Steuerimpulsgyroskop (CMG). Ein CMG weist in der Regel ein Schwungrad mit einer festen oder variablen Umdrehungsgeschwindigkeit auf, das an einer Kardanringbaugruppe montiert ist. Die Drehachse des CMG kann geneigt werden, indem man das CMG mit Hilfe der Kardanringbaugruppe bewegt. Diese Bewegung erzeugt ein gyroskopisches Drehmoment orthogonal zur Drehachse und Kardanringachse.Around To control the position of a spacecraft, various rotational inertial elements can be used become. Such an inertia element is a control pulse gyroscope (CMG). A CMG usually has one Flywheel with a fixed or variable speed of rotation mounted on a gimbal assembly. The rotation axis The CMG can be tilted by using the CMG with the gimbal assembly emotional. This movement generates a gyroscopic torque orthogonal to the axis of rotation and gimbal axis.
Um die volle Lagekontrolle über ein Weltraumfahrzeug zu erhalten, können mindestens drei CMGs, die so angeordnet sind, dass jedes CMG in der CMG-Anordnung ein Drehmoment um eine linear unabhängige Achse herum wirken lässt, verwendet werden. In der Regel sind noch weitere CMGs aus Redundanzgründen und zum Unterstützen des Vermeidens von Singularitäten vorhanden. Zu einer Singularität kommt es, wenn sich die Impulsvektoren der CMGs so aneinanderreihen, dass eine oder mehrere Komponenten des gewünschten Drehmoments nicht bereitgestellt werden können.Around the full position control over A spacecraft can receive at least three CMGs are arranged so that each CMG in the CMG arrangement has a torque around a linear independent axis works around, be used. In general, there are other CMGs for redundancy and to support avoiding singularities available. To a singularity does it happen when the momentum vectors of the CMGs line up like this, that one or more components of the desired torque are not provided can be.
Es
sind mehrere verschiedene Techniken zum Vermeiden von Singularitäten entwickelt
worden. In einem dieser Verfahren ist als erstes festzustellen,
dass ein Jacobisches A die CMG-Kardanringraten in ein Drehmoment
einer dreidimensionalen Anordnung hinein abbildet:
Wie zuvor besprochen, besteht bei der Verwendung von CMGs inhärent die Möglichkeit, dass die Impulsvektoren der CMGs sich so aneinanderreihen können, dass ein Singularitätszustand erreicht wird. Mathematisch können Singularitäten auftreten, wenn sich die Eigenwerte von AAT null nähern, wodurch (AAT)–1 in Richtung Unendlichkeit geht. Oder Singularitäten können gleichermaßen auftreten, wenn die Determinante der Matrix AAT gleich null ist (algebraisch als det(AAT) = 0 ausgedrückt). Im Fall einer 3×n-Matrix A ist dies gleichbedeutend mit der Feststellung, dass der Rang der Matrix AAT zwei oder weniger ist.As previously discussed, the use of CMGs inherently allows for the pulse vectors of the CMGs to line up to achieve a singularity state. Mathematically, singularities can occur when the eigenvalues of AA T approach zero, causing (AA T ) -1 to go toward infinity. Or singularities can equally occur if the determinant of the matrix AA T is zero (expressed algebraically as det (AA T ) = 0). In the case of a 3 × n matrix A, this is equivalent to the statement that the rank of the matrix AA T is two or less.
Es sind verschiedene Lösungsansätze zum Vermeiden von Singularitäten in der Bewegung von CMGs entwickelt worden. Bei einem Lösungsansatz wird, um sicher zu gehen, dass (AAT)–1 niemals 0 ist, (AAT)–1 durch (AAT + εI)–1 ersetzt, wobei I die Identitätsmatrix ist und ε eine kleine Zahl ist. Die Verwendung eines positiven ε gewährleistet, dass det(AAT + εI)–1 niemals 0 wird.Various approaches to avoid singularities in the motion of CMGs have been developed. In one approach, to ensure that (AA T ) -1 is never 0, (AA T ) -1 is replaced by (AA T + εI) -1 , where I is the identity matrix and ε is a small number. The use of a positive ε ensures that det (AA T + εI) -1 never becomes 0.
