DE19929752B4

DE19929752B4 - Verfahren zur Oberflächenglättung auf Normalbasis

Info

Publication number: DE19929752B4
Application number: DE1999129752
Authority: DE
Inventors: Bernhard Geiger
Original assignee: Siemens Corporate Research Inc
Current assignee: Siemens Corp
Priority date: 1998-06-30
Filing date: 1999-06-30
Publication date: 2005-09-22
Anticipated expiration: 2019-07-01
Also published as: JP4383585B2; DE19929752A1; JP2000040163A

Abstract

Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes, wobei das Objekt
– einen dreidimensionalen, durch Vertices (v_i, v_j, v_k) definierten Polyeder,
– Gouraud-Normalen n, von denen jede ein einem Vertex (v_i, v_j, v_k) zugeordneter Vektor ist, und
– Flächen f (i, j, k), von denen jede einer Flächennormalen fn = (v_j – v_i) × (v_k – v_i) zugeordnet ist,
aufweist, in Bezug auf die folgenden Definitionen:
– ein Vertex ist eine 3D-Koordinate (x, y, z), und
– eine Fläche ist ein Triplett (i, j, k), das ein durch die Vertices (v_i, v_j, v_k) gebildetes Dreieck bezeichnet,
dadurch gekennzeichnet, dass
die Vertices jeder Fläche so gerichtet sind, daß die zugeordnete Flächennormale fn in Richtung auf die Außenseite des Polyeders zeigt, und dass das Verfahren in Bezug auf jeden repräsentativen Polyeder P mit Vertices v folgende Schritte umfaßt:
– Speichern der Vertices v als temporäre Kopie...

Description

Bei der wissenschaftlichen Darstellung von Bildern werden Bilder von ebenen Objekten häufig durch polyedrische Oberflächenelemente dargestellt, die für einen Satz von diskreten Abtastpunkten konstruiert werden. Diese Art der Darstellung führt zuweilen zu einer unnatürlichen, facettenartigen Erscheinung, die auf einer Art eines Quantisierungsfehlers beruht. Um diese unerwünschte facettenartige Erscheinung zu vermeiden oder zu reduzieren sind verschiedene Glättungsverfahren angewandt worden.

Bei einem häufig verwendeten Verfahren wird eine Gouraud-Schattierung benutzt. Vergleiche hierzu z.B. H. Gouraud: "Continuous Shading of Curved Surfaces", IEEE Trans. on Computers, Vol. C-20, Seiten 623-629, Juni 1971. Dabei wird die Form des Polyeders, der ein Oberflächenelement bildet, nicht verändert. Es wird vielmehr durch Interpolation der Intensität der Facetten von Normalen bei beteiligten Vertices (Scheitelpunkten) bei der Wiedergabe auf einem Display eine geglättete Erscheinung erzeugt. An jedem Vertex wird eine Gouraud-Normale als ein (gewichteter) Mittelwert der Facetten-Normalen, die an diesem Vertex beteiligt sind, berechnet. Bei der Wiedergabe werden die Intensitäten an jedem Vertex auf der Basis der Gouraud-Normalen berechnet und innerhalb der Facette linear interpoliert. Da die gemeinsamen Vertices die gleiche Gouraud-Normale aufweisen, tritt kein Sprung in der Intensität auf, und die Gesamtfläche erscheint geglättet.

Eine Gouraud-Schattierung reicht jedoch nicht aus, wenn die Oberfläche des Polyeders aufgrund von Abtastfehlern zerfurcht ist. Geometrische Fehler der Oberfläche werden nicht verdeckt. Wenn der Abtastfehler bei einer dicht abgetasteten Oberfläche im Bereich des Abtast-Abstandes liegt, erscheint die Oberfläche auch mit einer Gouraud-Schattierung rauh.

