DE19915009A1 - Verfahren, Anordnung und ein computerlesbares Speichermedium zur rechnergestützen Ermittlung einer Zustandsgröße eines technischen Systems - Google Patents

Verfahren, Anordnung und ein computerlesbares Speichermedium zur rechnergestützen Ermittlung einer Zustandsgröße eines technischen Systems

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DE19915009A1 DE1999115009 DE19915009A DE19915009A1 DE 19915009 A1 DE19915009 A1 DE 19915009A1 DE 1999115009 DE1999115009 DE 1999115009 DE 19915009 A DE19915009 A DE 19915009A DE 19915009 A1 DE19915009 A1 DE 19915009A1
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    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators

Abstract

Es wird ein Verfahren, eine Anordnung und ein computerlesbares Speichermedium zur rechnergestützten Ermittlung einer Zustandsgröße eines technischen Systems unter Verwendung eines stochastischen Fehlers, welchen die zu ermittelnde Zustandsgröße aufweist, angegeben, bei welchem Verfahren ein erweiterter Fehler aus dem stochastischen Fehler und einem mengenbasierten Fehler, welchen die zu ermittelnde Zustandsgröße aufweist, ermittelt wird. Die Ermittlung der Zustandsgröße erfolgt unter Verwendung des erweiterten Fehlers.

Description

Die Erfindung bezieht sich auf eine Ermittlung einer Zu­ standsgröße eines technischen Systems unter Verwendung eines stochastischen Fehlers, welchen die zu ermittelnde Zustands­ größe aufweist.
Eine solche Ermittlung einer Zustandsgröße ist aus [1] be­ kannt.
Die ermittelte Zustandsgröße, welche unter Verwendung einer Abbildung, welche das technische System beschreibt, ermittelt wurde und einen Zustand des technischen System beschreibt, ist aufgrund eines stochastischen Fehlers bzw. einer stocha­ stischen Unsicherheit, den die ermittelte Zustandsgröße auf­ weist, lediglich eine Schätzung bzw. Näherung für eine unbe­ kannte, wahre Zustandsgröße des technischen Systems.
Bei dem aus [1] bekannten Verfahren wird eine Zustandsgröße eines technischen Systems unter Verwendung eines Kalman- Filters bestimmt.
Dabei liegt einer Verwendung eines Kalman-Filters folgendes Prinzip zugrunde:
Ein Zeitverhalten eines technischen Systems in Form einer Zeitreihe von Zustandsgrößen, welche Zustände des technischen Systems beschreiben, läßt sich berechnen, wenn ein mathemati­ sches Modell, welches das technische System beschreibt, Ein­ gangsgrößen des technischen Systems und ein Anfangszustand des technischen Systems bekannt sind.
Werden die Eingangsgrößen und der Anfangszustand am techni­ schen System gemessen, so liefert die Rechnung aufgrund von einem Meßfehler, beispielsweise ein Meßfehler von einem Sen­ sor oder eine unbekannte Eingangsgröße (Störgröße), im allge­ meinen nur eine Näherung bzw. einen Schätzwert für die wahre Zustandsgröße des technischen Systems.
Ein besserer Schätzwert für die wahre Zustandsgröße läßt sich unter Verwendung von einer statistischen Methode (Wahrschein­ lichkeitsrechnung) dann erzielen, wenn statistische Kennwerte für den Meßfehler, beispielsweise ein Mittelwert des Meßfeh­ lers und eine Streuung des Meßfehlers, bekannt sind. Der Meß­ fehler wird dann als ein vektorieller Zufallsprozeß (stocha­ stischer Prozeß) beschrieben. Diese Vorgehensweise wird als eine stochastische Filterung bezeichnet.