Zwar ist dieser Lösungsansatz in einigen Fällen brauchbar, aber ein Nachteil ist, dass dieser Lösungsansatz die Kardanringratenberechnung verändert. Im Fall des Jacobischen A bedeutet die Verwendung der Pseudoinversen, dass die Kardanringraten aufgrund des durch ε hervorgerufenen Fehlers nicht mehr exakt in die befohlenen Drehmomente hinein abgebildet werden. Dieser resultierende Fehler lenkt das Weltraumfahrzeug in die falsche Richtung und kann ein erhebliches unerwünschtes Drehmoment, insbesondere nahe der Singularität, hervorrufen.Though is this approach in some cases usable, but a disadvantage is that this approach uses the gimbal rate calculation changed. In the case of Jacobian A, the use of pseudo inverses, that the Kardanringraten due to the error caused by ε not more accurately mapped into the commanded torques. This resulting error deflects the spacecraft into the wrong one Direction and can be a significant unwanted torque, in particular near the singularity, cause.
Ein zweiter Lösungsansatz besteht darin, die Impulsabgabe der CMG-Anordnung auf einen kleineren Bereich innerhalb einer Impuls-Enveloppe zu begrenzen. Die Impuls-Enveloppe ist der Impuls, der in allen möglichen Kombinationen der CMGs in der CMG-Anordnung abgegeben wird. Je nach der CMG-Anordnung lassen sich – in einer Ausführungsform – durch Operieren innerhalb maximal eines Drittels der Impuls-Gesamtenveloppen Singularitäten vermeiden. Dieser Lösungsansatz vergeudet allerdings potenzielles Drehmoment und führt zu Systemen, die viel größer und schwerer als erforderlich sind.One second approach is the pulse output of the CMG array to a smaller area within a pulse envelope. The pulse envelope is the impulse that is in all possible Combinations of CMGs in the CMG arrangement is delivered. Depending on the CMG arrangement can be - in an embodiment - by Operate within a maximum of one third of the total impulse envelopes singularities avoid. This approach but wastes potential torque and leads to systems the much bigger and harder than necessary.
Ein weiterer Lösungsansatz ist die Verwendung von Lenkgesetzen, die Singularitäten vermeiden. Lenkgesetze ermöglichen das Bestimmen eines singularitätsfreien Impulspfades vor dem Bewegen der CMGs. Die Schwierigkeit bei Lenkgesetzen ist, dass das Bestimmen des Pfades in der Regel ein mit hohem Rechenaufwand verbundenes Unterfangen ist, das zu einer übermäßigen Verzögerung zwischen dem Befehl zum Drehen des Weltraumfahrzeugs und der eigentlichen Einleitung der Drehung führt. Es wird ein Lenkgesetz gebraucht, dass effizient und schnell einen singularitätfreien Impulspfad bestimmen kann.Another approach is to use steering laws that avoid singularities. Steering laws allow the determination of a singularity-free pulse path before moving the CMGs. The difficulty with steering laws is that determining the path is typically a high-computational effort that results in an excessive delay between the spacecraft command and the actual initiation of the rotation. It uses a steering law that can efficiently and quickly determine a singularity-free pulse path.
Gemäß der Erfindung
wird ein Verfahren zum Vermeiden von Singularitäten in der Bewegung von CMGs
in einer Anordnung von CMGs in einem Weltraumfahrzeug bereitgestellt,
das folgende Schritte aufweist:
Empfangen eines Befehls zum Ändern einer
Orientierung des Weltraumfahrzeugs; und
Berechnen eines Drehmoments,
das benötigt
wird, um den Befehl auszuführen;
gekennzeichnet
durch folgende Schritte:
Integrieren des Drehmoments, um einen
Impulspfad zu bestimmen;
Approximieren des Impulspfades mit
mehreren geraden Liniensegmenten; für jedes Liniensegment der mehreren
Liniensegmente:
Bestimmen eines Einheitsvektors entlang den
geraden Liniensegmenten;
Bestimmen, ob es einen durchgängigen Pfad
gibt, der einen Startpunkt und einen Endpunkt des Liniensegments
in einer Ebene senkrecht zu dem Einheitsvektor verbindet;
Bestimmen
eines Satzes Impulsvektoren; und
Berechnen einer erforderlichen
Kardanringbewegung für
die CMGs in der Anordnung von CMGs für den Satz Impulsvektoren,
die für
jedes Liniensegment bestimmt wurden.According to the invention, there is provided a method of avoiding singularities in the movement of CMGs in an array of CMGs in a spacecraft, comprising the steps of:
Receiving a command to change an orientation of the spacecraft; and
Calculating a torque needed to execute the command;
characterized by the following steps:
Integrating the torque to determine a pulse path;
Approximating the pulse path with multiple straight line segments; for each line segment of the multiple line segments:
Determining a unit vector along the straight line segments;
Determining if there is a continuous path connecting a starting point and an end point of the line segment in a plane perpendicular to the unit vector;
Determining a set of impulse vectors; and
Calculating a required gimbal movement for the CMGs in the array of CMGs for the set of impulse vectors determined for each line segment.