Zur Verbesserung solcher Oberflächen wird auch eine geometrische Glättung verwendet. Ein Verfahren hierzu ist das Gaußsche Glättungsverfahren. Vergleiche hierzu zum Beispiel G. Taubin: "Curve and surface smoothing without shrinkage", 5th Internat. Conference on Computer Vision, Seiten 852-857, Juni 1995. Siehe auch G. Taubin "Curve and surface smoothing without shrinkage", Technical Report RC-19536, IBM Research, April 1994. Die neue Position v_i' jedes Vertex wird als gewichteter Mittelwert der gegenwärtigen Position des Vertex an sich und seiner benachbarten Vertices berechnet, und zwar der Vertices, die mit dem gegenwärtigen Vertex eine Kante teilen. Der Wert von v_i' wird wie folgt berechnet:

wobei I_i der Satz von Indizes aller Vertices ist, die eine gemeinsame Kante mit v_i' haben. ist ein Skalierungsfaktor 0 < < 1. w_ij ist eine geeignete Gewichtung, die das inverse des Abstandes zwischen dem gegenwärtigen Vertex und dem benachbarten Vertex sein kann, so daß diejenigen Punkte, die näher liegen, einen stärkeren Einfluß haben. Die Gewichtung w_ij für die geometrische Glättung kann zum Beispiel w_ij = 1/||v_i – v_j||sein, wobei dies der inverse Abstand ist. Andererseits kann die Gewichtung w_ij auch einfach als 1/n_i definiert werden, wobei n_i die Anzahl von Vertices ist, die eine gemeinsame Kante mit v_i teilen. Dieses Verfahren wird einige Male wiederholt, bis ein gewünschter Grad der Glättung erzielt worden ist.

Dieses Verfahren hat eine Reihe von Vorteilen. Es wird auf stückweise lineare Oberflächen von beliebiger Topologie angewendet, es ist einfach zu benutzen und erfordert keinen zusätzlichen Speicher, da die benachbarten Vertices in einfacher Weise aus der polyedrischen Darstellung gewonnen werden können, und es ist für die Anzahl von Vertices linear.

Dieses Verfahren hat jedoch auch einen wesentlichen Nachteil, der ähnlich wie bei den meisten Verfahren darin besteht, daß es die Modelle schrumpfen läßt. Da im allgemeinen mehrere Iterationen notwendig sind, um die Glättung zu erzielen, kann die Schrumpfung erheblich sein.

Um dieses Schrumpfungsproblem zu überwinden, ist vorgeschlagen worden, eine modifizierte Gaußsche Glättung zu verwenden. Dabei wird die Gaußsche Glättung wie in Gleichung (1) verwendet, es wird jedoch zwischen einem positiven und einem negativen Skalierungsfaktor gewechselt. Dadurch wird die Schrumpfung beseitigt, das Verfahren erfordert jedoch immer noch mehrere Iterationen, um eine ausreichende Glättung zu erzeugen. Vergleiche hierzu den oben genannten Artikel von G. Taubin: "Curve and surface smoothing without shrinkage", 5th Internat. Conference on Computer Vision.

Ein weiteres Problem bei den Glättungsalgorithmen besteht darin, daß eine Bewegung der Vertices nicht möglich ist, da die Oberflächen-Vertices gleichzeitig ein Teil einer größeren Datenstruktur sind. Bei Anwendungen für finite Elemente können die Vertices zum Beispiel Teil eines dreidimensionalen Tetraeder-Gitters sein. Eine Bewegung der Vertices kann leicht zu Inconsistenzen der Topologie führen. Gemäß der Erfindung werden die Vertices vom Ergebnis her nicht bewegt: sie werden nur vorübergehend bewegt und dann nach der Berechnung der Gouraud-Normalen wieder zurückgesetzt.

