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Vorrichtung zum Entwickeln einer Funktion mittels einer linearen
Interpolation Die Erfindung bezieht sich auf eine Vorrichtung zum Entwickeln einer
mathematischen Funktion mittels einer linearen Interpolation.
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Bei einer mathematischen Funktion mit der Gleichung y = £ (x), für
die die Werte y1 und y2 für je zwei Werte von xl und x2 bekannt sind, ist es möglich,
mittels einer linearen Interpolation für irgendeinen Wert x, der zwischen x1 und
x2 liegt, einen annähernden Wert für y zu erhalten, indem die Gleichung angewendet
wird y = y1 # x2 - x + y2# x - x1 x2 - x1 x2 - x1 Die Aufgabe der Erfindung besteht
darin, eine Vorrichtung zu schaffen, mit der die mathematische Funktion für y mittels
einer linearen Interpolation ermittelt werden kann.
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Gemäß der Erfindung wird diese Aufgabe dadurch gelöst, daß mindestens
eine erste und eine zweite Funktionseinrichtung zum Erzeugen elektrischer Signale
entsprechend y1 = f (x1) und y2 = f (x2) vorgesehen ist, wobei x1 und x2 vorbestimmte
Werte von x sind, daß mindestens eine erste und eine zweite Interpolationseinrichtung
mit.einer jeden der genannten Funktionseinrichtungen verbunden ist und die genannten
Interpolationseinrichtungen, nach Empfang eines Eingangssignals entsprechend einem
Wert von x, der zwischen x1 und X2 liegt, elektrische Signale erZeugen, die der
Gleichung
x2 - x und x - 1 entsprechen, x2 - X1 X2 - X1 sowie, daß eine erste und eine zweite
Multiplikationsschaltung nachgeschaltet ist, die elektrische Signale erzeugt, die
proportional den Produkten y1. x2 -x und y2. x -x1 X2 -X1 X2 -x1 der Ausgangssignale
jeder Funktionseinrichtung und jeder Interpolationseinrichtung sind, sowie eine
Additionsschaltung nachgeschaltet ist, die ein Ausgangs signal entsprechend der
Summe der Signale aus den.beiden Multiplikationsschaltungen bildet.
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Eine Vorrichtung gemäß der Erfindung soll nachstehend anhand eines
Ausführungsbeispiels und mit Bezug auf die beiliegenden Zeichnungen näher erläutert
werden.
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Es zeigen: Fig. 1 eine elektrische Schaltung, mit der linear veränderbare
Spannungen erzeugt werden, Fig. 2, 7 und 4 graphisch die Änderungen der Spannung,
die mit der Vorrichtung nach Fig. 1 erzeugt werden, Fig. 5 eine Anordnung von zwei
Schaltungen der Art, die in Fig. 1 dargestellt sind, in einer Vorrichtung zur Interpolation
einer mathematischen Funktion gemäß der Erfindung, und Fig. 6 eine Anordnung, in
der mehr als zwei Schaltungen von der Art, wie sie in Fig. 5 gezeigt sind, vorhanden
sind.
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In Fig. 1 ist eine Schaltung für eine Interpolationsfunktion dargestellt,
die
nachstehend abgekürzt Interpolationseinrichtung bezeichnet werden soll, in der eine
erste Diode 1 derart geschaltet ist, daß deren Anode über einen Widerstand 2 an
liner ersten Eingangsklemme 5 liegt und außerdem über einen Widerstand 4 mit dem
veränderbaren Abgriffspunkt eines Potentiometers 5 verbunden ist.
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Das Potentiometer 5 ist zwischen einer -loov-Stromquelle und einer
gemeinsamen Leitung 6 geschaltet. Die Kathode einer zweiten Diode 7 ist über einen
Widerstand 8 mit einer zweiten Eingangsklemme 9 verbunden und liegt außerdem über
einen Widerstand lo an dem veränderbaren Abgriffspunkt eines Potentiometers 11.