Ein System gemäß der Erfindung ist in Anspruch 6 definiert.One System according to the invention is defined in claim 6.
In den Zeichnungen:In the drawings:
Die vorliegende Erfindung wird im Weiteren in Verbindung mit den folgenden Zeichnungsfiguren beschrieben, in denen gleiche Bezugszahlen gleiche Elemente bezeichnen und in denen Folgendes dargestellt ist:The The present invention will be further described in connection with the following Drawing figures described in which like reference numerals are the same Denote elements and in which:
Die folgende detaillierte Beschreibung ist lediglich von beispielhafter Natur und soll weder die Erfindung noch deren Anwendungen und Nutzungsmöglichkeiten einschränken. Des Weiteren besteht nicht die Absicht, durch eine ausdrückliche oder implizierte Theorie gebunden zu sein, die in den vorangegangenen Abschnitten Technisches Gebiet, Allgemeiner Stand der Technik und Kurzdarstellung oder in der folgenden detaillierten Beschreibung dargestellt wurden bzw. werden.The The following detailed description is merely exemplary Nature and should neither the invention nor its applications and uses limit. Furthermore, there is no intention, by an express or to be bound by implied theory in previous ones Sections Technical Field, State of the Art and Abstract or in the following detailed description have been or will be presented.
Die folgende detaillierte Beschreibung beschreibt die Verwendung der vorliegenden Erfindung im Hinblick auf ihre Verwendung in einem beispielhaften System zum Vermeiden von Singularität in CMG-Anordnungen. Allerdings sind die Anwendungsmöglichkeiten der vorliegenden Erfindung nicht auf eine bestimmte Anwendung oder Ausführungsform beschränkt, sondern sie sind auf vielen verschiedenen Arbeitsgebieten von Nutzen.The The following detailed description describes the use of the present invention with a view to their use in one exemplary system for avoiding singularity in CMG arrangements. However, the applications are the present invention is not limited to a particular application or embodiment limited, but they are useful in many different fields.
Ein
beispielhaftes Steuersystem
Das
Steuersystem
Das
Lagesteuersystem
Der
Impulsauslöse-Steuerprozessor
In
einem ersten Schritt, Schritt
Ein
Gleichsetzen der Gleichungen 3 und 4 ergibt:
Da w ein Einheitsvektor entlang der Linie ist, kann w_perp als eine Projektion auf die Ebenen orthogonal zu w definiert werden. Wenn zum Beispiel w ein Einheitsvektor ist, der sich in der x-Achse bewegt, dann ist w_perp die y- und z-Ebene.There w is a unit vector along the line, w_perp may be one Projection can be defined on the planes orthogonal to w. If for example, w is a unit vector moving in the x-axis, then w_perp is the y and z plane.
