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Die
Erfindung betrifft ein Verfahren zum Messen von Daten, bei dem zwischen
Signalen und dem Einfluss von Rauschen unterschieden werden kann.
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Es
sind Verfahren zum Auswerten von Daten bekannt, bei denen ein Maximum
oder ein Minimum ermittelt werden soll. Zur Ermittlung des Maximums
oder Minimums aus einer gegebenen Menge sind eine Vielzahl von mit
Vergleichsoperatoren arbeitender Verfahren bekannt. Zur Lösung des
Problems, einen zeitlichen Verlauf von Messwerten oder statistisch
korrelierten Daten zu prognostizieren, ist ein Vorhersageverfahren
aus P. Tryfos und R. Blackmore, J. Am. Stat. Assoc. 80, S.46-50,
1985, bekannt. Dieses Verfahren dient dazu, zukünftige Maxima vorherzusagen.
Es ist mithilfe dieses Verfahrens auch möglich, einen zeitlichen Verlauf
von Maxima zu ermitteln. Dieses sehr aufwendige und zeitintensive
Verfahren ist jedoch nicht für
technische Anwendungen geeignet, die in möglichst kurzer Zeit – beispielsweise
in Echtzeit – erfolgen.
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Der
Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Messverfahren zu schaffen,
bei dem wirksam zwischen Signalen und einem Einfluss durch ein Rauschen
unterschieden werden kann.
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Erfindungsgemäß wird diese
Aufgabe dadurch gelöst,
dass ein Rauschsignal über
einen Zeitraum ermittelt wird und dass eine statistische Verteilung
des Rauschsignals ermittelt wird, wobei die ermittelte Verteilung
der Rauschsignale in eine Formel eingesetzt wird, die numerisch
im Wesentlichen der nachfolgenden Formel
entspricht,
wobei N die Anzahl der Messwerte bedeutet und wobei ein so ermitteltes
Maximum des Rauschsignals als Schwellenwert für das Auftreten eines Signals
eingesetzt wird.
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Die
Erfindung sieht also vor, ein Messverfahren so durchzuführen, dass
nur solche Werte als Messwerte erfasst werden, die größer sind
als zu erwartende Rauschsignale. Somit wird ein Rauschen durch Bestimmung
eines hierfür
zu erwartenden Maximalwertes eliminiert.
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Das
Verfahren beinhaltet einen Schritt, bei dem ein Maximum einer zweiten,
vorzugsweise großen, Datenmenge
mit N Elementen aus einer statistischen Verteilung extrapoliert
wird, insbesondere aus der statistischen Verteilung einer ersten
Datenmenge. Vorzugsweise ist hierbei die Größe der ersten Datenmenge kleiner
als N, jedoch ist dies kein notwendiges Kriterium. Mit ρ wird eine
Verteilung von Daten dargestellt. Bei der Verteilung ρ handelt
es sich vorzugsweise um eine Verteilungsfunktion ρ(x), dies
ist jedoch gleichfalls kein notwendiges Kriterium.
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Der
Buchstabe ρ ist
an verschiedenen Stellen dieses Anmeldetextes in verschiedenen Größen und
mit verschiedenen Schreibformen dargestellt; jedoch ist dies lediglich
durch das verwendete Schreibprogramm bedingt.
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Bei
dem Verfahrensschritt wird ein Wert ermittelt, der der angegebenen
Formel nahe kommt. Die Erfindung ist jedoch nicht auf eine direkte
Berechnung der Integrale beschränkt,
sondern umfasst auch den Fall, dass diese Integrale auf eine geeignete
Weise berechnet, approximiert oder durch ihren Werten entsprechende
Tabellen ersetzt werden.
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Bei
einigen Anwendungen ist es besonders zweckmäßig, die Integrale unmittelbar
auszurechnen, beziehungsweise durch ein geeignetes Verfahren zu
approximieren. Bei anderen Anwendungen, insbesondere bei denen der
Computer häufig
benutzt, beziehungsweise ein erfindungsgemäßes Verfahren öfters durchgeführt wird,
ist es jedoch vorteilhafter, anstelle der Integrale, beziehungsweise
einer sie approximierenden Rechenvorschrift, Tabellen mit ihnen
entsprechenden Zahlenwerten einzusetzen. Eine unmittelbare Berechnung der
Integrale, beziehungsweise einer sie approximierenden Formel, ist
zwar mit dem zeitlichen Vorteil verbunden, dass eine Berechnung
der Tabelle nicht erforderlich ist, jedoch ist ein Einsatz einer – einmal
berechneten – Tabelle
bei wiederholten Berechnungen als Ersatz für die Formeln, beziehungsweise
ihrer Approximation, mit einem Zeitvorteil verbunden.
