DE2044496B2 - Verfahren und Vorrichtung zur Bestimmung der mittleren Abweichung einer variablen Funktion von ihrem Mittelwert, sowie Anwendung des Verfahrens - Google Patents
Verfahren und Vorrichtung zur Bestimmung der mittleren Abweichung einer variablen Funktion von ihrem Mittelwert, sowie Anwendung des VerfahrensInfo
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Description
15
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung der mittleren quadratischen Abweichung einer
variablen Funktion von ihrem Mittelwert unter Verwendung eines variablen RC-Gliedes mit von einem
Kleinstwert aus zunehmender Zeitkonstante sowie eine Vorrichtung zur Durchführung und eine spezielle
Anwendung dieses Verfahrens.
In der Meßtechnik wird oft die Aufgabe gestellt, den Variationskoeffizienten einer variablen Funktion,
auch mittlere quadratische Abweichung genannt, in einem definierten Meßintervall zu bestimmen, wobei
dieser Variationskoeffizient auf den Mittelwert der Funktion im erwähnten Meßintervall bezogen ist.
Gefordert wird hierbei, daß der Variationskoeffizient mit einer genügenden Genauigkeit, und jwar unabhängig
von der Länge des Meßintervalls, bestimmt wird. Mit anderen Worten bedeutet dies, daß der
gemessene Variationskoeffizient in jedem Moment dem wirklichen Variationskoeffizienten des seit Beginn
der Messung ausgewerteten Intervalls der untersuchten Funktion entsprechen soll.
Nun aber steht der benötigte Mittelwert erst am Ende des jeweiligen Meßintervalls mit genügender
Genauigkeit zur Verfugung, so daß eine kontinuierliche genaue Bestimmung des Variationslcoeffizienten
nicht möglich erscheint.
Der Variationskoeffizient einer Funktion f(t) ist mathematisch folgendermaßen definiert:
45
= ^\l ^ I [/(f)-x]2dr,
(D
wobei χ einen konstanten Wert besitzt und den erwähnten Mittelwert der Funktion darstellt und
0 und T die Grenzen des Meßintervalls bedeuten.
Es sind aus der Statistik bereits Methoden bekanntgeworden, um die oben geschilderten Schwierigkeiten
zu umgehen. Man kann nämlich zeigen, daß
Es genügt hier, fortlaufend
und das dazugehörige x2 zu bestimmen.
Diese Methode hat jedoch den Nachteil, daß die beiden Ausdrücke
!O
TJ
[/(r)]2d! und x2
sehr viel größer sind als ihre Differenz. Damit diese
Differenz mit genügender Genauigkeit ermittelt werden kann, muß jeder der beiden Ausdrücke mit einer in
der Praxis kaum erreichbaren Genauigkeit bestimmt werden.
Eine weitere bekannte Möglichkeit beruht auf der Tatsache, daß der Variationskoeffizient folgendermaßen
errechnet werden kann:
-=r|/T/c/(x)-^]2di"Cx"~^2
wobei χ einen beliebigen festen Wert, den sogenannten provisorischen Mittelwert, darstellt.
Falls sich der Mittelwert χ mit steigendem T nur wenig verändert, kann f leicht so gewählt werden,
daß (x - x)2 klein bleibt und so bei der Differenzbildung keine großen Fehler entstehen. In der Praxis
aber kann χ mit steigendem T sehr großen Schwankungen unterworfen sein, und (x — S)2 wird leicht
sehr viel größer als die Differenz
fj
-S]2 dt-[x-x]2
cv,h=-ir I/ ~| UW-x-i2at
[/(f)]2di-x2.
(2)
60
65 so daß diese Differenz auch hier wiederum nur dann mit genügender Genauigkeit errechnet werden kann,
wenn die beiden Ausdrücke mit einer sehr hohen Genauigkeit bestimmt werden, was in der Praxis
einen außerordentlich hohen kostspieligen Aufwand erforderlich macht.
Aus der deutschen Auslegeschrift 1220157 ist
eine Vorrichtung zum Messen des zeitlichen Mittelwertes einer elektrischen Spannung an dem Kondensator
eines KC-Gliedes bekannt, dessen Zeitkonstante
während der Meßdauer verändert wird. Dabei wird ein zu Beginn der Messung einschaltbares
Zeitwerk zum stetigen oder quasi stetigen Verstellen der Zeitkonstanten von einem Kleinstwert
aus verwendet, so daß die Zeitkonstante, d. h. das Produkt R · C, entsprechend der seit Beginn abgelaufenen
Zeit selbsttätig vergrößert wird. Auch bei Verwendung einer derartigen Vorrichtung steht
jedoch der jeweilige Mittelwert der elektrischen Spannimg erst am Ende des jeweils betrachteten
Zeitintervalls zur Verfügung. Mit der Bestimmung des Variationskoeffizienten befaßt sich diese l.iteraturstelle
jedoch nicht.
