DE4010454A1 - Hochgeschwindigkeitsschleifscheibe und verfahren der ausbildung - Google Patents
Hochgeschwindigkeitsschleifscheibe und verfahren der ausbildungInfo
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- B24—GRINDING; POLISHING
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- B24D18/0018—Manufacture of grinding tools or other grinding devices, e.g. wheels, not otherwise provided for by electrolytic deposition
Description
Die Erfindung betrifft eine Hochgeschwindigkeitsschleifscheibe,
insbesondere einen Hochgeschwindigkeits-
Schleifscheibengrundkörper und ein Verfahren
der Herstellung.
Hochgeschwindigkeitsschleifscheiben mit Schleifmitteln
wie Diamant- und kubisch kristallinem Bornitrid
(CBN) werden aufgrund ihres vergleichsweise hohen
Preises nur dort eingesetzt, wo sie bei größerem
Zeitspanvolumen und damit schnellerem Werkstoffabtrag
einen geringeren spezifischen Verschleiß im
Vergleich zu konventionellen Schleifscheiben aufweisen.
CBN- und Diamantschleifscheiben bestehen im Gegensatz
zu konventionellen Schleifscheiben aus einem
Grundkörper und einem darauf aufgebrachten Schleifbelag,
der im Verhältnis zum Schleifscheibendurchmesser
von geringer Dicke ist.
Der Grundkörper bestimmt die statische und dynamische
Festigkeit der Schleifscheibe. Er besteht je
nach Art des Schleifbelages und des gewünschten
Schleifverhaltens aus Aluminium, Kunstharz mit Füllstoffen,
Keramik oder Stahl. Die Form des Grundkörpers
wird je nach Schleifverfahren und Einsatzfall
angepaßt, wobei der inneren Belastung des Grundkörpermaterials
durch Fliehkraft bei bekannten Schleifscheiben
keine Bedeutung zugemessen wird.
Den bekannten Schleifscheibenformen ist gemein die
Anordnung einer Zentralbohrung, die je nach Außendurchmesser
und Anwendungsfall genormt ist.
Für Schleifscheiben muß vor ihrer Inbetriebnahme in
der Praxis eine Zulassungsgenehmigung erteilt sein,
die festlegt, für welches Schleifverfahren, bis zu
welcher maximal zulässigen Umfangsgeschwindigkeit
und unter welchen Einsatzbedingungen die Schleifscheiben
verwendet werden dürfen.
Die zulässige Umfangsgeschwindigkeit multipliziert
mit einem Sicherheitsfaktor ergibt die Sprenggeschwindigkeit,
die im Sprengversuch ermittelt
wird. Werden Grundkörper aus Stahl oder Aluminium
geprüft, treten vielfach vor dem Werkstoffversagen
Schleifbelagbeschädigungen auf. Diese beruhen auf
Absprengungen von Segmenten oder Belagpartikeln und
Rissen im Belag, die aufgrund unzulässig elastischer
oder plastischer Verformungen des Grundkörpers auftreten.
Hohe Schnittgeschwindigkeiten lassen sich mit bekannten
Schleifscheiben nur verwirklichen, die aus
einem metallischen Grundkörper mit galvanischem
Schleifbelag aufgebaut sind.
In Einzelfällen konnten in Versuchen Schnittgeschwindigkeiten
bis zu 300 m/s erreicht werden, wobei
es sich jedoch um Schleifscheiben handelte, die
für die Anwendung in der Praxis nicht zugelassen
sind.
Bekannte Grundkörper aus Kunstharz mit metallischen
und nichtmetallischen Füllstoffen sowie aus Keramik
sind infolge ihrer Sprenggeschwindigkeit von maximal
275 m/s für bekannte Schleifscheiben nicht geeignet.
Der Einsatz von geklebten keramisch oder kunstharzgebundenen
Schleifbelagsegmenten auf konventionell
gestalteten Aluminiumgrundkörpern ist auf maximal
180 m/s begrenzt.
Aufgabe der Erfindung ist es, eine Schleifscheibe
und ein Verfahren ihrer Gestaltung zu schaffen, die
für Schnittgeschwindigkeiten von höher als 300 m/s
geeignet sind.
Zu berücksichtigen ist dabei die Erkenntnis, daß die
Erhöhung der Scheibenumfangsgeschwindigkeit auf zwei
Wegen erreicht werden kann und zwar zum einen durch
Vergrößerung des Scheibendurchmessers bei konstanter
Drehzahl und zum anderen durch Erhöhung der Drehzahl
bei gleichem Durchmesser.
Die Vergrößerung des Scheibendurchmessers hat entscheidende
Nachteile. Bei größeren Durchmessern
nimmt die Umfangslänge linear zu, wodurch die Scheibenkosten
aufgrund des größeren Diamant- bzw. CBN-
Volumens pro Scheibe ansteigen. Zudem steigt das Gewicht
der Schleifscheibe mit dem Radius quadratisch
an. In die Berechnung der Rotationsenergie geht sowohl
die Masse linear als auch der Radius quadratisch
ein, wodurch ein Ansteigen mit dritter Potenz
auftritt. Höhere Scheibenkosten, größerer Aufwand
für den Schleifscheibenwechsel aufgrund großer
Scheibenmassen und aus sicherheitstechnischen Gründen
eine hohe stabile Abkapselung des Arbeitsraumes
sprechen gegen die Vergrößerung des Scheibendurchmessers
bei konstanter Drehzahl.
Der sinnvolle Weg zur Steigerung der Schnittgeschwindigkeit
liegt deshalb in der Erhöhung der
Drehzahl bei Scheibendurchmessern im Bereich von 100
bis 400 mm. Sollen Schnittgeschwindigkeiten von 300 m/s
bis 500 m/s erreicht werden, müssen Drehzahlen
für die 100 mm große Scheibe im Bereich von 47 000
bis 96 000/min und für die Scheibe mit 400 mm
Durchmesser im Bereich von 12 000 bis 24 000/min
realisiert werden. Diese hohen Drehzahlen stellen
extreme Anforderungen an die Festigkeitseigenschaften
des verwendeten Grundkörpermaterials.
