DE10337976A1 - Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen - Google Patents

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Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen. DOLLAR A Bedingt durch das dynamische Verhalten und durch den konstruktiven Aufbau eines Messsystems ist im Allgemeinen das ausgegebene Messsignal nicht identisch mit der zu messenden Größe. DOLLAR A Die Erfindung beschreibt ein Verfahren, bei dem die Amplitudenverzerrung eines Messsystems exakt durch ein Kompensationsfilter kompensiert wird, wobei das Kompensationsfilter eindeutig durch das Messsystem bestimmt ist. DOLLAR A Die beschreibende Systemfunktion des Messsystems wird minimalphasig und damit invertierbar, indem alle ihre Nullstellen, die außerhalb des Einheitskreises liegen, am Einheitskreis gespiegelt werden und somit in das Innere des Einheitskreises gelangen. DOLLAR A Dieses Kompensationsfilter ist einfach zu realisieren und das Verfahren auch für Echtzeitanwendungen geeignet, da bei der Anwendung nur einfache Numerik verwendet wird. Des Weiteren wird das Kompensationsfilter eindeutig durch das Messsystem bestimmt, so dass kein zusätzliches Optimierungsverfahren bzw. Näherungsverfahren notwendig ist. DOLLAR A Vorteilhafte Anwendungsbeispiele sind die Rekonstruktion von Messungen aus einem Wandersehnenverfahren sowie zur Rekonstruktion von Gleislagemessungen des Schienenverkehrs.

Description

  • Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen.
  • Bedingt durch das dynamische Verhalten und durch den konstruktiven Aufbau eines Messsystems ist im Allgemeinen das ausgegebene Messsignal nicht identisch mit der zu messenden Größe. Bei vielen Anwendungen ist jedoch dieser durch das Messsystem systematisch bedinge Fehler nicht tolerierbar.
  • Dieser Fehler kann bei der Kenntnis des dynamischen Verhaltens und/oder des konstruktiven Aufbaus des Messsystems kompensiert werden, so dass das vom Messsystem ausgebebene Messsignal exakt der zu messenden Größe entspricht. Allerdings ist dies nur bei einer bestimmten Klasse von Messsystemen möglich.
  • In der Patentschrift DE 44 29 517 wird ein Verfahren zur Berechnung einer inversen Übertragungsfunktion bzw. zur Korrektur von Messsignalen beschrieben. Hierbei wird ein von einem Messsystem aufgenommenes Messsignal korrigiert durch Addition eines hochfrequenten Anteils des Messsignals, der durch eine approximative Entfaltung ermittelt wird, zu einer Lösung einer Differentialgleichung des tieffrequenten Anteils des Messsignals, wobei deren Integrationskonstanten durch die messtechnischen oder durch den wahren Signalverlauf gegebenen Randbedingungen bestimmt sind. Dieses Verfahren ist jedoch mathematisch aufwendig und stellt nicht für alle Aufgabenstellungen einen zielführenden Lösungsansatz dar. Desweiteren handelt es sich um ein Näherungsverfahren, bei dem das originale Messignal nur näherungsweise/approximativ rekonstruiert wird.
    •
  • Es ist daher Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen anzugeben, bei dem die geschilderten Nachteile des Standes der Technik gelöst werden.
  • Diese Aufgabe wird in Verbindung mit dem Oberbegriff des Hauptanspruches erfindungemäß durch die in Anspruch 1 angegebenen Merkmale gelöst.
  • Vorteil der Erfindung gegenüber dem Stand der Technik ist, dass
    • – die Verzerrung der Amplitude des Messsignals exakt (mathematisch nachweisbar) kompensiert wird, es handelt sich somit nicht um ein Näherungsverfahren,
    • – das Kompensationsfilter einfach zu realisieren ist.
    • – nur einfache Numerik (wenige Multiplikationen und Additionen) verwendet wird und daher das Verfahren auch für Echtzeitanwendungen geeignet ist.
    • – das Kompensationsfilter eindeutig zu bestimmen ist, es ist somit kein Optimierungsverfahren notwendig.
  • Ansprüche 2 bis 6 geben vorteilhafte Anwendungsbeispiele des erfindungsgemäßen Verfahrens an.
  • Nach Anspruch 2 wird das Verfahren aus Anspruch 1 zur Rekonstruktion von Signalen nach einem Wandersehnenmessverfahren verwendet.