Bei einer stochastischen Filterung durch das Kalman-Filter, wie sie aus [1] bekannt ist, werden folgende Abbildungsvor­ schriften verwendet:
= H T * x + cy (Meßgleichung, 1)
mit:
: skalare Beobachtung, Messung
x: wahre Zustandsgröße des technischen Systems, vektori­ ell
H T = Meßvektor transponiert
cy = stochastischer Fehler, stochastische Unsicherheit und
p = x + c p (2)
mit:
p: a priori Schätzwert der wahren Zustandsgröße
c p: stochastischer Fehler, vektoriell, stochastische Unsi­ cherheit, vektoriell
wobei der stochastische Fehler cy und der stochastische Feh­ ler c p als mittelwertfreie m = 0 (für cy) und m = 0 (für c p), unabhängige und Gaussverteilte Zufallsvariable mit bekannten Kovarianzen Cy (für cy) und C p (für c p) gemäß folgender Schreibweise (stochastischer Fehler c ∼ Normalverteilung (Mittelwert m, Kovarianz C)) mit
cy ∼ N(0, Cy) und cp ∼ N(0, C p) angenommen werden.
Der Schätzwert für die wahre Zustandsgröße s ergibt sich als
und die zugehörige Kovarianz C s als
mit:
Cy, C p, C s: Kovarianz bzw. Kovarianzvektor
H: Meßvektor.
Aus [2] ist eine Bestimmung eines mengenbasierten Fehlers ei­ ner Zustandsgröße eines technischen Systems bekannt. Unter Verwendung des mengenbasierten Fehlers und einer Abbildung, welche das technische System beschreibt, kann eine Schätzgrö­ ße für die wahre Zustandsgröße des technischen Systems ermit­ telt werden.
Unter einem mengenbasierten Fehler (mengenbasierte Unsicher­ heit) wird ein Fehler (Unsicherheit) verstanden, von welchem lediglich ein Intervall, innerhalb dessen der mengenbasierte Fehler liegt, bekannt ist. Im Gegensatz zu einem stochasti­ schen Fehler sind bei dem mengenbasierten Fehler keine stati­ stischen Kennwerte für den Fehler bekannt.
Ein mengenbasierter Fehler tritt beispielsweise bei einer Quantisierung einer Meßgröße in einem Rechner auf.
Bei der Bestimmung des mengenbasierten Fehlers werden folgen­ de Abbildungsvorschriften verwendet:
= G T * x + ey (Meßgleichung, 5)
mit:
: skalare Beobachtung, Messung
x: wahre Zustandsgröße des technischen Systems, vektori­ ell
G, G T: Meßvektor, Meßvektor transponiert
ey: mengenbasierter Fehler, mengenbasierte Unsicherheit und
p = x + e p (6)
mit:
p: a priori Schätzwert der wahren Zustandsgröße
e p: mengenbasierter Fehler, vektoriell, mengenbasierte Un­ sicherheit, vektoriell
wobei für ey und e p keine statistischen Kennwerte bekannt sind. Für ey und e p ist lediglich eine Amplitudenbegrenzung gemäß
mit:
Ey, E p, E -1|p: Amplitudenbegrenzung, Amplitudenbegrenzungs- Vektor bzw. inverse Vektor von Amplitudenbe­ grenzungen
bekannt.
Das heißt, daß eine individuelle statistische Beschreibung der Zufallsvariablen ey und e p und deren Verbunddichte unbe­ kannt sind. Daher kann der mengenbasierte Fehler beispiels­ weise einen systematischen und/oder einen korrelierten Fehler aufweisen.
Ein Schätzwert s für die wahre Zustandsgröße des Systems ergibt sich als
und die zugehörige Matrix der Amplitudenbegrenzungen E s als
Der frei vorgebbare Parameter λ ∈ (0, ∞) kann so gewählt wer­ den, daß ein geeignetes Gütekriterium, beispielsweise ein Vo­ lumen einer Menge χs
minimiert wird.
Die bekannten Verfahren weisen insbesondere den Nachteil auf, daß bei diesen Verfahren jeweils nur der stochastische Fehler oder nur der mengenbasierte Fehler bei der Bestimmung eines Schätzwertes berücksichtigt wird.
In vielen Fällen weist aber ein Meßwert (Beobachtung), der für die Ermittlung eines Schätzwertes für eine wahre Zu­ standsgröße eines technischen Systems verwendet wird, sowohl einen stochastischen als auch einen mengenbasierten Fehler auf.
Dies führt dazu, daß ein Schätzwert, der gemäß einem der be­ kannten Verfahren bestimmt wird, in vielen Fällen eine große Unsicherheit aufweist. Somit beschreibt ein solcher Schätz­ wert einen Zustand des technischen System nur ungenau und un­ zuverlässig.