Die dominierende Belastung des Grundkörpers entsteht
durch die im Inneren des Körpers angreifenden
Fliehkräfte, die mit der Drehzahl quadratisch ansteigen.
Die durch die Fliehkräfte im Grundkörper
induzierten Spannungen und die daraus resultierenden
Dehnungen werden wesentlich von der Form des Grundkörpers
beeinflußt.
Aufgabe der Erfindung im engeren Sinne ist deshalb
die Entwicklung einer optimierten Grundkörperform
einer Hochgeschwindigkeitsschleifscheibe (HGS) unter
Berücksichtigung folgender technologischer Anforderungen
an den Grundkörper:
- - hohe Sicherheit gegen Scheibenbruch
- * Aufnahme der durch Fliehkräfte entstehenden Spannungen und Dehnungen ohne Beeinträchtigung der Arbeitssicherheit
- * Vergleichsspannungsverlauf auf niedrigerem Niveau
- * geringe Spannungsüberhöhungen über den Radius
- - geringe radiale Dehnung im Außendurchmesser
- - geringe Grundkörpermasse zur
- * Reduzierung der Rotationsenergie des Grundkörpers
- * Erhöhung der biegekritischen Drehzahl des Systems Antriebsspindel/Schleifscheibe.
Die Lösung der vorgenannten Aufgabe ist in den Ansprüchen
beschrieben. Für das einwandfreie Verständnis
der vorgeschlagenen Lösung ist von folgendem
auszugehen.
Die technologischen Anforderungen an den Grundkörper
sind teilweise gegensinnig, das heißt sie besitzen
kein gemeinsames Maximum. So ist zum Beispiel eine
Verringerung der radialen Dehnung durch eine Verdickung
des Profils im Innenbereich der Scheibe möglich,
wodurch jedoch die Grundkörpermasse zunimmt.
Aus diesem Grunde ist es auch nicht möglich, einen
allgemein gültigen Algorithmus zur Gestaltsoptimierung
einer fliehkraftbelasteten Scheibe zu entwickeln.
Die spezifisch optimale Gestalt ist vielmehr
von einer Bewertung der Ziele, den konstruktiven
Randbedingungen und damit vom Anwendungsfall abhängig.
Zur Erfassung der unterschiedlichen Einflüsse der
frei wählbaren Parameter wird erfindungsgemäß eine
mathematische Modellbeschreibung fliehkraftbelasteter
rotierender Scheiben benutzt. Innerhalb dieser
Modellbeschreibung sind folgende vereinfachende Annahmen
getroffen.
- - Beschränkung auf Fliehkrafteinfluß, das heißt
Vernachlässigung der Belastung durch
- * Temperatur
- * Prozeßkräfte
- * Luftreibung
- * Kühlschmierstoffreibung
- * Antriebsmomente
- - symmetrische Scheibe mit hohem Schlankheitsgrad (2-dimensionaler Spannungszustand)
- - homogener, isotroper Werkstoff (linearelastisches Werkstoffverhalten).
Die Berechnungen der Spannungen und der Dehnungen
sind mit Hilfe von Näherungsverfahren durchgeführt.
Dafür ist die Scheibe durch eine Folge von Ringen
konstanter Dicke zu ersetzen. Die ringförmigen Teilscheiben
werden als fliehkraftbelastete gelochte
Planscheiben behandelt, für welche die aus der
Festigkeitslehre bekannten Spannungs-Dehnungs-Beziehungen
gelten. Die Integrationskonstanten A₁ und
A₂ sind dabei aber von Teilscheibe zu Teilscheibe
verschieden und resultieren aus Stetigkeits- und
Zusammenhangsbedingungen mit den benachbarten Teilscheiben.
Innerhalb der durchgeführten Berechnungen
wurde zum Beispiel die Geometrie einer Vollscheibe
mit einem Außendurchmesser von 350 mm durch 1750
Ringe approximiert.
Somit lassen sich die Radial- und Tangentialspannungen
und die Dehnung in jedem Radiusinkrement berechnen.
Aus diesem 2-dimensionalen Spannungszustand
ist mit Hilfe der Gestaltänderungsenergiehypothese
eine Vergleichsspannung berechenbar, deren Verlauf
und Maximalwerte Beurteilungskriterien bilden.
Der Einfluß der Bohrungen zum Einspannen der Scheibe
wurde mit Überhöhungsfaktoren eines Lochkranzes abgeschätzt.
Diese Faktoren sind nicht analytisch beschreibbar,
sie beruhen vielmehr auf kontinuumstechnischen
Spannungs-Dehnungs-Ansätzen, die über
Fourierreihen gelöst werden.
Prinzipiell muß vor Beginn der Optimierung mit Hilfe
einfacher Formen für den Grundkörper eine Überschlagsrechnung
zur Ermittlung der auftretenden
Spannungen durchgeführt werden. Durch die Verwendung
vereinfachter Formen liegt der so berechnete Spannungswert
in jedem Fall höher als der innerhalb der
formoptimierten Scheibe. Aus diesem Grund bildet der
maximale Spannungswert ein Kriterium für die erforderlichen
Festigkeitseigenschaften des auszuwählenden
Grundkörpermaterials. Neben den Festigkeitseigenschaften
sind das spezifische Gewicht sowie wirtschaftliche
Faktoren wie Bearbeitbarkeit und Materialkosten
zu berücksichtigen.
Nach Eingabe von Startwerten der freiwählbaren Parameter
und der Randbedingungen sind die Ergebnisse
der Berechnung (Optimierungsparameter) entsprechend
der Zielsetzung zu beurteilen. Durch Variation der
Eingabeparameter bei nicht zufriedenstellendem Ergebnis,
ist somit eine sukzessive Optimierung der
Gestalt möglich.