  • Nach Ansprach 3 wird bei dem Wandersehnenmessverfahren eine symmetrische Sehnenteilung verwendet. Hierdurch ergibt sich eine symmetrische Impulsantwort. Die symmetrische Impulsantwort hat einen linearen Phasengang und damit eine konstante Gruppenlaufzeit zur Folge. Aus der Kenntnis des Phasenganges bzw. der Gruppenlaufzeit wird vorteilhaft zusätzlich die Phasenverzerrung des Messssystems exakt kompensiert.
  • Nach Anspruch 4 wird das Verfahren aus Anspruch 1 und/oder 2 zur Rekonstruktion von Gleislagesignalen verwendet.
    •
  • Die Erfindung wird nachstehend anhand zweier Ausführungsbeispiele und den 1 bis 13 näher erläutert. Die Figuren zeigen in
  • 1 ein prizipielles Schaltbild mit einem originalen Signal g(x), das von einem Messsystem mit einer Impulsantwort h(x) erfasst und als Messsignal m(x) ausgegeben wird,
  • 2 wie 1, jedoch in einem ortsdiskreten System,
  • 3 eine Impulsantwort hd(z) des Messsystems des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System,
  • 4 eine Übertragungsfunktion Hd(z) des Messsystems des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System,
  • 5 wie 2, jedoch ergänzt um ein Kompensationsfilter mit der inversen Impulsantwort hc[n], so dass sich ein rekonstruiertes originales Signal g*[n] ergibt,
  • 6 Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion Hd(z) des Messsystems des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene,
  • 7 Pole und Nullstellen der minimalphasigen Übertragungsfunktion Hdmin(z) des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene,
  • 8 Pole und Nullstellen der Allpass-Übertragungsfunktion Hap(z) des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene,
  • 9 eine minimalphasige Übertragungsfunktion Hdmin(z) des Ausführungsbeispiels nach Gleichung (2.20) im ortsdiskreten System,
  • 10 eine Allpass-Übertragungsfunktion Hap(z) des Ausführungsbeispiels nach Gleichung (2.20) im ortsdiskreten System,
  • 11 Pole und Nullstellen der inversen Übertragungsfunktionen Hc(z) des Kompensationsfilters des Ausführungsbeispiels in der komplexen Ebene,
  • 12 eine inverse Übertragungsfunktionen Hc(z) des Kompensationsfilters des Ausführungsbeispiels im ortsdiskreten System,
  • 13 eine kanonische Realisierung einer Übertragungsfunktion mittels digitaler Filter nach Gleichung (2.29).
  • In dem ersten Ausführungsbeispiel wird ein Gleismesstriebzug (GMTZ) der Deutschen Bahn AG betrachtet, der das Messverfahren des Wandersehnenmessverfahrens verwendet. Es wird beschrieben, wie eine Verzerrung der Amplitude dass Messsignals des GMTZ exakt kompensiert wird.
  • Das Messsystem des GMTZ gibt hierbei nicht die exakten physikalischen Gleislagen bzw. die Gleislageabweichungen wieder. Diese Verzerrung beruht auf einem durch das Messverfahren bedingten systematischen Fehler. Für die Gleislageinstandhaltung und insbesondere zur Beurteilung der Gleislageabweichungen anhand formtreuer Gleislagesignale ist es zwingend erforderlich diesen systematischen Fehler exakt zu kompensieren.
  • Das Messsystem des GMTZ kann als lineares zeitinvariantes System (LTI-System) beschrieben werden. Die Gleislage g(x) ist hierbei die Eingangsgröße für das LTI-System. Das LTI-System wird vollständig durch die Impulsantwort h(x) bzw. Übertragungsfunktion H(jω) beschrieben. Hierbei ist H(jω) die Fouriertransformierte der Impulsantwort h(x). m(x) ist das vom Messsystem gelieferte Signal siehe 1:
    Figure 00040001
    M(jω) = G(jω) H(jω) (2.2)
  • Beim Messsystem GMTZ sind die Impulsantworten h(x) und die Übertragungsfunktionen H(jω) eindeutig aufgrund der Geometrie des Wandersehenmessverfahrens gegeben. Es ist zu berücksichtigen, dass für die Messung der Längshöhen- und Richtungsabweichungen jeweils unterschiedliche Impulsantworten und Übertragungsfunktionen existieren. Des Weiteren ist auch die Messrichtung – Fahrtrichtung des GMTZ zu berücksichtigen. Somit ergeben sich für die Messung der Längshöhen- und der Richtungsabweichungen insgesamt vier unterschiedliche Impulsantworten bzw. Übertragungsfunktionen.