Somit liegt der Erfindung das Problem zugrunde, ein Verfahren und eine Anordnung sowie ein Speichermedium mit einem compu­ terlesbaren Programm zur Ermittlung einer Zustandsgröße eines technischen Systems anzugeben, welche Zustandsgröße einen Zu­ stand des technischen Systems zuverlässiger und genauer be­ schreibt als eine Zustandsgröße, welche gemäß den bekannten Verfahren und Anordnungen sowie Speichermedien mit computer­ lesbaren Programmen bestimmt wurde.
Das Problem wird durch das Verfahren und durch die Anordnung sowie das Speichermedium mit den Merkmalen gemäß den unabhän­ gigen Ansprüchen gelöst.
Bei einem Verfahren zur rechnergestützten Ermittlung einer Zustandsgröße eines technischen Systems unter Verwendung ei­ nes stochastischen Fehlers, welchen die zu ermittelnde Zu­ standsgröße aufweist, wird ein erweiterter Fehler aus dem stochastischen Fehler und einem mengenbasierten Fehler, wel­ chen die zu ermittelnde Zustandsgröße aufweist, ermittelt. Die Zustandsgröße wird unter Verwendung des erweiterten Feh­ lers ermittelt.
Eine Anordnung zur rechnergestützten Ermittlung einer Zu­ standsgröße eines technischen Systems unter Verwendung eines stochastischen Fehlers, welchen die zu ermittelnde Zustands­ größe aufweist, weist einen Prozessor auf, der derart einge­ richtet ist, daß folgende Schritte durchführbar sind:
  • - ein erweiterter Fehler ist aus dem stochastischen Fehler und einem mengenbasierten Fehler, den die zu ermittelnde Zustandsgröße aufweist, ermittelbar und
  • - die Zustandsgröße ist unter Verwendung des erweiterten Fehlers ermittelbar.
Auf einem computerlesbaren Speichermedium ist ein Programm gespeichert, das es einem Computer ermöglicht, nachdem es in einen Speicher des Computers geladen worden ist, folgende Schritte zur Ermittlung einer Zustandsgröße eines technischen Systems unter Verwendung eines stochastischen Fehlers, wel­ chen die zu ermittelnde Zustandsgröße aufweist, durchzufüh­ ren:
  • - ein erweiterter Fehler wird aus dem stochastischen Fehler und einem mengenbasierten Fehler, welchen die zu ermittelnde Zustandsgröße aufweist, ermittelt und
  • - die Zustandsgröße wird unter Verwendung des erweiter­ ten Fehlers ermittelt.
Der besondere Vorteil der Erfindung liegt darin, daß durch die Erfindung eine Schätzung einer wahren Zustandsgröße eines technischen Systems verbessert wird. Dies wird insbesondere dadurch erreicht, daß eine Unsicherheit, die eine Zustands­ größe aufweist, welche unter Berücksichtigung sowohl des sto­ chastischen Fehlers als auch des mengenbasierten Fehlers be­ stimmt wird, im Vergleich zu einer Unsicherheit, die eine Zu­ standsgröße aufweist, welche nur unter Berücksichtigung ent­ weder des stochastischen oder des mengenbasierten Fehlers er­ mittelt wird, kleiner ist.
Bevorzugte Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den abhängigen Ansprüchen.
Weiterbildungen der Anordnung und des Speichermediums sind insbesondere geeignet zur Realisierung von nachfolgend erläu­ terten Weiterbildungen des erfindungsgemäßen Verfahrens.
Bei komplexen technischen Systemen kann die Zustandsgröße ei­ ne mehrdimensionale Größe sein.
Für eine Minimierung des erweiterten Fehlers ist es vorteil­ haft, den stochastischen Fehler und/oder den mengenbasierten Fehler zu gewichten. Damit ist es möglich, einen Anteil des stochastischen Fehlers und einen Anteil des mengenbasierten Fehlers an dem erweiterten Fehler jeweils für ein technisches System derart anzupassen, daß die Zustandsgröße einen Zustand des technischen Systems zuverlässig beschreibt.