Hintergrundinformationen sind zum Beispiel in folgenden Druckschriften offenbart: U.S. Patent No. 5,506,947 mit dem Titel CURVE AND SURFACE SMOOTHNING WITHOUT SHRINKAGE, vom 9. April 1996 von Taubin; U.S. Patent No. 5,303,339 mit dem Titel THREE-DIMENSIONAL GRAPHIC PROCESSING APPARATUS, vom 12. April 1994 von Ikuma; U.S. Patent No. 5,163,125 mit dem Titel METHOD FOR ADAPTIVELY PROVIDING NEAR PHONG GRADE SHADING FOR PATTERNS IN A GRAPHICS DISPLAY SYSTEM, vom 10. November 1992 von Einkauf et al.; U.S. Patent No. 5,063,375 mit dem Titel METHOD AND APPARATUS FOR SHADING IMAGES, vom 5. November 1991 von Lien et al.; U.S. Patent No. 5,179,638, mit dem Titel METHOD AND APPARATUS FOR GENERATING A TEXTURE MAPPED PERSPECTIVE VIEW, vom 12. January 1993 von Dawson et al.; und U.S. Patent No. 5,613,050 mit dem Titel METHOD AND APPARATUS FOR REDUCING ILLUMINATION CALCULATIONS THROUGH EFFICIENT VISIBILITY DETERMINATION, vom 18. März 1997 von Hochmuth et al.

Aus der US 5,253,339 ist ein adaptives Schattierungsverfahren sowie eine Vorrichtung zur Erzeugung schattierter Bilder bekannt. Dabei werden dreidimensionale Objekte mittels Polygonflächen, beispielsweise mittels Dreiecken, dargestellt. Zur Ermittlung der Schattierung des Objekts werden die Eckpunkte der Polygonflächen sowie die Flächennormalen dieser Polygonflächen verwendet. Dabei werden zunächst die Farben oder Intensitäten an jeder der Ecken eines Polygons berechnet. Die Farbe bzw. Intensität der Polygonfläche wird dabei durch Interpolation der Farben bzw. Intensitäten von jedem der Eckpunkte des Polygons berechnet.

Aus A. IWAINSKY, W.WILHELMI: Lexikon der Computergraphik und Bildverarbeitung, Vieweg und Sohn, 1999, S. 129 ff. ist ein Verfahren zur Schattierung von Flächen im dreidimensionalen Raum, bei dem eine Interpolation von Farbwerten bzw. Grauwerten vorgenommen wird, bekannt.

Dabei werden dreidimensionale Objekte durch Facettenmodelle angenähert. Hierbei wird für jeden Eckpunkt des Facettenmodells durch lineare Mittelung der Flächennormalen aller an einen Eckpunkt angrenzenden Facettenflächen ermittelt. Basierend auf diesen Vektoren werden den Eckpunkten Farb- bzw. Grauwerte zugeordnet. Durch eine lineare Interpolation entlang zweier Kanten jeder Facette und einer anschließenden linearen Interpolation zwischen geeigneten Kantenwerten werden dann die Farb- bzw. Grauwerte innerhalb der Polygonfläche ermittelt.

Aus der W.D.FELLNER: „Computergraphik", BI-Wissenschaftserlag, 1992, S. 307 bis 313, ist ein Verfahren zur Schattierung eines durch Polygone angenäherten dreidimensionalen Objekts bekannt. Auch hier wird die Intensität eines Pixels im Inneren des Polygons durch Interpolation der Intensität in den Polygoneckpunkten bestimmt. Dazu werden in den Eckpunkten nicht die normalen auf die Approximationspolygone sondern auf die wirkliche Fläche berechnet. Über eine Schattierungsfunk tion ergeben sich aus den Flächennormalen die Intensitäten in den Eckpunkten, die zur Interpolation entlang der Polygonkanten verwendet werden. Intensitätswerte von Pixeln innerhalb der Polygonfläche wiederum werden durch lineare Interpolation der Intensitätswerte von Punkten auf den Polygonkanten bestimmt.

Die Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht darin, ein verbessertes Verfahren zur Oberflächenglättung bei der Darstellung eines dreidimensionalen Objekts bereitzustellen.

Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren gemäß den Ansprüchen 1 und 11 gelöst. Bevorzugte Ausführungsformen des erfindungsgemäßen Verfahrens sind Gegenstand von Unteransprüchen.