  • Die Impulsantworten h(x) und die Übertragungsfunktionen H(jω) des GMTZ sind durch folgende Gleichungen vollständig beschrieben:
    Figure 00040002
  • Die Parameter a und b bezeichnen die Sehnenteilungen.
  • GMTZ Impulsantwort im ortsdiskreten Fall
  • Für die Berechnung der inversen Übertragungsfunktion wird von der z-Transformation Gebrauch gemacht, so dass bereits an dieser Stelle die kontinuierlichen Übertragungsfunktionen als ortsdiskrete Funktionen dargestellt werden.
  • Für den Übergang von der kontinuierlichen zur diskreten Funktion müssen folgende Parameter ersetzt werden:
    Figure 00040003
  • Zu beachten ist hierbei, dass auch die Sehnenteilungen diskretisiert werden müssen:
    Figure 00040004
    d1;d2 ∈ Z (2.6)
  • Die diskreten Sehnenteilungen ad und bd können direkt berechnet werden:
    Figure 00050001
    ad;bd ∈ Z (2.8)
  • Die ortsdiskrete Impulsantwort des Messsystems lautet:
    Figure 00050002
    (die Diskretisierung wird zusätzlich durch eckige Klammern kenntlich gemacht). In Gleichung (2.9) bezeichnen die Parameter a und b die diskreten Sehnenteilungen.
  • Das Messsignal m[n] ergibt sich aus der ortsdiskreten Faltung der Gleislage g[n] mit der Impulsantwort hd[n], siehe 2:
    Figure 00050003
  • Die diskrete Impulsantwort hd[n] kann durch die diskrete Fouriertransformation (DFT) auch im Frequenzbereich dargestellt werden. In 3 ist die Impulsantwort und in 4 die Übertragungsfunktion dargestellt.
  • Die Sehnenteilungen betragen in diesem Beispiel 2,6 m und 6 m, die Abtastrate wurde auf 0,2 m festgelegt:
    Figure 00050004
  • Kompensation des Übertragungsverhaltens
  • Die zu lösende Aufgabe besteht darin, ein Kompensationsfilter hc[n] – zusätzliches LTI-System – zu entwerfen, welches das Übertragungsverhalten des GMTZ kompensiert.
  • In 5 ist das Gesamtsystem inklusive Kompensationsfilter dargestellt mit den Bezeichnungen: g*[n] ≈ g[n] (2.12)
    Figure 00060001
  • Berechnung des Kompensationsfilters hc[n]
  • Für die Berechnung des Kompensationsfilters hc[n] wird die Impulsantwort hd[n] mittels der komplexen z-Transformation transformiert. Der Vorteil dieser Herangehensweise liegt darin, dass wesentliche Eigenschaften von LTI-Systemen in der komplexen z-Ebene in einfacher Weise darstellbar sind.
  • Figure 00060002
  • Unter Berücksichtigung der Eigenschaften der z-Transformation und der Verwendung bekannter z-Transformationspaare kann Hd(z) direkt aus hd[n] bestimmt werden:
    Figure 00060003
  • Durch algebraische Umformung kann Gleichung (2.17) auch in der Form
    Figure 00060004
    dargestellt werden.
  • Allgemein gilt:
    • – Die Nullstellen von Hd(z) sind die Nullstellen von Z(z)
    • – Die Polstellen von Hd(z) sind die Nullstellen von N(z)
    • – Damit das LTI-System Hd(z) kausal und stabil ist müssen alle Pole von Hd(z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene liegen
    • – Soll das System auch invertierbar sein, so müssen auch die Nullstellen von Hd(z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene liegen
    • – Liegen alle Pol- und Nullstellen von Hd(z) im Inneren des Einheitskreises in der komplexen z-Ebene nennt man Hd(z) minimalphasig.
  • Die zu Hd(z) inverse Systemfunktionen Hc(z) minimalphasiger Systeme kann wie folgt angegeben werden:
    Figure 00070001
  • In 6 sind die Pole und Nullstellen von Hd(z) entsprechend der Gleichung (2.18) in der komplexen z-Ebene eingezeichnet. Da Nullstellen von Hd(z) außerhalb des Einheitskreises liegen ist dieses System nicht minimalphasig.