Für eine Verringerung einer Rechenzeit ist es von Vorteil, die Zustandsgröße rekursiv bzw. durch eine Rekursion zu er­ mitteln. Bei der Rekursion wird eine aktuelle Zustandsgröße unter Verwendung einer zuvor ermittelten Zustandsgröße und einer aktuellen Messung (Beobachtung) ermittelt. Diese Vorge­ hensweise ist insbesondere von Vorteil, weil dadurch bei der Ermittlung der aktuellen Zustandsgröße nicht alle zuvor durchgeführten Messungen einzeln berücksichtigt werden müs­ sen, sondern nur die zuvor ermittelte Zustandsgröße, welche ihrerseits alle zuvor durchgeführten Messungen berücksich­ tigt, berücksichtigt wird.
Die rekursive Ermittlung der Zustandsgröße weist ferner den Vorteil auf, daß dadurch im Verlauf einer Zeitreihe, welche aus den ermittelten Zustandsgrößen gebildet wird, die Zuver­ lässigkeit der jeweils aktuell ermittelten Zustandsgröße im Vergleich zu der Zuverlässigkeit der zuvor ermittelten Zu­ standsgröße verbessert wird. Das heißt, daß eine Qualität ei­ ner Schätzung eines Zustands eines technischen Systems im Verlauf der Zeitreihe der ermittelten Zustandsgröße zunimmt.
Bevorzugt wird eine Kovarianz Sz des stochastischen Fehlers unter Verwendung folgender Abbildungsvorschrift ermittelt:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
Bevorzugt wird eine Beschränkung Ez des mengenbasierten Feh­ lers unter Verwendung folgender Abbildungsvorschrift ermit­ telt:
mit:
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
λ: frei vorgebbarer Parameter.
In einer Weiterbildung wird die Zustandsgröße mz wie folgt ermittelt:
mit:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
Eine Weiterbildung weist ein Meßsystem auf, mit welchem eine Meßgröße, unter Verwendung derer die Zustandsgröße ermittelt wird, gemessen wird.
Bevorzugt wird eine Weiterbildung zur Positionsbestimmung für ein dynamisches System, beispielsweise für einen mobilen Ro­ boter, eingesetzt. Dies ist insbesondere von Vorteil, weil durch die Erfindung die Positionsbestimmung des dynamischen Systems verbessert wird.
Eine Ausgestaltung kann im Rahmen eines Navigationssystems des dynamischen Systems, beispielsweise für einen mobilen Ro­ boter, eingesetzt werden. Dabei wird die ermittelte Zustands­ größen für die Navigation des dynamischen Systems verwendet. Durch die verbesserte Schätzung eines Zustands des dynami­ schen Systems, welche durch die Erfindung erreicht wird, wird die Navigation des dynamischen Systems verbessert.
Ein Ausführungsbeispiel der Erfindung ist in Figuren darge­ stellt und wird im weiteren näher erläutert.
Es zeigen
Fig. 1 Ablaufdiagramm für eine Positionsermittlung und eine Navigation für einen mobilen Roboter.
Fig. 2 Zeitverlauf der ermittelten Zustandsgröße (ermittelte Position), Zeitverlauf der wahren Zustandsgröße (wah­ re Position), Zeitverlauf eines Vertrauensintervalls.
Fig. 3 Komponenten eines Systems für eine Positionsermitt­ lung und für eine Navigation für einen mobilen Robo­ ter.
Ausführungsbeispiel Positionsermittlung und Navigationssy­ stem eines mobilen Roboters
Fig. 1 zeigt anhand eines Ablaufdiagramms ein Verfahren zu ei­ ner Positionsermittlung und einer Navigation eines mobilen Roboters. Die Positionsermittlung und die Navigation wird mittels eines Navigationssystems, welches der mobile Roboter aufweist, durchgeführt.
Die Positionsermittlung und die Navigation des mobilen Robo­ ters ist ein rekursives mehrstufiges Verfahren 100, bei dem unter Verwendung einer Meßgröße und einer zuvor ermittelten Zustandsgröße des mobilen Roboters eine aktuelle Zustandsgrö­ ße des mobilen Roboters ermittelt wird und bei dem unter Ver­ wendung der aktuellen Zustandsgröße der mobile Roboter fort­ bewegt und navigiert wird.