Das
Multiplizieren beider Seiten von Gleichung 5 mit der Transponierten
von w_perp ergibt:
Gleichung 6 stellt eine zweidimensionale Projektion der Impuls-Enveloppe der CMGs dar. In der Projektion werden sowohl h1 + h2 als auch h0 – (h3 + h4) auf die w_perp-Ebene projiziert. Da sich der Impulspfad entlang einer Linie in der w-Ebene bewegt, muss jede Bewegung von h1 + h2 in der w_perp-Ebene exakt durch die Bewegung von h3 + h4 in der w_perp-Ebene ausgelöscht werden, da Gleichung 4 verlangt, dass alle Impulse entlang der geraden Linie verlaufen. Darum sind Bereiche, wo die Projektion von h1 + h2 sich mit der Projektion von h0 – (h3 + h4) in der w_perp-Ebene überlappt, mögliche Bereiche, wo ein Impulspfad entlang der w-Linie existiert, mit einem konstanten Effektivimpuls von w_perp' × h0 in dem zweidimensionalen Raum senkrecht zu w.Equation 6 represents a two-dimensional projection of the momentum envelope of the CMGs. In the projection, both h 1 + h 2 and h 0 - (h 3 + h 4 ) are projected onto the w_perp plane. Since the pulse path moves along a line in the w plane, any movement of h 1 + h 2 in the w_perp plane must be canceled out exactly by the movement of h 3 + h 4 in the w_perp plane, because Equation 4 requires in that all pulses run along the straight line. Therefore, areas where the projection of h 1 + h 2 overlaps with the projection of h 0 - (h 3 + h 4 ) in the w_perp plane, possible areas where a pulse path exists along the w-line are one constant effective momentum of w_perp '× h 0 in the two-dimensional space perpendicular to w.
Als
ein Beispiel der Projektion von h1 + h2 auf die w_perp-Ebene ist zu beachten, dass
der Impuls, h1, eines ersten CMG auf einem
Kreis liegt und der Impuls, h2, eines zweiten
CMG auf einem anderen Kreis liegt. In dieser beispielhaften Ausführungsform
sind die relativen Geschwindigkeiten des Schwungrades des CMGs so
bemessen, dass h1 + h2 zusammen
eine Doughnut-förmige
Figur bilden können,
die gemeinhin als ein Torus bezeichnet wird. Wenden wir uns
Um die Anzahl der Stellen zu bestimmen, an denen eine Linie eine Impuls-Enveloppe an jedem beliebigen Punkt (y, z) in der Projektionsebene schneiden kann, können die Winkel θ1 und θ2 unter Verwendung von w_perp × (h1(θ1) + h2(θ2)) = [y, z] gelöst werden. Das Lösen dieser Gleichungen erzeugt ein Polynom vierter Ordnung, das vier Lösungen über das Feld der komplexen Zahlen hat. Das Ignorieren der komplexen (nicht-physikalischen) Lösung führt zu der Schlussfolgerung, dass es 0, 2 oder 4 reale Lösungen geben kann, was im dreidimensionalen Raum der Anzahl von Punkten entspricht, wo eine Linie die Impuls-Enveloppe schneidet.In order to determine the number of points at which a line can intersect a pulse envelope at any point (y, z) in the plane of projection, the angles θ 1 and θ 2 can be calculated using w_perp × (h 1 (θ 1 ) + h 2 (θ 2 )) = [y, z]. Solving these equations produces a fourth-order polynomial that has four solutions over the complex number field. Ignoring the complex (non-physical) solution leads to the conclusion that there can be 0, 2, or 4 real solutions, which in three-dimensional space corresponds to the number of points where a line intersects the impulse envelope.
Wenden
wir uns
Freilich
ist, wie oben besprochen, der interessierende Bereich die Überlappung
der zwei Projektionen.
Da verschiedene Regionen verschiedene Anzahlen von Lösungen haben, kann es sein, dass es beim Bewegen entlang der Impulslinie – wenn der Pfad in der w_perp- Ebene in einem Bereich beginnt, der mehr Lösungen hat als der Bereich, in dem der Pfad endet, und wenn am Anfang der falsche Pfad gewählt wird – möglicherweise keine durchgängige Lösung zwischen den zwei Regionen gibt, und es muss möglicherweise ein anderer Pfad gewählt werden, um den Endpunkt zu erreichen. Dies ist ein Beispiel einer Kardanringarretierung innerhalb des Impulsraums.There different regions have different numbers of solutions It may be that when moving along the impulse line - if the Path in the w_perp level starts in an area that has more solutions than the area, in which the path ends, and if the wrong path is chosen at the beginning - possibly no consistent solution between the two regions, and there may be another path chosen to reach the endpoint. This is an example of one Gimbal lock within the pulse space.