Unter einem Gesichtspunkt der Erfindung wird eine Gaußsche Glättung nur auf die Gouraud-Normalen angewandt. Gleichung (1) wird für mehrere Iterationen verwendet, anschließend werden die Gouraud-Normalen der nun geglätteten Oberfläche berechnet, und schließlich werden die Vertices in ihre vorherige Position zurückgesetzt. Da die Vertices zurückgesetzt werden, kann eine Schrumpfungsverfahren angewendet werden, das schneller als die oben genannten Verfahren des Standes der Technik ist. Während für die Grenze der Objekte keine Glättung erzielt wird, werden die Flächen in Richtung nach innen mit der gleichen Schattierung wie die geglättete Oberfläche wiedergegeben. Dieses erfindungsgemäße Verfahren hat alle Vorteile der Gaußschen Glättung, führt jedoch nicht zu Schrumpfungen. Weiterhin kann es auch immer dann angewendet werden, wenn eine Änderung der Geometrie der Objekte nicht möglich ist.

Unter einem anderen Gesichtspunkt der Erfindung wird ein Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes geschaffen, wobei das Objekt einen dreidimensionalen, durch Vertices definierten Polyeder umfaßt, und wobei das Verfahren in Bezug auf den repräsentativen Polyeder P mit Vertices v, Gouraud-Normalen n und Flächen f und in Bezug auf die folgenden Definitionen: ein Vertex ist eine 3D-Koordinate (x, y, z), eine Fläche ist ein Triplett (i, j, k) , das ein durch die Vertices (v_i, v_j, v_k) gebildetes Dreieck bezeichnet, wobei die Vertices jeder Fläche so gerichtet sind, daß ein zugeordneter Vektor fn = (v_j – v_i) × (v_k – v_i) auf die Außenseite des Polyeders zeigt, wobei der Vektor hier als Flächennormale zu der Fläche (i, j, k) bezeichnet wird, und eine Gouraud-Normale ein einem Vertex zugeordneter Vektor ist, folgende Schritte umfaßt:
Speichern der Vertices v als temporäre Kopie v'; Anwenden der Gaußschen Glättung auf v mit einer Anzahl von Iterationen, bis ein ausreichendes Maß an Glättung des Objektes erzielt worden ist, das zu einem geglätteten Objekt führt; Benutzen des geglätteten Objektes, Interpolieren eines neuen Satzes von Gouraud-Normalen; Ersetzen der zuvor vorhandenen Normale durch den neuen Satz von Gouraud-Normalen; Wiederherstellen der Vertices v' zu v; und Ausgeben eines Ausgangs-Polyeders, das den neuen Satz von Gouraud-Normalen zeigt.

Unter einem weiteren Gesichtspunkt der Erfindung umfaßt der Schritt des Interpolierens eines neuen Satzes von Gouraud-Normalen einen Schritt des Berechnens einer Gouraud-Normale bei einem Vertex v_i.

Unter einem weiteren Gesichtspunkt der Erfindung bewirkt der Schritt des Anwendens der Gaußschen Glättung auf v mit einer Anzahl von Iterationen, bis ein ausreichendes Maß an Glättung des Objektes erzielt worden ist, eine Schrumpfung des Objektes.

Unter einem anderen Gesichtspunkt der Erfindung wird der Schritt des Anwendens der Gaußschen Glättung nach folgender Formel durchgeführt:

wobei I_i den Satz von Indizes von allen Vertices bezeichnet, die eine Kante mit v_i teilen, w_ij eine Gewichtung, zum Beispiel 1/n_i ist, wobei n_i die Anzahl von Vertices ist, die eine Kante mit v_i teilen und einen Skalierungsfaktor 0 < < 1 bezeichnet.

Unter einem weiteren Gesichtspunkt der Erfindung wird der Schritt des Berechnens einer Gouraud-Normale an einem Vertex v_i gemäß folgendem Algorithmus durchgeführt, wobei die Gouraud-Normale

ist und wobei I_i den Satz von Flächenindizes aller Flächen von f bezeichnet, die den Vertex v_i enthalten; fn_j ist die Flächennormale der Fläche f_j, und w_j ist ein Gewichtungsfaktor, der in Anspruch 6 definiert ist. Ein Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes ist in Anspruch 5 beansprucht, bei dem der Gewichtungsfaktor w_j der Bereich der Fläche f_j ist.