Das Verfahren zur Positionsermittlung und zur Navigation weist, wie es in Fig. 1 dargestellt ist:
  • - einen ersten Verfahrensschritt 110 auf, im Rahmen des­ sen eine Beobachtung bzw. eine Messung durchgeführt wird;
  • - einen zweiten Verfahrensschritt 120 auf, im Rahmen dessen ein stochastischer Fehler ermittelt wird
  • - einen dritten Verfahrensschritt 130 auf, im Rahmen dessen ein mengenbasierter Fehler ermittelt wird;
  • - einen vierten Verfahrensschritt 140 auf, im Rahmen dessen ein erweiterter Fehler unter Verwendung des stochstischen und des mengenbasierten Fehlers ermit­ telt wird;
  • - einen fünften Verfahrensschritt 150 auf, im Rahmen dessen die aktuelle Zustandsgröße aus dem erweiterten Fehler ermittelt wird;
  • - einen sechsten Verfahrensschritt 160 auf, im Rahmen dessen die Navigation des mobilen Roboters in Abhän­ gigkeit der aktuellen Zustandsgröße durchgeführt wird.
Die aktuelle Zustandsgröße wird in einer Rückführung 170 als die zuvor ermittelte Zustandsgröße als eine Eingangsgröße zu dem zweiten Verfahrensschritt 120 zurückgeführt.
Fig. 3 zeigt schematisch die Komponenten für das Verfahren zur Positionsermittlung und zur Navigation des mobilen Roboters 310.
In Fig. 3 ist ein Raum 300 dargestellt, in dem sich der mobile Roboter 310 fortbewegt. Der mobile Roboter 310 weist einen Abstandssensor 311 auf, mit welchem ein Abstand Db zu einem Referenzkörper 312 zu einem Zeitpunkt k gemessen wird (erster Verfahrensschritt 110).
Der Abstandssensor 311 ist mit einer Recheneinheit 313 derart verbunden, daß ein Signal zu der Recheneinheit 313 übertragen werden kann. Die Recheneinheit 313 weist einen Prozessor 314 und einen durch einen Bus 315 mit dem Prozessor 314 verbunde­ nen Speicher 316 auf. In dem Speicher 316 ist das nachfolgend beschriebene Verfahren zur Positionsermittlung in Form eines Computerprogramms gespeichert und wird von dem Prozessor 314 ausgeführt.
Eine Position des mobilen Roboters 310 ist durch eine eindi­ mensionale Koordinate z, welche eine Zustandsgröße des mobi­ len Roboters 310 ist, beschreibbar.
Eine Messung 110 (erster Verfahrensschritt 110) erfolgt der­ art, daß in einem vorgegeben zeitlichen Abstand von 0.1 s je­ weils zu einem Zeitpunkt k der Abstand Db von dem mobilen Ro­ boter 310 zu dem Referenzkörper 312 mittels des Abstandssen­ sors 311 gemessen wird.
Die Position des Referenzkörpers 312 bezüglich der eindimen­ sionalen Koordinate z ist bekannt, wobei die Position des Re­ ferenzkörpers 312 eine unbekannte Toleranz aufweist:
zB = B + ΔzB (16)
mit:
ΔzB, unbekannte, intervall-begrenzte Toleranz der Position des Referenzkörpers
b: Beschränkung für die Toleranz des Referenzkörpers
zB: Position des Referenzkörpers
B: wahre Position des Referenzkörpers.
Die unbekannte Toleranz des Referenzkörpers 312 ΔzB stellt einen mengenbasierten Fehler (Unsicherheit) bei der Position­ sermittlung des mobilen Roboters 310 dar.
Ferner weisen Signale des Abstandssensor 311 ein überlagertes weißes Gaußsches-Rauschen auf, welches durch einen Mittelwert Null und eine bekannte Varianz σ, welche Varianz σ von ei­ ner Oberflächencharakteristik des Referenzkörpers 312 ab­ hängt, beschreibbar ist.
Das weiße Gaußsche-Rauschen stellt einen stochastischen Feh­ ler c (Unsicherheit) bei der Positionsermittlung des mobilen Roboters 310 dar.
Die stochastische Unsicherheit c wird im folgenden mit c ∼ N(Mittelwert = 0, Varianz = σ) beschrieben, wobei der Ausdruck N(m, σ) eine Normalverteilung mit den statistischen Kennwerten Mittelwert m und Varianz σ bedeutet.
Im folgenden wird angenommen, daß der stochastische Fehler c und der mengenbasierte Fehler e additiv sind.
