DE4444583A1

DE4444583A1 - Vorrichtung und Verfahren zur Wahl von physikalischen Merkmalen entsprechenden Parametern

Info

Publication number: DE4444583A1
Application number: DE4444583A
Authority: DE
Inventors: Masaharu Ishii
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1993-12-14
Filing date: 1994-12-14
Publication date: 1995-06-22
Anticipated expiration: 2014-12-15
Also published as: US6032106A; JPH07226656A; JP3174223B2; DE4444583B4

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung, die zum Entwurf beispielsweise eines digitalen Filters verwendet werden können und die eine Approximati onsfunktion ergeben, die für einen solchen Entwurf verwen det werden kann.

Beim Entwerfen eines herkömmlichen digitalen Filters war es beispielsweise die Praxis, eine Kurve, welche die Amplitu dencharakteristik des Filters ausdrückt, durch ein Optimie rungsverfahren zu approximieren und eine Übertragungsfunk tion aufgrund dieser approximierten Kurve zu berechnen. Als ein Beispiel für dieses Optimierungsverfahren ist ein Verfahren bekannt, bei dem eine Folge von eine ideale Charakteristik ausdrückenden Punkten vorgegeben wird, eine Approximierung dieser idealen Charakteristik aufgestellt wird, ein Abstand zwischen dieser Funktion und der Punkt folge bestimmt wird und die Parameter bestimmt werden, um die minimale Summe des Quadrates dieses Abstandes und damit die gewünschte approximierte Kurve zu erhalten.

Dieses herkömmliche Verfahren stellt die Eingangsdaten aber als gesetzte Folge von Punkten ohne Fehlerbereich dar und berechnet nur den Abstand zwischen diesen eingegebenen Daten und einer Fehlerfunktion. Wenn die eingegebenen Daten eine bestimmte Streuung aufgrund von Fehlern und derglei chen haben, konnte dieses Verfahren diese Streuung nicht berücksichtigen.

Infolge dessen ist es eine Aufgabe der vorliegenden Erfin dung, eine Approximationsvorrichtung und ein Approximati onsverfahren anzugeben, bei dem eingegebene Daten mit einer gewissen Streuung oder dergleichen gehandhabt werden kön nen, was in der Vergangenheit schwierig war, um so unter schiedliche Probleme in der Industrie wie beispielsweise die Konstruktion eines physikalischen Systems, Formen, Systemidentifikation, grafische Darstellung, Dateninter polation, Signalvorhersagemodelle, Mustererkennung und dergleichen handhaben zu können.

Die Approximationsvorrichtung gemäß der vorliegenden Erfin dung ist dadurch gekennzeichnet, daß mindestens Mittel zum Vorgeben eines Approximationsbereiches, der einem zulässi gen Bereich eines physikalischen Merkmales entspricht, und eine Funktionsbestimmungseinrichtung zum Auffinden einer mindestens annähernd in dem Approximationsbereich liegenden Approximationsfunktion durch Lösen simultaner Ungleichungen vorgesehen werden, wobei die Funktionsbestimmungseinrich tung die Approximationsfunktion als eine Familie mit bestimmten Parametern bestimmt und gleichzeitig den Bereich für jeden Parameterwert durch Lösen der simultanen Ungleichungen ermittelt.

Ferner ist ein Approximationsverfahren gemäß der vorliegen den Erfindung dadurch gekennzeichnet, daß in einem ersten Schritt ein dem zulässigen Bereich eines physikalischen Merkmales entsprechender Approximationsbereich vorgegeben wird und daß in einem zweiten Schritt eine mindestens annähernd in dem Approximationsbereich liegende Approxima tionsfunktion durch Lösen simultaner Ungleichungen bestimmt wird, wobei in dem zweiten Schritt die Approximationsfunk tion als eine Familie mit bestimmten Parametern aufgestellt und der Bereich der Parameterwerte durch Lösen der simulta nen Ungleichungen ermittelt wird.

Die folgende Beschreibung erläutert in Verbindung mit den beigefügten Zeichnungen die Erfindung anhand von Ausfüh rungsbeispielen. Es zeigen:

Fig. 1 eine grafische Darstellung mit einer oberen Grenz funktion, einer unteren Grenzfunktion und einer Approximationsfunktion für das Beispiel 1 der vor liegenden Erfindung,

Fig. 2 eine schematische Ansicht eines für Beispiel 1 der vorliegenden Erfindung nutzbaren Bereiches S′,

Fig. 3 eine schematische Darstellung eines Unterbereiches S′₁ des nutzbaren Bereiches S′ von Beispiel 1 der vorliegenden Erfindung,

Fig. 4 ein Flußdiagramm für Beispiel 1 der vorliegenden Erfindung,

Fig. 5 eine Darstellung des Nachbarbereiches der unteren Grenzfunktion von Beispiel 2,

Fig. 6 eine grafische Darstellung einer erzeugenden kon vexen Hülle, welche die untere Grenzfunktion M⁻(x) von Beispiel 3 der vorliegenden Erfindung umgibt,

Fig. 7 eine grafische Darstellung, welche den Anfangszu stand eines Schrittes zum Konstruieren der erzeu genden konvexen Hülle mittels eines Verfahrens A des Beispiels 3 der vorliegenden Erfindung zeigt,

Fig. 8 eine grafische Darstellung, welche einen Endzu stand eines Schrittes zum Konstruieren der erzeu genden konvexen Hülle des Verfahrens A zeigt,

Fig. 9 eine grafische Darstellung, welche einen Schritt zum Konstruieren der erzeugenden konvexen Hülle durch ein Verfahren B zeigt,

Fig. 10 eine grafische Darstellung, welche einen Schritt zur Konstruktion der erzeugenden konvexen Hülle durch ein Verfahren C zeigt,

Fig. 11 eine schematische Darstellung einer Vorrichtung zum Durchführen des Approximationsverfahrens nach Beispiel 4 der vorliegenden Erfindung,

Fig. 12 eine grafische Darstellung einer Rechteck- Amplitudencharakteristik, die in Beispiel 4 der vorliegenden Erfindung erhalten wurde,

Fig. 13 eine grafische Darstellung zur Erläuterung eines Entwurfes eines digitalen Filters, das gleichzei tig die Amplitudencharakteristik und die Phasen charakteristik in Beispiel 5 der vorliegenden Er findung zeigt,

Fig. 14 eine grafische Darstellung, in welcher ein Approximationsbereich C (ω) der Fig. 13 auf eine reale Achse verschoben ist,

Fig. 15 eine grafische Darstellung zur Erläuterung des Entwurfes eines digitalen Filters, welches nur die Phasencharakteristik bezeichnet,

Fig. 16 eine Blockdiagramm eines herkömmlichen Identifi zierungsgerätes,

Fig. 17 ein Blockdiagramm eines Identifizierungsgerätes nach Beispiel 7 der vorliegenden Erfindung und

Fig. 18 ein Blockdiagramm einer charakteristischen Korrek tureinrichtung gemäß Beispiel 8 der vorliegenden Erfindung.

In der folgenden Beschreibung bedeutet ein physikalisches Merkmal eine gewünschte Charakteristik, eine gewünschte Form, einen Meßwert, ein Kommunikationssignal, ein Muster oder dergleichen. Ferner ist in der vorliegenden Beschrei bung ein Approximationsverfahren ein Verfahren zum Erhalten einer Funktion (hier im weiteren als Approximationsfunktion bezeichnet), die mindestens annähernd durch einen Bereich verläuft, welcher der Streuung der Eingangswerte (hier als Approximationsbereich bezeichnet), insbesondere Parameterwerten dieser Approximationsfunktion entspricht.

Dieses Approximationsverfahren beinhaltet eine enorme Menge von Operationen selbst in einem Fall, in dem die Approxima tionsfunktion in einfacher Form dargestellt wird. Infolge dessen ist es unmöglich, die Lösung durch manuelle Rechen verfahren zu erhalten. Sie wird erst durch die Verwendung eines digitalen Computers oder dergleichen möglich. Ferner bezeichnet der Ausdruck Approximationsvorrichtung ein Gerät zum Ausführen des Approximationsverfahrens. Insbesondere wird damit ein digitaler Computer bezeichnet, mit dessen Hilfe das Approximationsverfahren ausgeführt wird.

Ein typisches Approximationsverfahren wird im folgenden un ter Verwendung der Vektornotation erläutert.

Als typisches Beispiel für einen Approximationsprozeß kann ein Verfahren angesehen werden, bei dem eine Parameter umfassende geeignete Funktion wie f(x) aufgestellt wird und Parameterwerte gesucht werden, welche die Beziehung

in einem Bereich D in einem multidimensionalen Raum erfül len. Dieses Ungleichungssystem (1) wird als bestimmendes Ungleichungssystem zur Approximation bezeichnet und die Funktion f(x), welche das Ungleichungssystem (1) erfüllt, wird als Approximationsfunktion bezeichnet. Ferner wird M⁺(x), das die obere Grenze der Approximationsfunktion von f(x) angibt, als obere Grenzfunktion und M⁻(x), das die untere Grenze angibt, als untere Grenzfunktion bezeichnet. Der gesamte Bereich zwischen der oberen Grenzfunktion M⁺(x) und der unteren Grenzfunktion M⁻(x) wird als Approximati onsbereich

bezeich net. Man kann auch den Wert + ∞ bzw. - ∞ als obere Grenz funktion M⁺(x) bzw. untere Grenzfunktion M⁻(x) wählen.

Das Ungleichungssystem (1) wird als finite Zahl simultaner Ungleichungen ausgedrückt. Der Wertebereich der Parameter von f(x), welcher alle diese finiten Zahlen von Ungleichun gen erfüllt, wird als Lösungsbereich bezeichnet. Dieser Lösungsbereich wird durch Transformation des Approximati onsbereiches in einen Parameterraum erhalten. Infolgedessen entspricht ein Punkt in dem Lösungsbereich einer Approxima tionsfunktion mit einem Wert innerhalb des Approximations bereiches.

Es ist zu bemerken, daß in der Approximationsvorrichtung und dem Approximationsverfahren der vorliegenden Erfindung die Approximationsfunktion f(x) nicht nur eine reelle Funktion ist, sondern auch ein Funktional, ein Operator oder dergleichen und ferner eine Rekursionsformel einer Folge sein kann, wie dies in Beispiel 7 gezeigt wird. Ferner kann der Bereich D ein diskreter Satz von Punkten oder ein kontinuierlicher Bereich sein oder er kann diskon tinuierlich sein.

Ferner kann eine Mehrzahl von zu approximierenden Funktio nen vorhanden sein insofern, als die Parameter gleich sind.

In diesem Falle können auch unterschiedliche Approximati onsbereiche bezüglich der zu approximierenden Funktionen bestehen.

In der folgenden Erläuterung von Beispielen wird zunächst eine Approximierungsvorrichtung und ein Approximierungsver fahren gemäß der vorliegenden Erfindung anhand der Bei spiele 1 bis 4 erläutert. Anschließend wird eine Anwendung dieser Vorrichtung und dieses Verfahrens auf verschiedene Systeme in Technik und Industrie anhand der Beispiele 5 und folgende erklärt.

Beispiel 1

Im folgenden wird erläutert, wie man eine Approximations funktion durch ein Approximationsverfahren mittels der folgenden Schritte erhält:

1. Reduktion des Problems des Approximationsverfahrens auf ein Ungleichungssystem,
2. Lösung des Ungleichungssystems,
3. Verfahren zur Bestimmung des Grades der Approximations funktion f(x).

1. Reduktion des Problems des Approximationsverfahrens auf ein Ungleichungssystem

Das Approximationsverfahren wird unter Bezugnahme auf Fig. 1 erklärt. In dem vorliegenden Beispiel werden die Folgen von Punkten P_j = (x_j, y_j) (j = 1, 2, . . ., n) bei spielsweise auf der Basis eingegebener Daten erzeugt. Der Bereich D auf der x-Achse, welcher die Approximationsfunk tion begrenzt, wird zu {x₁, x₂, . . ., x_n}. Betrachtet man die durch Fehler hervorgerufene Streuung der Punkte P_i etc. in x = x_i, wird die obere Grenzfunktion M⁺(x_i) durch den oberen Grenzwert bestimmt, der durch diesen Punkt P_i ange geben werden kann. Die untere Grenzfunktion M⁻(x_i) wird durch den unteren Grenzwert bestimmt. Somit wird ein Ansatz für die Folgen von Punkten P_i geschaffen. Es werden nämlich die Folgen von Punkten P⁺₁ = (x₁, y⁺₁), P⁺₂ = (x₂, y⁺₂), . . ., und P⁺_n = (x_n, y⁺_n) entsprechend den oberen Grenzfunk tionen und die Folgen der Punkte P⁻₁ = (x₁, y⁻₁), P⁻₂ = (x₂, y₂), . . , P⁻_n = (x_n, y⁻_n) entsprechend den unteren Grenzfunktionen bestimmt. Dabei gilt y⁺_i ist M⁺(x_i) und y⁻_i ist M⁻(x_i). Der Approximationsbereich oder Fehlerbereich T wird bestimmt durch alle diese Punktefolgen.

Angenommen, die Approximationsfunktion werde durch eine lineare rationale Funktion von x ausgedrückt wie:

Hier sind a₀, a₁, b₀ und b₁ Parameter in Form reeller Zahlen.

Wenn die Funktion (2) in das Ungleichungssystem (1) einge setzt wird und gleichzeitig der Nenner unter der Bedingung eliminiert wird, daß der Nenner (b₀ + b₁x_i) positiv ist, wird das Ungleichungssystem (1) in die zu ihm äquivalenten Ungleichungssysteme (3), (4) und (5) umgeformt

-a₀ - a₁x_i + b₀M⁺(x_i) + b₁x_iM⁺(x_i) < 0 (3)

a₀ + a₁x_i - b₀M⁻(x_i) - b₁x_iM⁻(x_i) < 0 (4)

b₀ + b₁x_i < 0 (5).

Um die Beziehungen (3), (4) und (5) als innere Produkte eines Vektors darzustellen, wird ein vierdimensionaler Parameterraum entsprechend der Anzahl der Parameter a₀, a₁, b₀ und b₁ aufgestellt. Die Vektoren X, η⁺(x_i), η⁻(x_i) und η°(x_i) in diesen Parameterraum werden folgendermaßen defi niert:

X = (a₀, a₁, b₀, b₁) (6)

η⁺(x_i) = (-1, -x_i, M⁺(x_i), x_iM⁺(x_i) (7)

η⁻(x_i) = (1 , x_i, -M⁻(x_i), -x_iM⁻(x_i)) (8)

η⁰(x_i) = (0, 0, 1, x_i) (9).

X ist ein Parametervektor; η⁺(x_i) (hier als oberer Grenz vektor bezeichnet) ist ein Vektor, welcher die Begrenzung durch die obere Grenzfunktion M⁺(x_i) ausdrückt; η⁻(x_i) (hier als unterer Grenzvektor bezeichnet) ist ein Vektor, welcher die Begrenzung durch die untere Grenzfunktion M⁻(x_i) ausdrückt, und η⁰(x_i) ist ein Vektor, der die Bedingung ausdrückt, die erforderlich ist, um eine Divergenz der rationalen Funktion (2) zu verhindern.

Wenn diese Vektoren verwendet werden, wird das bestimmende Ungleichungssystem des durch die Ungleichungssysteme (3), (4) und (5) ausgedrückten Approximationsverfahrens zu den folgenden Beziehungen (10), (11), (12), welche durch das innere oder skalare Produkt mit dem Parametervektor X ausgedrückt werden:

(X,η⁺ (x_i)) < 0 (10)

(X,η⁻(x_i)) < 0 (11)

(X,η⁰(x_i)) < 0 (12)

Da die Ungleichungssysteme (10), (11) und (12) durch die Eingabe-Punktfolgen P_i in dem Bereich D gegeben werden, wird auf diese Weise das Problem des Findens der Approxima tionsfunktion durch eine finite Anzahl von Ungleichungen ausgedrückt und die Lösung kann tatsächlich gefunden wer den. Wenn beispielsweise die Zahl n der Folgen von Punkten P_i 500 ist, so gibt es 500 Ungleichungen in (10), (11) bzw. (12).

Wenn die finite Anzahl von Ungleichungen, die bezüglich aller eingegebener Folgen von Punkten P_i erhalten wurden, gleichzeitig dargestellt und für den Parametervektor X gelöst werden, ist der Bereich, in dem der Parametervektor X existiert, der Lösungsbereich S. Dieser Lösungsbereich S wird allgemein ein konvexer Kegel und wird ausgedrückt durch:

S = {s₁X₁ - s₂X₂ + . . . + s_mX_mÇs₁,s₂, . . ., s_m < 0} (13).

Die Vektoren von X₁ = (a₀₁, a₁₁, b₀₁, b₁₁), X₂ = (a₀₂, a₁₂, b₀₂, b₁₂), . . ., X_m = (a_0m, a_1m, b_0m, b_1m) stellen die Scheitel dieses Lösungsbereiches S dar. Die Approximations funktion f(x), die durch einen Punkt X_s = (a_0s, a_1s, b_0s, b_1s) innerhalb des Lösungsbereiches S bestimmt wird, gibt stets einen Wert innerhalb des Approximationsbereiches T.