Kehren
wir zu
Bei
einer gegebenen Impulslinie h = h0 + w × t muss
der Impuls senkrecht zu dieser Linie null sein, so dass w_perp' × (h1 +
h2 + h3 + h4) = w_perp' × h0, da w_perp' × w
= [ 0 / 0]. Dies impliziert, dass w_perp' × (h1 + h2) = w_perp' × (h0 – (h3 + h4)). Da sich
jedes hi entlang einem Kreis bewegt, ergeben
Kombinationen aus zwei von ihnen eine zweidimensionale Region. In
der Ebene senkrecht zu w ist die zweidimensionale Region, die durch [y,
z] = w_perp' × (h1 + h2) bestrichen
wird, durch zwei Kurven begrenzt. Diese zwei eindimensionalen Kurven sind
dort, wo die Funktion von zwei Variablen singulär ist, so dass die Funktion
keine zweidimensionale Region ergibt, sondern zu einer eindimensionalen
Grenzkurve degeneriert. Eine Funktion von zwei Variablen ist singulär, wenn
die Jacobische Zwei-mal-zwei-Matrix singulär ist. Die Funktion [y, z]
= w_perp' × (hi + hj) hat eine Jacobisches
Matrix [dy, dz] = w_perp' × (dhi + dhj), wobei dhi = ei × hi der Vektor senkrecht zu hi in
der Richtung ist, in der sich hi ändert, wenn
sich hi entlang seinem Kreis bewegt. Die
Jacobische ist singulär,
wenn, und nur wenn, es einen zweidimensionalen Einheitsvektor vij gibt (vij also
auf einem Kreis liegt), den die Jacobische zu null sendet, d. h.
Gleichermaßen hat
die Funktion [y, z] = w_perp' × (h0 – (h3 + ... + hn)) eine
Jacobische Matrix [dy, dz] = –w_perp' × (h3 +
... + dhn), die singulär ist, wenn, und nur wenn,
es einen zweidimensionalen Einheitsvektor v3... n gibt (v3...n also
auf einem Kreis liegt), den die Jacobische zu null sendet, d. h.
Aber
für jeweils
drei Vektoren a, b, c kann die Vektoridentität a' × (b × c) = det[a
b c] mit a = w_perp × vij, b = ei und c
= hi verwendet werden, um jede Hälfte der
obigen Gleichung umzuwandeln in:
Somit
ist hi orthogonal zu ei × (w_perp × vij), und hi ist orthogonal
zu ei, so dass hi in
der Richtung des Kreuzprodukts aus diesen zwei Vektoren verläuft. Somit
sind Einheitsvektoren in diesen Richtungen gleich, bis zu einer
möglichen
Vorzeichenänderung: 
Das
Multiplizieren dieser Gleichung mit w_perp ergibt: 
Eine
symmetrische zwei-mal-zwei-Matrix Ai kann
definiert werden als:
Die
Verwendung dieser Matrix in der letzten Gleichung w_perp' × hi ergibt: 
Die
inneren und äußeren (unten
mit den Vorzeichen + und – zu
verwenden) Grenzkurven der Region w_perp' × (h1 + h2) entstehen
durch Bewegen von v12 entlang einem Kreis
und Berechnen von: 
Die
inneren und äußeren (unten
mit den Vorzeichen + und – zu
verwenden) Grenzkurven der Region w_perp' × (h0 – (h3 + h4)) entstehen
durch Bewegen von v34 entlang einem Kreis
und Berechnen von: 
Die
Grenzkurven 2n-3 (gilt unten für alle Vorzeichenauswahlen)
der Region w_perp' × (h0 – (h3 + ... + hn)) entstehen
durch Bewegen von v3...n entlang einem Kreis
und Berechnen von: 
Während des Berechnens der Kurven für die Region w_perp' × (h1 + h2) und die Region w_perp' × (h0 – (h3 + h4)) werden Schnittpunkte von Kurven gespeichert, und Kuspidalpunkte von Kurven werden gespeichert, um sie später bei den Roadmap-Berechnungen zu verwenden.While calculating the curves for the region w_perp '× (h 1 + h 2 ) and the region w_perp' × (h 0 - (h 3 + h 4 )), intersections of curves are stored and cuspid points of curves are stored to to use them later in the roadmap calculations.