Ein erweiterter Fehler f läßt sich wie folgt beschreiben:
f = f(c + e).
Fig. 3 zeigt eine Bewegungsrichtung 317 des mobilen Roboters 310, die normal zu der Koordinate z ist, bei einer Messung 110. Eine Zeitdauer der Messung beträgt 100 s, wobei k = 1, . . ., 1000 Abstandswerte Dk bestimmt (beobachtet) und zu einer Zeitreihe gruppiert werden.
Der Positionsermittlung des mobilen Roboters 310 liegen fol­ gende Prinzipien zugrunde:
Eine Messung yk zu dem Zeitpunkt k wird beschrieben durch:
yk = z + ek + ck (18)
bzw.
yk = zB + Dk = zd + ΔzB + ck (19)
mit:
ek, ck: mengenbasierter Fehler, stochastischer Fehler
zd: wahrer Abstand des mobilen Roboters zum Referenz­ körper
Ek: Beschränkung für den mengenbasierten Fehler
wobei folgendes gilt:
e 2|k ≦ Ek, mit Ek = E = 1 und ek = e = -0,5;
ck ∼ N(0, σ), mit σ = 3
z = 12.
Die rekursive Ermittlung der Zustandsgröße wird auf folgende Weise initialisiert:
m(1) = y1 (20)
E(1) = E1 (21)
S(1) = σ2 (22).
Die rekursive Ermittlung der Zustandsgröße mz erfolgt nach folgender Vorschrift:
mx = m(k - 1) (23)
Ex = E(k - 1) (24)
Sx = S(k - 1) (25)
und
my = yk (26)
Ey = Ek (27)
Sy = σ2 (28)
wobei:
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße einer Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers der Be­ obachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Feh­ lers der Beobachtung x
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers der Beobach­ tung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers der Beobachtung y.
Für die Zustandsgröße mz, für die Kovarianz des stochasti­ schen Fehlers Sz der Zustandsgröße mz und für die Beschrän­ kung des mengenbasierten Fehlers Ez der Zustandsgröße mz er­ gibt sich (zweiter bis fünfter Verfahrensschritt):
mit:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
λ: frei vorgebbarer Parameter.
Ein erweiterter Fehler fz ergibt sich durch Addition des sto­ chastischen Fehlers cz der Zustandsgröße mz und des mengenba­ sierten Fehlers ez der Zustandsgröße mz:
fz = cz + ez.
Unter Verwendung des erweiterten Fehlers ez läßt sich die Zu­ standsgröße mz wie folgt ermitteln:
mz = mz(fz) = mz(cz + ez)
mit:
wx, wy: Gewichte
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
Der frei vorgebbare Parameter λ wird derart bestimmt, daß folgende Beziehung minimiert wird:
√E + a√S) → min (29)
mit:
a: Gewichtungsparameter, hier a = 3.
Die Minimierung erfolgt numerisch unter Verwendung eines be­ kannten Optimierungsverfahren der "goldene Schnitt".
Durch eine geeignete Wahl des Gewichtungsparameters a werden der stochastische Fehler cz und der mengenbasierte Fehler ez gewichtet.
Die ermittelte Zustandsgröße stellt eine Schätzung für die Position des mobilen Roboters dar. Unter Verwendung der er­ mittelten Zustandsgröße wird der mobile Roboter fortbewegt (sechster Verfahrensschritt 160).
Fig. 2a bis 2c zeigt einen Zeitverlauf der ermittelten Zu­ standsgröße (ermittelte Position) m(k), den Zeitverlauf der wahren Zustandsgröße (wahre Position) z und den Zeitverlauf eines Vertrauensintervalls
Für beliebig viele Meßzeitpunkte k konvergiert das Vertrau­ ensintervall zu folgendem Intervall:
Die im Rahmen des Ausführungsbeispiels beschriebenen Abbil­ dungen bzw. Beziehungen sind nicht auf einen konkreten Fall beschränkt, sondern basieren auf folgenden Überlegungen:
Eine Beobachtung/Messung einer Zustandsgröße eines Systems weist einen stochastischen Fehler (Unsicherheit) c bzw. cx, cy und einen mengenbasierten Fehler (Unsicherheit) e bzw. ex, ey auf. Der stochastische Fehler c und der mengenbasierte Fehler e sind additiv und können zu einem erweiterten Fehler f = f(c + e) zusammengefaßt werden.
