Technisches Gebiet
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In der Bildtechnik wie der computergestützten axialen
Tomographie (CAT oder CT) ist es erforderlich, Bilder mit
hoher räumlicher Auflösung wiederaufzubauen, um kleine
Objekte deutlich abzubilden. Die vorliegende Erfindung
betrifft ein Gerät zur Vergrößerung der
Raumfrequenzkomponenten (sog. Raumfrequenzmultiplikation), wie es für
eine derartige hochauflösende Bildverarbeitung benötigt
wird, indem dazu die Fouriertransformation genutzt wird.
Stand der Technik
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Bei Wiederaufbau eines hochauflösenden Bildes durch die
computergestützte axiale Tomographie wird mit Hilfe der
Fouriertransformation eine Faltung ausgeführt. Während
dieses Prozesses wird eine gewünschte Anzahl von Nullen in
eine durch Abtasten erhaltene Datenmatrix eingefügt. Danach
wird die Fourier-Transformierte der vergrößerten Datenmenge
zur Vergrößerung der Raumfrequenzkomponenten herangezogen.
So wird beispielsweise ein Signal abgetastet, was zu N
Werten a&sub0;, a&sub1;, a&sub2;, . . . , aN-1 führt, wie in der Fig. 2
dargestellt. Nunmehr werden jedem Wert zwei Nullen hinzugefügt,
wodurch sich die Anzahl der Werte auf 3N erhöht.
Anschließend werden dieser Wertematrix N Nullen hinzugefügt, wodurch
4N Werte erhalten werden. Danach wird die
Fourier-Transformierte der 4N Werte zur Multiplikation der Nyquist-Rate mit
dem Faktor drei herangezogen.
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Es sei angenommen, daß N = 1024. Es ist dann erforderlich,
1024 Nullen zu 3N (= 3072) Werten hinzuzufügen. Danach
müssen die reellen Zahlen, die insgesamt N' (= 4096)
betragen, einer Fourier-Transformation unterworfen werden.
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Diese mathematische Operation ist sehr zeitaufwendig. Es
sein nun angenommen, daß T diejenige Zeit ist, die zur
Fourier-Transformation der 1024 reellen Zahlen benötigt
wird. Wird die Anzahl der Datenelemente um einen Faktor 4
vergrößert und nimmt die Anzahl der verarbeiteten Schleifen
um einen Faktor 1,2 zu, so erhöht sich der notwendige
Zeitaufwand für die mathematische Operation um einen Faktor von
ungefähr 5, da 4·1,2 T = 4,8 T. In Wirklichkeit wird davon
ausgegangen, daß die Fourier-Transformation von 2048
komplexen Zahlen die Operationsdauer verkürzt, allerdings bisher
noch nicht nachhaltig genug.
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Wird eine Raumfrequenz mit einem Faktor vier multipliziert,
werden zu jedem der durch Abtasten abgeleiteten N Werte a&sub0;,
a&sub1;, a&sub2;, . . . , aN-1 3 Nullen hinzugefügt, wie in der Fig. 3
dargestellt. Danach erfolgt die Fourier-Transformation der
resultierenden 4N Werte. Aus diesem Grund ist die für die
Transformation erforderliche Zeit gleich lang wie für den
Fall, in dem die Raumfrequenz mit einem Faktor drei
multipliziert wird.
Offenbarung der Erfindung
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Es ist eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Gerät
bereitzustellen, das in der Lage ist, Raumfrequenzen mit
Hilfe der Fourier-Transformation zu multiplizieren, ohne daß
damit eine Zunahme der Operationsdauer verbunden ist.
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Gemäß der Erfindung werden durch Abtasten erhaltene Daten in
einem Speicher (MM) gespeichert. Die Fourier-Transformation
der Daten wird mittels einer
Fourier-Transformationseinrichtung (ADD, NUL, HM1, HM2, TBM) vorgenommen, ohne daß für die
Daten Nullen eingeführt werden. Das Ergebnis wird
gleichzeitig in eine Vielzahl von Speichern (M1, M2, M3, M4) in
einander entsprechende relative Adressen ausgeschrieben. Durch
diese Speicher (M1-M4) ist eine Reihe von Adressen
vorgegeben.
Kurze Beschreibung der Zeichnungen
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Fig. 1 ist ein Blockdiagramm eines Geräts gemäß der
Erfindung;
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Fig. 2 und 3 zeigen Matrices der während des konventionellen
Prozesses einer Fourier-Transformation
verarbeiteten Daten; und
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Fig. 4 zeigt eine von dem in der Fig. 1 dargestellten
Gerät verwendete Datenmatrix.
Bevorzugte Ausführungsform der Erfindung
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Zunächst wird die Theorie der von einem Gerät gemäß der
Erfindung durchgeführte Fourier-Transformationsoperation
beschrieben. Durch Abtasten werden N Datenelemente erhalten.
