DE602005004413T2

DE602005004413T2 - Computertomografieverfahren zur rekonstruktion von objektbildern aus echten und fiktiven messwerten

Info

Publication number: DE602005004413T2
Application number: DE602005004413T
Authority: DE
Inventors: Peter Forthmann; Thomas Koehler
Original assignee: Philips Intellectual Property and Standards GmbH
Current assignee: Philips Intellectual Property and Standards GmbH
Priority date: 2004-07-13
Filing date: 2005-07-04
Publication date: 2009-01-15
Anticipated expiration: 2025-07-05
Also published as: US20070280523A1; EP1769460B1; ATE384313T1; DE602005004413D1; WO2006008678A1; US7346142B2; EP1769460A1; JP2008506443A

Description

Die Erfindung bezieht sich auf ein Computertomographie-Verfahren, bei dem sich eine ein kegelförmiges Strahlenbündel erzeugende Strahlenquelle relativ zu einem Objekt auf einer helixiförmigen Trajektorie bewegt. Das Objekt wird von dem Strahlenbündel durchsetzt, und von der Intensität des Strahlenbündels jenseits des Objekts abhängige, reale Messwerte werden akquiriert. Aus den realen Messwerten werden nicht akquirierte, fiktive Messwerte mit Hilfe der John-Gleichung ermittelt, und ein Objektbild wird aus den realen und fiktiven Messwerten rekonstruiert. Des Weiteren bezieht sich die Erfindung auf einen Computertomographen zur Durchführung des Verfahrens sowie auf ein Computerprogramm zur Steuerung des Computertomographen.
Ein Computertomographie-Verfahren der eingangs genannten Art ist in „Improved two-dimensional rebinning of helical cone-beam computerized tomography data using John's equation", M. Defrise, F. Noo und H. Kudo, Inverse Problems 19 (2003) S41–S54, Institute of Physics Publishing (im Weiteren mit E1 bezeichnet) offenbart.
Mathematisch gesehen kann das Objekt durch eine Objektfunktion f(x) beschrieben werden, wobei die Objektfunktion beispielsweise den Absorptionswert des Objekts an der Stelle x angibt. Der natürliche Logarithmus eines Messwertes kann dann bekanntlich als Linienintegral der Objektfunktion entlang dem diesem Messwert zugeordneten Strahl betrachtet werden. Gemäß „The ultrahyperbolic equation with four independent variables", F. John, Duke Math. J., 4, 300–22 muss jedes dieser Linienintegrale die dort erstmals veröffentlichte, partielle Differentialgleichung, die sogenannte John-Gleichung, lösen. Jeder Messwert eines Objekts muss also eine Lösung der John-Gleichung sein. In E1 werden daher fiktive Messwerte ermittelt, die näherungsweise die John-Gleichung erfüllen, wobei als Randbedingungen der John-Gleichung die realen Messwerte verwendet werden. Die in E1 gemachten Näherungen führen allerdings zu störenden Bildartefakten in dem rekonstruierten Objektbild.
Es ist daher eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Computertomographie-Verfahren anzugeben, bei dem aus den realen Messwerten mit Hilfe der John- Gleichung fiktive Messwerte ermittelt werden, wobei die Störung des rekonstruierten Objektbildes durch Bildartefakte im Vergleich zum oben genannten, bekannten Verfahren vermindert ist, so dass Objektbilder besserer Qualität rekonstruiert werden.
Diese Aufgabe wird gelöst durch ein Computertomographie-Verfahren mit folgenden Schritten:

a) Erzeugen eines einen Untersuchungsbereich und ein darin befindliches Objekt durchsetzenden, kegelförmigen Strahlenbündels unter Verwendung einer Strahlenquelle,
b) Erzeugen einer Relativbewegung zwischen der Strahlenquelle einerseits und dem Untersuchungsbereich andererseits, die eine Rotation um eine Rotationsachse und eine Verschiebung parallel zur Rotationsachse umfasst und die die Form einer Helix hat,
c) Akquisition von realen Messwerten, die von der Intensität in dem Strahlenbündel jenseits des Untersuchungsbereichs abhängen, mit Hilfe einer Detektoreinheit,
d) Ermitteln von nicht akquirierten, fiktiven Messwerten aus den realen Messwerten, wobei jedem fiktiven Messwert ein fiktiver Strahl zugeordnet ist, der von einer fiktiven Strahlenquellenposition ausgeht, und wobei das Ermitteln eines fiktiven Messwerts die folgenden Schritte aufweist: – Ermitteln eines Schnittpunktes der Helix mit einer Orthogeraden, die orthogonal auf der Helix steht und durch die fiktive Strahlenquellenposition verläuft, – Ermitteln einer Schnittellipse zwischen einer zylinderförmigen Oberfläche, auf der die Helix angeordnet ist, und einer Ebene, die durch den Tangentenvektor der Helix an dem Schnittpunkt und durch einen Vektor, der senkrecht zur Rotationsachse orientiert ist und vom Schnittpunkt ausgeht, aufgespannt ist, – Ermitteln des fiktiven Messwerts aus den realen Messwerten durch Lösen der John-Gleichung für eine Bewegung der Strahlenquelle relativ zum Untersuchungsbereich entlang der Schnittellipse,
e) Rekonstruktion eines Objektbildes aus den realen Messwerten und den fiktiven Messwerten.

In dem erfindungsgemäßen Computertomographie-Verfahren wird zunächst eine Schnittellipse gebildet, wobei bei der Ermittlung eines fiktiven Messwerts die John-Gleichung für den Fall gelöst wird, dass sich die Strahlenquelle während der Akquisition auf der Schnittellipse bewegt hat. Wie unten noch näher erläutert wird, werden für die Ermittlung eines fiktiven Messwertes ausschließlich Messwerte benötigt, deren zugeordnete Strahlen von Strahlenquellenpositionen ausgehen, die zum Schnittpunkt benachbart sind, wobei sich in diesem Bereich der Verlauf der Schnittellipse und der Helix kaum unterschieden, so dass das Lösen der John-Gleichung für einen Verlauf der Strahlenquelle auf der Schnittellipse anstelle eines Verlaufes auf der Helix nur zu minimalen Störungen im rekonstruierten Objektbild führt. Gleichzeitig ist, da davon ausgegangen wird, dass sich die Strahlenquelle auf der Schnittellipse bewegt, ein Ermitteln eines fiktiven Messwerts möglich, ohne dass die in E1 beschriebenen Näherungen bezüglich der John-Gleichung benötigt werden, die sich auf eine Bewegung der Strahlenquelle auf der Helix beziehen. Dies führt im Vergleich zum in E1 beschriebenen Verfahren zu einer Verminderung von Bildartefakten und damit zu einer verbesserten Qualität des rekonstruierten Objektbildes.