  • Da Hd(z) nicht minimalphasig ist kann Hc(z) auch nicht entsprechend der Gleichung (2.19) berechnet werden.
  • Zur Berechnung von Hc(z) muss Hd(z) in zwei Systemfunktionen aufgeteilt werden. Hd(z) = Hdmin(z)·Hap(z) (2.20)
  • Eigenschaften von Hdmin(z) und Hap(z):
    • - Hdmin(z)
    • – Alle Pole und Nullstellen von Hdmin(z) liegen im Inneren des Einheitskreises
    • – Hdmin(z) und Hd(z) haben die gleiche Amplitudenverzerrung, den gleichen Amplitudengang jedoch unterschiedlichen Phasengang
    • – Hdmin(z) ist minimalphasig
    • – Hap(z)
    • - Hap(z) ist ein Allpasssystem
    • – Amplitudengang konstant eins, jedoch Phasengang, Phasenverzerrung
  • Berechnung von Hdmin(z) und Hap(z)
  • Figure 00080001
    • - Berechnen der Nullstellen von Hd(z): Z(z) = 0 ⇒ –a – b·z(a+b) + (a + b)·zb = 0 (2.22)
    • – Berechnen der Polstellen von Hd(z): N(z) = 0 ⇒ (a + b)·zb = 0 (2.23)
    • – Z(z) von Hd(z) umformen:
      Figure 00080002
    • – Alle Nullstellen NX von Z(z) die außerhalb des Einheitskreises liegen werden am Einheitskreis gespiegelt. Spiegelung der entsprechenden Nullstellen an ihre konjugiert reziproke Position innerhalb des Einheitskreises.
      Figure 00080003
    • – Aus der Nullstellen innerhalb des Einheitskreises und den gespiegelten Nullstellen ergibt sich das Zählerpolynom Z'(z) für Hdmin(z). Alle Pole und Nullstellen von Hdmin(z) liegen im Inneren des Einheitskreises. Hdmin(z) ist minimalphasig.
      Figure 00080004
    • – Hap(z) besteht aus allen Nullstellen von Hd(z) die außerhalb des Einheitskreises legen zusammen mit den Polen die die gespiegelten konjugiert reziproker Nullstellen von Hdmin(z) wieder aufheben.
  • In 7 und 8 sind die Pole und Nullstellen von Hdmin(z) und Hap(z) eingezeichnet.
  • 9 und 10 stellen die Übertragungsfunktionen von Hdmin(jω) und Ha p(jω) dar.
  • Berechnung von Hc(z)
  • Da Hdmin(z) minimalphasig ist kann Hc(z) entsprechend der Gleichung (2.19) berechnet werden
    Figure 00090001
  • In 11 und 12 sind die Pole und die Nullstellen sowie die Übertragungsfunktionen von Hc(jω) dargestellt.
  • Übertragungsverhalten Hges(z) des gesamten Systems
  • Das Übertragungsverhalten des gesamten Systems Hges(z) lautet:
    Figure 00090002
  • Der Amplitudengang von Hd(z) wird exakt kompensiert. Der Phasengang des gesamten Systems ist gleich dem Phasengang von Hap(z).
  • Bestimmung der Filterkoeffizienten a, b aus Hc(z)
  • Zur Realisierung der Übertragungsfunktion mittels digitaler Filter bietet sich die Realisierung mit einer kanonischen Grundstruktur an. Der Vorteil besteht darin, dass die Filterkoeffizienten a und b direkt aus der Systemfunktion abgelesen werden können. Gegebenenfalls ist ein linearer Faktor zu berücksichtigen.
  • Allgemeine Form, siehe 13:
    Figure 00090003
  • Das Übertragungsverhalten des Kompensationsfilter Hc(z) kann entsprechend der Gleichung (2.29) dargestellt werden. Somit können auch für Hc(z) die Filterkoeffizienten a und b direkt abgelesen werden.