Eine Beobachtung x und eine Beobachtung y der Zustandsgröße z läßt sich wie folgt beschreiben.
x = z + ex + cx (30)
y = z + ey + cy (31)
mit:
wobei:
Ex, Ey: Beschränkungen für den mengenbasierten Fehler.
Die Beobachtung x und die Beobachtung y können beispielsweise zwei Beobachtungen der Zustandsgröße z zu einem Zeitpunkt (k-1) und k sein.
Ferner gilt für den mengenbasierten Fehler:
wobei:
wx + wy = 1 (39)
wx, wy: Gewichte
λ ∈ [- 0,5; 0,5]
λ: frei vorgebbarer Parameter
d: Streckungsfaktor
Pz: Zwischengröße.
Unter Verwendung des frei vorgebbaren Parameters λ können die Beobachtung x und die Beobachtung y gewichtet werden.
Eine unter Verwendung der Beobachtung x und der Beobachtung y ermittelte Zustandsgröße mz wird wie folgt bestimmt:
Ein erweiterter Fehler fz ergibt sich durch Addition des sto­ chastischen Fehlers cz der Zustandsgröße mz und des mengenba­ sierten Fehlers ez der Zustandsgröße mz:
fz = cz + ez.
Unter Verwendung des erweiterten Fehlers fz läßt sich die Zu­ standsgröße mz wie folgt ermitteln:
mz = mz(fz) = mz(cz + ez)
mit:
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
wobei die Kovarianz des stochastischen Fehlers Sz der ermit­ telten Zustandsgröße mz und die Beschränkung des mengenba­ sierten Fehlers Ez der ermittelten Zustandsgröße mz nach fol­ genden Vorschriften bestimmt werden:
mit:
mit:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
λ: frei vorgebbarer Parameter.
Im folgenden werden Alternativen des Ausführungsbeispiels an­ gegeben.
Anstelle der eindimensionalen Zustandsgröße z oder der eindi­ mensionalen Beobachtung x oder y kann auch eine mehrdimensio­ nale Zustandsgröße, beispielsweise die Koordinate z und ein Drehwinkel der mobilen Einheit, oder eine mehrdi­ mensionale Beobachtung verwendet werden. Die Abbildungsvor­ schriften können entsprechend angepaßt werden.
Eine Optimierungsbedingung zur Bestimmung des frei vorgebba­ ren Parameter λ, mit welcher der stochstische Fehler und der mengenbasierte Fehler gewichtet werden, kann auch folgender­ maßen gewählt werden:
Ek + b * Sk) → min (40)
mit b = Gewichtungsparameter.
Im Rahmen dieses Dokuments wurden folgende Veröffentlichungen zitiert:
[1] K. Brammer, G. Siffling, "Kalman-Bucy-Filter", S. 60-129, 4. verb. Auflage, R. Oldenburg Verlag GmbH, ISBN 3- 486-22779-3, München 1994;
[2] U. Hanebeck, "Lokalisierung eines mobilen Roboters mit­ tels effizienter Auswertung von Sensordaten und mengenba­ sierter Zustandsschätzung", S. 6-28, Fortschrittsbe­ richte VDI, Reihe 8, Nr. 643, VDI Verlag GmbH, ISBN 3-18- 364308-1, Düsseldorf 1997.

Claims (21)

1. Verfahren zur rechnergestützten Ermittlung einer Zustands­ größe eines technischen Systems unter Verwendung eines stochastischen Fehlers, welchen die zu ermittelnde Zu­ standsgröße aufweist, dadurch gekennzeichnet, daß
  • - ein erweiterter Fehler aus dem stochastischen Fehler und einem mengenbasierten Fehler, welchen die zu ermit­ telnde Zustandsgröße aufweist, ermittelt wird und
  • - die Zustandsgröße unter Verwendung des erweiterten Fehlers ermittelt wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem die Zustandsgröße eine mehrdimensionale Größe ist.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem der stochastische Fehler und/oder der mengenbasierte Fehler gewichtet werden.