2. Lösung des Ungleichungssystems

Für den Fall, daß es ausreicht, wenn eine Approximations funktion f(x) erhalten wird, ist es in vielen Fällen aus reichend, daß die Unterlösung S₁ des Lösungsbereiches S ge funden wird. Infolgedessen kann die Operation beschleunigt werden, indem man die Existenz des Lösungsbereiches S bestimmt und nur die Unterlösung S₁ findet.

Unter Bezugnahme auf die Fig. 2 und 3 wird nun ein Beispiel für die Entscheidung über die Existenz des Lösungsbereiches S unter Verwendung linearer Programmierung und das Finden der Teillösung S₁ im folgenden erläutert.

Hier werden zur Vereinfachung der Erläuterung Vektoren, welche allen Vektoren von η⁺(x_i), η⁻(x_i) und η⁰(x_i) in den oben beschriebenen Ungleichungssystemen (10), (11) und (12) entsprechen, durch η_j (j = 1, 2, . . ., 3n) ausgedrückt. Unter dieser Voraussetzung werden sie durch das folgende Ungleichungssystem (14) ausgedrückt

(X, η_j) < 0 (j = 1, 2, . . . , 3n) (14).

Hierin wurde folgendes gesetzt:

η_i = η⁺+(x_i) (i = 1, 2, . . ., n) (15)

η_i+n = η⁻(x_i) (16)

η_i+2n = η⁰(x_i) (17).

Ferner werden die Komponenten von η_j dargestellt durch η_j0, η_j1, η_j2, η_j3).

In dem Ungleichungssystem (14) gilt, selbst wenn der Vektor X mit a multipliziert wird, die folgende Beziehung (18):

(αX, η_j) = α(X, η_j) < 0 (18).

Selbst wenn daher X mit (1/a₀) multipliziert und folgender maßen gesetzt wird:

X′′ = (1/a₀) X = (1, a₁/a₀, b₀/a₀, b₁/a₀)

geht die Allgemeingültigkeit nicht verloren. Anschließend wird das obige Ungleichungssystem (14) ausgedrückt durch das skalare Produkt des vierdimensionalen Vektors zu dem folgenden Ungleichungssystem (19) reduziert, das durch das skalare Produkt der dreidimensionalen Vektoren X′, η′_j ausgedrückt wird:

0 < (X′′, η_j) = η_j0 + (X′, η′_j) (19)

Hier sind X′ und η′_j gesetzt zu:

X′ = (X′⁽¹⁾, X′⁽²⁾ , X′⁽³⁾) = (a₁/a₀, b₀/a₀, b₁/a₀)
η′_j = (η_j1, η_j2, η_j3).

Der nutzbare Bereich S′ des Ungleichungssystems (19) wird ausgedrückt durch

Dabei ist X′_k (k = 1, 2, . . ., n) ein dreidimensionaler Vektor, welcher den Scheitel des nutzbaren Bereiches S′ be zeichnet.

Unter der einschränkenden Bedingung (19) wird die Zielfunk tion gesetzt zu V₁ = x′⁽¹⁾ (= a₁/a₀), und V₁ wird durch lineare Programmierung maximiert. Zuerst wird eine Ent scheidung über die Existenz einer möglichen Lösung getrof fen. Es wird bestimmt, ob der nutzbare Bereich S′ ein leerer Satz ist. Wenn der nutzbare oder mögliche Bereich S′ leer ist, ist es der Lösungsbereich S ebenfalls. Dann gibt es keine Approximationsfunktion. Wenn der nutzbare oder mögliche Bereich S′ nicht leer ist, schreitet das Verfahren fort.

Eine Aquipotentialfläche, auf der V₁ konstant ist, ist eine zu der Achse von X′(¹) vertikale Ebene, wie dies durch H₁, H₂ usw. in Fig. 2 ausgedrückt wird. In Fig. 2 erkennt man, daß der Punkt des nutzbaren Raumes S′ X′₃ wird, wenn man V₁ maximal macht. Ähnlich wird folgendes bestimmt:

V₂ = -X′⁽¹⁾ (= -a₁/a₀)
V₃ = -X′⁽²⁾ (= b₀/a₀)
V₄ = -X′⁽²⁾ (= -b₀/a₀)
V₅ = -X′⁽³⁾ (= b₁/a₀)
V₆ = -X′⁽³⁾) (= -b₁/a₀)

und es werden die Scheitel X′₇, X′₁, X′₅, X′₁₄ und X′₁₅, des nutzbaren Bereiches S′ erhalten, indem man sie jeweils maximiert. Wenn zu diesem Zeitpunkt folgendes gesetzt wird:

so erkennt man, daß S′₁ eine Unterregion innerhalb des nutzbaren Bereiches S′ ist, wie dies in Fig. 3 dargestellt ist.

Es ist zu bemerken, daß es nicht notwendig ist, die Ziel funktion V_i (i = 1, 2, . . .) auf ein solches Lösungsverfah ren zu beschränken. Wenn eine ausreichend große Anzahl von Zielfunktionen verwendet wird, erhält man eine Unterregion.

Wenn dies in dem Parameterraum betrachtet wird, wird die Teillösung S₁ ausgedrückt durch

Wenn die Komponenten eines der in dieser Unterlösung S₁ existierenden Parametervektoren:

X_s1 = (a_0s1, a_1s1, b_0s1, b_1s1)

in die rechte Seite der Formel (2) substituiert werden, er hält man eine Approximationsfunktion f(x).

Es ist zu bemerken, daß die Entscheidung über die Existenz des Lösungsbereiches S und das Auffinden der Unterlösung S₁ nicht auf dieses Verfahren beschränkt sind. Das Verfahren der rechnerischen Geometrie und dergleichen kann ebenfalls verwendet werden. Darüber hinaus ist es auch möglich, nicht die Unterlösung S₁ sondern den ganzen Lösungsbereich S durch dieses Verfahren der rechnerischen Geometrie (computational Geometry) zu finden (siehe: Computational Geometry: An Introduction. F.P. Preparata and M.I. Shamos, Springer-Verlag, corrected third printing, 1990). Ferner kann ein Lösungsverfahren und ein angenähertes Lösungsver fahren unter Verwendung einer Penaltyfunktion und derglei chen verwendet werden. Das Verfahren mittels einer Penal tyfunktion ist ein Verfahren zum Reduzieren des Problems der Ungleichung auf ein Problem der Optimierung. Dies ist nämlich ein Verfahren, in dem eine Penaltyfunktion konstru iert wird, die einen hohen Funktionswert in einem Bereich ergibt, in dem die Ungleichung nicht erfüllt wird, und die einen kleinen Funktionswert in einem Bereich ergibt, in dem die Ungleichung erfüllt ist. Anschließend wird der Punkt gefunden, der diese Penaltyfunktion minimiert (siehe: Nonlinear Programming (Part II, Chapter 10), H. Konno and H. Yamashita, Japan Science and Technology Federation, first printing 1978, sixth printing 1990).

Für den Fall, daß das Auffinden einer einzigen Approximati onsfunktion ausreicht, kann auch beispielsweise eine Puf fervariable (slack variable) Y eingeführt und das Unglei chungssystem (19) folgendermaßen gesetzt werden:

0 < (X′, ηj) + η_j0 - Y.

So ist es möglich, das bei der linearen Programmierung auftretende Problem der Maximierung von Y zu lösen. Wenn eine Lösung existiert und 0 < Y erfüllt ist, genügt X′ zu dieser Zeit dem Ungleichungssystem (19) und man erhält daher eine Approximationsfunktion. Es existiert gemäß dem Verfahren der Einführung der Puffervariablen eine Vielzahl von Prozeduren zur Reduktion auf die lineare Programmie rung.

Es ist einfach, die Verfahren der oben beschriebenen Fälle 1 und 2 auf einen Fall auszudehnen, in dem die rationale Funktion (2) auf das Verhältnis linearer Kombinationen zweier Sätze von linear unabhängigen Funktionen p₀(x), p₁(x), . . ., p_M(x)), (q₀(x), q₁(x), . . ., q_N(x)) in dem Bereich D in dem n-dimensionalen Raum auszudehnen:

f(x) = (a₀ p₀(x) + a₁p₁(x) + . . . + a_Mp_M(x)) /(b₀q₀(x) + b₁q₁(x) + . . . + b_Nq_N(x)) (23).

Hier sind a₀, a₁, . . ., a_M, b₀, b₁, . . ., b_N reelle Parame ter, x ist ein n-dimensionaler Vektor und die Funktionen p₀(x), p₁(x), . . ., p_M(x), q₀(x), q₁(x), . . ., q_N(x) sind stückweise in D kontinuierlich beispielsweise xⁿ, cos x, e^X und Stufenfunktionen etc.

3. Verfahren zum Bestimmen des Grades der Approximations funktion f(x)

Fig. 4 ist ein Flußdiagramm, welches ein Beispiel eines Verfahrens zum Auffinden einer Approximationsfunktion durch den minimalen Grad zeigt.

Angenommen, die Approximationsfunktion f(x) sei eine ratio nale Funktion, in welcher der Nenner und der Zähler durch das Verhältnis von Polynomen von x des Grades n ausgedrückt werden. In Schritt 111 werden die obere Grenzfunktion M⁺(x_i) und die untere Grenzfunktion M⁻(x_i) eingegeben. Wenn man nämlich den zulässigen Bereich der entsprechenden Folgen von Punkten P_i = (x_i, y_i) betrachtet, wird bestimmt, daß beispielsweise die oberen Grenzfunktionen M⁺(x₁), M⁺(x₂), . . ., M⁺(x_n) 1,05y₁, 1,04y₂, . . ., 1,06y_n, und die unteren Grenzfunktionen M⁻(x₁), M⁻(x₂), . . ., M⁻(x_n) 0,94y₁, 0,97y₂, . . ., 0,97y_n sind. In Schritt 112 wird zunächst der Anfangswert des Grades N auf 1 gesetzt.

In Schritt 113 wird das Ungleichungssystem (X, η_j) < 0 durch die obengenannten Verfahren gebildet. Hier ist η_j gleich dem η_j, das in dem Ungleichungssystem (14) verwendet wurde. Bei Schritt 114 wird die Entscheidung über die Existenz des Lösungsbereiches S des Parametervektors X getroffen.

Wenn hier der Lösungsbereich S nicht existiert, wird der Grad N des Nenners und Zählers der rationalen Funktion f(x) in Schritt 121 um 1 erhöht. Bei Schritt 122 wird entschie den, ob dieser Grad N den maximalen Grad N_max überschreitet oder nicht. Wenn N diesen Maximalwert nicht überschritten hat, kehrt die Routine zurück zu Schritt 113.

Diese Prozedur wird wiederholt. Wenn in Schritt 114 ent schieden wird, daß der Lösungsbereich S existiert, wird die Unterlösung S₁ des Lösungsbereiches S in Schritt 115 gefun den und die Familie der Approximationsfunktionen f(x) erhalten. In Schritt 116 wird ggf. eine Approximationsfunk tion f(x) aus der Unterlösung S₁, d. h. der Familie der Approximationsfunktionen f(x) ausgewählt und beispielsweise auf einem Bildschirm dargestellt. Anschließend wird das Programm beendet.

Wenn in Schritt 122 entschieden wird, daß der Grad N den maximalen Grad N_max überschreitet, wird auf dem Bildschirm in Schritt 123 angezeigt, daß eine Approximation mit einem Grad kleiner als N_max nicht möglich ist. In Schritt 124 wird eine Eingabe erwartet, ob die obere Grenzfunktion M⁺(x_i) und die untere Grenzfunktion M⁻(x_i) zurückgesetzt werden soll oder nicht.

Wenn die approximierte Kurve durch einen Grad kleiner als den maximalen Grad N_max erzeugt werden soll, ist es notwen dig, die Vorgabe der oberen Grenzfunktion M⁺(x_i) und der unteren Grenzfunktion M⁻(x_i) zu ändern und die Approximati onsgenauigkeit zu reduzieren. In diesem Falle kehrt die Routine zum Schritt 111 zurück und die Einstellung der oberen Grenzfunktion M⁺(x_i) und der unteren Grenzfunktion M⁻(x_i) wird geändert. Beispielsweise wird der zulässige Be reich der Folgen von Punkten P_i = (x_i, y_i) von ca. ± 5% zu ±10% geändert. Anschließend wird in Schritt 112 der Grad N der rationalen Funktion f(x) auf 1 gesetzt und das Verfah ren von Schritt 113 zu Schritt 122 wird wiederholt.

Wenn dann in Schritt 114 entschieden wird, daß der Lösungs bereich S existiert, werden die Schritte 116 und 117 ausge führt und die Approximationsfunktion f(x) wird auf dem Bildschirm dargestellt.

Kann auf der anderen Seite in Schritt 124 die zu ermit telnde Approximationsfunktion f(x) die gewünschte Spezifi kation nicht ausdrücken, wenn beispielsweise der Approxima tionsbereich T ausgedehnt wird, wird die Einstellung der oberen Grenzfunktion M⁺(x_i) und der unteren Grenzfunktion M⁻(x_i) nicht geändert und dieses Programm beendet.

Es ist zu bemerken, daß das oben beschriebene Verfahren zur Vereinfachung der Erläuterung ein Beispiel des einfachsten Algorithmus zeigt. Wenn ein Algorithmus wie beispielsweise eine wohlbekannte Dichotomie oder dergleichen verwendet wird, kann der Grad mit einer höheren Geschwindigkeit bestimmt werden. Auch ist der durch die oben beschriebene Suche gefundene Grad N ein Minimalgrad des Zählers und des Nenners. Daher kann durch das Festsetzen eines Grades auf N und durch Ändern des anderen Grades in einem Bereich bis zu N, um die Entscheidung über die Existenz des Lösungsberei ches S zu treffen, der jeweilige Grad des Zählers und des Nenners minimiert werden. Wenn diese Schritte ausgeführt werden, ist dies ausreichend, solange eine eindimensionale Suche ausgeführt wird, ohne daß man eine zweidimensionale Suche bezüglich aller Kombinationen von Graden des Zählers und des Nenners durchführt. Somit ist der Wirkungsgrad hoch.

Gemäß dem Approximationsverfahren des vorliegenden Beispie les werden, wie oben beschrieben, die folgenden Wirkungen erhalten. Da nämlich die Eingangsdaten als Bereich vorgege ben werden, können Eingangsdaten mit einer gewissen Streu ung gehandhabt werden, was bisher schwierig war, und die Approximationsfunktion ist nicht nur eine Funktion sondern wird als Familie bestimmt. Wenn infolgedessen die Approxi mationsfunktion f(x) des vorliegenden Beispiels in einer Übertragungsfunktion verwendet wird, welche eine Schal tungsstruktur beispielsweise eines später noch genannten analogen Systems anzeigt, kann, wenn die Verschiebung der Teile der Schaltung in den Bereich des Lösungsbereiches S gelegt wird, die erhaltene Übertragungsfunktion eine ge wünschte Beschreibung für eine lange Periode erfüllen, ohne daß sie durch Änderungen in der Schaltung mit der Zeit berührt wird.

Ferner kann eine Approximationsfunktion selbst durch eine Funktion erhalten werden, die durch ein herkömmliches Verfahren wie beispielsweise das Optimierungsverfahren schwierig zu handhaben ist. Wenn beispielsweise beim Ent wurf eines digitalen IIR (zeitdiskretes System mit unendli cher Impulsantwort) - Filter, in dem eine Rechteck-Amplitu de in Form einer rationalen Funktion ausgedrückt wird, ein Approximationsverfahren nach dem vorliegenden Beispiel verwendet wird, kann eine gewünschte Übertragungsfunktion erhalten werden. Bei der Optimierungsmethode wird die Evaluierungsfunktion sehr kompliziert und es war extrem schwierig, ihren optimalen Wert durch ein numerisches Lösungsverfahren wie das Newton′sche Verfahren zu erhalten.

Ferner wird die einen Wert innerhalb des Approximationsbe reiches gebende Funktion durch den minimalen Grad erhalten. Indem man die obere Grenzfunktion M⁺(x_i) und die untere Grenzfunktion M⁻(x_i) beispielsweise auf einem Bildschirm mittels eines Dialogsystems ändert, erhält man auch bei Be darf eine Approximationsfunktion f(x) durch den minimalen Grad in ihrem Approximationsbereich T, wobei die Approxima tionsfunktion f(x) tatsächlich die Spezifikation erfüllt, d. h. innerhalb eines Bereiches des maximalen Grades N_max liegt, in dem die Ausführung möglich ist.

Wenn beispielsweise das Approximationsverfahren nach dem vorliegenden Beispiel zur Interpolation genommen wird, werden die folgenden Wirkungen erreicht:

[1] Eingabefolgen von Punkten mit einem Fehler oder einer Wertbreite können interpoliert werden.

[2] Eine rationale Funktion kann als eine vorzugebende Interpolationsfunktion behandelt werden.

[3] Durch [2] kann eine scharfe Approximationsfunktion ohne Überschießen erhalten werden.

[4] Durch [3] kann ohne Verwendung eines stückweisen Po lynoms das Ganze durch eine Approximationsfunktion aus gedrückt werden.

[5] Es kann berechnet werden, durch welchen Grad der Funk tion die Approximation ausgeführt werden sollte.

[6] Die Interpolationsfunktion wird als Bereich erhalten und daher ist es möglich, innerhalb dieses Bereiches eine Feineinstellung vorzunehmen.

