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Das
Gebiet der Erfindung ist das der Fluglageneinstellung symmetrischer
Raketen, die hinsichtlich Rollen stabilisiert sind.
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Eine
Rakete wird symmetrisch genannt, wenn ihre dynamischen Eigenschaften
hinsichtlich Nicken und Gieren die gleichen sind (gleiche Trägheitsmomente,
identische Stellglieder, identische Aerodynamik).
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Es
ist bekannt, daß eine
gelenkte Rakete, beispielsweise ein Fernlenkgeschoß, allgemein
mit einem Lenkrechner ausgestattet ist. Dieser Rechner hat die Aufgabe,
mit Hilfe verschiedener Fühler,
mit denen jederzeit Kenntnis über
die Position der Rakete bezüglich
ihres Bestimmungsorts erhalten werden kann, sowie mit Hilfe eines
internen Navigationsgesetzes ein Befehl zur Fluglageneinstellung
erzeugt werden kann. Dieser Fluglageneinstellbefehl wird von einer
Autopiloteinheit berücksichtigt,
deren Aufgabe es ist, Befehle zu erzeugen, die für Organe bestimmt sind, die
Drehungen der Rakete um sich selbst hervorrufen. Bei diesen Organen kann
es sich um Steuerflächen,
auf den Auftrieb der fest mit der Rakete verbundenen Flügel einwirkende
Klappen oder Lenkantriebsstrahlgeneratoren oder -ablenkelemente
handeln.
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Ein
Funktionsbeispiel einer unter dem Namen Nesline-Struktur bekannten
Regelung ist in 1 dargestellt. Gemäß der Darstellung
dieser Figur wird angenommen, daß ein Lenkrechner 1 aus
Informationen, die an Eingängen
X1, X2 ... vorhanden
sind, einen Lenkbefehl erzeugt, dessen Ausgangsgröße den Querbeschleunigungsvektor
definiert, den die Rakete haben soll.
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Diese
Beschleunigung wird in einem Komparator 2 mit der gemessenen
Beschleunigung der Rakete verglichen, und die Abweichung zwischen
der befohlenen Beschleunigung und der gemessenen Beschleunigung
wird in einen Kompensationsrechner 3 eingegeben, der außerdem eine
Angabe über
die Rotationsgeschwindigkeit der Rakete empfängt, die durch die Ableitung
einer Winkelgröße dθ/dt repräsentiert
wird.
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Der
Rechner 3 berechnet aus diesen zwei Eingangsgrößen einen
Positionsbefehl δ für eine Steuerfläche. Dieser
Befehl wird von Ausführungsorganen
ausgeführt,
die in der Figur durch einen Verstärker 4 und einen Motor 5 dargestellt
sind. Die Reaktionen der Rakete 6 auf diesen Befehl werden
mit Hilfe einer Instrumenteneinheit gemessen, die Gyrometer 7 und
Beschleunigungsmesser 8 enthält. Die Ausgangsgröße der Beschleunigungsmesser
bildet die zweite Eingangsgröße des Komparators 2,
die bei der Beschreibung der Funktion dieses Komparators erwähnt wurde.
Die Größe dθ/dt am Ausgang
des Gyrometers 7 bildet die zweite Eingangsgröße des Rechners 3,
die bei der Beschreibung der Funktion dieses Rechners erwähnt wurde.
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Es
sei bemerkt, daß die
nachfolgende Beschreibung, die auf 1 Bezug
nimmt, einerseits nur ein Beispiel ist und andererseits absichtlich
vereinfacht ist. Sie ist in dem Sinne vereinfacht, daß dann,
wenn von einer Größe wie der
Beschleunigung oder dem Rotationswinkel die Rede ist, implizit angenommen
ist, daß diese
Größen nur
eine einzige Komponente haben. Tatsächlich handelt es sich bei
der Beschleunigung um vektorielle Größen, die von Beschleunigungsmessern
längs der
Raketenachsen gemessen werden, während auch
die Rotationswinkel von Gyrometern mit einem Freiheitsgrad längs ebenfalls
mit der Rakete verbundenen Achsen gemessen werden. Tatsächlich gibt
es somit für
die sich auf diese Größen beziehenden
Eingangssignale drei Eingänge
anstelle von einem. Ebenso gibt es für die Steuersignalausgänge ebenso
viele Ausgänge wie
zu steuernde Organe vorhanden sind, beispielsweise vier, wenn vier
Steuerflächen
vorhanden sind.
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Schließlich handelt
es sich um ein Beispiel, da auch andere Mittel als Steuerflächen zum
Manipulieren einer Rakete vorhanden sind, wie bereits angegeben
wurde. Es ist außerdem
nicht ausgeschlossen, daß mehrere
dieser Mittel gleichzeitig an der gleichen Rakete vorhanden sind.
Für eine
Luft-Boden-Rakete
oder eine Boden-Boden-Rakete mit einem Einsatzbereich in niedriger
oder sehr großer
Höhe könnten beispielsweise
bei geringer Höhe
wirksame Steuerflächen
und bei größeren Höhen wirksamere
gelenkte Antriebsstrahlen gemeinsam vorhanden sein. Anschließend werden
die verschiedenen Mittel zum Ausüben
einer Querbeschleunigung auf eine Rakete als Stellglieder bezeichnet.
In 1 ist die Regelkette gemäß einer Konzeption dargestellt,
die lange für
Fernlenkgeschosse als klassisch betrachtet wurde; sie enthält einen
Lenkrechner und eine Autopiloteinheit. Diese Darstellung hat lange
gepaßt,
da sie physisch getrennten Einheiten in der Rakete entspricht. Es
sei bemerkt, daß in
physischer Hinsicht diese Trennung nach und nach wegen der immer
weiter vorangetriebenen Integration von Rechenfunktionen immer mehr
verschwindet.
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Die
obigen Überlegungen
erlauben das Verständnis
dafür,
daß die
anschließend
beschriebene Erfindung nicht auf das tat sächlich beschriebene Ausführungsbeispiel
beschränkt
ist. Die Erfindung ist in Steuersystemen anwendbar, die integriert
oder nicht integriert sind und die unabhängig von den Mitteln zum Erzeugen
einer senkrecht zur Achse einer Rakete verlaufenden Beschleunigung
sind.
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Wenn
die angestrebte Fluglageneinstellung die Rollgeschwindigkeit zu
annullieren versucht, bedeutet dies, daß die Rakete hinsichtlich Rollen
stabilisiert ist.