Unter einem weiteren Gesichtspunkt der Erfindung ist der Gewichtungsfaktor w_j der Winkel zwischen den zwei Kanten der Fläche f_j, die den Vertex v_i teilen.

Unter einem weiteren Gesichtspunkt der Erfindung ist der Gewichtungsfaktor 1.

Unter einem weiteren Gesichtspunkt der Erfindung wird ein Verfahren zur Oberflächenglättung bei einem Objekt beschrieben, das durch polyedrische Oberflächenelemente, einen typischen Polyhedron P, der Vertices v, Gouraud- Normale n und Flächen f zeigt, einen Vertex mit 3D-Koordinaten (x, y, z), eine Fläche, die ein Triplett (i, j, k) ist, das ein Dreieck bezeichnet, das durch Vertices (v_i, v_j, vk) gebildet ist, dargestellt ist, wobei die Vertices jeder Fläche so gerichtet sind, daß ein zugeordneter Vektor fn = (v_j – v_i) × (v_k – v_i) in Richtung auf die Außenseite des Polyeders zeigt, wobei der Vektor als Flächennormale der Fläche (i, j, k) bezeichnet wird und wobei eine Gouraud-Normale ein Vektors ist, der einem Vertex zugeordnet ist, wobei das Verfahren folgende Schritte aufweist: Anwenden einer Gaußschen Glättung auf entsprechende Vertices; Wiederholen des vorhergehenden Schrittes, so daß eine geglättete Oberfläche des Objektes erzielt wird; Berechnen der Gouraud-Normalen der geglätteten Oberfläche; und Rücksetzen der Vertices in ihre entsprechenden vorherigen Positionen.