Es ist zu bemerken, daß die Interpolationsfunktion hier ei ne Funktion zum Interpolieren von Daten wie beispielsweise der Form eines Systems, einer grafischen Darstellung und dergleichen ist.

Wenn ferner das Approximationsverfahren nach dem vorliegen den Beispiel auf ein CAD-System und dergleichen angewendet wird, kann es für grafische Darstellungen, Formdarstellun gen und dergleichen verwendet werden.

Wenn ferner bei einer Approximationsvorrichtung und einem Approximationsverfahren nach dem vorliegenden Beispiel die Parameter gemeinsam sind, kann eine Vielzahl von Approxima tionsfunktionen gesetzt werden. In diesem Falle können für die jeweiligen Approximationsfunktionen unterschiedliche Approximationsbereiche existieren. Wenn beispielsweise im vorliegenden Beispiel das Ungleichungssystem (5), das erforderlich ist, um eine Divergenz der rationalen Funktion zu verhindern, gesetzt wird zu:

g(x) = b₀ + b₁x (24)

kann man davon ausgehen, daß beide Funktionen f(x) und g(x) approximiert werden. Das bestimmende Ungleichungssystem für die Approximation wird in diesem Fall durch das Unglei chungssystem (1) und durch

g(x) < 0 (25)

ausgedrückt (siehe das Ungleichungssystem (5)).

Beispiel 2

Hier wird ein Fall erläutert, in dem die Approximations funktion eine andere als eine rationale Funktion ist.

Wenn der Lösungsbereich S in dem Parameterraum als ein kon vexer Bereich ausgedrückt werden kann, kann eine andere Funktion als die Funktion (23) als Approximationsfunktion verwendet werden. Wenn man nämlich die Parameter der Fami lie von Funktionen zu X = (a₀, a₁, . . ., a_m), die obere Grenzfunktion als M⁺(x), die untere Grenzfunktion als M⁻(x), und die Approximationsfunktion als f(X, x) wählt, erhält man entsprechend dem Ungleichungssystem (1) den folgenden Ausdruck:

Wenn hier die folgenden Annahmen getroffen werden:

B₁(X, x) = f(X, x) - M⁻(x) (27)

B₂(X, x) = -f(X, x) + M⁺(x) (28)

wird die bestimmende Ungleichung (26) folgendermaßen ausge drückt:

In derselben Weise wie in Beispiel 1 wird eine finite Zahl von Ungleichungen erhalten, wenn die Ungleichungen bezüg lich der Eingabefolgen von Punkten P_i ausgewertet werden.

Wenn diese Ungleichungen gleichzeitig gültig gemacht werden und eine Unterlösung gefunden wird, wird die Familie von Anpassungsfunktionen f(X, x) gefunden. Für diesen Zweck kann ein Verfahren betrachtet werden, in dem der die lineare Programmierung im Beispiel 1 verwendende Teil durch nichtlineare Programmierung ersetzt wird. Es ist nämlich ausreichend, wenn eine Mehrzahl von Zielfunktionen erhalten wird, die sie maximierenden möglichen Lösungen gefunden werden und die konvexe Hülle von ihnen zu S₁ gemacht wird. Da angenommen wird, daß der Lösungsbereich S konvex ist, wird S₁ eine Unterlösung der konvexen Hüllform, welche S von der Innenseite her annähert. Dadurch ist es auch mög lich, die Approximation für eine Funktion durchzuführen, die ein physikalisches System und dergleichen ausdrückt, das nicht durch eine rationale Funktion ausgedrückt werden kann. Auch selbst in einem Fall, in dem der Lösungsbereich nicht eine konvexe Hülle ist, kann eine Lösung durch Lösen des Ungleichungssystems (29) und (30) erhalten werden.

Beispiel 3

Im Beispiel 3 erfolgt eine Erläuterung eines Approximati onsverfahrens für einen Fall, in dem D ein kontinuierlicher Bereich ist und in dem die obere Grenzfunktion M⁺(x) und die untere Grenzfunktion M⁻(x) stückweise kontinuierlich sind, indem man die untere Grenzfunktion M⁻(x) als Beispiel nimmt, in der folgenden Reihenfolge.

1. Reduzieren des Problems eines kontinuierlichen Approxi mationsverfahrens unter Verwendung einer konvexen Hülle auf simultane Ungleichung.
2. Beispiel eines Verfahrens zum Erstellen einer erzeugen den konvexen Hülle.
3. Andere Verfahren.

Es ist zu bemerken, daß im vorliegenden Beispiel die Approximationsfunktion f(x) in Form der rationalen Funktion (2) ausgedrückt wird. Ferner wird, wie in Fig. 5 dargestellt, angenommen, daß die untere Grenzfunktion M⁻(x) durch einen gestrichelten Linienteil in Fig. 5 ausgedrückt wird.

1. Reduktion des Problemes eines kontinuierlichen Approxi mationsverfahrens auf simultane Ungleichungen unter Verwen dung einer konvexen Hülle

Im Beispiel 1 wird das folgende Ungleichungssystem durch dasselbe Verfahren erhalten wie für das Ableiten der Un gleichung (11) im Beispiel 1:

Dieser untere Grenzvektor η⁻(x) wird aus der unteren Grenz funktion M⁻(x) in derselben Weise definiert wie bei der Definition (8), wobei die untere Grenzfunktion M⁻(x) in den Parameterraum transformiert wird.

Im Fall des vorliegenden Beispiels ändert sich x kontinu ierlich. Daher wird das Ungleichungssystem (31) als infini te Zahl simultaner Ungleichungen betrachtet. Sie können nicht durch eine Vorrichtung wie einen digitalen Computer gehandhabt werden. Daher wird das Ungleichungssystem (31) durch eine endliche Zahl simultaner Ungleichungen durch ein Verfahren angenähert, welches die konvexe Hülle verwendet, wie dies nun beschrieben wird.

Das Intervall D wird in eine finite Anzahl von Intervallen [x₁, x₂], [x₂, x₃], . . ., [x_n-1, x_n] unterteilt, welche entsprechend der gewünschten Präzision eine geeignete Größe haben.

In Fig. 6 wurden die untere Grenzfunktion M⁻(x) sowie die Punkte M⁻(x_i) und M⁻(x_i+1) in die unteren Grenzvektoren η⁻(x), η⁻(x_i) und η⁻(x_i+1) transformiert. Ferner entspricht M⁻(y) entsprechend einem willkürlichen Punkt y über dem Intervall [x_i, x_i+1] dem unteren Grenzvektor η⁻(y).

Zuerst wird ein Verfahren zur Approximierung des unteren Grenzvektors η⁻(y) durch eine konvexe Hülle anhand der Fig. 5 und 6 erläutert.

Es wird ein Fall betrachtet, in dem ein bestimmter Parame tervektor X₀ die folgenden Beziehungen bezüglich der unte ren Grenzvektoren η⁻(x_i) und η⁻(x_i+1) erfüllt:

(X₀, η⁻(x_i)) < 0 (32)

(X₀, η⁻(x_i+1)) < 0 (33).

Bezüglich eines willkürlichen Vektors ξ auf einem η⁻(x_i) und η⁻(x_i+1) verbindenden Liniensegment L gilt die Formel des Liniensegmentes:

infolgedessen wird (X₀, ξ) ausgedrückt durch:

(X₀, ξ) = s₁(X₀, η⁻(x_i)) + s₂(X₀, η⁻(x_i+1) (35).

Da s₁, s₂ < 0, ergibt sich aus den Ungleichungen (32) und (33)

(X₀, ξ) < 0 (36).

Was aber den Punkt y über dem Intervall [x_i, x_i+1] be trifft, d. h. den unteren Grenzvektor η⁻(y), der nicht auf dem Liniensegment L vorhanden ist, so gibt es keine Garan tie, daß die folgende Beziehung stets gilt:

(X₀, η⁻(y)) < 0 (y ∈ [x_i, x_i+1]) (37)

Da η⁻(y) die untere Grenzfunktion ausdrückt, liegt ein willkürlicher Punkt der rationalen Funktion f(x) in dem Intervall [x_i, x_i+1] der Fig. 5 nicht immer höher als die untere Grenzfunktion M⁻(x).

Um dafür zu sorgen, daß das Ungleichungssystem (37) immer gilt, wird der untere Grenzvektor η⁻(y) durch die konvexe Hülle C⁻ angenähert. Hier wird die konvexe Hülle so defi niert, daß ein zwei willkürliche Punkte innerhalb der Hülle verbindendes Liniensegment stets in einem inneren Teil der Hülle enthalten ist.

Es wird vorausgesetzt, daß die konvexe Hülle C⁻ einen willkürlichen unteren Grenzvektor η⁻(y) über dem Intervall [x_i, x_i+1] umschließt, d. h. daß stets die folgende Bezie hung gilt:

η⁻(y) ∈ C⁻ (38).

Dies wird hier als die erzeugende konvexe Hülle bezeichnet. Zu diesem Zeitpunkt wird die erzeugende konvexe Hülle C⁻ beispielsweise folgendermaßen ausgedrückt (schraffierter Teil von Fig. 6):

Das Verfahren zur Bestimmung dieser erzeugenden konvexen Hülle C⁻ wird im folgenden genau erläutert.

Anschließend erfolgt eine Erläuterung eines Verfahrens zur Approximierung des Ungleichungssystems (37) mit einer unbegrenzten Anzahl von Ungleichungen über einem Intervall [x_i, x_i+1] durch eine begrenzte Anzahl von Ungleichungen. Das Ungleichungssystem (37) wird durch das folgende Unglei chungssystem (40) ersetzt:

Durch die Definition einer konvexen Hülle wird das Unglei chungssystem (40) äquivalent zu den folgenden simultanen Ungleichungen (41) bis (45):

(X, η⁻(x_i)) < 0 (41)

(X, η⁻(x_i+1)) < 0 (42)

(X, η⁻_i1) < 0 (43)

(X, η⁻_i2) < 0 (44)

(X, η⁻_i3) < 0 (45).

Durch eine ähnliche Berechnung wie die Berechnung der Ungleichungen (32) bis (36) genügt der Parametervektor X, der die Lösung dieser simultanen Ungleichungen darstellt, der Ungleichung (X, η′) < 0, wobei n′ ein willkürliches Element von C⁻ ist. Da ferner die Beziehung (38) realisiert wurde, gilt das Ungleichungssystem (37). Wenn man dies durch den Originalgraph betrachtet, bedeutet das, daß über dem Intervall [x_i, x_i+1] die diesem X entsprechende Approximationsfunktion f(x) stets über der unteren Grenz funktion M⁻(x) in Fig. 5 liegt.

Wenn in derselben Weise wie für die Ungleichungen (41) bis (45) die Ungleichungen für jedes unterteilte Intervall aufgestellt werden, wird die Entscheidung über die Existenz des Lösungsbereichs und das Auffinden einer Lösung durch das Verfahren der Lösung der Ungleichungssysteme ähnlich dem in Beispiel 1 beschriebenen Verfahren ausgeführt und es werden die Approximationsfunktionen gefunden.

Wie oben beschrieben wurde, werden in dem vorliegenden Beispiel zusätzlich zu der Tatsache, daß ein Effekt ähnlich wie in Beispiel 1 erhalten wird, noch die folgenden Wirkungen erzielt. Zuerst wird selbst in einem Fall, in dem die obere Grenzfunktion M⁺(x) und die untere Grenzfunktion M⁻(x) als stückweise kontinuierliche Funktionen gegeben sind, das Ungleichungssystem (31) auf eine begrenzte Anzahl von Ungleichungen durch die Verwendung der erzeugenden konvexen Hülle reduziert, wodurch die Berechnung der Approximation möglich wird.

Da die erzeugende konvexe Hülle verwendet wird, wird ferner verhindert, daß die Approximationsfunktion f(x) die untere Grenzfunktion M⁻(x) nach unten überschreitet wie bei Q in Fig. 5. Dadurch wird selbst in einem Fall, in dem die Approximationsfunktion eine rationale Funktion höheren Grades ist und der Funktionswert deutlich fluktuiert in Ab hängigkeit des Wertes der unabhängigen Variablen, garan tiert, daß er in einem kontinuierlichen Approximationsbe reich P gehalten wird.

Ferner ist es auch möglich, daß die erzeugende konvexe Hülle den Fehler, die Abweichung etc. der oberen Grenzfunk tion oder der unteren Grenzfunktion absorbiert. Eine solche Funktion wird in Beispiel 7 verwendet.

Es ist zu bemerken, daß die jeweiligen Intervalle so be stimmt sind, daß sie einander nicht überlappen und dies ist auch möglich, selbst wenn sie unterschiedliche Größe haben. Beispielsweise wird ein Abschnitt, für den eine besondere Genauigkeit gefordert wird, beispielsweise, wenn die Fluktuation der Funktion groß ist, vorzugsweise in feine Abschnitte unterteilt. Es ist ferner nicht notwendig, die obere Grenzfunktion M⁺(x) und die untere Grenzfunktion M⁻(x) unter Verwendung desselben Intervalls zu unterteilen. Sie können entsprechend den jeweils an sie gestellten Forderungen gewählt werden.

2. Beispiel eines Verfahrens zum Bilden der erzeugenden konvexen Hülle

Unter Bezugnahme auf die Fig. 7 bis 10 werden einige Algo rithmen zum Aufstellen der erzeugenden konvexen Hülle C er läutert, welche einen Teil der Kurve η(x) bedeckt. Im vorliegenden ist der Parameterraum zur Vereinfachung als zweidimensionaler Raum dargestellt. Seine Dimension ist aber tatsächlich gleich der Anzahl der Parameter der Approximationsfunktion f(x). Die Kurve η(x) entspricht beispielsweise dem unteren Grenzvektor η⁻(y) des Beispiels 3.

i) Verfahren A

Wie Fig. 7 zeigt, wird ein Punkt auf der Kurve η(x) oder es werden Punkte η₁, η₂, . . . η_m in der Nachbarschaft der Kurve η(x) in geeigneten Abständen gewählt und es wird eine konvexe Hülle C′ erzeugt, welche diese Punkte als Scheitel punkte hat (schraffierter Teil in Fig. 7, in der m = 3 gesetzt wurde). Wie ferner Fig. 7 zeigt, enthält diese konvexe Hülle C′ nicht immer die Kurve η(x). Daher wird gemäß Fig. 8 ein innerer Punkt η₀ der konvexen Hülle C′ gewählt und die konvexe Hülle C′ wird mit diesem inneren Punkt η₀ als Zentrum ausgedehnt.

η′_i (α_i) = α_i (η_i - η₀) + η₀

mit i = 1, 2, . . ., m

a = (α₁, α₂ . . ., α_m) (46)

Hierbei ist α_i der Parameter der Expansion. Die konvexe Hülle, welche diese η′₁(α₁), η′₂(α₂), . . ., η′_m(α_m) als Scheitelpunkte verwendet, wird zu C(α) gewählt (schraffierter Teil in Fig. 8).

Jedes α_i wird allmählich vergrößert und wenn die konvexe Hülle C(α) alle diese η(x) bedeckt, wird ihre Vergrößerung gestoppt. Die konvexe Hülle C(α) zu dieser Zeit ist defi niert als die erzeugende konvexe Hülle C.

Es ist zu bemerken, daß nicht nur durch das Vergrößern von α_i sondern auch durch das Kombinieren einer Vergrößerung und einer Abnahme, α_i, welches die Kurve η(x) bedeckt, mit einer höheren Geschwindigkeit bestimmt werden kann. Bei spielsweise kann unter Verwendung der Dichotomie jedes α_i geändert werden, während die Abnahme der Breite für jeden Schritt geändert wird. Es wird für jeden Schritt entschie den, ob die konvexe Hülle C(α) die Kurve η(x) enthält oder nicht. Wenn α innerhalb der vorgegebenen Genauigkeit liegt, in welcher sie die Kurve η(x) enthält, wird diese Änderung gestoppt. Die konvexe Hülle C(α) zu diesem Zeitpunkt wird als die erzeugende konvexe Hülle C bezeichnet.

Darüber hinaus kann auch eine Vielzahl von inneren Punkten η₀ existieren.

ii) Verfahren B

Wie Fig. 9 zeigt, werden eine geeignete Form, welche eine Kurve wie die anfängliche konvexe Hülle C′ enthalten kann, beispielsweise ein Polyeder, das beide Enden der Kurve η(x) enthält, oder eine durch eine Kombination einer Mehrheit von ihnen erhaltene Form bestimmt. In derselben Weise wie bei dem Verfahren A wird die konvexe Hülle C′ so ausgedehnt, daß sie die Kurve η(x) umfaßt.

iii) Verfahren C

Gemäß Fig. 10 wird ein Punkt η₀ in der Nachbarschaft der Kurve η(x) gewählt. Ein Abstand zwischen diesem η₀ und den entsprechenden Punkten auf der Kurve η(x) wird berechnet und der Maximalabstand wird als R gesetzt. Es wird ein konvexer Polyeder C geformt, welcher die Kugel mit dem Mittelpunkt η₀ und einem Radius R umschreibt. Dieser Polye der wird als erzeugende konvexe Hülle C definiert.

Es ist zu bemerken, daß das Verfahren zur Erzeugung der er zeugenden konvexen Hülle nicht auf die oben beschriebenen Verfahren A bis C beschränkt ist und daß auch ein Verfahren verwendet werden kann, das üblicherweise bei der rechneri schen Geometrie und dergleichen wohl bekannt ist.