Es wird nun ein Beispiel verwendet, bei dem die maximale
Raumfrequenz durch die Fourier-Transformation um einen
Faktor m erhöht wird. Der Einfachheit halber sei angenommen,
daß N = 2γ und m = 2α, wobei γ und α ganze Zahlen sind. Die
N Datenelemente oder Werte werden in Form von a&sub0;, a&sub1;, a&sub2;,
aN-1 geschrieben. Gemäß der Fig. 3 werden Nullen
hinzugefügt, um N' = m·N = 2γ+α zu erhalten. Dies beinhaltet
die Werte b&sub0;, b&sub1;, b&sub2;, . . . , bN'-1. Hinsichtlich dieser Werte
gelten die folgenden Beziehungen:
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bmi = ai (i = 0, 1, 2, . . . , N-1)
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bmi+h = 0 (h = 1, 2, . . . , m-1)
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Die Fourier-Transformierte des Datenelements ergibt sich zu:
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wobei
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W = e-j2π/N'
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k = 0, 1, 2, . . . , N'-1
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Daraus errechnet sich
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Wm = e-j2πm/N' = e-j2π/N WN
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Somit:
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(k) = 0, 1, 2, . . . , N'-1)
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Außerdem gilt:
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Daraus folgt:
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A (k) = A (k' + hN) = A (k') (3)
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wobei
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k' = 0, 1, 2, . . . , N-1
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h = 0, 1, 2, . . . , m-1
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Die obige Formel (3) zeigt, daß die Matrix der N' durch die
Fourier-Transformation abgeleiteten Datenelemente
wiederkehrende Fourier-Transformierte der N Datenelemente a&sub0;, a&sub1;, a&sub2;,
aN-1 enthält. Aus diesem Grund wird die
Fourier-Transformation A (K) (k = 0, 1, 2, . . . , N-1) der N Datenelemente
a&sub0;, a&sub1;, a&sub2;, . . . , aN-1 herangezogen. Das Resultat wird
wiederholt gemäß der Formel (3) verwendet, vorausgesetzt, die
Bedingung N ≤ k ≤ N'-1 ist erfüllt. Das Ergebnis ist gleich
demjenigen der Fourier-Transformation der N' Datenelemente
b&sub0;, b&sub1;, b&sub2;&sub1; . . . , bN'-1. Dies bedeutet, daß nur die Fourier-
Transformierte von N Datenelementen anstatt von m·N
Datenelementen heranzuziehen ist. Das Gerät gemäß der
vorliegenden Erfindung arbeitet nach dem obenbeschriebenen Prinzip.
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Die Fig. 1 zeigt ein Gerät gemäß der vorliegenden Erfindung.
Das Gerät multipliziert die Raumfrequenz mit einem Faktor
vier, d. h. m = 4. Das Gerät beinhaltet einen Speicher MM, in
dem Eingabedaten (N Datenelemente in Form reeller Zahlen,
N/2 Datenelemente in Form imaginärer Zahlen) oder im Zuge
einer Fourier-Transformationsoperation abgeleitete Daten
gespeichert sind oder aus dem Speicher ausgelesen werden.
Auf die in den z. B. als Register organisierten Speicher HM1
und HM2 gehaltenen Daten ist ein schneller Zugriff möglich.
Die aus dem Speicher MM ausgelesenen Daten werden in den
Speichern HM1 und HM2 gehalten. Ein Addierer ADD und ein
Multiplizierer- MUL dienen zur Durchführung arithmetischer
Operationen mittels schneller Fourier-Transformation (FFT).
Außerdem dienen die Speicher HM1 und HM2 als Pufferregister
zur Speicherung der Zwischenergebnisse oder der
Endergebnisse dieser arithmetischen Operationen. Daten können mit
der Mindesttaktzeit dieses Systems in die Speicher HM1 und
HM2 eingeschrieben oder daraus ausgelesen werden. Die
Adressen der Speicher HM1 und HM2, in die die Daten
eingeschrieben bzw. aus denen sie ausgelesen werden, können parallel
zum Schreiben oder Lesen der Daten modifiziert werden. Ein
Tabellenspeicher TBM speichert die Konstanten, die zur
Berechnung von W(M) mittels einer schnellen
Fourier-Transformation oder zum Entpacken eines Formats mit Konstanten von
Sinus- und Cosinus-Termen ausgelesen werden.
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Der Vektoraddierer ADD kann kontinuierlich additive oder
subtraktive Operationen an zwei Eingängen 1 und 2 mit der
Mindesttaktzeit dieses Systems ausführen. Der
Vektormultiplizierer MUL kann kontinuierlich Multiplikationsoperationen
an zwei Eingängen 1 und 2 mit der Mindesttaktzeit dieses
Systems ausführen.