Das Potentiometer 11 ist zwischen einer +loov-Stromquelle und der gemeinsamen Leitung
6 geschaltet. Die Kathode der Diode 1 liegt über einen Potentiometer 12 an der gemeinsamen
Leitung 6. Die Anode der Diode 7 ist über ein Potentiometer 15 mit der gemeinsamen
Leitung 6 verbunden. Die veränderbaren Abgriffe der Potentiometer 12, 15 sind gemeinsam
über gleiche Widerstände 15, 16 und Leitungen 17, 18 an den Eingang eines Verstärkers
14 angeschlossen. Die Kathode einer Diode 19 liegt am Ausgang des Verstärkers 14,
und deren Anode ist mit einer Ausgangsklemme 20 verbunden. Ein Widerstand 21 ist
parallel zum Verstärker 14 und zur Diode 19 geschaltet.
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Im Betrieb sind Spannungen, die an die Eingänge 5 und 9 angelegt werden,
von gleicher Größe, jedoch von entgegengesetzter Polarität.
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Die -loov-Stromquelle bildet über den Potentiometer 5 und den Widerstand
4 eine negative Vorspannung an der Diode 1. Die Größe dieser negativen Vorspannung
ist von der Einstellung des Potentiometers 5 abhängig. In einer gleichen Weise bildet
die +loov-Stromquelle über den Potentiometer 11 und den Widerstand lo eine positive
Vorspannung von der erforderlichen Höhe an der Kathode der Diode 7. Wenn die Spannung
am Eingang 3 genügend positiv ist, um die negative Vorspannung an der Diode 1 zu
überwinden, fließt ein Strom über das Potentiometer 12, und eine positive Spannung
erscheint an dem Abgriffspunkt 12a des Potentiometers 12. Sobald die negative Vorspannung
überwunden wurde, ist das Ausmaß der Änderung dieser positiven Spannung mit Bezug
auf die Änderung der Spannung
an der Eingangsklemme 7 von der Einstellung
des Potentiometers 12 abhängig. In einer gleichen Weise erscheint eine negative
Spannung an dem Abgriffspunkt 13a des Potentiometers 15, die sich proportional zu
der Spannung verändert, die an dem Eingang 9 angelegt wird. Der sich ergebende Strom
in den Leitungen 17, 18 erzeugt an deren Verbindungspunkt eine Spannung, die proportional
der Summe der Spannungen an den veränderbaren Abgriffen 12a, 15a ist, und diese
genannte proportionale Spannung wird an den Verstärker 14 angelegt. Der Widerstand
21 bildet ein Rückkopplungssignal für den Verstärker 14,.
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Die Veränderung der Spannungen die am Abgriffspunkt 12a als Ergebnis
der Änderungen der Spannungen erscheint, die an die Klemme 5 angelegt werden, ist
in Fig. 2 graphisch dargestellt, in der die x-Achse die Werte der Spannungen darstellt,
die an der Klemme 3 erscheinen, und die y-Achse die Werte der sich ergebenden Spannungen
auf der Leitung 17 darstellt. Der Punkt 24 zeigt die Höhe der Vorspannung, die an
der Diode 1 angelegt ist. In einer gleichen Weise ist das Ausmaß der Änderung der
Spannung am Punkt 13a mit Bezug auf die Änderung der Spannung an der Eingangsklemme
9 graphisch in Fig. 7 dargestellt, in der der Punkt 25 die Höhe der Vorspannung
dargestellt, die an der Diode 7 angelegt ist.
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Die Ausgangsspannung der Interpolationseinrichtung ist eine Spannung,
die proportional der algebraischen Summe der Spannungen an den Punkten 12a, 17a
ist, und vorausgesetzt, daß der Spannungsabfall, wie in Fig. 3 gezeigt ist, größer
ist als derjenige von Fig.