Es ist ferner zu bemerken, daß das Verfahren mit der vor stehend beschriebenen Struktur eine konvexe Hülle betrifft, welche eine Kurve approximiert. Jedoch selbst in dem Fall, in dem X in einem hochdimensionalen Raum liegt, d. h. selbst in einem Fall einer hochdimensionalen Approximation, in dem η(x) eine gekrümmte Ebene oder dergleichen ausdrückt, kann es verwendet werden wie es ist.

3. Andere Verfahren

Das Verfahren zum Erhalten einer finiten Anzahl von Unglei chungen, wobei die obere Grenzfunktion M⁺(x) und die untere Grenzfunktion M⁻(x) stückweise kontinuierliche Funktionen sind, ist nicht auf die oben beschränkten Verfahren be grenzt. Beispielsweise kann auch ein Verfahren verwendet werden, welches die obere Grenzfunktion M⁺(x) und die unte re Grenzfunktion M⁻(x) durch eine dichte Folge von Punkten approximiert. Es gibt auch den Fall, in dem ein Vorsprung dadurch beseitigt wird, daß man die Approximationsfunktion entsprechend dem Bedarf geringfügig korrigiert. Wenn bei spielsweise die Approximationsfunktion f(x) eine rationale Funktion in x ist und über die obere Grenzfunktion M⁺(x) in dem Intervall [x_i, x_i+1] hinausragt, hat E(x) = M⁺(x) - f(x) eine gerade Anzahl von Nullstellen in diesem Inter vall. Wenn die Parameter von f(x) durch die Nullstellen von E(x) ausgedrückt werden, werden daher die oben beschriebe nen reellen Nullstellen als Sätze bestehend aus jeweils zwei Nullstellen bestimmt, wobei die Position geringfügig so korrigiert wird, daß jeder Satz ein Satz aus komplex konjugierten rein imaginären Nullstellen wird und der Parameter von f(x) aus ihnen rekonstruiert wird. Es ist möglich, nur diesen überstehenden Teil zu entfernen, während die Form der Approximationsfunktion im wesentlichen bleibt wie sie ist. Dieses Verfahren kann nicht nur für einen Fall angewendet werden, in dem D der Bereich auf der reellen Achse ist, sondern auch in einem Fall, in dem er ein eindimensionaler Bereich ist, d. h. ein Teil auf einem Einheitskreis der komplexen Ebene.

Beispiel 4

Fig. 11 zeigt einen schematischen Aufbau einer Vorrichtung, welche den Approximationsprozeß gemäß Beispiel 4 ausführt. Die Approximationsvorrichtung der vorliegenden Erfindung wird unter Bezugnahme auf Fig. 11 erläutert.

Diese Vorrichtung 11 ist beispielsweise ein digitaler Com puter und hat eine Speichereinrichtung 12, einen Prozessor 13, eine Eingabevorrichtung 14, eine Ausgabevorrichtung 15 und eine Steuervorrichtung 16. Diese sind gegenseitig über Busleitungen 17 und 18 miteinander verbunden. Die Speicher vorrichtung 12 ist mit einem Bereich zum Speichern der obe ren Grenzfunktion M⁺(x), d. h. der oberen Grenzfunktions- Speichereinheit 21, einem Bereich zum Speichern der unteren Grenzfunktion M⁻(x), d. h. der unteren Grenzfunktions-Spei chereinheit 22, einem Bereich zum Speichern der erzeugenden konvexen Hülle, d. h. der Speichereinheit 23 für die erzeu gende konvexe Hülle, einer Region zum Speichern eines Un gleichungs-Lösungsprogrammes, d. h. einer Lösungsprogramm einheit 24, einem Bereich zum Speichern des Konstruktions programmes zum Konstruieren der erzeugenden konvexen Hülle, d. h. einer Konstruktionsprogramm-Speichereinheit 25 und ei nem Bereich zum Steuern eines Steuerprogrammes, wie bei spielsweise eines OS verbunden, d. h. einer Steuerprogramm speichereinheit 26. Der Prozessor 13 ist eine CPU. Die Ein gabevorrichtung 14 ist beispielsweise eine Tastatur, eine Maus, eine Wertedatei, ein Digitalwandler oder ein Licht stift. Die Ausgabevorrichtung 15 ist beispielsweise eine Anzeigevorrichtung, eine Wertedatei, ein Plotter oder ein Drucker. Die Steuervorrichtung 16 steuert die jeweiligen Einrichtungen zur Durchführung des Programms.

Fig. 12 zeigt ein Beispiel von Daten, die auf einem Anzeigeschirm der Ausgabevorrichtung 15 dargestellt werden. Die obere Grenzfunktion M⁺(x) und die untere Grenzfunktion M⁻(x) sind als Folge von Punkten angegeben, die über die Eingabevorrichtung 14 vorgegeben werden. In der Approxima tionsfunktion f(x), die durch den Approximationsprozeß ge funden wurde, werden der Nenner und der Zähler jeweils durch die rationale Funktion (47) ausgedrückt, welche durch Polynome vierten Grades angegeben wird:

f(x) = (A₀ + A₁x + A₂x² + A₃x³ + A₄x⁴) /(B₀ + B₁x + B₂x² + B₂x³ + B₄x⁴) (47).

Hierbei sind A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, B₀, B₁, B₂, B₃ und B₄ re elle Zahlenparameter.

Diese Funktion (47) beschreibt die Rechteck-Amplitudencha rakteristik des digitalen Bandpaßfilters. Es wird im Bei spiel 5 im Detail beschrieben, daß die Übertragungsfunktion des digitalen Filters aus der Funktion (47) erhalten wird.

Wie oben beschrieben wurde, werden mit der Approximations vorrichtung gemäß Beispiel 4 Wirkungen erreicht, die ähn lich denen des Beispiels 3 sind.

Ferner hat die Approximationsvorrichtung gemäß Beispiel 4 einen Aufbau, welcher die obere Grenze und die untere Gren ze des Approximationsbereiches auf dem Bildschirm visuell darstellt und gleichzeitig die Approximationsfunktion f(x) in diesem dargestellten Approximationsbereich in überlap pender Weise wiedergibt. Infolgedessen können die Streuung der Eingangsdaten und die Entsprechung zwischen dieser Streuung und den Ergebnissen der Ausführung des Approxima tionsverfahrens direkt und visuell verstanden werden. Wenn daher der Approximationsprozeß beispielsweise für ein Ent wurfssystem verwendet wird, wird das Entwerfen einfach und man erhält die Wirkung, daß eine Änderung der Spezifikation und eine Änderung des Entwurfs in wirksamer Weise ausge führt werden können.

Beispiel 5

Im folgenden wird ein Fall erläutert, in dem ein Approxima tionsverfahren der vorliegenden Erfindung auf den Entwurf eines digitalen Filters als ein Beispiel für ein digitales Signalprozessorsystem erläutert. Ein digitales Filter kann als ein IIR-Filter oder ein FIR-Filter (begrenztes Anspre chen auf einen Impuls) klassifiziert werden. Der Entwurf des herkömmlichen IIR-Filters hat beispielsweise folgende Probleme: [1] er behandelt nur eine rechteckige Charakteri stik und es ist schwierig, irgendeine Charakteristik zu handhaben [2]. Viele Rechenverfahren zum Bestimmen der Rippelcharakteristik der entsprechenden Bänder und der Verzögerungscharakteristik müssen separat von Fall zu Fall verwendet werden. Für ein FIR-Filter treten Probleme wie [3] eine Verschlechterung der Charakteristik aufgrund der Fensterfunktion auf. Ferner haben beide Filter folgende Probleme: [4] es ist im allgemeinen nicht garantiert, daß die Charakteristik sich in einem erwarteten Bereich befin det; [5] eine Verschlechterung der Charakteristik aufgrund des Quantisierungsfehlers eines Koeffizienten kann nicht kompensiert werden; [6] der Grad des Systems wächst exzes siv über den Minimalgrad, welcher die gewünschte Charakte ristik realisieren kann.

Wenn das erfindungsgemäße Approximationsverfahren verwendet wird, werden die oben beschriebenen Probleme gelöst und das digitale Filter kann mit einer beliebigen Charakteristik und mit dem Minimalgrad entworfen werden, so daß es in dem gewünschten Charakteristik-Bereich liegt. Im folgenden wird der Entwurf eines digitalen Filters in folgender Reihen folge erläutert. Zur leichteren Erklärung wird die Abtastperiode T auf 1 normiert, jedoch kann eine Verallgemeinerung leicht auch auf andere Perioden ausgeführt werden. Ferner werden die Phasencharakteristik und die Argumente in unverhüllter Form dargestellt und durch einen kontinuierlichen mehrfachen Drehwinkel über einen Bereich von 0 bis 2π ausgedrückt.

1. Entwurf der Amplitudencharakteristik des digitalen Fil ters mit einer rationalen Übertragungsfunktion.
2. Entwurf der Charakteristik eines digitalen Filters mit einer polynomialen Übertragungsfunktion und einer All polübertragungsfunktion.
(1) Entwurf von Charakteristiken, welche simultan Amplitude und Phase angeben
(2) Entwurf der Phasencharakteristik
(3) Entwurf der Amplitudencharakteristik eines kompletten Linearphasen-FIR-Filters

3. Design eines Allpaßfilters 1. Entwurf der Amplitudencharakteristik eines digitalen Filters mit einer rationalen Übertragungsfunktion

Für ein digitales Filter, in dem die Übertragungsfunktion in Form einer rationalen Funktion ausgedrückt wird, wird der Entwurf zuerst dadurch ausgeführt, daß man nur die Amplitudencharakteristik bezeichnet, während die Phasencha rakteristik vernachlässigt wird. Der Bereich D₀, der die Charakteristik erfordert, wird vorgegeben zu:

D₀ = {0 ω π} (48).

Der Grad der Übertragungsfunktion kann willkürlich gewählt werden. Es wird jedoch ein Fall erläutert, in dem sowohl der Zähler als auch der Nenner Polynome vierten Grades sind.

Die Übertragungsfunktion H(z) wird definiert durch:

H(z) = (a₀ + a₁z^-1 + a₂z^-2 + a₂z^-3 + a₄z^-4) /(b₀ + b₁z^-1 + b₂z^-2 + b₃z^-3 + b₄z^-4) = P(z)/Q(z) (49).

Der Zähler und der Nenner werden als P(z) und Q(z) gewählt, wie dies oben beschrieben ist. Die Funktion (49) bezeichnet die Übertragungsfunktion des IIR-Filters. Im Falle eines FIR-Filters ist es ausreichend, wenn Q(z) = b₀ gewählt wird.

Um die Rechnung zu erleichtern, wird angenommen, daß die Amplitudencharakteristik durch eine Rechteck-Amplitudencha rakteristik bezeichnet wird. Die Rechteckamplitudencharak teristik des Filters wird definiert durch H(e^jW)H_*(e^jW) wie in der folgenden Gleichung durch Substitution z = e^jW in der Funktion H(z) (das Sternchen drückt die komplex konju gierte Form aus).

Die Rechteck-Amplitudencharakteristik wird als Funktion von cos ω wie in der obigen Gleichung ausgedrückt. Diese Zähler und Nenner werden als p(cosω) bzw. q(cosω) gewählt und fer ner wird gewählt f(cosω) = p(cosω)/q(cosω). A₀, A₁, A₂, A₃ und A₄ werden ausgedrückt als die quadratischen Polynome von a₀, a₁, a₂, a₃ und a₄ und B₀, B₁, B₂, B₃ und B₄ werden ausgedrückt als die quadratischen Polynome von b₀, b₁, b₂, b₃ und b₄. Es ist zu bemerken, daß in der Erläuterung cos^kω als Basisfunktion verwendet wird, jedoch ist die Basisfunk tion nicht auf diesen Fall beschränkt. Beispielsweise ist es auch möglich, die Approximation in D₀ auszuführen unter der Verwendung von coskω (k = 0, 1, . . ., 4) als Basisfunk tion.

Die obere Grenzfunktion M⁺(cosω) und die untere Grenzfunk tion M⁻(cosω), welche den gewünschten Bereich der Rechteck- Amplitudencharakteristik in dem Bereich D₀ ausdrücken, werden vorgegeben. In D₀ nimmt cosω einen Wert von +1 bis -1 an. Wenn daher x = cosω gesetzt wird, gilt D = {-1 x 1} und die Approximation wird entsprechend dem folgenden bestimmenden Ungleichungssystem ausgeführt:

M⁺(x) < f(x) = p(x)/q(x) < M⁻(x) (x∈D) (51)

0 < q(x) (x∈D) (52).

Die Positiv-Wert-Bedingung für q(x) ist hier notwendig für die Stabilisierung des Filters. Aus der obigen Gleichung werden die Parameter A₀, A₁, A₂, A₃ und A₄ sowie B₀, B₁, B₂, B₃ und B₄ durch das schon erläuterte Approximationsver fahren gefunden. Die entsprechende Übertragungsfunktion P(z)/Q(z) wird auf die folgende Weise aus der so erhaltenen Rechteck-Amplituden-Charakteristik p (x)/q(x) gefunden.

Zuerst wird die Umwandlung des Nenners q(x) in den Nenner Q(z) der Übertragungsfunktion folgendermaßen ausgeführt. q(x) wird über das Feld der reellen Zahlen durch die nume rische Lösung der höheren algebraischen Gleichung in Fakto ren zerlegt und durch das Produkt eines linearen Faktors q_i(x) = α_i + β_ix und des quadratischen Faktors q_j(x) = α_j + β_jx+ γ_jx² (i, j 4), wird

q(x) = q₁q₂ . . . q_m (m 4) (53)

ausgedrückt. Hier wird jedes q_k so gewählt, daß es in dem Raum D positiv wird. Die lineare Übertragungsfunktion, wo die Rechteck-Amplitudencharakteristik q_i(cosω) wird, ist als Q_i definiert und die quadratische Übertragungsfunktion, wo die Rechteck-Amplitudencharakteristik q_j(cosω) wird, ist als Q_j definiert. Sie werden auf einfache Weise durch das Lösen der simultanen quadratischen algebraischen Gleichungen erhalten. Zu diesem Zeitpunkt ist

Q(z) = Q₁(z)Q₂(z) . . . Q_m (m 4) (54)

der Nenner der Übertragungsfunktion, der zu finden ist. Auch P(z) wird in gleicher Weise gefunden.

Es gibt eine Vielzahl von Q_k und P_k (k = 1, 2, . . . m), wel che dem jeweiligen q_k und p_k entsprechen. Q_k wird aus die sen Werten so ausgewählt, daß es die Filterstabilisierungs bedingung erfüllt (daß nämlich jeder Pol von H(z) innerhalb des Einheitskreises liegt). Diese Wahl ist immer möglich, wenn man die Bedingung setzt, daß 0 < q(x). Wenn die zu wählenden Q_k und P_k verschieden sind, ist die Phasencharak teristik verschieden, jedoch kann umgekehrt die nahe der gewünschten Phasencharakteristik liegende Phasencharakteri stik dadurch realisiert werden, daß man Q_k und P_k in geeig neter Weise wählt. Natürlich kann das oben beschriebene Verfahren auch auf ein Filter höherer Ordnung angewandt werden. Auch ist das Verfahren der Faktorisierung von q(x) und seine Umwandlung in Q(z) in der oben beschriebenen Weise nur ein Beispiel eines Verfahrens zum Auffinden der Über tragungsfunktion und wurde zur Erleichterung der Berechnung gewählt. Es ist aber auch möglich, dieselbe durch ein ande res Verfahren zu finden. Beispielsweise kann man direkt b₀, . . ., b₄ aus B₀, . . ., B₄ durch die geeignete numerische Lösung der hochdimensionalen algebraischen Gleichung fin den.

2. Entwurf der Charakteristik des digitalen Filters mit einer polynomialen Übertragungsfunktion und einer All polübertragungsfunktion

Hier wird der Entwurf eines FIR-Filters erläutert, in dem die Übertragungsfunktion H(z) ein Polynom von z^-1 ist. Fer ner wird der Entwurf eines Allpolfilters erläutert, in dem H^-1(z) ein Polynom von z⁻¹ ist.

(1) Entwurf der Charakteristiken, welche gleichzeitig Amplitude und Phase kennzeichnen

Zuerst wird ein Aufbau erläutert, in dem sowohl die Ampli tude als auch die Phase bezeichnet sind. Es wird angenom men, daß der Bereich für die Approximation D₀ gemäß der Definition (48) ist. Die Übertragungsfunktion des FIR-Fil ters wird definiert als

H(z) = a₀ + a₁z^-1 + a₂z^-2 + . . . + a_nz^-n (55)

und die obere Grenzfunktion und die untere Grenzfunktion der Amplitude und der Phase werden gewählt zu M⁺(ω), M⁻(ω), Θ⁺(ω) und Θ⁻(ω). Für die Eingabe derselben kann man auch die Eingabe durch die Zeichnung eines Graphs auf einem Bildschirm unter der Verwendung einer Maus und einer Tasta tur wählen oder direkt eine numerische Gleichung eingeben. Natürlich kann auch die Eingabe als Datei gewählt werden.

Ferner werden folgende Annahmen getroffen:

M_c(ω) = (M⁺(ω) + M⁺(ω))/2
(mittlerer Wert der oberen und unteren Grenze der Amplitude) (56)

Θ_c(ω) = (Θ⁺(ω) + Θ⁻(ω))/2
(mittlerer Wert der oberen und unteren Grenze der Phase) (57)

ΔM(ω) = (M⁺(ω) - M⁻(ω))/2
(Halbwert der Amplitudentoleranz) (58)

ΔΘ(ω) = (Θ⁺(ω) - Θ⁻(ω))/2
(Halbwert der Phasentoleranz) (59)

I_H(ω) = Im(H(e^jW))
(Imaginärteil der Übertragungsfunktion) (60)

R_H(ω) = Re(H(e^jW))
(Realteil der Übertragungsfunktion) (61).

Der Approximationsbereich ist in diesem Falle der linke schraffierte Teil in Fig. 13. Wenn ΔΘ nicht so groß ist, kann der Approximationsbereich durch einen rechteckigen Be reich C(ω) angenähert werden, in dem die Punkte c₁, c₂, c₃ und c₄ in der Fig. 13 Scheitel sind und diese Annäherungs form ist nicht auf eine Rechteckform begrenzt und kann polygonal oder kreisförmig sein. Wenn ΔΘ groß ist oder die Genauigkeit der Approximation gesteigert werden sollte, reicht es aus, wenn eine konvexe Hülle mit einer größeren Anzahl von Scheiteln verwendet wird. Wenn dieser Approxima tionsbereich als C(ω) definiert wird, wird das bestimmende Ungleichungssystem für die Approximation zu:

H(e^jW) ∈C(ω) (62).

Es ist nämlich ausreichend, wenn H(e^jW) in C(ω) existiert.

Wenn zur Erleichterung der Berechnung der Approximationsbe reich C(ω) nun exakt um -Θ_c gemäß der Darstellung in Fig. 14 gedreht und auf der reellen Achse verschoben wird und wenn das bestimmende Ungleichungssystem von H(e^jW) über dem Feld der reellen Zahlen ausgedrückt wird, indem man es in einen Realteil und einen Imaginärteil unterteilt, gilt das folgende:

b(M_c(ω) - ΔM(ω)) < R_H(ω)cosΘ_c(ω) + I_H(ω)sinΘ_c(ω) < b(M_c(ω) + ΔM(ω)) (63)

- b(M_c(ω)sinΔΘ(ω)) < -R_H(ω)sinΘ_c(ω) + I_H(ω)CosΘ_c(ω) < b(M_c(ω)sinΔΘ(ω)) (64).

Dabei ist b der Parameter zum Rektifizieren der Form der Ausdrücke und wird nach dem Auffinden der Approximations funktion auf den Wert 1 gesetzt. Wenn ferner die folgenden Annahmen getroffen werden:

X = (a₀, a₁, . . . a_n, b) (65)

ξ_c(ω) = (1, cos ω), . . ., cos(n-1)ω, cos nω, 0) (66)

ξ_s (ω) = (0, -sin ω, . . ., -sin(n-1)ω, -sin nω, 0) (67)

kann man die folgenden Beziehungen erhalten:

I_H(ω) = (X, ξ_s(ω)) (68)

R_H(ω) = (X, ξ_c(ω)) (69).

Infolgedessen werden die bestimmenden Ungleichungssysteme zu:

b(M_c(ω) - ΔM(ω)) <(X, cosΘ_c(ω)ξ_c(ω) + sinΘ_c(ω))ξ_s(ω)) < b(M_c(ω) + ΔM(ω)) (70)

- b(M_c(ω)sinΔΘ(ω)) <(X, -sinΘ_c(ω)ξ_c(ω) + cosΘ_c(ω)ξ_s(ω) < b(M_c(ω)sinΔΘ(ω)) (71)

Wenn e_n+2 = (0, 0, . . ., 0, 1) gewählt wird und die folgen den Beziehungen aufgestellt werden:

η⁺(ω) = (M_c(ω)) + ΔM(ω))e_n+2 - (cosΘ_c(ω)ξ_c(ω) + sinΘ_c(ω)ξ_s(ω)) (72)

η⁻(ω) = -(M_c(ω) - ΔM(ω))e_n+2 + (cosΘ_c(ω)ξ_c(ω) + sinΘ_c(ω)ξ_s(ω) (73)

Φ⁺(ω) = M_c(ω)sinΔΘ(ω)e_n+2 - (-sinΘ_c(ω)ξ_c(ω) + cosΘ_c(ω)ξ_s(ω)) (74)

Φ⁻(ω) = M_c(ω)sinΔΘ(ω)e_n+2 + (-sinΘ_c(ω)ξ_c(ω) + cosΘ_c(ω)ξ_s(ω)) (75)

erhält man schließlich für die bestimmenden Ungleichungs systeme:

0 < (X, η⁺(ω)) (76)

0 < (X, η⁻(ω)) (77)

0 < (X, Φ⁺(ω)) (78)

0 < (X, Φ⁻(ω)) (79).

Wenn anschließend D₀ geteilt wird, um die erzeugende kon vexe Hülle zu bilden, und die Approximation ausgeführt wird, ist der Punkt X des Lösungsbereiches der Parameter gemäß der Definition (55) der Übertragungsfunktion wie sie ist und daher erhält man ein FIR-Filter, in dem sowohl die Amplitudencharakteristik als auch die Phasencharakteristik in dem gewünschten Bereich liegen.

In dem oben beschriebenen Beispiel wurde der Approximati onsbereich C(ω) in den Ungleichungen (63) und (64) entspre chend der oberen Grenzfunktion und der unteren Grenzfunk tion gewählt. Sie sind jedoch nicht auf diese beschränkt. Das ist auch möglich, selbst wenn sie beispielsweise, wie durch C′(ω) in Fig. 13 dargestellt, direkt als konvexe Hülle aus dem ersten gegeben werden (entsprechend Anspruch 4).

Bezüglich des Allpolfilters ist es ausreichend, wenn in verse Zahlen der Punkte des obengenannten Approximationsbe reiches C(ω) als neuer Approximationsbereich betrachtet werden und H^-1(z) ähnlich wie für das FIR-Filter approxi miert wird. Konkret heißt das, daß es ausreicht, wenn eine konvexe Hülle mit einem Bereich, in dem die Punkte 1/_c1, 1/_c2, 1/_c3 und 1/_c4 als Scheitel definiert sind, als neuer Approximationsbereich definiert wird. Es ist zu bemerken, daß in diesem Falle zur Stabilisierung von H(z) es erfor derlich ist, daß die Nullstellen von H^-1(z) alle innerhalb des Einheitskreises existieren. Wenn daher ω → 2π, muß die Bedingung Θ_c(ω) - Θ_c(0) = 0 erfüllt sein (Argumentprinzip).

Es ist zu bemerken, daß zur leichteren Erläuterung des vor liegenden Entwurfsverfahrens als Beispiel der Entwurf eines FIR-Filters gewählt wurde, in dem die Frequenz eindimensio nal war. Es ist jedoch sehr einfach, die vorliegende Ent wurfsmethode auf ein mehrdimensionales FIR-Filter auszudeh nen.

(2) Entwurf der Phasencharakteristik

Hier wird die Amplitudencharakteristik vernachlässigt. Es gibt nur die Phase. Wenn daher in Fig. 13 M⁻ = 0 und M⁺ = +∞ gesetzt werden und C(ω) als konvexer Kegel angenommen wird, ist das Konzept im wesentlichen dasselbe wie das im Falle des vorhergehenden Abschnittes. Wenn H(e^jW) um -Θ_c gedreht und auf der reellen Achse wie in Fig. 15 ähnlich wie im vorhergehenden Abschnitt verschoben wird, wird das bestimmende Ungleichungssystem für die Phase von H(e^jW) zu:

- tanΔΘ(ω) < Im(exp(-jΘ_c(ω))H(e^jW))/Re(exp(-jΘ_c(ω))H(e^jW)) < tanΔΘ(ω) (80)

0 < Re(exp(-jΘ_c(ω))H(e^jW) (81)

(dabei gilt: ΔΘ < π/2). Hier wird folgendes angenommen:

Re(exp(-jΘ_c(ω))H(e^jW) = (X, cosΘ_c(ω)ξ_c(ω) + sinΘ_c(ω)ξ_s(ω)) (82)

Im(exp(-jΘ_c(ω))H(e^jW)) = (X, -sinΘ_c(ω)ξ_c(ω) + cosΘ_c(ω)ξ_s(ω)) (83)

(für X, ξ_c(ω), und ξ_s(ω), siehe die Definitionen in (65), (66) und (67).) Ferner kann man, wenn man folgendes wählt:

η⁺(ω) = (cosΘ_c(ω)tanΔΘ(ω) + sinΘ_c(ω))ξ_c(ω) + (sinΘ_c(ω)tanΔΘ(ω)) - cosΘ_c(ω))ξ_s(ω) (84)

η⁻(ω) = (cosΘ_c(ω)tanΔΘ(ω) - sinΘ_c(ω))ξ_c(ω) + (sinΘ_c(ω)tanΔΘ(ω) + cosΘ_c(ω))ξ_s(ω) (85)

η⁰(ω) = cosΘ_c(ω)ξ_c(ω) + sinΘ_c(ω)ξ_s(ω) (86)

das bestimmende Ungleichungssystem ausdrücken durch:

0 < (X, η⁺(ω)) (87)

0 < (X, η⁻(ω)) (88)

0 < (X, η⁰(ω)) (89).

X kann durch Verwendung eines erfindungsgemäßen Approxima tionsverfahrens in derselben Weise gefunden werden wie in dem vorhergehenden Abschnitt.

Die Phasencharakteristik kann auch in gleicher Weise für einen Allpolfilter approximiert werden, jedoch müssen Nebenbedingungen ähnlich wie in dem vorherigen Abschnitt erfüllt werden, so daß die Stabilität des Filters gewähr leistet ist.

(3) Entwurf der Amplitude des vollständigen Linearphasen- FIR-Filters

Die Übertragungsfunktion gradzahligen Grades des vollstän digen linearen FIR-Filters ist in der folgenden Funktion dargestellt (auch wenn der Fall eines ungradzahligen Grades für die Feinkorrektur verwendet werden kann).

H(z) = a₀ + a₁z^-1 + . . . + a_nz^-n + a_n+1z^-(n+1) + a_nz^-(n+2) + . . . + a₀z^-2n (90).

In diesem Fall kann entsprechend den Definitionen (60) und (61) folgendes gewählt werden:

R_H(ω) = a₀(1 + cos2nω) + a₁(cosω + cos(2n-1)ω) + . . . + a_n+1cos(n+1)ω (91)

I_H(ω) = -a₀(0 + sin2nω) - a₁(sinω + sin(2n-1)ω) - . . . - a_n+1sin(n+1)ω (92)

Wenn daher folgende Annahme getroffen wird:

X = (a₀, a₁, . . ., a_n+1,b) (93)

ξ_c(ω) = (1 + cos2nω, cosω + cos(2n-1)ω, . . . ., cos(n+1)ω, 0) (94)

ξ_s(ω) = (-sin2nω, -sinω-sin(2n-1)ω, . . ., -sin(n+1)ω, 0) (95)

können die Beziehungen für R_H(ω) und I_H(ω) ausgedrückt wer den als:

R_H(ω) = (X, ξ_c(ω)) (96)

I_H(ω) = (X, ξ_s(ω)) (97).

Anschließend wird X in derselben Weise gefunden, wie dies in dem Abschnitt "(1) Entwurf von Charakteristiken, welche gleichzeitig Amplitude und Phase bezeichnen" beschrieben wurde. Die Übertragungsfunktion kann bestimmt werden (siehe Formeln (70) bis (79)). Es ist zu bemerken, daß in diesem Fall die Phasencharakteristik vollständig linear ist und daß daher die obere Grenzfunktion Θ⁺(ω) und die untere Grenzfunktion Θ⁻(ω) der Phase in der folgenden Weise gege ben werden, wobei eine positive Zahl Δ(ω) verwendet wird, die nicht so groß ist:

Θ⁺(ω) = -nω + Δ(ω) (98)

Θ⁻(ω) = -nω - Δ(ω) (99).

Alternativ hierzu ist es auch möglich, daß die Bedingungen gemäß Formel (78) und (79) aufgehoben werden, indem man Θ_c = -nω setzt und dann die Approximation ausführt. Das FIR- Filter mit linearer Phase kann auch durch das Verfahren er halten werden, das in dem Abschnitt "(1) Entwurf der Cha rakteristiken, welche gleichzeitig Amplitude und Phase be zeichnen" beschrieben ist, selbst wenn man nur Θ⁺ und Θ⁻ entsprechend den Definitionen (98) und (99) wählt und Δ auf einen genügend kleinen Wert setzt. Es ist zu bemerken, daß man den Amplitudenterm der Übertragungsfunktion vorläufig berechnet und daß man die Approximation für diesen Term an schließend ausführt.

3. Entwurf eines Allpaßfilters

In Abschnitt "(2) Entwurf der Phasencharakteristik" erfolg te die Erläuterung des Entwurfes der Phasencharakteristik eines FIR-Filters. Das dort beschriebene Verfahren kann je doch auch zum Entwurf eines Allpaßfilters verwendet werden. Wenn die folgende Annahme getroffen wird:

P(z) = a₀ + a₁z^-1 . . . + a_nz^-n (100)

ist die Übertragungsfunktion H(z) des Allpaßfilters des Grades n:

H(z) = z^-nP(z^-1)/P(z) (101)

und seine Phasencharakteristik ist gegeben durch:

arg H(e^jW) = -nω - 2arg P(e^jW) (102).

Wenn man die obere Grenzfunktion und die untere Grenzfunk tion der Phasencharakteristik als Θ⁺(ω) bzw. Θ⁻(ω) defi niert, erhält man folgendes bestimmendes Ungleichungssy stem:

Θ⁻(ω) < -nω - 2arg P(e^jW) < Θ⁺(ω) (103)

und wenn man daher die folgenden Annahmen trifft:

Φ⁺(ω) = (-nω - Θ⁻(ω))/2 (104)

Φ⁻(ω) = (-nω - Θ⁺(ω))/2 (105)

ist es ausreichend, wenn die Approximation durch die Defi nition Φ⁺(ω) und Φ⁻(ω) als obere Grenzfunktion bzw. untere Grenzfunktion des Argumentes P(e^jW) durch das Verfahren ge mäß Abschnitt "(2) Entwurf der Phasencharakteristik" defi niert werden. Hier müssen als Stabilitätsbedingung des Fil ters Φ⁺(ω) und Φ⁻(ω) so bestimmt werden, daß alle Null stellen von P(z) in dem Einheitskreis existieren. Wenn da her Φ_c = (Φ⁺ + Φ⁻)/2 gewählt wird mit ω → 2π, muß als Be dingung erfüllt sein: Φ_c(ω) - Φ_c(0) = -2πn. Aufgrund der Existenz dieser Bedingung bestimmt der Grad n des Filters eine Rohform der Charakteristik. Wenn jedoch nur die Diffe renz gegenüber der linearen Phase als Entwurfsziel der Cha rakteristik definiert wird, kann der Grad des Filters bei nahe frei selbst unter dieser Bedingung gewählt werden.

Durch Kombination des auf diese Weise entworfenen Allpaß filters mit dem IIR-Filter, das durch Bestimmen nur der Amplitudencharakteristik entworfen wurde, kann man ein IIR- Filter angeben, das sowohl die Amplitudencharakteristik als auch die Phasencharakteristik bezeichnet. Es ist ausrei chend, wenn die Phasencharakteristik des nur die Amplitu dencharakteristik erfüllenden Filters von der vorgegebenen Phasencharakteristik abgezogen wird und das Ergebnis als Phasencharakteristik des Allpaßfilters definiert wird.

Durch Anwenden des oben beschriebenen Approximationsverfah rens der vorliegenden Erfindung auf den Entwurf eines digi talen Filters erhält man die folgenden Effekte. Die Ampli tudencharakteristik und die Phasencharakteristik können frei und auf einfache Weise bestimmt werden. Auch kann man die Charakteristiken in den gewünschten Bereich legen, wo bei der kleinste Grad, der dies realisieren kann, genau be rechnet werden kann. Die Anzahl der Elemente kann minimal gemacht werden. Der Entwurf der Amplitudencharakteristik kann auf jedes Filter des FIR- und IIR-Typs angewendet wer den und der Entwurf kann auf einfache Weise so ausgeführt werden, daß er stets die Stabilitätsbedingung des IIR-Fil ters erfüllt. Ein FIR-Filter kann direkt angegeben werden, ohne die Hilfe einer Fensterfunktion. Infolgedessen tritt keine Verschlechterung der Charakteristik aufgrund dieser Maßnahme auf. Auch hat der Lösungsbereich eine gewisse Streuung und ist daher stabil bezüglich der verschiedenen Arten von Abweichungen wie beispielsweise eines Quantisie rungsfehlers. Gleichzeitig kann die Optimierung und Approximation auch bezüglich der anderen Entwurfsbedingun gen durch Verwendung der Streuung des Lösungsbereiches durchgeführt werden.