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Die
Rollstabilisierung hat bei perfekter Ausführung den großen Vorteil,
daß sie
eine Entkopplung der Bewegungsgleichungen hinsichtlich Nicken, Gieren
und Rollen ermöglicht,
so daß Autopilotstrukturen
mit Hilfe von drei entkoppelten Schleifen realisiert werden können.
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Anschließend wird
nicht auf die sich auf das Rollen beziehende Schleife eingegangen,
da sich die Erfindung nur mit den für das Nicken und für das Gieren
zuständigen
Schleifen befaßt.
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2 zeigt
in schematischer Form die Erzeugung von Steuerbefehlen durch die
Steuereinheit anhand von Querbeschleunigungen Γzco und Γyco,
die vom Rechner 1 (1) befohlen
wird, für
eine hinsichtlich Rollen stabilisierte Rakete. Die Darstellung ist
wie in 1 gemäß einer
Meßlinien-Struktur
durchgeführt.
In 2 sind die Befehle auf den Nick- und Gierübertragungswegen
dargestellt. Die Beschleunigungsbefehle gemäß den zwei Wegen Γzco und Γyco werden
an zwei Komparatoren 2T und 2L angelegt, die die
an jedem der Wege Γym und Γzm von Beschleunigungsmessern 8T und 8L gemessenen
Beschleunigungen empfangen. Die differentiellen Beschleunigungen
am Ausgang der Komparatoren werden von einem Nickkorrekturrechner 3T und einem
Gierkorrekturrechner 3L empfangen, die außerdem die
Rotationsgeschwindigkeiten um die Nickachse Qm und
die Gierachse Rm empfangen, die für die Rakete δ vom Gyrometer 7T bzw.
vom Gyrometer 7L gemessen werden. Abhängig von den Beschleunigungen
und den gemessenen Winkelgeschwin digkeiten steuern die Rechner 3T und 3L Größen, die
Positionen δzco und δyco der Stellglieder 61T und 61L definieren.
Die Größen δzco und δyco können entweder
direkt die die Position der Stellglieder definierenden Größen oder
mit dieser Position verbundene Größen sein, beispielsweise eine
zeitliche Ableitung dieser Position. Diese Befehle werden von den
Organen 4T, 4L, 5T, 5L ausgeführt, die
in dieser Darstellung durch Verstärker und Motore angegeben sind,
die die Stellglieder 61T und 61L antreiben.
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Dabei
ist es wichtig, festzuhalten, daß hinsichtlich des Nickens
und Gierens die Regelungen nach der Verteilung der Befehle in einem
mit der Rakete verbundenen Bezugssystem stattfinden (wobei die Beschleunigungen
und Winkelgeschwindigkeiten in dem Raketenbezugssystem gemessen
und direkt mit Befehlen in diesem Bezugssystem verglichen werden).
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In äquivalenter
Form kann gesagt werden, daß das
Fluglagenbezugssystem mit dem Raketenbezugssystem zusammenfällt.
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Im
militärischen
Bereich ermöglicht
die Trägheitslenkung
einer Munition in Verbindung mit Lokalisierungsorganen, die beispielsweise
nach dem Trägheitsprinzip
arbeiten, sowie Stellgliedern, eine militärische Ladung zu einem gegebenen
geographischen Punkt zu bringen, der durch seine Koordinaten definiert
ist.
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Die
Notwendigkeit einer Mehrzweckverwendung neuartiger Systeme führt jedoch
dazu, daß nicht
nur der Treffpunkt der Ladung, sondern auch die Winkellage des Geschwindigkeitsvektors
der Waffe an diesem Punkt angegeben werden muß. Der Vorteil dieser Zusatzfunktion
besteht darin, daß die
Möglichkeit
geboten wird, sogenannte Eindringladungen zu dem Auftreffpunkt hinzuführen (mit
einem zum Boden im wesentlichen senkrechten Ankunftswinkel) oder
auch unter Munitionen über
eine gegebene Fläche
zu verteilen (bei einem nahe der Horizontalen liegenden Winkel im
Zeitpunkt des Auswurfs), um nur zwei Extremfälle zu nennen.
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Ein
weiterer wesentlicher Punkt für
diese zukünftigen
Munitionen ist das Streben nach minimalen Kosten. Dieses Ziel kann
erreicht werden, indem verschiedene Funktionen des Systems mit Hilfe
von Vorrichtungen erreicht werden, die so ”rustikal” wie möglich sind. Zur Erreichung
dieses Ziels wird gemäß der Erfindung vorgeschlagen,
die Steuerung der Stellorgane zu vereinfachen und die Positions-
oder Geschwindigkeitsfühler der
Stellorgane zu eliminieren.
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Zu
diesem Zweck wird gemäß der Erfindung
vorgeschlagen, Stellorgane mit nur zwei Positionen, einer Position
+ und einer Position –,
anzuwenden.
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Diese
Art von Stellgliedern ist in der Technik bekannt, und durch eine
regelmäßige Umschaltung
dieser Stellglieder kann eine neutrale Position erhalten werden.
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Die
Erfindung schlägt
vor, einen anschließend
zu erläuternden
Algorithmus anzuwenden, um die Rakete zu ihrem Ziel unter Einstellung
ihrer Fluglage zu steuern und dabei dafür zu sorgen, daß sie bei
diesem Ziel auf einer gewünschten
kontrollierten Endflugbahn ankommt. Der große Vorteil des erfindungsgemäßen Verfahrens
besteht darin, daß das
angenommene Navigationsgesetz besonders gut für die Einstellung der Fluglage
geeignet ist, die mit Steuerflächen
realisiert werden kann, die nur zwei Positionen haben. Die erfindungsgemäße Navigationsgesetzmäßigkeit
ergibt Querbeschleunigungswerte, die während berechneter Zeitperioden
konstant bleiben. Ausgehend von diesen Werten ist gemäß der Erfindung
vorgesehen, die Umschaltzeitpunkte der Stellglieder zu berechnen,
um die berechnete Flugbahn zu realisieren. Da die Lenkfunktion diskontinuierlich
ist, kann auch die Fluglageneinstellung diskontinuierlich sein.