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Das Ergebnis einer schnellen
Fourier-Transformationsoperation, das aus dem Speicher MM, HM1 oder HM2 ausgelesen wird,
wird in die Speicher M1, M2, M3 und M4 eingeschrieben. Durch
die Speicher M1-M4 ist eine Reihe von Adressen vorgegeben,
die Daten können jedoch in jeden dieser Speicher, unabhängig
von den anderen Speichern, eingetragen werden. Es ist auch
möglich, daß einer der Speicher M1-M4 außerdem als der
Speicher MM fungiert. Eine Steuereinrichtung CTL steuert
verschiedene arithmetische Operationen, verschiedene
Zugriffsoperationen auf die Speicher und parallele Operationen der
verschiedenen Einrichtungen für die Durchführung einer
schnellen Fourier-Transformationsoperation, Entpacken,
Frequenzmultiplikation etc.
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Eine externe Datenleitung DL dient zur Übertragung der Daten
an eine externe Einrichtung. Die Speicher MM, M1-M4, HM1,
HM2, TBM sind mit der externen Datenleitung DL über interne
Datenleitungen verbunden. Jeder der Speicher mit schnellem
Zugriff HM1 und HM2 empfängt die Ausgangssignale des
Addierers ADD sowie des Multiplizierer MUL. Ein erster Ausgang
jedes der Speicher mit schnellem Zugriff HM1 und HM2 ist mit
einer internen Datenleitung verbunden. Ein zweiter Ausgang
ist mit dem Eingang 2 des Addierers ADD verbunden. Ein
dritter Ausgang ist mit dem Eingang 1 des Addierers ADD
verbunden. Ein vierter Ausgang ist mit Eingang 2 des
Multiplizierers MUL gekoppelt. Der Ausgang des Addierers ADD ist mit
dessen eigenem Eingang 2 verbunden. Der Ausgang des
Multiplizierers MUL ist mit Eingang 1 des Addierers ADD
verbunden. Der Ausgang des Tabellenspeichers TBM ist mit dem
Eingang 1 des Multiplizierers MUL verbunden.
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Eine externe Steuerleitung CL ist mit der Steuereinrichtung
CTL verbunden und dient zur Steuerung der Datenübertragung
zu oder von einer externen Einrichtung. Die Steuersignale
werden von der Steuereinrichtung CTL über die
Steuerleitungen C1-C10
geliefert. Das schnelle Arithmetikgerät mit dem
Addierer ADD, dem Multiplizierer NUL, den Speichern HM1 und
HM2 mir schnellem Zugriff und dem Tabellenspeicher TBM zur
Durchführung einer Fourier-Transformationsoperation ist
nicht auf die Konfiguration gemäß der Fig. 1 beschränkt,
denn es kann ebenso jedes andere schnelle Arithmetikgerät
oder jede andere Arithmetikeinheit verwendet werden, sofern
damit eine schnelle Fourier-Transformationsoperation
durchführbar ist.
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Das wie oben beschriebene Gerät zieht die
Fourier-Transformierte der im Speicher MM unter der Steuerung der
Steuereinrichtung CTL abgespeicherten Datenelemente gemäß der
obenbeschriebenen Theorie heran. Die im Speicher MM
abgelegten Daten wurde durch Abtasten eines Signals erfaßt und
über die externe Datenleitung DL an den Speicher geliefert.
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Im folgenden wird ein Beispiel eines für die
Fourier-Transformation verwendeten Algorithmus beschrieben; es können
jedoch zu diesem Zweck auch verschiedene andere Algorithmen
herangezogen werden. Es liegen N Datenelemente a&sub0;, a&sub1;, a&sub2;,
a&sub3;, . . . , aN-2, aN-1 vor. Wenn diese Werte reelle Zahlen
sind, so werden sie zu N/2 Imaginärwerten d&sub0; = a&sub0; + ja&sub1;, d&sub1;
= a&sub2; + ja&sub3;, . . . , dN/2-1 = aN-2 + jaN-1 zusammengefaßt.
Danach werden diese Datenelemente einer schnellen Fourier-
Transformationsoperation unterworfen. Im folgenden sei ein
Beispiel einer schnellen Fourier-Transformation beschrieben,
bei dem die Basis 2, die Anzahl der reellen Werte N ist und
die In-Place- und DIT-Verfahren angewendet werden. In diesem
Fall wird der Algorithmus wie folgt abgewickelt.
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(a) Es sei angenommen, daß folgende Beziehungen
gelten:
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N/2 = 2γ-1, N D = N/4, h = 1
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(b) Weiterhin sei angenommen, daß K und M gleich Null
sind (K = 0; M = 0).