Bisher wurde das Auffinden eines Systems zum Verarbeiten digitaler Signale wie eines digitalen Filters erläutert, das eine gewünschte Charakteristik hat und dies erreichen kann. Wenn man dieses Konzept umdreht, ist es möglich, die Charakteristik eines aktuellen Systems anstelle der oben beschriebenen gewünschten Charakteristik anzugeben und da durch das System zu identifizieren. Beispielsweise wird die Frequenzcharakteristik eines bestimmten Systems zur Verar beitung eines digitalen Signals gemessen, der vorgegebene Meßfehler wird für dieses Meßergebnis angegeben und der vorbestimmte Charakteristik-Bereich wird gewählt. Diese Wahl kann vorläufig automatisch getroffen werden, wenn der Bereich des Meßfehlers bekannt ist. Indem man anschließend eine Approximation in derselben Weise wie bei dem oben be schriebenen Beispiel durchführt, so daß sie in den vorge nannten Charakteristik-Bereich fällt, kann das Zielsystem (die Übertragungsfunktion und dergleichen) identifiziert werden. Ein solches Verfahren oder Gerät kann beispielswei se zur Strukturanalyse von Systemen zur Verarbeitung digi taler Signale verwendet werden.

Es ist zu bemerken, daß in dem oben beschriebenen Beispiel ein Verfahren zum Bestimmen der Amplitudencharakteristik des Filters, die untere Grenzfunktion sowie die obere Grenzfunktion der Phasencharakteristik und ein Verfahren zum Auffinden der Übertragungsfunktion aus der geeigneten Amplitudencharakteristik und der geeigneten Phasencharakte ristik nur ein Beispiel sind. Es ist auch möglich, die Fre quenzcharakteristik des IIR-Filters beispielsweise in der folgenden Weise zu bestimmen. Wenn als Beispiel ein IIR- Filter gemäß Abschnitt 1 des vorliegenden Beispieles genom men wird und wenn die Frequenzcharakteristik durch die Zielfunktion g(ω) sowie den zulässigen Fehlerbereich M(ω) definiert werden und die Norm der komplexen Zahl

definiert wird, ist es ausreichend, wenn

als bestimmendes Unglei chungssystem definiert wird und der Parametervektor defi niert wird als X (= b₀, b₁, . . ., b₄, a₀, . . ., a4), um die Approximation auszuführen. Um in diesem Falle das Filter stabil zu machen, ist es notwendig, eine Phasenbedingung bezüglich Q zu dem obengenannten bestimmenden Ungleichungs system hinzuzufügen durch das in Abschnitt 2.(2) des vor liegenden Beispieles beschriebene Verfahren.

Beispiel 6

Nun folgt ein Beispiel, in dem das Approximationsverfahren der vorliegenden Erfindung auf den Entwurf eines Frequenz bereiches eines linearen Analogssystems (beispielsweise ein analoges Filter, eine Verstärkerschaltung, eine Steuerein richtung für einen Roboter, etc.) angewendet wird. Das her kömmliche Verfahren zum Entwurf eines Analogsystems hat folgende Probleme: [1] wird meistens eine rechteckige Fre quenzcharakteristik vorausgesetzt und das Entwurfsverfahren ist sehr komplex; [2] es ist schwierig, eine Charakteristik frei zu bestimmen; [3] es ist eine große Anzahl von Teilen zum Erhalten einer notwendigen Charakteristik erforderlich; [4] es fehlt eine Garantie, daß die Charakteristik in den erwarteten Bereich fällt; [5] es ist nicht möglich, die Verschlechterung der Charakteristik aufgrund verschiedener Arten von Abweichungen und Fehlern zu kompensieren.

Die vorstehend genannten Probleme können alle beseitigt werden, wenn das erfindungsgemäße Approximationsverfahren verwendet wird. Es folgt eine Erläuterung, die in derselben Weise aufgebaut ist, wie dies für das Beispiel des digita len Filters erfolgte.

1. Entwurf einer Amplitudencharakteristik des Analogsystems mit einer rationalen Übertragungsfunktion
2. Entwurf der Charakteristik des Analogsystems mit einer polynomialen Übertragungsfunktion und einer Allpolüber tragungsfunktion
(1) Entwurf der gleichzeitig Amplitude und Phase bezeich nenden Charakteristiken
(2) Entwurf der Phasencharakteristik

3. Phasenkorrektursystem 1. Entwurf einer Amplitudencharakteristik des Analogsystems mit einer rationalen Übertragungsfunktion

Zuerst wird für ein Analogsystem, in dem die Übertragungs funktion in Form einer rationalen Funktion ausgedrückt wird, der Entwurf ausgeführt durch Bestimmen der Amplitu dencharakteristik allein, während die Phasencharakteristik vernachlässigt wird. Der Grad der Übertragungsfunktion kann willkürlich gewählt werden, die Erläuterung erfolgt jedoch anhand eines rationalen Ausdruckes des Grades 4. Die Über tragungsfunktion H(s) wird definiert als:

H(s) = (a₀ + a₁ s + a₂ s² + a₃ s³ + a₄ s⁴) /(b₀ + b₁ s + b₂ s² + b₃ s³ + b₄ s⁴) = P(s)/Q(s) (106)

und der Zähler und der Nenner werden als P(s) und Q(s) ge wählt, wie dies oben beschrieben wurde. Im Falle einer polynomialen Übertragungsfunktion reicht es aus, wenn Q(s) = b₀ gesetzt wird.

Zur Vereinfachung der Rechnung wird angenommen, daß die Amplitudencharakteristik durch eine Rechteck-Amplitudencha rakteristik bezeichnet wird. Die Rechteck-Amplitudencharak teristik des Systems wird definiert als H(jω)H*(jω), wie in der folgenden Gleichung durch Substitution von s = jω in der Funktion H(s) (* bezeichnet eine komplex konjugierte Form).

H(jω)H*(jω) = H(jω)H(-jω) = (A₀ + A₁ω² + A₂ω⁴ + A₃ω⁵ + A₄ω⁸) /(B₀ + B₁ω² + B₂ω⁴ + B₃ω⁶ + B₄ω⁸) (107).

Die Rechteck-Amplitudencharakteristik wird als Funktion in ω² wie in der obigen Gleichung ausgedrückt. Dieser Zähler und dieser Nenner werden als p(ω²) und q(ω²) gesetzt und es wird gewählt f(ω²) = p(ω²)/q(ω²). A₀, A₁, A₂, A₃ und A₄ werden als quadratische Polynome von a₀, a₁, a₂, a₃ und a₄ und B₀, B₁, B₂, B₃ und B₄ werden ausgedrückt als quadratische Polynome von b₀, b₁, b₂, b₃ und b₄.

Die obere Grenzfunktion M⁺(ω²) und die untere Grenzfunktion M⁻(ω²), welche den gewünschten Bereich der Rechteck-Ampli tudencharakteristik ausdrücken, sind gegeben und es wird gewählt x = ω². Die Approximation wird gemäß dem folgenden Ungleichungssystem ausgeführt:

M⁺(x) < f(x) = p(x)/q(x) < M⁺(x) (0 x < +∞) (108)

0 < q(x) (0 x < +∞) (109).

In dem vorstehend genannten Ungleichungssystem ist eine positivwertige Bedingung von q(x) notwendig, damit das System stabilisiert wird. Im praktischen Gebrauch reicht es aus, wenn die Approximation in einem ausreichend breiten Bereich für x ausgeführt wird. Wenn aber das folgende aus geführt wird, kann auch ein Verhalten der Übertragungsfunk tion bei Unendlich kontrolliert werden. Wenn nämlich s′ = 1/s gewählt wird, wird bei Unendlich der Punkt s′ = 0 ein geführt und die Funktion 36703 00070 552 001000280000000200012000285913659200040 0002004444583 00004 36584(106) wird unter Verwendung von s′ ausgedrückt. Dann wird x′ = 1/ω² gesetzt und ein bestimmen des Ungleichungssystem ähnlich (108) und (109) aufgestellt. Für diese im Bereich von (0 x′ < 1 + ε) und für das Ungleichungssystem (108) und (109) im Bereich von (0 x < 1 + ε) wird das Ganze gleichzeitig approximiert. Hier be zeichnet ε eine kleine positive Zahl. Wenn dies ausgeführt wird, kann der unbegrenzte Bereich der Halblinie auf einen begrenzten Bereich eines Halbkreises auf der Riemann′schen Fläche reduziert werden. Damit wird es ausreichend, wenn die Approximation über einem finiten Bereich ausgeführt wird. Aus den obigen Gleichungen werden die Parameter A₀, A₁, A₂, A₃ und A₄ sowie B₀, B₁, B₂, B₃ und B₄ entsprechend dem bereits erläuterten Approximationsverfahren aufgefun den. Die Übertragungsfunktion P(s)/Q(s) kann aus der so er haltenen Rechteck-Amplitudencharakteristik p(ω²)/q(ω²) in derselben Weise erhalten werden, wie dies bereits für den Fall des digitalen Filters erläutert wurde. Als Stabilisie rungsbedingung des Systems ist es auch notwendig, Q(s) so zu wählen, daß der Realteil jedes Poles von H(s) negativ wird.

2. Entwurf der Charakteristik eines Analogsystems mit einer polynomialen Übertragungsfunktion und einer Allpolüber tragungsfunktion

Hier wird eine Erläuterung des Entwurfes der Charakteristi ken für den Fall gegeben, in dem die Übertragungsfunktion H(s) ein Polynom von s ist, sowie für den Fall, in dem H^-1(s) ein Polynom von s ist. Zuerst wird der Fall eines Entwurfes erläutert, welcher sowohl die Amplitude als auch die Phase bezeichnet. Anschließend wird der Fall erläutert, daß der Entwurf nur die Phasencharakteristik betrifft.

(1) Entwurf der Charakteristiken, welche gleichzeitig Amplitude und Phase beschreiben

Dieser Entwurf ist beinahe derselbe wie für den Fall eines digitalen Filters. Der einzige Unterschied ist die Frequenzcharakteristik I_H(ω) = Im(H(jω)) und R_H(ω) = Re(H(j ω)) des Imaginärteils und des Realteils der Übertra gungsfunktion (siehe die Definitionen (60) und (61)). Sie werden gemäß dem Rest geringfügig geändert, der durch Divi sion von n durch Vier erhalten wird. In jedem Falle aber können sie durch eine geringfügige Korrektur ausgedrückt werden. Daher wird für einen erläuterten Fall, in dem n ein Vielfaches von Vier ist, die Übertragungsfunktion H(s):

H(s) = a₀ + a₁s + . . . + a_nsⁿ (110).

Wenn die folgenden Annahmen getroffen werden:

X = (a₀, a₁, . . . , a_n, b) (111)

ξ_c(ω) = (1, 0, -ω², 0, . . ., ωⁿ, 0) (112)

ξ_s(ω) = (0, ω, 0, -ω³, . . ., 0, 0) (113)

können sie ausgedrückt werden wie folgt:

I_H(ω) = (x, ξ_s(ω)) (114)

R_H(ω) = (x, ξ_c(ω)) (115).

Die Übertragungsfunktion kann in ganz derselben Weise ge funden werden, wie dies in dem Abschnitt "2.(1) Entwurf der Charakteristiken, die gleichzeitig Amplitude und Phase be zeichnen" des digitalen Filters in Beispiel 5 beschrieben wurde.

Ferner kann auch der Allpoltyp, in dem H^-1(s) ein Polynom von s ist, in derselben Weise gefunden werden, wie dies oben beschrieben wurde. Um H(s) stabil zu machen, wird die Phasencharakteristik natürlich so gegeben, daß der Realteil jeder Nullstelle von H⁻¹(s) negativ wird. Wenn nämlich ω → +∞ gilt, muß Θ(ω) - Θ(-ω) = πn gelten.

(2) Entwurf der Phasencharakteristik

Wenn die Definitionen (111) bis (115) und (84) bis (89) verwendet werden, kann der Entwurf der Phasencharakteristik des Analogsystems durch das Verfahren in derselben Weise ausgeführt werden, wie dies im Abschnitt "2.(2) Entwurf der Phasencharakteristik" des digitalen Filters gemäß Beispiel 5 beschrieben wurde.

3. Phasenkorrektursystem

Das Phasenkorrektursystem ist ein Analogsystem zum Korri gieren der Phase allein, während die Amplitudencharakteri stik unabhängig von der Frequenz konstant gehalten wird. Dies entspricht dem digitalen Allpaßfilter. Wenn die fol genden Voraussetzungen getroffen werden:

P(s) = a₀ + a₁ s + a₂s² + a_nsⁿ (116)

ist die Übertragungsfunktion H(s) des Phasenkorrektur systems des Grades n:

H(s) = P(-s)/P(s) (117)

und die Phasencharakteristik hiervon ist:

arg H(jω) = arg(P²(-jω)/(P(jω)P(-jω))) = -2 arg P(jω) (118).

Wenn die obere Grenzfunktion und die untere Grenzfunktion der Phasencharakteristik als Θ⁺(ω) und Θ⁻(ω) definiert wer den, erhält man für das bestimmende Ungleichungssystem:

Θ⁻(ω) < -2 arg P(jω) < Θ⁺(ω) (119)

wenn daher das folgende gewählt wird:

Φ⁺(ω) = -Θ⁻(ω)/2 (120)

Φ⁻(ω) = -Θ⁺(ω)/2 (121).

Ist es ausreichend, wenn die Approximation durch die Defi nition von Φ⁺(ω) und Φ⁻(ω) als obere Grenzfunktion und un tere Grenzfunktion von arg P(jω) durch das Verfahren gemäß Abschnitt "(2) Entwurf der Phasencharakteristik" ausgeführt wird. Hier müssen als Stabilitätsbedingung des Filters Φ⁺(ω) und Φ⁻(ω) die Nebenbedingung betreffend die Nullstellen von P(s) erfüllen. Durch Kombinieren eines Systemes, das nur die Amplitudencharakteristik beschreibt, mit einem Phasenkorrektursystem kann in derselben Weise wie bei dem digitalen Filter ein Analogsystem gebildet werden mit einer rationalen Übertragungsfunktion, welche sowohl die Amplitude als auch die Phase angibt.

Wenn der Entwurf in der oben beschriebenen Weise ausgeführt wird, können ähnliche Effekte wie jene beim Entwurf eines digitalen Filters erhaltenen Effekte auch beim Entwurf ei nes Analogsystems erzielt werden. Ferner kann das oben be schriebene Verfahren zur Vorgabe der Charakteristik eines aktuellen Analogsystems anstelle der gewünschten Charakte ristiken und zur Identifizierung des Systems in derselben Weise, wie dies bei dem System zur Verarbeitung digitaler Signale der Fall war, verwendet werden.

Das anhand des oben beschriebenen Beispiels 6 erläuterte Verfahren kann bezüglich aller Objekte verwendet werden, die durch ein lineares System ausgedrückt werden können. Als ein sich von einem physikalischen System unterscheiden des Beispiel wird die Steuerung einer chemischen Anlage er wähnt. Bei der Steuerung einer chemischen Anlage ist es ausreichend, wenn beispielsweise ein Druck, eine Temperatur in einem Reaktionstank oder eine Konzentration der produ zierten Substanz bezüglich der Menge des Startmaterials, das pro Zeiteinheit zugeführt wird, als lineares System ausgedrückt wird. Dies wird einer Laplace-Transformation unterzogen und die Übertragungsfunktion wird ermittelt. Ei ne Bestimmung der verschiedenen Koeffizienten des Systems, wie Wärmezufuhr und Druck, welche künstlich entsprechend dem oben beschriebenen Beispiel 6 gewählt werden können, d. h. der Entwurf des Anlagensteuersystems wird möglich.

Beispiel 7

Nun wird ein Identifizierungsgerät zum Durchführen einer Identifizierung eines physikalischen und chemischen Systems durch die Verwendung des erfindungsgemäßen Approximations verfahrens erläutert. Dieses Identifizierungsgerät kann beispielsweise zur Mustererkennung von Stimme und Bildern, zur Oszillationsanalyse, zur Datenkompression durch einen linearen Prediktor und dergleichen verwendet werden. Die Identifizierung eines Systems wurde auch in den oben be schriebenen Beispielen 5 und 6 erwähnt. Jedoch wurde in dem oben beschriebenen Beispiel der Aufbau des Systems identi fiziert auf der Basis der Frequenzcharakteristik. Hier wird ein Identifizierungsverfahren behandelt mit Bezug auf ein Signal einer diskreten Reihe, beispielsweise ein Zeitrei hensignal, wie beispielsweise eine Impulsantwort.

Wenn gemäß der Darstellung in Fig. 16 bei der Identifizie rung eines Systemes allgemein y von dem Zielsystem 102 durch Empfang eines Signales x von der Signalquelle 101 ausgegeben wird, bestimmt die Identifizierungsvorrichtung 103 das Modell des Zielsystems 102 als Antwort auf diese x und y. x und y sind kontinuierliche oder diskrete Signale. Im Falle eines kontinuierlichen Signals jedoch wird dieses manchmal abgetastet und zu einem diskreten Signal gemacht und wenn das Ausgangssignal von dem Zielsystem 102, das in einem Grad n-ter Zeit als y_n definiert ist und das Ein gangssignal zu dem Zielsystem 102 als x_n definiert ist, wird das System identifiziert in der Form von:

y_n = Σa_if_i(y_n-1y_n-2, . . ., y_n-M, x_n, x_n-1, . . . x_n-N) (122)

und die Parameter a₀, a₁, . . ., a_L werden bestimmt. Das Sum mationssymbol drückt die Summe von 0 bis L für i aus. Fer ner sind M und N die Grade des Systems, wobei das Signal y- _n-M ein Signal bezeichnet, das um M vom n-ten Grad zurück verfolgt wird, und wobei x_n-N ein Signal ausdrückt, das um N von dem n-ten Grad zurückverfolgt wird. Es gibt auch eine Identifizierungsvorrichtung, welche ein System ohne die Verwendung des von der Signalquelle 101 ausgehenden Signa les x und nur allein aufgrund des Ausgabesignales y von dem Zielsystem 102 identifiziert. In diesem Falle wird die Rekursionsformel (122) eine Gleichung, die x_i nicht ent hält.