Im Anschluß an die so durchgeführte Optimierung der
Gestalt des Grundkörpers ist es notwendig, das dynamische
Verhalten zu untersuchen. Dies erfolgt mit
Hilfe der Finiten Elemente Methode (FEM), womit die
Eigenfrequenzen und Schwingungsformen berechnet werden
können. Neben den dynamischen Berechnungen wird
ebenfalls mit der FEM das statische Nachgiebigkeitsverhalten
in Radial-, Tangential- und Axialrichtung
untersucht.
Bei nicht zufriedenstellenden Ergebnissen der abschließenden
FEM-Berechnungen erfolgt eine Veränderung
der Form. Mit den geänderten Formparametern
ist eine erneute Spannungsberechnung und -optimierung
erforderlich, der wiederum FEM-Berechnungen
folgen. Diese Vorgehensweise ist bis zur endgültigen
optimierten Form zu wiederholen.
Um eine Grundkörperform zu schaffen, in der unter
Fliehkraftbelastung ein annähernd konstanter möglichst
niedriger Vergleichsspannungszustand herrscht,
realisiert bei gleichzeitig geringst möglicher Radialdehnung
und Masse, findet ein Iterationsverfahren
Anwendung.
Dafür werden ausgehend von einem im Vorfeld optimierten
Flanschanschluß im Zentrum des Grundkörpers
(Teil 1), des für den Bearbeitungsfall erforderlichen
Belagprofils am Außendurchmesser und einem einfachen
konisch verlaufenden Profil dazwischen mit
an sich bekannten Berechnungsformeln in einem Iterationsverfahren
unter Variation des Profilverlaufs
Gewichts-, Spannungs- und Dehnungsberechnungen solange
durchgeführt, bis sich eine optimierte Form
ergibt (Teil 2).
Die Grundlage für die Spannungs- und Dehnungsberechnungen
bei der Grundkörperoptimierung bilden die
im folgenden beschriebenen Berechnungsformeln. Dazu
wird ausgegangen von zulässigen vereinfachenden Annahmen,
nämlich
- - Beschränkung auf Fliehkrafteinfluß, das heißt
Vernachlässigung der Belastung durch
- ○ Temperatureinfluß
- ○ Prozeßkräfte
- ○ Luftreibung
- ○ Kühlschmierstoffreibung
- ○ Antriebsmoment
- - symmetrische Scheibe mit hohem Schlankheitsgrad (2-dimensionaler Spannungszustand)
- - homogener, isotroper Werkstoff
- - linearelastisches Werkstoffverhalten
- - keine Berücksichtigung von Kerbwirkung durch Freistiche, Absätze, etc.
- - Beschränkung auf Abschätzung des Lochkranzeinflusses.
Die Variablen der Berechnungsformeln sind
r: Grundkörperradius
b: Grundkörperbreite
u: Radialdehnung
dr: infinitesimal kleiner Radiuswert
db: infinitesimal kleiner Breitenwert
du: infinitesimal kleiner Dehnungswert
dϕ: infinitesimal kleiner Winkelwert
ρ: Dichte des Grundkörperwerkstoffes
ra: Grundkörperinnenradius
ri: Grundkörperaußenradius
ω: Winkelgeschwindigkeit
E: Elastizitäts-Modul
σr: Radialspannung
σt: Tangentialspannung
σv: Vergleichsspannung
εr: relative Radialdehnung
εt: relative Tangentialdehnung
σ(A): Spannung im Punkt "A"
σ(B): Spannung im Punkt "B"
σ₁: Hauptspannung "1"
σ₂: Hauptspannung "2"
σ₃: Hauptspannung "3"
σr · p: partikuläre Lösung für die Radialspannung
σr · h: homogene Lösung für die Radialspannung
σt · p: partikuläre Lösung für die Tangentialspannung
σt · h: homogene Lösung für die Tangentialspannung
A₁: Integrationskonstante
A₂: Integrationskonstante
d: Bohrungsdurchmesser
rLK: Lochkreisradius
t: Lochteilung
Kt: Überhöhungsfaktor (Tangentialrichtung)
Kr: Überhöhungsfaktor (Radialrichtung)
α: interne Rechengrößen
β: interne Rechengrößen
q: interne Rechengrößen
R: interne Rechengrößen
i: Iterationsindex (Laufvariable)
b: Grundkörperbreite
u: Radialdehnung
dr: infinitesimal kleiner Radiuswert
db: infinitesimal kleiner Breitenwert
du: infinitesimal kleiner Dehnungswert
dϕ: infinitesimal kleiner Winkelwert
ρ: Dichte des Grundkörperwerkstoffes
ra: Grundkörperinnenradius
ri: Grundkörperaußenradius
ω: Winkelgeschwindigkeit
E: Elastizitäts-Modul
σr: Radialspannung
σt: Tangentialspannung
σv: Vergleichsspannung
εr: relative Radialdehnung
εt: relative Tangentialdehnung
σ(A): Spannung im Punkt "A"
σ(B): Spannung im Punkt "B"
σ₁: Hauptspannung "1"
σ₂: Hauptspannung "2"
σ₃: Hauptspannung "3"
σr · p: partikuläre Lösung für die Radialspannung
σr · h: homogene Lösung für die Radialspannung
σt · p: partikuläre Lösung für die Tangentialspannung
σt · h: homogene Lösung für die Tangentialspannung
A₁: Integrationskonstante
A₂: Integrationskonstante
d: Bohrungsdurchmesser
rLK: Lochkreisradius
t: Lochteilung
Kt: Überhöhungsfaktor (Tangentialrichtung)
Kr: Überhöhungsfaktor (Radialrichtung)
α: interne Rechengrößen
β: interne Rechengrößen
q: interne Rechengrößen
R: interne Rechengrößen
i: Iterationsindex (Laufvariable)
Die Ausgangsgleichungen für die Berechnungen sind aus
2-dimensionalen Gleichgewichtsbetrachtungen der Kräfte in
einem mitrotierenden Bezugssystem entwickelt. Dabei
wird die Fliehkraft als eine auf ein infinitesimal kleines
Element aus der Scheibe wirkende Volumkraft aufgefaßt. Daraus
läßt sich das quasistatische Gleichgewicht formulieren
d(σr · r · b · dϕ) - σt · b · dr · dϕ + ρ · ω² · r² · b · dr · dϕ = 0 (1-1)
d(σr · r · b · dϕ) - σt · b · dr · dϕ + ρ · ω² · r² · b · dr · dϕ = 0 (1-1)
bzw. umgeformt
Die aus dem Hooke′schen Gesetz gewonnenen Spannungs-Dehnungs-
Beziehungen
lassen sich durch Elimination der Radialdehnung u in der folgenden
Form zusammenfassen:
Die Gleichungen (1-1) und (1-5) bilden zusammen ein System
von 2 linearen gekoppelten Differentialgleichungen für die
beiden Variablen Radial- und Tangentialspannungen.