Es sind auch elektronische Lösungen bekanntgeworden, bei welchen die Funktion /(r), d. h. ein
dieser Funktion entsprechendes elektrisches Signal,
zugeführt wird, über der Kapazität dieses RC-Gliedes
entsteht relativ rasch am Anfang des Mebintervalls eine Spannung z, die unter günstigen Umständen
dem Wert χ nahekommt.
Danach wird f(t) — z gebildet und durch Quadrieren
erhält man \_f(t) — z]2. Diese Größe wird
einem zweiten RC-Glied zugeführt, bei welchem der
Wert RC in jedem Moment der seit Beginn der Messung verflossenen Zeit proportional ist. Es ist
bekannt, daß damit eine genaue Integration realisiert werden kann, so daß am Kondensator der Wert
entsteht. Dieser Wert wird einem Radizierglied zugeführt und anschließend durch ζ dividiert. Man
erhält also
Vergleicht man Formel 4 mit Formel 1, so besteht eine gewisse Ähnlichkeit. CVeff wäre gleich CV,h,
wenn ζ = χ wäre. Nun ist aber in der Praxis r keine
Konstante und unter Umständen von χ sehr verschieden,
so daß CVe)f von CV,h erheblich abweichen
kann; der Meßfehler kann also auch in diesem Fall beträchtlich sein, so daß die Anforderungen hinsichtlich
der benötigten Genauigkeit bei der Bestimmung des Variationskoeffizienten nicht erfüllt werden können.
Aufgabe der Erfindung ist es, den Variationskoeffizienten mit großer und stets ausreichender Genauigkeit
unabhängig von der jeweiligen Länge des Meßintervalls mit einem Minimum an Aufwand zu bestimmen.
Diese Ausgabe wird gemäß der Erfindung dadurch gelöst, daß in einem ersten zeitproportionalen variablen
KC-Glied der Wert
/(O di
gebildet, dieser einem Differenzbildner zugeführt und die Differenz zwischen Funktionswert f(t) und y
gebildet und in einem nachfolgenden Quadrierglied das Quadrat dieser Differenz [/(f) — y]2 erzeugt wird,
worauf diese quadrierte Differenz an ein zweites zeitproportionales variables KC-Glied gelegt und das
Ausgangssignal
Durch die Maßnahme des Erselzens einer erst am Ende des jeweiligen Meßintervalls zur Verfugung
stehenden Größe, nämlich des Mittelwertes, durch eine zeitvariable Funktion wird überraschenderweise
die Bestimmung des Variationskoeffizienten mit sehr hoher Genauigkeit ermöglicht. Dieses Ergebnis ist
um so überraschender als im Falle der Verwendung dieser Substitution bei Bestimmung der linearen
Ungleichmäßigkeit erhebliche Fehler auftreten, die
ίο in der Praxis nicht in Kauf genommen werden können.
Die gemäß der Erfindung vorgenommene Substitution bei der Bestimmung der mittleren quadratischen
Abweichung, d. h. bei der Bestimmung des Variationskoeffizienten, führt jedoch zu keinen derartigen Fehlern
und gewährleistet überdies, daß am Ende des Meßintervalls der erhaltene Wert der mittleren quadratischen
Abweichung gleich dem theoretisch exakten Wert dieser Größe ist.
Eine vorteilhafte Ausführungsform einer Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens zeichnet sich
aus durch ein erstes variables RC-Glied zur Bildung der Größe
-y]2dt
dieses zweiten RC-Gliedes einem Radizierglied zugeführt
wird, welches den Wert
[/(t)-y]2df
erzeugt, der nach Division durch ν in einem Divisionsglied dann zur Anzeige gebracht wird.
y = - /(i)df,
einen Differenzbildner zur Subtraktion des Momentanwertes von y vom Momentanwert der Funktion /(f)
und ein Quadrierglied zur Bildung des Quadrates Lf it) — y]\ sowie ein zweites variables RC-Glied
zur Bildung von
worauf durch geeignete Mittel, wie Radizierglied und
Divisionsßlied. der Variationskoeffizient CV = der
" ν
Funktion /(/) gebildet wird.