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Erfindungsgemäß ist ein
Lenkverfahren zur Anwendung bei einer symmetrischen Rakete mit markierten
Nick- und Gierebenen, wobei die Rakete mit Stellgliedern mit zwei
Positionen, einer Position + und einer Position –, versehen ist, wobei das
Halten eines Stellglieds in einer seiner Positionen die Richtung
des Geschwindigkeitsvektors mit einer Rotationswinkelgeschwindigkeit
Umax ändert,
wobei die Rakete einen Schwerpunkt und eine Längsachse hat sowie mit Mitteln
versehen ist, um in ihren Nick- und Gierachsen ihre Beschleunigung
sowie ihre Rotationsgeschwindigkeit zu messen, wobei das Verfahren
dazu bestimmt ist, die Rakete zu einem Ziel mit den Koordinaten
xc yc zc längs einer
Bahn zu führen,
die tangential bei einer vorbestimmten Ankunftsgeraden endet, die
durch zwei Winkel γc und ψc in einem terrestrischen Bezugssystem endet,
wobei die Bewegung des Schwerpunkts der Rakete durch ein Gleichungssystem
bestimmt ist, dadurch gekennzeichnet,
- a) daß eine hamiltonsche
Funktion des die Bewegung des Raketenschwerpunkts bestimmenden Gleichungssystems
gebildet wird;
- b) daß die
hamiltonsche Funktion in der Nickebene und in der Gierebene der
Rakete gelöst
wird, indem eine Minimumzeitbeschränkung für das Anfliegen des Ziels auferlegt
wird, wobei diese Lösung
ermöglicht, einen
ersten konstanten, auf die Rakete auszuübenden Querbeschleunigungswert
bis zu einem Zeitpunkt τ1
im Anschluß an
einen Zeitpunkt To der Erfassung der kinematischen
Parameter der Flugbahn der Rakete, einen zweiten Wert der Querbeschleunigung
während
einer Dauer zwischen dem Zeitpunkt τ1 und
einem Zeitpunkt τ2, der dieses Mal Null ist, und einen dritten,
erneut konstanten Querbeschleunigungswert zwischen dem Zeitpunkt τ2 und
einem Zeitpunkt tf der Ankunft am Ziel zu
bestimmen, wobei die konstanten Beschleunigungswerte diejenigen
sind, die mit den Zweipositions-Stellgliedern der Rakete realisierbar
sind, die sich mit der Momentangeschwindigkeit verstellen, die die
Rakete hat;
- c) daß die
Stellglieder der Rakete so betätigt
werden, daß die
Rakete die für
die Zeitpunkte to, τ1, τ2 berechneten
Querbeschleunigungen annimmt;
- d) daß die
Parametererfassung, die Berechnungen und die daraus resultierenden
Steuerungen der Stellglieder periodisch wieder begonnen werden.
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Dem
Prinzip nach wird bei dem oben angegebenen Lenkgesetz angenommen,
daß am
Anfang und am Ende der Flugbahn der gleiche Ladungsfaktor vorliegt.
Dies ist in der Praxis niemals der Fall und könnte einen Stabilitätsmangel
der betrachteten Funktion darstellen.
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Zur
Verringerung des Werts der an jeder Flugbahn zu realisierenden Ladungsfaktoren
kann gemäß einer
abgewandelten Ausführungsform
des erfindungsgemäßen Lenkverfahrens
auf ein fiktives Zwischenziel zurückgegriffen werden. Dieses
Ziel ist auf einer Kurve beweglich und konvergiert mit dem angepeilten
Ziel in der gleichen Zeit wie die Zeit, die für das Erreichen dieses fiktiven
Ziels verbleibt. Die von diesem fiktiven Ziel beschriebene Kurve
muß eine
Kurve sein, die tangential zu der eingestellten Ankunftsgeraden
der Rakete verläuft,
wobei der Tangentenpunkt beim angepeilten Ziel liegt.
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Bei
von der Anmelderin durchgeführten
Simulationen wurden die besseren Ergebnisse mit einer Parabel erhalten,
die oberhalb der Einstellgeraden in einem vertikalen Abstand von
dieser von 1/2gtgo2 liegt, wobei g die Schwerebeschleunigung
ist und tgo die für
die Vereinigung mit dem fiktiven Ziel verbleibende Zeit ist.
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Das
Lenkgesetz nach der Erfindung kann bei einer Rakete angewendet werden,
die mit in ihrer Position kontinuierlich veränderlichen Stellgliedern und
mit einer beliebigen Fluglageneinstellfunktion versehen ist. Wie
oben jedoch bereits erläutert
wurde, ist dieses Gesetz besonders gut für eine Rakete geeignet, deren
Fluglage durch eine programmierte Änderung der Position eines
Stellglieds eingestellt werden kann, das zwei Positionen hat. Aus
diesem Grund ist nach der Erfindung ein Verfahren zum Einstellen
der Fluglage einer symmetrischen Rakete, in der Nick- und Gierebenen
festgelegt sind und die mit Stellgliedern mit zwei Positionen, einer
Position + und einer Position –,
sowie mit Mitteln versehen ist, mit deren Hilfe in den Nick- und
Gierebenen ihre Beschleunigungen und ihre Rotationsgeschwindigkeiten
q bzw. r bestimmt werden können,
wobei die Fluglageneinstellung das Ziel hat, einen Querbeschleunigungswert,
der sich aus einem Lenkbefehl ergibt, in einen Einstellwinkelwert αr und
einen Slippwert βr im Gleichgewichtszustand zu transformieren
und zu diesem Zweck Befehle zum Aufrechterhalten oder Modifizieren
der Position der Stellglieder zu geben, wobei bei dem Verfahren
die Anstell- und Slippwinkel im Gleichgewicht durch Lösung von
Gleichungen unter Berücksichtigung
des Querbeschleunigungswerts Γ sowie
von aerodynamischen und Trägheitseigenschaften
der Rakete erhalten werden und die den Stellgliedern zur Erzielung
dieser Anstell- und Slippwinkel zu gebenden Positionen durch ein
System von Gleichungen bestimmt werden, das die aerodynamischen
und die Trägheitseigenschaften
der Rakete und der Stellglieder der Rakete berücksichtigt, dadurch gekennzeichnet,
- a) daß eine
hamiltonsche Funktion des Gleichungssystems gebildet wird, das die
den Stellgliedern zu gebende Position bestimmt;
- b) daß die
auf diese Weise gebildete hamiltonsche Funktion gelöst wird,
indem eine Minimumzeitbedingung für die Vereinigung der berechneten
Anstell- und Slippositionen im Gleichgewicht angewendet wird, wobei die
Lösung
dieser hamiltonschen Funktion ermöglicht, in Räumen mit
zwei Dimensionen α,
q für die
Nickebene und β,
r für die
Gierebene Schaltkurven zu erstellen;
- c) daß der
laufende Punkt der Rakete relativ zu den Variablen α, q und β, r in jedem
dieser zweidimensionalen Räume
auf α, q
und β, r
gesetzt wird,
- d) daß die
Position des laufenden Punkts in bezug zu diesen Kurven verglichen
wird, wobei dann, wenn der laufende Punkt eine q- oder r-Ordinate
hat, die größer als
die des Punkts der gleichen Abszisse α oder β jeder jeweiligen Kurve ist,
das Stellglied umgeschaltet oder in der Position + gehalten wird,
während
dann, wenn der laufende Punkt eine q- oder r-Ordinate hat, die kleiner
als die des Punkts gleicher Abszisse der Kurve ist, das Stellglied
umgeschaltet oder in der Position – gehalten wird, und
daß die Operationen
a) bis d) periodisch wiederholt werden.