Sind diese bekannt, so kann aus Gleichung (1-4) unmittelbar
die Radialdehnung errechnet werden:
Somit sind alle Variablen eindeutig bestimmt.
Aufbauend auf diese Gleichungen lassen sich
für verschiedene Scheibenprofile
(b(r)) die Spannungsberechnungen durchführen.
Für eine Planscheibe (Scheibe konstanter Dicke)
von konstanter Dicke vereinfachen sich die Differentialgleichungen,
und das System ist geschlossen lösbar:
Die allgemeine Lösung lautet:
mit:
Die Integrationskonstanten A₁ und A₂ lassen sich aus den
Randbedingungen ermitteln.
Für die Vollscheibe (Grundkörper ohne Zentralbohrung) gilt:
- - Für den Radius r=0 müssen Radial- und Tangentialspannungen den gleichen Wert besitzen, da sie nicht mehr zu unterscheiden sind.
- - Die Radialspannung am Außenrand muß gleich Null sein, da dort keine äußeren Kräfte angreifen.
Daraus folgt für die Integrationskonstanten:
A₁ = α · ω² · ra² (1-13)
A₂ = 0 (1-14)
und als Lösung für die Spannungen:
sr = α · ω² · (ra² - r²) (1-15)
σt = ω² · (α · ra² - β · r²) (1-16)
Für die gelochte Scheibe (mit Zentralbohrung) gilt:
- - Die Radialspannung am Innenrand entspricht der von außen aufgebrachten Belastung. Diese ist im Normalfall gleich Null, entspricht aber im Falle einer Scheibe mit Preßpassung der im Betriebszustand verbleibenden Restpreßspannung (σiB<0).
- - Analog zur Vollscheibe muß die Radialspannung am Außenrand zu Null werden.
Dies ergibt für die Integrationskonstanten:
und als Lösung für die Spannungen:
Für eine Scheibe mit beliebigem Profil (frei wählbarem Breitenverlauf)
wird für die Berechnung ein Verfahren eingesetzt,
wobei dem die Scheibe durch eine Folge von Ringen konstanter
Dicke ersetzt wird. Als Schrittweite für die Differenz
zwischen Außen- und Innenradius der Ringelemente wurde der
konstante Wert 0,1 mm gewählt; d. h. die Form einer
Vollscheibe mit einem Außendurchmesser von 350 mm wird durch
1750 Ringe approximiert.
Dieses Verfahren behandelt jede ringförmige Teilscheibe als
fliehkraftbelastete gelochte Planscheibe, für die dann auch
die entsprechenden Spannungs-Dehnungs-Beziehungen (1-9, 10,
11, 12) gelten. Die Integrationskonstanten A₁ und A₂ sind dabei
von Teilscheibe zu Teilscheibe verschieden und resultieren
aus Stetigkeits- und Zusammenhangsbedingungen mit
den benachbarten Teilscheiben.
So folgt aus einem Kräftegleichgewicht für die Kontaktstelle
zweier Teilscheiben, daß die Radialkraft sprunglos übertragen
werden muß. Unter Beachtung der zusätzlichen Volumkraft ergibt
dies:
b · σr = (b + Δb) · (σr + Δ(σr + α · ω² · r²)) (1-21)
bzw. umgeformt:
Damit die beiden Teilscheiben an der Sprungstelle nicht ihren
Zusammenhang verlieren, muß außerdem die radiale Verschiebung
u am gemeinsamen Rand für beide gleich groß sein. Diese Bedingung,
eingesetzt in Gleichung (1-6), ergibt, wieder unter
Beachtung der zusätzlichen Volumkraft:
Δ(σt + β · ω² · r²) = ν · Δ(σr + α · ω² · r²) (1-23)
Für die Änderung der Radial- und Tangentialspannungswerte
zwischen Innenradius und Außenradius einer Teilscheibe ergibt
sich, durch Einsetzen des Innen- und Außenradius in Gleichung
(1-9, 10) und Eliminieren der Integrationskonstanten A₁, A₂,
die Rechenvorschrift
(σr + α · ω² · r²)i+1 = (σr + α · ω² · r²)i + q (1-24)
(σt + β · ω² · r²)i+1 = (σt + β · ω² · r²)i - q (1-25)
mit:
und:
R = (σr + α · ω² · r²)i - (σt + β · ω² · r²)i (1-27)
Die Gleichungen (1-22, 23, 24, 25, 26, 27) reichen zur Ermittlung
der Spannungen in einer beliebigen Scheibe völlig aus.
Sind zum Beispiel die Spannungen im Innenradius der beliebigen
Scheibe bekannt, so sind mit Hilfe der Gleichungen (1-24,
25, 26, 27) die Spannungswerte am Außenrand der ersten Teilscheibe
zu ermitteln. Durch Verwendung der Zusammenhangs- und
Stetigkeitsbedingungen zwischen den Teilscheiben (1-22, 23)
ist es in einem 2. Schritt möglich, die Spannungswerte am
Innenrand der nächsten Teilscheibe zu berechnen. Dieses
kombinierte Vorgehen ist bis zum Außenrand der Scheibe
für jedes einzelne Ringelement zu wiederholen.
