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Die
Erfindung betrifft ein Verfahren zum Aufkohlen eines Eisenwerkstoffs,
insbesondere von Stahl.
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Das
Ziel des insbesondere für
Wälzlagerbauteile,
Zahnräder
oder Wellen vorbekannten Einsatzhärtens besteht in der anwendungsorientierten
Einstellung der Randschichteigenschaften. Namentlich soll eine hohe
Härte,
d. h. ein hoher Verschleißwiderstand,
und eine hohe Schwingfestigkeit bei gleichzeitiger Erhaltung des
Schlagwiderstands erreicht werden. Aufkohlen als erster und wichtigster
Teilprozess ist ein Diffusionsvorgang, bei dem sich der Stahl in
Oberflächennähe mit Kohlenstoff
anreichert. Die Verfahrensführung
erfolgt nach einem komplexen Schema bei prinzipiell höchstmöglicher
Temperatur, die vor allem durch die Kornstabilität des Werkstoffs begrenzt ist,
in der Austenitphase des Stahls (höhere Kohlenstofflöslichkeit
als in Ferrit). Je nach Aufkohlungstiefe, die typischerweise zwischen
0,5 mm bis über
10 mm beträgt,
liegt die typische Glühzeit
zwischen einer Stunde und über
einer Woche.
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In
der industriellen Aufkohlungspraxis stellt sich die seit langem
bekannte Aufgabe, Abweichungen des vorhergesagten Kohlenstoffprofils
vom Ist-Verlauf
zu erklären
und zu beseitigen. Um diesbezüglich
zu neuen Ergebnissen zu gelangen, wurde ein industrieller Gasaufkohlungsprozess
nach dem konventionellen Zweistufen-Normaldruckverfahren (Sättigungsphase:
C-Pegel 1,20 M.-%
C, Zeit: 56,6 h; Ausgleichsphase: C-Pegel 0,80 M.-% C, Zeit: 13,2
h) bei 970 °C
untersucht. Der Massenübergangskoeffizient
wurde in beiden Prozessphasen zu jeweils 3,0·10–5 cm/s
bestimmt.
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Laut
Prozesssteuerrechner gemäß dem Stand
der Technik beträgt
die vorhergesagte Aufkohlungstiefe (Oberflächenabstand bei einer Kohlenstoff
konzentration von 0,35 M.-% C) als wichtigste Verfahrenszielgröße 5,02
mm.
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Die
Hochgenauigkeitsmessung mittels Sekundärionenmassenspektrometrie (SIMS)
ergab mit 5,48 mm eine Abweichung um etwa 10 %, was einer Überschreitung
der erforderlichen Wärmebehandlungsdauer um
ca. 20 % mit entsprechenden negativen Folgen für Wirtschaftlichkeit und Qualitätssicherheit
bedeutet.
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1 veranschaulicht das Ergebnis
grafisch, in der der Verlauf der Kohlenstoffkonzentration in Masse-% über dem
Abstand von der Werkstückoberfläche gemäß dem Stand
der Technik dargestellt ist.
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Bekannt
ist die Verwendung des das binäre
System Fe-C beschreibenden Diffusionskoeffizienten von Kohlenstoff
in austenitischem Eisen. Erhältliche
Analyse- bzw. Softwaresysteme lassen jedoch keine Modifizierung
zu.
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Die
Mängel
der bestehenden Lösung
ergeben sich sofort aus 1.
Eine Korrektur des Berechnungsverfahrens durch Anpassung des Diffusions koeffizienten
von Kohlenstoff in der Austenitphase des Stahls ist bei den vorbekannten
Lösungen
nicht möglich,
so dass die Prozesssteuerung nicht entsprechend optimiert werden
kann, um solche erheblichen Abweichungen zu korrigieren.