Weitere Einzelheiten, Merkmale und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus der folgenden Beschreibung von bevorzugten Ausführungsformen mit Bezug auf die Zeichnung. Es zeigt:
1 ein Flußdiagramm der Schritte eines erfindungsgemäßen Verfahrens;
2 ein polyedrisches Modell, das mit Gouraud-Normalen wiedergegeben ist, die aus der tatsächlichen Geometrie berechnet wurden;
3 das gleiche Modell wie in 2, wobei die Gouraud-Normalen nach der Glättung berechnet wurden;
4 ein anderes Modell, bei dem die Gouraud-Normalen aus der tatsächlichen Geometrie berechnet wurden; und
5 das gleiche Modell wie in 4, wobei die Gou raud-Normalen nach der Gaußschen Glättung berechnet wurden.
Eine bevorzugte Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens soll nun beschrieben werden. In diesem Zusammenhang wird ein Objekt in Form eines dreidimensionalen Polyeders, der durch Vertices definiert ist, und ein Bild als Projektion des Objektes auf einen zweidimensionalen Schirm oder eine Ebene, wie zum Beispiel durch Anwendung bekannter Wiedergabeerfahren, betrachtet. Die Eingangsdaten werden als Polyeder P mit Vertices v, Gouraud-Normalen n und Flächen f empfangen. EinVertex ist eine 3D-Koordinate (x, y, z), eine Fläche ist ein Triplett (i, j, k), das ein durch die Vertices (v_i, v_j, v_k) gebildetes Dreieck bezeichnet. Die Vertices jeder Fläche sind so gerichtet, daß der zugeordnete Vektor fn = (v_j – v_i) × (v_k – v_i) in Richtung auf die Außenseite des Polyeders zeigt, wobei x das Vektorprodukt bezeichnet. Dieser Vektor wird als Flächennormale der Fläche (i, j, k) bezeichnet. Eine Gouraud-Normale ist ein Vektor, der einem Vertex zugeordnet ist. Die Gouraud-Normalen müssen nicht unbedingt berücksichtigt oder verwendet werden, da sie während des erfindungsgemäßen Verfahrens erneut berechnet werden.
Die Vertices werden als temporäre Kopie von v' gespeichert. Die Gaußsche Glättung wird mit einer Anzahl von Iterationen auf v angewendet, bis ein ausreichender Grad an Glättung erreicht worden ist. Dieser Vorgang führt zu einer Schrumpfung des Objektes und zu einer wirksamen Bewegung der Vertices v zu neuen Stellen. Die Gaußsche Glättung wird entsprechend Gleichung (1) ausgeführt.
Unter Verwendung des geschrumpften, aber geglätteten Objektes wird nun ein neuer Satz von Gouraud-Normalen interpoliert. Die alten Normale werden durch die neuen Normale ersetzt. Das Gouraud-Normal bei einem Vertex v_i wird mit dem folgenden Algorithmus unter Verwendung der folgenden Definitionen berechnet: Es sei angenommen, daß I_i der Satz von Flächenindizes von allen Flächen von f, die den Vertex v_I enthalten, ist; ferner sei fn_j die Flächennormale der Fläche f_j und w_j ein Gewichtungsfaktor, so kann die Gouraud-Normale bei v_i, g_i wie folgt berechnet werden:
Der Gwichtungsfaktor w_j kann der Bereich der Fläche f_j oder der Winkel zwischen den zwei Kanten der Fläche f_j, die den Vertex v_j teilen, oder einfach 1 sein, was im allgemeinen zu einer guten Näherung der Gouraud-Normale führt. Der Gewichtungsfaktor beeinflußt die erforderliche Rechenzeit. Somit erfordert die Berechnung des Winkels eine längere Rechenzeit, ist jedoch genauer als bei Verwendung des Bereiches der Fläche oder bei Verwendung des Wertes 1.
Die ursprünglichen Vertices v' werden als v wiederhergestellt. Das Ausgangs-Polyeder weist nun andere Gouraud-Normale auf, während die Flächen und die Vertices die gleichen bleiben.
In 1 ist das erfindungsgemäße Verfahren in Form eines Flußdiagramms dargestellt. 2 zeigt ein polyedrisches Modell, das mit den Gouraud-Normalen dargestellt ist, die aus der tatsächlichen Geometrie berechnet wurden, während 3 das gleiche Modell wie 2 zeigt, bei dem die Gouraud-Normalen nach der Gaußschen Glättung berechnet wurden. Die 4 und 5 zeigen die gleiche Verarbeitung bei einem anderen Modell. Es wurden acht Iterationen durchgeführt, wobei = 0,33. Die Verbesserungen sind in den Figuren deutlich zu erkennen.
Auch wenn die Erfindung nur anhand von beispielhaften Ausführungsformen erläutert wurde, ist es für einen Fachmann klar, daß zahlreiche Änderungen und Modifikationen vorgenommen werden können, ohne den Schutzumfang der Erfindung zu verlassen. Diese und andere Änderungen und Modifikationen liegen vielmehr innerhalb des Schutzumfangs, der durch die folgenden Ansprüche definiert ist.