Das Problem, daß am Anfang der Rechnung von keinem Punkt
sowohl Radial- als auch Tangentialspannung als Ausgangspunkt
der Berechnung bekannt sind, wird wie folgt gelöst. Die Randbedingungen
entsprechen den für die Planscheibe beschriebenen.
Sie enthalten jeweils ein Kriterium für den Innenradius
(bzw. Mittelpunkt) und ein Kriterium für den Außenradius der rotierenden
Scheibe. Das möglich, jedoch numerisch aufwendige
Lösen der Integrationskonstanten aller Ringe in geschlossener
Matrizenform wird durch eine Überlagerung zweier Belastungsfälle
umgangen. Im "partikulären" Berechnungsteil wird ein
Spannungsverlauf in einer rotierenden Scheibe ermittelt, der
aber erst durch entsprechende Überlagerung mit der Lösung der
"homogenen" Differentialgleichung (stehende Scheibe) den gegebenen
Randbedingungen genügt.
Der Berechnungsgang erfolgt bei einer Vollscheibe, d. h. einem
Grundkörper ohne zentraler Bohrung, von innen nach außen.
Ausgehend von einem jeweils beliebigen, aber identischem
Radial- und Tangentialspannungswert im Mittelpunkt der
Scheibe (2. Randbedingung) wird der "homogene" und der "partikuläre"
Teil berechnet. Die Gesamtlösung besteht aus
einer Überlagerung der beiden Spannungszustände, wobei die
Werte des 2. Spannungszustandes mit einer Konstanten multipliziert
werden. Die Konstante wird durch die 1. Randbedingung
festgelegt.
Für den Außenrand der Scheibe muß gelten:
0 = σr · p(ra) + δ · σr · h(ra) (1-28)
Daraus folgt für die Konstante:
Durch die Wahl jeweils identischer Radial- und Tangentialspannungen
als Ausgangspunkt der Berechnung ist auch hierbei
die 2. Randbedingung für beliebige Werte der Konstanten δ
weiterhin erfüllt.
Damit sind die Radial- und Tangentialspannung in jedem Punkt
der Scheibe berechenbar, woraus sich direkt mit Hilfe
von Gleichung (1-6) die Dehnung berechnen läßt. Die Überlagerung
der beiden Spannungen zu einem vergleichbaren Spannungswert,
der Vergleichsspannung, wird nach folgender Beschreibung
durchgeführt.
Die Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) vergleicht die zum
Beginn von Gleitungen notwendigen Arbeiten der verschiedenen
Belastungsarten miteinander und liefert daraus die Vergleichsspannung.
Sie gilt bei schwingender Beanspruchung und
für Werkstoffe, die bei Auftreten plastischer Verformung versagen.
Für die Vergleichsspannung folgt dann nach Mises (GEH):
Da in mathematischen Modellen nur Radial- und Tangentialspannungen
(keine Schubspannungen) auftreten, sind diese
gleichzeitig 2 Normalspannungen. Die 3. Normalspannung (axiale
Richtung) ist in allen Fällen gleich 0 N/mm² (2achsiger
Spannungszustand). Somit ergibt sich für jeden Punkt auf dem
Radius der fliehkraftbelastenden Scheibe eine Vergleichsspannung
zu:
Für die Abschätzung der Spannungsüberhöhungen an den Bohrungswandungen
eines Lochkranzes wird
als Antriebsspindel/Scheiben-Verbindungselement der
Lochkranz eingesetzt, der in erster Linie eine durch
Kerbwirkung bedingte lokale Spannungsüberhöhung in der Nähe
der Bohrung bewirkt.
Mit einer Näherungslösung
lassen sich die an den Lochrändern auftretenden
Spannungsspitzen ermitteln.
Hat das Zentrum des Loches den Abstand rLK von der Drehachse
und entsprechen σr und σt den Radial- und Tangentialspannungen,
die in rLK ohne Löcher auftreten würden, so sind die
Spannungen in den Punkten A (Lochrand in radialer Richtung)
und B (Lochrand in tangentialer Richtung) mit guter Näherung
gegeben durch
σ(A) = Kt · σt - σr (1-32)
σ(B) = Kr · σr - σt (1-33)
wobei Kr und Kt jeweils (nicht analytische) Funktionen des
Verhältnisses Lochteilung zu Bohrungsdurchmesser t/d sind. Kr
und Kt streben für sehr weit auseinanderliegende Bohrungen
auf dem gemeinsamen Wert Kr=Kt=3. Somit entspricht, bei
zweidimensionaler gleichstarker Zugbeanspruchung, die Vergleichsspannung
im Lochrand der vom Nachbarn praktisch unbeeinflußten
Bohrung dem doppelten des ursprünglichen Wertes
analog zu der fliehkraftbelasteten Scheibe mit zentralem Innenloch.
Bei Einsatz des erfindungsgemäßen Iterationsverfahrens wird
in einem ersten Teil, ausgehend vom geforderten
Außendurchmesser des Grundkörpers, eine Optimierung der
Anschlußflanschform vorgenommen. Auf der Grundlage einer
Scheibe einfacher Form (einfach konische Scheibe) ohne Bohrung
im Zentrum, sind hierbei die Anzahl der Anschlußbohrungen,
deren Durchmesser und der Lochkreisdurchmesser, sowie
der Anschlußflanschdurchmesser die zu variierenden Größen.
Die Spannungs- und Dehnungsberechnungen starten mit frei
wählbaren sinnvollen Anfangswerten für die zu variierenden
Größen und den vorgegebenen Maßen für den Außendurchmesser.