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2 ist, ist die Ausgangsspannungscharakteristik die gleiche wie diejenige,
die in Fig. 4 dargestellt ist, bei der der Punkt 26 eine x-Ordinate besitzt, die
der Vorspannung an der Diode 1 entspricht, 27 die Spitze eine x-Ordinate besitzt,
die der Vorspannung an der Diode 7 entspricht, und die Linie die x-Achse in dem
Punkt 28 schneidet und einen negativ gerichteten Teil 29 besitzt. Die Diode 19 wirkt
derart, daß sie das Erscheinen dieser negativen Spannung an der Ausgangsklemme 20
verhindert, indem sie eine Rückkopplung über den Widerstand 21 verhindert. Die Einstellung
der Potentiometer
5, 11, 12, 15 ermöglicht hierbei, daß die x-Ordinaten
der Punkte 26, 27 und 28 und die y-Ordinate des Punktes 27 auf jeden gewünschten
Wert eingestellt werden.
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Fig. 5 zeigt schematisch ein Ausführungsbeispiel einer Vorrichtung
für lineare Interpolation, in der zwei Funktionseinrichtungen 30, 31 mit Eingängen
52, 33 vorgesehen sind. Die Funktionseinrichtung 30 liefert ein Eingangsimpuls an
eine Multiplikationsschaltung 54, deren anderer Eingang von einer ersten Interpolationseinrichtung
35 gespeist wird, was im wesentlichen wie vorstehend mit Bezug auf Fig. 1 beschrieben
erfolgt. Die Interpolationseinrichtung 35 besitzt Eingangsklemmen 35a und 35b. In
der gleichen Weise besitzt eine Multiplikationsschaltung 36 Eingänge, die von der
Funktionseinrichtung 51 und einer zweiten Interpolationseinrichtung 37 gespeist
werden, die ihrerseits Eingänge 57a und 37b besitzt. Die Multiplikationsschaltungen
34, 56 besitzen Ausgänge 38, 79, die gemeinsam an den Eingang einer Additionsschaltung
40 angeschlossen sind, die einen Ausgang 41 besitzt.
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Bei einer Methode der Anwendung werden Signale, die den Werten x1
und x2 entsprechen, an die Eingänge 32, 33 der Funktionseinrichtungen 30, 31 angelegt;
die sich ergebenden Signale entsprechen den Werten y1 und y2,und werden an den einen
Eingang der Multiplikationsschaltungen 54, 56 angelegt. die x-Ordinaten der Punkte
27, 28 der Kennlinie der ersten Interpolationseinrichtung 35 entsprechen den Werten
x1 und x2. Die x-Ordinaten der Punkte 26, 27 auf der Kennlinie der zweiten Interpolationseinrichtung
entsprechen ebenso den Werten x1 und x2. Die Spitzen 27 der Kennlinien der Interpolationseinrichtungen
35, 37 werden auf eine im wesentlichen gleiche Höhe eingestellt, die als Einheit
betrachtet werden kann.
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Ein Signal, das einem Wert von x entspricht, der zwischen den Werten
x1 und x2 liegt, wird an die Eingänge 55a und 57a angelegt.
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Ein Signal von gleicher Größe, jedoch entgegengesetzter Polarität,
wird an die Eingänge 55b und 37b angelegt. Die erste Interpolationseinrichtung
55
bildet daher an ihrem Ausgang ein Signal, das sich linear von der Einheit von x
= x1 bis null ändert, wenn x = x2 ist. In einer bleichen Weise erzeugt die zweite
Interpolationseinrichtung 57 ein Signal, das sich linear von null, wenn x = x1 ist,
bis zu der Einheit ändert, wenn x =x2 ist. Die Ausgänge aus den Interpolationseinrichtungen
35, 57 entsprechen daher den Gleichungen x2 - x und x - x1 x2 - x1 x2 - x1 für jeden
Wert von x. Die Signale, die an den Ausgängen 58, 39 der Multiplikationsschaltungen
54, 56 erscheinen, entsprechen daher den Gleichungen y1. x2 2 x und y2. x - x X2
-x1 x 2 Diese Signale werden in der Additionsschaltung 40 addiert, die an ihrem
Ausgang 41 ein Signal erzeugt, das dem Interpolationswert von y entspricht.