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Es
sei bemerkt, daß dieses
Fluglageneinstellverfahren unabhängig
von dem Lenkgesetz ist, in der Praxis jedoch bessere Ergebnisse
bei einer Rakete erhalten werden, bei der die Lenkung und die Fluglageneinstellung
gemäß der Erfindung
erfolgen.
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Die
erfindungsgemäßen Verfahren
des Lenkens und der Fluglageneinstellung werden nun anhand der beigefügten Zeichnung
näher erläutert. In
der Zeichnung zeigen:
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1 und 2,
wie bereits erläutert,
bekannte Ausführungen
von Lenk- und Fluglageneinstellschleifen,
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3 eine
Lenkschleife für
eine Rakete, die vom erfindungsgemäßen Lenkverfahren Gebrauch macht,
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4 ein
Diagramm zur Erläuterung
der Bezeichnungen, die für
die Definition der Bewegungsgleichungen des Raketenschwerpunkts
verwendet werden,
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5 ein
Beispiel einer vom erfindungsgemäßen Lenkverfahren
gesteuerten Flugbahn,
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6 ein
Beispiel einer Schaltkurve von Stellgliedern für eine in ihrer Fluglage gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren
eingestellten Rakete,
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7 die
erfindungsgemäß ausgebildete
Schleife zur Lenkung und Fluglageneinstellung,
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8 eine
abgeänderte
Ausführung
des Verfahrens nach der Erfindung, bei dem die Manöver am Ende
der Flugbahn minimiert werden können.
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Die
Arbeitsweise des vollständigen
Systems kann schematisch in der in 3 dargestellten
Form wiedergegeben werden, nämlich
als externe Schleife oder Lenkschleife und als interne Schleife
oder Fluglageneinstellschleife.
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In 3 empfängt der
Lenkrechner 1 einerseits Einstellwerte für die Endposition
und den Ankunftswinkel bei dieser Endposition und andererseits Daten
beispielsweise aus einer Trägheitseinheit 17,
die Beschleunigungsmesser und Gyrometer enthält.
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Aus
diesen Daten erzeugt der Lenkrechner mit einem anschließend genauer
erläuterten
Verfahren die Einstellwerte des Ladungsfaktors, wenn diese berücksichtigt
werden, die der Rakete ermöglichen,
das Ziel auf der programmierten Endflugbahn zu erreichen. Diese
Einstellwerte werden in eine Fluglageneinstelleinheit 3 eingegeben,
die Daten aus der Trägheitseinheit 17 empfängt. Anhand
dieser Daten und der Werte des Ladungsfaktors erzeugt die Fluglageneinstelleinheit
Umschaltbefehle für
die Stellglieder 61.
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Diese
Befehle beeinflussen den Kurs und die Lage der Rakete 6.
Diese Änderungen
der Beschleunigung und der Rotation werden von den Beschleunigungsmessern
und Gyrometern der Trägheitseinheit 17 erfaßt, und
die entsprechenden Daten werden während des gesamten Kurses wieder
in den Lenkrechner 1 und die Fluglageneinstelleinheit 3 eingegeben.
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Es
sei bemerkt, daß bei
dieser Art des Lenkens und der Fluglageneinstellung nicht die Notwendigkeit besteht,
die Position der Stellglieder mit einer exakten Einstellposition
zu vergleichen, so daß der
beim Stand der Technik verwendete Komparator 2 weggelassen
werden kann.
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Es
ist jedoch möglich,
für jede
der zwei möglichen
Positionen jedes Stellglieds eine Anzeigevorrichtung vorzusehen,
um Kenntnis darüber
zu erlangen, ob das Stellglied die befohlene Position erreicht hat.
Dies ermöglicht
insbesondere ein Funktionieren in einer verschlechterten Ausführung für den Fall,
daß mindestens ein
Stellglied nicht mehr arbeitet.
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Das
Prinzip der Lenkung wird anschließend erläutert.
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Die
Hauptbesonderheit des erfindungsgemäßen Verfahrens beruht in der
Kohärenz
der angenommenen Prinzipien des Lenkens und der Fluglageneinstellung.
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Die
freiwillige Einschränkung
auf Stellglieder mit nur zwei Einstellpositionen bringt Einschränkungen hinsichtlich
der durch die Rakete leicht zu realisierenden Belastungsfaktoren
mit sich.
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Es
ist bekannt, daß ein
konstanter Lenkausschlag einer Steuerfläche (oder jeder Vorrichtung,
die ein konstantes Moment um den Schwerpunkt der Rakete aufbringt)
nach der Ansprechzeit der Rakete zu einem konstanten Belastungsfaktor
führt.
Es ist somit verständlich,
daß das
gewählte
einfache Fluglageneinstellsystem gut dafür geeignet sein wird, längs der
Flugbahn mehr oder weniger stückweise
konstante Belastungsfaktorwerte anzunehmen.
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In
den nachfolgenden Absätzen
wird gezeigt, wie die Gesamtmission des Systems (angenommene Endposition
und Endsteigung) effektiv erfüllt
werden kann, indem die obengenannten Einschränkungen des Belastungsfaktors
eingehalten werden, wobei dadurch das System homogen, einfach und
leistungsfähig
gemacht wird.
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Das
erste Problem besteht darin, ein Lenkgesetz zu bestimmen, mit dessen
Hilfe Lenkwerte erhalten werden können, die genügend einfach
sind, um in einfacher Weise mit Hilfe von Stellgliedern, die nur
zwei Positionen haben, realisiert werden zu können. Zu diesem Zweck wird
von einer optimalen Befehlstechnik Gebrauch gemacht, die auf ein
Punktmodell angewendet wird (Verschiebung des Schwerpunkts M der
Rakete).