Mit Hilfe der Gleichungen (1-21 bis 1-29) ergibt sich als Ergebnis
der Berechnungen der Spannungs- und Dehnungsverlauf in
Abhängigkeit vom Radius. Über Summation volumetrischer Berechnungen
ergibt sich die Gesamtmasse des Grundkörpers. Mit
den Radial- und Tangentialspannungswerten wird mittels der
Gleichungen (1-32, 33) die Spannungsüberhöhung in den Punkten
A und B am Lochrand berechnet. Die berechneten Größen sind
entsprechend den Zielvorgaben zu bewerten. Bei ungenügendem
Ergebnis sind die zu variierenden Größen, Anzahl der Bohrungen,
Lochkreisdurchmesser, Bohrungsdurchmesser und Flanschdurchmesser
sinnvoll zu ändern und ein erneuter Rechenlauf ist zu
starten. Dieser Vorgang ist solange zu wiederholen, bis ein
nahezu konstanter Vergleichsspannungsverlauf über dem Radius
im Bereich des Anschlußflansches und eine minimal mögliche
Spannungsüberhöhung an den Lochrändern vorhanden ist.
Mit dem nach dieser Iterationsvorschrift optimierten Anschlußflansch
und den Vorgaben für das Belagprofil wird im
zweiten Teil die Scheibenform zwischen äußerem Belagprofil
und innenliegendem Anschlußflansch optimiert.
Als Ansatz wird ein einfacher Verlauf gewählt (z. B. gerade
Verbindung zwischen Flansch und Belagprofil). Mit diesen
Daten für den Breitenverlauf in radialer Richtung wird ein
erster Berechnungslauf mit Hilfe der Gleichungen )1-21 bis 1-29)
durchgeführt. Aus den sich ergebenden Werten für den
Radial- und Tangentialspannungsverlauf in Abhängigkeit vom
Radius wird mit Gleichung (1-6) der Dehnungsverlauf berechnet.
Zur Ermittlung des Vergleichsspannungsverlaufs wird Gleichung
(1-31) verwendet. Die Summation volumetrischer Berechnungen
ergibt die Gesamtmasse des Grundkörpers.
Aus einer Analyse der Berechnungsergebnisse ergeben sich die
erforderlichen Änderungen im Breitenverlauf des Grundkörpers.
Mit dem neuen Breitenverlauf bi+1(r) wird ein zweiter Berechnungslauf
durchgeführt, dessen Ergebnisse wieder eine Änderung
des aktuellen Breitenverlaufs ergeben und ein nächster
Berechnungslauf gestartet. Dieser Iterationsvorgang
ist solange zu wiederholen, bis die Ergebnisgrößen
ein Optimum entsprechend den Anforderungen darstellen.
Der mit Hilfe dieses Iterationsverfahrens ermittelte
optimale Verlauf der Hochgeschwindigkeits-Schleifscheibengrundkörperbreite
b(r) läßt sich als Datensatz vorhalten,
der unmittelbar für eine Fertigung verwendbar ist. In
der Praxis wirkt sich derartiges als besonders vorteilhaft
aus, da für Schleifscheiben verschiedener Durchmesser
und unterschiedlicher Materialien von vornherein
Daten zur Verfügung gestellt werden können, die gespeichert
sind, so daß zu bestimmten Einflußgrößen optimale
Profile für die Herstellung zur Verfügung gestellt werden
können. Mit anderen Worten lassen sich für eine Vielzahl
von Scheiben unterschiedlicher Materialien sowie Durchmessers
und Belagprofile optimale Dimensionen zur Verfügung
stellen, die vorher berechnet sind. Die Herstellung
von Schleifscheiben verschiedener Art kann danach über
sogenannte NC-Maschinen erfolgen durch Eingabe der entsprechenden
Datensätze für eine automatische Fertigung
bzw. Steuerung der Bearbeitungsmaschinen.
Wenn vorstehend allgemein gesprochen ist von Schleifscheiben,
so ist dies nicht im engen Sinne zu verstehen.
Die Erfindung kann vielmehr auch Anwendung finden bei
gleichartigen Werkzeugen wie beispielsweise Trennwerkzeugen
oder Abrichtwerkzeugen.
Ausführungsbeispiele der Erfindung sind nachstehend
unter Bezugnahme auf eine Zeichnung erläutert. In
der Zeichnung zeigt:
Fig. 1 eine Hochgeschwindigkeitsschleifscheibe
nach der Erfindung im Querschnitt;
Fig. 2 den Spannungsverlauf einer bekannten
Schleifscheibe mit Zentralbohrung;
Fig. 3 den Spannungsverlauf einer erfindungsgemäßen
Schleifscheibe;
Fig. 4 rechnerische Bezugsgrößen für eine erfindungsgemäße
Schleifscheibe in schematischer Darstellung;
Fig. 5 eine prinzipielle Darstellung des Verfahrens
der Gestaltung des Grundkörpers;
Fig. 6 ein Diagramm der Spannungs- und Dehnungsverläufe
einer bekannten Schleifscheibe im Vergleich
zu einer erfindungsgemäßen Schleifscheibe;
Fig. 7 Diagramme vom Spannungs- und Dehnungsverlauf
zweier erfindungsgemäßer Ausführungsformen;
Fig. 8 ein Profil vom Grundkörper einer Schleifscheibe;
Fig. 9 ein Profil vom Grundkörper einer Schleifscheibe;
Fig. 10 ein weiteres Profil vom Grundkörper einer
Schleifscheibe und
Fig. 11 das optimierte Profil einer Schleifscheibe.
Die in Fig. 1 wiedergegebene Schleifscheibe 1 besteht
aus einem Grundkörper, der sich zusammensetzt
aus einem Anschlußflansch 2 sowie einer Scheibe 3
und einem Belagprofilkörper 4, der einen galvanisch
gebundenen Schleifbelag 5 trägt. Für die Halterung
der Schleifscheibe 1 ist der Anschlußflansch 2 mit
sechs Bohrungen 6 versehen, die auf einem Lochkranz
liegen, der zentrisch zu der Drehachse 7 angeordnet
ist. Diese Bohrungen 6 sind mit einer Durchmessertoleranz
versehen, um eine radiale Zentrierung der
Schleifscheibe vornehmen zu können. Der Anschlußflansch
2 ist weiterhin mit einer planen Anschlagfläche
8 sowie einer radialen Anschlagfläche 9 versehen.
Das Belagprofil 4 ist mit einer Hinterschneidung 10
versehen und besitzt eine Breite von beispielsweise
5 mm bei einem Scheibendurchmesser von etwa 250 mm.
Durch den Hinterschnitt 10 kann die Scheibe 3, die
sich in radialer Richtung verjüngt, verhältnismäßig
dünn gehalten sein, so daß über einen weiten Radiusbereich
die nachstehend noch näher erläuterte Vergleichsspannung
auf einem niedrigen Niveau gehalten
werden kann.
Der Grundkörper besteht aus einer speziellen Aluminiumlegierung
und ist einschichtig galvanisch mit
kubisch kristallinem Bornitrid belegt.
Der Verlauf der Kurve K des Profils der Scheibe 3
ist derart gewählt, daß eine nur äußerst geringe
Spannung bei gleichmäßigem Spannungsverlauf in radialer
Richtung und eine minimale Dehnung der
Scheibe bei sehr hohen Umfangsgeschwindigkeiten wie
500 m/s auftreten.
Bei einer bekannten Planschleifscheibe mit einer
zentralen Bohrung 11 entsprechend Fig. 2 verläuft
die Tangentialspannung entsprechend der Kurve A und
hat ihre maximale Größe Z¹ am Rand der zentrisch angeordneten
Bohrung. Die Radialspannung verläuft entsprechend
der Kurve B. Sie ist am Rand der zentrischen
Bohrung 11 null und am Außenrand der Scheibe,
wobei das Maximum etwa in der Mitte der Scheibe
liegt. Die Tangentialspannung entsprechend Kurve A
und die Radialspannung entsprechend Kurve B, die
sich auch bezeichnen lassen als σT und σR
lassen sich unter Berücksichtigung bekannter Formeln
rechnerisch gemeinsam darstellen als sogenannte Vergleichsspannung
σV, deren Verlauf die Kurve C wiedergibt.
Völlig anders liegen die Verhältnisse bei einer erfindungsgemäßen
Schleifscheibe entsprechend Fig. 3,
die unter Fortlassung einer Zentralbohrung 11
insgesamt sechs Bohrungen 6 aufweist, welche auf einem
zentrisch angeordneten Teilkreis 12 liegen. Bei
einer derartigen Schleifscheibe 1 ist die Tangentialspannung
σT im Zentrum gleich null und steigt
nach außen hin fortlaufend an, während die Radialspannung
entsprechend der Kurve B von der Mitte der
Scheibe ausgehend nach außen abfällt, so daß sich
eine Vergleichsspannung entsprechend der Kurve C ergibt,
die über dem Radius der Scheibe verhältnismäßig
niedrig und flach verläuft, so daß ihr Höchstwert
Z2 erheblich unter dem von Z1 einer bekannten
Scheibe gemäß Fig. 2 liegt. Dieser günstige Verlauf
der Vergleichsspannung und damit einer minimalen
bzw. optimalen Dehnung unter Berücksichtigung der
beim Hochgeschwindigkeitsschleifen auftretenden Massen-
und Zentrifugalkräfte ergibt sich aus der besonderen
Gestaltung des Anschlußflansches 2 der
Schleifscheibe und dem Scheibenbreitenverlauf, wobei
unter Breite auch die sogenannte Dicke der Scheibe
verstanden werden kann.
Für die Optimierung in der Gestaltung des Anschlußflansches
2 ist die Anzahl der Anschlußbohrungen 6
maßgeblich sowie ihr Durchmesser und der Lochkreisdurchmesser
rlk und schließlich der Durchmesser des
Anschlußflansches, der aus Fig. 1 ersichtlich ist.
Entsprechend den vorstehend unter 1-32 und 1-33
beschriebenen Formeln sind für die Berechnungen die
Spannungen in den Punkten A, das heißt am Lochrand
in radialer Richtung und B bzw. am Lochrand in tangentialer
Richtung zu berücksichtigen, die zur näheren
Erläuterung vergrößert zu der Fig. 4 wiedergegeben
sind.
Die in Fig. 5 wiedergegebene Übersicht über den Ablauf
des Iterationsverfahrens zur Bestimmung einer
optimalen Grundkörperform gibt in der linken Kolonne
die Eingangsparameter wieder, die vorgegeben sind
durch die Anforderungen, die an die Schleifscheibe
bzw. ihr Profil gestellt werden. Weiterhin ergeben
sich für den Zweck des Einsatzes bestimmte Vorgaben.
Diese sind in der zweiten Kolonne unter "Eingaben"
bespielhaft genannt. In der dritten Kolonne ist das
mathematische Modell angegeben, mit dem die Eingaben
verarbeitet werden bzw. sind Voraussetzungen für die
Gültigkeit des mathematischen Modells genannt. In
der vierten Kolonne sind diejenigen Werte aufgeführt,
die als sogenannte Zielparameter anzusehen
sind und zu optimieren sind. Damit wird ein Berechnungsvorgang
aufgrund von Vorgaben gestartet, dessen
Ausgangswerte in den Ausgaben unter Berücksichtigung
der angestrebten Ziele bewertet werden für eine weitere
Beeinflussung der Eingabeparameter, in dem sie
entsprechend dem unten nach links ausgerichteten
Pfeil wieder eingegeben werden, um durch erneute Beeinflussung
der Eingabeparameter sich in einem weiteren
Berechnungslauf den optimalen Ergebnissen zu
nähern. Derartiges wird so häufig wiederholt, bis
entsprechend der vorgegebenen Zielsetzung die optimalen
Ergebnisse erreicht sind.
Die Fig. 6 zeigt einen Vergleich des Spannungs- und
Dehnungsverlaufs zwischen einer bekannten Schleifscheibe
mit einer Zentralbohrung einerseits und einer
erfindungsgemäßen Schleifscheibe andererseits.
Rechnerisch wurde davon ausgegangen, daß beide miteinander
verglichenen Schleifscheiben einen Durchmesser
von 350 mm aufweisen, wobei die bekannte
Scheibe mit einem Innenloch von 150 mm Durchmesser
versehen ist und in beiden Fällen bei einer Drehzahl
von 27 000/m eine Schnittgeschwindigkeit vorliegt
von 500 m/s.