Bevorzugt wird das Verfahren nach der Erfindung angewendet bei der Bestimmung des Variationskoeffizienten
der in Prüfgeräten der Textilindustrie gewonnenen, dem Querschnittsvcrlauf von Textilerzeugnissen
entsprechenden elektrischen Signale.
An Hand der Beschreibung und der Figuren wird die Erfindung näher erläutert. Dabei zeigt
F i g. 1 eine variable Funktion, ihren Mittelwert und die mittlere Abweichung,
F i g. 2 schematisch den Aufbau einer erfindungsgemäßen Schallung.
In Fig. 1 ist in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
eine variable Funktion /(f.) in Funktion der Zeit t (bzw. der betrachteten Länge I) gezeigt.
Ihr Mittelwert ist mit .x bezeichnet. Es läßt sich nun
leicht erkennen, daß zunächst die Größe von \ davon abhängig ist, wie groß das Meßintervall, d. h.
die Strecke f0 - tx gewählt wird. Bei einem Mcß-6«
intervall rTl wird der Mittelwert χ höher liegen als
bei einem Meßintervall fx2. Insbesondere bei kurzen
Meßintervallen fallen diese Unterschiede erheblich ins Gewicht. Zudem beeinflussen sie auch die Größe
der mittleren Abweichung bzw. den Variationskocffi-6«, zienten CV. da dieser dem Mittelwert umgekehrt
proportional ist. Für eine genaue Bestimmung ties Variationskoeffizienten ist daher auch ein genauer
Mittelwert Voraussetzung.
Es wurde versucht, diese Verhältnisse zunächsi theoretisch zu behandeln und daraus die erforderlichen
Vorrichtungen abzuleiten, die die genaue Bestimmung des Variationskoeffizienten erwarten lassen.
Wie bereits eingangs erwähnt, wird der theoretische Variationskoeffizient ausgedrückt durch
ίο
Dieses Quadrat ist nun an ein weiteres RC-Glied
20 mit einem Widerstand 21 und einer Kapazität 22 und variabler Zeitkonstante RC gelegt. Sofern die
Änderung von RC wiederum der Beziehung
R ■ C = k ■ t (k = Konstante)
gehorcht, entspricht die am Ausgang 23 des weiteren RC-Gliedes 20 anstehende elektrische Größe in jedem
Augenblick dem Wert
wobei
= ^/ f(t)dt
1 f
Bei den vorliegenden Meßaufgaben arbeitet man nun nicht mit einem festen x, sondern mit dem
variablen
Damit erhält man Tür das Meßintervall (O - T) den
Wert
von der seit dem Meßbeginn bis zum Zeitpunkt Ix
verlaufenden Funktion f(t).
Sx wird anschließend in geeigneter Weise radiziert
und durch y dividiert, und es entsteht in jedem Moment am Ausgang der Schaltung der Mornentanwert
CV, = - / —
-V]2 dr
CV= -
Nach Ablauf des Meßintervalls (0 - T) ist
1 f
(5) 30 y = ψ I fit)dt = x.
(5) 30 y = ψ I fit)dt = x.
Für die Ausbildung einer Vorrichtung, die den also gleich dem tatsächlichen Mittelwert der Funktion
Variationskoeffizienten CP' gemäß Formel (5) aus /(r) über das Intervall (0 - T) und der Wert CV,
einer variablen Funktion ergibt, ist nun erforderlich. 35 wird zu
daß der Wert ,
H/.
[/(f)-v]2di. (6)
aus der variablen Funktion gebildet und als Subtrahend vom Momentan wert der Funktion fit) subtrahiert
wird, worauf diese Differenz quadriert, integriert und radiziert wird und nach Teilung durch
den Mittelwert χ daraus der Variationskoeffizient
CV resultiert.
Dieser Vorgang wird mit einer Schaltung gemäß F i g. 2 realisiert. Die als elektrisches Signal auftretende
variable Funktion f{t) liegt zunächst an einem ersten RC-Glied 11 mit einem Widerstand 12
und einer Kapazität 13. Die Veränderung der Zeitkonstanten RC erfolgt so, daß sie von einem Kleinstwert,
vorzugsweise dem Wert Null, während des ganzen Meßintervalls nach der Be/.iehun..