In dem herkömmlichen Identifizierungsverfahren wurde

V = Σ (y_n - Σ a_if_i (y_n-1 . . ., y_n-M x_n, . . . x_n-N))² (123)

gewählt oder dergleichen und der Parameter wurde so be stimmt, daß V minimal wurde. Das linke Summationssymbol drückt die Summe von 0 bis k für n aus, während das rechte Summensymbol die Summe von 0 bis L für i bezeichnet. Dieses Verfahren hat jedoch ein Problem darin, daß angenommen wird, daß die Zielsysteme von statistischer Natur sind, die für die Handhabung geeignet ist. Darüber hinaus wurde die Quadratsumme V des Identifizierungsfehlers minimal und manchmal gab es eine große momentane Differenz zwischen der Antwort eines gefundenen Modells und einem realen System. Infolgedessen war die Genauigkeit der Identifizierung un klar. Wenn das erfindungsgemäße Approximationsverfahren verwendet wird, kann der Identifizierungsfehler systema tisch zu jedem Zeitpunkt angegeben werden und man erhält daher eine geeignete Identifizierungsvorrichtung, welche den Identifizierungsfehler berücksichtigt.

Im folgenden wird eine Identifizierungsvorrichtung unter Verwendung des erfindungsgemäßen Approximationsverfahrens in der folgenden Ordnung erläutert:

1. Identifizierung eines linearen diskreten Systems,
2. Identifizierung eines nichtlinearen Systems einer be stimmten Klasse,
3. Identifizierung eines linearen Analogsystems.

1. Identifizierung eines linearen diskreten Systems

Das Zielsystem soll folgende Form haben:

S_y = b₀y_n + b₁y_n-1 + . . . + b_My_n-M + (a₀, x_n) + (a₁, x_n-1) + . . . + (a_N, x_n-N) + c (124).

Hier wird angenommen, daß a_k und x_k L-dimensionale Vektoren sind, wobei die eingeklammerten hochgestellten Zeichen die Komponenten der Vektoren bezeichnen. b₀ ist der Parameter zum Rektifizieren der Form der Ausdrücke und wird später auf 1 gesetzt. S_y bezeichnet die Form, in welcher die rech te Seite der Rekursionsformel (122) in dem linearen Fall nach links verschoben wird, ist idealer Weise 0 und wird als Voraussagefehler bezeichnet. Die gemessene Antwort wird gewählt zu:

η_n= (1, y_n, y_n-1, . . ., y_n-M, x_n ⁽¹⁾, x_n ⁽²⁾, . . ., x_n ^(L), x_n-1 ⁽¹⁾, . . ., x_n-N ^(L) (125).

Die Antwort hat einen Fehler oder eine Fluktuation. Wenn dieser aber als Δη_n bezeichnet wird, wird die erzeugende konvexe Hülle C_n so gebildet, daß die folgende Aussage stets gilt:

η_n + Δη_n ∈ C_n

und dies wird ausgedrückt durch:

Hier sind η_n ⁽¹⁾, η_n ⁽²⁾, . . ., η_n ^(k) die Scheitel der erzeu genden konvexen Hülle Cn. Ferner wird das folgende gewählt:

X = (c , b₀, b₁, . . ., b_M, a₀⁽¹⁾, a₀⁽²⁾, . . ., a₀^(L), a₁⁽¹⁾, . . ., a_N ^(L)) (127).

Wenn der zulässige Identifizierungsfehler (zulässiger Feh ler) durch die obere Grenzfunktion M⁺(n) und die untere Grenzfunktion M⁻(n) ausgedrückt wird, ist das bestimmende Ungleichungssystem:

b₀M⁻(n) < S_y(C_n) < b₀M⁺(n) (n = 0, 1, 2, . . ., n_max) (128).

Nämlich

b₀M⁻(n) < (X, η_n ^(k)) < b₀M⁺(n) (k = 1, 2, . . ., K, n = 0, 1, 2, . . ., n_max) (129).

Für den Fall, daß y_n die Impulsantwort ist wie n_max, ist es notwendig, n zu wählen, wenn y_n sich bis zu einem gewissen Grad 0 nähert. Wenn es aber klein wird, ist es auch mög lich, dasselbe in die erzeugende konvexe Hülle C_n als Feh ler zu absorbieren. Anschließend wird die Approximation durch das bereits beschriebene Verfahren ausgeführt und der Lösungsbereich S gefunden. Dieses C_n unterscheidet sich ge ringfügig von der erzeugenden konvexen Hülle in Beispiel 3. Wenn aber e₀ = (0, 1, 0, 0, . . ., 0) gewählt wird und die folgenden Annahmen getroffen werden:

C⁺_n = -C_n + e₀M⁺(n) (130)

C⁻_n = C_n - e₀M⁻(n) (131)

wird das Ungleichungssystem (129) zu:

0 < (X, C⁺_n) (132)

0 < (X, C⁻_n) (132)

und sie können durch die erzeugende konvexe Hülle und das bestimmende Ungleichungssystem mit derselben Form wie jene in Beispiel 3 ausgedrückt werden. Der Lösungsbereich S wird der Satz von approximierenden Identifizierungsparametern wie sie sind. Selbst wenn ein Fehler oder eine Fluktuation in der Eingabe in das Identifizierungssystem besteht, erhält man, solang sie in der erzeugenden konvexen Hülle C_n enthalten sind, eine starke robuste Eigenschaft, wo der Identifizierungsfehler des Systems in dem zulässigen Fehlerbereich enthalten ist.

Wenn die Ergebnisse, die durch eine Wiederholung der Mes sung für eine große Anzahl von Malen erhalten werden, als η_n ⁽¹⁾, η_n ⁽²⁾, . . ., η_n ^(k) definiert werden, wird die Struktur einer aktuellen erzeugenden konvexen Hülle in diesem Falle durch die Wahl einer geringfügig größeren konvexen Hülle möglich, welche sie alle als C_n enthält. Der Grad der Vergrößerung wird dadurch bestimmt, daß man den Grund für die Erzeugung einer Abweichung, wie beispielsweise die Nichtlinearität des Systemes, die Änderung mit der Zeit, eine Belastungsfluktuation, etc. betrachtet. Es ist auch möglich, ein statistisches Verfahren einzuführen. Wenn der Fehler im voraus bekannt ist, ist es auch möglich, automatisch die erzeugende konvexe Hülle in Übereinstimmung mit diesem Fehler zu bilden. Darüber hinaus kann man die erzeugende konvexe Hülle bezüglich jedes Satzes von Meßwerten der Antwort bezüglich der verschiedenen Signale bilden und die Approximation bezüglich des Ganzen ausführen.

Es ist zu bemerken, daß in dem oben beschriebenen Beispiel die Eingabedaten in Form einer erzeugenden konvexen Hülle C_n ausgedrückt wurden. Man braucht jedoch nicht immer die konvexe Hülle zu erzeugen. Es ist nämlich auch möglich, C_n = {η_n} zu wählen und die Identifizierung des Systems durch zuführen.

Fig. 17 zeigt ein Blockdiagramm der Identifizierungsvor richtung unter Verwendung des oben beschriebenen Identifi zierungsverfahrens. Eine Identifizierungsvorrichtung 104 hat eine Bereichsbestimmungseinrichtung (105), welche einen Bereich angibt, der für die Approximation der Signale x und y des Objektsystems 102 erforderlich ist. Die Vorrichtung hat ferner eine Einrichtung 106 zur Bestimmung einer Cha rakteristik, welche Vorrichtung die Charakteristik des Systems so bestimmt, daß sie innerhalb des vorstehend ge nannten Bereiches liegt. Die Bereichsbestimmungseinrichtung 105 gibt die obere Grenzfunktion und die untere Grenzfunk tion sowie die erzeugende konvexe Hülle 126 für das Ein gangssignal. Die Einrichtung 106 zur Bestimmung der Charak teristik berechnet die Parameter des Systems auf der Basis des Ungleichungssystems (129).

2. Identifizierung eines nichtlinearen Systems einer be stimmten Klasse

Angenommen, daß die Form des Zielsystems ausgedrückt werden kann wie folgt:

S_y = Σa_if_i(y_n′, x_m′) (134)

während f_i vorläufig gewählt wird. Das Summationssymbol be zeichnet die Summe von 0 bis N für i. Hier wird angenommen, daß x_n ein Vektor ist, wobei die in Klammern geschriebenen hochgestellten Zahlen die Komponenten der Vektoren bezeich nen und folgende Annahmen getroffen werden:

y_n′ = (y_n, y_n-1, . . ., y_n-M) x_n = (X_n ⁽¹⁾, x_n ⁽²⁾, . . ., x_n ^(L), x_n-1 ⁽¹⁾, . . ., x_n-N ^(L)) (135)

(f₀, . . ., f_N) sollen lineare unabhängige Funktionen sein. Es ist zu bemerken, daß f_i(y′, x′) auch hinsichtlich der Faktoren x′ und y′ nichtlinear sein können. Wenn die fol gende Annahme getroffen wird:

η_n = (f₁(y_n′, x_n′), f₂(y_n′, x_n′), . . ., f_n(y_n′, x_N′)) (136)

wird η_n als Meßdaten betrachtet und das folgende gesetzt:

X = (a₀, a₁, . . ., a_N) (137).

Später kann das Verfahren des früheren Abschnittes angewen det werden wie es ist.

3. Identifizierung eines linearen Analogsystems

Im Falle eines kontinuierlichen Systems wird der zum Zeit punkt der Diskretiierung erzeugte Fehler in der konvexen Hülle C_n absorbiert und zu einem zulässigen Fehler. Dies wird anhand eines einfachen Analogsystemes erläutert.

S_y = by_n + a₀(dx/dt) + a₁(d²x/dt²) (138)

wird angenommen und die Bestimmung von a₀ und a₁ betrach tet. Die Differentiation wird diskret durchgeführt und die folgende Annahme getroffen:

dx/dt = (x_n - x_n-1)/Δt + Δ₁ (139)

d²x/dt² = (x_n - 2x_n-1 + x_n-2)/Δt² + Δ₂ (140).

Δt ist das Abtastintervall; Δ₁ und Δ₂ sind die Diskretiie rungsfehler. Wenn eine Genauigkeit erforderlich ist, er folgt eine höhere Diskretiierung, bis Δ₁ und Δ₂ genügend klein sind.

Wenn die folgenden Annahmen getroffen werden:

x_n′ = (x_n - x_n-11)/Δt (141)

x_n′′ = (x_n - 2x_n-1 + x_n-2)/Δt² (142)

gilt für S_y:

S_y = by_n + a₀ (x_n′ + Δ₁) + a₁(x_n′′ + Δ₂) (143).

Hier wird angenommen, daß nur die Fehler der Diskretiierung erzeugt werden. In diesem Falle reicht es, wenn der Maxi malwert und der Minimalwert, die durch Δ₁ und Δ₂ gegeben werden können, als Fehlerbereich der Eingangsdaten x_n′ und x_n′′ betrachtet werden und es wird die erzeugende konvexe Hülle C_n gebildet. Anschließend erfolgt die Approximation, wie dies in dem früheren Abschnitt beschrieben wurde. Wenn der Lösungsbereich S leer wird, da Δ₁ und Δ₂ groß werden und dergleichen, reicht es aus, wenn die Genauigkeit der Diskretiierung bis zu einem gewissen Grad angehoben wird oder der Grad des anzunehmenden Systems erhöht wird. Ferner kann das oben beschriebene Verfahren auch auf ein System angewendet werden, das eine Zeitverzögerung beinhaltet, wie eine Integration oder dergleichen.

Alternativ hierzu ist das Verfahren auch möglich, selbst wenn zuerst das Eingangssignal kontinuierlich gehalten wird und die folgenden Annahmen getroffen werden:

η⁻(t) = (-M⁻(t), dx(t)/dt, d²x(t)/dt²) (144)

η⁺(t) = (M⁺(t), - (dx(t)/dt), - (d²x(t)/dt²)) (145).

X = (b, a₀, a₁) wird definiert und das kontinuierliche be stimmende Ungleichungssystem:

0 < (X, η⁻(t)) (146)

0 < (X, η⁺(t)) (147)

wird bestimmt. Dann wird die Approximation für den kontinu ierlichen Approximationsbereich entsprechend dem Verfahren des Beispiels 3 ausgeführt.

Es ist offensichtlich, daß das so erhaltene System S_y keine Verschlechterung einer Charakteristik aufgrund der Diskre tiierung bewirkt. Das bedeutet, daß bezüglich der kontinu ierlichen Eingaben x(t) und y(t) stets das folgende gilt:

bM⁻(t) < S_y (x(t), y(t)) < bM⁺(t) (148).

Es ist zu bemerken, daß das oben beschriebene Identifizie rungsverfahren auch für den Entwurf der Impulsantwort des Systems und dergleichen verwendet werden kann. Anstelle des Meßwertes des Zielsystems in der oben beschriebenen Identi fizierungsmethode kann nämlich der Systementwurf gemacht werden, wenn eine gewünschte Charakteristik der Zeitreihen gegeben wird und die Entwurfstoleranz als zulässiger Feh lerbereich anstelle des identifizierten Fehlers gegeben wird. Hier kann die Entwurfstoleranz in Form des Bereiches S_y (die Ungleichungssysteme (128) und (148)) oder in Form des Bereiches C_n von η_n gegeben werden (konvexe Hülle 126)).

In dem Fall eines digitalen Filters kann das Verfahren von "1. Identifizierung eines linearen diskreten Systems" des Beispiels 7 verwendet werden wie es ist. S_y wird ein FIR- Filter, wenn M = 0, während S_y ein IIR-Filter bezeichnet, wenn M 1. Daher kann S_y für beide Filter verwendet wer den. Die konvexe Hülle C_n wird dadurch gebildet, daß man die gewünschte Charakteristik durch η_n ausdrückt und den Quantisierungsfehler und dergleichen betrachtet. Es ist auch möglich, einfach das folgende zu definieren:

C_n = {η_n} (149).

Auf diese Weise wird der durch Approximation gefundene Lösungsbereich S der Satz von Werten der Koeffizienten des Filters.

Im Falle eines analogen Filters, für den das Verfahren nach "3. Identifizierung eines linearen Analogsystems" gemäß Beispiel 7 angewendet wird, kann ein Systementwurf in einem Zeitbereich eines linearen analogen Systems (beispielsweise eines analogen Filters, eines Verstärkerkreises, einer Steuereinrichtung für einen Roboter etc.) ausgeführt wer den. Es ist von dem Falle eines digitalen Filters in dem Punkt verschieden, daß der Diskretiierungsfehler unvermeid lich zu der Eingabe der gewünschten Charakteristik hinzuad diert wird.

Gemäß der oben beschriebenen Identifizierungsvorrichtung wird ein Bereich des zulässigen Identifizierungsfehlers ge geben und die Identifizierung innerhalb dieses Bereiches ausgeführt. Daher kann der Identifizierungsfehler berechnet werden. Infolgedessen kann eine approximierende Identifi zierungsvorrichtung erhalten werden, welche den Fehler der Identifizierung berücksichtigt. Gleichzeitig werden noch die folgenden weiteren Wirkungen erhalten. [1] Ein diskre ter Fehler des kontinuierlichen Systems kann absorbiert werden; [2] es kann eine Identifizierung ausgeführt werden, die bezüglich der Fluktuation des Zielsystems, des Rau schens und dergleichen robust und stabil ist; [3] ferner kann auch eine stabile Identifizierung für den Fehler aus geführt werden durch Approximieren der Impulsantwort des IIR-Systems durch eine finite Sequenz; [4] die Existenz des Lösungsbereiches S wird bestimmt, während der Grad des Modellsystems in derselben Weise variiert wird, wie dies anhand des Flußdiagramms der Fig. 4 erläutert wurde, wo durch der Grad des Zielsystems abgeschätzt werden kann; [5] die Optimierung kann auch bezüglich der anderen Bedingung (beispielsweise eines Energieverbrauchs) durch die Verwen dung der Streuung des Lösungsbereiches S ausgeführt werden.

Es ist zu bemerken, daß das vorliegende Beispiel ein System betrifft, in dem die diskrete Reihe der Eingaben durch ei nen Index n ausgedrückt wird. Es ist jedoch ohne Schwierig keiten möglich, das vorliegende Beispiel auf ein multidi mensionales System mit der Eingabe diskreter Reihen aus zu dehnen, die durch eine große Anzahl von Indizes ausgedrückt werden.