Während bei der bekannten Schleifscheibe im Material
extrem große Vergleichsspannungsgradienten entsprechend
der Kurve C1 über den Radius auftreten würden,
wird bei dem erfindungsgemäßen Grundkörper mit seiner
optimierten Form ein annähernd konstanter Vergleichsspannungsverlauf
in niedriger Höhe entsprechend
der Kurve C2 über einen weiten Radiusbereich
erreicht, wobei auch die Radialdehnung entsprechend
den Kurven B1 für die vorbekannte Scheibe und
B2 für die erfindungsgemäße Scheibe voneinander erheblich
abweichen.
Die Fig. 7 gibt die Spannungs- und Dehnungsverläufe
über dem Radius von 2 verschiedenen erfindungsgemäßen
Ausführungsformen wieder. In dem einen
Fall ist die Scheibe 3 durch eine einzige Abstufung
mit dem Radius 100 sich in radialer Richtung verjüngend
ausgebildet. Dazu ergibt sich eine Radialspannung
B³ und eine Vergleichsspannung C³, wobei die
Vergleichsspannung C³ einen Sprung aufweist im Bereich
der sprungartigen Profiländerung. Die Scheibe
3′ weist einen optimierten Scheibenbreitenverlauf
auf, so daß sich Kurven B3′ und C3′ ergeben, deren
maximale Werte erheblich niedriger liegen, wobei
jedoch zu beachten ist, daß in beiden Fällen die Radialspannungen
entsprechend den B-Kurven von null
ausgehend verhältnismäßig niedrig sind im Vergleich
zu bekannten Schleifscheiben, die ein zentral angeordnetes
Loch aufweisen.
Die Fig. 8, 9 und 10 zeigen Profilquerschnitte
mit mehreren stufenartigen Verjüngungen der Scheibe,
die zu unterschiedlichen Kurvengestaltungen für den
Profilverlauf führen.
Bei der Ausführung nach Fig. 8 sind aufeinanderfolgend
vier Stufen von gleicher radialer Breite vorgesehen,
die zu gleich breiten Ringflächen führen, sowie
eine daran anschließende verbreiterte Ringfläche.
Die Kurve K8 verläuft deshalb über den ersten
Abschnitt linear und hat lediglich einen Knick zum
zweite Abschnitt.
Bei der Ausführung nach Fig. 9 sind die Stufen in
unterschiedlichem radialen Abstand angeordnet, so
daß die Kurve K9 aus vier sich zusammensetzenden linearen
Abschnitten von fortlaufend geringerer Neigung
zusammensetzt.
Die Ausführung nach Fig. 10 zeigt eine größere Anzahl
von kleineren Stufen. Dadurch ist der Kurvenverlauf
K10 nahezu bogenförmig.
Die Schleifscheibe entsprechend der Fig. 11 zeigt
einen Profilquerschnitt der Scheibe, der als optimal
angesehen werden kann. Bei ihm flacht sich die Kurve
K11 radial fortlaufend ab. Ein derartiger Kurvenverlauf
läßt sich ermitteln, wenn der Berechnung eine
hohe Anzahl von Scheibenringen, das heißt von Scheibenringen
mit einer geringen Dicke dr¹ zugrundegelegt
wird und eine wiederholte Korrektur der Breite
b1.
Claims (7)
1. Schleifscheibe für Hochgeschwindigkeiten mit einem
Anschlußflansch, der durch eine Scheibe mit
einem den Schleifbelag tragenden Belagprofil verbunden
ist, dadurch gekennzeichnet, daß der Anschlußflansch
(2) anstelle einer Zentralbohrung
für die Halterung mit Bohrungen (6) versehen ist,
die auf einem zentrisch angeordneten Lochkreis
(12) liegen und das Profil der Scheibe (3) sich
in radialer Richtung verjüngend durch eine definierte
Breitenänderung in bezug auf einen niedrigen
Spannungsverlauf und minimale Dehnung ausgebildet
ist.
2. Schleifscheibe nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß die Breite (b) der Scheibe (3) sich
in radialer Richtung kurvenförmig verjüngt.
3. Schleifscheibe nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß die Breite der Scheibe (3) sich
in radialer Richtung stufenförmig verjüngt.
4. Schleifscheibe nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß der Grundkörper (2, 3, 4) aus Aluminium
besteht und der Schleifbelag (5) galvanisch
gebunden ist.
5. Schleifscheibe nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß der Durchmesser des Anschlußflansches
(2) sowie die Anzahl und Größe der Bohrungen
(6) und ihres Lochkreisdurchmessers (12) gemeinsam
auf einen niedrigen Spannungsverlauf und
minimale Dehnung ausgerichtet sind.
6. Verfahren zum Ausbilden des Grundkörpers einer
Hochgeschwindigkeitsschleifscheibe, die aus einem
Anschlußflansch besteht sowie einer Scheibe, welche
diesen mit einem Belagprofil verbindet, dadurch
gekennzeichnet, daß der Verlauf (K) der
Scheibenbreite in radialer Richtung rechnerisch
im Iterationsverfahren ermittelt wird, in dem von
einer vereinfachten Form ausgehend das Profil der
Scheibe in beliebig kleine Ringe unterschiedlicher
Breite unterteilt wird und die Spannungs-
und Dehnungsverläufe berechnet werden und
schrittweise die Breite der Ringe in Wiederholung
so häufig verändert wird, bis die geringstmögliche
Spannung und Dehnung erreicht wird.
7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet,
daß in einem ersten Berechnungsgang in Abhängigkeit
vom Außendurchmesser des Grundkörpers
die Form des Anschlußflansches berechnet wird unter
Berücksichtigung der Anzahl der Anschlußbohrungen
und ihres Lochkreisdurchmessers und in einem
zweiten Berechnungsgang der Verlauf der
Breite der Scheibe in radialer Richtung zwischen
dem Anschlußflansch und dem Belagprofil ermittelt
wird.
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