R · C = k ■ 1 (k = Konstante)
erhöht wird. Dabei erscheint am Ausgang 14 des RC-Gliedes der Wert y, der jeweils dem Mittelwert
der seit dem Beginn des Mcßintervalls abgelaufenen Funktion f(t) entspricht. Dieser Mittel-Wert
y einerseits und die ursprüngliehc Funktion/(f) andererseits sind nun an einen an sich bekannten
Differcnzbildner 15 gelegt, der die Differenz /(/)- ν bildet und an ein an sich bekanntes Quadrierglied 16
abgibt. Darin wird das Quadrat [fit) - y]z als weitere
elektrische Größe acbildet.
Es läßt sich nun zeigen, daß
l/
Der durch oben beschriebene Schaltung erhaltene Wert CV ist somit gleich dem theoretischen exakten
Wert CV,h. Da unter dem Wurzelzeichen in Formel 6
keine Differenz auftritt wie z. B. in Formeln 2 oder 3. sind auch die Anforderungen an die Genauigkeit der
Mcßschaltungen nicht extrem hoch.
Vorrichtungen mit der erfindungsgemäßen Schaltungsanordnung werden vorzugsweise als Integratoren
eingesetzt, wobei die variable Funktion f(i beispielsweise eine dem Querschnittverlauf von Erzeugnissen
der Textilindustrie, wie Bändern. Vorgarnen und Garnen entsprechende elektrische Größe
darstellt. Zur Gewinnung dieser elektrischen Größe dienen an sich bekannte Gleichmäßigkeilsprüfgeräte
Die Änderung der Zeitkonslanten der variabler RC-Glieder kann z. B. so erfolgen, daß entweder dit
Widerstände 12 bzw. 21, oder die Kondensatoren V: bzw. 22 oder beide gleichzeitig von einem geeigncfei
Sicuerelemcnt 25 aus in geeigneter Weise veränder werden.
Für die Ausbildung der variablen RC-Gliedcr Il
20 stehen verschiedene an sich bekannte Arten de
409 526/7'
ίο
Realisierung zur Verfügung. Die naheliegendste Ausgestaltung mit Potentiometern bietet dadurch
Schwierigkeiten, daß sehr hochohmige Potentiometer eingesetzt werden müssen, die naturgemäß nicht die
erforderliche Widerstandscharakteristik aufweisen und der auftretenden Beanspruchung nicht genügen.
Die moderne Elektronik kennt dagegen veränderbare Widerstände, die durch Aufschalten einer elektrischen
Steuergröße gesteuert werden, wie NTC-, PTC-Widerstände, Photowiderstande, Phototransistoren,
Photodioden oder aber auch in geeigneten Schaltungen enthaltene Transistoren oder Dioden.
Mit diesen Elementen lassen sich die benötigten Widerstandswerte hinreichend genau und reproduzierbar
herstellen.
Ein besonders vorteilhaftes Verhalten für die Erzeugung von Widerstandsänderungen der erforderlichen
Größenordnung zeigen Zerhackerschaltungen, bei welchen durch Änderung des Verhältnisses zwischen
öffnungs- und Schließzeiten die gewünschte Widerstandsänderung erzielt wird. Dabei kann der
Zerhacker in an sich bekannter Weise als mechanischer oder als elektronischer Zerhacker ausgebildet
sein.
Für die Bildung des Quotienten ", im Divisionsglied 27 wird mit Vorteil ein an sich bekannter
Anaiog-Digitaiwandler eingesetzt, dem die Größe y ίο als Referenzspannung und die Größe s als Meßspannung
zugeführt wird. Am Ausgang dieses Wandlers entstehen dabei digitale Signale, die das Verhältnis
', darstellen.
is Desgleichen stehen für die Darstellung veränderlicher
Kapazitäten an sich bekannte Elemente zui Verfügung, wie Kapazitätsdioden, oder Schaltungen,
die sich unter dem Einfluß einer Steuergröße wie veränderliche Kapazitäten verhalten.
Hierzu 1 Blatt Zeichnungen
Claims (15)
1. Verfahren zur Bestimmung der mittleren quadratischen Abweichung einer variablen Funktion
von ihrem Mittelwert unter Verwendung eines variablen RC-Gliedes mit von einem Kleinstwert
aus zunehmender Zeitkonstante, dadurch
gekennzeichnet, daß in einem ersten zeitproportionalen
variablen RC-Glied(ll) der Wert
dieses zweiten RC-Gliedes (20) einem Radizierglied
(26) zugeführt wird, welches den Wert
R C = k ·/
RC = k t
■
gebildet, dieser einem Differenzbildner (15) zugeführt und die Differenz zwischen funktionswert
f(t) und y gebildet und in einem nachfolgenden
Quadrierglied (16) das Quadrat dieser Differenz [/(r) — j]2 erzeugt wird, worauf diese
quadrierte Differenz an ein zweites zeitproportionales variables RC-Glied (20) gelegt und das
Ausgangssignal
erzeugt, der nach Division durch y in einem Divisionsglied (27) dann zur Anzeige gebracht
wird.