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Fig. 6 zeigt eine Vorrichtung, die mehr als zwei Stufen besitzt, wobei
jede Stufe eine Funktionseinrichtung 42 mit Eingangsleitungen 42a, 42b und eine
damit verbundene Multiplikationsschaltung 4D, sowie eine Interpolationseinrichtung
44 besitzt. Die Ausgänge aus den Multiplikationsschaltungen 45 werden in einer einzigen
Additionsschaltung 45 addiert.
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In einer Vorrichtung, die mehr als zwei Stufen besitzt und entsprechend
dem oben beschriebenen Verfahren verwendet wird, hat jede Funktionseinrichtung 42
als Eingang ein Signal entsprechend einem vorbestimmten Wert von x, wobei die genannten
Werte von x sich von der ersten bis zur letzten Funktionseinrichtung erhöhen.
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Die x-Ordinate der Spitze 27 für jede Interpolationseinrichtung
44
entspricht dem Wert von x und bildet den Eingang zu seiner damit verbundenen Funktionseinrichtung
42. Die x-Ordinaten der Punkte 26, 26 entsprechen den Werten von x und bilden die
Eingänge zu der nächst vorhergehenden und nächst nachfolgenden Funktionseinrichtung.
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Die y-Ordinaten der Spitzen 27 der Kennlinien der Interpolationseinrichtungen
44 werden im wesentlichen auf die gleiche Höhe eingestellt.
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In einem abgeänderten Verfahren der Verwendung werden Signale entsprechend
einem einzigen vorbestimmten Wert einer dritten Veränderlichen z an die Eingänge
32, 3) (Fig. 5) angelegt. Die Funktionseinrichtungen So, 51 sin! angeordnet, daß
sie getrennte Funktionen von z erzeugen, die sich in einer Veränderlichen y ergeben,
so daß y1 = f (x, Z1) und y2 = f (X« zeigt Die Signale, die den Werten y1 und y2
entsprechen, werden an einen Eingang der Multiplikationsschaltungen )4, 36 wie vorher
angelegt. Die Eingänge zu den Interpolationseinrichtungen 55, 57 sind ein Signal,
das zwischen x1 und X2 liegt.
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Die Interpolationseinrichtungen arbeiten wie vorstehend beschrieben
in Verbindung mit Multiplikationsschaltungen 54, )6, so daß Signale erzeugt werden,
die nachfolgend in dem Addierer 40 addiert werden, wobei an dem Ausgang 41 ein Signal
erzeugt wird, das einem interpolierten Wert von y entspricht. Es kann festgestellt
werden, daß die auf diese Weise verwendete Vorrichtung auch verwendet werden kann
zum Interpolieren einer Veränderlichen, in einer Funktion, die jede Anzahl von anderen
Veränderlichen haben kann.
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Eine Vorrichtung gemäß der Erfindung, die mehr als zwei Stufen besitzt,
wenn sie entsprechend dem abgeänderten Verfahren, das oben beschrieben wurde, verwendet
wird, bildet die x-Ordinate mit der Spitze 27 für jede Interpolationseinrichtung,
die auf einen Wert eingestellt ist, der dem Wert x entspricht, den Eingang an der
damit verbundenen Funktionseinrichtung. Die x-Ordinaten der Punkte 26, 28 entsprechen
den Werten von x und bilden die Eingänge der
nächst vorhergehenden
und der nächst nachfolgenden Funktionseinrichtungen.
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Es kann festgestellt werden, daß die Eingangssignale zu den Funktionseinrichtungen
und zu den Interpolationseinrichtungen derart angeordnet werden können, daß die
Interpolation für eine Funktion ausgeführt werden kann, die jede gewünschte Anzahl
von Veränderlichen enthält. In den Fällen, in denen die Ausgänge der Funktionseinrichtungen
Funktionen von mehr als einer Veränderlichen sind, kann eine der Veränderlichen
innerhalb jeder Funktionseinrichtung eingestellt oder erzeugt werden, wie es in
der Anordnung gemäß Fig. 5 gezeigt ist. Alternativ können zwei oder mehr Veränderliche
an jede Funktionseinrichtung über Eingantsleitungen angelegt werden, wie es in Fig.
6 gezeigt ist.
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Patentansprüche: