DE102020106959B4 - Verfahren zur simulation und auswertung eines elektronischen systems - Google Patents

Abstract

Mit Quantencomputern können quantenmechanische Systeme, wie etwa elektronische Zustände in Molekülen oder Festkörpern, simuliert werden. Gegenwärtig stellen Quantencomputer jedoch nur eine begrenzte Menge an Qubits für die Berechnung zur Verfügung. Dieses Defizit ist auf ungelöste Probleme im Zusammenhang mit dem Eigenrauschen und der Skalierbarkeit zurückzuführen und hat zur Folge, dass Quantencomputer derzeit nur Simulationen kleiner Quantensysteme ermöglichen.Die vorliegende Erfindung beschreibt eine Methode zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems mit kontinuierlicher Spektraldichte, die auf der Unterbrechung der Quantensimulation durch Messungen basiert.

Description

• Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems, insbesondere eines Festkörpers oder eines Moleküls mit einer kontinuierlichen Spektraldichte unter Verwendung eines Quantencomputers, welcher eine Mehrzahl von Qubits aufweist, wobei Merkmale des elektronischen Systems auf einzelnen Qubits simuliert und aus den Qubits ausgelesen werden.
• Ein solches Verfahren ist bereits aus der DE 10 2019 109 816 A1 vorbekannt. Diese löst das Problem, dass für die Berechnung und Simulation von quantenmechanischen, etwa elektronischen, Systemen Defizite im Hinblick auf das Eigenrauschen und die Skalierbarkeit bestehen, durch einen Simulator für große, kontinuierliche Quantensysteme, indem sie das Rauschen als Ressource zur Herstellung eines kontinuierlichen Bades verwendet.
• Ein Quantencomputer ist ein technisch gut gesteuertes Quantensystem, dessen Berechnung auf der Nutzung der Gesetze der Quantenmechanik basiert. Die grundlegende Einheit des Quantencomputers ist das Quantenbit, das so genannte Qubit. Wie das bekannte klassische Bit kann das Qubit die Werte 0 und 1 annehmen. Der Hauptunterschied zu den klassischen Zuständen besteht darin, dass der Quantenspeicher in jeder beliebigen Überlagerung der möglichen Bitfolgen liegen kann. Daraus folgt, dass ein Quantenregister aus N Qubits die Information von 2^N Variablen kodiert. Ein ausreichend großer und gut funktionierender Quantencomputer kann zur Lösung bestimmter mathematischer Probleme verwendet werden, die für klassische Computer unlösbar sind. Zu solchen Problemen gehören auch Simulationen anderer quantenmechanischer Systeme.
• Allerdings gibt es viele technische Schwierigkeiten beim Bau eines großen Quantencomputers. Diese Schwierigkeiten lassen sich grob in zwei große Herausforderungen unterteilen, nämlich die Isolierung der Qubits von einer verrauschten Umgebung und die gleichzeitige Kontrolle einer großen Anzahl von Qubits. Diese beiden Problemkreise sind nicht unabhängig voneinander, und die Verbesserung des Quantencomputers im Hinblick auf das Eine der beiden Probleme beeinflusst diesen in der Regel im Hinblick auf das Andere nachteilig. Derzeit ist es möglich, Quantencomputer mit etwa 20 bis 50 vergleichsweise gut arbeitenden Qubits zu bauen. Es ist zu erwarten, dass in naher Zukunft mehr als 100 physikalische Qubits für die kommerzielle Nutzung zur Verfügung stehen werden.
• Eine sehr vielversprechende Anwendung von kleinen Quantencomputern ist die Simulation anderer quantenmechanischer Systeme. Tatsächlich kann gezeigt werden, dass Algorithmen zur Quantensimulation selbst für eine kleine Anzahl von Qubits schneller sein können als jeder klassische Computer.