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Aus
der
DE 103 20 036
A1 ist ein Verfahren zur Bestimmung des Diffusionskoeffizienten
von Kohlenstoff in Stählen,
einschließlich
seiner Konzentrationsabhängigkeit
bekannt, bei dem eine Probe des Stahls in oxidiertes Pulver eingebettet,
geglüht
und das resultierende Entkohlungsprofil gemessen und mathematisch analysiert
wird.
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Die
DE 693 10 897 T2 beschreibt
ein Verfahren zum kontinuierlichen Aufkohlen eines Stahlbandes in einem
Durchlaufofen mit einer im wesentlichen Kohlenstoff, Sauerstoff,
Wasserstoff und Stickstoff einzeln oder nebeneinander enthaltenden
Atmosphäre.
Dabei wird Russbildung mittels eines von der Kohlenmonoxid- bzw. Kohlendioxidkonzentration
und der Stahltemperatur abhängigen
Russ-Grenzwerts unterdrückt
und die Strömungsgeschwindigkeit
des in den Aufkohlungsofen eingespeisten Gases eingestellt. Für die Aufkohlungsmenge
wird eine von der Geschwindigkeit abhängige Beziehung vorgegeben.
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Der
Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zur Ermittlung
des durch einen thermochemischen Prozess erzeugten Tiefenverlaufs
der Kohlenstoffkonzentration in einem Eisenwerkstoff, insbesondere in
Stahl, sowie ein Verfahren zur Aufkohlung eines Eisenwerkstoffs,
insbesondere von Stahl, vorzuschlagen, das sich durch eine höhere Genauigkeit
auszeichnet, so dass gezielter und damit wirtschaftlicher die Aufkohlung
von Eisenwerkstoffen durchgeführt
werden kann. Damit soll insbesondere der großindustrielle Aufkohlungsprozess
kostengünstiger
sowie qualitativ hochwertiger, d. h. mit höherer Zielsicherheit, durchgeführt werden
können.
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Die
Lösung
dieser Aufgabe durch die Erfindung ist dadurch gekennzeichnet, dass
das Verfahren zum Aufkohlen eines Eisenwerkstoffs, insbesondere
von Stahl, die Schritte aufweist:
- a) Aufkohlen
des Eisenwerkstoffs für
ein erstes Testwerkstück
gemäß gewünschter
Prozessbedingungen;
- b) Bestimmung der chemischen Zusammensetzung des Eisenwerkstoffs
und Berechnung eines Legierungsfaktors zur Korrektur des Kohlenstoffpegels;
- c) Durchführen
einer zeitabhängigen
Messung des Kohlenstoffpegels und der Aufkohlungsgeschwindigkeit während des
Aufkohlungsprozesses;
- d) Messung des Tiefenverlaufs der Kohlenstoffkonzentration in
dem aufgekohlten Testwerkstück;
- e) Festlegung des Diffusionskoeffizienten (Dc) als bei isothermem
Prozess von der Konzentration (C) des Kohlenstoffs und bei nichtisothermem
Prozess zusätzlich
von der Temperatur (T) abhängige
Größe, so dass
der gemessene Tiefenverlauf der Kohlenstoffkonzentration im Testwerkstück im wesentlichen
dem sich aus der Berechnung unter Zugrundelegung des zweiten Fickschen
Gesetzes gemäß der Beziehung mit
C(x,t): Konzentration
des Kohlenstoffs [Masse-%],
t: Zeit [s],
x: Abstand von
der Oberfläche
[cm],
T(t): Temperatur [K] und
Dc[C(x,t),T(t)]: Diffusionskoeffizient
von Kohlenstoff in der Austenitphase des Stahls [cm2/s],
mit
Hilfe des zumindest von der Konzentration (C) des Kohlenstoffs abhängigen Diffusionskoeffizienten (Dc)
ergebenden Tiefenverlauf der Kohlenstoffkonzentration (C) entspricht;
- f) Durchführung
des Aufkohlens bei der Herstellung von aufgekohlten Werkstücken unter
Zugrundelegung der sich aus der nach Schritt c) ergebenden Beziehung
für den
Diffusionskoeffizienten (Dc).