Wenden
wir uns
Die
Grenzkurven fungieren als Straßen
oder Pfade in der Projektion. Das Bewegen aus einer Region in eine
andere kann durch Bewegen entlang einer Grenzkurve geschehen, bis
eine andere Grenzkurve oder eine überschneidende Straße oder
ein überschneidender
Pfad erreicht ist. In
In
Schritt
Außerdem sind
horizontale Linien durch alle Kuspidalpunkte der Grenzkurven gezogen.
Ein Kuspidalpunkt ist als ein Punkt definiert, wo sich die Richtung
der Grenzkurve abrupt ändert.
Wie in
Die
Kuspidalpunkte können,
wo die Kurve abrupt die Richtung ändert, berechnet werden, indem
man zuerst feststellt, dass die Formeln für Grenzkurven des zweidimensionalen
[y, z] = w_perp' × (h1 + h2) gegeben sind
durch: 
Damit
die Kurve abrupt ihre Richtung ändert,
müssen
alle Komponenten ihrer Ableitung auf null gehen. Um die Ableitung
der rechten Seite der obigen Gleichung mit Bezug auf den zweidimensionalen
Einheitsvektorparameter v12 zu berechnen,
müssen
wir 
Da
v' × v = 1,
muss die Änderung
von v senkrecht zu v verlaufen: 
Der
2×2-Matrix-Ausdruck
(v' × A × v) × A – A × v × v' × A in der obigen Gleichung
kann vereinfacht werden, indem alle skalaren Terme herausmultipliziert
werden, wobei
Die
Verwendung dieser Identität
in der vorherigen Gleichung und die Feststellung, dass ∥v∥2 = 1 und (I – v × v') × (I – v × v') = (I – v × v'), ergibt: 
Die
Verwendung dieser Art von Ausdruck für beide Teile A1 und
A2 der Kurvengleichung ergibt die Bedingungen
für Kurvenkuspidalpunkte,
die auftreten, wo die Ableitung der Kurve null ist: 
Darum
muss der Skalar, der die Matrix (I – v12 × v12')
multipliziert, null sein. Die äußere Grenzkurve entspricht
dem Vorzeichen + in der obigen Formel, und die Summe zweier positiver
Terme kann nicht null sein, so dass die äußere Grenzkurve keinerlei Kuspidalpunkte
aufweisen kann. Die innere Grenzkurve entspricht dem Vorzeichen – in der
obigen Formel, so dass Kuspidalpunkte auf der inneren Grenzkurve
auftreten, wo:
Das
Multiplizieren der obigen Gleichung mit (v12' × A1 × v12)3/2 × (v12' × A2 × v12)3/2 ergibt:
Das
Erheben beider Seiten zur Potenz von 2/3 ergibt:
Wenn
wir ci = (∥hi∥ × det(Ai))2/3 nehmen, so
ergibt das Herausrechnen von v12' auf der linken Seite
und v12 auf der rechten Seite:
Um
diese Gleichung für
v12 zu lösen,
nehmen wir die Eigenzerlegungen der symmetrischen 2×2-Matrix als: 
Mit
[ p1 / p2] = U × v12 wird die Kuspidalgleichung zu: 
Diese
Gleichung hat Lösungen,
wenn, und nur wenn, λ1 und λ2 entgegengesetzte Vorzeichen haben, da
Gleichermaßen sind
die Kuspidalpunkte auf der inneren Grenzkurve der Region w_perp' × (h0 – (h3 + h4)) durch Lösungen von:
Nachdem die Kuspidalpunkte ermittelt sind, können horizontale Linien durch die Kuspidalpunkte gezogen werden, wodurch zusätzliche Straßen entstehen, welche die Grenzkurven verbinden.After this The cuspid points are determined by horizontal lines the cuspid points are pulled, creating additional roads, which connect the limit curves.
Gleichermaßen sind,
bei Erweiterung auf N CMGs, die Kuspidalpunkte auf der inneren Grenzkurve
der Region w_perp' × (h0 – (h3 + ... + hn)) durch
Lösungen
Von: 
Das
Multiplizieren der obigen Gleichung mit (v3...n' × A3 × v3...n)3/2 × ... × (v3...n' × An × v3...n)3/2 ergibt: 
Das
Erheben beider Seiten solcher Gleichungen zur Potenz von 2/3, das
Umordnen und erneute Erheben zur Potenz von 2/3 und das Wiederholen
des Prozesses n – 3-mal ergibt ein sehr
hochgradiges (um die 2n-2) Polynom im Verhältnis der
zwei Komponenten des Einheitsvektors v3...n.