• In Kreula et al. (Kreula, Juha M., et al. „Few-qubit quantum-classical simulation of strongly correlated lattice fermions." EPJ Quantum Technology 3.1 (2016): 1-19.) ist eine Studie über den Grundsatzbeweis für eine hybride quantenklassische Simulation von stark korrelierten Fermionenmodellen im thermodynamischen Limit offenbart. In dieser Veröffentlichung wird mittels eines „Zwei-Seiten“-Ansatzes der dynamischen Mittelfeldtheorie (DMFT) das Hubbard-Modell auf ein effektives Verunreinigungsmodell unter Selbstkonsistenzbedingungen reduziert. Die daraus resultierende minimale Zwei-Seiten-Darstellung des nichtlinearen hybriden Aufbaus beinhaltet dabei vier Qubits, die das Verunreinigungsproblem implementieren, plus ein Ancilla-Qubit, auf dem alle Messungen durchgeführt werden können. Auch wird eine mögliche Implementierung mit supraleitenden Schaltungen, die mit Technologie der nahen Zukunft machbar sein sollte, skizziert.
• Vergleichbares ist aus der Veröffentlichung von Keen et al. (Keen, Trevor, et al. „Quantum-classical simulation of two-site dynamical mean-field theory on noisy quantum hardware." Quantum Science and Technology 5.3 (2020): 035001.) bekannt.
• Weiterhin offenbart Chiaverini et al. (Chiaverini, John, et al. „Realization of quantum error correction." Nature 432.7017 (2004): 602-605.) eine experimentelle Quantenfehlerkorrektur, mit welcher Informationen geschützt werden, die in Zwei-Ebenen-Quantensystemen (Qubits) gespeichert sind, indem die Quantenfehlerkorrektur etwaige Fehler mit Operationen behebt, die von den Messergebnissen abhängen.
• Vor diesem Hintergrund liegt der vorliegenden Erfindung die Aufgabe zu Grunde, eine Alternative zu dem bisher bekannten Verfahren zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems zu schaffen, indem künstlich ein kontinuierliches elektronisches Spektrum erzeugt wird, das es erlaubt, große elektronische Quantensysteme mit einer kleinen Anzahl von Qubits zu simulieren.
• Dies gelingt durch ein Verfahren zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems gemäß den Merkmalen des unabhängigen Anspruchs 1. Weitere sinnvolle Ausgestaltungen eines derartigen Systems können den sich anschließenden, abhängigen Ansprüchen entnommen werden.
• Erfindungsgemäß wird vorliegend die Gate-basierte Quantensimulation betrachtet. Hier wird die Entwicklung der Systemzeit durch schnelle Steuerimpulse reproduziert, die an physikalische Qubits angelegt werden und die wiederum den Quantenzustand des modellierten Systems in irgendeiner Weise beschreiben. Genauer gesagt wird die vom Quantencomputer erzeugte Quantensimulation von der Hamilton-Funktion H_QC(t) gesteuert, die mit Qubits des Quantencomputers arbeitet. Das simulierte System wird etwa durch die Hamilton-Funktion H beschrieben, welche die Zeitentwicklung der Elektronen steuert. Diese Systeme sind im Idealfall äquivalent, was bedeutet, dass es eine exakte Abbildung zwischen dem physikalischen Quantenzustand und dem simulierten Quantenzustand gibt.
• Der Quantensimulationszeit-Evolutions-Operator U_QC ist so ausgelegt, dass er den Systemzeit-Evolutions-Operator U in der folgenden, ausreichenden Annäherung reproduziert: $$U=exp\left[-iHt\right]\approx U_{QC}=Texp\left[-i{\displaystyle {\int }_0^{t}dt\text{'}{H}_{QC}\left(t\text{'}\right)}\right]$$

  

  Es werden hierbei Einheiten verwendet, bei denen h̅ = 1 gilt.
• Eine Gate-basierte Quantenentwicklung wird durch aufeinanderfolgende Anwendungen identischer Trotter-Schritte konstruiert, die jeweils eine kleine Zeitentwicklung über die Simulationszeit dt darstellen. Im Idealfall führt jede Sequenz die Operation $$U_{QC}\left(dt\right)={\displaystyle \prod _{sets}exp\left(-i{H}_{set}dt\right)}$$

  

  durch. Hier pendeln alle Terme innerhalb von H_set. Alle Mengen decken gemeinsam alle Terme der simulierten Hamilton-Funktion ab. Die Multiplikation erfolgt in einer gewählten, optimalen Reihenfolge. Die gesamte Zeitentwicklung über die Zeit t = ndt ist dann $$U_{QC}\left(t\right)={\left[U_{QC}\left(dt\right)\right]}^n.$$

  
• Ein weithin untersuchtes Modell verschiedener elektronischer Systeme, welches das vorliegende Quantencomputersystem simulieren kann, ist das Cluster-Bad-Modell, definiert durch eine Hamilton-Funktion vom Typ $$H=H_C+H_B+H_I$$

  

  $$H_C={\displaystyle \sum _{pq\in cluster}{t}_{pq}{c}_p^{†}}{c}_q+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{pq\in cluster}{h}_{pqrs}}{c}_p^{†}{c}_q^{†}{c}_r{c}_s$$

  

  $$H_B={\displaystyle \sum _{i\in bath}{\omega }_i{c}_i^{†}}{c}_i$$

  

  $$H_1={\displaystyle \sum _{pq\in cluster,i\in bath}{t}_{pi}{c}_p^{†}{c}_i+}{t}_{ip}{c}_i^{†}{c}_p$$

  
• Bekannt beispielsweise aus Martin, Richard M., Lucia Reining, and David M. Ceperley. Interacting electrons. Cambridge University Press, 2016.
• Die Systembeschreibung ist in drei Teile unterteilt: Cluster H_C, der Elektronen vollständig mit Wechselwirkung beschreibt, ein Bad H_B wechselwirkungsfreier Elektronen und Elektronen-Hopping zwischen den beiden Bereichen H_I. Die Modellierung innerhalb des Clusters ist möglichst exakt, während das Bad und die Wechselwirkung im Mittelfeldansatz berücksichtigt werden. Dies liefert die detaillierteste lösbare Beschreibung vieler Festkörper und ist die Grundlage der dynamischen Mittelfeldtheorie (Dynamical Mean Field Theory, DMFT). Dies kann auch eine effiziente Beschreibung von großen Molekülen mit einem kleinen reaktiven Zentrum, dem Cluster, sein.
• In einem solchen Modell ist die zentrale Funktion, welche den Effekt des Bades auf das Cluster beschreibt, die spektrale Dichte S^±(ω). Die Bad-Spektraldichte hängt davon ab, ob sie gefüllte Badzustände (+) oder leere Badzustände (-) beschreibt. Unter den gefüllten oder leeren Zuständen versteht man die Populationen des Bades, wenn sie nicht mit dem Cluster interagieren. Die Spektraldichte S^±(ω), wie sie vom Cluster-Orbital p gesehen wird, hat die Form $$S_{p\in cluster}^{+}\left(\omega \right)={\displaystyle \sum _{i\in bath}{\rho }^{+}\left({\omega }_i\right)t_{pi}^2}\delta \left(\omega +{\omega }_i\right)$$

  

  $$S_{p\in cluster}^{-}\left(\omega \right)={\displaystyle \sum _{i\in bath}{\rho }^{-}\left({\omega }_i\right)t_{pi}^2}\delta \left(\omega -{\omega }_i\right)$$

  
• Hier erzeugt die Delta-Funktion δ(ω) ± ω_i) einen scharfen spektralen Peak mit der Fläche 1 bei dem Bad-Zustand mit der Frequenz ∓ω_i, wobei der Faktor ρ⁺(ω) die Wahrscheinlichkeit angibt, mit welcher der Bad-Zustand mit der Frequenz ω besetzt ist, wenn nicht mit ihm interagiert wird und p_i̅ = 1 - p_t ⁺.
• Im thermischen Gleichgewicht gilt $${\rho }^{+}=\frac{1}{1+exp\left(+\frac{\omega }{k_{B}T}\right)}$$

  

  $${\rho }^{-}=\frac{1}{1+exp\left(-\frac{\omega }{k_{B}T}\right)}$$

  

  wobei T die Bad-Temperatur ist. Der Effekt, welchen das Bad auf den Cluster ausübt, hängt nur von solchen Bad-Spektraldichten ab. Im Falle eines großen Bades können sie als kontinuierliche Funktionen der Frequenz ω angenähert werden.
• Im Einzelnen sieht das vorliegende Verfahren zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems vor, dass die Quantensimulation zum Auslesen der Qubits unterbrochen wird, die Qubit-Messungen in einem klassischen Paritätsregister gespeichert und wieder in die Qubits rückgespeichert werden und die Simulation nach dem Rückspeichern fortgesetzt wird.
• Eine Quantensimulation eines elektronischen Cluster-Bad-Modells mit kontinuierlicher Spektraldichte benötigt einen Quantencomputer mit kontinuierlicher Qubit-Dichte. In der DE 10 2019 109 816 A1 wird dies bereits durch Ausnutzung des Eigenrauschens von Quantencomputern erreicht, um eine quasikontinuierliche Qubit-Zustandsdichte mit einer endlichen Anzahl verbreiterter Qubits zu erzeugen. Vorliegend wird jedoch ein alternatives Verfahren zur Erzeugung des kontinuierlichen Systems vorgeschlagen, das auf der Unterbrechung einer Quantensimulation durch Messungen beruht.
• In einer solchen Simulation werden die scharfen spektralen Peaks mehrerer Bad-Zustände auf Lorentz-Funktionen verbreitert. $$S^{\pm }\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \sum _{i\in bath}{\rho }^{\pm }\left({\omega }_i\right)t_{pi}^2}\frac{{\gamma }_i}{{\gamma }_i^2+{\left(\omega \pm {\omega }_i\right)}^2}$$

  
• Die Verbreiterung γ_j entspricht beispielsweise der Zerfallsrate des Qubits. Verbreiterungen γ_j können in der Quantensimulation durch Messungen kontrolliert werden. Dies ermöglicht die Reproduktion oder Anpassung einer kontinuierlichen Spektraldichte durch eine begrenzte Anzahl von Qubits.
• Um die Fermionen-Statistik der Elektronen zu reproduzieren, muss nunmehr erfindungsgemäß zusätzlich eine klassische Bit-Registrierung realisiert werden, welche die Messergebnisse speichert und deren Werte vor jeder Gate-Folge, also jedem Trotter-Schritt schnell abgerufen werden können.
• Eine Gate-basierte Quantensimulation wird durch aufeinanderfolgende Anwendung von Trotter-Schritten konstruiert. Hierbei ist eine schrittweise Quantensimulation mit physikalischen Messungen vorgesehen, die eine Verbreiterung der Qubits und entsprechende Badzustände verursachen. Basierend auf den gleichen Schlüsselprozessen, also von Messungen an so genannten Hilfs-Qubits und der Verwendung eines klassischen Paritätsregisters, können auch andere ähnliche Verfahren entwickelt werden, die zum gleichen Effekt führen.
• Zunächst wird ein Verfahren zur Erweiterung eines im nicht interaktiven Zustand leeren Bad-Zustands diskutiert. Die Bad-Zustands-Belegung wird durch die Qubit-Zustände 0 und 1 beschrieben. Hier wird ein einzelner Trotter-Schritt realisiert als
1. (i) Anwendungszeit-Evolutions-Operation U_QC(dt), also der ursprüngliche Trotter-Schritt,
2. (ii) Anwendung eines Anregungsaustauschs zwischen einem Bad-Qubit und einem diesem zugeordneten Hilfs-Qubit,
3. (iii) Messung des Hilfs-Qubits,
4. (iv) wenn sich das Hilfs-Qubit im angeregten Zustand befand, wird es in seinen Grundzustand zurückversetzt. Dann wird ab Schritt (i) iteriert.
• Eine solche zeitliche Entwicklung verwirklicht das effektive Abklingen, also die Amplitudendämpfung, des Bad-Qubits, wobei der angeregte Zustand 1 des Bad-Qubits in Richtung seines Grundzustands 0 mit der Rate γ = p/dt abklingt, wobei p « 1 die Vertauschungswahrscheinlichkeit in Schritt (ii) ist. Dies entspricht einer Lorentz-Funktion S^-(ω), mit ρ^- = 1 für einen leeren Zustand.
• Eine Erweiterung der gefüllten Zustände [S⁺(ω2) mit ρ⁺ = 1] kann dadurch realisiert werden, dass das Hilfs-Qubit immer mit dem Zustand 1 initialisiert wird. Analog dazu wird die Parität R nur dann geändert, wenn das Hilfs-Qubit im Zustand 0 gemessen wurde. Außerdem kann die endliche Temperatur durch die Verwendung einer statistischen Verteilung für den initialisierten Hilfs-Qubit-Zustand modelliert werden. In Schritt (iv) wird hierzu der Anfangszustand nach der Messung mit der Wahrscheinlichkeit ρ^- auf 0 und mit der Wahrscheinlichkeit ρ⁺ auf 1 gesetzt. Dabei wird die Parität R bevorzugtermaßen nur dann geändert, wenn der zuvor eingefügte Hilfs-Qubit-Zustand in Schritt (iv) und danach der gemessene Hilfs-Qubit-Zustand in Schritt (iii) nicht übereinstimmen.
• Im Falle von N > 1 zu verbreiternden Bad-Zuständen kann in Schritt (ii) eine zufällige Auswahl eines Bad-Qubits vorgenommen werden, dessen Anregung mit dem zugehörigen Hilfs-Qubit vertauscht wird. Die Verbreiterung des Bad-Zustands i ist in diesem Fall γ_i = p_i(Ndt), wobei p_i die für jedes Bad-Qubit separat gewählte Vertauschungswahrscheinlichkeit ist. In einer anderen Realisierung haben alle Bad-Qubits ihre eigenen Hilfs-Qubits, und alle Vertauschungen und die darauf folgenden Messungen werden parallel durchgeführt. Hier ist γi = p_i/dt.
• Eine Hauptschwierigkeit bei der Realisierung einer elektronischen Quantensimulation mit einem Quantencomputer ist die Antisymmetrie der fermionischen Wellenfunktion. Die Antisymmetrie wird nicht automatisch durch physikalische Qubits berücksichtigt, sondern muss bei der Berechnung kodiert werden. Dies kann etwa durch die Jordan-Wigner-Zerlegung von fermionischen Operatoren zu Qubit-Operatoren geschehen.
• Ein Beispiel ist ein Elektronensprung-Operator vom Zustand i zum Zustand p, der durch die entsprechenden Qubit-Austausch-Operatoren und die Jordan-Wigner-Zerlegung dargestellt werden kann als $${\widehat{T}}_{pi}={\widehat{c}}_p^{+}{\widehat{c}}_i\to {\widehat{\sigma }}_p^{-}{\widehat{\sigma }}_i^{+}{\displaystyle {\prod }_{p>k>i}{\widehat{\sigma }}_k^z}$$

  
• Hierbei ist ${\widehat{\sigma }}_k^z$

  

  eine Pauli-Matrix, die das Qubit k beschreibt, und die Jordan-Wigner-Kette ist hier $$S={\displaystyle {\prod }_{p>k>i}{\widehat{\sigma }}_k^z}$$

  
• Es ist zu beachten, dass diese Zerlegung die Quantenparallelität bewahrt, da exponentiell viele Variationen der kollektiven Qubit-Zustände gleichzeitig betrieben werden können.
• Ein verbreitertes Bad beschreibt noch kein kontinuierliches fermionisches Bad, da die Antisymmetrie der gesamten fermionischen Wellenfunktion nicht berücksichtigt wird. Es zeigt sich, dass dies durch eine bestimmte Art der Zählung über gemessene Zustände von Hilfs-Qubits, die im Paritätsregister R gespeichert sind, berücksichtigt werden kann. Das Paritätsregister R ist ein klassisches Register. Nach jedem Trotter-Schritt enthält es eine Reihe von Binärwerten. Die fehlende Parität wird durch die Verwendung von Sprungoperatoren der Form $${\widehat{T}}_{pi}={\widehat{\sigma }}_p^{+}{\widehat{\sigma }}_i^{-}{\displaystyle {\prod }_{p>k>i}{\widehat{\sigma }}_k^z}\left(1-2R_k\right)$$

  

  berücksichtigt.
• Hier wurde die Jordan-Wigner-Kette verallgemeinert zu $$S={\displaystyle {\prod }_{p>k>i}{\widehat{\sigma }}_k^z}\left(1-2R_k\right)$$

  
• Hier sind die Faktoren 1 - 2R_k entweder 1 oder -1. Dieser Faktor wird dann bei der Ausführung von Schritt (i) des Trotter-Schritts berücksichtigt.
• Die vorstehend beschriebene Erfindung wird im Folgenden anhand eines Ausführungsbeispiels näher erläutert.
• 1 zeigt ein Beispiel für die Anpassung der ursprünglichen kontinuierlichen Spektraldichte durch drei Lorentz-Funktionen, 2 durch zwanzig Lorentz-Funktionen unter Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate. Im betrachteten System entspricht jede Lorentz-Funktion einem Bad-Qubit. Bei der Anpassung werden die Positionen ω_i, Verbreiterungen γ_i und Kopplungen t_i der Bad-Qubits optimiert. Gezeigt ist jeweils eine Spektralkurve 1 und eine Näherungskurve 2.
• Beispielhaft wird im Folgenden beschrieben, wie die Amplitudendämpfung von Badzuständen nach dem oben beschriebenen Verfahren entsteht. Schritt (ii) des oben beschriebenen Trotter-Schritts ist für alle Bad-Qubits analog, so dass es genügt, sie nur für ein Bad-Qubit aufzuschreiben.
• Sodann wird erwogen, einen Austausch zwischen dem Bad-Qubit B₁ ≡ B und dem Hilfs-Qubit A durchzuführen. Im Folgenden werden alle anderen Qubits außer B₁ und A, als Rest bezeichnet. Zunächst befindet sich das Hilfs-Qubit A im Zustand |0〉. Schritt (ii) entspricht einer Transformation von einem unkorrelierten Produktzustand mit dem Hilfs-Qubit |product〉 in einen verschränkten Zustand |entangled〉. Die entsprechende unitäre Operation wirkt nur im Unterraum der Einzelanregung und ist überspannt von den Zuständen |A = 0〉 |B = 1) und |A = 1〉|B = 0). Sie kann die Form $$U_{swap}=exp\left(i\tilde{p}{\sigma }_y^{SE}\right)=cos\tilde{p}{I}^{SE}+isin\tilde{p}{\sigma }_y^{SE}$$

  

  $$cos\tilde{p}=\sqrt{1-p}$$

  

  $$sin\tilde{p}=\sqrt{p}$$

  

  einnehmen.
• Befindet sich der Zustand nicht im Unterraum der Einzelanregung, also im Zustand |A = 0〉|B = 0) oder |A = 1〉|B = 1), so führt man nur die Identitätsoperation durch. Das Ergebnis der U_swap-Operation, die auf den vor Schritt (i) innerhalb des Trotter-Schritts initialisierten Zustand angewendet wird, ist dann $$\begin{array}{l}{U}_{swap}|product\rangle =U_{swap}\left[\left|{\mathrm{\Psi }}_0{\rangle }_{rest}\right|0{\rangle }_B+\left|{\mathrm{\Psi }}_1{\rangle }_{rest}\right|1{\rangle }_B\right]\otimes |0{\rangle }_A\\ =\left|{\mathrm{\Psi }}_0{\rangle }_{rest}\right|0{\rangle }_B|0{\rangle }_A+\sqrt{1-p}|{\mathrm{\Psi }}_1{\rangle }_{rest}\left|1{\rangle }_B\right|0{\rangle }_A+\sqrt{p}\left|{\mathrm{\Psi }}_1{\rangle }_{rest}\right|0{\rangle }_B|1{\rangle }_A\end{array}$$

  
• Hier wird der angeregte Zustand des Bad-Qubits B mit der Wahrscheinlichkeit p ≤ 1 auf das Hilfs-Qubit A übertragen. Ein gemeinsamer Normierungsfaktor $1/\sqrt{2}$

  

  wurde dabei vernachlässigt. Im Folgenden wird p « 1 angenommen.
• Schritt (iii) des Trotter-Schritts entspricht der Messung des Zustands des Hilfs-Qubits A. Der neue Zustand des Systems, bedingt durch das Messergebnis, ist $$|product\rangle =|{\mathrm{\Psi }}_0{\rangle }_{rest}\left|0{\rangle }_B\right|0{\rangle }_A+\sqrt{1-p}\left|{\mathrm{\Psi }}_1{\rangle }_{rest}\right|1{\rangle }_B|0{\rangle }_A$$

  

  für gemessene A = 0, und $$|product\rangle =\sqrt{p}|{\mathrm{\Psi }}_1{\rangle }_{rest}\left|0{\rangle }_B\right|1{\rangle }_A$$

  

  für gemessene A = 1.
• Auch hier wurde die Zustands-Normierung vernachlässigt. Wird A = 1 gemessen, so springt eine Anregung in das Hilfs-Qubit. In diesem Fall muss die Paritätsinformation des entsprechenden klassischen Registers aktualisiert werden, $$R_i\to R_i+1\left(mod2\right).$$

  
• Im Hilbert-Raum, der durch die Bad-Zustände |B = 0〉 ≡ (1,0) und |B = 1〉 ≡ (0,1) aufgespannt ist, kann diese Messung in Form von Kraus-Operatoren dargestellt werden $$M_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \sqrt{1-p}\end{array}\right)$$

  

  $$M_1=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{p}\\ 0& 0\end{array}\right)$$

  
• Unter Verwendung der Kraus-Operatoren ändert sich der anfängliche Reinzustand, der durch eine Matrix mit reduzierter Dichte D̂ ≡ |pure〉〈pure| beschrieben wird, in ein probabilistisches Gemisch $$\widehat{D}\to M_0{\widehat{D}}_0^{†}+M_1\widehat{D}{M}_1^{†}$$

  
• Unsere zentrale Annahme ist die Austausch-Wahrscheinlichkeit p « 1, die es uns erlaubt, die Matrix M₀ wie folgt anzunähern. $$M_0\approx \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{p}{2}\end{array}\right)$$

  
• Die Dichtematrix ändert sich in dieser Näherung wie folgt $$\widehat{D}\to M_0{\widehat{D}}_0^{†}+M_1\widehat{D}{M}_1^{†}\approx \widehat{D}+p{\sigma }^{-}\widehat{D}\sigma +-\frac{p}{2}\sigma +{\sigma }^{-}\widehat{D}\sigma -\frac{p}{2}{\sigma }^{+}{\sigma }^{-}\equiv \widehat{D}+L\left[\widehat{D}\right]$$

  

  wobei der Lindblad-Superoperator mit $$L\left[\widehat{D}\right]\equiv p\left({\sigma }^{-}\widehat{D}{\sigma }^{+}-\frac{1}{2}\sigma +{\sigma }^{-}\widehat{D}-\frac{1}{2}\widehat{D}{\sigma }^{+}{\sigma }^{-}\right)$$

  

  und σ^- ≡ |0〉〈1|und σ⁺ ≡ |1〉〈0| identifiziert werden kann.
• Daher erzeugt man durch wiederholte Durchführung ähnlicher Verschränkungsoperationen und Messungen von A annähernd einen probabilistischen Zerfall von Bad-Betriebspopulationen mit der Zerfallsrate γ = p/dt. Dies wiederum entspricht einem Lorentz-Peak in der Bad-Spektraldichte.
• Vorstehend beschrieben ist somit ein Verfahren zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems, welches eine Alternative zu dem bisher bekannten Verfahren zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems schafft, indem künstlich ein kontinuierliches elektronisches Spektrum erzeugt wird, das es erlaubt, große elektronische Quantensysteme mit einer kleinen Anzahl von Qubits zu simulieren.
• Bezugszeichenliste

1

Spektralkurve

2

Näherungskurve

Claims (6)

1. Verfahren zur Simulation und Auswertung eines elektronischen Systems, insbesondere eines Festkörpers oder eines Moleküls mit einer kontinuierlichen Spektraldichte, durch Erzeugung einer kontinuierlichen Spektralfunktion in einer Quantensimulation eines elektronischen Cluster-Bad-Modells unter Verwendung eines Quantencomputers, welcher eine Mehrzahl von Qubits aufweist, wobei Merkmale des elektronischen Systems auf einzelnen Qubits simuliert und aus den Qubits ausgelesen werden, dadurch gekennzeichnet, dass die Quantensimulation zum Auslesen der Qubits unterbrochen wird, die Qubit-Messungen in einem klassischen Paritätsregister gespeichert und wieder in die Qubits rückgespeichert werden und die Simulation nach dem Rückspeichern fortgesetzt wird, wobei die Simulation des elektronischen Systems die exakte Simulation eines Clusters, sowie die Simulation eines Bades und einer Elektronen-Hopping-Wechselwirkung nach dem Mittelfeldansatz zur Beschreibung der Elektron-Elektron-Korrelationen im modellierten elektronischen System umfasst und, dass das Auslesen der Qubits in einem Trotter-Schritt erfolgt, welcher iterativ die Schritte - Anwendung der Zeitentwicklungsoperation U_QC(dt, R) unter Beachtung in dem Paritätsregister gespeicherter Paritäten R, - Austausch der Anregungs-Zustände zwischen jeweils einem Bad-Qubit und einem diesem Bad-Qubit zugeordneten Hilfs-Qubit, - Messung des Zustands des Hilfs-Qubits, und - Änderung einer zugehörigen Parität R → R + 1 (mod2), wenn der Initialzustand des Hilfs-Qubits und der gemessene Zustand des Hilfs-Qubits nicht übereinstimmen; und - Setzen eines Initialzustandes des Hilfs-Qubits mit einer Wahrscheinlichkeit ρ^- auf 0 und mit einer Wahrscheinlichkeit ρ⁺ auf 1; sowie Rückkehr zum ersten Schritt; durchläuft.
2. Verfahren gemäß Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass scharfe, spektrale Peaks von Zuständen dem Bad zugeordneter Qubits des Quantencomputers auf Lorentz-Funktionen erweitert werden und damit die Verbreiterung der Peaks kontrolliert wird.
3. Verfahren gemäß Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass das Hilfs-Qubit auf den Zustand 1 initialisiert wird.
4. Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Parität R nur dann geändert wird, wenn das Hilfs-Qubit im Zustand 0 gemessen wird.
5. Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass mehreren Bad-Qubits Hilfs-Qubits eineindeutig zugeordnet sind und mehrere Hilfs-Qubits parallel ausgelesen werden.
6. Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Antisymmetrie der fermionischen Wellenfunktion durch Kodierung mittels der Jordan-Wigner-Zerlegung berücksichtigt wird.

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