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Die
an Bord durchgeführten
Berechnungen, die sich dabei ergeben, sind somit (im Hinblick auf
die Einfachheit des angewendeten Modells) einfach. Zur Erläuterung
der Berechnungen wird ein Standpunkt in der X,Z-Ebene angenommen,
die hier mit einer vertikalen terrestrischen Ebene zusammenfällt.
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Eine
solche Ebene ist in 4 schematisch dargestellt.
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Die
dabei angewendeten Bezeichnungen sind wie folgt:
- V →:
- Geschwindigkeitsvektor
der Rakete
- γ:
- Steigung des Geschwindigkeitsvektors
der Rakete
- γc:
- Steigungseinstellwert
bei der Ankunft am Ziel.
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Die
Grundgleichungen des Systems sind wie folgt: ẋ = ν·cosγ ż = ν·sinγ
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Gemäß einer
herkömmlichen
Bezeichnung repräsentieren ẋ und ż die Ableitungen
der Koordinaten x und z bezüglich
der Zeit. V repräsentiert
den Betrag des Geschwindigkeitsvektors V → der Rakete.
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Wenn
ferner angenommen wird u = Γ/ν (wobei Γ der Belastungsfaktor
ist), dann ergibt sich die Beziehung γ . = u.
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Unter
Berücksichtigung
der Grenzen der Position der Stellglieder wird angenommen, daß der Belastungsfaktor
auf folgenden Wert beschränkt
ist:
Γmax(|Γ| < Γmax),was
voraussetzt
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Zur
Vereinfachung der hier gegebenen Erläuterungen wird die Geschwindigkeit
längs der
gesamten verbleibenden Flugbahn als konstant angenommen; in der
Praxis werden die Berechnungen längs
der gesamten Flugbahn mit einer gegebenen Frequenz ausgeführt, was
ermöglicht,
den Geschwindigkeitswert erneut zu aktualisieren.
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Das
Ziel ist es, beim Endzeitpunkt tf folgende
Werte zu erhalten: x(tf) = xbut z(tf) = zbut γ(tf)
= γc
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Beim
erfindungsgemäßen Verfahren
wird bei jeder der Iterationen für
die Erstellung des Lenkeinstellwerts, d. h. der Werte des Belastungsfaktors
in den Nick- und Gierebenen, eine hamiltonsche Funktion des Systems
berechnet.
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Die
Lösung
des Systems wird erhalten, indem die folgende Größe minimiert wird
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Die
bedeutet, daß angestrebt
wird, die Flugzeit der Rakete zu minimieren. Dieses linear von der
Zeit abhängige
Kriterium ermöglicht
es, einen Befehl der Form +, 0, – zu erhalten, der genau derjenige
ist, der direkt für
die betrachtete Rakete angewendet werden kann. Die hamiltonsche
Funktion, die diesem System entspricht, kann wie folgt wiedergegeben
werden: H = –1
+ λ1Vcosγ – λ2Vsinγ + λ3u
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Im
Ausdruck der hamiltonschen Funktion H sind λ1, λ2 und λ3 die
Komponenten eines mit dem System verbundenen Vektors.
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Von
der Anmelderin durchgeführte
theoretische Berechnungen haben bei Anwendung des Maximums nach
Pontryagin gezeigt, daß der
optimale Befehl, d. h. derjenige Befehl, der die Flugzeit minimiert
und die Ankunft am Ziel auf einer Tangente zur vorgesehenen Ankunftsgeraden
ermöglicht,
die den Steigungswert γc hat, in einen konstanten Belastungsfaktor
bis zu einem Zeitpunkt τ1, dann zwischen dem Zeitpunkt τl und
einem Zeitpunkt τ2 einen Belastungsfaktor Null und dann erneut
einen konstanten Belastungsfaktor zwischen den Zeitpunkten τ2 und
dem Endzeitpunkt tf unterteilt ist.
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Der
auf diese Weise erhaltene Befehl hat die Form
bei [0, τ1]
u = ε1umax ε1 = ±1
bei
[τ1, τ2] u = 0
bei [τ2, tf]
u = ε2umax ε2 ±1
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Die
Vorzeichen von ε1 und ε2 sowie die Werte von τ1 und τ2 werden
abhängig
vom tatsächlichen
Raketenzustand x, z, γ und
vom Einstellwert xc zc γc bestimmt.
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In
einem idealisierten Raum außerhalb
der Schwerkraft hat die erhaltene Flugbahn die in 5 dargestellte
Form, wobei in der Vertikalebene der Flugbahn die Entfernungen auf
der Abszisse und die Höhen
auf der Ordinate angegeben sind.
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Die
Flugbahn setzt sich wie folgt zusammen:
- – Kreisbogen,
- – Geradenabschnitt
(singuläre
Flugbahn)
- – Kreisbogen.
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Die
Kreisbögen
entsprechen konstanten gesättigten
Belastungsfaktoren, während
das Geradensegment einem Belastungsfaktor mit dem Wert Null entspricht.
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In
der Praxis werden die Lenkbefehle mit einer gegebenen Frequenz (abhängig von
den charakteristischen Eigenschaften der Rakete in der Größenordnung
von 30 Hz) in zwei zu den Achsen der Rakete parallelen Achsen (zwei
Manövrierebenen)
berechnet. Für
den Fall einer Rakete, die ein starkes erzeugtes Rollen aufweist,
wird die Berechnungsfrequenz der Lenkbefehle erhöht, um dieser Störung entgegenzuwirken.
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Die
Beweisführung
dessen, was oben bezüglich
der Flugbahn und der Einstellwerte u des im allgemeinsten Fall zugrunde
zu legenden Belastungsfaktors ausgeführt worden ist, ist Gegenstand
der beigefügten Anlage
1.
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Es
ist somit zu erkennen, daß der
am Ausgang eines Lenkmoduls der Rakete verfügbare Belastungsfaktorwert
besonders einfach ist.
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Zur
Gewährleistung
einer einwandfreien Lenkung der Rakete genügt es, die Zeitpunkte der Umschaltung
der Steuerflächen
und der Steigung γs des geradlinigen Abschnitts der Flugbahn
zu bestimmen.
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Erfindungsgemäß wird zunächst γs berechnet.
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xi und zi repräsentieren
die Momentankoordinaten der Rakete.
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Die
genauen Berechnungen, die zu diesem ersten Ergebnis führen, sind
in der Anlage 2 dargelegt.
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Es
ist zu erkennen, daß der
Wert von γs von Hypothesen für ε1 und ε2 abhängt, die
mit den Werten +1 oder –1
genommen werden können.