4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem die Zustandsgröße rekursiv ermittelt wird.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, bei dem eine Kovarianz Sz des stochastische Fehlers unter Verwendung folgender Abbildungsvorschrift ermittelt wird:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, bei dem eine Beschränkung Ez des mengenbasierten Fehlers un­ ter Verwendung folgender Abbildungsvorschrift ermittelt wird:
mit:
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
λ: frei vorgebbarer Parameter.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem die Zustandsgröße mz unter folgender Abbildungsvor­ schrift ermittelt wird:
mit:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 7, bei dem eine Meßgröße gemessen wird und unter Verwendung der Meßgröße die Zustandsgröße ermittelt wird.
9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8, eingesetzt zu einer Positionsbestimmung des technischen Sy­ stems.
10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, eingesetzt im Rahmen eines Navigationssystems des technischen Systems.
11. Anordnung zur rechnergestützten Ermittlung einer Zustands­ größe eines technischen Systems unter Verwendung eines stochastischen Fehlers, welchen die zu ermittelnde Zu­ standsgröße aufweist, mit einem Prozessor
dadurch gekennzeichnet, daß
der Prozessor derart eingerichtet ist, daß folgende Schritte durchführbar sind:
  • - ein erweiterter Fehler ist aus dem stochastischen Feh­ ler und einem mengenbasierten Fehler, welchen die zu er­ mittelnde Zustandsgröße aufweist, ermittelbar und
  • - die Zustandsgröße ist unter Verwendung des erweiterten Fehlers ermittelbar.
12. Anordnung nach Anspruch 11, bei der die Zustandsgröße eine mehrdimensionale Größe ist.
13. Anordnung nach Anspruch 11 oder 12, bei der der stochastische Fehler und/oder der mengenbasierte Fehler gewichtbar sind.
14. Anordnung nach einem der Ansprüche 11 bis 13, bei der die Zustandsgröße rekursiv ermittelbar ist.
15. Anordnung nach einem der Ansprüche 11 bis 14, bei der eine Kovarianz Sz des stochastischen Fehlers unter Verwendung folgender Abbildungsvorschrift ermittelbar ist:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
16. Anordnung nach einem der Ansprüche 11 bis 15, bei der eine Beschränkung Ez des mengenbasierten Fehlers un­ ter Verwendung folgender Abbildungsvorschrift ermittelbar ist:
mit:
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
λ: frei vorgebbarer Parameter.
17. Anordnung nach einem der Ansprüche 11 bis 16, bei der die Zustandsgröße mz unter Verwendung folgender Ab­ bildungsvorschrift ermittelbar ist:
mit:
wx, wy: Gewichte
mx, my: Zustandsgröße einer Beobachtung x, Zustandsgröße ei­ ner Beobachtung y
Ex, Ey: Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer, Beobachtung x, Beschränkung des mengenbasierten Fehlers einer Beobachtung y
Sx, Sy: Kovarianz des stochastischen Fehlers einer Beob­ achtung x, Kovarianz des stochastischen Fehlers ei­ ner Beobachtung y
exp(. . .): Exponentialfunktion
erf(. . .): Abbildungsvorschrift gemäß
18. Anordnung nach einem der Ansprüche 11 bis 17, mit einem Meßsystem zur Messung einer Meßgröße, unter Verwen­ dung derer die Zustandsgröße ermittelbar ist.
19. Anordnung nach einem der Ansprüche 11 bis 18, eingesetzt zu einer Positionsbestimmung des technischen Sy­ stems.
20. Anordnung nach einem der Ansprüche 11 bis 19, eingesetzt im Rahmen eines Navigationssystems des technischen Systems.
21. Computerlesbares Speichermedium, auf dem ein Programm ge­ speichert ist, das es einem Computer ermöglicht, nachdem es in einen Speicher des Computers geladen worden ist, folgende Schritte durchzuführen zur Ermittlung einer Zu­ standsgröße eines technischen Systems unter Verwendung ei­ nes stochastischen Fehlers, welchen die zu ermittelnde Zu­ standsgröße aufweist,
dadurch gekennzeichnet, daß
  • - ein erweiterter Fehler aus dem stochastischen Fehler und einem mengenbasierten Fehler, welchen die zu ermit­ telnde Zustandsgröße aufweist, ermittelt wird und
  • - die Zustandsgröße unter Verwendung des erweiterten Fehlers ermittelt wird.
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