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Eine
Berechnung der Integrale kann auf verschiedene Weise erfolgen, wobei
mögliche
Berechnungs- beziehungsweise Näherungsverfahren
beispielsweise aufgeführt
sind in Bronstein, Semendjajew, Musiol und Mühlig, Taschenbuch der Mathematik,
Kapitel 7, Integralrechnung, beziehungsweise Kapitel 16, Numerische Mathematik,
ISBN 3-8171-2001-X, Frankfurt, beziehungsweise in William H. Press,
Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical
Recipes in C, The Art of Scientific Computing, Kapitel 4, Integration of
Func tions, ISBN 0-521-43108-5, Cambridge. Die Patentanmeldung nimmt
auf diese Veröffentlichungen
vollinhaltlich Bezug.
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Es
ist jedoch gleichfalls möglich,
ein entsprechend den genannten Formeln ermitteltes Ergebnis mit einer
anderen geeigneten Berechnungsvorschrift zu verknüpfen und
so das erwartete Maximum oder Minimum zu ermitteln. Eine derartige
Verknüpfung
ist insbesondere dann zweckmäßig, wenn
die Werte des Datensatzes eine systematische Veränderung, beispielsweise einen
zeitlichen Trend, aufweisen. Ein Beispiel hierfür ist eine Korrelationsanalyse,
wie sie unter anderem bei der Detektion neuronaler Aktivität mittels
kernmagnetischer Resonanztomographie eingesetzt wird. Sie wird durch
die Berechnung der Kreuzkorrelationskoeffizienten zwischen einem
Referenzvektor, also einer Modell-Zeitreihe und den Zeitreihen von
betrachteten Voxeln (volume element = Volumenelement) realisiert.
Eine Echtzeit-Korrelationsanalyse ist aus Cox, R. W., Jesmanowicz,
A., Hyde, J. S. Magn. Reson. Med., 33, 230, 1995 bekannt, die die
Unterdrückung
von Stör-Signalen
mittels eines Detrending-Verfahrens unterstützt. Bei einem Detrending-Verfahren
wird der Versuch unternommen, den Effekt von nicht durch einen Stimulus
induzierten Signaländerungen
in gemessenen Zeitreihen zu reduzieren. Mathematisch heißt das,
dass der Meßvektor,
also der Vektor, der die gemessene Zeitreihe eines Voxels beinhaltet,
in die Summe zweier orthogonaler Vektoren aufgespalten wird. Der
Anteil, der durch eine Linear-Kombination von Detrending-Vektoren
beschrieben wird, wird verworfen. Die Detrending-Vektoren, die mathematisch
gesehen eine Basis bilden, beinhalten die Zeitreihen, aus deren
gewichteter Summe der Gesamtstöranteil
der gemessenen Zeitreihen beschrieben wird. Durch Anwendung von
Detrending auf die in der Korrelationsberechnung eingehenden Mess-
und Referenzvektoren kann der Effekt von nicht durch einen Stimulus induzierten
Signaländerungen
auf die Korrelationsbilder reduziert werden. Die Erfindung enthält daher
ausdrücklich
auch den Fall, dass die Berechnung der Minima und/oder Maxima unter
Einsatz von Verfahrensschritten, welche einen beobachteten oder
erwarteten Verlauf der Daten wiedergeben, erfolgt.
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Besonders
zweckmäßig ist
es, einen Computer so auszustatten, dass er ein Auswertemittel enthält, mit
dem eine Ermittlung einer Standardabweichung des Maximums möglich ist,
und dass das Auswertemittel so beschaffen ist, dass es einen Zahlenwert
ermittelt, der im Wesentlichen einem sich mit der Formel
ergebenden Wert entspricht.