2 Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß sowohl der Widerstand (12) des ersten ßC-Giiedes (11) als auch der Widerstand
(21) des zweiten /?C-Gliedes (20) variabel sind und bei Meßbeginn von einem Kleinstwert ausgehend
nach der Bedingung
45
während des gesamten Meßintervalls zeitproportional zunehmen.
3. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet,
daß sowohl der Kondensator (13) des ersten RC-Gliedes (H) als auch der Kondensator
(22) des zweiten KC-GIiedes (20) variabel sind und bei Meßbeginn von einem Kleinstwert ausgehend
nach der Bedingung
55
während des gesamten Meßintervalls zeitproportional zunehmen.
4. Verfahren nach Anspruch 1. dadurch gekcnnzeichnet,
daß sowohl Kondensator (13) und Widerstand (12) des ersten KC-Gliedes (II) als auch
Kondensator (22) und Widerstand (21) des zweiten KC-Gliedes (20) variabel sind und bei Meßbeginn
von einem Kleinstwert ausgehend nach Jer Bedingung
R ■ C = k ■ r
während des gesamten Meßintervalls zeitproportional zunehmen.
5. Verfahren nach den Ansprüchen 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Widerstandsänderung
in bekannter Weise durch Veränderung des Verhältnisses der Uffnungs- und Schließzeit
eines Zerhackers erzeugt wird.
6. Verfahren nach den Ansprüchen 1, 2 und 5. dadurch gekennzeichnet, daß der Zerhacker mit
veränderlicher öffnungs- und Schließzeit mechanisch
bewegt wird.
7. Verfahren nach den Ansprüchen 1, 2 und 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Zerhacker mit
veränderlicher öffnungs- und Schließzeit nach elektronischem Prinzip betrieben wird.
8. Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens nach einem oder mehreren der vorhergehenden
Ansprüche, gekennzeichnet durch ein erstes variables RC-Glied(ll) zur Bildung der
Größe
einen Differenzbildner (15) zur Substraktion des Momentanwertes von y vom Momentanwert der
Funktion/(i) und ein Quadrierglied (16) zur Bildung des Quadrates [f{t) — y~]2, sowie ein
zweites variables RC-GWtd (20) zur Bildung von
Lf(t)-yfdt
worauf durch geeignete Mittel, wie Radizierglied (26) und Divisionsglied (27), der Variationskoeffizient
CV= \ der Funktion /(t) gebildet wird.
9. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Widerstände (12, 21) der
KC-Glieder (11, 20) variabel sind und von einem
gemeinsamen Antriebsmotor (25) aus veränderbar sind.
10. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Kapazitäten (13, 22) der
RC-Glieder (11, 20) variabel sine und von einem
gemeinsamen Antriebsmotor (25) aus veränderbar sind.
11. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet,
daß sowohl die Widerstände (12, 21) als auch die Kapazitäten (13, 22) der KC-Glieder
(11, 20) variabel sind und von einem gemeinsamen Antriebsmotor (25) aus veränderbar sind.
12. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet,
daß als variable Widerstände (12,21) der flC-Glieder (11. 20) steuerbare HalbLiterwiderstände,
wie NTC-, PTC-Widerstände, Photowiderstände, Phototransistoren, Photodioden, oder geeignet geschaltete Transistoren oder Dioden
eingesetzt sind.
13. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet,
daß als variable Kapazitäten (13,22) der RC-Glieder (11. 20) an sich bekannte Halbleiterschaltungen
und/oder Kapazitälsdiodcn eingesetzt sind.
14. Vorrichtung nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet,
daß die Werte s und y einem Analog-Digitalwandler zugeführt werden, wobei y als
Referenzspannung und s als Meßspannung verwendet sind, und somit am Ausgang des Wandlers
digitale Signale entstehen, die dem Verhältnis - entsprechen.
15. Anwendung des Verfahrens nach Anspruch 1
auf die Bestimmung des Variationskoeffizienten der in Prüfgeräten der Textilindustrie gewonnen,
dem Querschnittverlauf von Textilerzeugnissen entsprechenden elektrischen Signale.
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