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Die
Konzentration (C) hängt
von Ort (x) und Zeit (t) ab, die Temperatur (T) bei einem nichtisothermen Prozess
von der Zeit (t).
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Für die Abhängigkeit
des Diffusionskoeffizienten (Dc) von Konzentration und Temperatur
können
prinzipiell beliebige mathematische Beziehungen der Form Dc = Dc(C,T)
verwendet werden. Für
isotherme Prozesse (konstante Temperatur T, also keine Temperaturabhängigkeit
zu berücksichtigen)
kommen bevorzugt für den
Diffusionskoeffizienten (Dc) Funktionen der Form Dc
= A exp (BC)oder Dc = A (1 + BC)mit
A und B als Konstanten in Frage. Im allgemeinen Fall, d. h. bei
nichtisothermen Prozessen, muss zusätzlich auch die Abhängigkeit
des Diffusionskoeffizienten (Dc) von der Temperatur (T) berücksichtigt
werden. Dies kann bevorzugt durch eine Funktion der allgemeinen
Arrhenius-Form Dc = D0(C)exp[– Q(C)/T]mit von der Konzentration
(C) abhängigen
Größen D0 und
Q erfolgen. Die Größe D0 wird
bevorzugt gemäß D0 = E exp(FCl + GCm + HCn)oder D0 = E + FCl + GCm + HCn verwendet.
Die Größe Q wird
bevorzugt in folgender Form verwendet: Q = S
+ UCp + VCq + WCr
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Hierin
bedeuten E, F, G, H, S, U, Y, W, l, m, n, p, q und r Konstanten
(Anpassungsparameter), die insbesondere von der chemischen Zusammensetzung
(Legierungsgehalte) des verwendeten Werkstoffs (z. B. Einsatzstahl)
abhängen
können.
Eine sehr spezielle, sich im Fall des beschriebenen isothermen Aufkohlungsprozesses
für den
speziellen Einsatzstahl 17NiCrMo14 bei 970 °C als geeignet erweisende Form
für die Abhängigkeit
des Diffusionskoeffizienten (Dc) von der Konzentration (C) bei T
= 970 °C
ist:
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Der
zugrunde gelegte Diffusionskoeffizient (Dc) von Kohlenstoff ist,
wie oben erläutert,
bevorzugt derjenige in der Austenitphase des Stahls. Die Abhängigkeit
der Temperatur, der Aufkohlungsgeschwindigkeit und/oder des Kohlenstoffpegels
von der Zeit werden bevorzugt jeweils durch eine konstante Funktion,
durch eine Stufenfunktion, durch eine abschnittsweise lineare Funktion
und/oder durch eine Spline-Interpolationsfunktion mathematisch beschrieben.
Die Lösung
der zugrunde liegenden obigen Gleichung erfolgt vorzugsweise numerisch.
Dabei kommt besonders bevorzugt die Lösung der zugrunde liegenden
Gleichung nach der Finite-Differenzen-Methode
(FDM) zur Anwendung.
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Das
erfindungsgemäße integrale
Prozessoptimierungsverfahren zur Aufkohlung eines Eisenwerkstoffs,
insbesondere von Stahl, weist die Schritte auf:
- a)
Aufkohlen des Eisenwerkstoffs für
ein erstes Testwerkstück
gemäß gewünschter
Prozessbedingungen;
- b) Werkstoffanalyse: Bestimmung der chemischen Zusammensetzung
des Eisenwerkstoffs (z. B. ein Einsatzstahl) und Berechnung des
Legierungsfaktors (kL) zur Korrektur des Kohlenstoffpegels: Cp = Cp(corr) = Cp(Ist) kL Hierin bedeutet Cp(Ist) den
in der Gasatmosphäre
des Ofens tatsächlich
herrschenden Kohlenstoffpegel, der definitionsgemäß auf das
binäre
Eisen-Kohlenstoff-System bezogen ist. Den Einfluss der Stahlzusammensetzung
auf die Aktivitäts-Konzentrationsbeziehung
von Kohlenstoff berücksichtigt
der Legierungsfaktor (kL), wodurch sich der für die Berechnung der Kohlenstoffdiffusion
korrigierte Kohlenstoffpegel (Cp(corr)) ergibt.
Zur Vereinfachung der Schreibweise wird Cp(corr) im
Folgenden Cp genannt. Vereinfachend können für die Berechnung des Legierungsfaktors
(kL), allerdings mit geringerer Genauigkeit und deshalb weniger bevorzugt,
Mittelwerte aus der Werkstoffspezifikation des betreffenden Eisenwerkstoffs
(bevorzugt ein Stahl) verwendet werden;
- c) Kohlungsmittelanalyse: Zeitabhängige Messung des Kohlenstoffpegels
(Cp) und der Aufkohlungsgeschwindigkeit (Kohlenstoff übergangszahl, β) während des
Prozesses als Eingabegrößen für die Berechnung
in Schritt e);
- d) Istzustandsanalyse: Messung des Tiefenverlaufs der Kohlenstoffkonzentration
in dem aufgekohlten Testwerkstück
für die
Profilanpassung in Schritt e);
- e) Festlegung des Diffusionskoeffizienten (Dc) als bei isothermem
Prozess von der Konzentration (C) des Kohlenstoffs und bei nichtisothermem
Prozess zusätzlich
von der Temperatur (T) abhängige
Größe in der oben
erläuterten
Weise, so dass der gemessene Tiefenverlauf der Kohlenstoffkonzentration
im Testwerkstück
im wesentlichen dem sich aus der Berechnung des Tiefenverlaufs der
Kohlenstoffkonzentration gemäß obigem
Vorgehen ergebenden Tiefenverlauf entspricht. Für die Bestimmung bzw. Überprüfung des Diffusionskoeffizienten
(Dc) sind Verfahren zur Bestimmung des Diffusionskoeffizienten in
Stählen
bekannt.
- f) Durchführung
des Aufkohlens bei der Herstellung von aufgekohlten Werkstücken aus
dem betreffenden Werkstoff unter Zugrundelegung der sich aus der
nach Schritt e) ergebenden Beziehung.
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Dabei
wird insbesondere das Aufkohlen gemäß obigem Schritt f) durch Berechnung
des Kohlenstoffprofils mithilfe der sich nach obigem Schritt e)
ergebenden Funktion gesteuert oder geregelt. Die Aufkohlung ist
bevorzugt eine Gasaufkohlung, die Analyse der Wirkung des Kohlungsmittels
in Schritt c) demnach bevorzugt eine Gasanalyse. Dabei erfolgt besonders
bevorzugt der Gasaufkohlungsprozess nach dem Zweistufen-Normaldruckverfahren.
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Auf
Grundlage der Finite-Differenzen-Methode (FDM) wird also ein mathematisches
Verfahren zur Analyse von Kohlenstoffprofilen des industriell überwiegend
angewandten Gasaufkohlens vorgeschlagen, das im Unterschied zu verfügbaren Methoden
eine freie Prozessparametereingabe durch den Anwender gestattet.
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Insbesondere
ist es dadurch möglich,
anhand gemessener Aufkohlungsprofile den Prozess auf bestimmte Bedingungen
(z. B. auf bestimmte Stahlsorten) zu optimieren und damit Kosten
einzusparen und gleichzeitig die Qualität zu erhöhen.
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Im
Mittelpunkt der Überlegungen
steht die Anpassung des konzentrationsabhängigen Diffusionskoeffizienten
von Kohlenstoff in der Austenitphase, der von bisher verfügbaren Systemen
für das
System Fe-C verwendet und nicht angepasst werden kann. Mit dem neuen
Verfahren wird insbesondere eine Berücksichtigung des Einflusses
der Legierungselemente (z. B. Cr, Ni), der in der Literatur genannt
wird, erst möglich.