Das Bilden und Lösen
solcher Polynome hoher Ordnung ist sehr schwierig für n > 4, so dass statt dessen
Kuspidalpunkte der Grenzkurven 
Mit
diesen zusätzlichen "Straßen" kann eine Bewegung
von einer Grenzkurve zu einer anderen erfolgen, indem man sich entlang
der Grenzkurve bewegt, bis eine Tangentenlinie erreicht ist, und
dann weiter entlang der Tangentenlinie zu einer weiteren Grenzkurve
bewegt. Zusätzlich
zu den Linien, die im letzten Schritt konstruiert wurden, werden
zusätzliche
Linien benötigt,
um die Startpunkte und die Endpunkte mit den Grenzkurven, den Tangentenlinien
und den Kuspidallinien zu verbinden. Darum wird in Schritt
Nachdem
alle Straßen
konstruiert sind, können
die Schnittpunkte der Linien und Kurven in Schritt
Nachdem
die Straßen
und die Schnittpunkte in den zwei Dimensionen konstruiert sind,
muss in Schritt
Dann
kann in Schritt
Nachdem
der Manövrierbefehl
empfangen wurde, wird in Schritt
In
Schritt
In
Schritt
Als
nächstes
wird in Schritt
Bei
gegebenen Werten für
den Punkt [y, z] in der Ebene senkrecht zu w kann die Gleichung
[y, z] = w_perp' × (h1 + h2) verwendet
werden, um individuelle Impulsvektoren h1 und
h2 zu lösen.
Der komplette Satz Gleichungen, die gelöst werden müssen, ist:
[y, z] = w_perp' × (h1 +
h2): zwei lineare Gleichungen in h1 und h2
[y, z] = w_perp '× (h 1 + h 2 ): two linear equations in h 1 and h 2
Da y, z, w_perp, ∥h1∥2, ∥h2∥2, e1 und e2 bekannt sind, können wir die obigen sechs Gleichungen für die sechs unbekannten Komponenten der Vektoren h1 und h2 lösen. Da vier der obigen sechs Gleichungen linear sind, können sie verwendet werden, um vier der Variablen auszuschalten, wodurch zwei quadratische Gleichungen in zwei verbleibenden Variablen übrig bleiben. Mit Hilfe von Standardtechniken, wie zum Beispiel Resultanten, können die zwei quadratischen Gleichungen in zwei Variablen verwendet werden, um eine einzelne quartische Gleichung (der vierten Ordnung) in einer einzigen Variable zu erhalten. Durch Lösen der vier Wurzeln der quartischen Gleichung und anschließende Rücksubstitution können die übrigen fünf Variablen gelöst werden. Dies ergibt vier Lösungen für die Vektoren h1 und h2.Since y, z, w_perp, ∥h 1 ∥ 2 , ∥h 2 ∥ 2 , e 1 and e 2 are known, we can solve the above six equations for the six unknown components of the vectors h 1 and h 2 , Since four of the above six equations are linear, they can be used to turn off four of the variables, leaving two quadratic equations in two remaining variables. Using standard techniques, such as resultants, the two quadratic equations in two variables can be used to obtain a single quadratic equation (the fourth order) in a single variable. By solving the four roots of the quadratic equation and then backsetting, the remaining five variables can be solved. This gives four solutions for the vectors h 1 and h 2 .
Gleichermaßen kann,
bei gegebenen Werten für
den Punkt [y, z] in der Ebene senkrecht zu w und bei gegebenen beliebigen
Werten für
die Impulse h5 bis hn,
die Gleichung [y, z] = w_perp' × (h0 – (h3 + h4 + h5 + ... + hn)) verwendet
werden, um individuelle Impulsvektoren h3 und
h4 zu lösen.