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Es
ist gleichfalls vorteilhaft, einen Computer so zu gestalten, dass
er ein Auswertemittel enthält,
mit dem eine Ermittlung einer Standardabweichung des Minimums möglich ist,
und dass das Auswertemittel so beschaffen ist, dass es einen Zahlenwert
ermittelt, der im Wesentlichen einem sich mit der Formel
ergebenden Wert entspricht.
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Die
Erfindung sieht ferner vor, ein Verfahren zur Auswertung von Daten,
bei dem ein extremaler Wert der Daten ermittelt wird, so durchzuführen, dass
eine Teilmenge der Daten ausgewählt
wird, dass für
in der Teilmenge enthaltene Daten eine Verteilung ρ ermittelt
wird, und dass ein Maximum und/oder Minimum aller Daten ermittelt
wird, dass das Maximum so ermittelt wird, dass sein Wert im Wesentlichen
der Formel
entspricht
und/oder
dass das Minimum so ermittelt wird, dass sein Wert im Wesentlichen
der Formel
entspricht.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren
sieht vor, eine Stichprobe von Daten zu erstellen und anhand einer statistischen
Verteilung von Werten in dieser Stichprobe einen maximalen Wert
einer weiteren Verteilung, insbesondere einer Gesamtverteilung,
zu ermitteln. Die Erfindung sieht also einen mehrstufigen Prozess
vor, wobei die erste Stufe eine Datenaufnahme oder Datenanalyse
beinhaltet. In einem weiteren Schritt wird aufgrund einzelner gemessener
beziehungsweise ermittelter Daten auf maximale und/oder minimale
Werte für
weitere Daten in ei ner N Datensätze
umfassenden Datenmenge geschlossen. Da für dieses Verfahren nur eine
Teilmenge der Gesamtdaten benötigt
wird, ist es hiermit möglich,
anhand der Verteilung der Werte innerhalb dieser Teilmenge einen
maximalen oder minimalen Wert der Gesamtmenge vorherzusagen.
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Bevorzugte
Auswertemethoden, weitere Vorteile, Besonderheiten und zweckmäßige Weiterbildungen der
Erfindung ergeben sich aus den Unteransprüchen sowie der nachfolgenden
Darstellung eines bevorzugten Ausführungsbeispiels der Erfindung
anhand von Beispielrechnungen und einer Tabelle.
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Die
Tabelle enthält
einen Datensatz mit 1014 Werten eines, einen BOLD-Effekt-wiedergebenden
Signals einer NMR (Nuclear Magnetic Resonance) – Messung eines Probanden in
einem Ruhezustand über
einen Zeitraum von etwa 9 Minuten. Bei dem BOLD-Effekt (Blood Oxygen Level Dependent – Effect)
handelt es sich um einen biologischen Wirkmechanismus, bei dem eine
Konzentration von Deoxihämoglobin
(DOH) – ein
paramagnetischer Stoff, welcher die Magnetfeldhomogenität verringert
und damit die Signalrelaxation beschleunigt – eine NMR-Signalrelaxation
moduliert.
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Die
Tabelle enthält
nacheinander die gemessenen Werte, wobei der zuerst gemessene Messwert
am linken oberen Ende der Tabelle steht und die nachfolgenden, in äquidistanten
Zeitintervallen von 0,5 Sekunden gemessenen, Werte im Anschluss
an diesen Wert spaltenweise wiedergegeben sind. Hierbei sind zeitlich
aufeinander folgende Werte untereinander angeordnet und in den nachfolgenden
Spalten entsprechend fortgeführt.
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Eine
statistische Verteilung der ersten 10 Werte dieser Messreihe wird
ermittelt, was durch eine Approximation der Ver teilungsfunktion ρ(x) mit einer
Gaussfunktion mit einem Mittelwert von 165,70 und einer Standardabweichung σ = 2,610
geschieht. Die ermittelte Verteilungsfunktion ρ(x) sowie N = 1014 werden in die
Formeln
eingesetzt.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren
kann mathematisch wie folgt nachvollzogen werden:
Ausgangspunkt
ist die Ermittlung von N = 1014 erwarteten Messwerten, die mathematisch
als Zufallszahlen x
i betrachtet werden.
Die Zufallszahlen x
i werden aus einer Zufallsvariablen
mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte ρ, die im Beispiel als Gaussfunktion
angenommen wird, gewonnen. Von diesen Zufallszahlen wird das Maximum
beziehungsweise Minimum bestimmt. Durch mehrfache Wiederholung dieses
Vorgangs, der aus dem Ziehen von N Zufallszahlen und der Ermittlung
des maximalen Wertes besteht, ergibt sich eine Häufigkeitsverteilung der Maxima,
die im Grenzfall unendlich vieler Wiederholungen gegeben ist durch
die Formel
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Der
Erwartungswert dieser Verteilung ist das geschätzte Maximum.
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Durch
mehrfache Wiederholung dieses Vorgangs, der aus dem Ziehen von N
Zufallszahlen und der Ermittlung des minimalen Wertes besteht, ergibt
sich eine Häufigkeitsverteilung
der Minima, die im Grenzfall unendlich vieler Wiederholungen gegeben
ist durch die Formel
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Der
Erwartungswert dieser Verteilung ist das geschätzte Minimum.
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Noch
bessere numerische Ergebnisse – jedoch
mit höherem
Berechnungsaufwand als bei einer Gaussfunktion – können erzielt werden durch eine
abgeschnittene Gaussfunktion, die berücksichtigt, dass zum Beispiel
bei bestimmten Daten negative Werte ausgeschlossen sind oder dass
es zum Beispiel bei physikalischen Größen prinzipielle Grenzen gibt,
die nicht überschritten
werden können.
Bei der Anwendung einer abgeschnittenen Gaussfunktion ist auf eine
korrekte Normierung zu achten. Üblicherweise
ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf 1 normiert.
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Eine
Beurteilung der statistischen Güte
des ermittelten Maximums kann beispielsweise durch eine Standardabweichung
erfolgen. Die Standardabweichung für das Maximum wird gemäß der Formel
berechnet.
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Die
Standardabweichung des Minimums wird gemäß der Formel
berechnet.
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Als
Wert für
das Maximum ergibt sich ein Wert von 174,17 +/– 0,957 und als Wert für das Minimum
ein Wert von 157,23 +/– 0,957.
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In
einem späteren
Verfahrensschritt wurde die Messreihe für die gesamten gemessenen Daten
untersucht. Hierbei wurde festgestellt, dass das Maximum 172 und
das Minimum 156 der gesamten gemessenen Daten beträgt.
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Angesichts
von Auswirkungen von physiologischen Effekten, die insbesondere
den Anfangsbereich einer NMR-Messung beeinflussen, ist es überraschend,
dass mithilfe des erfindungsge mäßen Verfahrens
aus einer derart geringen Anzahl von Werten die Maxima und Minima
der Gesamtmenge, die hier 1014 Datenwerte umfasst, mit einer derart
hohen Zuverlässigkeit
ermittelt werden konnten.
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Diese
Vorhersagemöglichkeit
gestattet es, einen Messwerterfasser so auszustatten, dass er seine Empfindlichkeit
anhand von ersten Messwerten so einstellt, dass er innerhalb der
Maxima und Minima liegende Werte mit größtmöglicher Auflösung feststellen
kann.
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Hierzu
ist es zweckmäßig, den
Messwertaufnehmer so zu gestalten, dass sein Messbereich, beziehungsweise
ein Bereich mit einer erhöhten
Messempfindlichkeit oder ein Bereich mit einer möglichst hohen Datenerfassungsdichte,
in Abhängigkeit
von den vorhergesagten Maxima und Minima gestaltet wird.
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Es
ist besonders zweckmäßig, den
Messbereich so zu wählen,
dass seine untere Grenze geringer ist, als das vorhergesagte Minimum
und dass seine obere Grenze höher
ist als das Maximum. Ein geeigneter Betrag, um den das experimentelle
Minimum geringer ist als das vorhergesagte Minimum, geht von dem
vorhergesagten Minimum als Ausgangswert aus, zieht die Standardabweichung
dieses Minimums sowie beispielsweise etwa 10 % des Differenzwertes
zwischen vorhergesagtem Minimum und vorhergesagtem Maximum ab.
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Weiterhin
ist es zweckmäßig, dass
auch ein oberer Bereich für
die Messwertaufnahme in Abhängigkeit von
dem vorhergesagten Maximum bestimmt wird, was in besonders zweckmäßiger Weise
dadurch geschehen kann, dass zu dem oberen Wert seine Standardabweichung
und ein weiterer Wert addiert werden. Bei dem weiteren Wert kann
es sich beispielsweise um 10 % des Differenzbetrages zwischen dem
Maximum und dem Minimum handeln.
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Das
dargestellte Beispiel zeigt eine Verwendung eines Computers beziehungsweise
den Einsatz eines erfindungsgemäßen Verfahrens
zur Auswertung einer NMR-Messreihe. Die Erfindung ist jedoch nicht
auf Anwendungen in der kernmagnetischen Resonanztomographie beschränkt. Die
Erfindung ist vielmehr in weiten Technologiebereichen einsetzbar.
Aus der statistischen Verteilung von Daten werden Maxima und/oder
Minima einer größeren Datenmenge
ermittelt. Diese Ermittlung kann nachträglich erfolgen und erspart
so, einen großen
Datensatz zu analysieren. In diesem Fall wird aus einem großen Datensatz
eine geeignete Stichprobe einzelner Daten entnommen, die statistische
Verteilung dieser Werte untersucht und hierbei die Maxima und Minima
der Gesamtmenge ermittelt. Somit ist es beispielsweise möglich, bei
einer Qualitätssicherung
einzelne Produkte einer oder mehrerer Produktionslinien aus dem
Produktionsprozess auszusortieren, Abweichungen von Sollwerten zu
erfassen und festzustellen, wie groß andere, nicht untersuchte
Proben von den geforderten Sollwerten abweichen.
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Ein
anderes Anwendungsgebiet der Erfindung betrifft Echtzeit-Messprozesse, bei
denen aus einer statistischen Verteilung von Anfangsdaten Maxima
und/oder Minima von einem in einem weiteren Verfahrensverlauf auftretenden
Werte ermittelt werden.
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Mithilfe
der Erfindung ist es sowohl möglich,
komplette Produktionsprozesse zu steuern, als auch kleinste Einheiten,
beispielsweise Schaltungen oder Mikrosysteme, zu betreiben.
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Hierzu
ist es besonders zweckmäßig, dass
die Schaltung ein Auswertemittel enthält, welches ein Maximum entsprechend
der Formel
und/oder
ein Minimum nach der Formel
berechnet.
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Hierdurch
ist es möglich,
einen Analog-Digital-Wandler so zu gestalten, dass er in einem Bereich,
in dem aufgenommene Messwerte zu erwarten sind, eine erhöhte Auflösung aufweist.
Das Prinzip einer veränderlichen
Empfindlichkeit kann jedoch auch in anderen Schaltungen eingesetzt
werden und so beispielsweise die Qualität eines Verstärkers beeinflussen.
Bereits am Beispiel eines Transistor-Verstärkers wird die Wirkweise der
Erfindung deutlich, denn hierbei wird der Arbeitspunkt des Transistors
durch eine Regelung der Betriebsspannung und/oder des Arbeitswiderstandes
unter Einsatz des erfindungsgemäßen Verfahrens
so variiert, dass für
alle zwischen einem erwarteten Maximum und einem erwarteten Minimum
liegenden Werte eine optimale Verstärkung erzielt wird.
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Bei
allen genannten Einsatzgebieten der Erfindung kann eine noch weitergehende
Verbesserung erzielt werden, indem neben der Berechnung eines maximalen
und/oder minimalen Wertes auch eine Berechnung einer zu erwartenden
Abweichung von dem extrapolierten Maximum und/oder Minimum erfolgt.
Dies kann mit verschiedenen Methoden erfolgen. Besonders zweckmäßig ist
es, mit
zweite
Momente zu berechnen und dann eine Standardabweichung der Schätzung mit
den Formeln
zu ermitteln.
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Mathematisch
kann die Erfindung insbesondere wie folgt angewendet werden:
Jede
mögliche
Lösung
eines Optimierungsproblems wird beschrieben durch einen Parametersatz,
der einem Punkt in einem mehrdimensionalen Suchraum entspricht.
Jedem Punkt ist ein Qualitätswert
zugeordnet, der zum Beispiel die eingesetzte Energie angibt. In
diesem Suchraum wird ein "Gebirge" als eine Funktion,
die den Qualitätswert
in Abhängigkeit
der Parameter beschreibt, ermittelt. Wenn die Qualitätsfunktion
ein (mehrdimensionaler) Paraboloid ist, liegt ein lineares Optimierungsproblem
vor, das einem linearen Gleichungssystem äquivalent ist, andernfalls
ein nicht-lineares.
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Es
existiert eine Vielzahl von Methoden für die nicht-lineare Optimierung.
Ihre Gemeinsamkeit besteht darin, dass im Allgemeinen nicht bekannt
ist, wie nah die beste gefundene Lösung am globalen Optimum liegt, beziehungsweise
ob der Zeitaufwand für
eine Optimierung in Relation zur erzielten Lösungsverbesserung steht.
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Während bekannte
Verfahren zur nicht-linearen Optimierung Stellen mit der Steigung
0 auffinden, jedoch nicht differenzieren können, ob lediglich lokale Maxima
beziehungsweise Minima ermittelt oder globale Maxima beziehungsweise
Minima gefunden werden, ist es mithilfe der Erfindung möglich, Erwartungswerte
für einen
maximalen Wert beziehungsweise einen minimalen Wert in einem Parameterraum
mit n Dimensionen zu ermitteln. Hierzu wird von einer Verteilung,
insbesondere einer Verteilungsfunktion ρ (x) von Qualitätswerten,
ausgegangen. Eine derartige Verteilung beziehungsweise Verteilungsfunktion
wird beispielsweise aus einer analytischen Rechnung oder aus einer
Stichprobe ermittelt. Die Verteilung beziehungsweise die Verteilungsfunktion ρ (x) geht
in die erfindungsgemäßen Verfahrensschritte
ein und ermöglicht
so die Ermittlung eines Erwartungswertes für einen maximalen Wert beziehungsweise
einen minimalen Wert.
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Die
Extrapolation von einer Stichprobe auf eine Gesamtheit von N Werten
ist ein bevorzugtes Anwendungsgebiet der Erfindung. Wegen der Variabilität von N
als einer frei wählbaren
Zahl ist es auch möglich,
aus einer Menge mit mehr als N Elementen wahrscheinliche Maxima
oder Minima für
eine Teilmenge der Menge zu bestimmen.
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Eine
besonders zweckmäßige Ausführungsform
der Erfindung wird nachfolgend gleichfalls am Beispiel einer NMR-Messung
erläutert.
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Ein
Rauschsignal, beispielsweise das in einer Ruhephase eines Probanden
aufgenommene Signal (baseline-Signal), wird über einen Zeitraum ermittelt.
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Aufgrund
der Messung des Rauschsignals wird die statistische Verteilung des
Rauschens analysiert. Die ermittelte Verteilung der Rauschsignale
wird in die Formel
eingesetzt,
wobei N die Anzahl der Messwerte für die Untersuchung des Probanden
bedeutet.
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Auf
diese Weise wird ein maximales Rauschsignal für die Messung ermittelt. Das
ermittelte maximale Rauschsignal geht in einem nächsten Verfahrensschritt – beispielsweise
einer Messung bei einer Aktivierung – ein, indem dieses maximale
Rauschsignal, beziehungsweise ein geringfügig veränderter Wert als Schwellenwert
für das
Auftreten eines Signals in der Messung des Probanden bei der Aktivierung
eingesetzt wird.
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Sowohl
bei den dargestellten Beispielen als auch bei vielen anderen Einsatzgebieten
ist es besonders zweckmäßig, dass
verschiedene untersuchte Datenmengen eine ähnliche Verteilung, insbesondere
mit vergleichbaren Werten für
den Mittelwert oder die Standardabweichung, aufweisen.
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Bei
allen dargestellten Beispielen kann die Verteilung diskret oder
kontinuierlich sein, wobei es nicht erforderlich ist, dass eine
explizite Formel vorliegt. So ist es beispielsweise auch möglich, Histogramme
einzusetzen.
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In
den meisten Anwendungsgebieten ist es jedoch zweckmäßig, auf
bekannte Verteilungen, wie die Gaussverteilung oder eine modifizierte
Gaussverteilung, zurückzugreifen,
weil diese bekannten Verteilungen den technischen beziehungsweise
naturwissenschaftlichen Parametern am besten entsprechen.
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berechnet.
zu ermitteln.