  • Im zweiten Ausführungsbeispiel wird der mechanische Aufbau eines Messsystems nach dem Wandersehnenverfahren betrachtet. Dieses Messystem weist eine freie Sehnenlänge und eine freie Sehnenteilung auf. Durch eine geeignete Wahl der Sehnenlänge und der Sehnenteilung wird die Impulsantwort h(x) bzw. Übertragungsfunktion H(jω) bzw. Systemfunktion H(z) des Messsystems so optimiert, dass sich ein minimales Kompensationsfilter Hc(z) ergibt. Bei diesem Kompensationsfilter weisen alle Nullstellen von H(z) einen großen Abstand vom Einheitskreis auf oder befinden sich bereits ohne Spiegelung innerhalb des Einheitskreises nahe am Mittelpunkt des Einheitskreises.
  • Hierdurch wird erreicht, dass sich das Kompensationsverfahren wesentlich vereinfacht bzw. eine optimale Rekonstruktion erhalten wird.
    • m(x)
    Messsignal
    h(x)
    Impulsantwort des Messsystems
    g(x)
    originales Signal
    g*(x)
    rekonstruiertes Signal
    m[n]
    Messsignal im diskreten System
    h[n]
    Impulsantwort des Messsystems im diskreten System
    g[n]
    originales Signal im diskreten System
    g*[n]
    rekonstruiertes Signal im diskreten System
    M(jω)
    Fouriertransformierte von m(x)
    H(jω)
    Fouriertransformierte von h(x), Übertragungsfunktion
    G(jω)
    Fouriertransformierte von g(x)
    M(z)
    z-Transformierte von m(x)
    H(z)
    z-Transformierte von h(x), Systemfunktion
    G(z)
    z-Transformierte von g(x)
    x
    Ort
    j
    imaginäre Einheit
    ω
    Kreisfrequenz
    δ(x)
    Dirac-Funktion
    a, b
    Parameter der Sehnenteilung bzw. Filterkoeffizienten
    n
    Abtastwert
    Δx
    Abtastrate
    z
    Ort der komplexen z-Ebene, komplexe Zahl
    z*
    konjugiert komplexe von z
    d
    Index des ortsdiskreten Systems
    Z(z)
    Zählerpolynom
    N(z)
    Nennerpolynom
    Hc(z)
    Systemfunktion des Kompensationsfilters
    Hmin(z)
    minimalphasige Systemfunktion zu Hd(z)
    Hap(z)
    Allpass-Systemfunktion
    NX
    Nullstelle
    Hges(z)
    Systemfunktion des gesamten Systems

Claims (4)

  1. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen, bei dem ein Messsignal m(x) mit seiner Fourriertransformierten M(jω) durch ein Messsystem mit einer bekannten und eindeutigen Impulsantwort h(x) bzw. Übertragungsfunktion H(jω) bzw. Systemfunktion H(z) aus einem originalen Signal g(x) mit seiner Fourriertransformierten G(jω) ermittelt wird mit dem Zusammenhang M(jω) = G(jω)·H(jω), dadurch gekennzeichnet, dass – die Impulsantwort mit der komplexen z-Transformation transformiert wird h(x) → H(z), – H(z) in zwei Systemfunktionen aufgeteilt wird H(z) = Hmin(z)·Hap(z), wobei Hmin(z) ein minimalphasiges System und Hap(z) ein Allpasssystem beschreibt, – ein Kompensationsfilter Hc(z) = 1/ Hmin(z) verwendet wird, durch das die Amplitudenverzerrung bzw. der Amplitudengang des Messsystems exakt kompensiert wird, wobei Hmin(z) berechnet wird indem – Nullstellen von H(z), die außerhalb des Einheitskreises liegen am Einheistkreis gespiegelt werden und somit in das Innere des Einheitskreises gelangen, indem die entsprechende Nullstelle mit z → 1/z* an ihre konjugiert reziproke Position innerhalb des Einheitskreises gespiegelt wird, wobei z* konjugiert komplex zu z ist, – trotz dieser Spiegelung der Amplitudengang von H(z) gleich dem Amplitudengang von Hmin(z) gelassen wird, – die neue Systemfunktion Hmin(z) dadurch minimalphasig wird und somit Hc(z) berechnet wird.
  2. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren zur Rekonstruktion von Signalen nach einem Wandersehnenmessverfahren verwendet wird.
  3. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, dass eine symmetrische Sehnenteilung verwendet wird.
  4. Verfahren zur Rekonstruktion von Originalsignalen aus Relativmessungen nach einem oder mehreren der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass das Verfahren zur Rekonstruktion von Gleislagesignalen verwendet wird.
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