Claims

Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes, wobei das Objekt – einen dreidimensionalen, durch Vertices (v_i, v_j, v_k) definierten Polyeder, – Gouraud-Normalen n, von denen jede ein einem Vertex (v_i, v_j, v_k) zugeordneter Vektor ist, und – Flächen f (i, j, k), von denen jede einer Flächennormalen fn = (v_j – v_i) × (v_k – v_i) zugeordnet ist, aufweist, in Bezug auf die folgenden Definitionen: – ein Vertex ist eine 3D-Koordinate (x, y, z), und – eine Fläche ist ein Triplett (i, j, k), das ein durch die Vertices (v_i, v_j, v_k) gebildetes Dreieck bezeichnet, dadurch gekennzeichnet, dass die Vertices jeder Fläche so gerichtet sind, daß die zugeordnete Flächennormale fn in Richtung auf die Außenseite des Polyeders zeigt, und dass das Verfahren in Bezug auf jeden repräsentativen Polyeder P mit Vertices v folgende Schritte umfaßt: – Speichern der Vertices v als temporäre Kopie v'; – Anwenden der Gaußschen Glättung auf v mit einer Anzahl von Iterationen, bis ein ausreichendes Maß an Glättung des Objektes erzielt worden ist, das zu einem geglätteten Objekt führt; – Benutzen des geglätteten Objektes, Interpolieren eines neuen Satzes von Gouraud-Normalen; – Ersetzen der zuvor vorhandenen Normalen durch den neuen Satz von Gouraud-Normalen; – Wiederherstellen der Vertices v' zu v; und – Ausgeben eines Ausgangs-Polyeders, das den neuen Satz von Gouraud-Normalen zeigt.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 1, bei dem der Schritt des Interpolierens eines neuen Satzes von Gouraud-Normalen einen Schritt des Berechnens einer Gouraud-Normale bei einem Vertex v_i umfaßt.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 1, bei dem der Schritt des Anwendens der Gaußschen Glättung auf v mit einer Anzahl von Iterationen erfolgt, bis ein gewünschter Grad der Glättung des Objektes erzielt worden ist, der ein Schrumpfen des Objektes bewirkt.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach, Anspruch 1, bei dem der Schritt des Anwendens der Gaußschen Glättung entsprechend folgender Formel erfolgt:
wobei I_i der Satz von Indizes aller Vertices ist, die eine Kante mit v_i teilen und w_ij eine Gewichtung darstellt.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 4, bei dem die Gewichtung w_ij = 1/n_i ist, wobei n_i die Anzahl von Vertices ist, die eine Kante mit v_i teilen.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 4, bei dem die Gewichtung w_ij = 1/||v_i – v_j|| ist.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 2, bei dem der Schritt des Berechnens einer Gouraud-Normale bei einem Vertex v_i durch Berechnung mit folgendem Algorithmus erfolgt, bei dem die Gouraud-Normale
ist, wobei I_i der Satz von Flächenindizes von allen Flächen von f, die den Vertex v_I enthalten, ist, fn_j die Flächennormale der Fläche f_j und _j einen Gewichtungsfaktor darstellt.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 7, bei dem der Gewichtungsfaktor w_j der Bereich der Fläche f_j ist.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 7, bei dem der Gewichtungsfaktor w_j der Winkel zwischen den zwei Kanten der Fläche f_j ist, die den Vertex v_i teilen.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 7, bei dem der Gewichtungsfaktor 1 ist.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes, das dargestellt ist durch polyedrische Flächenelemente sowie einen repräsentativen Polyeder P, der Vertices v, Gouraud-Normalen n und Flächen f zeigt, wobei jeder Gouraud-Normalen n ein 3D-Koordinaten (x, y, z) aufweisender Vertex zugeordnet ist, wobei jeder Fläche f Flächennormalen fn = (v_j – v_i) × (v_k – v_i) zugeordnet sind und wobei jede Fläche ein Triplett (i, j, k) darstellt, das ein durch Vertices (v_i, v_j, v_k) gebildetes Dreieck bezeichnet, dadurch gekennzeichnet, dass die Vertices jeder Fläche so gerichtet sind, daß jede Flächennormale fn in Richtung auf das Äußere des Polyeders zeigt und wobei das Verfahren folgende Schritte aufweist: – Anwenden einer Gaußschen Glättung auf entsprechende Vertices; – Wiederholen des vorhergehenden Schrittes, so daß eine geglättete Oberfläche des Objektes erzielt wird; – Berechnen von Gouraud-Normalen der geglätteten Oberfläche; und – Rücksetzen der Vertices in ihre entsprechenden vorherigen Positionen.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 11, bei dem der Schritt des Berechnens der Gouraud-Normale der geglätteten Oberfläche gemäß folgender Formel für die Gouraud-Normale durchgeführt wird:
wobei I_i der Satz von Flächenindizes von allen Flächen von f, die den Vertex v_i enthalten, ist, fn_j die Flächennormale der Fläche f_j und w_j ein Gewichtungsfaktor darstellt.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 12, bei dem der Gewichtungsfaktor w_j der Bereich der Fläche f_j ist.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 12, bei dem der Gewichtungsfaktor w_j der Winkel zwischen den zwei Kanten der Fläche f_j ist, die den Vertex v_i teilen.
Verfahren zur Oberflächenglättung eines Objektes nach Anspruch 12, bei dem der Gewichtungsfaktor 1 ist.