Beispiel 8

Im folgenden wird ein weiteres Beispiel unter Verwendung des erfindungsgemäßen Approximationsverfahrens erläutert. In einem System, in dem ein analoges System, ein A/D-Wand ler oder ein D/A-Wandler und dergleichen in gemischter Form existieren, werden die Amplituden- und die Phasencharakte ristik in unterschiedlichen Weisen durch das obengenannte analoge System und den Signalwandler beeinflußt (Apertureffekt, Verzerrung durch Gruppen-Verzögerung, etc.). Eine gewünschte Charakteristik sollte realisiert werden durch ihre Korrektur durch das digitale Filter. In dem Verfahren durch eine herkömmliche Optimierungsmethode und dergleichen kann eine willkürliche Charakteristik in einem solchen Falle nicht realisiert werden oder, selbst wenn sie realisiert wird, ist ein höheres Digitalfilter er forderlich. Aus diesem Grunde wurden im allgemeinen ver schiedene Auswege betrachtet durch Hinzufügen von Korrek turmechanismen, wie beispielsweise die Ausgestaltung des Filters als Mehrratenfilter, die Verbesserung des analogen Systemteils und dergleichen. Wenn das erfindungsgemäße Approximationsverfahren verwendet wird, kann das digitale Filter durch jede Charakteristik und durch einen kleinen Grad angegeben werden, wodurch eine verzerrte Charakteri stik durch das Zwischenschalten des analogen Systems und dergleichen entzerrt werden kann.

Fig. 18 zeigt ein Beispiel, in dem die erfindungsgemäße Korrekturvorrichtung zur Korrektur der Charakteristik mit einem analogen System verbunden ist. Ein Signal von dem analogen System 201 wird durch einen A/D-Wandler 202 in ein digitales Signal umgewandelt und der Charakteristik-Korrek turvorrichtung 203 zugeführt. Die Korrekturvorrichtung 203 wird von einem digitalen Filter und einer Approximations vorrichtung gebildet, die in den Beispielen 5 oder 7 erläu tert wurde. Die Korrektur der Charakteristik wird in der folgenden Weise ausgeführt:

(1) Zuerst wird die Korrekturvorrichtung 203 in einen Zu stand versetzt, in dem das Signal einfach durchläuft.
(2) Ein Referenzsignal wird an das analoge System 201 ge sendet und die Charakteristiken des analogen Systems 201 und des A/D-Wandlers 202 werden im Hinblick auf diese an den Ausgangssignalen gemessen. Zu diesem Zeitpunkt ist dies auch möglich, selbst wenn eine Korrekturvorrichtung 203 als die Identifizierungsvorrichtung verwendet wird und die Mes sung der Charakteristiken ausgeführt wird.
(3) Der Betrag der Abweichung zwischen der Charakteristik vor der Korrektur und der gewünschten Charakteristik wird als die Charakteristik des digitalen Filters 203 angenom men. Der Entwurf der Charakteristik des Filters in dem Zeitbereich kann durch das Verfahren ausgeführt werden, das in dem Abschnitt "1. Identifizierung des diskreten linearen Systems" in Beispiel 7 erläutert wurde.
(4) Für den Entwurf der Charakteristik des Filters in dem Frequenzbereich wird die Struktur des digitalen Filters da nach bestimmt, ob das Objekt der Korrektur eine Amplituden charakteristik, eine Phasencharakteristik oder jedes von ihnen ist. Wenn nur die Amplitudencharakteristik vorliegt, kann ein IIR- oder ein FIR-Filter verwendet werden. Wenn nur die Phasencharakteristik vorliegt, kann der Allpaßfil ter oder ein FIR-Filter verwendet werden. Auch wenn sowohl die Amplitude als auch die Phase korrigiert werden, gibt es die Optionen [1] eines IIR-Filters und eines Allpaßfilters, [2] eines FIR- und eines Allpaßfilters und [3] nur eines FIR-Filters.

In dem oben beschriebenen Beispiel war die Charakteristik- Korrekturvorrichtung 203 an eine Stufe nach dem analogen System 201 angeschlossen. Es ist jedoch auch möglich, daß die Charakteristik-Korrekturvorrichtung an einer Stufe vor dem Analogsystem angeordnet ist und daß dort die Korrektur ausgeführt wird. Die Anordnung umfaßt dann in einer Reihe hintereinander die digitale Eingabe, die Charakteristik- Korrekturvorrichtung, den D/A-Wandler, das analoge System und die analoge Ausgabe. Für einen Fall, für den das digi tale System und das analoge System in einer Mischung vor kommen, ist es auch möglich, wenn die Korrekturvorrichtung in der Mitte des gesamten Systems angeschlossen ist. Die Anordnung umfaßt dann beispielsweise in Reihe hintereinan der die analoge Eingabevorrichtung, das analoge System 1, den A/D-Wandler, die Charakteristik-Korrekturvorrichtung, den D/A-Wandler, das analoge System 2 und die analoge Aus gabe. Das bedeutet, daß die Übertragungsfunktion eines ge samten Systems durch das Produkt der Übertragungsfunktionen der jeweils es bildenden Elemente gebildet wird. Daher tritt selbst dann kein Problem auf, wenn die Korrekturvor richtung vor, hinter und in der Mitte des Systems angeord net ist.

Wenn die Korrektur der Charakteristik in der oben beschrie benen Weise ausgeführt wird, wird der Freiheitsgrad beim Entwurf des analogen Systems enorm vergrößert. Außerdem ist es in gewissen Fällen möglich, die Struktur des Analog systems beträchtlich einfacher zu machen. Ferner kann man auch die oben beschriebene Korrektur unter Verwendung eines Mikroprozessors und dergleichen automatisch ausführen.

Beispiel 9

Im folgenden wird ein Beispiel erläutert, in dem die Approximation in einem Zustand ausgeführt wird, in dem der Approximationsbereich absichtlich in dem Parameterraum reduziert wurde. Dies ist dort wirksam, wo die Schaltung so entworfen wurde, daß die gewünschte Beschreibung selbst dann stets erfüllt ist, wenn eine Änderung mit der Zeit oder der Temperatur in Teilen beispielsweise einer elektro nischen Schaltung auftritt. Ferner ist dieses Beispiel wirksam auch hinsichtlich eines Fehlers, wie beispielsweise der Löschung in einem digitalen System.

Angenommen, das originale Problem des Approximationsverfah rens wird ausgedrückt durch:

0 < (X, η_i) (i = 1, 2, . . ., m) (150)

X = (a₁, a₂, . . ., a_n, b)
η_i = (η_i1, η_i2, . . ., η_in, η_in+1).

η_i ist ein Vektor, welcher die obere Grenzfunktion, die un tere Grenzfunktion etc. ausdrückt, und der Approximations bereich wird durch η_i im Parameterraum ausgedrückt. b ist der Parameter für die Berichtigung der Form des Ausdruckes und wird später auf 1 gesetzt.

Es wird angenommen, daß die Änderung δ(∈Rⁿ⁺¹⁾ von x stets in der konvexen Hülle Δ enthalten ist. Es wird nämlich de finiert:

X + δ ∈ X + bΔ (151).

Hier kann Δ ausgedrückt werden durch:

Δ = {s₁Δ₁ + s₂Δ₂ + . . . s_LΔ_LÇs₁ + . . . +S_L = 1, Δ_j∈Rⁿ⁺¹}

wenn daher das folgende gilt:

0 < (X + bΔ_j, η_i)
j = 1, 2, . . ., L, i = 1, 2, . . ., m) (152)

gilt das Ungleichungssystem (150) auch für ein willkürli ches X + Δ, welches das Ungleichungssystem (151) erfüllt. Die rechte Seite von (152) kann transformiert werden auf:

(X, η_i) + b (Δ_j, η_i) (153).

Wenn daher das folgende gesetzt wird, gilt:

η_j′ = (η_i1, η_i2, . . ., η_in, η_in+1 + min (Δ_j, η_i))
(i = 1, 2, . . ., m) (1 j L).

Das Ungleichungssystem (152) wird äquivalent zu:

0 < (X, η_i′) (i = 1, 2, . . . m) (154).

Dies ist nicht der einzige Ausdruck, sondern eine Vielfalt von Ausdrücken ist möglich.

Wenn das Ungleichungssystem (154) als das Problem des Approximationsverfahrens angesehen wird, erfüllen auf diese Weise alle Elemente Xs des Lösungsbereiches des Unglei chungssystems (154):

0 < (Xs + δ, η_i) (i = 1, 2, . . ., m)

in dem Originalproblem und man erkennt, daß es robust und stabil ist. Wo das originale Problem in einer polynomialen Approximationsfunktion gelöst werden soll, entspricht die Korrektur von η_i zu η′_i der Reduktion der oberen Grenzfunk tion durch einen Betrag von ungefähr min(Δ_j, η_i) ( dabei gilt 1 j L) und dem Vergrößern der unteren Grenzfunk tion durch denselben Betrag, d. h. die direkte Reduktion des Approximationsbereiches des originalen Problems. Auch wird im allgemeinen Fall die konvexe Hülle, welche den Approxi mationsbereich ausdrückt, durch diese Korrektur kleiner.

Es ist zu bemerken, daß die in der Approximationsvorrich tung und dem Approximationsverfahren der vorliegenden Er findung behandelten Charakteristiken nicht auf die physika lischen Charakteristiken beschränkt sind und daß auch Datenverarbeitungstechniken, wie eine Datenkompression oder eine chemische Charakteristik angenommen werden können.

Während die Erfindung unter Bezugnahme auf spezielle Aus führungsbeispiele beschrieben wurde, die zur Erläuterungs zwecken ausgewählt wurden, sollte es klar sein, daß zahl reiche Abänderungen durch Fachleute ausgeführt werden könn ten, ohne daß man sich von dem Grundkonzept und dem Ziel der Erfindung entfernt.

Claims

1. Approximationsvorrichtung, gekennzeichnet durch
Mittel zum Bestimmen eines Approximationsbereiches, der einem zulässigen Bereich von physikalischen Charakteri stiken entspricht, und eine Einrichtung zum Bestimmen einer Approximationsfunktion zum Auffinden der zumin dest annähernd in den Grenzen dieses Approximationsbe reiches enthaltenen Approximationsfunktion durch Lösen der simultanen Ungleichungen,
wobei die Einrichtung zur Bestimmung der Approximati onsfunktion die Approximationsfunktion als eine Familie von Funktionen mit bestimmten Parametern wählt und zur gleichen Zeit die Werte der Parameter durch Lösen der simultanen Ungleichungen auffindet.

2. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zur Bestimmung der Approximationsfunktion den Bereich der Werte der Para meter findet.

3. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1 oder 2, da durch gekennzeichnet, daß die Mittel zum Wählen des Approximationsbereiches den Approximationsbereich durch eine die obere Grenze des Approximationsbereiches bil dende obere Grenzfunktion und eine die untere Grenze des Approximationsbereiches bildende untere Grenzfunk tion definiert.

4. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1 , dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zum Wählen des Approximationsbereiches den Approximationsbereich durch mindestens eine konvexe Hülle definiert.

5. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zum Wählen des Approximationsbereiches diesen durch eine Zielfunktion und einen zulässigen Fehlerbereich definiert.

6. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zum Wählen des Approximationsbereiches denselben durch Intervalle über einer Folge von Punkten definiert.

7. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, gekennzeich net durch eine Korrektureinrichtung zum Korrigieren der Approximationsfunktion, wenn diese über den Approxima tionsbereich hinaus vorspringt, um diesen Vorsprung zu eliminieren.

8. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zum Wählen des Approximationsbereiches denselben entsprechend einem Ungleichungssystem von stückweise kontinuierlichen Funktionen definiert.

9. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 8, dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zum Wählen der Approximationsfunktion mit Mitteln versehen ist, welche den Approximationsbereich in kleine Teile unterteilt und gebildete erzeugende konvexe Hüllen in den kleinen Teilen konstruiert.

10. Approximationsvorrichtung gemäß Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zur Bestimmung der Approximationsfunktion versehen ist mit:
Mitteln zum anfänglichen Wählen der Familie von Approximationsfunktionen;
Mitteln zum Bestimmen, ob eine Approximationsfunktion entsprechend dem Approximationsbereich existiert und
Mitteln zum Auffinden der Lösung der Approximations funktion, wenn durch diese Bestimmungseinrichtung fest gestellt wird, daß die Approximationsfunktion exi stiert.

11. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 10, gekenn zeichnet durch Mittel zum Ändern der Vorwahl der Fami lie von Approximationsfunktionen, wenn durch die Be stimmungsmittel entschieden wird, daß die Approximati onsfunktion nicht existiert.

12. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, gekennzeich net durch eine Einrichtung zur Verringerung des Approximationsbereiches für eine Umwandlung einer vor gegebenen Größe der Änderung der Parameterwerte der Approximationsfunktion auf eine Änderungsgröße des Approximationsbereiches in dem Parameterraum und zum Reduzieren des Approximationsbereiches in dem Parame terraum durch eine Größe, welche dieser Größe der Ände rung des Approximationsbereiches entspricht.

13. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Approximationsfunktion die Form einer rationalen Funktion hat.

14. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Approximationsfunktion die Inter polationsfunktion von Daten bezeichnet.

15. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Approximationsfunktion die Ampli tudencharakteristik eines digitalen Signalverarbei tungssystems bezeichnet.

16. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Approximationsfunktion die Pha sencharakteristik eines digitalen Signalverarbeitungs systems bezeichnet.

17. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Approximationsfunktion die Ampli tudencharakteristik eines analogen Systems bezeichnet.

18. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 1, dadurch ge kennzeichnet, daß die Approximationsfunktion die Pha sencharakteristik eines analogen Systems bezeichnet.

19. Vorrichtung zur Identifizierung eines digitalen Signal verarbeitungssystems oder eines analogen Systems, ge kennzeichnet durch:
Mittel zum Wählen eines vorgegebenen Charakteristikbe reiches auf der Basis eines Meßwertes der Frequenzcha rakteristik des digitalen Signalverarbeitungssystems oder des Analogsystems und
Mittel zum Bestimmen eines Modelles in der Weise, daß die Frequenzcharakteristik in den Charakteristikbereich fällt.

20. Systembestimmungsvorrichtung zum Bestimmen eines Model les, das eine einem Signal entsprechende Antwort liefert, durch die Eingabe einer diskreten Signalreihe, gekennzeichnet durch mindestens Mittel zum Geben eines Bereiches, der zulässige Fehlergrenzen zwischen der Eingabe und der Antwort ausdrückt und Mittel zum Bestimmen eines Modelles in der Weise, daß die Antwort in diesen Bereich fällt.

21. Systembestimmungseinrichtung gemäß Anspruch 20, dadurch gekennzeichnet, daß das Modell ein diskretes System ist.

22. Systembestimmungseinrichtung nach Anspruch 20, dadurch gekennzeichnet, daß das Modell ein analoges System ist.

23. Charakteristik-Korrekturverfahren, dadurch gekennzeich net, daß die Charakteristik eines ein analoges System und mindestens einen A/D-Wandler und/oder einen D/A- Wandler aufweisenden Systems gemessen werden und daß die gemessene Charakteristik die eines digitalen Verarbeitungssystemes ist, wobei die Charakteristiken des digitalen Signalverarbeitungssystems entsprechend der in den Ansprüchen 15, 16 oder 21 beschriebenen Vorrichtung approximiert wird.

24. Charakteristik-Korrekturvorrichtung mit einem digitalen Filter, das an ein System mit einem analogen System und mindestens einem A/D-Wandler und/oder einem D/A-Wandler angeschlossen ist und die Charakteristiken des Systems korrigiert, dadurch gekennzeichnet, daß die Charakteri stiken des digitalen Filters entsprechend der in den Ansprüchen 15, 16 oder 21 beschriebenen Vorrichtung ap proximiert werden.

25. Approximationsvorrichtung, gekennzeichnet durch Mittel zum Wählen eines Approximationsbereiches, der einem zu lässigen Grenzbereich einer physikalischen Charakteri stik entspricht;
eine Einrichtung zur Bestimmung einer Approximations funktion zum Auffinden der mindestens annähernd in die sen Grenzen des Approximationsbereiches enthaltenen Approximationsfunktion durch Lösen simultaner Unglei chungen;
eine Einrichtung zur Darstellung des Approximationsbe reiches zur visuellen Wiedergabe desselben,
eine Einrichtung zur Darstellung der Approximations funktion zur Wiedergabe derselben, während sie dem Approximationsbereich überlagert wird, der durch die Wiedergabeeinrichtung zur Wiedergabe des Approximati onsbereiches dargestellt wird, und
eine Einrichtung zur Bestimmung der Approximationsfunk tion, welche dieselbe als eine Familie von Funktionen mit Parametern vorgibt und gleichzeitig die Parameter werte durch Lösen der simultanen Ungleichungen auffin det.

26. Approximationsvorrichtung nach Anspruch 25, dadurch ge kennzeichnet, daß die Einrichtung zur Darstellung des Approximationsbereiches selbigen durch Zeichnen einer oberen Grenze und einer unteren Grenze darstellt, und dabei einen Raum zwischen der oberen Grenze farblich oder durch eine Schraffur zwischen der oberen Grenze und der unteren Grenze kennzeichnet.

27. Approximationsverfahren, gekennzeichnet durch einen er sten Schritt der Wahl eines Approximationsbereiches, welcher einem zulässigen Grenzbereich für die physika lische Charakteristik entspricht, und
einen zweiten Schritt des Auffindens einer zumindest annähernd in diesen Grenzen des Approximationsbereiches enthaltenen Approximationsfunktion durch Lösen simulta ner Ungleichungen, wobei
der zweite Schritt die Approximationsfunktion als eine Familie von Funktionen mit Parametern wählt und gleich zeitig die Werte der Parameter durch Lösen simultaner Ungleichungen auffindet.