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Zur
Erzielung eines guten Werts von γs wird ein Kohärenztest durchgeführt, um
zu überprüfen, ob
das erhaltene Ergebnis nicht unsinnig ist. Zunächst sei bemerkt, daß zwei Gleichungen
zur Verfügung
stehen: ε1umaxτ1 = γs – γi ε1 hat
somit das Vorzeichen von γs – γi,
und (γc – γs)
= ε2umax(tf – τ2)ε2 hat
somit das Vorzeichen von (γc – γs)·
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Weil
dies der häufigste
Fall ist, wird zunächst
damit begonnen, die Hypothese H1 zugrunde
zu legen, bei der gilt: ε1 =
1, ε2 = 1.
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In
diesem Fall muß anschließend geprüft werden,
ob gilt: γi ≤ γs ≤ γc.
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Diese
Hypothese wird nur bestätigt,
wenn gilt: γi ≤ γc.
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Wenn
diese Hypothese unter Berücksichtigung
des schließlich
durch γs erhaltenen Werts nicht bestätigt wird,
wird die Berechnung von γs erneut begonnen, indem die Hypothese H2
zugrunde gelegt wird, gemäß der gilt: ε1 = –1, ε2 = –1
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In
diesem Fall muß anschließend geprüft werden,
ob gilt: γc ≤ γs ≤ γi.
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Diese
Hypothese wird nur bestätigt,
wenn gilt: γc ≤ γi.
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Wenn
diese Hypothese unter Berücksichtigung
des am Ende für γs mit
dieser Hypothese erhaltenen Werts nicht bestätigt wird, wird die Berechnung
erneut begonnen, indem die Hypothese H3 zugrunde gelegt wird, gemäß der gilt: ε1 = 1, ε2 = –1
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Die
Hypothese wird anschließend
bestätigt,
wenn folgende Beziehungen erhalten werden: γs – γi ≥ 0 γc – γs ≤ 0
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Wenn
diese Hypothese erneut nicht bestätitgt wird, wird die letzte
Hypothese H4 geprüft,
gemäß der gilt: ε1 = –1, ε2 =
1
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Die
Hypothese wird anschließend
bestätigt,
wenn die folgenden Beziehungen erhalten werden: γs – γi ≤ 0 γc – γs ≤ 0
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Es
sei bemerkt, daß die
vier betrachteten Hypothesen einander ausschließen, d. h., daß dann,
wenn eine bestätigt
wird, die anderen nicht bestätigt
werden können.
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Jede
der Hypothesen führt
zu den anschließend
angegebenen Werten einerseits für γs und
andererseits für τ1 und τ2.
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Wenn
H1 bestätigt
wird, gilt:
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Wenn
H2 bestätigt
wird, gilt:
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Wenn
H3 bestätigt
wird, gilt:
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Wenn
H4 bestätigt
wird, gilt:
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Wenn
die Berechnung zur Bestimmung der Werte von γs, τ1 und τ2 beendet
ist, steht am Ausgang des Lenkrechners ein auf die Rakete auszuübender Belastungsfaktorwert
zur Verfügung.
Es handelt sich dabei um einen einfachen Rechteckwert. Im allgemeinsten
Fall wird es sich dabei um einen Belastungsfaktor handeln, der bis
zum Zeitpunkt τ1 konstant ist, bis zum Zeitpunkt τ2 den
Wert Null hat und bis zum Endzeitpunkt erneut konstant ist.
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Die
sich aus diesem Lenkgesetz ergebenden Werte werden in der Fluglageneinstelleinheit
in Einstellwerte des Anstellwinkels und des Slippwinkels im Gleichgewicht
transformiert.
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Der
Anstellwinkel αeq im Gleichgewichtszustand, d. h. der Winkel
zwischen den Projektionen des Geschwindigkeitsvektors der Rakete
und der Raketenachse in einer vertikalen Ebene ist der Anstellwinkel,
den die Rakete annimmt, wenn ein Gleichgewichtszustand zwischen
dem Drehmoment in einer vertikalen Ebene, das sich aus der durch
den Ausschlag der Steuerflächen
ergebenden zusätzlichen
Kraft resultiert, und dem Drehmoment, das die Gesamtheit der auf
die Rakete ausgeübten
aerodynamischen Kräfte
ohne Ausschlag der Steuerflächen
vorliegt.
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Bezüglich des
Anstellwinkels bestimmt sich das Gleichgewicht durch
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In
dieser Formel sind in herkömmlicher
Art
Cmδ ein
dimensionsloser Momentkoeffizient, der auf den Ausschlag der Steuerflächen zurückgeht;
Cmα ein dimensionsloser
Momentkoeffizient, der auf den Anstellwinkel der Rakete zurückgeht;
Czδ ein dimensionsloser
Momentkoeffizient, der die auf den Ausschlag der Steuerflächen zurückzuführende Kraft
charakterisiert;
Czα ein
dimensionsloser Koeffizient, der die auf den Anstellwinkel der Rakete
zurückzuführende Kraft
charakterisiert;
m die Masse der Rakete.
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Die
Koeffizienten Cmδ,
Cmα, Czδ, Czα sind aerodynamische
Koeffizienten, die die Rakete (abhängig von der Mach-Zahl) charakterisieren.
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S
ist die Hauptmomentfläche
der Rakete.
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Zur
Realisierung des Einstellwerts des Belastungsfaktors (Fluglageneinstellung)
muß dieser
Wert der Anstellung (oder der Slippwert) verwirklicht werden, der
für das
betrachtete Steuergesetz die Form einer Folge von Rechtecksignalen
hat.
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Zur
Erstellung des entsprechenden Fluglageneinstellgesetzes ist als
Beispiel ein lineares aerodynamisches Flugmodell der Rakete betradchtet
worden (wobei die Beschreibung hier für den Fall der Nickebene erfolgt).
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In
diesen Formeln sind
q die Nickwinkelgeschwindigkeit der Rakete
(r ist diese gleiche Geschwindigkeit in der Gierebene);
q eine Größe mit dem Wert 1/2ρV2, wobei ρ die
Dichte von Luft ist;
d eine charakteristische Referenzlänge der
Rakete; oft ist d gleich dem Kaliber der Rakete;
B das Trägheitsmoment
der Rakete in Nickrichtung.
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Es
wurde der Unterschied zwischen der natürlichen Dynamik der Rotation
der Achsen der Rakete und der Rotation des Geschwindigkeitsvektors
ausgenutzt, was eine Vereinfachung der Gleichung (1) wie folgt ermöglicht: α . = q.