Wenn im Rahmen der Erfindung der Ausdruck „die Strahlenquelle verläuft entlang der Schnittellipse" oder ähnliche Ausdrücke verwendet werden, so wird jeweils die Bewegung der Strahlenquelle entlang dem Rand der Schnittellipse beschrieben.
Wenn es im Rahmen der Erfindung heißt, dass ein Messwert einem Strahl oder ein Strahl einem Messwert zugeordnet ist, so ist der Messwert durch Detektion der Intensität des zugeordneten Strahls erzeugt worden.
Die Ermittlung der fiktiven Messwerte gemäß den Ansprüchen 2 bis 4 führt zu einer weiteren Verbesserung der Bildqualität.
Ein Computertomograph zur Ausführung des erfindungsgemäßen Verfahrens ist in Anspruch 5 beschrieben. Anspruch 6 definiert ein Computerprogramm zur Steuerung eines Computertomographen nach Anspruch 5.
Die Erfindung wird im Folgenden anhand der Zeichnungen näher erläutert.
Es zeigen:
1 einen Computertomographen, mit dem das erfindungsgemäße Verfahren ausgeführt werden kann,
2 ein Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahrens,
3 ein Ablaufdiagramm einer erfindungsgemäßen Ermittlung eines fiktiven Messwertes,
4 eine schematische Darstellung einer Helix, auf der sich eine Strahlenquelle bewegt, und einer realen und einer fiktiven Strahlenquellenposition, die auf einer Orthogeraden liegen,
5 eine schematische Seitenansicht eines Abschnitts der Helix, der fiktiven und realen Strahlenquellenpositionen und der Orthogeraden aus 4,
6 eine schematische Darstellung der Helix, die auf einer fiktiven zylinderförmigen Oberfläche verläuft, und einer Schnittellipse,
7 einen Abschnitt der Helix, die Schnittellipse und eine virtuelle, planare Detektorfläche,
8 ein Ablaufdiagramm eines erfindungsgemäßen Verfahrens zum Ermitteln einer partiellen Ableitung der realen Messwerte,
9 ein Ablaufdiagramm einer gefilterten Rückprojektion.
Der in 1 dargestellte Computertomograph umfasst eine Gantry 1, die um eine parallel zur z-Richtung des in 1 dargestellten Koordinatensystems 22 verlaufende Rotationsachse 14 rotieren kann. Dazu wird die Gantry 1 von einem Motor 2 mit einer vorzugsweise konstanten, aber einstellbaren Winkelgeschwindigkeit angetrieben. An der Gantry 1 ist eine Strahlenquelle S befestigt, beispielsweise ein Röntgenstrahler. Dieser ist mit einer Kollimatoranordnung 3 versehen, die aus der von der Strahlenquelle S erzeugten Strahlung ein kegelförmiges Strahlenbündel 4 ausblendet, d. h. ein Strahlenbündel, das sowohl in z-Richtung als auch in einer dazu senkrechten Richtung (d. h. in einer zur Rotationsachse senkrechten Ebene) eine von null verschiedene, endliche Ausdehnung hat.
Das Strahlenbündel 4 durchdringt einen zylinderförmigen Untersuchungsbereich 13, in dem sich ein Objekt, z. B. ein Patient auf einem Patientenlagerungstisch (beides nicht dargestellt) oder aber auch ein technisches Objekt befinden kann. Nach dem Durchsetzen des Untersuchungsbereichs 13 trifft das Strahlenbündel 4 auf eine an der Gantry 1 befestigte Detektoreinheit 16 mit einer Detektorfläche 18, die eine Vielzahl von Detektorelementen umfasst, die in dieser Ausführungsform in Zeilen und Spalten matrixförmig angeordnet sind. Die Detektorspalten verlaufen parallel zur Rotationsachse 14. Die Detektorzeilen befinden sich in zur Rotationsachse senkrechten Ebenen, in dieser Ausführungsform auf einem Kreisbogen um die Strahlenquelle S (fokuszentrierte Detektorfläche). In anderen Ausführungsformen können sie aber auch anders geformt sein, z. B. einen Kreisbogen um die Rotationsachse 14 beschreiben oder geradlinig sein. Jedes von dem Strahlenbündel 4 getroffene Detektorelement liefert in jeder Strahlenquellenposition einen Messwert für einen Strahl aus dem Strahlenbündel 4.
Der mit α_max bezeichnete Öffnungswinkel des Strahlenbündels 4 bestimmt den Durchmesser des Objektzylinders, innerhalb dessen sich das zu untersuchende Objekt bei der Akquisition der Messwerte befindet. Dabei ist der Öffnungswinkel als der Winkel definiert, den ein Strahl, der in einer zur Rotationsachse 14 senkrechten Ebene am Rande des Strahlenbündels 4 liegt, mit einer durch die Strahlenquelle S und die Rotationsachse 14 definierten Ebene einschließt.
Der Untersuchungsbereich 13 bzw. das Objekt oder der Patientenlagerungstisch können mittels eines Motors 5 parallel zur Rotationsachse 14 bzw. zur z-Achse verschoben werden. Dazu äquivalent könnte aber auch die Gantry in diese Richtung verschoben werden. Wenn es sich um ein technisches Objekt handelt und nicht um einen Patienten, kann das Objekt bei einer Untersuchung gedreht werden, während die Strahlenquelle S und die Detektoreinheit 16 stillstehen.
Wenn die Motoren 2 und 5 gleichzeitig laufen, beschreiben die Strahlenquelle S und die Detektoreinheit 16 eine helixförmige Trajektorie 17 relativ zum Untersuchungsbereich 13. Wenn hingegen der Motor 5 für den Vorschub in Richtung der Rotationsachse 14 stillsteht und der Motor 2 die Gantry rotieren lässt, ergibt sich eine kreisförmige Trajektorie für die Strahlenquelle S und die Detektoreinheit 16 relativ zum Untersuchungsbereich 13. Im Folgenden wird nur die helixförmige Trajektorie betrachtet.