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(c) Die folgenden arithmetischen Operationen werden
für k = K, K + 1, K + 2, . . . , K + ND-1
durchgeführt.
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Ch(k) Ch-1 (k) + Chh-1(k + ND)·W(M) (4-1)
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Ch(k + ND) = Chh-1(k)-Ch-1(k + ND)·W(M) (4-2)
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dabei W(M) = cos{2π/(N/2)} + j·sin {2π/(N/2)}
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p = bitinvertiert (M), j² = -1
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C&sub0;(k) = Ck a2k + j : a2k+1 (4-3)
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(d) Unter der Annahme, daß M = M + 2 und K = K + 2 ND,
kehrt der Prozeß zu (c) zurück, wenn K < N/2.
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(e) Unter der Annahme, daß ND = ND/2 und h = h + 1,
kehrt der Prozeß zu (b) zurück, wenn h ≤ γ -1.
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(f) Bezüglich k = 0, 1, . . . , N/2-1 wird die Matrix
der Ausgangsdaten wie folgt normalisiert.
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Wenn q (= bitinvertiert {k} ) > k, dann
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G = Cγ-1(q)
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Cγ-1(q) = Cγ-1(k)
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Cγ-1(k) = G (4-4)
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Um auf Basis des Ergebnisses der komprimierten Fourier-
Transformation das tatsächliche Ergebnis zu erhalten, werden
folgende Operationen zum Entpacken des Formats durchgeführt.
Dabei ist zu beachten, daß
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Cγ-1(k) C(k) = CR(k) + j·CI(k)
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AR(k)
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= ½ {CR(k) + CR(N/2-k)}
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+ ½ {CI(k) + CI(N/2-k)}·cos (2πk/N)
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- ½ {CR(k)-CR(N/2-k)}·sin (2πk/N) (5-1)
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AI(k)
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= ½ {CI(k)-CI(N/2-k)}
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- ½ {CI(k)+CI(N/2-k)}·sin (2πk/N)
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- ½ {CR(k)-CR(N/2-k)}·cos (2πk/N) (5-2)
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A (k) = AR(k) + j·AI(k) (5-3)
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Das Ergebnis der auf diese Weise durchgeführten schnellen
Fourier-Transformationsoperation wird gleichzeitig in die
Speicher M1-M4 in identische relative Adressen unter der
Steuerung der Steuereinrichtung CTL eingeschrieben. Aus
diesem Grund sind nach Abschluß des Eintragens der N
Datenelemente in die Speicher dieselben Daten bezüglich des
Ergebnisses der Operation in den Speichern M1-M4 gespeichert.
Über diese Speicher M1-M4 ist eine Reihe von Adressen
vorgegeben. Daraus folgt also, daß die Daten bezüglich der
Fourier-Transformation auf Basis der obigen Formel (3) in
den Speichern M1-M4 abgelegt sind. Die
Fourier-Transformierte A (k) (k = 0, 1, 2, . . . , N-1) erscheint wiederholt vier
mal in den Daten, und es wird eine Frequenzmultiplikation
durchgeführt. Das heißt, es werden Daten bezüglich der
erhaltenen Fourier-Transformierten im Bereich von k = 0 bis k
= N-1 im Speicher M1 abgelegt. Informationen über die
Daten im Bereich von k = N bis k = 2N-1, Daten im Bereich
von k = 2N bis k = 3N-1, Daten im Bereich von k = 3N bis k
= 4N-1 werden in den Speichern M2, M3 bzw. M4 abgelegt.
Auf diese Weise wird dasselbe Ergebnis wie bei der Fourier-
Transformation mit 4 N Datenelementen einschließlich Nullen
in derselben Zeitdauer erzielt, die für die
Fourier-Transformation von N Datenelementen erforderlich ist. Dies
bedeutet also, daß die erforderliche Zeit zur Durchführung der
Transformation um einen Faktor von ungefähr fünf reduziert
ist, gegenüber dem Fall, in dem die Fourier-Transformation
mit 4N Datenelementen einschließlich Nullen erfolgt.
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Das in der Fig. 1 dargestellte Gerät verwendet vier Speicher
M1-M4, in die das Ergebnis einer
Fourier-Transformationsoperation eingeschrieben wird, wodurch die Raumfrequenz mit
einem Faktor vier multipliziert wird. Es ist auch möglich,
den Multiplikationsfaktor der Raumfrequenz beliebig
festzusetzen, indem als Anzahl solcher Speicher 2α festgesetzt
wird, wobei α jede beliebige natürliche Zahl sein kann. Die
zur Fourier-Transformationsoperation erforderliche Zeit
bleibt ungeachtet des Multiplikationsfaktors der
Raumfrequenz konstant. Der Einfluß der Zeitverkürzung wird folglich
umso deutlicher, je größer der Multiplikationsfaktor ist.