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Diese
Vereinfachung führt
dazu, daß die
Rotationsgeschwindigkeit des Geschwindigkeitsvektors der Rakete
gegenüber
der Rotationsgeschwindigkeit der mit der Rakete verbundenen Achsen
vernachlässigt
werden kann.
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Dank
dieses Modells ist das Problem gelöst worden, das darin besteht,
den Anstellwinkelwert αeq in einer minimalen Zeit zu erreichen.
Die Wahl eines Minimumzeitkriteriums ermög licht es, durch Anwendung
des Prinzips des Minimums von Pontryagin, Ausschlagwerte vom Typ
+δmax oder –δmax zu
erhalten, was genau dem entspricht, was bekanntlich in der Praxis
mit dieser Art von Raketen verwirklicht werden kann.
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Die
Wahl des Ausschlagvorzeichens wird bestimmt, indem der laufende
Punkt (α,
q), der dank der Trägheitseinheit
bekannt ist, oder (β,
r) in der anderen Ebene, mit einem als Schaltkurven bezeichneten
Gitter aus Kurven in Bezug gesetzt wird, das nur vom Anstellwinkel
(bzw. Slippwinkel) im angestrebten Gleichgewicht und von aerodynamischen
Koeffizienten der Rakete abhängt
(Ergebnis der Lösung
des Optimierungsproblems).
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Im übrigen sei
bemerkt, daß der
aerodynamische Anstellwinkel das Ergebnis aller auf die Rakete einwirkenden
Kräfte
einschließlich
der Schwerkraft ist. Die Wirkungen der Schwerkraft werden durch
Einwirkung der Fluglageneinstellschleife unterdrückt.
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Ein
Beispiel einer Schaltkurve in der dem Anstellwinkel entsprechenden
Phasenebene αq
ist in 6 dargestellt.
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Wenn
der laufende Punkt αq über der
Schaltkurve liegt, ist der Ausschlag positiv. Im gegenteiligen Fall ist
er negativ.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren
zur Fluglageneinstellung ist schematisch in 7 angegeben,
die sich von 3 dahingehend unterscheidet,
daß die
Fluglageneinstelleinheit 3 detailliert dargestellt ist.
Anhand des durch den Lenkrechner 1 erzeugten Werts des
Belastungsfaktors berechnet die Fluglageneinstelleinheit 3 in
einem ersten Abschnitt 16 den Anstellwinkel und den Slippwinkel
im Gleichgewicht, wobei die Berechnung dieser Winkel ermöglicht,
in einem zweiten Modul 15, der ebenfalls die Daten aus
der Trägheitseinheit 17 empfängt, die
in 6 dargestellten Schaltkurven zu berechnen. Die
Positionsänderungswerte
der Steuerflächen ergeben
sich aus einem Vergleich der laufenden Position mit der Position
der Kurven.
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Oben
ist erläutert
worden, daß zur
Reduzierung des Belastungsfaktors in der Endphase der Flugbahn ständig ein
fiktives Ziel angepeilt wird, das auf einer tangential zu der vorgesehenen
Ankunftsgeraden verlaufenden Kurve beweglich ist. Diese Abwandlung
des Lenkverfahrens ist in 8 dargestellt.
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Zur
Vereinfachung der Erläuterungen
wird angenommen, daß die
Endflugbahn tangential zu einer Geraden verläuft, die in der Vertikalebene
liegt. Diese Ebene ist die Ebene der 8.
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Die
Endflugbahn verläuft
tangential zu einer Geraden mit der Steigung γ
c. Das
fiktive Ziel liegt auf einer Parabel, die über der Geraden in einem vertikalen
Abstand d
1 von dieser Geraden liegt, wobei
gilt:
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In
diesem Ausdruck ist K ein Koeffizient, und Vh ist
die Horizontalgeschwindigkeit der Rakete, während tgo die bis zum Erreichen
des fiktiven Ziels verbleibende Zeit ist.
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Diese
Abwandlung ermöglicht
praktisch die Annullierung der Belastungsfaktorwerte auf den letzten 100
bis 200 Metern vom tatsächlichen
Ziel sowie die Begrenzung der am Ende vorliegenden Slipp- und Anstellwinkel.
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Auf
diese Weise verläuft
der Geschwindigkeitsvektor praktisch in einer Linie mit der Achse
der Rakete.
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Die
Simulationen der Lenk- und Fluglageneinstellalgorithmen gemäß den oben
erläuterten
Prinzipien haben gezeigt, daß sehr
gute Ergebnisse erhalten werden.
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Der
Bereich der erreichbaren Endsteigungen reicht von einigen Grad bis
zu einer praktisch vertikalen Steigung. Dies gilt für eine Rakete,
die einen geringen Belastungsfaktor hat.
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Im übrigen wurde
eine gute Widerstandsfähigkeit
gegenüber
Rollen gezeigt: ein Rollen von mindestens 1 t/s kann toleriert werden.
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Das
Zurückgreifen
auf ein Minimumzeitkriterium führt
zu Flugbahnen, die Gesamtkorrekturen (Integral des auf die Rakete übertragenen
Gesamtbelastungsfaktors) erfordern, die weit unter denen der herkömmlichen
Gesetze (beispielsweise dem Proportionalnavigationsgesetz) liegen.
Dies gilt wegen der sehr niedrigen Schaltfrequenzen (< 4 Hz) der Steuerflächen. Die
Anordnung ist daher hinsichtlich der Energie billig.
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Schließlich ist
erkennbar, daß die
an den Lenk- und Fluglageneinstellalgorithmen unternommenen Anstrengungen
in diesem Fall sehr konkrete Auswirkungen auf die Realisierung und
die Kosten des Systems durch Vereinfachung der Organe zur Fluglageneinstellung
haben.
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ANLAGE 1
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Die
hamiltonsche Funktion entsprechend dem erfindungsgemäßen Lenkverfahren
hat folgendes Aussehens H = 1 + λ1Vcosγ – λ2 Vsinγ + λ3u
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Das
Prinzip des Maximums nach Pontryagin liefert den optimalen Befehl,
der durch das zur entsprechenden Größe hinzugefügte Zeichen * repräsentiert
wird.
wenn λ .*3 = 0 u*.=
+umaxsign(λ3) (die
entsprechende Flugbahn ist ein Abschnitt eines Kreisbogens)
wenn λ .* 3 = 0 et λ* 3 = 0 u* = 0 (die entsprechende Flugbahn
ist eine Gerade).