Die von der Detektoreinheit 16 akquirierten Messwerte werden einer Recheneinheit 10 zugeführt, die mit der Detektoreinheit 16 z. B. über eine kontaktlos arbeitende Datenübertragung (nicht dargestellt) verbunden ist. Die Recheneinheit 10 ermittelt fiktive Messwerte, rekonstruiert die Absorptionsverteilung im Untersuchungsbereich 13 und gibt sie, beispielsweise auf einem Monitor 11, wieder. Die beiden Motoren 2 und 5, die Recheneinheit 10, die Strahlenquelle S und der Transfer der Messwerte von der Detektoreinheit 16 zur Recheneinheit 10 werden von einer Steuereinheit 7 gesteuert.
In anderen Ausführungsformen können die akquirierten Messwerte zur Rekonstruktion zunächst einem oder mehreren Rekonstruktionsrechnern zugeführt werden, die die rekonstruierten Daten z. B. über ein Glasfaserkabel an den Bildverarbeitungsrechner weiterleiten.
Die einzelnen Schritte einer Ausführungsform des erfindungsgemäßen Computertomographie-Verfahrens werden im Folgenden anhand des Ablaufdiagramms in 2 erläutert.
Nach der Initialisierung im Schritt 101 rotiert die Gantry mit einer Winkelgeschwindigkeit, die in diesem Ausführungsbeispiel konstant ist. Sie kann aber auch variieren, z. B. in Abhängigkeit von der Zeit oder von der Strahlenquellenposition.
Im Schritt 103 wird der Untersuchungsbereich oder der Patientenlagerungstisch parallel zur Rotationsachse 14 verschoben und die Strahlung der Strahlenquelle S wird eingeschaltet, so dass die Detektoreinheit 16 die Strahlung aus einer Vielzahl von Winkelpositionen s erfassen kann und sich die Strahlenquelle S relativ zum Untersuchungsbereich 13 auf der helixförmigen Trajektorie 17 bewegt. Auf diese Art werden die realen Messwerte akquiriert.
Die Helix 17 kann durch folgende Gleichung parametrisiert werden:
Hierbei ist s die Winkelposition der Strahlenquelle auf der Helix. Des Weiteren ist h der Pitch, d. h. der Abstand zweier benachbarter Windungen in Richtung der Rotationsachse 14, und R ist der Radius der Helix.
Im Schritt 105 werden fiktive Messwerte mit Hilfe der John-Gleichung aus den akquirierten, realen Messwerten ermittelt. Die einzelnen Schritte der Ermittlung eines fiktiven Messwerts wird im Folgenden im Zusammenhang mit dem Ablaufdiagramm in 3 beschrieben.
Zunächst werden im Schritt 201 ein fiktiver Strahl, d. h. eine fiktive Strahlenquellenposition 52, von der der fiktive Strahl ausgeht, und eine Strahlrichtung, vorgegeben, für die ein fiktiver Messwert zu ermitteln ist. Bevorzugt liegt die fiktive Strahlenquellenposition auf einer fiktiven Zylinderoberfläche 39, auf der die Helix 17 verläuft (siehe 6).
Im Schritt 203 wird für den fiktiven Strahl eine Schnittellipse 45 ermittelt. Dazu werden zunächst eine Orthogerade 33, die orthogonal auf der Helix 17 steht und durch die fiktive Strahlenquellenposition 52 verläuft, und ein Schnittpunkt 37 dieser Orthogeraden 33 mit der Helix 17 bestimmt. Dies ist in 4 und 5 dargestellt, wobei in 5 ein Abschnitt der Helix 17 betrachtet in Richtung 35 (siehe 4) gezeigt ist.
Die Helix 17 verläuft auf einer fiktiven, zylinderförmigen Oberfläche 39 (siehe 6). Die Schnittellipse 45 ist der Schnitt dieser zylinderförmigen Oberfläche 39 mit einer Ebene, die durch den Tangentenvektor 41 der Helix 17 an dem Schnittpunkt 37 und durch einen Vektor 43, der ausgehend vom Schnittpunkt senkrecht zur Rotationsachse 14 orientiert ist, aufgespannt ist. Die Schnittellipse 45 liegt also in dieser Ebene.
Im Schritt 205 werden die realen Messwerte, deren zugeordnete Strahlen von dem Schnittpunkt 37 ausgehen, auf eine virtuelle, planare Detektorfläche 47 entlang diesen Strahlen projiziert.
Die virtuelle, planare Detektorfläche 47 ist mindestens so groß und so dimensioniert, dass alle realen Strahlen, die von dem Schnittpunkt 37 ausgehend auf die reale Detektorfläche 18 treffen, der im Schritt 201 vorgegebene fiktive Strahl 51 und der unten beschriebene verschobene Strahl 49' die virtuelle, planare Detektorfläche 47 durchsetzen (siehe 7). Des Weiteren ist die virtuelle, planare Detektorfläche 47 so orientiert, dass sie orthogonal zu der Ellipsenebene (Ebene, in der die Schnittellipse 45 liegt) ist. Die virtuelle Detektorfläche 47 weist in Detektorzeilen und Detektorspalten angeordnete Detektorelemente auf, wobei die Detektorzeilen so angeordnet sind, dass sie parallel zur Ellipsenebene verlaufen. Die Detektorspalten verlaufen orthogonal zur Ellipsenebene. Eine Position auf der planaren Detektorfläche 47 wird durch die Koordinaten (u, ν) des (u, ν)-Koordinatensystems 50 angegeben, wobei die u-Koordinatenachse parallel zu den Detektorzeilen und die ν-Koordinantenachse parallel zu den Detektorspalten verläuft. Das (u, ν)-Koordinatensystem ist in 7 aus Übersichtlichkeitsgründen unterhalb der planaren Detektorfläche 47 dargestellt, obwohl das Koordinatensystem 50 natürlich auf der planaren Detektorfläche 47 liegt.
Im Schritt 207 wird ein realer Strahl 49 ermittelt, der einem akquirierten, realen Messwert zugeordnet ist und der von dem Schnittpunkt 37 ausgeht und dessen Auftreffpunkt 53 auf die planare Detektorfläche 47 auf derselben, parallel zur Orthogeraden 33 orientierten Geraden liegt wie der Auftreffpunkt 55 des virtuellen Strahls 51 auf die planare Detektorfläche 47. Das heißt, die Auftreffpunkte 53, 55 des realen Strahls 49 und des fiktiven Strahls 51 liegen in derselben Detektorspalte der virtuellen, planaren Detektorfläche 47.
In den folgenden Schritten wird der fiktive Messwert g^f mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung (Gleichung (2)) und der John-Gleichung berechnet: gf = g(uα, να, λα, 0) ± Δζ·gζ(uα, να, λα, 0) ± Δν·gν(uα, να, λα, 0). (2) Hierbei ist g^f der fiktive Messwert des in Schritt 201 vorgegebenen fiktiven Strahls 51. Des Weiteren ist g(u_α, ν_α, λ_α, 0) der reale Messwert, der durch den im Schritt 207 ermittelten realen Strahl 49 erzeugt wird. Der reale Strahl 49 geht von der realen Strahlenquellenposition 37 mit der Winkelposition λ_α auf der Schnittellipse 45, d. h. von dem Schnittpunkt 37, aus und trifft an der Stelle (u_α, ν_α) auf die virtuelle, planare Detektorfläche 47. Der Abstand Δζ ist der Abstand zwischen der fiktiven Strahlenquellenposition 52 und der realen Strahlenquellenposition 37. Der Abstand Δν ist der Abstand zwischen dem Auftreffpunkt 55 des fiktiven Strahls 51 auf die virtuelle Detektorfläche 47 und einem Auftreffpunkt 54 eines verschobenen Strahls 49' auf die virtuelle Detektorfläche 47, wobei der verschobene Strahl 49' von der fiktiven Strahlenquellenposition 52 ausgeht und parallel zum realen Strahl 49 verläuft.
Eine Bewegung einer Strahlenquelle auf der Schnittellipse 45 kann in der Ellipsenebene durch y_e(λ) = (R₁ cos λ, R₂ sin λ) parametrisiert werden, wobei R₁ die halbe große Achse und R₂ die halbe kleine Achse der Schnittellipse 45 ist. Der Parameter λ ist die Winkelposition der Strahlenquelle auf der Schnittellipse 45, wobei λ_α die Winkelposition des Schnittpunkts 37 ist.
Im Schritt 209 wird der Abstand Δν der Auftreffpunkte 54, 55 des fiktiven 51 und des verschobenen Strahls 49' auf der virtuellen, planaren Detektorfläche 47 bestimmt.
Im Schritt 211 werden die akquirierten, realen Messwerte nach der Variablen ν an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) partiell abgeleitet. Die partielle Ableitung nach ν an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) wird mit g_ν(u_α, ν_α, λ_α, 0) bezeichnet. Die partielle Ableitung kann beispielsweise mit der bekannten Methode der finiten Differenzen durchgeführt werden.
Im Schritt 213 wird der Abstand Δζ bestimmt, d. h. der Abstand zwischen der realen [Schnittpunkt] 37 und der fiktiven Strahlenquellenposition 52 entlang der Orthogeraden 33.
Im Schritt 215 wird die partielle Ableitung der realen Messwerte nach der realen Strahlenquellenposition auf der Orthogeraden 33 an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) berechnet. Diese partielle Ableitung wird mit g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) bezeichnet. Problematisch ist hier, dass sich auf der Orthogeraden 33 am Schnittpunkt 37 zwar eine reale Strahlenquellenposition befindet, weitere reale Strahlenquellenposition allerdings nicht auf der Orthogeraden 33 vorhanden sind. Daher wird die partielle Ableitung g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) mit Hilfe der John-Gleichung für eine Bewegung der Strahlenquelle relativ zum Objekt entlang der Schnittellipse 45 ermittelt. Die John-Gleichung lautet für eine derartige Relativbewegung: R1R2guζ(uα, να, λα, 0) – 2ugν(uα, να, λα, 0) – (R1,R2 + u2)guν(uα, να, λα, 0) – R2gλν(uα, να, λα, 0) – uνgνν(uα, να, λα, 0) = 0 (3)
Hierbei ist g_uζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) die partielle Ableitung nach den Variablen u und ζ an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0), d. h. g_uζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) = ∂²g(u_α, ν_α, λ_α, 0)/(∂u∂ζ). Dementsprechend ist g_uν(u_α, ν_α, λ_α, 0) die partielle Ableitung nach den Variablen u und ν an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0), d. h. g_uν(u_α, ν_α, λ_α, 0) = ∂²g(u_α, ν_α, λ_α, 0)/(∂u∂ν). Außerdem ist g_λν(u_α, ν_α, λ_α, 0) die partielle Ableitung nach den Variablen λ und ν an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0), d. h. g_λν(u_α, ν_α, λ_α, 0) = ∂²g(u_α, ν_α, λ_α, 0)/(∂λ∂ν). Schließlich ist g_νν(u_α, ν_α, λ_α, 0) die zweite partielle Ableitung nach der Variablen ν, d. h. g_νν(u_α, ν_α, λ_α, 0) = ∂²g(u_α, ν_α, λ_α, 0)/∂²ν.
Die Variable ζ eines durch (u, ν, λ, ζ) parametrisierten Strahls bezeichnet unterschiedliche Strahlenquellenpositionen auf der Orthogeraden 33.
Wenn im Rahmen der Erfindung eine Ableitung der realen Messwerte nach einer Position auf einer Geraden zu bilden ist, beispielsweise nach der Strahlenquellenposition auf der Orthogeraden 33 oder nach der Position des Auftreffpunkts eines Strahls auf der Detektorfläche entlang einer parallel zur Orthogeraden orientierten Geraden, so kann die Richtung auf der jeweiligen Geraden, in die abzuleiten ist, frei gewählt werden. Allerdings dürfen die gewählten Richtungen während der gesamten Berechnung der fiktiven Messwerte nicht verändert werden.
Durch eine Integration über die Variable u lässt sich die John-Gleichung (3) nach g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) auflösen.
Im Folgenden wird anhand des in 8 gezeigten Ablaufdiagramms erläutert, wie gemäß Gleichung (4) die partielle Ableitung g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) ermittelt wird.
Im Schritt 301 wird die partielle Ableitung g_λν(u_α, ν_α, λ_α, 0) berechnet. Dazu werden die realen Messwerte zunächst nach der Winkelposition λ der Strahlenquelle auf der Schnittellipse 45 partiell abgeleitet. Problematisch ist hier, dass sich die Strahlenquelle während der Akquisition nicht auf der Schnittellipse 45 bewegt hat, sondern auf der Helix 17. Die Helix 17 und die Schnittellipse 45 berühren sich im Schnittpunkt 37, so dass es auf der Schnittellipse 45 nur eine reale Strahlenquellenposition mit der Winkelposition λ_α gibt.
Daher wird für einen um den Schnittpunkt 37 angeordneten Winkelbereich angenommen, dass ein Strahl, der während der Akquisition von einer realen Strahlenquellenposition auf der Helix 17 ausgegangen ist, von der Schnittellipse 45 ausgegangen ist. Das heißt, eine Strahlenquellenposition, die auf der Helix 17 um den Winkel Δs von dem Schnittpunkt entfernt ist, wird betrachtet, als wenn diese Strahlenquellenposition während der Akquisition auf der Schnittellipse 45 gelegen hätte, wobei diese Strahlenquellenposition auf der Schnittellipse um den Winkel Δλ = Δs von dem Schnittpunkt 37 entfernt ist. Diese Näherung fuhrt kaum zu Fehlern im schließlich rekonstruierten Objektbild, da die Schnittellipse 45 im Schritt 203 so bestimmt worden ist, dass ihr Tangentenvektor und der Tangentenvektor 41 der Helix 17 im Schnittpunkt 37 gleich sind, d. h. im Bereich des Schnittpunkts 37 verlaufen die Schnittellipse 45 und die Helix 17 fast gleich. Zur partiellen Ableitung nach der Winkelposition λ werden also nur einige angenommene Strahlenquellenpositionen auf der Schnittellipse 45, d. h. nur einige Winkelpositionen λ betrachtet, die in einem Winkelbereich von wenigen Grad um den Schnittpunkt 37 liegen. Dieser Winkelbereich kann bis zu 1°, 2°, 5°, 10°, 15° oder 20° betragen. Die Winkelposition λ_α des Schnittpunkts 37 liegt bevorzugt mittig in dem jeweiligen Winkelbereich. Des Weiteren wird davon ausgegangen, dass sich die im Schritt 205 definierte virtuelle Detektorfläche 47 mit der Strahlenquelle mitdreht. Das heißt, wenn in dem Winkelbereich eine bezüglich des Schnittpunkts 37 um Δλ auf der Schnittellipse 45 verschobene Strahlenquellenposition betrachtet wird, dass die Messwerte auf die im Schritt 205 definierte, um Δλ um die Rotationsachse 14 gedrehte, virtuelle Detektorfläche 47 projiziert und dort betrachtet werden. Die partielle Ableitung nach der Winkelposition λ auf der Schnittellipse 45 kann, wie oben bereits erwähnt, beispielsweise mit Hilfe der Methode der finiten Differenzen durchgeführt werden.
Nachdem die Messwerte partiell nach der Winkelposition 2 abgeleitet worden sind, wird die zweite Ableitung der realen Messwerte nach der Variablen ν an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) gebildet (g_νν(u_α, ν_α, λ_α, 0)). Hierbei werden ausschließlich reale Messwerte betrachtet, deren zugeordnete Strahlen von dem Schnittpunkt 37 ausgehen. Diese realen Messwerte werden also zweimal partiell nach der Variablen ν beispielsweise mit der Methode der finiten Differenzen abgeleitet.
Im Schritt 305 wird die Integration gemäß Gleichung (4) durchgeführt.
Dazu wird zunächst eine erste Summe gebildet, indem diejenigen im Schritt 301 partiell abgeleiteten Messwerte aufaddiert werden, deren Strahlen vom Schnittpunkt 37 ausgehen und auf die durch die Variable ν_α definierte Detektorzeile der virtuellen, planaren Detektorfläche 47 treffen. Das heißt, es werden die partiellen Ableitungen der realen Messwerte aufaddiert, deren zugeordnete Strahlen von dem Schnittpunkt 37 ausgehen und die virtuelle Detektorfläche 47 auf einer Geraden durchsetzen, die parallel zur Ellipsenebene und durch den Auftreffpunkt 53 des im Schritt 207 definierten realen Strahls 49 verläuft. Die resultierende erste Summe wird mit einem ersten Wichtungsfaktor multipliziert, der proportional zum Kehrwert der halben großen Achse R₁ der Schnittellipse 45 ist und insbesondere gleich diesem Kehrwert ist.
Des Weiteren wird im Schritt 305 eine zweite Summe gebildet, indem diejenigen im Schritt 303 partiell abgeleiteten Messwerte g_νν(u_α, ν_α, λ_α, 0), deren Strahlen vom Schnittpunkt 37 ausgehen und auf die durch die Variable ν_α definierte Detektorzeile der virtuellen, planaren Detektorfläche 47 treffen, jeweils zunächst mit ihrer jeweiligen u-Position multipliziert und dann aufaddiert werden. Das heißt, es werden die partiell abgeleiteten, mit ihrer jeweiligen u-Position multiplizierten, realen Messwerte aufaddiert, deren zugeordnete Strahlen von dem Schnittpunkt 37 ausgehen und die virtuelle Detektorfläche 47 auf einer Geraden durchsetzen, die parallel zur Ellipsenebene und durch den Auftreffpunkt 53 des im Schritt 207 definierten realen Strahls 49 verläuft. Die resultierende zweite Summe wird mit einem zweiten Wichtungsfaktor multipliziert, der zum Kehrwert der halben kleinen Achse R₂ der Schnittellipse 45, zum Kehrwert des Quadrats der halben großen Achse R₁ der Schnittellipse 45 und zur ν-Position ν_α des jeweiligen abgeleiteten, realen Messwerts auf der virtuellen Detektorfläche 47 proportional ist. Bevorzugt ist der zweite Wichtungsfaktor gleich dem Produkt aus dem Kehrwert der halben kleinen Achse R₂ der Schnittellipse 45, aus dem Kehrwert des Quadrats der halben großen Achse R₁ der Schnitt ellipse 45 und der ν-Position ν_α des jeweiligen abgeleiteten, realen Messwerts auf der virtuellen Detektorfläche 47.
Im Schritt 307 wird schließlich die gesuchte partielle Ableitung g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) berechnet. Dazu wird die im Schritt 211 gebildete partielle Ableitung g_ν(u_α, ν_α, λ_α, 0) an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) mit einem dritten Wichtungsfaktor multipliziert, der zum Kehrwert der halben kleinen Achse R₂ der Schnittellipse 45, zum Kehrwert der halben großen Achse R₁ der Schnittellipse 45 und zur Summe des Produkts der beiden Halbachsen R₁, R₂ der Schnittellipse 45 und des Quadrats der u-Position ν_α des realen Messwerts auf der virtuellen Detektorfläche 47 proportional ist. Bevorzugt ist der dritte Wichtungsfaktor gleich dem Produkt aus dem Kehrwert der halben kleinen Achse R₂ der Schnittellipse 45, aus dem Kehrwert der halben großen Achse R₁ der Schnittellipse 45 und aus der Summe des Produkts der beiden Halbachsen R₁, R₂ der Schnittellipse 45 und des Quadrats der u-Position u_α des realen Messwerts auf der virtuellen Detektorfläche 47.
Der mit dem dritten Wichtungsfaktor multiplizierte Ableitungswert wird schließlich mit der mit dem ersten Wichtungsfaktor multiplizierten ersten Summe und mit der mit dem zweiten Wichtungsfaktor multiplizierten zweiten Summe zu partiellen Ableitung g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) gemäß Gleichung (4) addiert.
Nachdem die partielle Ableitung g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) berechnet worden ist, wird im Schritt 217 der fiktive Messwert g^f, der durch den im Schritt 201 vorgegebenen fiktiven Strahl 51 verursacht wird, gemäß Gleichung (2) berechnet.
Dazu werden
der reale Messwert g(u_α, ν_α, λ_α, 0), dem der im Schritt 207 ermittelte reale Strahl 49 zugeordnet ist,
das Produkt aus dem Abstand Δζ zwischen dem Schnittpunkt 37 und der virtuellen Strahlenquellenposition 52 und der im Schritt 215 ermittelten partiellen Ableitung g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0) der realen Messwerte an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) und
das Produkt aus dem Abstand Δν der Auftreffpunkte 54, 55 des fiktiven 51 und des verschobenen Strahls 49' auf die virtuelle, planare Detektorfläche 47 mit der im Schritt 211 ermittelten partiellen Ableitung g_ν(u_α, ν_α, λ_α, 0) der realen Messwerte an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0)
addiert, wobei die resultierende Summe der fiktive Messwert g^f ist.
Die Schritte 201 bis 217 können für weitere fiktive Messwerte wiederholt werden, bis eine gewünschte Menge an fiktiven Messwerten ermittelt worden ist.
Nachdem aus den realen Messwerten ein oder mehrere fiktive Messwerte erzeugt worden sind, wird im Schritt 107 ein Objektbild durch Rückprojektion der realen und fiktiven Messwerte rekonstruiert.
Eine Ausführungsform einer Rückprojektion, die hier eine bekannte gefilterte Rückprojektion ist, wird im Folgenden anhand des in 9 gezeigten Ablaufdiagramms vorgestellt.
Im Schritt 401 werden die Messwerte (d. h. die realen und die fiktiven Messwerte) auf bekannte Art und Weise gefiltert, wobei eine eindimensionale Filterung mit einem rampenförmig mit der Frequenz ansteigenden Übertragungsfaktor angewandt wird (siehe beispielsweise „Bildgebende Verfahren in der Medizin", O. Dössel, Springer Verlag (2000)).
Im Schritt 403 wird ein Voxel V(x) an der Stelle x im Objekt vorgeben, das noch nicht rekonstruiert worden ist.
Im Schritt 405 wird die Menge an Messwerten (reale und fiktive) bestimmt, deren zugeordnete Strahlen (reale und fiktive) das Voxel V(x) durchsetzen.
Dann wird im Schritt 407 aus der im Schritt 405 bestimmten Menge ein Messwert vorgegeben, der noch nicht zur Rekonstruktion des Voxels V(x) verwendet worden ist.
Im Schritt 409 wird überprüft, ob der Strahl, der dem im Schritt 407 ausgewählten Messwert zugeordnet ist, das Voxel V(x) mittig durchsetzt. Ist dies nicht der Fall, so werden ein mittiger Strahl und der dazugehörige Messwert durch Interpolation benachbarter Messwerte berechnet, beispielsweise mittels einer bilinearen Interpolation.
Verläuft der Strahl des im Schritt 407 vorgegebenen Messwerts mittig durch das Voxel V(x), so wird dieser Messwert im Schritt 411 zu dem Voxel V(x) addiert. Ansonsten wird der im Schritt 409 durch Interpolation gewonnene Messwert zu dem Voxel V(x) addiert.
Im Schritt 413 wird überprüft, ob alle Messwerte, die im Schritt 405 ermittelt worden sind, zur Rekonstruktion des Voxels V(x) berücksichtigt worden sind. Ist dies der Fall, so wird mit Schritt 407 fortgefahren. Ansonsten folgt Schritt 415.
Im Schritt 415 wird geprüft, ob alle Voxel V(x) des Objektbildes rekonstruiert worden sind. Ist dies nicht der Fall, so wird mit Schritt 403 fortgefahren. Ansonsten endet die Rückprojektion im Schritt 417.
Das erfindungsgemäße Verfahren ist damit im Schritt 109 beendet.
Das erfindungsgemäße Computertomographie-Verfahren kann auch bei der Pi-Rekonstruktion angewendet werden. Die Pi-Rekonstruktion ist an sich bekannt, so dass hier nicht näher auf sie eingegangen wird („Cone-Beam Reconstruction using Filtered Backprojection", H. Turbell, Dissertation, Linköping Institute of Technology, Schweden, 2001). Bei der Pi-Rekonstruktion werden ausschließlich Messwerte verwendet, die auf der Detektorfläche 18 in einem Bereich liegen, der als Pi-Fenster bezeichnet wird. Auch das Pi-Fenster wird hier nicht näher beschrieben, da es beispielsweise aus der oben genannten Druckschrift bekannt ist. Messwerte, die außerhalb des Pi-Fensters liegen, werden bei der Pi-Rekonstruktion nicht berücksichtigt. Mit dem insbesondere in den Schritten 201 bis 217 beschriebenen Verfahren können aus akquirierten Messwerten, die nicht im Pi-Fenster liegen, fiktive Messwerte ermittelt werden, die im Pi-Fenster liegen. Zur Pi-Rekonstruktion stehen somit mehr Messwerte zur Verfügung, wodurch das Signal/Rausch-Verhältnis verbessert wird.
Das erfindungsgemäße Computertomographie-Verfahren ist nicht auf die genannten Rekonstruktionsverfahren beschränkt. Jedes Rekonstruktionsverfahren, das sowohl die akquirierten, realen Messwerte als auch die fiktiven Messwerte verwendet, ist im Rahmen der Erfindung anwendbar.

α_max: Öffnungswinkel
Δζ: Abstand zwischen der fiktiven Strahlenquellenposition und der realen Strahlenquellenposition
Δν: Abstand zwischen dem Auftreffpunkt des fiktiven Strahls auf die virtuelle, planare Detektorfläche und dem Auftreffpunkt des verschobenen Strahls
S: Strahlenquelle
1: Gantry
2, 5: Motor
3: Kollimatoranordnung
4: Strahlenbündel
7: Steuereinheit
10: Recheneinheit
11: Monitor
13: Untersuchungsbereich
14: Rotationsachse
16: Detektoreinheit
17: helixförmige Trajektorie
18: Detektorfläche
22: (x, y, z)-Koordinatensystem
33: Orthogerade
35: Richtung in 4
37: Schnittpunkt der Orthogeraden mit der helixförmigen Trajektorie
39: fiktive, zylinderförmige Oberfläche
41: Tangentenvektor
43: senkrecht zur Rotationsachse orientierter Vektor
45: Schnittellipse
47: virtuelle, planare Detektorfläche
49: realer Strahl
49': verschobener realer Strahl
50: (u, v)-Koordinatensystem
51: fiktiver Strahl
52: fiktive Strahlenquellenposition
53: Auftreffpunkt des realen Strahls auf die virtuelle, planare Detektorfläche
54: Auftreffpunkt des verschobenen realen Strahls auf die virtuelle, planare Detektorfläche
55: Auftreffpunkt des virtuellen Strahls auf die virtuelle, planare Detektorfläche

Claims

Computertomographie-Verfahren mit folgenden Schritten: a) Erzeugen eines einen Untersuchungsbereich (13) und ein darin befindliches Objekt durchsetzenden, kegelförmigen Strahlenbündels (4) unter Verwendung einer Strahlenquelle (S), b) Erzeugen einer Relativbewegung zwischen der Strahlenquelle (S) einerseits und dem Untersuchungsbereich (13) andererseits, die eine Rotation um eine Rotationsachse (14) und eine Verschiebung parallel zur Rotationsachse (14) umfasst und die die Form einer Helix (17) hat, c) Akquisition von realen Messwerten (g), die von der Intensität in dem Strahlenbündel (4) jenseits des Untersuchungsbereichs (13) abhängen, mit Hilfe einer Detektoreinheit (16), d) Ermitteln von nicht akquirierten, fiktiven Messwerten aus den realen Messwerten (g), wobei jedem fiktiven Messwert ein fiktiver Strahl (51) zugeordnet ist, der von einer fiktiven Strahlenquellenposition (52) ausgeht, und wobei das Ermitteln eines fiktiven Messwerts (g^f) die folgenden Schritte aufweist: – Ermitteln eines Schnittpunktes (37) der Helix (17) mit einer Orthogeraden (33), die orthogonal auf der Helix (17) steht und durch die fiktive Strahlenquellenposition (52) verläuft, – Ermitteln einer Schnittellipse (45) zwischen einer fiktiven zylinderförmigen Oberfläche (39), auf der die Helix (17) angeordnet ist, und einer Ellipsenebene, die durch den Tangentenvektor (41) der Helix (17) an dem Schnittpunkt (37) und durch einen Vektor (43), der senkrecht zur Rotationsachse (14) orientiert ist und vom Schnittpunkt (37) ausgeht, aufgespannt ist, – Ermitteln des fiktiven Messwerts (g^f) aus den realen Messwerten (g) durch Lösen der John-Gleichung für eine Bewegung der Strahlenquelle (S) relativ zum Untersuchungsbereich (13) entlang der Schnittellipse (45), e) Rekonstruktion eines Objektbildes aus den realen Messwerten (g) und den fiktiven Messwerten.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass im Schritt d) das Ermitteln des fiktiven Messwerts (g^f) die folgenden Schritte umfasst: i) Definieren einer virtuellen, planaren Detektorfläche (47), die die Ellipsenebene senkrecht schneidet, ii) Projizieren der realen Messwerte (g), deren zugeordnete reale Strahlen von dem Schnittpunkt (37) ausgehen, entlang diesen Strahlen auf die virtuelle, planare Detektorfläche (47), iii) Ermitteln eines realen Strahls (49), der von dem Schnittpunkt (37) ausgeht, wobei der Auftreffpunkt (53) des realen Strahls (49) und der Auftreffpunkt (55) des fiktiven Strahls (51) auf der virtuellen, planaren Detektorfläche (47) auf einer Geraden liegen, die parallel zur Orthogeraden (33) verläuft, iv) Bilden einer partiellen Ableitung (g_ν(u_α, ν_α, λ_α, 0)) der realen Messwerte, deren zugeordnete reale Strahlen von dem Schnittpunkt (37) ausgehen, nach der Position (ν) des jeweiligen realen Messwerts auf der planaren, virtuellen Detektorfläche (47) entlang einer zur Orthogeraden (33) parallelen Geraden an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) des realen Messwerts (g(u_α, ν_α, λ_α, 0)), dem der im Schritt iii) ermittelte reale Strahl (49) zugeordnet ist, (v) Bilden einer partiellen Ableitung (g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0)) der realen Messwerte, deren zugeordnete reale Strahlen denselben Auftreffpunkt auf der planaren, virtuellen Detektorfläche (47) aufweisen und von unterschiedlichen auf der Orthogeraden (33) liegenden Strahlenquellenpositionen ausgehen, nach der Strahlenquellenposition (ζ) auf der Orthogeraden (33) mit Hilfe der John-Gleichung an der Stelle (u_α, ν_α, λ_α, 0) des realen Messwerts (g(u_α, ν_α, λ_α, 0)), dem der im Schritt iii) ermittelte reale Strahl (49) zugeordnet ist, (vi) Ermitteln des fiktiven Messwerts (g^f) durch eine Taylor-Entwicklung, wobei die in iv) und v) ermittelten partiellen Ableitungen (g_ν(u_α, ν_α, λ_α, 0), g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0)) berücksichtigt werden.
Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass zum Ermitteln des fiktiven Messwerts (g^f) mittels einer Taylor-Entwicklung im Schritt vi) der reale Messwert (g(u_α, ν_α, λ_α, 0)), dem der im Schritt iii) ermittelte reale Strahl (49) zugeordnet ist, das Produkt aus dem Abstand (Δζ) zwischen dem Schnittpunkt (37) und der fiktiven Strahlenquellenposition (52) und der im Schritt v) gebildeten partiellen Ableitung (g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0)) und das Produkt aus dem Abstand (Δν) der Schnittpunkte (54, 55) des fiktiven Strahls (51) und eines Strahls (49'), der zum realen Strahl (49) parallel zur Orthogeraden (33) um den Abstand (Δζ) zwischen dem Schnittpunkt (37) und der virtuellen Strahlenquellenposition (52) verschoben ist, auf der virtuellen, planaren Detektorfläche (47) und der im Schritt iv) gebildeten partiellen Ableitung (g_ν(u_α, ν_α, λ_α, 0)) addiert werden, wobei die resultierende Summe der fiktive Messwert (g^f) ist.
Verfahren nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass das Bilden der partiellen Ableitung (g_ζ(u_α, v_α, λ_α, 0)) im Schritt v) die folgenden Schritte aufweist: α) Ermitteln von Strahlenquellenpositionen auf der Schnittellipse (45), die zu dem Schnittpunkt (37) benachbart sind, wobei angenommen wird, dass reale Strahlen, die von einer realen Strahlenquellenposition ausgehen, die auf der Helix (17) um einen Winkel (Δζ) zum Schnittpunkt (37) versetzt ist, von einer Strahlenquelle ausgehen, die auf der Schnittellipse (45) um den gleichen Winkel (Δλ = Δζ) zum Schnittpunkt (37) versetzt ist, β) Ermitteln jeweils einer virtuellen, planaren Detektorfläche (47) für jede im Schritt α) ermittelte Strahlenquellenposition auf der Schnittellipse (45) durch Drehen der im Schritt i) definierten Detektorfläche (47) um die Rotationsachse (14) um einen Drehwinkel, der gleich dem Winkel (Δλ) ist, um den die jeweilige Strahlenquellenposition auf der Schnittellipse (45) zu dem Schnittpunkt (37) versetzt ist, γ) Projizieren derjenigen realen Messwerte, deren zugeordnete reale Strahlen von den im Schritt α) ermittelten realen Strahlenquellenpositionen ausgehen, entlang diesen Strahlen auf die für die jeweilige Strahlenquellenposition ermittelte virtuelle, planare Detektorfläche (47), δ) Bilden der partiellen Ableitung (g_λ(u, ν, λ, 0)) der im Schritt γ) projizierten Messwerte nach der Winkelposition (λ) der im Schritt α) ermittelten Strahlenquellenpositionen auf der Schnittellipse (45), ε) Bilden der partiellen Ableitung der im Schritt δ) abgeleiteten Messwerte nach der Position (ν) des jeweiligen, abgeleiteten Messwertes auf einer parallel zur Orthogeraden orientierten Geraden auf der jeweiligen virtuellen, planaren Detektorfläche (47), ζ) Bilden der zweiten partiellen Ableitung (g_νν(u, ν, λ, 0)) der im Schritt γ) projizierten Messwerte nach der Position (ν) des jeweiligen projizierten Messwerts auf einer parallel zur Orthogeraden (33) orientierten Geraden auf der jeweiligen virtuellen, planaren Detektorfläche (47), η) Bilden einer ersten Summe durch Addieren derjenigen im Schritt ζ) abgeleiteten, realen Messwerte (g_λν(u, ν_α, λ_α, 0)), deren zugeordnete reale Strahlen von dem Schnittpunkt (37) ausgehen und auf der im Schritt i) definierten virtuellen, planaren Detektorfläche (47) auf einer Geraden liegen, die parallel zur Ellipsenebene und durch den Auftreffpunkt (53) des im Schritt iii) definierten realen Strahls (49) verläuft, und Multiplizieren der ersten Summe mit einem Wichtungsfaktor, der proportional zum Kehrwert der halben großen Achse (R₁) der Schnittellipse (47) ist, ϑ) Bilden einer zweiten Summe durch Multiplizieren derjenigen im Schritt ζ) abgeleiteten, realen Messwerte (g_νν(u, ν_α, λ_α, 0)), deren zugeordnete reale Strahlen von dem Schnittpunkt (37) ausgehen und auf der im Schritt i) definierten virtuellen, planaren Detektorfläche (47) auf einer Geraden liegen, die parallel zur Ellipsenebene und durch den Auftreffpunkt (53) des im Schritt iii) definierten realen Strahls (49) verläuft, mit der jeweiligen Position (u) auf der Geraden und durch Addieren dieser Messwerte, wobei die zweite Summe mit einem Wichtungsfaktor multipliziert wird, der zum Kehrwert der halben kleinen Achse (R₂) der Schnittellipse (45), zum Kehrwert des Quadrats der halben großen Achse (R₁) der Schnittellipse (45) und zur Position des jeweiligen abgeleiteten, realen Messwerts in eine parallel zur Orthogeraden (33) orientierten Richtung proportional ist, ι) Bilden eines Produkts durch Multiplizieren der im Schritt iv) gebildeten partiellen Ableitung (g_ν(u_α, ν_α, λ_α, 0)) mit einem Wichtungsfaktor, der zum Kehrwert der halben kleinen Achse (R₂) der Schnittellipse (45), zum Kehrwert der halben großen Achse (R₁) der Schnittellipse (45) und zur Summe des Produkts der beiden Halbachsen der Schnittellipse (45) und des Quadrats der Position (u_α) des Auftreffpunkts (53) des im Schritt iii) ermittelten realen Strahls (49) auf der im Schritt i) definierten virtuellen, planaren Detektorfläche (47) auf einer parallel zum im Schritt d) ermittelten Tangentenvektor (41) orientierten Geraden proportional ist, κ) Addieren der im Schritt η) mit einem ersten Wichtungsfaktor multiplizierten ersten Summe, der im Schritt ϑ) mit einem zweiten Wichtungsfaktor multiplizierten zweiten Summe und des im Schritt ι) gebildeten Produkts, wobei die resultierende Summe die partielle Ableitung (g_ζ(u_α, ν_α, λ_α, 0)) gemäß Schritt v) ist.
Computertomograph zur Durchführung des Verfahrens nach Anspruch 1 mit – einer Strahlenquelle (S) zum Erzeugen eines einen Untersuchungsbereich (13) und ein darin befindliches Objekt durchsetzenden kegelförmigen Strahlenbündels (41), – einer Antriebsanordnung (2, 5), um das im Untersuchungsbereich (13) enthaltene Objekt und die Strahlenquelle (S) relativ zueinander um eine Rotationsachse (14) rotieren und sich parallel zur Rotationsachse (14) verschieben zu lassen, – einer mit der Strahlenquelle (S) gekoppelten Detektoreinheit (16) zur Akquisition von realen Messwerten, – einer Recheneinheit (10) zum Ermitteln der fiktiven Messwerte aus den realen Messwerten und zum Rekonstruieren eines Objektbildes aus den realen Messwerten und den fiktiven Messwerten, – einer Steuereinheit (7) zur Steuerung der Strahlenquelle (S), der Detektoreinheit (16), der Antriebsanordnung (2, 5) und der Recheneinheit (10) entsprechend den Schritten von Anspruch 1.
Computerprogramm für eine Steuereinheit (7) zur Steuerung einer Strahlenquelle (S), einer Detektoreinheit (16), einer Antriebsanordnung (2, 5) und einer Recheneinheit (10) eines Computertomographen zur Durchführung des Verfahrens nach Anspruch 1.