Der komplette Satz Gleichungen, die gelöst werden müssen, ist:
[y, z] = w_perp' × (h0 – (h3 + h4 + h5 + ... + hn)): zwei
lineare Gleichungen in unbekannten h3 und
h4
[y, z] = w_perp '× (h 0 - (h 3 + h 4 + h 5 + ... + h n )): two linear equations in unknown h 3 and h 4
Da y, z, w_perp, ∥h3∥2, ∥h4∥2, e3, e4 und h5 bis hn bekannt sind, können wir die obigen sechs Gleichungen für die sechs unbekannten Komponenten der Vektoren h3 und h4 lösen. Da vier der obigen sechs Gleichungen linear sind, können sie verwendet werden, um vier der Variablen auszuschalten, wodurch zwei quadratische Gleichungen in zwei verbleibenden Variablen übrig bleiben. Mit Hilfe von Standardtechniken, wie zum Beispiel Resultanten, können die zwei quadratischen Gleichungen in zwei Variablen verwendet werden, um eine einzelne quartische Gleichung in einer einzigen Variable zu erhalten. Durch Lösen der vier Wurzeln der quartischen Gleichung und anschließende Rücksubstitution können die verbleibenden 5 Variablen gelöst werden. Dies ergibt vier Lösungen für die Vektoren h3 und h4.Since y, z, w_perp, ∥h 3 ∥ 2 , ∥h 4 ∥ 2 , e 3 , e 4, and h 5 to h n are known, we can use the above six equations for the six unknown components of the vectors Release h 3 and h 4 . Since four of the above six equations are linear, they can be used to turn off four of the variables, leaving two quadratic equations in two remaining variables. Using standard techniques, such as resultants, the two quadratic equations in two variables can be used to obtain a single quadratic equation in a single variable. By solving the four roots of the quadratic equation and then backsetting, the remaining 5 variables can be solved. This gives four solutions for the vectors h 3 and h 4 .
Die obige Lösungstechnik vermeidet das Verwenden von Trigonometrie. Eine alternative Lösungstechnik ist, h1 und h2 als Summen konstanter Vektoren mal den Sinus und den Kosinus der Kardanringwinkel θ1 und θ2 zu schreiben und dann die obigen vier linearen Gleichungen zusammen mit den folgenden zwei quadratischen Gleichungen zu lösen: (cos(θ1))2 + (sin(θ1))2 = 1 und (cos(θ2))2 + (sin(θ2))2 = 1.The above solution technique avoids the use of trigonometry. An alternative solution technique is to write h 1 and h 2 as sums of constant vectors times the sine and cosine of the gimbals θ 1 and θ 2 and then solve the above four linear equations together with the following two quadratic equations: (cos (θ 1 )) 2 + (sin (θ 1 )) 2 = 1 and (cos (θ 2 )) 2 + (sin (θ 2 )) 2 = 1.
Schließlich können die
Impulsvektoren dann an den Impulsauslöse-Steuerprozessor
Obgleich in der vorangegangenen detaillierten Beschreibung mindestens eine beispielhafte Ausführungsform vorgestellt wurde, versteht es sich, dass es eine sehr große Anzahl von Varianten gibt. Es versteht sich des Weiteren, dass die beispielhafte Ausführungsform oder die beispielhaften Ausführungsformen lediglich Beispiele sind und den Geltungsbereich, die Anwendbarkeit oder die Konfiguration der Erfindung in keiner Weise einschränken sollen. Vielmehr gibt die vorangegangene detaillierte Beschreibung dem Fachmann einen bequemen Wegweiser zum Implementieren der beispielhaften Ausführungsform oder beispielhaften Ausführungsformen in die Hand. Es versteht sich, dass verschiedene Änderungen an der Funktion und Anordnung von Elementen vorgenommen werden können, ohne den Geltungsbereich der Erfindung, wie er in den angehängten Ansprüchen dargelegt ist, zu verlassen.Although at least one in the foregoing detailed description exemplary embodiment It is understood that it is a very large number of variants. It is further understood that the exemplary embodiment or the exemplary embodiments are just examples and scope, applicability or in no way limit the configuration of the invention. Rather, the foregoing detailed description gives those skilled in the art a convenient guide to implementing the exemplary embodiment or exemplary embodiments In the hand. It is understood that various changes can be made on the function and arrangement of elements without the scope of the invention as set forth in the appended claims is to leave.
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