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Im
letztgenannten Fall liegt der besondere Fall eines singulären Befehls
vor.
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Um
u* zu erhalten, muß somit λ3 wenn
möglich
abhängig
vom Zustand bestimmt werden, um einen beständigen Befehl zu erzeugen.
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Die
notwenigen Optimalbedingungen liefern das beigefügte System.
H(tf)
= 0, wenn die Endzeit frei ist.
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Die
hamiltonsche Funktion ist somit längs der gesamten Flugbahn Null.
Daraus ergibt sich: –1 + C1Vcosγ – C2Vsinγ ± λ3u* = 0
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Es
sei nun untersucht, bei welcher Bedingung der singuläre Befehl
u* = 0 entsteht: λ3 =
0 ⇒ –1 + C1Vcosγ – C2Vsinγ =
0somit gilt u = 0 also γ =
cste = γs
daraus läßt sich ableiten: C1Vcosγs – C2Vsinγs = 1
ferner gilt λ3 =
0 ⇒ –C1Vsinγs + C2Vcosγs =
0
woraus sich ableiten läßt: cosγs =
VC1
sinγs = –VC2
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Eine
notwendige Bedingung für
das Entstehen des singulären
Befehls u* = 0 ist somit:
γ = γs +
k2π(kεz) mit cosγs =
VC1
sinγs = –VC2
umgekehrt wird angenommen: γ = γs mit
cosγs = VC1
sinγs = –VC2
somit gilt: λ3 =
C1V(–V·C2) + C2V(VC1) = 0
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Im übrigen läßt sich
angeben, daß die
hamiltonsche Funktion längs
der gesamten Flugbahn Null ist (also für γ = γ
s)
–1
+ cos2γs + sin2γs + λ3u* = 0daraus: λ
3·u
* = 0
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Eine
notwendige und hinreichende Bedingung für das Entstehen des singulären Befehls
u* = 0 ist somit
γ = γs +
k2π mit
cosγs = VC1
sinγs = –VC2
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Kann
eine Umschaltung von einem Kreisbogen auf einen anderen Kreisbogen
durchgeführt
werden?
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Eine
Umschaltung bedingt eine Annullierung von λ3. λ 3 = 0 ⇒ –1 + C1V·cosγ – C2Vsinγ =
0woraus folgt: γ = γs +
k2π,
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γs ist
dabei durch die vorgehenden Beziehungen definiert, und unter diesen
Bedingungen gilt λ .3 = 0
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Wenn
eine Umschaltung stattfindet, erfolgt sie nur von einem Kreisbogen
zu einer Geraden mit der Steigung γs oder
von einer Geraden mit der Steigung γs zu
einem Kreisbogen.
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Wenn
für die
Anfangssteigung gilt: γi ≠ γs,
dann ist der Anfangsbefehl nicht gleich Null. Es wird ein Kreisbogen
beschrieben, bis die Steigung γ = γs erreicht
ist.
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Es
erfolgt somit ein Übergang
auf eine Gerade mit der Steigung γs (singuläre
Bahn). Wenn die angepeilte Endsteigung γc verschieden
von γs ist, muß zwangsläufig eine weitere Umschaltung
erfolgen; kann es auch mehrere geben?
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Dies
bedeutet, daß die
Rakete einen vollständigen
Kreisbogen durchläuft,
um zu einem Geradenabschnitt mit der Steigung γs (bis
auf 2π definiert)
zu kommen (da zwangsläufig
eine Umschaltung von einem Kreisbogen zu einem Geradenabschnitt
mit der Steigung γs erfolgt), was widersinnig ist (Schleife
= Widerspruch zur Minimumzeit).
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Im
allgemeinen Fall gibt es letztendlich zwei Umschaltungen in der
folgenden Reihenfolge:
Kreisbogen, Gerade, Kreisbogen.
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Es
wird erhalten:
- 1) cosλcosγs +
sinλsinγs = a₁ / M
- 2) sinγcosγs +
cosλsinγs = b₁ / M
woraus
sich ergibt: - 1) cos(λ – γs) = a₁ / M
- 2) sin(λ – γs)
= b₁ / M
daraus läßt sich
ableiten: tg(λ – γs)
= b₁ / a₁
so daß sich
ergibt: γs = λ – arctg b₁ / a₁
also:
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ANLAGE 2
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Berechnen
der Zeitpunkte τ1, τ2 der Umschaltung der Steuerflächen und
der Steigung der singulären Geraden.
Diese Anlage ist als Verlängerung
der Anlage 1 zu lesen.
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Es
müssen
noch die Umschaltzeitpunkte und die Steigung der singulären Flugbahn
berechnet werden.
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Die
Gleichungen des Systems werden in Kenntnis der Tatsache integriert,
daß die
anschließend
angegebene Befehlsfolge vorliegt:
bei [0, τ
1]u
= ε
1u
max ε
1 = ±1
bei
[τ
1 τ
2]u = 0
bei [τ
2, tf]u
= ε
2u
max ε2 = ±1
bei
[0, τ
1]: •γ . =
+ε
1u
max also:
Anfangssteigung
τ
1 ist
derart, daß gilt:
mit der Anfangsabszisse x
i.
mit der Anfangsamplitude
z
i.
bei (τ
1, τ
2)
•γ = γ
s •ẋ =
Vcosγ
s x(t) = x(τ
1) +
Vcosγ
s(t – τ
1)
•ż = Vsinγ
s z(t)
= z(τ
1) – Vsinγ
s(t – τ
1)
also
mit t = τ
2 mit (τ
2,
tf)
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Wenn
gilt: t = tf ergibt sich:
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Daraus
läßt sich
ableiten:
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Die
Gleichungen 1 und 2 werden benutzt, um γs anhand
von Parametern zu bestimmen, die bekannt sind (Anfangsbedingungen
+ angepeiltes Objekt) oder die im Rahmen von anschließend überprüften Hypothesen
erhalten werden können: ε1, ε2.
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Durch
Quadrieren der zwei Gleichungen und durch Bilden ihrer Summe wird
die folgende Beziehung erhalten:
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Wenn
angenommen wird:
was bedeutet, daß die Hypothese
nicht gültig
ist oder daß der
angepeilte Punkt nicht erreichbar ist (verbotene Zone), weil u
max ungenügend
ist.
mit der Anfangsamplitude zi.
in der Gierebene, wobei in diesen Gleichungen q und r die Drehgeschwindigkeiten der Rakete in der Nickebene und in der Gierebene sind,