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In
der Zeichnung ist ein Ausführungsbeispiel
der Erfindung dargestellt. Es zeigen:
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1 den
Verlauf der Kohlenstoffkonzentration in Masse-% über dem Abstand von der Werkstückoberfläche gemäß Berechnung
(Prozessvorhersage) nach dem Stand der Technik im Vergleich zum
tatsächlichen
Profil (gemessen, SIMS),
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2 dieselbe
Darstellung wie 1, wobei die sich mit dem erfindungsgemäßen Verfahren
ergebende berechnete Kurve mit dargestellt ist, und
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3 ein
Gitternetz zur Illustration der Vorgehensweise bei der Lösung der
benötigten
Gleichungen.
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Das
Aufkohlen zum Einsatzhärten
stellt das wirtschaftlich wichtigste Wärmebehandlungsverfahren niedriglegierter
Stähle
dar. Die genaue Vorhersage von Aufkohlungsprofilen kann zur Verfahrensoptimierung verwendet
werden. Die Anwendungsmöglichkeiten
analytischer Lösung
sind zumindest bezüglich
der genauen Form des Kohlenstoffprofils begrenzt. Deshalb wird mit
Hilfe einer numerischen Methode auf Basis der Finite-Differenzen-Methode
(FDM) zur Prozesssimulation des industriellen Gasaufkohlens eine
entsprechende Software in Form eines FORTRAN-Programms eingesetzt.
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Mit
dem nachstehend detailliert beschriebenen Verfahren ist es möglich, nach
Berücksichtigung
der übrigen
bekannten Prozessparameter (beliebiger Verlauf von Temperatur T,
Aufkohlungsgeschwindigkeit β, Kohlenstoffpegel
Cp) den konzentrationsabhängigen
Diffusionskoeffizienten von Kohlenstoff in der Austenitphase durch
Anpassung des berechneten Aufkohlungsprofils an die Messkurve(n)
zu bestimmen und damit die Vorhersage, d. h. die Prozesssteuerung,
wesentlich zu verbessern. Dies zeigt 2 für den in 1 dargestellten
industriellen Bespielprozess.
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Hier
wurde für
Einsatzstahl 17NiCrMo14 bei konstanter (Prozess-) Temperatur T =
970 °C folgende Beziehung
für den
Diffusionskoeffizienten Dc von Kohlenstoff als Funktion der Kohlenstoffkonzentration
C gefunden:
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Die
Berechnung von Aufkohlungsprofilen beruht auf der mathematischen
Beschreibung des Massentransports (Stoffübertragung) von Kohlenstoff
in Stahl auf Basis der Konzentrations- oder Aktivitätsverteilung. Durch
den in die Oberfläche
eindringenden Kohlenstoff entsteht ein Konzentrationsgefälle in der
Randschicht. Die Stromdichte des Kohlenstoffs (jc) ist nach dem
ersten Fickschen Gesetz proportional zu diesem Gradienten ∂C/∂x in Richtung
x:
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Wenn
diese Gleichung mit der Beschreibung der Aufkohlungskinetik (Newtonsches
Reaktionsgesetz) kombiniert wird, erhält man den Ausdruck:
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C(x,t)
ist dabei die Kohlenstoffkonzentration, ausgedrückt z. B. in M.-% (entspricht
der in der Technik häufiger
verwendeten Einheit Gew.-%, vernachlässigbare Volumenänderung).
Weiter bedeuten:
- t
- die Zeit in s,
- x
- die Tiefe in cm,
- T
- die Temperatur in
K,
- Dc[C(x,t),T]
- der Diffusionskoeffizient
in cm2/s,
- Cp
- der (kL-korrigierte)
Kohlenstoffpegel des Aufkohlungsgas in M.-%,
- Cr = C(x = 0)
- der Randkohlenstoffgehalt
in M.-% und
- β
- die Aufkohlungsgeschwindigkeit
in cm/s.
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Die
Aufkohlungsgeschwindigkeit (β),
auch Kohlenstoffübergangszahl
oder Massenübergangskoeffizient
genannt, und der Kohlenstoffpegel (Cp) können in der Praxis bei flexibler
Führung
des Gasaufkohlungsprozesses beliebige Abhängigkeit von der Zeit (t) aufweisen,
d. h. β = β(t) und Cp
= Cp(t). Auch die Temperatur (T) wird im Allgemeinen von der Zeit
(t) abhängen
(nichtisothermer Prozess, z. B. geregeltes Abkühlen zur Temperatur des Direkthärtens in
der Ausgleichphase eines Zweistufenprozesses), d. h. T = T(t). Dies
wird im Folgenden von der erfindungsgemäßen numerischen Berechnungsmethode
berücksichtigt
wird. Die Anwendung der Kontinuitätsbedingung liefert das 2.
Ficksche Gesetz als gesuchte Bestimmungsgleichung für die mit der
Zeit und dem Oberflächenabstand
x (bei zumeist ausreichendem eindimensionalen Ansatz) veränderliche Kohlenstoffkonzentration
C:
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Das
Newtonsche Reaktionsgesetz 1. Ordnung in obiger Gleichung (1.1)
stellt eine Randbedingung 3. Art für die Lösung des 2. Fickschen Gesetzes
dar. Eine analytische Lösung
kann nur unter der vereinfachenden Annahme eines konstanten Diffusionskoeffizienten
(Dc) angegeben werden. Allerdings ist der Diffusionskoeffizient
(Dc) von Kohlenstoff in austenitischem Eisenwerkstoffen (z. B. Reineisen,
Stahl) von der Kohlenstoffkonzentration (C) abhängig und darf wegen der hohen
Kohlenstofflöslichkeit
(C groß)
auch nur unter deutlichem Verlust an Berechnungsgenauigkeit als
konstant angenommen werden. Für
eine analytische Lösung
ist jedoch eine solche Mittelwertbildung nötig: Dc hängt aber vom Kohlenstoffgehalt
(C) und bei flexibler (d. h. in diesem Fall nichtisothermer) Prozessführung auch
von der Temperatur (T) ab. Eine exakte analytische Lösung kann
deshalb nicht berechnet werden.
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Mit
Hilfe der Finite-Differenzen-Methode (FDM) wird das 2. Ficksche
Gesetz in seiner allgemeinen Form aus Gleichung (1.2) gelöst, Damit
können
reale Aufkohlungsprofile in Stählen
(einschließlich
der genauen Form) unter Berücksichtigung
einer wechselnden Kohlenstoffkonzentration an der Oberfläche und
eines von dem Kohlenstoffgehalt und der Temperatur abhängigen Diffusionskoeffizienten
berechnet werden.
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Die
Finite-Differenzen-Methode ist eine numerische Approximation der
Ableitungen, die aus der Taylorentwicklung stammt. Die Taylorentwicklung
(Ordnung 2) lautet wie folgt:
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O(Δx)
3 ist eine Funktion 3. Ordnung, die durch
eine mit Δx
multiplizierte Konstante beschränkt
ist. Der Wert dieser Funktion ist also vernachlässigbar, wenn Δx klein ist.
Aus den Ausdrücken
(2.1.1) und (2.1.2) wird abgeleitet:
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Dabei
muss beachtet werden, dass die Ausdrücke (2.1.3) und (2.1.4) mit
einem kleinen Fehler jeweils von Ordnung O(Δx)
2 und
O(Δx)
3 gelten. Durch diese Gleichungen können indes
die Ableitungen
und auch
numerisch berechnet werden.
Das 2. Ficksche Gesetz kann also aufgelöst und die Aufkohlungsprofile
vorhergesagt werden.
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Aus
dem 2. Fickschen Gesetz ergibt sich:
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Einfügen der
Gleichungen (2.1.3) und (2.1.4) liefert:
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Die
Gleichung (2.1.5) ist mit einem diskretisierten System zu verwenden.
Der Oberflächenabstand
und die Verfahrenszeit werden in kleine Längen- und Zeitelemente der
Größe Δx bzw. Δt unterteilt.
Daraus ergibt sich das in 3 dargestellte
Gitternetz.
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Die
bei dem in 3 dargestellten Gitternetz aufgezeichnete
Diskretisierung lautet: xi =
0 + i·Δxi =
0,1,2,... tj = 0 + j·Δtj =
0,1,2,...
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Wenn
C(xi,tj)
= C(iΔx,jΔt) = Ci,j C(xi + Δx, tj + Δt)
= Ci+1,j+1 beachtet wird, kann die Gleichung
(2.1.5) wie folgt umgeschrieben werden:
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Gleichung
(1.1) lautet mit dieser Umformung:
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Die
Aufkohlungsgeschwindigkeit (β),
der Kohlenstoffpegel (Cp) und die Temperatur (T) können konstant
oder, wie in der Praxis zumeist der Fall, von der Zeit (t) abhängig sein:
Zur Berücksichtigung
dieser allgemeinen Zeitabhängigkeit
in der numerischen Berechnung des resultierenden Kohlenstoffprofils
haben sich, neben dem konstanten Verlauf, jeweils Stufenfunktionen,
abschnittsweise lineare Funktionen (ein oder mehrere Abschnitte)
und Spline-Interpolationsfunktionen
als besonders geeignete (Anpassungs-) Funktionen erwiesen, Der Diffusionskoeffizient
ist eine bekannte Funktion des Kohlenstoffgehalts und der Temperatur
(siehe oben, beispielsweise soll für den Stahl 17NiCrMo 14 diese
Funktion anhand von Messprofilen bestimmt werden). Ihre Ableitung
kann auch durch die Taylorentwicklung erhalten werden. C-1,j ist ein fiktiver Punkt, der keine physikalische
Bedeutung hat und erst mit einem auf Gleichung (2.2.4) aufgebauten
Algorithmus für
j = 0,1,2,... berechnet wird. Die Gleichungen können mit zwei verschiedenen
Verfahren gelöst
werden, der expliziten und der impliziten Methode.
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Bei
der expliziten Methode werden die Gleichungen (2.2.2) und (2.2.4)
direkt in einem in FORTRAN geschriebenen Algorithmus übersetzt.
Durch die bekannten Randbedingungen und Anfangsbedingungen und nach
Auswertung des fiktiven Punktes C-1,j können dann
alle anderen Kohlenstoffkonzentrationen Ci,j mit
einem auf Gleichung (2.2.2) aufgebauten Algorithmus berechnet werden.
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Beispielsweise
lautet die Übersetzung
der Gleichung (2.2.1) in FORTRAN: dcdt = dc(c(i),temperatur)·(c(i +
1) – c(i – 1))/dx1·(c(i +
1) – c(i – 1))/dx1/4 dcdt = dcdt + d(c(i),temperatur)·(c(i +
1) – 2c(i)
+ c(i – 1))/dx1/dx1 cneu(i) = c(i) + dcdt·dt
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Der
Vorteil der expliziten Methode ist, dass dieser Algorithmus relativ
einfach ist. Der Nachteil ist, dass das Verfahren konvergiert, wenn
ein Stabilitätskriterium
eingehalten wird. Die Methode kann also zu falschen Ergebnissen
führen,
wenn dieses Kriterium nicht erfüllt
wird (zu große
dt, zu große
dx, ...).
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Das
bevorzugte Verfahren ist daher das implizite Verfahren. Diese Lösungsmethode
ist mathematisch aufwändiger,
hat aber den Vorteil, kein Stabilitätskriterium einhalten zu müssen. Die
implizite Methode beruht auf der Einfügung der Kohlenstoffkonzentrationen
C
i-i,j+i, C
i,j+1,
C
i+1,j+1 in Gleichung (2.2.1). Diese Werte
sind die Kohlenstoffkonzentrationen zur Zeit t
j + Δt. Infolgedessen
sind diese Werte unbekannt und müssen
bei einer Iteration berechnet werden, Gleichung (2.2.1) schreibt
sich wie folgt um:
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Wird
auf der rechten Seite von Gleichung (2.2.5) eine Variable dcdt eingefügt, erhält man eine
Funktion f fi(Ci-i,j+i, Ci,j+1, Ci+1,j+1 )
= Ci,j+1 – Ci,j – Δt·dcdt
fi(Ci-1,j+1, Ci,j+1, Ci+1,j+1 )
= 0 (2.2.6)
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Wieder
muss beachtet werden, dass die Ausdrücke (2.2.6) durch Näherungen
der verschiedenen Ableitungen des Fickschen Gesetzes erhalten wurden.
fi(Ci-1,j+1, Ci,j+1, Ci+1,j+1 )
ist also in der Praxis nicht ganz genau gleich Null.
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Die
Anfangsnäherungen
der Kohlenstoffkonzentration Ci-1,1, Ci,1, Ci+1,1 werden
eingefügt
mit ΔCi = Ci,j+1 – Ci,1.
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Gleichung
(2.2.6) wird wie folgt umgeformt: fi(Ci-1,1, Ci,1, Ci+1,1) = δ
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f
i(C
i-1,1, C
i,1, C
i+1,1) ist
auf diese Weise berechenbar. Da die Funktion f mit Näherungen
berechnet wurde, ist sie nicht gleich Null und liefert den Wert δ. δ entsteht
aus den Approximationsfehlern, die aus der Taylor-Entwicklung und
aus den einbezogenen Näherungen
für C
i-1,1, C
i,1 C
i+1,1 stammen. Die Punktion f wird abgeleitet, nochmals
mit der aus der Taylor-Entwicklung hervorgegangenen Approximation:
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Gleichung
(2.2.8) ist ein tridiagonales Linearsystem für die unbekannten ΔCk. Dieses lineare Gleichungssystem wird mit
dem Eliminationsverfahren nach Gauß-Jordan gelöst. Daraus
erhält
man eine Approximation der ΔCk. Ck,2 = ΔCk + Ck,1
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Ersetzt
man in Gleichung (2.2.8) Ci,1 durch Ci,2, berechnet neue ΔCk Werte
und fährt
nach diesem Schema fort, so erhält
man – Konvergenz
der Iteration vorausgesetzt – ein
gutes Verfahren zur Lösung
des Systems (2.2.6). Am Ende des gesamten Verfahrens erhält man eine
sehr gute Approximation aller Kohlenstoffkonzentrationen Ci-1,j+1, Ci,j+1,
Ci+1,j+1.)
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Die
Erfindung ist vor allem vorgesehen für Verfahrensoptimierung und
verbesserte Prozessregelung des industriellen Gasaufkohlens, das
einen Anwendungsschwerpunkt in der Wärmebehandlung von Stahl (wesentlicher
Teilschritt des Einsatzhärtens
als mit einem Weltmarktanteil von etwa einem Drittel wichtigster
Wärmebehandlungstechnologie
von Stählen)
bildet. Darüber
hinaus ist auch die Implementierung in bestehende Systeme der Aufkohlungsofensteuerung
möglich.
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Das
Verbesserungspotenzial lässt
sich, neben Vorteilen für
die Qualitätssicherheit
und Prozessoptimierung, aus dem obigen Beispielprozess abschätzen: Eine
Ersparnis an der betreffenden Wärmebehandlungszeit
von ca. 20 % erscheint möglich,
insgesamt also beispielsweise 42 h statt 50 h Gesamtdauer der Aufkohlung.
Gleichzeitig kann die Prozessqualität durch gesteigerte Zielsicherheit
verbessert werden.
numerisch berechnet werden. Das 2. Ficksche Gesetz kann also aufgelöst und die Aufkohlungsprofile vorhergesagt werden.
